Taller Unidad 2, tarde. I semestre 2016.
Jane, cuya masa mas a es 50 (Kg), (K g), necesita n ecesita columpiarse columpi arse a trav´es es de un r´ıo ıo (que (q ue tieti ene una ancho D), lleno de cocodrilos para salvar a Tarz´an del peligro. Ella debe columpiarse contra el viento que ejerce una fuerza horizontal de roce constante F, en una liana que tiene longitud L e inicialmente forma un ´angulo angulo θ con la vertical. Considere que D que D = 50 (m (m), F ), F = = 110 (N (N ), ), L L = = 40 (m ( m) y θ = 500 . a) ¿Con ¿C on qu´e rapidez rap idez m´ınima Jane debe d ebe comenzar su balanceo ba lanceo para apenas a penas llegar al otro lado (es decir que llegue con velocidad nula), si el ´angulo de llegada es φ = 28 28,,950 ?. b) ¿Si se hubiese lanzado con esa velocidad, cual es la velocidad de Jane en el punto m´as as bajo de su trayectoria?. c) ¿Considerando que el balanceo es un movimeinto circular, cuales la aceleraci´ on on centr´ centr´ıpeta que experiment´ experi ment´o Jane en este punto?. d) ¿Cual es el trabajo hecho por el peso de Jane debido a la variaci´on de altura que experimenta en ir desde la izquierda a la derecha?. Una vez que el rescate est´a completo, Tarz´an an y Jane deben columpiarse columpiarse de vuelta a trav´ tr av´es es del r´ıo. ıo . e) ¿Con ¿Co n qu´e rapidez rapi dez m´ınima ınima deben comenzar su balanceo bal anceo de d e vuelta vuel ta para apenas llegar a la otra orilla del r´ıo? ıo? Suponga Sup onga que Tarz´ an tiene una masa de 80.0 kg. an f) Si el balanceo balanceo es suficient suficientee para llegar a la izquierda izquierda del r´ıo con velocidad v = 1 (m/s), m/s), determine cuanto tiempo tardar´an an Tarzan y Jane en llegar al suelo suponiendo que se sueltan exactamente en el mismo punto donde Jane tom´ o la liana por primera vez. (Considere el problema como un lanzamiento de proyectil). g) En el ´ultimo ultimo caso cual ser´ ser´ıa la m´ axima axima distancia horizont horizontal al que recorren recorren Tarzan y Jane hasta caer al suelo.
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1.
Soluci´ on
a) Siempre que se dispongan de dos estados diferentes en el movimiento, es u ´ til usar alg´ un teorema de energ´ıa. El primer paso es identificar el estado inicial y final. Casi siempre se define uno de ellos como el lugar donde la energ´ıa es conocida, y el contrario como el punto donde se est´a haciendo la pregunta. En este caso el punto inicial puede ser considerado como A y el final como C. La segunda pregunta a responder es si en este caso existe o no conservaci´on de la energ´ıa. La f´ormula general nos dice que ∆E = W F R ∆E = −f R · d
(1)
En este caso si existe fuerza de roce, la cual es constante e igual a f R = 110 (N ). Esta fuerza solo act´ua en el eje x, por lo que la distancia d que nos es ´util para calcular el trabajo es la distancia en ese mismo eje. Es importante considerar que la distancia que hace trabajo, y por lo tanto la que va en la f´ormula de la Ec.(1), es la distancia entre los puntos donde se est´a haciendo la diferencia de energ´ıa. En este caso la distancia horizontal entre A y C es igual a D = 50 (m). Con el fin de calcular las respectivas alturas, siempre se debe definir el cero de altura en el punto m´as bajo de la trayectoria entre ambos estados. En este caso el largo de la cuerda permence constante, pero la altura de Jane var´ıa dependiendo del ´angulo que la cuerda forma con la vertical. En la Fig.(1) se observa un esquema donde se resalt´o esta diferencia con el fin de facilitar el entendimiento del problema. El punto B cuando la cuerda se encuentra totalmente recta, corresponde al punto m´ as bajo de la trayectoria, por lo que las dos alturas, ser´an medidas desde ese lugar. En el estado inicial A, Jane posee energ´ıa cin´etica, ya que debe balancearse hacia la izquierda y desde all´ı es donde despejaremos el valor de la velocidad. Tambi´en se encuentra en altura igual a H A, la cual puede obtenerse geom´ etricamente considerando el esquema que se muestra en la Fig.(1.b). Desde aqui H A = L − Y A , donde Y A se puede obtener geom´etricamente como Y A = L · cos(50), H A = 40 − 40 · cos(50) = 14,29 (m). De igual forma se puede obtener la altura final considerando el esquema que se muestra en la Fig.(1.c). Desde aqui H C = L−Y C , donde Y C se puede obtener geom´ etricamente como Y C = L · cos(29), H C = 40 − 40 · cos(29) = 5,02 (m).En este punto final, Jane no posee energ´ıa cin´etica ya que debe ”apenas llegar” haciendo que su velocidad de llegada sea nula, mientras que su altura es igual a H C , d´ andole una energ´ıa potencial diferente de cero.
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(a)
(b)
(c)
Figura 1: Reemplazando estos valores en la Ec.(1) ∆E E f − E i (K f + U f ) − (K i + U i ) U f − (K i + U i ) 1 2 mgH C − mvA − mgH A 2 1 2 50 · 10 · 5,02 − · 50 · vA − 50 · 10 · 14,29 2 1 2 − · 50 · vA 2 1 2 · 50 · vA 2 1 2 · 50 · vA 2 2 vA
vA vA
= = = =
−f R · d −f R · d −f R · d −f R · d
= −f R · D = −110 · 50 = −110 · 50 − 50 · 10 · 5,02 + 50 · 10 · 14,29 =
110 · 50 + 50 · 10 · 5,02 − 50 · 10 · 14,29
=
865
2 · 865 50 = 34,6 = 5,88 (m/s) =
b) Nuevamente usamos conservaci´on de la energ´ıa. Ahora el punto inicial ser´ıa A y el final B. En el punto B, al ser el m´ as bajo de la trayectoria, su energ´ıa potencial es nula. Es importante destacar que la distancia d, donde act´ ua 4
(2)
el roce es la distancia horizontal entre los puntos A y B, la cual se puede determinar trigonom´etricamente como x = L · sen(50) = 40 · sen(50) = 30,64 (m). Reemplazando los valores de energ´ıa en la Ec.(1) ∆E E f − E i (K f + U f ) − (K i + U i ) K f − (K i + U i ) 1 1 2 2 mvB − mvA − mgH A 2 2 1 1 2 2 · 50 · vB − · 50 · vA − 50 · 10 · 14,29 2 2 1 2 · 50 · vB 2 1 2 · 50 · vB 2 2 vB
= = = =
−f R · d −f R · d −f R · d −f R · d
= −f R · x = −110 · 30,64 1 = −110 · 30,64 + · 50 · 5,882 + 50 · 10 · 14,29 2 = =
2 vB =
4639 2 · 4639 50 185,56
vB vB
= 185,56 = 13,62 (m/s)
(3)
c) La aceleraci´on centr´ıpeta, referida al movimiento circular de un cuerpo, posee siempre el mismo valor, independiente si el moviento es circular uniforme o circular uniforme acelerado.
ar ar ar
v2 R 13,622 = 40 = 4,64 (m/s2 ) =
(4)
·cos(α), al pregun · |d| d)Recordando que el trabajo se define como W = | F | tar por el trabajo hecho por el peso la fuerza que debemos considerar es la fuerza peso, mientras que el desplazamiento corresponde al cambio de altura experimentado por Jane al ir de izquierda a derecha ∆ H = H A − H C = 9,27 (m). Ese desplazamiento es hacia abajo, mientras que el peso es un vector que siempre es negativo, por lo que el ´angulo entre ambos es igual a 0 0 . W W W W
= = = =
d|cos(α) |F || Mgdcos(0) 50 · 10 · 9,27 · 1 4635 (J ) 5
(5)
e) Para conocer la velocidad, nuevamente usamos energ´ıa. En este caso podemos escoger el punto C como punto inicial y el punto A como punto final. En C conocemos la altura que es la misma H C por lo que si existe energ´ıa potencial y es conocida, mientras que en el estado final A, tambi´en existe energ´ıa potencial dada por la altura H A . En ese punto la energ´ıa cin´etica es nula ya que deben ”apenas llegar”. La distancia a considerar en el trabajo de la fuerza de roce, es la distancia en x en ir desde C a A, la que nuevamente es D = 50 (m).Un punto a destacar es que ahora la masa es distinta ya que se debe considerar la masa total, como la suma de las masas de Jane y Tarz´an m T = 50 + 80 = 130 ( Kg). Reemplazando estos valores en la Ec.(1) ∆E E f − E i (K f + U f ) − (K i + U i ) U f − (K i + U i ) 1 2 mT gH A − mT vC − mT gH C 2 1 2 130 · 10 · 14,29 − · 130 · vC − 130 · 10 · 5,02 2 1 2 − · 130 · vC 2 1 2 · 130 · vC 2 1 2 · 130 · vC 2
= = = =
−f R · d −f R · d −f R · d −f R · d
= −f R · D = −110 · 50 = −110 · 50 − 130 · 10 · 14,29 + 130 · 10 · 5,02 =
110 · 50 + 130 · 10 · 14,29 − 130 · 10 · 5,02
=
17551
2 vC = 2 = vC
2 · 17551 130 207,02
vC = 207,02 vC = 14,39 (m/s) f) Esta tercera parte del problema puede considerarse como un lanzamiento de proyectil. Ayud´andonos por geometr´ıa nuevamente podemos determinar cual es el ´angulo que ambos forman con la horizontal al llegar al punto A, tal como se ve en la Fig(1).
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(6)
Escribiendo las ecuacioens de itinerario para el lanzamiento de proyectil x(t) x(t) y(t) y(t) vx (t) vx (t) vy (t) vy (t)
= = = = = = = =
x0 + v0 · cos(α)t 1 · cos(50) · t y0 + v0 · sen(α)t − g/2 · t2 1 · sen(50) · t − 5 · t2 v0 · cos(α) 1 · cos(50) v0 · sen(α) − g · t 1 · sen(50) − 10 · t
(7)
El tiempo que ambos est´an en el aire, est´a definido como el tiempo de vuelo. Este se obtiene cuando la altura es nula, es decir y(t) = 0. Reemplazando en las Ecs. de itinerario reci´en descritas y(t) = 1 · sen(50) · t − 5 · t2 0 = 1 · sen(50) · tv − 5 · t2v −1 · sen(50) · tv = −5 · t2v sen(50) tv = 5 sen(50) tv = 5 tv = 0,15 (s)
(8)
g) La m´axima distancia horizontal, es el alcance m´aximo del lanzamiento, el cual se determina reemplazando el valor del tiempo de vuelo en la ecuaci´on 7
para x(t) x(t) xmax xmax xmax
= = = =
1 · cos(50) · t 1 · cos(50) · tv 1 · cos(50) · 0,15 0,10 (m)
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