III. SUCESIÓN POLINOMIAL:( sucesión aritmética de mayor orden) Las sucesiones polinomiales a aquellas cuyo término enésimo T n viene expresado como un polinomio en variable n, donde n N .
T n ! a1n
k
a 2 n k 1 ... a k 1n 2 a k n a k
1K Z
, a i R i ! 1,2,3,..., K
a.
SUCESIONES CUADRÁTICAS O DE SEGUNDO ORDEN Sean un t1 ; t 2 ; t 3 ; t 4 ;......; t n ;.... términos de una sucesión cuadrática cuyo término enésimo se da por:
tn
an
!
2
bn
c
;n
N
.
El cálculo de a, b y c se realiza de la siguiente manera:
c = to -a b= N
a=
a=
t1 ; t2 ; t3 ; t4 ; t5 ;«
to
Nm
r
z2
2
n
r
p
r
q
r
r
b= N -a
r
c = to
2
EJEMPLO: Halle el termino enésimo de la sucesión: 2; 3; 6; 11; 18;«
RESOLUCIÓN:
3
c=3
b = -1-1 a =1
z2
2; 3 ; 6 ; 11 ; 18;« 1-
+ +
1
2
+ +
3
2
5
+ +
2
+7
2
+
Luego: a = 1 b = -2 y c = 3 @
Tn
!
1n
2
2n 3
+9
2
+
b. SUCESIONES DE ORDEN MAYOR QUE DOS er
1 MÉTODO: FORMULA DE RECURRENCIA PARA SUCESIONES NO LINEALES EJEMPLO: Consideremos la sucesión: 14; 17; 22; 29; 38;«
t3 = 22 Entonces decimos que para t1 y t2 si cumple pero para t 3 se encuentra la falla ya que sale 20 lo que en realidad debería Salir 2. Dicha expresión que vamos a agregar no debe influir en el cálculo de los primeros resultados y para ello ocurra debe anularse para n=1 y n=2 y debe colocarse como factores a k (n-1) (n-2) siendo k un valor constante. Entonces tendremos:
tn = 3n+11+ k(n-1) (n-2) Reemplazando a t3 = 22 t3 = 3(3)+11+ k (3-1) (3-2) 22 =
20
+
2k
de donde k = 1
Entonces la formula de recurrencia es: Simplificando quedaría:
tn = 3n+11+ n-1 n-2
tn = n2+13
Remplazando cuando n = 5 t5 = 3(5)+11+ (5-1) (5-2) =38 O también t5 = n2+13 =38
2doMETODO: USO DE LOS NÚMEROS COMBINATORIOS
En principio definiremos C nk de la siguiente manera: n
C k
!
n!
(n
k )! xk !
Ahora observemos la siguiente sucesión
t1 ; t2 ; t3 ; t4 ; t5 ; t6; « a
b
c
m
d«
n r
p« r
El término enésimo de la sucesión se da por la siguiente expresión
Tn
!
n 1
t1 C0
n 1
a C1
n 1
m C2
n 1
r C3
EJEMPLO: Calcule el 6to termino de la sucesión: 4; 6; 11; 21; 38;«
RESOLUCIÓN:
4; 6; 11; 21; 38;« 2
5
3
10 17 26 5
2 n 1
t n ! 4 C0 5
5
5
7 2
n 1
2 C1
9 2 n 1
3 C2
n 1
2 C3
5
t n ! 4 C 0 2 C1 3 C 2 2 C3 t6 = 4(1)+2(5)+3(10)+2(10)
t 6 = 4+10+30+20
@
t 6 ! 64
IV. OTRAS SUCESIONES NOTABLES: NÚMEROS NATURALES: 1; 2; 3; 4; 5;«
Tn= n
NÚMEROS PARES: 2; 4; 8; 10; 12;«
tn=2n
NÚMEROS IMPARES: 1; 3; 5; 9; 11;«
tn=2n-1
NÚMEROS TRIANGULARES: 1; 3; 6; 10; 15;«
NÚMEROS TETRAÉDRICO: 1; 4; 10; 22; 35;«
NÚMEROS PENTAGONALES: 1; 5; 12; 22;«
n(n 1)
tn !
2
tn !
tn !
n(n 1)(n 2) 6 n(3n 1) 2
NÚMEROS HEXAGONALES: 1; 6; 15; 28;«
tn
NÚMEROS CUADRADOS: 1; 4; 9; 16; 25;«
tn= n
NÚMEROS CUBOS: 1; 8; 27; 64; 125;«
NÚMEROS MÚLTIPLOS: K; 2K; 3K; 4K
NÚMEROS DE FIBONACCI: 1; 1; 2; 3; 5; 8;«
!
n(2n 1)
2
tn= n
3
tn=K n
tn= tn-1+ tn-2 tn
!
n(2n 1)
¿QUÉ
ES UNA SERIE NUMERICA? Se denomina ³serie numérica´ a la adición indicada de los términos de una sucesión numérica llamándose al resultado de la adición valor de la serie.
N° ordinal: 1° 2°
3° 4° 5°
6°«.12°
Sucesión
1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8; «.144
Serie
1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8+«.144
EN GENERAL: Sea: t1;
t2; t3;««; tn
³sucesión numérica´
t1 + t2 + t3 +«« + tn
³serie asociada a la sucesión numérica dada´ k ! n
Es la adición indicada de los términos de una sucesión geométrica.Ahora, la serie geométrica puede ser finita o infinita según sea la naturaleza de la sucesión asociada a ella.
A. SERIE GEOMÉTRICA FINITA Se origina a partir de la adición indicada de los términos de una sucesión geométrica finita.
EJEMPLO: Dada una P.G finita
S ! 2 6 18 54 162 486 1458
RESOLUCION: Notamos que la P.G tiene 7 términos. La serie geometría finita asociada a ala P.G dada será.
