Taller 2

1 ¿ Indique cuales de las siguientes ecuaciones son diferenciales

lineales lineales homogene homogeneas as concoefi con coeficient cientes escons constant tantes es y cuales cuales sondiferencia sondiferenciall es no homoge homogeneas neas y resuelva esuelvalas las .

a ¿ x

 dy + x 3  y =0 Ecuaciondiferencial lineal homogenea dx

→

dy 2 + x  y =0 dx

→

dy 2 + x dx =0  y

+∫  x dx =C  ∫ dy  y 2

→

1

1 3

3

→ ln  y +  x =C 1

b ¿ y ¿  x + 2 xy = 0 Ecuacion diferencial diferenciallineal lineal homogenea 2

' 

' 

2

→x +

 y

x =0

→

dx  2 + x =0 dy  y

→

dx 2 dy + =0  x  y

dy + 2∫ =C  ∫ dx  x  y

→

→ ln x + 2 ln  y =C 

2

→ x y =C 1 ' ' 

' 

c ¿ y − y −6 y =0  Ecuacion diferencial lineal homogenea con coeficientes constantes 2

seala ecuacion auxiliar : m −m−6 =0 → ( m −3 ) ( m + 2 ) = 0 → m =3 ; m =−2 −2 x

→ y ( x )=C 1 e + C 2 e 3 x

' ' 

d ¿  y −9  y =54 Ecuaciondiferencial linealno homogenea  primerohallemos la ecuacionhomogenea asociada '' 

 y − 9  y =0 2

seala ecua cion auxiliar : m −9 =0 → (m −3 )( m + 3 )=0

→ m =3 ; m =−3 −3 x

 y h ( x )=C 1 e + C 2 e 3 x

 para determinar la solucion particular utilizaremosel metodo de

los coeficientes indeterminados supongamos y  p = A → y '  p= 0 → y ' ' p  = 0 sustituyendo en la ecuaciondada 

0 −9 A =54 → A =−6

luegola solucion particular estadada por y  p=−6  portanto la solucion general es : −3 x

 y g ( x )=C 1 e + C 2 e 3 x

−6

' 

e ¿  y − yx =5 x  Ecuacion diferencial lineal no homogenea

inicialmente determinamos la solucion homogenea asociada ' 

 y − yx =0

→

dy − xdx =0  y 1

2

→ ln  y − x =C  2

→ y =C 1 e

1 2  x 2

ahora! supongamosque lasolucion particular estadada por :  y p ( x )= Ax + " → y  p ( x )= A ! sustituyendo  ' 

→ A −( Ax + " ) x =5 x 2

→ A − A x −"x =5 x ! resolviendo el sistema de ecuaciones " =−5 ! A =0 la solucion particular estadada por : y p=−5

1

luegola solucion general es : y g ( x )=C 1 e

2

 x

2

−5

3

3

2 ¿ #emostrar que x ;| x| ; sonsoluciones linealmenteindependientes

dela siguiente ecuacion diferencial :

2

' ' 

 x  y −4 x

dy + 6 y = 0 !enelintervalo (−$ ! $ ) dx

 #ebemos demostrar que las soluciones propuestas son linealmente

independientes; esdecir ! quesu %rons&ianosea diferentede cero

|

'  ( x !| x| ) = 3

3

 x

3

3

2

3 x

||

| x|  x 3| x|  x = 3 x | x|

2

3

3 2

|

| x| =3 x | x|−3 x | x|= 0 3| x| x 4

4

vemos que  ( x !| x| ) =0 ! pero esto nonos dice que las funciones 3

3

sealinealmente dependientes

verificamos quelas soluciones dadas satisfacenla ecuaciondiferecial ' 

3

' ' 

2

sea y = x → y =3 x → y =6 x ! sustituyendo   x

2

( 6 x )− 4 x ( 3 x ) +6 x =0 2

3

3

3

3

→ 6 x −12 x + 6 x =0 → 0=0

(

2

)

2

6 x  x sea y =| x| → y =3| x| x → y = 3 | x|+ = | x| | x| 3

' 

' ' 

sutituyendo 

 x

2

(| |)

6 x

6 x

2

 x

3

− 4 x ( 3| x| x ) + 6| x| = 0

4

3

 − 12 x 2| x|+ 6| x| =0

| x| 6 x

4

−12 x 2 ( x 2) + 6 x 4

| x| 12 x

4

−12 x 4

| x|

=0

=0

0 =0

3 ¿ (esolver lasiguiente ecuacion diferencial por el metodode variacion

de parametros : ' ' 

' 

2

a ¿  y − x y + x  y = 4 x ln x b ¿ (esolver las siguientes ecuacionesdiferenciales por elmetodo de coeficientesindeterminados : ' ' 

' 

3  x

b ¿  y − 2 y + 5  y =24 e

 )rimerohallamos la solucionhomogeneaasociada  ' ' 

' 

→ y −2  y + 5  y =0 2

→ m − 2 m + 5= 0 Ecuacion auxiliar

→ m=

2 * √ 4 −20 2

=1 * 2 i

→ y h ( x )=e ( C 1 sin2 x + C 2 cos 2 x )  x

 para hallar la solucion particular ! supongamos que:

 y p ( x )= A e → y  p ( x )=3 A e → y 3  x

3  x

' 

3 x

3 x

3 x

→ 9 A e −6 A e + 5  A e =24 e 3 x

''   p

( x ) =9 A e3 x ! sustituyendo 

3 x

3 x

→ 8 A e = 24 e → A = 3 la solucion particular estadada por y  p ( x )=3 e

3 x

la solucion general es : y g ( x )=e ( C 1 sin 2 x + C 2 cos2 x ) + 3 e

3  x

 x

4 ¿ Encontar un operador diferencial que anule a :

6 x

a ¿ x + 3 xy e =¿ 2

2

el operador anulador es ( #−6 ) = # −12 # + 36  #emostracion :

[

 #  x ( 1+ 3  y ) e 2

6 x

]= # # [ x ( 1 +3 y ) e ]= # [ ( 1 +3 y ) ( 1 +6 x ) e ] 6 x

¿ ( 1+ 3 y ) ( 12 + 36 x ) e 6 x −12 # [ x ( 1 + 3 y ) e6 x ]=−12 ( 1 + 3 y ) ( 1 + 6 x ) e 6 x

(

36 x 1 + 3  y

) e  x =36 x ( 1 + 3 y ) e  x 6

6

[

→ ( # −12 # + 36 )  x ( 1 + 3  y ) e 2

6 x

]

6  x

¿ ( 1+ 3 y ) ( 12 + 36 x ) e 6 x −12 ( 1 +3 y ) ( 1+ 6 x ) e 6 x + 36 x ( 1 + 3 y ) e6 x ¿ ( 1+ 3 y ) e  x ( 12+ 36 x −12−72 x + 36 x )= 0 6

asi concluye lademostracion

b ¿ ( x −2 x ) ( x −1 ) = x − x −2 x + 2 x = x −3 x + 2 x 3

2

5

3

 El operador anulador es #

3

5

6

 #emostracion : 6

5

5

3

 # = #  # ( x −3 x + 2 x ) 5

4

2

¿ # ( 5 x −9 x + 2) 4

3

3

2

¿ # ( 20 x −18 x ) ¿ # ( 60 x −18)

¿ #2 ( 120 x ) ¿ # ( 120 ) ¿0 asi concluye lademostra cion  x

c ¿ x e  El operador anulador es ( #−1 )  #emsotracion :

( #−1 )2 x e x =( #2−2 # +1 ) x e x

2

3

→ #  x e = # ( x + 1 ) e =( x + 2 ) e  x

2

 x

→−2 # ( x e ) =−2 ( x + 1 ) e  x

 x

 x

( # −2 # + 1 ) x e x = ( x + 2 ) e x −2 ( x + 1 ) e x + x e x 2

( # −2 # + 1 ) x e x = e x ( x + 2−2 x −2 + x) 2

( # −2 # + 1 ) x e x = e x ( 0 )=0 2

asi concluye lademostra cion 5 ¿ (esolver lasiguiente ecuacion diferencial : 2

' ' 

' 

 x  y + x y + y =0 2

dy  d  y r− 1 sea y = x → =r x →  =r ( r −1 ) x r−1 ! sustituyendo  2 dx dx r

→r ( r −1 ) x + r x + x =0 r

r

r

→ x ( r + 1 ) =0 r

2

→r =*i! y ( x )=C 1 cosln  x + C 2 sin ln x  )roblema )ropuest o

Considereuna masade 30 &gque est+ unidad a una pared por mediode unresortede constante & =

30 , 

m

  . -i se alargael resorteuna distancia de 0.18 m y se suelta a

 partirdelreposo ! determine la posicin y la velocidad de la masa en el tiempo! la

frecuencia de oscilaci.n! laamplitud ! el +ngulode fase y las energ/as potencial y

cin0tica en eltiempo t .

 #atos :  x ( 0 )=0,18 ! x ( 0 )= 0 !m= 30 &g!& =30 ,  / m ' 

laecuacion diferencial quedescribe elmovimineto es : 2

2

d  x 30  =−30 x →  d  x2 + x = 0 2 d t  d t  2

laecuacion caracteristica es : m + 1=0 la solucion esta dada por : x ( t )=C 1 sin t + C 2 cos t   Aplicando las condicionesiniciales   x ( 0 )=0,18 =C 2  x ( t )=C 1 cos t −C 2 sin t  ' 

 x

' 

( 0 )= 0=C 

1

la solucion particular del problema es :

 x ( t )=0.18 cos t  v ( t )= x ( t )=−0.18sin t  ' 

el )eriodoes 2 1 seg por oscilacio n la frecueciaes una oscilacion por2 1 seg

laamplitud es 0.18 m 2

laenergia enfu ncion deltiempoes : E (t )= mv ( t ) =30 (−0.18sin t )  E ( t ) =0.972sin t  2

2