Sistema Elastico

UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA

 PROFESOR: CARLOS FABIAN NIMA MAZA  CURSO: ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS  TEMA: SISTEMA ELASTICO  INTEGRANTES: LUIS CUEVA MADRID

AURORA MIJA YANGUA LESLIE OCHOA SULLON KATHERINE URBINA CRESPO ALEXIS CRUZ LOPEZ DIEGO CASTRO MANRRIQUE NILTON CASTILLO NEIRA MOISES GARCIA CORREA JEYSSON TOCTO CALDERON

SISTEMA ELASTICO INTRODUCCIÓN La influencia del sistema elástico y constantes elásticas en las construcciones es un tema de mucho interés, ya que nos ayuda a conocer cuando una construcción o algún proyecto van a fracasar, o si bien cuando no va a salir como lo esperaban. Es muy necesario antes de prepararse para realizar una edificación o cualquier tipo de proyecto, se debe de conocer las fuerzas que actúan en el terreno, o el clima, ya que todo influye en el material, o en la construcción en sí. Lo que determina que todo va a salir en perfectas condiciones muchas veces es el material, porque cada material es diferente, cada uno posee su estructura, esto quiere decir que cada uno actúa diferente a las distintas fuerzas que existen, tales como el calor, ya que hay varios tipos de materiales y estos se distinguen según sus propiedades o características, ya sean elásticos o no elásticos. Los materiales no elásticos no son adecuados para las construcciones ya que no son capaces de soportar las fuerzas externas, y por eso, varias obras se destruyen con facilidad. La elasticidad en sí es el fenómeno que tienen los cuerpos de volver a su estado original después de haber sufrido deformaciones, y esto es lo que no posee los materiales no elásticos, según indica la ley de Hooke. El régimen elástico se caracteriza porque las deformaciones son reversibles. Para que la deformación sea reversible es necesario que existan fuerzas de recuperación, que tiendan a devolver al sistema a su estado original. Estas fuerzas de retracción elástica, por tanto, devuelven a los átomos a sus posiciones de equilibrio originales. El comportamiento elástico puede ser lineal o no dependiendo entre otros factores del origen y naturaleza de dichas fuerzas de recuperación. En general, la respuesta elástica puede considerarse instantánea, de forma que nada más aplicar una cierta tensión el sólido adquiere la correspondiente deformación OBJETIVOS:  

Conocer las propiedades mecánicas de los materiales, saber identificarlos dentro de curva- esfuerzo -deformación. Conocer la ley de Hooke y a que tipo de deformaciones es posible aplicarla

MARCO TEÓRICO:

El régimen elástico se caracteriza porque las deformaciones son reversibles. Para que la deformación sea reversible es necesario que existan fuerzas de recuperación, que tiendan a devolver al sistema a su estado original. Estas fuerzas de retracción elástica, por tanto, devuelven a los átomos a sus posiciones de equilibrio originales. El comportamiento elástico puede ser lineal o no dependiendo entre otros factores del origen y naturaleza de dichas fuerzas de recuperación. En general, la respuesta elástica puede considerarse instantánea, de forma que nada más aplicar una cierta tensión el sólido adquiere la correspondiente deformación. Sin embargo, existe un tipo de comportamiento elástico en el cual existe un cierto retardo entre causa (tensión) y efecto (deformación), que implica una dependencia con el tiempo de la respuesta elástica. A este tipo de comportamiento se le denomina visco elasticidad. Existe un tipo de fenómeno elástico adicional, que en realidad se verifica en mayor o menor medida en todos los sólidos y que se conoce como anelasticidad. En los materiales anelásticos, la curva de descarga no coincide con la de carga de forma que la curva cargadescarga encierra una cierta área (se suele decir que la curva presenta histéresis). Este hecho denota que existe una disipación de energía en forma de calor durante el proceso de carga y descarga (de hecho, la cantidad de energía disipada puede calcularse a partir del área encerrada en la curva). Este fenómeno es especialmente intenso en materiales no lineales y visco elásticos. Este comportamiento es útil para amortiguar vibraciones o ruido, pero no es deseable en otro tipo de piezas que deben transmitir esfuerzo ya que reducirían su eficiencia. El estudio de las propiedades elásticas es esencial para el diseño de estructuras y piezas, ya que en estas aplicaciones estructurales (vigas, espejos de telescopios y radio antenas) es necesario controlar la deflexión elástica. También es esencial en aplicaciones acústicas ya que las propiedades elásticas determinan la frecuencia natural de vibración del material y por tanto su capacidad para producir o conducir el sonido. En este tema analizaremos la teoría elástica que estudia la relación entre tensiones y deformaciones en el régimen elástico. Como ya hemos comentado, el régimen elástico suele limitarse a pequeñas deformaciones ( 500 % en el caso de algunos elastómeros). Estudiaremos los parámetros elásticos que describen el comportamiento de los materiales en

este régimen y su relación con la estructura del material y, en particular, con la naturaleza del enlace atómico.

ELASTICIDAD - DEFORMACION (LEY DE HOOKE) La denominada Ley de Hooke constituye la base de la Resistencia de Materiales y es válida dentro de lo que se denomina régimen lineal elástico. Esta ley establece que si la tensión normal  se mantiene por debajo de un cierto valor  , llamado tensión de proporcionalidad, las deformaciones específicas y las tensiones son directamente proporcionales.

 = .  E: Recibe el nombre de Módulo de Elasticidad Longitudinal, o módulo de Young. del material y nos dice que tan rígido es un material.

La rigidez, la resistencia y la ductilidad son propiedades mecánicas de los materiales:

  

Rigidez: Capacidad de oponerse a las deformaciones Resistencia: Capacidad de oponerse a la rotura Ductilidad: Capacidad de deformarse antes de romperse.

A partir de la Ley de Hooke puede calcularse la deformación total que sufrirá un elemento sometido a fuerza axial. Diagrama tensión - deformación (  −  ) del acero común

Al resolver los problemas de la Resistencia de Materiales nos encontramos con la necesidad de tener ciertos datos experimentales previos sobre los cuales se pueda basar la teoría. Por ejemplo, para poder establecer la ley de Hooke se hace necesario conocer el módulo E, el cual debe determinarse experimentalmente. Para obtener los datos antes mencionados se pueden realizar distintos tipos de ensayo, de los cuales uno muy difundido es el de tracción. Para este ensayo usualmente se emplean probetas especiales, que consisten en barras de sección circular, las cuales son estiradas en una máquina especialmente diseñada para el ensayo. Como veremos en el próximo capítulo, cuando una barra está sometido a un esfuerzo axial P, aparecen internamente tensiones normales s calculables a través de la siguiente expresión:

En este diagrama pueden distinguirse ciertas zonas con determinadas características:

a) Período elástico Este período queda delimitado por la tensión    (límite de elasticidad). El límite de elasticidad se caracteriza porque, hasta llegar al mismo, el material se comporta elásticamente, es decir que producida la descarga, la probeta recupera su longitud inicial. En la práctica, este límite se considera como tal cuando en la descarga queda una deformación especifica remanente igual al 0.001 %. Este período comprende dos zonas: la primera, hasta el  (límite de proporcionalidad), dónde el material verifica la ley de Hooke. La segunda entre      , si bien es elástica, no manifiesta proporcionalidad entre tensiones y deformaciones.

En la primera zona:  

=

 

=

En la segunda zona:  

= () =    

En general, los límites de proporcionalidad y de elasticidad difieren muy poco entre sí. b) Período elasto-plástico. - Para valores de tensión superiores al límite elástico, si la pieza fuera descargada no recobraría su dimensión original, apreciándose una deformación remanente acorde con la carga aplicada. A medida que aumenta la solicitación, la gráfica representativa es la de una función para la cual disminuye el valor de su tangente, tendiendo a anularse en el tramo final del período, al cual se llega con un valor de tensión que se indica como  (tensión de fluencia).

Origen de las fuerzas de recuperación elástica La elasticidad es estudiada por la teoría de la elasticidad, que a su vez es parte de la mecánica de sólidos deformables. La teoría de la elasticidad (TE) como la mecánica de sólidos (MS) deformables describe cómo un sólido (o fluido totalmente confinado) se mueve y deforma como respuesta a fuerzas exteriores. La diferencia entre la TE y la MS es que la primera solo trata sólidos en que las deformaciones son termodinámicamente reversibles y en los que el estado tensión en un punto en un instante dado depende en un punto en un instante dado dependen solo de las deformaciones en el mismo punto y no de las deformaciones anteriores (ni el valor de otras magnitudes en un instante anterior). Hasta ahora hemos limitado la descripción del comportamiento mecánico de los materiales a aspectos macroscópicos y fenomenológicos. En esta sección analizaremos los mecanismos microscópicos que son la base del comportamiento elástico, estudiaremos el origen físico de las fuerzas de retracción elásticas a partir de un análisis termodinámico del material.

Consideremos una barra que se deforma un    por efecto de una carga P que equilibra la fuerza de retracción elástica Fr.

La propiedad elástica de los materiales está relacionada, como se ha mencionado, con la capacidad de un sólido de sufrir transformaciones termodinámicas reversibles e independencia de la velocidad de deformación (los sólidos viscoelásticos y los fluidos, por ejemplo, presentan tensiones dependientes de la velocidad de deformación). Cuando sobre un sólido deformable actúan fuerzas exteriores y éste se deforma se produce un trabajo de estas fuerzas que se almacena en el cuerpo en forma de energía potencial elástica y por tanto se producirá un aumento de la energía interna. El sólido se comportará elásticamente si este incremento de energía puede realizarse de forma reversible, en este caso se dice que el sólido es elástico.

Comportamiento elástico: se da cuando un sólido se deforma adquiriendo mayor energía potencial elástica y, por tanto, aumentando su energía interna sin que se produzcan transformaciones termodinámicas irreversibles. La característica más importante del comportamiento elástico es que es reversible: si se suprimen las fuerzas que provocan la deformación el sólido vuelve al estado inicial de antes de aplicación de las cargas. Dentro del comportamiento elástico hay varios subtipos:   

Elástico lineal isótropo, como el de la mayoría de metales no deformados en frío bajo pequeñas deformaciones. Elástico lineal no isótropo, la madera es material ortotrópico que es un caso particular de no-isotropía. Elástico no lineal, ejemplos de estos materiales elásticos no lineales son la goma, el caucho y el hule, también el hormigón o concreto para esfuerzos de compresión pequeños se comporta de manera no l ineal y aproximadamente elástica.

Ya que la estructuras en su mayoría están compuestas por acero y concreto, nos centraremos en abarcar los comportamientos elásticos que presentan.

Elasticidad no lineal En principio, el abandono del supuesto de pequeñas deformaciones obliga a usar un tensor deformación no lineal y no infinitesimal,  como en la teoría lineal de la elasticidad donde se usaba el tensor deformación lineal infinitesimal de Green-Lagrange. Eso complica mucho las ecuaciones de compatibilidad. Además matemáticamente el problema se complica, porque las ecuaciones resultantes de la anulación de ese supuesto incluyen fenómenos de no linealidad geométrica (pandeo, abolladura, snapthrough,...). Si además de eso el sólido bajo estudio no es un sólido elástico lineal nos vemos obligados a substituir la ecuación de Lamé-Hooke por otro tipo de ecuaciones constitutivas capaces de dar cuenta de la no linealidad material. Además de las mencionadas existen otras no linealidades en una teoría de la elasticidad para grandes deformaciones.

Espectro de Respuesta Problemas sísmicos: Para el tratamiento del sismo es necesario estudiar las fuerzas de inercia generadas al producirse una aceleración en la cimentación de la estructura. El problema en estos casos tiene históricamente dos partes, la primera es determinar cuál es la historia de aceleraciones “pésima” dentro de las posibles en una localización determinada, el segundo analizar cómo estas aceleraciones se trasmiten en forma de fuerzas. Afortunadamente la primera parte del problema se encuentra en la actualidad solucionado mediante los mapas sísmicos, que determinan las aceleraciones básicas a considerar en una localización para cada periodo de retorno. Métodos de análisis Planteamiento general (matriz K, C, U…) El planteamiento del problema dinámico suele realizarse a partir de la generalización y extensión del problema de 1 GDL:

Donde K es la rigidez, m la masa, y el desplazamiento en función del tiempo y u el desplazamiento sobre la posición de equilibrio estático. Dado que no hay más términos en la ecuación, y que los valores de k y M son positivos los máximos en la misma deben coincidir:

siendo ω=(K/M)0.5 La solución a la ecu 1ación queda de la forma: Y=umax sen (ωt)+ Solución particular Al valor de umax se le denomina habitualmente desplazamiento espectral y se marca como Sd en lo métodos espectrales. Al valor de ω se le denomina frecuencia propia y a la forma de deformación adoptada de valor máximo 1 (senoidal en nuestro caso) se la denomina modo propio. En el caso que el amortiguamiento no sea nulo, como ocurre en la inmensa mayoría de estructuras civiles, la expresión anterior no representa el valor exacto de la aceleración máxima sino sólo una aproximación de ella, ya que además de las fuerzas elásticas Ku(t) coexisten contemporáneamente las fuerzas de amortiguamiento fd. Para el caso de fuerzas viscosas lineales resulta:

De esta forma, la máxima aceleración absoluta no está rigurosamente dada por la expresión (3), pero de todos modos ésta representa una muy buena aproximación de la máxima aceleración absoluta Ymax para estructuras

civiles en que el amortiguamiento típico es del orden del 5% del crítico. El valor de y max dado para el caso de amortiguamiento diferente de cero se conoce como “Pseudo-aceleración” de la masa, y representa una muy buena aproximación de la aceleración máxima cuando el amortiguamiento es distinto de cero. La pseudo-aceleración se expresa habitualmente con la notación Sa, que en todos los casos está dada por la expresión (ignorando el signo):

De todos modos, vale la pena destacar que a pesar que la pseudoaceleración Sa es una aproximación de la máxima aceleración absoluta, la fuerza elástica máxima inducida por el sismo es exactamente la dada por la expresión:

Por lo antes expuesto, dado que el análisis sísmico centra su interés en los desplazamientos y esfuerzos máximos, los valores espectrales de desplazamiento Sd, o de pseudo-aceleración Sa pueden utilizarse en forma indistinta con las expresiones anteriores para evaluar los desplazamientos o esfuerzos máximos inducidos por un sismo utilizando expresiones de formato estático; es decir, sin tener que incluir en forma explícita las fuerzas de inercia o de amortiguamiento propias de un problema dinámico.

Uso del espectro elástico de respuesta: Cuando se realizan cálculos sísmicos es necesario establecer cuál es el espectro elástico de respuesta de la estructura estudiada. La mayoría de normativas sísmicas obligan a utilizar para este cálculo una formulación concreta. Por ejemplo, en el caso de la NCSE española,  el espectro de respuesta elástica para suelos buenos en zonas normales la fórmula utilizada para estructuras con un periodo de oscilación entre 0,1 y 0,4 segundos es S = 2,5 · ac. Esto implica que si un  terremoto tiene una aceleración sísmica de 1 m/s2, el espectro elástico de respuesta es de 2,5 m/s 2, lo que implica que la estructura que reciba ese terremoto se diseñará para una aceleración de la vibración de 2,5 m/s 2. Conociendo la aceleración de la vibración se pueden hallar las fuerzas estáticas equivalentes que soporta la estructura multiplicando la aceleración por la masa que soporta la estructura.

COMPORTAMIENTO DEL ACERO EN ESTRUCTURAS: El trafilado se utiliza para endurecer alambres o barras circulares finas, y el torsionado especialmente para barras redondas (en general, con conformaciones superficiales), para hormigón armado. Para estos aceros endurecidos mecánicamente o los de dureza natural, logrado por un mayor contenido de carbono o mediante aleaciones especiales, el diagrama  −   resulta ser substancialmente distinto del que hemos visto hasta este punto. Las características más importantes son las siguientes: diagrama s - e resulta ser substancialmente distinto del que hemos visto hasta este punto. Las características más importantes son las siguientes: Sus límites de proporcionalidad y elasticidad son más elevados que los aceros comunes. No poseen un límite de fluencia definido ni tampoco zonas de escurrimiento plástico. La deformación de rotura se reduce considerablemente. Como consecuencia de no existir un límite de fluencia definido, este se determina en forma convencional como la tensión para la cual la deformación especifica remanente alcanzan al 0.2 %. Los materiales como el acero dulce, que presentan una gran capacidad de deformación antes de alcanzar la rotura, se denominan “dúctiles”. Podemos decir que estos materiales avisan la rotura física, ya que antes de alcanzarse la misma las deformaciones son tan grandes, que la estructura llega a la falla por este motivo. Los materiales como el acero duro, para los cuales la rotura se produce bruscamente, sin grandes deformaciones previas, se denominan “frágiles”. El problema elástico. La aplicación más habitual de la teoría elástica es la resolución de un problema de contorno que se conoce universalmente como el problema elástico y que puede enunciarse del siguiente modo: “Dado un sólido elástico continuo, homogéneo e isótropo, con constantes elásticas E y , para el que se conocen:

-las fuerzas másicas fv que actúan en su volumen V, -las fuerzas superficiales fs en una región de su superficie exterior, S, y los desplazamientos u, v, w) en todos los puntos restantes de la superficie, se pretende determinar: a) En V, los desplazamientos u, v, w) y los tensores [T] y [D] en cada punto. b) En la superficie S, los desplazamientos en las regiones donde se conocen las fuerzas y, recíprocamente, las fuerzas en las regiones donde se conocen los desplazamientos.” La solución a este problema implica que las componentes del tensor de tensiones, [T], han de verificar las ecuaciones de equilibrio interno o las ecuaciones de equilibrio en el contorno, y que las componentes del tensor de deformación, [D], cumplan las condiciones de compatibilidad (que no se han estudiado, pero que básicamente garantizan la integralidad de las deformaciones para poder obtener los desplazamientos a partir de ellas.

CONCLUSIONES: Todo cuerpo solido puede sufrir deformaciones reversibles cuando se encuentra sujeto a la acción de fuerzas exteriores siempre que no sobrepasen su limite característico.

BIBLIOGRAFIA: https://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_de_s%C3%B3lidos_deforma bles http://eadic.com/wp-content/uploads/2013/09/47125_tema_5_dinamico.pdf http://elasticidad-fisica.blogspot.pe/2009/07/teoria-de-la-elasticidad-nolineal.html https://es.wikipedia.org/wiki/Espectro_de_respuesta

CUADERNO DE FORMACION, EADIC,TEMA 5, ANALISIS DINAMICO