Soluzioni Meccanica Dei Solidi - Beer

Meccanica dei solidi - Elementi di scienza delle costruzioni 4/ed Ferdinand P. Beer, E. Russell Johnston Jr., John T. DeWolf, David F. Mazurek Copyright © 2010 - The McGraw-Hill Companies srl

1.7

62.7 kN.

1.50

(a) 55.4 a) 55.4 MPa. (b (b) 145 MPa. (c (c ) 72.5 MPa.

Lmin = σtuttid / / 4 τtutti d) Ptutti=5.79 kN; la tensione è critica nei collegamenti 1.C1 (d) P 1.60

1


2.5

0.603 mm.

2.20

(a)

Spostamento nel punto E: punto E: δ E

= |δ BF |

δ E = 80 80.4 μ m ↑ 

(b)

Spostamento nel punto F: punto F: δ F

= δ CF

δ F = 20 209 μ m ↓ 

(c)

Spostamento nel punto G: δG

= δ F + LFG θ

δG

= δ F + LFG θ = 208.93 ×10−6 + (0.250)(723.22 × 10−6 ) = 389.73 × 10−6 m

δG

= 390 μ m ↓

2


2.5

0.603 mm.

2.20

(a)

Spostamento nel punto E: punto E: δ E

= |δ BF |

δ E = 80 80.4 μ m ↑ 

(b)

Spostamento nel punto F: punto F: δ F

= δ CF

δ F = 20 209 μ m ↓ 

(c)

Spostamento nel punto G: δG

= δ F + LFG θ

δG

= δ F + LFG θ = 208.93 ×10−6 + (0.250)(723.22 × 10−6 ) = 389.73 × 10−6 m

δG

= 390 μ m ↓

2


2.56

(a) 34.3 kN compressione. (b (b) 102.9 kN compressione.

3


2.67

(a)

σ x

= 0,

= −58 × 106 Pa, σ z = 0

σ y

ε y

=

1 E

=−

(−vσ x

+ σ y − vσ z ) =

58 × 10

6

105 × 10

9

σ y E

= −552.38 × 10−6 Δh = h 0ε y = (135 mm)( − 552.38 × 10−6 ) = −0.0746 mm e=

=



1 − 2v

(σ x + σ y + σ z ) E (1 − 2v)σ y (0.34)(−58 × 106 )

=

E

105 × 109

= −187.81 × 10−6 ΔV = V0 e = (766.06 × 103 mm3 )(−187.81× 10−6 ) = −143.9 mm3 (b)

σ x

= σ y = σ z = −70 × 106 Pa

ε y

=

1 E

=

(−vσ x

+ σ y − vσ z ) =

(0.34)(−70 × 106 ) 105 × 10

9

σx 1 − 2v E



+ σ y + σ z = −210 × 106 Pa

σy

= −226.67 × 10−6

Δh = h 0ε y = (135 mm)( −226.67 × 10−6 ) = −0.0306 mm e=

1 − 2v E

(σ x

+ σ y + σ z ) =

(0.34)(−210 × 106 ) 105 × 10

9



= −680 × 10−6

ΔV = V0 e = (766.06 × 103 mm3 )(−680 × 10−6 ) = −521 mm3 (a) 0.0303 mm. (b) σx = 40.6 MPa; σy = σz = 5.48 MPa. 2.72 (a) σx = 44.6 MPa; σy = 0; σz = 3.45 MPa. (b) – 0.0129 mm. 2.71

4


2.97

(a) 493°C. (b) 965°C.

2.101

2.C1

3.4

(a) Aσ y / μg. (b) EA/L.

soluzione non disponibile.

(a) τ m = 70.7 MPa ; (b) τ D = 35.4 MPa ; (c ) 6.25 %.

5


3.23

(a) d AB = 20.1 mm ; (b) d CD = 26.9 mm ; (c ) d EF = 36.6 mm

soluzione non disponibile. 3.44 soluzione non disponibile. 3.43

6


3.56

(a)

Per tensioni uguali.

=

τ T s

Th (b)

T sc0 J s

=

=

J sc2

Thc2 J n

=

J nc0

−

π 4 c (1 n 2 ) 2 c2 2 2 π 4 c (1 n 4 )c2 (1 n 2 )1/2 2 2

−

−

=

1 − n2 (1 + n 2 ) (1 − n 2 )1/2

=

(1 − n 2 )1/2



1 + n2

Per angoli di rotazione torsionale uguali. ϕ = T s Th

=

T s L GJ s Js J h

=

=

Th L GJ n

− n 2 )2 (1 − n 2 )2 1 − n2 = = − n4 ) 1 − n4 1 + n2

π 4 c (1 2 2 π 4 c (1 2 2

(a) P = 18.80 kW ; (b) τ m = 24.3 MPa . 3.62 (a) P = 51.7 kW ; (b) ϕ = 6.17° . 3.61

7


= 13.32 mm . 3.82 (a) ρ Y = 8.17 mm . (b) ϕ = 42.1° 3.83 soluzione non disponibile. 3.84 (a) ϕ Y = 3.44° . (b) ϕ = 4.81° . 3.85 (a) ϕ = 8.02° . (b) T P = 14.89 kN ⋅ m . m. (b) 17.19°. 3.87 (a) approx. 1.876 kN m. (b) 17.19°. 3.88 (a) 1.900 kN 3.89 soluzione non disponibile. 3.81 ρ Y

3.97


3.109

(a) τ a = 4.73 MPa . (b) τ b = 9.46 MPa .

3.117

(a) T = 199.5 N ⋅ m . (b) ϕ = 10.40° .

8


3.123

r =

cy L

d ϕ = ϕ =

Tdy

=

Tdy

GJ G

∫

2 L

L

π 2

r4

2TL4 dy 4

π Gc y

4

= =

2TL4 dy π Gc 4 y 4 2TL π Gc

4

∫

2L

dy

L

y4

2 L

2TL4 ⎧ 1 1 ⎫ ⎪⎧ 1 ⎪⎫ = − = − + ⎨ ⎬ ⎨ 3 4 3 3⎬ π Gc 4 ⎪ ⎩ 3 y ⎪⎭ L π Gc ⎩ 24L 3L ⎭ 2TL4 ⎧ 7 ⎫ 7TL = = 4 ⎨ 3⎬ π Gc ⎩ 24 L ⎭ 12π Gc 4 2TL4

soluzione non disponibile. 4.2 (a) -61.6. (b) 91.7 MPa. 4.3* (a) -130.4. (b) -97.8 MPa. 4.1

4.20


9


4.41


4.50 (a) A s

= 1674 mm 2 (b) M = 90.8 kN ⋅ m

soluzione non disponibile. 4.59 soluzione non disponibile. 4.61 soluzione non disponibile. 4.62 soluzione non disponibile. 4.63 soluzione non disponibile. 4.64 soluzione non disponibile. 4.66 soluzione non disponibile. 4.67 soluzione non disponibile. 4.68 soluzione non disponibile. 4.69 soluzione non disponibile. 4.70 soluzione non disponibile. 4.71 (a) ρ = 4.69 m . (b) M = 7.29 kN ⋅ m . 4.58

10


4.72

Strain distribution:

ε

= −ε m

y

= −ε m u where u =

c

y c

Bending couple: M

=−

∫

c

y σ bdy = 2b

−c

= 2 bc2

∫

1 0

ε = Kσ n ,

Per

εm

⎛ σ ⎞ =u =⎜ ⎟ εm ⎝ σ m ⎠ M

= 2bc 2

∫

1 0

σ m

Recall

I c σ m

= =

1 b(2c)3 12 c 2n + 1 Mc 3n

=

2 3

bc 2

=

∴

0

∫

1 y 0

c

|σ |

dy c

= K σ m

n 1

∴

|σ | = σ m u n

1

uσ mu n du = 2bc 2σ m

= 2bc σ m 2

y |σ | dy = 2bc 2

u |σ | du

ε

Quindi,

∫

c

u

2 + 1n

2+

1 n

∫

1 0

=

2n 2n + 1

1 1+ 1 n

∫u 0

du

bc 2σ m

2n + 1 M bc 2

2 1 bc

2

=

2 c 3 I

I

11


4.115

900

12


4.132


4.144

28.9

21.2 4.146 soluzione non disponibile. 4.145*

4.153

(a)

(b)

(c) 4.154

=

P

σ B

=

P

σC

= σ A

σ A

A

A

−

Pec

+

Pec

I

I

=

=

P 2at P 2at

−

+

( )( )

P

a 2 2 1 12

a 2 2

ta3

( )( )

P

a 2

1 12

a 2

ta

3

P

σ A

=−

σ B

=−

σ C = −



2at 2 P



at

P 2at


13


5.17

(a) 18.00 kN. (b) 12.15

5.25

(a) W = 10.67 kN . (b) σ max = 9.52 MPa .

14


5.65


15



5.109

7.32 kN.

5.112


16


6.6


6.13 P = 178.7 kN .

6.28


17


6.48

Point K is located a distance y above the neutral axis. The stress distribution is given by σ

= σ Y

y yY

0 ø y < yY

for

and σ

= σ Y for yY ø y ø c.

For equilibrium of horizontal forces acting on ACKJ , H

∫

= σ dA =

yY σ yb Y

∫

yY

y

dy +

∫

c yY

σ Y bdy

⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ + σ y b(c − yY ) yY ⎝ 2 ⎠ ⎛ 1 y 2 ⎞ = bσ Y ⎜⎜ 2c − yY − ⎟⎟  (a) 2 yY ⎠ ⎝ =

2 − y2 σ Y b ⎛ yY

Note that yY is a function of x.

⎛ ∂ yY y 2 dyY ⎞ = σ Y ⎜ − + τ xy = ⎜ ∂ x y dx ⎟⎟ b ∂x 2 ⎝ Y ⎠ ⎛ y 2 ⎞ dyY 1 = − σ Y ⎜1 − ⎜ y ⎟⎟ dx 2 ⎝ Y ⎠ 1 ∂ H

1

2

2

⎛ 1 yY 2 ⎞ M = Px = M y ⎜ 1 − ⎜ 3 c2 ⎟⎟ 2 ⎝ ⎠ 3

But

3 ⎛ 2 y dy ⎞ = P = M Y ⎜ − Y2 Y ⎟ dx 2 ⎝ 3 c dx ⎠

dM

Differentiating,

dyY dx

⎛ y 2 1 = σ Y ⎜1 − ⎜ y 2 Y ⎝ 6.49 1.250 a. Then,

τ xy

2

=−

Pc 2 yY M Y

=−

⎞ 3 P 3 P ⎛ y2 ⎞ = ⎟ ⎜1 − ⎟ ⎟ 2 σ Y bσ Y 4byY ⎜ y ⎟ Y ⎠ ⎠ ⎝

Pc 2 yY 23 σ Y bc

2

=−

3

P

2 σ Y byY

(b)

2

3(b 2 − a 2 ) /(6a + 6b + h) 6.51 0.345 a. 6.52 0.714 a. 6.53 0 o 40.0 mm. 6.54 40.0 mm. 6.50

6.59

(a) 144.6

(b) 65.9 MPa.

18


7.13


7.21

205 MPa.

19


7.58

(a) τ xy = 40 MPa (b) τ xy = 72 MPa .

7.62


7.76

1.676 MPa.

20


7.85

(a) σ w = 33.2 MPa (b) τ w = 9.55 MPa .

soluzione non disponibile. 7.97 36.7 μ; 283 μ; 227 μ. 7.98 soluzione non disponibile. 7.100 (a) -21.6°; 68.4°;279 μ; 160 μ. (b) 877 μ. (c ) 877 μ. 7.96

21


7.101

ε x

= −260μ , ε y = −60μ , γ xy = +480μ

For Mohr’s circle of strain, plot points: X : (−260μ , − 240μ ) Y : (−60μ , 240μ ) C : (−160μ , 0) tan 2θ p 2θ p

=

γ xy ε x

− ε y

=

480

−260 + 60

= −2.4

= −67.38°

θ b

= −33.67°



= 56.31°



θ a R = (100μ ) 2

+ (240μ ) 2

R = 260μ

(a)

(b)

εa

= ε ave + R = −160μ + 260μ

εb

= ε ave − R = −160μ − 260μ

1 2

γ max(in-plane) εc

ε max

εa

εb

= R γ max (in-plane) = 2 R =−

v 1− v

(ε a

+ ε b ) = −

1− v

(ε x

+ ε y ) = −

1/3

2/3 = 160μ

( −260 − 60)

= 160μ ε min = −420μ

= ε max − ε min = 160μ + 420 μ γ max = 580μ 7.102 soluzione non disponibile. 7.103 soluzione non disponibile. −6 −6 7.105 (a) θ a = 30.0°, θ b = 120.0° ; ε a = 560 × 10 in./in. ; ε b = −140.0 × 10 in./in. (c)

= −420μ

γ max (in-plane) v

γ max

(b) γ max (in-plane) = 700 × 10−6 in./in. . 375 kN; 163.5 kN. 7.108 1.421 MPa. 7.109 p = 1.761 MPa . 7.107

22

= 100μ  

= 520μ 


7.120


CAPITOLO 8

soluzione non disponibile. 8.4 soluzione non disponibile. 8.7 soluzione non disponibile. 8.8 soluzione non disponibile. 8.11 soluzione non disponibile. 8.12 soluzione non disponibile. 8.13 soluzione non disponibile. 8.14 soluzione non disponibile. 8.15 soluzione non disponibile. 8.16 soluzione non disponibile. 8.19 soluzione non disponibile. 8.20 soluzione non disponibile. 8.22 soluzione non disponibile. 8.23 soluzione non disponibile. 8.24 soluzione non disponibile. 8.27 soluzione non disponibile. 8.28 soluzione non disponibile. 8.32 soluzione non disponibile. 8.33 soluzione non disponibile. 8.34 soluzione non disponibile. 8.36 soluzione non disponibile. 8.37 soluzione non disponibile. 8.38 soluzione non disponibile. 8.39 soluzione non disponibile. 8.41 soluzione non disponibile. 8.42 soluzione non disponibile. 8.43 soluzione non disponibile. 8.44 soluzione non disponibile. 8.45* 55.0 MPa; -55.0 MPa; -45°; 45°; 55.0 MPa. 8.47 soluzione non disponibile. 8.49 soluzione non disponibile. 8.50 soluzione non disponibile. 8.51 soluzione non disponibile. 8.52 soluzione non disponibile. 8.55 soluzione non disponibile. 8.56 soluzione non disponibile. 8.59 86.5 MPa; 0; 57.0 MPa; 9.47 MPa. 8.60 42.2 MPa; 2.83 MPa; 12.74 MPa; 0. 8.3

23


soluzione non disponibile. 8.64 soluzione non disponibile. 8.65 soluzione non disponibile. 8.66 soluzione non disponibile. 8.69 soluzione non disponibile. 8.70 soluzione non disponibile. 8.72 (a) 87.1 MPa; -2.1 MPa; 44.6 MPa; -8.9°; 81.1°. (b) 43.1 MPa; -43.1 MPa; 43.1 MPa; 45°; -45°. 8.74 soluzione non disponibile. 8.76 soluzione non disponibile. 8.77 soluzione non disponibile. 8.78 soluzione non disponibile. 8.79 -20.2 MPa; 2.82 MPa. 8.80 65.5 MPa; -21.8 MPa; 43.7 MPa. 8.81 -108.5 MPa; -103.6 MPa; -46.9 MPa; 0.32 MPa; 8.4 MPa. 8.83 soluzione non disponibile. 8.84 soluzione non disponibile. 8.C1 soluzione non disponibile. 8.C2 soluzione non disponibile. 8.C3 soluzione non disponibile. 8.C4 46.4 mm; 46.5 mm. 8.C5 σ = 40.7 MPa; τ = -5.3 MPa. 8.C6 (a) -37.9 MPa; 14.06 MPa. (b) -131.6 MPa; 0. 8.C7 soluzione non disponibile. 8.63

24


9.24

13 kN

.

9.29

(a)

(b)

(c)

x = a :

y B =

x = 2a : yC = x = 3a : y D =

Pa3

[3 − 0 − 0 − 18] 6 EI

Pa3

6 EI

=

[ 24 − 1 − 0 − 72]

yC =

[81 − 8 − 1 − 162]

y D =

6 EI Pa3

y B

5 Pa3 2 EI

↓

49 Pa3 6 EI 15 Pa3 EI

↓ ↓

25


9.42 R B 9.44

=

3 M 0 2 L

1

↓ ; M B = M 0 4

(a) 5.94 mm

. (b) 6.75 mm

(a) θ A = 5.06 × 10−3 rad 9.50 43.9 kN. 9.47

.

; (b) y B = 0.0477 in. ↓ .

9.51

(a) θ A

(b)

=

w0 L3 24 EI

y A

=

w0 L4 30 EI

↓

9.53

(a)

y =

Linea elastica.

dy dx

(b)

Rotazione dell’estremità A.

=

⎛1 6 1 5 1 3 3 1 5 ⎞ ⎜ x − 30 Lx + 18 L x − 30 L x ⎟ EIL ⎝ 90 ⎠ w0

2

⎛ 1 5 1 4 1 3 2 1 5⎞ ⎜ x − 6 Lx + 6 L x − 30 L ⎟ EIL2 ⎝ 15 ⎠ w0

Set x = 0 in

dy dx

.

dy dx A

=−

3 1 w0 L

30 EI θ A

(c)

Spostamento del punto C .

Set x =

L 2

=

3 1 w0 L

30 EI

in y.

⎧⎪⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞6 ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ 5 1 ⎛ 1 ⎞ 3 1 ⎛ 1 ⎞ ⎫⎪ yC = ⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎬ 18 ⎝ 2 ⎠ 30 ⎝ 2 ⎠ ⎪ EI ⎪⎝ 90 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 30 ⎠⎝ 2 ⎠ ⎩ ⎭ 4 4 wL ⎧ 1 1 1 1⎫ 61 w0 L = 0 ⎨ − + − ⎬=− EI ⎩ 5760 960 144 60 ⎭ 5760 EI 9.55 soluzione non disponibile. w0 L4

yC =

4 61 w0 L

5760 EI

↓

26


9.59

(a) 6.10 x 10-3 rad

65.3 kN ; 58.7 kN 3 9.64 48 EI /7L . 9.63

. (b) 6.03 mm

.

m in D; - 82.8 kN

m in B.

10.10 P cr = 81.2 N .

10.17 F .S . = 2.81 .

soluzione non disponibile. 10.29 soluzione non disponibile. 10.30 soluzione non disponibile. 10.31 soluzione non disponibile. 10.37 soluzione non disponibile. 10.38 (a) L = 8.31 m ; (b) L = 2.54 m . 10.26

27


10.58



10.89


10.92


28


11.33

(a) P = 79.8 kN ; (b) σ max = 254 MPa ; (c ) δ = 1.523 mm .

11.41

(b) 7.12.

29


11.63

5PL3/48 EI .

11.64 δ D

= 0.0443

wL4 EI

↓.

soluzione non disponibile. 11.66 soluzione non disponibile. 11.68 δ B = 0.1459 mm ↓ . 11.65

PR 3/2 EI . 11.71 soluzione non disponibile. 11.70

π

11.72

R B = 5P /16

11.73

R B = 3M 0/2L

; M A = - 3PL/16; M C = 5PL/32 ; M A = ½ M 0

30


11.75 Remove support A and add reaction R A as a load.

U

=

δ A

=

∫

L/ 2 M 2

∫

∂ U AC ∂ R A

=

M 2

dx + dv 0 2 EI 2 EI ∂U 1 L/ 2 ∂M 1 = M dx + ∂ R A EI 0 ∂ RA EI 0

∫

L ⎞ ⎛ ⎜ 0 < x < 2 ⎟ ⎝ ⎠

Portion AC :

L/ 2

1

∫

EI

M

L/2

∂ M

= RA x

∂ R A

( R A x) ( x) dx =

0

∫

L/ 2 0

M

∂ M ∂ R A

dv = 0

=x

RA L3 24 E I

L ⎞ ⎛ ⎜0 < v < 2 ⎟ ⎝ ⎠

Portion CB:

∂ M ⎛ L⎞ ⎛ L ⎞ 1 = R A ⎜ v + ⎟ − wv 2 = ⎜v + ⎟ 2⎠ 2 ∂ R A ⎝ 2⎠ ⎝ ⎤⎛ L ⎞ ∂ U CB 1 L ⎡ ⎛ L⎞ 1 = R A ⎜ v + ⎟ − wv 2 ⎥ ⎜ v + ⎟ dv ⎢ ∂ R A EI 0 ⎣ ⎝ 2⎠ 2 2⎠ ⎦⎝ 2 L/ 2 ⎛ L/ 2 ⎛ L ⎞ 1 ⎧ 1 1 2⎞ ⎫ ⎪ ⎪ 3 = ⎨ R A + − + v dv w v v ⎟ d v ⎬ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎝ 0 ⎝ EI ⎩ 2⎠ 2 2 ⎠ ⎭ ⎪ ⎪ 3 4 3 R A ⎡ 1 3 1 ⎛ L ⎞ ⎤ w ⎡1 ⎛ L⎞ L 1⎛ L⎞ ⎤ = ⎢ L − ⎜ ⎟ ⎥ − ⎢ ⎜ ⎟ + ⎜ 2⎟ ⎥ EI ⎢ 3 EI 3 2 2 4 2 2 3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎦⎥ ⎣ ⎦⎥ ⎣⎢ M

∫

∫

∫

7 wL4 ⎛ 1 1 ⎞ R A L3 =⎜ − ⎟ − 384 EI ⎝ 3 24 ⎠ EI δ A

=

∂ U AC ∂ R A

+

∂ U CB ∂ RA

=

1 RA L3

−

3 EI

7 wL4 384 EI

=0 R A

Bending moments:

Over AC :

M

=

M C = Over CB:

M

=

7 128

7

256

⎛ ⎝

7 128

wL ↑ 

wLx

128 7

wL ⎜ v +

=

wL2

L ⎞

1

= 0.02734 wL2

⎟ − wv 2⎠ 2



2

2

9 ⎛ L ⎞ M B = wL − w ⎜ ⎟ = − wL2 128 2 ⎝2⎠ 128 7

2

1

= −0.07031wL2 dM dv

=

7 128

wL − wvm

=0

vm

=

7 128

L

L ⎞ 1 ⎛ 7 ⎞ ⎛ 7 M m = wL ⎜ L + ⎟ − w⎜ L⎟ 128 2 ⎠ 2 ⎝ 128 ⎠ ⎝ 128 7

=

945 32768

wL2



2

= 0.02884 wL2



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Soluzioni Meccanica Dei Solidi - Beer

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