TIEMPO DE VACIADO
Considerando un tanque lleno de agua hasta una altura “h” y que el agua fluye a través de un orificio de sección transversal “a”, el cual está ubicado en la base del tanque. Se busca calcular el tiempo que demora el tanque en vaciarse completamente. Sea ht! la altura de l"quido en el tanque en cualquier instante t y #t! el volumen de agua del tanque en ese instante. $a velocidad v del agua que sale a través del orificio es% v =√ 2 × g × h ( ec .1)
donde g es la gravedad. $a ec.&! representa la velocidad que una gota de agua adquirir"a al caer libremente desde la superficie del agua hasta el agu'ero. (n condiciones reales, hay que tomar en cuenta la contracción que sufre un chorro de agua en un orificio, por lo que se tendrá% v =c × √ 2 × g × h ( ec . 2 )
donde “c” es el coeficiente de descarga comprendido entre ) y & ) * c * &!. +S(-# +S(-#C/01% Cuando el valor del coeficiente de descarga c no se indica, se asume que c2&
Seg3n la $ey de 4orricelli, la ra5ón con la que el agua sale por el agu'ero variación del volumen de l"quido en el tanque respecto del tiempo! se puede e6presar como el área “a” del orificio de salida por la velocidad v del agua drenada, esto es% dV =−a× v ( ec .3 ) dt
sustituyendo la ec.7! en la ec.8!% dV =−a × c × √ 2 × g × h ( ec .4 ) dt
Si h! denota el área de la sección transversal hori5ontal del tanque a la altura h, aplicando el método del volumen por secciones transversales se obtiene% h
∫
V = A ( h ) dt 0
9erivando respecto de t y aplicando el teorema fundamental del cálculo dV dh = A ( h ) ( ec .5 ) dt dt
Comparando las ec.8! y la ec.:!%
A ( h )
dh =−a × c × √ 2 × g × h ( ec .6 ) dt
Sean “h” la altura de l"quido en el tanque en cualquier instante t, “a” el área del orificio de salida el cual está ubicado al fondo del tanque, g la gravedad, C el coeficiente de descarga y h! el área de la sección transversal del tanque. $a ecuación diferencial asociada al problema de vaciado del tanque es% A ( h )
dh =−a × c × √ 2 × g × h dt
plicando la ecuación diferencial precedemos a calcular el tiempo necesario para el vaciado del tanque% Calculando para un diámetro de orificio de una pulgada% 92 & pulgada 2 ),)7:;m a =π ×
D
2
4
=π ×
0,0254
2
4
=5,0671 × 10−4 m
Se asume% C2& m
g2<,= s 2 >rea de la sección transversal del tanque% A ( h )=l
2
= 2 × 2=4 m2
(cuación diferencial asociada ha vaciado de tanques% A ( h )=−a × c × √ 2 × g × h d t ( ec .1 )
Sustituyendo a, c, g en ec.&% 2
4m
4
−
5,0671 × 10
=−
√
m × 1 × 2 × 9,8
m
4 dh=−2,243301 × 10 × √ h dt −
?ara t 0=0 1783,0866
−
3
y h ¿ 0,8 % dh
√ h
=
dt
/ntegrando ambos lados de la ecuación%
s
2
×hdt
−1783,0866 ∫
dh
√ h
=∫ dt
−1783,0866 ( 2 √ h + k 1) =t + k 2 3566,1732 √ h=t + K
−
Condición inicial% ?ara t 0=0
y h ¿ 0,8 %
K =−3189,6823
Sustituyendo% 3566,1732 √ h=t −3189,6823
−
[−
h ( t ) =
h ( 0 )=
t −3189,6823
[
3566,1732
]
t −3189,6823 −
3566,1732
2
]
2
→t = 3189,6823 seg ≈ 53,2 min
Seg3n el libro de “mecánica de fluidos” de #"ctor $. Streeter, la fórmula de tiempo de vaciado de un tanque viene e6presada de la siguiente manera% t =
2 × A t × √ h
c × A 0 × √ 2 × g
( ec .7 )
9onde “ A t ” es el área del tanque, “h” la altura de l"quido en el tanque, “c” es el coeficiente de descarga, “ A 0 ” el área del orificio y “g” la gravedad. Sustituyendo valores, se comprobó que el valor que se obtiene con la ec.@! es el mismo que se obtuvo al integral la ecuación diferencial de vaciado de tanques. Con ella se procede a calcular el tiempo de vaciado utili5ando diferentes diámetros.
