Solucion analitica de un problema de PL

Solución analítica de un PPL.

2. SOLUCIÓN ANALÍTICA DE UN PPL. 2.1. Conceptos básicos. Un modelo normalizado o en forma estándar es un modelo para un problema de Programación Lineal en el que la función objetivo (FO) se Maximiza, todas sus restricciones son ≤ y sus variables estructurales y términos independientes son no negativos. Este problema se puede resolver de manera analítica usando el Método

Simplex. Variable de holgura: Es la variable que absorbe la holgura o falta de consistencia en el lado izquierdo de una restricción, de manera que q ue se convierta en una igualdad. Por ejemplo, en un modelo general de  ecuaciones y  variables, la restricción  tiene la forma:                         

Las variables  ,  , . . . . ,  se llaman variables estructurales. Usando una variable de holgura esta restricción se puede expresar de la siguiente manera:                            ; Donde  es la holgura.

Nota: Para cada restricción de este tipo se usa una variable de holgura. El Método Simplex parte de la construcción de una tabla con los datos de este modelo ya transformado. La primera columna se denomina base, y es la que contiene a las diferentes soluciones en cada paso del método. Inicialmente en la base estarán las variables de holgura, considerándose que todas las variables estructurales son nulas. Las variables básicas (que están en la base), toman los respectivos valores en la columna de los términos independientes. Esto es:  ,  ,. . . . ,    y    ,    , . . . . ,    . Esta es la solución factible básica

inicial (SFBI). Las variables no básicas, (que no están en la base), toman valor cero. Se considera solución factible básica (SFB) a una solución cualquiera, para la cual  –  variables sean nulas o no básicas, donde  es la cantidad de variables del modelo después de convertir las inecuaciones en ecuaciones y  es la cantidad de restricciones.

Variable entrante (VE) es la variable que entra a la base en un paso dado del algoritmo y variable saliente (VS) es la que sale de la base. En cada paso entra sólo una variable y sale sólo una variable. Al coeficiente que se encuentra en la intersección de la fila de la VS y la columna de la VE se le denomina pivote o pívot.

Pivoteo, es el hecho de hacer operaciones algebraicas básicas sobre la la fila pivote (la (la que contiene al elemento pivote) con el propósito de hacerlo 1 y eliminar los restantes elementos de la columna pivote (la columna que contiene al elemento e lemento pivote). En las restantes columnas de la tabla estarán las variables estructurales, de holgura, función objetivo, términos independientes independientes y por último, una columna auxiliar, que llamaremos cociente. En la última fila estarán los coeficientes de las variables de la FO. FO . Ing. Gilma Tablada Martínez.

12

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Solución analítica de un PPL. F O del modelo. Solución óptima es la solución factible básica que maximiza la FO La estructura general de la tabla es: Base

Variables estructurales

SB

x1 x2. . . . . . .

xn

s1

a11 a12 . . . . . . a1n

Variables de holgura

Térm. indep.

s1 s2 . . . . .

sm

bi

1 0. . . . .

0

b1

.

Coc.

.

Sm

am1 am2 . . . . .

amn

Z

-c1 . . . . . .

–cn

___________________

|

0 0. . . . .

1

bm

0. . . . . . . .

0

0

Indicadores

________________

|

Los coeficientes de las variables variables estructurales y de holgura, en la FO se llaman indicadores.

2.2. Algoritmo del método SIMPLEX. 1. Estandarizar el modelo. 2. Elaborar la tabla simplex inicial. 3. Si todos los indicadores son no negativos, entonces la FO tiene un máximo. El máximo es  cuando   ,   ,...,   . Si existen indicadores negativos, se escoge el más negativo de ellos. La variable de esa columna es la VE. Si hay más de un indicador con el valor más negativo se escoge cualquiera de los dos. 4. Hallar los cocientes de los términos independientes con los correspondientes elementos de la columna pivote, siempre que éstos sean positivos. Escoger de ellos el menor. La variable básica correspondiente será la VS. Si hay más de un valor como menor cociente, se escoge cualquiera de los dos, si el escogido no genera solución, entonces se prueba con otra de las alternativas. 5. Escoger el elemento pivote, que es el que se encuentra en la fila y columna pivote. 6. Hacer operaciones algebraicas elementales para lograr una nueva tabla equivalente a la anterior, en la que el elemento pivote sea 1 y los restantes elementos de esa columna sean nulos. 7. La VE debe reemplazar a la VS en la base de la nueva tabla. 8. Si todos los indicadores son no negativos en la nueva tabla, ya se encontró la solución óptima. El valor máximo de la FO es el valor en la intersección de la fila de la FO y la columna de los términos independientes. Las variables básicas








2.2.1. Ejemplo: 1. Dado el modelo correspondiente al problema que desarrollamos en el tema anterior (ejemplo 1.1) y resolvimos gráficamente aplicaremos el Método Simplex: S implex: Maximizar  = 4 + 6 Sujeto a: 2 +  ≤ 180  + 2 ≤ 160  +  ≤ 100 Este modelo se puede transformar de la siguiente manera usando variables de holgura en cada restricción para establecer en ellas e llas una igualdad: Maximizar  - 4 - 6 = 0 Sujeto a: 2 +  +  = 180  + 2 +  = 160  +  +  = 100 Inicialmente:  = 0,  = 0,  = 180,  =160 y  = 100. 100. Esta es la SFBI. Consideremos:  → Cantidad Cantidad de artefactos manuales a fabricar Cantidad de artefactos eléctricos a fabricar  → Cantidad En el cuerpo de la tabla colocaremos los coeficientes de las variables en columna para cada restricción, representada por su variable de holgura. Por ejemplo, para el caso que nos ocupa la tabla sería: VE

VS

Tabla inicial.

x

y

s1

s2

s3

G

bi

Coc.

s1

2

1

1

0

0

0

180

180/1 =180

s2

1

2

0

1

0

0

160

160/2 = 80

s3

1

1

0

0

1

0

100

100/1 =100

G

-4

-6

0

0

0

1

0

Menor cociente

Indic. más neg.

El menor indicador es -6, lo que indica que la VE es . Se calculan los cocientes: 180/1, 160/2 y 100/1. De ellos el menor es 80, lo que indica que la VS es . Se construye una nueva tabla en la el elemento pivote o pívot sea 1 y los restantes elementos de esa columna sean 0. Para ello se divide la fila de  para 2. En esa entrada estará ahora . Para anular a los demás multiplicamos a la fila pívot por el inverso del coeficiente a eliminar, esto es, el mismo valor con signo contrario. La nueva tabla nos queda:








Tabla 2. x

y

s1

s2

s3

G

bi

Coc.

s1

3/2

0

1

-1/2

0

0

100

y

1/2

1

0

1/2

0

0

80

s3

1/2

0

0

-1/2

1

0

20

G

-1

0

0

3

0

1

480

Aún nos queda un indicador negativo, ahora la VE es . Calculamos los cocientes  / para  =1, 2, 3 y obtenemos:

Tabla 3. x

y

s1

s2

s3

G

bi

Coc.

s1

3/2

0

1

-1/2

0

0

100

100/ (3/2) = 200/3

y

1/2

1

0

1/2

0

0

80

80/(1/2) = 160

s3

1/2 -1

0

0

-1/2

1

0

20

20/(1/2) = 40

0

0

3

0

1

480

G

La VS es  . Construimos otra tabla en la que el pívot sea 1. Para ello multiplicamos la fila de  por 2. Para anular los restantes elementos de esa columna multiplicamos convenientemente la fila pívot y la sumamos con la fila donde se desea anular el elemento, luego obtenemos:

Tabla 4 x

y

s1

s2

s3

G

bi

s1

0

0

1

1

-3

0

40

y

0

1

0

1

-1

0

x

1

0

0

-1

2

0

G

0

0

0

2

2

1

60 40 520

Como todos los indicadores son positivos, se ha alcanzado la solución óptima que es de $520.00 dólares de utilidades, produciendo 40 artefactos manuales y 60 eléctricos.

2.3. Interpretación geométrica del método. El método simplex se basa en las mismas consideraciones del método gráfico. Esto puede notarse haciendo un análisis de ambos métodos en un mismo modelo.

2.3.1. Ejemplo: 2.2.3.1. El modelo anterior, con variables no negativas, fue resuelto gráficamente y lo vamos a usar con el propósito de hacer un análisis del mismo, comparando las dos vías de solución. Recordemos la estructura del modelo: Maximizar G = 4  + 6







Solución analítica de un PPL. Al resolver este modelo gráficamente, la zona factible encontrada tenía 5 vértices y al evaluar la FO en dichos vértices obtuvimos los resultados mostrados en la tabla. Vértice o punto esquina.

Coordenadas

FO:     

A

(0, 0)

G(A) = 4(0) + 6(0) = 0

B

(0, 80)

G(B) = 4(0) + 6(80) = 840

C

(40, 60)

G(C) = 4(40) + 6(60) = 520

D

(80, 20)

G(D) = 4(80) + 6(20) = 440

E

(90, 0)

G(E) = 4(90) + 6(0) = 360

En el método simplex se escogió como SFBI a (0, (0, 0), para la cual la FO toma el valor 0. En ese momento el indicador más negativo era (-6) por lo que se introdujo en la base a la variable estructural al salir de ella la variable de holgura . Al estructurar la nueva tabla encontramos que la SFB es  = 80,  = 100 y  = 20 y coincide con el punto esquina (0, 80) de la ZF en la solución gráfica. Note que el valor de y coincide con el menor cociente en la tabla analizada. Ahora tenemos un indicador negativo y es (-1) que corresponde a la variable x que es la que entra a la base. Como el menor cociente es 40, sale de la base . En la nueva tabla obtenida luego del pivoteo la variable estructural  toma valor 40, que coincide con el menor cociente y la  toma valor 60 para producir el valor de 520 para p ara la FO. Al analizar los indicadores de la última tabla, notamos que todos son no negativos, lo que indica que no hay más variables que puedan entrar en la base y por tanto se ha alcanzado el valor máximo de G. Si analizamos el resumen que se muestra en la tabla anterior el valor de G sombreado es el mayor, $520.00 que coincide para la solución analítica analítica y se alcanza en el mismo mismo punto (40, 60), lo que indica producir 40 artefactos manuales y 60 eléctricos.

2.3.2. Ejercicios propuestos. 1. En cada uno de los siguientes modelos con variables estructurales no negativas, diga el número de variables de holgura necesarias, nómbrelas y úselas para expresar las inecuaciones como ecuaciones lineales. a) Max  = 3.7 + 4.3 Sujeto a: 2.4 + 1.5 ≤ 10 1.7 + 1.9 ≤ 15 b) Max  = 3 + 8 Sujeto a:  + 2 ≤ 8  + 6 ≤ 12 c) Max  = 2 - 6 Sujeto a:  -  ≤ 4







Solución analítica de un PPL. d) Max  = 8 + 2 Sujeto a:  -  ≤ 1  + 2 ≤ 8  +  ≤ 5 e) Max  = 12 + 15 + 10 Sujeto a: 2  + 2 +  ≤ 8  + 4 + 3 ≤ 12 f) Max  = 8 + 3 +  Sujeto a: 3  -  + 4 ≤ 95 7 + 6 + 8 ≤ 118 4 + 5 + 10 ≤ 120 2. Introduzca variables de holgura según sea necesario y elabore la tabla inicial del método simplex para cada uno de los siguientes modelos de programación lineal con variables estructurales no negativas: ne gativas: a) Max  = 5 +  Sujeto a: 2  - 3 ≤ 8 4 + 8 ≤ 15  + 2 ≤ 30 b) Max  = 5 +  Sujeto a: 2 - 3 ≤ 6 4 +  ≤ 6 5 + 2 ≤ 15 c) Max  = 5 -  + 3 Sujeto a: 3  + 2 +  ≤ 36  + 4 +  ≤ 24  -  -  ≤ 32 d) Max  = 32 + 9 Sujeto a: 4  + 2 ≤ 20 5 +  ≤ 50 2 + 3x2 ≤ 25 e) Max  =  + 5 + 10 Sujeto a:  - 2 + 3 ≤ 10 2 +  +  ≤ 8 3 + 10 ≤ 6 f) Max  = 5 + 3 + 4 Sujeto a: 4  + 3 + 2 ≤ 60 3 + 4 +  ≤ 24 g) Max  = 2 + 3 +  Sujeto a:  +  + 4 ≤ 10









Solución analítica de un PPL. 3. Escoja la VE, calcule los correspondientes cocientes, encuentre el pívot en cada una de las siguientes tablas simplex y señale la VS: a) x1 x2 x3 s1 s2 Z bi Coc. x3

0

2

1

1

3

0

5

x1

1

-5

0

1

2

0

8

Z

0

-2

0

-1

1

1

10

b) s1 z x G

c)

x

y

z

s1

s2

s3

G

bi

0

2

0

1

2

2

0

3

0

3

1

0

1

2

0

2

1

4

0

0

3

5

0

5

0

-4

0

0

4

-3

1

20

x

y

z

s1

s2

W

bi

s2

2

2

0

3

1

0

15

z

3

4

1

6

0

0

20

W

-2

-1

0

1

0

1

10

Coc.

Coc.

4. En las siguientes tablas use el pivote indicado, efectúe el pivoteo (elaborar la próxima tabla) e indique las variables básicas y no básicas. a) x1

x2

x3

s1

s2

Z

bi

s1

1

2

4

1

0

0

56

s2

2

2

1

0

1

0

40

Z

-1

-3

-2

0

0

1

0

x1

x2

x3

s1

s2

Z

bi

Coc.

Coc.







Solución analítica de un PPL. c)

x

y

z

s1

s2

s3

G

bi

s1

1

1

1

1

0

0

0

60

s2

3

1

2

0

1

0

0

100

s3

1

2

3

0

0

1

0

200

G

-1

-1

-2

0

0

0

1

0

x

y

z

s1

s2

s3

G

bi

Coc.

x

y

z

s1

s2

s3

G

bi

Coc.

s1

4

2

3

1

0

0

0

22

s2

2

2

5

0

1

0

0

28

s3

1

3

2

0

0

1

0

45

G

-3

-2

-4

0

0

0

1

0

x

y

z

s1

s2

s3

G

bi

d)

Coc.

Coc.

5. Para cada tabla simplex que aparece a continuación indique las variables básicas y no básicas, encuentre la solución factible básica determinada haciendo nulas a las variables no básicas. Decida si ésta, es una solución óptima. a) s2

x1

x2

x3

s1

s2

Z

bi

3

2

0

-3

1

0

29

Coc.







Solución analítica de un PPL. c)

x

y

z

s1

s2

s3

G

bi

s1

-3

0

1/2

1

-2

0

0

22

s3

2

0

-3

0

1

1

0

10

y

4

1

4

0

3/4

0

0

17

G

-1

0

0

0

1

0

1

120

Coc.

6. Use el método simplex para resolver los siguientes problemas de programación lineal con variables estructurales no negativas: a) Max Z = 3  + 2 +  Sujeto a: 2  + 2 +  ≤ 10  + 2 + 3 ≤ 15 b) Max Z = 2  + 3 +  Sujeto a:  +  + 4 ≤ 100  + 2 +  ≤ 150 3 + 2 +  ≤ 320 7. Para los siguientes problemas plantee el modelo matemático que los resuelve y use el método simplex para encontrar su solución. a) Un fabricante de juguetes está preparando un programa de producción para dos nuevos artículos: Maravilla y Fantástico, debe utilizar la información respecto a sus tiempos de construcción que se proporciona en la tabla a continuación:

Maravilla Fantástico

Máquina A

Máquina B

Terminado

2h

1h

1h

1h

1h

3h

Las horas de trabajo disponibles de los empleados, por semana son: Para la máquina A 70 horas, para la máquina B 40 horas y para terminado 90 horas. Si las utilidades de cada juguete “Fantástico” son de $6.00 y de $4.00 para cada juguete “Maravilla”, ¿cuántas unidades de cada uno deben fabricarse por semana con el objetivo de maximizar las utilidades? ¿Cuál es la utilidad máxima?







Solución analítica de un PPL. unidades de aluminio. Los modelos de 1, 3 y 10 velocidades necesitan, respectivamente 20, 30 y 40 unidades de acero y 12, 21 y 16 16 unidades de aluminio. ¿Cuántas de cada tipo de bicicletas deben fabricarse para maximizar la ganancia si la compañía gana $8.00 en las bicicletas de 1 velocidad, $12.00 en las de 3 y $24.00 en las de 10? ¿Cuál es la ganancia máxima? d) Una compañía prepara 2 tipos de pizzas: la especial y la básica. La especial contiene queso, tomates y legumbres. La básica sólo contiene contiene queso y tomates. El costo de las legumbres, incluidos los tomates es de $2.00 por unidad para la especial y $1.00 por unidad para la básica. No pueden gastarse más de $32.00 por día en legumbres, incluidos los tomates. El queso que se usa para la especial cuesta $5.00 por unidad y el queso para la básica cuesta $4.00 por unidad. La compañía no puede gastar más de $100.00 en queso. ¿Cuántas unidades de cada tipo de pizza debe hacer la compañía para maximizar las ganancias si la pizza especial se vende a $20.00 por unidad y la básica a $15.00 por unidad? un idad? ¿Cuánto es la ganancia máxima? e) Roberto vende tres artículos A, B y C. Cada unidad de A le cuesta $2.00 comprarla, $1.00 venderla y $2.00 entregarla. Para cada unidad B, los costos son de $3.00, $2.00 y $2.00 respectivamente y para cada unidad de C los costos son de $6.00, $2.00 y $4.00, respectivamente. La ganancia con A es de $4.00, con B de $3.00 y con C de $3.00. ¿Cuántos de cada artículo debe ordenar para maximizar su ganancia si puede gastar $1 200.00 en comprar, $800.00 en vender y $500.00 en entregar? f) Un fabricante hace dos juguetes, camiones de carga y camiones de bomberos. Ambos se procesan en cuatro departamentos diferentes y cada uno tiene una capacidad limitada. El departamento de láminas metálicas puede procesar por lo menos 1 ½ veces tantos camiones de carga como camiones de bomberos. El departamento de ensamble de camiones de carga puede armar cuando más 6 700 camiones de carga por semana, mientras que el departamento de ensamble de camiones de bomberos puede armar cuando más 5 500 camiones de bomberos por semana. El departamento de pintura, que da el acabado a ambos tipos de juguetes, tiene una capacidad máxima de 12 000 semanales. Si la ganancia es de $8.50 en un camión de carga y de $12.10 en un camión de bomberos, ¿cuántos de cada tipo debe producir la empresa para maximizar la ganancia? g) Cada primavera un lago se abastece con las tres especies de peces A, B y C. Los pesos promedio de los peces son 1.62, 2.12 y 3.01 kilogramos para las especies A, B y C, respectivamente. Se dispone en el lago de los tres alimentos I, II y III. Cada pez de la especie A







Solución analítica de un PPL. horas de seguimiento. Sofía Sofía puede juntar $100.00 de cada grupo religioso y $200.00 de cada grupo local de trabajo; dispone de un máximo de 16 horas para escribir las cartas y máximo de 12 horas para darles seguimiento cada mes. Determine la combinación más conveniente de grupos y la máxima cantidad de dinero que puede reunir en un mes. i) Un panadero tiene 60 unidades de harina, 132 unidades de azúcar y 102 unidades de pasitas. Una hogaza de pan de pasitas requiere 1 unidad de harina, 1 unidad de azúcar y 2 unidades de pasitas, mientras que un bizcocho de pasitas necesita 2, 4 y 1 unidades respectivamente. Si el pan de pasitas se vende a $3.00 por hogaza y un bizcocho de pasitas a $4.00, ¿cuántos de cada uno deben hornearse para que se maximice el ingreso total? ¿Cuánto es el ingreso total máximo? j) j) Mellow Mellow Sounds Sounds Inc., Inc., produc produce e tres tipos disc discos os comp compact actos os:: mús música ica ligera ligera,, jaz jazzz y rock rock.. Cada Cada disco de música ligera requiere 6 horas de grabación, 12 horas mezclado y 2 horas de edición. Cada disco de jazz requiere 8 horas de de grabación, grabación, 8 horas de mezclado y 4 horas edición. Cada disco de rock requiere 3 horas de grabación, 6 horas de mezclado y 1 hora de edición. Cada semana se dispone de 288 horas pan grabación, 312 horas para mezclado y cuando más de 124 horas de edición. Mellow Sounds recibe $6.00 por cada disco de música ligera y de rock y $8.00 por cada disco de jazz. ¿Cuántos discos de cada tipo debe producir cada semana la compañía para maximizar su ingreso? ¿Cuál es el ingreso máximo? k) Super Souvenir Company fabrica pisa papeles, medallas y ornamentos. Cada pisa papel requiere 8 unidades de plástico, 3 unidades de metal y 2 unidades de pintura. Cada medalla requiere 4 unidades de plástico, 1 unidad de metal y 1 de pintura. Cada ornamento requiere 2 unidades tanto de plástico como de metal y 1 unidad de pintura. La compañía gana $3.00 en cada pisa papel y en cada ornamento, y $4.00 en cada medalla. Si se dispone de 36 unidades de plástico, 24 unidades de metal y 30 unidades de pintura, ¿cuántos de cada tipo de artículo deben fabricarse? l) Fancy Fashions Store dispone de $8 000.00 cada mes para publicidad. Los anuncios en el periódico cuestan $400.00 cada uno y no pueden publicarse más de 20 por mes. Los anuncios por la radio cuestan $200.00 cada uno y no pueden contratarse más de 30 por mes. Los anuncios en televisión cuestan $1 200.00 cada uno con un máximo de 6 por mes. Aproximadamente 2 000 mujeres verán cada anuncio en el periódico, 1 200 oirán cada comercial por radio y 10 000 verán los anuncios en la televisión. ¿Cuántos de cada tipo de anuncios deben contratarse si la tienda quiere maximizar su publicidad? m) Quality Candy Confectionery es famosa por sus dulces en pasta de chocolate, sus cremas de









Solución analítica de un PPL. caja de 1 libra es de 50 centavos en las pastas, 40 centavos en las cremas y 45 centavos en los almendrados. Encuentre también la ganancia máxima por semana. n) Una compañía maneja envíos para 2 compañías A y B, que se encuentran en la misma ciudad. La empresa A envía cajas que pesan pe san 3 lbs cada una y tienen un volumen vo lumen de 2 3 3 pie ; la B envía cajas de 1 pie con peso de 5 lbs cada una. Tanto A como B hacen envíos a los mismos destinos. El costo del transporte para cada caja de A es de $0.75 y para cada caja de B es $0.50. La compañía transportadora tiene un camión con 3 espacio de carga para 2 400 pie y capacidad máxima de 9 200 lbs. En un viaje, ¿cuántas cajas de cada empresa debe transportar el camión para que la compañía de transportes obtenga el máximo de ingresos? ¿Cuál es el ingreso máximo? ñ) News Magazine publica una edición estadounidense y otra canadiense cada semana. Se tienen 30 000 subscriptores en Estados Unidos y 20 000 en Canadá. Otras copias se venden en los quioscos de periódicos. Los costos de correo y envío promedian $80.00 por 1 000 copias en Estados Unidos y $60.00 por 1 000 en Canadá. Las encuestas muestran que pueden venderse no más de 120 000 copias de cada edición, incluidas las subscripciones y que el número de copias de edición canadiense no debe exceder de 2 veces el número de copias de la edición estadounidense. El editor puede gastar cuando más $8 400.00 al mes en correo y embarque. Si la ganancia es de $200.00 por cada 1 000 copias de la edición canadiense y de $150.00 por cada 1 000 copias de la edición estadounidense, ¿cuántas copias de cada versión deben imprimirse para obtener una ganancia máxima? ¿Cuál es la ganancia máxima? o) Una compañía hace tres tamaños de bolsas de plástico: de 5, 10 y 20 galones. Se dispone de un máximo de 8 horas para cada una de las 3 operaciones. La ganancia es de $1.00 para las bolsas de 5 galones, $0.90 para las bolsas de 10 galones y de

Solucion analitica de un problema de PL

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