TEOREMA DE MAXWELL BETTI.docx

TEOREMA DE MAXWELL BETTI El teorema de Maxwell-Betti, o de forma más completa, teorema de reciprocidad de Maxwell-Betti de resistencia de materiales se debe al matemático italiano Enrico Betti, quien en 1872 generalizó el teorema de Maxwell, publicado a su vez en 1864. Este teorema pertenece a una serie de Teoremas energéticos como anteriormente se ha explicado. En la figura siguiente se presenta una misma estructura sometida a dos sistemas de cargas diferentes. En las deformadas correspondientes se ha señalado las componentes de deflexión paralelas a la dirección de las fu erzas en el otro sistema y para facilitar la rotación de les ha signado una barra a los términos del sistema II. Las componentes de deflexión causada por un sistema, paralela a las cargas del otro sistema, se dice que son componentes correspondientes de deflexiones, se puede simplificar la nomenclatura utilizada antes en el Teorema de Maxwell. Para el sistema I aplicáremos un determinado sistema de cargas:

Por consiguiente, las componentes de deflexión que resultan al aplicar el Sistema I de cargas son:

En donde de nuevo las primeras indican giros producidos por fuerzas o deflexiones debidas a momentos.

Los componentes de deflexión causados por el Sistema II son:

 Aplicando ahora arbitrariamente las componentes correspondientes de deflexión del sistema II, como desplazamientos virtuales del Sistema I, resulta un trabajo. Tenemos entonces:

Reemplazando:

Haciendo ahora lo contrario, es decir, utilizando las componentes de deflexión del Sistema I como desplazamientos virtuales del Sistema II, el trabajo virtual efectuado es:

Si se aplica ahora el Teorema de Maxwell de las deflexiones reciprocas a los términos que tienen igual número en las ecuaciones ya despejadas tanto del Sistema I como el Sistema II, se observa que dichas ecuaciones resultan iguales, pudiéndose, en consecuencia, enunciar el principio de Maxwell y Betti como sigue:

Dada cualquier estructura estable con una relación lineal carga  – deformación, en la cual se han escogido puntos arbitrarios en donde se considera aplicadas fuerzas o momentos en cualesquiera de dos sistema de carga diferentes, el trabajo virtual hecho por las fuerzas y momentos del primer sistema , al recorrer las deflexiones correspondientes causadas por el segundo sistema, es igual al trabajo virtual hecho

por las fuerzas y momentos del segundo sistema al recorrer las deflexiones correspondientes causantes por el primer sistema. Bibliografía   https://es.scribd.com/document/72371402/Betty-y-Maxwel

