Tema 9: Semejanza. Escala. Teorema de Thales. Semejanza de triángulos. Teoremas de la altura y del cateto.
ÍNDICE 1. SEMEJANZA
3
1.1. Figuras semejantes .................................................................................................................................. 3 1.2. Razón de semejanza ................................................................................................................................ 4 1.2.1. Utilidad................................................................................. Utilidad................... ............................................................................................................................. ......................................................................... ..........4 1.2.2. Definición ....................................................... ..................................................................................................................... .............................................................................................. ................................ 4
1.3. Razón R azón de longitudes l ongitudes ................................................................................................................................ 4 1.3.1. Definición ........................................................ ...................................................................................................................... .............................................................................................. ................................ 4 1.3.2. Ejercicios E jercicios ..................................................................................................................................................... ....................................................................................... .............................................................. 6
1.4. Razón R azón de los l os perímetros per ímetros ........................................................................................................................ 8 1.4.1. Definición ........................................................ ...................................................................................................................... .............................................................................................. ................................ 8 1.4.2. Ejercicios E jercicios ..................................................................................................................................................... ....................................................................................... .............................................................. 8
1.5. Razón de las áreas ................................................................................................................................... 9 1.5.1. Definición ........................................................ ...................................................................................................................... .............................................................................................. ................................ 9 1.5.2. Ejercicios ..................................................................................................................................................... ....................................................................................... .............................................................. 9
1.6. Razón R azón de los l os volúmenes vol úmenes ........................................................................................................................ 10 1.6.1. Definición ........................................................ ...................................................................................................................... ............................................................................................ .............................. 10 1.6.2. Ejercicios ................................................................................................................................................... 11
1.7. Ejercicios Ejercic ios .................................................................................................................................................. 11
2. MAPAS, PLANOS Y MAQUETAS
12
2.1. Mapa ........................................................................................................................................................... 12 2.2. Plano .......................................................................................................................................................... 12 2.3. Maqueta .................................................................................................................................................... 13 2.4. Ejercicios Ejercic ios ................................................................................................................................................. 14
3. ESCALA
14
3.1. Introducción Introdu cción ............................................................................................................................................ 14 3.2. Utilidad ..................................................................................................................................................... 14 3.3. Definición ................................................................................................................................................. 14 3.4. Tipos de escala ....................................................................................................................................... 15 3.5. Métodos de resolución resolució n......................................................................................................................... 15 3.6. Ejercicios Ejercic ios ................................................................................................................................................. 16
4. TEOREMA DE THALES
20
4.1. Definición ................................................................................................................................................ 20
Tema 9: Semejanza. Escala. Teorema de Thales. Semejanza de triángulos. Teoremas de la altura y del cateto.
4.2. Ejercicios Ejercic ios ................................................................................................................................................ 20 4.3. Aplicaciones Aplicac iones ........................................................................................................................................... 22 4.3.1. División de un segmento en partes iguales ........................................................................................ 22 4.3.2. Ejercicios....................................................... ..................................................................................................................... ........................................................................................... ............................. 23
4.4. Triángulos en posición de Thales ..................................................................................................... 23 4.4.1. Definición ....................................................... ..................................................................................................................... ........................................................................................... ............................. 23 4.4.2. Ejercicios....................................................... ..................................................................................................................... ........................................................................................... ............................. 24
4.5. Construcción de figuras semejantes .............................................................................................. 25 4.5.1. Homotecia ...................................................... .................................................................................................................... ........................................................................................... ............................. 25 4.5.1.1. Definición........................................................................................................................................... 25 4.5.1.2. Utilidad .............................................................. .............................................................. .................. 25 4.5.1.3. Pasos................................................................................................................................................... 25
4.5.2. Rectángulos de proporciones interesantes inter esantes .......................................................... ....................................................................................... ............................. 26 4.5.2.1. Una hoja de papel A-4 A -4 ......................................................... ........................................................... 26 4.5.2.2. Rectángulo áureo ............................................................................ ................................................ 26
4.5.3. Ejercicios....................................................... ..................................................................................................................... ........................................................................................... ............................. 26
5. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
27
5.1. Definición ................................................................................................................................................ 27 5.2. Criterios de semejanza ...................................................................................................................... 27 5.3. Ejercicios Ejercic ios ................................................................................................................................................ 29 5.4. Aplicaciones Aplicac iones ........................................................................................................................................... 32
6. PROBLEMAS DE SEMEJANZA 7. TEOREMAS DE LA ALTURA Y DEL CATETO
33 36
7.1. Teorema T eorema de la altura ............................................................................................................................ 36 7.1.1. Definición ........................................................ ...................................................................................................................... ........................................................................................... ............................. 36 7.1.2. Ejercicios .......................................................................................................... ........................................ 37
7.2. Teorema T eorema del cateto ca teto ............................................................................................................................. 37 7.2.1. Definición ....................................................... ..................................................................................................................... ........................................................................................... ............................. 37 7.2.2. Ejercicios....................................................... ..................................................................................................................... ........................................................................................... ............................. 38
7.3. Ejercicios Ejercic ios ................................................................................................................................................ 39
Tema 9: Semejanza. Escala. Teorema de Thales. Semejanza de triángulos. Teoremas de la altura y del cateto.
1. SEMEJANZA 1.1. Figuras semejantes Dos figuras son semejantes si semejantes si mantienen la misma forma aunque se modifique su tamaño. Es decir, dos figuras son semejantes semejantes si los ángulos correspondientes son iguales y los lados correspondientes son proporcionales. proporcionales . En particular, dos polígonos son semejantes si semejantes si los ángulos correspondientes son iguales y los lados correspondientes proporcionales. Ejemplo 1: Observa 1: Observa que las siguientes figuras son semejantes:
Estas dos figuras son semejantes porque: semejantes porque:
la figura grande es el doble que la figura pequeña.
la figura pequeña es la mitad que la figura grande.
los ángulos son iguales. Ejemplo 2: Observa 2: Observa que las siguientes figuras son semejantes:
Tienen exactamente la misma forma y únicamente se diferencian en el tamaño. Estas dos figuras son semejantes porque: semejantes porque:
la figura grande es el doble que la figura pequeña.
la figura pequeña es la mitad que la figura grande.
los ángulos son iguales.
Ejemplo 3: 3: Al hacer una ampliación o o una reducción de una fotografía, fotografía, se obtienen figuras er semejantes. En el 1 caso, la razón de semejanza es mayor que 1, k 1 , y en el 2º, menor que 1, k 1 .
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1.2. Razón de semejanza 1.2.1. Utilidad
Para saber si dos figuras son semejantes, se utiliza la razón de semejanza. semejanza. 1.2.2. Definición
La razón de semejanza entre dos figuras semejantes es la razón de proporcionalidad entre sus lados correspondientes, es decir, es k
Lado A Lado B
. Por tanto, la razón de semejanza es el número por el
que hay que multiplicar los lados de una de las figuras para obtener los lados correspondientes de la otra .
La razón de semejanza define semejanza define la homotecia que transforma la figura A en la B. Para calcular los lados de dos figuras semejantes, semejantes , se hace lo siguiente: Multiplicar: Lado A k Lado B
Dividir: Lado B
LadoA k
1.3. Razón de longitudes 1.3.1. Definición
La razón de dos longitudes correspondientes en dos figuras semejantes es la razón de semejanza, es decir, la razón de semejanza de la figura A sobre la B es el cociente entre la longitud de un segmento de la figura figur a A y la de su homólogo en la figura figur a B, es decir, es k
Longitud Longitud A Longitud Longitud B
Ejemplo 1 anterior: La razón de semejanza de la figura grande respecto a la pequeña es k
6
La razón de semejanza de la figura pequeña respecto a la grande es k
3
3
8
4
6
Ejemplo 2 anterior: La razón de semejanza de la figura grande respecto a la pequeña es k 2 . 1
La razón de semejanza de la figura pequeña respecto a la grande es k . 2
Definición: La razón de dos segmentos es segmentos es el número que resulta de dividir sus longitudes.
4 8
2. 1 2
.
.
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Ejemplo:
La razón de dos segmentos a y b es b es k La razón de dos segmentos b y a es a es k
a
b
b
3 5
a
5 3
0,6 .
1,6 .
NOTA: Si NOTA: Si la razón de dos segmentos, a y b, es la misma que la l a de otros dos segmentos, c y d, se dice que los segmentos son proporcionales, se escribe:
a b
c d
y se cumple que a·d=b·c.
NOTA: Al hacer una ampliación o NOTA: o una reducción de una fotografía, fotografía, se obtienen figuras er semejantes. En el 1 caso, la razón de semejanza es mayor que 1, k 1 , y en el 2º, menor que 1, k 1 . Ejemplo 1: Ampliación 1: Ampliación de un cuadrado.
El cuadrado B es una reducción del cuadrado A. La razón de semejanza es k 1 porque se calcula la razón del cuadrado B respecto al A, que es: k
2
4
1 2
0,5
Para calcular los lados del cuadrado B, B, se multiplica: Lado B k Lado A Ejemplo 2: Reducción 2: Reducción de un cuadrado.
El cuadrado A es una ampliación del cuadrado B. La razón de semejanza e semejanza ess k 1 porque se calcula la razón del cuadrado A respecto al B, que es: k
4 2
2
Para calcular los lados del cuadrado A, A , se multiplica: Lado A k Lado B
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1.3.2. Ejercicios
1) Queremos 1) Queremos ampliar esta lámina al tamaño que se indica. ind ica.
Calcula: a) La razón de semejanza: k
12,8 8
1,6
b) La anchura, x, de la lámina ampliada: x 6 1,6 9,6 cm c) Las fotocopiadoras trabajan con ampliaciones expresadas en forma de porcentajes. Calcula el porcentaje que habría que introducir en la fotocopiadora para conseguir la ampliación mencionada: Por la regla de tres simple directa : Longitud (cm) 8 12,8
Porcentaje (%) 100 x
Utilizando la razón de semejanza : k 1,6
x
12,8 8
100 1,6 100 160 %
1,6 100 100 160 %
2) Queremos 2) Queremos hacer una fotocopia reducida de esta lámina, para que tenga el tamaño que se indica.
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Calcula: a) Las fotocopiadoras trabajan con reducciones expresadas en forma de porcentajes. Calcula el porcentaje que habría que introducir en la fotocopiadora para hacer la reducción mencionada: Por la regla de tres simple directa : Longitud (cm) 12 7,8
Porcentaje (%) 100 x
x
7,8 12
100
0,65 100 65 %
b) ¿Cuál sería la razón de semejanza entre las dos figuras? k 0,65 La razón de semejanza utilizando las medidas: k
7,8
8
0,65
Con la razón de semejanza se puede calcular el porcentaje de reducción: k 0,65 0,65 100 65 %
3) Amplía 3) Amplía la siguiente figura figur a si la razón de semejanza es k 2 .
1
4) Reduce 4) Reduce la figura anterior si la razón de semejanza es k . 2
5) Dibuja 5) Dibuja dos segmentos, m y n, de longitudes longitu des 3 cm y 4 cm, respectivamente. r espectivamente. Halla su razón. 6) La 6) La razón de dos segmentos, a y b, es 0,5. Si a mide 2 cm, calcula el valor de b. Dibuja los segmentos. seg mentos. Solución: k 0,5
a
b
0,5
2
b
0,5
b
2 0,5
b 4 cm
7) 7) La razón de dos segmentos, m y n, es 0,75. Si n mide 4 cm, calcula el valor de m. Dibuja los segmentos. Solución:
m n
0,75
m 4
0,75
m 0,75 4
m 3 cm
8) Los 8) Los segmentos a y b miden 3 cm y 4 cm, y los segmentos miden c y d, 6 cm y 8 cm. Dibújalos y comprueba que son proporcionales.
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9) Los 9) Los lados de un triángulo miden 2, 3 y 4 cm, respectivamente. Halla la medida de los lados de un triángulo semejante al anterior y cuyo lado mida 14 cm. c m. ¿Cuál es la razón de semejanza? Solución: Triángulo 1: Lados = 2 cm , 3 cm , 4 cm Triángulo 2: Lado menor = 14 cm Lado Triángulo 2
k
k
Lado Triángulo 1
14 2
k 7
Lados del triángulo 2: 3 · 7 = 21 cm , 4 · 7 = 28 cm 10) 10) Los lados de un rectángulo miden 4 cm y 6 cm. ¿Cuánto medirán los lados de un rectángulo semejante al anterior si la razón de semejanza, del segundo segu ndo al primero, es k 1,3 ? Solución: Triángulo 1: Lados = 4 cm , 6 cm Triángulo 2: Lados = ¿? k 1,3
k
Lado Triángulo 2 Lado Triángulo 1
Lado Triángulo 2 Lado Triángulo 1
1,3
Lado Triángulo 2 1,3 Lado Lado Triángulo 1
Lados del triángulo 2: 4 · 1,3 = 5,2 cm , 6 · 1,3 = 7,8 cm
1.4. Razón de los perímetros 1.4.1. Definición
La razón entre los perímetros de dos figuras semejantes es la razón de semejanza, es decir, es
P A P B
k ,
el cociente entre el perímetro de A y el perímetro de B, es la razón de semejanza de la
figura A sobre la B. B. Para calcular los perímetros de dos figuras semejantes, semejantes , se hace lo siguiente: Multiplicar: P A
k P B
Dividir: P B
P A k
1.4.2. Ejercicios
1) Determina 1) Determina los lados de un triángulo de 90 cm de perímetro si sabes que es semejante a otro cuyos lados miden 18 cm, 15 cm y 12 cm. Solución: k 3 , P 1 90 cm , P 2
P 2
18 15 12
P 1
P 2
k
90 45
k
¿?
45 cm
k 2
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2) Los 2) Los lados de un rectángulo miden 4 cm y 6 cm. ¿Cuánto medirán los lados de un rectángulo semejante al anterior si el perímetro del otro rectángulo es 30 cm? Solución: Rectángulo 1: Altura = 4 cm , Base = 6 cm , P 1 ¿? Rectángulo 2: P 2
30 cm
P 1 4 4 6 6 20 cm P 2
P 1
k
30
20
k
k
3
2
k 1,5
Lados del rectángulo 2: Altura = 4 · 1,5 = 6 cm , Base = 6 · 1,5 = 9 cm
1.5. Razón de las áreas 1.5.1. Definición
La razón entre las áreas de dos figuras semejantes es el cuadrado de la razón de semejanza, es decir, es
A A
A B
k 2 ,
el cociente entre el área de A y el área de B, es el cuadrado de la razón de
semejanza de la figura A sobre la B. B.
Para calcular las áreas de dos figuras semejantes, semejantes , se hace lo siguiente: Multiplicar: A A
k 2 A B
Dividir: A B
AA k 2
1.5.2. Ejercicios
1) Si 1) Si la razón de semejanza entre dos figuras es k 3 y el área de la figura mayor es 243 cm 2, calcula el área de la menor. Solución: k 3 , A1 A1 A2
k 2
243 cm 2 , A2 243
A2
3
2
A2
¿?
243 9
A2
27 cm 2
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2) 2) Un rectángulo de 1 cm x 1,5 cm tiene una superficie de 1·1,5=1,5 cm 2. ¿Qué superficie tendrá un rectángulo el triple de ancho y el triple de largo?
Solución: A'
A
k 2
13,5
1,5
9
k 2
9
La razón entre las áreas es áreas es k 2 superficie que el pequeño.
k 9 9,
k 3
por lo que el rectángulo grande tiene 9 veces más
La razón de semejanza es semejanza es k 3 . Los dos rectángulos son semejantes. semejantes . 3) La 3) La razón entre las áreas de dos figuras semejantes es
16 9
. Halla la razón de semejanza entre sus
perímetros. Solución: k 2
k
16
, k ¿?
9 16 9
k
4 3
k 1,3
1.6. Razón de los volúmenes 1.6.1. Definición
La razón entre los volúmenes de dos figuras del espacio semejantes es el cubo de la razón de semejanza, es decir, es
V A V B
k 3 ,
el cociente entre el volumen de A y el volumen de B, es el cubo de la
razón de semejanza de la figura A sobre la B. B.
Para calcular los volúmenes de dos figuras semejantes, semejantes , se hace lo siguiente: Multiplicar: V A
k 3 V B
Dividir: V B
V A k 3
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1.6.2. Ejercicios
1) 1) Si la razón de semejanza entre dos figuras es k 2 y el volumen de la figura menor es 8 cm 3, calcula el volumen de la mayor. Solución: k 2 , V 1 V 1
V 2
k 3
¿? , V 2
V 1
8
2
3
8
cm3
V 1
88
V 1
64 cm3
1.7. Ejercicios 1) 1) Razona si son o no semejantes las siguientes figuras. En caso afirmativo, calcula la razón de semejanza. a)
Solución: 3,06 1,7
1,8
,
1,62 0,9
1,8
,
2,16 1,2
1,8
Los polígonos son semejantes porque semejantes porque sus lados son proporcionales y los ángulos son iguales. La razón de semejanza es k 1,8 . b)
Solución: 3,06 1,2
1,9
,
3,61 1,9
1,9
Los polígonos no son semejantes porque semejantes porque sus lados son proporcionales, pero los ángulos no son iguales. No tiene No tiene razón de semejanza. semejanza.
Tema 9: Semejanza. Escala. Teorema de Thales. Semejanza de triángulos. Teoremas de la altura y del cateto.
2. MAPAS, PLANOS Y MAQUETAS Existen diferentes formas de representar la realidad mediante objetos semejantes a los reales, pero más pequeños. Con ellos podemos realizar cálculos y obtener medidas de forma más cómoda.
2.1. Mapa Un mapa es mapa es la representación gráfica de una zona geográfica. Los mapas Los mapas son representaciones gráficas de grandes superficies. Por ejemplo: una provincia, un país, etc. Ejemplo: El mapa de carreteras es carreteras es un ejemplo de representación gráfica de una parte de la superficie terrestre.
La distancia de Grado a Francos es: 120 km + 65 km + 40 km + 45 km + 5 km = 275 km
2.2. Plano Un plano es plano es la representación gráfica de otro tipo de elementos, tales como una vivienda o una ciudad. Los planos planos son representaciones gráficas de lugares, poblaciones, viviendas, etc., como si se vieran desde arriba, y los utilizamos para orientarnos en una ciudad, para expresar el recorrido de un viaje, etc.
Tema 9: Semejanza. Escala. Teorema de Thales. Semejanza de triángulos. Teoremas de la altura y del cateto.
Ejemplo 1: El plano de tu casa casa es una representación proporcional de las dimensiones y la distribución reales de tu vivienda.
Ejemplo 2: El plano de tu ciudad es ciudad es una representación proporcional de las dimensiones y la distribución reales de tu ciudad.
2.3. Maqueta Una maqueta es maqueta es la representación reducida de cualquier objeto, tal como un edificio, un avión, un automóvil, etc. Ejemplo 1: 1: En algunos museos del ferrocarril existen maquetas de estaciones de tren y alrededores que alrededores que permiten a los visitantes una idea bastante aproximada de la realidad. Ejemplo 2: La 2: La maqueta de una vivienda es vivienda es una representación reducida de tu vivienda.
NOTA: Los mapas NOTA: mapas y los planos planos son representaciones en 2 dimensiones, mientras que las maquetas son maquetas son reproducciones en 3 dimensiones.
Tema 9: Semejanza. Escala. Teorema de Thales. Semejanza de triángulos. Teoremas de la altura y del cateto.
2.4. Ejercicios 1) Para 1) Para representar cada una de las siguientes situaciones, indica si utilizarías un mapa, un plano o una maqueta. a) La planta baja de tu centro docente.
Solución: Un plano.
b) Un barco de cruceros. c) La forma de llegar al pueblo de un amigo.
Solución: Una maqueta. Solución: Un mapa.
3. ESCALA 3.1. Introducción Cuando miramos un mapa de carreteras, un plano, una maqueta, etc., las distancias y los tamaños que poseen están reducidos de manera proporcional a las distancias y tamaños reales. Al representar una zona geográfica mediante un mapa, la distribución de un piso mediante un plano o la estructura de un barco mediante una maqueta, todas las dimensiones reales se reducen con una misma razón de semejanza llamada semejanza llamada escala. escala.
3.2. Utilidad La escala se escala se utiliza en muchas situaciones de la vida diaria. Las distancias y los tamaños de los planos y mapas están reducidos, de manera que se pueden observar fácilmente. Los valores son proporcionales a la distancia o tamaño real. Mediante la escala escala relacionamos la distancia o el tamaño que hay en un plano o mapa con la distancia o tamaño reales.
3.3. Definición La escala expresa escala expresa la relación entre el tamaño del dibujo y el tamaño real. La escala escala es la razón o el cociente entre una longitud determinada y la longitud real correspondiente. La escala es escala es la razón de semejanza entre la representación r epresentación de la zona u objeto y la realidad. r ealidad. La escala es escala es el cociente entre la longitud o distancia representada en el dibujo, mapa o plano, y la longitud o distancia real. Escala Escala
Dis tan cia cia representada Dis tan cia cia real
NOTA: La longitud real y la longitud en el dibujo deben estar expresadas en las mismas unidades. Ejemplo: Escala 1 300
1 25.000
Significa 1 cm en el plano representa 300 cm ó 3 m en la realidad. 1 cm en el plano equivale a 25.000 cm ó 250 m en la realidad.
Tema 9: Semejanza. Escala. Teorema de Thales. Semejanza de triángulos. Teoremas de la altura y del cateto.
3.4. Tipos de escala La escala de un mapa, plano o maqueta se puede expresar mediante una relación de proporcionalidad numérica o numérica o mediante una representación gráfica. gráfica. Hay dos tipos de escala: a) Numérica: 1:X quiere 1:X quiere decir que cada centímetro del mapa, plano o maqueta se corresponde con X centímetros de la realidad. Ejemplos:
1 : 1.000 quiere 1.000 quiere decir que 1 cm del dibujo, plano o mapa se corresponde con 1.000 cm ó 10 m de la realidad. 1 : 300 quiere 300 quiere decir que 1 cm del dibujo, plano o mapa se corresponde con 300 cm ó 3 m de la realidad.
b) Gráfica: es Gráfica: es la que representa las distancias reales sobre un segmento graduado. Ejemplo 1: 0
5
10
15
1 cm
1 cm
1 cm
1 cm
20 km
1 cm del dibujo, plano o mapa equivale a 5 km en la realidad. 4 cm del dibujo, plano o mapa equivale equiv ale a 20 km en la realidad. Escala numérica: 1 : 500.000 Ejemplo 2: 0
2
4
6
8
1 cm
1 cm
1 cm
1 cm
1 cm
10 m
1 cm del dibujo, plano o mapa equivale equi vale a 2 m en la realidad. 5 cm del dibujo, plano o mapa equivale equiv ale a 10 m en la realidad Escala numérica: 1 : 200
3.5. Métodos de resolución Hay varios métodos para resolver los ejercicios de escalas: 1) Proporción: Formamos una proporción usando la definición de escala. 1
Dis tan cia cia representada
Escala Escala
Dis tan cia cia real
2) Regla de tres directa: Distancia representada representada (cm)
1 Medida en el dibujo
Distancia real (cm)
-----------------
Escala Medida real
Tema 9: Semejanza. Escala. Teorema de Thales. Semejanza de triángulos. Teoremas de la altura y del cateto.
3) Cálculo sencillo: a) Multiplicar: para calcular la distancia real correspondiente a la distancia medida en el dibujo. Medida real = Medida en el dibujo x Escala b) Dividir: para calcular la distancia representada en el dibujo correspondiente a la distancia real. Medida en el dibujo =
Medid Medida a real Escala Escala
3.6. Ejercicios 1) Un 1) Un mapa de carreteras está elaborado a escala 1 : 200.000. a) ¿Qué significa esto? b) Una distancia de 4 cm en el mapa, ¿cuántos metros y kilómetros son en e n la realidad? 2) El 2) El plano de una casa está dibujado a escala 1 : 100. Si una habitación en el plano mide 3 × 4 cm, ¿cuánto medirá en la realidad? Solución: Aplicamos la regla de tres directa. Distancia en el plano (cm)
1 3
Distancia real (cm)
-----------------
100 x
x
3 100 1
300 cm
3) Dos 3) Dos pueblos que están separados 25 km en línea recta, ¿a qué distancia estarán separados en un mapa de escala 1 : 100.000? Solución: Primero se pasan los 25 km a centímetros: 25 km = 2.500.000 cm Como el mapa está dibujado a escala 1 : 100000: La escala 1 : 100.000 significa que 1 cm en el plano representa 100.000 cm (es decir, 1 km) en la realidad. Aplicamos la definición de escala para para crear una proporción : x 2.500.000
1 100.000
x
1 2.500.000 100.000
; x 25
Luego, los dos pueblos estarán separados en el mapa por 25 cm. 4) Dos 4) Dos puntos que en la realidad están separados 5 m, ¿a qué distancia habrá que dibujarlos en un plano de escala 1 : 100?
Tema 9: Semejanza. Escala. Teorema de Thales. Semejanza de triángulos. Teoremas de la altura y del cateto.
5) Calcula 5) Calcula la distancia real entre A y B.
Solución: La distancia entre real entre A y B será: 6,1 cm · 14.000.000 = 85.400.000 cm = 854 Km. 6) En 6) En un plano cuya escala es 1 : 40, ¿qué medidas tendrá una mesa rectangular de d e 0,96 m x 0,72 m? Solución: Las longitudes en el plano serán 40 veces más pequeñas que en la realidad. Las medidas de la mesa son 96 cm x 72 cm, que en el plano serán: 96 40
72
2,4 cm
40
1,8
cm
7) Halla 7) Halla las dimensiones de un salón de 4 metros de largo y 5 metros de ancho en un plano a escala: a) 1 : 200 b) 1 : 400 Solución: Aplicamos la regla de tres directa. Medidas en la realidad: Largo = 4 m = 400 cm Ancho = 5 m = 500 cm a) 1 : 200 Largo: Distancia en el plano (cm)
1 x
Distancia real (cm)
-----------------
200 400
x
400 1 200
2 cm
Tema 9: Semejanza. Escala. Teorema de Thales. Semejanza de triángulos. Teoremas de la altura y del cateto.
Ancho: Distancia en el plano (cm)
Distancia real (cm)
1 x
-----------------
200 500
x
500 1
200
2,5 cm
Medidas en el plano: Largo = 2 cm Ancho = 2,5 cm b) 1 : 400 Largo: Distancia en el plano (cm)
Distancia real (cm)
1 x
-----------------
x
400 400
400 1 400
1 cm
Ancho: Distancia en el plano (cm)
1 x
Distancia real (cm)
-----------------
400 500
x
500 1 400
1,25 cm
Medidas en el plano: Largo = 1 cm Ancho = 1,25 cm 8) Dado 8) Dado el siguiente mapa, responde a las siguientes cuestiones:
a) Calcula la escala del mapa sabiendo que el campo de fútbol mide 101 m de largo en la realidad y exprésala mediante una escala numérica y una escala gráfica. ¿Qué significa cada una de éstas? é stas? b) ¿Qué distancia aproximada hay entre A y B en la realidad, si en el plano es de 5,2 cm? Solución: a) En la realidad, Largo del campo de fútbol = 101 m = 10.100 cm En el plano, Largo del campo de fútbol = 1,1 cm cm
Tema 9: Semejanza. Escala. Teorema de Thales. Semejanza de triángulos. Teoremas de la altura y del cateto.
Aplicamos la regla de tres directa. Distancia en el plano (cm)
Distancia real (cm)
1 1,1
-----------------
x 10.100
x
1 10.100
10.000 cm
1,1
Escala numérica: 1 : 10.000 La escala 1 : 10.000 significa que 1 cm en el plano representa 10.000 cm (es decir, 100 m) en la realidad. Escala gráfica: 0
10.000
20.000
30.000
40.000
1 cm
1 cm
1 cm
1 cm
1 cm
50.000 cm
b) En el plano, Distancia entre A y B = 5,2 cm Aplicamos la regla de tres directa. Distancia en el plano (cm)
Distancia real (cm) x
5,2 10.000
1 --------10.000 5,2 --------x En la realidad, Distancia entre A y B = 52.000 cm = 520 m
1
52.000 cm
9) Una 9) Una maqueta de un coche, a escala 1 : 50, tiene 8 cm de longitud, 3,5 cm de anchura y 2,8 cm de altura. Calcula las dimensiones reales del coche. Solución: Escala: 1 : 50 En el plano, el coche mide: Longitud = 8 cm Ancho = 3,5 cm Altura = 2,8 cm Aplicamos la regla de tres directa. Longitud: Distancia en el plano (cm)
1 8
Distancia real (cm)
-----------------
50 x
x
8 50
1
400 cm
Ancho: Distancia en el plano (cm)
1 3,5
Distancia real (cm)
-----------------
50 x
x
3,5 50 1
175 cm
Tema 9: Semejanza. Escala. Teorema de Thales. Semejanza de triángulos. Teoremas de la altura y del cateto.
Altura: Distancia en el plano (cm)
Distancia real (cm)
1 2,8
-----------------
x
50 x
2,8 50 1
140 cm
Medidas en el plano: Longitud = 400 cm = 4 m Ancho = 175 cm = 1,75 m Altura = 140 cm = 1,40 m
4. TEOREMA DE THALES 4.1. Definición El teorema de Thales dice que los segmentos formados por rectas paralelas, p 1, p 2 y p3, sobre dos rectas secantes, s 1 y s2, son proporcionales.
AB A' B'
BC B' C '
AC A' C '
Operando con los cocientes del teorema de Thales, se pueden encontrar otras formas de escribirlo, escribirlo, por ejemplo:
AB
BC
A' B' B' C '
,
AB AC
A' B' A' C '
4.2. Ejercicios 1) Teniendo 1) Teniendo en cuenta las medidas indicadas en la figura, ¿cuánto mide el segmento BC?
Solución: Por el teorema de Thales: AB AD
BC DE
2,61 3,34
x 3,48
x
2,61 3,48 3,34
x 2,72 cm
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2) Fíjate 2) Fíjate en el dibujo y halla el valor del segmento GH.
AB 2 cm
FG 2,5 cm
BC 4 cm
GH ¿?
3) Nombra 3) Nombra los segmentos con letras mayúsculas y las rectas con minúsculas, y calcula el valor del segmento x.
4) Calcula 4) Calcula el valor del segmento que falta. Nombra los segmentos s egmentos y las rectas.
5) Los 5) Los peldaños de esta escalera son paralelos y se ha roto uno de d e ellos. ¿Cuánto miden los tramos x e y?
Solución: Por el teorema de Thales: x
100
y 36
30 40
40 30
x
y
30 100 40
40 36 30
y
x 75 cm
48 cm
Tema 9: Semejanza. Escala. Teorema de Thales. Semejanza de triángulos. Teoremas de la altura y del cateto.
4.3. Aplicaciones 4.3.1. División de un segmento en partes iguales
Una de las aplicaciones del teorema de Thales es Thales es que nos permite dividir un segmento en partes iguales. Ejemplo: Vamos Ejemplo: Vamos a dividir el segmento AB en 3 partes iguales.
Desde el extremo A del segmento se traza una semirrecta r.
Con un compás marcamos 3 segmentos iguales, de la longitud que queramos, y consecutivos sobre la semirrecta r con centro en A.
Con una regla se traza una recta s que pase por el último punto obtenido en la semirrecta r y por el extremo B del segmento.
Por último, se trazan 2 rectas paralelas a la recta s que pasen por los puntos que hay entre el extremo A del segmento y el último punto de la semirrecta r.
Las rectas paralelas que paralelas que se han trazado dividen el segmento AB en tres partes iguales. En resumen, trazamos una semirrecta a partir de A. Sobre ella marcamos, con el compás, 3 segmentos iguales, de la longitud que queramos. Unimos la última marca con B y trazamos paralelas, una por cada marca de la semirrecta.
Tema 9: Semejanza. Escala. Teorema de Thales. Semejanza de triángulos. Teoremas de la altura y del cateto.
4.3.2. Ejercicios
1) Divide 1) Divide el segmento MN en 7 partes iguales.
2) Divide 2) Divide un segmento de 6 cm en ocho partes iguales. 3) Dibuja 3) Dibuja un segmento de 8 cm de longitud y divídelo en 7 partes iguales.
4.4. Triángulos en posición de Thales 4.4.1. Definición
Dos triángulos están en posición de Thales cuando tienen un vértice común y los lados opuestos a ese vértice son paralelos. Los triángulos que están en posición de Thales son Thales son semejantes. Ejemplo 1:
Los dos triángulos de triángulos de la siguiente figura están en posición de Thales porque Thales porque tienen un ángulo común y los lados opuestos a ese ángulo son paralelos. Ejemplo 2:
Los triángulos ABC y ADE comparten el ángulo A, están encajados. Los lados opuestos al ángulo A son paralelos (BC y DE). En este caso, se dice que q ue los dos triángulos están en posición de Thales. Thales . Cuando dos triángulos se pueden colocar en posición de Thales, sus lados son proporcionales: proporcionales : AB AD
AC AE
BC DE
Ejemplo 3:
Los triángulos ABC triángulos ABC y AB’C’ están en posición de Thales, Thales , al igual que ACD y AC’D’. Si se descompone el polígono en triángulos que tengan uno de sus vértices en común, los triángulos homólogos están en posición de Thales. Thales . Puesto que se puede descomponer el polígono en triángulos, se observa que dos vértices vértice s homólogos siempre están alineados con el vértice común .
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Ejemplo 4:
Se dibuja una estrella de cuatro puntas. puntas. Luego, se elige uno de sus vértices como vértice común y se dibuja otra estrella que esté en posición de Thales con Thales con ella y con razón de semejanza k=3. En la figura, A es el vértice común. Los vértices homólogos se construyen trazando semirrectas con origen en el punto A. Y los vértices de los lados comunes se obtienen multiplicando la longitud del lado inicial por la razón 3. 4.4.2. Ejercicios
1) Calcula 1) Calcula la longitud del segmento B'A'.
2) Calcula 2) Calcula m y n:
3) Utilizando 3) Utilizando el teorema de Thales, dibuja tres triángulos semejantes al triángulo representado en la figura.
Tema 9: Semejanza. Escala. Teorema de Thales. Semejanza de triángulos. Teoremas de la altura y del cateto.
4) 4) Comprueba que el triángulo cuyos lados miden 3 dm, 4 dm y 5 dm es un triángulo rectángulo. Encuentra a partir de este triángulo otros tres triángulos rectángulos cuyos lados midan unidades enteras, verificando en cada caso que el triángulo resultante es rectángulo.
4.5. Construcción de figuras semejantes 4.5.1. Homotecia 4.5.1.1. Definición
La homotecia es homotecia es una transformación que produce figuras semejantes. La razón de semejanza es igual a la razón de homotecia. homotecia . Si dos figuras son homotéticas, homotéticas , sus segmentos correspondientes son paralelos. 4.5.1.2. Utilidad
La homotecia es homotecia es la técnica que se usa para proyectar las imágenes en el cine.
4.5.1.3. Pasos
Cambiando el vértice común por otro punto cualquiera del plano, se puede construir figuras semejantes. La transformación que nos lleva de una figura a otra se denomina homotecia.
Se llama homotecia de centro O y razón k a una transformación en el plano por la que a cada punto P le hace corresponder otro punto P’ tal que O, P y P’ están alineados y cumplen lo siguiente: P’
OP ' OP
k
Por tanto, la propiedad de la homotecia es homotecia es “e l centro de homotecia O y los puntos homólogos P y P ’ están alineados” .
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4.5.2. Rectángulos de proporciones interesantes 4.5.2.1. Una hoja de papel A-4
Las hojas de papel que se utilizan habitualmente (A-4) tienen una curiosa propiedad: “ si si se parte por la mitad, mitad, cada uno de los dos trozos es semejante semejante a la hoja inicial inicial ” .
4.5.2.2. Rectángulo áureo
Un rectángulo cuyos lados están en una proporción igual a la razón áurea se llama rectángulo áureo. áureo. Si en un rectángulo áureo se áureo se divide la longitud del lado largo entre la longitud del lado corto da el número de oro.
a
b
El número de oro también oro también es llamado sección áurea, proporción áurea o razón r azón áurea.
1 5 2
“ Si Si
1,6180339...
en el rectángulo áureo se suprime un cuadrado, el rectángulo que queda es semejante al
inicial ” ” .
4.5.3. Ejercicios
1) El 1) El DNI y casi todas las tarjetas tienen unas dimensiones que se corresponden con la razón áurea. El cociente entre el ancho y el alto es un número conocido ya por los griegos:
1 5 2
a) Coge tu DNI y dibuja un rectángulo áureo en tu cuaderno mediante una homotecia, con centro en uno de los vértices del carnet y razón r azón 3. b) Elige otro punto como centro de la homotecia. Traza otro rectángulo áureo semejante al anterior con razón 4.
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2) Dibuja 2) Dibuja un hexágono regular de 3 cm de lado. Dibuja un hexágono semejante mediante una homotecia de razón 1,5. 3) Aplica 3) Aplica a la siguiente figura una homotecia de razón 1,5.
5. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 5.1. Definición Los triángulos ABC y A'B'C' de la figura adjunta son semejantes porque tienen la misma forma con diferente tamaño.
Estos dos triángulos son semejantes semejantes porque sus ángulos homólogos son iguales y sus lados homólogos proporcionales. A A' 47 B B' 58 ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
C C ' 75 ˆ
ˆ
a
a'
b b'
c
c'
k
Es decir, dos triángulos son semejantes semejantes cuando tienen sus ángulos homólogos iguales y sus lados homólogos proporcionales.
AB A' B'
BC B' C '
AC A' C '
5.2. Criterios de semejanza Para saber si dos triángulos son semejantes, semejantes , no es necesario comprobar que sus ángulos son iguales y que sus lados son proporcionales. Es suficiente que se cumpla alguno de los criterios de semejanza. Un criterio de semejanza de dos triángulos es un conjunto de condiciones tales que, si se cumplen, podemos asegurar que los dos triángulos son semejantes.
Tema 9: Semejanza. Escala. Teorema de Thales. Semejanza de triángulos. Teoremas de la altura y del cateto.
Por tanto, dos triángulos son semejantes semejantes si cumplen alguno de los siguientes criterios de semejanza:
1) Si todos sus lados son proporcionales. proporcionales .
a' a
b' b
c' c
Ejemplo:
50 25
40 20
30
15
2
2) Cuando tienen dos ángulos iguales. iguales. A A' , B B' ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Ejemplo:
60=60 y 50=50
3) Si tienen dos lados proporcionales y proporcionales y el ángulo que forman es igual. igual .
b'
b
c
Ejemplo:
78=78 y
3 0,75
c'
4 1
, A A' ˆ
ˆ
Tema 9: Semejanza. Escala. Teorema de Thales. Semejanza de triángulos. Teoremas de la altura y del cateto.
5.3. Ejercicios 1) Estudia 1) Estudia si los siguientes pares de triángulos son semejantes e indica qué criterio aplicas, así como razona la respuesta: a)
b)
c)
Solución: a) Criterio 1:
10 4
6 5
8 3
2,5 1,2 2,7 No son semejantes porque todos sus lados no son
proporcionales. b) Criterio 3: 42=42 ,
8 2
12 3
4 = 4
Sí son semejantes porque tienen dos lados
proporcionales y el ángulo que forman es igual. c) Criterio 2: 90 2: 90=90 , 60=60 , 30=30 Sí son semejantes porque tienen dos ángulos iguales. 2) Indica 2) Indica si los dos triángulos que se muestran en cada caso son semejantes entre sí, así como también el criterio que has aplicado: a) b)
Tema 9: Semejanza. Escala. Teorema de Thales. Semejanza de triángulos. Teoremas de la altura y del cateto.
3) Los 3) Los lados de un triángulo miden 4 cm, 5 cm y 6 cm. Los lados de un segundo triángulo miden 7 cm, 8 cm y 9 cm. ¿Son semejantes ambos triángulos? ¿Qué criterio criter io has aplicado? 4) La 4) La medida de los lados de los siguientes triángulos es: a) Nombra los lados de cada triángulo. b) Comprueba que son semejantes. c) ¿Qué criterio has aplicado?
5) En 5) En un triángulo conocemos los siguientes datos: Lado AG = 4 cm , Lado GC = 6 cm , Ángulo G = 60° Y en otro triángulo conocemos: Lado DE = 8 cm , Lado EF = 12 cm , Ángulo E = 60° a) Comprueba si son semejantes. b) Indica el criterio aplicado. c) Realiza un dibujo representativo. 6) Dos 6) Dos triángulos rectángulos tienen un ángulo agudo común que mide 40°. a) ¿Son semejantes? ¿Por qué? b) Realiza un dibujo representativo 7) 7) El ángulo de un triángulo mide 75°, y los lados que lo forman, AC = 4 y CD = 6 cm. ¿Cuál de las siguientes opciones correspondería a un triángulo semejante al dado? Razona tu respuesta y realiza un dibujo representativo. a) Ángulo = 65° , Lados MH = 8 cm y HN = 10 cm. b) Ángulo = 75° , Lados MH = 8 cm y HN = 10 cm. c) Ángulo = 75° , Lados MH = 8 cm y HN = 12 cm. d) Ángulo = 90° , Lados MH = 8 cm y HN = 12 cm.
Tema 9: Semejanza. Escala. Teorema de Thales. Semejanza de triángulos. Teoremas de la altura y del cateto.
8) ¿Son semejantes los siguientes triángulos? Razona la respuesta. En caso afirmativo, calcula la razón de semejanza. a)
Solución: 3,06 1,08
1,7
,
1,87 1,1
1,7
,
3,74 2,2
1,7
Los triángulos son semejantes porque semejantes porque sus tres lados son proporcionales por el 1 er criterio. La razón de semejanza es k 1,7 . b)
Solución: 3,45 2,1
1,5
,
3,15 2,1
1,5
, A A' 38,8 ˆ
ˆ
Los triángulos son semejantes porque semejantes porque sus dos lados son proporcionales y el ángulo comprendido er es igual por el 3 criterio. La razón de semejanza es k 1,5 . 9) Los 9) Los lados de un triángulo miden 3 cm, 5 cm y 9 cm. Indica las medidas de un triángulo semejante al primero. Razona tu respuesta y realiza un dibujo representativo. 10) Los 10) Los lados de un triángulo miden 6 cm, 8 cm y 12 cm. Un lado de un segundo triángulo, semejante al primero, mide 18 cm. Halla la longitud de los otros dos lados del segundo triángulo.
Tema 9: Semejanza. Escala. Teorema de Thales. Semejanza de triángulos. Teoremas de la altura y del cateto.
11) Dos 11) Dos triángulos tienen un ángulo que mide lo mismo, 25°. Dos lados de uno de ellos miden 7 cm y 10 cm, mientras que, en el segundo triángulo, uno de los lados que forman dicho ángulo mide 14 cm. ¿Cuánto tiene que medir el lado del segundo triángulo para que los dos triángulos sean semejantes? 12) Los 12) Los triángulos de la siguiente figura son semejantes. se mejantes. Halla la medida del lado x.
5.4. Aplicaciones La semejanza de figuras, y en particular la semejanza de triángulos, tiene muchas aplicaciones prácticas. prácticas. Entre otras:
Cálculo de la altura de un objeto vertical con un espejo.
Se coloca un espejo pequeño en el suelo. El observador se sitúa de forma que, erguido, pueda ver reflejada en el espejo la parte más alta del edificio. Se miden la altura del observador (desde sus ojos al suelo), la distancia de éste al espejo y la distancia del espejo al edificio.
Cálculo de la altura de un objeto vertical a partir de su sombra.
De forma análoga, midiendo las sombras del objeto y de una vara, y la altura de la vara, se puede determinar la altura de un objeto a partir de su sombra.
Tema 9: Semejanza. Escala. Teorema de Thales. Semejanza de triángulos. Teoremas de la altura y del cateto.
6. PROBLEMAS DE SEMEJANZA 1) Halla 1) Halla la altura del árbol.
Solución:
x
1,4
2,16
0,84
x
1,4 2,16 0,84
x 3,6 m
2) Calcula 2) Calcula la profundidad del pozo.
3,4
Solución:
x 1,81
0,25 0,57 1,938 0,4525 x x 5,942 m 0,25
3,4 0,57 0,25 x 1,81
3) Calcula 3) Calcula la anchura del río.
Solución:
x 7
37 4
x
37 7 4
x 64,75
1,938 0,25x 0,4525
Tema 9: Semejanza. Escala. Teorema de Thales. Semejanza de triángulos. Teoremas de la altura y del cateto.
4) Para 4) Para calcular la distancia desde la playa a un barco se han tomado las medidas de la figura. Calcula la distancia al barco.
Solución:
x
140
70 7
x
70 140 7
x 1400 m
5) Un 5) Un observador, cuya altura desde sus ojos al suelo es 1,65 m, ve reflejada en un espejo la parte más alta de un edificio. El espejo se encuentra a 2,06 m de sus pies y a 5 m del edificio. Halla la altura del edificio.
Solución:
x
1,65
5 2,06
x
5 1,65 2,06
x 4 m
6) Un 6) Un muro proyecta una sombra de 2,51 m al mismo tiempo que una vara de 1,10 m proyecta una sombra de 0,92 m. Calcula la altura del muro.
Solución:
x 1,10
2,51 0,92
x
2,51 1,10 0,92
x 3 m
Tema 9: Semejanza. Escala. Teorema de Thales. Semejanza de triángulos. Teoremas de la altura y del cateto.
7) Las 7) Las cigüeñas han anidado en lo alto del campanario. ¿A qué altura está el nido?
Solución:
2
x
1,4
1,2
x
2 1,2 1,4
x 1,71 m
8) La 8) La estatura del niño de la ilustración es de 1,5 metros, y la altura de la farola es de 6 metros. Calcula el valor de x.
Solución: x
3 4,5
x
x 2
1,5 6
6 x x 2 1,5
6 x 1,5x 3
6 x 1,5x 3
4,5 x 3
x 0,67 m
9) Un 9) Un niño que mide 1,65 m proyecta una sombra de 1,20 m, ¿cuál será en ese instante la sombra de un edificio de 8 m? Solución:
1,65
x
1,20 8
x
8 1,65 1,20
x 11 m
Tema 9: Semejanza. Escala. Teorema de Thales. Semejanza de triángulos. Teoremas de la altura y del cateto.
7. TEOREMAS DE LA ALTURA Y DEL CATETO 7.1. Teorema de la altura 7.1.1. Definición
En un triángulo rectángulo, en el que se toma la hipotenusa como base, el cuadrado de la altura es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa: h 2 m n
proyec proyecci ción ón de un cateto
altura
altura
proyec proyecci ción ón del del otro cateto m
h
h n
h2
mn
Ejemplo: Calcula la altura y los catetos del siguiente triángulo, tr iángulo, así como el perímetro y el área.
Teorema de la altura: h 2
3 12 ; h 36 ; h 6 cm
Teorema de Pitágoras: b2
h2
m
c2
h2
n
2
2
; b 6 2 122 ; b 36 144 ; b 180 ; b 13,42 cm
; c 6 2 32 ; c 36 9 ; c 45 ; c 6,71 cm
Perímetro del triángulo: P a b c ; P 15 13,42 6,71 ; P 35,13 cm Área del triángulo: A
ah 2
; A
15 6 2
; A 30 cm2
Tema 9: Semejanza. Escala. Teorema de Thales. Semejanza de triángulos. Teoremas de la altura y del cateto.
7.1.2. Ejercicios
1) Calcula 1) Calcula la altura y los catetos de estos triángulos: tr iángulos: a)
b)
2) Un 2) Un poste de 5 m de altura está sujeto al suelo mediante dos cables, como se muestra en la figura. Determina cuánto miden los cables.
7.2. Teorema del cateto 7.2.1. Definición
En un triángulo rectángulo, en el que se toma la hipotenusa como base, el cuadrado de cada cateto es igual al producto de su proyección y la hipotenusa: b 2 m a , c 2 n a
hipotenusa
cateto a c
c n
c
2
cateto proyec proyecci ción ón del del cateto
na
a b
b m
2
b
ma
Tema 9: Semejanza. Escala. Teorema de Thales. Semejanza de triángulos. Teoremas de la altura y del cateto.
Ejemplo: Calcula las proyecciones de los catetos, la hipotenusa y la altura del siguiente triángulo, así como el perímetro y el área.
Teorema de Pitágoras: a 2
2
b c
2
; a 32 4 2 ; a 9 16 ; a 25 ; a 5 cm
Teorema del cateto: c
2
n a ; n
c
2
a
; n
3
2
5
9
; n ; n 1,8 cm 5
Como a m n ; m a n ; m 5 1,8 ; m 3,2 cm Teorema de la altura: h 2 1,8 3,2 ; h 5,76 ; h 2,4 cm Perímetro del triángulo: P a b c ; P 5 4 3 ; P 12 cm Área del triángulo: A
ah 2
; A
5 2,4 2
; A 6 cm2
7.2.2. Ejercicios
1) Calcula 1) Calcula los catetos, la hipotenusa y la altura de estos e stos triángulos: a)
b)
2) Halla 2) Halla el perímetro y el área del triángulo de la figura:
Tema 9: Semejanza. Escala. Teorema de Thales. Semejanza de triángulos. Teoremas de la altura y del cateto.
7.3. Ejercicios 1) Utiliza 1) Utiliza el teorema de la altura y el del cateto para calcular los valores que faltan en estos triángulos rectángulos: a)
c)
b)
d)
2) En 2) En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 22 cm y 15 cm, respectivamente. ¿Cuánto mide la proyección de la altura trazada sobre dicha hipotenusa? ¿Cuál será la longitud de cada cateto?
3) Una 3) Una antena está sujeta al suelo con dos tirantes que forman ángulo recto, como en la figura. Si la distancia de la base de la antena a los puntos de sujeción de los tirantes es de 6 m y 4 m, respectivamente, ¿cuál es la altura de la antena?
Tema 9: Semejanza. Escala. Teorema de Thales. Semejanza de triángulos. Teoremas de la altura y del cateto.
4) La 4) La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 8 cm y uno de los catetos, 6,4 cm. Calcula: a) La proyección del cateto sobre la hipotenusa. b) La proyección del otro cateto sobre la hipotenusa. c) La altura del triángulo sobre la hipotenusa. d) El otro cateto. 5) Los 5) Los catetos de un triángulo rectángulo miden 7,5 cm y 10 cm, respectivamente. Calcula: a) Las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa. b) La altura sobre la hipotenusa. 6) Uno 6) Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 10 cm y su proyección sobre la hipotenusa, 4 cm. Halla la hipotenusa, la proyección del otro cateto sobre la hipotenusa y el otro cateto. 7) Calcula 7) Calcula el valor de x e y, sabiendo que q ue las medidas están dadas dad as en centímetros: 8) La 8) La altura sobre la hipotenusa y uno de los catetos de un triángulo rectángulo miden 12 cm y 20 cm, respectivamente. Calcula la hipotenusa. a)
c)
b)
d)
