Panas Jenis Kristal
Disusun untuk memenuhi tugas makalah mata kuliah pengantar fisika zat padat
Disusun Oleh:
Satria Auffa Dhiya „Ulhaque 140310110012
Nyai Mona 140310110007
PROGRAM STUDI FISIKA JURUSAN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS PADJADJARAN 2014
Pada struktur kristal di dua bab sebelumnya kita dapat asumsikan bahwa atom diam pada kisinya. Namun sebenarnya atom tidak benar-benar dalam keadaan diam tetapi berputar pada titik keseimbangannya sehingga menghasilkan energi thermal. Sekarang kita akan diskusikan secara detail dinamika kisi dan pengaruhnya pada panas, akustik akustik dan alat optic pada kristal.
Pada bab ini pertama kita akan mempertimbangkan dinamika kristal pada batas panjang gelombang elastic, dimana kristal dapat diperlakukan pada medium tak hingga dan kita akan membandingkan macam-macam model yang digunakan untuk menjelaskan spesifikasi panas. Pernyataan ini ditemukan dengan eksperimen yang hanya bisa disampaikan dengan konsep kuantum. Kemudian di bab ini kita akan diperkenalkan dengan phonon, kuantum unit dari gelombang bunyi. Disertai dengan dinamika kisi, kisi terpisah dan konduksi konduksi panas dari kisi.
Contoh dari gelombang kisi yaitu penyebaran radiasi (seperti sinar x). Disertai dengan aspek penting pada gelombang kisi di dalam microwave, dan pada akhirnya kita akan mendiskusikan pantulan dan penyerapan sinar infrared dengan dinamika kisi pada kristal ion.
Getaran atom dapat pula disebabkan oleh gelombang yang merambat pada kristal. Ditinjau dari panjang gelombang yang digunakan dan dibandingkan dengan jarak antar atom dalam kristal, dapat dibedakan pendekatan gelombang pendek dan pendekatan gelombang panjang. Disebut pendekatan gelombang pendek apabila gelombang yang digunakan memiliki panjang gelombang yang lebih kecil dari pada jarak antar atom. Dalam keadaan ini, gelombang akan “melihat” kristal sebagai tersusun oleh atom-atom atom-atom yang diskrit, sehingga pendekatan ini sering disebut pendekatan kisi diskrit. Sebaliknya, bila dipakai gelombang yang panjang gelombangnya lebih besar dari jarak antar atom, kisi akan “nampak” malar (kontinyu) sebagai suatu media perambatan gelombang. Oleh karena itu, pendekatan ini sering disebut sebagai pendekatan kisi malar.
Pada struktur kristal di dua bab sebelumnya kita dapat asumsikan bahwa atom diam pada kisinya. Namun sebenarnya atom tidak benar-benar dalam keadaan diam tetapi berputar pada titik keseimbangannya sehingga menghasilkan energi thermal. Sekarang kita akan diskusikan secara detail dinamika kisi dan pengaruhnya pada panas, akustik akustik dan alat optic pada kristal.
Pada bab ini pertama kita akan mempertimbangkan dinamika kristal pada batas panjang gelombang elastic, dimana kristal dapat diperlakukan pada medium tak hingga dan kita akan membandingkan macam-macam model yang digunakan untuk menjelaskan spesifikasi panas. Pernyataan ini ditemukan dengan eksperimen yang hanya bisa disampaikan dengan konsep kuantum. Kemudian di bab ini kita akan diperkenalkan dengan phonon, kuantum unit dari gelombang bunyi. Disertai dengan dinamika kisi, kisi terpisah dan konduksi konduksi panas dari kisi.
Contoh dari gelombang kisi yaitu penyebaran radiasi (seperti sinar x). Disertai dengan aspek penting pada gelombang kisi di dalam microwave, dan pada akhirnya kita akan mendiskusikan pantulan dan penyerapan sinar infrared dengan dinamika kisi pada kristal ion.
Getaran atom dapat pula disebabkan oleh gelombang yang merambat pada kristal. Ditinjau dari panjang gelombang yang digunakan dan dibandingkan dengan jarak antar atom dalam kristal, dapat dibedakan pendekatan gelombang pendek dan pendekatan gelombang panjang. Disebut pendekatan gelombang pendek apabila gelombang yang digunakan memiliki panjang gelombang yang lebih kecil dari pada jarak antar atom. Dalam keadaan ini, gelombang akan “melihat” kristal sebagai tersusun oleh atom-atom atom-atom yang diskrit, sehingga pendekatan ini sering disebut pendekatan kisi diskrit. Sebaliknya, bila dipakai gelombang yang panjang gelombangnya lebih besar dari jarak antar atom, kisi akan “nampak” malar (kontinyu) sebagai suatu media perambatan gelombang. Oleh karena itu, pendekatan ini sering disebut sebagai pendekatan kisi malar.
A. Kapasitansi Panas Fonon Kapasitas panas yang biasa kita kenal kapasitas panas pada volume konstan, yang lebih mendasar dari kapasitas panas pada tekanan konstan, yang dimaksudkan pada eksperimen. Kapasitas panas pada volum konstan didefinisikan
dimana U adalah energi dan T adalah temperatur.
Kontribusi dari fonon terhadap kapasitas panas pada kristal disebut kapasitas panas kisi dan dilambangkan
.
Energi total dari fonon pada temperature τ(
T) dalam kristal mungkin ditulis
sebagai penjumlahan dari semua mode energi fonon , disini di kumpulkan dengan vektor gelombang K dan indeks polarisasi p.
∑ ∑ ∑ ∑〈〉 Dimana
〈〉
adalah daerah keseimbangan termal dari panjang vektor fonon K
〈〉 〈〉
dan polarisasi P. bentuk
Dimana
〈 〉
di turunkan dari fungsi distribiusi plank :
menyatakan rata – rata – rata rata titik keseimbangan termal . grafik A dari
〈〉
dijelaskan oleh gambar diatas. Plot dari fungsi distribusi plank . pada temperatur tinggi keadaannya mendekati linear pada temperatur . fungsi
〈 〉
+ ½ , dimana
tidak di plot . menerima tanda garis sebagai asimtot pada temperatur tinggi . tanda garis adalah batas dalam tinjauan klasik.
Distribusi Plack Mengacu pada osilator harmonik identik pada titik keseimbangan termal. Perbandingan dari bilangan osilasi pada urutan keadaan kuantum eksitasi ke (n + 1) ke bilangan osilasi pada urutan keadaan kuantum ke n adalah
⁄ ⁄
Dengan menggunakan faktor boltzman. Sehingga solusi dari bilangan osilator total pada keadaan kuantum ke n adalah
∑ ∑
Kita tahu bahwa rata-rata bilangan kuantum eksitasi dari sebuah osilator adalah
∑ 〈〉 ∑
Jumlah dipersamaan (5) adalah
Dengan
⁄
distribusi planck :
kita bisa menuliskan kembali persamaan (5) sebagai
〈〉
Daftar Mode Normal Energi dari pengumpulan osilator yang berfrekuensi
pada kesetimbangan
termal didapatkan dari persamaan (1) dan (2) :
Biasanya untuk menulis penjumlahan dari K bisa digunakan integral .jika kristal dalam bentuk
mengakibatkan polarisasi pdalam rentang frekuensi
sampai + d , energinya adalah
Kapasitas panas bisa dicari dengan mendeferensiakan terhadap temperatur. Dengan memasukan
X = /τ = ɷ/
: dengan
dinyatakan :
ɷ
Masalah utamanya adalah menemukan D( ) , bilangan mode tiap jangkauan frekuensi. Funsi ini disebut kerapatan dari r kurang lebih jarang
Gambar 2. Garis elastis of N + 1 atom, dengan N = 10 , untuk kondisi ikatan . bahwa atom terakhir s = 0 dan s = 10 tidak berubah. Partikel yang bergeser di keadaan normal dari longitudinal atau tranversal pergeseran berbentuk
ᾱ sin
sKa. Bentuk ini secara otomatis memberikan nilai nol pada saat s = 0dan kita dapat memilih K untuk tiap pergeseran di akhir s = 10.
Gambar 3. Kondisi di ikatan sin sKa = 0 untuk s = 10 tidak terpenuhi jika memasukan K = π/10a , 2π/10a,… 9π/10a , dimana 10a adalah panjang garis L. mengacu gambar di ruang K. titik bukanlah atom melainkan hasil yang memenuhi K. dari N+1 partikel digaris , hanya N-1 yang diperbolehkan bergerak , dan pergerakan totalnya dapat dinyatakan dalam suku N-1 yang memenuhi nilai K . kuantisasi dari K tidak dapat dicari dengan mekanika kuantum tetapi dari pendekatan klasik kondisi ikatan dapat diselesaikan. Kerapatan dari keadaan. Cara paling mudah untuk menentukan rapat keadaan adalah menentukan penyebaran
terhadap K pada arah kristal yang dipilih
dengan caara penyebaran neutron yang tidak elastik lalu membuat analisa teorinya untuk meberikan penyebaran hubungan pada arah yang general dari D( ) kemungkinan bisa didapatkan.
Rapat Keadaan dalam Satu Dimensi Mempertimbangkan masalah nilai batas untuk getaran dari garis satu dimensi dengan panjang L membawa N+1 partikel dengan pemisahan a. Kita menganggap bahwa partikel s = 0 dan s = N di akhir baris tetap. Setiap mode getaran normal dari polarisasi p memiliki bentuk gelombang berdiri. Dimana
adalah
perpindahan oleh partikel s
()
Dimana
memiliki hubungan dengan K mendekati dispersi relasi.
Dari gambar 3 vektor gelombang K dibatasi oleh beberapa kondisi
⁄
Solusi dari
Solusi untuk
memiliki
⁄ ⁄ ⁄ ⁄ memiliki
memungkinkan tidak ada gerak atom, karena
. Ini
hilang pada setiap atom,
sehingga ada N-1 nilai bebas memungkinkan K pada persamaan 12. Jumlah ini sama dengan jumlah partikel diperbolehkan untuk bergerak. Setiap nilai memungkinkan K berhubungan dengan gelombang berdiri. Untuk satu baris dimensi ada satu modus untuk masing-masing interval, sehingga beberapa mode per rentang unit K adalah
⁄
untuk
⁄
dan 0 untuk
⁄
.
Ada tiga polarisasi p untuk setiap nilai K: pada satu dimensi, dua diantaranya melintang dan satu yang lainnya membujur. Dalam tiga dimensi, polarisasi yang sederhana ini hanya untuk vector gelombang arah Kristal tertentu. Perangkat lain untuk mode operasi perhitungan yang sering digunakan yaitu sama-sama valid. Kita menganggap medium yang tak terbatas, tetapi memerlukan solusi periodik yang akan l;ebih besar dari nilai L, sehingga
Metode perhitungan diberikan dalam jumlah mode yang sama yaitu (per sa tu atom di berikan dari persamaan (12), tetapi yang kita miliki sekarang nilai keduanya plus dan minus K, dengan
⁄
interval antara nilai-nilai berturut-turut k.
Untuk kondisi batas periodic nomor mode per kisaran unit k adalah
⁄ ⁄ dalam gambar 6.
⁄
untuk
dan 0 sebaliknya. Situasi dalam kisi dua dimensi digambarkan
⁄ ⁄
Kita perlu mengetahui Jumlah modus
adalah jumlah modus per kisaran satuan frekuensi.
pada
di dalam
diberikan pada satu dimensi dengan
Kita bisa memperoleh kecepatan group terhadap K. Terdapat keanehan di
dari hubungan dispersi
setiap kali hubungan dispersi
adalah
horizontal yaitu setiap kali kecepatan kelompok adalah nol.
Rapat Keadaan dalam Tiga Dimensi Kita menerapkan kondisi batas periodic di
sel primitive dalam sebuah kubus
dengan panjang sisi L sehingga dapat di tentukan oleh kondisi
[( )]{[ ]} Dimana
Karena itu ada sebuah nilai yang diperbolehkan K per volume
⁄
di dalam
ruang K, atau
Gambar 4 Mempertimbangkan N buah partikel dibatasi untuk meluncur pada cincin melingkar. Partikel dapat berosilasi jika dihubungkan dengan pegas elastic. Dalam
modus
normal
untuk
perpindahan atom s akan menjadi bentuk
atau
. Ini adalah mode
independen. Periodisasi geometris dari cincin tersebut memiliki syarat batas
bahwa
untuk semua s, sehingga NKa harus dikalikan intergral 2 .
Untuk N= 8 nilai K yang diperbolehkan adalah 0,
⁄ ⁄
⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ,
,
dan
. Nilai K= 0 tidak berlaku untuk bentuk sin karena sin s0a = 0. Nilai
memiliki arti dalam bentuk cosinus karena sin
.
Tiga nilai lain dari K diperbolehkan untuk bentuk keduanya yaitu sin dan cos, memberikan total delapan mode yang memungkinkan untuk 8 partikel sehingga kondisi batas periodic mengarah ke salah satu modus yang diperbolehkan per partikel, persis seperti kondisi batas tetap akhir pada gambar 3. Jika kita
⁄ ⁄ ⁄
mengambil bentuk kompleks dari mengarah pada 8 mode yaitu
⁄
, kondisi batas periodic akan ,
, seperti pada persamaan 14.
Gambar 5 Nilai yang memungkinkan untuk gelombang vektor K pada kondisi batas periodic di terapkan pada kisi linear periodisasi N= 8 atom dengan panjang
⁄
L. K= 0 adalah solusi untuk bentuk mode yang seragam. Point special
⁄ ⁄ ⁄ hanya mewakili satu persamaan karena
identik dengan
.sehingga dipebolehkan 8 mode dengan perpindahan s atom sebanding dengan 1, ,
,
,
.
Gambar 6 Nilai yang diperbolehkan dalam ruang Forier dari gelombang fonon vektor K untuk kisi-kisi persegi adalah konstan, dengan kondisi batas periodic diterapkan selama persegi memiliki sisi L= 10a. Modus seragam di tandai dengan cross. Ada satu nilai yang di perbolehkan untuk K per luas
⁄ ⁄
sehingga dalam luas lingkaran
⁄
jumlah titik yang di izinkan adalah
.
Memungkinkan nilai K per satuan volume ruang K. untuk polarisasi masingmasing dan untuk setiap cabang. Volume specimen adalah
. Jumlah mode
dengan vector gelombang kurang dari K ditemukan dari persamaan (18) menjadi
kalinya volume sebuah bola yang berjari-jari K. sehingga
⁄⁄
untuk setiap jenis polarisasi. Rapat keadaan untuk setiap polarisasi adalah
⁄ ⁄⁄
Rapat Keadaan Model Debye Dalam pendekatan Debye kecepatan bunyi diambil sebagai konstanta untuk masing-masing tipe polarisasi, sebagaimana itu mungkin untuk kontinum elastik klasik. Hubungan dispersinya dapat ditulis seperti
dengan ʋ adalah konstanta kecepatan bunyi. Kerapatan keadaan (20) menjadi
Jika terdapat N sel primitif dalam contoh, total nomor ragam phonon akustiknya
adalah N. Sebuah frekuensi pancung
ditentukan oleh (19) seperti
Untuk frekuensi ini terdapat koresponden sebuah arus listrik gelombang vektor dalam K ruang:
Dalam ragam Debye kita tidak diperbolehkan ragam vektor gelombangnya lebih besar dari K D. Nomor ragam dengan kebebasan dari kisi monoatomik. Energi termalnya (9) diberikan oleh
membuang nomor derajat
()
Untuk masing-masing tipe polarisasi. Untuk singkatnya kita mengasumsikan bahwa kecepatan phonon adalah kebebasan polarisasi, sehingga kita mengalikan dengan faktor 3 untuk memperoleh
Dimana
Ketentuan Debye pada suhu
and
dalam kondisi
ditentukan oleh (23). Kita dapat
mengungkapkan seperti
Sehingga total energi phononnya adalah
Dimana N adalah nomor atom dalam sampel dan
.
Kapasitas panas ditemukan paling sering dengan mudah dengan membedakan pertengahan persamaan (26) dengan ketidakpastian suhu. Kemudian
Kapasitas panas Debye digambarkan pada gambar 7. Pada panasnya mendekati nilai klasik
kapasitas
. Pengukuran nilai silikon dan germanium
digambarkan pada gambar 8. 3
Hukum T Debye Pada suhu sangat rendah kita dapat mendekati (29) dengan membiarkan limit teratas sampai tidak terbatas. Kita mempunyai
∫ ∫ ∑ ∑ Dimana jumlah melebihi untuk
ditemukan dalam tabel standar. Jadi
, dan
Yang mana adalah pendekatan Debye T 3. Hasil penelitian untuk Argon digambarkan pada gambar 9. Pada suhu yang cukup rendah pendekatan T 3 cukup baik: bahwa ketika hanya panjang gelombang ragam akustik dimunculkan secara termal. Hanya ada ragam yang mungkin dihilangkan seperti kontinum elastik dengan konstanta elastik makroskopik. Energi ragam panjang gelombang pendek (untuk yang pendekatan pasti ini) adalah terlalu tinggi bagi mereka untuk dipopulasikan secara penting pada suhu rendah. Kita mengetahui T3 dihasilkan oleh uraian sederhana (gambar 10). Hanya ragam kisi memiliki ω < k BT akan dikeluarkan menjadi beberapa sampai bernilai pada suhu rendah T. Eksitasi dari ragam ini akan menggunakan pendekatan klasik, masing-masing dengan sebuah energi sampai k BT, berdasarkan gambar 1. Dengan diikuti volum dalam ruang K, pecahannya ditempati oleh ragam eksitasi yaitu dari (ωT/ωD)3 atau (K T/K D)3 , dimana K T adalah vektor gelombang termal seperti ʋK T = k BT dan K D adalah vektor gelombang arus listrik Debye. Jadi pecahan ditempati (T/ θ)3 dari total volum dalam ruang K. Terdapat 3N(T/θ) 3 ragam eksitasi, masing-masing memiliki energi k BT. Energinya ~3N k BT (T/θ)3 dan kapasitas panasnya adalah ~12N k B (T/θ)3. Untuk kristal sesungguhnya suhu pada pendekatan T 3 cukup rendah. Itu dapat diperlukan dibawah T = θ/50 untuk mendapatkan kemurnian si fat T 3. Pemilihan nilai θ diberikan pada tabel 1. Catatan, sebagai contohnya dalam alkali logam bahwa atom yang le bih berat memiliki θ terendah, karena kecepatan suara menurun sebagai peningkatan rapat massa.
Rapat Keadaan Model Einstein
Dengan menganggap bahwa pergerakan sejumlah N yang memiliki frekuensi sama (0)dan dalam 1 dimensi. Kerapatan keadaan model Einsten adalah
, dimana fungsi deltanya berpusat pada
0.
Energi termal sistem
adalah
〈〉
gambar 9. Temperatur rendah kapasitas panas argon padatan terhadap Temperatur 3. Dalam grafik tersebut menggambarkan bahwa hasil eksperimen tersebut dapat dikatakan dengan Hukum Debye 3 dengan θ= 92 K
gambar 10. Untuk mendapatkan sebuah penjelasan dari hukum debye 3, kita dapat menganggap bahwa semua model ponon dari gelombang vektor yang kurang dari Kr memiliki energi termal klasik KbT dan jarak antara Kr dan debye tidak ada.
Dari 3N kemungkinan mode, memiliki sejumlah
karena ini adalah
perbandingan dari volume dalam bola dan volume luar bola. Energinya adalah
dan kapasitas panas adalah
gambar11. Bandingkan hasil dari percobaan kapasitas panas dari intan dengan hasil perhitungan temperatur
model kuantum awal Einsten, menggunakan karakteristik
⁄
. Untuk mengubahnya ke satuan J/mol 0,
dikalikan dengan 4,186 Jadi kapasitas panas dari pergerakan tersebut adalah
⁄ ⁄
yang digambar pada gambar 11. Ini menunjukan hasil dari einsten untuk konstribusi dari pergerakan N identik menjadi kapasitas panas zat padat. Jika dalam 3 dimensi, maka kita sebut dengan 3N. Batas ketinggian suhu C v menjadi 3N K b, dan disebut juga hasil dulog dan petit. Pada tempertur rendah, kapasitas panas berkurang sebanyak
⁄
yang
pada percobaan dari kontribusi ponon disebut juga T 3, pada mode Debay diatas. Model Einsten ini biasanya digunakan untuk menghitung bagian optik ponon dari spektrum ponon.
Hasil Umum Untuk
D
( )
Kita mau mencari persamaan umum untuk D( ). Jumlahnya bagian dari tiap unit bagian jarak frekuensi, diberikan dispersi relasi ponon ()K. Jumlah yang diijinkan dari K untuk setiap frekuensi ponon antara
+ d adalah
Dimana integral tersebut sampai dengan volume kulit K yang dibatasi oleh 2 frekuensi ponon yang besarnya konstan, 1 permukaan
dan 1 nya
+ d .
gambar12. Elemen dari daerah dS di ruang frekuensi yang konstan pada kulit K. Jadi volume antara 2 permukaan dari frekuensi yang tetap pada dengan dan
∫ ||
dan
+d sama
. Elemen dari volume antara permukaan frekuensi tetap w
+d pada penggambaran sebuah silinder dengan alas dS dan ketinggian
maka
dan besar
|| Sehingga
|| dimana
||
adalah besar dari kecepatan grup ponon. Sekarang kita
mempunyai
dan L3 adalah Volume kristal. Sehingga kerapatan D( ) adalah
gambar13. Besar
yang antara permukaan
dan +d
gambar14. kerapatan menurut fungsi frekuensi dari (a) Debye padatan dan (b) Struktur kristal
Persamaan sebelumnya tersebut dapat menghitung besar ruang K. Hasilnya akan sama dengan teori ikat elektron. Ini sangat membantu untuk menghitung D( ) dari suatu titik dimana kecepatan grup ponon adalah nol.
B. Interaksi Kristal Anharmonik Teori getaran Lattice hanya membahas Energi potensial pada bentuk kuadrat dalam interaksi perpindahan atom, diantara konsekuensinya adalah:
2 gelombang Lattice tidak berinteraksi
Tidak ada expansi thermal
Konstanta elastic adiabatic dan isothermal sama
Konstanta elastisitas nya adalah tekanan bebas dan temperature
Kapasitas panas menjadi konstan ketika berada pada temperature yang tinggi
Tidak ada dari pernyataan di atas yang tepat dalam menjelaskan Kristal. Penyimpangan yang terjadi disandarkan pada neglect of anharmonic. Demonstrasi effect anharmonic adalah percobaan interaksi dua phonon untuk memproduksi phonon ketiga pada frekuensi
ω3 = ω1 + ω2. Shiren mendeskripsikan sebuah
experiment antara sebuah beam of longitudinal phonon pada frekuensi 9.20 GHz yang berinteraksi dengan Kristal MgO dengan sebuah parallel beam of longitudinal phonons dengan nilai 9.18 GHz. Interaksi kedua beam ini memproduksi beam of longitudinal phonon ketiga dengan nilai 18.38 GHz. Proses tiga phonon ini disebabkan oleh bentuk ketiga energy potensial Lattice. Bentuk khas nya mungkin saja berupa
, dimana e adalah
komponen tegangan dan A merupakan konstanta. Gambaran mudah tentang wujud interaksi phonon yaitu: kehadiran sebuah phonon yang disebabkan sebuah periodic elastisitas tegangan yang memodulasi konstanta elastisitas Kristal dalam ruang dan waktu. Phonon kedua merasakan konstanta elastisitas dan menyebar untuk memproduksi phonon ketiga.
1. Ekspansi Termal Energi potensial atom dengan perpindahan x dari posisi kesetimbangannya dapat dipresentasikan:
Dengan c,g,dan f bernilai positif. Bentuk x3 dipresentasikan sebagai asimetri mutual repulsion atom dan bentuk x4 sebagai pelembut getaran dengan amplitude yang besar. Dengan merata – ratakan perpindahan menggunakan fungsi distribusi Boltzmann, akan memungkinkan kita untuk menemukan nilai x thermodinamika:
∫ ∫
menurut probabilitas
Dengan β =
. Untuk perpindahan demikian, bahwa bentuk anharmonik
dalam energy itu kecil dalam perbandingan dengan K bT . Mungkin kita dapat memperluasnya dengan integral berikut
∫ ∫ ⁄⁄⁄
⁄
Maka expansi thermalnya adalah
〈〉
C. Konduktivitas Termal Koefisien K konductivitas termal padat didefinisikan dengan hubungan aliran keadaan mantap dari panas sebuah batang panjang dengan gradient suhu dT/dx;
,
Dimana jv adalah flux energy thermal. Implikasi dari persamaan ini adalah proses transfer energy thermal secara acak. Dari teori kinetic gas kita mendapatkan sebuah pendekatan bentuk dari konduktivitas thermal:
Dimana C adalah kapasitas panas per satuan volume, v adalah rata-rata kecepatan partikel, dan l adalah “mean free path” tabrakan diantara partikel. Jika c adalah kapasitas panas sebuah partikel, kemudian bergerak dari temperature T + ΔT ke temperature T, sebuah partikel tersebut akan melepaskan energy c ΔT,
dengan
Dimana t adalah waktu rata – rata diantara tumbukan Energi net flux
untuk phonon dengan v konstan :
dengan l = vt dan C = nc. Maka K = Cvl
1. Resistivitas Termal untuk Gas Fonon Phonon yang berarti “free path l” itu secara prinsip, ditentukan dengan 2 proses, yaitu penghamburan geometri dan penghamburan oleh phonon lain. Jika gaya – gaya antar atom harmonic,maka tidak ada tumbukan mekanik diantara ponon – ponon dan “the mean free path” akan dibatasi oleh tumbukan sebuah ponon dengan ikatan Kristal dan lattice imperfections. Dengan interaksi anharmonik Lattice, pasangan antara 2 phonon yang berbeda yang memiliki harga mean free path yang terbatas. Keadaan exact system anharmonik tidak terlalu lama seperti phonon. Teori pasangan efek anharmonik thermal resistivity memprediksi bahwa l proposional dengan 1/T pada temperature tinggi. Untuk mendefinisikan sebuah konduktivitas thermal, harus ada mekanisme dalam Kristal dimana distribusi phonon memungkinkan mencapai titik kesetimbangan thermal. Tanpa mekanika kita mungkin tidak dapat berbicara ponon di “one end of crystal” di titik keseimbangan termal di sebuah temperature T2 dan berakhir di temperature T1. TIdak cukup hanya dengan membatasi the mean free path, tetapi harus ada pembangunan sebuah lokasi kesetimbangan thermal dari distribusi phonon. Tabrakan phonon dengan ikatan Kristal tidak akan membuat kesetimbangan thermal, karena tumbukan tidak merubah energy phonon secara individual. Ini dapat ditandai ulang dengan proses tabrakan 3 phonon.
Tidak akan menuju kesetimbangan,tapi untuk reaksi halus total momentum gas phonon tidak akan berubah oleh tumbukan.
Ket gambar 16.a : aliran molekul gas dalam dalam keadaan menuju kesetimbangan di dalam tabung panjang terbuka dengan dinding tanpa gesekan. Diantara proses tumbukan elastistas molekul gas tidak merubah momentum atau energy flux gas karena setiap tumbukan kecepatan pusat massa dan energy yang menumbuk partikel – partikel tidak berubah.
Ket gambar 16.b : definisi konduktivtas termal di dalm sebuah gas dapat disamakan dengan sebuah situasi dimana aliran tak bermassa diizinkan. Dengan sebuah pasangan – pasangan tumbukan gradient suhu dengan “above-average” kecepatan pusat massa akan mengarah ke kanan. Sedangkan untuk “below average” kecepatannya mengarah ke kiri. Sebuah kesetimbangan distribusi phonon pada temperature T bias menggerakkan Kristal dengan kecepatan yang tidak terdistribusi oleh persamaan di atas. Untuk setiap tabrakan phonon
Dikoservasikan. Karena tumbukan J berubah dengan K 1 – K 2 – K 3 = 0. Nk adalah banyaknya ponon yang memiliki gelombang vektor K.
Ket gambar 16.c: dalam sebuah Kristal kita mungkin dapat mengatur phonon – phonon memimpin di one end. Di sini akan menjadi sebuah net flux phonon mengarah right end Kristal. Jika hanya proses N terjadi, momentum tumbukan flux phonon tidak berubah.
Ket gambar 16.d: dalam proses U, sebuah net besar merubah momentum dalam setiap tumbukan. Inisial net flux phonon akan cepat sekali rusak. The ends akan beraksi sebagai sumber dan sinks. Perpindahan net energi di bawah sebuah gradient temperature terjadi. Untuk sebuah distribusi dengan J tidak sama dengan 0 , tumbukan seperti (45) “incapable” menuju kesetimbangan thermal sempurna karena J tidak berubah. Jika memulai phonon panas sebuah “rod” turun dengan J tdaksama dengan 0 distribusi akan “propagate” kebawah rod dengan J tidak berubah. Hal ini bukanlah merupakan resistansi thermal.
Proses Umpklapp Tiga phonon penting diproses menyebabkan resitivitas panas tidak dalam bentuk K1 + K2 = K3 dengan K yang konsevatif , tetapi dalam bentuk : K1+K2 = K3 + G
(47)
Dimana G adalah vektor reciprocal lattice . proses ini ditemukan oleh pierls , yang dikenal dengan umklapp proses. Kita bisa menyebutnya G untuk semua momentum konservatif dalam kristal. Kita ambil contoh dari proses interaksi gelombang dalam kristal yang total vektor gelombangnya berubah sampai mendekati nol .
Gambar 17 (a) normal K1 + K2 = K3 dan (b) umklapp K1+K2=K3+G proses tumbukan fonon pada kisi persegi dua dimesi . kisi persegi pada tiap gambar mengacu pada daerah blillouin di ruang fonon K , daerah ini memuat semua kemungkinan nilai tidak tetap dari vektor gelombang fonon. Vektor K dengan arah tepat di tengah daerah yang direpresentasikan menyerap fonon pada proses tumbukan. Seperti kita tau di (b) bahwa arah proses umklapp dari komponen – x fluks fonon cadangan. Vektor kisi balik G dinyatakan dengan panjang 2π/a ,
dimana a adalah konstanta kisi dari kisi kristal , dan sejajar dengan sumbu Kx. Untuk semua proses , N atau U , energi harus kembali , jadi ɷ1 + ɷ2 = ɷ3. Vektor. Proses serupa selalu mungkin dalam kisi priodik. Pendapat paling kuat untuk fonon : hanya berarti fonon palsu K pada daerah brillouin pertama , jadi tidak ada K yang dihasilkan pada tumbukan harus kembali ke daerah pertama dengan tambahan G . A tumbukkan dari dua fonon dengan hasil yang negatif dari Kx dapat dilakukan dengan proses umklapp (G tidak sama dengan 0) membuat ponon positif Kv . proses umklapp juga disebut U proses. Proses tumbukkan dengan G = 0 disebut normal proses atau N proses . pada temperatur tinggi T > θ semua fonon sedang tereksitasi karena
,
T >
semua tumbukan lenting sempurna akan mengalami proses U dengan bantuan momentum tinggi yang terjadi dalam tumbukan. Dalam keadaan ini kita dapat memperkirakan resistivitas termal tanpa perbedaan secara tinjauan partikel antara proses N dan U , dengan anggapan awal tentang efect non linear kita dapat memperkirakannya untuk mendapatkan hambatan termal kisi sebanding dengan T pada temperatur tinggi. Energi dari fonon K1 , K2 cocok untuk terjadinya umklapp jika saat ½
θ ,
karena baik fonon 1 ataupun 2 harus mempunyai gelombang vektor kisaran 1/2G sehingga tumbukkan (47) bisa mungkin terjadi. Jika kedua fonon mempunyai K rendah , sehingga energinyapun rendah , tidak mungkin tumbukan antara mereka gelombang vektornya keluar dari daerah pertama. Proses umklapp yang energinya konservatif
, hanya cukup untuk proses normal. Pada temperature rendah
bilangan fonon yang memenuhi dari energi tinggi 1/2
θ memerlukan harga
expetasi extrem sebagai exp(-θ/2T) , menurut faktor boltzman. bentuk eksponensial cocok dengan hasil eksperimen. Kesimpulannya , fonon bebas pada saat memasuki (42) itu adalah saat bebas untuk tumbukkan umklapp diantara fonon dan tidak untuk semua fonon
Gambar 18 : konduktivitas termal pada bahan kristal murni dari sodium flurida . setelah H. E jackton , C walker , dan T . F M cNelly.
Ketidaksempurnaan Efek geometri sangat penting untuk free path. Kita menganggap bahwa bagian kecil dari kristal dibatasi oleh massa isotopic terdapat dalam elemen kimia alami, kima pemurnian, ketidaksempurnaan pola-pola geometris dari molekul-molekul, dan struktur benda tak berbentuk. Pada temperatur rendah, rata-rata dari free path l menjadi sebanding dengan lebar spesimen uji, sehingga nilai dari l tersebut dibatasi oleh lebar spesimen uji, dan konduktivitas termalnya menjadi fungsi dari dimensi spesimen. Efek ini ditemukan oleh De Haaz dan Biermasz. Penurunan yang tajam pada konduktivitas termal dari kristal pada temperatur rendah dikarenakan oleh efek ukuran. Di temperatur rendah, proses umklapp menjadi tidak efektif dalam membatasi konduktifitas termal, dan efek ukurannya menjadi dominan seperti yang ditunjukkan pada gambar18. Dapat kita perkirakan free path ponon akan menjadi konstan, dengan diameter D spesimen, dapat kita lihat
C merupakan konduktivitas panas dimana T nya harus temperatur rendah. Efek ukuran akan mempengaruhi jika rata-rata free path dari ponon menjadi sebanding dengan diameter dari spesimen.
