UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA Centro de Tecnologías de Información
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Analisis de Redes usando Procesos de Markov
Los sistemas de transmisión pueden ser muy frecuentemente modelados según un esquema como el de la siguiente figura:
Este esquema aparece de forma natural al estudiar las redes de transmisión. Muestra una fuente de datos, una cola de espera o almacenamiento temporal a la espera de que las unidades que en ella se acumulen sean atendidas por un servidor.
De este modelo tenemos los siguientes aspectos fundamentales λ Tasa de llegada de informacion
u Tasa de servicio Siendo las medias de las estadisticas de estos flujos, pero no aportan sobre la forma como se generan estos datos, rafaga, uniforme, etc.
• Un conjunto de servidores podria ser un ejemplo que ilustre este modelo donde las tasas λ y u corresponden a velocidad en que se solicita el servicio, y la salida de la informacion o del servicio que se entregue ya procesado
• En un sistema como el de este ejemplo, debe considerarse que todas las unidades de datos tienen las mismas características y requieren el mismo esfuerzo desde el punto de vista de su generación y servicio. En ciertos casos, ello puede implicar que sean de tamaño fijo.
• Supóngase una tasa de llegadas de información al sistema de = 5 paquetes/seg. • Para u<λ, el sistema sirve las unidades en cola a un ritmo inferior al que llegan a ella. • Por lo tanto, no es capaz de servir ser vir las unidades que se reciben a razón de 5 por segundo en media, por lo cual el tamaño de la cola en cada instante dependerá de la estadística de las llegadas y en régimen permanente tenderá hacia infinito.
• Para u>λ , el sistema es capaz de servir más de 5 paquetes por segundo, por lo cual la cola tendrá un tamaño finito. Ahora bien, el tamaño en general no será nulo, puesto que aunque las llegadas tengan una media , podrían producirse en ráfagas.
• El último caso a considerar es la situación límite = . En este caso, el sistema se encuentra al límite de estabilidad. • En resumen,
• De este razonamiento aparentemente se deriva la necesidad de evitar sistemas cuyas colas de espera queden muy ocupadas, para lo cual emplear valores de u suficientemente mayores a λ. Aunque no es incorrecto, no siempre es oportuno considerar este criterio. • Una condición muy empleada en el diseño de sistemas, en general razonable, es la previsión prev isión de una cierta congestión de modo que se puedan rentabilizar económicamente los recursos invertidos.
• Es evidente que el diseño de sistemas con servidores exageradamente dimensionados favorece la calidad de servicio entregada al cliente, aunque perjudica la amortización de equipos. • Un dimensionado adecuado debe efectuarse ajustando el diseño a niveles de congestión moderados donde se garanticen unas cotas mínimas de calidad (retardo y pérdidas de paquetes).
• De estos conceptos, se define el parámetro utilización o intensidad de tráfico en el enlace como la relación entre la tasa de llegadas y la de servicio. Esto es, •
ρ=λ /u
de donde
• Consideraciones para el analisis a)Cómo es la estadística de las llegadas de unidades al sistema. b) Cómo es la estadística del servicio de unidades de la cola. c) Cuántos servidores trabajan en paralelo (es decir, cuantas unidades pertenecientes a la misma cola de espera pueden servirse simultáneamente) d) Cuántos clientes generan unidades hacia la l a cola. e) De que manera operan las colas, col as, desde el punto de vista de almacenar unidades y entregarlas a los servidores para que sean atendidas.
Cadenas de Markov • Considérese un sistema con diversos estados. Denominemos Ei al estado i . Por ejemplo, el estado Ei puede simbolizar el estado asociado a que i usuarios estén en un instante dado efectuando una llamada telefónica. • Si hubiera n circuitos en total para cursar las llamadas, habría que definir desde un estado E0 hasta un estado En .
• En esta situación, se denota la probabilidad de estar en el estado Em en el instante ti como Pr[Em(t=ti)] , • que de forma abreviada puede escribirse como Pm(ti).
• Se define el Vector de Estado del sistema como:
• Se puede demostrar que:
caso que la evoluc evolucion ion dependa dependa • En el caso solamente del estado presente, se denomina Cadena de Markov, o proceso sin memoria: • En(t=ti), se puede escribir que:
• Según las posibles transiciones entre los estados, queda definida la cadena de Markov, tal como se muestra a continuacion. Nótese que no es necesario que las flechas alcancen todos los posibles estados. • Cada flecha va asociada a una probabilidad de transición entre estados que debe ser definida.
Sistemas de tiempo Continuo y Sistemas de tiempo Discreto • La clasificación de los sistemas según si consideran transiciones de estado en instantes de tiempo determinados o indefinidos conduce a definir los sistemas como de tiempo discreto o continuo respectivamente. • Las señales de reloj de los sistemas digitales son un ejemplo de sistema discreto. La llegada del público a la entrada de un cine es un ejemplo de sistema continuo, puesto que se efectúan sin ningún instante de tiempo predeterminado.
Cadenas de Markov de tiempo continuo • En este caso, la notación que anteriormente habíamos expresado en general como Pr[Em(t=ti+1)] ahora se puede expresar simplemente como Pr[Em(t)] , o más abreviadamente Pm(t). • En este caso, que sea una cadena de Markov conduce a que la notación sea • Pr[En( Pr[En(t) t) | Em(u) Em(u),, Ep(v Ep(v), ), Eq(w Eq(w),… ),…]] = Pr[E Pr[En(t n(t)) | Em(u Em(u)], )], donde t>u>v>w>... (3.26) • que abreviadamente expresaremos como • Pr[En(t) | Em(u)] = Pmn(u,t) • Estado
• Dado que la probabilidad de estar en el estado n en el instante t puede descomponerse según todos los • caminos procedentes de cada uno de los estados hasta n , podemos escribir que:
todos los valores Pmn(u,t) en • Disponiendo todos forma matricial se define P(u,t). • Con esta nueva notación, puede expresarse que
Modelos de colas • La forma más usual de denotar de forma abreviada el tipo de cola empleado es mediante la notación de Kendall, que sigue el siguiente formato:
A/B/X/Y/Z • Estas variables caracterizan las colas de espera por los siguientes elementos: • .
• Tipo o distribución de las llegadas de las unidades. Se denota mediante A. Hace referencia alparámetro . Ejemplo son las llegadas a tasa constante • Tipo o estadística del servicio ofrecido. Se denota mediante B . Hace referencia al parámetro • Número de servidores dispuestos en paralelo que atienden a la misma cola. Este valor corresponde a X de acuerdo a la notación anterior. • Tamaño de la cola Y (o lo que es equivalente, número de unidades en el sistema. En este caso, el tamaño de la cola es el número de unidades en el sistema menos el número de servidores). • En caso de omitirse este parámetro, se asume que el tamaño es infinito..
La cola M/M/1 Modelo de cola • Considérese una tasa de llegadas y una tasa de servicio . Cada estado representa el número número de unidades en la cola de espera. • Dado que las llegadas se se producen producen a tasa , independientemente del número de unidades en el sistema ésa será la tasa de nacimientos, y así se pone de manifiesto en la cadena representada en la figura
Representacion de una cola M/M/I
•
Probabilidades de estado
• considerando que λi= λ, y ui=u se tiene que
• Para el cálculo de P0 se ha tenido en cuenta que λ /u <1, es decir, que la tasa de llegadas es menor a la tasa de servicio.
• Definiendo la utilizacion caracterizaremos el sistema:
• Las cuales son las probabilidades del estado
Número medio de unidades en el sistema • Este valor puede obtenerse mediante simple cálculo estadístico, teniendo en cuenta que cada estado refleja el número de unidades en el sistema. Esto es, en el estado 0 hay cero unidades, en el estado 1 hay una unidad, etc. •
Tiempo medio de permanencia de una unidad en el sistema • Para el cálculo del tiempo de permanencia, basta con usar la expresión de Little:
• Nótese que este resultado contiene tanto el tiempo de espera en cola como el tiempo de servicio:
• Por tanto, el tiempo medio de espera en la cola será:
• Y aplicando el numero de unidades de cola es:
