TOMO I

Universidad Nacional de San Martín - Tarapoto Nueva Ley Universitaria N° 30220 CENTRO PR E

CePre UNSM - T UN

SITARIO IVER

PU

UNSM-T

Economía Historia Geografía Filosofía

Álgebra

Cívica Aritmética

Psicología Física Geometría Razonamiento Matemático Trigonometría

Somos un Centro Pre Universitario y no una academia Ingresa con nosotros y sé un profesional de éxito.

TARAPOTO - PERÚ

Cuaderno

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN MARTÍN-T CARRERAS PROFESIONALES - Agronomía --> Tarapoto. - Agronomía --> Tocache. - Medicina Veterinaria. - Ing. de Sistemas e Informática. - Ing. Agroindustrial --> Tarapoto. - Ing. Agroindustrial --> Juanjui. - Ingeniería Civil. - Medicina Humana.

- Arquitectura. - Enfermería. - Obstetricia. - Ingeniería Ambiental. - Ingeniería Sanitaria. - Idiomas. - Contabilidad --> Tarapoto. - Contabilidad --> Rioja.

- Administración. - Economía. - Turismo --> Lamas. - Derecho. - Educ. Inicial --> Rioja. - Educ. Primaria --> Rioja. - Educ. Secundaria --> Rioja.

TOMO I

Rumbo a la Acreditación

Decimonovena edición 2017

Consejo Editorial del Centro Preuniversitario Universidad Nacional de San Martín – T Tarapoto - Perú

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Rafael Ramírez Tananta Ulises Díaz Ruiz José Alberto Avalos Ríos ALGEBRA Fernando Gatica Ruiz. Víctor A. Ávila Tuesta. Carlín Fasanando García

FISICA Frank Mendoza Acosta Luis Cuzco Trigozo Ulises Díaz Ruiz ARITMETICA Luz Estela Aguilar Ramos de Corcuera Alejando Benavides Barboza James Rodríguez Aspajo Mario Vásquez Torres Marvin Barrera Lozano

GEOMETRIA Mario García Arévalo Leopoldo Ríos Panduro Juan Orlando Riascos Armas TRIGONOMETRIA Jailer J. Pino Gutierrez José A. Avalos Rios. José E. Guzmán Anticona

Revisores Temáticos y de consistencia teórica: Pedro Elías Pérez Vargas Jaime Ramírez Navarro Técnicos en Impresiones: Edvin Gonzales Ramírez. Diseño de Portada: Mario Vásquez Torres Diseño de Interiores: Jhon Henry Herrera Panduro, Daniel Mori Hidalgo. Responsable de la Edición: Fondo Editorial del Centro Preuniversitario UNSM-T. Fondo Editorial del Centro Preuniversitario UNSM-T Jr. Orellana 575 Tarapoto – San Martín RUC UNSM-T: 20160766191 Teléfono: Complejo Universitario (042) 524442 Anexo 18 CPU (042) 524033 Local Central (042) 251366 Ciudad Universitaria (042) 521402 e-mail: [email protected] Facebook: cpu-unsm

Primera Edición 2011 (Ciclo: Enero-Febrero) Primera Impresión 1,500 ejemplares Segunda Edición 2011 (Ciclo: Abril-Julio) Primera Impresión 950 ejemplares Tercera Edición 2011 (Ciclo: Septiembre-Diciembre) Primera Impresión 1,000 ejemplares Tercera Edición 2011 (Ciclo: Enero-Febrero) Segunda Impresión 1,650 ejemplares Cuarta Edición 2012 (Ciclo: Abril-Julio) Primera Impresión 1,100 ejemplares Quinta Edición 2012 (Ciclo: Septiembre-Diciembre) Primera Impresión 1,000 ejemplares Sexta Edición 2013 (Ciclo: Enero-Febrero) Primera Impresión 1,500 ejemplares Séptima Edición 2013 (Ciclo: Abril-Julio) Primera Impresión 950 ejemplares Octava Edición 2013 (Ciclo: Septiembre-Diciembre) Primera Impresión 950 ejemplares

Décima Edición 2014 (Ciclo: Abril-Julio) Primera Impresión 850 ejemplares Undécima Edición 2014 (Ciclo: Setiembre-Diciembre) Primera Impresión 800 ejemplares Duodécima Edición 2015 (Ciclo: Enero-Febrero) Primera Impresión 1200 ejemplares Décimo tercero Edición 2015 (Ciclo: Abril-Julio) Primera Impresión 1000 ejemplares Decimocuarta Edición 2015 (Ciclo: Setiembre-Diciembre) Primera Impresión 1500 ejemplares Decimoquinta Edición 2016 (Ciclo: Enero-Febrero) Primera Impresión 1200 ejemplares Decimosexta Edición 2016 (Ciclo: Abril-Julio) Primera Impresión 1500 ejemplares Decimoséptima Edición 2016 (Ciclo: Setiembre-Diciembre) Primera Impresión 1500 ejemplares Decimoctava Edición 2017 (Ciclo: Enero-Febrero) Primera Impresión 2000 ejemplares Decimonovena Edición 2017 (Ciclo: Abril -Julio)

ISBN……Registro de proyecto editorial N°………Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú. Registro N°………….. Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra Sin previa autorización escrita del autor y del editor. Impreso en Perú / Printed in Perú Pedidos: Jr. Orellana 575 Tarapoto – San Martín. e-mail: cpu.unsm.edu.pe

MENSAJE DEL SEÑOR RECTOR La Universidad Nacional de San Martín – Tarapoto, como primera casa superior de estudios en el ámbito regional, busca la formación integral de los jóvenes acompañada de una excelencia académica lo cual convergerá en tener profesionales modelo que participen activamente en la sociedad y sean agentes de cambio para su desarrollo de manera sostenible, y de ese modo brindar a la futuras generaciones un lugar del cual nos podamos sentir orgullosos. Dentro de este marco, nuestra universidad responde a los desafíos de una sociedad con múltiples necesidades, ofreciendo los mejores recursos: diez Facultades, veinte Escuelas Profesionales y nuestra Escuela de Posgrado, todas en la modalidad de formación presencial, con docentes altamente capacitados, que ostentan los grados de maestro y doctor, infraestructura moderna y un currículo integral, que en conjunto son la garantía de una formación académica de calidad. Además, se está trabajando por una gestión institucional innovadora, eficiente, eficaz, transparente, democrática y con responsabilidad social. Por tal motivo, este Texto Académico es un documento flexible y perfectible, el cual se enriquecerá con la participación de todos los integrantes de la comunidad universitaria y de la sociedad. Desde esa óptica, señor postulante, lo felicito por iniciar sus estudios superiores a través de esta unidad académica, como centro pre universitario que se diferencia ampliamente de una academia por la integralidad de servicios y el inicio de una base humanística como parte de su formación, que exige alto nivel de conocimientos, así como de competitividad; por lo tanto desde el inicio tenga muy presente su meta hasta lograrla, ya que nosotros le garantizamos brindarle todas las herramientas necesarias para afrontar exitosamente sus exámenes y principalmente los conocimientos esenciales requeridos en los estudios universitarios y de la mano con una acentuada practica de valores. Al haber cumplido 37 años de vida institucional y ser fuente de formación de profesionales que con su esfuerzo, pensamiento reflexivo y crítico están al servicio de nuestra país; le damos la más sincera y cordial bienvenida joven postulante por asumir el reto que usted, su familia, la sociedad y ésta, muy pronto su Alma Mater, hemos adquirido. Tiene un futuro promisorio por delante, éste empieza hoy y demanda trabajo, mucho esfuerzo y dedicación plena a sus estudios. Estoy seguro que será capaz de lograrlo. Gracias por formar parte de nuestra familia universitaria. Bendiciones Dr. Aníbal Quinteros García Rector

PROLOGO

La Universidad Nacional de San Martín-Tarapoto a través de su Centro Preuniversitario, nos permite ingresar en contacto con diferentes estudiantes de la región y del país, a quienes nos permiten formar parte de su experiencia y proceso de aprendizaje. Por eso razón nos esforzamos al máximo para convertirnos en colaboradores activos de este importante proceso en sus vidas, y así convertirnos en proveedores y desarrolladores de destrezas que te ayudarán a ser un estudiante íntegro con conciencia plena en el proceso de toma de decisiones. Como dijo Nelson Mandela: “La educación es el arma más poderosa que puedes utilizar para cambiar el mundo”. De allí, se desprende nuestro afán en ofrecerte todo lo que esté a nuestro alcance para que vivencies esta nueva experiencia tan enriquecedora en tu vida como la mejor, otorgándote todas las herramientas, los mejores educadores y el mejor ambiente para que veas al final tu meta alcanzada, con esto no pretendo decir que todo sea fácil, sino que debes tener en cuenta que a todo esto debes sumarle tu esfuerzo perseverante y tu dedicación exclusiva a éste, tu nuevo proyecto de vida que anhelas alcanzar. El presente material bibliográfico se enriquece con el aporte importante de nuestros docentes, quienes nos entregan información selecta, tanto en teoría como en práctica, así como los conocimientos precisos y necesarios que le ayudarán a vencer todos los obstáculos que se presenten durante su permanencia en el Centro Preuniversitario y le permitan, al final, ver convertirse en estudiante universitario. Además, el texto, cuenta con información ampliada acerca de las veinte Escuelas Profesionales que la Universidad Nacional de San MartínTarapoto pone a su disposición. Por otro lado, contamos con servicios adicionales que te permitirán integrar y mantener una vida saludable, apoyándote en alguna situación adversa que se presente en tu entorno durante tu estadía con nosotros, y te acompañaremos para fortalecerte y encontrar, en conjunto, una solución a tal percance, de manera tal que logres enfocar toda tu atención en tus estudios y logres concretar tu objetivo hacia tu meta trazada. Finalizo expresándote mi más profundo agradecimiento por permitirnos formar parte de ti, a través de tu formación y te doy la más cordial bienvenida, así como también pedirte mucha fortaleza y constancia responsable en tu preparación. Obtenga el máximo provecho a este material bibliográfico virtual, de modo que con tu apasionada labor y nuestro permanente apoyo y guía, te convertirás en el nuevo estudiante de la Universidad Nacional de San Martín – Tarapoto.

Dr. Orlando Ríos Ramírez Director

ÍNDICE PÁGINAS PRELIMINARES Mensaje del Señor Rector de la UNSM – Tarapoto Dr. Anibal Quinteros Garcia Prólogo de la Señor Director del CPU-UNSM-T Dr. Orlando Ríos Ramirez Página de asignaturas

Páginas

ÀLGEBRA SEMANA 1: CONCEPTO DE TEORIA DE EXPONENTES, DEFINICIÓN DE ÁLGEBRA SEMANA 2: OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS SEMANA 3: FACTORIZACIÓN ALGEBRAICA SEMANA 4: RADICACIÓN Y RACIONALIZACIÓN SEMANA 5: TEORÍA DE ECUACIONES SEMANA 6: FUNCIONES SEMANA 7: ECUACIONES E INECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS SEMANA 8: MATRICES Y DETERMINANTES SEMANA 9: TEORÍA DE ECUACIONES SEMANA 10: INECUACIONES SEMANA 11: FUNCIONES SEMANA 12: LOGARÍTMO, COLOGARÍTMO Y ANTILOGARÍTMO SEMANA 13: ECUACIONES E INECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS SEMANA 14: NÚMEROS COMPLEJOS SEMANA 15: MATRICES Y DETERMINANTE SEMANA 16: MICELANEA

11 14 16 18 21 24 28 30 33 36 39 44 30 48 50 54

ARITMÉTICA SEMANA N° 1: TEORIA DE CONJUNTOS SEMANA N° 2: SISTEMAS DE NUMERACIÓN SEMANA N° 3: LAS CUATRO OPERACIONES SEMANA N° 4: DIVISIBILIDAD SEMANA N° 5: NÚMEROS PRIMOS SEMANA N° 6: MCD – MCM SEMANA N° 7: FRACCIONES SEMANA N° 8: RAZONES Y PROPORCIONES SEMANA N° 9: PROMEDIOS SEMANA N° 10: MAGNITUDES PROPORCIONALES, REPARTO PROPORCIONAL Y REGLA DE COMPAÑÍA SEMANA N° 11: REGLA DE TRES SEMANA N° 12: TANTO POR CIENTO SEMANA N° 13: REGLA DE INTERÉS SEMANA N° 14: REGLA DE DESCUENTO SEMANA N° 15: MEZCLA Y ALEACIÓN SEMANA N° 16: SISTEMA DE MEDIDA

57 60 63 65 68 70 73 76 79 81 84 87 89 92 95 98

FÍSÍCA SEMANA N° 1: ANÁLISIS DIMENSIONAL Y VECTORIAL SEMANA N° 2: CINEMATICA SEMANA N° 3: MOVIMIENTO PARABOLICO SEMANA N° 4: ESTÁTICA SEMANA N° 5: DINÁMICA LINEAL SEMANA N° 6: TRABAJO, POTENCIA, ENERGÍA SEMANA N° 7: DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULA SEMANA N° 8: MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE SEMANA N° 9: HIDROSTÁTICA SEMANA N° 10: TEMPERATURA y CALOR SEMANA N° 11: TEORIA CINÉTICA DE LOS GASES SEMANA N° 12: TERMODINÁMICA SEMANA N° 13: ELECTROSTÁTICA Y CAPACITORES SEMANA N° 14: ELECTRODINÁMICA SEMANA N° 15: ELECTROMAGNETISMO SEMANA N° 16: ÓPTICA

103 108 112 116 120 124 129 132 135 139 143 145 148 151 154 156

GEOMETRÍA SEMANA N° 1: NUMERO MAXIMO DE PUNTOS DE INTERSECCION DE FIGURAS GEOMETRICAS SEMANA N° 2: TRIANGULOS SEMANA N° 3: PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA DE TRIANGULOS SEMANA N° 4: CIRCUNFERENCIA SEMANA N° 5: PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA DE TRIANGULOS SEMANA N° 6: RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Y OBLICUÁNGULOS SEMANA N° 7: RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA SEMANA N° 8: LA POLÍGONOS REGULARES Y LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA.Y LA SEMANA N° 9: AREAS DE REGIONES TRIANGULARES, Y CIRCULARES SEMANA N° 10: ÁREA EN REGIONES CUADRANGULARES Y POLIGONALES. SEMANA N° 11: RELACION ENTRE AREAS DE REGIONES TRIANGULARES SEMANA N° 12: ÁREAS Y VOLÚMENES DE SÓLIDOS GEOMÉTRICOS: POLIEDROS, PRISMA Y PIRAMIDE, TRONCO DE PRISMA Y PIRAMIDE SEMANA N° 13: ÁREAS Y VOLUMENES EN SOLIDOS GEOMETRICOS: CILINDRO, CONO Y ESFERA, TRONCO DE CILINDROS, CONO SEMANA N° 14: SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES SEMANA N° 15: LA CIRCUNFERENCIA Y LA PARÁBOLA EN EL PLANO CARTESIANO. SUS ECUACIONES. SEMANA N° 16: LA ELIPSE E HIPÉRBOLA EN EL PLANO CARTESIANO CON SUS ECUACIONES

160 163 167 169 173 177 180 182 185 188 191 195 198 200 203 206

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO SEMANA N° 1: HABILIDAD OPERATIVA: MÉTODO INDUCTIVO – DEDUCTIVO SEMANA N° 2: SUCESIONES DISTRIBUCIONES Y ANALOGÍAS SEMANA N° 3: SERIES Y PROGRESIONES SEMANA N° 4: OPERADORES MATEMATICOS SEMANA N° 5: SISTEMA DE NUMERACION SEMANA N° 6: PROMEDIOS Y RAZONES Y PROPORCIONES SEMANA N° 7: FRACCIONES Y REDUCCIÓN A LA UNIDAD SEMANA N° 8: PORCENTAJE Y MEZCLA PORCENTUAL SEMANA N° 9: CUATRO OPERACIONES SEMANA N° 10: PLANTEO DE ECUACIONES SEMANA N° 11: EDADES SEMANA N° 12: COMPARACIÓN DE MAGNITUDES Y REGLA DE TRES SEMANA N° 13: RELOJES, ADELANTOS Y RETRASOS SEMANA N° 14: MOVILES SEMANA N° 15: ÁREA DE REGIONES SOMBREADAS Y MOVILES SEMANA N° 16: ANÁLISIS COMBINATORIO - RAZONAMIENTO LÓGICO

211 214 220 223 225 228 230 234 236 238 242 244 248 250 253 258

TRIGONOMETRÍA SEMANA N° 1: ANGULO TRIGONOMÉTRICO SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES SEMANA N° 2: LONGITUD DE ARCO/SECTOR CIRCULAR RUEDAS Y ENGRANAJES SEMANA N° 3: RAZONES TRIGONOMETRICAS EN TRIANGULOS RECTANGULOS SEMANA N° 4: MISCELANEA SEMANA N° 5: ANGULOS HORIZONTALES Y VERTICALES SEMANA N° 6: RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS EN POSICION NORMAL, CUADRANTALES Y COTERMINALES SEMANA N° 7: REDUCCION AL PRIMER CUADRANTE SEMANA N° 8: MISCELANEA SEMANA N° 9: IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS SEMANA N° 10: IDENTIDADES DE ANGULOS COMPUESTOS SEMANA N° 11: FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ARCO DOBLE Y MITAD SEMANA N° 12: MISCELANEA SEMANA N° 13: ANGULO TRIPLE SEMANA N° 14: TRANSFORMACIONES TRIGONOMETRICAS SEMANA N° 15: RESOLUCIÒN DE TRIÀNGULOS SEMANA N° 16: MISCELANEA

263 266 269 272 274 276 278 280 281 283 285 286 288 289 290 292

Álgebra

TARAPOTO - PERÚ

DECIMONOVENA EDICIÓN – 2017 -II

ALGEBRA

SEMANA Nº 01 CONCEPTO DE TEORIA DE EXPONENTES DEFINICIÓN DE ÁLGEBRA: Es una rama de la matemática, estudia las cantidades en su forma más general posible. UTILIDAD: Los conocimientos del álgebra son indispensables en el desarrollo de los cursos de: Geometría, Trigonometría, Geometría Analítica, el Cálculo diferencial e integral. SÍMBOLOS: Los símbolos que utiliza el álgebra para su estudio son los números y las letras. Los números representan cantidades conocidas y las letras representan toda clase de cantidades (conocidas o desconocidas). Las primeras letras del alfabeto: a, b, c,… representan cantidades conocidas y Las últimas letras del alfabeto: x, y, z,… representan cantidades desconocidas. SIGNOS QUE UTILIZA EL ÁLGEBRA: Son de tres clases: 1. SIGNOS DE OPERACIÓN: Nos indican las operaciones a realizar: Adición ( + ), Sustracción ( – ), Multiplicación ( . ), División (:), Potenciación ( )n y Radicación ( ) 2. SIGNOS DE RELACIÓN: Para relacionar las cantidades: Igual a ( = ), Diferente a (  ); Mayor que ( > ), menor que ( < ), mayor o igual que ( ≥ ), menor o igual que ( ≤ ), idéntico a (  ). 3. SIGNOS DE AGRUPACIÓN: Todas las cantidades que se encierran, se considera como una sola. Estos son: Paréntesis ( ), Corchetes [ ], ll|aves { } y barra o vínculo TÉRMINO ALGEBRAICO: Es la representación de una o más variables unidas por las operaciones de: multiplicación, división potenciación y radicación. Ejemplos: 1) 12xyz 2) 5xy5z7 3) – 9xyz√(𝑥𝑦)(𝑥 2 − 𝑦 2 ) Todo Término algebraico consta de partes o elementos: EXPONENT SIGNO Ejemplo: E 9 + 15 x COEFICIENTE

1.

PARTE LITERAL

COEFICIENTE: Indica las veces que se repite la parte literal como suma. Ejemplo: 5x = x + x + x + x + x 2. EXPONENTE: Indica las veces que se repite la parte literal como producto. Ejemplo: x5 = x .x.x.x.x EXPRESIONES ALGEBRAICAS: Es la agrupación de términos algebraicos unidos por las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación. Ejemplos: 1) 8x3 – 7xy2 + 5xy2z – 15 2) 3x√𝑥y3 + √𝑥𝑦𝑧 – 11xy

3)

CPU – UNSM -T

5x2 + √7x2 −8xy3 2xy−5xy2

VARIABLE MATEMÁTICA: Símbolos que pueden recibir diferentes valores numéricos y pertenecen al conjunto de números reales. (x, y, z,… ) CONSTANTE: Está determinada por un número conocido el cual pertenece al conjunto de los números reales. Ejemplos: (2, 3 , 7, etc.) TÉRMINOS SEMEJANTES: Dos o más términos son semejantes si tienen la misma parte literal y sus variables tienen los mismos exponentes. Ejemplos: 1) 2x 3; 5 x 3 2) 6 x 3 y 4; – 7x 3 y 4 3 3) √3𝑥 5 𝑦 7 𝑧 9 ; 𝑥 5 𝑦 7 𝑧 9 5 CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS: A. POR SU NATURALEZA: Se clasifican en racionales e irracionales: Una expresión algebraica es racional cuando ninguna letra está afectada de un signo radical o exponente fraccionario, caso contrario será irracional. Ejemplos: a) 3x2 + √2xy − 52⁄3 z 3 , es racional. b) 3√x + y − 5 3√x − y + 3, es irracional. EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES 1. E.A.R. enteras: los exponentes de las variables son números naturales o enteros positivos. Ejemplos: 2 1) 9x3y 4 + x3y5 3 2) – 3x2y z 4 2. E.A.R. fraccionarias: al menos uno de los exponentes de las variables es un número entero negativo. Ejemplos: 4 1) 2x + z 2) 4𝑥 −2 𝑦𝑧 1 3) – xy – 2 z + y+z

B. SEGÚN LA CANTIDAD DE TÉRMINOS: MONOMIOS: un solo término. Ejemplos: 1) – 5 x 2 y z3 2) x5 y z 3 3) xyz11 7 POLINOMIOS: Es una expresión algebraica que consta de un o más términos algebraicos racionales enteros, un polinomio generalmente se representa de la siguiente manera: P(x): Se lee “Polinomio en la variables x” P(x) = anxn+ an – 1xn – 1 + …+ a2x2 + a1x + a0 Dónde: x: Variable n: Grado del polinomio. an: Coeficiente principal. a0: Término independiente. Ejemplos: 1) x2 + y2 – yz pág. 11


ALGEBRA

2) 5 yxz4 – 2xy 5 3) 3 + 𝑥 2 − 7𝑥𝑦 + √𝑥 − 3𝑦 3 OBSERVACIÓN: P(1) = Suma de sus coeficientes. P(0) = Término independiente.

1. Calcular el valor de: E 

TEORIA DE EXPONENTES FINALIDAD: El objetivo de la teoría de exponentes es estudiar todas las clases de exponentes que existen y las relaciones que se dan entre ellos. LEYES DE LA TEORÍA DE EXPONENTES: 1)

.a .a ... a , n  IN an= a    n  veces

2) 3) 4) 5) 6)

m

n

n

12) (am)n = am.n

16)

17)

n a.b  n a .n b n

n

mn pq

m

m.n. p.q

m

mn

p

19)

mn

x p  m x p  ..."n" radicales  impar

x

5

C) 3

2

D)

3

E) 5

5

(2n + 1) veces

D) x n + 1 E) x n

x

am = a m–n an

p ( m 1) x m1

J=

n

para n

1 23 1 + . − 3 34 4 8 4 2 3 − ∶ + 15 15 5 5

+

1 2 4 1 + ∶ −2 3 5 15 3 1 1 38 22 + 3 − 4.3

A) 0,65 B) 0,64 C) 1,25 D) – 0,6 E) – 0,64

m

x

B)

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Simplificar:

p ( mn 1) x m1

par 18)

4n 11

E = x n + 3 + 2n – 3 – 3n + 4 = x 4

x  x  ..."n" radicales  p

n

=

la

E  ( x 4n  53n  2 )(x 2n 1 4 )(x 3n  4 )

a

x p .m x p ...."n" radicales 

m

n

Usando:

a b , con b  0

a 

en

n 1

=4 expresión:

 x 4 n 5   x 2 n 1   1  E   3 n  2   4   3n  4    x   x   x

m n m 13) a  a n

15)

=

 2 n  2  4  2 

Solución: Reduciendo el exponente en el primer y segundo corchete:

n

n

= Reemplazando 4

n 16.16 2

n2

n  2 1  4  2

n 2

=

n2

(3n + 2) veces

b    , con a  0 a

a  b

16. 16

A) x3 B) x 4 C)

b

14)

16 16 n

 x.x.x...x   x.x.x...x   1  E    x3n 4  4  x.x.x...x   x  

(a. b)n = an.bn n an a 10)    , con b  0 n b b

D

n

(4n + 5) veces

b    , con a  0 a

n

n 2

Solución: Transponiendo se tiene: 9 5x – 2 = 90 – 81  9 5x – 2 = 91 Por igualdad de bases: 3  x= 3 5x – 2 = 1  x = 5 5 3. Hallar el valor de:

9)

a 11)  

n2

A) 2

n

n

n

= 4 4 2. Hallar el valor de “x” sabiendo que: 9 5x – 2 + 9 2 = 90

a .a =a am  a m  n , con a  0 n a a 0 = 1, con a  0 1 a– n = , con a  0 an (a. b)n = an.bn

a   b

4 n 1

A) 2 B) 4 C) 2 D) 3 E) 16 Solución: Efectuando operaciones en el denominador:

E

m+n

an a  7)   , con b  0 b bn 8)

CPU – UNSM -T

.n ..

m

n

x

p ( mn 1) m1

nx n

para n

5

2. Hallar: J A) 0

=

(a5 b) c ∶ (a2 b3 ) c2 ba5 ∶ (bc7 )

B) 2

n

EJERCICIOS RESUELTOS

3. Reducir:

C=

C) 4 22

−1

−22

9

6

, si a√b = D) 6

√2 √c

3

E) 8

−2

4

√2−1 pág. 12


ALGEBRA

4

A) √2

8

B) √2

C √2

1

,B=( )

2

J=

2

D) 50

C) 4

B) 𝑏 2

C) b

D) 2

ab

E) 4

4 27 √

√

43 √

(

)

A) 1/2

B) 1/4

1 1 J = [( ) ( ) 2 4

−2

1 ) +( 125

1 − 3

1 1 −2 − 4

1 +( ) ] 81

]

C) 1

D) 2

4

E) 1/3

5

4

14. Sabiendo que : a = 23 , b = 34 , c = 43 , 33

11

6. Efectuar:

3√3

−6−1

33

[

E) 5

5. Si ab = bb = 2, Hallar el valor de J = bab A) 𝑏 4

√

A2 B

B) 1/2

−33

√3 3 √3 √3

1 −(2) 1 −(2)

4. Si A = ( )

A) 2

E) 1

1

1 (2) 1 (2)

Hallar: J =

D) 2

CPU – UNSM -T

44

c2 a5

d b3

d = 92 ; Calcular:

J= √

. √

A) 81/4

C) 27

D) 1 E) 81/8

B) 8/81

15. Encontrar el valor de: 4

A) 0,5

B) 0,25

C) 0,4

D) 4

J=

7. Simplificar:

J={

1 −1 −1 1 −1 1 −2 1 −2 1 −( ) [( ) +( ) +( ) ] ( ) 3 2 3 2 3 1 −1 1 −( ) 1 −1 (2−1+3−1+6−1 )−1 ( ) 2 +( ) 2 5

A) 25

√10 + √42 – √42 − √42⋯

E) 16

B) 5

C) 4

}

J=

A) 3,5

B) 2,5

D) 16

C) 1/3

√2 + √30 + √30 + √30⋯

A)1

E) 1/5

B) 2

16. Si se tiene C

x−5

√

A) 20

7x – 5 + 3x − 5

B) 7

C) 3

√𝑐 4 −𝑐 2 +√𝑐 4 −𝑐 2 +√𝑐 4 −𝑐 2 +⋯ √𝑐 4 +𝑐 2 +√𝑐 4 +𝑐 2 +√𝑐 4 +𝑐 2 +⋯

A) 1/5

, si 𝑥 ≠ 5

75 – x + 35 − x

E) 5

√90 + √90 + √90 +⋯

=

𝐽=

9. Reducir la siguiente expresión:

J=

D) 4

Calcular el valor de: E) √2

D) 4,5

C) 3

√20 + √20 + √20 +⋯

2n + 1 4−2n + 1 + 8−n + 2 16(2n ) −3

8. Reducir:

3

−2

B) 2/5 1

D) 21

E) 4

17. Si x x3 =

3

√9 3

C) 3/5

D) 4/5

, Hallar: “x”

B)3 – 1 C) 3 – 2 D)3 – 3

A)3

E)1

E) 3 – 9

10. Calcular el valor de la siguiente expresión 𝑥−1

√

𝐶= A) 72

2+n2

41 − 𝑥 +61 − 𝑥 +81 − 𝑥

B) 24 n

C) 190

nn

D) 192

E) 12

a−n

B) ab

+ b−n

+ c−n

C) ac

⏞ 3 4 3 4 3 √ √x √ √x ⋯ √ 4√x

D) bc

E) a

[ A) n

√x3 √x4 5√x6 B) 1/n

2 n

[

3n+4 √x 2n n5

x √x

B) 6

C) 9

D) 27

E) 36

J=[

1 (5x)+1 +1 n 1−n (5x) +1 (5x)(5x)

]

5nx

,

5𝑥

]

A) n

C) n2

B) 1/n

20. Efectuar: J = 8−27 D) 0

= 27

Si 5𝑥 = √𝑛 , 𝑛 ≠ 0, 𝑥 ≠ 0

]

C) n2

3 mm + m 3

19. Resolver:

12. Indique el exponente final de “x” en: 3n+24

= 4, mm

Dar el valor de J = m6 n4 A) 3

an bn + an cn +bn cn

11. Calcular: J = √ A) abc

18. Sabiendo que:

3𝑥 − 1+4 𝑥 − 1 +6𝑥 − 1

E) – n

A) 0,5

B) 2

−9−4

D) 5n

E)1

−0,5

C) 0,25

D) 0,75

E) 2,5

13. Reducir: pág. 13


ALGEBRA

21. Resolver: C = 4−9

−2−1

2. 3

3

B) √4

A) 1

−8−9

22. Simplificar: J

C) √2

D)

x

2x

√b3x − y

=

√2 2

3

E) 2 √2

√bx + 4y

3x

√bx + 3y

6𝑥

6𝑥

6

A) √15𝑏 𝑥 + 𝑦

C) 𝑏 √𝑏𝑥 + 3𝑦

B) 𝑏 √𝑏

6

D) 𝑏 3 √𝑏

3.

E)𝑏

23. Si −x1−x = x −x − 1 𝑥𝑥

𝑥 𝑥 Hallar: 𝐽 = √𝑥 √𝑥 . √𝑥 −1 + 1

B)x2

A) x

D) x – 1

C) x3

E) x – 2

24. Si se tiene: x x−2 = 1 − x −1 simplifique:

J=

x x √x

A) x – 2

x

√x xx − 1 B) x – 1

4. C) x

D)1

E) x2

25. Simplificar la expresión: x−x

−1

J = {[

xx

0 2 −x

√x x/2]

A) x - 2x B) x – x

−1

} C) x2x

5. D) 1 E) x x

SEMANA Nº 02 GRADO DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS

6. 7.

GRADO: El grado de una expresión algebraica racional entera, es una característica relacionada con los exponentes de sus variables, además es un número entero positivo, permite de antemano determinar el número de soluciones de la ecuación algebraica. CLASESDE GRADO: Toda expresión algebraica racional entera tiene dos tipos de grado. G. RELATIVO

CLASES DE GRADOS

1. G. ABSOLUTO

1.

GRADO RELATIVO: Es el exponente de la variable indicada, se toma en relación a una sola variable de la expresión algebraica (Monomio o Polinomio). 2. GRADO ABSOLUTO: Llamado también grado, se toma en consideración a todas las variables de la expresión algebraica. (Monomio o Polinomio). POLINOMIOS ESPECIALES: Son aquellos que tienen ciertas características y que es necesario conocerlos, los más importantes son: 1. POLINOMIO HOMOGÉNEO: Cada término tiene el mismo grado absoluto. Ejemplo:

2.

CPU – UNSM -T

P(x, y) = 5x5 – 3x2y3 + 7x3y2 – xy4 – 8y5 POLINOMIO COMPLETO: Cuando la variable referida presenta todos los exponentes consecutivamente desde la potencia máxima hasta cero. Ejemplo: P(x) = 5x + 27 – 3x3 + 8x4 – 7x2 – 12x5 POLINOMIO ORDENADO: Cuando los exponentes de la variable referida están aumentando o disminuyendo; Es decir, puede estar ordenado en forma creciente o decreciente. Ejemplos: P(x) = 2 + 5x3 – x5 + 7x12, El polinomio está ordenado en forma creciente. P(x) = 5x15 – 8x11 + 3x7 – 2x3 + 15, El polinomio está ordenado en forma decreciente. POLINOMIOS IDÉNTICOS: Cuando los coeficientes de sus términos semejantes son iguales. P(x) = An x n + An−1 x n−1 + ⋯ + A1 x + A0 Si { Q(x) = Bn x n + Bn−1 x n−1 + ⋯ + B1 x + B0 Son polinomios idénticos si y sólo si: An = Bn , An−1 = Bn−1 , … , A1 = B1 , A0 = B0 POLINOMIO IDÉNTICAMENTE NULO: Cuando los coeficientes de todos sus términos son nulos. P(x) = An x n + An−1 x n−1 + ⋯ + A1 x + A0 , entonces: An = An−1 = … = A1 = A0 = 0 POLINOMIO CONSTANTE: P(x) = K; K IR – {0}, su grado siempre es cero. POLINOMIO MÓNICO: Aquel que tiene una sola variable, su coeficiente principal es uno. VALOR NUMÉRICO DE POLINOMIOS: Es el resultado que se obtiene al reemplazar en la Expresión algebraica cada letra por un valor particular y efectuar operaciones. Ejemplo: Si P(x, y) = x3 + y3 + 2(x2y + xy2) + 2xy2 Calcular su valor numérico, si x = 1 e y =2, Reemplazando se tiene: P (1, 2) = 13 + 23 + 2[(11) (2) + (1) (22)] + 2(1) (22) = 1 + 8 + 2(2 + 4) + 8 = 29 EJERCICIOS DESARROLLADOS Determinar el grado relativo de E = axa + 8+ abxayb – byb + 16 con respecto a y, sabiendo que es homogéneo. A) 18 B) 20 C) 22 D) 24 E) 26 Solución: Como E es homogéneo, entonces se cumple: a + 8 = a + b = b + 16, de donde se tiene: 𝑎+8=𝑎+𝑏 𝑎 = 16 { entonces { 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 16 𝑏=8 Luego: E = 16x24 + 128x16y8 – 8y24 Calcular la suma de coeficientes del polinomio: 2 P(x, y) = 2ax n −2 y 4 + 4(a − b)x a y b + (10b − 2 1)x n y 2n−6 Si es homogéneo. A) 8 B) 94 C) 102 D) 107 E) 108 pág. 14


ALGEBRA

3.

Solución: P(x, y) es homogéneo, entonces se cumple: n2 – 2 + 4 = a + b = n2 + 2n – 6, de donde se 2 2 tiene: {𝑛 + 2 = 𝑛 +2 2𝑛 − 6 entonces 𝑎+𝑏 = 𝑛 +2 𝑛=4 { Luego: 𝑎 + 𝑏 = 18 ∑ 𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 = 2𝑎 + 4(𝑎 − 𝑏) + 10𝑏 − 1 = 6(a + b) – 1 = 6(18) – 1 = 107 Hallar “a + b” si se cumple la identidad: 27 + 8x  a(x + 4) + b (2x + 3) A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) 11 Solución: 27 + 8x  ax + 4a + 2bx + 3b 27 + 8x = (4a + 3b) + (a + 2b) x, identificando coeficiente se tiene: 4𝑎 + 3𝑏 = 27 𝑎=6 { De donde { 𝑎 + 2𝑏 = 8 𝑏=1 Luego: a + b = 7 EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Dado P( x ) 

x2  4  2  x , calcule x2

el valor de P (10) + P (20). A) 0 B)1 C) 2 D) 5

E) 3

7 x n  2 . x 3n 2. Hallar “n” si P(x) = 3 es de 4 n 1

x

segundo grado: A) 3 B) 5

C) 7

D) 9

E) 11

3. Si el polinomio P(x,y) = 4xa – 2 yb – 5 + 5x3y4 + 6xm – 1 yp – 4 , tiene un solo sub término. Hallar: (m + p) – (a + b) A) – 2 B) 1 C) 2 D) 4 E) 6 4. Si el polinomio Q(x, y) = xm – 1y5+ x2yn – 1 Se reduce a un solo término, hallar: “m + n” A) 3 B) – 5 C) 8 D) 12 E) 9 5. Hallar el grado relativo de “y”, si el grado relativo a “z” es 34 en: x 5a 1y 2a  2 z3a  3 M= x 3 a y a 5 z 4  2a A) 11 B) 14 C) 16 D) 19 E) 21

6. Si:

 x 2 n 3 ( x n 2 )3  F ( x)  x 2 n 3

2

,

se

CPU – UNSM -T

P( x, y, z )  (m  n) x m  n

(m 2  n 2 ) y n  (m  n) z m m

A) 8

B) 10

C) 12

D) 15

mn

E) 19

8. Hallar “a + b” en la siguiente identidad: 27 + 8x  a(x + 4) + b(2x + 3) a) 5 b) 7 c) 9 d) 10 e) 12 9. Hallar: “a + b + c + d” si el polinomio: P(x) = 9xc+d – 1 + 6xb – c +1+ 8xa+b – 4+7xa – 3 Es completo y ordenado en forma descendente. A) 5 B) 7 C) 9 D) 11 E) 13 10. Hallar (a + b + c) si se cumple: 4x2 – 14x – 48  a(x +1) (x + 2) + b(x + 2) (x + 3) + c(x + 1) (x + 3) A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

E) 5

11. Calcular (a + b + c), sabiendo que:

4x 2 c  ax  b  x2 x2

se

cualquier valor de “x” A) 4 B) 6 C) 8

cumple

D) 10

para

E) 12

12. Calcular “a” y “b”, para que el polinomio

P( x)  (2  a) x ab  3x 2  5  2 xa Sea completo e indicar: A) – 1

B) 0

a2  b

C) 2

D) 5

E) 3

13. Si el polinomio:

P( x, y)  (a2  1) xa

2 2 a

y  (a  1) x2a1 y a

2 1

Es homogéneo, hallar la suma de sus coeficientes. A) 16

B) 13

C) 11

D) 4 E) 22

14. Si el polinomio cuadrático: m

n 5 P( x)  x 3  ( P  13) x  2 P  5 4 Tiene como coeficiente principal a 17, mientras que el término independiente es el triple del coeficiente del término lineal, hallar el valor de E = m + n + p A) 81

B) 12

C) 201

D) 123 E) 80

reduce a un monomio de 3er. grado, calcular el valor de “n” A) 5 B) 3 C) 7 D) 1 E) – 2

15. Determinar el grado del polinomio P(x)

7. Hallar la suma de los coeficientes del trinomio homogéneo:

[P(x)]

2

sabiendo que el grado de [ P( x)] es igual a 21, además el grado de 4 [Q(x)] 2 es igual a 22. A) 2 B) 5 C) 3 D) 7

[Q( x)]3 E) 1

16. ¿Cuánto hay que agregar al polinomio: pág. 15


ALGEBRA

Q( x, y)  3x 4  5xy3  2 x 2 y 2 Para que sea un polinomio homogéneo P(x, y), completo respecto a “x” y que la suma de sus coeficientes sea 21; además: P (2,1) = 114 A) 3x y  8 y 3

C)

4

9x y  8 y 3

7 x3 y  8 y 4

B) 4

D) 11x

3

 8y

P( x, y)  5x m y n2  32 xn1 y m4 D) 6

E) 7

3 3 3 M = 4ax 4  2 4  2 4 ... A) 2 B) 4 C) 5 D) 7

E) 8

20. Hallar el grado de la siguiente expresión algebraica. M= A) 2

1 1 n

...

B) n

x 2 .x 4 .x 6 ...x 2n

C) 2n

D) 3

E) 1/2

21. Dado el polinomio:

P  2x a 4( xy ) a

b4

b4

4 x d 4 .

SEMANA Nº 03 OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS Son transformaciones que se hacen con la finalidad de obtener otra expresión algebraica equivalente. Las operaciones son las siguientes: Consideremos las expresiones algebraicas: M(x) y N(x), entonces se tiene: ADICION: M(x) + N(x) = S(x) ⏟ ⏟ SUMANDOS

1 1 1 1 1 1 1 2 3

 3ya

 5 y 4 a

2 ( b4 )

P( x)  x a  b  2x b  c  3x c  d 

E) 9

19. Hallar el grado absoluto de P(x, y) si los grados relativos de “x” e “y” son 5 y 3 respectivamente, siendo: P( x, y )  5x 2m yn 2  xn  3 ym 2 

A) 4

25. Si

Es un polinomio completo y ordenado en forma ascendente, calcular “a + b + c + d” A) 2 B) 4 C) 8 D) 11 E) 14

18. Hallar el grado de la expresión:

x 2m 1y n B) 5 C) 6 D) 7

24. Hallar “m – n” sabiendo que el polinomio:

(20  n)x 2 y Es un polinomio idénticamente nulo. A) 4 B) 6 C) 8 D) – 4 E) 9

4

Es 8; hallar: “m + n” A) 3 B) 4 C) 5

Se verifique que la diferencia entre los grados relativos de “x” e “y” es 5 y además que el menor exponente de “y” es 3. Halle su grado absoluto. A) 11 B) 15 C) 17 D) 29 E) 21 P( x, y)  mx 2 y  (m  4)xy2  nxy2 

4

E) 13x y  8 y 17. Si el grado absoluto del polinomio: 3

CPU – UNSM -T



b 4

Si la suma de los grados absolutos de todos los términos del polinomio es (a6 +2)2, calcular el valor de “b” A) 4 B) 7 C) 9 D) 10 E) 12 22. Calcular “m + n” para que el polinomio: P  3xm1yn3  7xm 2 yn1 

 11x m  3 y n  2 Sea de grado absoluto 8 y de grado relativo respecto a “y” igual a 5. A) 5 B) 7 C) 8 D) 11 E) 13 23. Si en el polinomio: P  4x m  n  2 y m  3  8xm  n  5 y m  4 

7xmn  6 ym 2

SUMA

SUSTRACCION: M(x) ⏟ − N(x) ⏟ MINUENDO

SUSTRENDO

=

D(x) ⏟ DIFERENCIA

MULTIPLICACION: M(x). N(x) = P(x) ⏟ ⏟ FACTORES

PRODUCTO

PRODUCTOS NOTABLES DEFINICIÓN: Son ciertas multiplicaciones, tienen formas determinadas y cuyo resultado (producto) se puede escribir en forma directa sin necesidad de efectuar la operación. Los principales productos notables son: PRINCIPALES PRODUCTOS NOTABLES: 1. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 2. (a – b)2 = a2– 2ab + b2 3. (a + b) (a – b) = a2 – b2 4. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc) 5. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a + b)3= a3 + b3 + 3ab(a + b) 6. (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 (a – b)3 = a3 – b3 – 3ab(a – b) 7. (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3a2b + 3a2c + 3b2a + 3b2c + 3c2a + 3c2b + 6abc (a + b + c) 3 = a3 + b3 + c3+ 3(a + b) (a + c) (b + c) (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b + c) (ab + ac + bc) – 3abc 8. (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab 9. (a + b) (a2 – ab + b2) = a3 + b3 pág. 16


ALGEBRA

10. (a – b) (a2 + ab + b2) = a3 – b3 11. (x2 + x + 1) (x2 – x + 1) = x4 + x2 + 1 12. (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2) (a + b)2 – (a – b)2 = 4ab 13. (a2 + b2)(x2 + y2)= (ax + by)2 + (ay – bx)2 14. (a + b)4 – (a – b)4= 8ab (a2 + b2) IGUALDADES CONDICIONALES Si a + b + c = 0, entonces se verifica que: 15. a2 + b2 + c2 = – 2(ab + bc + ac) 16. (ab + bc + ac)2 = (ab)2 + (bc)2 + (ac)2 17. a3 + b3 + c3 = 3abc EJERCICIOS DESARROLLADOS 1. Efectuar: A = (x2 + x + 1) (x2 – x + 1) (x4– x2 + 1) (x8– x4 + 1)… hasta n factores. n n−1 A) x16 + x8 + 1 B) x 2 + x 2 +1 n n−1 C) x 2 − x 2 +1 D) x16 – x 8 + 1 E) x16 + x8 + 4 Solución: Tomando dos factores: (x2 + x + 1) (x2 – x + 1) = x4 + x2 + 1 2 1 = x2 + x2 + 1 Tomando tres factores: (x4 + x2 + 1) (x4 – x2+ 1) 3 2 = x8 + x4+ 1 = x 2 + x 2 + 1 Tomando cuatro factores: (x8 + x4+ 1) (x8 – x4 + 1) = x16 + x8 + 1 4 3 = x2 + x2 + 1 Análogamente, de acuerdo a la ley de formación se observada. Tomando n factores: A = (x2 + x + 1) (x2 – x + 1) (x4– x2 + 1) (x8– x4 + 1)… hasta n factores: n n−1 A = x2 + x2 +1

(4)3 = a3 + b3 + 3(3) (4) → a3 + b3 = 28 También sabemos que: (a + b)2= a2 + 2ab + b2 Reemplazando se tiene: (4)2 = a2 + 2(3) + b2  a2 + b2 = 10 De (2) y (4) se tiene: 𝐸=

𝑎3 + 𝑏3 28 = 𝑎2 +𝑏2 10

Si x + x– 1 = 3, hallar el valor de : E = x6 + x– 6 A) 302 B) 312 C) 318 D) 320 E) 322 Solución: Para obtener las potencias sextas, elevamos al cuadrado y luego el resultado se eleva al cubo: De: x + x– 1 = 3 Elevando al cuadrado se tiene: x2 + 2 + x– 2 = 9 → x2 + x– 2 = 7 Luego elevando al cubo: (x2)3 + 3(x2) (x– 2) (x2 + x– 2) + (x – 2)3 = 73 → x6 + x– 6 + 3( ⏟ 𝑥 2 + 𝑥 −2 ) = 343 → x6 + x– 6 = 322 Si a + b = 4; ab= 3, entonces el valor de 𝑎3 + 𝑏3 es: 𝑎2 +𝑏2 14 3 B) 5 7

… (3) … (4)

14

= 5 EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Efectuar: M = 256 +7(32 + 2)(34 + 4)(38+ 16) A) 38 B) 39 C) 316 D) 312 E) 163 2. Si x ≠ ±1 , el producto de: J = [

2

(x−1)2 (x2+x+1)

(x+1)(x2 −x+1)

(x3 +1)2 𝑥+1

x3 −1 𝑥−1

A)

][

B)

𝑥−1 3

] es: C) 𝑥 3 − 1

𝑥+1 𝑥 3 −1

D) 𝑥 + 1 E) 𝑥+1 3. Al simplificar: J = (x 2 y −2 − x −2 y 2 )(x −4 − y −4 )−1 , se obtiene: A) 𝑥𝑦 B) −𝑥𝑦 C) −𝑥 2 𝑦 2 2 2 2 2 D) 𝑥 𝑦 E) 𝑥 − 𝑦 4. Para que el cociente:

x5n+3 − y5(n+6) xn−1 − yn+2

notable, el valor de “𝑛” debe ser: A) 6 B) 3 C) 2 D) 4 5. Calcular el resto de dividir:

sea E) 5

𝑥 32 (𝑥+4)32+(𝑥+2)4 𝑥 2 +4𝑥−1

A) 32

B) 20

C) 17

D) 26

E) 12

la división de P(x) = x3 – 2x2 + nx – 20, entre (x – 1) exceda en 10 unidades al residuo de la división de P(x) entre (x – 3). A) –10 B) –12 C) 10 D) 14 E) 5

7. Hallar el resto evaluado en x = 5 , de la 367 x 2 2 x  x 1

división: A) 3 B) 2 8. Si ab = 1;

7

A) C) 5 D) E) 9 4 Solución: Las expresiones a3 + b3 y a2 + b2 lo calculamos a partir de la condición: a + b = 4, ab = 3 … (1) (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) Reemplazando se tiene:

D) 4

E) 5

a  b  IR. Calcular: b2 + 1

A) b a

𝐸=

C) 1

a2 + 1

P = a. √ a2 + 1 + b. √b2 + 1

7

3.

… (2)

6. Encontrar el valor de n para que el residuo de

x 2n + x 2n − 1 + 1 2.

CPU – UNSM -T

9. Si b + A) 6

B) 2 4b a

1

C) 2(a + b)

1

D) b 3

E) a

a + 6b

= 4. Calcular: S = √3b − a

B) 5

C) 4

D) 3

E) 2

10. Si 𝑎 + 𝑏 = 5 ; 𝑎2 + 𝑏2 = 17 , entonces hallar: 𝐽 = 𝑎 − 𝑏 , donde 𝑎 > 𝑏 A) 10 B)9 C)8 D)4 E)3 11. Al simplificar : pág. 17


ALGEBRA

(𝑥 2 − 𝑥 + 2)3 − (𝑥 2 + 𝑥 − 2)3 + 2(𝑥 − 2)3 = 𝐽(𝑥 − 2) 𝐽 es igual a: 4 A)𝑥 + 4 B)−6𝑥 2 C)−6𝑥 4 D)6𝑥 4 E)−𝑥 4 8x4 +Ax3 +Bx2 +Cx+D 2x2 −x+1

12. Al dividir:

se obtiene un cociente cuyos coeficientes disminuyen de uno en uno a partir del primero y deja como resto 5x + 1. El valor de: J=

√A + B + C + D A) 2 B) 3 C)4

D) 5

E) 6

13. Suponiendo que: 2x = a + b + c. Hallar “M” tal que:  x2 + M = (x – a)2 + (x – b)2 + (x – c)2 A) abc B) 2(a + b + c) C) a + b + c D) a2 + b2 + c2 E) 2(a + b + c) a+b 2 ( ) 2

a−b 2 ( ) 2

14. Reducir: E = − A) ab B) a – b C) a + b D) 1 E) 2(a + b) 2

4

8

15. Efectuar: 1 +3(2 + 1)(2 + 1)(2 + 1) A) 28 B) 29 C) 232 D) 412 E) 164 16. Al efectuar: 𝐽 = (𝑥 + 3)2 (𝑥 2 + 6𝑥 − 9) − (𝑥 − 3)2 (𝑥 2 − 6𝑥 − 9) El resultado es: A)72𝑥 2 B)24𝑥 3 C)2𝑥 4 D)16𝑥 E)−2𝑥 4 17. Hallar el valor de: 1 𝐽 = 𝑥3 + 3 𝑥 1 Sabiendo que: √𝑥 + 𝑥 = √7 √ A)116 B)110 C)113 D)120 E)115 1

18. si 𝑥 + 𝑥 = 2

1 1 1 + 2+ 3 𝑥 𝑥 𝑥 D)10 E) 8

𝐽 = 𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 + 1 + A)9

B)6

C)7

19. ¿Cuál es el valor de: 𝐽=

𝑥 2 +𝑦 2

Si 𝑥 −1 + 𝑦 A) 0

B) 1

𝑥𝑦 −1

+

𝑥+2𝑦

4

2𝑥

+

2𝑦 𝑥+3𝑦

= 𝑥+𝑦 ? C) 2

D) 4

E) 5

20. Uno de los términos que se obtiene al efectuar la expresión : 2 2 2 2 P  a  2 .a  1 .a  2 .a  1 , es: A) 16a4 B) 33a4 C) a6 D) 22a4 E) a2 – 1 21. Si a4n + a– 4n = 34, entonces el valor de an – a – n es: A) –2 B) 4 C) –4 D) 2 E) 3 2 6 6 22. Sabiendo que: (xy) = b; x – y = a3 + 3ab. Calcular: x2 – y2

CPU – UNSM -T

A) 1 B) 2a C) a D) 3ab E) ab 23. Hallar el valor numérico de P(a,b), para a – b = - 2, si se sabe que: P(a,b) = 7a – 3b + 3b(a – 2b) + 6 (b2 - b) – a(3b - 2) A) -15 B) -13 C) 11 D) 15 E) -18 24. Hallar el valor numérico de E para

x 32 3

, si: E = (x + 5 )3 – (x – 5)3 –

30x2. A) 125 B) 250 C) 180 D) 215 E) 300 25. Hallar el valor numérico de M para:

x  2 3

y  2 3 , si: 2 2 M = (x + 2y) – (2y – x) . A) 8 B) – 8 C) 16 D) – 16 E) 32 SEMANA N° 04 DIVISION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS DEFINICIÓN: Es una operación algebraica, consiste en hallar dos expresiones llamadas cociente “Q(x)” y residuo o resto “R(x)”, a partir de dos polinomios llamados dividendo “D(x)” y divisor “d(x)”. D(x) NOTACIÓN: ó D(x) d(x) ; d(x)  0. d(x)

También se puede denotar por: D(x) = d(x).Q(x) + R(x) NOTA: Si un polinomio P(x) es divisible por x – a, entonces se dice que x – a es un factor de P(x). PROPIEDADES: El dividendo y el divisor deben ser polinomios racionales y enteros. El dividendo y el divisor deben ser polinomios completos y ordenados en forma decreciente con respecto a la misma letra ordenatriz. [Q(x)] o = [D(x)] o – [d(x)] o Grado Máximo del: [R(x)] o = [d(x)] o – 1 Si un polinomio P(x) se anula para “x – a”; es decir, P(a) = 0, entonces dicho polinomio es divisible por (x – a). Si un polinomio P(x) es divisible separadamente por: x + a, x + b, x + c, entonces P(x) también es divisible por el producto (x + a) (x + b) (x + c). MÉTODOS PARA DIVIDIR POLINOMIOS: Para dividir polinomios enteros de cualquier grado se pueden utilizar cualquiera de los siguientes métodos: Método Clásico (Tradicional). Método de los coeficientes separados. Método sintético de Horner. Método de Ruffini. MÉTODO DE HORNER: Este método nos permite efectuar la división sintética entre dos Polinomios completos y ordenados, para ello solamente se consideran coeficientes. Su esquema clásico es el siguiente:

pág. 18


ALGEBRA

CPU – UNSM -T

: d

D I V I D E

N

Cambiar signo

i v

20x4 + 6ax3 − 3bx2 − 17cx + 9d 5x2 − 7x + 2

D O

+

Da un cociente cuyos coeficientes van aumentando de 4 en 4 y deja un resto igual a 34x + 3, hallar el valor de: E = (a + b) – (c + d). A) –9 B) – 8 C) – 7 D) 3 E) 5 Solución: Dividiendo por Horner: 5 20 6a – 3b – 17c 9d 7 28 –8 –2 56 – 16 84 – 24 4 8 12 (– 17c + 68)(9d –24)

+

X

i

s o

RESIDUO

C O C I E N TE

NOTA: Si a un polinomio P(x) le faltan términos, estos se completan con ceros.

El cociente es: 4x2 + 8x + 12 El resto es: (– 17c + 68) x + (9d – 24) = 34x −17c + 68 = 34 → c = 2 +3 →{ 9d − 24 = 3 → d = 3 6a + 28 Luego: =8 →a=2 y

TEOREMA DEL RESTO: P(x) En de la forma: con a ≠ 0, donde P(x) es ax + b un polinomio entero de cualquier grado, El resto es un valor numérico una división que se obtiene b mediante: R(x) = P(− )

5 − 3b – 8 + 56 5

a

COCIENTES NOTABLES DEFICICIÓN: Son divisiones indicadas de dos expresiones binómicas o de expresiones que pueden adoptar la forma y cuyo cociente se puede escribir por simple inspección, sin necesidad de efectuar la operación, cuya forma general es la siguiente:

xn ± yn x±y

FORMAS DE COCIENTES NOTABLES: FÓRMULA PARA CALCULAR UN TÉRMINO CUALQUIERA DE UN COCIENTE NOTABLE Si

xn − yn x−y

es un cociente notable, entonces un

término cualquiera del cociente notable se calcula con la siguiente fórmula: t K = (Signo)x n−k y k−1 Donde: tk: Lugar que ocupa el término. x: Primera base del C.N. y: Segunda base del C.N. n: Exponente del C.N. CÁLCULO DEL NÚMERO DE TÉRMINOS DE UN COCIENTE NOTABLE Si

xm − yp xn − yq

es un cociente notable, entonces el

número de términos se calcula mediante la m p siguiente fórmula: = = r; r IN n

1.

2.

q

EJERCICIOS DESARROLLADOS Hallar “n”, si el polinomio: x3 – nx2+nx – 1, es divisible entre:x2 – x + 1. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Solución: Usando el método de Horner: 1 1 –n n –1 1 1 –1 –1 (1 – n) (n – 1) 1 1 – n) 0 (n – 2) Como R = 0, entonces: (n – 2) = 0 n=2 Si la división:

3.

= 12 → b = − 4 Finalmente: E = (a + b) – (c + d) → E = (2 – 4) – (2 + 3) = – 7 Hallar E = m + n, si la siguiente división es xm (x−a)3m− 256(3a−x)2n

exacta: x − 2a A) 18 B) 20 C) 22 D) 24 E) 26 Solución: Dato: La división es exacta, el resto es cero. Entonces por el Teorema del resto se tiene: x – 2a = 0 → x = 2a, reemplazando: COCIENTE RESTO O DIVISIÓN NOTABLE RESIDUO xn − yn x − y xn

yn

− x + y

x n−1 + x n−2 y + x n−3 y 2 + … + y n−1

R = 0, ∀ n ∈ IN

x n−1 − x n−2 y + x n−3 y 2 − ⋯ − y n−1 x n−1 − x n−2 y + x n−3 y 2 − ⋯ + y n−1

R = 0, Si n es par R= – 2yn, Si n es impar

R = 0, Si n x n−1 − x n−2 y + es impar x n−3 y 2 − ⋯ + y n−1 R = 2yn , Si x n−1 − x n−2 y n es par + x n−3 y 2 − ⋯ − y n−1 xn + yn x n−1 + x n−2 y + R = 2yn , ∀ n−3 2 n−1 n ∈ IN x y + …+y x − y m 3m R = (2a) (2a – a) – 256 (3a – 2a) 2n Como el resto es cero. → 0 = 2m a ma3m – 2 8 a 2n → 2m a4m = 2 8 a 2n Comparando: m = 8, además 4m = 2n → 4(8) = 2n → n = 16. Luego: E = m + n = 8 + 16 = 24 xn + yn x + y

1.

EJERCICIOS PROPUESTOS Hallar el cociente de la siguiente división algebraica: 4x 5 − 12x 4 + 13x 3 + 12x 2 − x + 1 2x 2 − 3x + 1 3 A) 2𝑥 + 3𝑥 2 − 𝑥 − 9 B) 𝑥 3 + 2𝑥 2 − 8𝑥 − 5 pág. 19


ALGEBRA

C) 𝑥 3 − 𝑥 2 − 2𝑥 − 11 D) 3𝑥 3 − 2𝑥 2 + 8𝑥 + 8 E) 2𝑥 3 − 3𝑥 2 + 𝑥 + 9 2.

3.

4. a

11. Hallar el número de términos de la siguiente división notable: 2 29−7n n −1

(xn

Hallar la suma de coeficientes del cociente de dividir: 4x 5 + 13x 3 + 1 + 12x 4 − x + 12x 2 2x 2 + 1 − 3x A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) 11 Hallar el resto de dividir: 𝑥 7 + 3𝑥 5 + 𝑥 2 + 1 𝑥+2 A) 219 B) 200 C) 119

0

b

a

c

b

c

a

2c

b–1 2c

b+c

b–c

c

b+c

b c

7

Hallar J = a + b + c A) 8 B) 7 C) 9 5.

D)  219 E) 295

A partir del siguiente esquema de Horner: a(b + c)

3

c 2 D) 5

8.

9.

2c 6 E) 11

Sea Q(x) el cociente de efectuar: Calcular: Q(1) C) 1 D) 2𝑛 − 2 Hallar el resto de:

E) 2𝑛 + 1

2n  1x 4n  5n  3x 2n  n  5x 2n5  3n  4x19  n  3 : x  1

A) 4 7.

2b

a

xn +nxn−1 −n−1 x−1 A) 𝑛 B) 𝑛2

6.

B) – 1

C) 2

D) – 4

E) – 3

Hallar el residuo de la división de P(x) entre (x – 4) sabiendo que el término independiente del cociente es ( 500) y que el residuo de la división de P(x) entre 80x tiene por residuo a 1992 A) 8 B) – 8 C) 6 D) – 6 E) 5 Luego de efectuar una división de dos polinomios en “x”, el producto de la suma de los coeficientes del divisor y cociente es 15. La diferencia de cuadrados de la suma de los coeficientes del dividendo y el resto es 180 ¿Cuánto suman los coeficientes del dividendo y residuo? A) 12 B) 11 C) 10 D) 9 E) 8 4 3 2 Al dividir P(x) = x + Ax + Bx + 12x − 3 entre un polinomio de segundo grado, se obtuvo por cociente (x 2 − 100) y como residuo −188𝑥 + 197. Hallar: J = A + B A) 200

B) 400

C) 10

D) 300

E) 100

,

x ∈ ℝ − {1}.

Hallar: J = a − b A) 6 B) 7 C) 8

)

n2 −1

− (y29−7n )n

27−1

A) 60

; 𝑥 ∈ ℝ − {𝑥 = 𝑦}

81−1

√x27 −

√y9

B) 27

C) 72

D) 88

E) 50

12. ¿Cuál de las siguientes divisiones es exacta?

I) (2𝑥 5 − 10𝑥 4 + 2𝑥 2 + 1): (𝑥 + 1/2) II) (2𝑥 4 + 17𝑥 3 − 68𝑥 − 32): (𝑥 + 1/2) III)(2𝑥 3 + 8𝑥 2 + 14𝑥 − 8): (𝑥 − 2) (3𝑥 3 + 8𝑥 2 + 33𝑥 − 54): (𝑥 − 1) IV) A) Solo I D) II y III

B) Solo II E) II y IV

C) Solo III

13. Hallar J = m. n sabiendo que el polinomio: P(x) = nx 5 + mx 4 + 16x 3 − 9x 2 + x + 10, es divisible por (x − 1)(3x + 2) A) 81 B) 80 C) 79 D) 78 E) 77 14. Calcular: J = m + n sabiendo que la siguiente división es exacta: x 7 + mx 3 + nx 2 + 12 (x − 1)2 A) – 15 B) – 11 C) – 14 D) – 16 E) – 13 15. Determinar “a” y “b” si el polinomio: ax 8 + bx 7 + 1, es divisible por (x − 1)2 A) 7 y  8 B) 7 y 5 C) 8 y 7 D) 10 y  3 E) 5 y 6 16. Hallar el resto de la división: (x − 3)8 + (x − 4)5 + 6 (x − 3)(x − 4) A) 3x + 2 B) 2x − 1 C) 5x − 2 D) x + 2 E) 2 − x x75 +a50

17. Si el cociente notable es:

x3 +a2

Calcular el término diecinueve A) x16 a36 B) x 36 a18 C) x 8 a36 18 36 18 6 D) x a E) x a 18. Hallar el vigésimo 4

a4 +b4

cociente:

octavo

término

del

4

a4 +b4

A) a144 b108 D) −a144 b108

B) a44 b108 E) a14 b10

C) a144

19. Hallar el número de términos del siguiente producto: (x n+1 + x n + ⋯ x 2 + x) (x n−1 − x n−2 + ⋯ + 1 x

x−1+ ) A) n

, si “n” es par:

B) n + 1

C) 2n

D) 3n

E) n + 5

20. Simplificar: 1 x x2 xn x n+1 J = + 2 + 3 + ⋯ + n+1 + n+1 a a a a a (a − x)

10. La siguiente división: ax5 +bx4 +1 (x−1)2

CPU – UNSM -T

D) 9

E) 10

A)

1 a + x

B)

1 a−x

C) x

D) a

E) a + x pág. 20


ALGEBRA

21. El cociente notable que dio origen a:

𝑥 32 + 𝑥 30 + 𝑥 28 + ⋯ + 𝑥 4 + 𝑥 2 + 1, es: A)

𝑥 34 −1 𝑥−1

B)

𝑥 32 −1 𝑥−1

D)

𝑥 34 −1 𝑥+1

E)

𝑥 34 −1 𝑥 2 +1

C)

𝑥 34 −1 𝑥 2 −1

22. Simplificar la expresión:

C=

x 78 + x 76 + x 74 + ⋯ + x 4 + x 2 + 1 x 38 + x 36 + x 34 + ⋯ + x 4 + x 2 + 1

A) x 40 − 1 D) x 40 + 1

B) x 38 − 1 E) x19 − 1

C) x19 + 1

23. Hallar: J = m + n, si el término 25 en el desarrollo del cociente notable x129m −a86n x3m −a2n

A) 9

, es

x 270 a288

B) 10

24. Si el cociente:

C) 11

D) 12

x6n + 3 +a6n − 22 x

(

n−6 n−8 2 ) +a( 2 )

Calcular el número de términos A) 25 B) 12 C) 15 D) 35

E) 13 es notable. E) 40

25. En el desarrollo del cociente notable: x245 − ym xp − y2

, el término central es xq y24

Hallar: J = m + p + q A) 220 B) 222 C) 221 D) 223 E) 224

SEMANA Nº 05 FACTORIZACION ALGEBRAICA DEFINICIÓN: Es una transformación sucesiva de un expresión algebraica racional entera en otra equivalente expresada en factores primos. Ejemplo: FACTORIZACIÓN ⏞ ⏞ + 5)(𝑥 + 3 𝑥 2 + 8𝑥 + 15 = (𝑥 MULTIPLICACIÓN

NÚMERO DE FACTORES Y DIVISORES: Consideremos el polinomio en forma factorizada: P = xα yβ z, donde: x, y, z son los factores primos, Es decir se tiene 3 factores primos. Ejemplo: Consideremos la expresión algebraica factorizada P(x, y) = y2(x + y), donde sus factores primos son: (y), (x + y); y el número total de divisores son: (y), (y2), (x + y), [y(x + y)], [y2(x + y)], (1), por lo que el número total de divisores está dado por: El número total de divisores: ( + 1) ( + 1) = (2 + 1) (1 + 1) = 6. El número total de factores es:  +  +  CRITERIOS DE FACTORIZACIÓN: Son técnicas a utilizar, según la forma que presente la expresión algebraica. Algunas de estas son: 1. CRITERIO DEL FACTOR COMÚN: 1.1. FACTOR COMÚN MONOMIO: Ejemplo: Factorizar: P(x, y, z) = 4x4y2z – 2x3y5z2 + 18xy4z2

CPU – UNSM -T

Solución: El factor común es: 2xy2z, Luego se tiene: P(x, y, z) = 2xy2z (2x3 – x2y3z + 9y2z) 1.2. FACTOR COMÚN POLINOMIO: Ejemplo: Factorizar o descomponer en factores: P(x, y) = (x + 2) (x – 3) + 3y(x – 3) Solución: El factor común es: x – 3, Luego se tiene: P(x, y) = (x – 3) [x + 2 + 3y] → P(x, y) = (x – 3) (x + 3y + 2) 1.3. AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS: Se aplica cuando la expresión tiene cuatro o más términos, consiste en formar grupos de 2 ó 3 términos, de tal manera que todos los grupos tengan un factor común. Ejemplo: Factorizar: P(x) = x3 + x2 + x + 1 Solución: Agrupando: P(x) = (x3 + x2) + (x + 1) P(x) = x2(x+ 1) + (x + 1) Factor común: P(x) = (x + 1) (x2 + 1) 2. CRITERIO DE LAS IDENTIDADES: Este método está basado en algunas identidades algebraicas o productos notables, se considera los siguientes casos: 2.1. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO x2m  2xmyn + y2n= (xm  yn)2 Ejemplo: 9x2 + 12xy + 4y2 es un trinomio cuadrado perfecto, pues el cuadrado del binomio (3x + 2y)2 = 9x2 + 12xy + 4y2 2.2. DIFERENCIA DE CUADRADOS: x2m – y2n = (xm + yn) (xm – yn) Ejemplo: Factorizar E = x6 – x 4 + 2x2 – 1 Solución: Agrupando términos: E = x6– (x 4 – 2x2 + 1) E = (x3)2– (x 2 – 1)2 por diferencia de cuadrados se tiene: E = [x3 +(x 2 – 1)] [x3 – (x 2 – 1)] E = (x3 + x 2 – 1) (x3 – x 2 + 1) 2.3. SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS: x3m + y3n = (xm + yn) (x2m – xmyn + y2n) ó x3m – y3n = (xm – yn) (x2m + xmyn + y2n) Ejemplo: Factorizar o descomponer en sus factores la expresión: E = (2x – 1)3 + (x – 2)3 Solución: E = (2x – 1)3 + (x – 2)3 E = [(2x – 1) + (x – 2)] [(2x – 1)2 – (2x – 1) (x – 2) + (x – 2)2] E = (2x – 1 + x – 2) (4x2 – 4x + 1 – 2x2 + 5x –2 + x2–4x + 4) E = (3x – 3) (3x2 – 3x + 3) E = 9(x – 1) (x2 – x + 1) Ejemplo: Factorizar o descomponer en sus factores: E = (3x – 2)3 – 125x3 pág. 21

ALGEBRA

3.

4.

5.


Solución: E = (3x – 2)3 – 125x3 E = (3x – 2)3 – (5x)3 E = (3x – 2 – 5x) [(3x – 2)2 + 5x (3x – 2) + (5x)2] E = (– 2 – 2x) (9x2– 12x + 4 + 15x2 – 10x + 25x2] ç E = – 2(x + 1) (49x2– 22x + 4) E = – 2(x + 1) (49x2– 22x + 4) TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN: Lo ilustramos mediante un ejemplo. Ejemplo: Factorizar E = x4 + x2y2+ y4 Solución: La expresión no es trinomio cuadrado perfecto, entonces: x 4 es x 2 La raíz cuadrada de: { 4 y el doble y es y 2 producto de las raíces es 2x2y2, para que el trinomio sea cuadrado perfecto debemos sumar y restar x2y2, entonces se tiene: E = x4 + 2x2y2 + y4 – x2y2 E = (x2 + y2)2 – (xy)2 Factorizando la diferencia de cuadrados se tiene: E = (x2 + y2 + xy) (x2 + y2 – xy), ordenando E = (x2 + xy + y2) (x2 – xy + y2) CRITERIO DE UNA SUMA DE DOS CUADRADOS: En general una suma de dos cuadrados no se puede descomponer en factores racionales, pero si se suma y resta una misma cantidad, se puede llevar al caso anterior y factorizarse. Ejemplo: Factorizar E = 64x4 + y4 Solución: 64x 4 es 8x 2 La raíz cuadrada de: { 4 para que y es y 2 la expresión dada sea un trinomio cuadrado perfecto es necesario sumar y restar el término: 2(8x2) (y2) = 16x2y2 entonces se tendrá: E = 64x4 + 16x2y2+ y4 – 16 x2y2 E = (8x2 + y2)2– (4xy)2 Por diferencia de cuadrados se tiene: E = (8x2 + y2 + 4xy) (8x2 + y2 – 4xy), ordenando E = (8x2 + 4xy + y2) (8x2 – 4xy + y2) CRITERIO DEL ASPA: Se presentan los siguientes casos: 5.1. ASPA SIMPLE: Se utiliza para factorizar trinomios de la forma: P(x) = ax2n + bxn + c ó P(x) = ax2n + bxnym + cy2m Ejemplo: Factorizar: E = x2 – 7x + 10 Solución: Descomponemos los términos fijos en sus factores y luego sumamos los productos en aspa x2 – 7x + 10 x –5 – 5x x –2 – 2x La suma de los productos en aspa es igual al término central = – 7x

CPU – UNSM -T

La expresión factorizada es: E = x2 – 7x + 10 = (x – 5) (x – 2) 5.2. ASPA DOBLE: Se utiliza para factorizar polinomios de seis términos de la forma: ax2m + bxmyn + cy2n + dxm + eyn + f consiste en descomponer los términos en x2, y2 y el término independiente, los demás términos se reproducen sumando los productos en aspa, los factores se forman como en el caso anterior. Ejemplo: Factorizar: E = 8x2– 6xy – 9y2 + 10x + 21y – 12 Solución: Descomponiendo los términos fijos: 8x2 – 6xy – 9y2 + 10x + 21y – 12 4x + 3y –3 2x – 3y 4 −12xy + 6xy = −6xy 12y ⏟ ⏟ + 9y = 21y Además: 4x (4) + (2x) (– 3) = 10x (el cuarto término), luego la expresión factorizada es: E = 8x2– 6xy – 9y2 + 10x + 21y – 12 E = (4x + 3y – 3) (2x – 3y + 4) 5.3. ASPA DOBLE ESPECIAL: Se utiliza para factorizar polinomios completos y ordenados de cuarto grado: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e, en este método se descomponen los términos extremos en sus factores, la suma algebraica de los productos en aspa debe aproximarse al término en x2, el cual se descompone en sus factores, luego se verifica los términos restantes. Ejemplo: Factorizar: E = 2x4– 5x3 + 10x2 – 10x + 3 Solución: Descomponiendo los términos extremos: 2x4– 5x3 + 10x2 – 10x + 3 3x2 2 2x – 3x 1 x2

–x

3

Luego se la suma de los productos es aspa es: 7x2 Se debe tener: 10x2 Le falta: 3x2. Por lo tanto los factores son: E = 2x4– 5x3 + 10x2 – 10x + 3 E = (2x2 – 3x + 1) (x2– x + 3) E = (2x – 1) (x– 1) (x2– x + 3) 6. OTROS CRITERIOS: 6.1. CRITERIO DE LOS DIVISORES BINÓMICOS: Este método se utiliza para factorizar polinomios de una sola variable de cualquier grado y que pág. 22


ALGEBRA

admita factores lineales de la forma: (ax ± b) ó (x ± b): Es decir el método está basado en el criterio de la divisibilidad. Si P(x) es divisible entre (x – a), entonces R = P(a) = 0, de donde: P(x) = (x – a) Q(x), por lo que todos los divisores se obtienen aplicando Ruffini. Ejemplo: Factorizar: P(x) = x5 + 5x4 + 7x3 – x2 – 8x – 4 Solución: Las posibles raíces o ceros de – 4 son: ± 1, ± 2, ± 4. Aplicando Ruffini se tiene: 1 5 7 –1 –8 –4 1 1 6 13 12 4 1 6 13 12 4 0 –1 –1 –5 –8 –4 1 5 8 4 0 –2 –2 –6 –4 1 3 2 0 –2 –2 –2 1 1 0 –1 –1 1 0 Luego: x5 + 5x4 + 7x3 – x2– 8x – 4 = (x – 1) (x + 1)2(x + 2)2 6.2. CAMBIO DE VARIABLE: Este método consiste en ubicar expresiones iguales directas o indirectas realizando ciertas transformaciones, luego se hace un cambio de variable tal que permita transformar la expresión aparentemente complicada en otra expresión sencilla. Ejemplo: Facorizar: E= (x – 2) (x – 1) (x + 2) (x+ 3) + 3 Solución: Efectuando adecuadamente: (𝑥 − 1)(𝑥 + 2) + 3 E=(𝑥 ⏟ − 2)(𝑥 + 3) ⏟ E = (x2+ x – 6) (x2+ x – 2) + 3, se tiene una expresión común, se hace: z = x2 + x, reemplazando E = (z – 6) (z – 2) + 3 E = z2 – 8z + 15 E = (z – 5) (z – 3), regresando a la variable original. E = (x2+ x – 5) (x2+ x – 3) 6.3. FACTORIZACIÓN RECÍPROCA: Este método se aplica a los polinomios recíprocos. Ejemplo: Factorizar E = 2x4 + 23x3 + 49x2 + 23x + 2 Solución: Reduciendo a grado mitad. 23 2 E = x2[2x2+ 23x + 49 + + 2], x x agrupando los términos con coeficientes iguales. 1 1 E = x2[2(x2+ 2) + 23(x + ) + 49], x 𝑥 realizando cambio de variable: 1 1 z = x + → x2 + 2 = z2 – 2 𝑥

CPU – UNSM -T

E = x2[2(z2 – 2) + 23z + 49] E = x2[2z2 + 23z + 45] E = x2(2z + 5) (z + 9) recuperamos la variable original “x”. 1 1 E = x2[2(x + ) + 5] [x + + 9) x

2 2 2x + 5x + 2

x x2 + 9x + 1 ) 𝑥

E=x ( )( ç 𝑥 2 2 E = (2x + 5x + 2) (x + 9x + 1) E = (2x + 1) (x + 2) (x2 + 9x + 1)

1.

EJERCICIOS PROPUESTOS Luego de factorizar:

P( x)  10abx 2  5ax  1  2bx Indique un término de uno de sus factores primos. A) 5ax B) bx C) 10ax D) abx E) – 1 2.

Indicar la suma de factores del polinomio: P( x, y)  12x 2  xy  y 2 A) 3x + 5y B) 6x + 2y C) 7x + 2y D) 9x E) 7x

3.

Indicar la cantidad de factores lineales del polinomio:

P( x )  9x 4  40 x 2  16 A) 1 B) 2 C) 4 D) 5 4.

E) 3

Factorizar: E(x) = 7x2 + 29 x – 36 e indicar uno de sus factores A) x + 2 B) x – 1 c) 7x – 1 D) 7x + 2 E) x – 3

5. Luego de factorizar, indique la suma de los coeficientes de los términos en x de sus factores primos de la expresión: M (x) = abx2 + (a2 + b2)x + ab A) a + b B) 2a + b C) a + 2b D) a + 3b E) 2(a + b) 6. Factorizar: F(x, y) = 21x 8 + 32x 4y 3 – 5y 6, señale uno de sus factores: A) 7x4 – y2 B) 3x4 – y3 C) 3x4 – 5y3 D) 3x4 + y3 E) 7x4 – y3 7. Factorizar:

P( x, y)  6 x 2  2 xy  3x  24 y  8 y 2  18 Indicar uno de sus factores A) 3x + 4y – 6 B) 2x + 2 y + 3 C) 2x + 2y – 3 D) 3x + 4y + 6 E) 3x – 4y + 6 8. Factorizar: P( x, y)  2 x 2  7 xy  11x  19 y  6 y 2  15 , indicar uno de sus factores A) 3x + 4y – 6 B) x – 2y + 3 C) 2x + 2y – 3 D) 3x + 4y + 6 E) 2x + 3y + 5 9. Factorizar: P(x, y) = 3x 2 + 4xy + y 2 + 4x + 2y +1, luego señale un factor primo.

x

pág. 23


ALGEBRA

A) 2x + y + 1 B) x – y – 1 C) 2x + y – 1 D) x + y + 1 E) 3x + 2y + 2 10. Factorizar: A(x,y) = 9x2 +11xy + 2y2 + 26x + 5y – 3, e indicar el número de factores primos y divisores. A) 3 y 2 B) 3 y 5 C) 5 y 3 D) 4 y 16 E) 2 y 4 11. Factorizar: P(x, y) = 15x2 + 151xy + 10y2 + 45x + 301y + 30, e indicar la suma de coeficientes de uno de sus factores primos. A) 46 B) 48 C) 50 D) 54 E) 56 12. Reconocer un factor primo de:

P( x)  6 x 4  31x 3  25x 2  13x  6 A) 6x 2 + x + 1 C) x 2 – 5x + 3 E) x 2 + x + 3

B) x 2 + 5x – 3 D) 6x 2 - x + 1

CPU – UNSM -T

20. Indicar el producto de los términos independientes de sus factores primos de la expresión: E(x) = 12x 3 + 8x2 – 3x – 2 A) – 1 B) 0 C) – 2 D) 2 E) 5 21. La suma de los factores del polinomio: P( x)  x 5  x 4  1 , es: A) x 3  x 2  2 D) x 2  x  1

B) x 3  x  1 C) x 3  2x  1 E) x 5  2

22. Factorizar: E(x) = 4x 4 – 29x 2 + 25 e indicar la suma de coeficientes del término en “x” de sus factores. A) 6 B) 8 C) 9 D) 11 E) 13 23. Factorizar: A(x) = x 5 + x + 1, luego señale el factor cuadrático. A) x 2 + 2x + 1 B) x 2 + x – 1 C) x 2 – x + 1 D) x 2 + x + 1 E) x 2 + 2x – 1

13. Indicar uno de los factores primos de la siguiente expresión: F(x) = x 4 + 5x 3 + 4x 2 – x – 15 A) x 2 + 3x – 3 B) x 2 + 2x – 3 2 C) x – 3x – 5 D) x 2 + 3x – 5 2 E) x + 2x – 5

24. Factorizar: M(x) = x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + 2x 2 + 2x + 1, e indique e factor de grado 4. A) x 4 + 2x + 1 B) x 3 + x + 1 3 C) x + 2x + 1 D) x 4 + 3x + 1 4 E) x + x + 1

14. Uno de los factores de la siguiente expresión: F(x) = x 4 + 7x 3 + 19x 2 + 36x + 18, es: 2 A) x + x + 6 B) x2 + 2x + 6 C) x2 + 2x + 9 D) x2 + x + 9 2 E) x + 3x + 6

25. Factorizar E(x) = 6x 4 + 5x 3 + 6x 2 + 5x + 6, luego dar la suma de los términos independientes de sus factores. A) 2 B) 3 C) 5 D) 8 E) 9

SEMANA Nº 06

15. Factorizar: A(x) = x 4 – 8x 2 – 12 x – 5, luego indicar el producto de los términos independientes de sus factores. A) – 3 B) – 4 C) 5 D) – 5 E) 4

MÁXIMO COMÚN DIVISOR, MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Y DESCOMPOSICION DE FRACCIONES

16. Calcular la suma de los coeficientes de uno de sus factores lineales de la expresión: M(x) = x 4 + 2x 3 – 4x 2 + 8x – 32 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 17. Descomponer en sus factores primos e indicar el número de factores y divisores de la expresión: A(x) = x 5 + 4x 4 – 10x 2 – x + 6 A) 2 y 3 B) 3 y 7 C) 4 y 24 D) 5 y 31 E) 4 y 14 18. Factorizar: B(x) = x 5 + 3x 4 – 17x 3 – 27x 2 + 52x + 60, luego indique dos de sus factores primos: A) (x + 1) (x – 4) B) (x + 1)(x – 3) C) (x + 2)(x – 5) D) (x + 1)(x – 8) E) (x - 2)(x + 3) 19. Señalar uno de los factores de la expresión: F(x) = 12x 3 – 56x 2 + 77x – 30 A) 2x + 3 B) 2x – 2 C) 2x – 1 D) 2x – 3 E) x – 3

1. 2.

3.

MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD). El MCD de dos o más expresiones algebraicas es la expresión de mayor grado contenida como factor un número entero de veces en dichas expresiones. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM). El MCM de dos o más expresiones algebraicas es la expresión de menor grado que contiene un número entero de veces, como factor, a dichas expresiones. Pasos a seguir para calcular el MCD y MCM de dos o más Expresiones Algebraicas. Se factorizan las expresiones dadas. El MCD se determina considerando sólo factores comunes a todas las expresiones pero elevadas a su menor exponente. El MCM estará expresado por la multiplicación de los factores comunes a todas las expresiones pero elevadas a su mayor exponente luego multiplicado por los no comunes. PROPIEDADES: pág. 24


ALGEBRA

CPU – UNSM -T

El MCD de dos o más expresiones algebraicas primas entre si es la unidad y su MCM el producto de ellas. Solo para dos expresiones o polinomios se cumple: A.B = MCM (A, B).MCD (A, B)

MCM(A, L) = (x – 1)(x + 3) (x – 2)(x + 2). Por lo tanto el número de factores primos es: 4 Rpta: A FRACCIONES ALGEBRAICAS: F(x) Es una expresión de la forma siguiente:

EJERCICIOS RESUELTOS 1. Dados los monomios: ya – 3.zb– 2; ya – 1.zb + 5; ya + 4.zb – 3. El MCD de ellos es ynz; el MCM de los mismos es y10zm. Calcule: a + b + m + n. A) 24 B) 22 C)18 D)20 E) 16 Solución: El MCD de: (ya – 3.zb – 2; ya – 1.zb + 5; ya + 4.zb – 3) MCD = ya – 3.zb– 3. Luego se tiene: ya – 3.zb – 3 = ynz de donde: a – 3= n;  b – 3 = 1  b = 4 Además; el MCM de: (ya – 3.zb – 2; ya – 1.zb + 5; ya + 4.zb – 3) MCM = ya + 4.zb + 5  ya + 4.zb + 5 = y10zm De donde: a + 4 = 10  a = 6 y b+5= m m=9 Además. a – 3 = n  n = 3 Por lo tanto: a + b + m + n = 22 Rpta: B 2. Indique lo que se obtiene luego de multiplicar los polinomios A(x).L(x) y dividirlo entre su MCD; A(x) = x3– x2+ 7x – 18 y L(x) = x4 + 7x2 – 10x – 9 A) (x + 2)(x2 + x + 9)(x2– x – 1) B) (x – 2)(x2 + x + 9)(x2+ x – 1) C) (x – 2)(x2 + x – 9)(x2– x – 1) D) (x – 2)(2x2 + x + 2)2 E) (x – 2)(x2 + x + 9))(x2– x – 1) Solución: Factorizando se tiene: A(x) = (x – 2) (x2 + x + 9) ; L(x) = (x2 + x + 9) (x2 – x – 1) A( x).L( x) Se cumple que: MCM(A, L) = = MCD ( A, L)

son expresiones racionales en donde al menos en el denominador debe contener una variable. CLASES DE FRACCIONES ALGEBRAICAS: FRACCIÓN PROPIA: Una fracción se dice que es propia, si el grado del numerador es menor que el grado del denominador, en cualquier otro caso se le denomina fracción impropia. Son fracciones propias:

1.

2.

G(x)

1.

x 1

x 7  x 5  3x  5 x2  3 No son fracciones propias: x2  9

2.

x 3

,

6x 2  3 x 3

No son fracciones homogéneas:

3.

x 3  x  16

fracciones:

4.

5.

1.

x 2  9x x 5

Son “fracciones heterogéneas”. x2  3 FRACCIONES EQUIVALENTES: Dos

y

x2  x  9

 L(x) = (x – 1)(x+3)(x+2) Luego se tiene:

x 3  2 x  11

y Son “fracciones x 3 x2  3 impropias”. FRACCIONES HOMOGÉNEAS: Dos o más fracciones serán llamadas homogéneas, si no poseen el mismo denominador, de no ocurrir esto se les llamará fracciones heterogéneas. 5x 3  x

( x  2)(x 2  x  9)(x 2  x  9)(x 2  x  1)

Por lo tanto: MCM(A,L) = (x – 2) (x2 + x + 9)(x2 – x – 1) Rpta: E 3. Si el MCD de los polinomios: A(x) = x 3 + 4x2 + ax + b y L(x) = x3+cx + d es (x –1)(x + 3). Halle el número de factores primos que tiene el MCM de ellos. A) 4 B) 2 C) 3 D) 1 E) 5 Solución: A( x) Por propiedad: es una división MCD ( A, L) exacta:  A(x) = (x – 1) (x+3) (x – 2) L( x) es una división exacta MCD ( A, L)

x5  2x  3

y

x w son equivalentes si se  y z

verifica la siguiente condición. x w  Si: xz = yw y z  FRACCIONES COMPLEJAS: Una fracción se dice que es compleja si su numerador y/o denominador son fracciones. 2 x x Ejemplo: x3 FRACCIÓN DE VALOR CONSTANTE: Llamada también, fracción independiente de sus variables, es aquella que admite el mismo valor numérico al sustituir sus variables por cualquier sistema de valores permisibles. OPERACIONES CON FRACCIONES: ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN. Para fracciones homogéneas: m n mn   x x x

pág. 25


ALGEBRA

Para

fracciones

heterogéneas:

Simplificando se obtiene:

m n my  nx   x y xy

2.

MULTIPLICACIÓN:

1 5n  1 5n n 5S =  S= 5n  1 5n  1 5S = 1 –

m n m.n .  x y xy

m n my :  x y nx DESCOMPOSICIÓN DE FRACCIONES EN FRACCIONES PARCIALES: Consiste en transformar una fracción dada, como una suma de dos ó más fracciones simples. A continuación indicaremos los cuatro casos de descomposición de fracciones. CASO I. Si el denominador tiene únicamente factores de primer grado, por cada denominador de la forma: “ax + b”, le corresponde una fracción simple de la forma: A , A = cte. ax  b CASO II. Si el denominador presenta factores repetidos de primer grado de la forma: (ax + b)n por cada uno de estos factores le corresponderán “n” fracciones simples de la forma siguiente: An A1 A2   ...  2 ax  b (ax  b) (ax  b) n CASO III. Si el denominador presenta únicamente factores cuadráticos (no factorizables) de la forma: ax 2  bx  c por cada uno de estos factores le corresponderá una fracción simple de la forma: Ax  B 3.

DIVISIÓN:

2.

ax 2  bx  c

1.



A2 x  B2 (ax 2  bx  c) 2

 ...

A)

De donde. 5  A  B  0  3B  A  A = 3 y 3.

10 x 2  6 x  22 10 x 2  6 x  22  x 3  2 x 2  5 x  6 ( x  1)( x  2)( x  3) 10 x 2  6 x  22 a b c    --(*) ( x  1)( x  2)( x  3) x  1 x  2 x  3 a( x  2)(x  3)  b( x  1)(x  3)  c( x  1)(x  2) 10x 2  6 x  22  ( x  1)(x  2)(x  3) ( x  1)(x  2)(x  3)

De donde. 10x 2  6x  22  a( x  2)(x  3)  b( x  1)(x  3)  c( x  1)(x  2)

Asignando valores convenientes para la variable x, obtenemos los valores de a, b, c Si: x  1  10  6  22  a(3)(2)  a  3 Si: x  2  40  12  22  b(3)(5)  b  2 Si: x  3  90  18  22  c(2)(5)  c  5 Reemplazando en (*) se tiene:

(ax 2  bs  c) n

10 x 2  6 x  22 3 2 5    ( x  1)( x  2)( x  3) x  1 x  2 x  3

n 5n  1 2n E) 5n  1

C)

Multiplicando por 5 ambos miembros se tiene: 5 5 5 5    ... 1x6 6 x11 11x16 (5n  4)(5n  1)  1 1 1   1 1  5S = 1   +    +    +…+ 6   6 11   11 16   1   1     5n  4 5n  1 

5S =

Rpta: C fracción:

Indicando como respuesta la suma de los numeradores de todas las fracciones simples encontradas. A) 14 B) 12 C) 15 D) 18 E) 10 Solución:

An x  Bn

1 1 1 1    ...  6 66 176 (5n  4)(5n  1)

B = 2. Luego: A + B = 5 Descomponer la siguiente

10 x 2  6 x  22 en fracciones parciales. x 3  2 x 2  5x  6

Por lo tanto la suma de los numeradores es 10 Rpta: E

Solución: S=

Se

5x A B ( A  B ) x  3B  2 A    ( x  3)( x  1) x  x6 x3 x2

1 1 1 1    ...  6 66 176 (5n  4)(5n  1)

n n B) 5n  1 n 1 n D) 5n  1

5x x  x6 2

2

EJERCICIOS RESUELTOS Sumar las “n” fracciones mostradas: S=

Si la fracción algebraica:

Rpta: D

descompone en 2 fracciones parciales de numerador A y B. Hallar el valor de: A + B A) 4 B) 2 C) 5 D) 8 E) 6 Solución: Descomponiendo la fracción en fracciones simples se tiene:

ax 2  bx  c CASO IV. Si el denominador presenta factores cuadráticos (irreductibles) de la forma: 2 n ( ax  bx  c ) por cada uno de estos factores le corresponderán “n” fracciones simples de la forma: A1 x  B1

CPU – UNSM -T

1.

Si

EJERCICIOS PROPUESTOS se cumple: 2 x 2  3x  7 A B C    x( x  3)(x  4) x x  3 x  4

El valor de (A + B + C)4, es: A) 8 B) 4 C) 9 D) 16 E) 25

pág. 26


ALGEBRA

P( x)  ax 2  2 x  b y

2. Sean:

Q( x)  ax 2  4 x  b , si x – 3, es el MCD de P(x) y Q(x). El valor de (a + b) es: A) 28/3 B) 3 C) 10/3 D) 4 E) 29/3 3. Calcular

M

el

valor

de

m n  p . mn  mp  np 2

2

la

fracción

se

cumple:

2

Si

( x  m) 2  2( x  m)(x  n)  ( x  n) 2  0 ( x  m) 2  2( x  m)(x  p)  ( x  p) 2  0 A) 2

B) 3

C) 1

4. Si en la expresión E  reemplaza por

D) 4

y

E) 6

x2 cada x se x2

x2 , el valor que resulta al x2

sustituirse después x por 1/3 es: A) – 3/17 1/17

B) 17 E) – 1/17

C) – 17/3

D)

5. El producto de dos expresiones es (x2 – 1)2 y el cociente de su MCM y su MCD es (x – 2 1) . el MCD es: A) x2 – 1 B) x2 + 1 C) x – 1 D) x +1 E) (x + 1)2 6. Hallar el M.C.D. de los siguientes polinomios: A(x) = x3 + 5x2 + 8x + 4; B(x) = x3 + 3x2 – 4; C(x) = x3+ 6x2 + 12x + 8 A) x + 2 B) (x + 2)2 C) (x + 2)3 3 2 D) (x + 1) E) (x + 3) 7.

8.

El M.C.M. de P(x) y Q(x) es x3 – x2 – 4x + 4 y su M.C.D. es x2 + x – 2. Hallar el número de factores primos de P(x).Q(x) A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2 Hallar el valor numérico del M.C.D. de los polinomios: P(x) = x6 + 2x5 + x4 + x + 1; Q(x) = 2x4 + 7x3 + 9x2 + 7x + 2, Para x = √2 + 1. A) 5 – 3√2 B) 5 + 3√2 C) 5 – 2√2 D) 5 + 2√2 E) 2 + 5√2

𝐼 = 𝑥 3 +2𝑥 2 + 2𝑥 + 1 𝑃 = 𝑥 2 + 7𝑥 + 6 A)𝑥 − 1 B)𝑥 + 2 C)𝑥 + 3 D)𝑥 + 1 E)𝑥 − 2 12. Hallar el 𝑀. 𝐶. 𝑀. de: 𝑃(𝑥) = 𝑥 2 − 4𝑥 + 3 𝐼(𝑥) = 𝑥 2 + 4𝑥 + 3 𝐽(𝑥) = 𝑥 4 − 10𝑥 2 + 9 𝐶(𝑥) = 𝑥 3 − 9𝑥 + 𝑥 2 − 9 A) (𝑥 + 3)(𝑥 − 4)(𝑥 + 1)(𝑥 − 1) B) (𝑥 + 3)(𝑥 − 3)(𝑥 + 2)(𝑥 − 2) C) (𝑥 + 5)(𝑥 − 5)(𝑥 + 1)(𝑥 + 4) D)(𝑥 + 8)(𝑥 − 4)(𝑥 + 1)(𝑥 − 1) E) (𝑥 + 3)(𝑥 − 3)(𝑥 + 1)(𝑥 − 1) 3𝑤−4

13. Descomponer: 𝐽= 2 ; en 𝑤 −𝑤−6 fracciones parciales , e indicar una de ellas: A) 3/(𝑤 + 3) B) 2/(𝑤 − 2) C) 1/(𝑤 − 3) D) 3/𝑤 E) 4/(𝑤 + 5) 14.

Reducir a su mínima expresión: 𝐽=

A)

a + √a2 −1

a −√a2 − 1

La simplificación de: E = − a −√a2 − 1 a + √a2 − 1 es: A) √a2 − 1 B) a√a2 − 1 C) 4a√a2 − 1 D)√a2 − 1 E) √a + 1 3x3 + 12x2 + 15x − 2 x3 + 5x2 + 9x + 5

Ax − 1

x+B

= + 2 x+1 x + 4x + 5 Hallar “A + B” A) 4 B) – 4 C) 0 D) 6 E) – 6

10. Si

11. Hallar el 𝑀. 𝐶. 𝐷(𝐽, 𝐼, 𝑃) si: 𝐽 = 𝑥2 − 1

𝑎 𝑏

𝑎2 −𝑏2

−

𝑎𝑏−𝑏2

; resulta:

𝑎𝑏 𝑎𝑏−𝑎2 𝑎𝑏−2𝑏2 B) C)𝑎2 𝑎𝑏

D)

𝑏 𝑎

2𝑏2 −𝑎𝑏 𝑎𝑏

E)

15. Dadas las expresiones algebraicas: A = (𝑋2 − 4)(𝑋2 𝑌 + 3𝑋𝑌) B= 𝑋4 𝑌 2 + 8𝑋𝑌 2 ¿Por qué expresiones deberá multiplicarse cada una de ellas para que su MCD sea 𝑥 2 𝑦 2 (𝑥 2 − 4)? A) x(y+2) B) xy C) y+2 D) xy(x+2) E) y(x+1) 16. Simplificar: 𝑥 3 + 4𝑥 2 − 21𝑥 𝑥 3 − 9𝑥 𝑥+7 𝑥−3 A) B) C) 𝑥+3

𝑥+3

𝑥+7 𝑥−3

D)

𝑥+3 𝑥+7

E)

𝑥−7 𝑥−3

17. Si 𝑎−1 − 1 se divide por (𝑎 − 1), el cociente es:

A) 1

1 𝑎

B)−

1

C) a

𝑎

D) 1

E) –

𝑎𝑏

18. Reducir: A)

9.

CPU – UNSM -T

E)

𝑎+𝑏 𝑎−𝑏 𝑏 𝑎

𝑎 − 𝑎+𝑏 𝑎𝑏

𝑎 + 𝑎−𝑏

B)

𝑎 𝑏

C)

𝑎−𝑏 𝑎+𝑏

D)

𝑎2 +𝑏2 𝑎2 −𝑏2

19. Si P(x) = x3 + 8 y Q(x) = x4 + 4x2 + 16, hallar la suma de los coeficientes del M.C.D. de P(x) y Q(x). A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9 20. Si M(x, y) es el M.C.D. de P(x, y) = x4 + 4y4 y Q(x, y) = x4 – 2x3y + 2x2y2 en R(x, y), hallar M(1, 2) A) 11 B) 9 C) 7 D) 5 E) 3 pág. 27


ALGEBRA

21. ¿Cuántos factores primos tiene el M.C.M. de los polinomios: P(x) = x7 – x, Q(x) = x5 – x R(x) = x4 – x? A) 2 B) 4 C) 6 D) 7 E) 8

1.

2. 22. Descomponer en fracciones parciales F(x) = 3x + 4

3.

x2 + 3x + 2 3 1 + x+2 x+1 2 1 C) − x+2 x+1

A)

E) 23. Efectuar R =

2 3 + x+2 x+1 1 1 D) − x+2 x+1

B) 2 1 + x+2 x+1

4.

5.

(x + a + b + c)(x + a + b + d)− cd (x + b + c + d)

A) x + a + b B) x + c + d C) x + a + d x+a+c E) x + b + d

D)

6.

P( x)  ax 2  2 x  b

y

7.

24. Sean:

Q( x)  ax  4 x  b , si x – 1 es el 2

MCD de P(x) y Q(x). El valor de a.b es: A) 3 B) 2 C) 6 D) 4 E) 5 25. Hallar el M.C.D y dar como respuesta el número de divisores: 𝑃(x, y, z) = x 2 y 7 z 8 P(x, y, z) = x 4 y 3 z 9 P(x, y, z) = x 5 y 2 z 8 A) 108 B) 528 C) 825 D) 81 E) 208

SEMANA Nº 07 RADICACIÓN Y RACIONALIZACIÓN RADICACIÓN POLINOMIAL: Es una operación matemática, que consiste en hallar una expresión algebraica llamada raíz tal que elevada al índice resulte otra expresión llamada radicando o cantidad subradical. Índice

Signo radical

n

Radicando

1.

MÉTODO DE EXTRACCIÓN DE LA RAIZ CUADRADA: Ordenar el polinomio en forma descendente respecto a una de sus variables, si falta un término se completa con términos de coeficiente cero. Los términos del polinomio se agrupan de dos en dos, de derecha a izquierda. Se extrae la raíz cuadrada del primer término, el cual es el primer término de la raíz. El término obtenido de la raíz se eleva al cuadrado y se le resta al primer término del polinomio. Bajar los dos términos del polinomio y duplicar la raíz obtenida hasta el momento. Se divide el primer término de los bajados entre la raíz duplicada. El resultado es el segundo término de la raíz. A este término se le suma la raíz duplicada y todo ello se multiplica por el segundo término de la raíz para luego restarlo del polinomio. Se baja los siguientes dos términos y se prosigue como en los pasos anteriores hasta que el grado del residuo sea menor que el de la raíz o que este resulte nulo. RADICALES DOBLES: Se caracterizan por que dentro de un radical se tienen otros radicales ligados con las operaciones de adición y sustracción, muchos de ellos se pueden transformar en una suma o resta de radicales simples. Tienen la siguiente forma: A  B , donde A y B son expresiones racionales positivas. TRANSFORMACIÓN DE RADICALES DOBLES EN RADICALES SIMPLES PARA RADICALES DE LA FORMA:

A  B Donde A y B son números racionales, y que además existen otros números racionales positivos “x” e “y” 𝐴+𝐶 𝐴−𝐶 tales que: √𝐴 ± √𝐵 = √ ±√ , 2

n  Z+, n  2

A  r  r n  A,

2.

2

− B, (A – B es un cuadrado

Donde C =

√A2

perfecto).

Regla

2

A2 B =

práctica:

( x  y)  2 xy  x 

Raíz

RAÍZ CUADRADA DE POLINOMIOS: Cuando el índice de la radicación es 2, se denomina raíz cuadrada. Dado que la raíz cuadrada de un polinomio no siempre resulta otro polinomio, se considera un término adicional llamado residuo, de modo que todos los términos de la radicación sean polinomios. RAIZ CUADRADA DE UN POLINOMIO P(x) Q(x) R(x)  P(x) = Q2(x) + R(x) 0 [P(x)] = par; [R(x)] o < [Q(x)] o Si R(x) = 0, entonces la raíz cuadrada es exacta. Si R(x)  0, entonces la raíz cuadrada es inexacta.

CPU – UNSM -T

y , con: x > y

RADICALES DE LA FORMA: √𝐴 + √𝐵 + √𝐶 + √𝐷 donde A, B, C y D son números racionales positivos, su fórmula de transformación es la siguiente: A

B 

C 

D 

A, B, C , D, X , Y , Z   Q

x 

y 

z



x  y  z  A 4 xy  B   4 yz  C  4 xz  D

Regla práctica: √(x + y + z) + 2√xy + 2√xz + 2√yz = √𝑥 + √𝑦 + √𝑧

pág. 28


ALGEBRA

3.

RADICALES

DE

LA

ax4 + 3ax3 + (6a + b) x2 + 6ax + a2

FORMA:

(mx  nx  p) 2

A  B  C  D La transformación de este radical doble es semejante al caso anterior. Es decir, se tiene:

ax 4  3ax 3  (6a  b) x 2  6ax  a 2  m 2 x 4  2mnx3  (n 2  2mp) x 2 2npx  p 2

RADICALES DE LA FORMA: 3 A  B , el cual se puede expresar como: 3

Por ser polinomios idénticos: 𝑎 = 𝑚2 ; 3a = 2mn 6a + b = n2 + 2mp 6a = 2np a2 = p2 De donde: a = p = 4; b = 1; m = 2 y n = 3 Rpta: A Transformar a radicales simples, el siguiente

A  B  x  y ; {A, B, x, y}  Q+

4 x 3  3(3 A 2  B ) x  A  0 Donde :  Dónde: C  y  x 2  3 A 2  B 3

2

= A  B es una raíz exacta. RACIONALIZACIÓN: Es una transformación de una expresión algebraica irracional en otra equivalente racional, para ello ambos términos de la fracción se multiplica por una expresión llamada factor racionalizante. Los casos que se presentan se resumen en la siguiente tabla: DENOMIN DENOMINA FACTOR ADOR DOR RACIONALIZAN DE LA RACIONALI TE FORMA ZADO n

n

√Am

A

A

B

3

√A + √B 3

3

√A − √B

2.

radical doble: 2  3 A) 1 3 1 1 3   B) C) 2 2 2 2

3 3  3  1  2  3  2  4   2  2  2  2     4 4    2  2 

3.

Halle

A

A)

A–B

3

3

A–B

B 3

C) D)

A 2  3 AB  B 2

A+B

A 2  3 AB  3 B 2

A–B

n

√A − √B nIN

n

n

√A + √B nIN impar n

n

√A + √B nIN par

1.

𝑛

4 1 2 3 5

5 7 5  10 6  10 5 8 8 6 x

y z

16  2 5.4  2 4.7  2 7.5  7  5  4

A–B

Rpta: A EJERCICIOS PROPUESTOS 3

3

1. Dada la siguiente expresión E = 3 2m – A+B

m3 128 + 4m3 2 – 2m3 54 , el valor de E3

𝑛

√𝐵𝑛−1

+ 𝑛 √𝐴𝑛−1 𝑛 − √𝐴𝑛−2 𝐵 + ⋯

Rpta: B de:

cuadrada

16  80  112  140 

√𝐴𝑛−1

+ √𝐴𝑛−2 𝐵 + ⋯ 𝑛 + √𝐵𝑛−1 𝑛 √𝐴𝑛−1 𝑛 − √𝐴𝑛−2 𝐵 + ⋯

raíz

E) Solución:

𝑛 n

la

3 1  2 2

16  80  112  140

A

B

1 2

D) 1

E) 3  2 Solución:

B)

A B 3

A nm

=

2

Desarrollando y reduciendo, se tiene:

A B  C  D  x  y  z 4.

CPU – UNSM -T

es: A) – 9m3 D) –54m3

A+B

𝑛

+ √𝐵𝑛−1

EJERCICIOS RESUELTOS Hallar a.b si la raíz cuadrada de: ax4 + 3ax3 + (6a + b) x2 + 6ax + a2 es exata. A) 4 B) 8 C) 7 D) 10 E) 5 Solución: Aplicando el método de los coeficientes indeterminados. El polinomio es de grado 4, implica que su raíz cuadrada será de grado 2, es decir: raíz( x)  mx2  nx  p Luego:

2.

Al

B) – 6m3 E) – 18m3 simplificar

M

la

C) 54m3 expresión

52 6 , el valor de 2 3 2  6

M es: A) 3.

2  1 B) 2  1 C) 2 D) 2 E) 2  3 Calcula

el

valor

de

E  4 17  6 8  4 17  6 8 A)

2

3

B)

2

C) 3

D) 1

E) 4.

pág. 29


ALGEBRA

2 3 2 5

4. Después de racionalizar: el nuevo denominador es: A) 8 B) 6 C) 5

D) 4

E) 3

5. Transformar a radicales simples la siguiente 3

expresión: A) 1 3

38  17 5

B)

C) 2  5

2 5

E)

3

3

6. Calcular: x = √20 + 14√2 + √20 − 14√2 A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 √2x + √4x 2 − 4 7. Transformar: E = en radicales simples A) √x + √x − 1 B) √x + 1 + √x C) 2√x D) √x + 1 + √x − 1 E) 1 + √x − 1 4 8. Descomponer M = √7 + 4 √3 3 2

1 5

3 5

A) √ + √ 3 2

1 3

3

1

2

2

1 2

B) √ + √ 2 3

C) √ + √

D) √ + √

1 2

E) √ + √ 9.

2n

2n

Efectuar: S = √(√3 + 2)2 . √7 − 4 √3

A) – 1 B) 1 C) 2 3 10. Racionalizar: 3 √54

A) √54

D) – 2 √144 2

B) √144 C) 18

11. Racionalizar:

E) 3

3

5

144 3

D) √2 E)

24

3

√2

+3

√16

3

3

B)

C)

D)

B) 1

C) 3

D) 2

+

E) 4

5

14. Reducir: a + √ab a−b a2 + 5√c

A)

2

√3a7 b6 c5

E) 5

3

3

2m

B)

 3 3m

D) 0 25. Racionalizar:

C)

3

3m

E) m

√5 + √3 + √10 + √6 Para luego indicar como respuesta el denominador racional: A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

SEMANA Nº 08 ANÁLISIS COMBINATORIO

5

√24a2 bc

B)

denominador

1

y

13. Calcular x en: √x + 44 + 14√x − 5 √x + 59 + 16√x − 5 = 17 A) 6

√2 + √3 − √5

como respuesta el racionalizado. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

A)

√x+y 2

√x+y

E)

17. Calcule el cubo de: J = ( √17 + 12√2)3 A) 9 + 5√2 B) 12 + 6√2 C) 8 + 4√2 D) 7 + 6√2 E) 7 + 5√2 15 5 18. Efectuando J = √7 − 5√2 . √1 + √2 , se obtiene: A) – 1 B) 1 C) 2 D) – 2 E) – 3 19. Luego de racionalizar y simplificar dar como respuesta el denominador de: 35 J= 5 3 + √2 A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 20. Hallar la raíz cuadrada de: x4 + 29x2 – 10x3 – 20x + 4 2 A) x – 5x + 2 B) x2 – 3x +2 C) 2 x + 2x – 5 D) x2 – 3x + 2 E) x2 –x+2 21. La raíz cuadrada de: 16 + 2√55 es: A) √5 + √10 B) √11 − √5 C) √11 + √5 D) √8 + √7 E) √11 + 6 n 2n 22. Calcular el valor de E = √√3 + 2. √7 − 4√3 A) 4 B) 5 C) 3 D) 1 E) 2 6 23. Después de racionalizar E = dar

obtiene:

x−y 2x

2y

C) E)

16. Hallar J = a. b , si la raíz cuadrada de: ax4 + 3ax3 + (6a + b) x2+ 6ax + a2 es exacta. A) 4 B) 8 C) 7 D) 10 E) 5

24. Luego de simplificar:

√x − y x + y− √x − y √

x−y A) x+y x−y + √x2 −y2

B) 3𝑥 2 + 2𝑥 + 7 D) 3𝑥 2 + 3𝑥 + 7

3. 2m3 – m.3 128 + 4m.3 2 – m.3 54 , se

A) √2 B) 15√75 C) 15 √4 D) √4 E) √4 12. Racionalizar:

A)3𝑥 2 + 2𝑥 − 7 3𝑥 2 + 3𝑥 − 7 2x 2 − 3x − 7

4

2 3

2 3

D)

CPU – UNSM -T

ab 5 √ac 4 2 b+2c

E)

C)

a−c a+b

a

15. Hallar la raíz cuadrada de: J(x) = 9x 4 + 12x 3 + 49 − 28x − 38x 2

D)

FACTORIAL DE UN NÚMERO: El factorial de un número entero y positivo “n”, se define como el producto que resulta de multiplicar todos los números enteros consecutivos desde 1 hasta el número considerado. Se denota como: n! FORMA MATEMÁTICA: n! = 1.2.3.4… (n – 1).n, donde n ≥ 1 pág. 30


ALGEBRA

PROPIEDADES: 1. 0! = 1, 2. 1! = 1, 3. n! = n(n – 1)!; n ≥ 1 4. a! b! (a  0  b  1)  (a  1  b  0)  (a  b) NÚMERO COMBINATORIO: DEFINICIÓN: Se define como el número total de grupos que se pueden formar con n elementos tomados de k en k, en el cual cada grupo debe diferenciarse de otro por lo menos de un elemento. FORMA MATEMÁTICA:

Ckn  1.

PROPIEDADES: Combinaciones complementarias

1.2. C1n  Cnn1  n

3.

2

5.

6.

7.

8.

1.

3.



Tc2 = Tn + 3

Si “n” es

2

n

Suma de todos los exponentes de las variables del desarrollo de (axp + byq)n es:

( p  q)(n)(n  1) 2

El número de términos del desarrollo de ( x1  x2  x3  ...  xr ) n esta dado por:

El equivalente del valor máximo en el desarrollo de ( x  y) n es el término central si n es para y los dos centrales si n es impar. PERMUTACIONES: Para “n” objetos diferentes el número de permutaciones es: Pn = n! PERMUTACIÓN CIRCULAR: El número de permutaciones circulares de “n” elementos distribuidos alrededor de una curva cerrada es: Pnc = (n − 1)! PERMUTACIÓN CON REPETICIÓN: El número de permutaciones en el que se repite alguno de ellos es: n! n P(k = 1 , k2 , k3 … km ) k1 ! k 2 ! k 3 ! … k m ! Donde: k1 , k 2 , k 3 , … , k m : Número de veces que se repite cada elemento k1 + k 2 + k 3 + ⋯ + k m = n: Número total de elementos. EJERCICIOS RESUELTOS Cuantos valores de “x” dan existencia a

x   1 ! , si “x” es menor que 30? 3  A) 5 B) 6 Solución:

C) 7

D) 8

E) 9

 x  1  z 0 3 

Debe cumplir que: 

 x es múltiplo de 3, Además: 0  x  30



Dónde: k + 1: es el término del lugar buscado. n: es la potencia del binomio. x: es el primer término del binomio. y: es el segundo término del binomio. Término General contado de derecha a izquierda se encuentra. Tk 1  Ckn y n  k x k

2

y

(n  r  1)! n!(r  1)!

FÓRMULA DE NEWTON: Dado el binomio: (x + y) y n  IN, se tiene: Donde el desarrollo del polinomio es completo y homogéneo de grado “n”. PROPIEDADES: 1. El desarrollo de binomio tiene (n + 1) términos. 2. Término General contado de izquierda a derecha se encuentra: Tk 1  Ckn x n  k y k

n

y 2 . Si n es par y

impar, existen dos términos centrales. Suma de todos los coeficientes del desarrollo de (ax + by)n es:

 exp. 

 nm  kr    n  m  k  r  m 

( x  y) n  C0n x n  C1n x n1 y  C2n x n2 y 2  ...  Cnn y n

n 2

 coef .  (a  b)

n C kn1 Sólo índice superior: C kn  nk n  k 1 n Ck 1 Sólo índice inferior: C kn  k TEOREMA: m

n

2

C kn  C kn1  C kn11 Degradación de índices n Ambos índices: C kn  C kn11 k

n

1

n  Cn x

Tc1 = Tn + 1

Suma de combinaciones de igual índice superior pero inferiores diferenciados en 1.

Si: C k  C r

Término Central tiene la forma: Tc  T n

n! . Dónde: {n; k}  IN, n ≥ k. k!(n  k )!

C kn  C nnk Corolarios: 1.1. C0n  Cnn  1 2.

4.

CPU – UNSM -T

Es decir: x  3;6;9;12;15;18;21;24;27 Luego x toma 9 valores. Rpta: E 2.

 n   n  1  , 

En la suma combinatoria de: S=      2  2 donde n es natural, mayor o igual que 3. simplificar se obtiene:

Al

pág. 31


ALGEBRA

A) Un número primo B) Un cuadrado perfecto C) Un número impar D) Un numeró par E) Un múltiplo de 4 Solución: Desarrollando. S = (n2) + (n−1 ) 2

6. Hallar la suma de los coeficientes de todos los términos que se obtienen al desarrollar: (5x – 4xy4)12 A) 12 B) 13 C) 0 D) 1 E) – 1

S=

8. Si Cn  28 , Hallar el valor de “n” n2 A) 7 B) – 7 C) 8 D) 9

S= 3.

CPU – UNSM -T

7. La suma de los exponentes de todos los términos del desarrollo de: (x4 + y2)20 es: A) 1260 B) 840 C) 420 D) 1470 E) 2100

(n−1)! n! + 2!(n−2)! 2!(n−3(¡ (𝑛−2)!(𝑛−1)𝑛 (𝑛−3)!(𝑛−2)(𝑛−1)

+

2(𝑛−2)! (n − 1)2

s= Hallar

el

2(𝑛−3)!

término

3 2 1   x   3x  2 2

Rpta: B independiente de:

t

C

tk + 1 =

93  k 2



C

18

 x2  

93   k 2

9 k

9 k

 

 18 – 3k = 0

6

 1     3x 

3

C

9 6

6

k

B) 220

k

A) 4!

independiente

será:

3 1 9! 3 1 x x 6  7 / 18      2 3 6 !. 3 ! 8 3    

B) 2

4!. 25!( 4! )!. 5! 5! ( 4! )!4! (24! ) C) 3

B) 9!

C) 8!

D) 7!

E) 2!

12. Si: C n  2C n  C n  C a15 . Hallar: Cna 12 13 14 n5 A) 200 B) 144 C) 126 D) 80 E) 100 13. Encontrar el coeficiente del término cuya parte literal es: x20 en el desarrollo de: 12

 3 1 x   x 

D) 4

A) 495

E) 5

(n!2)3 (n! )! (n! )!(n!1)!(n!2)! B) n! + 1 C) n! + 2 D) n! + 3

2. Simplificar: A) n!

E) 270

(8! )8!1.(7! )9!.(9! )8! [9(7! )9.(8! )2 ]8!

EJERCICIOS PROPUESTOS

A) 1

D) 224

3

Rpta: B

1. Simplificar:

C) 222

10. En el desarrollo del binomio: 2x  y 10 el coeficiente de x6y4 es: A) 13 800 B) 13 450 C) 13 400 D) 13 440 E) 13 455 11. Simplificar:

  1  183k   .x  3 

De donde: k = 6. Luego el término 3

x 2  3y5

A) 218

7

 k 1

9. Hallar el coeficiente del cuarto término del desarrollo de la siguiente potencia:

9

A) B) C) D) E) 18 18 7 7 8 Solución: Sea tk+1el lugar que ocupa el término independiente es decir:

E) 10

B) 395

C) 490

C8  C8  C9 5 6 4. Simplificar: 4 10 C 4 A) 1 B) 2 C) 3 D) 1/2

E) 3/2

Cn .Cn  2 n  5. Calcular “n” a partir de: 2 4 4 C n 1 3 A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10

E) 275

   (2n  3)!  (n  1)!n! 14. Simplificar     (2n  1)!(2n  2)!   (n  2)!  A) 2 B) 3 C) (2n + 1)! D) (2n + 2)! E) (2n + 3)!

15. Calcular el valor de E 

E) (n! + 2)! 3. Para que cumpla la siguiente igualdad y! x!!  y!. y!. y!..... y! , se requiere que     x!! y!720 719  veces “x” sea igual a: A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

D) 390

A) 12

B) 4

C) 10

2C15  8C15 6 9 5C15 6 D) 8

E) 2

16. ¿Para qué valor de “n” en el tercer término del desarrollo de: (x – 1 – 2 x17)n el Coeficiente es igual al exponente de “x”? A) 5 B) 6 C) 7 D) 9 E) 18



n

17. Si el desarrollo del binomio: 2x 3  3y 2 tiene 15 términos, hallar el grado absoluto del décimo tercer término. A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50

89n! (10! ) 2  (8! ) 2  , el valor de “n” es: (n  8)! 10!8! A) B) 4 C) 6 D) 8 E) 10

18. Si:

pág. 32


ALGEBRA

19. Hallar “x” (𝑥 − 1)(𝑥 − 2)! + 𝑥(𝑥 − 1)! + (𝑥 + 1)𝑥! = 864 A) 1 B) 5 C) 4 D) 0 E) 3 1. 20. Calcular “n” en:

(n  2)! (n  1)! n!  2n  30 (n  1)! n!

A) 29

B) 32

C) 31

D) 26

E) 33 2.

21. Hallar k si: 18  16  40   51  k k A) 2

B) 3

C) {33, 2}

D) 6

22. Hallar el término independiente



desarrollo de:  x 



A) 80

B) 81

1   4 x

C) 82

E)8 del

3.

9

D) 83

E) 84

23. Hallar el término que ocupa el lugar 103



104

en el desarrollo de x 3  3 y A) 5 536 x5y34 B) 5 365 x5y35 C) 5 635 x6y36 D) 5 356 x6y34 E) 5 434 x5y35

4.

24. Si la expresión: (n  6)!(n  5)!(n  4)! , es E 1  (n  6)!(n  3)!   1  n5 (n  3)!  equivalente a la unidad. Indicar cuáles son los posibles valores de n. A) {– 4, – 3} B) – 3 C) – 4 D) 3 E) 4

2x 4x6x8x...x200 100! C) 1002 D) 2100 E) 21000

25. Simplificar: E  A) 200

B) 100

SEMANA Nº 09 TEORÍA DE ECUACIONES IGUALDAD: Es una relación que existe entre dos expresiones matemáticas, mediante el signo “=” (igual). Primer miembro

A=B

Segundo miembro

CLASES DE IGUALDADES: Son las siguientes: 1. IGUALDAD NUMÉRICA: Formada por números: Ejemplo: 32 + 3 = 23 + 4 2. IGUALDAD LITERAL: Está formada por números y letras: 2.1. IGUALDAD ABSOLUTA: Se verifica para cualquier valor de sus variables. Ejemplo: x2 – y2 = (x – y) (x + y) 2.2. IGUALDAD RELATIVA: Se verifica para valores específicos de las variables. Ejemplo: 5x + 3 = 3x + 7

1. 2.

3. 4.

1. 2.

CPU – UNSM -T

ECUACIÓN: Es una igualdad condicional, tiene por lo menos una variable o incógnita, puede tener o no solución. CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES: ECUACIONES ALGEBRAICAS: Con las incógnitas se pueden realizar todas las operaciones matemáticas. Estas son: b) POLINOMIALES. c) FRACCIONARIAS. d) IRRACIONALES. ECUACIONES TRASCENDENTES: Si por lo menos uno de sus miembros son expresiones no algebraicas. Estás son: a) EXPONENCIALES. b) LOGARÍTMICAS. c) TRIGONOMÉTRICAS. SEGÚN SUS SOLUCIONES: pueden ser: a) COMPATIBLES: Tienen solución:  DETERMINADA: Tienen un número limitado de soluciones: Ejemplo: 8x – 4 = 3x + 6 x = 2  INDETERMINADAS: Tiene un número ilimitado de soluciones. Ejemplo: 2(x – 3) = 2x – 6  0x = 0 b) INCOMPATIBLES: No tiene solución. SEGÚN SU GRADO: Pueden ser de: a) Primer Grado o lineales. b) Segundo grado o cuadráticas. c) Tercer grado o cúbicas, etc. ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA DEFINICIÓN: Una ecuación de primer grado o lineal es aquella que tiene la forma: ax + b = 0, a  0, donde a y b se denominan coeficientes. REGLA GENERAL PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA: Se efectúa las operaciones indicadas, si los hay. Se hace la transposición de términos, poniendo en un miembro los términos que contengan la incógnita y en el otro miembro las cantidades conocidas. Se simplifica términos semejantes en cada miembro. Se despeja la incógnita dividiendo ambos miembros de la ecuación entre el coeficiente de la incógnita. ECUACIONES CUADRÁTICAS: Son aquellas que tienen la forma: ax2 + bx + c = 0 con a  0, Donde a, b y c  IR. MÉTODO DE SOLUCIÓN: Usando el método factorización. Usando la fórmula de Carnot:

x

b

b 2  4ac 2a

pág. 33


ALGEBRA

RELACIÓN ENTRE RAÍCES Y COEFICIENTES DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO: Supongamos que x1 y x2 son las raíces de la ecuación ax2 + bx + c = 0, entonces se tiene:

b c ax + bx + c = 0  x + x   0 , donde: a a b La suma de las raíces: S = x1  x2 =  a c El producto: P = x1 .x 2 = . a 2 b  4ac La diferencia: D = x1  x 2  a 2

2

Entonces la ecuación cuadrática se construye mediante: x2 – Sx + P = 0 ECUACIONES BICUADRÁTICAS: Son aquellas ecuaciones que no son cuadráticas, pero, mediante un artificio se reducen a cuadráticas. Son de la forma: ax4 + bx2+ c = 0, con a ≠ 0, donde sus coeficientes: a, b y c  IR. MÉTODO DE SOLUCIÓN: 1. Factorizando e igualando a cero cada factor, o 2. Haciendo: x2 = y, Luego reemplazando en la ecuación dada, esta se trasforma en una ecuación de segundo grado:ay2 + by + c = 0 ECUACIONES RECÍPROCAS: Son aquellas que tienen sus coeficientes extremos y equidistantes a los extremos iguales en valor y en signo es decir: Ax4 + Bx3 + Cx2 + Bx + A = 0 En dichas ecuaciones: Si se verifica para: x = m, también se verificará para: x =

1 m

MÉTODO DE SOLUCIÓN: Se considera: 1. Cuando la ecuación es de grado impar, admite necesariamente la raíz: x = – 1. 2. Si los coeficientes de los términos equidistantes a los extremos son de signo contrario, admite necesariamente la raíz x = 1 (Caso especial). 3. Cuando la ecuación es de grado par, se lleva a una ecuación de grado mitad. ECUACIONES IRRACIONALES: Son aquellas ecuaciones que contiene radicales. El método de solución consiste en eliminar los radicales y resolver la ecuación resultante por los métodos conocidos. Sin embrago se debe tener precaución de sustituir todas las raíces posibles en la ecuación original puesto que el método de eliminación de radicales requiere elevar a una determinada potencia los dos miembros de la igualdad. Este procedimiento puede introducir raíces en la ecuación final que no lo son de la ecuación original. ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO: DEFINICIÓN DE VALOR ABSOLUTO: Sea “x” un número real, su valor absoluto se denota por x y se define por la siguiente regla:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

1.

CPU – UNSM -T

  x, si x  0 x   x si x  0   , TEOREMAS DEL VALOR ABSOLUTO: ∀ x ∈ IR: | x | ≥ 0 ∀ x ∈ IR: |x |2 = x 2 ∀ x ∈ IR: | x| = √x 2 ∀ x ∈ IR: | x| = | − x | ∀ x ∈ IR: | x. y | = | x |. | y | x y

∀ x, y ∈ IR: y ≠ 0 → | | =

|x| |y|

| x | = y ↔ (y ≥ 0)  (x = y  x = −y) | x| = | y | ↔ (x = y  x = − y) La solución de ecuaciones con valor absoluto se efectúa haciendo uso de los teoremas anteriores. EJERCICIOS RESUELTOS: x  1 x  5 2 x 2  x  11 Resolver:   x  3 x  2 x 2  5x  6 A) – 2 B) 3 C) 1 D)  E) 0 Solución: La ecuación está bien definida para:

x3  0  x  3

 x2 0 x  2

Luego:

( x  1)( x  2)  ( x  5)( x  3) 2 x 2  x  11  2 0 ( x  2)( x  3) x  5x  6 2 x 2  x  17  (2 x 2  x  11) 0 ( x  3)( x  2) 2x  6  0  2x  6  0  x  3 ( x  3)( x  2)

Como: x  3  C.S. =  2.

Rpta: D

Resolver: x  1  x  8  6 x  1 1

A) { ; 8} B) 4 C) 6 3 Solución: Elevando al cuadrado:

D) 8 E) 3

x  1  2 ( x  1)( x  8)  x  8  6 x  1 De donde: x 2  9 x  8  2 x  4 Elevando otra vez al cuadrado:

x 2  9 x  8  4 x 2  16x  16 1  3x 2  25x  8  0  x   x 8 3

3.

Comprobando las raíces en la ecuación original sólo satisface para x = 8. Por lo tanto C. S = 8 Rpta: D Hallar el conjunto de solución de la siguiente ecuación: 3x  5  x  5 A) {1; 3} B) 2 C)  1;3 D) 1 Solución:

E) 3

3x  5  x  5  ( x  5  0)  (3x  7  x  5  3x  7   x  5)

 ( x  5)  ( x  1  x  3) Por lo tanto: C.S. = {1; 3}

Rpta: A

pág. 34


ALGEBRA

1.

EJERCICIOS PROPUESTOS El conjunto solución de la ecuación: b(x−b) a(x−a) + = x ; a ≠ 0, b ≠ 0 es: a b A) {a; b} B) {b} C) {a + b} D) {a} E) {a2 + b2}

Si 𝑋1 𝑦 𝑋2 son las raíces de : √𝑥 − 3 = 𝑥 − 3 , además 𝑋1 > 𝑋2 Calcular el valor de 𝑥1 𝑥2 A) 81 B) 27 C) 16 D) 64 E) 9 2 2 3. Sea la ecuación: 3k x – 6kx – (k + 2) = 0, k  0. Si la suma de sus raíces es igual doble de su producto, hallar k. A) B) – 2 C) 1 D) 2 E) – 1/2

3𝑥(𝑥 − 2) − (𝑥 − 6) = 23(𝑥 − 3), resultado es: A) 3 B) 5 C) 4 D) 2

16.

Hallar el valor de k para que el producto de las raíces de la ecuación : (k – 2)x2 – 5x + 2k = 0, sea 6, A) 3 B) 5 C) 6 D) 8 E) 9 Para m ≠ 5, resolver la ecuación: m 2(x – 1) = 5(5x – m)

17.

m+5 m m−2

A) A) 16/25 B) 12/25 C) 13/25

D

D) 25/16 E) 1/2 5. La suma de las raíces de la ecuación

A) 7.

8.

b 4

B)

b3 4

C)

b2 2

D)

b2

E)

4

3

A) 20.

Hallar el valor de “k” si las raícen de:(4 – k)x2 + 2kx + 2 = 0; son iguales. A) 1 ó 2 B) 3 ó 4 C) 2 ó 3 D) 1 ó 3 E) 2 ó – 4

E)

10.

Hallar “P” en : x2 – Px + 15 = 0, para que la diferencia de los cuadrados de sus raíces sea 16 A) 10 B) 8 C) 6 D) 4 E) 2

11.

Al resolver: 𝑥−2 𝑥+1 4 − 2 = 2 , el resultado es: 𝑥 2 +2𝑥−3 𝑥 −9 𝑥 −4𝑥+3 A) 2/3 B) −3/4 C) 5/6 D) −5/9 E) 1/2

12.

Al resolver 2(6𝑥−𝑎) = , el resultado es: 4𝑥+𝑎 A) 2𝑎 B) −3𝑎 C) −4𝑎 D) 3𝑎

2𝑎+3𝑥 𝑥+𝑎

13.

14.

E) 5𝑎

Al resolver: √4𝑥 − 3 − √3𝑥 − 5 − √𝑥 − 2 = 0, el valor de “x”, es: A) 2/3 B) −2/3 C) −2 D) 3/2 E) 3

5 18 5

B)

7 25

C)

18 25

D)

22 25

E)

7 30

La ecuación x2 + px + q = 0 tiene como conjunto solución {r; s} y también se cumple la condición que: r – s = 4 y r2 – s2 = 32. Hallar

2

D) 2

m+5

De un depósito lleno de agua se extrae la sexta parte ¿Qué fracción del resto se debe volver a sacar para que quede sólo 3 los de su capacidad inicial.

x + √x + y = 32

Resolver: x + √x 2 + 9 = 21 A)  √27 B)  2 C)  4 4

C) m

19.

A) 9.

E)

m

m+2 m m

El valor de “x” en la siguiente ecuación: 2x − 1 x−4 2 − = , es: 2x + 1 3x − 2 3 A) 7 B) – 9 C) – 11 D) 12 E) 13

b2

Calcular: “x.y” en { y + √x + y = 31 A) 600 B) 500 C) 400 D) 300 E) 200

B)

18.

x 2  3x  6  3x  x 2  4 es: A) 3 B) – 2 C) 2 D) – 3 E) 2 6. Resolver la ecuación: √x − 4b + 16 + √x = 2√x − 2b + 4

E) 6

Al resolver: 𝑎+𝑥 2𝑥−𝑎 − + 4 = 0 , la diferencia de sus 𝑎−𝑥 𝑎+𝑥 raíces, es: A) 𝑎 B) – 𝑎 C) 2𝑎 D) −3𝑎 E) −5𝑎

x  x  1 x 1

Resolver:

el

15.

2.

4.

CPU – UNSM -T

3 2

B) −

3 2

p2 q2 9 C) 4

D)

4 9

E) −

4 9

21.

El jardinero A planta rosas más rápidamente que el jardinero B en la proporción de 4 a 3, cuando B planta x rosas en una hora, A planta x+2 rosas. ¿Cuántas rosas planta B en 4 horas? A)6 B) 81 C) 32 D) 24 E) 12

22.

Al resolver la ecuación 𝑥 + √𝑥 − 2 = 4,se puede afirmar que: A) Tiene raíces reales B) Tiene una raíz real y otra imaginaria C) Tiene raíces imaginarias D) Tiene solo una raíz E) Tiene solo una raíz imaginaria

23.

El producto de las soluciones del sistema de ecuaciones simultaneas: 1 1 + = 𝑎 ; 𝑥 + 𝑦 = 𝑏 , es: 𝑥

𝑦

1

1

𝑎 𝑏 D) 𝑎

𝑏

A) +

1

1

𝑎 𝑎 E) 𝑏

𝑏

B) −

1

C) − 𝑏 𝑎

Al resolver: pág. 35


ALGEBRA

24.

Determinar el valor de k para la ecuación: (k – 4)𝑥 2 + 1= (2k + 2) x – k, tenga raíces iguales 𝐴) 2 B) 3 C) – 1 D) 4 E) 0

25. Un estudiante se compromete a presentar a su padre la resolución de ocho problemas diarios. El padre da al hijo $. 9 por cada problema bien resuelto y el hijo abona a su padre $. 6 por cada problema que deja de presentar o está mal resuelto. Al cabo de 20 días el hijo gano $. 540. ¿Cuántos problemas resolvió bien el estudiante? A) 60 B) 150 C) 160 D) 50 E) 100

SEMANA N° 10 INECUACIONES DESIGUALDADES: Es una relación de orden que se establece entre dos cantidades, donde una de ellas es mayor que la otra. Así: A > B ó A: Mayor que RELACIONES ESTRICTAS <: Menor que

 : Mayor o igual  : Menor o igual

RELACIONES NO ESTRICTAS

RECTA NUMÉRICA REAL: Es una recta geométrica en la cual se establece una biyección entre cada uno de los puntos de la recta y cada uno de los números reales. –  … – 2 – 1 0 1 2 3 … + NÚMEROS POSITIVOS NÚMEROS NEGATIVOS

INTERVALOS: Es un conjunto de números reales comprendido entre dos extremos llamados superior e inferior. TIPOS DE INTERVALOS: INTERVALO CERRADO: Cuando los extremos pertenecen al intervalo. x

a

b

[a, b] = {x  IR / a  x  b} INTERVALO ABIERTO: Cuando los extremos no pertenecen al intervalo. a, b = {x  aIR / a < xx < b} b INTERVALO CERRADO EN “a” Y ABIERTO EN “b”: x

a

b [a, b = {x  IR / a  x < b} INTERVALO ABIERTO EN “a” Y CERRADO EN “b”:

a, b] = {x  IR a / a < xx  b} b INTERVALOS INFINITOS:

CPU – UNSM -T

–  , b] = {x  IR / x  b} –  , b = {x  IR / x < b}



x

b

[a, +  =a {x  IR / x  a}x a, +  =a {x  IR / x > a} x

 +

x

 +  = IR = {x / x  IR} + –– , INECUACIÓN: Es una desigualdad condicional que se establece entre expresiones algebraicas; se representa mediante las siguientes formas: P(x)  Q(x) ó P(x) > Q(x) ó P(x)  Q(x) ó P(x) > Q(x) Por ejemplo: 3x + 4 > 2x – 6 TIPOS DE INECUACIONES: Son las siguientes: 1. Inecuaciones Lineales. 2. Inecuaciones cuadráticas. 3. Inecuaciones polinómicas 4. Inecuaciones Racionales. 5. Inecuaciones con Radicales o Irracionales. 6. Inecuaciones con Valor Absoluto. INECUACIONES LINEALES: Tienen la forma: ax + b > 0 ó ax + b < 0 ó ax + b  0 ó ax + b 0, Donde, a, b  IR, a  0 Para resolver esta inecuación se debe considerar: a > 0. b b Es decir: x > − ó x<− a a PROPIEDADES: 1. a  0 si a es positivo 2. a  0 si a es negativo 3. Si – a  – b entones a > b 4. a  b  c si y solo si a  b  b  c INECUACIONES CUADRÁTICAS: Son aquellas que tienen la forma: ax2 + bx + c  0 ó ax2 + bx + c  0 ó ax2 + bx + c > 0 ó ax2 + bx + c < 0, donde: a, b y c  IR y además a  0. MÉTODO DE LOS PUNTOS CRÍTICOS: Este método sirve para resolver Inecuaciones de segundo grado e inecuaciones racionales consiste en: 1. Factorizar la expresión hasta obtener binomios de la forma (ax + b) 2. Hallar los puntos críticos: es decir aquellos puntos en los cuales se anula la expresión. 3. Ordenar los puntos en la recta numérica. 4. Determinar las regiones de derecha a izquierda, en forma intercalada: +; –; +;

– +  r1 r2 Luego escribir la solución de la inecuación:  Si la inecuación es de la forma: ax2 + bx + c > 0. La solución es:  ∞, r1 U r2, + ∞



+

pág. 36

-

x

b


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

NOTA: Cualquier Inecuación irracional se reduce en inecuaciones de las formas:

Si la inecuación es de la forma: ax2 + bx + c < 0. La solución es: r1, r2 INECUACIONES POLINÓMICAS: Son aquellas que tienen la forma: P(x): a 0 x n + a 1 xn – 1 + a 2x n – 2+… + a n> 0 P(x): a 0 xn + a1 xn – 1 + a 2x n – 2+… + a n< 0 Con: a0  0, n  Z+, n  0 Para resolver estas inecuaciones se debe tener en cuenta: 1. Consideremos a > 0 (Si no lo es, multiplicamos por (– 1) 2. Factorizar el polinomio p(x) hasta encontrar solo fracciones lineales de coeficientes reales o trinomios cuadráticos positivos. 3. Los trinomios positivos no interviene en el conjunto de solución por lo tanto se pueden descartar. A los factores lineales restantes aplicaremos el método de los puntos críticos. INECUACIONES RACIONALES: Son aquellas que tienen la forma: P( x) 0 Q( x)

ó

a) La inecuación f ( x)  h( x) es equivalente al sistema de inecuaciones siguientes.  f ( x)  0  x  S1  . f ( x )  h ( x )  h ( x )  0  x  S 2  2  f ( x)  [h( x)]  x  S 3 C.V.A = S1  S 2 y S.G = S1  S 2  S3

f ( x)  h( x)

b) La inecuación es equivalente al sistema de inecuaciones siguientes.  f ( x)  0   f ( x)  0 . f ( x )  h( x )        h ( x )  0 h ( x )  0  2  f ( x)  [h( x)]

C.S. = S (  )  S (  ) Para la desigualdad:

P( x)  0 , Q(x)  0 Q( x)

2n1

2. 3.

Si: x  0  x  y   y  x  y

4.

Si: y  0  x  y  x  y  x   y EJERCICIOS RESUELTOS: Resolver la inecuación: 3x 7 x 4 6x     5 20 10 5 20 A)  ,4

ó

P( x)  0  P(x).Q(x) < 0 Q( x)

Para solucionar las inecuaciones racionales se debe tener en cuenta: 1. Hallaremos el C.V.A. (Conjunto de Valores Admisibles), C.V.A.

 p( x)   Q( x)   IR  x / Q( x)  0  

El C.V.A. de la inecuación Q2(x) > 0,  x  IR. Multiplicando a la inecuación por Q2(x) se obtiene la inecuación equivalente: P(x) Q(x) > 0 ó P(x) Q(x) < 0, la cual será resuelta por el método de los puntos críticos. 3. El conjunto solución es la intersección del C.V.A. con la solución del paso anterior. INECUACIONES IRRACIONALES: Son de la forma: F [ P( x) , 3 Q( x) ,...,n R( x) ]  0 ó 2.

F [ P( x) , 3 Q( x) ,...,n R( x) ]  0 Donde P(x), Q(x) y R(x), son expresiones irracionales. Para solucionar estas inecuaciones se debe tener en cuenta: 1. Hallar el C.V.A. de las expresiones irracionales. 2. Transformar la inecuación irracional en otra más sencilla, mediante pasos equivalentes, de tal modo que consignamos resolver tal inecuación. 3. El conjunto solución se obtiene interceptando el C.V.A. con las soluciones de la inecuación.

f ( x)  g ( x)  f ( x)  [ g ( x)]2n1

Válido para: (, , ) INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO La solución de inecuaciones con valor absoluto se obtiene haciendo uso de los siguientes teoremas. Teoremas: x, y  IR : x  y  x  y (desigualdad triangular) x, y  IR | x | < | y |  x2< y2

Donde P(x) y Q(x) pueden ser monomios o polinomios. Se resuelven haciendo uso de: P( x)  0  P(x).Q(x) > 0 Q( x)

CPU – UNSM -T

1.

1.

1  B)   ,  4  1  C)   ,  2  D)  ,4 E)  ,1 / 4 Solución:

6  4 7 3 1  x     5 10  5 10 20  8 1 x 20 10 1 x 4

2.

C.S =  ,1 / 4 Resolver la inecuación:

Rpta: B

mnx 2  (m  n) x  1  0 Donde m > 0 y n < 0. pág. 37


ALGEBRA

A)  ,1 / n B)  ,1 / m C) 1 / m,1 / n D)  , 1 1 E)  ,  n m Solución: Factorizando se tiene: … (1) (mx  1)(nx  1)  0 Como: n < 0, (mx  1)(1  nx)  0 … (2) 1 1 Puntos críticos:  ;  m n

1 1 CS =  ,  n m

Rpta: E 3.

Resolver la inecuación:

3x 2  10 x  9 0 x 2  4x  3 A)  ,3   1, B)  ,3

C)  ,1  3, D)  ,1 E) 1,3 Solución: 3x 2  10x  9

1.

0

2 x 1  3 x 1 2. Resolver:

3

>6 B) x < – 1 E) x < 4

3. Resolver: x2 + 8x + 16

D)

A  23 BC

El valor de A) 1 D) – 1



B)

es:

B) 1/2 E) – 1/2

C) 2

5. Resolver: x(3x + 2) < (x + 2)2 B)  1, 1 E)  1, 3

C)  1, 2

6. Tres personas cuentan el número de artículos que fabrican una máquina por minuto, el primero contó la mitad menos 3, el segundo contó la sexta parte y 7 artículos y el tercero contó la cuarta parte y 5 artículos. Si el primero contó más artículos que el segundo pero menos que el tercero ¿Qué número de ellos arroja la máquina? B) 30 E) 33 x+1 x −1

A) 2 < x ≤ 3 D) 2 < x ≤ 5

C) 31

<3

B) 1 < x ≤ 3 E) 3 < x ≤ 5

C) 2 < x ≤ 4

8. Resolver: 9x 2 − 12x + 4 > 0 A) 〈−2, 4〉

B) ℝ − {

D) 〈−∞, 9. Resolver:

2 3

〉

2 3

E) 〈−

C) 〈

} 2 3

,

2 3

2 3

, +∞〉

〉

x 2 − 3x + 6 < 0

A) IR B) 〈−2, 2〉 D) ∅ E) 〈−2, 4〉 10. Resolver la Inecuación: 3

A) [− ; 2 > 4 〈−∞, 2〉

C) 〈−1, 0〉

4x + 3 x−2

≤0

B) < −2, 2 > C) 〈2, 2〉 E) [2, +∞〉

D)

x2 − 1

x

A) x > – 1 D) x < – 2

 4,6

es conjunto solución del sistema

13 x  5 3 x  8 2 x  7   1  2 5 3  3x 1 x 1 x  1   5 2 7 

7. Resolver: 2 ≤

EJERCICIOS PROPUESTOS Encontrar el número M máximo con la propiedad de que para todo x R, se tiene: M  x2 – 4x + 29 A) 25 B) 12 C) 16 D) 4 E) 9

A) {4}

4. Si

A ;B C

A) 29 D) 32

x  4x  3 Analizando el trinomio: 3x2 – 10x + 9, tiene  < 0, el trinomio se verifica ∀ x  IR. Luego la inecuación se reduce a: (x – 1) (x – 3) > 0 Por tanto: C.S. = x   ,1  3, Rpta: C 2



A) 1, 2 D) 1, 3

1 1 x n m

De (1):

CPU – UNSM -T

C) x < 2

12. Al resolver:

0

𝑥 3 −4𝑥 2 −3𝑥+18

 4,4 E)

11. Resolver la inecuación: ≤ 0, e x2 + 9x + 18 indicar una parte de su solución : A) 〈−1, +∞〉 B) 〈−2, +∞〉 ∪ {−3} C) 〈0, +∞〉 D) [−6, −3] E) 〈−6, −3〉

 2,0

𝑥 2 −4𝑥+3

C) {– 4}

≤ 0, el resultado, es:

A) [−2; 1⟩ ∪[3; +∞⟩ C) [1; 3⟩

D) [−2; 1⟩

B) ⟨−∞; −2] ∪ 〈1; 3〉 E) 〈−∞; 1〉 ∪ ⟨1; 3] pág. 38


ALGEBRA

13. Si al resolver

A)

𝑥 3 +5𝑥 2 −2𝑥−24 𝑥−1

≤ 0. El conjunto solución es: [𝑎, 𝑏] ∪ ⟨𝑐, 𝑑]. El valor de 𝑄 = 𝑎 − 𝑏 + 𝑐 + 𝑑, es: A) 4 B) 2 C) 3 D) −2 E) −3 ≥ 0 , el resultado, es: A) ⟨−2; 5] B) [1; 6⟩ C) ⟨−6; −1] D) 〈2; 3〉 E) 〈−6; 1〉

15. Al resolver: 12 + 23𝑥 + 9𝑥 2 − 3𝑥 3 − 𝑥 4 > 0, el resultado, es A) 〈−4; 3〉 B) [−3; 4⟩ C) 〈−∞; 3〉 D) 〈−3; +∞〉 E) 〈−∞; −4〉 16. El conjunto solución de la inecuación: 𝑥+3 𝑥+4 ≥ , es: 𝑥−1 𝑥+2 A) 〈−5; −2〉 ∪ 〈−1; +∞〉 B) ℝ − {1; 2} C) 〈−2; 1〉 D) [−5; 2⟩ ∪ 〈1; +∞〉 E) ⟨−∞; −5] ∪ 〈−2; 1〉 pertenece al intervalo [5, 8〉 entonces

27 9

A) [ , ] D)

25 8 27 9  , ] 25 7

B) 

27 25

E)

9

x+1 x+2

, ]

8 27 9 [ , 〉 25 8

es

C)  −

7 8

C) E)

 6,1

 2,2

,−

23 25

SEMANA Nº 11: FUNCIONES PAR ORDENADO: Son entes matemáticos compuestos de dos elementos x e y denotado por (x, y) donde: x: primera componente; y: segunda componente Ejemplo: Son pares ordenados: (2, 3); (3, 5); (2, 4) Nota: el par (3, 4) es diferente del par (4, 3)

]

18. La solución de la inecuación: √4 − 𝑥 + 4 √𝑥 + 2 ≥ 0 es A) [ 2, 4] B) 〈−∞, −2] C) [2, 4] D)[2, +∞ E) [4, +∞ 19. Hallar los no verifican a la inecuación: |x – 3|2 – 3|x – 3|  18 > 0 A) 〈−∞, −3〉 B) 〈9, +∞ C) [3, 9] 〉 [−3, [−3, D) +∞ E) 9] 20. Hallar el conjunto solución de: 𝑥2 + 𝑥 − 1 ≥ 6 + 𝑥 + 𝑥2 A) ℝ B)∅ C){7} D){0}

 2,6

0,2

A)  ∞,  5 U3, + ∞ B)  ∞,  3 U5, + ∞ C)  ∞,  4 U4, + ∞ D)  ∞,  5 U5, + ∞ E)  ∞,  2 U3, + ∞

𝑥 3 +8𝑥 2 +14𝑥+12

el intervalo al cual pertenece

B)

24. Resolver: √x 2 − 25 > − 8

−𝑥−1

2x + 5 −3

 6,2 D)

14. Al resolver:

17. Si

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E) {−7}

1. 2. 1.

PRODUCTO CARTESIANO: Dados dos conjuntos, el producto cartesiano de A y B se denota y define: A x B = {(x, y) / x  A  x  B} RELACIÓN: Sean los conjuntos: A y B entonces se define: R es una relación de A en B si y solo si RAxB FUNCIÓN: DEFINICIÓN: A la relación f de A en B le llamaremos función de A en B si y solo si se verifica: fAxB (a, b)  f  (a, c)  f  b = c OBSERVACIONES: Una función f de A en B denotada por f: A f

21. Si se tiene que: −1 < 𝑥 − 1 < 1 entonces se cumple que: 𝑎 < 𝑥 2 − 1 < 𝑏 donde : A) 𝑎 = −1 , 𝑏 = 3 B) 𝑎 = −5 , 𝑏 = −2 C) 𝑎 = 3 , 𝑏 = 5 D) 𝑎 = 4 , 𝑏 = 8 E) 𝑎 = −4 , 𝑏 = −3 22. Se desea saber el mayor número de postulantes que hay en un aula. Si al doble del número de estos se le disminuye en 7, el resultado es mayor que 29 y si al triple se le disminuye en 5, el resultado es menor que el doble del número aumentado en 16. A) 20 B) 22 C) 21 D) 18 E) 19 23. Para que valores de “a” en la inecuación cuadrática siguiente se cumple, para todo x  R: x2 + ax – 2 < 2x2 – 2x + 2

2.

3. 4. 5.

 B, y se lee “f es una función de  B; A  A en B”, donde A es el conjunto de partida y B es el conjunto de llegada. Si el par (a, b)  f, se escribe: b = f(a) y se dice que b es la imagen de “a” por f ó también, que b = f(a) es el valor de f en el punto a. Si A = B = IR, a la función f: IR  IR, se denomina función real de variable real. y = f(x)  (x, y)  f f = {(x, y)  IR x IR / y = f(x)} TEOREMA: f es una función de IR en IR si y solo si toda recta paralela al eje Y corta la gráfica a lo más en un solo punto. (Si)

(No) pág. 39


ALGEBRA

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OPERAC IONES CON FUNCIONES: f ( x) y g ( x) ; Dada las funciones

x  Dom( f ( x))  Dom( g ( x)) Se define: DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN Sea f: A  B una función, se define al dominio y al rango como: Df = {x  A /! y  B  (x, y)  f}  A Rf = {y  B /  x  A  (x, y)  f}  B f A

B Df

( x, f ( x)  g ( x))

SUSTRACCIÓN:  f  g ( x) 

( x, f ( x)  g ( x))

MULTIPLICACIÓN:  f .g ( x)  ( x, f ( x).g ( x)) DIVISIÓN:  f / g ( x) 

Rf

COMPOSICIÓN:  fog ( x) 

y

x

ADICIÓN:  f  g ( x) 

Dom fog ( x) 

CÁLCULO DE DOMINIOS DE ALGUNAS FUNCIONES ESPECIALES

g (x) entonces

1)

Si f(x) =

2)

Dom (f) = g(x)  0 Si f(x) = 3 g (x) entonces Dom (f) = Dom (g(x))

3)

Si f ( x) 

P( x) entonces Q( x)

Dom (f) = IR – {Q(x) = 0} Si f(x) = log b U(x); b > 0,  b  1, entonces el Dom( f ) = {x  IR / U(x) > 0}

5)

;a Si f ( x)  a Dom (f) = Dom (U(x))

 0; a  1

entonces el

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN Es la representación geométrica de los pares ordenados que pertenecen a la función Graf (f) = {(x, y) IR 2/ y = f(x); x Dom (f)} Las funciones se pueden representar mediante: PLANO CARTESIANO: Y II (, +)

I (+, +) X

III (, )

IV (+ )

DIAGRAMA SAGITAL:

1

a

2

b

3

c

ALGEBRA DE FUNCIONES:

( x, y) / y 

f ( g ( x))

x  Dg / x  Dg  g ( x)  D f )

Ejemplo: 1. Sean las funciones: f = {(1, 4); (4, 5); (2, 3); (3, 2)} y g= {(0, 2); (1, 2); (2, −1); (3, 0)} Hallar: A) f + g, B) f − g C) f. g f D) g

4)

u ( x)

( x, f ( x) / g ( x)), g ( x)  0

E) fog Solución: Primero calculamos los dominios: Dom(f) = {1; 2; 3; 4} y Dom(g) = {0; 1; 2; 3} Ahora calculamos el dominio de Dom(f + g) = Dom(f) ∩ Dom(g) = {1; 2; 3} Calculamos los pares que pertenecen a “f + g” (f + g)(1) = f(1) + g(1) = 4 + 2 = 6 {(f + g)(2) = f(2) + g(2) = 3 − 1 = 2 (f + g)(3) = f(3) + g(3) = 2 + 0 = 2 (1,6) ∈ (f + g)  {(2,2) ∈ (f + g) (3,2) ∈ (f + g) Luego la suma f + g = {(1,6); (2,2); (3,2)} De manera similar para “f – g” y “f. g” f − g = {(1, 2); (2, 4); (3, 2)} f. g = {(1, 8); (2, −3); (3, 0)} f f Para el Dom( ) = {1; 2} se excluye 3 por g

g

que 𝑔(3) = 0 f = {(1,2); (2, −3)} g Para “fog” D(fog) = {x ∈ Dg / x ∈ Dg Λ g(x) ∈ Dom(f) } x = 0 ∈ Dom(g) Λ g(0) = 2 ∈ Dom(f) x = 1 ∈ Dom(g) Λ g(1) = 2 ∈ Dom(f) x = 2 ∈ Dom(g) Λ g(2) = −1 ∉ Dom(f) x = 3 ∈ Dom(g) Λ g(3) = 0 ∉ Dom(f) Entonces el Dom(fog) = {0; 1} Su regla de correspondencia. fog(0) = f(g(0)) = f(2) = 3 fog(1) = f(g(1)) = f(2) = 3 ∴ fog = {(0,3); (1,3)} pág. 40


ALGEBRA

1.

FUNCIONES REALES ESPECIALES Función Constante: f(x) = c

CPU – UNSM -T

Y

Y c

X

0

X

0

2.

Dom(f) = IR Rang(f) = {c} Función Identidad: f(x) = x

7.

Dom(f) = IR Rang(f) = [0, ∞ Función Máximo entero: f(x) = ⟦𝑥 ⟧ Y

Y X

0

3.

Dom(f) = IR Rang(f) = ℤ

X

0

Dom(f) = IR Rang(f) = IR Función Lineal: f(x) = ax + b, a ≠ 0

8.

Función Signo:

Y

f(x) = Sgn(x) =

b X

0

4.

Dom(f) = IR Rang(f) = IR Función Cuadrática: f (x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0 Para: a > 0

Y 1

9.

Dom(f) = IR -1 Rang(f) = {−1; 0; 1} Función Escalón Unitario: 0, x  0 f(x) = u(x) =   1, x  0

4ac − b2 4a

Y 0

−

1

X

b

X

2a

Dom(f) = IR Rang(f) = {0; 1} 10. Función de Polinomios de Grado n: f(x) = a0xn + a1xn–1 + a2xn – 2 … + an donde: a1 , a2, …, an son constantes, además a0  0, n >0. Dom(f) = ℝ 11. Función Racional:

Dom(f) = IR 4ac−b2 [ , ∞ 4a

Para: a < 0 Y

4ac − b2 4a 0

Dom(f) = ℝ Rang(f) =  5.

−

F(x)

X

b

2a

Función Raíz Cuadrada: f(x) =

x

Y

X

0

IR + 0

Dom(f) = = [0, ∞ Rang(f) = [0, ∞ Función valor absoluto: f(x) = |x|

n n 1  ...  a n f ( x ) a 0 x  a1 x = = , m m  1 g(x ) b x  b x  ...  bm 0 1

g(x)  0 Dom(f) = IR − {x/ g(x) = 0}

4ac−b2 − ∞, ] 4a

1.

6.

X

0

Y

Rang(f) =

 1, x  0   0, x  0  1, x  0 

2.

CLASES DE FUNCIONES FUNCIÓN INYECTIVA (UNIVALENTE Ó 𝟏 𝒂 𝟏) f: A → B, es inyectiva si ∀ x1 , x2 ∈ Df; se verifica: Si f(x1 ) = f(x2 ) ⇒ x1 = x2 FUNCIÓN SURYECTIVA, O SOBREYECTIVA f: A → B, es suryectiva si: ∀ y ∈ B, x ∈ A/(x, y) ∈ f ó Ran(f) = B pág. 41


ALGEBRA

3.

FUNCIÓN BIYECTIVA: f: A → B es biyectiva si f es inyectiva y suryectiva a la vez. FUNCION PAR E IMPAR FUNCIÓN PAR: Se caracteriza por ser simétrica respecto al eje Y, es decir se cumple: Si x ∈ Df → −x ∈ Df , Λ f(x) = f(−x), ∀x ∈ Df FUNCIÓN IMPAR: Se caracteriza por ser simétrica respecto al origen, esto es: x ∈ Df → − x ∈ Df , Λ f(x) = − f(−x), ∀ x ∈ Df

1.

EJERCICIOS RESUELTOS Sea “f” una función real de variable real talque f(x + 2) = x 2 + x .Calcular: f(a + 3) − f(a − 3) J= , 𝑎 ≠ 3/2 2a − 3 A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 Solución: Calculando 𝑓(𝑥) f(x + 2 − 2) = (x − 2)2 + (x − 2) f(x) = (x − 2)2 + (x − 2) Entonces: f(a + 3) = (a + 3 − 2)2 + (a + 3 − 2) f(a + 3) = (a + 1)2 + (a + 1) f(a + 3) = a2 + 2a + 1 + a + 1 f(a + 3) = a2 + 3a + 2 De manera análoga para f(a − 3) f(a − 3) = a2 − 9a + 20 Remplazamos en “J”: J=

2.

a2 + 3a + 2 − (a2 − 9a + 20) 2a − 3 6(2a − 3)

=

12a − 18 , 2a − 3

a ≠ 3/2

J= =6, a ≠ 3/2 2a − 3 J=6 Si f es una función definida por: f(x) = √25 − x 2 − 2 Entonces determine el: Dom(f) ∩ rang(f) A) [2, 3] B) [−5, 2] C) [−2, 3] D) [−5, 5] E) [−3, 3] Solución: De la raíz cuadrada se tiene que: 25 − x 2 ≥ 0 → x 2 ≤ 25 Por propiedad de inecuaciones: −5 ≤ x ≤ 5 …(∗) Por lo tanto el dominio será: Dom(f) = [−5,5] Elevando al cuadrado (∗): 0 ≤ x 2 ≤ 25 Multiplicamos por (– 1): −25 ≤ − x 2 ≤ 0 Sumamos 25: 0 ≤ 25 − x 2 ≤ 25 Sacamos raíz cuadrada:

CPU – UNSM -T

0 ≤ √25 − x 2 ≤ 5 Restamos 2 −2 ≤ ⏟ √25 − x 2 − 2 ≤ 3 De donde: −2 ≤ f(x) ≤ 3 Rang(f) = [−2,3] ∴ Dom(f) ∩ Rang(f) = [−2, 3] 3.

Dadas las funciones : 1 , si x ≥ 1 f(x) = { x y −x, si x < −1 x, si x < 0 g(x) = { x − 1, si x > 10 Hallar: J = (f − g)(12) + (f − g)(−5) A) – 11 12 B) – C) –

13 11

D) – 11

12 11 13

E) 12 Solución: J = f(12) − g(12) + f(−5) − g(−5) 1 J = − (12 − 1) − (−5) − (−5) J= J=

1.

2.

12 1 − 11 12 − 11 12

+ 5 + 5J =

− 11 12

EJERCICIOS PROPUESTOS Si: 𝑓(𝑥) = √𝑥 3 − 3𝑥 2 − 10𝑥 + 24 el dominio de 𝑓(𝑥), es: A) ℝ B) ℝ − {2,3} C) [−3; 2] ∪ [4; +∞⟩ D) ⟨−∞; −3] ∪ [2; +∞⟩ E) [−3; 2] ∪ 〈3; +∞〉 Si: 𝐴 = {1,2,4,6,8} y 𝑅1 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴2 / 3 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑥 + 𝑦 }. La suma de todos los elementos del rango de 𝑅1 , es: A) 36 B) 32 C) 24 D) 21 E) 18

3. Si 𝑓(𝑥 + 2) = 𝑥 2 − 3𝑥 + 4 . El valor de 𝑓(3 − 𝑥), es: A) 𝑥 2 + 𝑥 + 2 B) 𝑥 2 − 𝑥 + 1 2 C) 𝑥 + 2𝑥 − 1 D) 𝑥 2 − 3𝑥 + 5 2 E) 𝑥 + 3𝑥 − 2 4.

Si 𝑓(2𝑥 − 1) = 4𝑥 + 5 . El valor de 𝑓(2) − 𝑓(−3), es: A) 6 B) −8 C) 10 D) −10 E) −6

5.

Si la gráfica de función: 2 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, intersecta al eje X en 3

los puntos (−2,0) y (5,0), asimismo al eje Y en el punto (0, 𝑘). El valor de 𝑄 = 𝑘 − 𝑏 − 𝑐, es: A) 2/3 6.

B) −3/2

C) 3 D) −1/2

E) 2

Dada las funciones : 𝑓 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 / 𝑦 = √4 − 𝑥} pág. 42


ALGEBRA

𝑔 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 / 𝑦 =

1

13.

} −4 Entonces el dominio de la función: 𝑓+𝑔 es: A) < 2,4] B) <−∞, −2] C) <−∞, −2] ∪ [2, ∞ > D) <−∞, −2 >∪< 2,4] E) < −∞, 4] 7.

8.

√𝑥 2

A) 4

15.

𝑦2

− 2 = 1 Donde 𝑎 y 𝑏 son constantes 𝑏 tal que: 𝑎 ≥ 1 , 𝑏 ≥ 1 ¿es 𝑦 una función de 𝑥 ? A) Si B) solo si 𝑥 ≥ 𝑎 ó 𝑥 ≤ −𝑎 C) solo si 𝑥 ≥ 𝑎 D) solo si 𝑥 ≤ 𝑎 E) No Dadas las funciones : 1 , si x ≥ 1 f(x) = { x −x, si x < −1

A) – 11 B) – 11 12

11 12

D) –

y

16. Dada la función: f= [(2; 6) ;(1; a-b) ;(1;4) ;(2; a + b) ;(3,4)] Determinar a y b A) 5 ,1 B) 4,2 C) 7,1 D) 6,0

19. Hallar el dominio de: F(x) = A) 𝐼𝑅 ; −[0; 2; 3] D) IR ,2

B){(1,6); (2, −1); (3,2)} C){(1,6); (2,2); (3,0)} D){(2,6); (2,2); (3,2)} E){(1,0); (2,0); (3,2)}

D) IR – [-1,8]

=𝑥 2

C) IR

1 √𝑥 2 −7𝑥−8

B) [1,8]

A) IR

C) [-1,-8] E) 1

21. Hallar la suma de coeficientes de la función cuadrática que cumple: f(2) = 6; f(0) = 4 y f( 1) = 7 5 11 13 7 A) 1 B) C D) E)

11. Determine el rango de la función f(x) = x2 – 169 A) [– 18;  ) B) [0;  ) C) [– 169;  ) D) [169;  ) E) [– 13; 16)

3

3

3

3

3x − 1; x > 3 22. Dada la función f(x) = {x 2 − 2; −2 ≤ x ≤ 3 , 2x + 3; x < − 2 calcule el valor de

12. Sean las funciones f(x) = x + 5

x 2  2x . Calcular: 2

h(f(h(f(2)))) A) 4250/7 B) 425/8 C) 5621/8 2200/2 E) 4221/8

𝑥 5 −5𝑥 4 +6𝑥 3 𝑥(𝑥−2)(𝑥−3)

B) [1, 2,3] E) 3

20. Hallar el dominio de: f(x)

A){(1,6); (2,2); (3,2)}

h(x) =

E) 1,5

D) [1;2] E) [2;1]

11 13

E) 10. Sean las funciones: f = {(1,4); (4,5); (2,3); (3,2)} y g = {(0,2); (1,2); (2, −1); (3,0)} Hallar: 𝐽 = f + g

y

La siguiente relación de pares ordenados: R = {(1,2a), (2,7), (5,1), (1,3a5), (7,9)} es una función. Indicar la suma de los elementos del rango de dicha función. A) 24 B) 27 C) 18 D) 22 E)15

Si el D f,𝜖 [-3; 2] Determinar el rango de la función f(x)=2-3x A) [3;4] B) [-4;11] C) [1;4] B) D) [-2 ;11] E) [7;5] 𝑥+1 18. Hallar el domino y rango de f(x)= 𝑥−2 A) [-2;3] B) [5;2] C) [-2;-1]4

si x < 0 si x > 10

C) –

1 (x + 3). 2

17.

Hallar: J = (f − g)(12) + (f − g)(−5) 12 13

Hallar f (3). C) 1 D) 2 E)8

B) 6

Entonces evaluar (f o g)-1(1). A) 4 B) 3 C) -1 D) 2 E)1

La ecuación :

x, g(x) = { x − 1,

2x  1  x  5 .

14. Si f(x) =2x – 3; g(x) =

𝑎2

9.

Si f es una función real de variable real tal que: f (2x – 5) =

Indicar el dominio de: f(x) = √x(x − 5) A)< −∞, 0] ∪ [5, ∞ > B)< −∞, 0 >∪ [5, ∞ > C)< −∞, 0] ∪< 5, ∞ > D)< −∞, 2] ∪ [5, ∞ > E)< −∞, 0] ∪< 2, ∞ > 𝑥2

CPU – UNSM -T

E = f (2) + f (1) + f ( 3) + f (4) A) 3 D)

B) 5

C) 7

D) 9

E) 11

23. Dada la función: f(x) = mx + b, ∀ x  IR, si se sabe que f (3) = 11; f ( 3) = 6. Hallar m +b. pág. 43


ALGEBRA

A)

28 3

B)

28 5

C)

8 3

D)

5 3

E)

11 3

E) 18

SEMANA Nº 12 LOGARÍTMO, COLOGARÍTMO Y ANTILOGARÍTMO DEFINICIÓN: El logaritmo del número N (N > 0) en una base b (b > 0  b  1) se define Así. 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑁 = 𝑥 ↔ 𝑏 𝑥 = 𝑁 Ejemplo: log 2 128 = x ↔ 2x = 128 2x = 27 x=7 SISTEMAS DE LOGARÍTMOS: Existen infinitos sistemas, los de mayor aplicación matemática son los logaritmos decimales y los logaritmos naturales: 1. SISTEMA LOGARITMOS DECIMALES: Notación: Log 10 N = Log N = x, se lee el logaritmo decimal del número N. (N > 0) 2. SISTEMA DE LOGARITMOS NATURALES: Notación: LogeN = Ln = x, se lee logaritmo natural del número N. Donde: e = 2, 71828… PROPIEDADES GENERALES DE LOS LOGARITMOS: Las propiedades generales de los logaritmos son las siguientes: 1. El logaritmo de la unidad es cero: Log b 1 = 0,  b > 0  b  1 2. El logaritmo de la base es uno: Log b b = 1,  b > 0  b  1 3. El logaritmo de un producto: Log b (A.B) = Log b A + Log b B 4. El logaritmo de un cociente:

6.

El logaritmo de una potencia: Logb A Logb A El logaritmo de una raíz: Log b n A =

7.

8.

Si N y b se elevan a un mismo exponente (no nulo) o si se extraen de ambos radicales del mismo índice (no nulo) el logaritmo no se altera: p log b N = log bp Np = log p √N , p ≠ 0 √b Cambio de base, sea: a = la base desconocida, y b = la base conocida, entonces:

m logb a n

b

1.

COLOGARITMO Y ANTILOGARITMO COLOGARITMO: El cologaritmo de un número N (N > 0) en base b (b > 0  b  1), se denota por: CologbN y se define como: Cologb N = Log b (

2.

1 ) = – Log b N N

ANTILOGARITMO: Esta es otra forma de denotar a la función exponencial, se denota y define por: Antilogbx = exp. b (x) = b x EJERCICIOS RESUELTOS:

1.

5x−1

Si log 3 ( ) = 2 , Calcular: J = 3x−5 A) 0 B)1 C)2 D)3 E)4 Solución: 5x − 1 log 3 ( )=2 3x − 5 5𝑥 − 1 = 32 3𝑥 − 5 5𝑥 − 1 = 27𝑥 − 45 −22𝑥 = −44 𝑥=2 Remplazando en “J” se tiene: J=

= n

1 Log b A n



log 1 N   log b N

J=

n

m

1 log a b

11. 𝑏 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑁 = 𝑁 12. Si se invierte la base de un logaritmo, este cambia de signo:

 A Log b   = Log b A – Logb B B 5.

Regla de la cadena:

10. logb n a D) 15

log b N log b a

Log b a. Log a b = 1  Log b a =

2𝑥 + 1 ; 𝑥 ≤ 8 g(x) = { 2𝑥 3 ; 𝑥 > 8 E = 𝑔[𝑓(3)] + 𝑓[𝑔(0)] A) 1 B) 14 C) 7

Log a N = 9.

2𝑥 + 1 ; 𝑥 ≥ 1 24. Dada la función f(x) = { 2 𝑥 −2 ;𝑥 < 1

CPU – UNSM -T

2.

x x + log7 5 5log7 2

22+log7 5 22 .2log7 5 = log7 2 5log7 2 5 4. 5log7 2

5log7 2 J=4 Calcular: 1 1 1 J= + + log a bc + 1 log b ac + 1 log c ab + 1 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Solución: 1 1 J= + log a bc + log a a log b ac + log b b 1 + log c ab + log c c pág. 44


ALGEBRA

1 1 1 + + log a abc log b abc log c ab c J = log abc a + log abc b + log abc c J = log abc abc → J = 1

8. Calcular:

J=

3.

R

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. El valor de  3 49  3 3      log    log 0,2  5  es: G  log 0,7  6 , 75  2   5   6 4900        A) 1/2 B) 4/3 C) – 4/3 D) 3/4 E) – 1/2 2. Si se cumple: anti log 5 co log 5 x   5 , el valor de: log 5 co log 5 (anti log x 5) , es: A) 1 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1/2







3. El valor de: anti log 3 log 2 anti log 4 2 co log 6 8 , es: 3 2 A) 2 B) 1/2 C) 1 D) – 1 E) 3 4. Reducir: E  Co log 4 log 2 log 2 anti log 4 log1,4 1,96 A) – 0,5

B) – 1,5

C) – 4

D) 1,5

5. Calcule: E = colog29+log481+antilog3colog32. A) 4 B) 1/2 C) 5 D) 7



6. Reducir:

E) 2

E) 9



N  anti log5 co log8 [anti log 8 4] A) 1

B) 1/2

C) 1/25

D) 2

E) 3

7. Calcular: 1    ln 2    E  anti log    ln 10      

A) 8

B)

3

2

C)

3

4

log( 111).(

2 1

11  1)co log( 2 1)

B) 2 + 1

2–1

C)

E) 3 – 2 2

D) 3 + 2 2

  n 1 log n logn n.n1 / n  .  

9. Hallar:

Siendo n > 1 A) – 1/4 B) – 1/2

C) – 1

10. Hallar: log( 25 2 ) 84 8 A) 4/5 B) 25/8 C) 35/8

D) 1

D) 2

E) 2

E) 4

11. Si el log3 = a ; log2 = b, hallar el valor de: log(5!) B) 3a + b – 1 D) 2b + a + 1

A) 3a + b + 1 C) 2b + a - 1 E) 3a – b + 1

12. Al calcular el logaritmo de

am .n a en

la base: an .m a ; donde m, n > 0, a > 0 y a  1 obtenemos: A) n/m B) nm C) m/n D) m E) n 13. Calcular el log 5 300 , si log 5 2  a

y

log 5 3  2b B) a + b C) a – b + 1 E) 2a + b – 2

A) a + b + 1 D) a + b – 1

14. Reducir: E  log xy x.log xy y[log x y  log y x  2] A) 1/2

C) – 1

B) 1

E) – 1/2

D) 2

15. Simplificar la expresión: 4 log7 ( 2 1)  log 3 log 4 (2 3 )  log     ( 2  1 ) ( 2  3 ) L  7  4          

A) – 1/12 B) 1/6 C) 1/12 D) 1/4

E)1/3

16. Si log24 + log242 +.…+ log24n = log246 . Calcular el valor de “n”. A) 4 B) 5 C) 3 D) 2 E) 17. Si x – y = log x ; 10x – 10y = x – 1. Calcular: 10x + 10y A) x + y B) (x – y)2 C) x – y D) x + 1 E) 2x 18. La suma de los cuadrados de dos números es 29, y la suma de sus logaritmos en base 10 es igual a 1, entonces la suma de los números es: A) 7 B) 5 C) 2 D) 6 E) 9 n

log 27 3

D) 2



A) 1

Si log 2 5 = a, log 5 75 = b , Calcular : J = log 2 3 A) a − b − 2 B) a(b + 2) C) a(ab − 2) D) ab − 2 E) a(b − 2) Solución: Sabemos que: log 5 75 = log 5 52 . 3 = log 5 52 + log 5 3 log 5 75 = 2 + log 5 3 b = 2 + log 5 3 log 5 3 = b − 2 En “J” se tiene: log 5 3 b−2 J = log 2 3 = = 1 log 5 2 log 2 5 b−2 J= = a(b − 2) 1 a



CPU – UNSM -T

E) 4

 1   , B  a x donde a > 0 y x  0, 19. Si A =   b a  calcular el valor de xlogBA A) an B) – bn C) n D) cn E) bn pág. 45


ALGEBRA

logb P( x)  logb Q( x) .

20. Reducir:

N  anti log 2 . log 3 .anti log 4 . log 6 8 b b b b A) 3 2

B) 3 4

D) 23 4

C) 23 2

D) 3/2

D) 25

3. C) 30

E) 49

23. Hallar el logaritmo de 125 en base 625. A) 0,75 B) 7,75 C) 4,65 D) 0,125 E) 3,75 24. ¿Cuál es la base del logaritmo de 8 si este es igual a – 1,5? A) 1/6 B) 3 C)4 D) 1/4 E)3/2

SEMANA Nº 13 ECUACIONES E INECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS ECUACIÓN EXPONENCIAL: DEFINICIÓN: La ecuación exponencial es aquella que contiene una incógnita o incógnitas como exponente. Ejemplos: 1) 5x = 125 2) 6x + y = 216 x2  y 2

3) 2 4  256 Para resolver una ecuación exponencial se hace uso de las siguientes propiedades: 1. a x  a y  x  y ; a > 0  a  1 2. Se hace un cambio de variable: k x = y, se tendrá una ecuación algebraica respecto a y. 3. a x = b x  a = b, a> 0  b> 0 n

(x x )n  (xn ) x xx

xx

1.

2.

1.

2.

1.

n

aa

aa

a Si, x entonces x = a,  x  0. Por analogía matemática. ECUACIÓN LOGARÍTMICA: DEFINICIÓN: Estas ecuaciones presentan por lo menos, una incógnita bajo el operador logarítmico. Ejemplos: 1. Log 2 (x2 + 7x + 12) = x + 2 2. 2x + log38 = 9 (no es ecuación logarítmica) SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN LOGARÍTMICA: Para obtener la solución de la ecuación: 5.

2.

E) 8/3

log 7 5 22. Calcular: 25 A) 44 B) 15

4.

1.

E) 4

21. Halle el logaritmo de 4 en base 2 2 . A) 3/4 B) 4/3 C) 1/2

CPU – UNSM -T

Se hace uso de

los siguientes criterios: Se debe analizar la base y las expresiones P(x) y Q(x) que dependen de la incógnita, que garanticen la existencia del logaritmo. Se debe hallar los valores de la incógnita que satisface la relación: P(x)> 0  Q(x)>0  b>0 b 1 Los posibles valores de la incógnita se halla resolviendo la ecuación: P(x) = Q(x). Las soluciones de la ecuación logarítmica se determinan interceptando los valores obtenidos en el paso (1) y (2) INECUACIONES EXPONENCIALES: Sean las inecuaciones exponenciales: V b P ( x )  b Q( x ) b P ( x )  b Q( x ) Donde P(x) y Q(x) son funciones en términos de x. Entonces: Si b > 1 se tiene: b P( x)  b Q( x)  P(x) > Q(x) b P( x)  b Q( x)  P(x) < Q(x) Si 0 < b < 1 se tiene: b P( x)  b Q( x)  P(x) < Q(x) b P( x)  b Q( x)  P(x) > Q(x) INECUACIONES LOGARÍTMICAS: Se presentan dos casos: Si x > 0, b > 1; m  IR, entonces: a) log b x  m  x  b m b) log b x  m  x  b m Si x > 0; 0 < b < 1, m  IR, entonces: a) log b x  m  0  x  bm b) log b x  m  x  b m EJERCICIOS RESUELTOS: Si :4x − 4x−1 = 24 Hallar el valor de J = (2x)x A) √5 B) 5√5 C) 5 D) 25 E) 25√5 Solución: Del dato: 4x − 4x 4−1 = 24 Factorizando 4 𝑥 en el primer miembro: 1 3 4x (1 − ) = 24 → 4x ( ) = 24 → 4x = 32 4 4 5 → 22x = 25 → 2x = 5 → x = 2 Remplazando en “J” se tiene: 5 5 2

J = (2. )2 = √55 → J = 25√5 2.

Rpta: E Si “x” es un entero positivo que verifica la 4 8 relación: √(0,8)(x−3)⁄4 > √(0,64)(x−2)⁄5 Podemos afirmar que: A) Hay infinitas soluciones B) El mayor valor de x es 11 C) el menor valor es 15 D)7 es una solución E) La suma de todas las soluciones es 21 pág. 46


ALGEBRA

𝐴) < −∞, 21/5 > B) < −∞, 21/5] C) [1, ∞+> D) < 1, ∞+> E) < −∞, −21/5 >

Solución: Expresando la inecuación con exponente x−3

3.

2(x−2)

fraccionario: (0,8) 16 > (0,8) 40 Como la base es menor que: 1 se cumple que: x−3 2(x−2) x−3 x−2 < → < 16 40 4 5 → 5x − 15 − (4x − 8) < 0 → x < 7 Comox ∈ ℤ+ , entonces: x = {1; 2; 3; 4; 5; 6} Luego la suma de todas las soluciones es: 21. Rpta: E Sea la inecuación: 2logx < x 3 Determine el conjunto solución. A) 2, ∞ B) 3, ∞ C) 0, ∞ D) 1,∞ E) 8, ∞ Solución: De: log 𝑥se tiene: 𝑥 > 0 Tomando logaritmo en ambos lados de la inecuación: log 2logx < log x 3 log x log 2 < 3 log x  x log 2 − 3 log x < 0 Factorizando log x (log 2 − 3) < 0 Como:(log 2 − 3) < 0  log x (3 ⏟ − log 2) > 0 +

 log x > 0  𝐶. 𝑆:  1, ∞

6.

Resolver: √81𝑥+15 < √243𝑥−10 𝐴) < −∞, 110 > B) < −∞, 1] C) [110, ∞+> D) < 110, ∞+> E) < −∞, −110 >

7.

Resolver: 42𝑥−2 .45−3𝑥 4𝑥+3

8.

≥

(4𝑥+1 )

2𝑥−3

43𝑥+1

𝐴) < −1,2 > B) < −2,1] D) < 1,2 > E) [−1,2] Resolver: 5𝑥+1 + 5𝑥 = 750

C) [1,2 >

A) 7 B) 5 C) 3 D) 2 E) 0 9.

Resolver la ecuación exponencial: 2𝑥+2 − 2𝑥−1 = 28 A) 3

10.

x>1

CPU – UNSM -T

B) 4 C) 2 D) 6 E) 9

Resolver: 2(81𝑥 ) = 36𝑥 + 3(16) 𝑥

Rpta: D 1.

EJERCICIOS PROPUESTOS Resolver la inecuación: 27𝑥−1 < 9𝑥+3

A) ¼ 11.

A) < −∞, 9 > B) < 9, ∞+> C) < −∞, ∞+> D) < −∞, −9 > E) < −9, ∞+> 2.

Resolver: 25𝑥+8 < 16𝑥+5 A) < −∞, −12 > B) < −∞, 12 > C) [−∞, 12 > D) [−∞, 12] E) < 12, ∞+>

B) 1 C) ½ D) 2 E) 1/3

Resolver: 1 1 12 (3 ⁄2𝑥 ) − 3 ⁄𝑥 = 27 A) ½

12.

B) 4 C) 2 D) 81 E) 1/9

Resolver:

𝑥

4

A) 2 B) 8 C) 4 D) 0 E) 16 13.

Consideremos: La siguiente expresión: 20𝑛 +16𝑛 +5(22𝑛+1 )

3.

20𝑛 +25𝑛 +2(5𝑛+1 )

Resolver: 3 3𝑥 . 32𝑥 > 27

A) 4/5 B) 4𝑛 /5 C) 5/4 D) (4/5)𝑛 E) (5/4)𝑛 14.

Resolver. 𝑥−5 2

2

𝑥−9 3

5.

Resolver: 3 √27𝑥+1 ≤ √9𝑥−3

Simplificar: 𝑅=

>8

𝐴) < −∞, 13 > B) < −∞, 13] C) [13, ∞+> D) < 13, ∞+> E) < −∞, −13 >

Encuentre el equivalente

simplificado.

A) < −∞, 1 > B) < −∞, 1] C) [1, ∞+> D) < 1, ∞+> E) < −∞, −1 > 4.

𝑥

4

( √√10 + 3) − ( √√10 − 3) = 12√10

𝑚2 +2

2

2

36(6)𝑚 +81(9)𝑚

√

2 2 4(2)𝑚 +9(3)𝑚

A) 3 B) 6 C) 5 D) 2 E) 9 15.

Reducir: 𝑛

𝑅=

𝑛

√3−𝑛+2𝑛 + √3𝑛+2−𝑛 𝑛

√6𝑛 +1

A) 5/3 B) 1/3 C) 6/5 D) 5/6 E) 1/2 pág. 47


ALGEBRA

16.

Reducir: 1

7𝑥

𝑅= √

(81)𝑥+4

3𝑥+1 √3−3

A) 3 B) √3 C) 3√3 D) √2 17.

E) 1

Sabiendo que: 𝑥 𝑛 +9𝑛 1 = 81𝑛 +𝑥 𝑛 3 𝑥−24 𝑥−23 √𝑥 𝑛

√

Calcular el valor de:

A) 27 B) 9 C) 81 D) 3 E) 243 18.

Simplificar: 𝑅=

1

7.2𝑥+2 − −𝑥−4−6.2𝑥−1 2 2𝑥+5 −15.2𝑥 −2.2𝑥+3

A) 2 B) 9 C) 81 D) 3 E) 243 19.

Calcular: 1

𝑅=

5−𝑥 6𝑥−3 −5.6𝑥−5 [ 𝑥−1 𝑥−2 𝑥−3 𝑥−4 𝑥−5] 2 +2 +2 +2 +2

A) 1/3 B) 3 C) 1/5 D) -1/3 E) -3 20.

Calcular: 𝑅=

𝑛−1

𝑛−1 91−𝑛 +1 9𝑛−1 +1 − √ 𝑛−1 1−𝑛 9 +1 9 +1

√

A) 79/9 B) 81/ 5 C) 80/9 D) 9 E) 1/9 21.

Reducir: 𝑥 log 𝑥𝑦 + log 𝑥 2 + log ( ) − log 𝑥 4 𝑦

A) 5 B) 6 C) 0 D) 3 E) 2 22.

Resolver: (log 𝑥)2 + log 𝑥 = 2 A) 1 B) 5 C) -10 D) 1/10 E) 10

23.

Encontrar el mayor valor de “x” en: 5

log11(𝑥 2 −7𝑥+21)

log11 25

=3

A) 2 B) 3 C) 5 D) 11 E) 1 24.

Resolver: log 5 𝑥 log5 𝑥 = 4 A) 5 B) 3 C) 15

25.

A)

UNIDAD IMAGINARIA: Se llama así al número √−1 y se designa por la letra: i = √−1 Ejemplo: √− 4 = √4 √−1 = 2i NÚMERO IMAGINARIO: Un número imaginario lo denotaremos por: 𝑏𝑖 donde: b: es un número real. i: unidad imaginaria. POTENCIA DE LA UNIDAD IMAGINARIA: i1 = i i2 = −1 i3 = −i i4 = 1 i5 = i i6 = −1 i7 = −i i8 = 1 i9 = i ⋮ NÚMERO COMPLEJO EN FORMA BINÓMICA: Al número a + bi le llamaremos complejo en forma binómica. El número “a” se le llama parte real del número complejo. El número “b” se le llama parte imaginaria del número complejo. OBSERVACIÓN: Al conjunto de todos los números complejos se denota por ℂ. ℂ = {a + bi / a, b ∈ ℝ} Los números complejos de la forma: a + bi y – a − bise llaman opuestos. Los números complejos de la forma:a + bi ya − bi se llaman conjugados. SUMA Y DIFERENCIA DE NÚMEROS COMPLEJOS: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS: (a + bi). (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS: a + bi a + bi c − di ac + bd bc − ad = . = + i c + di c + di c − di c 2 + d2 c 2 + d2 MÓDULO DE UN NÚMERO COMPLEJO: El módulo o magnitud de un número complejoz = a + bi viene dado por la siguiente expresión: |z| = √a2 + b 2 FORMA POLAR DE UN NÚMERO COMPLEJO: Y

r

D) 2 E) 25

Resolver la ecuación. 𝑥 log 𝑥 =

CPU – UNSM -T

2 104 ( ) 𝑥

10 B) 100 C) 4 D) -2 E) ∅ SEMANA N º 14 NÚMEROS COMPLEJOS

0

 r.cos 𝜃

r. sen θ X

LA EXPONENCIAL z = r (cos  + i sen COMPLEJA: ) Cuando z = a + bi la habíamos escrito z = r(cosθ + isenθ) también la podemos escribir z = reiθ donde: pág. 48


ALGEBRA

CPU – UNSM -T

b

θ = arctg ( ) Argumento de z a En particular, si se necesita multiplicar 𝑧 consigo mismo n veces entonces: z n = r n . einθ = r n (cos(nθ) + isen(nθ)) EJERCICIOS RESUELTOS 1. Siendo “i” la unidad imaginaria ,calcular el valor de la expresión: i + i2 + i3 + i4 + i5 … + i1003 J= 2 − i + i2 − i3 A) – 1 B) 1 1 C) 2

2.

3.

5.

J ⏞ i + i2 + i3 + i4 + ⏞ … + i1000 + i1001 + i1002 + i1003 = 2 − i + i2 − i3 0 + ⋯ + 0 + i1 + i2 + i3 J= 2−i−1+i i−1−i J= 1 𝐽 = −1 Rpta: (A) La expresión J = A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1

(1+i)2 (1+3i) i−3

es igual a:

J=

E) 1

D) −𝑖

C) 4

E) 𝑖

Reducir:𝑅 = √2√𝑖 − √2 √𝑖 − 1 9

C) 2𝑖

B) 1

E) – 1

D) 𝑖

Indicar el modulo: (1+𝑖)22 (1+𝑖)20 𝑍 = (1−𝑖)20 + (1−𝑖)16 A) 10 B) 20 C) 25 D) 12

E) 15

Calcular “b” para que el complejo: 𝑧 = 3 + 4𝑖 Sea imaginario puro. 1 + 𝑏𝑖 A) 0.5 B) 0.25 C) 0.6 D) 1.5 E) – 0.75

7.

Calcular: b  a , si:

2 − 𝑘𝑖

A) 2 9.

B) 3

 2  3i 

C) 7

2

 a  bi

D) 17

E) 23

Hallar el valor de “k” para que el cociente 𝑘−𝑖

J=

D) −𝑖

6.

8.

−3+i (−3) −i 2i(−3−i−9i−3i2 ) 2i(−3−10i+3) = 9−i2 9+1 −20i2 20 = =2 10 10

C) 𝑖

i 98

Calcular: A) 1 B) -1

A) 2

Solución: Sabemos que:(1 + i)2 = 1 + 2i + i2 = 2i Remplazando en “J” 2i(1+3i) 2i(1+3i)(−3−i) J= = 2 2

𝜋

B) 𝑒 −2 𝑖

61 3845

A) 0

E) Solución:

i

Calcular el valor de: A) – 1

4.

1 2 1 i ( ) 2

D) –

2.

2529

2123

sea un número real. B) √2

C) 3

D) 𝑖

E) √2𝑖 3

Dados: 𝑍1 = −3 + 4𝑖; 𝑍2 = 5 − 2𝑖 y 𝑍3 = 2 𝑍4 = 7𝑖 Calcular: 𝑍1 𝑍2 + 𝑍3 𝑍4 21 21 A) −28 − 2 𝑖 B)−28 C) − 2 𝐷) − 21 −

28 𝑖 2

E) −28 +

21 𝑖 2

Rpta: (D) 3.

Efectuar: J =

12(cos15+isen15) [3(cos41+isen41)][2(cos64+isen64)]

A) 2 B) – 2 C) – 2i D) i E) 1 Solución: 0 12e15 i J= 0 0 (3e41 i )(2e64 i ) 0 J = 2e15 i−41i−64i 0 J = 2e−90 i = 2[cos(−90) + isen(−90)] J = 2[0 − i] = −2i EJERCICIOS PROPUESTOS 1.

i 93  i 75  i 63  i 49 Calcular: R  i 72  i 93 A) 0

B) 1

C) – 1

D) 𝑖

10. Del ejercicio anterior calcular:

𝑍2 ) 𝑍3 A) −12 + 9𝑖 𝐷) − 9 + 12𝑖

B) −2𝑖 21 E) 9 + 2 𝑖

(𝑍1 − C) 9𝑖

11. Si 𝑍1 𝑦 𝑍2 son complejos conjugados tal 1

3

que:𝑍1 = − 2 − 2 𝑖

Calcular:𝑍1 3 − 3𝑍1 . 𝑍2 + 𝑍2 3 A) 1 B) −𝑖 C)  1 D) 𝑖

E) 0

12. Si (𝑎 + 𝑏𝑖)2 = (𝑎 − 𝑏𝑖)3 Calcular: 𝑀 =

2𝑎(2𝑎 + 1) A) 1 B) 0

C) 4

D) 7

E) 2

13. Sabiendo que : √𝐴 + 𝐵𝑖 = 𝑥 + 𝑦𝑖

E) − 𝑖 pág. 49


ALGEBRA

A) – 1

𝐵2

Hallar el valor de:𝑃 = 𝑦2 𝐴+𝑦4 A) 4

B) 5

C) 15

E) 5𝑖

D) 2

24.

real. A) 7

(𝑎−2)(𝑎2 +𝑎−8)𝑖

B) 4

C) 2

D) 8

[𝑖

15. El valor simplificado de:

B) – 1

A) 0

𝑁=[

B) 𝑖

A) 1

𝑖

(

]

1−1 + 𝑖

, es:

] E) – 1

D) 2𝑖

17. Sea el número complejo: z = 1 + i.

Calcular: z8 A) 5 B) 8 18.

19.

C) 12 D) 16

E) 32

Hallar “n” en: (1 + i)n = 512 i A) 2 B) 4 C) 9 D) 15 E) 18 n + 3i

Si

2 − 5i

es un número complejo puro,

hallar el valor de “n”

A) 20.

15

B) 2

2

C) 6

D) 15

E) 29

Hallar un número complejo cuyo conjugado coincide con su cuadrado 1

A) −  2√2 i B) 2

1

1 2

1

 √3 i

C) − ± 1

2

√3 i 2

E) − 4  √3 i

D) − 2 + 3 √3 i 21.

Calcular el módulo del siguiente número complejo: z = sen240° + cos240° + cos50° + i sen50° A) 2 B) 2cos25° C) cos25° D) 2cos50° E) 2sen25°

22.

Siendo z un número complejo, tal que: z=

(1  i) 2  (1  i) 3 (1  i) 2  (1  i) 3

Calcular el valor de: A) 2 23.

B) – 1/2

Im(z )  1 Re( z )  1 C) 3

Calcule el valor de:

Li

7 5 3

i

D) 1/2

B) 2/3

La expresión

J=

E) 1

(1 + i)2 (1 + 3i) i−3

es

E) 0

B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 SEMANA Nº 15 MATRICES Y DETERMINANTES MATRIZ: Una disposición rectangular de números o funciones, sujeta a determinadas reglas de operación, recibe el nombre de matriz. Simbólicamente:

1+𝑖

C) – 𝑖

( 3  i) 5 (1  i ) 4 C) 2 D) 2/5

A) 5

E) −𝑖

1−1 − 𝑖

E) 0

igual a:

21 ) 15

𝑖 6 +𝑖 8 +𝑖 10

1−𝑖

16. Simplificar:

777! 776!

D) 𝑖

C) 1

25.

E) 1

C) 1 D) 2i

Hallar el módulo del siguiente número

A) 1/5

Es un número

(𝑎−2)+(𝑎−1)

B) – i/2

complejo z  3

14. Para que valores reales de “a” el siguiente

complejo:

CPU – UNSM -T

 a11  a A   21  ...   a m1

a12 a 22

... am2

 ... a 2 n  ... ...   ... a mn  mxn ...

a1n

Dónde: m = número de filas; n = número de columnas y “m x n” indica el orden. Si m = n es una matriz cuadrada. OBSERVACIÓN: Si una matriz es de orden “n x n”, entonces se dice de orden “n”. IGUALDAD DE MATRICES: Dos matrices son iguales si y sólo si tiene el mismo orden y todos los elementos correspondientes son iguales. OPERACIONES CON MATRICES: SUMA DE MATRICES: La suma de dos matrices del mismo orden se efectúa sumando los elementos correspondientes. DIFERENCIA DE MATRICES: La diferencia de dos matrices del mismo orden se efectúa restando los elementos correspondientes. MULTIPLICACIÓN DE MATRICES: Si A es una matriz de orden “m x p” y B una matriz de orden “p x n”; el producto A.B se define como la matriz de orden “m x n” cuyo elemento de la i – ésima fila y la j – ésima columna se obtiene multiplicando los elementos de la i – ésima fila de A, por los elementos e la j – ésima columna de B, sumando después los resultados. CLASES DE MATRICES: MATRIZ IDENTIDAD: Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales a 1.

9 7 5 pág. 50


ALGEBRA

1 0 In   ...  0

0

...

1

...

...

...

0

...

0 0  ...  1  nxn

1. 2.

EJEMPLO DE MATRIZ SIMÉTRICA:  1 9  6 M 3   9 2 7   6 7 5 

MATRIZ DIAGONAL: Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal 1 M 3  0 0

0 2 0

0 0 5

MATRIZ TRANSPUESTA: Es la matriz que se obtiene de 𝐴 al cambiar las filas por las columnas, o lo que es igual columnas por filas y se denota como: At TRAZA DE UNA MATRIZ: Es la suma de los elementos de la diagonal principal. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ: El determinante viene a ser una función definida por: det: Mnxn → ℝ Notación: se denota como: det(A) ó |A| DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE ORDEN 2: a11 a12 A = [a ]  |A| = a11 . a22 − a21 . a12 21 a 22 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE ORDEN 3: a11 a12 a13 A = [a21 a22 a23 ] a31 a32 a33 a11 a12 a13 |a21 a22 a23 |  |A| = a31 a32 a33 a11 a12 a13 a21 a22 a23 |A| = a11 . a22 . a33 + a21 . a32 . a13 + a31 . a12 . a23 − (a13 . a22 . a31 + a23 . a32 . a11 + a33 . a12 . a21 ) OBSERVACIÓN: Este método es solo para matrices de orden 3 OBSERVACIÓN: Para matrices de orden 3, 4 ó más se puede utilizar el siguiente método: a11 a12 a13 a14 a a22 a23 a24 A = [ 21 ] a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44 Tomemos como referencia a la primera fila (en los ejercicios la fila ó columna que tenga más ceros) a22 a23 a24 a21 a23 a24 a a a a33 a34 | |A| = a11 | 32 33 34 | − a12 |a31 a42 a43 a44 a41 a43 a44 a21 a22 a24 + a13 |a31 a32 a34 | a41 a42 a44 a21 a22 a23 − a14 |a31 a32 a33 | a41 a42 a43

3.

4. 5.

6.

7.

8. 9. 10.

7 |6 4 7 6

CPU – UNSM -T

Donde los signos van intercalados empezando del elemento “𝑎11 ” PROPIEDADES DE DETERMINANTES: |A| = |At | El determinante de una matriz A cambia de signo, si dos filas (ó columnas) se intercambian. Si en una matriz A se tiene que en una fila (ó columna) es múltiplo de otra fila(ó columna) entonces el determinante de dicha matriz vale cero. Si en una matriz A todos los elementos de una fila (ó columna) son ceros, entonces su determinante vale cero. Si en una matriz A todos los elementos de una fila (ó columna) son multiplicados por un escalar “k”, entonces el determinante de la matriz A queda multiplicado por k. Si en una matriz A de orden “n” es multiplicado por un escalar “k”, entonces el determinante de la matriz A queda multiplicado por k n . Si a una fila (ó columna) de una matriz A se le suma el múltiplo de otra fila (ó columna) se tendrá que el valor del determinante de A no varía. El determinante de la matriz identidad es 1. |A. B| = |A|. |B| En general para matrices del mismo orden |A + B| ≠ |A| + |B| Ejemplo: Calcular el determinante de la matriz 7 6 4 −2 J = [8 0 −3 0 ] 6 2 −5 3 4 −3−2 1 Solución: Tomemos como referencia la fila 2 (por tener más ceros) 6 4 −2 7 4 −2 | J | = −8 | 2 −5 3 | + 0 |6 −5 3 | − −3 −2 1 4 −2 1 7 6 −2 7 6 4 (−3) |6 2 3 | + 0 |6 2 −5| 4 −3 1 4 −3 −2 Para el 1 er determinante, como la fila 1 es múltiplo de la fila 3 por propiedad el determinante es cero Para el 3 er determinante 6 −2 2 3| −3 1 = (7)(2)(1) + (6)(−3)(−2) + 6 −2 2 3 (4)(6)(3) − [(−2)(2)(4) + (3)(−3)(7) + (1)(6)(6)] Resolviendo se tiene: 165 Remplazando se tiene: J = −(−3)(165) → J = 495 INVERSA DE UNA MATRIZ: Decimos que una matriz cuadrada A tiene inversa, A– 1 si se verifica que: A·A– 1 = A– 1·A = I pág. 51


ALGEBRA

 a11 a12   . La inversa de A a 21 a 22 

NOTA: Si A  

1  a 22  a12    A  a 21 a11  EJERCICIOS RESUELTOS: Dada la matriz A, definida por: es: A 1 

1.

2.

3.

A= i − j ; si i ≠ j (aij)3x4 tal que: aij = { i + j ; si i = j Determine la suma de todos los elementos de A. A) 6 B) 12 C) 0 D) 8 E) 4 Solución: a11 a12 a13 a14 a Sabemos que: A = [ 21 a22 a23 a24 ] a31 a32 a33 a34 a11 = 1 + 1 = 2, a12 = 1 − 2 = −1 a13 = 1 − 3 = −2, a14 = 1 − 4 = −3 a21 = 2 − 1 = 1, a22 = 2 + 2 = 4 a23 = 2 − 3 = −1, a24 = 2 − 4 = −2 a31 = 3 − 1 = 2 a32 = 3 − 2 = 1 a33 = 3 + 3 = 6 a34 = 3 − 4 = −1 2 −1 −2−3 A = [1 4 −1−2] 2 1 6 −1 La suma de sus elementos de A es: 6 Rpta: (A) 0 1 1 2 3 Si A = [ ] , B = [−2 2] Calcule 0 −1 −2 3 4 Tr(A. B), donde Tr = traza de la matriz cuadrada. A) – 10 B) – 5 C) 0 D) 5 E) 10 Solución: 0 1 1 2 3 A. B = [ ] . [−2 2] 0 −1 −2 3 4 A. B = 1(0) + 2(−2) + 3(3) 1(1) + 2(2) + 3(4) [ ] 0(0) − 1(−2) − 2(3) 0(1) − 1(2) − 2(4) 5 17 A. B = [ ] − 4 −10 Tr(A. B) = 5 + (−10) = −5 Rpta: (B) Calcular el determinante de: 1 2 3 J = [4 5 6] 7 8 9 A) – 3

CPU – UNSM -T

B) – 2 C) – 1 D) 0 E) 1 Solución: 4 6 5 6 4 5 J = 1| | −2| | + 3| | 7 9 8 9 7 8 J = 1(45 − 48) − 2(36 − 42) + 3(32 − 35) J = −3 + 12 − 9 J=0 Rpta: (D) EJERCICIOS PROPUESTOS 2x − 1 y 1. Sean las matrices: A = [ ], B= 3−y 2 5−y 2−x −2 5 [ ] y C=[ ]. Hallar 𝐴 + x+1 2 4 −1 𝐶,tal que 𝐴 = 𝐵 2 3 7 1 5 3 𝐴) [ ] 𝐵) [ ] 𝐶) [ ] 5 1 3 5 1 1 8 9 5 3 𝐷) [ ] 𝐸) [ ] 5 1 9 1 2. Hallar: J = a + b + c + d si las matrices 2a + b −4 A=[ ] y 13 3c + d 19 a + 2b B=[ ] Son iguales: c + 3d 15 A) 4 B) 6 C) 8

D) 10

E) 12

3. Escribir explícitamente siguiente matriz: A = [aij] / aij = 2i − j 2x3 1 0 −1 3 1 −1 A) [ ] B) [ ] 3 2 1 3 2 1 1 0 −1 1 2 −1 C) [ ] D) [ ] 0 −1 1 3 3 1 1 −5 E) [ 4 2

−1 ] 1

2 4. Si A = [−1 0

−1 2] 1

y

4 8 B=[ 2 −1

1 ] 3

Hallar la traza (AB) A) 3 B) 2

C) − 1 D) 6 E) − 10

5 a−b 2 5. Si A = [ 4 8 a ] es simétrica a+b x−b 9 Hallar: J = a12 + a31 + a32 A) 6

B) 12

C) 8

 1 2 3 6. En la matriz A   1 2 -3   0 1 2

D) 9

E) 10

4 4  , el valor de 3 

(a13 – a23 + a31) es: pág. 52


ALGEBRA

A) 4

B) 6

7. Dadas

C) 5

las

D) 7 E) 8

11. Si las matrices A =

2 3  A  4  5

matrices:

7  4  B  , el valor de la matriz  2  3

y

(B – 2A)

es:

1 2   3 0 

B) 

 x  y u  v  x  y u  v y  

20 12  12  4 son iguales, el valor de   A) 2 408

B) 2 008

D) 2 048

E) 2 480

B=

E = xyuv es:

C) 2 084

3 3 6 8  , B=    , el valor 6 3 3 7 

 3 10    6 7 

 2 3   1 4 

A) 

CPU – UNSM -T

12. Sean las matrices A = 

C) 

de la (Tr (A).Tr (B)) es:

 3 10   3 10  E)    6 7   6 7 

A) 13

D) 

 2 3  1 2   4 5 .  4 5     , la matriz que se 8. Al efectuar  obtiene es:

14 19   16 17 

14 19    24 33

A) 

12 15   17 32 

B) 

los elementos de la segunda columna de la matriz obtenida es:

10. Indicar

D) 14

explícitamente

 

 

matriz: B  bij

la

donde: bij  2  j 1

3

7

1

6

5 

1 C) 0  1

E) I

1 5  3 2  6 7 

1

5

0

6

1

2 

B)  3 1 7   

1 D)  3  7

2 6  y   y C= 1 6  x 

B= 

0 2 6

E) 84

x , y 

 4  8 , si 2 3  

  2 0   6 9

 2  1 6  7

C) 

B) 

 2  1  2  1 E)   9 9  8 7

D) 

a  b  1  1  14. Si la matriz A = 3 b  es simétrica,  2 b  x a  x 4  el valor de S = a 12 + a 31 + a 32 es:

E) 19

i

A) 0 1 2   

x  3y  1

 1  1  7 9

 2 3   1 2  9. Luego de efectuar  4 1 .  , la suma de 3 4    2 3

C) 16

D) 6

13. Sean las matrices A = 

A) 

12 19  14 16  E)     22 34  24 36

B) 12

C) 19

A = B, el valor de (3A+ 2C) es:

C) 

D) 

A) 8

B) 78

3x 3

A) 8 ,

B) 6

C) 4

D) 2

E) 1

a  8 p  b m  a   n  b  es una matriz 15. Si A = a  5 b  9 5  a b  2  2c  5 diagonal, el valor de E = m – n + p es: A) 1

1 1  5 

B) 3

C) 5

D) 7

E) 9

16. El mayor elemento de la matriz A, siendo A = BC,

 2 3 4 donde B =   y 1  5 6

 1 1 2  C=  1  2 3     0 1  2

es: pág. 53


ALGEBRA

A) 15

B) 10

C) 12

D) 6

E) 19

sea único es:

17. En la siguiente ecuación

a 1

b c d 4 9 2 

1 0  0  0

A) 7

0 2 0 0 1 1 = 1 0 0  0 1 0

1 1

0 6 6

9 8 4 ,

el

B) 12

C) 15

D) 0

B) 1

C) X

E) 6

 2 3 3 2 , el valor de la traza de  

( A2 – 4A) es: A) 11

B) 12

E) 10

D) 10

E) 12

1 2 2  3 B) 2

C) 6

tgx  sec x es: cos x ctgx

20. El valor de A) – 1

D) 4

2  3 1 2

19. Calcular: A) 1

C) 6

B) 0

C) 1

1

4

21. Sean A =  2

9

1

2

D) 2

 1/ 7 1/ 7    3 / 7 4 / 7 

B) 

E) 4

3

2 1 el valor de 2 y B= 3 1 4

A) – 2 B) 1 C) 2 / 5 ó 1 D) 2 E) – 2 / 5

x y 2

y( x  y)  0 , el valor de x y

x es: A) 0

x

B) 1

y

C) – 2

D) 3

E) 2

z

x y 23. si 1 0 1  0 , el valor de es: z 1 1 2

A) – 2

B) – 1

C) 1

D) 2

1   3   3 / 7 4 / 7

1 / 7 1 / 7   3 4 

D) 

1  1  2 3 

1 3    2 4

E) 

SEMANA Nº 16 MICELANEA PRACTICA 1. Simplificar:

√𝑥. √𝑥. √𝑥 … … 20 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 ; 𝑥 ∈ ℝ+ 𝑥. 𝑥. 𝑥 … . … . .10 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 1 A) 𝑥 B) 1 C) 𝑥 2 D) 𝑥 10 E) 𝑋

2. Proporcionar el valor de “x” que verifica:

“x” en la ecuación Bx2 – Ax + 2 = 0 es:

22. Si: x – 2y = 6 y

E) 1/ 7

4  1  es: 3 1 

C)  18. Dada la matriz A =

D) – 7

25. La inversa de la matriz A = 

A) 

valor de (a.b.c.d) es: A) 8

CPU – UNSM -T

E) 3

2  x x  tiene por 3  x

24. La matriz 

Determinante, el número (x + b), el valor de “b” de tal manera que dicho número

325 A) 1

B) 2

x+2

5x

12−x = √25

C) 3

D) 4

E) 5

3. Si 𝐹(𝑥 + 5) = 3𝑥 + 7;encontrar :𝐹(𝑥 − 5) A) 3𝑥 − 7 B) 3𝑥 − 23 C) 7𝑥 − 3 D) 23𝑥 − 7 E) 𝑥 − 23 4. El grado de 𝑀(𝑥). 𝑁(𝑥) es 7 y el grado de 𝑀(𝑥) ÷ 𝑁(𝑥) es 3.calcular el grado de : 𝑀(𝑥) + 𝑁(𝑥) A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 5. Hallar "𝑚 − 𝑛 + 𝑝" si se sabe que el polinomio: 𝑃(𝑥) = 𝑥 𝑚−10 + 𝑥 𝑚−𝑛+15 + 𝑥 𝑝−𝑛+6 Es completo y ordenado en forma descendente A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10 6. Si:𝑎4 − 𝑏 4 = 24˄𝑎2 − 𝑏 2 = 3 Calcular:𝑎2 + 𝑏 2 A) 21 B) 8C) 13 D) 4 E) 5 7. Si:𝑥 + 𝑥 −1 = 4 Calcular el valor de:𝑥 3 + 𝑥 −3 A) 51 B) 52 C) 53 D) 54 E) 55 8. Si la división es exacta:

𝑥 5 − 2𝑥 4 − 6𝑥 3 + 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑥 3 − 3𝑥 2 − 𝑥 + 3

Calcular el valor de:𝑎 + 𝑏 + 𝑐 A) 1 B) 2 C) 3 D) 7 E) 5

pág. 54


ALGEBRA

CPU – UNSM -T

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

√5log𝑎 𝑥 + 6. 𝑥 log𝑎 5 Cuando:𝑥 = 7log5 𝑎 a> 2 A) 5 B) 7 C) 3 D) 4

E) 6

9. Encontrar el residuo de dividir:

𝑥2 A) 1

5𝑛

B) 2

3𝑛

𝑛

+ 𝑥2 + 𝑥2 + 2 𝑛 𝑥2 + 1 C) 3

D) 4

E) 5

10. Indicar el número de términos del cociente notable de:

𝑥 4𝑚−3 − 𝑦 4𝑚+12 𝑥 𝑚−9 − 𝑦 𝑚−8 A) 12

B) 13

C) 14

18. Calcular el valor de:

19. Si :log 𝑥 2 = 𝑎 ˄ log 𝑦 2 = 𝑏 10

𝑥

Calcular:20 log √ 𝑦

D) 16 E) 15

11. Reconocer un factor de: 𝑃(𝑥, 𝑦) = 𝑥 4 𝑦 + 𝑥 2 𝑦 3 − 𝑥 3 𝑦 2 − 𝑥𝑦 4 A) 𝑥 + 𝑦B) 𝑥 2 + 𝑦 2 C) 𝑥 2 + 𝑦 D) 𝑥 2 E) 𝑥 − 𝑦 2 12. Cuál es el denominador racional de:

A) 𝑎 + 𝑏B) 𝑎 − 𝑏C) 𝑏 − 𝑎 D) 𝑎𝑏 E) N.A 20. La ecuación:𝑥 + √𝑥 + 2 = 4 tiene: A) Dos raíces reales B) Una raíz real y una imaginaria C) Dos raíces imaginarias D) Una raíz real solamente E) Una raíz imaginaria solamente

4𝑥 2 7

21. La ecuación :√2𝑥 + 3 − √3𝑥 − 5 = 1 tiene por

√3𝑥 4 𝑦 3

A) 𝑥

B) 𝑦

C) 𝑥𝑦

D) 3𝑥E) 3𝑦

13. Encontrar el coeficiente del termino cuya parte literal es:𝑥 20 en el desarrollo de:

solución: A) 23 B) -3

C) 5

D) 1

E) N.A

22. Efectuar:

1 12 (𝑥 3 + ) 𝑥

𝑥 = √8 ÷ √8 ÷ √8 ÷ … … … .

A) 495 B) 395 C) 490 D) 390 E) 275

A) 1

B) 2

C) 3

D) 8

E) 5

14. Calcular: 83!

𝑀 = 81!+82! ∗ A) 1 B) 2

40!+41! 42!

C) 3

D) 4

E) 5

23. Calcular: 1+𝑖 1−𝑖 𝑃= − 1−𝑖

15. Reducir: 30 100 28 𝐶020 + 𝐶1100 − 𝐶30 − 𝐶99 + 𝐶27 A) 26 B) 27C) 28 D) 29 E) 30

16. Determinar “k” en la ecuación: 𝑥 2 − 2(𝑘 − 1)𝑥 + (𝑘 + 5) = 0 ; (𝑘 > 0) Si las raíces son iguales. A) -1 B) 1 C) 3 D) 4 E) 5 17. Ecuación: 2𝑥 2 − 6𝑥 + 5 = 0 Calcular:𝑀 = 𝑥 2 1 + 𝑥 2 2 A) 1 B) 0 C) -1 D) 2 E) -2

A) 0

1+𝑖

B) 2i

C) -2

D) 4

E) i

24. Calcular el determinante de la siguiente matriz: 3 2 1 𝐴 = [1 1 1 ] 2 1 1 A) -1 B) 2 C) 0 D) 4 E) 1 25. Calcular "𝑎 + 𝑏" si el conjunto: 𝐹 = {(2; 5), (−1; −3), (2; 2𝑎 − 𝑏), (−1; 2𝑏 − 𝑎), (3; 𝑎)}Es una función:

pág. 55

TARAPOTO - PERÚ

DÉCIMO NOVENA EDICIÓN

ARITMÉTICA

Semana 01 TEORÍA DE CONJUNTOS

UNSM-CPU-T

El número de subconjuntos propios está dado por: n  P( A)  2n ( A) - 1

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS: Un CONJUNTO es un concepto no definido, pero nos da una idea de él, toda agrupación de objetos homogéneos de posibilidades reales o abstractas. A los integrantes de la colección o conglomerado se les llama “elementos” DEL CONJUNTO. NOTACIÓN: Los Conjuntos se representan con letras mayúsculas y los elementos con letras minúsculas. A = { a, b, c, ….. z }

DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS: 1.POR COMPRENSIÓN: Se enuncia una propiedad común que caracterice a todos los elementos:

Se llama unión de dos conjuntos A y B al conjunto formado por los elementos que pertenecen por lo menos a uno de los conjuntos. A  B  { x / x A  xB } 2. INTERSECCIÓN: Se llama intersección de dos conjuntos A y B, al conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a ambos conjuntos. A  B  { x / x A  xB } 3. DIFERENCIA:

A  B  { x / x A  xB } 4. DIFERENCIA SIMÉTRICA:

A = { 𝑥/𝑥 ∈ 𝑁 ; 3 < 𝑥 < 9 } 2. POR EXTENSIÓN: Se nombran uno a uno los elementos del Conjunto. A = { 4; 5; 6; 7; 8 }

AB  ( A  B)  ( B  A) ó

AB  ( A  B)  ( A  B)

5. COMPLEMENTO (A’); (AC); C(A):

RELACIÓN DE PERTENENCIA:

A’ = { x / x U  x  A }

Cuando un elemento es parte del conjunto o pertenece a él, se denota con  . Si no pertenece se denota con  : 4  A ; 2  A.

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS: 1. INCLUSIÓN (  ): Se dice que un Conjunto A está incluido en un conjunto B, si todos los elementos de A “pertenecen a B: A  B Observación: El conjunto vacío  está incluido en todo conjunto. 2.SUBCONJUNTO PROPIO: Un subconjunto propio de A es todo subconjunto de A que no es igual a él. Nº de subconjuntos propios de A  2

n ( A)

1

3. IGUALDAD DE CONJUNTOS: Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos: A  B A  B  B  A

4. CONJUNTOS DISJUNTOS: Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen elementos comunes. 5. CONJUNTO POTENCIA  P( A) : El conjunto Potencia de A está formado por todos los subconjunto de A. Su cardinal está dado por:

n  P( A)  2n ( A)

1. UNIÓN:

RELACIÓN CON CARDINALES: 1. Si A y B son disjuntos. n( A  B)  n( A)  n( B) 2. Para 2 conjuntos cualesquiera A y B: - n( A  B)  n( A)  n( B)  n( A  B) - n( A  B)  n( A)  n( A  B) - n( A  B)  n( A  B)  n( A  B)  n( B  A) 3. Para 3 conjuntos cualesquiera A, B y C: n( A  B  C )  n( A)  n( B)  n(C )  n( A  B) 

n( A  C )  n( B  C )  n( A  B  C )

PROBLEMAS RESUELTOS 1. Hallar la suma de los elementos del siguiente conjunto: 𝑥+1 𝐴 = {( ) ∈ 𝑁/𝑥 ∈ 𝑁; 13 ≤ 2𝑥 ≤ 39} 3 A) 18 B) 19 C) 20 D) 21 E) 22 Solución Los elementos del conjunto A son números x 1 enteros provenientes de la fracción 3 Los valores de “x” son números naturales determinados por la inecuación 13  2 x  5  39 que luego de simplificarla es:  

4  x  17 ,

por lo que estos valores son: 4; 5; 6; ……..; 17 57


ARITMÉTICA

De todos estos valores se deben seleccionar 0

aquellos que cumplan: x  1  3 , o sea x: 5; 8; 11; 14; 17 Se reemplaza estos valores en la fracción x 1 : 3  A = { 2; 3; 4; 5; 6}  La suma de los mismos es 20

2. En un avión viajan 120 personas, de los cuales Los 2/3 de ellos no beben Los 4/5 de ellos no fuman 72 no fuman ni beben ¿Cuántas personas fuman y beben o no fuman ni beben? A) 80 B) 57 C) 88 D) 86 E) 85 Solución Para este caso lo más apropiado es utilizar un diagrama de Carroll. Se coloca en el cuadro, primero el total de totales 120 y luego se van llenando los demás casilleros de acuerdo a los datos: 2 Total de los que no beben: .120 = 80 3 4 Total de los que no fuman: .120 = 96 5 Los demás casilleros se completan hallando las diferencias de los datos que se colocaron primero, quedando así: Fuman

No Fuman

Totales

Beben

16

24

40

No Beben

8

72

80

Totales

24

96

120

De acuerdo a este cuadro, las personas que fuman y beben son 16; y las que no fuman ni beben son 72. La respuesta a la pregunta planteada se hallará sumando ambos datos, ya que el significado conjuntista de “o” es “Unión”. 16 + 72 = 88 3. Dado el gráfico:

UNSM-CPU-T

Observamos que el conjunto A es el triángulo, B es el círculo y C el rectángulo. Al estar incluido A en B, A  B = A, o sea al triángulo. La parte sombreada del triángulo corresponde a la operación: [ (A  B) – C)] La parte sombreada en el rectángulo es claramente C – B. Uniendo ambas operaciones se obtiene la alternativa E) [ (A  B) – C)]  (C – B)

PROBLEMAS

PROPUESTOS

1. Determinar la suma de los elementos del conjunto: A={ x2/ x  Z; -5 < x < 5 } A) 12 B) 18 C) 22 D) 30 E) 60 2. Si A, B y C son conjuntos tales que A  B  C, simplificar:

( A  C)  (B  C)  ( A  B  C)  (B  A) A) A

B) B

C) C

D) ϕ

E) U

3. Si A = {x / x ϵ Z ˄ 10 < x < 20} y B={y+5 / y ϵ Z ˄ (√𝑦 + 15) ϵ A} ¿Cuál es la suma de los elementos de B? A) 45 B) 50 C) 55 D) 60 E) 65 4. Sabiendo que el conjunto: A = {a+b; a+2b-2; 10} es un conjunto unitario, ¿cuál es el valor de a2 + b2? A)16 B) 80 C) 68 D) 58 E) 52 5. Dados los conjuntos unitarios: 𝐴 = {(𝑛 + 𝑚); (𝑛 + 𝑝); 8} y 𝐵 = {(𝑚 + 𝑛); 10}. Hallar: (m+n-p) A) 3 B) 8 C) 7 D) 5 E) 4 6. Hallar (b+c+a), sabiendo que los conjuntos A; B y C son conjuntos iguales. 𝐴 = {𝑎 + 2; 3𝑎}; 𝐵 = {𝑎 − 1; 6 − 𝑎}; 𝐶 = {1; 𝑏 + 𝑐} A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 7. Los conjuntos A y B son tales que n(AUB) = 30; n(A-B) = 12 y n(B-A) = 10. Hallar: n(A) + n(B). A) 22 B) 38 C) 36 D) 25 E) 37 8. ¿Cuántos tipos de jugo surtido se pueden preparar, si se dispone de 6 clases de fruta? A) 56 B) 57 C) 60 D) 63 E) 64

¿Cuál de las siguientes afirmaciones representa la zona sombreada? A) [ (A  B) - C]  B B) (A – C)  B C) (B – C)  A D) (A  B  C)  (C – B) E) [ (A  B) – C)]  (C – B) Solución

9. Si el conjunto A tiene 3 elementos, ¿Cuántos subconjuntos propios tiene el conjunto potencia de A? A) 23-1 B) 28-1 C) 216-1 D)2256-1 E)264-1

58


ARITMÉTICA

10. Si 𝐴 = {𝑥 / 𝑥 ∈ 𝑍 ^ 𝑦 / 10 < 𝑥 < 20} y 𝐵 = {𝑦 + 5 / 𝑦 ∈ 𝑍 ^ (√𝑦 + 15) ∈ 𝐴}. ¿Cuál es la suma de los elementos de B? A) 51 B) 52 C) 53 D) 54 E) 55 11. Hallar n(B) si n{P(AUB)} = 256; n(A) – n(B) = 1 y n(A∩B) = 3. A) 3 B) 5 C) 7 D) 8 E) 6 12. Para los conjuntos A, B, C, se cumple: n(AUBUC)=36 ; n(A) = 19; n(B) =25; n(C)=22;

n  A  B   C   7

;

n  B  C   A  8

n  A  B   C   3 ;  . Determinar: 𝑛[𝐴∆𝐵) − 𝐶] A) 4 B) 5 C) 7 D) 9 E) 8 13. Si n(A) ≤ 1 y B = C. Calcular el valor de: m+n+p. A = { 2p; m }; B = { n+1; 2m - 3 }; C = { n+5; 2p - 1 } A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 14. El conjunto A tiene 31 subconjuntos propios y n(A).n(B) es igual a 35. ¿Cuántos subconjuntos propios tiene B? A) 7 B) 8 C) 64 D) 127 E) 128 15. En un salón de clases de 80 alumnos, 60 están matriculados en Física y 50 en Matemática. ¿Cuántos alumnos están matriculados en los dos cursos? A) 28 B) 18 C) 30 D) 24 E) 32 16. En un grupo de 44 secretarias se determinó que 7 eran peruanas, simpáticas, altas, flaquitas y morenas; 24 son peruanas simpáticas, 21 son morenas; 23 son altas flaquitas, 10 son peruanas, morenas simpáticas, 15 so peruanas flaquitas altas y simpáticas y 11 son morenas altas y flaquitas. ¿Cuántas de las secretarias no tienen ninguna de las 5 características mencionadas? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 17. De un total de 120 alumnos se observa lo siguiente: 45 aprobaron Física, 46 Química, 38 aprobaron Matemática, 7 aprobaron Física y Química, 8 aprobaron Química y Matemática, 10 aprobaron Matemática y Física y 12 no aprobaron ningún curso. ¿Cuántos aprobaron al menos 2 cursos? A) 17 B) 22 C) 13 D) 24 E) 15 18. En una fiesta de promoción, exclusivo para egresados, se conoce que el total de personas asistentes es 72. En un momento dado, las mujeres que no bailan

UNSM-CPU-T son el doble del número de varones que bailan. Si el total de varones en la fiesta es la mitad del número total de mujeres. ¿Cuántas personas no bailan en ese momento? A) 20 B) 50 C) 56 D) 40 E) 38

19. De 52 personas se sabe que: 5 mujeres tienen ojos negros, 16 mujeres no tienen ojos negros, 14 mujeres no tienen ojos azules, 10 varones no tienen ojos azules ni negros. ¿Cuántos varones tienen ojos negros o azules? A)21 B) 20 C) 22 D) 23 E) 19 20. ¿Cuántos elementos tiene un conjunto “A” sabiendo que tiene 60 subconjuntos más que un conjunto binario? A) 2 B) 3 C) 5 D) 6 E) 8 21. Juan tiene 6 clases de vino y desea obtener más tipos de vino, mediante combinaciones que van a realizar. Determinar cuántos tipos de vinos adicionales obtendrá Juan. A) 18 B) 26 C) 57 D) 63 E) 84 22. Un estudiante durante todas las mañanas del mes de octubre desayunó panetón y/o chocolate. Si durante 23 mañanas desayunan panetón y 19 chocolate, ¿cuántas mañanas desayunarán panetón con chocolate? A) 11 B) 12 C) 10 D) 13 E) 14 23. En cierta clase hay 15 magister de los cuáles 10 son hombres, 15 no son magister y 30 son mujeres; ¿cuántos estudiantes hay en clases? A) 55 B) 60 C) 40 D) 30 E) 23 24. En un salón de clases de 65 alumnos, se observó: 30 son hombres, 40 son del ciclo semianual, 35 son mujeres, hay 10 señoritas que no son del ciclo semianual. ¿Cuántos son los hombres que no estudian en el ciclo semianual? A) 20 B) 25 C) 40 D) 15 E) 10 25. En un instituto de idiomas estudian 40 alumnos, de los cuales 20 no estudian italiano, 15 no estudian alemán ni italiano, 23 no estudian alemán. ¿cuántos estudian solo alemán? A) 10 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6 26. De 38 turistas se sabe que 20 son mujeres, 26 no tienen pasaporte, 10 varones tienen pasaporte, ¿cuántas mujeres tienen pasaporte? A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10 27. De 70 mendigos se conoce que: 26 son mudos, 30 son cantantes, 20 son ciegos, de los ciegos 6 son mudos, de los cantantes 10 son ciegos, ¿Cuántos no son mudos, ni cantantes, ni ciegos? A) 5 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

59


ARITMÉTICA

28. En una encuesta realizada a 300 universitarios, se sabe que 120 son mujeres, 110 personas estudian ingeniería, 60 mujeres no estudian ingeniería, ¿Cuántos varones no estudian ingeniería? A) 95 B) 108 C) 130 D) 135 E) 152 29. ¿Cuántos números de 3 cifras son múltiplos de 3 cifras son múltiplos de 2 pero no de 3? A) 150 B) 200 C) 250 D) 300 E) 350

Semana 02 SISTEMAS DE NUMERACIÓN Es el conjunto de principios, leyes y artificios que se emplean para expresar los números y representarlos correctamente.

II Caso: Del sistema decimal a un sistema de base n (n ≠ 10). El método que se emplea es el de las “Divisiones Sucesivas” Para pasar un numeral de base n(n ≠10) a otro de base m (m ≠ 10) se convierte el número dado al decimal (Primer Caso) y de aquí al sistema pedido (Segundo Caso) CAMBIOS DE BASE ESPECIALES: 

1011000112 La conversión es de Base 2 a Base 22 -

-

CIFRA: Es cada uno de los símbolos arbitrarios utilizados para representar a los números mediante los numerales.

 

  

El lugar de una cifra se ubica de izquierda a derecha. El orden se ubica de derecha a izquierda. La base de un numeral nos indica cuántas unidades de un orden cualquiera se necesita para formar una unidad de orden inmediato superior. Toda cifra es un numeral, siempre debe ser entera no negativa y menor que su respectiva base. El valor absoluto de una cifra es como la figura en el numeral. El valor relativo de una cifra tiene en cuenta la base y el orden.

DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA DE UN NÚMERO Siendo el número: N = abcd ......xyz (n) “K” cifras

Al pasar a una base mayor, obtendremos un numeral de menos cifras. ¿Cuánto menos? El exponente 2 indica que por cada dos cifras del numeral de base 2 se tendrá uno en base 4; esto se evidencia en el cuadro, donde se separan las cifras en grupos de dos, contados de derecha a izquierda. Cada una de los numerales así obtenidos se descompone polinómicamente, lo cual nos dará las cifras de la respuesta. 1 1

01 1

10 2

00 0

11 3

112 = 1(2)+ 1 = 3, y así sucesivamente.

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES: 

De base “n” a base nk

Ejemplo: Escribir en Base cuatro:

NÚMERO: Es un ente (idea) matemático que nos indica cantidad y nos permite cuantificar los objetos de la naturaleza. NUMERAL: Es la representación gráfica y escrita del número, utilizando para ello uno o más símbolos arbitrarios.

UNSM-CPU-T

 1011000112 = 112034



-

-

De base nk a base “n” Ejemplo: Escribir en base 2 el numeral 76138 La conversión es de Base 23a base 2 El numeral que se obtenga tendrá más cifras por estar en base menor. El exponente 3 indica que por cada cifra del sistema de base 8, se escribirán tres en base 2, completando con ceros a la izquierda si fuese necesario. Para ello se efectuarán divisiones sucesivas de cada grupo formado (De base 10 a base 2). 7 111

6 110

1 001

3 011

 76138 = 1111100010112

PROPIEDADES: Descomponiendo tendremos:

polinómicamente

N= a.nk-1+ b.nk-2 +c.nk-3 +…+ z.no CAMBIOS DE BASE: I Caso: De un sistema de base “n” (n ≠ 10) a base 10. El método a emplear será la Descomposición Polinómica

1. Toda base es mayor que cualquiera de sus cifras 2. Si un número se expresa en dos sistemas de numeración, se cumple que: “A mayor numeral, menor base y a menor numeral, mayor base” abcd ( x )  mnp( y ) ; Si abcd . > mnp.  x < y

3. Para convertir el mayor numeral de “k” cifras de base “n” al sistema decimal: 60


ARITMÉTICA

UNSM-CPU-T

* ( n –1) ( n –1) … (n -1) (n) = nk – 1 “k” cifras * nk -1 ≤ abc...xy ( n ) ≤ nk - 1 “ k “ cifras Para bases sucesivas, o bases de bases:

CONTEO DE CIFRAS: PAGINACIÓN:

4.1

Es el acto de enumerar páginas, recordando que un tipo de imprenta equivale a una cifra.

1a 1b = n + (a + b + … + x)

C1 → N = (N + 1) k – 111… 111 “k” cifras

1x ( n )

4.2

C1 → N = Cantidad de cifras N = Número dado k = número de cifras de N

1a = n + a. k

1a

“k” veces

PROBLEMAS RESUELTOS

1a ( n )

NÚMERO CAPICÚA: Es aquel cuyas cifras equidistantes de los extremos son iguales es decir se leen iguales por ambos lados. ̅̅̅̅̅̅̅ 𝑎𝑏𝑏𝑎

;

̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑎𝑏𝑐𝑏𝑎

Solución

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑐𝑏𝑎

;

CONTEO DE NÚMEROS Y CIFRAS PROGRESIÓN ARITMÉTICA: a1; a2; a3 ;…; an donde: Primer término:

a1

Último término:

an = a1 + r(n-1)

Razón:

r = ai -ai -1

Número de términos: n  Suma de términos: S 

an  a1 1 r

(a1  an )n 2

MÉTODO COMBINATORIO: Numéricamente igual al producto de las Cantidades de valores que pueden tomar dichos órdenes o variables. Ejemplo: Para hallar cuántos numerales de 4 cifras en base 10 existen de la forma:

(a  1)(b  2)6c(a  3) Encontramos los valores que satisfacen las condiciones dadas para cada cifra, multiplicando luego las cantidades de cifras correspondientes.

(a  1)(b  2)6c(a  3) 0 1 2

1. Si los números: 33n, nnm , mm6 ; están bien representados, calcular : m+n A) 8 B) 9 C) 7 D) 10 E) 11

0 60 1 1 2 2

6 7 9 _____________ 7 x 8 x 1 x 10 = 560

Considerando el principio que toda cifra de un numeral es siempre menor que su base, se puede deducir la siguiente relación: 3 < n < m < 6 n + m = 9 ↓ ↓ 4 5 2. Una persona empieza a enumerar páginas desde el número 4000 y se detiene en el número que representa la cantidad de dígitos utilizados. Dar la suma de los cuadrados de las cifras del último número escrito. A) 42 B) 47 C) 52 D) 54 E) 59 Solución Utilizando la fórmula del conteo de cifras y el principio “Una parte es igual al todo menos la otra parte”: (C1 → abcd ) – (C1 → 3999) = abcd





[ abcd  1 4 -1111] - [ (3999+1) 4 -1111] = = abcd 4 abcd - 1107 – 14 889 = abcd 15996 abcd = = 533 3  55 + 32 + 32 + 22 = 47 3. Expresar el numeral 352(6) en base 7 Solución En primer lugar hay que pasar el numeral de base 6 a base 10 y luego de base 10 a base 7. 352(6) = 3 . 62 + 5 . 6 + 2 = 140 61


ARITMÉTICA

Por divisiones sucesivas: 140 = 260(7)

140

7

0

20

7

6

2

UNSM-CPU-T número, se obtiene otro que excede en 1755 al original. Dar como respuesta la suma de las 4 cifras del número primitivo. A) 10 B) 14 C) 17 D) 20 E) 24

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. ¿En cuántos sistemas de numeración el número 3847 se escribe con 3 cifras? A) 18 B) 19 C) 20 D) 48 E) 58 2. La suma de un número de dos cifras y el que resulta de invertir el orden de sus cifras es igual a once veces la diferencia de los números. Hallar el mayor de dichos números. A) 54 B) 64 C) 85 D) 44 E) 74 3. Halle la siguiente suma y dé su respuesta en base 11. 42(6) + 42(7) + 42(8) + …+ 42(80) A) 13050(11) B) 9894(11) C) 4302(11) D) 9872(11) E) 13078(11) 4. Dado el capicúa: (a  3)(b  1)(a  2)(9  a) hallar a-b A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2 5. Si ab = 9(a+b), hallar a . b A) 8 B) 18 C) 9 D) 27

E) 81

6. Si ac(b)  cb( a  2) y a+b+c = 24, hallar abc A) 978 B) 987 C) 897 D) 798 E) 789

13. Si xxx.......xxx (2) = 8191 “n” cifras iguales 14. Hallar N = nnn expresado en base 10. A) 1780 B) 2543 C) 2743 D) 2780 E) 3720 15. Con las cifras 0; 2; 3; 5; 7 y 9, ¿Cuántos numerales comprendidos entre 300 y 700 se pueden formar? A) 71 B) 72 C) 80 D) 108 E) Más de 108 16. ¿Cuántos números capicúas pares de 7 cifras hay, tal que su cifra central sea impar? A) 1000 B) 1500 C) 1600 D) 2000 E) 2500 17. ¿Cuántos números de 4 cifras tienen por lo menos una cifra igual a 3? A) 3168 B) 3256 C) 3600 D) 6561 E) 4584

7. Hallar un número de 2 cifras que, al restarle el mismo número, pero con las cifras invertidas dé como resultado 72. Dar como respuesta la suma de sus cifras A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12

18. Para enumerar la primera cuarta parte de las páginas de un libro se emplearon 342 cifras. ¿Cuántas cifras se emplearon para enumerar todo el libro? A) 1 600 B) 1 653 C) 1 692 D) 1705 E) 1712

8. El numeral 8765(9) se escribe en el sistema ternario como: A) 202122(3) B) 22212012(3) C) 12202122(3) D) 121120(3) E) 11122120(3)

19. Si los numerales ab1 y ab 4 son dos términos consecutivos de una PA, además el primer y último términos son 11 y 902.Hallar “n” A) 296 B) 297 C) 298 D) 299 E) 300

9. El mayor número de 3 cifras diferentes en cierto sistema de numeración, convertido a base 6 es 313. Hallar la base de dicho sistema A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

20. ¿Qué sucede con un número de 3 cifras, si a su primera cifra se le agrega 2 unidades, a la segunda cifra se le quita 3 unidades y a su tercera cifra se le aumenta una unidad? A) Aumenta 61 unidades B) Disminuye 61 unidades C) Aumenta 123 unidades D) Disminuye 123 unidades E) Aumenta 171 unidades

10. Expresar: 120210222111021(3) en base 27. Dar como resultado la diferencia de mayor y menor cifra. A) 22 B) 21 C) 20 D) 19 E) 18 11. Exprese el numeral 1010011101(2) en el sistema octanario. A) 2700(8) B) 1545(8) C) 1235(8) D) 3521(8) E) 5610(8) 12. Hallar un número de 4 cifras que empieza en 2, tal que ese 2 se coloca al final del

̅̅̅̅̅̅̅(12) = 𝑐𝑑𝑐𝑑 ̅̅̅̅̅̅(13) , 21. Si 𝑁 = 𝑎𝑏𝑎𝑏 valores puede tomar N? A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12

cuantos

22. Calcular el valor de “a” en: 13 13 13 = 98 62


ARITMÉTICA 3) Suma de los “n” primeros positivos.

“a” veces 13(𝑎𝑎 ̅̅̅̅) A) 5

B) 6

C) 7

D) 8

UNSM-CPU-T

Si = 1+3+5+…+(2n – 1) = n2

E) 9

23. ¿Cuál es la base del mayor número de 20 cifras que equivale a: 999…999 (100 cifras) A) 10 B) 104 C) 106 D) 105 E) 103 24. ¿En qué sistema de numeración, los numerales: 479; 698 y 907 están en progresión aritmética? A) Decimal B) Undecimal C) Duodecimal D) Vigesimal E) Hexadecimal 25. ¿Cuál es el décimo quinto término de la siguiente progresión aritmética: 16n; 27n; 40n; ….? A) 203n B) 204n C) 214n D) 212n E) 205n 26. ¿Cuántos números de tres cifras existen, que tengan por lo menos una cifra par y por lo menos una cifra impar? A) 900 B) 100 C) 125 D) 675 E) 225 27. ¿Cuántos tipos de imprenta se utilizaron al enumerar un libro de 540 hojas? A) 2131 B) 2132 C) 3213 D) 3134 E) 3135 28. Una persona muy bondadosa reparte S/3000 entre cierto número de personas, entregándoles S/1; S/7; S/49 y S/343;…; con la condición que ellas estén agrupadas de modo que no existan más de 6 personas en cada grupo. Determinar el total de personas favorecidas con el reparto. A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12

Semana 03 LAS CUATRO OPERACIONES

4) Suma de los “n” primeros perfectos.

Sn 2 

n(n  1)(2n  1) 6

5) Suma de los “n” primeros Perfectos.

Sumas notables: 1) Suma de los “n” primeros números positivos consecutivos. Sn = 1+2+3+…+n =

𝑛(𝑛+1) 2

2) Suma de los “n” primeros números pares positivos Sp = 2+4+6+…+2n = n(n+1)

cubos

Sn3 = 13+23+33+ …+n3  n(n  1)    2 

2

Sn3  

6) Suma de las “n” primeras potencias naturales de un número. S = A0+A1+A2+A3+…+An Sn 

An1  1 A 1

7) Suma de términos de una Progresión Aritmética S = a1+a2+a3+…+ an. a  a ) Sn   1 n  n  2 

SUSTRACCIÓN: Operación binaria inversa a la adición, que consiste en que dadas dos cantidades llamadas minuendo y sustraendo poder encontrar otra cantidad llamada diferencia, tal que sumada con el sustraendo reproduzca el minuendo Propiedades 1) Se cumple que : M+S+D = 2M 2) Dado el número abc ; donde a cumple.

> c se

abc 

mnp

Es una operación binaria cuyo objeto es reunir varias cantidades homogéneas en una sola llamada suma total

cuadrados

Sn2 = 12+ 22+32+… +n2

cba

ADICIÓN:

impares

n=9; m+p=9

a-c=m+1

COMPLEMENTO ARITMÉTICO: Es lo que le falta a un número para ser igual a una unidad del orden inmediato superior de su cifra de mayor orden En general: sea “N” un número de “K” cifras Luego: CA(N) = 10k – N También: CA (abc) = (9  a)(9  b)(10  c)

MULTIPLICACIÓN Es una operación directa, que consiste en repetir como sumando un número llamado multiplicando, tantas veces como lo indica otro 63


ARITMÉTICA

número llamado multiplicador y así conseguir un resultado llamado producto. M.m = P

Cantidad de producto.

cifras

posibles

de

(a+9)(b +a)=p+549 P+9(a+b)= p+468 a+b=52 a-b= 18 a= 35; b=17//

un

La cantidad de cifras que tiene un numeral se puede delimitar con las potencias de 10. La cantidad de cifras posibles con las que puede contar un producto, dependerá de la cantidad de cifras de sus factores.

3. Hallar el mayor número entero que al dividirlo entre 70 se obtenga un cociente que es la raíz cuadrada del resto. A) 602 B) 632 C) 532 D) 624 E) 642

N 70 𝑞2 q

101 ≤ ab < 102 102 ≤ abc < 103 10 n-1 ≤ N < 10n

Es una operación inversa a la multiplicación, que consiste en conocer dos cantidades llamadas dividendo y divisor para encontrar otra cantidad denominada cociente, tal que multiplicada por el divisor, reproduzca el dividendo. D = d.q + r División exacta: r = 0 División inexacta: 1.- Por defecto: D = d.qd + rd 2.- Por exceso: D = d(q + 1) - re

PROBLEMAS PROPUESTOS 1.

Hallar M = 7 + 10 + 15 + 22 + … si son 40 términos. A)22 280 B) 22 380 C) 22 680 D)22 580 E) 22 480

2.

En la P.A. halla la suma de términos. 31 n; 35n; 40n; …; 400n A)13 200 B) 13 400 C) 13 800 D)13 600 C) 13 000

3.

La suma de dos números es igual al mayor número de 3 cifras y su diferencia es igual a la tercera parte de la suma. ¿Quién es el menor? A)222 B) 666 C) 444 D) 555 E) 333

4.

Hallar las 3 últimas cifras de la siguiente suma: 3 + 53 + 353 + 5353 + … si dicha sumatoria tiene 24 sumandos. A)13 B) 11 C) 12 D) 10 E) 14

5.

Calcular: 12 + 32 + 52 + 72 + … + 312 A)5 454 B) 5 455 C) 5 456 D)5 460 E) 5 458

6.

Si: 1 + 2 + 3 + … + n = aaa . El valor de “a” es : A)5 B) 7 C) 4 D) 8 E) 6

7.

Los siguientes números son pares consecutivos: 33n ; 35n ; 40n ; … ; 213n . Hallar la suma en base decimal. A)2 838 B) 2 816 C) 2 856 D)2 896 E) 2 800

8.

Hallar (x + y + z) si:

Propiedades 1) 0 < r < d 2) rmax = d – 1 ; rmín = 1 3) rd + re = d 4) Si al dividendo y al divisor lo multiplicamos o dividimos por un número diferente de cero, el residuo también se multiplica o divide por el número, pero el cociente no se altera. Si D : d = q + r → D.a : d.a = q + r.a

PROBLEMAS RESUELTOS 1. Hallar un número de 4 cifras, tal que al restarle el quíntuple de su complemento aritmético se obtenga 1246 de resultado dar como respuesta la suma de sus cifras. A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 13 ̅̅̅̅̅̅̅ Sea el número: 𝑎𝑏𝑐𝑑 ̅̅̅̅̅̅̅ 𝑎𝑏𝑐𝑑 − 5(10000 − ̅̅̅̅̅̅̅ 𝑎𝑏𝑐𝑑 ) = 1426 6abcd - 50000 = 1246 6abcd = 51246 abcd = 8541 a+b+c+d = 18// 2. Aumentando en 9 los 2 factores de un producto el resulta aumenta en 549. Hallar una de los factores, si la diferencia de ellas es 18. A) 36 B) 16 C) 34 D) 17 E) 28

N= 70q+q 2

Para que “N” sea lo mayor posible, entonces “q” debe ser lo mayor posible. Si r
DIVISIÓN

Sea a x b= p

UNSM-CPU-T

a1a  a2a  a3a  ...  a9a  xyz 4 A)13 9.

B) 14

C) 12

D) 17

E) 16

19ab  18ab  ...  1ab  xyz77 . Si Determinar: a + x A)10 B) 12 C) 11 D) 13 E) 9 64


ARITMÉTICA

10. Hallar la suma de las cifras de R: 888…8888 (200 cifras) menos 4343…43 (140 cifras). A)1 110 B) 1 120 C) 1 116 D)1 124 E) 1 120 11. ¿Cuál es la diferencia de una sustracción cuya suma de términos sea 8480; sabiendo además que el sustraendo es la cuarta parte del minuendo? A) 3 000 B) 3 120 C) 4 220 D) 1 060 E) 3 180 12. Hallar (a – c) si: abc  cba  mnp

mnp  pnm  99 A)4

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

13. Determinar la suma de los valores de “a” en abc  cba  xy3 A)9 B) 13 C) 17 D) 19 E) 15 14. Si cada asterisco es una cifra en:

B) 25

C) 26 D) 29

22. Si abcd  999 = …8012. Hallar (a + b + c + d). A)21 B) 34 C) 27 D) 37 E) 29 23. Calcular la suma de cifras del resultado de multiplicar 77…77 (100 cifras) por 9999…99 (100 cifras). A)872 B) 879 C) 886 D) 900 E) 893 24. Al efectuar el producto de 124 por otro cuya cifra de unidades era 5, por error se tomó 3 en vez de 5, obteniéndose 5 332. Hallar el producto verdadero. A)5 780 B) 5 580 C) 5 850 D) 5 760 E) 5 820 25. Si A, B y C tienen 15; 12 y 8 cifras enteras, ¿cuántas cifras puede tener M?

 A.B  M=   C 

3

A) De 51 a 61 C) De 60 a 69 E) De 52 a 60

abc  cba  3** abc  cba  *35* . Hallar 2a +b+c A)28

UNSM-CPU-T

E) 27

15. El complemento aritmético de abcd es

mmm . Hallar el valor de “c” si: a + b + c + d + m = 29 A)5 B) 8 C) 6 D) 9 E) 7

B) De 52 a 59 D) De 52 a 60

26. En una división entera, donde el dividendo está comprendido entre 450 y 500, el divisor es 47; si el residuo por defecto excede al residuo por exceso en 23, hallar el dividendo. A)458 B) 467 C) 471 D) 483 E) 491

16. Hallar la suma de cifras de un número

bab sabiendo c(a  3)(a  2) . A)12

B) 11

que C) 14

su D) 15

C.A.

es:

E) 13

17. Si abc  cba  mn(m  1) . Hallar (a – c). A) 3 B) 4 C) 2 D) 6 E) 5 18. Aumentando 7 a cada uno de los 2 factores de una multiplicación, el producto aumenta en 364. Hallar el producto original si la diferencia de sus factores es 5. A)492 B) 512 C) 485 D) 500 E) 490 19. ¿En cuántas veces su valor habrá aumentado el producto de 3 factores, sabiendo que uno de ellos aumentó en su duplo, otro es su triple y el tercero en su cuádruplo? A)24 veces B) 59 veces C) 23 veces D) 60 veces E) 25 veces 20. Si aabb 77 termina en 041, hallar a +b. A)7 B) 8 C) 6 D) 5 E) 9 21. Un cierto número multiplicado por 2, por 3, por 7 da tres nuevos números cuyo producto es 55 902, ¿cuál es el número? A)13 B) 17 C) 15 D) 7 E) 11

27. El residuo de la división de un cierto número entre 13 es 11; pero si dicho número se divide entre 11, el cociente aumenta en 1 y el residuo disminuye en la unidad con respecto al anterior residuo, ¿cuál es ese número? A)75 B) 48 C) 37 D) 76 E) 59 28. El resto por exceso de una división es el triple del resto por defecto; dar el divisor, si el cociente es 15 y la suma del dividendo con el divisor es 520. A)21 B) 28 C) 40 D) 32 E) 36 29. Al dividir 593 entre a9b el cociente por exceso es el doble del cociente por defecto; calcular el residuo por exceso siendo el residuo por defecto 1c8 A)197 B) 233 C) 163 D) 217 E) 182 30. En una división al resto le falta 53 unidades para ser máximo y si le restamos 25, el resto sería mínimo, ¿cuántas unidades como mínimo se debe aumentar al dividendo para que el cociente aumente en 2 unidades? A)160 B) 134 C) 186 D) 104 E) 97

Semana 04 DIVISIBILIDAD TEORÍA DE LA DIVISIBILIDAD 65


ARITMÉTICA

Es parte de la teoría de los números que se encarga de estudiar las condiciones que debe tener un número para que pueda ser dividido exactamente por otro, en caso contrario permite hallar el residuo sin necesidad de efectuar la división. Divisibilidad: Se dice que un número entero es divisible por otro entero positivo llamando módulo, si al dividir el primero entre el segundo el cociente es entero y el residuo cero. Multiplicidad: Se dice que un número entero es múltiplo de otro entero positivo llamado módulo, si el primero es el resultado de multiplicar al segundo por un entero.

o

o

Si: A B  A = B.k (0) k A es divisible por B A es múltiplo de B B es un divisor de A B es un factor de A donde A y B son números enteros positivos Divisor: Se denomina divisor de un número, a cualquier valor que lo divide exactamente mediante una división entera. Representación de lo múltiplos de un número: Si “A” es múltiplo de “B”, se denota: o

o

o

11. Si A  B  A= B  r óA= B  r ' Criterios de divisibilidad o

o

1.

Si abcdef = 2  f = 2

2.

Si abcdef = 3 a+b + c + d + e + f = 3

3.

Si abcdef = 4  ef = 4

4.

Si abcdef = 5  f = 0 ó 5

5.

Si abcdef = 6  abcdef = 2 ó 3

6.

Si abcdef = 7

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

231 231 2d +3e +f – 2a – 3b – c = 7  

En general: Dados A y B

o

10. Si a.N = n , N y n son PESI N = n

N = no existe 0

0 =0 N

Nota:

UNSM-CPU-T



o

o

7.

Si abcdef = 8  def = 8

8.

Si abcdef = 9  a +b +c + d + e + f = 9

9.

Si abcdef = 11  (f+d+b)-(e+c+a) = 11

o

o

o

o

o

10. Si abcdefg = 13 o

143 1431  a+4b+3c – d –4e–3f+g= 13  

 

PROBLEMAS RESUELTOS 1.

Elías agrupaba sus canicas de 6 en 6, de 8 en 8 y de 10 en 10 y siempre le faltaba una para formar un grupo más. ¿Cuántas canicas tiene si es una cantidad máxima pero menor que 500? A) 449 B) 469 C) 481 D) 479 E) 489

A = B = k.B Principios de multiplicidad: o

o

o

o

o

o

1.

n + n = n

2.

n – n = n

3.

k. n = n , k  Z

4.

(n)k = n , k  Z

5.

Si:

o

o  N  6 1   o o o  MCM ( 6,8,10) – 1 = 120 – 1  N = N  8 1   o N  10 1  

o

o

o

 N = 120k – 1 < 500  k < 4,71  k = 4  N = 120(4) – 1 = 479

 N  a r  o o   N  b r   N  MCM(a, b, c ) ± r o  N  c r    o

6.

o

o

o

2. Si se sabe que ab5(7  a) = 6 . ¿Cuántos valores puede tomar “b”? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Solución: o

( n + r) = n + r ; k  Z k

Solución: Sea N = total de canicas, entonces:

k

+

ab5(7  a) = 2  (a + 7) es par  a = 1 o

7.

o k n r ; k es par ( n – r) =  o k n r ; k es impar o

o

k

o

o

8.

( n + a)( n + b) = n + a.b

9.

Si N = abcdefn  N = n + f

o

o

ab5(7  a) = 3  a + b + 5 + 7 + a = 3 o

 b + 14 = 3  b = 1, 4, 7  Cantidad de valores de “b” = 3 3. Una persona va a la librería y compra reglas, cuadernos y libros que cuestan S/. 3, S/. 5 y S/. 10 respectivamente. Si gastó 66


ARITMÉTICA

en total 161 soles y compró al menos uno de cada uno. Calcule la mayor cantidad de libros que puede comprarse. A) 12 B) 16 C) 14 D) 15 E) 8

UNSM-CPU-T C) E)

a = 6; b = 6 a = 9; b = 5

D) a = 6; b = 5

10. El número de la forma 2a51b5 es divisible por 33. ¿Cuántos valores puede tomar ab ? A)2 B) 1 C) 3 D) 4 E) 0 11. ¿Cuál es el resultado de dividir M : 13? M = 55555…55777777…77 (50 cifras 5 y 50 cifras 7) A)0 B) 12 C) 7 D) 5 E) 8

Solución: #artículos Reglas a Cuaderno b Libros c

Costo c/u S/. 3 S/. 5 S/. 10

0

12. Si 4aa8 = 7 . ¿Cuántos valores puede tener “a”? A)2 B) 1 C) 3 D) 4 E) 5

Si: Gasto total = 161 o

o

 3a + 5b + 10c = 161  3a + 5 = 5 + 1 o

 3a = 5 + 1  a = 2 Luego: 6 + 5b + 10c = 161  b + 2c = 31 Entonces: b =1, c = 15

13. ¿Cuántos números de 4 cifras que terminan en 3 son divisibles por 7? A)125 B) 129 C) 126 D) 127 E) 128 14. ¿Cuántos números de tres cifras son múltiplos de 14 y terminan en 8? A)18 B) 12 C) 24 D) 13 E) 27

 Cantidad máxima de libros: 15


La cantidad de alumnos de un salón de clase es un número entre 100 y 120. Al ser agrupados de 5 en 5 y de 7 en 7, en ambos casos sobran 3. Si se agrupan de 6 en 6 sobra: A)2 B) 4 C) 0 D) 1 E) 3

15. Un número de la forma (3a)(3b) ab es siempre múltiplo de: A)18 B) 12 C) 24 D) 13 E) 27 0

16. En una división el divisor es un ( 13 + 7), el 0

cociente en un ( 13 + 4). ¿Cómo tendrá que ser el dividendo si el residuo es un ( 0

13 + 12)? 2.

3.

4.

5.

6.

7.

¿Cuántos números de 3 cifras cumplen que al ser divididos entre 8 y entre 11 dejan como restos 6 y 4 respectivamente? A)12 B) 11 C) 13 D) 9 E) 10 ¿Cuántos números de 2 cifras cumplen que al ser divididos entre 5 y 9 dejan como residuo 4 y 6 respectivamente? A)3 B) 11 C) 15 D) 7 E) 18 Hallar el resto de dividir: 575757… (26 cifras) entre 44. A)32 B) 37 C) 3 D) 23 E) 39 ¿Cuál es el residuo de dividir E : 9? E = 22222 …… 222 (50 cifras) A)2 B) 1 C) 3 D) 4 E) 0 El número de la forma 2aa1 al ser dividido entre 7 da como resta 5. Hallar “a”. A)2 B) 4 C) 6 D) 5 E) 3

9.

0

0

B) ( 13 + 1)

C) ( 13 + 5)

0

0

D) ( 13 - 9)

E) ( 13 - 2)

17. Hallar el residuo de dividir E : 7 donde: E= 1  8 + 2  82 + 3  83 +… +100  8100 A)1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9 18. Hallar el menor valor de “n” si: E = 46  46  46  … (n factores) y 0

E = 11 9 A)5 B) 7

C) 9

D) 6

E) 8

19. ¿Determinar cuántos números de 3 cifras son divisibles por 2 y por 3 a la vez, pero no por 5? A)110 B) 115 C) 120 D) 124 E) 150 20. Hallar el residuo de dividir 131326 entre 5 A)2 B) 1 C) 3 D) 4 E) 5

Hallar “a” sabiendo que el número de la forma 42ab67b es divisible por 56. A)9 B) 6 C) 4 D) 2 E) 5

8.

0

A) 13

Hallar el residuo de dividir P entre 7: P =(848abcabc…..abc)abc ← 51 cifras. A)2 B) 1 C) 3 D) 4 E) 5 Hallar los valores de a y b para que ababa sea divisible por 45. A) a = 5; b = 6 B) a = 5; b = 5

21. Hallar el residuo de dividir 155154 : 8 A)2 B) 1 C) 3 D) 4 E) 5 22. ¿Cuál es el residuo de dividir 707 : 11? A)4 B) 5 C) 9 D) 3 E) 1 23. Un estudiante perdió un décimo de lotería y no recordaba el número, pero sí que era un número de 4 cifras divisible por 5, 9 y 11 y que la primera y última cifra eran 67


ARITMÉTICA

UNSM-CPU-T

iguales. ¿Cuál era el número? Dar como resultado la cifra mayor de dicho número. A)5 B) 4 C) 8 D) 7 E) 6

Número simple. Es aquel que tiene a lo más de 2 divisores, por lo que comprende todos los números primos más la unidad.

24. A una fiesta de carnaval asistieron 105 personas entre niños, mujeres y hombres. La cantidad de niños era la sétima parte de las mujeres que asistieron, y los hombres que no bailaban eran la octava parte de las mujeres que asistieron. ¿Cuántas mujeres no bailaban? A)34 B) 56 C) 22 D) 12 E) 28

Número compuesto. Es aquel número que posee más de 2 divisores. Ejemplo: 6 cuyos divisores son: 1; 2; 3; 6.

25. De un grupo de 83 personas, la tercera parte de las mujeres tienen ojos negros, y la onceava parte de los hombres tienen ojos azules. ¿Cuántas mujeres no tienen ojos negros? A)4 B) 48 C) 26 D) Hay 2 respuestas E) Hay 3 respuestas.

Propiedades de los números primos: 1. La serie de números primos es infinita 2. La unidad (1) no es número primo. 3. 2 es el único número primo par. 4. Los únicos números primos consecutivos son 2 y 3. 5. Para todo número primo mayor que 2:

Números primos entre sí: Son aquellos números que tienen como único factor común la unidad. Ejemplos: 11 y 29; 6 y 17; 8 y 25

0

26. Debo gastar S/. 617 en la compra de artículos tipo A cuyo costo unitario es de S/. 8 y artículos tipo B cuyo costo es de S/. 13 cada uno. ¿Cuál es el mínimo número de artículos que podría comprar? A)74 B) 59 C) 29 D) 39 E) 49 27. Johnny adquirió lapiceros de 3 tipos distintos que cuestan S/. 2,00, S/. 4,00 y S/. 5,00. Si en total compró 35 unidades y gastó S/. 118, entonces el número máximo de lapiceros de S/. 5,00 que pudo comprar es: A)14 B) 18 C) 12 D) 8 E) 16 28. Podría ahorrar S/. 200 diarios, pero cada mañana de sol gasto S/. 90 en helados y cada mañana fría gasto S/. 60 en café. Si ya tengo ahorrado S/. 2 580, ¿Cuántos días ahorré? A)20 B) 23 C) 19 D) 22 E) 21 29. Se dispone de S/. 100 para comprar 40 sellos de S/. 1; S/. 4 y S/. 12 la unidad. ¿Cuántos sellos de cada uno de estos precios deben comprarse? A)28; 9; 3 B) 20; 12; 8 C) 20; 11; 9 D)28; 8; 4 E) 18; 16; 6

P= 4  1

Semana 05 NÚMEROS PRIMOS Un número es llamado primo o primo absoluto si es divisible sólo por sí mismo y por la unidad. También se define como el número que tiene 2 divisores. Ejemplos: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; …

p= 6  1

Teorema fundamental de la aritmética (descomposición canónica) “Todo número compuesto se descompone en una multiplicación de potencias de exponente entero positivo, de sus divisores primos”

Si N es un entero positivo compuesto, su descomposición canónica es: N = aα x bβx cγ ; donde : a, b y c son los divisores primos diferentes α, β y γ son enteros positivos CANTIDAD DE DIVISORES DE N CD(N) = (α + 1) (β+1) (γ+ 1)… CD(N) = CD (compuesto) + CD (simples) SUMA DE DIVISORES CD(N) = CD (compuesto) + CD (primos) + 1 SD(N) =

30. En un aula de 45 estudiantes, después de rendir una prueba de Matemática, se obtuvo las notas 88; 128 y 154 puntos, siendo el puntaje total alcanzado 5 422 puntos. ¿Cuántos estudiantes obtuvieron 88 puntos? A)20 B) 32 C) 10 D) 13 E) 31

0

ó

a 1  1 b  1  1 c 1  1 . . a 1 b 1 c 1

b 1 SUMA DE INVERSAS2 DE3 DIVISORES Recordar que 1+b+b + b +.. = n 1

b 1

SID(N) =

SD( N ) N

Producto de divisores CD( N )

PD(N) = N = N CD(N) / 2 CANTIDAD DE FORMAS DE

68


ARITMÉTICA

Descomposición de “n” como producto de 2 factores: F(N)

UNSM-CPU-T A) 720 D) 800

B) 3,36 E) 27,50

C) 53,73

Solución Si PDN= 260 .330 . 515 = (24. 32. 5)15 → PDN = 24. 32. 5)30/2. Por fórmula: PDN= N CD(N) / 2 → CDN = 30 y N = 24. 32. 5 = 720 A partir de este dato será posible encontrar la suma de divisores de N y luego la SIDN 25  1 33  1 52  1 = 31. 13. 6 = 2418 . . 2 1 3 1 5 1 SDN 2418

Indicador de un número:

SDN=

Determina la cantidad de números enteros positivos menores o iguales a N que son PESI con N, función de Euler:

→ SIDN=

Φ(N) = a α-1 (a - 1) b β - 1 (b - 1). cγ + 1 (c - 1) También:

Mayor exponente de un factor primo de N! El exponente de n (factor primo N) es el resultado de sumar los cocientes de las divisiones sucesivas de N. Conceptos adicionales: - Divisor propio de N: Es todo divisor de N diferente de N. - Número perfecto N: Es aquel cuya suma de divisores propios es igual a N - Número defectuoso N: La suma de sus divisores propios es menor que él. - Número abundante N: La suma de sus divisores propios es mayor que él. - Números amigos: N y M son amigos cuando cada uno es igual a la suma de los divisores propios del otro.

PROBLEMAS RESUELTOS 1. ¿Cuántos divisores de más posee el número 720 que el número 150? A) 16 B) 18 C) 20 D) 22 E) 12 Solución A = 720 = 24. 32. 5 → CDA = 5.3.2 = 30 B = 150 = 2 .3 . 52 → CDB= 2.2.3 = 12 CDA –CDB = 30 – 12 = 18 2. Si “a” es primo. ¿Cuántos divisores tiene el número aaa , siendo a ≠ 3? B) 3

C) 5

D) 6

=

720

= 3,36

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. ¿Cuántos divisores compuestos tiene el número N = 124.153 ? A) 280 B) 284 C) 288 D) 290 E) 294

Φ(N) = N ( 1 - 1a ) ( 1- b1 ) ( 1 - 1c )

A) 2

N

E) 8

Solución N = aaa = 111 a; siendo a ≠ 3 Si N = 222 = 2.3.37→ CD222 = 2.2.2=8 Si N = 555 = 3.5.37 → CD555 = 2.2.2=8 Si N = 777 = 3.7.37 → CD777 = 2.2.2=8  CD = 8 3. El producto de los divisores de un número es 260 x 330 x 515. Hallar la suma de las inversas de los divisores de dicho número.

2. Hallar el valor de “3n” sabiendo que 15n.75 tiene (17n + 34) divisores. A) 4 B) 42 C) 54 D) 74 E) 39 3. Hallar A – B. Si A = 14.30n y B = 21.15n y además CD(A) + CD(B) = 96 A) 7875 B) 7872 C) 8892 D) 11425 E) 7654 4. ¿Cuántas veces habría que multiplicar por 8 al número 300 para que el producto resultante tenga 126 divisores? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 11 5. ¿De cuántas maneras diferentes se puede dividir en partes iguales, una recta de 92400 metros de longitud, de tal manera que la longitud de cada una de las partes sea un número entero de metros? A) 116 B) 120 C) 136 D) 80 E) 180 6. Calcular la suma de los divisores de un número capicúa de tres cifras, tal que la suma de sus cifras sea 9, sabiendo que su número de divisores es lo mayor posible. A) 260 B) 728 C) 936 D) 917 E) 281 7. ¿Cuántos de los divisores de 2772 son múltiplos de 21? A) 36 B) 18 C) 15 D) 12 E) 10 8. Determina la suma de las inversas de los divisores de 6125. A) 12,2 B) 2,82 C) 1,45 D) 3,25 E) 2,75 9. Sabiendo que 119n tiene a5 divisores, ¿cuántos divisores tendrá an? A) 7 B) 8 C) 6 D) 12 E) 15 10. ¿Cuántos de los divisores de 396000 son divisibles por 3 pero no por 5? A) 24 B) 36 C) 18 D) 72 E) 48 11. La suma de los divisores de un número que tiene únicamente a 3 y 7 como 69


ARITMÉTICA

UNSM-CPU-T

factores primos es 104. Hallar la suma de las cifras de dicho número. A) 63 B) 9 C) 11 D) 18 E) 19 12. Determina la suma de los divisores de 4680 que sean Pesi con 2457. A) 70 B) 80 C) 85 D) 90 E) 98 13. ¿Cuántos números de la forma ab son primos relativos con 15? A) 40 B) 36 C) 48 D) 42 E) 44 14. ¿Cuántos números no mayores que 400 son Pesi con él? A) 160 B) 200 C) 240 D) 320 E) 180 15. Para el número 980, determinar la suma de sus divisores múltiplos de 2. A) 3048 B) 2072 C) 1026 D) 1036 E) 2052

A) 170 D) 180

18. Las cifras del número abcabc son todas diferentes de cero. Si el número es el menor posible y tiene 16 divisores ¿Cuál es la suma de sus cifras? A) 6 B) 8 C) 10 D) 18 E) 24 19. ¿Cuántos divisores compuestos tiene N = 1818 ? A) 16 B) 703 C) 364 D) 584 E) 700 20. Si ab es primo ¿Cuántos divisores posee el número ababab? A) 16 B) 32 C) 8 D) 24 E) 12 21. ¿En cuántos ceros termina 25!? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9

C) 178

27. ¿En qué cifra termina el producto de los 47 primeros números primos? A) 1 B) 3 C) 5 D) 0 E) 7 28. Halle el residuo de dividir el producto de los 2005 primeros números primos entre 12. A) 5 B) 6 C) 11 D) 10 E) 9 29. ¿Cuántos números de dos cifras son primos entre sí con 40? A) 36 B) 54 C) 45 D) 18 E) 29 30. ¿Cuál es el menor número impar que tiene 15 divisores? A) 141 B) 625 C) 2025 D) 5624 E) 900

16. ¿Cuántos divisores de 113 400 terminan en: 1; 3; 7; 9? A) 10 B) 5 C) 8 D) 9 E) 12 17. Calcular el cuadrado de “n” si: N = 14n+1.24n tiene 72 divisores no divisibles por 84 A) 4 B) 9 C) 1 D) 16 E) 25

B) 174 E) 190

Semana 06 MCD – MCM MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD) Es el mayor de los divisores comunes de varios números Ejemplo: Sean los números 24 y 40.  Divisores comunes: 1;2;4;8  Mayor es 8 → MCD (24;40) = 8 Divisores comunes de dos o más números = Divisores del MCD de dichos números. Es decir, CDcomunes = CD(MCD). DETERMINACIÓN DEL MCD 1) Por factorización individual. 2) Por factorización simultánea. 3) Por algoritmo de Euclides ó divisiones sucesivas. PROPIEDADES DEL MCD 1) Si A y B son PESI MCD (A ; B) = 1

E) 11 o

22. ¿Cuántos polígonos regulares se pueden formar de tal manera que su semi perímetro sea 23 625 m y sus lados midan cantidades enteras en metros? A) 16 B) 20 C) 28 D) 32 E) 36 23. Si N = 13 – 13 tiene 859 divisores compuestos. Hallar 2k. A) 53 B) 63 C) 86 D) 106 E) 116 k+2

k

2) Si A = B  MCD (A ; B) = B 3) Si dos o más números se dividen entre su MCD, los cocientes obtenidos son PESI. 4) Si A=

(n  1)(n  1)...(n  1)n  n  1 α cifras

(n  1)(n  1)...(n  1)n  n   1

24. Si N = a3.b2.ca está descompuesto canónicamente y además tiene cb divisores. Hallar: a (b) (c) A) 66 B) 58 C) 70 D) 36 E) 56

B=

25. ¿Cuántos números primos se escriben con cuatro cifras en el sistema ternario? A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16

MCD (A; B) =

β cifras

nMCD( ; )  1

5) Para los problemas, sean los números A y B y su MCD = d.

26. Hallar x+y en 120! = 2x.3y.5z. …. 113d 70


A = α d

y

ARITMÉTICA

UNSM-CPU-T 𝐴 𝐵

B  β d

= 15 ; 𝐴 > 𝐵

Se observa que A contiene a B α y β son PESI A = dα y B = dβ

“A” es múltiplo de B sea B

MCD es el menor, o

6) Sea el MCD (A; B; C) = d MCD(A; B ) = 18 MCD (An; Bn; Cn) = dn y 𝑨 𝑩 𝑪 𝒅 MCD ( ; ; ) = 𝑲 𝑲 𝑲

B= 18

A = 15 x B = 270//

𝒌

2. La suma de 2 números es 1200, determinar el mayor de ellos sabiendo que los cocientes obtenidos al calcular el MCD por el algoritmo de Euclides son: 3;1;3 y 5. A)918 B)984 C)948 D)848 E)988

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM)

Solución A + B = 1200

Es el menor múltiplo positivo común de varios números. Ejemplo: Sean los números 6 y 8.  Múltiplos comunes: 24; 48; 72 …  Menor es 24  MCM (6;8) = 24 ; N =Nk

79d

3 21d 16d

1 16d 5d

3 5d d

5 d 0

Determinación del MCM → A = 79d; B = 21d 1) Por factorización individual 2) Por descomposición simultánea.

79d + 21d + = 1200 → d = 12

Propiedades del MCM

Mayor 79d = 79 x 12 = 948//

1) Sean dos números A y B PESI, entonces el MCM de ellos es su producto: MCM (A; B) = A x B.

3. ¿Cuántos números de 3 cifras todas pares no dejan residuo al ser divididos entre 6; 7 ó 15? A)2 B)3 C)4 D)5 E)6 Solución

o

2) Si A = B ; el MCM de ellos es el mayor en ese caso “A”. MCM(A; B) = A.

MCM (6; 7; 15) = 210 ̇ = 210𝑘 𝑁 = ̅̅̅̅̅ 210

3) El producto de dos números es igual al producto de su MCD por el MCM de ellos. A.B = MCD.MCM. 4) MCM=MCD α.β;

α.β; son PESI

K N

5) Si el MCM de dos o más números se dividen entre dichos números, los cocientes que resultan son PESI. Si: MCM (A; B; C) = m m m =α; =β; B A

=

5 1050

1.

¿Cuál es el menor número no divisible por 4; 6; 9; 11 y 12 que al dividirlo entre estos se obtiene restos iguales? A) 215 B) 317 C) 397 D) 428 E) 459

2.

¿Cuántos divisores tiene el MCD de A; B y C si A=123.104 ; B = 184.152 C = 102.303? A) 16 B) 20 C) 60 D) 46 E) 72

3.

Siendo a; b y c tres números que son múltiplos de 3, entonces cual o cuales de las siguientes expresiones son siempre múltiplo de 9. I) a+b+c ; II). 𝑎2 + 𝑏 2 +𝑐 2 III). a.b +a.c +b.c A) I y II B) II y III C) Todas

y

m k

PROBLEMAS RESUELTOS DE “MCD y MCM” 1. El cociente de 2 números es 15. Si su MCD es 18. Hallar el número mayor. A)180 B)240 C)200 D)270 E)220 Solución

4 840

PROBLEMAS PROPUESTOS

7) Sea MCM = m

A B C k k k

3 630

Son solo 2//

donde α; β; δ son PESI

MCM

2 420

Solo N: 420; 840

m =δ C

→ MCM (An; Bn; Cn) = m .n

1 210

71

DÉCIMO NOVENA EDICIÓN D) Sólo I

ARITMÉTICA

E) Sólo II

D) 18/09

4.

Hallar la suma de dos números naturales sabiendo que son entre sí como 4 es a 5 y que la diferencia entre el MCM y el MCD de dichos números es igual a 247. A) 117 B) 135 C) 153 D) 99 E) 120

5.

Hallar el menor de dos números enteros, sabiendo que la suma de sus cuadrados es 10530 y además su mínimo común múltiplo es 297. A) 12 B) 27 C) 30 D) 33 E) 36

15.

16. 6.

7.

8.

El MCM de 132(n y 156(n es 990 ¿Cuál es el MCD? A) 9 B) 10 C) 11 D) 30 E) 33 Encontrar el mayor número “m”, tal que si 479; 423 y 339 se dividen entre “m” dejan en cada uno de los 3 casos un mismo residuo. Dar como respuesta la suma de las cifras de “m”. A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 Hallar “a” si se sabe que la suma de dos números enteros es a(a – 1)aa0 y que al calcular el MCD de estos dos números por el algoritmo de Euclides se han obtenido como cocientes sucesivos a los 5 primeros números primos. A) 2 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8

9.

Hallar b+c sabiendo que MCD[ab; (a+b)c] = 9 ; MCM [ab ; (a+b)c] = 270 A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

10.

La suma de dos números es 10 veces su MCD y su producto es 483 veces dicho MCD, entonces la diferencia entre los números es: A) 92 B) 196 C) 204 D) 215 E) 316

11.

17.

18.

Para que el MCM de A = 12.45n y B = 12n.45 tenga 90 divisores positivos, el valor de “n” debe ser. A) 1 B) Impar C) Cero D) Primo E) Par y primo

13.

Si se cumple que: MCM (A; B) = 3675 y A2-B2 = 15984, halle la suma de las cifras de B. A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

20.

A) 21/09

B) 20/09

B) 12 min

D) 4 min

E) 19 min

21.

C) 52 min

Hallar dos números enteros, sabiendo que su diferencia es 36 y su MCM es 336. Dar la suma de ellos. A) 144

B) 132

D) 168

E) 156

C) 120

La suma de dos números es 180 y el cuadrado de su MCM es igual al cubo de su MCD. Hallar el mayor de los números. B) 144

C) 124

D) 132 E)

𝐴 2𝐴 6𝐴

Si MCD [ ; ; ] = 26. Hallar la suma de 7 3 5 cifras del valor que toma A. B) 9

C) 10

D) 11

E) 12

Al hallar el MCD de dos números mediante el algoritmo de Euclides, se obtuvieron como cocientes sucesivos a 4; 3 y 2 y como suma de sus residuos 360. El mayor de los números es: A) 6800

B) 820

D) 3600

E) 360

C) 4800

Hallar la suma de sus cifras de la razón aritmética de los números, sabiendo que su MCD es 6 y que los cocientes obtenidos para su determinación son 2; 3; 1; 1; 2; 3. A) 15

B) 23

C) 13

D) 21

E) 18

Se han colocado postes igualmente espaciados en el contorno de un campo triangular cuyos lados miden 210; 270 y 300 m respectivamente, sabiendo que hay un poste en cada vértice y que la distancia entre poste y poste es la mayor posible. ¿Cuántos postes se colocaron? A) 24 27

22. Cesar, Martin y Aldo visitan a Nathaly cada 8; 9 y 12 días respectivamente. Si la visitaron juntos el 10 de Julio, ¿Cuál será la fecha más próxima en que volverán a visitarla?

A) 24 min

A) 8 19.

E) 17/09

Tres móviles A; B y C parten al mismo tiempo de la salida de una pista circular que tiene 240m de circunferencia. Se sabe que A se desplaza a 8 𝑚⁄𝑠 ; B a 5 𝑚⁄ y C a 3 𝑚⁄ . ¿Cuánto tiempo 𝑠 𝑠 transcurrirá para que los 3 móviles realicen el primer encuentro?

A) 108 158

La suma de los cuadrados de dos números es 705536 y su máximo común divisor es 32. ¿Cuántos pares de números cumplen esta condición? A) 2 B) 4 C) 5 D) 7 E) 10

12.

14.

UNSM-CPU-T

B) 26

C) 23

D) 30

E)

Un negociante tiene tres barriles de vino de 360; 480 y 600 litros. Desea venderlos en recipientes pequeños de máxima capacidad de modo que no sobre vino en ninguno de los barriles. ¿Cuántos recipientes necesita?

C)19/09 72

DÉCIMO NOVENA EDICIÓN A) 12 10 23.

24.

25.

26.

27.

B) 15

ARITMÉTICA C) 24

D) 30

E)

UNSM-CPU-T entrada es el mayor posible y el mismo en los tres días? A)70 B)75 C)80 D)85 E)95

Un empleado trabaja 5 días seguidos y descansa el sexto día, si empieza a trabajar un lunes 27 de abril. ¿en qué fecha descansa un domingo por tercera vez? A) 10/08

B) 15/08

D) 24/08

E) 31/08

C) 21/08

Un camión se desplaza a velocidad constante, recorriendo primero 756 km, luego 3402 km. Si el MCM de los tiempos empleados es 486 h. ¿Cuántas horas se ha demorado en total? A) 297 B)198 C)891 D)243 E)567 El número de proyectiles de un repuesto está comprendido entre 500 y 550. Calcular el número exacto de los que hay, sabiendo que, apareados de 6 en 6, de 4 en 4, de 8 en 8 y de 9 en 9, sobran siempre 5; 3; 7 y 8 proyectiles respectivamente. A) 501 B)503 C) 517 D)533 E)543 Hallar la menor cantidad de hojas que puede tener un libro, sabiendo que si sus hojas se cuentan de 18 en 18 sobran 11; de 24 en 24 sobran 17; de 30 en 30 sobran 23, pero si se cuentan de 11 en 11 no sobran hojas. A) 1793 B)1433 C)1073 D) 2153 E)1895 En una granja, el número de patos es el menor número de 4 cifras, si los patos se acomodan en jabas de 12;18;24;30 patos, sobran 10;4;10 y 28 respectivamente ¿Cuántos patos quedan, si se venden 8 quincenas? A) 960 B)1260 C) 1320 D)1138 E)1018

Semana 07 FRACCIONES FRACCIÓN: Se denomina fracción, a una o varias partes de la unidad dividida en cualquier número de partes iguales. A las fracciones se les conoce también con el nombre de número fraccionario, quebrado o número quebrado.

Términos de una fracción Denominador: Indica en cuantas partes iguales ha sido dividida la unidad entera Numerador: Indica cuantas partes de esta han sido tomadas. Ejemplo: 2  Numerador 5  Deno minador

En este caso, el denominador nos indica que la unidad ha sido dividida en 5 partes, y el numerador indica que se han tomado 2 partes

Clasificación de las fracciones 1. Fracción Propia: El numerador es menor que el denominador, su valor es menor que uno. 2. Fracción Impropia: El numerador es mayor que el denominador, su valor es mayor que uno. 3. Fracción Irreductible: Cuando sus dos términos son primos entre sí (PESI). 4. Fracciones Equivalentes: Cuando tienen el mismo valor sus términos son diferentes. Dada la fracción: f =

28.

29.

Dos trompos de 24x40cm de circunferencia giran a 2𝜋/3 y 𝜋/4 radianes/segundo respectivamente. ¿En cuánto tiempo los dos trompos se encuentran en la misma posición del inicio? A) 3s B)8s C)11s D)24s E)28s Tres barras de longitudes 540cm; 252cm; 792cm, se requieren dividir en pequeños trozos de igual longitud. ¿Cuál es el menor número de trozos que se puede obtener? A)40 B)42 C)44 D)46 E)48

30. En la función de una obra teatral se ha recaudado en 3 días de funciones S/.1 225; S/.11375; S/.525 respectivamente. ¿Cuántas personas han asistido en los tres días, sabiendo que el precio de la

a b

La fracción equivalente será f =

ak bk

5. Fracciones Homogéneas: Un conjunto de fracciones serán homogéneas cuando tengan el mismo denominador. 6. Fracciones Heterogéneas: tengan diferente denominador.

Cuando

7. Fracciones Decimales: Son aquellas fracciones cuyo denominador es una potencia de 10. 8. Fracción Ordinaria: Cuando su denominador es diferente de una potencia de 10. 9. Fracción Generatriz: Es aquella que es equivalente a un decimal. 73


ARITMÉTICA A) 5h 40 min D) 6h 50 min

1 = 0,125 (decimal exacto) 8

 1 = 0, 3 (periódico puro) 3

Hallar la suma de los términos de una fracción propia e irreductible 3 4 comprendida entre y tal que la 7 7 diferencia de sus dos términos sea la menor posible. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

4.

¿Cuántas fracciones propias e irreductibles cuyos términos son primos absolutos generan fracciones periódicas puras con cuatro cifras en su periodo? A) 24 B) 25 C) 26 D) 27 E) 28

5.

Tres ganaderos compraron vacas en una feria. El primero compró 2⁄7 del total que compraron los 3 juntos más 6 vacas; el segundo 1⁄3 del resto más 7 vacas y el tercero las 19 vacas restantes. ¿Cuántas vacas compraron entre los dos primeros? A) 40 B) 44 C) 48 D) 58 E) 56

6.

¿Cuántas fracciones equivalentes a 360/420 cumplen que el producto de sus términos sea menor que 4600? A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12

7.

Si = + + + +… 2401 7 49 343 2401 Hallar el resultado de (a+b+c+d) A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15

8.

Si se suman todos los periodos 1 1 1 1 originados por ; ; ; …. ; la cifra 7 17 27 917 en que termina dicha suma es. A) 3 B) 4 C) 5 D) 8 E) 9

9.

¿Cuántas fracciones propias e irreductibles cuyo denominador es 1008 existen? A) 144 B) 288 C) 216 D) 244 E) 324

10.

¿Cuántas fracciones irreductibles cuyo denominador es 12, cumplen la condición que sean mayores que 2⁄7 pero menores que 5⁄7? A) 4 B) 5 C) 3 D) 2 E) 1

11.

Dos tercios de los profesores de un colegio son mujeres, 12 de los profesores varones son solteros, mientras que 3⁄5 de los mismos son casados. ¿Cuál es el número de profesores? A) 80 B) 90 C) 60 D) 70 E) 50

12.

Pedro tenía S/.240 gana y pierde alternadamente en cinco juegos de azar: 1⁄ ; 3⁄ ; 2⁄ ; 5⁄ ; 7⁄ 3 4 7 8 5 ¿Cuánto dinero le quedó finalmente? A) 60 B) 65 C) 70 D) 75 E) 68

Conversión de Decimal a Fracción a) Decimal Exacto b) Decimal Periódico Puro c) Decimal Periódico Mixto

PROBLEMAS RESUELTOS ¿Cuántas fracciones propias, cuyos términos son enteros consecutivos, son menores que 51/67? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Solución: Sea la fracción: f =

n n 51  < n  1 67 n 1

 67n < 51n+51  n<3,18  n=1, 2, 3 2.

¿Cuánto debe ganar en el resto para recuperar su capital? A) 5/8 del costo B) 1/8 del costo C) 1/4 del costo D) 3/4 del costo E) 2/5 del costo Solución: (1/4)(-1/5) + (1/3)(3/4)(-1/20) + (1/2)f = 0 1/5 + 19/80 + f/2 = 1  f = 1/8  Debe ganar 1/8 del costo

3.

    0,1  0,2  0,3  ...  0,8 Efectuar:     0,2 1  0,32  0,43  ...  0,98

a) 5/6

b) 1/6 c) 7/9d) 12/25 e) 6/5

Solución: 1 2 3 8 36    ...  9 9 9 9 = 9 19 29 39 89 432    ...  90 90 90 90 90

=

5 6


Un caño tarda 2 horas más que otro en llenar un depósito y abriendo los dos juntos se llena en 1 hora y 20 minutos. ¿Cuánto tiempo tardará en llenar el de menor caudal? A) 1h B) 2h C) 3h D) 4h E) 5h

2.

Un estanque tiene 3 tuberías A; B y C; todas de desagüe, si estando el estanque lleno se abren las 3 tuberías se vacía en 4 horas, si no se abre la tubería C, se vacía en 5 horas y si no se abre A se vacía en 12 horas. Si A y B fuesen de llenado. ¿En cuánto tiempo se llenaría el estanque vacío con las tres tuberías abiertas?

B) 6h C) 6h 40 min E) 7h

3.

 1 = 0,1 6 (periódico mixto) 6

1.

UNSM-CPU-T

1285

a

b

c

d

74

DÉCIMO NOVENA EDICIÓN 13.

ARITMÉTICA

Se compra piñas a 3 por 10 soles y se venden a 2 por 9 soles ¿Cuántas piñas se debe vender para ganar 140 soles? A) 50 B)70 C)100 D)120 E)200

14.

A y B pueden hacer una obra en 20 días, B y C pueden hacer la misma obra en 15 días; A y C lo pueden hacer en 12 días. ¿En cuántos días hará la obra A trabajando sola? A) 30 B)10 C)38 D)42 E)33

15.

Se deja caer una pelota desde 20,48m; cada rebote que da alcanza la mitad de la altura anterior ¿Cuántos rebotes ha dado si la última altura que alcanzó es de 0,04m? A) 5 B)9 C)12 D)8 E)10

16.

Un tanque puede ser llenado por la cañería A en 6 horas y desaguado por la cañería B en 8 horas. Se abren ambas cañerías durante 2 horas; luego se cierra B y A continúa abierta por 3 horas, al final de las cuales se reabre B desde la reapertura de B ¿Qué tiempo demora el tanque en llenarse? A) 19h D)13h

17.

18.

B) 10h E)17h

Un caño llena un estanque en 20 horas, otro en 8 horas y un desagüe puede vaciarlo en 10 horas. Si a las 7 h se abren los dos caños y recién a las 11 horas se abre el desagüe. ¿A qué hora se llenará el estanque? A) 4pm B)5:30pm C)3pm D)6.15pm E)9pm

19.

Carlos es el doble de rápido que César, juntos hacen un trabajo en 10 días. ¿En qué tiempo haría Carlos la obra, si trabajase solo? A) 12 B)15 C)16 D)13 E) 20

20.

Un tonel de 24 litros de capacidad es llenado con 14 litros de vino y el restante con agua. Se extrae 8 litros de la mezcla y se reemplaza por agua; luego se extrae 6 litros de la nueva mezcla y también se reemplaza por agua. ¿Cuál es la diferencia entre el agua y el vino en la mezcla final? A) 8 B)6 C)10 D)12 E) 9

21.

A) S/.700 D) S/.500

Adolfo dice: “si gastara con Angélica los 8/15 de lo que tengo, y le prestara a Juan S/. 50, me quedaría 2/5 de lo que tengo” ¿Cuánto dinero tiene el apostador Adolfo?

B) S/.750 E) S/.550

C) S/.650

22.

Se tiene un barril lleno con agua, alcohol y vino; donde los 2/5 del total, más 8 litros son agua; los 2/8 del total, menos 3 litros son alcohol y los 3/9 del total menos 2 litros son vino. Si se extrae 45 litros de dicha mezcla, ¿Cuál será la diferencia entre el número de litros que queda de vino y de alcohol? A) 12 B)14 C)16 D)18 E)20

23.

Un tonel A tiene 8L de vino puro y 4L de agua. Un segundo tonel B tiene 9L de vino puro y 6 litros de agua Si se sacan 3L de cada tonel y se hace el intercambio respectivo ¿Cuánto más de vino hay en uno que en el otro tonel? A) 2,4L B)1,4L C)1,8L D)3,6L E)1,6L

24.

Una vasija está llena con 2 litros de alcohol y 1 litro de agua. Se elimina 1/3 de la mezcla y se reemplaza por agua; luego se extrae 1/4 de la mezcla y se completa con agua, por último, se elimina la mitad de la mezcla y se reemplaza con agua. ¿Qué cantidad de alcohol contiene 1 litro de la última mezcla? A) 1/3 B)1/6 C)2/5 D)3/8 E) 1/12

25.

Se deja caer una pelota desde cierta altura, sabiendo que después del tercer rebote se eleva 16 cm y que en cada rebote alcanza los 2/5 de la altura anterior. Hallar la altura inicial. A) 2m B)2,5m C)4m D)3m E)0,48m

26.

Una pelota en cada rebote se eleva 1/6 de la altura de la cual cayó, si se deja caer de una altura de 75 m, entonces la longitud de la trayectoria descrita por la pelota hasta quedar en reposo es: A) 85m B)100m C) 105m D)115m E)120m

27.

Del dinero que tenía gasté 1/2 de lo que no gasté; luego perdí 1/3 de lo que no perdí en seguida regalé 1/4 de lo que no regalé. ¿Qué parte del total aún me queda? A) 1/8 B)1/4 C)1/3 D)2/5 E)2/7

28.

He gastado los 5/8 de mi dinero, si en lugar de gastar los 5/8 hubiera gastado los 2/5 de mi dinero tendría ahora 72 soles más de lo que tengo. ¿Cuánto no gasté? A) S/.120 B)S/.157 C)S/.210 S S D) /.128 E) /.247

29.

En un barco había 180 personas ocurre un naufragio y de los sobrevivientes: 3/5 fuman, 2/7 son Abogados y 2/3 son casados, el número de personas que murieron en el accidente es: A) 60 B)65 C)70 D)75 E)80

C) 11h

A puede hacer un trabajo en 10 días; B puede hacerlo en 5 días y C en 2 días. El primer día A trabajó sola; el segundo día se le unió B y el tercer día trabajaron los tres juntos ¿Cuántos días se demorarán en terminar el trabajo? A) 2d 12h B)3d 5h C)2d 18h D)4d E)5d

UNSM-CPU-T

75


ARITMÉTICA

Una señorita pasa un día de su vida de la siguiente manera: la mitad de él durmiendo, la cuarta parte del resto comiendo, los 5/8 del resto estudiando, los 4/9 del resto en su silla perezosa. Si las 11/8 de una hora al día los dedica a ver TV. Averiguar qué tiempo le queda para trabajar. A) 1/2h B)6h C)3h D)5h E)7/3h

UNSM-CPU-T “b” media proporcional “c” tercera proporcional. 1 1 1 1   a b = b c

“b” media armónica “c” tercera armónica  Proporción discreta: Sus términos medios son diferentes: a – b = c – d; “d” cuarta diferencial

Semana 08 RAZONES Y PROPORCIONES

a c  b d

RAZÓN

“d” cuarta proporcional

Es la comparación de dos cantidades:

1 1 1 1   a b = c d

Razón aritmética: Cuando se compara por diferencia: a–b=r

“el exceso de a sobre b”

Razón geométrica: Cuando se compara por cociente: a  k “a” es a “b” b

“d” cuarta armónica. Sucesión de equivalentes:

razones

Resultado de igualar tres o más razones geométricas. Sea la sucesión:

a: antecedente; b: consecuente

a1 a2 a3 an   ...  k b1 b2 b3 bn

Razón armónica:

Propiedades:

1 1   h (Razón armónica) a b

a1  a2  a3  ....  an k 1. b1  b2  b3  ....  bn

PROPORCIÓN Es la igualdad de dos razones del mismo tipo. a – b = c – d: Proporción aritmética

3.

: proporción armónica.

A y d términos extremos b y c términos medios a y c antecedentes b y d consecuente

“b” media diferencial “c” tercera diferencial

a b  b c

𝒏 𝒏 𝒏 √𝒂𝒏 𝟏 +𝒂𝟐 +𝒂𝟑 +⋯+𝒂𝒏

𝒏

𝒏 𝒏 𝒏 √𝒃𝒏 𝟏 +𝒃𝟐 +𝒃𝟑 +⋯+𝒃𝒏

= 𝑘ó

𝑎1𝑛 + 𝑎2𝑛 + 𝑎3𝑛 + ⋯ 𝑎𝑛𝑛 = 𝑘𝑛 𝑏1𝑛 + 𝑏2𝑛 + 𝑏3𝑛 + ⋯ + 𝑏𝑛𝑛 PROBLEMAS RESUELTOS 1. La diferencia de dos números es 244 y ellos están en la relación de 7a3. ¿Cuál es el mayor de los números?

Clases de proporciones:  Proporción continua: medios son iguales a–b=b–c

a1 .a2 .a3 ....an  kn b . b . b .... b n 2. 1 2 3 𝒏

a c  b d : Proporción geométrica 1 1 1 1   a b = c d

geométricas

Sus

términos

A) 427 B) 356 C) 429 D) 359 E) 431 Solución Sean A y B 𝐴 =7𝑘 𝐵 = 3𝑘 7K - 3K = 244 K=61 Mayor: 7K = 7 x 61 = 427// A – B =244;

𝐴 𝐵

=

7 3

76


ARITMÉTICA

2. En una proporción geométrica continua el producto de los 4 términos es 1296 y el producto de los antecedentes es 24. Hallar la tercia proporcional. A) 9 B) 12 C) 15 D) 8 E) 16

A) 7⁄176 B) 8⁄21 D) 7⁄18 E) 8⁄41 7.

Solución Sea

𝑎 𝑏

=

𝑏 𝑐

=𝐾

b4 = 1296 b=6 Dato; a.b = 24 a=4 2 Luego a.c = b 4.c = 62 C = 9//

a * c = b2

8.

Hallar el valor de: Z = M + A + R + I, siendo: M = Media diferencial de 24 y 34 A = Media proporcional de 88 y 22 R = Tercera proporcional de 8 y 24 I = Cuarta proporcional de 80; 15 y 16 A) 148 B) 191 C) 253 D) 220 E) 176

2.

Calcular A = M + E + R + L + Y. Si: R = Y M = Tercera proporcional de 343 y 49 E = Tercera armónica de 60 y 40 R = Media armónica de 60 y 30 L = Media proporcional de 49 y 16 A) 130 B) 128 C) 142 D) 139 E) 145

3.

4.

En un recipiente hay 15 litros de agua y 12 litros de vino, se extrae 9 litros del contenido y se añade al recipiente 6 litros de agua. Calcular cuántos litros de vino se debe añadir para que la relación de agua y vino sea la inversa de la que había inicialmente. A) 10

5.

B) 11

C) 14

D) 12

B) 28

C) 48

D) 40 1

1

E) 32 1

Los cuadrados de ; y son 2 4 8 proporcionales a otros tres números que 147 suman: . Uno de dichos números es: 176

D) 2

E) 3

B) 24

C) 18

D) 30

E) 20

En una serie de 3 razones geométricas equivalentes y continuas, el primer antecedente es 64 veces el último consecuente. Hallar el valor de la constante de proporcionalidad. B) 2

C) 4

D) 8

E) 16

Se tienen 3 recipientes de vino cuyos contenidos están en la relación de 9; 6 y 10. Se pasa “a” litros del primer al segundo recipiente y luego “b” litros del tercero al segundo, siendo la nueva relación de 4; 6 y 5 respectivamente. Calcular el volumen final del tercer recipiente. Si a – b = 14. A) 120 B) 135 C) 175 D) 138 E) 177

11.

Sabiendo que la razón geométrica de dos números cuya diferencia de cuadrados es 180. Se invierte al sumar 6 al menor y restar 6 al mayor. Hallar su producto. A) 180 B) 396 C) 216 D) 270 E) 360

12.

E) 18

En una proporción Geométrica continua, la suma de los términos extremos es 60 y la de los antecedentes es 24. Calcular la “Media diferencial” de la media proporcional y uno de los extremos. A) 36

6.

10.

C) 4

Un escuadrón de aviones y otro de barcos se dirigen a una isla. Durante el viaje uno de los pilotos observa que el número de aviones que él ve es al número de barcos como 1 a 2. Mientras uno de los marineros observa que el número de barcos que ve es al número de aviones como 3 a 2 ¿Cuántas naves son?

A) 1

Se tiene un cierto número de bolas blancas, rojas y azules, donde se cumple que por cada 4 blancas hay 5 rojas y por cada 7 rojas hay 11 azules. Si la cantidad de azules excede a las rojas en 140. En cuánto excede las bolas azules respecto a las bolas blancas. A) 49 B) 196 C) 198 D) 189 E) 169

B) 12

A) 16 9.

C) 5⁄44

En una proporción geométrica continua la mayor diferencia positiva que existe entre dos de sus términos es igual a la menor suma que se tiene entre dos de ellos, si el extremo mayor excede en 6 a la media proporcional. Calcular el extremo menor. A) 6


UNSM-CPU-T

Los antecedentes de varias razones geométricas equivalentes son: 2; 3; 4 y 5 el producto del primer antecedente y los 3 últimos consecuentes es 41160. La suma de los consecuentes es: A) 94

13.

Si

𝑎 𝑏

=

B) 98 𝑐 𝑑

=

𝑑 𝑒

=

C) 95

D) 96

E) 97

𝑓 𝑔

Se cumple que: b . g = 160 a . f = 90 e - c = 35 Calcular “d” 77

DÉCIMO NOVENA EDICIÓN A) 90 14.

C) 50

B) 70

C) 55

D) 90

ganó a C por de vuelta ¿Por qué 5 fracción de vuelta le ganará A a C? A)3⁄10 B) 17⁄20 D) 2⁄5 21.

E) 80

B) 30000 y 40000 D) 50000 y 80000

UNSM-CPU-T 1

E) 60

Un hombre muere dejando a su esposa embarazada un testamento de 130000 nuevos soles, que se repartirá de la siguiente forma:2⁄5 a la madre y 3⁄5 a la criatura si nace varón. 4⁄7 a la madre y 3⁄7 a la criatura si nace niña. Pero sucede que la señora da a luz un varón y una niña. Entonces, lo que le toca a la niña y al varón, en ese orden es: A) 30000 y 66000 C) 30000 y 60000 E) 70000 y 50000

16.

D) 70

En un instante de una fiesta, el número de hombres que no bailan es al número de personas que están bailando como 5 es a 6. Además, el número de damas que no bailan es al número de hombres como 7 es a 8. Encontrar el número de hombres que asisten a dicha fiesta, si el total de personas es 180. A) 60

15.

B) 80

ARITMÉTICA

E) 3⁄5

En una serie de razones geométricas equivalentes los antecedentes son: 2; 3; 7 y 11. El producto de los consecuentes es 37422. Hallar la suma de los consecuentes. A) 46

22.

C) 3⁄20

Si

𝑎 𝑏

=

B) 69 𝑏 𝑐

=

𝑐 𝑑

=

C) 48 𝑑 𝑒

=

𝑒 𝑓

D) 64

E) 72

en el cuál, el último 3

consecuente es 8. Además √𝑎𝑒 + 3 √𝑏. 𝑑 =200 Calcular: “a” A) 12000 D) 4000 23.

Si: (a1+b1) (a2 + b2)(a3 + b3) = 21952

B) 25000 E) 16000

C) 8000

En una fiesta, se observa que por cada 5 hombres hay 7 mujeres, y además que por cada 3 hombres que fuman hay 8 mujeres que no fuman. Calcular cuántos hombres estaban fumando; sabiendo que hay 10 mujeres más que hombres y hay 20 personas fumando. A) 8

B) 9

C) 10

D) 7

E) 11

Hallar: 24. A) 27 17.

B) 81

C) 9

D) 8

E) 28

“A” le da a “B” una ventaja de 20 m en una carrera de 200m, “B” le da una ventaja de 40m a “C” en una carrera de 360m. ¿Cuantos metros de ventaja debe dar “A” a “C” en una carrera de 400m? A) 60m B) 70m C) 80m D) 90m E) 110m

18.

A) 8 25.

En un circo se observó: por cada 5 hombres que ingresan, 3 lo hacen con un niño; y, de cada 7 mujeres, 4 lo hacen con un niño. Si ingresaron en total 678 niños y por cada 6 hombres hay 5 mujeres ¿Cuántos adultos ingresaron al circo? A) 1515 D) 1551

B) 1155 E) 2105

De un grupo de niños y niñas, se retiran 15 niños, quedando 2 niños por cada niña. Después se retiran 45 niños y quedan 5 niñas por cada niño. El número de niñas al comienzo era de: A) 20

B) 25

C) 29

D) 43

En una carrera alrededor de un circuito 1 circular, A ganó a B por de vuelta; B 4

C) 6

D) 10

E) 12

Cierto día en un estreno teatral se observó que por cada 7 personas que hacen cola, solo 3 logran ingresar. Al día siguiente esta relación varió ya que por cada 11 personas que hacen cola ingresaron solo 6. Si en ambos días la cantidad de personas que no ingresan es la misma. Calcular cuántas personas hicieron cola en el segundo caso; si en el primero ingresaron 90 personas. B) 240 E) 320

C) 264

Las edades de Margot y Carolina están en la relación de 9 a 8, dentro de 12 años estarán en la relación de 13 a 12. ¿Calcular la suma de las edades que tenían hace 7 años? A) 37

B) 29

C) 41

D) 39

E) 43

E) 55 27.

20.

B) 4

A) 272 D) 368

C) 1224 26.

19.

En una proporción aritmética continua, el primer antecedente es mayor en 8 unidades que el segundo consecuente. Calcular el término medio, sabiendo que el producto de sus términos diferentes es 120, siendo los términos cantidades enteras.

En una proporción geométrica, la suma de los extremos es 21, la suma de los medios es 19 y la suma de los 78


ARITMÉTICA

UNSM-CPU-T

cuadrados de los cuatro números es 442. Hallar la suma de las cifras del mayor de los cuatro términos. A) 6 28.

B) 5

C) 8

D) 7

E) 10

En una proporción geométrica discreta, el producto de los antecedentes es 120 y el producto de los consecuentes es 270. Si la suma de los 2 términos de la primera razón es 25. ¿Cuál es la suma de los términos de la segunda razón? A) 30

B) 26

C) 40

D) 36

E) 42

1 1 1 1 = n    ...  MH a1 a 2 a 3 an

4. Promedio Ponderado Datos: a1; a2; a3; …; an Pesos o frecuencias: p1; p2; p3; …; pn PP =

n1.p1  n 2 .p 2  n 3 .p 3 p1  p 2  p 3

Propiedades: 1. Se cumple: MA  MG  MH

29.

Dada la siguiente serie:

Calcular: “b” si c – a = 20 A) 20 30.

B) 25 C) 32

C) 14

P r omedio Nuevo = + variación original promedio

3. Para los datos a y b: ab MA = 2

D) 30 E) 28

Se tienen 20 litros de un vino, cuyo precio por litro es S/.A y 30 litros de otro vino, cuyo precio por litro es S/.B. ¿Cuántos litros deben intercambiarse de manera que ambos tipos de vino resulten de la misma calidad? A) 10 B) 12

2.

D) 16 E) 18

Semana 09 PROMEDIOS PROMEDIO Es una cantidad representativa de un conjunto de datos cuyo valor está comprendido entre el menor y mayor de los datos o es igual a uno de ellos. En general: Datos ordenados: a1; a2; a3; …; an

MG =

ab

MH =

2ab ab

Se cumple: MA . MH = MG 2 4. El error que se comete al tomar MA en vez de MG para los números A y B:

MA  MG 

5. Si se tienen: n1, n2 cantidades diferentes con MH 1 y MH 2 medias armónicas respectivamente, entonces: n1  n 2 MH T

=

n1 n + 2 MH1 MH 2

6. MH (a; b; c) = a1< Promedio
suma de datos cantidad de datos

a1  a 2  a 3  ...  a n n a1 + a2 + a3+ … + an = n. MA

MA =

2. Media Geométrica MG cantidad

MG = de datos Pr oducto de datos MG = n a1.a 2 .a 3 ...an

3. Media Armónica MH MH =

cantidad de datos suma de las inversas de los datos MH =

n 1 1 1 1    ...  a1 a 2 a 3 an

( A  B) 2 4( MA  MG)

3abc ab  ac  bc

PROBLEMAS RESUELTOS 1. Si el cociente de dos números es 4, siendo la diferencia entre su media aritmética y su media geométrica la unidad, determinar la media armónica de estos números. A) 4,3 B) 5,6 C) 3,2 D) 4,7 E) 5,38 Solución: Sean los números: a y b, y sea: a = 4b MA – MG = 1 Como: (a – b)2 = 4( MA + MG )( MA – MG ) ab + ab ) 2 4b  b (4b – b)2 = 4( + 4b.b ) 2 5 9b2 = 4( b + 2b)  b = 2, a = 8 2 2 .2 .8 Por lo tanto: MH = = 3,2 28

(a – b)2 = 4(

2. Si para 2 números enteros diferentes entre sí y de la unidad se cumple: MA 3 x MH 3 = 79


ARITMÉTICA

4096, ¿Cuál es el valor de la media aritmética? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 Solución Si: MA 3 x MH 3 = 4096  MA x MH = 16  MG 2 = 16 a.b = 16  a = 2, b = 8 Entonces: MA =

28 =5 2

3. La media aritmética de la serie: a0a + a1a + a2a + …+ a9a es igual a ab8 .10 Hallar a2 +b2. A) 5 B) 8 C) 13 D) 25 E) 26

UNSM-CPU-T m, ¿Cuál es el promedio de las estaturas de los varones del colegio? A) 1.6 B) 1.71 C) 1.69 D) 1.7 E) 1.72

10. La nota promedio de un examen es “p”, el profesor Roberto decide aumentar 2 puntos al tercio superior de la clase, 1 punto al tercio central y bajarle 1 punto al tercio inferior de la clase. ¿Cuál es el nuevo promedio? A) E)

3p+5 3 3p+1

B)

6p+5 6

C)

3p+2 3

3

11. La media armónica de a y b es

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. La media armónica de 3 números es 9⁄19, si dos de ellos son A) 1

B) 3,5

1 2

C) 2

y

1 4

; el tercero es:

D) 3

E) 4

2. Manuel obtuvo como notas: 13; 08; 11; 16; 14 y 10. ¿Cuál fue su promedio? A) 12 B) 13 C) 15 D) 16 E) 18 3. La media aritmética de (x + 4); x; 10; (2x – 2) y 6 es 10. Hallar “x” A) 10 B) 6 C) 8 D) 12 E) 4 4. El promedio de las edades de 6 personas es 48, si ninguno de ellos es menor de 46, ¿Cuál es la máxima edad que podría tener uno de ellos? A) 65 B) 58 C) 55 D) 68 E) 70 5.

6.

7.

Un auto móvil viaja de A a B, a una velocidad de 60 km/h y vuelve de B a A por la misma carretera a 120km/h. ¿Cuál es la velocidad media del viaje redondo? A) 85 B) 80 C) 78 D) 88 E) 90 Si la media armónica de dos números es a su media aritmética como 0,9375 es a uno. Hallar su media geométrica. A) √10 B) √5 C) 3√5 D) 4√15 E) √15 La media aritmética de 3 números es 9. Si el mayor de los números es el doble del menor y el intermedio es la MA de los otros dos; el menor de ellos es: A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 2

8. El promedio de notas en un colegio mixto es 13,8. Si el promedio de los varones es 14,2 y el de las damas es 13,5; calcular en qué relación se encuentran el número total de varones y el número total de damas. A) 3:2 B) 1:3 C) 3:4 D) 2:5 E) 3:5 9.

De 500 alumnos de un colegio, su estatura promedio es de 1,67 m; por cada 3 mujeres hay 7 hombres. Si la estatura promedio de todas las mujeres es de 1,60

D)

p 3

144 13

y la

media armónica de (a + 2) y (b + 2) es 40, uno de los números es: A) 12 B) 16 C) 17 D) 16 E) 18 12. La media aritmética de 200 números pares de tres cifras es 699 y de otros 200 números pares también de tres cifras, es 299. ¿Cuál es la media aritmética de los números pares de tres cifras no consideradas? A) 949 B) 964 C) 972 D) 984 E) 938 13. Dadas tres razones geométricas iguales, la MG de los promedios aritméticos de los términos de cada razón es 2. Hallar la media aritmética, de la media geométrica de los antecedentes y la media geométrica de los consecuentes. A) √2 B) √5 C) √6 D) 2 E) 4 14. El promedio de las edades de cuatro personas es 17, si ninguna de ellas es menor de 16 años, ¿Cuál es la máxima edad que una de ellas podría tener? A) 18 B) 19 C) 21 D) 20 E) 23 15. El séxtuple de la media aritmética de dos números es igual al cuadrado de su media geométrica más 1. Si uno de los números es 7, el otro es: A) 4 B) 2 C)5 D) 6 E) 1 ̅̅̅̅̅ de los tres términos de una 16. La MA sustracción es 60. Halle la media armónica entre el sustraendo y la diferencia, sabiendo que el 40% de aquel es igual al 50% de esta. A) 42 B) 44,4 C) 46,4 D) 52,6 E) 54,6 17. La media aritmética de 80 números es 75. Si la media aritmética de los primeros 60 números es 50, hallar la media aritmética de los restantes. A) 120 B) 150 C) 180 D) 200 E) 160 18. Si la edad promedio de 4 personas es de 65 años y ninguno de ellos es mayor de 70 años, ¿cuál es la edad mínima que puede tener cualquiera de ellos? A) 65 B) 55 C) 50 D) 45 E)48 19. La media aritmética de 2 números es inferior en 18 unidades que el mayor de los dos y la media geométrica es el doble 80


ARITMÉTICA

del menor de los números. Hallar la media armónica de los dos números. A) 9,6 B) 12,3 C) 18,2 D) 19,2 E) 19,8 20. Un profesor al calcular el promedio aritmético de las notas de 40 estudiantes, observa que, si a 30 de estas notas se les agrega 8 puntos a cada una y al resto se le disminuye en 6 puntos a cada una, el nuevo promedio seria 18,5. Hallar el promedio inicial. A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16

21. La media geométrica de 6 números pares enteros positivos y diferentes es 6

8. √8.Calcule la media aritmética de dichos números. A) 21 B) 23 C) 31 D) 35 E) 41 22. Una avioneta que vuela alrededor de un terreno de forma cuadrada emplea en cada lado velocidades constantes diferentes dichas V1, V2, V3, V4 . Si





velocidades están en relación con los números: 1, 2, 3 y 4 respectivamente, la velocidad media de la avioneta en su recorrido total es 192 Km/h, hallar V3. A) 300 B) 250 C) 350 D) 400 E) 288 23. La media armónica de los precios de 8 artículos es S/ 60. ¿Cuál es el precio máximo que puede tener uno de los artículos, si ninguno tiene un precio menor de S/56? Considere que los precios de los artículos son enteros. A) 60 B) 70 C) 80 D) 100 E) 120 24. El promedio de las edades de 5 hermanos es 26 años. Si las edades de 3 de ellos hacen un promedio de 30 años, ¿cuál es el promedio de las edades de los otros dos? A) 18 B) 20 C) 25 D) 24 E) 21 25. Si la M.A. de 37 números consecutivos es 60. Calcular la MA de los 13 siguientes números consecutivos. A) 82 B) 83 C) 84 E) 85 E) 86

UNSM-CPU-T

29. En el sílabo de la asignatura de Matemática, el docente estableció los siguientes criterios de evaluación: Trabajos encargados con peso 1,5, prácticas calificadas con peso 2, participaciones orales con peso 1,5 y exámenes parciales con peso 3; si un estudiante obtuvo las siguientes notas 12, 10, 14 y 11 respectivamente, como medias aritméticas en cada criterio de evaluación, determinar la nota final obtenida por el estudiante (redondeado al entero). A) 11,75 B) 11 C) 11,5 D) 12 E) 14 30. Un auto ha recorrido la cuarta parte de 105000 km utilizando 7 llantas de repuestos en total. El recorrido promedio de cada llanta será: A) 9 335,35 km B) 9 545,45 km C) 9 265,45 km D) 9 641,35 E) 9 635,45 km

Semana 10 MAGNITUDES PROPORCIONALES, REPARTO PROPORCIONAL Y REGLA DE COMPAÑÍA MAGNITUDES PROPORCIONALES Magnitud es todo aquello susceptible a la variación (aumenta o disminuye) y que se puede medir o cuantificar. MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES (DP) Cuando el cociente de sus valores correspondientes es una cantidad constante A A (DP) B → =K B MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES (IP) Cuando el producto de sus valores correspondientes es una cantidad constante. A (IP) B → A. B = K

26. Las edades de 4 hermanos forman una serie de razones geométricas continuas, cuyo valor de la razón es un número entero. Determinar la MA de dichas 4 edades, si su M.G. es 6 √4 A) 45/4 B) 31/4 C) 27/2 D) 15/2 E) 7/4

Propiedades

27. Si la suma de dos números enteros es 18 y su M.A es consecutivo a su MH. Determinar la diferencia de los números. A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14 28. Si: MG (a, b) = 20; MG (a, c) = 40 y MG (b; c) = 50. Hallar la MH de a, b y c.

3. Si: A (DP) B → A n (DP) B n Si: A (DP) B → n A (DP) n B

A)

3 3 80 B) C) 40000 D) 3 4 80

E)

5 2

1. Si A (DP) B →

B (DP) A

2. Si: A (I P) B → A (DP) 1/B Si: A (DP) B → A (I P) 1/B

A (DP) C → A A (DP) B. C → =K B.C 5. Para Engranajes: a) Dos engranajes A y B en contacto: 4. Si: A (DP) B;

81


ARITMÉTICA

(Nº de dientes A)(Nº de vueltas A) = (Nº de dientes B) (Nº de vueltas B)

En primer lugar, hay que determinar la razón que existe entre las variables y luego la proporción entre los dos grupos de datos.

DA . VA = DB . VB

A.s.r =k ; r3

b) Dos engranajes A y B unidos por un eje común: Nº Vueltas A = Nº vueltas B

A2 = 3/2 = 1,50

Consiste en repartir una cantidad en varias partes que sean proporcionales a otros números. Reparto Proporcional Simple Directo: Se reparte una cantidad N en partes A, B, C,…, Z que son directamente proporcionales a: a, b, c,…, z, es decir:

2. Una rueda de 27 dientes engrana con otra de 12 dientes, dando la primera 836 vueltas por minuto. ¿Cuántas vueltas dará por hora, la segunda? A) 112 860 B) 1881 C) 122 860 D) 211 860 E) 2780 Solución

A = ak; B = bk; C= ck; …; Z= zk

Los datos del problema son: D1 = 27; D2 = 12; V1 = 836rpm; V2 = ? (por hora) Remplazando los datos en la fórmula para engranajes, se podrá hallar las vueltas que dará el segundo engranaje en 1 min D1.V1 = D2.V2 27. 836 = 12 V2 V2 =1881

Reparto Proporcional Simple Inverso: Se reparte una cantidad N en partes A, B, C,…, Z que son inversamente proporcionales a: a, b, c,…, z, es decir: 1k a

; B=

1k b

; C=

1k c

,…, Z =

A .16.1/ 2 1.50.1  2 100.2500 75.800

Después de despejar A2 y simplificar los valores, se tiene:

REPARTO PROPORCIONAL

A=

UNSM-CPU-T

1k z

 El número de vueltas en 1 hora será: 1881 x 60 = 112 860

Reparto Proporcional Compuesto Es cuando intervienen magnitudes tanto Directamente proporcionales como inversamente proporcionales en una misma situación.

REGLA DE COMPAÑÍA Es el reparto de las ganancias o pérdidas de una sociedad mercantil o compañía entre los socios que lo conforman; directamente proporcionales a los capitales impuestos por cada socio y a los tiempos que estos permanecen en la sociedad.

3. Cuatro personas inician una empresa por un lapso de 2 años, aportando para ello cantidades iguales; luego de un año, dos de ellos aumentan su capital en su mitad y los otros dos, retiran la mitad del suyo. ¿Cuál fue la utilidad total obtenida, si uno de los que retiran la mitad de su capital recibe 9000 de beneficio? A) 40 000 B) 42 000 C) 46 000 D) 48 000 E) 52 000 Solución Tiempo total de la sociedad: 2 años Capital que aporta cada socio: C

PROBLEMAS RESUELTOS 1. El alargamiento que sufre una barra es proporcional a su longitud y a la fuerza que se aplica, e inversamente proporcional a su sección y rigidez. Si a una barra de acero de 100 cm de largo y 50 mm2 de sección se le aplica 2500 newton, sufre un alargamiento de 1 mm. Hallar qué alargamiento ocasionó 800 néwtones aplicados a una barreta de aluminio de 75 cm de largo y 16 mm 2 de sección, sabiendo que la rigidez del aluminio es la mitad que la del acero. A) 0,25 B) 0,50 C) 1,00 D) 1,50 E) 2

La situación de cada socio en este tiempo es: 1º: C. 24 + 1/2C . 12 = 30C <> 5 k 2º: C. 24 + 1/2C . 12 = 30C <> 5 k 3º: C. 12 + ½ C . 12 = 18k <> 3 k 4º: C. 12 + ½ C . 12 = 18k <> 3 k Total 16k Si uno de los que retira su capital recibió 9 000 de beneficio → 3k = 9 000 → k = 3000.  Utilidad total: 16k = 16 . 3000 = 48 000

Solución Los datos del problema son: r1 = 3 ½ dm V1 = 179 2/3 dm3 r2 = 3 dm V2 = ?


Sabiendo que A es IP a B3. Hallar ‟A‟ cuando B= 2, si A= 6, entonces B= 4 82


ARITMÉTICA

A) 50 B) 45 C) 55 D) 48 E) 44 2. Se tienen 2 magnitudes A y B, tales que A es IP a B2. Si cuando B aumenta en un quinto, A varia en 22 unidades. ¿En cuánto varia A, cuando B disminuye en un cuarto? A) 56 B) 72 C) 82 D) 28 E) 40 3.

Se tienen dos magnitudes A y B en el siguiente cuadro, se muestran los valores que toman sus variaciones. Hallar”x‟.

A) 5 B) 2 C) 3 D) 4 E) 1 4.

A varia en razón directa a B e inversa a C2, si A = 10, cuando B = 4 y C = 14. Cuando B = 16 y C = 7, A es igual a: A) 210 B) 140 C) 160 D) 120 E) 180 3

5. Se sabe que A DP a √B e IP a √C Además cuando A = 14, entonces B = 64 y C = B. Hallar “A” cuando B = 4 y C = 2B. A) 2 B) 7 C) 4 D) 5 E) 6 6.

Si:

Además:

A es DP con (B2 - 1) C es DP con (A - 5) A 40 z 15 B x 4 2 C y 14 w

Hallar: x+y+z+w A) 30 B) 50 C) 75 D) 87 E) 94 7. Se sabe que una magnitud A es inversamente proporcional a B 2 . Hallar el valor de A, sabiendo que si disminuye en 36 unidades, el valor de B varia en un 25% A) 180 B) 108 C) 200 D) 360 E) 100 8.

9.

La velocidad del sonido es DP a √T absoluta, si la velocidad es 340m/s a una temperatura de 16℃, ¿Cuál será la velocidad en m/s a una temperatura de 51℃? A) 350 B) 380 C) 320 D) 360 E) 310 Un cubo de acero de 300 g cuando se sumerge en agua pesa 250g. ¿Cuál será el peso que tendría si se sumerge en aceite sabiendo que el empuje producido por el líquido es directamente proporcional a la densidad? Considerar densidad del aceite = 0,8 A) 210 B) 256 C) 215 D) 260 E) 270

10. El sueldo de un empleado es directamente proporcional a su rendimiento e inversamente proporcional a su rendimiento e inversamente proporcional al número de días que ha faltado a trabajar, si Tito tuvo un sueldo mensual de S/.600 y su rendimiento es como 5 y falto 4 días, entonces cual es el sueldo de Edyson, si su rendimiento es como 8 y falto 3 días.

UNSM-CPU-T A) 1100 B) 1250 C) 1450 D) 1280 E) 1320

11. Dos ruedas de 24 y 45 dientes están engranadas. En el transcurso de 4 minutos una da 70 vueltas más que la otra. Hallar la velocidad menor en revoluciones por minuto. A) 28 B) 25 C) 40 D) 20 E) 25 12. ¿Cuál es peso de un diamante que vale S/.5500, si uno de 6 Kilates cuesta S/.19800 y el precio es proporcional al A 2 3 4 6 12 cuadrado de su peso? B 72 32 18 8 x Considerar: 1 quilate = 0,25 g A) 2,5g B) 2,8g C) 3,5g D) 4,2g E) 3,9g 13. El precio de impresión de un libro es directamente proporcional al número de páginas e inversamente proporcional al número de ejemplares que se imprimen. Se editaron 2000 ejemplares de un libro de 400 páginas, cuesta S/.6 el ejemplar. ¿Cuánto costara editar un ejemplar si se mandaron a imprimir 1800 libros de 360 páginas? A)3 B) 5 C) 4 D) 7 E) 6 14. Una rueda de 48 dientes da 560 rpm, engrana con un piñón que da 107520 vueltas por hora. ¿Cuál es el número de dientes del piñón? A) 13 B) 15 C) 14 D) 12 E) 18 15. Una rueda A de 20 dientes engrana con otra rueda B de 75 dientes. Fija al eje de B hay otra rueda C de 35 dientes que engrana con una rueda D de 20 dientes. Si A da 60 vueltas por minuto, ¿Cuántas vueltas dará la rueda D? A) 21 B) 60 C) 36 D) 24 E) 28 16. El valor de una joya varía en forma directamente proporcional al cuadrado de su peso. ¿Cuánto se pierde, al partir una joya que costo S/. 2997 en tres partes cuyos pesos son entre sí como 4; 3 y 2 respectivamente? A) 1980 B) 1900 C) 1924 D) 1925 E) 1910 17. Se posee dos engranajes en contacto uno de ellos tiene 12 dientes y el otro 36, si el primero da el cuádruple, menos ocho vueltas, del segundo engranaje, ¿cuántas vueltas da el segundo engranaje? A) 12 B) 15 C) 8 D) 6 E) 14 18. La longitud de una varilla a 25°c es 1 m si a 125°C mide 1,0005 m, cuanto medirá a 105°C, sabiendo que la variación de la longitud es DP a la variación de la temperatura. A) 1,0075 m B) 1,00025 m C) 1,00035 m D) 1,015 m E) 1,075 m 83


ARITMÉTICA

19. El precio de un ladrillo es PD a su peso e IP a su volumen, un ladrillo de densidad 2,5g/cm3 cuesta S/. 1, ¿cuánto costara un ladrillo de 600 cm3 que pesa 1,2 kg? A) 0,80 B) 0,70 C) 0,90 D) 0,50 E) 0,52 20. Santiago tarda en hacer un cubo compacto de concreto de 30 cm de arista 50 min. ¿Qué tiempo tardara en hacer 12 cubos, cada uno e 60cm de arista? A) 72 B) 82 C) 86 D) 80 E) 88 21. Para pintar un cubo de 100 cm de arista se gastó S/. 2 400. ¿Cuánto se gastara para pintar un cubo de 15 m de lado? A) 5600 B) 4800 C) 5400 D) 5600 E) 7200 22 ¿Cuántos gramos pesara un diamante que vale S/. 1125, si uno de 6 g vale S/. 72, además se sabe que el valor del diamante es DP al cubo de su peso. A) 16 B) 17 C) 15 D) 18 E) 20 23. El peso de un elefante es DP a sus años, si un elefante tuviera 360 kg tendría 32 años. ¿Cuál es su edad si pesas 324 kg? A) 28 años y 248 días B) 28 años y 294 días C) 27 años y 294 días D) 28 años y 292 días E) 28 años y 272 días 24. El precio de un diamante es proporcional al cuadrado de su peso. Si un diamante de 4 quilates vale S/. 1280, cual es peso de un diamante que vale S/. 3920. A) 5 quilates B) 14 quilates C) 3 quilates D) 7 quilates E) 5 quilates 25.

El Consumo de una persona es directamente proporcional a su sueldo. El resto lo ahorra, el señor Pedro gana S/.500 y ahorra S/.100, si recibe un aumento, consume S/.1260. ¿De cuánto es el aumento? A) 1075 B) 1225 C) 1100 D) 1125 E) 1500

26. El precio de una piedra preciosa es directamente proporcional al cubo de su peso. Si una piedra preciosa de este tipo que vale: S/.100000, se parte en dos pedazos, uno es los 2/3 del otro, ¿Qué pérdida de valor sufrirá dicha piedra? A) 70000 B) 75000 C) 72000 D) 73000 E) 72500 27. Al repartir cierta cantidad en 3 partes que sean D.P. a 3n, 3n –1 y 3n + 1 e I.P. con 4n –1, 4n + 1 y 4n respectivamente y se observa que la primera excede a la última en 264. Hallar la cantidad a repartir. A) 1800 B) 1980 C) 1660 D) 1870 E) 1850 28. Se han asociado dos personas aportando la primera S/.2000 durante 6 meses, la

UNSM-CPU-T segunda S/. 4000 durante 8 meses y la tercera S/.6000 durante 10 meses; al fin de la operación obtuvieron S/. 2600 como ganancia ¿Cuánto le correspondió al primer socio? A) 300 B) 350 C) 800 D) 400 E) 500

29. Al efectuar el reparto de 864 bolas entre 24 niños, muchos de ellos quedaron sin reparto, por lo cual uno de los niños decidió donar las suyas entre aquellos que no tenía, tocándole a cada uno 6 bolas. ¿Cuántos niños no se le repartió inicialmente? A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 17 30. Tres socios reúnen 4800 nuevos soles para realizar una inversión donde el primer socio obtiene una ganancia de S/.1600, el segundo S/.1440; y el tercero S/.800. ¿Cuánto aporto el tercer socio? A) 1000 B) 1003 C) 1005 D) 1006 E) 1008 31. Cesar inicia un negocio aportando S/.800, dos meses después ingresa Carlos aportando S/.1200, y cuatro meses después ingresa José aportando S/.1500. Si el negocio se liquida luego de un año obteniendo una ganancia de S/.5100; ¿Cuánto le corresponde a cada uno de los socios? A) 1600 B) 2000 C) 1500 D) 3100 E) 2500

Semana 11 REGLA DE TRES REGLA DE TRES Es un procedimiento aritmético que permite hallar una cantidad luego de comparar dos o más magnitudes. REGLA DE TRES SIMPLE: Es cuando se compara solo 2 magnitudes. Directa: cuando las magnitudes A y B son directamente proporcionales. Inversa: cuando las magnitudes A y B son inversamente proporcionales. REGLA DE TRES COMPUESTA: Es cuando magnitudes

se

compara

más

de

dos

Método de las rayas: Todas las magnitudes que intervienen se clasifican en tres: a) Causa: es todo lo que hace posible la obra (hombres, máquinas, animales, etc.) también 84


ARITMÉTICA

la eficiencia y habilidad o rendimiento del hombre.

UNSM-CPU-T Solución Obreros

b) Circunstancia: es todo lo que concierne al tiempo (días, horas diarias, raciones diarias, etc.) c) Efecto: es todo lo que se hace o realiza (obra, metros, volúmenes, largo, ancho, etc.) también va junto a la obra, la oposición o dificultad que ésta presenta. Causa a g

x=

efecto

c i

e m

b h

d x

circunstancia

b h

c i

x=

e x

f n

Solución DP

10 x

Luego: 500X = 200 x 10

=𝑥

18 36

2.

Tres docenas de limones cuestan S/. 4. ¿cuánto costaran 9 docenas de estos mismos limones? A) 10 B) 12 C) 15 D) 6 E) 8

3.

Para pintar una pared de 120m de largo, se emplean cierto número de obreros. Si la pared fuese 40m más larga, harían falta 5 obreros más. ¿Cuántos obreros se emplearan? A) 13 B) 15 C) 20 D)12 E) 16

4.

Cierto número de obreros hace una obra en 20 días, pero si contratan 6 obreros más, harían la obra en 15 días. Hallar el número de obreros. A) 22 B) 15 C) 18 D) 12 E) 21

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Un móvil recorre 500m en 10 minutos con velocidad constante ¿Qué tiempo empleará en recorrer los siguientes 200 m. manteniendo su velocidad? A)12 B)6 C)4 D)5 E)7

500 200

20.27.4.36 15.3.18

3 4

1. A una reunión asistieron 624 personas, se sabe que, por cada 7 hombres, había 9 mujeres. ¿Cuántos hombres asistieron? A) 273 B) 270 C) 272 D) 271 E) 275

f n


27 x

x = 96//

efecto

d j

20 15

Obra Longitud


a.b.c.d .m.n g.h.i.e. f

Causa a g

circunstancia

Días

5. Una pared cuadrada de 10 m de lado es pintada y se pagó por dicho trabajo. S/. 120. ¿Cuánto se pagaría si el lado fuera de 5m? A) 60 B) 50 C) 45 D) 36 E) 30 6.

x = 4//

2. Si 20 obreros hacen una obra en 10 días. ¿Cuántos días emplearan 40 obreros igualmente hábiles que los anteriores en realidad la misma obra? A) 5 B)7 C)8 D)11 E)13 Solución Obreros Tiempo 20 IP 10 40 x 20.10 = 40 x x = 5// 3. 20 obreros construyen 3 zanjas de 18 m. de largo c/u, empleando 27 días en esa labor. Determinar el tiempo que tardarán 15 obreros para construir 4 zanjas en igualdad de condiciones, pero de 36m. de largo. A) 60 B)96 C)110 D)120 E)150

La habilidad de dos operarios es como 7 es a 9, cuando el primero ha hecho 126 m de obra, ¿Cuántos metros habrá hecho el segundo? A) 128 B) 126 C) 124 D) 132 E) 135

7. Una cuadrilla de 35 obreros puede terminar una obra en 27 días. Al cabo de 6 días de trabajo, se les junta cierto número de obreros de otro grupo, de modo que en 15 días terminaron lo que faltaba de la obra ¿Cuántos obreros formaban el segundo grupo? A) 15 B) 12 C) 16 D) 14 E) 10 8.

Se hacen disolver 240 g de azúcar en 5litros de agua, ¿Cuántos litros de agua deberán añadirse a esta mezcla para que un litro de la misma tenga solo 8 g de azúcar? A) 20 B) 18 C) 25 D) 22 E) 30

9. Un recipiente esférico de 6 m de diámetro recepciona 200 kg de maíz. ¿Cuántos kg de maíz recepcionará otro recipiente esférico de 12 m de diámetro? A) 1000 B) 1200 C) 1600 D) 2000 85


ARITMÉTICA

E) 2100 10. 20 operarios pueden producir 120 pares de zapatos en 18 días ¿Cuántos operarios pueden producir 160 zapatos en 24 días? A) 7 B) 10 C) 8 D) 9 E) 11 11. Al preguntar por el costo de 80 clavos me dicen que vale s/. 600, pero si llevo doble numérico de clavos, me dejan a S/. 1000. Como compre 50 clavos, ¿Cuántos tuve que pagar? A) 420 B) 415 C) 435 D) 450 E) 460 12. Tres artesanos pueden hacer 36 esculturas en 12 días. ¿Se solicitan 90 esculturas, cuántos artesanos doblemente hábiles se deberán contratar además de los primeros, para que la obra se concluya en 10 días? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 13. Un depósito lleno de gasolina cuesta S/. 275. Si se saca de el 85l ya no cuesta más que S/. 150. ¿Cuántos litros contenía el depósito? A) 200 B) 212 C) 188 D) 187 E) 190 14. En una población de 50 000 habitantes un tanque reparte 50 litros por segundo. Hallar cuantos recibirá de agua cada persona en un día. A) 86.4 B) 85.5 C) 84.6 D) 86.5 E) 87.5 15. Dos secretarias copian 350 problemas en una semana. ¿Cuántas secretarias serían necesarias para copiar 600 problemas en 4 días? A) 6 B) 7 C) 4 D) 8 E) 5 16. Un burro atado a una cuerda de 2,5 m de longitud puede comer la hierba que está a su alcance en 4 días. ¿Qué tiempo demoraría para comer la hierba que está a su alcance, si la longitud de la cuerda fuera de 10 m? A) 63 B) 54 C) 64 D) 57 E) 60 17. Si 80 hombres pueden demoler cierto número de muros o hacer 80 obras en 80 días y 48 hombres pueden demoler 48 muros o hacer cierto número de obras en 48 días. ¿Cuántas obras pueden hacer 40 hombres que demuelen 60 muros? A) 9 B) 16 C) 27 D) 32 E) 36 18. Al comprar 38 camisas pague con S/. 3 000, pero esta suma no cubría el costo, por lo que tuve que devolver una camisa y el vendedor me devolvió tanto como me

UNSM-CPU-T faltaba para cubrir el valor de las 38 camisas. Hallar el precio de cada camisa. A) 85 B) 89 C) 83 D) 80 E) 79

19. Si 60 hombres pueden tumbar cierto número de muros o hacer 60 obras en 60 días y 36 hombres pueden tumbar 36 muros o hacer cierto número de obras en 36 días. ¿Cuántas obras pueden hacer 30 hombres que tumban 45 muros? A) 9 B) 16 C) 18 D) 27 E) 32 20.

Un jardinero siembra los 4/5 de un sembrío de maíz hasta las 11:20 a.m. comenzando a las 10:00 a.m. ¿A qué hora acaba? A) 11:00am B) 11:55am C) 11:40am D) 11:20am E) 11:27am

21. Cuatro grupos de hormigas numéricamente iguales consumen el azúcar de una despensa y calculan que el alimento durara 10 días. Después de 4 días, 3 de los grupos pelean por lo cual uno de ellos queda exterminado y los otros dos reducidos a su cuarta parte. ¿Cuántos días después de la pelea se acabó el azúcar? A) 16 B) 14 C) 20 D) 26 E) 15 22. Una empresa cuenta con 25 obreros, los cuales trabajan 8h/d, utilizando 12 máquinas. Si el dueño ha comprado 8 máquinas y para que trabajen con ellas ha encontrado 9 obreros de doble eficiencia que los anteriores, ¿en qué porcentaje aumentara la producción, sabiendo que la producción de las maquinas dependen solamente de la eficiencia de los operarios? A) 45% B) 50% C) 48% D)55% E) 60% 23. En 12 días, 8 obreros han hecho las 2/3 partes de una obra. Se retiran 6 obreros, ¿Cuántos días demoraran los obreros restantes para terminar la obra? A) 21 B) 24 C) 26 D) 20 E) 22 24. Despulpando 1200 unidades de cocos se ha obtenido 80 kg. De pulpa. ¿Cuál será el importe que se tendría que gastar para obtener 18 kg de pulpa, si los cocos se compran a razón de S/. 0,25 la unidad? A) 72 B) 71,2 C) 70 D) 67,5 E) 65 25. Unos aserraderos cortan un tronco en trozos de 1 m. Si cada tronco mide 5 m y el aserrado transversal de cada uno requiere 11/4 min. ¿En cuánto tiempo aserraran 48 troncos? A) 2h B) 3h C) 4h D) 6h E) 4,5h

86


ARITMÉTICA

26. Si la hierba crece en todo el prado con igual rapidez y espesura y se sabe que 70 vacas se la comerían en 24 días y 30 vacas en 60 días. ¿Cuántas vacas de comerán toda la hierba en 96 días? A) 18 B) 20 C) 24 D) 16 E) 21 27. El transporte en mototaxi de 12 canastas de pescado una distancia de 40 km, pesando cada una 44kg, ha costado s/.130. ¿A qué distancia se habrán transportado 15 canastas de 50 kg cada una, costando el transporte 162,5 soles? A) 30,5 B) 30 C) 28 D) 32,5 E) 28,4 28. Un pozo de 8m de diámetro y 18 m de profundidad fue realizado fue realizado por 30 obreros en 28 días. Se quiere aumentar en 2m el radio del pozo y el trabajo será hecho por 14 hombres, ¿Qué tiempo demorarán? D) 72 días E) 73 días 29. Se tienen 200 bolas de las cuales 60 son negras y las restantes blancas ¿Cuántas bolas blancas se deben añadir para que por cada 20 bolas blancas haya 3 bolas negras? A) 240 B) 210 C) 260 D) 250 E) 280 30. Un grupo de 15 obreros puede acabar un trabajo en 20 días, trabajando 8 h/d. Después de trabajar 6 días, 5 obreros se enferman, y los demás continúan laborando 10 h/d. Luego de 4 días se comunica a los trabajadores que deberán terminar la obra en el tiempo previsto. ¿Cuántos obreros adicionales se deberá contratar si ahora trabajarán 8 h/d? A) 12 B) 10 C) 8 D) 6 E) 4

Semana 12 TANTO POR CIENTO Consiste en dividir una cantidad en 100 partes iguales y tomar un cierto número de dichas partes.

A% =

A

AUMENTOS SUCESIVOS Si se tiene “n” aumentos sucesivos: A1, A2, …, An, el aumento único equivalente Au, será: AU=[

(100+A1 )(100+A2 )…(100+An ) 100n−1

]%-100%

APLICACIONES DEL TANTO POR CIENTO Pv: Precio de venta Pc: Precio de compra D: Descuento G: Ganancia P: Pérdida PL: Precio de Lista; PF: Precio Fijado Pv = Pc + G

Pv = Pc – P

Pv = PL – D

PROBLEMAS RESUELTOS 1. En un aula de clases el número de hombres equivale al 80% del total, si se retiran el 20% de los hombres. ¿Qué porcentaje del resto son mujeres? A) 23,3 B) 23,6 C) 23,8 D)23,7 E) 24,8 Solución Sea el total: hombres  80  mujeres  20  Se retiran:

100

personas



20 (80) = 16 hombres 100

Quedan: hombres = 80 – 16 = 64 Mujeres = 20 84  100% 20  x%  x = 23,8%

Piden:

2. Elías gasta el 20% de lo que tiene, luego el 30% de lo que le queda y por último gasta el 40% del nuevo resto, quedándose con tan solo S/. 336. ¿Cuánto tenía al inicio? A) 1000 B) 1050 C) 1100 D) 1150 E) 1200 Solución

A%N =P

100

TANTO POR CUANTO Es Una o varias partes de una unidad cualquiera: “El A por B de N:

A

B

(N) ”

Tenía: “n” soles Del enunciado se deduce que queda: 60 70 80 . . n = 336  n = 1 000 soles 100 100 100

3. El fabricante de un producto gana el 10%, el mayorista el 20% y el minorista gana el 30%. SI el consumidor adquiere el producto a S/. 858. Averiguar el precio de costo del producto A) 450 B) 348 C) 530 D) 500 E) 600

Observaciones: 1. 2.

UNSM-CPU-T

N = 100%N a%N ± b%N = (a ± b)%N

DESCUENTOS SUCESIVOS Solución Si se tiene “n” descuentos sucesivos: D1, D2, …, Dn, el descuento único equivalente Du, será: DU=100%- [

(100−D1 )(100−D2 )…(100−Dn ) 100n−1

]%

Costo del producto: “n” soles Del enunciado se deduce que queda: 130 120 110 . . n = 858  n = 500 soles 100 100 100

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ARITMÉTICA


Hallar “x” si el 20% del 0.5% de 0.6̂% de x% es 40000. A) 8 B) 6 C) 7 D) 10 E) 12

2. Tres aumentos sucesivos del 20%; 10% y 100%, ¿a qué aumento único equivalen? A) 148% B) 164% C) 172% D) 149% E) 128% 3. El 30% de 120% del 40% de un número es igual al 60% del 80% de 30. Hallar el 40% del 20% de dicho número. A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12 4.

Si el radio de una esfera aumenta en 200%, ¿en qué porcentaje aumenta su volumen? A) 700% B) 2600% C) 2500% D) 2900% E) 800%

5. Si el lado de un cuadrado se triplica, ¿en qué porcentaje aumenta su área? A) 100% B) 400% C) 800% D) 500% E) 300% 6.

En un recipiente se tienen 20 litros de alcohol de 50º y en otro recipiente 40 litros de alcohol de 75º, ambas mezclas se vierten en un recipiente más grande. ¿Halle la pureza de la mezcla resultante? A) 66.6 B) 40 C) 62.5 D) 52.5 E) 66

7. Un comerciante decide vender un artículo ganando el 10%; un cliente acude a comprar y solicita una rebaja del 10%; el comerciante le hace la rebaja solicitada y pierde s/. 200. ¿a cómo se vendió este articulo? A) 20400 B) 19500 C) 19800 D) 19650 E) 21500 8.

Si el precio de una tela se rebaja en un 15%, entonces se comprará 6m más. Entonces en las actuales condiciones, ¿cuantos metros puede comprar? A) 20 B) 50 C) 45 D) 40 E) 80

UNSM-CPU-T E) no Se pierde ni se gana

12. Si gastara el 30% del dinero que tengo y ganara el 28% de lo que me queda, perdería s/. 156. ¿Cuánto tengo? A) S/.2500 B) 1800 C) 1500 D) 2508 E) 1208 13. Al vender un producto se pierde el b% del precio de venta. Si el precio de venta del producto es m/4 del costo. Hallar “m”. A) 100b B) D)

400 b+100

100b b

C)

100b 100−b

E) 80b

14. El precio de un reloj se incrementó en un 60%, para volverlo el precio original ¿En qué porcentaje se debe disminuir el nuevo precio? A) 40% B) 37,5% C) 42,6% D) 25,3% E) 30% 15. Se vende un lapicero en 680 soles perdiendo el 15% del costo. A como se debe vender para ganar el 9%? A) 724 B) 936 C) 827 D) 872 E) 836 16. Se venden 400 manzanas una parte ganando el 25% y el resto perdiendo el 15% si al final no se gana ni se pierde. ¿Cuántas manzanas se vendieron con ganancia? A) 200 B)165 C) 250 D) 150 E) 205 17. En una campaña salen de paseo el 30% de los hombres con el 20% de las mujeres si los hombres representan el 40% del total de los trabajadores de la empresa. ¿Qué porcentaje de empleados de dicha empresa salió de paseo? A) 40% B) 50% C) 28% D) 24% E) 35% 18. Se vende un artículo en S/. 80 ganando el 25% ¿cuál fue el precio de costo? A) 100 B) 80 C) 64 D) 60 E) 50

Un boxeador ha hecho 30 peleas; perdiendo 2 y empatando 1. ¿Cuántas peleas deben realizar adicionalmente (todas derrotas) para tener un 75% de peleas ganadas? A) 9 B) 4 C) 6 D) 10 E) 8

19. Tengo cierta cantidad de dinero. Si primero gaste el 25% y luego el 40% de lo quedaba. ¿Qué porcentaje de lo que tenía al inicio gaste en total? A) 54% B) 55% C) 65% D) 50% E) 45%

10. Una vendedora va al mercado a vender 4000 huevos, de estos se le malogra el 45%, luego vende el 25% de lo que le quedaba. ¿Cuántos huevos no se llegaron a vender? A) 3200 B) 2540 C) 1650 D) 3000 E) 3750

20. Si gastara el 30% del dinero que tengo y ganara el 28% de o que mes quedaría, perdería 156 dólares. ¿Cuántos dólares tengo? A) 1500 B) 2000 C) 6500 D) 1680 E) 1800

9.

11. Dos camisas son vendidas en S/. 60 cada una. En la primera se gana 25% y en la segunda se pierde el 25%. Entonces se puede afirmar que. A) Se gana S/. 8 B) Se gana S/. 6 C) Se pierde S/. 8 D) Se pierde S/. 6

21. A un trabajador le descontaron el 20% de su salario. ¿En qué % deben elevarle el nuevo sueldo para que vuelva a ganar como antes? A) 20% B) 25% C) 35% D) 35,5% E) 40% 88


ARITMÉTICA

22. El área de un rectángulo ha disminuido a un 60%, la altura se incrementó en un 20%. ¿En qué tanto por 600 se ha reducido la base? A) 500 B) 50 C) 200 D) 400 E) 300 23. Un basquetbolista debe lanzar 160 veces al cesto. Si ya ha convertido 40, ¿Cuántas más debe convertir para tener una eficiencia del 70%? A) 75 B) 60 C) 45 D) 72 E) 85 24. Al sueldo de Santiago se le hace un aumento del 20% al comenzar el año y en el mes de julio un aumento del 10% sobre el total. ¿Qué porcentaje del sueldo del año anterior estará recibiendo en agosto? A) 155% B) 138% C) 145% D) 132% E) 130% 25. El promedio a % de las operaciones que realiza un medio son satisfactorias. De las no satisfactorias el b% viven. De c pacientes que atendió, ¿cuantos viven a pesar de que la operación no fue satisfactoria? A) D)

(100 − a)bc 10000 (100 − a)bc 12000

B) E)

(100 − b)bc 11000 (100 − b)ac

C)

(100 − a)ac 10500

10000

26. En una fiesta el 40% son hombres y el resto mujeres. Después ingresan 70 hombres y salen 20 mujeres, entonces el número de hombres es el 60% del nuevo total, ¿Qué porcentaje del nuevo total de damas son las personas que ingresaron después? A) 80% B) 69% C) 55% D) 70% E) 72%

27. Juan tiene un casa que vale S/. 100 000 y se lo vende a Mateo con una ganancia del 10%. Mateo revende la casa a Juan con una pérdida del 10%, siendo así ¿Cuánto gana juan? A) s/. 11500 B) s/. 12500 C) s/. 11000 D) s/. 12000 E) s/. 14 200

UNSM-CPU-T

30. Lo que el dinero de “A” excede al “B” equivale al 20% del dinero de “C” y el exceso de “B” a “C” equivale al 10% del dinero de “A”. Si “A” tiene S/. 200. ¿Cuánto tiene “C” y “B” A) C=150, B=170 C) C=170, B=150 B) C=180, B=160 D) C=160, B=180 E) C=180, B=150

SEMANA 13 REGLA DE INTERÉS REGLA DE INTERÉS: Es el procedimiento de obtener ganancias o beneficios, originados por un bien capital en un determinado tiempo y condiciones. ELEMENTOS: CAPITAL (C): Se denomina capital a toda cantidad de dinero, bien material, servicio o esfuerzo humano que se va a prestar o alquilar para que luego de un tiempo produzca una ganancia. TIEMPO (t): Es el periodo durante el cual se va a ceder o imponer el capital. 1 mes comercial tiene 30 días 1 año comercial tiene 360 días INTERÉS O RENTA (I) Es la ganancia, beneficio o utilidad que produce el capital durante cierto tiempo y bajo ciertas condiciones. TASA DE INTERÉS(r%) También llamado rédito, es la ganancia que se obtienen por cada 100 unidades monetarias en un cierto tiempo, generalmente la unidad de tiempo convenida es un año. TIPOS DE INTERÉS: INTERÉS SIMPLE: Es cuando el capital permanece constante durante toda la operación comercial. Se acumula al capital, al final de todo el proceso de préstamo o alquiler. C .r .t I =

28. Un Ingeniero ha previsto un recubrimiento de losetas circulares para un piso rectangular. Si todas las losetas son iguales, ¿cuál es el máximo porcentaje de área del piso que puede ser cubierto con dichas losetas? A) 55.5% B) 78,5% C) 85.5% D) 71,5% E) 88% 29. Paolo y Luis hacen un trabajo juntos en 27 días. Paolo es 50% más eficiente que Luis, en que tiempo podrá realizar dicho trabajo Luis, si es 100% más eficiente que Paolo. A) 21,70 B) 23,30 C) 25,20 D) 31,5 E) 22,5

100

( t en años)

Las unidades de tasa y tiempo deben ser homogéneas. T en meses … divisor 1200 r anual t en días … divisor 36 000 r anual MONTO(M): Es la suma del capital más sus intereses, producidos en un determinado tiempo. M=C+I El monto producido a interés simple se puede calcular con la fórmula:  

M  C 1 

  100  r .t

89


ARITMÉTICA

A partir de la ecuación planteada, sólo resta remplazar los correspondientes datos según fórmula.  100  32t   100  24t  16 000   = 20 000    100   100 

INTERÉS COMPUESTO: Es cuando el interés se capitaliza, es decir, se suma al capital, en intervalos de tiempo especificados. Este procedimiento recibe el nombre de Proceso de Capitalización.

Luego de simplificar los denominadores y los capitales se tiene: 100 400 + 128 t = 500 + 120 t → t= = 12,5 8 años

M = C (1 + r%)n N: número de periodos de capitalización Nota: El periodo de capitalización determina las unidades de la tasa y el tiempo que se debe utilizar necesariamente.

PROBLEMAS RESUELTOS 1. ¿Qué capital produce mayor interés anual? I. S/. 18 000 al 6% trimestral II. S/. 24 000 al 9% semestral III. S/. 28 800 al 30% bianual A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) I y II E) Igual interés

3. ¿Cuál fue el capital que colocado al 120 % de interés anual y capitalizado trimestralmente, después de 9 meses se transformó en 10 985 soles? A) 2 500 B) 1 200 C) 5 000 D) 3 800 E) 3 750 Solución El término “capitalizado”, es el indicador de que el monto se calculó a interés compuesto y el período a tener en cuanta es trimestral. Los datos son los siguientes: C = ¿?

Solución Para poder comparar los intereses producidos hay que hallar dichos intereses; para ello se convertirán las unidades y utilizará adecuadamente la fórmula de interés.

R = 12% anual = 3% trimestral t = 9 meses → n = 3 M = 10 985 Reemplazando los datos en la fórmula: 3 30   10 985 = C 1   . Despejando C:  100  10985 C= = 5 000 2,197

T1 = t2 = t3 = 1 año C1 = S/. 18 000; r1 = 6% trimestral = 24% anual C2 = S/. 24 000; r2 = 9% semestral = 18% anual C3 = S/. 28 800; r3 = 30% bianual = 25% anual 18000.24 24000.18 → I1  = 4320; I 2  =4 100 100 320 28800.15 = 4 320 I3  100 Se observa que la alternativa correcta es E. 2. Una persona tiene S/. 16 000 que lo presta al 8% trimestral y otra tiene S/. 20 000 que presta al 8% cuatrimestral. ¿Dentro de cuántos años los montos serán iguales? A) 10,5 B) 11,5 C) 12,5 D) 18,5 E) 20 Solución Este problema presenta 2 situaciones que se relacionan entre sí al ser los montos iguales. Los respectivos datos son: C1 = S/:16 000 r1 = 8% trimestral = 32% anual C2 = 20 000 r2 = 8% cuatrimestral = 24% anual t = ¿? M1 = M2

UNSM-CPU-T


¿Qué interés produce un capital de S/. 3240 impuesto al 12% durante 5 años? A)1 944 B) 2 944 C) 3 944 D)4 944 E) 5 944

2.

¿Cuál es el capital que colocado al 7,5% semestral durante 8 meses produce S/. 24,3 de interés simple? A)640 B) 523 C) 486 D) 243 E) 260

3.

¿Cuál es el capital que ganó S/. 180 al ser prestado durante 8 meses al 2% cuatrimestral? A)3 500 B) 4 500 C) 2 000 D)3 400 E) 5 500 ¿A qué tanto por ciento habrá estado prestado un capital de S/. 1 200 para que origine un beneficio de S/. 240 en 20 meses? A)10% B)12% C)14% D)16% E) 20%

4.

5.

Un capital de S/. 2 700 se prestó durante 8 meses ganando S/. 288. ¿Cuál es el rédito trimestral? A)2% B) 3% C) 6% D) 4% E) 8% 90


7.

8.

9.

ARITMÉTICA

¿Qué interés producirá un capital de 5200 soles prestado al 7% cuatrimestral en 7 años y 5 meses? A)6 410 B) 8 099 C) 6 418 D)8 090 E) 8 089 Carla presta a Tomasa 10 000 soles, al cabo de 39 días, Tomasa devuelve 10 130 soles. ¿A cuánto se ha calculado el rédito? A)12% B) 8% C)9% D)45% E) 10% ¿Durante cuánto tiempo estuvo depositado un capital de 5% de interés anual, si los intereses producidos alcanzan al 60% del valor del capital? A)10 B) 11 C) 13 D) 12 E) 14 Un capital estuvo impuesto al 9% de interés anual. Si se obtuvo S/. 10 200 después de 4 años. ¿Cuál es el valor del capital? A)2 700 B) 7 200 C) 5 700 D)7 500 E) 2 500

10. ¿Cuál es la suma que al 5% de interés simple anual, se convierte al cabo de 3 años en S/. 3 174? A)7 260 B) 6 720 C) 2 670 D) 6 270 E) 2 760 11. Los 5/7 de una fortuna colocados al 3%, da anualmente 420 soles, más que el resto colocado al 4%. Determine cuál es la fortuna. A)42 000 B) 49 000 C) 56 000 D)35 000 E) 63 000 12. Se impone los 4/7 de un capital al 4% y el resto al 5% y resulta un interés anual de S/. 1 550. Luego la suma impuesta al 4% es: A)24 500 B) 25 000 C) 18 750 D)19 000 E) 20 000 13. La tercera parte de un capital se impone al 40% anual y el resto al 50%; si el interés producido por todo el capital es S/. 700 en 6 meses. Determine cuál es el capital. A)2 000 B) 3 000 C) 1 000 D)4 000 E) 5 000 14. ¿En cuánto se convertirá un capital de 6200 soles al colocarlo en un Banco que paga 5% trimestral en un período de 2 años y 6 meses. A)6 300 B) 6 000 C) 9 300 D)9 000 E) 8 400 15. ¿A qué tasa anual se ha prestado un capital para que en 45 días produzca un

UNSM-CPU-T interés que es igual al 6% del capital prestado. A)12% B) 45% C) 20%D) 24% E) 48%

16. Un capital impuesto durante un año al 3% produce $21 más que otro, impuesto 9 meses al 4%. ¿Cuál es la diferencia de dichos capitales? A)800 B)750 C) 900 D) 700 E) 1 000 17. ¿Qué interés produce $ 120 000 en 2 meses 10 días, al 16% cuatrimestral? A)12 000 B) 11 200 C) 10 000 D) 11 800 E) 13 500 18. ¿A qué porcentaje debe ser colocado un capital, para que en 3 años 4 meses produzca un interés equivalente a los 2/5 de la mitad del monto? A)30% B) 15% C)7,5% D)8% E)10%

19. ¿Qué capital es aquel, que colocado al 5% anual durante 10 meses, produce S/ 3 300 menos que si se impusiera al 5% mensual durante el mismo tiempo? A)7 000 B) 7 100 C) 7 200 D) 7 050 E) 7 250 20. ¿Cuánto tiempo debe ser prestado un capital al 20% para que se triplique? A)15 años B) 10 años C) 20 años D) 30 años E) 40 años 21. Se prestó un capital por 1 año y el monto fue de $ 5500. Si se hubiera prestado por 2 años, el monto sería de $ 6000. ¿Cuál fue la tasa? A)5% B) 20% C) 10% D) 25% E) 15% 22. Los 4/9 de un capital se imponen al 12%, la cuarta parte del resto al 18% y lo que queda al 20% de interés simple, obteniéndose así una renta anual de 64020. ¿Cuál fue el capital? A)396 000 B) 386 000 C) 379 000 D) 369 000 E) 368 000 23. Dos capitales que son entre sí como 4 a 5, se colocan a interés simple, uno al 50% y el otro al 20%. ¿Luego de qué tiempo, la relación de los montos es la inversa de la relación original de sus capitales? A)2 años B) 3 años C) 4 años D) 5 años E) 1 año 24. Dos personas tienen juntas $167 280. La primera impone su dinero al 4% durante 3 meses y recibe un interés doble del que 91


ARITMÉTICA

tendría la segunda imponiéndola al 5% durante 7 meses. Indique el capital menor. A)32 450 B) 24 480 C) 40 480 D) 36 480 E) 23 910 25. El 30% de un capital se impone al 3% anual, el 25% al 4% anual y un 35% al 6% anual. ¿A qué porcentaje se deberá imponer el resto, para obtener en un año un monto igual al 105% del capital? A)12% B) 8% C) 10% D) 14% E) 9% 26. Se impone un capital al 6%, después de 4 años y 3 meses se retira el capital más los intereses y se impone todo al 8%. ¿Cuál era el capital inicial si ahora se recibe como renta anual $200,80? A)2 000 B) 2 500 C) 3 000 D) 1 000 E) 1 800

UNSM-CPU-T

DESCUENTO Se llama descuento al interés que ganan las instituciones de crédito sobre una letra que se desea hacer efectiva antes de su vencimiento. ELEMENTOS QUE INTERVIENEN EN EL DESCUENTO 1.Valor Nominal(Vn). Se denomina así a la cantidad de dinero que está escrito en el documento. 2.Valor Actual(V a). Es la cantidad de dinero que entregan al hacer efectivo la letra. V a = Vn – D Donde: D= descuento CLASES DE DESCUENTO 1. Descuento Comercial o Exterior, llamado también descuento abusivo

27. Un capital se impone a determinada tasa de interés y en 6 meses produce un interés que es el 20% del monto producido. ¿Durante cuánto tiempo debe prestarse dicho capital para que a la misma tasa produzca un interés que es igual al 60% del monto? A)5 años B) 4 años C) 3 años D) 7 años E) 9 años

Donde: Dc: descuento comercial

Dc 

Vn .t.r 100

Vn: Valor Nominal t=Tiempo r= rédito o tasa porcentual (%)

28. Se tienen 2 capitales tales que los ¾ del primero igualan a los 4/5 del segundo. Si colocasen al 9% trimestral durante 4 meses los 2/3 del primero y la mitad del segundo, se obtendría $ 11 336 como renta. Hállese el capital menor. A)68 000 B) 76 200 C) 80 200 D) 78 000 E) 81 400 29. Un empresario coloca su capital de $ 10 000 al 2% mensual. ¿Qué interés genera su dinero al cabo de 1 año si se capitaliza semestralmente? A)12 544 B) 10 900 C) 5 630 D) 3 280 E) 2 544

Dc 

Va Valor actual 2. Descuento racional o interior (matemático)

Dr  

SEMANA 14 REGLA DE DESCUENTO

Va .t.r 100

Cálculo del valor nominal en función del valor actual.

Vn  

30. Una familia desea comprarse un terreno que vale $ 4 840; como solo tiene $ 4 000, colocará su dinero en una entidad financiera al 20% anual capitalizable semestralmente para obtener el faltante. ¿Cuánto tiempo deberá esperar? A)2 años B) 3 mese C) 18 meses D) 1 año E) 3 años

Va .t.r 100  t.r

Va .100 100  t.r

Calculo del descuento racional en función del valor nominal. V .t.r Dr  n 100  t.r

PROPIEDADES DE LOS DESCUENTOS 1. Dc  Dr 2. Dc  Dr  Dr .t.r 100 3. Dc  Dr  Var  Vac

92

DÉCIMO NOVENA EDICIÓN 4. Vn =

ARITMÉTICA

Dc.Dr Dc  Dr

UNSM-CPU-T

75 =

8000.40+7000𝑡2 +5000.110 8000+7000+5000

1500 = 870 + 7t2

VENCIMIENTO COMÚN: (V.C) Es una operación comercial que consiste en realizar un pago único por dos o más letras de cambio que tienen diferentes vencimientos.

630 = t2 7

→ t2= 90 días

PROBLEMAS PROPUESTOS Vn .t  Vn 2 .t 2  ....  Vn n.t n V .C  X  1 1 Vn1  Vn 2  ....  Vn n

1.

¿A cuánto asciende el descuento de una letra de S/. 2 500 que ha sido descontada comercialmente 10 meses antes de su vencimiento al 3%? A)65 B) 75 C) 125 D) 62,5 E) 750

2.

Un pagaré de 12 000 soles se ha descontado comercialmente al 9% anual, obteniéndose 11 865 soles. ¿Dentro de qué tiempo vencía el pagaré? A)30 días B) 27 días C) 45 días D)35 días E) 40 días

3.

Una letra por 225 dólares ha sido descontada al 8% anual, obteniéndose 217,5 dólares. ¿Dentro de qué tiempo vencía la letra? A) 5 m B) 4,8 m C) 5,4 m D) 5,2 m E) 4,6 m

4.

Determine el valor actual de una letra de S/. 8 000 descontada al 11% faltando 72 días para su vencimiento? A)7 800 B) 7 824 C) 7 024 D) 7 482 E) 7 284

5.

Dos letras de 6 000 soles cada una, con vencimiento a 30 y 60 días respectivamente, son descontadas al 10% y 12%. Determine el valor neto total a recibir. A)11000 B) 11 380 C) 11 038 D)11 803 E) 11 830

6.

¿Qué tiempo falta para el vencimiento de una letra de S/. 30 000, si se ha recibido S/. 29 500 después de haberla descontado al 8%? A)70 d B) 75 d C) 65 d D) 80 d E) 78 d

7.

Se tiene 3 letras de 200; 400 y 500 soles, que vencen dentro de 20; 10 y 72 días respectivamente. Se quiere cambiar las letras por una sola. ¿A cuántos días se debe girar dicha letra? A)60 B) 50 C) 40 D) 20 E) 30

8.

Iván tiene 3 letras de 400; 600 y 900 soles que vencían dentro de 30 y 60 días 93

PROBLEMAS RESUELTOS 1. ¿Cuántos días antes de su vencimiento debe ser descontada una letra para que su valor actual sea los 23/24 de su valor nominal, si la tasa descontable es del 15%? A)80 B)90 C)40 D)100 E)120 Solución 𝑉𝑎 𝑉𝑛

=

𝑉𝑎 = 23𝐾 𝑉𝑛 = 24𝐾

23 24

Dc = 24K – 23K = K Dc = K=

𝑉𝑛 𝑥 𝑟𝑥 𝑇 36000

4𝐾 .15.𝑡 36000

𝑡 = 100 𝑑í𝑎𝑠

2. En una letra el descuento externo es el 50% del valor actual comercial ¿Qué porcentaje del valor nominal es el descuento matemático? A)25 B)15 C)35 D)42 E)45 Solución

1 Dc 50 = = Dc = k; 2 Vac 100

Vac = 2k

Vn = 3k Vn =

3K =

Dc.Dc Dc  Dr k k  Dr

3K = 4Dr =

→

3k2 – 3kDr = kDr

Vn . 100 = Dr = 25% 4

3. Un comerciante tiene3 letras para cancelar la 1ra por S/. 8000 dentro de 40 días, la segunda por S/. 7000 y la tercera por S/. 5000 dentro de 3 meses 30 días. Se decide cambiar esas 3 letras por una sola (de tal forma que no se perjudique él ni su acreedor), para cancelar dentro de 75 días. Calcular dentro de cuánto tiempo se debió cancelar la segunda letra. A) 70 B)80 C)100 D)90 E)105 Solución


ARITMÉTICA

respectivamente. Él cambió las tres letras por una sola, que se giró a 57 días. ¿En cuántos días debería pagar la tercera? A)54 B) 87C) 40 D) 62 E) 48 9.

Una letra de S/. 50 000 ha sido descontada racionalmente 5 meses antes de su vencimiento, al 10%. ¿Cuál es su descuento racional? A)4 000 B) 2 500 C) 2 000 D)3 000 E) 1 250

10. Una letra de S/. 57 000 que vence dentro de 4 meses, es descontada al 20% trimestral. Determinar la suma de los descuentos comercial y racional. A)15 200 B) 12 000 C) 4 000 D)24 300 E) 27 200 11. Se negocia un pagaré 60 días antes del vencimiento; si el descuento fue del 5% del valor nominal del pagaré. ¿Qué tasa de descuento comercial anual pagó? A)45% B) 30% C) 15% D)10% E) 20% 12. El valor actual comercial de una letra es S/. 5 700 y el descuento comercial es de 5% del valor nominal. ¿Cuál es el valor nominal de la letra? A)5 400 B) 5 800 C) 6 000 D)5 160 E) 6 080 13. Se tiene una letra de S/. 1 990 a pagar dentro de 90 días al 6%. Si dicha letra se cambia por otra de S/. 1 970, empleando la misma tasa de descuento, determinar cuál es el tiempo de vencimiento de la segunda letra. A)1 m B) 2 m C) 3 m D) 4 m E) 5 m 14. El valor actual comercial de una letra es 24 veces el descuento comercial de la misma. Si faltan 2 meses para su vencimiento. ¿A qué tasa bimestral se descontó? A)3% B) 6% C) 7% D) 4% E) 8% 15. Calcular el valor nominal de una letra que descontada por 4 meses al 5% da una diferencia de 2 soles entre los descuentos comercial y racional. A)7 320 B) 3 230 C) 1 950 D)4 025 E) 7 280 16. Se tiene una letra de S/. 45 000 girada el 14 de setiembre al 4% anual. ¿En qué fecha vencerá el documento si al cobrarla el 6 de octubre sufrió un descuento de S/. 210? A)17 de Nov B) 01 de Nov

UNSM-CPU-T C) 18 de Oct E) 24 de Dic.

D) 26 de Oct.

17. El valor actual de una letra hace 3 meses fue $ 3 700 y hace 40 días fue $ 3 775. ¿Cuál es ahora su valor actual? A)3 808 B) 3 810 C) 3 820 D) 3 835 E) 3 800 18. Por una letra de $9 000 se ha pagado $ 8635, sabiendo que faltaban 73 días para su vencimiento. Calcular la tasa descontable. A)20% B) 18% C) 15% D) 22%E)25% 19. ¿Cuál es el valor actual de una letra de cambio de $72 000 pagadera el 12 de setiembre y que fue descontada el 20 de junio del mismo año al 12%. El banco cobró el 1% de comisión y el 2,5% por cambio de plaza. (Los descuentos adicionales se realizan sobre el valor nominal.) A)66 824 B) 64 000 C) 67 464 D) 66 000 E) 65 000 20. Si el descuento comercial de una letra es $1 600 y su descuento racional es $ 1 200. ¿Cuál es el valor nominal de la letra? A)2 000 B) 2 400 C) 3 000 D) 4 800 E) 5 000 21. Después de haberse comprometido a pagar una deuda de $75 200 en partes iguales: la mitad a los 90 días y la otra a 60 días después de efectuar el primer pago; esta persona se decide cancelar la misma deuda con un descuento anual del 12%. ¿Cuánto tiene que pagar al contado? A)71 080 B) 70 080 C) 72 082 D) 72 192 E) 72 292 22. Dos pagarés por igual suma que vencen dentro de 30 y 60 días respectivamente, son descontados hoy al 12%. ¿Cuál es el valor nominal de dichas letras si en total se recibe por ellas 10 638? A)5 300 B) 5 600 C) 6 000 D) 6 500 E) 5 400 23. El valor actual comercial de una letra es $5 700 y el descuento comercial es el 5% del valor nominal. ¿Cuál es el valor nominal de la letra? A)30 000 B) 6 000 C) 6 300 D) 5 000 E) 6 350 24. La diferencia entre el descuento comercial y el descuento racional al 5% que sufrirá una letra pagadera a los 10 meses, es

94


ARITMÉTICA

S/.5. Determinar el valor nominal de dicha letra. A)9 840 B) 3 000 C) 30 000 D) 1 500 E) 1 200 25. Se tienen 2 letras de 140 000 y 132 000 soles, que vencen el mismo día. Al ser descontada la primera al 60% anual y la segunda al 50%, recibe 6 200 más por la primera. ¿Dentro de cuántos días vencen las letras? A)12 B) 24 C) 25 D) 36 E) 10 26. A cambio de una letra que vencía dentro de 3 meses, un acreedor recibió otra letra de S/. 1 440 pagadera a los 5 meses. ¿Cuál era el valor nominal de la primera si la tasa de descuento es del 5%? A)1 430 B)1 428 C)1 426 D)1 424 E)1 422 27. Faltan 2 meses para el vencimiento de una letra y su valor actual es $4 200. Dentro de 15 días el descuento sería de $24. ¿Cuál es el valor nominal de dicha letra? A)4 332 B) 4 245 C) 4 240 D) 4 232 E) 4 400 28. Los valores nominales de 3 letras son proporcionales a 2, 3 y 5. La primera vence a los 20 días, la segunda a los 30 días y la tercera a los 40 días. Se descuentan comercialmente al 12% y resulta como valor efectivo de la última letra $ 4 440. Hallar el valor efectivo de la segunda letra. A)2 473 B) 2 673 C) 2 763 D) 6 573 E) 6 523 29. Un comerciante tiene tres letras por cancelar, la primera por S/. 8 000 dentro de 40 días, la segunda por S/. 7 000 y la tercera por S/. 5 000 dentro de 3 meses 10 días. Se decide cambiar las letras por una sola cuyo valor nominal sea S/. 20 000 y firmada para cancelar dentro de 60 días. ¿Dentro de cuánto tiempo vencía la segunda letra? A)90 días B) 98 días C) 60 días D) 65 días E) 80 días

UNSM-CPU-T

SEMANA 15 MEZCLA, ALEACIÓN MEZCLA. Se llama así a la unión de dos o más ingredientes quienes conservan sus propiedades particulares; los fines son comerciales (mejorar la calidad) y obtener un precio óptimo. Precio Medio: Se le llama también precio óptimo, quien hace posible que no haya ganancia ni pérdida en una mezcla. El precio medio es el costo de una unidad demediada de la mezcla Sean “n” componentes de una mezcla: C1, C2, …, Cn y sus respectivos precios: P1, P2, …, Pn, entonces el precio medio es: Pm =

C P  C 2P2  ...  CnPn Costo total = 1 1 C1  C 2  ...  Cn Cantidadtotal

Mezclas Alcohólicas: Cuando se tiene como sustancias componentes al alcohol y agua generalmente

Grado de pureza de alcohol: Grado =

( Volumenalcoholpuro).100º Volumentotal

ALEACIONES Es la mezcla de dos o más metales mediante el proceso de fundición. En las aleaciones por convencionalismo los metales se clasifican en: Finos: Oro, Plata, platino Ordinarios: Cobre, hierro, zinc. Ley de una aleación: L =

WF WF = WF  WO WT

Donde: W F: peso del metal fino W O: peso del metal ordinario W T: peso total de la aleación 0L1 Generalmente la ley de una aleación se representa en milésimos. Liga de una aleación: l =

WO WO = WF  WO WT

Donde: 0  l  1 L+l=1 Ley Media:

30. Un comerciante debe 2 letras cuyos valores actuales son 1 400 y 1 420 dólares respectivamente, si la primera vence a los 40 días y la segunda a los 20 días y se desea cambiarlas por una sola letra cuyo valor nominal sea la suma de los valores nominales de las anteriores. ¿A los cuántos días vence esta letra si la tasa de descuento es del 25%? A)45 días B) 25 días C) 30 días D) 20 días E) 12 días.

Sean “n” componentes de una aleación con pesos: W1, W 2, …, Wn y sus respectivas leyes: L1, L2, …, Ln, entonces la ley media es: Lm =

W1L1  W2L 2  ...  WnL n W1  W2  ...  Wn

Ley de Oro: En el caso de oro su ley se puede expresar también en quilates:

95

DÉCIMO NOVENA EDICIÓN  

ARITMÉTICA

Al oro puro se le asigna una ley de 24 quilates La ley del oro en quilates de un metal está dado por: K ; 24

L=

K = # de quilates


¿Cuál deberá ser la pureza del alcohol que deberá añadirse a 80 litros de alcohol del 96% de pureza para obtener un hectolitro de alcohol de 90% de pureza? A) 60% B) 64% C) 66% D) 70% E) 80% Solución Litros 20 80 90 =

2.

% x 96 20x  80(96)  x = 66% 100

Se mezclan 30 kg de café de S/. 39 el kg con 48 y 52 kg de S/. 26 y S/. 13 por kilo respectivamente. ¿A cómo debe venderse cada kilo de la mezcla si se debe ganar el 10%? A) 26,1 B) 26,18 C) 27 D) 27,14 E) 17,24 Solución Pm =

30(39)  48(26)  52(13) = 23,8 130

Luego: Pv = 110%Pm = 110%(23,8) = 26,18 3.

¿Qué cantidad de cobre habrá que mezclar a una barra de plata de 44 kilogramos y ley 0,920 para que éste baje a 0,880? A) 2 B) 4 C) 22 D) 44 E) 10 Solución Kilogramos Ley 44 0,920 X 0 0,880 =

44(0,920)  x(0) x=2 44  x

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. ¿Qué cantidades de café de S/. 50 el kg y S/. 40 el kg harán falta para formar una mezcla de 30 kg de café que se pueda vender a S/. 42 el kg sin ganar ni perder? A) 8 y 22 B) 6 y 24 C) 9 y 21 D) 10 y 20 E) 18 y 12 2. Deseando formar una mezcla alcohólica de 70° con dos alcoholes cuyos grados son 80 y 55. ¿Cuántos litros del segundo

UNSM-CPU-T deberán añadirse en los 180 litros del primero? A)120 B) 140 C) 150 D) 100 E) 90

3. En una mezcla los ingredientes cuestan 1; 2 y 3 soles el litro. Si las cantidades que se emplean de los dos primeros son como 12 es a 5 y el precio medio es de S/. 2,50, entonces la cantidad que se utilizó del tercero es como: A)35 B) 40 C) 41 D) 45 E) 51 4. Se mezclan 40 litros de alcohol de 80° con 20 litros de alcohol de 60° y para que la mezcla resulte de 40° se agrega cierta cantidad de agua. ¿Cuántos litros de agua se agregó? A)50 B) 60 C) 70 D) 80 E) 90 5. Se ha mezclado 60 kg de una sustancia “A” de S/. 50 el kg con otra sustancia “B” cuyo peso representa el 25% del peso total y ha obtenido como precio medio S/. 47,50. ¿Cuál es el precio del kg de la sustancia “B”? A)12,5 B) 15 C) 8,5 D) 10 E) 27,5

6. Se tienen 2 barras de oro, en la primera el 80% del peso total es oro, en la segunda, cuyo peso es el doble del anterior, el 75% del peso total es oro; si se mezclan ambas barras, ¿de cuántos quilates resulta la aleación? A)24 B) 22 C) 59 D) 18,4 E) 16,5 7. Se mezclan 45 l de vino de S/. 40 el litro, con vino de S/. 24 y con otro de S/. 36, resultando un precio medio de S/. 34, sabiendo que por cada 5 l del segundo hay 7 l del tercero. Hallar la cantidad total de la mezcla. A)120 B) 135 C) 80 D) 210 E) 270 8. Una aleación de plata y cobre tiene una ley 0,920 y un peso de 120 gramos y se ha obtenido fundiendo dos lingotes, uno de los cuales pesa 60 gramos y es plata pura. Halle la ley del segundo lingote. A) 0,342 B) 0,862 C) 0,870 D) 0,840 E) 0,900 9. Se funden dos metales en la proporción de 2 a 5. El primero cuesta S/. 7,50 el gramo y el segundo cuesta S/. 11,50 el gramo. En la fusión hubo un 3% de merma. ¿A cuánto se vendió 60 gramos de esta aleación, si la ganancia fue del 25%? A)800,6 B) 800,8 C) 802 96

DÉCIMO NOVENA EDICIÓN D) 803

ARITMÉTICA

E) 804

10. Un comerciante mezcla dos clases de café, una le cuesta S/. 180 el kg y la otra S/. 240 el kg; vende 60 kg de esta mezcla en S/. 14 448 y gana el 12% del precio de la compra. ¿Qué cantidad de café interviene de cada clase en los 60 kg? A)25 y 35 B) 15 y 45 C) 18 y 42 D) 20 y 40 E) 22 y 38 11. Se mezcla 15 kg de café crudo de S/. 20 el kg con 35 kg de S/. 24 el kg y 30 kg de S/. 19 el kg. Si al ser tostado, el café pierde el 5% de su peso. ¿A cómo se debe vender el kg de café tostado para ganar el 20%? A)27 B) 26 C) 27,50 D) 28 D) 29 12. Se mezcla el vino que contienen 3 pipas, cuyo contenido está en la proporción de 4; 5 y 6. Al vender la mezcla de 37 520 soles se obtiene una ganancia de 536 soles por hectolitro y un beneficio total del 12% sobre el precio de compra. ¿Cuál es el contenido de la segunda pipa de vino? A)250 B) 230 C) 280 D) 200 E) 300 13. Calcular el peso de un litro de mezcla conteniendo 40% de agua y 60% de alcohol, sabiendo que un litro de agua pesa un kilogramo y un litro de mezcla de alcohol de 75° pesa 960 gramos. A)956 B) 960 C) 968 D) 988 E) 1008,5 14. Se quiere obtener 100 litros de alcohol de 74° mezclando 30 litros de alcohol de 80° con cantidades convenientes del alcohol puro y agua, pero por error, estas cantidades se intercambiaron. ¿Cuál fue el grado de la mezcla resultante? A)44° B) 48° C) 60° D) 64° E) 52° 15. ¿Cuál es la ley de aleación del que está hecho un plato cuyo peso es 500 gramos, si se ha vendido en 770 soles, al precio de 2 200 soles por kg de plata pura? A) 0,700 B) 0,770 C) 0,847 D) 0,571 E) 0,650 16. En una mezcla los ingredientes cuestan 10; 20 y 29 soles por litro. Si las cantidades que se emplean de los 2 primeros son como 12 es a 5 y el precio medio es S/.25 , la cantidad del tercero es como: A)44,0 B)49,5 C)51,25 D)50,5 E)48,3 17. Se desea preparar 44 litros de vino cuyo precio sea S/.35 del litro, mezclando vino de S/.40 y S/.29 el litro. ¿Qué volúmenes

UNSM-CPU-T de vino de estos tipos se utilizarán respectivamente? A) 30 y 14 B) 22 y 22 C) 20 y 24 D) 24 y 20 E) 14 y 30

18. Un vendedor de lubricantes tiene el siguiente catálogo: Tipo Precio i. “Dorado” $ 350 ii. “Superior” $ 275 iii. “Motor” $ 250 Al habérsele agotado el aceite del tipo “Superior”, el vendedor se ve en la necesidad de mezclar aceites de los otros tipos. Si tiene 50 galones del tipo Dorado y 80 del tipo motor. ¿Cuál es el número entero de galones del tipo “Dorado” que puede mezclar con el máximo número exacto de galones del tipo motor?. A) 25 B) 26 C) 27 D) 28 E) 29 19. Un comerciante adquirió 400 kg y 600 kg de café crudo a S/.12 y S/.15 el kilogramo respectivamente. Si el café pierde el 20% de su peso al ser tostado, ¿cuál será el precio del kilogramo de café tostado si se desea ganar el 25% de lo que invirtió? A)17,25 B)20 C)21,56 D)13,80 E)16,50 20. Se mezcla leche de $40 el litro con leche de $48 el litro. Se vendió ganando el 20%, obteniéndose $2 592 en 50 litros de mezcla. ¿Cuántos litros menos de leche más cara que de leche más barata se utilizó en la mezcla? A) 30 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25 21. Se mezcla 2 tipos de vino en volúmenes que sean como 3 es a 2 y luego se vende con 20% de ganancia. Se obtendría lo mismo al mezclarlos en proporción de 2 a 3 y venderlo con 30% de ganancia Hallar la relación de los precios de las dos clases de vino. A) 3 a 2 B) 3 a 4 C) 5 a 4 D) 2 a 1 E) 13 a 12 22. Al mezclar alcohol de 75º con alcohol de 59º, se obtiene alcohol de 69º; si se hubiera tomado 11 litros más del 1º y mezclado con 45 litros más del 2º, se obtendría alcohol de 63º. Calcule la diferencia de volumen de los alcoholes de la 2ª mezcla. A) 20 B) 28 C) 32 D) 56 E) 40 23. Un comerciante tiene dos mezclas alcohólicas al 55% y 90%; de la primera toma 30% y lo mezcla con 25% del otro, obteniendo alcohol de 70%. ¿Cuál será la pureza del alcohol que resulte al mezclar los contenidos restantes? 97

DÉCIMO NOVENA EDICIÓN A)55% D) 75,35%

ARITMÉTICA

B) 70,2 C) 72,18% E) 77,1%

24. Habiendo agregado 30 gramos de oro puro a una aleación de oro de 18 quilates que pesa 30 gramos. ¿Qué ley de oro se obtendrá, expresada en quilates? A) 23 B) 21 C) 19 D) 20,6 E) 24 25. Si se funde 50 gramos de oro con 450 gramos de una aleación de oro, la ley de la aleación aumenta en 0,020. ¿Cuál es la ley de la aleación primitiva? A) 0,900 B) 0,850 C) 0,800 D) 0,750 E) 0,700 26. Se quiere obtener oro de 18 quilates y para ello se dispone de oro de 14 K; 16K y 22 K. ¿Qué cantidad de cada uno de éstos será necesario? A) 1-1-3 B) 2-2-5 C) 3-3-1 D) 2-2-3 E) 2-3-4 27. Se tiene dos lingotes de plata, uno de ley 0,800 y otro de 0,900. ¿Cuántos gramos se ha de tomar de cada uno para formar un lingote de 1250 gramos de ley 0,840? A) 450-800 B) 850-400 C) 750-500 D) 550-700 E) 900-350 28. Se sabe que un gramo de oro cuesta S/.500 y el cobre S/.40, si una sortija de 16 gramos cuesta S/. 4780, hallar de cuántos quilates es dicha joya. A)13,5K B)18K C)15K D)16,5K E)16K 29. Un joyero tiene dos lingotes de oro y cobre. El 1º contiene 270 g de oro y 30 g de cobre y el 2º contiene 200 g de oro y 50 g de cobre. ¿Cuántos gramos de cada uno se debe fundir para obtener una sortija de 21 K que pese 12 g? A) 9 y 3 B) 4 y 8 C) 5 y 7 D) 3 y 9 E) 7 y 5 30. ¿De cuántos quilates es una sortija de oro y cobre que pesa 20 g y sumergida en agua destilada pesa 18,75 g? (Pe Au: 19; Pe Cu: 9) A) 20 B) 18,40 C) 19,95 D) 17,31 E) 14

UNSM-CPU-T Medidas de volumen 1metro cúbico =1 1decimet. cúbico=10-3 1centimetro cúbico=10-6 1milímet. cubico=10-9

Medidas de capacidad 1mililitro(ml)10-3 1centilitri(cl)10-2 1decilitro(dl)10-1 1 litro(l) 1 1 decalitro(dl)10 1 hectolitro(dl)100 1kilolitro(kl)1000 1mirialitro(ml)10000

CLASES DE MEDIDAS SISTEMA MÉTRICO DECIMAL  Medidas de longitud: - Medida de longitud el metro (m) - Medida de superficie el metro cuadrado (m2). Si se aplican la medición de tierras, se llaman medidas agrarias, la unidad de medida es el área(a), submúltiplo la centiárea (ca).  Unidad de volumen: La unidad de esta medida es el metro cúbico (m3) estas aumentan de nivel de mil en mil. Para medida de capacidad tenemos el litro que es igual a un dm 3. Múltiplos y sub múltiplos en las medidas de longitud. Sub múltiplo del “m” Decímetro (d)10-1 Centímetro (c) 10-2 Milímetros(mm)10-3 Decimilímetro(dmm)10-4 Centimilimetro(cmm)10-5 Micrometro(u)10-6 Nanómetro(n)10-9 Picómetro(p)10-12 Fentometro(f)10-15 Attometro(a) 10-18

Múltiplos del “m” Decámetro(D)101 Hectómetro(H)102 Kilómetro(K)103 Miriámetro(M)104 Hectokilom.(HK)105 Megametro(M)106 Gigametro(G)109 Terametro(T)1012

Múltiplos y sub múltiplos en las medidas de Volumen y Capacidad:

Medidas de volumen

Medidas de capacidad

1metro cúbico =1 1decímet. cúbico=10-3 1centímetro cúbico=10-6 1milímet. cubico=10-9

1mililitro(ml)10-3 1centilitri(cl)10-2 1decilitro(dl)10-1 1 litro(l) 1 1 decalitro(dl)10 1 hectolitro(dl)100 1kilolitro(kl)1000 1mirialitro(ml)10000

SEMANA 16 SISTEMAS DE MEDIDA ____________________________________

MEDICIÓN:

MEDIDAS DE PESO:

Consiste en comparar cada una de las cantidades con otra cantidad de la misma magnitud elegida como unidad de medida.

La unidad de estas medidas es el gramo (g) igual a un cm 3 de agua destilada a 4Cº. Se llama kilogramo al peso de la masa de un dm 3 de agua destilada. 98


ARITMÉTICA 6

UNSM-CPU-T A) 01h07min B)01h12min C)01h17min 3 D) 01h08min E) 01h06min 52 𝑠𝑒𝑔.

3

1 Tonelada métrica = 10 g = 10 kg 1 quintal métrico =105g= 100 kg 1 Miriagramo=104g 1 kilogramo =103g

5

Solución Dividimos la diferencia de longitud entre 15.

SISTEMA INGLES DE MEDIDAS:

43’

16º 1º

103’ 13

LONGITUD 1 yarda imperial = 3 pies = 0,914 m 1 m = 1,094 yardas 1 pie =12 pulgadas = 30,48 cm=0.3048m 1 pulgada = 2.54 cm 1 milla terrestre = 1609 m

MEDIDAS DE PESO 1 Grano = 0, 0648 gramos 1 gramo= 15,435 granos 1 libra = 16 onzas = 453,529 gramos 1 onza = 28,35 gramos 1 dracma =1,769 gramos 1 kilogramo = 2,2 libras VELOCIDAD

780

15 3 5

01h06’52 𝑠𝑒𝑔

9” 3. La longitud de “A” es 127º16’15” W. ¿Qué hora es en “A”, cuando es medio día en Greenwich? A)08h07’ B)08h12’ C)08h29’05” D)08h32’05” E)08h35’15”

SUPERFICIE 1 yarda cuadrada = 0,83616 m 2 1 pie cuadrado = 0,09290m 1 pulgada cuadrada = 0, 0006452m 1 vara =0,836m VOLUMEN 1 yarda cúbico = 0,764559 m 3 1 pie cúbico = 0,028317 cm 3 1 pulgada cúbica=0,00001638 cm 3 1 galón inglés =1,2 galones americanos 1 galón ingles = 4, 546 litros 1 galón (EEUU)= 3,785

9” 60 789 39

Solución Como en Greenwich es 0º diferencia de longitud es: 127º16’15” y luego se divide entre 15.

127º 7º

16’ 436’ 1’

15” 420

15 8h29’05”

60 75” 0


¿Cuántos metros de longitud tiene aproximadamente un listón de madera de 10 pies? A)6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2

2.

¿Cuántas varillas de 28 cm de longitud se pueden sacar de una vara de madera de 5m 6dm? A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) 20

3.

¿Cuántos litros de agua contiene lleno un tanque de 80cm, 60cm, 50cm.? A) 120 B) 160 C) 240 D) 180 E)140

4.

¿Cuántos litros de capacidad tiene una cisterna de 5 000 galones? A)3 795 B) 9 225 C) 10 420 D) 15 600 E) 18 925

5.

¿Cuánto de altura mínima podría tener un tanque cuya base mide 2 m 2, para contener 6 000 litros de agua? A)1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

6.

Una pieza de tela de 3 yardas ¿cuántos metros tiene? A)3 B) 2,742 C) 2, 9 D) 3,120 E) 3,187

7.

Un lingote de oro pesa 5 libras. ¿Cuál es su peso en gramos?

1 nudo = 1 852 m/s = 30,8 6 m/min PROBLEMAS RESUELTOS 1. Hallar la diferencia de longitud entre dos ciudades cuya diferencia de horas es 1 hora 20 minutos 7 segundos. A) 20º B)20º04’ C)20º03’05” D) 20º01’45” E) 20º02’54” Solución No hay más que multiplicar la diferencia de tiempo por 15. 1 hora 20 min. 7 seg x 15 15º 300’ 105” Reduciendo: 20º01’45”//

2. Hallar la diferencia de tiempo entre dos ciudades cuya diferencia de longitud es 16º43’09”.

99

DÉCIMO NOVENA EDICIÓN A)2 100,5 D) 2 511,1

B) 2 267,6 E) 2 612,2

ARITMÉTICA C) 2 345,0

8.

¿Cuál es la diferencia de longitudes entre las ciudades A y B situadas a 30°35’E y 70°20’E? A)20°15’ B) 29° 45’ C) 39°45’ D) 40° 55’ E) 49° 35’

9.

¿Cuál es la diferencia de longitudes entre 2 ciudades M y N situadas a 15°45’45’’E y 83°40’30’’W? A)67°55’30’’ B) 70°20’35’’ C) 98°15’ D) 99°26’15’’ E) 100° 86’15’’

10. Hallar la diferencia horaria entre dos ciudades cuya diferencia de longitudes es 110°25’ A) 6h 20 min 10s B) 6h 35 min C) 7h 21 min D) 7h 25 min 10s E) 8h 35 min 10s 11. ¿Cuál es la diferencia de longitudes de 2 ciudades cuya diferencia horaria es 8h 20min 15s? A) 125°3’ 45’’ B) 100°20’180’’ C) 120°20’45’ D) 130°3’45’’ E) 80°300’45’’ 12. ¿Qué hora es en Lima (77° 20’ W) cuando en París (02° 20’ E) son las 4 p.m.? A) 13h 41 min B) 5 h 18 min C) 10 h 41 min D) 11 h 18 min E) 12 h 41 min 13. ¿Qué hora es en Berlín (13° 25’ E) si en Buenos Aires (58° 22’W) son las 2 p.m.? A) 18 h 47 min B) 5 h 18 min C) 11 h 47 min C) 10 h 41 min E) 7 h 18 min 14. Las longitudes geográficas de P y Q son 48°25’33’’W y 12°05’12’’E respectivamente. ¿Qué hora es en P cuando en Q son las 5 p.m.? A) 11 h 57 min 57s B) 12 h 58 min 57s C) 12 h 57 min 58s D) 12 h 57 min 57s E) 12 h 58 min 58 s 15. Un pasajero parte de A a las 5 h 20 min a.m. y llega a B después de 2 h 25 min de recorrido, ¿Qué hora es en B en el momento de la llegada, Si B está a 12º29’W y A está a 12º25’E? A) 7 h 28 min 40s B) 7 h 16 min 40 s C) 6 h 05 min 21 s D) 6 h 03 min 20 s E) 6 h 26 min 40 s 16. Dos ciudades A y B están en hemisferios opuestos de tal manera que sus longitudes geográficas están en la relación de 4 a 7. Si cuando en A son las 5h, en B son las 10h 30 min. ¿Cuál es la longitud de B? A)50° 37’ B) 54° 27’ C) 62° 20’ D) 52° 30’ E) 49° 52’ 17. Una ciudad A, que tiene menos horas que otra B cuya longitud es 80°W, tiene una

UNSM-CPU-T

diferencia horaria de 3 h 20 min. Hallar la longitud de A A)130° W B) 80° W C) 45° W D) 30° W E) 50° W 18. Cuantos días hay desde el 25 de febrero de 1898 hasta el 15 de marzo de 1926(contando inclusive los extremos) A) 10,345 días B) 10,245 días C) 10,145 días D) 10,452 días E) 10,524 días

19. ¿Si contamos 5163 días a partir de las 12 horas del día 13 de febrero de 1954, el último día terminara a las 12 horas de un día? A) 12 h del 3 de marzo de 1968. B) 12 h del 3 de marzo de 1967. C) 12 h del 3 de marzo de 1969. D) 12 h del 3 de marzo de 1966 E) 12 h del 3 de marzo de 1970 20. Ciento quince acres ¿a cuántos km cuadrados equivale? A) 0,405 km2 B) 0,460 km2 C) 0,445 km2 D) 0,456 km2 E) 0,465 km2 21. Un bloque de madera pesa 60 libras, hallar su volumen expresado en pies cuadrados si el peso específico de la madera es de 120 lb/pie3. A) 4 B) 3 C) 6 D) 7 E) 5 22. Un barco recorre cierta distancia a una velocidad de 231.5 metros/minuto a la ida, y regresa a 277.8 metros/minuto. Hallar cuál es su velocidad media en nudos. A) 8.91 nudos B) 8.17 nudos C) 8.19 nudos D) 8.20 nudos E) 8.18 nudos 23. Los lados de un paralelepípedo miden 45.72 cm., 38.1 cm. y 22.86 cm., si se incrementa cada lado en 7.62 cm. Hallar en cuanto pies cúbicos aumenta su volumen aproximadamente. A) 1,20pies3 B) 1,22pies3 C) 1,21pies3 D) 1,23pies3 E) 1,24pies3 24. Una ciudad A se encuentra situada a 64°25'26”(O) y otra B a 87°19'34” (E) a qué hora deberá salir una persona de A si quiere llegar a las 8h 25min. del día siguiente a B, si sabe que el avión demora 9h35min. en ir de A hacia B. A) x=12h 43min. B) x=12h 41min. C) x=12h 40min. D) x=12h 45min. E) x=12h 42min. 25. Un avión parte de lima a las 8h40min30seg. Hacia una ciudad europea, que nos lleva 6h45min de adelanto. Si el avión recorre 1° de longitud en 10 minutos hallar que hora del día siguiente será en la ciudad europea cuando el avión llegue, (el avión recorre la menor distancia). A) 8h 20min. B) 8h 18min. C) 8h 17min. D) 8h 16min. E) 8h 19min. B) 100


ARITMÉTICA

UNSM-CPU-T

26. Dos ciudadanos “M” y “N” se ubican sobre un mismo meridiano, “N” esta 31°34'23” de latitud sur; “M” esta 48°25'37” norte de latitud sur. ¿Qué distancia separa dichas ciudades? A) 6000 km B) 8200km C) 6666,8km D) 8888,8km E) 9000km 27. Un piloto partió en un avión a las 3 a.m. De una ciudad A, ubicada en el límite de husos horarios con rumbo Oeste-Este. Al cabo de 76hrs. Llega a una ciudad B ubicada también en el límite de otros dos husos horarios que equidistaba en longitud Este y Oeste de la ciudad A. ¿Qué hora era en B al arribar al piloto? A) 3p.m. B) 5p.m. C) 7p.m. D) 4p.m. E) 6p.m. 28. Si un aviador va de la ciudad “A” a la ciudad “B” debe de adelantarse su reloj un numero entero de horas, pero si va de la ciudad “A” a la ciudad “C” debe de retrasárselo una hora menos que las que adelanto cuando llego a “B”. Si cuando va de “B” a “C” debe retrasarlo cinco horas. Hallar la longitud de la ciudad “A”, si la longitud de “B” es 15° Este. A) 30° Oeste B) 60° Este C) 30°Este D) E) 60° Oeste 29. ¿Cuántas pulgadas cúbicas tiene un galón americano? A) 150 B) 210 C) 180 D) 200 E) 250 30. A cuanto equivale 0.987 km cuadrados de superficie en medidas agrarias (hectáreas). A) 90 B) 900 C) 98.7 D) 987 E) 9

101

TARAPOTO - PERÚ

DÉCIMONOVENA EDICIÓN 2017-II

SEMANA Nº 01

FISICA

UNSM – CPU-T

Impulso

N.s

M L T -1

Trabajo, energía

Joule (J)

M L2 T -2

Potencia

Watts (w)

M L2 T -3

Presión

Pascal (Pa)

M L-1 T -2

Periodo

S

T

Cantidad Movimiento

Kg.m/s

M L T -1

ANÁLISIS DIMENSIONAL Y VECTORIAL A partir del 14 de febrero de 1960, la primera Conferencia General de Pesas y Medidas en París, da a conocer oficialmente un sistema de unidades basado en el sistema métrico decimal del cual se consideran siete magnitudes físicas fundamentales y dos auxiliares. Magnitudes fundamentales Magnitud

Unidad

Símbolo

ED

Frecuencia

Hertz (Hz)

T-1

Longitud

metro

m

L

Aceleración angular

rad/s2

T-2

Masa

kilogramo

kg

Cantidad de calor

Joule(J); Caloría (cal)

M L2 T -2

Calor específico

J/(mol.k)

L2 T -2 θ-1

Viscosidad

Pa.s

M L-2 T -2

Tensión superficial

N/m

M T -2

Carga eléctrica

Coulomb

TI

Intensidad del campo eléctrico

Voltio/metro (v/m)

M L T -3 I-1

Voltaje; f.e.m.

Voltio (v)

M L2 T-3 I-1

Resistencia eléctrica

Ohmio (Ω)

M L2 T-3 I-2

Caudal

m3/s

L3T -1

Tiempo

segundo

M T

s

Corriente eléctrica

amperio

A

I

Temperatura

kelvin

K

Θ

Intensidad luminosa

Candela

cd

J

Cantidad sustancia

Mol

mol

N

Magnitudes suplementarias Magnitud

Unidad

ángulo plano

radián

ángulo sólido

estereorradián

Símbolo rad

Prefijos SI PREFIJO

SÍMBOLO

FACTOR

yotta

Y

1024

zetta

Z

1021

exa

E

1018

peta

P

1015

tera

T

1012

giga

G

109

mega

M

106

sr

Magnitudes derivadas MAGNITUD

UNIDAD

ED

Área

m2

L2

Volumen

m3

L3

Densidad

Kg/m3

M L-3

kilo

k

103

Peso específico

N/m3

M L-2 T -2

hecto

h.

102

Velocidad lineal

m/s

L T -1

deca

da.

10

deci

d.

10-1

Aceleración

m/s2

T -2 centi

c.

10-2

Mili

m.

10-3

Micro

μ

10-6

L

Velocidad angular

rad/s

T-1

Fuerza, peso

Newton (N)

M L T -2

103 | P á g i n a


n.

10-9

Pico

p.

10-12

femto

f.

10-15

Atto

a.

10-18

zepto

z.

10-21

yocto

y.

10-24

Nano

SOLUCION A = [500dm2(10-2m2/dm2) + 1,2x105cm2(10-4m2/cm2) + 2,2x107mm2(10-6m2/mm2) + 2,5x1013µm2(10-12m2/µm2)]1/2 ; A = [(5 + 12 + 22 + 25)m2]1/2 ;

Es la representación de las magnitudes derivadas en función de las magnitudes fundamentales que contiene: Fórmulas dimensionales Aquellas relaciones de igualdad mediante las cuales una magnitud derivada queda expresada en base a las magnitudes fundamentales de un modo general [X]=L M T θ I J N b

c

d e f

La dimensión representa:

UNSM – CPU-T

A = ( 500dm2 + 1,2x105cm2 + 2,2x107mm2 + 2,5x1013µm2)1/2

ANÁLISIS DIMENSIONAL

a

FISICA

A = √64m; A = 8m 2. Si la ecuación dada es dimensionalmente correcta, halle las dimensiones de S. Log K + Ln(V2/V1)1/2 = SRHt2/(V)4Sen30º Log; Ln: logaritmos;

t: tiempo;

g

R: radio;

de una magnitud física

se

A : Ecuación dimensional de A

K: numero (K>0);

H: altura;

V, V1, V2: velocidades. SOLUCION

Ejemplos: 1. [ Tiempo ] = T 2. [ Velocidad ] = LT-1 3. [ Sen30° ] = 1 4. [constante numérica ] = 1

𝑆𝐿𝐿𝑇 2 (𝐿𝑇 −1 )2

1=

PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL (PHD) Si una fórmula física es correcta, entonces los términos de la ecuación deben ser dimensionalmente iguales. Por decir sea la fórmula siguiente A ± BX = CD ± E para que sea correcta debe cumplirse que:

𝑆𝐿2 𝑇 2

= 𝐿2 𝑇 −2 ;

[S] = T-4

3. Si │A + B│= │A – B│. Determinar el ángulo que forman A y B. SOLUCION │A + B│= │A – B│; → √𝐴2 + 𝐵2 + 2𝐴𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃 = √𝐴2 + 𝐵2 − 2𝐴𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃 ; A2 + B2 + 2ABcosθ = A2 + B2 – 2ABcosθ; 4ABcosθ = 0; cosθ = 0; θ = π/2 ANALISIS VECTORIAL

[ A ] = [ BX ] = [ CD ] = [ E ] Ejemplo: Dada la ecuación física del espacio recorrido por un móvil el cual tiene movimiento acelerado

e  VO t 

1 at 2 2

Por el PHD

 

 e   VO  t    1   a  t 2 2 L  L T 1 . T  1 . L T  2 . T 2 L 

L

Vectores: Son segmentos de recta con orientación que se emplean para representar magnitudes físicas vectoriales Representación analítica de un vector

1. Calcular el valor de A (en m) en la siguiente igualdad:

B

y 2

y 0

B = ( x2; y2 )

A

V A

α

1

 L

EJEMPLOS

A = ( x1; y1 )

y

x

x

1

2

 V  B A  V  x2 ; y 2   x1 ; y1   V x R x ; R y 

Módulo del vector Si

  V  R x ; R y   V  Rx2  Ry2 104 | P á g i n a


FISICA

UNSM – CPU-T

Dirección Tg  

R R

y

4. Para dos vectores de igual módulo que forman un ángulo de 120°

x



Vector Unitario (  ). El vector unitario de un vector es un vector en la misma dirección cuyo módulo es la unidad. Representa la dirección del vector generatriz El vector unitario se halla

Ra

R

a

60° 60°

a

con: y

 V V   ; como V    V  V Cos ; V Sen    V  Cos ; Sen 

 V

V





1



MÉTODO DEL TRIÁNGULO Y/O POLÍGONO  Sean  los vectores A ; B y C  B A Ordenamos

 A

 C secuencialmente

x

0

OPERACIONES CON VECTORES   A R

 C

 R

   R A  B  C

PROBLEMAS RESUELTOS 1. La resultante minina de dos vectores es 6 y la máxima 10. ¿Cuál es el valor de la resultante si estos son perpendiculares? A) 5 B) 6 C) 10 D) 12 E) 15 SOLUCIÓN

θ

 B

Rmax= A + B =10 Rmin = A – B = 6 _____________________ Sumar : 2A = 16 entonces: A=8 y B=6 Si son perpendiculares: 𝑅 = √(8)2 + (6)2 = √64 + 36 = √100 = 10

VECTOR SUMA

 2 R 2  A  B  A2  B 2  2 AB cos   A

 R θ

B

2. Encuentre el módulo de la diferencia de los vectores sabiendo que los módulos son A) 8 de 8 y 16 N

 B

B) 8√3 C) 10√3 D) 16√3 E) 8√2

16

VECTOR DIFERENCIA

 2 R 2  A  B  A2  B 2  2 AB cos 

8

60°

SOLUCIÓN |𝐴 − 𝐵|= 8√12 + 23 − 2(1)(2)𝐶𝑜𝑠60° = 8√3

PROPIEDADES 1. Para dos vectores

8x2

de igual módulo el vector resultante biseca el ángulo entre los vectores

a

60°

R

3. Dado

α α

R  2 a Cos

8x1

el diagrama,

B  30

; encuentre

A  2B

y

.Si α= 40°

y β=10°

a

2. Para dos vectores de igual módulo que forman un ángulo de 60°

B

a )30 7

40°

a

A  90

si

b ) 45 6

R

c ) 25 3

Ra 3

30° 30°

d ) 27

10°

a

A

SOLUCIÓN

e) 25 2

3. Para dos vectores de igual módulo que forman 90° a

Ra 2

R

. 120°

45° a

- 2B=30x2

A=30x3

Hacer concurrencia y cambiar sentido del vector B

105 | P á g i n a


FISICA

UNSM – CPU-T

X  Aebt . sen   1  a 2 

Donde: A = longitud; t = tiempo ; e = constante numérica.

  A  2 B  30 2 2  3 2  22 3Cos120º   A  2 B  30 7

A) L T2 B) L C) L T D) L2 T-2 E) L T-1

4. Se muestra un cuadrado de 4 m de lado dividido uniformemente en 16 cuadraditos. Hallar el vector resultante y su respectivo módulo.  C A) (3;6); 3 5 B) (2;4); 3 C) (3;5); D) (2;6); 2 E) (-3;6); 3

 B

 A

2

5. En la siguiente dimensionalmente correcta. valores de X e Y.

expresión Hallar los

h1  h2   3,5 ( p1  p2 ) x h y Donde: h1 y h2  alturas p1 y p2  presiones

5

5 3

A) 1; 1 B) 1; 0 C) 0; 1 D) 1; 2 E) 2; 1 6. Calcular las dimensiones de X e Y si la ecuación es dimensionalmente correcta.

SOLUCIÓN

 p  d2   AX  BY  C   m  

Para cada vector, considerar el ORIGEN DE COORDENADAS, en el origen de cada uno de ellos.

  B   1; 3 C  2 ; 2    Sumando : A  B  C  3 ; 6    Módulo : A  B  C  3 2  6 2  45  3 5

Donde:A=Área, B=Volumen, P=Presión, m=masa A) LT 2 ; MLT 2 B) L4T 4 ; L5 2T 2 2 5

C) L


1.- Hallar las dimensiones de “x” en: x l2  m t 3  v 2 ;

W  0,5 m va  Agh  Bp y Q  Aa a B

t = tiempo

A) T2 B) T-2 C) L2 T-2 D) L T-2

;

E) N.A.

2.-Si la siguiente ecuación es dimensionalmente homogénea indique las dimensiones de “y” y = W A cos ( W t ) Donde: A = longitud ; t = tiempo B) L

C) T

D) LT-1

T 2 ; L4 3T 2 D) L2T ; LT 2 E)LT-1

7. Determinar las dimensiones que debe tener “Q” para que la expresión sea dimensionalmente correcta.

ECUACIONES DIMENSIONALES

Siendo: l = longitud v = velocidad

2

2

 A  2 ;1

A) LT

  

E) N.A.

3.- De la siguiente ecuación dimensional correcta. Determinar las dimensiones de “m” y = bn + mn 2 Dónde: b = velocidad ; y = longitud

donde : V = velocidad ; g = gravedad ; W = trabajo ; m = masa ; h = altura ; a= exponente desconocido ; p = potencia. A) M1/2 T3/2

B) L M2/3 T2/3 C) M3/2 T5/2

D) M T-1

E) M2 T1/2

8. Deducir mediante el análisis dimensional una expresión que relacione la presión de un fluido (p) con su densidad (D) y la velocidad de movimiento del mismo (V) ; (K = constante numérica) A) p = KDV B) p = KD2 V C) p = KDV2 D) p = KD/V

E) N.A.

9. La fuerza de rozamiento que sufre un neumático por la calzada está dado por la expresión:

F  sen(log 36).W x .Ly .V z Hallar: x + y + z

A) L B)LT C) L T-1 D) L T-2 4.- Si la ecuación dimensional Hallar x  . b

E) N.A. es correcta.

Donde: W=viscosidad, L=longitud, V = velocidad A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

F=fuerza,

E) 8

106 | P á g i n a


FISICA

UNSM – CPU-T

3A+2B

10. La velocidad de un proyectil está dada por la siguiente ecuación: V 

A) 50u B) 60u C) 70u D) 80u E) 90u

    k    k  q    p 

17.

Hallar la magnitud de la diferencia de 2 vectores sabiendo que sus módulos son 13 y 19; y la magnitud de su resultante es 24. A) 19 B) 20 C) 22 D) 23 E) 24

18.

Si cada cuadradito es de lado "1", en el siguiente diagrama. Hallar la magnitud de la resultante del sistema de vectores mostrado.

Cuáles son las dimensiones de q y de p si k es una longitud. A) Nº; L

C). L1T 2 ; L2T 2

B) LT ; L2T

D) T 2 ; L1T 2

E) T ; L1T

11. En la siguiente ecuación dimensionalmente correcta. Determinar la ecuación dimensional de X.

E  Mvx  Mvx  Mvx  ... Donde: M = masa

v = Velocidad

A) ML1T B) MLT

C) 1

A) 5 B)3√2 C)6 D)7 E) 2

D) LT 1 19.

E) M 1L1T

Hallar la resultante de los vectores:

VECTORES 12.

50

Dos fuerzas "A" y "B" actúan en un punto. La magnitud de la resultante "R" es igual al de "A" y es perpendicular a ella. Si A=R=10N, encontrar la magnitud de "B" (en N). A)10 B)10√2 C)10√3 D)10√7 E)5

13. Hallar el ángulo que forman entre sí dos fuerzas de magnitudes iguales, sabiendo que la resultante de ellas tiene una magnitud de √3 veces el de una de ellas. A)60° B)45° C)30° D)37° E)53°

30º 60 40

A)17 B) 17,3 C) 18 D) 20 E) 20,4 20.

Calcular la resultante del sistema de vectores: 35 15

14. Al sumar un vector A de magnitud 30 con otro vector B, que forman con A 53°, se observa que la resultante forma 37° con B . Hallar la magnitud de B. A)12 B)10 C)14 D)16 E)15 15. Determinar la magnitud de la mínima resultante que se puede obtener con dos vectores que forman 143° entre sí, sabiendo que uno de los vectores tiene magnitud 60. A)45 B)36 C)24 D)12 E)48

60º

45º

12

15

A) 40 B) 42 C) 36 D) 36,8 E) 39 21.

Halla la magnitud del vector resultante de los vectores A,B,C y D; Si A=300, B=100; C=340 D=20√2 B A

16. Si: |3A+2B|= 30u y |2A - 3B|= 25 u. Hallar: |7A - 4B|.

37º

C

53º 45º

2A -3B 60°

30º

D

107 | P á g i n a


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A) 380 B) 500 C) 450 D)280√2 E) 452,25

UNSM – CPU-T

CLASES DE MOVIMIENTO a) Por la trayectoria  Rectilíneo- La trayectoria es una recta.  Curvilíneo.- La trayectoria es una curva. o Parabólica: Salida de un chorro de líquido por la pared lateral de un depósito o Elíptica: Traslación de la Tierra alrededor del Sol o Circular: Movimiento de lasllantas de un vehículo

22. Encuentre el equilibrante del siguiente sistema de fuerzas coplanares: 300N a 0°; 400N a 30°; 400N a 150°. A) 173N a 240° B)450N a 180° C)500N a 53° D) 500 N a 233° E)141N a 225°

b) Por la velocidad  Uniforme.- La velocidad es constante. Ejemplo. El sonido en un medio homogéneo, la propagación de la luz en el aire o vacío  Uniformemente variado. o Acelerado: La caída libre de los cuerpos, la velocidad aumenta en una cantidad constante llamada aceleración. o Retardado : El disparo vertical hacia arriba, la velocidad disminuye en una cantidad constante llamada aceleración, cuando alcanza la velocidad final ascendente igual a cero ha llegado a su altura máxima c) Otros tipos Movimiento oscilatorio, armónico simple, armónico complejo, browniano

23. Si: A - 2B - C =10i + 5j ; A + B + C = - 4i + 3j Hallar: |A - 5B - 3C| A)7 B)13 C)24 D)25 E)30

24. Encontrar una expresión vectorial para la fuerza F, sabiendo que su magnitud es 30N. Medidas de: 20x20x10. Z Y F

Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU)

10

4s

0rrrrr

4s

4s

V

V

V

X

V

A) 10(I – j + k) B)10(2i - 2j + k) C)10(I- 2j+k)

B

A

D)10(2i - j+k)

C

40m

D

40 m

40m

Un movimiento es uniforme cuando el móvil recorre distancias iguales en tiempos iguales

E)10(I - j+2k) 25. Calcular la magnitud del vector resultante. Medidas: 4x4x4 m3 Z

 Cuando 2 móviles van al encuentro t

t

VA A

A

A

VB B

B

dA

dB

d Tiempo de encuentro

te  t  

VA

d  VB

Cuando un móvil va al alcance dotrootrocuentro t

VA A A

t

B

d

A B

dB dA

Tiempo de alcance

A) 5m B)10m C)8m D)15m E)12m

ta  t 

SEMANA N° 02

VA

d  VB

Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (MRUV)

CINEMATICA A) En una sola dirección La cinemática es la parte de la mecánica que estudia las leyes del movimiento de los cuerpos sin tener en cuenta las causas que lo producen, limitándose, esencialmente, al estudio de la trayectoria en función del tiempo. Cinemática deriva de la palabra griega κινεω (kineo) que significa mover.

1 s

1 s

V 5

m m V  10 s s

7,5 m

1s V  15

m s

V  20

m s

12,5 m 17,5 108 m

|Página


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y con una aceleración de 4 m/s2. El que pasa por B lo hace a 60 m/s y desacelera a razón de 4 m/s2.Determinar a qué distancia de A ocurre el encuentro si marchan en sentidos opuestos. a) 820 m b) 780 m c) 720 m d) 680 m e) 560 m

FÓRMULAS MRUV t VO

Vf

a

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SOLUCIÓN

d

12 m/s A1

V V f  Vo a   t t V f  Vo asimismo Vm  V f  Vo   a t t a t2 V f 2  Vo 2   2a d d  Vo t  , 2  V f  Vo  . t como : d  Vm t  d     2   a También : d n Vo  2n  1 2

NOTA:

g

g *θ

*g:aceleración efectiva

EJEMPLOS 1. Determinar la distancia AB, si el objeto es lanzado en “A” con una rapidez de 10 m/s paralelamente al plan o inclinado liso y llega al punto “B” en 5 s (g=10 m/s2 ) A 30°

B 3 g *  gSen37  10   6 m / s 2 5 Calculo de la dis tan cia AB

a) 110 m b) 125 m c) 130 m d) 145 m e) 200 m

1 1 g * t 2  10 (5)  (6)(5) 2 2 2 AB  50 m  75 m  125 m AB  Vo t 

2. Una persona ubicada entre dos cerros emite un grito y recibe el primer eco a los 3 s y el siguiente a los 3,6 s ¿Cuál es la separación entre las montañas? Vsonido=340 m/s a) 1122m a)1100m c)980m d) 985m e) 722m

P: punto de encuentro entre los móviles

tiempo son iguales para los móviles " t " e A  eB  1008 4t 2 4t 2  60 t   1008 t  14 s 2 2 m 4 2 (14s) 2 m  e A 12 14s   s  560 m s 2 12 t 

En un cierto instante la aceleración “a”, la velocidad “V “ y la posición “X” de un móvil en MRUV valen 4 m/s2; 4 m/s y 4 m respectivamente; 4 segundosdespués del instante mencionado los valores de a (aceleración)¸ V (velocidad) y X (posición) en las mismas unidades serán respectivamente. A) 8; 20; 52 B) 0;10; 20 C) 4; 20; 48 D) 4; 20; 52 E) 4; 30; 58 SOLUCION

Al inico del movimiento a=4m/s2 ; V= 4 m/s y X1 = 4m; después de t = 4 s

at  V f  Vi reemp. datos resulta Vf = 20 m/s Ahora aplicar Vf2 - Vi2 = 2ad la a es constante (20)2 - (4)2 = 2(4)d Resultando: d=48m lo cual indica que la nueva posición. X2 = 4m + 48 m = 52 m Rpta. a=4m/s2 ; Vf= 20 m/s y X2 = 52m

MOVIMIENTO VERTICAL DE CAIDA LIBRE Movimiento que se realiza en ausencia de la resistencia del aire y sólo bajo la acción de la fuerza de gravedad que ejerce la tierra Galileo (Galileo Galilei) (1564-1642), físico y astrónomo italiano , demostró que en caída libre los cuerpo recorren alturas y aumentan o disminuyen su velocidad segundo a segundo de manera proporcional al valor de la aceleración de la gravedad.  Considerando : g= 10 m/s2 V=0

5m

1s 10 m/s

d1= 340m/s x 1,5 s = 510 m

15m

1s 20 m/s

2do. eco: tiempo de ida t2=1,8 s d2= 340m/s x 1,8 s = 612 m Distancia total entre cerros (dT)

25m

1s

SOLUCIÒN 1er. eco: tiempo de ida t1=1,5 s

3. Dos móviles pasan simultáneamente con dT=510 m+ 612 m=1122m MRUV por dos puntos A y B, separados 1008 . El que pasa por A lo hace a 12 m/s

B

eB

1008 m

4.

g* = genθ

P

eA

Un cuerpo dejado en un plano inclinado “liso” posee una aceleración (campo efectivo) que es una de las componentes de la aceleración de la gravedad (g)

gSen θ

60 m/s - 4 m/s2

4 m/s2

10 m/s

20 m/s 30 m/s 30 m/s

35m

1s 40 m/s

109 | P á g i n a 40 m/s


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UNSM – CPU-T

t = 4s PROBLEMAS PROPUESTOS



g  9,83m / s 2 ;9,81m / s 2 ; 9,79m / s 2 ;10 m / s 2 ;32 pie / s 2 , etc  Vm 

V f  Vo

t V f  Vo   g t V f  Vo   2 g h 2

2

 V f  Vo  g t2 . t , como : h  Vmt  h   2  2  NOTA : TIEMPO SUBIDAts  TIEMPO BAJADA tb 

h  Vo t 

EJEMPLOS 1. Dos ciclistas parten simultáneamente desde un mismo punto, uno hacia el este a 4m/s y el otro hacia el norte con 3m/s. ¿Luego de que tiempo estarán distantes 40m?

Sol.

MRU 1. Un auto viaja con rapidez constante alejándose de una montaña, cuando está a 450m de ella hace sonar la bocina y recibe el eco a los 3s. ¿Con qué rapidez en m/s viaja el auto?. Vsonido=340 m/s. A)10 B)20 C)30 D)40 E)50 2. Un auto que se acerca a un gran muro viaja con rapidez constante. En cierto instante, emite un sonido durante 9s y percibe el eco durante 8s. Halle la rapidez (en m/s) del auto. Vsonido=340 m/s. A)10 B)20 C)30 D)40 E)50

(3t)2 + (4t)2 = (40)2;

3. Un tren que viaja a rapidez constante atraviesa un túnel de 90m en 10s y otro túnel de 18m en 4s. Halle la rapidez del tren. A)4m/s B)6m/s C)8m/s D)10m/s E)12m/s

25t2 = 1600;

4.

De la figura:

5t = 40; t = 8s 2. Un vehículo parte del reposo acelerando con 3m/s2 durante 10s. Los 5s siguientes mantiene su velocidad. ¿Qué distancia ha recorrido en total? Sol.

x = x 1 + x2

(*)

Tramo BC: x2 = vt2 = 5v (2) Por otra parte: v = vo + at1; v = 3(10) = 30m/s (**) (**) en (2): x2 = 5(30) = 150m

Reemplazando datos en (1):

x = 300m

3. Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba con una velocidad 20m/s. Calcule el tiempo que demora la piedra en regresar al punto de lanzamiento. g = 10m/s2

SOLUCION

t = ts + tb ;

pero: ts =

tb →

t = 2ts

v = vo - gts;

(1) 0 = 20 –

10ts; ts = 2s

5. Un móvil se desplaza de un punto N a otro M con una rapidez constante V y regresa con 3V también constante. Halle la rapidez media en todo el recorrido. A)1,5V B)18V c)10V D)1,8V e)20V 6. Una persona sale todos los días a la misma hora de su casa y llega a su trabajo a las 9:00a.m. Un día se traslada al doble de la velocidad acostumbrada y llega a su trabajo a las 8:00a.m. ¿A qué hora sale siempre de su casa? A)6:00a.m. B)6:30a.m. C)2:00a.m. D)7:00a.m. E)5:30a.m.

(1)

Tramo AB: x1= vot1 + (1/2)at12; x1 = (1/2) (3) (10)2 = 150m

Un avión vuela a una altura constante desde su posición inicial a 30km al N60°E del aeropuerto Jorge Chávez de Lima, hasta su posición final a 80km al S60°E del mismo. Determine el módulo de su desplazamiento. A)110km B)70km C)30km D)50km E)12,5km

7. Una persona sale de su casa y llega a su trabajo en 30 minutos de camino, a una velocidad constante. Un día que salió normalmente de su casa, en mitad de su trayecto se detiene por un tren, un intervalo de tiempo de 20 minutos. Luego reanuda su movimiento duplicando su velocidad hasta llegar a su destino. ¿Cuánto tiempo (en minutos) llega retrasado a su centro de trabajo? A)7,5 B)10 C)12,5 D)15 E)20 8. Un hombre que viaja a pie de A hacia B sale al mediodía y recorre a 70m/min. En cierto punto, sube a un camión que recorre a 150m/min y que salió de A a las 12:20p.m. El hombre llega a B, 20min antes que si hubiera continuado

(*) en (1): 110 | P á g i n a


andado. ¿Cuál es la distancia (en m) entre A y B? A)2625 B)1125 C)5250 D)2135 E)1325 9. De Lima a Huacho hay aproximadamente 130km; de Lima a Barranca, 180km. Un auto parte de Lima con rapidez constante a las 8 de la mañana y llega a Barranca a las 12 del mediodía. ¿A qué hora habrá pasado por Huacho? A)10h37min40s B)11h25min45s C)9h45min32s D)10h53min20s E)11h53min34s MRUV 10. Un móvil parte del reposo y la magnitud de su aceleración uniforme es 3m/s2. Cierto tiempo después de la partida, aplica los frenos siendo la magnitud de su desaceleración de 6m/s2 hasta detenerse, si su viaje duró 30s. ¿Qué distancia(en m) logró recorrer? A)450 B)600 C)300 D)900 E)1200 11. Un móvil se desplaza sobre una trayectoria rectilínea con una aceleración constante de magnitud 2m/s2 , y 5s después de haber pasado por un punto "A" de su trayectoria, tiene una rapidez de 72km/h. ¿Calcular cual era su rapidez 9m antes de llegar al punto A? A)10m/s B)8m/s C)20m/s D)4m/s e)15m/s 12. Un auto que se mueve con aceleración constante recorre en 6s la distancia de 180m que separa dos puntos de su trayectoria, su rapidez al pasar por el segundo punto es de 45m/s. A qué distancia antes del primer punto estaba el auto en reposo. (Dar la respuesta en metros). A)15,5 B)5,5 C)22,5 D)52,5 E) 25,5 13. ¿Qué distancia recorrerá (en km) en 80s un vehículo que parte del reposo y en cada segundo incrementa su velocidad en 10m/s? A)31 B)32 C)33 D)36 E)20 14. Un móvil parte del reposo y se desplaza con una aceleración constante recorriendo 18m en los primeros 3s. Calcular la distancia (en m) que recorrerá durante los 7s siguientes: A)200 B)42 C)84 D)182 E)21 15. Un móvil parte del reposo y acelera constantemente tardando 2s en desplazarse entre dos puntos de su trayectoria rectilínea que distan 24m. Si cuando pasa por el segundo punto tiene una rapidez de 16m/s. Calcular la distancia entre el primer punto y el punto de partida. A)5m B)6m C)7m D)7,5m E)8m 16. Un cuerpo que parte del reposo recorre, con aceleración constante, un espacio de 100m en 5s. Calcular el tiempo que tardará para adquirir una rapidez de 56m/s desde que partió.

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A)8s B)7s C)6s D)5s

E)4s

17. Un camión que se mueve con rapidez constante de 20m/s pasa por un punto A, mientras que un auto parte del reposo del mismo punto con aceleración de 4m/s 2 de módulo. ¿Cuál es el valor de la velocidad del auto en el instante que alcanza al camión? A)20m/s B)30m/s C)32m/s D)36m/s E)40m/s 18. Un coche de turismo y un camión parten a la vez, estando inicialmente el coche a cierta distancia por detrás del camión. Este último tiene una aceleración constante de módulo 1,2 m/s2 mientras que el coche acelera con 1,8 m/s2 de módulo. El coche alcanza al camión cuando este ha recorrido 90m. ¿Cuál era la distancia inicial entre ambos vehículos? A)25m B)30m C)35m D)40m E)45m 19. Dos coches que distan 400 m parten del reposo simultáneamente y van al encuentro con aceleraciones constante. ¿Después de qué tiempo estarán separados nuevamente 400m si para encontrarse tardaron 10s? A)10s B)14,1s C)20s D)28,2s E)16,4s CAIDA LIBRE 20. Un globo aerostático se mueve verticalmente hacia abajo con una velocidad de 20m/s; el piloto lanza en cierto instante una manzana con rapidez de 35m/s hacia arriba respecto de su mano. ¿Qué aceleración retardatriz (en m/s2) ser debe imprimir al globo para detenerse justo cuando vuelve a pasar frente a él la manzana? (g=10m/s2). A)4 B)6 D)8 D)10 E)3 21. Un proyectil se arroja verticalmente hacia arriba alcanzando una velocidad de 10m/s al llegar a la mitad de su altura máxima. Halle la velocidad (en m/s) con la cual se lanzó. (g=10 m/s2). A)14,1 B)24,2 C)7,0 D)2,4 E)10,0 22. Un observador ubicado a 35m de altura ve pasar un objeto verticalmente hacia arriba y 6s después, lo ve de regreso. Halle la velocidad (en m/s) con la cual fue lanzado el cuerpo desde el piso. (g=10 m/s2). A)10 B)20 C)30 D)40 E)50 23. ¿Desde qué altura debe dejarse caer un cuerpo, para que durante los últimos 5s recorra los 7/16 de dicha altura? (g=10 m/s2). A)1000m B)2000m C)1200m D)2560m E)1480m 24. Un astronauta en la Luna, lanzó un objeto verticalmente hacia arriba, con una

111 | P á g i n a


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velocidad inicial de 8m/s. El objeto tardó 5s en alcanzar el punto más alto de su trayectoria. La altura máxima que logró fue: A)20m B)10m c)32m D)16m E)56m H 

25. Se lanza un objeto verticalmente hacia arriba del borde de un precipicio con una velocidad de 20m/s. ¿Después de cuánto tiempo su rapidez será de 50m/s? (g=10 m/s2). A)3s B)4s C)5s D)6s E)7s

V 

X  VX . t

gt 2 2

V x 

2

Tg 

 

 Vy

2

Vy VX

 : Ángulo de Choque X : Alcance horizontal

V : Velocidad de choque V x : Velocidad . horizontal V y : Velocidad . vertical

26.

Un objeto se lanzó verticalmente hacia arriba. Determine la altura máxima y el tiempo que está en movimiento, si su posición a los 4s y 10s es tal que no existe desplazamiento entre dichas posiciones. (g=10m/s2). A)7s; 490m B)14s; 490m C)7s; 245m D)12s; 180m E)14s; 245m

MOVIMIENTO PARABÓLICO Vx

t t Vo

Vy

H

27.

En el planeta MK-54 de la constelación de la Osa Menor se deja caer una piedra desde cierta altura y se observa que en un segundo determinado recorre 26m y en el siguiente segundo 32m. Halle el valor de la aceleración de la gravedad en dicho planeta en m/s2. A)6 B)12 C)10 D)8 E)4

28.

Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba desde la superficie terrestre, a los 5s de ser lanzado llega a una altura "h", de manera que al ascender 25m más, sólo le falta 2s para alcanzar su altura máxima. Halle "h". (g=10 m/s2). A)275m B)125m C)175m D)375m E)385m

α

Vx Vx D

FORMULAS: * Velocidad Horizontal: Vx= VoCosα * Velocidad Vertical : Vy=VoSenα * Velocidad Vertical en un punto cualquiera : V y  Vo Sen

* Tiempo para alcanzar altura máxima:

t 

29.

Un globo aerostático asciende verticalmente con una velocidad de 22m/s y cuando se encuentra a una altura de 1120m, se lanza del globo una piedra verticalmente hacia abajo con una velocidad de 12m/s. ¿Qué tiempo tarda la piedra en llegar al suelo? (g=10 m/s2). A)30s B)24s C)20s D)18s E)16s

MOVIMIENTO PARABOLICO

Vo Sen  g

* Alcance Horizontal (D) D

SEMANA 3

 gt

Vo2 Sen 2 2Vo2 Sen Cos  g g

*Relación entre Hmaxy T

H max 

* Relación entre Hmaxy D

4 H max gT 2 Tg  D 8

MOVIMIENTO SEMIPARABOLICO vX t

vX t

V1

vX

H

V2 t

θ

e

e

e

Si un cuerpo tiene un movimiento compuesto, cada uno de los movimientos componentes se cumple como si los demás no existieran vX

PROBLEMAS RESUELTOS 1. ¿Cuál debe ser el ángulo de inclinación al

disparar un proyectil; para que alcance una altura de 16,4 pie si su velocidad inicial es de 65,6 pie/s? (Considerar g = 32,8 pie/s2) A) 30° B) 45° C) 53° D) 60° E) 76° Solución V 2 Sen 2  2 gH  Sen 

Vy V

2 . 32,8 . 16,4 2 gH 1 1    V 65,6 4 2

   30º

X

2. Un bombardero que vuela horizontalmente a una altura de 125 m y con una velocidad

112 | P á g i n a


de 100 m/s, ataca a un barco que navega a una velocidad de 20 m/s en la misma dirección y sentidos opuestos. ¿A qué distancia “d” se debe dejar caer una bomba para lograr un impacto sobre el barco?

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5.

Se lanzan dos proyectiles con ángulos de tiro de 45° y 60° respectivamente. Hallar la relación entre sus alturas máximas si son lanzadas con las mismas velocidades?

A) 1 B) 2/3 C) 2/5 D) 3/2 Solución: 2 2 V Sen 45

100 m/s t 125 m 20 m/s

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H 4 5  V H 6 0

a) 200 m b) 300 m c) 500 m d) 600 m e) 650 m

2

H 4 5 H 6 0

de " t" MOVIMIENTO CIRCULAR

2(125m) 2H t   5s g 10m / s 2

a)

UNIFORME

 d BOMBA  100m / s * 5s  500m

o

d BARCO  20 m / s * 5s  100 m

3. Se dispara una bala con una velocidad de 60 m/s, formando un ángulo de 37° sobre la horizontal. ¿En qué tiempo (en s) alcanzará la máxima altura? b) 4,6

c) 5,6

t 60 m/s

t

H

37°

d) 3,6

e) 6,5

60m / s .Sen37  3,6 s 10m / s 2

4. Un cuerpo es lanzado desde una altura de 7,2 m, con una Vx=16 m/s ¿Con qué velocidad (en m/s) choca con el piso y bajo qué ángulo? a) 10; 53° b) 20; 37° c) 25; 53° d) 30; 30° e) 16; 45° 2 * 7, 2 t  1,2 s 10 VY  0  10(1,2) 12 m / s

16m/s t

V 

7,2m 16m/s θ Vy

16m / s 2  12m / s 2

V  20m / s

V  12  1 3  37   Tg 4  16 

  Tg 1  B

H

Vx= 4m/s a b A

a) 10 m b) 20 m c) 30 m d) 40 m e) 50 m

4m

V X  4m / s  4m. t  t  1 s Como : H  a  b ; a  5t 2  b  20t  5t 2  H  5t 2  20t  5t 2  20 t  20 (1)  20 m

0,2 s 1. Un Movimiento Circular es uniforme cuando el móvil describe ángulos iguales en tiempos iguales 2. En un MCU,el periodo es constante

o

60°

d  d BOMBA  d BARCO  500m  100 m  600 m

a) 2,6

2 g Sen 2 60 2 g

2

 1  1   2 2    2  2 3 3  3   4  2   

d

Cálculo

E) 1/3

.

60°

o 0,2 s

o ángulo descrito   tiempo t long. arco l l 2. V   pero    l   R t t R V  R

1:  

FÓRMULAS Si : l Long.de la circunfere ncia  2 R

Da una una vuelta en un tiempo " t"  t  T  Periodo tiempo empleado T N  de vueltas :   2 f  V

   2 rad y frecuencia  f  

1 T

2 T

2 R  2 R f T

b) UNIFORMEMENTE VARIADO La fórmula usarse en el MCUV es análoga a las empleadas en el MRUV, estas son:

   f  o  t t   o asimismo m  f t  f  o    t

 

 f 2  o 2   2    o t 

a t2 2

, como :   f  o   . t 2  

  m t      LEYENDA  : Aceleració n angular t : Tiempo   :Variación de la velocidad angular  m : Velocidad angular media  f  Velocidad angular final

 o  Velocidad angular inicial  : desplazamiento angular   : Se trata de Mov. ACELERADO   : Se trata de Mov DESACELERADO

113 | P á g i n a


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SOLUCIÓN

Tener presente: aT

aT  a Sen

a C  a Cos

V2 También : a C  R | V   R  aC  

2

R

: aT   R

a

Por caída libre:

Leyenda :

θ

vy = voy – gt;

9 = 12 – 10t;

aT : Acel. Tangencial

t = 0,3s

a C : Acel Centrípeta R : Radio curvatura

EJERCICIOS RESUELTOS 1.La esfera que muestra la figura, abandona el plano inclinado con una velocidad de 5m/s. Calcular el valor de x en la figura. No hay rozamiento.

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. La partícula se arroja horizontalmente en "A" con 20m/s y cae a 20m de la base del plano inclinado. Halle "H", en metros. (g=10m/s 2). 20m/s g H

45° 20m

SOLUCION: .

A)5m B)10m C)15m D)20m E)25m

De la figura:

2. Un proyectil es lanzado horizontalmente con Vo=5m/s. Determine la distancia BC. (g=10m/s2).

x = 3t 145 = 4t + 5t2; t2 + (4/5)t – 29 = 0;

A

t = 5s

10m

*

x = 3(5) = 15m

Vo

B

2. Un disco gira con una velocidad angular constante. La velocidad lineal de los puntos periféricos del disco es 6m/s y la de los puntos situados a una distancia 0,15m mas cerca al eje es 5,5m/s. Determinar el radio del disco.

45º

C

A)5 B)5√2 C)10m D)10√2 E) 20m

SOLUCIÓN: v1 = ωR; v2 = ω(R – 0,15); v1/v2 = R/(R – 0,15);

3. Un cuerpo se lanza horizontalmente con una velocidad de 30m/s. ¿Determinar su velocidad al cabo de 4s y su altura descendida? (g=10m/s2). V0

6/5,5 = R/(R – 0,15); 6R – 5,5R = 0,3;

R = 1,8m

3. Una partícula se lanza con una velocidad inicial de 15 m/s formando un ángulo de 53º con la horizontal. ¿En cuánto tiempo de ser lanzada su velocidad formara una ángulo de 45º con la horizontal?

A) 40 m/s; 40 m C) 50 m/s; 80 m E) 50 m/s; 45 m

B) 30 m/s; 45 m D) 40 m/s; 125 m

114 | P á g i n a


4. Un cuerpo se lanza con velocidad V 0 de tal modo que la distancia en el punto "O" sea igual que su altura inicial. (g=10 m/s2). Hallar: V0

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9. Se muestra el lanzamiento de dos partículas con igual rapidez “V”, si α=53°. Hallar “θ” sabiendo que las mismas chocan en “P” V

θ

V0

P

A) 30° B) 37° C) 45° D) 53°

h 40 m

α

V

7h

E) 60°

o A)10m/s B)10√2m/s C)20√2m/s D)20m/s E)40m/s 5. Un bombardero en picada desciende con un ángulo de 53º con respecto a la vertical y deja caer una bomba desde una altura de 755m, la bomba llega al suelo 5 segundos después. ¿Cuál es el alcance horizontal (en m) recorrido por la bomba? A)800 B)810 C)825 D)835 E)840 6. Si el máximo alcance de un cañón es “D”. Calcular el ángulo de tiro “B” usado para tocar un objetivo localizado a una distancia D/2 en el plano horizontal. A)15° B)30° C)37° D)53° E)60° 7. Halle el valor de la componente vertical de la velocidad(en m/s) de disparo en "A". Si al impactar en "B", horizontalmente, lo hace con VB=16 m/s. (g=10 m/s2). B

VB

11. Se lanza un proyectil con una rapidez de “V0”. Si después de 1s su velocidad forma 45° con la horizontal, determine “V 0” (g=10m/s2) A)20m/s B)30m/s C)50m/s D)40m/s E)10m/s

)45° V0 )53°

12. Se dispara un proyectil con n ángulo de 15° y tiene un alcance de 45m (figura). ¿Con qué rapidez fue disparado el proyectil (en m/s? A)40 B)50 C)30 D)60 E)55

Vo A

10. Encontrar la magnitud de la aceleración centrípeta (en m/s2 ) de una partícula en la punta del aspa de un hélice de 0,30m de diámetro, que gira a 1200 rev./min. A)200π2 B)210π2 C)240π2 D)310π2 E)480π2

V0 )15°

( 45m

12m

A)6 B)7,5 C)8,0 D)10,0 E)16,0

8. Una partícula se lanza con una velocidad de 10 m/s bajo un ángulo de 37° con la horizontal ¿A qué distancia “d” chocará la partícula? 37°

A)8m B)10m C)11m D)18m E)20m

20 m 53°

d

13. ¿Con qué ángulo se debe lanzar un proyectil para que su alcance sea el triple de su altura máxima? A)30° B)37° C)45° D)53° E)60° 14. Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba con una rapidez de 20m/s. ¿Desde qué altura H se debe lanzar horizontalmente un cuerpo B con una rapidez de 4m/s y en el mismo instante que el cuerpo A, para que choque con esta última durante el vuelo? B A)10m B)20m H C)30m A D)40m 4m E)50m

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15. En un átomo un electrón gira en torno a un protón en orbita circular de radio 5,28x10-11m con una velocidad tangencial de 2,18x10 6m/s. ¿cuál es la aceleración del electrón en el átomo (en m/s2)? A)6x1023 B)7x1022 C)8x1021 D)9x1022 E)5x1023 16. De la figura, las circunferencias tienen un radio de 10 metros. El recorrido AC es igual a: C

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22. La velocidad angular de una rueda disminuye uniformemente de 600RPM a 100RPM en 2,5s .Hallar su velocidad angular (en RPM) 2 segundos antes de detenerse. A)150 B)200 C)450 D)480 e)520 23. En la figura mostrada, determine la rapidez (en m/s) con la que se arroja la pelota en (A) para lograr encestar en (B). (g=10m/s2). Vo (A)

37°

( B) 2,5m

A

1,5m

A)19π B)25π C)70π D)20π E)120π 8m 17. La velocidad angular de una rueda es de 20rad/s y su radio, 60cm. Hallar la velocidad lineal (en m/s) y la aceleración centrípeta (en m/s2) de un punto del extremo de la rueda. A)16;240 B)12;280 c)20;250 D)13;210 E)14;255 18. Determinar la velocidad tangencial del minutero de un reloj del péndulo, sabiendo que dicho minutero mide 18cm.(Dar respuesta en cm/s) A)  1800 B)  80 C)  1000 D)  100

A)7,5 B)10 C)12,5 D)15 E)20 24. La ecuación de la trayectoria que describe un proyectil es: 4y = 4√3x − 5x 2 en unidades del S.I. Hallar la velocidad (en m/s) en el punto más alto de la trayectoria. (g=10 m/s2). A)1 B)2 C)4 D)5 E)8

SEMANA 04: ESTÁTICA

E)  180000 19. Si el bloque tiene que bajar a velocidad constante de 16m/s. ¿Cuál debe ser la velocidad angular (en rad/s) con que debe girar la rueda c? (Ra = 8cm; Rb = 25cm; Rc = 8cm) A)250 B)150 C)120 D)300 E)500

a c

b

Tipos de fuerza: Peso; Normal, Rozamiento, Tensión, compresión.

16m/s

20. Una rueda que giraba a a 450RPM se detienen en 6 segundos. Calcular el ángulo girado en el último segundo. 3 rad 4 5 rad D) 4 A)

Fuerza: Es el resultado de la interacción entre dos cuerpos cualesquiera. Se les asocia a los fenómenos de empujar, halar, tensar, comprimir, atraer, repeler, estirar,etc. Naturaleza de las fuerzas. a) Gravitatorias . Aquellas que se originan por causas de la atracción entre dos masas b) Electromagnéticas. Aquellas que se deben a la presencia de cargas eléctricas o a su movimiento respecto de otras cargas. c) Nucleares débiles Aquellas que se originan durante una desintegración atómica d) Nucleares fuertes. Son de origen nuclear y gracias ella se mantienen unidos los protones

7 rad 4 3 rad E) 2

B)

C ) 6 rad

21. Un ventilador gira a razón de 240 RPM y al desergenizarse inicia un movimiento uniformemente desacelerado con una aceleración de 0,25rev/s2. ¿Cuántas revoluciones habrá experimentado durante los dos (2) primeros segundos? A)5,5 B)6,5 C)7,5 D)8 E)9

Resortes: Son cuerpos formados por alambres que han sido enrollados alrededor de un tubo recto adquiriendo propiedades elásticas. La fuerza recuperadora en un resorte deformado viene dado por la Ley de Hooke: F :Fuerza

F= Kx Unidad (K)=N/m

x

x: Deformación en cm, m,

F

1RA Ley de Newton: “Si la resultante de las fuerzas sobre un cuerpo es nula, entonces dicho cuerpo se encontrará en estado de reposo o en movimiento rectilíneo uniforme” v=0 ó ves constante

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3RA Ley de Newton: “Si un cuerpo actúa sobre otro con una fuerza llamada acción, entonces éste actuará contra el primero con una fuerza de igual valor pero de dirección opuesta llamada reacción” F acción = - F reacción PRIMERA CONDICIÓN DEL EQUILIBRIO (Equilibrio traslacional)

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Ejemplos 1. Para el sistema en equilibrio que se muestra, calcular el estiramiento del resorte. No hay fricción; el cilindro A pesa 100N y elcilindro B, 40N; k = 10√3N/cm. Sol.

ΣF=0 Σ FX = 0 ΣF DERECHA= Σ F IZQUIERDA Σ FY = 0 ΣF ARRIBA = Σ F ABAJO Teorema de Lamy

F3 F1 F2   Sen Sen Sen F2

Sobre A

F1

θ

ΣFx = 0; →

α

β F3

F = Rcos30º; kx = R(√3/2); x = R(√3/2)/10√3; x = R/20

SEGUNDA CONDICIÓN DEL EQUILIBRIO (Equilibrio rotacional) Momento de una fuerza, magnitud vectorial, cuyo valor indica la tendencia a la rotación que provoca una fuerza aplicada sobre un objeto, respecto a un punto llamado centro de rotación

(1)

Sobre B ΣFy = 0; → Rsen30º = wB;

F o

R(1/2) = 40;

F

Giro

Giro

Antihorario

R = 80N

Horario

o

L

*

L

(+)

(-)

Mo = ± F . L Brazo de palanca Fuerza

Un cuerpo estará en equilibrio de rotación si el momento resultante sobre él es nulo, lo cual produce una aceleración angular también nula F F B

A

B

A

* en (1): x = 80/20;

x = 4cm

2. Una regla homogénea de 90cm de longitud pesa 1N. En uno de sus extremos se suspende un peso de 1,5N, para que la regla se mantenga horizontal se le debe suspender de un punto ubicado a una distancia del extremo cargado de: Solucion. ΣMo = 0; → 1,5(x) = 1(45 – x); 2,5x = 45; x = 18cm

o L2

L 1

M

O

0

M M O

3. Si la barra homogénea AB mostrada pesa 10N. Determinar las tensiones en las cuerdas 1 y 2. Q = 3N.

O

FA . L1  FB . L2 Sol. ΣMB = 0; → 3(10) + 10(5) = T1(8); T1 = 10N * ΣFy = 0; → T1 + T2 = 3 + 10 * en (1): 10 + T2 = 3 + 10;

(1) T2 = 3N

117 | P á g i n a


PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Halle la relación entre los pesos de los bloques "A" y "B" para que el sistema esté en equilibrio, las superficies son lisas y las poleas ingrávidas.

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inclinado, como se muestra en la figura. El coeficiente de fricción estático entre el bloque y el plano inclinado es 0,8. La magnitud de la fuerza que el plano ejerce sobre el bloque es:

A 37°

B

A)100N B)80N C)64N D)60N E)48N 30°

A)1 B)2 C)3 D)4 E)8 2. Encuentre la relación entre los pesos de los bloques "A" y "B", para el equilibrio; no hay rozamiento.

6. En la figura tenemos una varilla uniforme de longitud "L" y masa "m", sostenida por dos resortes de constantes K1 y K2, tales que K1=2K2. ¿A qué distancia del resorte de constante K1 deberá colocarse un cuerpo de masa “m” para que la varilla se mantenga horizontalmente en equilibrio? (Los resortes tienen la misma longitud natural).

A B

K1

K2

37º

A)2 B)3/4 C)3/5 D)4/5 E)1/2

A)L/3 B)L/2 C)L/4 D)L/5 E)L/6

3. Calcular la tensión de cada cuerda, existe equilibrio 53° 37°

50N A)30N; 40N C)40N; 40N E)25N; 25N

B)30N; 30N D)50N; 50N

4. Un Hércules de circo levanta a su mujer (70kgf) y a su hijo (30kgf) colgados en los extremos de una barra, sin peso apreciable, de longitud 2m (ver figura). ¿Qué fuerza efectúa (en kgf) y por dónde tiene que sostener la barra (en m) con respecto a su mujer ?

A)120;0,6 D)100;0,2 E)90; 0,5

B)100;0,6

C)200;0,4

7. Una persona de 600N de peso está sujeta a una polea que puede deslizarse a lo largo del cable inextensible de 5m de longitud, cuyos extremos A y B están fijos a las paredes verticales separadas 4m entre sí. En condiciones de equilibrio, halle la magnitud de la tensión del cable en N. B A

A)200 B)300 C)500 D)600 E)1200 8. Mediante una fuerza horizontal se desea llevar hacia arriba, con movimiento uniforme, un bloque de 50N sobre el plano inclinado mostrado en la figura. Si el coeficiente de fricción cinético entre el bloque y el plano es 0,5; determinar la magnitud de dicha fuerza en Newtons. ( g=10 m/s2)

F 53°

5. Un pequeño bloque cúbico cuyo peso es 100N está en equilibrio sobre un plano

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A)175 B)200 C)225 D)250 E)275 A

9. La figura muestra una balanza de brazos desiguales en equilibrio. Al sumergir el bloque M en el agua se necesita un peso Q que sea colocada en el punto A (a 5m del punto de apoyo) para que los brazos de la balanza queden nuevamente en equilibrio en posición horizontal. Calcular el módulo del empuje que sufre el bloque M al sumergirse en el agua. P=20N; Q= 6N. 10m

A) 5cm B)12cm C)15cm D)8cm E)2cm 13. Calcular la fuerza «F» para que exista equilibrio. Las esferas son iguales y pesan 10 N

F

30°

5m A P

M

A) 10√3N B)20√3N C)10N D)20N E)40N

A)2N B)3N C)4N D)5N E)1N 10. Un bloque es presionado contra una pared vertical mediante una fuerza cuyo módulo es 20N, como se Indica en la figura, en donde =45°. El coeficiente de fricción estático entre el bloque y la pared es 1,5. El máximo peso, en N, que puede tener el bloque para permanecer en equilibrio es:

14. Si la barra esta en equilibrio. ¿Cuál será el valor de la fuerza F?

A)20N B)30N C)40N D)50N E)60N 15. ¿Cuál es el valor de F para que la barra este en equilibrio?

F 45º

A)5 B)5 C)5√3 D)10 E)5√5 11. Una barra uniforme de 5m de longitud y una masa total de 150kg se une al suelo mediante una articulación mientras se sujeta por un cable horizontal, como se muestra en la figura. Cuál es la tensión (en N) del cable? La barra hace un ángulo =53º con la horizontal. A)220 B)225 C)230 D)325 E)345

12. En el sistema de la figura la barra homogénea AB tiene una longitud de 1m y una masa de 8kg. Si la constante elástica del resorte es k=400√2N/m, calcular la deformación del muelle.

A)100N B)150N C)200N D)250N E)300N 16. Se requiere de una fuerza horizontal con módulo de 10N para desplazar una caja de 3kg de masa sobre un piso horizontal a una velocidad constante con módulo de 0,20m/s. ¿Cuál es la magnitud (en N) de la fuerza de fricción que se opone al movimiento de la caja? A)10 B)15 C)20 D)30 E)N.A 17. El bloque de la figura tiene una masa de 3kg y está suspendido de una cuerda, de masa despreciable. La cuerda forma un ángulo de 60° con la vertical, debido a que al bloque se le aplica la fuerza F. Determínese el valor de la fuerza F. (Asumir g=10m/s2). 60°

F

45º

B 45º

A)47,24 B)49,35 C)51,96D)53,27

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E)55,42 18. La escala de una balanza de resorte indica de 0 a 100N y tiene una longitud de 20cm. ¿Cuánto se estira el resorte (en cm) si se le cuelga un peso de 32N? A)5,4 B)5,8 C)6,0 D)6,4 E)7,2 19. Cuando una caja de 3,8kg es empujada por una fuerza de 20N, la cual hace un ángulo de 37° con la horizontal, realiza un movimiento con velocidad constante sobre una superficie horizontal. Luego, el coeficiente de fricción cinético entre la caja y la superficie es: (g=10m/s2 ) A)0,22 B)0,32 C)0,42 D)0,52 E)0,62 20. Una varilla rígida y uniforme se encuentra en equilibrio apoyada en su punto medio P. A continuación se coloca simultáneamente una masa m 1=12kg, a 2m a la izquierda; y otra m 2=8kg, a 4m a la derecha de P. Como resultado, la varilla: A)Gira en sentido horario.

SEMANA 5 DINÁMICA LINEAL Es aquella parte de la física que estudia la relación entre el movimiento de los cuerpos y las fuerzas que actúan sobre ellos. PESO O FUERZA GRAVITATORIA: Es la fuerza de atracción que ejerce la tierra sobre todo cuerpo, y que está dirigido hacia el centro de la tierra. En realidad esta fuerza de atracción va disminuyendo a medida que nos alejemos de la tierra. el peso de un cuerpo varía según donde lo midamos. g : Aceleración de la gravedad. INERCIA: Es la tendencia natural de un objeto a mantener un estado de reposo o a permanecer en movimiento uniforme en línea recta (velocidad constante).

B)Gira en sentido antihorario. C)Se desplaza a la derecha. D)Se desplaza a la izquierda. E)Continúa en equilibrio. MASA:

21. En el plano inclinado AB se apoya una caja de 10kg de masa. A fin de mantenerla en equilibrio se aplica una fuerza F paralela al plano inclinado. Las superficies presentan un coeficiente de rozamiento 0,1. En estas condiciones. ¿En qué intervalo de valores debe variar la magnitud de la fuerza F en Newtons a fin de mantener el estado de equilibrio? B

3

F A

4 A) 26 F 45 B) 45 F 52

Es una medida de la INERCIA que posee un cuerpo; es decir que a mayor masa el cuerpo tendrá más inercia y será más difícil cambiar su velocidad, en cambio a menor inercia el cuerpo ejerce menor oposición a modificar su velocidad. La masa de un cuerpo es la misma en cualquier lugar del universo.

SEGUNDA LEY DE NEWTON: Si sobre un cuerpo actúan varias fuerzas, éstas pueden ser reemplazadas por una sola llamada fuerza resultante (FR); esta ley nos dice: "Toda fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo generará una aceleración en la misma dirección y sentido que la fuerza resultante, tal que el valor de dicha aceleración es directamente proporcional a la fuerza resultante e inversamente proporcional a la masa del cuerpo”.

C) 52 F 68 D) 68 F 86 E) 86 F 104

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Unidad (S.I.):

OBSERVACIONES: De lo anteriormente expuesto es bueno resaltar las siguientes características: a)

b)

c)

La aceleración de un cuerpo tiene la misma dirección y sentido que la fuerza resultante que la produce. Si las fuerzas aplicadas sobre el cuerpo permanecen constantes, entonces la aceleración también será constante. La aceleración que se imprime a un cuerpo es directamente proporcional a la fuerza resultante aplicada. Por lo tanto si la resultante se duplica, la aceleración también se duplica; si la resultante se reduce a la tercera parte, la aceleración también lo hará.

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Todos los cuerpos materiales presentan en sus superficies asperezas o rugosidades las que generan una resistencia u oposición al deslizamiento de una superficie sobre la otra; ésta oposición se manifiesta a través de una fuerza (f) paralela a la superficie de contacto y perpendicular a la fuerza normal (N) en dicho contacto. Si las superficies en contacto no deslizan se dice que el rozamiento es estático, en cambio si existe deslizamiento presenta rozamiento cinético. FUERZA DE ROZAMIENTO ESTÁTICO (fS): Es una fuerza variable que trata de evitar el inicio del deslizamiento; su valor cambia desde un mínimo de cero cuando las superficies no tratan de deslizar, hasta un valor máximo que se alcanza cuando el deslizamiento es inminente (a punto de efectuarse). No hay tendencia al deslizamiento:

Hay tendencia al deslizamiento:

Está a punto de deslizar: d)

La aceleración que se imprime a un cuerpo es inversamente proporcional a la masa de dicho cuerpo. Es decir si aplicamos una misma fuerza a dos bloques A y B, de tal manera que la masa de B sea el doble que la masa de A, entonces la aceleración de B será la mitad de la aceleración de A.

MÉTODO PARA RESOLVER PROBLEMAS DE DINÁMICA 1. Hacer un diagrama de cuerpo libre (D.C.L.) del cuerpo. 2. Elegir el sistema de ejes adecuados; un eje paralelo al movimiento (eje x) y otro perpendicular a él (eje y), y descomponer todas las fuerzas en estas dos direcciones. 3. Las componentes de las fuerzas perpendiculares al movimiento se anulan entre sí, puesto que el cuerpo no se mueve en esa dirección. Por lo tanto en el eje “y” hay equilibrio de fuerzas.

4. Las componentes de las fuerzas (eje x) en la dirección del movimiento cumplen la Segunda Ley de Newton:

fS(máx): fuerza de rozamiento estático máximo μS: coeficiente de rozamiento estático. N : fuerza normal en el contacto. FUERZA DE ROZAMIENTO CINÉTICO (fK): Esta fuerza se presenta cuando existe deslizamiento, siendo su valor constante independiente de la velocidad de resbalamiento y del área en contacto; su valor es directamente proporcional a la fuerza normal en el contacto, denominándose a la constante de proporcionalidad coeficiente de rozamiento cinético.

fK : fuerza de rozamiento cinético. μK : coeficiente de rozamiento cinético. N : Fuerza normal en el contacto. OBSERVACIONES: 1. La fuerza de fricción (f) es independiente del área de contacto de las superficies ásperas. 2. Para dos superficies ásperas en contacto se cumple que: 3. Los coeficientes de rozamiento son números (adimensionales) generalmente entre 0 y 1. 4. La fricción disminuye con el uso de lubricantes, asimismo la humedad y el calor. REACCIÓN TOTAL EN UNA SUPERFICIE ÁSPERA Es la resultante de la fuerza normal y la fuerza de rozamiento.

Donde:

ROZAMIENTO

Por Pitágoras:

ROZAMIENTO O FRICCIÓN:

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DINÁMICA CIRCULAR De la segunda ley de Newton sabemos que la aceleración a que adquiere una partícula tiene la misma dirección que la fuerza resultante. Cuando la aceleración a no es colineal con la velocidad V se produce un movimiento curvilíneo. En un movimiento curvilíneo la aceleración lineal a se puede descomponer en sus componentes tangencial y radial.

EJERCICIOS RESUELTOS 1. Calcular el valor máximo de la fuerza “F” (en N) para el bloque de 165 N de peso no se deslice. (Tgα= 5/12)

SOLUCIÓN

ACELERACION TANGENCIAL(at): Es un vector tangente a la trayectoria se encarga de cambiar la rapidez del móvil, es decir la aumenta o disminuye.

ACELERACION NORMAL, RADIAL O CENTRÍPETA (ac):Es un vector perpendicular a la velocidad instantánea del móvil, cuya función es cambiar la dirección de la velocidad provocando el movimiento curvilíneo, la aceleración normal siempre está dirigida hacia el centro la circunferencia.

an 

V2  2R R

LA FUERZA CENTRIPETA(FC): Se halla sumando las fuerzas que van hacia el centro de la circunferencia y restando las que salen.

F

entran

2. Un automóvil se desplaza sobre un puente circular de 180 m. de radio. Hallar la velocidad (en m/s) del auto sabiendo que cuando pase por la parte más alta del puente la reacción normal sobre el auto es el 50% de su peso. (g=10m/s2)

  Fsalen  Fc  mac Solución:

Casos comunes Analicemos el diagrama de cuerpo libre de un móvil en movimiento circular en cuatro posiciones: A,B,C y D, luego determinemos la fuerza centrípeta en cada posición.

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Dos bloques de masas m1 = 20kg y m2=8 kg, están unidos mediante una cuerda homogénea inextensible que pesa 2kg. Se aplica al conjunto una fuerza vertical hacia arriba de 560N. Calcular: a) La aceleración del conjunto. a)8,86 m/s b)9,86 m/s c)10,86 m/s d)11,86 m/s e)12,86 m/s 2. Una persona de masa m = 58 kg se encuentra sobre una plataforma de masa M=14,5 kg la cual está unida a una cuerda

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que pasa por una polea como se muestra en la figura adjunta. Encontrar la fuerza que la persona debe hacer sobre el extremo libre de la cuerda para: a) Subir con aceleración de 0,61 m/s2. a)277 N b)377N c)477 N d)577 N e)677N

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a)3

b)2,5

c)2

d)1,5

e) 1

8. Dos cuerpos en el sistema mostrado, hallar la aceleración de cada una de ellas si μ K=0,5 y ambas tienen igual masa. (g=10 m/s2)

37°

3. Dos bloques A y B de masa m A = 14kg y mB = 10kg, están unidos por una cuerda cuya masa total es m = 8kg como se indica en la figura. Si se aplica al bloque superior A una fuerza vertical F de módulo 480N, se pide calcular: a) La aceleración del sistema. a)5m/s2 b)6m/s2 c)7m/s2 d)8m/s2 2 e)9m/s

a )3 b) 4

c) 5

d)6

e)7

9. Si el sistema de partículas se deja en libertad. Halle “T” (en Newton). g=10m/s2 , No hay rozamiento

T 1kg 3 Kg

a) 5,8 b 6 c) 6,5 d)7,2 4. Se aplica una fuerza constante de 25 N a un cuerpo de 5 Kg, inicialmente en reposo. ¿Qué velocidad (m/s) alcanzará y qué espacio habrá recorrido al cabo de 10 segundos? a)30 b)40 c)50 d)60 e)70

10. Calcular la fuerza F (en N) que actúa sobre el sistema, si la tensión entre los bloques es de 22,5 N. No hay rozamiento 5 Kg 3 Kg

5. Calcular la masa de un cuerpo que al recibir una fuerza de 20 N adquiere una aceleración de 5 m/s2. a)4Kg b)5Kg c)6Kg d)7Kg e)8Kg a) 16 6. Dos pesas idénticas se atan con una cuerda inextensible y se liberan (como se muestra), sobre un horizonte liso. Determine su respectiva aceleración (en m/s 2). Considere g=10 m/s2

a) 4

b) 5 c)6

d)7

e) 7

b) 26

c) 36

F

d) 46

e) 56

11. Un cuerpo de 6kg se encuentra atada a una cuerda de 2m de longitud, y gira en un plano vertical. Si en el instante que muestra la figura su velocidad tangencial es 5m/s. ¿Cual es la tensión (en N) en la cuerda?

e) 8

7. Calcular la aceleración (en m/s 2), si se considera un coeficiente de rozamiento cinético de 4/5 entre el peso y el plano horizontal. Los cuerpos son idénticos. g=10 m/s2

A) 91 B)131

C)121

D)111 E)113

12. Si se corta la cuerda en el sistema que muestra la figura, calcular la aceleración (en m/s2) que adquiere el bloque de 5kg. µ = 0,8 y 0,5

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A)7

B) 4

C) 2

D) 5

E) 3

13. Una pequeña esfera de masa m descansa inicialmente en la parte baja de un casquete semiesférico de 2m de radio. Calcular el ángulo que forma la posición de la pequeña esfera con la vertical, cuando el casquete alcance una velocidad angular de π rad/s. No hay fricción; π2 = g. A) 37º

B) 60º

C) 30º

D) 53º

E) 45º

14. Para el sistema que se muestra en la figura, el bloque A sube 1m en 1s partiendo del reposo. Cuánto vale el coeficiente de rozamiento entre el bloque B y el plano inclinado. A = 5kg; B = 10kg.

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este se mueve con una aceleración de 0,392 m/s2. Los coeficientes de fricción estático y cinético son respectivamente (considere g=9,8m/s2) A)0,6 ; 0,28 B) 0,5 ; 0,32 C) 0,3 ; 0,4 D) 0,4 ;0,36 E) 0,2 ; 0,44 19. Un péndulo cónico tiene una longitud de 50cm y al girar la cuerda forma con la vertical un ángulo de 37º. Hallar el periodo (en s) de rotación de dicho péndulo. g = π2m/s2 A) 1 B)1,2 C) 0,8 D) 0,6 E) 0,4

20. Determinar la velocidad tangencial (m/s) de la esfera de 4 kg, si en la posición indicada la reacción es de 26 N. (radio= 2m).

A) 0,13 B) 0,5 C) 0,25 D) 0,24

A)3

B)4

D)6

E) 7

C) 5

37 º

E) 0,3

SEMANA 06 15. Una placa horizontal plana cae verticalmente con una aceleración constante de 4 m/s 2 (dirigida hacia abajo).Sobre ella descansa un cuerpo de 10kg. Hallar la fuerza que este cuerpo ejerce sobre la placa durante el descenso ( g = 10 m/s2). A)80N B)120 N C)40N D)50N e)60N

TRABAJO, POTENCIA, ENERGÍA Matemáticamente podemos decir: “El trabajo es igual al producto del desplazamiento por la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento”. El trabajo es una magnitud escalar.

16. Calcular el peso de “A” para que el sistema se mueva con velocidad constante debido a la fuerza constante F = 30N aplicada en B; si la reacción en A es igual a

√3 2

WA

Donde: F: fuerza que realiza trabajo

A)100N B)90N C)40N D)50 N E)60N 17. Una placa horizontal plana cae verticalmente con una aceleración constante de 4m/s 2 (dirigida hacia abajo).Sobre ella descansa un cuerpo de 10kg. Hallar la fuerza que este cuerpo ejerce sobre la placa durante el descenso ( g = 10m/s2). A)80N B)120N C)40N D)50N E)60N 18. La mínima fuerza horizontal necesaria para hacer mover un cuerpo de 100 N de peso que descansa sobre una superficie horizontal es de 40 N. Cuando esta fuerza se aplica al cuerpo

W: trabajo realizado por “F” : Ángulo entre la fuerza “F” y el desplazamiento “d”. d: desplazamiento. Unidad de trabajo en el S.I. CASOS PARTICULARES DE TRABAJO MECÁNICO DE UNA FUERZA CONSTANTE: A) si la fuerza esta en el sentido del movimiento (=0°).

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B)

si la fuerza es perpendicular al movimiento (=90°).

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ENERGÍA : Un sistema puede tener energía mecánica como consecuencia de su ubicación, su arreglo molecular interno o su movimiento. Existen diferentes tipos de energía, en este capítulo nos ocuparemos sólo de la energía mecánica (cinética, potencial gravitatoria y potencial elástica).

ENERGÍA CINÉTICA (EK): Es una forma de energía que depende del movimiento relativo de un cuerpo con respecto a un sistema de referencia, será por lo tanto energía relativa.

Otras unidades:

ENERGÍA POTENCIAL ELÁSTICA (EPG):

POTENCIA: Es aquella magnitud escalar que nos indica la rapidez con la que se puede realizar trabajo. Dónde: P : potencia W: trabajo t : tiempo

POTENCIA EN TÉRMINOS DE LA VELOCIDAD

Es una forma de energía que depende de la posición de un cuerpo con respecto a un sistema de referencia. Es decir, es aquel tipo de energía que posee un cuerpo debido a la altura a la cual se encuentra, con respecto al plano de referencia horizontal, considerado como arbitrario. Por lo tanto podemos afirmar que es una energía relativa.

ENERGÍA POTENCIAL ELÁSTICA (EPE): Es la energía que poseen los cuerpos debido a su elasticidad. Al comprimir o estirar un resorte se realiza un trabajo, este trabajo se almacena en el resorte bajo la forma de energía potencial elástica. La energía potencial elástica para el resorte de la figura está dada por:

ENERGÍA MECÁNICA (EM ): Es la suma de la energía cinética, la energía potencial gravitatoria y la energía potencial elástica.

𝐸𝑀 = 𝐸𝐾 + 𝐸𝑃𝐺 + 𝐸𝑃𝐸

Unidad de potencia en el S.I. Otras unidades: HORSE POWER (H.P.): 1H.P.=746 WATS EFICIENCIA O RENDIMIENTO (ƞ) La eficiencia es aquel factor que nos indica el máximo rendimiento de una máquina. También se puede decir que es aquel índice o grado de perfección alcanzado por una máquina. Ya es sabido por ustedes, que la potencia que genera una máquina no es transformada en su totalidad, en lo que la persona desea, sino que una parte del total se utiliza dentro de la máquina. Generalmente se comprueba mediante el calor disipado. El valor de eficiencia se determina mediante el cociente de la potencia útil o aprovechable y la potencia entregada .

Principio de conservación de la energía: “la energía no se crea ni se destruye, sólo se transforma”. CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA: Cuando las fuerzas que actúan en un cuerpo son conservativas, la energía mecánica del cuerpo permanece constante.

TEOREMA DEL TRABAJO Y LA ENERGÍA MECÁNICA “La cantidad de trabajo realizado por las fuerzas diferentes a la fuerza de gravedad (peso) y a la fuerza elástica, sobre un cuerpo o sistema de partículas, es igual a la variación de la energía mecánica”.

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TEOREMA DE LA ENERGÍA CINÉTICA La energía cinética equivale al trabajo que se desarrolla sobre un cuerpo para que incremente su velocidad. “La variación de la energía cinética es una medida del trabajo de la fuerza resultante”

EJERCICIOS RESUELTOS: 1. Hallar el trabajo neto en el gráfico mostrado; no existe rozamiento. (g = 10 m/s2)

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mueve en la dirección x, desde el origen hasta x  5m . Encuentre el trabajo efectuado sobre la partícula por la fuerza

F A)60J B) 90J C) 50J D)50J E)100J 3. La fuerza F paralela al eje x, que actúa sobre una partícula, varía como la muestra la figura “F vs. x”. Si el trabajo realizado por la fuerza cuando la partícula se mueve en la dirección x, desde x0 = 0 hasta “xf” es 70 J, ¿cuál es el valor de xf? F (N) 20

Solución:

xf 2. Un avión de papel de 50 gramos tiene rapidez 8 m/s en el instante que se encuentra a 3 metros del piso. Determine la cantidad de energía mecánica (en J) del avión respecto del piso. (g = 10 m/s2) Solución: La masa se mide en kilogramos, m = 0,05 kg. Cálculo de la cantidad de energía mecánica:

3. Un cuerpo de masa 0,4 kg cambia su rapidez de 20 m/s a 10 m/s. Determine la cantidad de trabajo neto (en J) realizado sobre el cuerpo por fuerzas externas. Solución: Aplicamos el teorema de la energía cinética:

5

10

x (m)

-10

A)12m B)16m C) 20 m D)15m E) 18 m 4. Apartir del reposo en el punto A de la figura, una cuenta de 0,5 kg se desliza sobre un alambre curvo. El segmento de A a B no tiene fricción y el segmento de B a C es rugoso. Si la cuenta se detiene en C, encuentre la energía perdida debido a la fricción. (g = 10 m/s²).

A

5m

C 2m

B

A)15 J B) 20J C)30 J E)50 J

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Un arquero jala la cuerda de su arco 0,5 m ejerciendo una fuerza que aumenta de manera uniforme de cero a 250 N ¿Cuánto trabajo desarrolla el arquero? A)75 J

B) 62,5 J E)125 J 

C)100J 

D)57,5J

D)25J

5. El carro que se mueve sobre la montaña rusa mostrada en la figura pasa por el punto A con una rapidez de 3 m/s. La magnitud de la fuerza de fricción es igual a la quinta parte del peso del carro. ¿Qué rapidez tendrá el carro al pasar por el punto B? La longitud de A a B es 60 m. (g =10 m/s2)



2. Una fuerza F  (4x i  3y j) N actúa sobre una partícula conforme ella se

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VA

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A) 1000 J

B) 0

D) 500 J

E) 2000 J

9. Calcule el trabajo neto realizado sobre un esquiador de 70 kg de masa que desciende 50 m por una pendiente de 16º sin rozamiento. (g = 10 m/s²)

A

A) 8400J D)4900J 20 m

VB

B A)9m/s B)11m/s E)30 m/s

C)13m/s

D)16m/s

6. Un automóvil de 1 500 kg de masa acelera desde el reposo hasta alcanzar una rapidez de 20 m/s, recorriendo una distancia de 200 m a lo largo de una carretera horizontal. Durante este período, actúa una fuerza de rozamiento de 1 000 N de magnitud. Si la fuerza que mueve al automóvil es constante, ¿Cuál es el trabajo que ella realiza? A) 100 Kj B) 200 kJ C) 300 Kj D)500 kJ E) 800 kJ 



7. Una fuerza F  (300 i)N arrastra un bloque de 200 kg de masa, una distancia de 25 m sobre una superficie horizontal. Si 



la fuerza de fricción es f K  (200 i) N , ¿cuál es el trabajo neto realizado sobre el bloque?, ¿cuál es la magnitud de la aceleración del bloque?

300N

mg

a

m

m

N

B)5600J E) 9800J

C) 2000J

10. Una caja de masa m se suelta desde la parte más alta de un plano inclinado, de altura h y longitud L, ¿Qué trabajo realiza la fuerza gravitatoria sobre la caja cuando recorre todo el plano inclinado? (g = aceleración de la gravedad) A) mgh B) mgL C) 2 mgh D) 2 mgL E) mgh/L 11. Un motor tiene que elevar un ascensor de 1 000 kg de masa, que se halla en reposo sobre el suelo, hasta que alcanza una rapidez de 3 m/s a una altura de 12 m. ¿Cuánto trabajo tendrá que realizar el motor? Asumir que la fuerza sobre el ascensor es constante en todo momento y que g = 10 m/s². A) 36 000J B) 124 500 J C)4 600J D) 72 000J E) 9 200 J 





12. Una fuerza F  (30 i  40 j) N actúa sobre partícula que experimenta un      desplazamiento d   6 i  2 j  m.   Encuentre el trabajo realizado por la 

200N

fuerza F sobre la partícula y el ángulo

d = 25 m

A) 2500J;0,1m/s2 C) 7500J ;0,5 m/s2 E) 250 J ; 0,5 m/s2

B)2500J;0,5m/s2 D)6000J;1,5m/s2

8. ¿Qué trabajo neto se realiza sobre el bloque, para desplazarlo 50 m sobre el piso horizontal liso?





entre F y d . A) 200 J ; arc cos ( 10 /10) B)

75 J ; arc cos ( 10 / 5)

C)

50 J ; arc cos ( 10 / 5)

D) 250 J ; arc cos ( 10 / 3) E) 100 J ; arc cos( 10 / 10)

50 N 37°

C) 400 J

30 N

13. Un ascensor tiene una masa de 1 000 kg y transporta una carga de 800 kg. Una fuerza de fricción constante de 4

127 | P á g i n a


000 N retarda su movimiento hacia arriba, ¿cuál debe ser la potencia entregada por el motor para levantar el ascensor a una rapidez constante de 3 m/s? A) 36,4 kW B) 59,3 kW C) 64,9 Kw E) 47,2 kW

D) 24,6 kW

14. Un auto de 1500 kg de masa acelera uniformemente desde el reposo hasta alcanzar una rapidez de 10 m/s en 3 s. Encuentre la potencia media (en kW) entregada por el motor en los primeros 3 s y la potencia instantánea (en kW) entregada por el motor en t = 2 s. A) 25 ; 30 B) 25 ; 33,33 C) 15 ; 20 D) 15 ; 30

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A) 0,9 m/s D) 0,7 m/s

2 V0 3

A)

E) 25 ; 27,5

A) 25%

B) 30% C) 50% D)75%

C) 0,5 m/s

18. Un cuerpo comienza a caer desde el reposo por acción de la gravedad. Cuando está a una altura H sobre el suelo se verifica que su energía cinética es igual a su energía potencial, la rapidez del cuerpo en este punto es Vo; el cuerpo sigue bajando y llega a una altura sobre el suelo igual a H/2, en ese instante determine la rapidez del cuerpo en función de Vo.

D)

15. ¿Cuál es la eficiencia de un motor que pierde una potencia equivalente a la tercera parte de la potencia útil?

B) 0,3 m/s E) 1,3 m/s

3 V0 2

B)

2 V0 3

C)

3 V0 2

E) 3V0

19. 19.- Un cajón de 5 kg se encuentra inicialmente detenido en un piso horizontal áspero con un coeficiente de fricción (𝜇𝑘 = 0,5). De pronto es afectado por una fuerza constante F=50N que logra ponerle en movimiento. Calcular el trabajo neto para desplazarlo 7,5 m

E) 80%

F

16. Una esfera de 200 g de masa se lanza verticalmente hacia arriba con una rapidez de 30 m/s ¿Cuál es la relación entre su energía cinética y su energía potencial luego de 2s de haberse lanzado? (g = 10 m/s2) 1 1 1 A) B) C) 2 4 3 1 1 D) E) 6 8 17. Un bloque de 10 kg de masa se une a un N resorte, de constante de rigidez K = 10³ , m como se ve en la figura. El resorte se comprime una distancia de 9 cm e inmediatamente se suelta desde el reposo. Calcule la rapidez máxima que alcanza el bloque durante su movimiento. Considere que las superficies son lisas.

P.E. = Posición de

37°

A) 200J B)225J C)300J D)400J E) 480 J 20. En el grafico se muestra F vs X . Encuentre la fuerza media para las posiciones x o=6 m y xf=12 m

F (Newton)

37°

10

0

4

A)5 J B)8 J E) 15 J

8

x (metros)

C)10J

D)11J

equilibrio

k

9 cm

128 | P á g i n a


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Convención de signos: Las velocidades que señalan a la izquierda serán consideradas negativas y las que señalan a la derecha serán positivas.se tiene:

SEMANA 07 DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS

𝑚1 𝑢1 − 𝑚2 𝑢2 = −𝑚1 𝑣1 + 𝑚2 𝑣2

Sistema de partículas es un conjunto de partículas cuyas propiedades globales queremos estudiar. La fuerza exterior de un sistema de partículas es aquella que viene de fuera del sistema. La fuerza interior es la proveniente de las interacciones entre las propias partículas del

.

sistema. Se pueden denotar como Fext y Fint

COEFICIENTE DE RESTITUCIÓN: A la relación entre la velocidad relativa de las partículas después del choque, y la velocidad relativa antes del choque, se le denomina coeficiente de restitución (e). 𝑣2 − 𝑣1 𝑒= 𝑢1 − 𝑢2 0≤𝑒≤1

IMPULSO (I) Es una magnitud vectorial cuyo módulo mide la acción de una fuerza, durante un cierto intervalo de tiempo. De la segunda ley de newton:

CHOQUES ELÁSTICOS: Llamados así cuando la energía cinética del sistema se conserva. Se cumple: 𝑒=1

I F t1

t2

𝐼 = ∆𝑃

∆𝑉 ∆𝑡

𝐹=𝑚

F

CHOQUES INELÁSTICOS: En este tipo de choques la energía cinética no se conserva. Se cumple que:

𝐹∆𝑡 = 𝑚∆𝑉

𝐼 = 𝐹∆𝑡

0<𝑒<1

𝐹∆𝑡 = 𝑚(𝑉2 − 𝑉1 ) 𝐹∆𝑡 = 𝑚𝑉2 − 𝑚𝑉1

CANTIDAD DE MOVIMIENTO (P) Es una magnitud vectorial que se define como el producto de la masa de un cuerpo por su velocidad. Se le suele llamar también “Momentum” o “ímpetu”. Si partimos de:

CHOQUES COMPLETAMENTE INELÁSTICOS: En este caso los cuerpos salen juntos después del choque. Se cumple que: 𝑒=0 EJERCICIOS RESUELTOS:

CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

1. Un niño, cuya masa es de 40 Kg. se encuentra en el interior de un carrito, el cual se desliza a una velocidad de 3m/s, la masa del carro es de 100 kg, suponiendo que el niño saltará de tal modo que cayera verticalmente al suelo,¿ a qué velocidad se seguirá moviendo el carro en m/s)?

Si la fuerza resultante es nula, entonces la cantidad de movimiento se mantiene constante.

Solución:

𝑃 = 𝑚𝑉

𝐹∆𝑡 = 𝑚𝑉2 − 𝑚𝑉1 𝐹∆𝑡 = 𝑃2 − 𝑃1

𝐼 = ∆𝑃

𝐹∆𝑡 = ∆𝑃

V

V m

m

𝐹𝑒𝑥𝑡 = 0

Si: 𝐼 =0 𝐼 = ∆𝑃 = 𝑃𝑓 − 𝑃0 = 0 𝑃𝑓 = 𝑃0

2. Un fusil automático dispara 600 balas por minuto. La masa de cada bala es de 4gr. y su velocidad es de 500 m/s, hallar la fuerza media de retroceso del fusil. Solución:

COLISIONES O CHOQUES El fenómeno de colisión entre dos cuerpos en movimiento en el cual tenemos fuerzas activas y reactivas de una gran magnitud y en brevísimo tiempo, se denomina choque CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO EN LOS CHOQUES:

El ímpetu total antes del impacto es igual al ímpetu total después del impacto: m1

u1

u2

m2

Antes de la colisión

v1

m1

m2

v2

Despuésde la colisión

129 | P á g i n a


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4. Un cuerpo de masa m y velocidad v, tiene un choque completamente inelástico, con otro cuerpo que tiene la misma masa e inicialmente se encuentra en reposo ¿Cuál es la energía cinética del sistema después del choque?

3. Una esfera de 1 kg de masa que se mueve horizontalmente con una rapidez de 5 m/s, choca con un bloque en reposo de 8 kg. si la esfera rebota en sentido contrario con una velocidad de 3 m/s ¿calcular el coeficiente de restitución?

A) mV2 D) mV2 /4

B) mV2 /2 E) 3 mV2 /4

C) 2 mV2

Solución:

5.

Una esfera de 1 kg de masa que se mueve horizontalmente con una rapidez de 5 m/s, choca con un bloque en reposo de 8 kg. Si la esfera rebota en sentido contrario con una velocidad de 3 m/s y el bloque avanza. Calcular el coeficiente de restitución. A)1 B)0,9 C)0,85 D)0,8 E)0,75

6.


1. Un cañón de 5 x 103 kg de masa dispara un proyectil de 100 kg. La energía cinética del proyectil al salir del cañón es de 7,5 x 106 J ¿ Qué energía cinética tendrá el cañón a causa del retroceso? A) 1,5 x 105J B) 1,6 x 104J 4 C) 1,7 x 10 J D) 1,3 x 105J E) 1,2 x 104J 2. Dos cuerpos se mueven uno al encuentro del otro con velocidades de 2 m/s y 4 m/s respectivamente y chocan completamente inelásticamente. Si la velocidad de los cuerpos después del choque tiene la misma dirección de la velocidad del primero y su magnitud es de 1 m/s ¿Cuántas veces era mayor la energía cinética del primer cuerpo que la del segundo? A) 2,5 B) 2 C) 1,5 D) 1,25 E) 0,75 3. Por una tolva cae arena a razón de 2000 Kg/min sobre una faja transportadora que se desplaza horizontalmente a una velocidad de 250 m/min. Hallar la fuerza necesaria para desplazar la faja. No hay rozamiento. A) 87 N D) 139 N

B) 65 N E) 158 N

C) 122 N

Una bala de masa 5 g impacta horizontalmente en una tabla con una rapidez de 500 m/s. Producto de las irregularidades de la tabla, la bala se desvía de la horizontal un ángulo “”, emergiendo con una rapidez de 100 m/s. Si el espesor de la tabla es de 80 cm y la pérdida de energía es de 599,97 J, ¿cuál es el ángulo de desviación producido? A) 45º B) 53º C) 60º D) 37º E) 30º

7. Una esfera de masa 100 g es abandonada desde una altura de 20 m respecto al piso. Si al impactar contra el piso, éste ejerce un impulso de 3 N.s, ¿con qué rapidez (en m/s) rebota la esfera? A) 5 B) 6 C) 10 D) 12 E) 15 8. Una pelota elástica de masa 250 g que se mueve a una rapidez de 20 m/s, tal como se muestra en la figura, impacta con una pared vertical y rebota con una rapidez de 14 m/s. Determine el impulso (en N.s) y la fuerza (en N) que le da la pared a la pelota, si la interacción duró 1/100 s. A) 8,5() N.s; 8 500 N B) 8,5 ()N.s; 850 N C) 8,5() N.s; 8 500 N D) 8,5() N.s; 850 N E) 85 () N.s; 8 500 N 9. En el sistema que se muestra en la figura, el ángulo “” que forma la rapidez con el piso al momento del impacto es 37º. Si al rebotar, la rapidez forma un ángulo de 45º, determine el coeficiente de rozamiento, sabiendo que el coeficiente de restitución es igual a 5/9.

130 | P á g i n a


A) B) C) D) E)

0,25 0,80 0,50 0,60 0,30



45º

10. Una pelota es lanzada horizontalmente contra un plano inclinado, el cual forma un ángulo “” con la horizontal. Si el coeficiente de rozamiento de la pared es de 1/3, y el coeficiente de restitución equivale a 12/13, determinar el valor del ángulo “”. A) 53º B) 45º C) 30º D) 60º E) 37º

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15. Un proyectil de 200g que se desplaza horizontalmente con una velocidad de 75km/h, explota en dos fragmentos: A de 50g y B de 150g. Sabiendo que inmediatamente después de la explosión los fragmentos se mueven en las direcciones mostradas en la figura, determinar la velocidad de A y B. A) 160; 140 B) 220; 80 C) 200; 100 D) 180; 120 E) 240; 60 16. Una pelota de 0.2 kg.de masa rebota contra un piso horizontal como se muestra en la figura. Si V0= 12 m/s y Vf=5 m/s, ¿Cuánto es el modulo de la fuerza media (N) que recibió la pelota durante el rebote, si este duro 0.01 s.?

11. Para el sistema que se muestra en la figura, calcular la máxima deformación (en m) que experimenta el resorte de k = 10N/m. M = 50g = m; v = 2m/s

VF

V0 A) 260 53 º

B) 230

37º

C) 280

.

D) 130 A)0,1

B) 0,4

C) 0,7

D) 0,9

E) 1

12. Calcular el impulso (en N.s) debido a una fuerza que actúa sobre un bloque de 1kg, que inicialmente estaba en reposo, hasta el instante en que este alcance una rapidez de 20m/s. A)6 B) 20 C) 10 D) 25 E) 30 13. La esfera de 2kg se desliza partiendo del reposo por la superficie lisa que se muestra en la figura. Si después del choque la esfera se adhiere al bloque, calcular la altura (en m) máxima a la que se eleva el conjunto. M = 3kg

A) 1,2

B) 1

C) 0,8

E) 252

17. Se suelta una esfera de 2 kg desde una altura de 5 m y al impactar con el piso recibe un impulso verticalmente hacia arriba de 36 N-s ¿hasta qué altura rebotara la esfera? (g=10m/s2) A) 5 m B) 4.8 m C) 3.6 D) 3.2 m E) 0.4 m 18. Un muchacho de 60 kg esta sobre un cochecito de 40 kg en reposo, repentinamente en dirección horizontal una piedra de 1 kg con rapidez de 2 m/s respecto de tierra. ¿Calcular la rapidez con que retrocede el cochecito (cm/s)?

D) 2 E) 0,6

14. ¿De qué altura (m) fue soltada una pelota de 2kg, si el impulso neto de 40N.s que le da el piso hace que esta rebote una altura igual a la altura de la que fue soltada? A) 3 B) 4 C) 7 D) 5 E) 6

=0

A)1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

131 | P á g i n a


19. La masa de la esfera A de la figura es de 3 kg y la masa de la esfera B es de 2 kg. Si se les obliga aproximarse comprimiendo el resorte entre ellos y luego se les libera. la esfera B adquiere una rapidez de 0.3 m/s, cuando el resorte no presenta deformación ¿Qué energía (en joule) almacenaba el resorte inicialmente?

B

A

=0

A) 0.12 E) 0.3

B)0.15

C)0.2

D)0.35

20. Un bloque B1 con masa igual a 1 kg y velocidad de 8 m/s colisiona con un bloque idéntico B2, inicialmente en reposo, después de la colisión ambos quedan pegados y suben la rampa hasta comprimir el resorte en 0.1 m según muestra la figura. despreciando los efectos por rozamiento y considerando g=10 m/s2, h=0.5 m, = 30°. ¿Cuál es el valor de la constante del resorte en N/m?

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2. Elongación(X).- Es el desplazamiento de la partícula que oscila desde la posición de equilibrio hasta cualquier posición en un instante dado. 3. Amplitud(A).- Es la máxima elongación, es decir, el desplazamiento máximo a partir de la posición de equilibrio. 4. Periodo (T).- Es el tiempo requerido para realizar una oscilación o vibración completa. 5. Frecuencia (f).- Es el número de oscilación o vibración realizadas en la unidad de tiempo. 6. Posición de equilibrio(X0).- Es la posición en la cual no actúa ninguna fuerza neta sobre la partícula oscilante CINEMATICA DEL M.A.S. a) Elongación(x): 𝑋 = 𝐴𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜃) b) Velocidad(V): 2 𝑉 = 𝐴𝜔𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜃)𝑉 = 𝜔 √𝐴2 − 𝑋 2 c) Aceleración(a): 𝑎 = −𝐴𝜔2 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜃)𝑎 = −𝜔2 𝑋 Observaciones: 𝑉𝑚𝑎𝑥 = 𝜔𝐴 (X=0) 𝑎𝑚𝑎𝑥 = −𝜔2 𝐴 (X= A) Vmin =0 (X=±A)𝑎𝑚𝑖𝑛 = 0 (𝑋 =0) DINÁMICA DEL M.A.S. La fuerza resultante (FR) que actúa sobre el cuerpo que realiza M.A.S. se llama fuerza recuperadora. Señala hacia la P.E. y su magnitud es directamente proporcional a la elongación. Por la segunda ley de newton: 𝐹𝑅 = −𝑚𝜔2 𝑋

𝐹𝑅 = 𝑚𝑎 F= −𝐾𝑋 B1

V1=8 m/s

A) 1000 D) 1300

B2 

B)1100 E) 2400

𝐾 𝜔=√ 𝑚

0.1 m

h

𝑇 = 2𝜋√

C)1200

SEMANA 08

𝜔 = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟𝐾 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. 𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎𝑑𝑒𝑙𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑚 = 𝑚𝑎𝑠𝑎 CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍAMECÁNICA 𝐸𝑀 = 𝐸𝐶 + 𝐸𝑃

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE Es aquel movimiento rectilíneo realizado por un móvil que es oscilatorio y periódico donde su aceleración siempre señala hacia la posición de equilibrio y su magnitud es directamente proporcional a la distancia del móvil a la posición de equilibrio (elongación). Elementos:

𝑚 𝐾

V=velocidad A=amplitud

1 1 1 𝐾𝐴2 = 𝑚𝑉 2 + 𝐾𝑋 2 2 2 2 ASOCIACIÓN DE RESORTES

a) En serie:

K1

Keq

𝐾𝑒𝑞 =

K2

1 1 + 𝐾1 𝐾2

b) En paralelo: 1. Oscilación o vibración.- Es el movimiento realizado desde cualquier posición hasta regresar de nuevo a ella pasando por las posiciones intermedias.

K1

K2

Keq 𝐾𝑒𝑞 = 𝐾1 + 𝐾2

132 | P á g i n a


PÉNDULO SIMPLE Este dispositivo está constituido por una partícula

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el sistema oscila, el periodo en seg. del movimiento es : Solucion:

suspendida de un hilo inextensible e imponderable, la cual al ser desviada un pequeño ángulo de su posición de equilibrio vertical describe oscilaciones que se repetirán indefinidamente en ausencia de todo rozamiento.



L

g

peq ELEMENTOS DE UN PÉNDULO: Longitud de péndulo (L).- se mide desde el punto de suspensión hasta el centro de gravedad del cuerpo que oscila. Amplitud(A).- es el ángulo formado por la vertical y el hilo del péndulo cuando se encuentra en una posición extrema.

2. Un cuerpo de 2 kg. que realiza un MAS esta sujeto al extremo liber de un resorte de constante de rigidez 32 N/m, la aceleracion en m/s2 cuando se encuentra a 0.5 m. de la posición de equilibrio es : Solución:

Oscilación.- es el movimiento que realiza desde una posición extrema hasta la otra posición externa y su regreso a la primera posición.


Periodo (T).- es el tiempo que emplea el péndulo en realizar una oscilación.

1. 𝐿 𝑇 = 2𝜋√ 𝑔

Las unidades están escritas en el SI. Hállese:

Frecuencia (f).- es el número de oscilaciones que realiza el péndulo en la unidad de tiempo; matemáticamente es la inversa del periodo.

𝑓=

Un objeto describe un MAS de manera que su desplazamiento es: x = 0,4 Cos (4t + 30°)

a) La constante de fase.

1 𝑔 √ 2𝜋 𝐿

b) La frecuencia circular. c) La amplitud.

LEYES DEL PÉNDULO: Primera ley.- El periodo es independiente de su masa. Segunda ley.- El periodo es independiente de su amplitud (10°). Tercera ley.- El periodo es directamente proporcional a la raíz cuadrada de su longitud. 𝑇1 √𝐿1

=

√𝑔2

=

2.

𝑇2 √𝐿2

EJERCICIOS RESUELTOS: 1. Una masa de 2kg. cuelga de un resorte, cuando se añade una masa de 200 gr. el resorte se alarga 4 cm. más, se retira la masa de 200 gr. y

C) 60°; 1; 0,1

D) 45°; 8 y 0,6

Una partícula experimenta un MAS con un desplazamiento. x = 0,5 cos (t + 90°) Con unidades en el SI. Encuentre el período de las oscilaciones. A) 4 s

𝑇2 √𝑔1

B) 15°; 2 y 0,2

E) 90°; 6 y 0,8

Cuarta ley.- El periodo es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la aceleración de la gravedad. 𝑇1

A) 30°; 4 y 0,4

3.

B)2 s

C) 1 s D)8s E) 6 s

La frecuencia circular de una oscilación armónica es de 5 rad/s. Halle el módulo de la aceleración de la partícula cuando su desplazamiento es de 20 cm. A) 1 m/s2 B) 2 m/s2 C) 3 m/s2 D) 4 m/s2

E) 5 m/s2

133 | P á g i n a


4.

En un MAS se observa una amplitud de 0,5 m y una frecuencia angular de 4 rad/s. Halle la velocidad de la partícula cuando pasa por el punto de equilibrio (x=0). A) 1 m/s B) 2 m/s C) 3 m/s D) 4 m/s

5.

E) 5 m/s

Halle la frecuencia angular de una masa de 2 kg que oscila verticalmente soldada al extremo de un resorte cuya constante de rigidez es de 288 N/m. A) 12 rad/s B) 14 rad/s C) 16 rad/s

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11. Una masa de 9 kg, en el extremo de un resorte (k = 900 N/m), oscila armónicamente con una amplitud de 30 cm. Halle la velocidad de esta masa cuando pasa por el punto de equilibrio, en m/s. A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) 11 12. Hallar aproximadamente el período de un péndulo de 1,50 metros si la aceleración de la gravedad es g = 9,8 m/s2. A) 3,547 B) 5,427 C) 2,547 D) 2,457

D) 18 rad/s 6.

B)

π s 2

C)

π s 3

13. Se quiere saber la aceleración de la gravedad en un lugar donde el péndulo tiene como longitud 0,63 m y período de 1,59 segundos. A) 9,88 m/s2 B) 9,85 m/s2 C) 9,83 m/s2 D) 9,80 m/s2

D) 7.

8.

π s 4

E) 4,487

E) 20 rad/s

Calcule el período de oscilación de la masa de 3 kg. La constante de rigidez del resorte de 300 N/m. A)  s

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E)

π s 5

Una masa de 2,4 kg oscila pegada a dos resortes en serie. Halle el periodo si k 1 = 80 N/m y k2 = 240 N/m. A)

π s 5

B)

D)

4π s 5

E)  s

2π s 5

C)

3π s 5

E) 10,00 m/s2

14. Un péndulo tiene un período de 1,65 segundos. Calcular el período de otro péndulo cuya longitud es el triple del anterior. A) 1,85 3 s B) 1,80 3 s C) 1,65 3 s D) 2,14 3 s

E) 1,46 3 s

15. Calcular la longitud del péndulo de un reloj que “bate segundos”. (g = 9,8 m/s2) A) 0,99929 m B) 0,99827 m

¿Con qué período oscila el bloque de 7.5 kg unida a dos resortes en paralelo?

C) 0,98785 m D) 0,92578 m E) 0,92569 m

A)  s D) 9.

4π 5

B)

2π s 5

C)

3π 5

E)  s

16. ¿A qué distancia sobre la superficie terrestre el período de un péndulo se duplica?. A) 3600 km B) 3200 km C) 1800 km D) 4200 km

El periodo de un MAS es de  segundos. Halle la amplitud de esta oscilación si se observa que la velocidad de la partícula es de 8 cm/s cuando su desplazamiento es de 3 cm. A) 8 cm B) 7 cm C) 6 cm

17. Un planeta cuyo radio es 2 000 km el período de un péndulo es 2s a 2 km de altura. Hallar la altura si su período es de 2,50 s. A) 600 km B) 500 km C) 502,50 km D) 502,80 km

D) 5 cm

E) 6400 km

E) 600,50 km

E) 4 cm

10. Calcule el periodo de oscilación de la masa de 8 kg. unida a un grupo de resortes en paralelo. k1 = 400 N/m k2 = 200 N/m y k3 = 300 N/m; A)

π s 5

B)

π s 3

D)

2π s 3

E)

2π s 7

C)

2π s 5

18. Un cuerpo cuelga del extremo de un resorte y oscila verticalmente con un período de 2 segundos. Al aumentar la masa del cuerpo en 1 kg, el nuevo período es de 3 segundos. Hallar el valor de la masa inicial. A) 1,5 Kg B) 0,5 Kg C)0,8 Kg D) 0,2 Kg

E) 1,8 Kg

134 | P á g i n a


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SEMANA 09 19. Halle El periodo de un péndulo cuyo hilo inextensible mide 2.45 m. (g = 9,8 m/s2) A) π s B) 1,5π s C)0,5π s D) 2π s



DENSIDAD ( ). Relación entre la masa de un cuerpo y su volumen

E) 0,8π s

20. Determinar la longitud de un péndulo simple cuyo período es de 3,1416 s. (g = 9,8 m/s2) A) 2 m B) 2,5 m C) 0,5 m D) 2,45 m

HIDROSTÁTICA

m  V pero w  mg ,

m V

  entonces

w   V g   Ah g

w: Peso ;

A: Área ; h: altura

E) 2,8 m PESO ESPECIFICO (

21. En un pequeño planeta la aceleración de la gravedad es 3,6 m/s2. Hallar el período (seg) y la frecuencia (Hz) de un péndulo simple cuya longitud es 0,4 m. A) 2,012; 0,25 B) 2.015; 0,45 C) 2,051; 0,21

D) 2,094; 0,48

22. Un péndulo de longitud 0,36 m oscila en un lugar en donde g = 2 m/s2. ¿Cuántas oscilaciones completas hará en 1 minuto? A) 25 B) 45 C) 51 D) 48 E) 50 23. El período de un péndulo simple es de 1 s. Si la longitud se duplicara, ¿cuál será su nuevo periodo? A) 1,12 B) 1,45 C) 1,21 D) 1,41

) . Relación entre el peso

de un cuerpo y su volumen.

 

w  V

 gV V

  g

Presión (P). Relación entre la fuerza sobre el área 𝑃=

E) 2,085; 0,85



𝐹 𝜌𝑔𝐴ℎ = = 𝜌𝑔ℎ = 𝛾ℎ 𝐴 𝐴

Nota: La fuerza F es el peso PRENSA HIDRÁULICA

F1 F h h  2 Carrera de émbolos 1  2 A1 A2 A2 A1

PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES.

E) 1,85

Entonces: el EMPUJE HIDROSTÁTICO

24. El diagrama muestra un alambre de 0,2 kg de masa. Si el alambre sujeto a los postres se encuentra bajo una tensión de 100 N. ¿Cuál es la velocidad (m/s) de la onda provocada en este alambre?

𝐸 = 𝑊𝑅𝐸𝐴𝐿 − 𝑊𝐴𝑃𝐴𝑅𝐸𝑁𝑇𝐸

𝐸 = 𝜌𝐿𝑖𝑔 . 𝑉𝑠 𝑔

= 𝛾 . 𝑉𝑠

Relación entre empuje y peso especifico

𝐸1 𝐸2 = 𝛾1 𝛾2 A) 25

B) 45

D) 20

E) 50

C) 10

25. Una onda, cuya longitud de onda es 0,3 m, viaja por un alambre de 27 m, cuya masa total es 3 kg. Si el alambre soporta una tensión de 400 N encuentre: a) La velocidad de la onda (m/s) b) La frecuencia de la onda (Hz) A) 25 y 150 B) 45 y 200 C)50 y 300 D) 60 y 200

E) 30 y 150

EJERCICIOS RESUELTOS 1. Una piedra pesa 125 g en el aire y 75 g en el agua; el volumen de la piedra es: A) 45cm3 B) 50cm3 C) 58cm3 D) 60cm3 3 E) 70cm Sol. E: Empuje hidrostático E = Peso en el aire – Peso en el agua ; entonces: E=125 g – 75 g = 50 g Pero: E = Densidad H2O x volumen objeto Densidad H2O=1g/cm3 E = DxVo 50g = 1g/cm3 x Vo Vo= 50 cm3

135 | P á g i n a


2. Dentro de un líquido una esfera de 0,8 Kg de masa va cayendo con velocidad constante. Entonces, la fuerza total que el líquido ejerce sobre la esfera es: Considere: g = 10 m/s2 y 1 Kg-f = 10 N A) 8 kg.f hacia arriba B) Cero C) 0,8 Kg.f hacia arriba D) 8 Kg.f hacia abajo E) 0,8 Kg.f hacia abajo

FISICA

4.

Las áreas de los pistones de una prensa hidráulica son de 0,5 m 2 y 12 m2. ¿Qué fuerza se debe aplicar en el pistón menor para levantar una carga de 3 000 N colocada en el pistón mayor? A) 150 N B) 200 N C) 300 N D) 125 N

5.

E: empuje hidrostático mg: Peso ΣFy = 0 (a V=cte) E – mg = 0 E = mg = 0,8kg x 10 m/s2 = 8 N = 0,8 Kg-f

E) 175 N

Un objeto tiene un volumen de 0,002 m 3 y pesa 120 N en el aire. Al ser sumergido completamente en agua: (g = 10 m/s2) ¿Qué empuje recibe el agua? ¿Cuánto pesa sumergido?

3.. Los diámetros de los émbolos de una prensa hidráulica miden 20 cm y 2 cm : ¿Qué fuerza deberá aplicar en el embolo grande si desea obtener una fuerza de 5 toneladas? A) 50 Kg-f B) 55 Kg-f C) 58 Kg-f D) 60 Kg-f E) 62 Kg-f

 D 1 4   D2 2 4

UNSM – CPU-T

A) 25N y 150N

B) 45N y 200N

C) 20N y 100N

D) 60N y 200N

E) 20N y 150N

2

F1 F2



A1 A2

D    1   D2 

2

6.

2

 2 cm   F1  5000 Kg  f   20 cm   1  F1  5000 Kg  f    50 kg  f  100 

Una piedra pesa 140 N en el aire, halle su peso cuando es sumergida completamente en alcohol (L = 800 kg/m3). La piedra tiene un volumen de 0.003 m 3. (g = 10 m/s2) A) 148 N B) 200 N C) 100 N D) 132 N

7.


Un trozo de vidrio pesa 0,8 N en el aire y 0,5 N en el agua. Halle su respectivo volumen: (g = 10 m/s2) A) 2*10-5 m3 B) 3*10-5 m3 C) 4*10-5 m3 D) 5*10-5 m3

1.

Se Observa que el agua a 4°C tiene una densidad de 1000 kg/m3. Su peso específico es: (g = 9,8 m/s2) A) 8800 N/m3 B) 9000 N/m3 C) 9900 3 N/m D) 7800 N/m3

2.

Determine la presión que ejerce el bloque de 10 kg, sobre la superficie del plano inclinado (g=10m/s2).

A) 30KPa

B) 40kPa

D) 60kPa

E) 20kPa

C) 50kPa

E) 32 kPa

¿Cuál es la presión del agua en el fondo de un estanque cuya profundidad es de 2 m? (9,8 m/s2) A) 1,96 kPa B) 1600 Pa C)196 kPa D) 1960 Pa

E) 6*10-5 m3

E) 9900 N/m3

El peso normal de un hombre es de 800 N, halle la presión sobre la planta de sus zapatos cuando está de pie. El área total de apoyo en la planta de sus zapatos es 0,05 m2. A) 16 kPa B) 20 kPa C) 30 kPa D) 15 kPa

3.

8.

E) 116 N

9.

Determine la presión que ejerce el fluido en el fondo y la fuerza hidrostática que actúa sobre la moneda de 4cm 2 de área.

E) 19,6 kPa

136 | P á g i n a


A) 4 kPa; 3N

B) 6 kPa ; 3,1N

C) 6 kPa; 3,2N

D) 8 kPa ; 3,2N

FISICA

UNSM – CPU-T

fuerza F=40N pequeño.

aplicada

A) 80 Kg

B) 70 Kg

D) 50 Kg

E) 40 Kg

en

el pistón

e) 9 kPa; 4,2N 10. Determine la presión que actúa en el fondo del recipiente, si además: Patm=100 kPa. (Hg = 0,75 g/cm3).

A) 110 kPa

B) 112 kPa

D) 116 kPa

E) 118 kPa

C)114 kPa

C) 60 Kg

15. Para el sistema mostrado, calcular la fuerza adicional que se debe aplicar en (1) para mantener en equilibrio el sistema, si mbloque=500kg (g=10m/s2).

11. Un buzo se encuentra a 50m de profundidad y además Patm = 100 kPa. Determine la presión que actúa sobre dicho buzo, en N/cm 2. (D agua de mar =1,2g/cm2; g=10m/s2). A) 50 B) 70 C) 80 D) 90

E) 100

12. Determine la presión en el punto “B” si en “A” la presión es 40kPa. (LIQ = 0,8 g/cm2).

A) 24 kPa

B) 25 kPa

D) 28 kPa

E) 40 kPa

A) 5 N

B) 6 N

D) 10 N

E) 15 N

C) 8 N

16. Los bloques “A” y “B” que se muestran en la figura son de 30kg y 90kg respectivamente y además A2=5A1. Determine la tensión en la cuerda que une los bloques (g=10m/s2).

C) 26 kPa

13. Determine la altura de la columna de mercurio por encima del punto “A” si el fluido (1) es alcohol (alcohol = 0,68 g/cm2).

A) 100N

B) 150N

D) 250N

E) 300N

C) 200N

17. En el sistema mostrado calcular la relación en la que se encuentra FA y FB para que el sistema se encuentre en equilibrio. A2=6A1.

A) 4cm

B) 3 cm

D) 1 cm

E) 0,5 cm

C) 2 cm

14. En la prensa hidráulica los pistones son de masa despreciable y sus áreas están en relación de 1 a 20. Calcular la masa del bloque que se puede sostener con la

A) 1/3

B) 1,2

D) 1/6

E) 1/4

C) 1/50

137 | P á g i n a


FISICA

UNSM – CPU-T

18. En el sistema mostrado se ha colocado un bloque de 700 N sobre el embolo “B”. ¿En cuánto se incrementa la presión en el fondo del recipiente? (A1=2m2 ; A2=10m2)

A) 50 Pa

B) 60 Pa

D) 80 Pa

E) 90 Pa

19. Del gráfico mostrado calcular el peso del auto F=100; Si A1=cm2  A2=5cm2. El sistema está en equilibrio.

A) 10 kN D) 40 kN

B) 20 kN E) 50 kN

B) 20 kN

D) 40 kN

E) 50 kN

C) 30 kN

23. El cuerpo cilíndrico que se muestra en la figura flota con las características que se dan. Determine el valor de la fuerza “F” necesaria para sumergirlo completamente (g = 10m/s2).

C) 30 kN

20. Un cuerpo cilíndrico de 2m 3 está sumergido hasta sus ¾ partes. Determine el empuje que experimenta de parte del agua. (g=10m/s2). A) 10 kN B) 15 kN C) 20 kN D) 25 kN

A) 10 kN C) 70 Pa

E) 30 kN

21. El cuerpo que se muestra en la figura tiene un volumen de 4m 3. Determine el valor del empuje hidrostático.

A) 20KN; 2000kg B) 25KN; 2500kg C) 30KN; 3000kg D) 35KN; 3500kg

A) 5000N

B) 10000N

D) 20000N

E) 30000N

C) 15000N

24. Un bote de 3m 3 de volumen, flota con la tercera parte de su volumen sumergido ¿Cuántas personas de 50kg cada una, podrán subirse en dicho bote, sin que éste sobre? (g = 10m/s2).

A) 20

B) 30

D) 50

E) 60

C) 40

25. Un cuerpo de 140 N de peso y densidad 2000 kg/3 se sumerge completamente en agua. Se pide determinar la lectura del dinamómetro. (g=10 m/s2).

E) 40KN; 4500kg 22. El cuerpo que se muestra en la figura tiene un volumen de 6m 3. Determine el valor del empuje hidrostático.

A) 30 N

B) 40 N C) 50 N

D) 60 N

E) 70 N

138 | P á g i n a


FISICA

UNSM – CPU-T

Solución:

SEMANA Nº 10

Bueno

Malo

212°F

200°F

T°F

100°F

TEMPERATURA y CALOR TEMPERATURA Y ESCALAS TERMOMÉTRICAS Caracteriza el estado de agitación molecular de un sistema, mide la intensidad de nivel calorífico o es la propiedad que fija el sentido de flujo del calor. *Escalas Relativas: En ellas se observan lecturas termométricas negativas, toman como referencia los cambios e estado de la materia o propiedades que presentan los cuerpos: Tenemos: Celsius (ºC) y Fahrenheit (ºF) *Escalas Absolutas: En ellas no existen lecturas negativas, esto se debe a que estas escalas toman como referencia el cero absoluto (temperatura hipotética en el cual se verifica que el movimiento molecular de los gases ha desaparecido. Tenemos Kelvin (K) y Rankine (R)

ºC º F  32 K  273 R  492    5 9 5 9 1 º C  1,8 º F 1K  1,8R

DILATACIÓN: Fenómeno que consiste en cambiar las dimensiones de un cuerpo por efecto de un cambio de su temperatura. para líquidos y sólidos se cumple

* Dilatación

Lineal : Lo :

L  Lo  T * Dilatacion

Superficia l :

S  S o  T * Dilatacion



; V f  Vo 1   T 



   ,  ,  : Coef . de Dilatación 1 2 3 * Para la mayoría de los materiales se verifica : 10  5    10  4 1 º C  * Los agujeros se dila tan o contraen * Densidad D f  Do 1   T 


1.

2°F

T  F  32 100  2 T  F  32 49    212  32 200  2 180 99 49 (180 ) T  F  32   T  F  89  32 99 T  F 121 3. Una tubería de hierro (coeficiente de dilatación lineal α = 12 x 10-6°C-1) de 400 m de largo está sujeta a variaciones de temperatura que fluctúan entre -10°C y 90°C. Determinar la variación que puede experimentar su longitud. A) 0,38m B) 0,40m C) 0,45m D) 0,48m E) 0,52m Solución:. De: ΔL = αLi. ΔT ΔL = 12 x 10-6°C-1x 400m [90-(-10)]°C ΔL = 0,48 m

ENERGIA CALORIFICA CALOR. Es la cantidad de energía debido al movimiento de las moléculas. La cantidad de calor que interviene en un proceso se mide por algún cambio que acompaña a este proceso

; S f  S o 1   T 

Volumetric a :

V  Vo  T



; L f  Lo 1   T 

32°F

Al medirse la temperatura de un líquido se observa que su lectura en grados Celsius señala 20 unidades menores a su lectura en grados Fahrenheit. calcular la temperatura del líquido en grados Celsius. A) 17,3 B) 5,3 C) 19 D) –15 E) 67 Sol: T°C = T°F – 20 pero: T°F = (9/5) T°C + 32; reemplazando T°C = (9/5) T°C + 32 – 20 5 T°C = 9 T°C + 60 4 T°C = - 60 Resulta: T°C = -15

2. Un termómetro registra 200°F para el agua hirviendo y 2°F para la temperatura de fusión del hielo, cuando este termómetro registra 100°F ¿Cuál será la temperatura verdadera? A) 129°F B) 90°F C) 31°F D) 121°F E) 203°F

CALORIMETRÍA Es la rama de la física que se encarga de estudiar los cambios de calor, la cual viene a ser una forma de energía que sólo existe en transito Unidades: El calor como toda energía se mide en JOULES (J), sin embargo también se puede medir en calorías (cal), kilocalorías (kcal) Caloría: es la cantidad de calor necesaria para aumentar la temperatura de 1 gramo de agua de 14,5 °C a 15,5 °C a la presión de 1 atmósfera. *Capacidad térmica o calorifica (C): Es la cantidad de calor que se necesita dar o extraer a un cuerpo para que su temperatura aumente o disminuya en un 1 grado, C...capacidad térmica (en cal/°C; Kcal/°C ; J/°K

Calor específico de un cuerpo (Ce): También Capacidad Calorífica Especifica, es la cantidad de calor que se le debe dar o extraer a una unidad de masa para aumentar o disminuir su temperatura en un grado

139 | P á g i n a


C...calor específico (en cal/g.°C)

Ce 

Q mT

CeVAPOR

Q  Ce .m .T

cal J  200 g C kgC cal J  0,5  2100 g C kgC cal J  0,48  2100 g C kgC

Calor latente (L) L 

Q m

Calor latente para el agua *Fusión-solidificación: T=0°C L F  S  80

Solución: Los 500 g de hielo para poder calentarse y derretirse requiere de: Q1+Q2 = 500 g.0,5 cal/g°C.16°C + 500 g . 80 cal/g Q1 + Q2 = 44000 cal Para los 1000 g de agua al descender como máximo a 0°C puede entregar: Q = 1000 g .1 cal/g°C . 20 °C = 20000 cal Q= 20000 cal (calor que no es lo suficiente para derretir totalmente el hielo, siendo la temperatura final o de equilibrio igual a 0°C)

cal KJ  340 g Kg

*Vaporización-Condensación T=100°C LV C  540

cal KJ  2300 g Kg

Equivalente mecánico del calor 1 cal  4,18 J , 1 J  0,24 cal para el presente documento 1 cal  4,2 J

Principio calorimétrico

Q GANADO   Q

UNSM – CPU-T

50g .0,5 cal/g°C. {0-(-10)}°C= mH2O . 80 cal/g m H2O = 250 g / 80 entonces m H2O = 3,12 g 3. En un calorímetro de aluminio ( Ce Al = 0,22 cal/g°C) de 100 g de masa existen 1000 g de agua a 20°C , si se introduce un cubo de hielo de 500 g a -16°C. Determine la alternativa correcta. Considere: Calor de fusión del hielo 80 cal/g y Ce hielo = 0,5 cal/g°C A) La temperatura final o de equilibrio es 0°C derritiéndose todo el hielo B) La temperatura final o de equilibrio es 0°C pero no se derrite todo el hielo C) 3 g de agua del calorímetro se congelan D) La temperatura final o de equilibrio no se puede determinar E) La temperatura final o de equilibrio es 3°C derritiéndose todo el hielo

Ce H 20  1 Ce HIELO

FISICA


PERDIDO

TEMPERATURA Y DILATACIÓN


1.

1. Si se observa que para elevar en 10 °C la temperatura de un cuerpo de 200g de masa se necesita 500 calorías, su calor específico (en cal /g.°C) sería: a) 2,5 b) 5 c) 0,25 d) 50 e) 500

B) La temperatura al mediodía, en °C.

Sol. Aplicar : Q = m . Ce. ΔT 500 cal = 200 g . Ce . 10 °C Ce = 0,25 cal / g.°C 2.

Un cubo de hielo cuya masa es de 50 g y cuya temperatura es de -10°C, se coloca en un estanque de agua , la cual se encuentra a 0°C ¿ Qué cantidad de agua se solidificará ? A) 2,4 g E) 7,56 g

B) 3,12 g

C) 5,2 g

2.

3.

agua

A) 15 y 23

B) 30 y 38

D) 10 y 18

E) 16 y 24

C) 28 y 36

¿Cuál es la temperatura que en las escalas Celsius y Fahrenheit tiene la misma lectura?. A) 50 B) -50 C) 40 D) -40

D) 8,2 g

Sol. Q ganado por el hielo = Q perdido m hielo . Ce hielo ΔT = m H2O . C latente fusión

En una fría mañana se informa que la temperatura es de 50°F y que hasta el mediodía la temperatura subirá en 8°C. Halle: A) La temperatura en la mañana, en °C.

E) 60

Una tubería de cobre ( =1,7 . 10-5 °C-1) mide 6 m de largo a 10°C. Si es calentada hasta 70°C, halle la nueva longitud (en m). A) 6,00213 B) 6,00612 C) 6,00621

140 | P á g i n a


D) 6,00236 4.

5.

11. En la figura, determina a cuántos grados “A” equivalen 40ºC

E) 36*10-4 m

El área de un ahoja de vidrio Pirex es de 0,4 m2 a 20°C. ¿Cuál será la nueva área si la temperatura se eleva a 70°C?. Para el vidrio Pirex :  = 0,6 * 10-5 °C-1 A) 0,40023 m2 B) 0,30012 m2 C) 0,40012 m2

UNSM – CPU-T

E) 6,00641

Se instalan rieles de acero (=1,2 . 10-5°C1 ) de 100 m de largo cuando la temperatura que se espera es de 30°C. ¿Cuál debe ser el espacio entre los rieles?. A) 24*10-3 m B) 30*10-2 m C) 24*10-5 m D) 25*10-3 m

FISICA

A) 120ºA

B) 125ºA

D) 135ºA

E) 140ºA

C) 130ºA

12. ¿A cuántos grados K equivalen 150º A? Según la figura.

D) 0,50023 m2

E) 0,60012 m2 6.

El diámetro de un agujero en una placa de aluminio ( = 2,4 * 10-5 °C-1) es de 50 mm a 20°C. ¿Cuál es el nuevo diámetro cuando la placa se calienta a la temperatura de 220°C?. A) 40,23 mm B) 50,20 mm C)40,24 mm D) 50,24 mm

7.

¿Cuál es el aumento en volumen de 20 L de alcohol etílico cuando su temperatura cambia de 20°C a 50°C? Para el alcohol  = 11 * 10-4°C-1. A) 26*10-2 L B) 23*10-2 L C) 66*10-2 L D) 56*10-2 L

8.

E) 60*10-2 L

Un tanque de acero ( = 1,2 * 10-5°C-1) de 100 L se llena completamente con gasolina ( = 10,8 * 10-4°C-1) a 10°C. Si la temperatura aumenta a 50°C. ¿Qué volumen de gasolina se derramará? A) 2,126 L B) 5,126 L C)3,147 L D) 4, 176 L

9.

E) 60,24 mm

E) 6,156 L

Una tapa redonda de latón tiene un diámetro de 80 mm a 32°C. ¿Hasta qué temperatura debe calentarse la tapa, si ajustará exactamente en un agujero con un diámetro de 80,0144 mm. Para el latón  = 1,8 * 10-5°C-1. A) 36°C B) 40°C C) 42°C D) 45°C

B) 233 K

D) 355 K

E) 415 K

C) 363 K

13. En la escala Fahrenheit una temperatura varía en 270ºF. ¿En cuánto varia la temperatura en K? A) 50°C B) 100°C C) 150°C D) 60°C

E) 80°C

14. ¿A qué temperatura en K el valor en la escala ºF excede en 45 al valor en la escala Celsius? A) 273K B) 283K C) 253K D) 303K

E) 313K

15. ¿A qué temperatura en “R” el valor en la escala Celsius excede en 8 unidades al valor en la escala Fahrenheit?. A) 402 R B) 412 R C) 422 R D) 432 R

E) 442 R

16. En la figura determine a cuántos grados “A” equivalen 25ºC

E) 50°C

10. ¿A qué temperatura en ºC el valor en la escala Fahrenheit excede en 22 al doble del valor en la escala Celsius? A) 20ºC B) 30ºC C) 40ºC D) 50ºC

A) 60 K

A) 90ºA

B) 110°A

D) 80°A

E) 100°A

C) 75°A

E) 60ºC

141 | P á g i n a


17. A cuántos grados “R” equivalen 110º M, según la figura.

A) 310 R

B) 400 R

D) 600 R

E) 710 R

B) 5°C

D) 20°C

E) 30°C

E) 8 cm

22. Si: (A) > (B) . ¿Qué sucede si calentamos la termocupla mostrada?, (las dos barras están soldadas?

A)

B)

C) SIGUE IGUAL

D) F.D.

E) S.N. 23. La placa triangular mostrada se encuentra a 5ºC. ¿Hasta qué temperatura habría que calentarla para hacer que su área final sea 105m2. Considere =5.10-3?

C) 15°C

19. Una barra de 400m y L = 10-3 es calentada y elevada su temperatura en 20ºC. ¿En cuánto aumenta su longitud?. A) 4m B) 6m C) 8m D) 10m

D) 15 cm

UNSM – CPU-T

C) 510 R

18. En cuántos grados Celsius (ºC) se tendría que calentar a la placa mostrada para que en el orificio que se le ha practicado como muestra la figura encaje perfectamente el rectángulo de la derecha. Considere que para la placa el =4,2.10-2.

A) 10ºC

FISICA

A) 20ºC

B) 25°C

D) 35°C

E) 40°C

C) 30°C

E) 12m 24. La placa mostrada es cuadrada y su

20. Una regla metálica de 100m. de longitud y hecha de aluminio, es calentada y eleva su temperatura en 50ºC. Hallar la variación en su longitud. (L = 2.10-3) a) 5m b) 10 c) 15 d) 20

e) N.A.

21. Se construye un puente como muestra la figura, si: =2.10-4. ¿Qué espacio “x” hay que dejar en el extremo derecho para que no haya problemas con la dilatación?. Se sabe que entre verano e invierno la temperatura varía en 50ºC?.

A) 4 cm

diagonal mide 4 2 cm, si elevamos su temperatura en 40ºC. ¿En cuánto aumenta su área si =5.10-3?

B) 5 cm

C) 10 cm

A) 2 cm2 cm2

B) 5 cm2

D) 9,6 cm2

E) 8,4 cm2

C)

7,04

25. Se construye una riel de tren durante el invierno (T= -5ºC) y se sabe que cada tramo mide 4m. ¿Qué espacio debemos dejar entre cada tramo para que en verano cuando la temperatura llegue a 35ºC no haya problemas con la dilatación?. Considere: =10-3A) 10cm B) 12cm C) 14cm

142 | P á g i n a


D) 16cm

E) 15cm

FISICA

UNSM – CPU-T

K : Consante de Boltzman K  1,38 x10 23 J / mol Ley de Dalton

SEMANA 11

Pt  PA  PB  PC  ....

TEORIA CINÉTICA DE LOS GASES Leyes de los gases ideales: a) Ley de Boyle-Mariotte temperatura constante:

ISOTERMAS)

P1 V1  P2 V2

P :Presión

Difusión Gaseosa Ley de Graham

V : Volumen

vA  vB

D :Densidad

A presión constante:ISOBARAS V V

P=ct e

V 1

T T Ley de Gay - Lussac. 1 2 A volumen constante: ISOCORAS

P1 P2  T1 T2

MA

DB



DA

 V A  V A . fm A

v : Velocidad difusión

EJERCICIOS RESUELTOS 1. En un cilindro y debajo de un pistón está encerrado 1 m3 de aire a la presión de 5 atm y a 20°C. Calcular la presión interior del aire interior, si manteniendo constante la posición del pistón, se calienta el aire hasta 393°K. b) 8,1 atm c) 7,1 atm d) 5,5 atm

Solución: Proceso a Volumen constante

V=cte

P2

MB

a) 6,7 atm e) 825 atm

2

P

 fm  1

Ley de Amagat Vt  V A  V B  VC  ....

b) Ley de Charles

V1 V2  o T1 D1  T2 D2 T1 T2

P1 = 5 atm P2 = ?

T1= 20°C= 293°K T2 = 393°K

P1 T1

P1 T1  P2 T2

T2

d) Ley general de los gases P1V1 P2V2 P1 P   cons tan te  2 T1 T2 T1 D1 T2 D2 e) Ecuación Ideales:

Universal

PV  nRT

n

pero

de

nA nt

LEYENDA

T :Temperatura

P1 D2  P2 D1

PA  PT . fm A

 fm A 

los

m M

wRT  PM  DRT M n : Cantidad de sus tan cia m : masa de gas PV 

f) Ley de Avogadro (N) N  6,023x1023molécula / mol

g) Energía cinética promedio (U) 3 K T 3 U  n R T 2 2 wm 1M V 2 T  V 2  3K 3 Nmm P (V ) 2 3V V : velocidad media U 

R : Cons tan te universal de los gases atm  l J torr  l R  0,082  8,31  62,4 mol. K mol.  K mol K

gases

5 atm . 393K  6,7 atm 293K

 P2 

2. La densidad de un gas a determinadas condiciones, es 0,1 g/cm3. si mantenemos la presión y disminuimos su temperatura en 30% .¿Cuál será la nueva densidad del gas en g/cm3? A) 0,11 B) 0,012 C) 0,142 D) 0,13 E) 0,098. Solución: D1  0,1 g / cm 3 D1 .T1 D2 .T2  P1 P2

P1  P2 

T2  0,7 T1

0,1 g / cm 3 . T1 D2 . 0,7 T1  P1 P2

D2  0,142 g / cm 3 3. Un globo flexible contiene cierta cantidad de gas a presión atmosférica. El volumen inicial es de 2,64x106 litros, cuando el globo cae en el océano (15°C), el volumen pasa a 2,04x10 6 litros. ¿Cuál era la temperatura inicial del gas en °C, si el comportamiento fuera ideal? A) 95°C B) 100°C C) 105°C D) 110°C E) 97°C Solución.

T1 

2,64 x10

V1 V  2 T1 T2



lto .15  273 K 2,04 x 10 6 lto . 6

T1  372,7 K  100C

143 | P á g i n a


FISICA

UNSM – CPU-T

6. En una jeringuilla de 50ml se ha recogido gas hidrogeno a 1500mm de Hg y 50°C.


Determina que posición marcará el émbolo 1. En un cilindro de émbolo móvil tenemos un gas a temperatura constante que ejerce una presión de 350 mm de Hg cuando el volumen del cilindro es de 2 L. ¿Qué presión(en mmHg)

ejercerá

el gas

de la jeringuilla si dejamos que la presión en su interior sea de 1 atm y la temperatura se reduzca a la mitad. A)49,4 B)45,2 C)34,2 D)56,5

E)65,2

si

desplazamos el émbolo hasta que el volumen sea de 250 cm 3?.

7. En una ampolla con émbolo se han recogido 300mL de gas nitrógeno a la

A) 2800 B) 300 C) 1300 D) 3200 E)120 2. ¿En cuánto cambia la presión de un gas si su temperatura pasa de 20°C a 40°C manteniendo constante su volumen? A)1,2P1 B)1,7P1 C)1,07P1 D)3,5P1

presión de 3atm y 40°C. ¿Cuál será la presión del gas en el interior si el émbolo se expande hasta 450ml y se duplica la temperatura? A)5atm B)8atm C)12atm D)4atm E)12atm

E) 1,05P1 8. Como resultado de una reacción química se 3. En un recipiente de 15 L se ha colocado un

ha generado un gas que ocupa un volumen

gas a 50°C que ejerce una presión de

de 10L a la presión de 2500mm de Hg.

23atm. Determina

ahora el

¿Cuál será la temperatura(en °C) de ese

volumen del recipiente si lo calentamos

gas si cuando se enfría hasta -10°C ejerce

hasta 100°C y dejamos que la presión

una presión de 2,5atm y ocupa 7L.

llegue hasta 3 atm.

A)221,4 B)322,5 C)12,5 D)245,1 E)12,4

cuál será

A)13,64L B) 14,23L C) 4,12L D) 42,65L 9. Calcula la presión (en atm) que ejercerán 3

E) 34,64L 4. Una recipiente de 3 L contiene CO 2 que a

mol de gas oxigeno que se encuentren en

temperatura ambiente (20°C) ejerce una

un recipiente de 5L a 50°C.

presión de 2 atm. En un descuido el

A)12,45 B)15,89 C)1,45 D)23,6 E)52,25

recipiente se acerca a un fuego y llega alcanzar 800°C. Calcular su nueva presión

10. ¿Cuántos moles de CO2 tendremos en un

en atm.

recipiente de 10L si se encuentra a la

A)5,32 B) 34,2 C) 17,35 D) 7,32

presión de 3atm y a 70 °C? A)1,452

E) 3,45

B)1,067

C)2,125

D)5,3

E)4,56

5. Para hacer una experiencia necesitamos introducir un gas inerte (argón) en una

11. En dos recipientes iguales y a la misma

cámara de 1,5m de largo, 1 m de ancho y

temperatura se introduce 10 g. de gas

2m de alto a

20 °C. Si tenemos 50L de

hidrogeno y 10 g de gas cloro. Determina en

argón a una presión es de 70atm a 20°,

cuál de los dos recipientes la presión es

¿Cuál será la presión que corresponderá?

mayor.

A)1,17 B) 3,23 C) 0,85 D)1,35 E)3,24

A)0,13 B)0,14 C)0,15 D)0,18 E)0,2

144 | P á g i n a


FISICA

UNSM – CPU-T

12. En una ampolla de 750 mL tenemos un gas

18. Un balón de butano (C4H10) tiene una

que ejerce una presión de 1,25 atm a 50°C.

capacidad de 26L. Cuando está llena pesa

lo conectamos a una segunda ampolla

12,5Kg. Más que cuando está vacía. ¿Qué

vacía de 2L. ¿Qué presión leeremos ahora

presión (en atm.) ejercería el butano que

en el manómetro si no varía la temperatura?

hay en su interior si estuvieses en fase

A)0,,45 B)0,32 C)0,34 D)0,12 E)0,56

gaseosa?.

Consideramos

que

la

temperatura es de 20°C. 13. Un gas ejerce una presión de 800mm de Hg

A)201 B)199,2 C)205,1 D)204 E)301

a 50°C. ¿Cuál debe ser su temperatura (en °C) si queremos que ejerza una presión de

19. Decimos que un balón de butano se ha

1.5atm sin que varíe el volumen del

terminado cuando ya no sale gas de su

recipiente en que se encuentra?

interior; eso sucede cuando la presión en su

A)120

interior es igual a la presión atmosférica. ¿Qué

B)145 C)154 D)187 E)324

masa de butano queda en el interior de un 14. En un recipiente de 500 mL tenemos un gas

balón vacío si la temperatura de la cocina es

que ejerce una presión de 1500 mm de Hg

de 20°C? Dato: capacidad del balón = 26L,

cuando se encuentra a 80°C. Calcula qué

presión atmosférica = 1atm.

volumen(en mL) ocupará el gas si lo

A)34,5

B)21,3 C)32,1

D)62,8 E)56,3

enfriamos hasta 40 °C y hacemos que la 20. En un globo hemos introducido 5 g de gas

presión sea de 0,9 atm. A)975 B)876 C)345 D)234

helio (He).

E)972

¿Cuál será el volumen (en litros) del globo si la 15. 15. Un gas que ocupa un volumen de 20L y ejerce una presión de 850mm de Hg, se encuentra a 27°C. ¿A qué temperatura

presión en el interior es de 1,5 atm y la temperatura es de 20°C? A)23 B)28

C)22 D)35 E)45

(en °C) se encontrará si el volumen del recipiente se reduce a 8 L y pasa a ejercer una presión de 2,5atm? A)-4,2 B) -4,7

C) -2,5

D)3,2 E) -7,8

16. Utiliza la ecuación de estado de los gases

SEMANA12 “TERMODINÁMICA”

ideales para calcular el volumen (en litros)

PRIMER LEY DE LA TERMODINÁMICA

que ocupa 1 mol de gas hidrogeno que se

“El calor que gana o pierde un sistema termodinámico durante un proceso, lo utiliza para realizar trabajo y/o cambiar su energía interna (ΔU)” Q = W + ΔU Tener en cuenta: Q+ = calor entregado al sistema Q- = calor liberado por el sistema W + = trabajo realizado por el sistema. W - = trabajo realizado sobre el sistema ΔU+=aumenta la temperatura del sistema. ΔU- = disminuye la temperatura del sistema.

encuentre en condiciones normales. A)12,4 B)22,5 C)22,4 D)25,4 E)13,2

17. ¿Qué

masa

de

gas

metano

(CH4)

tendremos en un recipiente de 8 L si se encuentra a la presión de 1140 mm de Hg y a 117°C? A) 6g B)7g

C)9g

D)12g

E)9g

DETERMINACIÓN DEL W Y LA PROCESOS TERMODINÁMICOS 1. Proceso isobárico (P = constante) De la figura: W = P.(V2 – V1);

ΔU

EN

145 | P á g i n a


FISICA

W = P,ΔV De la 1ra ley de la termodinámica: Q = W + ΔU → ΔU = Q – W

UNSM – CPU-T

Solución:

El trabajo es numé ricamente igual al área del trapecio que muestra la figura; es decir: 400 + 100 𝑊= .6 = 1500 𝐽 2

2. Proceso isocoro (V = constante) De la figura: ΔV = 0 → W = 0 De la 1ra ley de la termodinámica: Q = W + ΔU → ΔU = Q 3. Proceso isotérmico (T = constante) De la figura: W = cLn(V2/V1) c = P1V1 = P2V2

ROBLEMAS PROPUESTOS

Como la T = cte. → ΔU = 0; y de la 1ra ley de la termodinámica: Q = W 4. Proceso adiabático (Q = 0) Como Q = 0; → W = -ΔT

1. Un gas se expande de I a F a lo largo de tres posibles trayectorias, como se indica en la figura. Calcule el trabajo en joules realizado por el gas a lo largo de la trayectoria IBF.

MÁQUINA TÉRMICA Transforma la energía calorífica en mecánico. Su eficiencia viene dado por:

𝜂=

trabajo

𝑄𝑝 𝑊 =1− 𝑄𝑒 𝑄𝑒

Dónde: Qe y Qp son el calor entregado y perdido por la máquina respectivamente; W, es el trabajo neto realizado por la máquina. EJEMPLOS 1. Calcule el número aproximado de moléculas (en x1016) contenido en una botella de 1cm3 a una presión de 10-3atm y a una temperatura de -73ºC. Solución P.V = η.R.T = (N/NA).R.T; 𝑃𝑉𝑁𝐴 𝑁= (1) 𝑅𝑇 Reemplazando (Reemp.) datos en (1): 𝑁=

102 (10−6 )(6,023𝑥1023 ) 8,31(200)

=

6,023 16,63

𝑥1017 ;

N ≈ 4x1016 moléculas 2. Una botella de 0,3m3 contiene 2 moles de gas de helio a 20ºC. Encuentre la vrms, sabiendo que la masa molar del helio es 4x01-3kg/mol. Solución Por teoría: 3𝑅𝑇 3(8,31)(293) 𝑣𝑟𝑚𝑠 = √ = √ 𝑀 4𝑥10−3 vrms = 1,35x103 m/s

3. El gráfico adjunto muestra el comporta miento de un gas al expandirse de A has ta B. Calcular el trabajo realizado por el gas.

A)203 B)204 C)205 D)207 E)209 2. Un gas ideal está encerrado en un cilindro que tiene un émbolo móvil en. La parte superior. El émbolo se puede mover libremente hacia arriba y hacia abajo, manteniendo constante la presión del gas. ¿Cuánto trabajo en Joules se hace cuando la temperatura de 0.20 moles del gas se eleva de 20K a 300K? A)345 B)466 C)347 D)469 E)125 3. Un mol de un gas ideal realiza 3000J de trabajo sobre los alrededores conforme se expande isotérmicamente hasta una presión final de 1atm y un volumen de 25L. Determine la temperatura en Kelvin del gas. A)302 B)308 C)305 D)307 E)310 4. Un gas es comprimido a una presión constante de 0,8atm, de 9L a 2L. En el proceso, 400J de energía térmica salen del gas. a) ¿Cuál es el trabajo (J) efectuado por el gas? b) ¿Cuál es el cambio en su energía interna (J)? A) -564; 176,4 B) -605,5; 170,2 C) -589.2; 167,5

D) -567,4; 167,4

E) 500,3; 280,5

146 | P á g i n a


FISICA

UNSM – CPU-T

A)152 B)123 C)154 D)124 E)155 5.

Un sistema termodinámico experimenta un proceso en el cual su energía interna disminuye 500J. Si al mismo tiempo se hacen 220J de trabajo sobre el sistema, encuentre la energía térmica (J) transferida

D) -3,3x103 E) -2,8x103

a o desde él. A) 282 B) -280 C) -234 D) -125 E) -256 6. Cinco moles de un gas ideal se expanden isotérmicamente a 127°C hasta cuatro veces su volumen inicial. Encuentre el trabajo hecho por el gas, (asumir ln4=1,38). A)23kJ B)21kJ C)20kJ D)56kJ E)0 7. Se calienta helio a presión constante de 273K a 373K. Si el gas realiza 20J de trabajo durante el proceso, ¿cuál es la masa(en gramos) del helio? A)0,096 B)0,93 C)1,2 D)1,02 E)0,06 8. Un mol de un gas ideal se calienta a presión constante de modo que su temperatura se triplica. Luego se calienta el gas a temperatura constante de manera que su volumen se triplica. Encuentre la razón entre el trabajo efectuado durante el proceso isotérmico y el realizado durante el proceso isobárico. A)1 B)2 C)1/3 D)1/4 E)1/2 9. Un gas ideal inicialmente a 300 K se somete a una expansión isobárica (presión constante) a 2,50kPa. Si el volumen aumenta de1m3 a 3m3, y se transfieren al gas 12,5kJ de energía térmica, calcule a) el cambio en su energía interna, y b) su temperatura final. A)7500J; 900K B)4500J; 800k C)4500J; 950K D) 7500J; 450K

13. El trabajo realizado para comprimir un gas es de 74J, como resultado liberan 26J de calor hacia los alrededores. Calcule el cambio de energía de gas. A)48J B)43J C)23J D)76J E)65J 14. Calcule el trabajo realizado en joule cuando se evapora 3 moles de agua a 2,5 atm y 100°C. Suponga que el volumen del agua líquida es despreciable comparado con el volumen del vapor a 100°C; y un comportamiento de gas ideal. A) 2,3x103 B) 5,3x103 C) 2,5x103 D) 4,3x103

E) 9,3x103

15. El trabajo realizado para comprimir un gas es de 900J, como resultado liberan 100J de calor hacia los alrededores. Calcule el cambio de energía de gas. A)500J B)645J C)800J D)12J E)82J 16. Un trozo de plata con una masa de 362 g tiene una capacidad calorífica de 85,7J/°C. ¿Cuál es el calor específico de la plata en J/g°C? A)0,24 B)0,67 C)0,32 D)0,36 E)0,45 17. Un trozo de 500g de cobre que se encuentra a 200ºC se sumerge en dos litros de agua a 10ºC mezclándose isobárica y adiabáticamente. 𝑐𝑎𝑙 𝐶𝑒𝐶𝑢 = 0,093. . 𝑔°𝐶

Encuentre la entropía del cobre cuando está en equilibrio en Joule/Kelvin.

E)6500J; 500K 10. Cierto gas se expande de un volumen de 2,5L a 5L a temperatura constante. Calcule el trabajo realizado por el gas si la expansión ocurre: a) Contra el vacío. b) Contra de una presión constante de 1,5 atm. A)0; -340J B) 0;-350J C) 0;-360J 370J E) 0;-380J

12. Una muestra de nitrógeno gaseoso expande su volumen de 3L a 8 L a temperatura constante. Calcule el trabajo realizado en J, si el gas se expande contra una presión constante de 304cmHg. A)-1,3x103 B)-2,03x103 C) -0,3x103

D) 0;-

11. Un gas se expande de 200ml a 500ml a temperatura constante. Calcule el trabajo realizado por el gas (J) si se expande contra una presión constante de 5atm.

A)123 B)127 C)120 D)126 E)165 18. Un sistema absorbe 360J de calor y realiza un trabajo de 25J. Calcular la variación de energía interna en Joules. A)367 B)356 C)385 D)567 E)286 19. ¿Cuánto calor (en cal) se necesita y que trabajo (en atm.L) hace el sistema cuando 1 mol de agua a 100ºC hierve y se convierte en un mol de vapor a 100ºC a una presión de 1 atm? A)9,72x103 ;-30,60 B) 6,72x103 ;30,60 C) 3 3 4,74x10 ;30,60 D) 9,72x10 ;20,80 E) 6,75x103 ;-30,60

147 | P á g i n a


20. El trabajo realizado cuando se comprime un gas en un cilindro es de 462J. Durante este proceso hay una transferencia de calor de 128 J del gas hacia los alrededores. Calcule el cambio de energía para este proceso. A)123 B)462 C)334 D)128 E)564

FISICA

Q: carga depositada, Coulomb V: diferencia de potencial aplicada al capacitor, Voltios En el caso de un capacitor de placas paralelas, la capacitancia es proporcional al área de sus placas e inversamente proporcional a la separación de éstas: Donde: C: capacitancia eléctrica, Faradio A: área de las placas, m2 d: distancia entre las placas, m

o :

SEMANA Nº 13

Concepto.- estudia el proceso de electrización de un cuerpo, las cargas eléctricas en reposo. Un cuerpo se electriza simplemente si alteramos el número de sus electrones. Concepto de carga eléctrica.- es aquella que adquieren los cuerpos cuando en ellos existe un exceso o defecto de electrones. LEY DE COULOMB Dos cuerpos con cargas del mismo signo se repelen y de signos diferentes se atraen. F

F

𝐹=𝐾

q2

𝑞1 𝑞2 𝑑2

E : Newton/Coulomb POTENCIAL ELÉCTRICO(V) Se refiere a la energía potencial por unidad de carga. El potencial creado por una carga puntual “q” a una distancia “d” viene dado por:

TRABAJO ELÉCTRICO(W) 𝑊 = 𝑞(𝑉2 − 𝑉1 )

W: joule

CAPACITANCIA ELÉCTRICA La capacitancia de un condensador electrostático se define como la relación entre la magnitud de la carga en cualquiera de los conductores y la magnitud de la diferencia de potencial entre ellos: Donde: C: capacitancia eléctrica, Faradio

𝐶=

𝑞 𝑉

𝑄𝐸𝑄 = 𝑞1 = 𝑞2 = 𝑞3

1 1 1 1 = + + 𝐶𝐸𝑄 𝐶1 𝐶2 𝐶3

𝑉𝐸𝑄 = 𝑉1 + 𝑉2 + 𝑉3 En paralelo: 𝑄𝐸𝑄 = 𝑞1 + 𝑞2 + 𝑞3

𝐶𝐸𝑄 = 𝐶1 + 𝐶2 + 𝐶3 𝑉𝐸𝑄 = 𝑉1 = 𝑉2 = 𝑉3 ENERGÍA ALMACENADA POR UN CAPACITOR (U) Para cuantificar la energía almacenada por un capacitor de placas paralelas se usan las siguientes formulas: 𝑞𝑉 𝐶𝑉 2 𝑞 2 = = 2 2 2𝐶

EJERCICIOS RESUELTOS 1. Determinar la distancia a la que se encuentran dos cargas eléctricas de 7x10-8C, al rechazarse con una fuerza de 4.41x10-3 N. Solución: q1 = 7x10-8 C q2 = 7 x10-8 C F = 4.41x x10-3 N N * m2 K  9 * 109 C2

q *q FK 1 2 r2

9x109  7x10 8  7x10 8     r  3 4.41x10

r = 0.1m = 10 cm

V:voltios

𝑊 = 𝑞𝑉

CAPACIDAD EQUIVALENTE (Ceq) En serie:

Donde: U: energía almacenada por el capacitor, Joule

CAMPO ELECTRICO(E) Es aquella región del espacio que rodea a toda la carga eléctrica y es atravez de ella que se llevan a cabo las interaciones eléctricas. 𝑞 𝐹 𝐸=𝐾 2 𝐸= E: Newton/Coulomb 𝑑 𝑞

𝑞 𝑑

N .m 2

𝑈=

q : carga eléctrica(C) d : distancia(m) K :constante de coulomb F : fuerza(N)

𝑉=𝐾

constante de permitividad eléctrica del medio,

Coul2

ELECTROSTÁTICA Y CAPACITORES

q1

UNSM – CPU-T

2. Calcular la fuerza eléctrica entre dos cargas cuyos valores son: q1 = 2 milicoulombs, q2 = 4 milicoulombs, al estar separadas en el vacío por una distancia de 30 cm. Solución: q1 = 2x10-3 q2 = 4 x10-3 r = 0.3 m

q *q FK 1 2 r2

C C

(9x109 ) 2x103  4x103  N * m2    F K  9 * 109 2 2 0.3 C

F = 8x105N

148 | P á g i n a


FISICA

UNSM – CPU-T

A)27

B) 30 C) 36 D)40 E) 45


(1)

1. Se tienen dos cargas de 8μC y 4μC separadas por 10cm. Calcular qué fuerza(en N) experimentará una tercera carga negativa de 1μC colocada a 4cm de la primera carga. A) 10 B)25 C)35 D)45 E) 55 +8μC

-1μC

+4μC

2. Dos esferas del mismo peso e igual cantidad de carga q= 60μC, se encuentra en equilibrio según como se muestra en la figura. Calcular la tensión en la cuerda. A)40N B)50N C) 60 D)70 E)80

4m 53°

(2)

A

6. Si la intensidad del campo eléctrico uniforme es E y la magnitud de la carga de la esfera es “q”; determinar el peso de la esfera, i ésta se encuentra en equilibrio. A)E/q B)q/E C)qE D) qE 2 E) qE / 2

E 45°

q +q

7. Calcular la intensidad de campo eléctrico resultante (en N/C) en el vértice “A”. A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

90cm q

-q

3. La figura muestra dos esferas idénticas de 20N de peso cada una y cargadas con igual magnitud q=20μC pero de signos diferentes. Determinar la tensión(en N) en la cuerda (1) A)2N B)3N C)4N D)5N E) N.A.

A

d

+Q

d

-Q

d

(1) +q

60° 1)

8.

Las cargas ubicadas en los vértices de un triángulo equilátero son 50μC, 10μC y 30μC. Calcular la fuerza eléctrica (en N) sobre la carga de 10μC. El lado del triángulo mide 30cm. A) 30 B) 50 C) 60 D)70 E) 80

9.

La figura muestra tres cargas; Q1=3μC, Q2= 10μC y Q3=19μC respectivamente. Calcular la fuerza resultante (EN) que actúa sobre Q 2 A) 3 B)4 C)5 D) 6 E) 9

30cm -q

4. Calcular el campo eléctrico resultante en el punto “A”, si: Q=12nC. A) 27 3 B) 27 C) 35 D) 10 3 E) 12

Q1 -Q 2m

+Q

120°

2m

45°

A

5. En los vértices de un triángulo se han clocado dos cargas eléctricas de magnitudes Q1= 125nC y Q2=+27nV, separadas una distancia de 4m como muestra en la figura. Determinar la intensidad del campo eléctrico resultante (en N/C) en “A”.

+Q2

60cm

Q3

10.

Un capacitor de placas paralelas tiene una capacitancia de 112pF, un área de placa de 96,5cm2, y un dieléctrico de mica (Ke =5,40). Para una diferencia de potencial de 55V, Calcule: La intensidad del campo eléctrico (KV/m) en la mica. A)13,4K B)12,5 C)8,5 D)11,3 E)12,2

149 | P á g i n a


11. Un capacitor de 10uF es cargado a 15V, luego es conectado en serie con un capacitor de 5uf y finalmente la conexión en serie es conectada a una fuente de alimentación de 50V. Determinar la nueva diferencia de potencial para el capacitor de 5uf y 10uf. A) 13,3; 20,7 B) 12,5; 6,5 C)45,4; 2,5 D) 23,3; 26,7 E) 31,3; 6,5 12. Cuando el interruptor S se mueve hacia la derecha las placas del capacitor C 1 =10uf adquieren una diferencia de potencial de Vo=12v, C2 = 12uf y C3 = 12uf están descargados inicialmente. Ahora el interruptor se mueve hacia la izquierda. ¿Cuáles son las cargas finales (uC) de q2 y q3 de los capacitores correspondientes? A)1,97 B)1,45 C)2,23 D)3,21 E)N.A.

FISICA

16. En cierta región del espacio en la que existe un campo eléctrico E = (2i-j+k)x105 N/C se suelta una carga de +20uC y 100gr. La aceleración (en m/s2 ) que esta adquiere es: A) (20i-20j+20k) B) (4i-20j+20k) C) (40i-20j+20k) D) (40i-2j+2k) E) (40i-20j+2k) 17.- Dos cargas q1 y q2 se colocan como en la figura. El campo eléctrico en el punto A tiene la dirección indicada. Si las cargas q1 es +5uC, entonces la carga q2 es: A) -3C

A)-5F B) 6F C) -7F D) -8F E)10F 14. Para las partículas indicadas en la figura determine la distancia x punto p donde una

B) - 4uC

C) -5uC D) -15uC

E) -2uC 18.

13. Dos cargas puntuales tienen una fuerza de interacción F cuando se encuentran a una distancia R ¿Cuál será el valor de la fuerza eléctrica si se duplica una de las cargas y la distancia entre ellos se reduce a la mitad?

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Un protón se dispara perpendicular a una superficie en una región donde existe un campo eléctrico uniforme de 500N/C El valor máximo de la velocidad inicial del protón para que este no haga contacto con la pared es: A) 2,79x104m/s B) 3,79x104m/s C) 5,79x104m/s D) 8,79x104m/s E) 9,79x104m/s

carga +Q quede en equilibrio. A) 3a B)2a C)4a D)6a E)1,5a

19. En la figura se localizan tres cargas puntuales ubicadas en las esquinas de un triangulo equilátero, calcule la fuerza eléctrica neta sobre +7uC A) 0,37N B) 0,47N C) 0,87N D) 0,57N E) 0,51N

15. Cuatro cargas se ubican en los vértices de un cuadrado de lado a (ver figura).El campo eléctrico en el centro del cuadrado es. A)2kq√2/a2 B) 4kq√2/a2 C) 3kq√2/a2 D) 5kq√2/a2 E) kq√2/a2

20. Una esfera metálica conductora tiene carga eléctrica distribuida de manera uniforme en su superficie con un valor de 8,85x10-8 C. Calcule el radio de dicha esfera sabiendo que la intensidad del campo eléctrico creado en un punto situado a 2m de su superficie es de 3600N/C. A) 2,5m B) 1,5m

C) 5,5m D) 1,3m

E) 1,2m

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SEMANA 14 TRABAJO DE UNA FUENTE (W).- Trabajo para mover una carga (q) de menor a mayor potencial.

ELECTRODINÁMICA Concepto.- es la parte de la electricidad que se ocupa de estudiar los efectos producidos por el movimiento de las cargas eléctricas. CORRIENTE ELÉCTRICA.- es el flujo de electrones a través de un conductor, debido al campo eléctrico producido por la diferencia de potencial a la cual se encuentran sus extremos. I NTENSIDAD DE CORRIENTE (I).- Es la cantidad de carga que pasa por la sección recta de un conductor en la unidad de tiempo. 𝑞 𝐼= (𝑎𝑚𝑝𝑒𝑟𝑒(𝐴)) 𝑡 q q: cantidad de carga que atraviesa la sección recta del conductor. t: tiempo transcurrido. I: intensidad de corriente que circula. RESISTENCIA ELECTRICA(R).- es la oposición que ofrece un conductor al paso de la corriente a través de él.

R

LEY DE OHM.- en todo conductor metálico a temperatura constante, la diferencia de potencial entre dos puntos es directamente proporcional a la intensidad de corriente.

POTENCIA ELÉCTRICA (P).- Determina la cantidad de energía que suministra o consume un dispositivo eléctrico en la unidad de tiempo. 009090909 potencia eléctrica se define como: Para conductores que cumplen con la ley de OHM: V=IR.

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Se tiene un tubo fluorescente por el cual fluye simultáneamente en 20 ms, 64 mC de iones positivos de P a Q y 32 mC de iones negativos de Q a P. Determine la intensidad de corriente (en A) que circula por el tubo. Q

A) 3,2

ASOCIACIÓN DE RESISTENCIAS (Req): En serie: En paralelo: 𝐼𝐸𝑄 = 𝐼1 = 𝐼2 = 𝐼3 𝑅𝐸𝑄 = 𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3 𝑉𝐸𝑄 = 𝑉1 + 𝑉2 + 𝑉3

1 1 1 1 = + + 𝑅𝐸𝑄 𝑅1 𝑅2 𝑅3 𝐼𝐸𝑄 = 𝐼1 + 𝐼2 + 𝐼3 𝑉𝐸𝑄 = 𝑉1 = 𝑉2 = 𝑉3

LEY DE POUILLETT.- la resistencia es directamente proporcional a su longitud e inversamente proporcional al área de su sección recta.

B) 8,2

P

C) 4,2

D) 4,8

E)1,8

2. Se tiene un alambre de cobre de 1,6 mm de diámetro. La densidad de electrones es de 8,47x1022/cm3 y la velocidad de arrastre es de 3,5 x 10-5 m/s. Determine aproximadamente la intensidad (en A) de corriente en el alambre A) 3

B) 5,2

C) 4,2

D) 2,95

E)1

3. Un alambre de nicrom tiene una longitud de 1 m y una sección recta de 1 mm 2. Cuando se le aplica una diferencia de potencial de 2V, el alambre transporta una corriente de 4A. Hallar la resistividad (en µΩm) del nicrom A) 0,5 E) 0,75

B) 0,45

C) 0,9

D) 1,2

4. Un alambre de longitud de 8 cm cuya sección transversal es de 16 mm 2 es sometida a una diferencia de potencial, obteniendo una gráfica de corriente en función del potencial. Determine la resistividad (en 10-5Ωm)

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8. Hallar la resistencia equivalente (en ohm) del conjunto de resistencias entre los puntos A y B mostrados. Asimismo R=12Ω R

I (mA)

25

R R

0,01

A) 15

B) 8

C) 4

D) 7

E) 12

5. Un circuito eléctrico está formado por tres alambres de igual longitud y del mismo material unidos en serie. Los tres alambres tienen distinta sección: 1 mm 2, 2 mm2 y 3 mm2. La diferencia de potencial entre los extremos del circuito es de 12 V. Determine el potencial en los extremos del alambre de 2 mm2. A) 15 B) 8 C) 4 D) 7 E) 1 6.

R

R

V (v)

R A) 14

B) 48 C) 60

D) 27

E) 32

9. En el circuito mostrado, la fuente tiene una resistencia interna r=1Ω y la corriente que circula es de 1A cuando Rx=R, y es de 0,4A cuando Rx=3R. Determine el valor de la FEM de la fuente I

Dos conductores metálicos A y B son sometidos a diferentes voltajes de tal forma que se han obtenido la intensidad en función del voltaje, representado en la grafica adjunta. Determine la relación entre I (mA) resistencia RA/RB

r=1Ω Rx

A B

18

C) 1/3

6

D) 7/8

V (v)

E) 2/3

7. En la figura se muestra la corriente en función del tiempo para tres conductores I (A)

10. Al conectar un resistor de 99 Ω en paralelo con una batería, se hace circular una corriente de 100 mA ¿Cuál es la resistencia interna (en Ω ) de la batería si al ser cortocircuitada entrega 10A? A)1 B) 1,25 C) 0,75 D) 2 E)1,75 11. Halle la diferencia de potencial V a - Vb (en V) entre los puntos libres a y b del circuito mostrado. 4Ω

A

5

B

8V

3 C

a

1

20Ω

b 12V

V (v)

20V

II. El conductor “A” tiene mayor resistencia que “B” y “C” III. La resistencia del conductor “B” es de 0,67Ω C) VFV

12. En el circuito de corriente continua mostrado, determine la diferencia de potencial entre los puntos A y B (en V) A b B 2Ω

D) FVV

16Ω

I. Los tres materiales son óhmicos

B) VVV

8Ω

A) 24 B)-12 C)-24 D)12 E)0

16Ω

2

A) VVF E) FFV

D) 4,7 V

E) 6,2V 2

A) 1/6 B) 8/5

A) 2,5V B) 3,5V C) 4V

10V

B B b B

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A) 3 B) 6 C) 8

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A) 45 V B) 25 V

D)12 E)10

3Ω 9V a 3V

A) 125 J D) 175 J 6Ω

D) 22V

E) 55V

18. Dos baterías de 10V y 15V logran movilizar la misma cantidad de carga de manera independiente. Si el primero consumió 120J de energía ¿Cuánta energía (en J) habrá consumido el otro?

13. En la figura halle Vb-Va en voltio

b

C) 16V

B) 165 J E) 180 J

C) 170 J

12V

A) -9 B) +9 C) -13

D)-15 E)+10

14. Tres resistencias de 6 Ω cada una se

19. Se tiene el siguiente circuito mixto, el cual es alimentado por una fuente de 110 voltios Calcular la resistencia equivalente total y la intensidad de corriente total

encuentra en paralelo y en serie con otra de 8 Ω, si se aplica al conjunto 30 V

de

diferencia

de

potencial.

La

potencia disipada es: A) 90 watt

B) 120 watt

D) 180 watt

C) 150 watt

E) 60 watt

15. Hallar la resistencia equivalente entre A y B. Todas las resistencias valen R

C)10𝛀, 𝟐𝟎 𝐀 E)22 𝛀; 𝟓 𝐀

B

A A) R/2

B)R/3 C)R/4 D)R

A)36𝛀:5A

E)2R

16. En la instalación mostrada. Se pide calcular el valor de Vxy (en voltios) si se sabe que R1=12Ω, R2=8 Ω y V2=40V

B) 280 𝛀 ; 55 A D)18 𝛀; 𝟖 𝐀

20. Un conductor desprende 1200 calorías en 100 segundos cuando lo atraviesa una corriente de 2 A Calcular la longitud del conductor (en m) si tiene una sección de 2x10–2 cm2 y una resistencia especifica de 0,2 Ω . mm 2 / m. A) 122 B) 123 C) 124 D) 125 E) 126

V2 y

x R2

R1 Vxy=?

A) 40 V B) 60 V C) 100V

D) 20V

E) 50V

17. Determinar el valor de V (en voltio) sabe que Vxy=72 V

si se

V=? x

y 3R

2R Vxy=?

4R

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SEMANA Nº 15

1.

ELECTROMAGNETISMO Carga magnética.-En una barra imán se verifica que los polos tienes la misma carga magnética pero de signo diferentes. En el S.I. se expresa en ampere. metro= A.m. Interacciones electromagnéticas: A) Ley Cualitativa.- “Dos polos de la misma naturaleza se repelen, y de naturaleza diferente se atraen” B) Ley Cuantitativa: 𝐹 = 𝐾𝑚 ×

𝑞1 × 𝑞2 𝑑2

𝐾𝑚 =

D) 2,1 2.

10−7 𝑁 𝐴2

Campo magnético.- Una barra imantada o un cable que transporta corriente pueden influir en otros materiales magnéticos sin tocarlos físicamente porque los objetos magnéticos producen un ‘campo magnético’. Los campos magnéticos suelen representarse mediante ‘líneas de campo magnético’ o ‘líneas de fuerza’. En cualquier punto, la dirección del campo magnético es igual a la dirección de las líneas de fuerza, y la intensidad del campo es inversamente proporcional al espacio entre las líneas.

3.

Intensidad de campo magnético:

𝐵=

𝐹 𝑞∗ = 𝐾 𝑚 𝑞∗ 𝑑2

Dos polos puntuales aislados, norte y sur, se encuentran separados una distancia de 20cm en el vacío. ¿Qué distancia (en cm) habrá que separar a los polos para que la fuerza de interacción entre ellos sea el doble con respecto a la primera situación? A) 5,41 B) 4,1 C) 3,51

4.

E) 1,41

Calcular el valor de la corriente (en A) que circula por el segmento de conductor, tal que la inducción magnética en el punto P sea 7x10-5T. A) 54 B) 62 C) 56 D) 60 E) 58 Dos polos aislados de la misma carga magnética pero de signos diferentes se hallan separados en el aire una distancia de 20cm, y se ejercen mutuamente una fuerza de 10N. Calcular la carga magnética del polo aislado (en A.m.) colocado en el punto medio de la distancia que separa a las cargas magnéticas, de tal manera que la fuerza ejercida sobre ella sea de 16N. A) 350 B)200 C)400 D)150 E) 300 Calcular el campo magnético (en x10 6 T) en el punto P, si la corriente es 8A.

Las unidades de B en el S.I. es el tesla (T) y se define así: 1T= 1N/Am Flujo magnético.- una menor o mayor concentración de las líneas de fuerza nos permite tener una idea de lo intenso que es el campo magnético en dichas regiones. ∅ = 𝐵. 𝐴. 𝐶𝑂𝑆𝜃 La inducción electromagnética.- es el fenómeno que origina la producción de una diferencia de potencial eléctrico (voltaje) en un medio o cuerpo expuesto a un campo magnético variable. Ley de Ampere. Que la línea integral de un campo magnético en una trayectoria arbitrariamente elegida es proporcional a la corriente eléctrica neta adjunta a la trayectoria, es decir que la corriente eléctrica produce un campo magnético direccionado. Ley de Faraday: Esta indica que siempre que se mueve un alambre a través de las líneas de fuerza de un campo magnético, se genera en este (alambre) una corriente eléctrica, misma que es proporcional al número de líneas de fuerza cortadas en un segundo.

A) 6 D) 5

B) 4 E) 3

C) 7

5. Dos polos magnéticos de polaridades diferentes poseen cargas magnéticas de 4000A.m y -5000A.m y se encuentran sumergidas en un líquido isótropo de permeabilidad magnética relativa µr = 1,0039. ¿Cuál es la fuerza magnética (en N) que se presenta entre los dos cuando se colocan a la distancia de 10cm? A) 200,78 B) 250,78 C) 200,68

D) 250,48

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E) 200,58 6.

cargas magnéticas: 𝑞𝐴 = 640 𝐴. 𝑚; 𝑞𝐵 = 270 𝐴. 𝑚, 𝑞𝐶 = 100 𝐴. 𝑚 ; Tres

se encuentran en un plano cartesiano en las posiciones A(0;3), B(4;0), C(4;3) en cm respectivamente. Hallar la fuerza (en N) resultante sobre la carga ubicada en C A)3 B) 5 C) 7 D)8 E) 10 7.

La figura muestra un imán recto, con carga magnética en cada polo igual a 625 A.m. Calcular el campo magnético (en mT) en el punto P

12. Dos conductores infinitamente largos se cruzan en el mismo plano con corrientes I1=12A y I2=18A .Si las coordenadas del punto P son x=60 cm e y=45cm. Halle el campo magnético (en 𝜇𝑇) en el punto P.

.P

15 cm N

S 48 cm

A) 1,2 B)1,3

I1

C) 1,6

E) 2

I

B) 5

A) 9 B) 7 C) 6 D) 4 E)2 53°

9 cm

16 cm

A) 7

I2

37°

37°

9.

D)1,8

La figura muestra un conductor que lleva una corriente de 6 A. Halle el campo magnético ( en 𝜇𝑇) en el punto P P 12 cm

8.

P(x;y )

C)4

D) 3

E)2

En la figura se muestra una vista lateral de una superficie plana de 3 cm 2 en un campo magnético uniforme. Si el flujo magnético a través del área es de 0,0009 wb, halle la magnitud del campo magnético (en Tesla)

13. Un magnetrón en un horno de microondas emite ondas electromagnéticas de 2450MHz ¿Qué campo magnético (en T) se requiere para que los electrones se desplacen en trayectorias circulares con esta frecuencia? Carga eléctrica electrón = 1,6𝑥10−19 𝐶 𝑦 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟ó𝑛 = 9,11𝑥10−31 𝑘𝑔

B

A) 0,009 B) 0,09

A) 6

B) 4

C) 3

D) 2 E) 1

10. Dos polos puntuales aislados, norte y sur, se encuentran separados una distancia de 2 cm en el vacío. ¿Qué distancia (en cm) habrá que separar a los polos para que la fuerza de interacción entre ellos sea el doble con respecto a la primera situación? A) 1,41 B) 2,14 C) 3,41 D) 4,12 E) 5,1 11. La figura muestra un imán barra de 48 cm de longitud en equilibrio, cuyas cargas magnéticas en sus polos tienen un módulo de 6250 A.m. Sabiendo que la esfera A tiene una carga magnética sur de módulo 1000 A.m. Calcular el peso del imán barra (en N). La cuerda y el soporte son antimagnéticos.

D) 9

E) 90

14. En un punto donde hay una carga magnética de 500 A.m. el campo magnético es 18 T ¿Cuál es el módulo de la fuerza (en N) que experimenta dicha carga? A) 9x103 B) 9x102 C) 9x104 D) 90 E) 9 15. La figura muestra una esferita de 4 N de peso y carga magnética de magnitud 0,6 A.m. , unida a un hilo se encuentra suspendida de un punto fijo dentro del campo magnético homogéneo B. Sabiendo que la esferita está en equilibrio. Determinar el valor del campo magnético (en Tesla) B 37°

30°

C) 0,9

q A) 8 B) 6

C) 5

D) 3

E)7

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16. Una bobina circular plana, de 20 espiras, tiene un radio de 10cm. ¿Qué intensidad de corriente (A) debe circular por ella para que la inducción magnética en su centro valga 2x10-4 T? A) 2,6 B) 1,8 C) 2,5 D) 7,3 E) 3,5 17. A través de una bobina que consta de 500 espiras y tiene una longitud de 15cm circula una corriente de 20A. Calcular la inducción magnética en el interior de la bovina (x10 2 T). A) 2,4 B) 6,4 C) 8,4 D) 3,4 E) 5,2 18. Una partícula cuya carga es de +6µC es lanzado sobre un campo magnético uniforme B=0,2T con una velocidad de 400 m/s halle el valor de la fuerza magnética cuando el ángulo entre la velocidad de la partícula y las líneas de inducción sea de 30° A) 210 µN B) 240µN C) 320 µN D) 160 µN E) 260 µN 19. Una partícula de masa m=1g que se mueve con una rapidez de 106 m/s experimenta una fuerza de 1 mN cuando sobre ella actúa un campo de 1µT perpendicular a su velocidad ¿Cuál es la carga (en mC) de la partícula? A) 5 B) 3 C) 1 D) 1,2 E) 2,3 20. Calcular la intensidad de corriente del conductor recto infinito; para que el vector de inducción magnética tenga un valor de 12x10-4 Tesla Es aquel A) 200 A B) 120 A C) 300 A D) 135 A E) 25 A 5 cm

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FOTOMETRIA.- es una parte de la óptica que estudia la medida de la iluminación y de la intensidad luminosa emitida por los cuerpos luminosos. Flujo luminoso (ø):

ø=

𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎𝑙𝑢𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠𝑎 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜

(lm)

Intensidad luminosa (I): 𝐴

ø

𝜔 = 𝑑2

𝐼 = 𝜔(cd)

(sr)

Eficiencia luminosa (ƞ):

ƞ=

𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜𝑙𝑢𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠𝑜 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

Iluminación (E):

(lm/watt)

ø

𝐸=𝐴

(lux)

Ley de Lambert:

𝐸=

𝐼 𝑐𝑜𝑠 𝑑2

(lux)

Fotómetro de bunsen

𝐼1 𝐼2 2 = 2 𝑑1 𝑑2 REFLEXIÓN DE LA LUZ Es aquel fenómeno luminoso que consiste en el cambio de dirección que experimenta un rayo de luz en un mismo medio. Normal

.

SEMANA 16 ÓPTICA ONDA ELECTROMAGNETICA.- es una onda transversal compuesta por un campo eléctrico y un campo magnético simultáneamente, ambos campos oscilan perpendicularmente entre sí. ESPECTRO ELECTROMAGNETICO.- es la distribución energética del conjunto de las ondas electromagnéticas. El espectro electromagnético se extiende desde la radiación de menor longitud de onda como los rayos gamma y los rayos X, pasando por la luz ultravioleta, la luz visible y los rayos infrarrojos, hasta las ondas electromagnéticas de mayor longitud de onda, como son las ondas de radio. OPTICA.- Es la parte de la física que se encarga de estudiar la luz, su naturaleza, sus fuentes de producción, su propagación y los fenómenos que experimentan.

Rayo

Rayo

incidente

reflejado

Para una reflexión regular el valor del ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión ESPEJOS Un espejo es toda aquella superficie reflectante perfectamente pulida donde únicamente ocurre reflexión de tipo regular. Espejos planos.- superficie plana altamente pulida que refleja casi toda la luz que sobre ellos inciden. Imagen formada por dos espejos planos: El número de imágenes formadas por dos espejos planos se obtiene de la fórmula:

𝑁° =

360°



−1

: Ángulo formado por los espejos

Espejos paralelos.- son dos espejos que forman 0° entre si y por lo tanto forman infinitas imágenes del objeto ubicado entre ellos. Espejos esféricos.-un espejo esférico es un casquete esférico, una de cuyas superficies está

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altamente pulida y es, por tanto la superficie reflectante.


REFRACCIÓN DE LA LUZ Es aquel fenómeno luminoso que consiste en el cambio de dirección que experimenta la luz al atravesar la superficie de separación de dos medios de diferente densidad.

ONDAS ELECTROMAGNETICAS

Norm al Medio (I)

Rayo incidente

Rayo

Medio

Índice de refracción de una sustancia (): refractado (II) Es aquel valor que se define como el cociente de la velocidad de la luz en el vacío (o aire) y la velocidad de la luz en un medio.

=

𝑐 𝑣

Vacio= 1 Agua= 4/3

Angulo límite:

𝛼 = 𝑠𝑒𝑛−1

1 2 ℎ𝑎𝑝 =

1 𝐻 2 𝑟

1. Calcula a energía de los fotones que puede intercambiar la luz que procede del sol, cuya longitud de onda es 𝜆 = 1,5 𝑥 10−7 𝑚. ¿Cuánto aumenta la energía (en x10-18 J) de los fotones si se duplica la intensidad de la luz que llega? A) 1,3 B) 1,5 C) 1,1 D) 2,5 E) 2,2 2. Calcula el número de vueltas que da un rayo alrededor de la tierra en un segundo si el radio de la tierra mide 6370 km. A) 4,2 B)5 C) 6,5 D) 7,5 E) 8,2 3. ¿En qué longitud (en m) de onda podemos sintonizar una estación de radio que emite señales a una frecuencia de 12MHz? MHz:Megahertz A) 4 B) 25 C) 6,5 D) 12 E) 10

4. Las medidas obtenidas para los índices de refracción de dos medios diferentes son n1=1,25 y n2=0,97. Calcula la velocidad de la luz (en m/s) en cada medio y analiza la LENTES veracidad de los valores obtenidos: (dar la Una lente es toda sustancia transparente limitada por dos superficies respuesta del medio correcto) de las cuales por lo menos una de ellas debe ser esférica. El modelo matemático (ecuación) que se aplica tanto a A) 2,4𝑥108 B)3,09𝑥108 C) 1,4𝑥108 D) los espejos y a las lentes es: 2,5𝑥108 E) 1,65𝑥108 Altura aparente:

1 1 1   , donde: f p q p = distancia al objeto q = distancia de la imagen y f = longitud focal de la lente.

EJERCICIOS RESUELTOS: 1. La velocidad de la luz en el agua es el 75% de la correspondiente en el aire. Determine el índice de refracción del agua. Solución: n = ? V en el aire c = 300000 km/s V en el agua = 225000 km/s

n

c v

n

300000 225000

n = 1.33

2. Determinar la situación de un objeto con respecto a un espejo esférico cóncavo de 180 cm de radio, sabiendo que se obtiene una imagen real cuyo tamaño es igual a la mitad del tamaño del objeto. Solución: p=? 1 1 1 2 1 2     f p q q = p/2 180 p p f = 180 p = 270cm delante del espejo 3. ¿Cuántas imágenes se observaran de un objeto al ser colocado en medio de dos espejos planos que forman un ángulo de 60º? Solución: 0 3600

n

N=? α= 60º N = 5



1

n

360  1 5 60

5. Si un rayo incide desde el aire (n a=1) con un ángulo de 60° con respecto a la normal, Calcula el indice de fracción del segudo medio para que el ángulo refractado sea la mitad. A)1,02 B)0,98 C)1,015 D)1,55 E) 1,73 6. Una onda electromagnética que se propaga en el vacío tiene una longitud de onda de 𝜆 = 5 𝑥 10−7 𝑚 . Calcula su longitud de onda cuando penetra en un medio de índice de refracción de 1,5 A) 1,5 𝑥10−7 B) 2,5 𝑥10−7 C) 3,3𝑥10−7 D) 2,8𝑥10−7 E) 4,5𝑥10−7 7. Calcula la energía de un fotón de luz roja de 7600 Å (ANGSTROM) en el vacío, si su 𝑚 velocidad es 𝑐 = 3𝑥108 . Además: ℎ = 𝑠 6,63𝑥1010−24 𝐽. 𝑠 A) 2,62x10-19 J B) 1,7x10-19 J C) 3x10-19 J

D) 10x10-19 J

E) 0,2x10-19 J imágenes

8. Hallar el número de imágenes que formaran dos espejos angulares que forman entre si 72°.

157 | P á g i n a


A) 3 B) 4 C9 5 D) 6 E)7 9. Si el ángulo entre dos espejos planos es 110°. ¿Cuántas imágenes tendrá un objeto colocado entre estos espejos? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E)6 10. Entre que valores debe estar el ángulo que forman dos espejos planos de modo que un objeto colocado entre ellos tenga 6 imágenes. A) 40° ≤ 𝜃 < 60° B) 51,43° ≤ 𝜃 < 60° C) 41,43° ≤ 𝜃 < 60° D) 60° ≤ 𝜃 < 72° E) 55,43° ≤ 𝜃 < 72° 11. Con relación a la radiación visible indicar las

FISICA

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15. En una noche oscura, un pez linterna en el fondo de un estanque es observado por un joven, que se encuentra en la misma vertical, el cual indica que el pez se encuentra a 2m de profundidad; además advierte que el área iluminada por el pez sobre la 64 𝜋 𝑚 2

superficie del estanque es . Determine la 7 profundidad del estanque (en m). A)7/3 B)8/3 C)10/3 D)11/3 E)14/3

16. El espacio mostrado en la figura se encuentra articulado en su borde inferior para poder girar. Para una posición perpendicular al piso, la imagen de la pequeña lámpara se encuentra a 3,6m de ella. Determine la distancia (en m) entre la lámpara que se encuentra a 2,4m del suelo y su imagen al girar el espejo 37° en sentido horario.

proposiciones verdaderas (V) 0 falsas (F) I. El ojo humano es más sensible a la radiación amarilla que a la radiación violeta II. La radiación violeta tiene menor frecuencia que la radiación roja III. El ojo humano detecta la radiación electromagnética cuya longitud de onda está en el intervalo 3800Å < 𝜆 < 7500Å

A) VVV B) VVF C) VFV D) FVV E) FFV 12. Si el ángulo de desviación entre el rayo incidente y el rayo reflejado en el espejo “2” es 180°, determine el ángulo entre los espejos (𝛽)

A)6,4 B)5,76 C)4,44 D)2.75 E)5.25 17. Hállese el radio ( en cm) de curvatura y el tipo de espejo esférico de poca abertura considerando que cuando un objeto se coloca a 20cm del espejo se produce una imagen virtual a 60cm del espejo. A)30 B)40 C)50 D)60 E)45

Espejo 2

18. Empleando un espejo cóncavo de 12cm de distancia focal, se obtuvo una imagen real, más pequeña que el objeto, la cual se formó a 10cm del objeto. ¿A qué distancia ( en cm) del espejo se formó la imagen? A)10 B)15 C)20 D)30 E) 35

Espejo 1

A) 16° B)60° C)90° D)37° E)74° 19. Respecto a las siguientes proposiciones sobre los 13. Un rayo luminoso incide desde el aire sobre el prisma de vidrio (n=1,5) siguiendo la trayectoria mostrada. Determine el producto del seno del ángulo de refracción cuando va del aire al prisma por el seno del ángulo de incidencia cuando sale del prisma al aire.

A) VFV VVV

vidri o 53°

espejos convexos. Indicar la relación correcta respecto a la verdad (V) o falsedad (F) de las mismas. I. Las imágenes son siempre reales II. Su foco se encuentra en la zona virtual III. Las imágenes siempre son de menor tamaño

B) VVF

C) FVV

D) FFF

E)

60°

20. Un pantalla se encuentra frente a un espejo

A)5/32 B)1/9 C)3/4 D)2/15 E) 3/25 14. Se hace incidir un rayo de luz en una fibra de vidrio de índice de refracción 1,25 como se muestra en la figura. La fibra de vidrio es flexible de manera que el ángulo "𝜽" puede ser modificado a voluntad ¿Cuál es el menor valor de "𝜽" para que en el punto A no haya perdida de luz por refracción?

cóncavo cuya distancia focal es 28cm. ¿A qué distancia (en cm) del espejo cóncavo habrá que colocar un objeto de altura “h” para que en la pantalla se forme una imagen del doble de tamaño que en el objeto? A) 26 B) 38 C) 42 D) 84 E) 55

A

Rayo de luz

60° A

A

A) 30° B)37° C)45° D)53° E)60°

158 | P á g i n a

Geometría

TARAPOTO - PERÚ

DECIMO NOVENA EDICIÒN

GEOMETRIA 2017-II

UNSM - CPU-T

Sustracción:

SEMANA N° 01 NUMERO MAXIMO DE PUNTOS DE INTERSECCION DE FIGURAS GEOMETRICAS n(n−1) 1. “n” rectas secantes: NPI =

AC – AB = BC AC – BC = AB

También: A

B

C

2

2. “n” circunferencias secantes: NPI = n(n − 1)

Corolario: Las operaciones con segmentos

3. “n” polígonos convexos secantes de “L”

gozan de las mismas propiedades que las operaciones aritméticas. Igualdad: Dos segmentos son iguales si tienen la misma longitud.

lados cada uno: NPI = Ln(n − 1) 4. “n” figuras cuales quiera (convexas y no convexas) del mismo tipo. NPI =

Kn(n−1) , 2

donde “k” máximo N° de puntos de cortes de 2 figuras. 5. Para combinaciones de dos figuras: NPI = 2mf1 . f2 , donde: m=menor N° de lados de las figuras f1 y f2 : f1 y f2 : # de figuras de forma f1 y f2 . SEGMENTO Es la porción de recta limitada por dos puntos llamados extremos. El segmento AB de la figura

Si: MN = 9 u y AB = 9 u Luego: MN = AB Relación de segmentos: Si se cumple que: AB BC



2

AB  2k BC  3k



3 A

B

C

2k

3k

ANGULOS

adjunta, se denota: AB o BA . Los puntos A y B son los extremos. A

B

Si la longitud o medida del segmento AB es 10

Ángulo: Es la figura por dos rayos que tienen el mismo origen. Los dos rayos son los lados del ángulo, el origen común es el vértice y a la región de plano limitado por los rayos se le llama abertura.

unidades, podemos escribir: AB = 10 ó m AB = 10. En este último caso, la “m” se lee medida. PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO: Se llama así al punto que equidista de los extremos del segmento dado. Notación: “M” punto medio AB . A

M

AM = MB B

B

P Lado Q 

O

R abertura

Lado A

Vértice

Puntos que pertenecen al ángulo: Notación:

SEGMENTOS CONGRUENTES:

A Oˆ B, AOB, B Oˆ A, BOA, (la letra del vértice al centro)

Dos segmentos son congruentes si tienen la

Medida de un ángulo:

misma longitud. Donde AB  CD nos señala que AB y CD , son congruentes. La notación aquí mostrada indica que AB = CD. A

B

C

D

Es la cantidad de abertura existente entre sus lados. La medida del ángulo geométrico se determina normalmente en el Sistema Sexagesimal. Ángulo de una vuelta

OPERACIONES con SEGMENTOS:

A

O

B

360º

Ángulo llano

Adición: AB + BC + CD = AD También: A

A o

AC + CD = AD AB + BD = AD B

C

O

180

B

Unidad: Grado sexagesimal D

1 vuelta: 360º 1º = 60’; 1’ = 60”

160 | P á g i n a


GEOMETRIA 2017-II

Medida convexa y cóncava: Todos los ángulos excepto el llano y el de una vuelta, presentan dos medidas: una convexa y otra cóncava. A

UNSM - CPU-T

Teorema II: De la bisectriz OM del ángulo parcial B Oˆ C: B A

ˆM AO

M

ˆ B  AO ˆC AO 2

b Media convexa

Media O cóncava

O B

C

Teorema III

0º  medida del ángulo geométrico  360º

De la bisectriz ON del ángulo total P Oˆ R Q

Clasificación de los ángulos: Según su medida: 1.Nulo: medida = 0º

P N

ˆN QO

2.Agudo: 0º < medida < 90º

ˆ R  PO ˆQ QO 2 O

R

3.Recto: medida = 90º ANGULOS FORMADOS PARALELAS

4.Obtuso: 90º < medida < 180º

ENTRE

RECTAS

5.Llano: medida = 180º Ángulos Correspondientes Un interno y el otro externo, a un mismo lado.

6.Cóncavo: 180º < medida < 360º 7.Completo o de una vuelta: medida = 360º Según su posición y características: 1.Consecutivos: tienen el mismo vértice y lados comunes. 2.Adyacentes: consecutivos, que sus medidas suman 180º. 3.Complementarios: dos ángulos cuyas medidas suman 90º 4.Suplementarios: dos ángulos cuyas medidas suman 180º. 5.Reglamentarios o explementarios: dos ángulos cuyas medidas suman 360º. 6.Opuestos por el vértice: tienen el mismo vértice y dos lados opuestos. Ángulos Congruentes Dos ángulos son congruentes si tiene igual medida A M N

º 

º

Ángulos Alternos Internos Ambos internos uno en cada lado. º



º

Ángulos Conjugados Internos Ambos internos y en un mismo lado

A Oˆ B  M Oˆ N 



O

Bisectriz de un ángulo Es el rayo que divide a un ángulo en dos ángulos de medidas congruentes o iguales. A Oˆ X = X Oˆ B =

A

AOB 2 O

 

x

= bisectriz Teoremas Principales B Teorema I: La medida de un ángulo determinado por las bisectrices de dos ángulos adyacentes siempre equivale a 90º. OX

B

Y

OX , OY O

    180 º

º

PROPIEDADES 01. º

x  

xº º

02.

X

A

º

B

C

: Bisectriz ˆ Y  90 º XO

a

º b º

c

161 | P á g i n a


GEOMETRIA 2017-II

3.- Hallar el máximo número de puntos de corte entre “n” elipses secantes y “n” triángulos secantes , todos en conjunto. A)𝑛(6𝑛 − 5) B) 𝑛(8𝑛 − 5) C) 𝑛(9𝑛 − 5) D) 𝑛(11𝑛 − 5) E) 𝑛(12𝑛 − 5 4.-Hallar el Máximo número de puntos de intersección de 13 figuras de la forma “W” A)1624 B)1436 C)1728 D)1248 E)1324 5.-Si los x/y del complemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento de “a” es igual a los m/n de la diferencia entre el complemento de  y el suplemento del suplemento de  . Hallar 

03. º

º

  abc

xº

º º

04. º

º º

º

        180 º

A) 45° B) 40° C)50° D) 55° E) 60 6.-Sean dos ángulos cuya suma de sus medidas es 100º y la diferencia de sus complementos es 20º. Calcule la razón de las medidas de dichos ángulos.

05.           180 º Nº Segmentos

º

º º º

º

A) 2/3 B) 1/3 C) 1/4 D) 3/7 E) 2/9 7.- El suplemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento de un ángulo es igual al doble del complemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento del complemento del mismo ángulo. Calcule el suplemento del doble de la medida del ángulo.

06. Ángulos de lados paralelos



º

º

    180 º

º º

Teorema de Sarrus: Si entre dos rectas paralelas se traza una poligonal cóncava; se cumple que la suma de los ángulos convexos no obtusos determinados en cada lado de la longitud son siempre iguales. Si: L1 // L 2 L 1



A) 120º B) 45º C) 135º D) 60º E) 75º 8.- En una recta se ubican los puntos consecutivos P, Q, R y S, tal que PQ = 2(RS) , QR = 2 y 2  QR   3 RS PQ = . Calcule QS QR RS

A) 4 B) 5 D) 7 E) 8 9.- En una recta se consecutivos: G, E, O, EO 

m

      m  n  t ++

UNSM - CPU-T



m+n+r

C) 6 tienen los puntos M y T, siendo

GE MT , OM  , GT  36 y “O” es punto 2 3

medio de GT . Calcule EO + 2MT.

n  r

L2

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.-Cuál es el máximo número de puntos de intersección de 5 triángulos y 10 rectas secantes? A)105 B) 195 C)205 D) 210 E) 215 2.- Si al número máximo de puntos de corte entre “n” polígonos convexos, de “L” lados cada uno, se le suma el máximo número de puntos de corte entre “n” polígonos de “2L” lados cada uno, obteniéndose en total 630 puntos. Hallar: 𝐿 + 𝑛. 𝐴)10 𝐵)11 𝐶)12 𝐷)13 𝐸)14

A) 27 B) 39 C) 31 D) 33 E) 35 10.- Se tiene los puntos consecutivos A, B, C; tal que: (AB).(AC) = 2(AB2–BC2 ), AC = 6u. Calcule BC. A) 1 u B) 2 u C) 3 u D) 4 u E) 5 u 11.- Sobre la línea recta se ubican los puntos consecutivos A, B y C, luego se ubican los puntos medios X de AB , y de BC y Z de XY . Si: AB – BC = 36, calcule ZB. A) 12 B) 18 C) 9 D) 20 E) 8 12.- En la figura, determinar el valor de “K” ⃡ 1 // ⃡𝐿2 : siendo 𝐿 162 | P á g i n a

DECIMO NOVENA EDICIÒN A10 D)25

GEOMETRIA 2017-II B)15 E)30

:

𝑿°

C)20

𝑳𝟏

𝟔𝒌 + 𝟏𝟓°

UNSM - CPU-T

BOC. A) 3⁰ B) 2⁰ C) 3,5⁰ D) 1,5⁰ E) 1,5⁰ 18.- Calcular: a° – b° . Si m° – n° = 25° L1 // L2 y L3 // L4

m°

L1

𝟐𝐤 + 𝟓°

L3 L4

a°

𝑳𝟐 |

n°

13.- Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD , tal que: m AOB m BOC luego se traza  5 3

OM

A) 10° D) 25°

bisectriz del AOC, de tal forma que: m AOM - m COB+m COD = 40º. Calcule m MOB + m COD A) 30º

L2 b°



L3

14.- Se tienen los ángulos adyacentes y complementarios AOB y BOC, luego se trazan 



20°

B) 18,5º



L1 // L 2

L4

  150°

A) 60° E) 115°

. Calcular “x” a2-b

x°

B) 75° C) 90° D)

20. Hallar el valor de “x”. Si L1

a+b

w°

a

L1 // L2 y L3 // L4

30°



5

L2

L1

 x°

L4

40° w°

A) 40º D) 60º

B) 45º E) 80º

C) 50º

16.- Sobre una recta se dan los puntos consecutivos A, B, C y D de modo que AC=20 y BD=30; Si BC=1/5CD. Calcular: BC 3 CD2  

  

100°

L3

a2+b

x+120-b

L2

C) 20º

E) 25º

15.-En la figura: si

L1

25°

las bisectrices OM,ON,OR y OS de los ángulos AOB, BOC, AON y MOC respectivamente. Calcule m ROS . A) 15º D) 22,5º

C) 20°

19.-Según el gráfico. Hallar “x”. Si L1 // L2 y L3 // L4

B) 35º C) 40º D) 45º E) 60º



B) 15° E) 30°

L2

2 A) 60° D) 90°

B)70° E) 100°

C)80°

AB

SEMANA 02

.

A)1000 B) 640 C) D) 490 E) 585.

625

TRIANGULOS Definición: Es la unión de tres segmentos que unen tres puntos no colineales. Vértices: A, B, C y B AB , BC , Lados:

1. 17.- Se consideran los ángulos adyacentes AOB, BOC y COD, de modo que la medida del ángulo CÔD es el doble de la medida del ángulo AÔB. Calcular la medida del BÔD si el AÔE mide 1°, siendo OE bisectriz del ángulo

AC z

A x

C

Ángulos internos: Aˆ , Bˆ , Cˆ , Ángulos externos: xˆ , yˆ , zˆ 163 | P á g i n a


GEOMETRIA 2017-II Perímetro: BC + AC

+

AB

Clasificación: I. Por sus lados: a) Equilátero b) Isósceles Escaleno II. Por sus ángulos: a) Oblicuángulos i) Acutángulo ii) Obtusángulo b) Rectángulo

c)

* Triángulo Isógono: Tiene dos ángulos congruentes * Triángulo Equiángulo: Tiene tres ángulos congruentes. Propiedades: y



 

 +  +  =180º a



z

4. > a> b

4.- TEOREMAS DE CONGRUENCIA.



b



1º. CASO (Postulado ALA) 2º. CASO (Postulado LAL) 3º. CASO (Postulado LLL)

3. x + y + z = 360°

+=

c

Bisectriz: Segmento que divide un ángulo en dos partes de igual medida. (Exterior o interior). Incentro. Mediana: Segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. Baricentro Altura: Segmento que parte de un vértice hacia el lado opuesto formando un ángulo de 90º. Ortocentro Mediatriz: Segmento perpendicular a un segmento de recta en su punto medio. Circuncentro Ceviana: Segmento que une un vértice con un punto cualquiera de su lado opuesto o de su prolongación. Caso Especial: En un Triángulo Isósceles: La Altura, Mediana, Mediatriz, Bisectriz coinciden. CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 1. DEFINICIÓN: Dos triángulos se llaman congruentes, si tiene sus lados y ángulos respectivamente congruentes. ABC  DEF 2. CASOS DE CONGRUENCIA:

x

2.

1.

b







UNSM - CPU-T



a

1)

De segmentos paralelos: B



x

5. 6. 6. a – c < b < a + x =  + +  c a–b
C

A

AB // DC y BC // AD AB  DC y BC  AD

D

2) De la base media: B

Si AM  MB y MN // AC

M

entonces BN  NC y

N

MN 

C C

A

PROPIEDADES DE LAS BISECTRICES:

AC 2

3) De la bisectriz: I

A

 

B

B

B A

E

APQ  APR LA PQ  PR

Q P

 



C A





C

 A 





C 

F 𝑩

 

A

R

4) De la mediatriz:

𝑩

∡𝑨𝑰𝑪 = 𝟗𝟎º + ∡𝑨𝑬𝑪 = ∡𝐴𝐹𝐶 = 𝟐 𝟐 90º − 𝐵/2 1) El ángulo formado por las bisectrices interiores de 2 ángulos de un triángulo es igual a 90º más la mitad del tercer ángulo. 2) El ángulo formado por las bisectrices exteriores de 2 ángulos de un triángulo, es igual a 90º menos la mitad del tercer ángulo. 3) El ángulo formado por la intersección de las bisectrices interior y exterior de 2 ángulos es igual a la mitad del tercer ángulo. NOTA: El punto formado por la intersección de una bisectriz interior y una exterior se llama excentro.

P

l : mediatriz de AB AMP  MBP ( LL) entonces PA  PB

l

A

B

M

5) De la mediana relativa a la hipotenusa: A

BM mediana a la hip. AC entoncesBM  2

M

B

C

TRIÁNGULOS NOTABLES:

LINEAS y PUNTOS NOTABLES 164 | P á g i n a


GEOMETRIA 2017-II

C. Mayor 3k k 4k 3k 2k 24k

Triángulo de: 30º y 60º 45º 37º y 53º 37º/2 53º/2 16º y 74º

C. Menor k k 3k k k 7k

UNSM - CPU-T

A)60°

Hipo t. 2k

B)35°

C)20°

D)10°

E)15°

2

5k ̅̅̅̅̅ 5. En un triángulo ABC se traza la mediana 𝐶𝑀 25k

luego se traza la mediana ̅̅̅̅ 𝐵𝑁 del triángulo


̅̅̅̅̅ del triángulo AMC MBC y la ceviana 𝑀𝐹

1. Dos lados de un triángulo miden 4 y 6.

̅̅̅̅̅ // ̅̅̅̅ (𝑀𝐹 𝐵𝑁) calcular MF, si BN=9.

Calcular el máximo valor entero que puede A)8

B)10

C)12

D)6

E)10

alcanzar a medir el tercer lado. A)5

B)8

C)7

D)9

E) 11

2. En la figura, calcular x. B

30°

D X

2α α

2Ѳ Ѳ

A

C

A) 10°

B) 30°

C) 40° D) 25°

E) 50°

3. De la figura mostrada determinar el valor de y.

B

140°- y

C

A

A)40°

5y+10°

B)30° C)60°

D)36°

E)50°

4.-.En la figura, calcular “𝛼” B 𝛼

D

6. En un triángulo ABC, AB=12u y BC=18u. ̅̅̅̅ , cortando las Por B, se traza paralela a 𝐴𝐶 bisectrices de los ángulos externos A y C, en los puntos P y Q, respectivamente. Hallar PQ. 𝐴)6𝑢 𝐵)24𝑢 𝐶)27𝑢 𝐷)30𝑢 𝐸)𝑁. 𝐴 7. En un ∆ 𝐴𝐵𝐶, obtuso en B, BC=2 y AC=5. Hallar el valor o valores enteros que puede tomar AB. 𝐴)5 𝐵)6 𝐶)4 𝐷)4; 5 𝑦 6 𝐸) 4 𝑦 5 8. El perímetro de un triángulo rectángulo es 18. El mínimo valor entero para la longitud de la hipotenusa, es: 𝐴)7 𝐵)6 𝐶)5 𝐷)8 𝐸) 9 9. En un triángulo ABC; 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 = 30𝑐𝑚. Se ubica un punto M sobre ̅̅̅̅ 𝐴𝐶 ; si 𝐴𝐶 = 20𝑐𝑚. Hallar el menor valor entero de BM. 𝐴)6𝑐𝑚 𝐵)4𝑐𝑚 𝐶)2𝑐𝑚 𝐷)10𝑐𝑚 𝐸) 9𝑐𝑚

̂ = 230° 10. En la figura: 𝐴̂ + 𝐵̂ + 𝐶̂ + 𝐷 Hallar el valor de “x”. 𝐴) 50° 𝐵 𝐶 𝐵) 65° 𝐶) 70° 𝑥 𝐷) 60° 𝐸)40°

𝐷

𝐴 𝛼 𝛼

60° A

C

E

11.-En la figura mostrada, calcule “x”.

165 | P á g i n a


GEOMETRIA 2017-II

UNSM - CPU-T

12.-En la figura, calcule “x”: X

30º 5

5 3

A) 60º

B) 40º C) 80º

3

x

3

3

D) 70º E) 50º

40° A) 8°

B) 15°

C) 12° D) 18° E) 10°

13.-

D

B 50°

x E

A) 30°

A B) 40°

C) 50°

D) 45°

C E) 35°

14.-En la figura: a+b = 36. Calcule el mayor valor entero de “x”.

B a

10

A

X

C b

8

D

A) 20

B) 21

C) 22

D) 26

E) 25

15.-En la figura, calcule: “x”.

x

x x

x x

A) 144º B) 150º C) 136º D) 160º E) 120º

166 | P á g i n a


GEOMETRIA 2017-II

16.-Calcule “x” sabiendo que es entero, AB = AE = CD

X C B

4º

A

D

E

A) 82º

B) 83° C) 84° D) 85° E) 86°

UNSM - CPU-T

SEMANA 03 POLIGONOS Y CUADRILATEROS I. POLIGONOS: Son regiones planas limitadas por segmentos que se unen en sus extremos. ELEMENTOS:  A; B:C;D;E;F: Vertices ̅̅̅̅, BC, … LADOS  𝐴𝐵  𝛼;𝛽;…≮s INTERNOS ; 𝛿 : ≮ externo  𝑑𝑓: Diagonal CLASIFICACION DE LOS POLIGONOS A) Por la forma de su contorno: i) Convexos ii) Cóncavos

17.-Calcule “y”, sabiendo que “x” es el mínimo valor entero. B x+y

2x - y A

A) 62º

B) 82º C) 88º

y-x

C

D) 92º E) 98º

18.-Se tiene un triángulo ABC, se trazan la altura AH y la bisectriz interior CP intersectándose en “O” . Si: AO=4, OC = 12 y CD=15; calcule el máximo valor entero de AD , si AC toma su mínimo valor entero, además “D” es un punto exterior al triángulo ABC. A) 20

B) 21 C) 23

D) 25

E) 27

19.-En un triángulo ABC, S y R son puntos que pertenecen a AB y BC respectivamente. Si : AC=AS=RC, mSAR=10° y mRAC=50°. Calcule mSRA. A) 20°

B) 30° C) 40° D) 25° E) 15°

20.-Se tiene un triángulo equilátero ABC, se ubica el punto “D” exterior y relativo al lado BC. Si: mCBD - m DAC = 30° y mADC=10°. Calule: mCAD. A) 5°

B) 10° C) 15°

D) 18° E) 20°

Corte max: 2 puntos corte: mayor de 2 puntos B) Por el número de sus lados: triángulos (3 lados) cuadriláteros (4 lados), pentágonos (5 lados) hexágonos (6 lados)…. Decágono (10 lados), etc. C) Polígonos Irregulares: Lados y ángulos no congruentes D) Polígonos Regulares: Lados y ángulos congruentes. FORMULAS Y PROPIEDADES BÁSICAS Para todo polígono convexo. 1. El Nº de lados = Nº vértices = Nº≮s interiores =n 2. El número de diagonales trazadas desde una vértice es n-3 3. El número de diagonales medias desde un lado es: Dm1L = n-1. 4. El número de triángulos determinados al trazar las diagonales desde un vértices: Nº s= n-2 5. La suma de la medida de ángulos interiores es S≮i = 180º (n-2). 6. La suma de los ángulos exteriores es: S≮e=360º 𝑛(𝑛−3) 7. El Nº total de diagonales es D= 2 8. El número total de diagonales medias es: 𝑛(𝑛−1) 𝐷𝑀 = 2

9. El número total de diagonales trazadas desde “m” vértices consecutivos es: Dmv.c= mn (𝑚+1)(𝑚+2) . 2 PROPIEDADES DE POLIGONOS REGULARES 1. Un ángulo interior i=180º(n-2)/n 2. Un ángulo exterior: 𝑒̂ = 360º/n 3. Un ángulo central: ≮c=360º/n ; S≮𝑐 = 360º Polígonos estrellados: S≮i=180º (n-4) ; S≮ 𝑒̂ =720º CUADRILATEROS a) convexo: b) no convexo 𝛼 + 𝛽 + 𝜃 + 𝛾 = 360º x= 𝛼 + 𝛽 + 𝛾

TRAPECIO: Dos lados opuestos son paralelos BC//AD; BC y AD: bases MN= Mediana =

𝑎+𝑏 2

̂ 𝐴̂ + 𝐵̂ = 180º= 𝐶̂ + 𝐷 167 | P á g i n a


GEOMETRIA 2017-II

Cuadrados: AC=BD AC BD AC=𝑎√2

7. Si el número de lados de un polígono disminuye en 3, el número de diagonales disminuye en 12.¿Cuántos lados tiene el polígono?.

Rectángulo Paralelogramo Rombo

A)14

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. En la figura mostrada, calcula el valor de “𝑥”. 𝐵 𝑃

B)8

C)12

D)10

E)7

8. En un paralelogramo ABCD, las medidas de los ángulos consecutivos A Y B son : 7x -30 y 3x + 10 respectivamente. entonces el complemento de “B” es: A)35°

B)20°

C)70°

D)50°

E)80°

𝐶

𝑅 𝑆

6+𝑎 𝑥

𝐴

𝑎

4

𝐻

𝐴)14

𝐵)5

𝐷

𝑄

𝐶)7

𝐷)10

𝐸)12

2. Dos de dos angulos opuestos de un trapezoide miden 100° y 120°. Calcula el menor angulo que forman las bisectrices de los otros dos angulos. 𝐴)30° 𝐵)15° 𝐶)70° 𝐷)10° 𝐸)20°

3. En un poligono regular la suma de las medidas de los angulos interiores excede en 360° a la suma de las medidas de los angulos exteriores, ademas, el numero de lados de un segundo poligono excede en 2 al numero de lados del primer poligono. Determina la suma de los numeros de diagonales de los dos poligonos. 𝐴)29 𝐵)35 𝐶)27 𝐷)20 𝐸)42 4. Cuantos lados tiene el poligono en el cual, al aumentar su numero de lados en tres, el numero total de diagonales aumenta en 15. 𝐴)9 𝐵)5 𝐶)7 𝐷)20 𝐸)4 5. En un triángulo ABC, M es punto medio de ̅̅̅̅. Se traza 𝑀𝐻 ̅̅̅̅̅ ⊥ 𝐴𝐶 ̅̅̅̅ ; (𝐻 ∈ 𝐴𝐶 ̅̅̅̅ ). Hallar la 𝐴𝐵 ̅̅̅̅ , si F esta sobre 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ , E es longitud de 𝐸𝐹 ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ punto medio de 𝐻𝑀 𝑦 𝐸𝐹 ⊥ 𝐻𝑀 , siendo 𝐴𝐻 = 3 𝑦 𝐻𝐶 = 7. 𝐴)4 𝐵)5 𝐶)4,5 𝐷)5,5 𝐸)6

6. En un polígono convexo, el número de diagonales es igual al cuádruple del número de ángulos interiores, menos 5. En cuántos triángulos puede descomponerse este polígono al unir un vértice con el resto de los vértices. A)12

UNSM - CPU-T

B)8

C)10

D)14

E)18

9. En un trapecio el segmento que une los puntos medios de las diagonales es 9m y la suma de las bases es 30m. Hallar la base mayor. A)9m

B)14

C)6

D)12

E) 8

10. En un cuadrilátero ABCD convexo, Los ángulos B y C miden 130° y70° respectivamente.¿Cuánto mide el ángulo formado por las bisectrices de los ángulos A y D? A)120° B)80° C)150° D)65°

E)100°

11.-La suma de las medidas de cinco ángulos internos de un polígono convexo es 760º.Calcule la suma de las medidas de los ángulos externos correspondientes a los vértices restantes. A)190º B)200º C)210º

D)220º E) 230º

12.-En un polígono regular cuyo semiperímetro es p, el número que expresa su perímetro es el igual al número de diagonales. Además la medida del ángulo interior es p veces la medida del ángulo exterior. ¿Cuánto mide el lado del polígono regular? A)

1 1 B) 5 4

C)

1 3

D)

1 2

E)1

13.-Si un polígono de n lados tuviera (n3) lados, tendría (n+3) diagonales menos. ¿Qué polígono es? A) Triángulo B)Cuadrilátero C)Pentágono D)Hexágono E) Octógono 14.-Por el vértice B de un triángulo ABC, se traza una recta exterior. Calcule la distancia del punto medio de la mediana 168 | P á g i n a


GEOMETRIA 2017-II

UNSM - CPU-T

BM a la recta, sabiendo que las distancias de los vértices A y C a dicha recta miden 8 y 12 respectivamente.

CIRCUNFERENCIA

A)2

Es un conjunto infinito de puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo del mismo plano llamado “centro”

B) 10

C) 3

D)5

E) 7

15.-Las distancias de los vértices A y B de un triángulo ABC a una recta que pasa por su baricentro miden 3 y 4 respectivamente; calcule la distancia del vértice C a dicha recta. La recta intercepta a AB y BC . A)7 B)5 C) 3

D) 8

E)1

16.-En un trapecio ABCD, BC // AD, P y Q son puntos medios de AB y CD ; AC 

PQ = E , PQ  BD  F .La

SEMANA 04

ELEMENTOS Centro: O Radio: Os y OQ Cuerda: AB y QP Diámetro: QS ̂ Arco : 𝐴𝐵 Recta tangente: L1 Recta secante: L2 Pto de tangencia: T Flecha o sagita: MF

D) 50

50  a B) 3

prolongación

E)

100  a C) 3

 F

C) 0

O B L2 A

18.-En un trapecio ABCD, BC // AD y se ubica el punto medio M de B, tal que

m MDA  m MDC y se traza CH  AD . Si BC  1 , AD  4 y CH toma su máximo valor entero, calcule m MDA .

A P O M

LT

3.

B

̂ = 𝑃𝐵 ̂ AM = MB ; 𝐴𝑃

R  L1 A

4.

B

B A C

C

D

D

Si AB = CD entonces ̂ = 𝐶𝐷 ̂ 𝐴𝐵

Si AB // CD entonces ̂ = 𝐵𝐷 ̂ 𝐴𝐶

ANGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA 1. Angulo central 4. Angulo Inscrito

A

3 E) 2

D) 2

L1

Q

R

BC // AD , las

bisectrices interiores de los ángulos A y B se interceptan en P y las bisectrices interiores de los ángulos C y D se interceptan en Q. Calcule la longitud del segmento PQ si AB=6 , BC=4, CD=8, AD=10

T



40

17.-En un trapecio ABCD

1 A) 1 B) 2

M

PROPIEDADES BASICAS 1. 2.

de CF intercepta a AD en G, BC=a, AD=50, calcule 2EF+GD.

50  a A) 5

P

A 

B

B



O

C

=

̂  = 𝐴𝐵 2. Angulo Ex inscrito

B

𝐴𝐶 ̂ 2

5. Angulo Semi-inscrito

A



C

A

87º A) 37º B) 53º C) 2

53º D) E) 30º 2

C

=

3. Angulo interior

C

A

A) 10

B)8

C)6

D) 4

=

E) 12

20.-Calcule la medida del ángulo que forman las diagonales de un trapecio isósceles; si una diagonales el doble de la base media. A) 60º B) 45º C) 30º D) 53º E) 37º

D

B

AC hacia la bisectriz del ángulo ABC; si m ABC  106º . 7.

2

̂+ ̂ 𝐴𝐵 𝐶𝐷

=

T 6. Angulo exterior

A



19.-En un triángulo ABC; AB=5 y BC=30; Calcule la distancia del punto medio de



𝐴𝐵𝐶 ̂

C

𝐴𝐶𝑇 ̂ 2

P

D B

P=

2

̂− ̂ 𝐴𝐵 𝐶𝐷 2

Ángulos suplementarios A P C

D

O B

̂ + ∡𝑃 = 180º 𝐴𝐵 ̂ + ∢𝐴𝑃𝐷 = 90º 𝐴𝐷 169 | P á g i n a


GEOMETRIA 2017-II

POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS Sean M y N los centros de las circunferencias con Radios R y r respectivamente 1. Tangentes exteriores 2. Tangentes interiores M

N

M

MN = R + r 2. Exteriores M

SOLUCION ̂ = 360º - 6x De la figura: 𝐴𝐵

2 x

MN  R + r TEOREMAS 1. DE PONCELET

N

2.

MN = 0 2. DE PITOT B

A A  R

C D

C

B

AB + BC = AC + 2R AB + CD = BC + AD PROPIEDADES ADICIONALES 1. tangentes communes exteriores A B R

D

A

y

Z

T C

X = p – AC 𝑚∢𝐴𝑇𝐵 = 90º Y = P - BC Z = P - AB PROBLEMAS RESUELTOS 1. En la figura AB y AC son tangentes a la circunferencia. Si el ángulo BAC mide 60º y los arcos BD, DE y EC tienen igual medida, Hallar la medida del ángulo DCB D



B

 E A) 20º



C B) 30º C) 40º

60 º

D) 50º

100º

S

B Se prolongan AC y BD hasta P 100º−20º Por ángulo exterior m∢𝐶𝑃𝐷 = 2 m∢𝐶𝑃𝐷 = 40º en la circunferencia menor, por ̂ + 40º = 180º entonces propiedad: m 𝑅𝑆 ̂ m𝑅𝑆 140º  es un ángulo inscrito. Entonces: ̂ 140º 𝑚𝑅𝑆 = = = 70ª 2 2 EJERCICIOS PROPUESTOS

B y



20º

40º

A Z

A

C

B

x

2 C x externo se conoce: Por arco ̂ 6𝑥 − 𝐵𝐶 6𝑥 − (360º − 6𝑥) 60º = = 2 2 Resolviendo: x = 40º Del grafico mostrado calcular “ ”, siendo m ̂ = 100º y 𝑚𝐷𝐶 ̂ = 20º ( R y S son 𝐴𝐵 puntos de tangencia) A a) 50º b) 60º R c) 70º C d) 80º  e) 90º D B S

R

D C Triangulo circunscrito x

A

SOLUCION

AB = CD

2.

60º

x

E

MN = R - r 4. Concéntricas

M

B

2 D x

N

N

UNSM - CPU-T

1.

En un trapecio ABCD

BC // AD

inscrito en una circunferencia , su altura mide H. Calcule la longitud de la base media del trapecio, si:

mBC  mAD  180º . 3H 2H H H A) B) C) H D) E) 2 3 3 2

A

E) 60º 170 | P á g i n a

DECIMO NOVENA EDICIÒN 2.

GEOMETRIA 2017-II

Según el gráfico, A, B y T son puntos de tangencia. Calcule “x”.

UNSM - CPU-T C) 140º D) 120º

x

E) 35º 120º

6. T

A

B

A)60º B)30º C)45º D)37º 3.

En

el

gráfico,

Del gráfico, Calcule la m BAP, Siendo T y P son puntos tangencia, TB = 4 y r = 5

E)53º

calcule

T

x,

C

B) 120º

B

si

AE=2(BC) y mCD  20º A) 130º

A

r

x

de

D

P

C) 110º

A) 37º D) 60º

B

D) 150º

A

7.

E

o

B) 53º E) 45º

C)

30º

Calcule x, si AB=BC =DE=FE y m

ABC  120º .

E) 160º

C

4.

En

el

mTB  mCD, m

gráfico:

AT 7  BC 1

y

T

D

es

punto de tangencia “m”. Calcule m TEO .

B

x

o

E

E

F

30º T

A

B C

A) 60º D) 30º A

o

A) 60º D) 80º 5.

B) 30º E) 40º

B) 70º E) 50º

C)

40º

D

C)

50º

Según el gráfico; calcule mBT , si ABCD es un paralelogramo (D es punto de tangencia).

8.

Del gráfico, P y T son puntos de tangencia, además R=3r. Calcule m

PT . T r R

A) 60º

B

T

C

P B) 70º A

70º D

171 | P á g i n a


GEOMETRIA 2017-II

A) 60º B) 105º D) 120º E) 90º

C)

100º

UNSM - CPU-T

12.-Si “O” es el centro del cuadrado ABCD y PA =AD=8. Calcule AM.

B 9.

Según

el

gráfico,

C

calcule

mTC  mBC, si AB  BC

O

M C T

P A) 6

B

8 3

A

A) 120º B) 150º D) 100º E) 90º

10.-

C)

180º

D)

T

PS, si T,Q y S son puntos de tangencia.

B C

A) 5



B) 3

P

3

Q

S

Q

2

T

D) 4 E) 6

C) 3

13.-En la figura, calcule  ; si T, Q y P son puntos de tangencia y CB=2(BT)=4(AQ).

En la figura, mST  2mQT. Calcule

C) 2,5

D

A 4 B) 3 2 E) 3

A

A) 53º D)

B)

37º 2

53º 2

C)

37º

E) 45º

14.-Se tiene el triángulo ABC inscrito en una circunferencia, en el arco BC se ubica

P

11.-Según el gráfico; AB = 1, BC = CD = 2, además B, C y T son puntos de tangencia. Calcule “x”.

el punto P, tal que AP BC , luego se traza



PH perpendicular a AC en H. Calcule la m EHP si la m ABC  70º y AP  BC = E .

T

A) 53º D) 20º

x

B) 35º E) 30º

C)

10º

15.-En la figura mED  a y mBCD  b . A

Calcule “x”.

B C

E F

D

A) 30º D) 60º

B) 37º E)

C)

D

53º

53º 2 A x B

C

172 | P á g i n a


A)

D)

ab 2

B)

2a  b 2

E)

GEOMETRIA 2017-II

ba 2

C) b  a

UNSM - CPU-T

19.-Dada la figura determinar el inradio del triángulo ABC, sabiendo que el diámetro de la

2b  a 2

circunferencia mayor es 10, siendo “O” su centro, < BCA = 37°.

B

̂ = 2 𝑇𝐵 ̂, O : 16.-Calcular x en la figura, si 𝐴𝑇

r A

centro

C

O

T P

X B 0 A

A) 4

B) 2

C) 2,5 D) 5

E) 2√3

20.-ABCD es un cuadrado determinar AP.

A) 30° B) 45° C) 20° D) 15° E) 60°

√𝟐

P

1

B

C

A

D

17.-En la figura: Si la m ∡TDC = 40° y el ∡FAB = 10° Hallar “X”, Si A y D son puntos de tangencia

T

D

A) 2 B) 2√3

C) 2,5

D) 3

E) 3√2

C

Q

̅̅̅̅ de una 21.-Se prolonga el diámetro 𝐵𝐴

X

A

circunferencia de centro “O”, hasta el punto P y

B

̅̅̅̅. Hallar la medida del se traza la tangente 𝑃𝑇

F

̅̅̅̅̅ si 𝑃𝑇 ̅̅̅̅ mide igual que el radio. arco 𝑇𝐵, A) 125°

B) 120°

C) 150°

D) 105° E)

130°

𝐴) 45° 𝐷) 120°

𝐵) 135° 𝐸) 150°

𝐶) 60°

18.-En la figura, calcular “x” si ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 ̅̅̅̅ 𝐶𝐷 y O: centro El arco CA mide 80° y “C” es punto de tangencia. A

teoremas: I. Teorema de Thales: Si L1//L2//L3, se O

C

B

X D

A) 40°

SEMANA 05 PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA DE TRIANGULOS. En proporcionalidad utilizaremos los siguientes

B) 60° C) 50° D) 20° E) 30°

cumple: A B

C D E F AB  DE BC F EF A BL1ACLAB2 DBCL3 ECD FDE EF AC DF A BL CALALDB1 BLLL1CE2CLD F2L3DLE3 E F F AB  DE 1 2 3 AC DF L1 LAA2 LBL1BL31 CLC2L2 DLD3L3EE FF  BC EF LL11 LL22 LL33 II. Teorema de la bisectriz

173 | P á g i n a

A


GEOMETRIA 2017-II

Interior

Exterior

A B C D 

A

A AB BC CD D 

 C

B

AB AD  BC DC

b) c) d) e)

D 



B AC B D CA D B  C III. Teorema del Incentro

A B C D  A B C DA B C D  A

B

C

A



D

A AB BC C D D 

I A

A

B

B

C

C A D  D B C

UNSM - CPU-T 11 12 13 14

D  Solución B

AB  BC BI  AC ID AB  BC  AC BD  ID D  AC



y 10 F

x 15



E

x



IV. Teorema de Menelao

A

V. Teorema de

Incógnita FE = x

ABC DE F

Ceva

ABC DE F

1.

ABC DE F

ABC DE F ABC DE F ABC DE F

C

THALES

ABC DE F ABC DE F

ABC DE F

2)

AD.BE.CF  DB.EC. AF

de igual medida B Q

N

M

A C 



Q B

A

B

C

Q

N

N

A

C

C

Q



M Q N

N



M





B A

M

B

A

C

C Q N M   B QABN C AQ N Q M  B A MC N  MC

B

A

C

Q

N

M

ak

B

A

A C   bk

Q B

ck bk A B

A A

N C



M Q

N

2x + 2y = 40 ....(2) 4)



Reemplazando (1) en (2) x = 12 Rpta. C

Q 

N 

M

2.





Calcular FE, si A,B y E son puntos de tangencia, R = 9, r = 4 (R y r son radios) A



  Q a b

M

BC QC N M M  N  a ab b

C AQMC N Q M  B Q N A MC  C B QABN

F

B

c N 

bk ck akA bk B Cck MA NB Q C aM b Nc Q a ak bk ck akA bk B ck C M Q a A N B C M b Nc Q

ak ck bk M ck B B M C bN M QN aQ b a c b bk A bk ckAak A NAQCQ ak ak bk ak ck bk B B C C M CN M b ca c b c ck A B Na aQ ak bk ck A B C M N Q a b c



M



E

R

~ 3er Caso: Sus tres lados son respectivamente ak bk ck akA bk B C b cQ a proporcionales. ck M A BN CQ Ma N ak

Perímetro (FBE) = Perímetro (AFEC) 2x + y = 10-y + x + 15-x + 15

~ 2do Caso: Tienen dos lados respectivamente proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es de igual medida. B

EC = 15-x 3)

 M

2 x ......... (1) 3

AF = 10-y

AD.BE.FC  DB.EC. AF

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Dos triángulos son semejantes si tiene la misma forma, pero diferente tamaño. CASOS: Dos triángulos son semejantes si: 1er Caso: Tienen dos ángulos respectivamente C

y x  10 15

A B C D E FA B C D E F

y=

A

15

b b a

r

c c b

c

A) 36/13

B) 49/13

D) 72/13

E) 84/13

C) 63/13

c

Solución

PROBLEMAS RESUELTOS

A 1. Calcular FE. Si: FE // AC , perímetro del triángulo FBE es igual al perímetro del trapecio AFEC, AB = 10, AC=BC=15.

r

B

r

R

r

H

o

B

F

P

E

r

o1

r

A) 10 F

E

174 | P á g i n a


GEOMETRIA 2017-II

UNSM - CPU-T

R solución Incógnita: FE = x Teorema de Menelao

PE r  THALES: HO R  r

1)

xr r   Rr Rr

3 . x . 4 = 2 . 2 . 12 x=4

2Rr X= Rr

B 2

2(9)(4) X=  94

72 X= 13

x

F E 3 2

3.

Calcular x

A

8

C

4

D

12

PROBLEMAS PROPUESTOS 60º

60º

1.

12

6 x

Calcular FE. Si: FE // AC , perímetro del triángulo FBE es igual al perímetro del trapecio AFEC, AB = 10, AC=BC=15. B

a) 6

b) 4

c) 5

d) 7

e) 2

Solución

E

F

E 60º

A

12

C

A) 10 B)11 C)12 D)13 B

2. 60º

60º 12

6

x

A

Calcular FE, si A,B y E son puntos de tangencia, R = 9, r = 4 (R y r son radios)

60º

D

A

F

B

C

1.

Trazar CE // BD

2.

x 6  THALES 12 6  12

E

R

A) 36/13 D) 72/13

x=4 4.

E)14

12

60º

Calcular BE. Si: AF = 3; BF=EC=2; AC = 8, CD = 4

3.

r

B) 49/13 E) 84/13

C)13

Calcular x

B

60º

F

x

C

D

A) 6 A) 3

B) 4

C) 5

12

6

E

A

60º

D) 6

E) 7

4.

B) 4

C) 5

D) 7

E) 2

Calcular BE. Si: AF = 3; BF=EC=2; AC = 8, 175 | P á g i n a


GEOMETRIA 2017-II

UNSM - CPU-T

CD = 4

10. En la figura, calcular “X” B

A)6

𝜶

F

B)10

𝜶

E

C)8 A

A) 3 5.

C

B) 4

C) 5

D) 6

D

E) 7

6

D)12

4 𝒙

4

E)9

Calcular CF. Si: AD=6; DC=3 11. En la figura calcular “X”

B

A)4

𝜽

B)7

𝜽

C)5

x

•

D)8 A

A) 5 6.

D

B) 6

C) 7

C

D) 8

10

F

•

E)6

E) 9

En un triángulo isósceles ABC (AB=BC) se traza la bisectriz interior de A que intercepta a la bisectriz exterior de B en P y a BC en E. Si: BE = 4 y EC = 3. Calcular AC.

12. En la figura adjunta, calcular “X” B

A)5 B)9 a

C)3

A) 4,25 B) 4,75 C) 5,25 D) 5,75 E) 6,25

m

𝜽 𝜽

C

6 7.

Calcular la altura de un trapecio rectángulo cuyas bases miden 9 y 16, además, sus diagonales son perpendiculares. A) 10

8.

B) 12

C) 15

D) 16

B) 6

C) 7

D) 8

A)4

E) 9

6 N

•G

E)9

A

M

B)4,5

𝐴) 4 𝐷) 6

C)12 D)10

A

n

D

2 n

E

C)5

D)3√2

E)6

14.-En un ∆ 𝐴𝐵𝐶, 𝐵̂ = 90°, de catetos AB=12 y BC=8, se inscribe un cuadrado con uno de sus vértices en B y el opuesto sobre la hipotenusa. Hallar la longitud del lado de dicho cuadrado.

C

B)14

E)6

13.En un triángulo ABC, se traza la ceviana BD, tal que ∡A = ∡DBC. Calcular BC si : AD = 7 y DC = 2.

y

̅̅̅̅̅ ∕∕ 𝐴𝐶 ̅̅̅̅ , calcular “X” 9.-En la figura: 𝑀𝑁 A)8

m

X

E) 25

En un triángulo ABC, AB = 4, AC=5 mA = 2(mC) < 90º. Calcular BC. A) 5

D)4

𝐵) 4,8 𝐸) 4,2

𝐶) 4,5

X 5.-En un ∆𝐴𝐵𝐶, 𝐴̂ = 2𝐶̂ , se traza la bisectriz interior A ̅̅̅̅ 𝐴𝐸. Hallar AB, si BE=4 y EC=5. 𝐴) 7,5 𝐷) 7

𝐵) 6

𝐶) 4,5 𝐸) 𝑁. 𝐴

176 | P á g i n a


GEOMETRIA 2017-II

UNSM - CPU-T

16.-En un ∆𝐴𝐵𝐶 , “E” es un punto de ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 y “F” un ̅̅̅̅ , tales que: 𝐸𝐹̂ 𝐵 = 𝐴̂, AC=36, EB=24 y punto de 𝐵𝐶 BC=40. Hallar EF. 𝐴) 21,6 𝐵) 20 𝐶) 18 𝐷) 9,6 𝐸) 16 17.-En la figura mostrada, G es baricentro del ∆𝐴𝐵𝐶 . AE=6; EB=10 y BF=11. Hallar FC. 𝐵

𝐴) 4 𝐵) 3,6

SEMANA 06 RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Y OBLICUÁNGULOS I. RELACIONES METRICAS EN TRIANGULOS RECTANGULOS 1) 𝑎2 = 𝑏. 𝑛 2) 𝑐 2 = 𝑏. 𝑚 3) a2 + c2 = b2 4) h2 = 𝑚. 𝑛 5)

𝐸

𝐶) 4,8

𝐺 𝐴

𝐸) 4,4

+

1 𝑐2

=

1 ℎ2

6)𝑎. 𝑐 = 𝑏. ℎ II. RELACIONES METRICAS EN TRIANGULOS OBLICUANGULOS 1. Teorema de Euclides 1º) 𝜶 < 90º 2º) 𝜶 > 90º

𝐹

𝐷) 3,8

1 𝑎2

𝐶

18.-En un ∆𝐴𝐵𝐶 , AC=27, por el baricentro G, se ̅̅̅̅ paralelo 𝐴𝐶 ̅̅̅̅ . ( E esta sobre AB y F en BC). traza 𝐸𝐹 Hallar EF. 𝐴) 18 𝐷) 24 19.-En

𝐵) 13,5 𝐸) 𝑁. 𝐴 la

figura

𝐶) 16

calcule

z,

si:

x x.y  x  y  , L1 // L 2 // L 3 y

a2 = b2 + c2 - 2bm a2 = b2 + c2+2bm 2. Teorema de Heron Calculo de la altura p=semi perímetro

A) 4

L1

B) 5

6x

z-1

3. Teorema de la Mediana

L2

C) 6 D) 7

𝟐

𝒉𝒃 = √𝒑(𝒑 − 𝒂)(𝒑 − 𝒃)(𝒑 − 𝒄) 𝒃

y+5

a2 + c2 = 2m2 +

z+1

𝒃𝟐 𝟐

L3

E) 8

4. Teorema de proyección de la mediana

20.-En la figura, calcule BF si:

AE 3  , EC 2

a2 - c2 = 2b.n

CD=6

B

F 45º

45º

5. Teorema de Stewardth (ceviana) a2.q+c2.n=x2.b+qnb

D

A



6. Teorema de Euler



C

E

̅̅̅̅̅𝟐 +AC2+BD2 a2+b2+c2+d2 = 4𝑴𝑵 1. Teorema de la bisectriz interior A) 6 2 D) 9 2

B) 7 2 E) 12 2

C)

8 2 x2 = a.c – m .n 177 | P á g i n a


GEOMETRIA 2017-II

UNSM - CPU-T 10h = 48 h = 4,8

8. Teorema de la Bisectriz exterior 3.

Rpta. c

Los lados de un triángulo rectángulo están en progresión aritmética cuya razón es 4 cm. Hallar la medida de la hipotenusa. a) 12cm b) 16 cm c) 20 cm d) 24 cm e) 30 cm

x2 =m .n- a.c PROBLEMAS RESUELTOS

solución 1.

Las diagonales de un rombo mide 12cm y 16cm. El lado del rombo mide: a) 9cm b) 10cm d) 12cm e) 13cm

x+ 8 x+ 4

c) 11cm

solución



Pitágoras x² + (x+4)² = (x+8)² (x+4)² = (x+8)² - x² (x+4)² = (2x+8) . 8 (x+4) (x+4) = 16(x+4) x+4 = 16  x = 12



8

x + 8 = 20

6 




8

1.

Pitágoras ² = 6²+ 8² ² = 100  = 100

A)

Rpta. b

2.

Calcular el valor de la altura AH del triángulo rectángulo BAC, si AB = 6 y AC = 8. a) b) c) d) e)

8, 4 4, 2 4, 8 2, 4 4, 7

Las medianas de un triángulo rectángulo trazadas a partir de los vértices de los ángulos agudos mide 5 y 40 . Calcular la medida de la hipotenusa.

13

D) 2 40

 = 10

2.

Rpta. C

6

B) 2 13

C) 10

E) 13

En un rombo la suma de las medidas de las diagonales es 70 cm y el radio del círculo inscrito mide 12 cm. Hallar la medida del lado.

a) 16 cm b) 20 cm c) 24 cm d) 25 cm e) 30 cm

A

3.

En la figura mostrada. Hallar la medida del radio de la circunferencia, si: AM² + MB² + MC² + MD² = 400cm² B

B

C

H

solución

a) b) c) d) e)

A

6

A

M

C

8 h

D

4.-. B

C 10

10h = 6 x 8

10 cm 15 cm 20 cm 25 cm 40 cm

Se tiene un trapecio ABCD cuyas diagonales se cortan perpendicularmente; si la base mayor AD es igual a la diagonal AC e igual a 4. Calcular la base menor BC, si BD = 3 178 | P á g i n a

DECIMO NOVENA EDICIÒN 5.

6.

GEOMETRIA 2017-II

a)1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 En un triángulo rectángulo ABC, recto en B se trazan la bisectriz interior AD del ángulo A y la altura BH cuya intersección es el punto O. Calcular OB, si AD.OD=50 A) 6 B) 5 C) 4 D) 8 E) 9 Se tiene un triángulo isósceles ABC (AB = BC). Sobre la altura CH se considera un punto P de manera que el ángulo APB=90º; si AC = 16. Calcular PA A) 8 B) 6 C) 8 2 D) 4 2 E) 4 En la siguiente figura, calcular la medida de la tangente común MN a ambas circunferencias, sabiendo que la distancia entre los centros es 20 m y que el radio mayor mide 8m y el radio menor mide 4 m

7.

a) 12m d) 9m

b) 15m e) 10m

c) 16m

UNSM - CPU-T

A) 6 B) 3 6 C) 6 7 D) 4 2 12.-Si: 5(AB)=2(BC) y AP=8; calcule PQ.

E) 4

A) 16 B) 32 C) 45 D) 60 E) 50 13.-Se tiene un triángulo rectángulo ABC recto en B; con diámetro BC se traza una semicircunferencia que interseca a AC en D; en el arco DC se ubica al punto F tal que: BF  DC  {E} ; AD=3, DE=3 y EC=2; calcule EF. A) 6 B) 2 3 2

C) 3 5 D) 1 E) 1,8

14.-Si: PH = HT = 3 y TB = 2; calcule: R (C: punto de tangencia) A) B) 5 C) 47/5 D) 43/7 E) 29/3 15.-Si: NC = 6; BC = 3(AB) y

41/8

mBN =

mNQC; calcular AT. (T: punto de tangencia)

N

A) 2 6 O2

O1

B) 6 2 C) 3 2

M

D) 4 2

8.-Si (AB)(AH)=32; calcule AP A) B) C) D) E)

16 4

E) 5 2 16.-Si: (AB)(QN)=24; calcule PC A) 4

4 2

B) 2 6

6

C) 3

3 6

D) 4 5 9.-Se tiene un cuadrilátero ABCD cuyas diagonales son perpendiculares; m∡BCD = 90º y BD = AD; calcule AB/BC A) 6 B) 3 C) 2 D) 2 E) 2 / 2

E) 6 2 17.-En un triángulo rectángulo ABC recto en B se ubica al punto M en BC y a N en AC tal que BM=MC; m∡MNC=90º; AN=5 y NC=4; calcule

10.-Si: AB = 4; calcule AC A) 2 B) 2 C) 2 2 D) 2 3 E) 6 11.-Se tiene una semicircunferencia de diámetro AB y centro O; en AO se ubica el punto Q tal que: (AQ)2 + (QB)2 = 90; luego se traza la cuerda CD la cual es paralela a AB ; si CD=6; calcule la distancia de Q hacia el punto medio de CD .

AM A) 4 6 B) 3 3

C) 5 2 D) 7

E) 3 5

18.-Se tiene un triángulo rectángulo ABC recto en B en el cual se traza la ceviana BQ tal que: AQ=6; QC=2 y BQ=3, calcule BC. A) 4

B) 6 C) 2 7 D) 10

E) 2 2

179 | P á g i n a


GEOMETRIA 2017-II

UNSM - CPU-T

19.-Se tiene un cuadrilátero inscrito ABCD tal que: AB=2; BC = CD = 2 3 y AD es diámetro;

TEOREMA DE PTOLOMEO

calcule el radio. A)3

B) 2,2

C) 1,6 D) 2 2 E) 6

AC.BD = a.c + b.d

20.-En un triángulo ABC; (AB=c; BC=a; AC=b y m∡ABC=27º); calcular la m∡BAC. Si a2 - b2 = bc A) 84º

B) 36º C) 42º

D) 45º

E) 54º

TEOREMA DE VIETTE

AC a.d  b.c  BD a.b  c.d

21.-En un trapecio ABCD ( BC// AD ) cuya base media mide 2; calcular DM si M es punto medio

TEOREMA DE LA BISECTRIZ

de AB y (CD) – 2(MC) = 2 2

2

A) 3

B) 2 2

D) 5

E) 2

1. Bisectriz Inferior. C) 3 6 d2 = a.c – m.n 2. Bisectriz Exterior.

SEMANA 07

d2 = m.n – a.c

RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA TEOREMA DE LAS CUERDAS: Dadas las cuerdas AB y CD que se interceptan en P tenemos:

AP.PB = CP.PD

1.

a) b) c) d) e)

TEOREMA DE LA TANGENTE: Dada la siguiente tangente AB y la secante ACD, tenemos: AB2 = AD.AC TEOREMA DE LAS SECANTES: Dadas las secantes ABC y ADE se tiene: AC.AB = AE.AD

PROBLEMAS RESUELTOS Hallar “x”

  AEB=BCF TEPOREMA DEL PRODUCTO DE DOS LADOS (Teorema del  del Inscrito): AB.BC = BH.2R BH: altura R: circunradio

6

a a

x

a 8

Solución Teorema de las cuerdas 4x = a(2a) 6(8) = a(2a) Igualando 4x = 6(8)

X = 12

TEOREMAS DE LAS ISOGONALES: Sean BE y BF: Isogonales: AB.BC = BE.BF

4

6 8 12 9 7

2.

Rpta. c

Hallar “x” a) b) c) d) e)

6 9 5 8 10

x 5 4 10 y 4

TEOREMA DE LAS CUERDAS PERPENDICULARES: a2 + b2 + c2 + d2 = 4R2 R = Radio de la circunferencia

solución 1) Teorema de las cuerdas 10y = 5(4) y = 2 ....... (1) 180 | P á g i n a

DECIMO NOVENA EDICIÒN 2)

GEOMETRIA 2017-II

UNSM - CPU-T

Teorema de la tangente x² = 4(14 + y) ..... (2) 4.-

3)

a) b) c) d) e)

x² = 4 (14 + 2)

x=8

3.

Hallar “x”

Reemplazando (1) en (2)

Rpta. d

13 10 15 17 14

13

20

x


4 3 8 9 P 6

7

14

7

21 5

5. A

x

Hallar BM. Si: el diámetro AC mide 10 y AD = 2 14 , AM = MD, DNA = NC

B B

a) b) c) d) e)

4

Solución Teorema de las Secantes

5 6 7 8 9

5(5+7) = PA.PB x(x+4) = PA.PB

A

C

o M

N D

Igualando X(x+4) = 5(12) X(x+4) = 6(10) X=6

6.-.

Rpta. e 7.-.

1.-

PROBLEMAS PROPUESTOS Hallar “x” a) b) c) d) e)

8 16 4 12 6

P

A

x+y

x B 10


20 10 40 25 16

9.-Si: QD = 1; TB = 2 y ND = CB; calcule AD (D y T son puntos de tangencia).

9

x 16

a

3.

B) 27 C) 30 D) 31 E) 36

8.-Si: AB = 9; 2(BC)=3(CD), calcule DE. A) 9 B) 6 C) 4 D) 5 E) 3 2

5 2.

medio P de BC , tal que AP² + PD² = 250. Hallar AB A) 6 B) 8 C) 10 D) 15 E) 20 Los lados de un paralelogramo miden 15 y 20, la diagonal mide 17. Calcular la medida de la otra diagonal A) 24

2

y

En un rombo ABCD se ubica el punto

b

a

A) 3 B) 5 C) 2 5 D) 4 E) 2 3


9 10 8 6 7

9

13 x

10.-Si O es el centro del cuadrado ABCD; PQ = 2y QC = 3; calcule AB. A) 5 B) 10

x

181 | P á g i n a


GEOMETRIA 2017-II

C) 15 D)4 E) 3 6

11.-Si G es baricentro de la región triangular ABC; (NC)2 – (AN)2 = 12. calcule BG.

B) C)

2 ab

D)

ab 2

E)

2 ab 3

3 ab

18.-Los segmentos de una de dos cuerdas que se cortan miden 16 cm y 3 cm. Hallar la medida de los segmentos en que se divide la otra cuerda, sabiendo que uno es el triple del otro.

A) 2 / 2 B)2 C) 6 D) 2 2 E)4

A)6 cm y 2 cm B)9 y 3 D) 15 y 5 E)18 y 6

12.-Si PQ = QH = 2; calcule QB. A) 3 B) 2 3 C) 2 2 D) 5 E) 7 13.-Si: DH = HP y PT = 4; calcule: (AB)(CD). (T: punto de tangencia) A) 10 B)16 C)14 D)12 E) 8 2

UNSM - CPU-T

19.-En la figura : AB = 4, BC = 2, AQ = 3, hallar QP .

4 A

P

Q

3

A)2 D)6

B)5 E )4

C)3

20.-.Si FE = 10, QE = 5; EP = 4, PR = 8, Calcular el perímetro del triángulo “PER”

B) 4 2 C) 3 3 D)3 E)4

A)18

B)15

D)16

E)24 Q

15.-En el lado AC de un triángulo equilátero ABC se ubica al punto P; luego se traza una circunferencia tangente a AC en P y que pasa por B; además interseca a AB y BC en R y T; calcule RT si AP=6 y PC=3. A) 6 B) 5 3 C) 7 D) 6 2 E) 4 5

C)21 R

5 8

E 10

4 P

F

16.-Del gráfico, calcule AC CD  . CP BC  A) 1 B) 1:5 C) 2:3 D) 2:5 E) 4:5

SEMANA 08 POLÍGONOS REGULARES Y LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA. POLÍGONO REGULAR

Es aquel polígono convexo de lados y ángulos respectivamente iguales. Todo polígono regular es incriptible y circunscriptible. R

H

C

Ap

A)

2

B

14.-Si: ABCD es un romboide; AD = 6; A y Q son puntos de tangencia; calcule PQ. PDAD A) 2 3

17.-Si A, B, C y D son puntos de tangencia. Calcule PH en función de a y b

C)12 y 4

R

R oR

A

R

O

n: Nº de lados  = Ángulo central L: lado del polígono D Ap: Apotema

ab

182 | P á g i n a


GEOMETRIA 2017-II R:

Radio de Circunferencia circunscrita

la

A) 1 B) 2 C)3 D) 4 E) 5 Solución: Del cuadro de polígonos regulares: ̂ = 30º → ̅̅̅̅ Si 𝐴𝐵 𝐴𝐵 = ℓ12 = 𝑥

FORMULAS GENERALES Angulo central:  = 360º / n

2(1  Cos ) , R 2(1  Cos ) Apotema: Ap = 2 Lado: L = R

POLÍGONO Triángulo

 L 120º R 3

Ap R/2

Cuadrado

90º

R 2 /2

Pentágono

72º

Hexágono

60º

Octógono

45º

R 2 2

Decágono

36º

R ( 5  1) 2

Dodecágono 30º

UNSM - CPU-T

→x= R√2 − √3 ; pero R= √2 + √3; Luego: x =√2 + √3. √2 − √3 = √(2 + √3) (2 − √3)

R 2 R 10  20 2

3 R 2

R

→x = √(2)2 − (√3)2 = 1…………….Rpta. A

R ( 5  1) 4

R ( 2 2) 2 R 10  20 4 R 2  3) 2

R 2 3


En una circunferencia se traza una cuerda de medida 6  que sub tiene un arco de 120º. Calcule la longitud de la cuerda que subtiene un arco de 60º.

* R = Radio de la Circunf. Circuscrita LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA (C) Es el límite de los perímetros de los polígonos regulares inscritos en la circunferencia.

C = 2 R  = 3.1415926…

R

2.

Definición del número PI(  )

A) 2 

B) 3 

D) 4 

E) 2 2 

C)

2

En una circunferencia de diámetro AB se traza la cuerda CD paralela a dicho diámetro, si CD  R 3 . Calcule m ABC , si AB= 2R

El número  es el valor de la razón constante entre la longitud de la circunferencia y el diámetro de una circunferencia.  = C/2R LONGITUD DEL ARCO CIRCUNFERENCIA

A) 10º

B) 15º

D) 8º

E) 36º

C) 18º

A R



O

L

L=

R B

 x 180

xR

PROBLEMAS RESUELTOS 1. Calcular “x” si AB=R y BC=R√2 ; “O” es centro de la circunferencia. AO=R A) 10º B) 15º C) 20º D) 30º E) 37º Solución: Si AB=R→se deduce ̂ = 60º ; que 𝐴𝐵 ̂ = 90º y 𝐶𝐷 ̂ =90, 𝐵𝐶 ̂ Luego m 𝐶𝐷 =30º; por ángulos exteriores se obtiene: x=

̂ −𝐶𝐷 ̂ 𝐴𝐵 2

=

60º−30º 2

= 15º….. Rpta. B

3.

De un punto D exterior a una circunferencia se trazan las secantes DCB y DEA, siendo AE diámetro. Calcule m BDA , si:

AB  R y BC  R 2 , siendo “R” radio de dicha circunferencia.

4.

A) 10º

B) 12º

D) 20º

E) 15º

C) 24º

Calcule el menor ángulo forman las diagonales cuadrilátero ABCD inscrito en circunferencia, si: AB y CD lados del triángulo equilátero pentágono regular. A) 84º

B) 86º

que del una son y el

C) 78º

2. Del gráfico. Hallar “x” si R= √2 + √3 183 | P á g i n a

DECIMO NOVENA EDICIÒN D) 76º 5.

GEOMETRIA 2017-II E) 88º

E) 3 2 

El perímetro de un hexágono regular es 12  . Calcule el perímetro del hexágono determinado al unir en forma consecutiva los puntos medios de los lados del primer hexágono.

A) 12 3 

B) 8 3 

C) 4 3 

D) 6 3 

10.

11.

En un hexágono regular ABCDEF cuyo lado mide 8  , calcule la distancia del punto de intersección de las diagonales AD y FB a la diagonal AC. A) 1 D)

7.

8.

B) 3 

3

C)

3

E) 2 

12.

Interiormente en un pentágono regular ABCDE, se construye un triángulo equilátero APB. Calcule m APE

A) 76º

B) 84º

D) 37º

E) 92º

BC 





5  1  ; los ángulos BAC,

ABQ y CBQ miden 49º, 23º y 72º respectivamente. Calcule BQ.

9.

A) 1

B) 2 

D) 2 3 

E)

3

respectivamente y AB 

C) 3 

3

C) 2 3

A) 4 2- 3

B) 4 2

D) 4

E) 4 2  3

En un triángulo acutángulo ABC, se trazan las alturas AQ y CH. Calcule HQ, si m ABC = 75 ° y AC = 2.

A)

2 3

B) 2 3

C)

3

D) 2 

E)

2 2

3

En un heptágono regular ABCDEFG, cumple

que

1 1 1   , AD CE 5

calcule el perímetro del heptágono.

13.

A)

1 5

B) 5

D)

1 25

E) 10

C) 25

Un cuadrado ABCD se encuentra inscrito en una circunferencia de radio R. Se traza una recta secante que biseca: al arco AB en M, a la cuerda AD en N e intersecta al arco AD en F. Calcule FN.

C) 2 2 

En una circunferencia se ubican los puntos A, B y C. Calcule la distancia de C a AB , si los ángulos BAC y ACB miden 15º y 45º

A) 3 2 

En una circunferencia de radio R = 4, su ubican los puntos consecutivos A, B, C y D. Calcule

se

C) 66º

En un triángulo ABC se traza la ceviana BQ, tal que

3

AC, si: AB  R 3 ; BD  R 2 y CD = R.

E) 3 3  6.

UNSM - CPU-T

B)

D)

6 .

3 2 3 2 3 2 3 2

A)

R 2 6

B)

R 3 6

D)

R 6 6

E)

R 6 3

C)

6

14.-En un triángulo ABC se tiene que y m BAC  18º; m BCA  45º

BC  5  1 . Calcule AB. A) 2 2

B)

D) 2

E) 3

2

C)

5 1

184 | P á g i n a


GEOMETRIA 2017-II

15.-En una circunferencia se inscribe el triángulo obtusángulo ABC (obtuso en B); tal que AB  L 4 , AC  L3 y BC  Ln ; si n

,L3

y L 4 es la longitud de los lados de

UNSM - CPU-T

20.-Calcular la longitud del segmento cuyos extremos son los puntos medios de las diagonales de un trapecio isósceles ABCD.

D) 7

m

2 y

A) 2 2

B) 3 5

5 2

D)

5

5 3

E)

2

C) 2

SEMANA 09 AREAS DE REGIONES TRIANGULARES, Y CIRCULARES

2 2

E)

1. TRIANGULO CUALQUIERA:

17.-Calcule la longitud del lado de un pentágono regular, cuya diagonal mide



C)

AB = BD.

B)

D) 4 2

BAD = 54°

A) 2 5

E) 3

16.-Calcule la longitud de la bisectriz interior BD de un triángulo ABC recto en B, si BC  2 

10  2 5 y

Si: AB = BC = CD =

los polígonos regulares de n, 3 y 4 lados. Calcule “n”. A) 10 B) 12 C) 4



5 1 . A) 1

B) 2

D) 4

E) 5

h b 𝑏. ℎ 2. TRIÁNGULO EQUILÁTERO: 𝐴= 2

C) 3

A=

18.-Según el gráfico, calcule m NB

a2 3 4

a

3. EN FUNCIÓN DEL ÁNGULO: B

A



N

S

A 



C

AC . AB sen  2

4. EN FUNCIÓN DEL SEMIPERÍMETRO:

R

a

O

M

b

A  (p) (p  a ) (p  b) (p  c) abc 2

p

c

B

5. EN FUNCIÓN DEL INRADIO: A) 54° D) 45°

B) 36°

C) 30°

a

A  p. r

b

E) 60°

r c

19.-En una misma circunferencia se inscriben un pentágono regular, un hexágono regular y un decágono regular, cuyos lados miden L 5 , L 6 y L10 respectivamente. 2 6

2 10

L L

Calcule

L5

Si:

6. EN FUNCIÓN DEL CIRCUNRADIO: b R

a

A

a .b.c 4R

c

 100

A) 10

B) 20

D) 40

E) 50

C) 25 7. EN FUNCIÓN DEL EXINRADIO: B c

a

185 | P á g i n a ra


GEOMETRIA 2017-II 1.

SABC = ra(p – a)

B

𝑏 2

8

𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = √82 + ( ) 2 A

ra

r

𝑆 = √𝑟𝑟𝑎 𝑟𝑏 𝑟𝑐

Calcular el área del triángulo isósceles ABC ( AB = BC ) en el cual la altura BH mide 8 m. y su perímetro es 32 m. a) 126 b) 64 c) 48 d) 142 e) 56 SOLUCION (1) En la figura adjunta:

8. EN FUNCION DEL INRADIO Y LOS EXRADIOS

rc

UNSM - CPU-T

b/2

b/2 H

(2) Entonces el perímetro será: 𝑏 2

2√82 + ( 2) + 𝑏 = 32 de donde: b = 12

rb

(3) Por lo tanto el area será:𝑆𝐴𝐵𝐶 =

9. EN TRIANGULOS RECTANGULOS 2.

A = m.n m 10. CÍRCULO:

n R

S = R2

30º

O R  A

B

L

12. ÁREA DE LA CORONA CIRCULAR: S = (R2 – r2)

r R

3. 13. AREA DEL SEGMENTO CIRCULAR A r O  r B

𝜋𝑟 2 𝜃 𝑟 2 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝐴= − 360º 2

F

S

A C  M  El ⊿ BFM notable ( 30º y 60º ) Si MF = 6  BM = 12 ; BF = 6√3 BM es mediana; entonces: SABM = SMBC = 48√3 , además S MBF + S = 48√3 18√3 + S = 48√3 por loo tanto S = 30√3 En un triángulo ABC se traza la altura BH tal que m ∡ ABH = 2 m ∡ HBC, Si AH = 8 y HC = 3, entonces el area de la Region triangular ABH es: a) 12 b) 14 c) 16 d) 20 e) 24 B SOLUCION   

𝑎2 𝑆 = (𝜋−2) 2

6

Q 3

14. TRAPECIO CIRCULAR A 𝜋(𝑅 2 − 𝑟 2 )𝛼 𝐴= 360º

=

6√3

1 2

8√3

R

12𝑥8 2

48 𝑚2 En un triángulo ABC se traza la mediana BM tal que 𝑚∡𝑀𝐵𝐶 = 30º. Si la distancia de A al segmento BM es 8√3 y la perpendicular MF trazado al lado BC mide 6. Halle el area de la región triangular MFC. a) 30 b) 35 c) 34√2 d) 30√3 e) 40√3 SOLUCION B

11. SECTOR CIRCULAR: R 2  L.R S  360 2

C

b



r R

PROBLEMAS RESUELTOS

37 5 º

P

3

H

C

3 8 Trazamos la bisectriz BP del ángulo ABH, el triángulo PBC es isósceles, entonces: PH = HC = 3 y AP = 5 ; PQ = PH = 3 ( T. bisectriz ) El AQP es notable ( 37º y 53º ): m ∡ QAP = 37º El AMB es notable ( 37º y 53º ): entonces BH = 6 Luego SABH =

6x8 2

= 24 186 | P á g i n a


GEOMETRIA 2017-II

UNSM - CPU-T

5.-En un triángulo ABC recto en B, se traza la

4.

Calcular el área del circulo inscrito en un sector circular de 90º y radio R A SOLUCION

F R

r

O2

𝑟√2

O1

r N

B R

En el grafico formamos el cuadrado O1MO2N de lado r ; luego trazamos la diagonal O1O2 = 𝑟√2, O1F = R, entonces 𝑟√2 + r = R, luego r = R ( √2 - 1 ), el area del circulo es: S =   R ( √2 − 1)  2 PROBLEMAS PROPUESTOS 1.-En un triángulo rectángulo BAC recto en A, el ángulo B mide 75° y la distancia de A a la hipotenusa mide 6 2 cm. Calcule el área de la región ABC. A)100 cm2 B)36 cm2 C)84 cm2 D)144cm2

E) 72cm2

2.-Los catetos AB y AC de un triángulo rectángulo ABC recto en A, miden 21cm y 28cm. Se trazan las bisectrices CP y AQ, las cuales se cortan en el punto I. Calcule el área de la región CIQ. A) 20cm2 B) 30 cm2 C) 45 cm2 D) 70cm2

3.-El triángulo ABC tiene como lados

AB =

BC = 10cm. Se

traza la altura CE y por E se traza EM perpendicular a AC . Calcule el área de la región EMC. A) 10 cm2 B) 5,5 cm2 C) 8 cm2 D) 7,2 cm2

B) 10 u2

D) 15 u2

E) 20 u2

D) 12,5 u2

E) 6,2 cm2

D) 20 cm2

A) 25/6 m

D) 49/96 m

B) 7 m 2

E) 14m

2

E) 25 cm2

8.-En un triángulo isósceles ABC (AB=BC), se inscribe un cuadrado el cual tiene un lado contenido en la base AC del triángulo; calcule el área de la región ABC si el baricentro de este es el centro del cuadrado y la base del triángulo mide 6m. A) 16 m2 B) 14 m2 C) 8 3 m2 2 2 D) 9m E) 18m 9.-Se tiene un cuadrado ABCD; en la región interior se ubica un punto P tal que mBPC = 90º; y en la prolongación de BP se ubica al punto Q tal que m PQD = 90º. Si BP = 4u y PC = 6u, calcule el área de la región AQD. C) 2 13 u2

B) 8 u2

D) 6 u2 E) 15 u2 10.-Se tiene un triángulo rectángulo ABC recto en B. La mediatriz de BC es tangente a la circunferencia inscrita cuyo centro es 0; calcule el área de la región AOC si AB = 6u A) 20 u2

B) 8 2 u2

C) 6 3 u2

D) 5 6 u2 E) 10 u2 11.-En un triángulo ABC, se ubican los puntos

MN y BC se interceptan en “P” tal que las regiones MBP y PCN tienen igual área y AM = MB. Calcule: A) 1/2 B) 1/4

2

E) 15 u2

“M” en AB y “N” en la prolongación de AC .

4.-Se da un triángulo isósceles ABC (AB = BC), en donde AC = 5m y la altura AH mide 4m. Calcule el área de la región BOH siendo “O” la intersección de las alturas AH y BP 2

C)12,5 u2

7.-En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior CD y en el triángulo DBC se traza la ceviana BM, de modo que m  CBM = m  BAC. Si el área de la región MBC es 5 cm 2 y AC = 2(BC), calcule el área de la región BMA. A) 5 cm2 B) 10 cm2 C) 15 cm2

A) 4 u2

E) 75 cm2

20cm, AC = 6 5 cm y

A) 5 u2

6.-En un triángulo ABC se traza la mediana BM, de modo que m BMA = 45°. Calcule el área de la región ABC, si BC2 – AB2 =20 u2 A) 5 u2 B) 7,5 u2 C) 10 u2

r M

bisectriz interior AP y en AC se ubica el punto Q, de modo que mAPQ = 45°. Calcule el área de la región QPC, si (BP)(PC)=20 u2.

C) 7/8 m

AC CN C) 1

D) 1/6

E) 1/5

2

12.-En un cuadrilátero convexo ABCD, se toma el punto medio M de la diagonal AC. Calcule el área de la región MBD sabiendo que las áreas de los triángulos ABD y BDC miden 50m 2 y 30m2 187 | P á g i n a


GEOMETRIA 2017-II

A) 10 m2

B) 9 m2

D) 15 m2

E) 20 m2

UNSM - CPU-T

C) 8 m2 A) 42 B) 72

13.-En un triángulo ABC se traza la altura BH y en el triángulo BHC se traza la bisectriz interior BD. Siendo 3 (AD) = 4 (DC), HD = 4u y BC = 12u; calcule el área de la región ABD. A) 8 2 B) 16 2 C) 32 2 2 2 D) 24  E) 40 

C) 32 D) 52 E) 62

BC , encuentre la razón 14.-En la figura, mAB = m entre las área de las regiones AGO y OFE.

18.-En la figura 3 (RQ) = 2 (PR) = AP y RC = BC. Calcular la relación de áreas de las regiones APQ y QRC.

A) 2/3 B) 2 3 / 3 C) 4/3 D) 3/5 E)

3/ 6 A) 1/2 D) 1/4

B G

F

2 A r

45 45 O

3

E

2 r= D

D) 8 3 cm2 E) 8 cm2 16.-En la figura, CO = 6 . Calcule al área de la región sombreada. A) 18 2 B) 9 2

D) 30 cm2

E) 32 cm2

SEMANA 10 ÁREA EN REGIONES CUADRANGULARES Y POLIGONALES. 1) Área de un cuadrado. S = L2

D) 21 2

S=

17.-En la figura, AC = CD, mCBD = 2m BDA y el área de la región triangular BCD es 82, calcule el área de la región sombreada.

E) 25 cm2

20.-En un triángulo ABC: AB = 2 (BC)=10 cm. Se traza la bisectriz interior BP y la perpendicular AQ a BP (Q en la prolongación de BP). Calcule el área de la región ABC, si PQ = 2 cm. A) 12 cm2 B) 18 cm2 C) 24 cm2

C) 13,5 2 E) 27 I 2

C)1/3

19.-En un triángulo ABC en AB y BC se ubican los puntos “P” y “Q” respectivamente de modo que AP = 2(PB) y BQ = 2(QC). Calcule el área de la región PBQ, si el área de la región ABC es 45cm2. A) 5 cm2 B) 10 cm2 C) 15 cm2 D) 20 cm2

15.-En un triángulo rectángulo ABC recto en B, en AC se ubica el punto “P” y en el interior de la región PBC el punto “D”. Siendo mABP = mPCD, BC = PC y BP = PD = 4cm; calcule el área de la región BPD. A) 4 3 cm2 B) 4 cm2 C) 2 3 cm2

B) 1 E) 2

d2 2

2) Área de un rectángulo S=b.h

3) Área de un paralelogramo S= b.h S=a.b.sen𝜃

188 | P á g i n a


GEOMETRIA 2017-II

4) Área de un rombo

UNSM - CPU-T

PROBLEMAS RESUELTOS 1. En un paralelogramo ABCD, se traza la diagonal BD. Calcular el área del triangulo ABD si AD = 8 y el área del Paralelogramo mide 16. Solución. En ABCD A= b.h 16 = 8.h h =2

AC.BD

S= 2 S= 2r.L 5) Área de un trapecio 𝐵+𝑏

𝑆 = ( )ℎ 2 S= (MN)h

b.h

6)Área de un cuadrilátero cualquiera

S=

AC.BD senθ 2

6) Área de un cuadrilátero circunscrito

Reemplazando (2) en (1) 24 SAPD= = 12 Rpta. 2 3. Determinar el área de un rectángulo si la diagonal mide 10m y el lado mayor 8m. Solución Por el teorema de Pitágoras en el triángulo BAD: AB2 = 102 – 82 AB = √100 + 64 = √36 = 6 SABCD = AD x AB = 8 x 6 = 48m2 PROBLEMAS PROPUESTOS

S= p.r a+b+c+d P= 2

7) Área de un cuadrilátero inscrito

1.-En S= √(p − a)(p − b)(p − c)(p − d) 8) Área de un Cuadrilátero Inscrito y Circunscrito (Bicéntrico)

8x2

P∆ABD = → A∆ABD = = 8 Rpta. 2 2 2. Si el Área paralelogramo ABCD es 24 y “P” es un punto Cualquiera de lado BC. Calcular el área del triangulo APD. Solución b.h SAPD = … 2 SABC = b.h…

romboide ABCD donde se construyen m A  30º , exteriormente los cuadrados BCMR y DCPQ. Calcule el área de la región triangular CMP si el área de la región ABCD es Sm2 A)

el

S S 2 2 m2 B) m 2 2

C) S 3 m2

S = √𝐚. 𝐛. 𝐜. 𝐝 D) 3S 3 m2

Polígono circunscrito S = p.r

E)

S 2

3 m2

2.-En que relación se encuentran las áreas de las regiones cuadradas ABCD y DRQP mostradas en la figura: C

B M

p = semiperímetro

30º R

A

D

P

Q

189 | P á g i n a


GEOMETRIA 2017-II

A) 2 : 3

B) 2:1

D) 3:1

E) 5:1

C)

S 2 m B) 2

A) Sm

D)

7.-En la figura, calcule Sx, si: S1  8m2 ,

S2  18m2 y EF = FL E

B

S1

D 2

unidas por un segmento MN (N en RO )

US // RO, US= 10 m, RO= 20 m y NO = 12 m Calcule MS si MS > UM y las áreas de las regiones parciales están en la relación de 1 A 2 A) 2 m B) 4 m C) 6 m

2

A) 10m

B) 12m

D) 26 m2

E) 36 m2

C) 17m2

.8.- En la figura, BCDE es un romboide, AABO = 4u2 ACDEO = 10 u2. Calcular el área de la región ABCD. A) 20 u2 D) 36

B) 24 E) 25

C) 22

9.- Hallar el área del cuadrilátero mostrado.

E) 10 m

150º 5

4 el

L

F

A

4.-Las bases de un trapecio RUSO están

5.-En

C

S2 Sx

S 2 m C) 3

2S 2 3S 2 m E) m 3 4

D) 8 m

RPTA.: B

3 :1

3.-En un trapezoide de área Sm2 se unen los puntos medios de 3 lados consecutivos, luego los puntos medios de los lados del triángulo formado y así sucesivamente los puntos medios del nuevo triángulo hasta el infinito. Calcule la suma de las áreas de las figuras formadas al unir los puntos medios.

2

UNSM - CPU-T

cuadrilátero

MAON

donde

m MAO  m OMN  90º, AO  6m AM  2m y MO  MN . Calcule

el área de la región triangular NAO. A) D)

24m2

B)

22m2

C)

20m2

18m2 E) 12m2

6.-En el octágono regular inscrito es una circunferencia m. Calcule el área de cuadrangular que se obtiene puntos medios de AB , BC , EF y FE .



A) 2 2 



2 m



2 m



2 m

B) 2 1  C) 2 2 



D) 4 



E) 4 1 







2 m

ABCDEFGH de radio 2 la región al unir los

A)10 u2 D) 8

B) 5 E) 10√10

C) 12

9.-En la figura, ABCD es un cuadrado de centro “O”. si AB = 6m. ¿Calcular el área de la región sombreada “S”? A)12

B)16

C)9

D)8

E)6

10.-Calcular en la figura el área del trapezoide ABCD. A) 16

D) 42

B) 25

E) 53

C) 37 11.-Determinar el área de un hexágono regular 4 inscrito en una circunferencia de radio √3u. A) 6u2

B) 5,5u2 D) 9,6 u2

C) 7,6 u2 E) 4,5 u2



2 m O

190 | P á g i n a R


GEOMETRIA 2017-II

UNSM - CPU-T

e) 2,5 18.- En el trapecio ABCD (BC//AD); BC= 2; AD = 10; sea M: Punto medio de AB. Se traza MC y AC. Determinar el área que resulta de sumar: SAMC + SAMD, si la altura del trapecio es 6.

12.-En la figura mostrada, ABCD es un trapecio ̅̅̅̅ //𝐴𝐷 ̅̅̅̅ ), donde se sabe que: 𝐴𝐵 = 2, 𝐵𝐶 = (𝐵𝐶 3, 𝐶𝐷 = 5 𝑦 𝐴𝐷 = 8. Calcular el área del trapecio. 𝐴) 𝐵) 𝐶) 𝐷) 𝐸)

22 √6 5 5 √42 22 22

B

C

A) 15 B) 21 C) 18 D) 24 E) 12 19.- En un trapezoide ABCD se unen los puntos medios de AB; BC; y AD; formando un triangulo de 6m2 de área. Hallar el área del trapezoide.

√24

5 11 √6 5 5 √42 11

𝐴

D

A) 18m2 D) 24m2

𝐵) 35𝑢2 𝐸) 75𝑢2

A) 12cm2

𝐵) 320 𝐸) 220

𝐶) 144

C) 9cm2 E) 10cm2

C

6cm

M D

A

8cm

21.-Se tiene un polígono heptagonal de área 105cm2. cuyo primer lado vale 1cm. Y los siguientes una progresión aritmética respecto al primero de razón 3cm. Determinar el radio de la circunferencia inscrita.

𝐵 18𝐻𝑎

2cm

B

15.-Se tiene un terreno constituido por cuatro zonas: tres de ellas son cuadradas. De áreas 26Ha., 18Ha., 20Ha. Y la cuarta es triangular. Hallar el área de esta última zona. 𝐴) 8 𝐻𝑎 𝐵) 9𝐻𝑎 𝐶) 14𝐻𝑎 𝐷) 10𝐻𝑎 𝐸) 20𝐻𝑎

B) 15cm2 D) 6cm2

𝐶) 45𝑢2

14.-Los lados no paralelos y la base menor de un trapecio isósceles son congruentes entre si y miden 10m. Si la base mayor mide 22m., el área del trapecio, en metros cuadrados, es: 𝐴) 128 𝐷) 160

21m2

C)

20.-El la figura ABCD es un trapecio; AM = MC. Hallar el área BMD.

13.-La base de un triangulo isósceles mide 15 y una de sus alturas iguales mide 12. Hallar su área. 𝐴) 25𝑢2 𝐷) 65𝑢2

B) 12m2 E) 30m2

20𝐻𝑎

A) 2,5cm

B) 3cm

D) 4cm

E) 4,5cm

C) 3,5cm

SEMANA 11 𝐴

RELACION ENTRE AREAS DE REGIONES TRIANGULARES 1. PROPIEDAD DE LA CEVIANA

𝐶

26𝐻𝑎

16.-ABCD es un cuadrado, se prolongan los lados ̅̅̅̅ 𝑦 𝐶𝐷 ̅̅̅̅̅en opuestos 𝐴𝐵 segmentos 𝐵𝑀 = 3𝑚 𝑦 𝐷𝑁 = 4𝑚. Calcular el área del cuadrado, si 𝑀𝑁 = 13𝑚.

S1 a

S1 a  S2 b

S2 b

2. PROPIEDAD DE LA MEDIANA B

𝐴) 30 𝐷) 10

𝐵) 25 𝐸) 20

𝐶) 50

S1 = S2

d) 4

BM= mediana

C

M

3. PROPIEDAD DEL BARICENTRO S1 S2

S3

S1 S2 S3

S5 S4

S6 S1 = S2 = S3 =S4 = S5 = S6 S1 = S2 = S 3 4. TRIANGULOS SEMEJANTES

O

c) 3

S1

A

17.- En la figura, ABCD es un trapecio, si el área del triangulo BOC es 4 m 2, 2OD = 3BO, ON = ND, calcular el área del triangulo CND a) 1m² C B b) 2

S2

N A

N

D

B

A

𝑙

m

191 | P á g i n a

a

c b

C M

n

L


GEOMETRIA 2017-II

S ABC a2 b2 c2  2  2  2  K 2 Donde: S MNL m n l K2: Razón de semejanza de proporcionalidad 5. Si PQ // BC y PS // AB B



Q

 S S

S1 

A

S ABC  S1  S 2 C

2

P

REGIONES TRAPECIALES C B S2 = MxN N 1. 2 S S 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = (√𝑁 + √𝑀) M A D C B 2.  𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑆 = S M 2 A  D PARALELOGRAMO M B 1. C S2 S1 S = S1 + S2

6. Puntos medios 2. 𝑆𝐴𝐵𝐶 𝑆= 4



S





S

A

B

A

UNSM - CPU-T



B A

1.

S =

S

S ABC

1.

4

N

M A

MN: puntos medios

C

2. Propiedad de la bisectriz interior B   𝑠1 𝑐

c

S2 a

S1

𝑠2 C

A 3.

=

AABCD 2 PROBLEMAS RESUELTOS

H

BH= altura común

C

P

4. Ángulo común o suplementario Q B 𝑆𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵𝑥𝐴𝐶 = 𝑆𝑃𝑄𝐸 𝑃𝑄𝑥𝑃𝑅 = ; +  = 180º 



A

A) 16 B) 17 C) 18 SOLUCION B 4

S

BP. bisectriz

𝑆𝐴𝐵𝑃 𝐴𝑃 = 𝑆𝑃𝐵𝐶 𝑃𝐶

𝐸𝐷 𝐴𝐷

P

D

2)

S1 M

D

S 3m

S

C

m

=

E

D 3

3n

9

C

Como SAEC = 9, entonces SDEC = 3 Propiedad: 𝑆 12

S

S2 N

AABCD 2 S  S1  S 2

𝐵𝐷 𝐵𝐶

n

A

C B

M

S1

S ABCD 2

M.N = S1. S2

N

9

1 4

C

S2

D A

=

B

A

3)

S

S

Q

S

y el área de la Región AEC es de 9 u2 entonces el área de la región ABD es: A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 SOLUCION B

REGIONES

A N

E) 20

AD, se ubica el punto E en AD, si

B

M

1)

O

D) 19 C

D F Q En el trapecio QBCF: SBOQ = SCOF = S Propiedad: S2 = ( 4 )( 9 ) , entonces S = 6 en el ABCQ paralelogramo: entonces SABQ = SBQC = S + 4  S ABCQ = 2S + 8 = 20 B) En el triangulo ABC, se traza la ceviana

R

EN

S+4

A

C P

RELACION DE AREAS CUADRANGULARES CUADRILATERO CONVEXO

D

S1  S 3  S 2  S 4 

ABCD es un trapecio ( BC // AD ) y BC  AD, se trazan BF // CD ( F en AD ) y CQ // AB ( Q en AF) que se interceptan en O. si el área de BOC y QOF miden 4 m2 y 9 m2 respectivamente entonces el área del paralelogramo ABCQ es:

𝑎

B

A

S3 S2

PROPIEDADES ADICIONALES B

C

S4 S1

C

D

C)

=

𝑛 3𝑛

por lo tanto S = 4 u2

Los catetos de un triángulo rectángulo miden 5 y 12 m. la bisectriz del mayor ángulo agudo

192 | P á g i n a


GEOMETRIA 2017-II

divide al triangulo en dos triángulos parciales, calcular la relación de sus áreas

a)

5 13

b)

5 12

c)

1 1

d)

5 7

e)

12 13

SOLUCION

4. ABCD es un rectángulo ,dondeED = 3.CE. Hallar el área de la región sombreada EFC; si el área que encierra el rectángulo ABCD ES 40u2.

A

B

Como los triángulos ABD y ADC tienen un  ángulo igual por propiedad 1

A) 12

A

Z

B) 13

C) 14

SOLUCION

B

C F

3 𝑆 5 𝑆1 5𝑥𝐴𝐷 5 1 S = de donde 1 S 2 𝑆2 = 13 𝑆2 13𝑥𝐴𝐷 D) En la figura se B muestra un Trapecio C ABCD, donde BM = MC, CN = D ND, AL = LD y Z + Y = 12 12 cm2, Calcular X B M C Y x

UNSM - CPU-T

E

D

A

N A)2

B)2

L D) 15

E) 16

YM  C x Z

D

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Interiormente a un triángulo ABC se ubica el ̅̅̅̅ y punto P, a partir del cual se trazan ̅̅̅̅ 𝑃𝑄 ┴𝐴𝐵 ̅̅̅̅ 𝐵𝐶 3

̅̅̅̅ = , 𝑃𝑅

̅̅̅̅ 𝐴𝐵 2

y el área de la

región ABC es 36. Calcular el área de la región PQR. A)6 B)9 C)12 D)18 E)3,6 2. En un triángulo ABC : AC = 8, calcuar la ̅̅̅̅ ∧ N ϵ 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ longitud del segmento MN (M ϵ 𝐴𝐵

B)9

C)12

(𝑛+1)2 𝑆 2

A)4 D)4√2

𝐵)

(2𝑛+2)2 𝑆 2

𝐶)

(𝑛−1)2 𝑆 2

3. Sobre los lados ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 𝑦 ̅̅̅̅ 𝐵𝐶 de un triángulo ABC se consideran los puntos los puntos P y Q respectivamente de modo que AP = 2PB y BQ =3QC. Calcular el área de la región PBQ, si el área de la región ABC es 120. A)20 B)30 C)40 D)60 E)15

E)18

𝐴) 126𝑚2 𝐵) 64𝑚2 2 𝐶) 48𝑚 𝐷) 142𝑚2 𝐸) 56𝑚2 7. En un triangulo ABC se traza la ceviana interior ̅̅̅̅ 𝐴𝐸 y luego ̅̅̅̅ 𝐸𝐹 paralelo a ̅̅̅̅ 𝐶𝐴. (F en ̅̅̅̅ 𝐴𝐵). 2 Si: 𝑆𝐴𝐵𝐶 = 96𝑐𝑚 y 𝑆𝐹𝐵𝐸 = 54𝑐𝑚2 . Hallar 𝑆𝐴𝐸𝐵 . 𝐴) 72𝑐𝑚2 𝐵) 62𝑐𝑚2 𝐶) 48𝑐𝑚2 𝐷) 144𝑐𝑚2 2 𝐸) 56𝑐𝑚 ̅̅̅̅ del ∆𝐴𝐵𝐶, se toman “n” 8. Sobre el lado 𝐴𝐵 puntos que determinan (𝑛 + 1) segmentos congruentes y por cada uno de ellos se trazan ̅̅̅̅ . Luego por cada punto de paralelas a 𝐴𝐶 intersección con ̅̅̅̅ 𝐵𝐶 se trazan paralelas a ̅̅̅̅ 𝐴𝐵. Siendo “S” el área de la región indicada. Hallar el área total 𝐴𝐵𝐶. 𝐴)

C)2√2

D)15

6. En un triangulo ABC, con ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 ≅ ̅̅̅̅ 𝐵𝐶 , la altura que parte de B mide 8m. y el perímetro 32m.El área del triangulo, es:

)para que las regiones MBN y AMNC sean ̅̅̅̅ . equivalentes ; además ̅̅̅̅̅ 𝑀𝑁//𝐴𝐶 B)2 E)6

E)5

N

L Sea sabe que: y + z = 12 cm 2 𝑆 𝑆𝐴𝐵𝑀𝐿 = 𝐴𝐵𝐶𝐷 ……..( 1) 2 Por propiedad: S SANB = ABCD ………….( 2) 2 (1) y ( 2) SANB = SABML X + S = Y+ S + Z X= Y+ Z X = 12

̅̅̅̅ ┴𝐵𝐶 ̅̅̅̅ . Si ̅̅̅̅ 𝑃𝑅 𝑃𝑄 =

D)1

5. Los lados de dos pentágonos regulares miden 17 y 8cm., respectivamente. Hallar la logitud de otro pentágono regular,cuya área es igual a la diferencia de los dos anteriores. A)3

A

C)4

D

𝐷) 𝐸)

𝐴

(𝑛−2)2 2

𝑆

(2𝑛+1)2 2

𝐵 𝑆

𝑆

193 | P á g i n a

𝐶


GEOMETRIA 2017-II

16.-En el romboide ABCD donde m A  30º , se construyen exteriormente los cuadrados BCMR y DCPQ. Calcule el área de la región triangular CMP si el área de la región ABCD es

9. En un cuadrilátero ABCD, AB=3m, BC=4m y CD=12m. Hallar el valor de AD, sabiendo que el área de la región ABCD es máxima. 𝐴) 13 𝐵) 12 𝐶) 15 𝐷) 10 𝐸) 14

Sm2

A)

10. El perímetro de un rectángulo es de 46m y su diagonal mide 17m, hallar el área de su región. 𝐴) 720𝑚2 𝐵) 100𝑚2 𝐶) 480𝑚2 𝐷) 120𝑚2 𝐸) 160𝑚2

b) √3 − 1

d) 4(√3 − 1)

S 2 m2 2

B)

C) S 3 m2 E)

S 2

S 2 m 2

D) 3S 3 m2

3 m2

17.-En que relación se encuentran las áreas de las regiones cuadradas ABCD y DRQP mostradas en la figura:

11.La Base de un triangulo mide 4 m. calcular la paralela a la base que divide al triangulo en dos partes equivalentes a) 3(√3 − 1)

UNSM - CPU-T

c) √5 − 2

C

B

e) 2√2 M 30º R

12. Se tiene un triangulo ABC de 64 m2 de área. AB = 8 m, BC = 10 m, la bisectriz interior BD corta en “0” a la mediana CM, Calcular el área MOB a) 30 m2 d) 12,64

b) 30,41 e) 9,14

A) 2 : 3 A C)

c) 15,2

P

B) 2:1 D D) 3:1

3 :1

Q

E) 5:1

13. En el cuadrilátero convexo ABCD, “ M” es punto medio de la diagonal AC, S ABD = 40 2 2 m , S BDC = 60 m , Hallar el área MBD a) 15 m2 b) 10 c) 20 d) 18 e) 25

2

18.-En un trapezoide de área Sm se unen los puntos medios de 3 lados consecutivos, luego los puntos medios de los lados del triángulo formado y así sucesivamente los puntos medios del nuevo triángulo hasta el infinito. Calcule la suma de las áreas de las figuras formadas al unir los puntos medios.

14. En La figura se tiene que ABCD es un paralelogramo, Y + Z = 18 cm 2, calcular X B

C

2

A) Sm

B)

S 2 m 2

E)

3S 2 m 4

Z X

D)

2S 2 m 3

C)

S 2 m 3

Y 19.-Las bases de un trapecio RUSO están A a) 12 d) 18

b) 14 e) 20

D c) 16

15. En un triangulo ABC de área 24 cm 2, se trazan las medianas AQ y CP que se interceptan en el punto G. Calcular el área del triangulo PGQ a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

unidas por un segmento MN (N en RO )

US //RO , US= 10 m, RO= 20 m y NO = 12 m Calcule MS si MS > UM y las áreas de las regiones parciales están en la relación de 1 A 2 A) 2 m B) 4 m C) 6 m D) 8 m E) 10 m 20.-En la figura, calcule el área de la región triangular CAD si: AI  3 , CD  4 y

ZI  2m siendo

3

y

4

lados del triángulo 194 | P á g i n a


GEOMETRIA 2017-II

equilátero y cuadrado inscritos circunferencia, “Z” es el centro.

en

la

D A

UNSM - CPU-T

Suma de las medidas de los ángulos internos de todas las caras de un poliedro. S = 360(A – c) S = 360 (V -2) A. El tetraedro regular Altura: h=

a√6 3 a√6 12

Apotema: OH = C

A)

B)

C)

D)

E)

I

Z



Volumen : V =



2 2  3 m2





2 2  3 m3













Área total: AT = a2√3 a3 √2 12

B. Hexaedro Regular a Apotema : OH = 2

Diagonal : D =a√3=AG Área total: AT = 6a2 Volumen: V = a3 C. El Octaedro Regular a√6 6

Apotema : OH =

2 2  3 m3

2 2  2 m2 2

2 2 3 m

Diagonal : D = a√2 Área total: AT = 2a2√3 a3 √2 3

Volumen: V =

D. Dodecaedro Regular a

Apotema: OH =

2

√25+11√5 10

5+2√5 5

Área total: AT =15a2√ Volúmen: V =

5a3 2

√47+21√5 10

E. Icosaedro Regular a 7+3√5 Apotema: OH = √ 2

SEMANA 12 ÁREAS Y VOLÚMENES DE SÓLIDOS GEOMÉTRICOS: POLIEDROS, PRISMA Y PIRAMIDE, TRONCO DE PRISMA Y PIRAMIDE. SÓLIDOS POLIEDROS Elementos: Caras, aristas, vértices, ángulos, diedros, ángulos poliedros, diagonales. Poliedro Regular: Existe solamente cinco poliedros regulares, a saber, tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro, icosaedro. m n (# de (# de aristas Poliedro lados que C V A regular de parten c/cara) de cada vértice) Tetraedro 3 3 4 4 6 hexaedro 3 4 8 6 12 octaedro 3 5 20 12 30 dodecaedro 4 3 6 8 12 icosaedro 5 3 12 20 30 TEOREMA DE EULER C+V = A + 2

6

3

Área total: AT = 5a √3 Volumen : V =

5a3 6

√7+3√5 2

PRISMA Sólido que tiene dos polígonos por base y caras laterales formados por paralelogramos. Se divide en: 1. Prisma Recto AL= (m+n+1)a AT= AL + 2ABase V = ABase . a Prisma Oblicuo AL= (m+n+1)a AT= AL + 2ABase V = A(S.R) . a = ABase .h 2. Paralelepípedo Prisma cuyas caras todas son paralelogramos. Se dividen en: paralelepípedo recto, romboedro, cubo o hexaedro regular y rectangular o tetraedro. AT= 2(ab+bc+ac) D= √a2 + b 2 + c 2 V = a.b.c 195 | P á g i n a


GEOMETRIA 2017-II

PIRÁMIDE REGULAR Es si su base es un polígono regular y sus aristas laterales son congruentes: AL= PBase. OT AT= AL + ABase 1 V = ABase. OG 3

TRONCO DE PRISMA a). Volumen de un tronco de prisma recto triangular

abc V = ABase .   3   ac V = ABase .    3  a V = ABase .   3

b). Volumen triangular V = ABase ( V = ABase(

de

un

prisma

oblicuo

h1 +h2 +h3 ) 3

h1 +h3 3

)

h ABase( 1) 3

V= TRONCO DE PIRÁMIDE V=

H ( s1  s2  s1  s2 ) 3

UNSM - CPU-T

2. Hallar la diagonal del desarrollo lateral de un prisma hexagonal recto de arista básica igual a 6 cm. Y altura 12 cm. A) 12√10

B) 40

C) 36

D) 12√6

E) 21√14 3. Hallar el volumen de un prisma triangular regular, si la base está inscrita en un círculo de radio √3 cm. Y altura del prisma es dos veces el radio. A) 9cm B) 6cm C) 12cm D) 13,5cm E) 15,5cm 4. P – ABCD es una pirámide cuadrangular regular, calcular el área lateral de la pirámide. A) 164 B) 196 C) 172 D) 192 E) 186 5.-Determinar el volumen de la pirámide mostrada, si su base es un cuadrado A) 54√2 B) 72√3

h

10√𝟐

C) 84√2 D) 96√2

6

E) 112√2

6

6. Calcule el número de caras de un prisma donde el número de vértices más el número de aristas es 50.

SL = (p+p1)MN PROBLEMAS RESUELTOS 1. Calcule la longitud de la diagonal de un cubo cuya arista mide 4m. Solución Triangulo EHG : EG = 4√2 Triangulo AEG: AG = √42 + (4√2)2 AG= √48 AG = 4√3 Rpta. EJERCICIOS PROPUESTOS 1. En la figura, se muestra un cubo de arista a = √8. Determinar el área sombreada, si “O” es centro de la base superior. O A) 2√2 B) 3√3 C) 4√2 D) 8√2

A ) 10 D) 12

B) 20 E) 18

C) 30

7. Calcule el volumen de un prisma hexagonal regular cuyas caras laterales son regiones cuadradas. El área lateral del prisma es 864 m2 . A) 2 592 m2 B) 2 590 m2 2592 3 m2

C) 3 024 m2 D)

E) m2 2 488 2

m2 2 488 2

8.Se tiene un prisma cuya altura es congruente con la arista básica. Calcule el número de lados de la base del prisma, si su área total y lateral están en la relación de 3 a 2.

E) 6√2

A) 3 D) 6

B) 4 E) 8

C) 5

196 | P á g i n a


GEOMETRIA 2017-II

el nivel del recipiente. Si la arista del cubo macizo es igual a la mitad de la arista del recipiente, hallar el volumen del recipiente. 𝐴)92𝑚3 𝐵)82𝑚3 𝐶)72𝑚3 𝐷)48𝑚3 𝐸)56𝑚3

9. Calcule el volumen de un tetraedro regular de arista 6

A) 2 3

B) 6

D) 2 6

UNSM - CPU-T

C) 3

E) 5

16.- Hallar el número de caras de un prisma que tiene 360 aristas

10.Calcule el volumen de un octaedro regular de arista 2 2

A) 120 B) 121 C) 122 D) 123 E) 124

32 B) 5

A) 32 D)

32 3

17.

C) 16

a) 80 b) 81 c) 82 d) 83

E) 18 18.-.

11.La superficie total de una caja es 3.60𝑚2 , su longitud es el doble de su ancho y las caras opuestas son cuadrados iguales. Calcular el volumen de la caja.

Hallar la suma de las medidas de los ángulos de todas las caras de un prisma que tiene “A” aristas

c) 360º (A-2) d) 240º (A-3) e) 240º (A-2) 19-.

La distancia de un vértice al centro de la cara opuesta de un cubo es Calcular el área total.

a) 12

13.Calcular el volumen del paralelepípedo rectángulo mostrado, si la diagonal ̅̅̅̅̅ 𝐴𝐶 del rectángulo 𝐴𝐵𝐶𝐷 mide 1𝑚. Las dimensiones 𝐹 ̅̅̅̅̅ 𝐴𝐷 ̅̅̅̅̅𝑦 𝐴𝐸 ̅̅̅̅ son proporcionales 𝐴𝐵, a 3; 4 y 5. 3 𝐴)0.42𝑚 𝐸 𝐴 𝐵)4.32𝑚3 𝐺 𝐶)0.44𝑚3

c) 20 d) 24 e) 28

𝐵

x a x a

𝐶 20.-. 𝐷

Calcular el volumen de un hexaedro regular cuya diagonal mide 20 3 cm.

a) 80 cm3 14.Calcular el volumen de un paralelepípedo rectángulo, sabiendo: a) Que las tres aristas que concurren en un mismo vértice están en progresión aritmética. b) Que la suma de estas aristas es 18m. c) Que la superficie total del 2 paralelepípedo es 208𝑚 . 𝐴)192𝑚3 𝐵)182𝑚3 3 𝐶)172𝑚 𝐷)142𝑚3 𝐸)156𝑚3 15.En un recipiente cúbico que contiene 42𝑚3 de agua se introduce un cubo macizo de tal manera que el agua se eleva hasta enrazar

b) 16

6.

a

𝐷)0.23𝑚3 𝐻

e) 84

a) 120º (A-2) b) 180º (A-2)

𝐴)0.432𝑚3 𝐵)4.32𝑚3 𝐶)0.442𝑚3 𝐷)0.42𝑚3 𝐸)0.32𝑚3 12.El volumen de un cubo es igual al cubo de su diagonal mayor dividido entre: 𝐴)2√2 𝐵)3√2 𝐶)2√3 𝐷)3√3 𝐸)3

𝐸)0.48𝑚3

Hallar el número de vértices de un prisma que tiene 120 aristas.

b) 800 cm3

c) 400 cm3 d) 80 dm3 e) 8 dm3

D a a a

SEMANA 13 ÁREAS Y VOLUMENES EN SOLIDOS GEOMETRICOS: CILINDRO, CONO Y 197 | P á g i n a

DECIMO NOVENA EDICIÒN ESFERA, TRONCO CONO. 1) Cilindro Recto. AL  2 Rg Ar  2 R( g  R)

GEOMETRIA 2017-II DE

CILINDROS,

UNSM - CPU-T 4. ESFERA 1) Área y volumen

 ( S .E )  4 R 2 4 VE   R 3 3

V  R 2 g

2) Cilindro Oblicuo h  gsena

2) Huso esférico y cuña esférica

S HE 

AL  2 Rg Ar  2 Rg  2S V  S .h   R 2 g

R: radio de la sección recta 3) Tronco del Cilindro a) Tronco del Cilindro Recto. g1  g 2 2 AL  2 R g

g

VCE

R 2

90º R 3  270º

PROBLEMAS RESUELTOS 1. Calcule el área de la superficie lateral de un cilindro de revolución. Si el área de la región rectangular que la genera es 20

Solución

V   R2 g

b) Tronco de Cilindro Oblicuo AL  2 R g

SL= área lateral = 2𝜋Rg….. Por dato: gR= 20… (2) en (1): SL = 2𝜋(20) = 40𝜋Rp.

V   R2 g g

g1  g 2 2

2. CONO Cono Circular recto

AL   R g

Ar   R g   R 2 V   R2 h / 3 1) Desarrollo de la Superficie Lateral de un Cono. AL  Area Sector Circ. AVB

 Rg   g 2 R g

 360º



 2.-Semejanza de Conos 360º

2. Calcula el volumen de un cono circular recto de radio = 3m y la altura es el cuádruple del radio. Solución R=3m (radio) Altura: h = 4(3)= 12m V=

πx32 x12 3

= 108πm3 Rpta.

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Calcular el área de la superficie lateral de un cilindro de revolución, si el área de la 2 región rectangular que lo genera es 30u A)60ᴨ B)90ᴨ C)120ᴨ D)45ᴨ E)75ᴨ 2.-Calcular el área de la superficie lateral del cilindro , si O es centro y OB = 8

s h2 r2 g2  2  2  2 S H R G 3. Cono oblicuo Elipse: a = radio mínimo b = radio máximo

S   ab 1 V S .h 3

1) Tronco de Cono AL=𝝅𝒈(𝑹 + 𝒓) AT= 𝝅𝒈(𝑹 + 𝒓) + 𝝅(𝑹𝟐 + 𝒓𝟐 ) 𝒉 V= 𝝅 (𝑹𝟐 + 𝒓𝟐 + 𝑹𝒓) 𝟑

A)64π D)48 𝜋

B) 16𝜋 E)24 𝜋

C)32𝜋

3.En un tronco de cilindro recto y sus generatrices miden 10 y 6.Calcular su volumen, si sus bases forman un diedro de 45°. A)64ᴨ B)30ᴨ C)36ᴨ D)32ᴨ E)26ᴨ 4.El desarrollo de la superficie lateral de un cono de revolución es un sector circular de radio 6 y ángulo central de 120°.Calcular el radio de la base del cono.

198 | P á g i n a

DECIMO NOVENA EDICIÒN A)2 D)3.5

GEOMETRIA 2017-II B)3

C)2,5

E)2√2

5.Calcular el área total de una semiesfera, en la cual se encuentra inscrito un cubo de arista 2 y una de sus caras descansa en la base de la semiesfera. A)12𝜋 B)16𝜋 C)18 𝜋 D)20 𝜋 E)10 𝜋 6.Calcular el área lateral del cilindro circular recto mostrado, si el área de la región triangular mostrada es 6

UNSM - CPU-T

relación de los volúmenes del cono total ( V 1 ) y del tronco de Cono ( V2 ) a)7/6 b) 8/5 C) 2 d)3/2 e)8/7 11.Calcular el volumen de un cilindro recto, si la media armónica entre el radio básico y la altura es 11/5 y el área de su superficie total es 20𝑚2 . 𝐴)11𝑚3 𝐵)12𝑚3 𝐶)20𝑚3 𝐷)4𝑚3 𝐸)16𝑚3 12.Una población tiene 5000 habitantes que consumen en promedio por persona 12 litros de 𝐻2 𝑂 diariamente. Determinar el radio de la base de un pozo cilíndrico que abastezca a la población y que tenga además capacidad para una reserva de 25% del consumo diario y tal que la altura sea 4 veces el diámetro. 1 3 75

𝐴) √ 2

𝜋

1 4

75 𝜋

1 2

𝐵) √ a) 24 b) 9 c) 6 d) 18 e)12 7. Calcule el volumen del Cono circular recto mostrado. a) 81 b) 54 c) 18 d)27 A

e) 72 3√10

h r

O 10 - h

√10

C 8.Calcular el valor de x si el volumen del cilindro circular recto es el triple del área lateral a) 2 b) 4 c) 8 d) 1 e)6

o x

𝐶) √ 3

75 𝜋

𝐷)

1 2

75 𝜋

𝐸) √

13.El volumen de un cono es de 27𝑚3 ; se 3√10 triseca la altura del cono por dos paralelas a la base. Calcular el volumen del solido ubicado en la parte central.  𝐵)12𝑚3 𝐴)10𝑚3 c)7m3 𝐷)4𝑚3 𝐸)6𝑚3 √10 14En el grafico, Calcular la razón de volúmenes de los solidos mostrados, si sus bases tienen igual área. 𝐴) 13 b)12 𝐶) 15 𝐷) 10 𝐸) 14

9.Calcular el volumen del cono circular recto mostrado a) 92 b) 81 c)108 d) 144 e) 84 2a a

15.Se funde una bola de plomo de radio 8cm. Para obtener luego bolitas del mismo material, con radio 1cm. Cada uno. ¿Cuantas bolitas, como máximo, se obtendrán. 𝐴) 8 𝐵) 16 c)64 𝐷) 32 𝐸) 128 𝑅 = 8𝑐𝑚 𝑟 = 1𝑐𝑚

3 2

10.Se traza un plano paralelo a la base de un cono por el punto medio de su altura. Hallar la

. . 199 | P á. g i n a . "n"𝑏𝑜𝑙𝑖𝑡𝑎𝑠 .

3

𝐸) √


GEOMETRIA 2017-II

16.-Calcule el volumen del cilindro de revolución generado por una región rectangular de diagonal 5  que gira alrededor de su lado mayor, dicho lados se encuentran en la relación de 1 a 2.

entre sí, llamadas: Ejes de Coordenadas X e Y respectivamente. El punto de intersección de estos dos ejes es denominado El Origen de Coordenadas, y coincide con el número cero en ambos ejes. 2. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS La distancia entre dos puntos P1(x1,y1) y P2(x2,y2) está dada por la fórmula: Y y2

D) 5 

C) 10 5  

3

y2-y1

y1

3

3 4 3 E) 2 B)

C)

6 7

18.-Calcule el volumen de un cilindro de revolución inscrito en un cubo de arita 3 m.

A) 9  m3 C) 27  m E)

B) 21  m3 3

D)

9  m3 2

27  m3 2

19.-Calcule el volumen de un cilindro de revolución circunscrito a un hexaedro regular de 8m3 de volumen. 3

x2-x1

3

17.-Calcule la relación entre los volúmenes de los cilindros que genera un rectángulo de 3 m y 4m de lados, cuando gira alrededor de cada uno de ellos.

1 2 9 D) 16

P1 x1

D(P1,P2) =

A)

P2

B) 5  3

A) 5 5   3

E) 10 2  

UNSM - CPU-T

3

A) 5  m

B) 3  m

C) 4  m3

D) 6  m3

E) 8  m3 20.-Se inscribe un prisma regular hexagonal en un cilindro; en que relación estarán el radio y la altura del cilindro si su área es  veces el área lateral del prisma. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 SEMANA 14 SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES 1. PLANO CARTESIANO Sistema constituido por un plano y dos copias de la recta real IR, perpendiculares

x2

X

(x 1  x 2 ) 2  ( y1  y 2 ) 2

3. PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO El punto medio entre dos puntos P1(x1,y1) y P2(x2,y2) está dado por la fórmula: M = ( x1  x 2 , y1  y2 ) 2

2

4. DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA. Sean los puntos P1(x1,y1), P2(x2,y2) y P(x,y) un punto que divida a AB en la razón de r = m , entonces: n x  rx 2 y1  r.y 2 P=( 1 , ) 1 r 1 r

P2(x2,y2) P

P1(x1,y1)

Sean A, B, y C los vértices de un triángulo, entonces las coordenadas del baricentro “G” del triángulo será:

G=

5. INCLINACIÓN DE UNA PENDIENTE DE UNA Y RECTA y2 La pendiente de la recta que pasa por los puntos P1(x1,y1) y y1 P2(x2,y2) está dada por la fórmula: y y m = tg = 2 1 x 2  x1

A BC 3

RECTA

Y

P2

y2-y1

P1 x1

x2-x1 x2

X

Donde  : ángulo de inclinación 6. RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES a) L1 y L2 son paralelas si L sus pendientes Y respectivas son iguales. (L1 // L2  m1 = m2) a  b) L1 y L2 son 0 perpendiculares (ortogonales) si sus pendientes respectivas verifican: m 1.m2 = -1. (L1  L2) 7. ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS

200 | P á g i n a

X


GEOMETRIA 2017-II

UNSM - CPU-T

Sea  el ángulo que forman las rectas L1 y L2 con pendientes respectivas m 1 y m2, se define: Y

L2

L1 

tg =

m 2  m1 1  m 2 .m1

En el grafico se observa

X

12+0 8+0

8. FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA: La forma general de la ecuación de una recta es: Ax + By + C = 0 9. FORMA PUNTO PENDIENTE DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA: Sea la pendiente de la recta m y el punto P1(x1;y1) por donde pasa, la forma es: y – y1 = m(x – x1) 10. FORMA PENDIENTE ORDENADA DE LA ECUACIÓN DE UNA Y L RECTA: Sea la pendiente m de la recta y la ordenada b b, la forma es: y = mx + k X

2.

L M

11. FORMA SIMÉTRICA DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA: Y

A  L1 Dos puntos A y A` son simétricos con relación a una recta L si el segmento que los une es perpendicular a L en el punto medio M. Si L1 es la recta que contiene al segmento

b L

x y  1 a b

a

X

AA`, su pendiente es: 𝑚1 = −

12. DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA Sea la recta L: Ax + By + C = 0 y un punto Q(x1,y1), entonces la distancia del punto Q a la recta L está dada por Y

d

d=

0

es la pendiente de L. entonces 4

L1: 3x - 4y + 14 = 0 Para hallar M resolvemos simultáneamente las ecuaciones de L y L1 y obtenemos 6 18 5 5

M (− ,

).

Si las coordenadas de A` son ( x, y ), aplicando la formula de punto medio se tiene:

X

M

, donde

3

A 2  B2

ROBLEMAS RESUELTOS Calcular la distancia entre los puntos medios de las distancias de ( 0, 0 ) a los puntos ( 12, 8 ) y ( 4, - 6 ) a) √65 b) 8 c) 8,5 d) 5√5 e) 8√2 SOLUCION (12, 8)

4 3

1 𝑚

L1: y – 2 = − (𝑥 + 2) o tambien

| Ax1  By1  C |

13. ÁREA DE UN TRIÁNGULO: Dados los puntos A(x1,y1), B(x2,y2) y C(x3,y3), el área del triángulo formado por los puntos A, B y C está dado por: x y1 1 1 1 A = x 2 y2 1 2 x 3 y3 1 1.

𝑚=−

Q L

4 +0 −6 + 0

M( , ); N( , ) 2 2 2 2 O también M ( 6, 4 ) y N ( 2, - 3 ) Luego: MN = √(2 − 6)2 + (−3 − 4)2 = √16 + 49 MN = √65 Determinar el punto simétrico del punto A( -2, 2 ) con relación a la recta L1: 4x + 3y – 3 = 0 a) ( 2, 3) b) (1/2, 1/3 ) c) ( -2/5, 16/5 ) d) ( -1/3, 2/5 ) e) ( 3/5, -2/5 ) SOLUCION A` 

6

− = 5

18 5

3.

=

𝑥−2

2 𝑦+2 2

entonces 𝑥 = − entonces 𝑦 =

2 5

16 5

Por lo tanto A` ( -2/5, 16/5 ) Hallar las coordenadas de un punto equidistante de los vértices del triángulo ABC, donde A( 2, - 1 ), B( 3, 6 ) C( - 5, 0 ) a) ( 2, 3) b) (1/2, 1/3 ) c) ( -1, 3 ) d) ( -3, 5 ) e) ( 5, - 2 ) SOLUCION B Y

C

p

X A 201 | P á g i n a


GEOMETRIA 2017-II

Sea P(x,y) el punto que equidista de A, B y C es decir d( P, A ) = d( P, B ) = d ( P, C ), cada una de estas distancias son: 𝑑(𝐴, 𝑃) = √(𝑥 − 2)2 + (𝑦 + 1)2 𝑑(𝐵, 𝑃) = √(𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 6)2

4.

𝑑(𝐶, 𝑃) = √(𝑥 + 5)2 + (𝑦)2 Igualando dos a dos y elevando al cuadrado ambos miembros, tenemos: ( x – 2 )2 + ( y + 1 )2 = ( x – 3 )2 + ( y – 6 )2 ( x – 2 )2 + ( y + 1 )2 = ( x + 5 )2 + y 2 Reduciendo 2x + 14y – 40 = 0 -14x + 2y – 20 = 0 Resolviendo simultáneamente obtenemos X = -1 , y = 3 Por lo tanto el punto es P ( -1, 3 ) Hallar el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos P( -2, 1 ) y Q( 2, -3 ) SOLUCION Y L   M = tg  =

−3−1 2+2

5. Tiburcio desea ubicarse en un punto del eje X para poder observar a sus dos enamoradas que se encuentran en los puntos 𝐴(−3; 7) 𝑦 𝐵(3; 5), de manera que los ángulos de observación con respecto al eje X sean iguales. Hallar el punto donde debe ubicarse el terrible Jaimito. 1 2 1

que sea equidistante de los puntos: A(0; 4) y B(-3; - 3) A) 2/3

3𝜋 4

D) -1/2

C) -2/3 E) -1/3

4 A(0;4)

P(x;0)

7.

𝐵) −

16√3 3

𝐶)

-3

-3

𝐸) −

6√5 5

𝐷)

A)X-3y-12=0

B)x+3y-12=0

C)x+y-12=0

D)x-2y+12=0

E)x+3y +

6=0

Determina la ecuación de la recta mediatriz del segmento AB, si A(-2;4) y B(2; -2) A)X-2y+2=0 2=0

9.

9 10 7 − 10

Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(-3; 5) y B(6;2)

16√5 5

𝐵) 7 8

B) 1/3

B(-3;-3)

4. Hallar la distancia comprendida entre las rectas paralelas 𝐿1 : 3𝑥 − 4𝑦 + 8 = 0 𝑦 𝐿2 : 6𝑥 − 8𝑦 + 9 = 0.

𝐸) −

2

X

3. Los vértices de un triangulo son 𝐴(−4; 1), 𝐵(−3; 3), 𝑦 𝐶(3; −3).Hallar su área. 𝐴)10𝑢2 𝐵)9𝑢2 𝐶)8𝑢2 𝐷)7𝑢2 𝐸)6𝑢2

7 10 7 𝐶) 8

1

6. Determinar un punto en el eje de las “X”

8.

𝐴)

𝐶) ; 1

𝐸) − ; −1

2

2. Hallar la distancia dirigida de la recta 𝐿: 𝑥 + 2𝑦 + 7 = 0 al punto 𝑃(1; 4).

𝐷)

1 2

𝐵) − ; 0

𝐷) ; −1

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Hallar el área del triangulo, cuyos vértices son 𝐴(−1; 1), 𝐵(3; 4) 𝑦 𝐶(5; −1). 𝐴)10𝑢2 𝐵)11𝑢2 2 𝐶)12𝑢 𝐷)13𝑢2 𝐸)14𝑢2

16√5 5 8√5 − 5

1 2

𝐴) ; 0

= -1 entonces tg  = - 1

De donde  = 135º o también  =

𝐴) −

UNSM - CPU-T

B)2x+3y+3=0

D)2x-3y+3=0

C)x+2y-

E)3x-2y+3=0

Hallar la ecuación de la circunferencia con centro sobre el eje “x” y que pasa por los puntos: A(1;3) y B(4;6). A)(x-5)2+y2=3B)(x-2)2+y2=25

C)(x-7)2+y2=45

D)(x-6)2+y2=28

E) (x-3)2+y2=55 10. Una circunferencia tiene por centro M(6;4) y contiene al punto P(2;1) determinar su ecuación. A) X2+y2-12x-8y-9=0 B) x2+y2-6x+12y6=0 C) x2+y2-8x+4y-6=0 D) x2+y2-9x+6y-3=0 E) x2+y26x+2y=5 202 | P á g i n a


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11.-Hallar la distancia del punto (−4; 3), a la recta 𝐿: 𝑦 = 2𝑥 + 5 6

𝐴) √5 5

6

𝐵) √3 5

5

3

𝐶) √5 6

𝐷) √5 5

6

A) ( 3,3 ) D) ( 8, 4 )

B) ( 4, 5 ) E) ( 6, 4 )

C) ( 8, 0 )

𝐸) √5 7 12.-La mayor base de un trapecio isósceles une los puntos (−2; 8) 𝑦 (−2; −4). Uno de los extremos de la otra base tiene coordenadas (3; −2). La longitud de la base menor, es : 𝐴) 8

𝐵) 6 𝐸) 12

𝐷) 10

18.-Calcular la ecuación de la recta punto pendiente:

𝐶) 9 (0,1)

13.-Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento AB, donde: 𝐴(−4; 3) 𝑦 𝐵(2,9). 𝐴) 𝑦 = 𝑥 + 5 𝐵) 𝑦 = 𝑥 − 5 𝐶) 𝑦 = −𝑥 + 5 𝐷) 𝑦 = −𝑥 − 5 𝐸) 𝑦 = −𝑥 + 3 14.-El área de un triangulo 4𝑢2 ; dos de sus vértices son los puntos: 𝐴(2,1) 𝑦 𝐵(3; −2); 𝑒𝑙 tercer vértice C está situado en el eje X. Determinar las coordenadas del tercer vértice. 𝐴) (5; 0) 𝐷) (−5; 0)

𝐵(4; 0) 𝐸) (−4; 0)

(-1,0)

𝐵(3; −1) 𝐸) (−4; 0)

QB QA

=-

a) y =

𝐶) (−3; −1)

c)

y = 2x+1

19.-El punto Q(- 3;1) divide al segmento de recta interceptado por los ejes según la razón:

𝐶) (3; 0)

15.-Dados tres vértices de un paralelogramo 𝐴𝐵𝐶𝐷: 𝐴(3; 5), 𝐵(5; −3)𝑦 𝐶(−1; 3). Determinar las coordenadas del vértice D, opuesto a B.

x

a) y = x-1 b) y = x+1 d) y = 1-x e) x – 3

1 2

1 2

d) y =

1 2

Hallar la ecuación de la recta 1

𝑥 +

c) y =

𝐴) (3; 1) 𝐷) (−3; 1)

L

y

1 6

𝑥 +

𝑥−

1

1

6

2

b) y = − 𝑥 +

6

3 2

1 6

e) y =

1 6

𝑥 −

3 2

20.-Hallar la ecuación de la recta que pasa por el 1er., 2do. y 4to. cuadrante. El punto (3,2) pertenece a ellas y los interceptor son iguales.

16.-Calcular la distancia que une los puntos medios de los segmentos AB y CD .

(0,b)

C(6,11)

A (3,2) (b,0)

A(1,7) B(13,5) D(4,1)

a) √2

B) 2 D) 1 E) √5 17.-Calcule el punto medio de y

O

45º

B

b) y = - x + 5

d) y = 2x + 5

e) y = x – 3

C) 3

SEMANA 15 AB

,

LA CIRCUNFERENCIA Y LA PARÁBOLA EN EL PLANO CARTESIANO. SUS ECUACIONES. CONCEPTO: Es un lugar geométrico de todos los puntos de un plano que están a una misma distancia de otro punto fijo del mismo plano denominado centro. ECUACION ORDINARIA DE LA CIRCUNFERENCIA (C)

x

203 | P á g i n a

A (4,8)

D

a) y = x + 5 c) y = x - 5


GEOMETRIA 2017-II

UNSM - CPU-T

Por el teorema de Pitágoras

CQP:

C: x  h   y  k   r 2

2

2

r

si p>o, la parábola se abre hacia la derecha el eje y; si p < o la parábola se abre hacia la izquierda del eje “y”, tal como se muestra:

De la figura y la ecuación: C: (h; k): centro de circunferencia r: radio de la circunferencia P (x; y): punto genérico. Ecuación canónica de la circunferencia. Cuando el centro de la circunferencia está en el orígen de coordenadas (0; 0)

x2  y2  r 2

cuando el foco está en el eje “y”

C: “ecuación canónica” Ecuación general de la circunferencia. Desarrollando la ecuación ordinaria: C: x  y  2ky  h  k  r  0 ; haciendo: 2

2

2

2

2

 2h  A;2K  B y h 2 k 2  r 2  C ; luego la ecuación

general

es:

C:

x 2  y 2  AX  BX  C  0 LA PARABOLA: es el lugar geométrico de todos los punto del plano P(x; y), cuya distancia “d” a la recta “L” (directriz) es igual a la distancia “d” al punto F(foco) Elementos: F: foco

 L : Directriz

x 2  4 py

2. ECUACION DE LA PARABOLA VERTICE EN (h ; k) eje // al eje x O’: vértice de la parábola (h,k) F: foco (h+p, k) P: punto genérico de la parábola P(X, Y)

CON

PM  PF L: directriz: x = h – p

O: vértice

2 p: Y  K   4 px  h

OX : Eje de la parábola M1M 2 : Cuerda focal

 si p>0; la parábola se abre a la derecha  Si p<0; la parábola se abre hacia la izquierda

Q1Q2 : Lado recto PF: radio vector o radio focal. Longitud de lado recto: LR= Q1Q2  4 p 1. ECUACION DE VERTICE EN CORDENADAS

Su ecuación es:

LA PARABOLA EL ORIGEN

Por definición de la parábola: Pero:

FP  MP

FP 

x  p 2   y  o2  x  p 2  Y 2 …(1)

MP 

x  p2   y  y 2  x  p2 …(2)

(1)=(2):resolviendo → El foco está en el eje x

y 2  4 px

    P: x  h  4 p y  k → Eje // al eje y  Si p>0 la parábola se abre hacia arriba  Si p<0; la parábola se abre hacia abajo PROBLEMAS RESUELTOS 1. Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 13, cuyo centro está en el origen de coordenadas. Solución X2 + y2 =132 → x2 + y2 = 169… Rpta. 2. Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 11, cuyo centro está en el punto (-3; 4) Solución C: (x+3)2 + (y - 4)2 = 112 C: (x +3)2 + (y - 4)2 = 121… Rpta. 3. La ecuación de un parábolas es: y2 = 5x. Hallar las coordenadas del vértice, las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz. 2

DE DE

204 | P á g i n a


GEOMETRIA 2017-II

Solución.  Las coordenadas del vértice son: (0; 0)  Coordenadas del foco: (4PX = 5X) → P= 5/4; el foco es: F(5/4; 0) 5  Ecuación de la directriz: X = -p→x =4 PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Si A(3;2) y B(1;6) son los extremos de uno de los diámetros de la circunferencia. La ecuación de la circunferencia es: 2

2

A) X +Y +2X+8Y-9 = 0

d) ( x – 5 )2 + ( y - 2 ) 2 = 35 e) ( x – 7 )2 + ( y - 2 ) 2 = 45 8.-Hallar el área del circulo cuya ecuación es 9x2 + 9y2 + 72x - 12y + 103 = 0 A)3𝜋B)4𝜋 C)5𝜋 D)6𝜋

C) X2+Y2-2X-8Y-6 = 0 D) X2+Y2+2X+8Y+15 = 0

9.-Hallar la ecuación de la Parábola de vértice en el origen y foco el punto F ( 3, 0) a) y2= 12x y2= 15x

E) X +Y -2X+8Y-12 = 0 una circunferencia, la longitud de esta es: A) 8𝜋 B) 12𝜋 C) 14𝜋 D)10𝜋

E) 6𝜋

3. La ecuación de la circunferencia con centro en el punto (-2;3) y que pasa por el punto (5;-1), es: A) X2+Y2-4X-6Y+8 = 0

d) y2 + x – y + 2 = 0 e) y2 - x + 2y +2 = 0 11-Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia 𝑥 2 + 𝑦 2 = 5 en el punto 𝐴(−1; 2). 𝐴) 𝑥 + 2𝑦 + 5 = 0 𝐵) 𝑥 − 2𝑦 + 5 = 0 𝐶) 𝑥 − 2𝑦 − 5 = 0 𝐷) 3𝑥 + 2𝑦 + 5 = 0 𝐸) 𝑥 − 𝑦 + 5 = 0

C) X2+Y2-4X-6Y+9 = 0 D) X2+Y2+4X-6Y-12 = 0 E) X2+Y2+4X+6Y-9 = 0 4.-La ecuación de la Parábola cuyo vértice es el punto (3,4) y cuyo foco es el punto (3;2) es: A) X2-6X+8Y-23 = 0 C) X2+4X-6Y-15 = 0

B) X2-2Y-8Y+13 = 0

C) V(0;0),F(3/4),F(3/4;2),d:(x=-5/4) V(1;1),F(3/2;2),d:x=2/3

B) D)

−5 4

6.-Hallar la Ecuación cuyo centro es el punto

de la circunferencia

C( 7, - 6 ) y que pasa por el punto A( 2, 2 ) a) ( x – 3 )2 + ( y + 2 ) 2 = 79 b) ( x – 7 )2 + ( y + 6 ) 2 = 89 c) a) ( x – 6 )2 + ( y + 7 ) 2 = 99 d) ( x – 5 ) + ( y - 7 ) = 89 2

e) ( x – 7 )2 + ( y - 6 ) 2 = 69 7.-Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro esta sobre el eje X y que pasa por los puntos A( 1, 3 ) y B( 4, 6 ) 2

= 39

b) ( x – 7 )2 + ( y - 3 ) 2 = 45 c) ( x – 7 )2 + y

2

𝐴) 3𝑥 − 4𝑦 + 43 = 0 𝐵)5 𝑥 − 2𝑦 + 20 = 0 𝐶) 7𝑥 − 5𝑦 − 47 = 0 𝐷) 4𝑥 + 9𝑦 − 43 = 0 𝐸) 3𝑥 − 8𝑦 + 43 = 0

E) X -6X-8Y+15 = 0

A) V(0;0), F(-5/4;0),d:x= ½ V(0;0);F(5/4,0),d:(x=3/2)

a) ( x – 3 )2 + y

12.-Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia (𝑥 + 2)2 + (𝑦 − 3)2 = 25 en el punto A (-5; 7).

2

5.-La ecuación de una parábola es: y2 = 5X. Hallar las coordenadas del vértice, las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz.

2

d)

c) y2 - x + 2y = 0

B) X2+Y2-4X-6X+12 = 0

E) V(0;0),F(5/4;0),d:x=

c) y2= 8x

b) y2 - x – 2y = 0

2. Si X2+Y2+6X+10Y-15 = 0, es la ecuación de

D) X -6X+4Y-11 = 0

b) y2= - 12x e) y2= 20x

a) y2 + x – 2y +2 = 0

2

2

E) 7𝜋

10.-Hallar la ecuación de la parábola cuyo eje es paralelo al eje X y que pasa por los tres puntos A( 0, 0 ), B( 8, -4 ) y C( 3, 1)

B)X2+Y2-4X-8Y+15 = 0

2

UNSM - CPU-T

= 45

13.-Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen y directriz la recta x+5=0 𝐴)𝑦 2 = 20𝑥𝐵)𝑦 2 = −20𝑥𝐶)𝑦 2 = 10𝑥𝐷)𝑦 2 = 5𝑥𝐸)𝑦 2 = −5𝑥 14.-El cable de suspensión de un puente colgante adquiere la forma de un arco de parábola, los pilares que lo soportan tienen una altura de 60m y están separados una distancia de 500m sobre la calzada del puente, y como eje Y es simetría de la parábola. Hallar la ecuación de esta. 𝐴) 𝑥 2 = 1250(𝑦 + 20) 𝐵) 𝑥 2 = 1250(𝑦 + 10) 𝐶) 𝑥 2 = −1250(𝑦 − 10) 𝐷) 𝑥 2 = 1250(𝑦 − 20) 𝐸) 𝑥 2 = 1250(𝑦 − 10) 15.- Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen y foco el punto F (0;-3). 205 | P á g i n a


GEOMETRIA 2017-II

UNSM - CPU-T

𝐴)𝑥 2 = 12𝑦 𝐵)𝑥 2 = 15𝑦 𝐶)𝑥 2 = −15𝑦 𝐷)𝑥 2 = −12𝑦 𝐸)𝑥 2 = 30𝑦 16.-Calcule la ecuación de la circunferencia. A)(X – 5)2 + Y2 = 25 B) (X–5)2 + (Y–5)2 = 25 C)(X + 5)2 + Y2 = 25 D) (X+5)2 + (Y-5)2 = 2 5 E)(X – 5)2 + Y2 = 5

Centro: C(0:0)  F1, F2 : Focos  V1 y V2 : Vértices  B1 y B2 : Extremos del eje menor  Ecuación de la directriz  L1 y L2 : X =  a2/c =  a/e 

18.-Calcular la Ec. de la circunferencia: (T: Punto de Tangencia) A. (x – 2)2 + (y – 4)2 = 4 B. (x – 4)2 + (y – 2)2 = 4 C. (x – 4)2 + (y – 2)2 = 8 D. (x – 4)2 + y2 = 4 E. x2 + (y – 2)2 = 4 19.-Hallar el valor de “k” para que la ecuación x2 + y2 – 8x + 10y + k = 0 represente una circunferencia de radio 7. A) 8 B) -6 C) -12 D) 10 E) -8 20.-Un depósito de agua tiene sección transversal parabólica, cuando el nivel del agua alcanza a una altura de 10, su ancho mide 20. Cuando el nivel del agua desciende hasta la mitad, su nuevo ancho del nivel del agua es: A) 5√2 B) 6√2 C) 7√2 D) 9√2 E) 10√2

SEMANA 16 LA ELIPSE E HIPÉRBOLA EN EL PLANO CARTESIANO CON SUS ECUACIONES La Elipse: Es el conjunto “E” de todos los puntos del plano de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos de ese plano, es una constante.

PF 1  PF 2  2a FORMAS DE LA ECUACIÓN DE UNA ELIPSE: I. Ecuación de la elipse de centro el origen y eje focal paralelo el eje “X”

E:

X2 Y2  1 a2 b2

lado recto = 2b2/a a2  b2 a

Excentricidad: e = c/a = ;c
17.-Calcular el área de un círculo, cuya ecuación es: C : (x – h)2 + (y – k)2 = R2 , Si : OO’ = 6 2 A) 20  B) 24  C) 14  D) 18  E) 22 

TU 

E:

     

X2 Y2  2 1 a2 b

V1, V2 : Vértices F1 y F2 : Focos B1 y B2 : Extremos del eje menor Ecuación de la directriz: L1 y L2 : Y = ∓ a2/c =a/e

TU 

lado recto = 2b2/a*Excentricidad: e

= c/a III. Ecuación de la Elipse de centro en el punto C (h, k) y Eje focal paralelo al eje X. E:

( x  h) 2 ( y  k)2  1 2 a b2

 V1 (h – a, k) Vértices  V2 (h + a, k)  Extremos del eje menor  B1 (h, k + b)  B2 (h, k - b)  Focos F1 (h – c, k), F2 (h + c, k)  Centro: C(h,k) 

a2 C

 Ecuación de la directriz: L1 y L2; x = h IV. Ecuación de la Elipse de Centro el punto C(h, k) y el Eje Focal Paralelo al Eje Y

( x  h) 2 ( y  k ) 2  b2 a2  Vertices : V1 (h, k - a) V2 (h, k + a)  B1 (h – b, k) B2 (h + b, k)

E:

 Y = K  a2/c Ecuación de la directriz  Focos: F1 (h, k - c); F2 (h, k + c) LA HIPÉRBOLA: Es el conjunto “H” de todos los puntos del plano de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias de dos puntos fijos del plano (Focos) siempre es 206 | P á g i n a


GEOMETRIA 2017-II

igual a una cantidad constante positiva “2a” y menor que la distancia entre los puntos (Focos)

d ( P1 F1 )  d ( P1 P2 )  2a FORMAS DE LA ECUACIÓN DE UNA HIPÉRBOLA I. Ecuación de la hipérbola de centro el origen y eje focal el eje X : (forma canónica) Elementos:  C : Centro y Punto medio del F1 F2  V1 y V2: Vértices  F1 y F2 : Focos F1 F2  2c   Eje Transverso: V1 V2  2a

UNSM - CPU-T

      Lado Recto = 2b2/a  Excentricidad e = c/a(e > 1) Asíntotas:



b ( x  h) a

y–k= Eje focal y = k Eje conjugado: x = h III. Ecuación de la hipérbola de centro en el punto C(h, k) y eje focal o transverso paralelo al eje y

 Eje Conjugado: B1 B2  2b

H:



x2 y2  1 a2 b2

H:

( y  k ) 2 ( x  h) 2  1 a2 b2

 Excentricidad :

c , (e  1) e= a

d1; d2: Directrices TU : Lado Recto

 Asíntotas:



MI : Cuerda focal; PF1 y PF2 : radio vector Asintotas.

 Hiperb. Horiz.: y =  bx/a

ax  Hiperb. Vertic.: y =  b I.

Ecuación de la Hipérbola con centro el origen y eje focal el eje “y”

H:

y–k=  Eje focal : x = h  Eje conjugado: y = k PROBLEMAS RESUELTOS 1. Una Elipse tiene su centro en el origen y su eje, mayor coincide con el eje “x”. si sus vértices son los puntos (5; 0) y (-5; 0) y sus focos (4; 0) y (-4; 0). Hallar la ecuación de la Elipse. Solución x2

y2

Tenemos: 2 + 2 = 1 a b Calculo de a2: si a = 5→ a2= 25

Y2 X2  2 1 a2 b

x2

En toda hipérbola se cumple:  Lado recto = 2b2/a  a2 + b2 = c2; c = a/e  d (C, L1) = d (C, L2) = a/e ; e > 1 Observación si a = b→la hipérbola es equilátera luego e= 2 II. Ecuación de la Hipérbola de centro en el punto C (h, k) y eje focal paralelo al eje X.

( x  h) 2 ( y  k ) 2 H : 2  2 1 a b

 

a ( x  h) b

y2

Luego: + = 1…. Es la ecuación 25 9 2. Determinar la ecuación de la hipérbola si sus focos están en F1(-2;0) y F2(2;0), uno de los vértices en (1; 0) Solución Se sabe que la ecuación de la hipérbola de focos sobre el eje y centro en el origen de coordenadas es: x2 y2 + = 1; c > 𝑎 a2 b2 Se cumple: b2+a2=c2; en el problema si F1(- 2;0) y F2(2;0) de donde c=2, además como V2(1; 0) se deduce que a = 1. Luego como: b2 + a2 = c2 → b2 + 1 = 4. → b = √3; finalmente de la ecuación de la hipérbola mencionada, tenemos: x2

2 −

1

y2 (√3)

2 =1 →

x2 1

−

y2 3

=1ó

3x – y = 3 Rpta. 3. Hallar la ecuación de la Elipse cuyo semieje mayor y sus focos son los puntos (0; 1) y (4; 1) Solución 2

2

207 | P á g i n a


GEOMETRIA 2017-II

Como los focos están en (0; 1) y en (4; 1) el centro de la elipse es (2; 1), Además se deduce que la distancia desde el centro hasta uno de los focos es: c = 2 y por dato a = 3. Por lo tanto usando: c2 = a2 

b2 → b = √a2 − c 2 = √9 − 4=√5 Puesto que el eje mayor de la elipse es paralelo al eje x, la ecuación es: (x−2)2 9

(y−1)2

+

5

= 1 Rpta.

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Una elipse es tangente a una circunferencia de tal manera que sus focos se encuentran también sobre la circunferencia.¿ Cuál es la excentricidad de la elipse. 𝐴)

√2 2

𝐵)

√2 3

𝐶)

16

𝐷)

7

8

√3 5 𝑥2 + 𝑎2

𝐸)

9

2. Si la ecuación de la elipse es

𝑦2 𝑏2

= 1 .¿

Cual es la distancia del centro de la elipse de una cuerda AB paralela al eje mayor cuya longitud es “a”. 𝐴)

𝑏√2 4

𝐵)

𝑏√10 3

𝐶)

16 7

𝐷)

8 9

𝐸)

√3 𝑏 2

3. Hallar la ecuación de la elipse cuyos vértices con los puntos (4; 0) y (-4; 0) y cuyos focos con los puntos (3; 0) y (-3; 0). 𝑥2

𝑦2

𝑥2

7 𝑦2

𝐴) 16 +

=1

𝐵) 𝑥2

𝑥2

𝑦2

7 𝑦2

𝐷) 14 + 16 = 1 𝐸) 25 +

𝑥2

+ 16 = 1

7

𝑦2

𝐶) 16 + 14 = 1

=1

4. Los vértices de una elipse son los puntos (0; 6) y sus focos son los puntos (0; 4). Hallar su ecuación. 𝑥2

𝑦2

𝐴) 20 + 36 = 1 𝐷)

𝑥2 20

+

𝑦2 16

𝐵)

= 1 𝐸)

𝑥2 25

𝑥2

7 𝑦2

+

𝑦2

𝑥2

+ 36 = 1

20

𝑦2

𝐶) 36 + 20 = 1

=1

5. Hallar los radios vectores del punto P(3;7/4) que esta sobre la elipse 𝜀: 7𝑥 2 + 16𝑦 2 = 112 7 25 4 4

𝐴) ;

𝐵)

25 7 ; 4 4

7 25 3 3

𝐶) ;

7 25 5 7

𝐷) ;

7 25 2 2

𝐸) ;

6. Hallar e identificar la ecuación del lugar geométrico de los puntos medios de las ordenadas de los puntos de la circunferencia : 𝑥 2 + 𝑦 2 = 9

7. Los focos de una elipse son los puntos 𝐹1 (3; 8), 𝐹2 (3; 2) y la longitud de su eje menor es 8. Hallar su excentricidad. 6 5

𝐵)

10 3

𝐶)

3 5

𝐷)

2 5

𝐸)

9. El punto medio de una cuerda de la elipse 𝑥 2 + 4𝑦 2 − 6𝑥 − 8𝑦 − 3 = 0 es el punto M (5; 2). Hallar la ecuación de la cuerda. 𝐴)𝑥 + 2𝑦 − 9 = 0 𝐵)𝑥 + 2𝑦 + 9 = 0 𝐶)2𝑥 + 𝑦 − 9 = 0 𝐷)𝑥 − 2𝑦 − 9 = 0 𝐸)2𝑥 + 𝑦 − 9 = 0

10. Hallar la ecuación de la elipse con centro (0, 0) eje focal en el eje Y, que pasa por P(1; 4) y la relación del LR a la semidistancia focal es √2 𝐴)𝑥 2 + 4𝑦 2 = 9 𝐵)𝑥 2 − 𝑦 2 = 18 𝐶)2𝑥 2 + 𝑦 2 = 18 𝐷)4𝑥 2 + 𝑦 2 = 9 𝐸)3𝑥 2 − 𝑦 2 = 18 11. Los extremos del eje conjugado de una hipérbola son los puntos (0; 3), y la longitud de cada lado recto es 6. Hallar su excentricidad. 𝐴)√2 𝐵)√3 𝐶)3√2 𝐷)3√2 𝐸)5√2 12. Hallar las longitudes de los radios vectores del punto P(6; 5) de la hipérbola 5𝑥 2 − 4𝑦 2 = 80. 𝐴)4; 13 𝐵)10; 13 𝐶)6; 5 𝐷)5; 13 𝐸)3; 5 13. Hallar la distancia del foco de la derecha de la hipérbola 16𝑥 2 − 9𝑦 2 = 144 a una de sus asíntotas. 𝐴)4 𝐵)2 𝐶)5 𝐷)1 𝐸)3 14. Hallar la ecuación de la hipérbola que pasa por el punto P(-1; -5) y tiene por asíntotas a los ejes coordenadas . 𝐴)𝑋𝑌 = 5 𝐵)𝑋𝑌 = 10 𝐶)𝑋𝑌 = 25 𝐷)𝑋𝑌 = 15 𝐸)𝑋𝑌 = 20 15. Hallar la ecuación de la cuerda de contacto del punto P(-2;4) de la hipérbola 3𝑥 2 − 2𝑦 2 = 3 𝐴)6𝑥 + 8𝑦 + 3 = 0 𝐵)𝑥 + 8𝑦 + 3 = 0 𝐶)2𝑥 + 8𝑦 − 3 = 0 𝐷)𝑥 − 2𝑦 − 9 = 0 𝐸)2𝑥 + 5𝑦 − 9 = 0 16. Hallar la ecuación de la hipérbola con vértice los puntos 𝑉1 (0; −5), 𝑉2 (0; 5) y la longitud de su lado recto es 18. 𝑦2 𝑥2 − =1 25 45 𝑥2 𝑦2 𝐷) + = 1 20 45

𝐴)

𝐴)𝑥 2 + 4𝑦 2 = 9 𝐵)𝑥 2 − 4𝑦 2 = 9 𝐶)𝑥 2 + 𝑦 2 = 9 𝐷)4𝑥 2 + 𝑦 2 = 9 𝐸)4𝑥 2 − 𝑦 2 = 9

𝐴)

UNSM - CPU-T

1 5

8. Hallar las longitudes de los radios vectores del punto P(2; 1) de la elipse 9𝑥 2 + 𝑦 2 − 18𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0 𝐴)4; 4 𝐵)1,2 𝐶)6; 6 𝐷)5; 5 𝐸)3; 3

𝑥2 𝑦2 + =1 7 36 𝑥2 𝑦2 𝐸) − = 1 25 45

𝐵)

𝐶)

𝑥2 36

+

𝑦2 20

=1

17. Hallar la ecuación de la hipérbola si sus focos son los puntos 𝐹1 (−3; 0), 𝐹2 (3; 0) y su excentricidad 3/2. 𝐴) 𝐷)

𝑦2 𝑥2 − 25 45 𝑥2 𝑦2 2

+

4

𝑥2 7 𝑥2

= 1 𝐵) = 1 𝐸)

2

𝑦2 36 𝑦2

+

−

5

= 1 𝐶)

𝑥2 4

−

𝑦2 5

=1

=1

18. Una hipérbola equilátera tiene su centro en el origen y uno de sus focos es F(0; -√2) . Hallar su ecuación. 208 | P á g i n a


GEOMETRIA 2017-II

UNSM - CPU-T

𝐴)𝑦 2 − 𝑥 2 = 1 𝐵)𝑦 2 + 𝑥 2 = 1 𝐶)𝑦 2 − 2𝑥 2 = 1 𝐷)2𝑦 2 − 𝑥 2 = 1 𝐸)𝑦 2 − 3𝑥 2 = 1 19. Calcular el centro de la hipérbola 4𝑥 2 − 4𝑥𝑦 − 15𝑦 2 − 34𝑥 − 3𝑦 + 4 = 0 𝐴)

63 −5 ; 16 8

𝐵)

−63 5 ; 16 8

7 25 5 3

𝐶) ;

7 25 5 7

𝐷) ;

7 5 2 3

𝐸) ;

20. Hallar la ecuación de la tangente y normal a la hipérbola 3𝑥 2 − 𝑦 2 − 12𝑥 + 2𝑦 = 0 en el punto T (4; 2). 𝐴)𝑥 + 6𝑦 − 16 = 0𝐵)𝑥 + 2𝑦 − 16 = 0 𝐶)2𝑥 + 7𝑦 − 9 = 0 𝐷)𝑥 − 2𝑦 + 16 = 0 𝐸)2𝑥 + 3𝑦 − 9 = 0

209 | P á g i n a

Razon amiento Mate

mático

TARAPOTO - PERÚ

RAZONAMIENTO MATEMATICO


SEMANA N° 01 HABILIDAD OPERATIVA: MÉTODO INDUCTIVO – DEDUCTIVO Introducción: La principal herramienta de razonamiento matemático es el “análisis”, que acompañado de un criterio lógico adecuado, algo de ingenio y habilidad permitirá llevar a la solución de un problema de una manera más rápida y sencilla. El razonamiento matemático se basa en los conceptos matemáticos y establecidos y a partir de ellos se desarrolla. A continuación veamos el estudio de algunos casos sobre el desarrollo abreviado de ciertas operaciones básicas: Producto de un número por otro formado sólo por cifras 9: Se coloca a la derecha del número tantos ceros como nueves tenga el otro y enseguida al número obtenido se le resta el número original: Ej.: 325 𝑥 99 = 32500 − 325 = 32175 65 𝑥 99999 = 6500000 – 65 = 64 99935 Cuadrado de un número que Termina en 5 Para efectuar mentalmente, el cuadrado de un número que termina en 5 se elimina dicho 5. El número que queda se le multiplica por su consecutivo superior y a dicho producto se le pone 25 al final. Ej.: 6252 = 390625

752 = 5625

Problemas sobre Cifras Terminales CASO I: Si un número termina en 0; 1; 5 o 6 al ser elevado a cualquier potencia natural, siempre termina en la misma cifra: (… 0)𝑛 = ⋯ 0; (… 5)𝑛 = ⋯ 5 (… 1)𝑛 = ⋯ 1; (… 6)𝑛 = ⋯ 6 Ej.: En qué cifra termina P: 𝑃 = (43731)50 + (826)130 + (8995)21 + (450)2056 50 𝑃 = (… 1) + (… 6)130 + (… .5)21 + (… .0)2056 𝑃 = ⋯ 1 + ⋯ 6 + ⋯ 5 + ⋯ 0 𝑢 12 𝑑𝑒𝑙𝑎𝑣𝑖𝑑𝑎 𝑃 = ⋯ 2, 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠𝑃𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑒𝑛 2. CASO II: La cifra terminal cuatro a la potencia impar termina 4 y a la potencia par termina 6: (… 4)𝑝𝑎𝑟 = ⋯ 6; (… 4)𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 = ⋯ 4 CASO III: La cifra terminal 9 a la potencia impar termina en 9 y a la potencia par termina en 1. (… 9)𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 = ⋯ 9; (… 9)𝑝𝑎𝑟 = ⋯ 1 CASO IV: Si un número termina en 2; 3; 7 u 8 al ser elevados a una potencia natural, cada grupo de 4 la última cifra se repite. Ej.: (… 2)4 = ⋯ 6; (… 3)4 = ⋯ 1; (… 7)4 = ⋯ 1

CPU – UNSM -T

RAZONAMIENTO INDUCTIVO: Esta es la forma de razonamiento más utilizado en la vida cotidiana, por ejemplo, si tres o cuatro jóvenes rusas son rubias, se puede llegar a la conclusión que todas rusas son rubias. El razonamiento inductivo consiste en analizar casos particulares, es decir realizar experiencias sencillas pero con las mismas características del problema original para conseguir resultados que al ser relacionados permiten llegar a la conclusión, que lo llamaremos caso general: Es decir: Casos Particulares

Inducción

Caso General

Ej. 1. Hallar la suma de cifras de: (999 … 99)2 𝐸=⏟ 200 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠

Por inducción: Suma de cifras 2 9 = 81 ⟶ 𝑆 = 9 = 9(1) 992 = 9801 ⟶ 𝑆 = 18 = 9(2) 9992 = 998001 ⟶ 𝑆 = 27 = 9(3) ∴⇒ 𝐸 = (999 ⏟ … 9)2 ⇒ 𝑆 = 9(200) = 1800 200 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠

2.

Calcular el valor del término 50 de la siguiente sucesión: 1, (1 + 3); (1 + 3 + 5); (1 + 3 + 5 + 7); … Analizando los primeros términos: 1er. Término: 1 = 1 = 12 2do. Término:1 + 3 = 4 = 22 3er. Término: 1 + 3 + 5 = 9 = 32 Se observa que el valor de cada término es de la forma n2, donde “n” es la cantidad de números impares que se suma en cada término. Por lo tanto: 502 = 𝟐𝟓𝟎𝟎 MÉTODO DEDUCTIVO: El razonamiento deductivo consiste en aplicar una verdad general ya demostrada en ciertos casos particulares: Es decir: Caso General

Deducció

Casos Particulares

Ej.: Halle el valor de E: E = (7000)3– (6999)3– (6999)2– 7(6999)x103 Se sabe que: a3 – b3 = (a − b) (a2 + ab + b2 ) E = (7000 − 6999)(70002 + 7000x6999 + 69992) − 69992– 7(6999)x103 E = 70002 PROBLEMAS PROPUESTOS

1.

Se sabe que :95 ⏟ 2 + 9952 + 99952 + ⋯ =.̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ . 𝑅𝐸 ∗ 𝑀𝐴𝑇 95 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜𝑠

Calcular:𝑀 + 𝐴 + 𝑅 + 𝑇 + 𝐸 A) 9 B) 7 C) 24 D) 17 E) 15 211 | P á g i n a



2. Determinar la cifras de unidades del resultado de: 𝑅 = 22222222 4444444

3. Se tiene que: 1376𝑥+1 + 2376𝑥+2 + 3376𝑥+3 + ⋯ 9376𝑥+9 = … ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑚𝑛𝑝 ; 𝑥 ∈ 𝑍 + Calcule el valor de (𝑚 + 𝑝). 𝑛 A) 48 B) 56 C) 54 D) 72 E) 63 ̅̅̅̅ 4. Si 4 𝑥𝑥 = ̅̅̅̅̅ … 𝑥 ,halle la última cifra del resultado al operar : 𝑅 = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ (𝑥 + 𝑎)(𝑥 − 3)2010

A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9 5. ¿Cuántas palabras “ALGEBRA”, se pueden leer en total ,uniendo letras vecinales A L L G G G E E E E B B B B B R R R R R R A A A A A A A A) 63 B) 64 C) 127 D) 128 E) 255 6. ¿De cuantas maneras diferentes se puede leer la palabra “REPASO”? P A A S S O O S S A A P

9. Si a la siguiente figura le trazas 50 ̅̅̅̅̅ ¿Cuántos rectas paralelas a 𝑀𝑁 triángulos se contaran en total?

𝑅𝐴𝐹𝐴𝐸𝐿𝐼𝑇𝑂

A) 2 B) 4 C) 6 D) 16 E) 1

R E E P P A A S S O O S

CPU – UNSM -T

S O O S S A A P P E E R

M

N

A) 2011 B) 159 C) 153 D) 2006 E) 1001 10. Calcular la suma de cifras del resultado: 𝑅 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = [(𝑎 ⏟ + 3)(𝑎 + 3) … (𝑎 + 3)(𝑎 + 3)(𝑎 + 3) 101 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 2

(𝑎 − ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ⏟ − 3)(𝑎 − 3) … (𝑎 − 3)(𝑎 − 3)(𝑎 − 3)] 101 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠

A) 6 B) 36 C) 126 D) 610 E) 224 11. Si: 𝐴𝑛 = (−1)𝑛 + 1 Sn = A1 + A2 + A3 + ⋯ An Hallar: 𝑆21 − 𝑆20 A) 2 B) 0 C) 1 D) 3 E) -1 12. Hallar:𝑅 = 4√𝐹180 + 𝐹137 𝐹1 = 1 𝐹1 = 2 𝐹2 = 1 + 1 𝐹2 = 2 + 2 𝐹3 = 1 + 2 + 1 𝐹3 = 2 + 4 + 2 𝐹4 = 1 + 3 + 3 + 1 𝐹4 = 2 + 6 + 6 + 2 A) 2047 D) 1999

B) 2048 C) 2045 E) 2040

13. Hallar la suma de cifras del resultado de ̅̅̅̅̅ 𝑋512", sabiendo que la multiplicar "𝑎𝑏𝑐 suma de los productos parciales de esta multiplicación resulta 3496. A) 21 B) 19 C) 23 D) 18 E) 22

A) 36 B) 6 C) 256 D) 32 E) 64 7. Halle la suma de cifras del resultado al operar. (99 … 996) ⏟ (99 … 998) 𝑅=⏟ 50 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠

50 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠

A) 455 B) 472 C) 427 D) 453 E) 440 8. Calcular la suma de cifras de: 𝑅 = 81(123456789)2 A) 36 B) 49 C) 225 D) 81 E) 121

̅̅̅̅̅̅̅̅ + 𝑒𝑑𝑐𝑏𝑎 ̅̅̅̅̅̅̅̅ = 876 … 14. Si :𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒 Y además:𝑎 < 𝑏 < 𝑐 < 𝑑 < 𝑒 Calcular:𝑅 = 𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 + 𝑑 2 + 𝑒 2 A) 22 B) 95 C) 99 D) 98 E) 25 15. Calcular el valor de "2𝑥 + 5",si 𝑥 ∈ Z +y además: 5(2𝑥 2 + 30) + √10(15 + 𝑥 2 ) = 420 A) 14 B) 15 C) 16 D) 13 E) 12 𝑥 2 𝑛

𝑛 2 𝑥

16. Si:( ) + ( ) = 2

212 | P á g i n a



𝑥 3 𝑛 𝑛 3

𝑛 𝑥

CPU – UNSM -T

2 4 4 6 | 6 8

𝑛 2 𝑥

Calcule:𝑅 = ( ) − 3 ( ) + ( ) + ( ) +3 𝑥

6 8 10

|

A) 1 B) 0 C) 2 D) 6 E) 3

20

22

24

8 10 .12 . .

… . .20 … 22 … . .24 | |

26

.

38

17. Si:√𝑚. 𝑛 = 𝑝 ,halle:p,además: Si:

𝑚2 −𝑝2 +𝑛2 1 1 1 + − 𝑚2 𝑛2 𝑝2

A) 1000 B) 2000 C) 3000 D) 4000 E) 5000

= 1296

A) 6 B) 5 C) 4 D) 7 E) 9

25. Dada la siguiente sucesión:

18. ¿Cuantos triángulos hay en la figura mostrada?

R(1) = 1 x 2 R(2) = 2 + 3 R(3) = 3 x 4 R(4) = 4 + 5 ...... ........ ...... ........ ...... ........

A) 60 B) 64 C) 50 D) 56 E) 84

El valor de R(22) es: 19. ¿Cuantos triángulos hay en total en la figura adjunta?

A) 506 B) 43 C) 500 D) 420 E) 45 26. En la figura, R, S y T son triángulos equiláteros. Entonces, la relación válida es:

A) 16 B) 17 C) 18 D) 19 E) 20 20. Calcule el producto de las cifras de la suma de cifras de A. A = 9999984X9999988 A) 66 B) 36 C) 92 D) 12 E) 9 21. Calcule el valor de √𝑥 ,si 𝑥 ∈ Z + y además 2𝑥 2 + 4 + 2√2(2 + 𝑥 2 ) = 48 A) 2 B) 1 C) -1 D) 0 E) 4

R

A) Área R + área S = área T B) Área R . área S = área T C) Perímetro R + perímetro S = perímetro T D) Perímetro R .perímetro S = 9/1 perímetro T E) Perímetro R – perímetro S = 1/3 perímetro T

27. 9

𝑥

22. Si: √3 = √𝑥 ,hallar “x” A) 3 B) 9 C) 6 D) 17 E) 27 23. Hallar la suma de cifras luego de sacar la raíz cuadrada de: (1111 … 111) − ⏟ (222 … 2) ⏟ 2006 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠

Calcular:

22003

√(3𝑥5𝑥17𝑥257𝑥 … … … … 2003𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠) + 1

A) 2001 B) 1999

C) 2000 D)1 E)2

28. ¿cuántos puntos de corte hay en

1003 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠

A) 1009 B) 2006 C) 3009 D) 4000 E) 9000

S

T

F20? F1

F2

F3

24. Calcular la suma de todos los términos del siguiente arreglo:

213 | P á g i n a



A) 400

B) 20

D) 800

C) 480 E) 420

29. ¿Qué lugares ocupan los dos términos consecutivos de la

a) Sucesión Aritmética (Sucesión Lineal o de Primer Orden) La diferencia entre dos términos consecutivos (también llamada razón aritmética) es siempre constante. Su término enésimo está dado por: tn = rn + t0 t0 = t1 – r

siguiente sucesión?, cuya diferencia de cuadrados es 909. : 3 ; 6 ; 9; 12;….. A) 31y32

B) 49y50

D) 72y73

C) 50y51

E) 91y92

30. si: a1=2002 an= an-1 + 2(n-1) Calcular: √a2002 A) 1001 D) 2002

B) 2001

C)1

E) 2003

SEMANA N° 02 SUCESIONES DISTRIBUCIONES Y ANALOGÍAS SUCESIÓN. Una sucesión es un conjunto ordenado de elementos (número, letras, figuras) tales que cada uno ocupa un lugar establecido, de modo que se puede distinguir el primero, el segundo, el tercero y así sucesivamente; acorde con una ley de formación, criterio de orden o fórmula de recurrencia. A los elementos de este conjunto se les denominan términos de la sucesión. Las sucesiones pueden ser: - Sucesiones gráficas - Sucesiones literales - Sucesiones numéricas En ocasiones se presentan algunas sucesiones que son combinación de las anteriores. Ejemplos: a) 5; 7; 11; 17;.... b) F; H; J; L; N;... 1. SUCESION NUMERICA Es un conjunto ordenado de números en el que cada uno de ellos tiene un orden designado; es decir que a cada uno de los términos de la sucesión le corresponde un número ordinal. Así # Ordinal: 1º 2º 3º 4º..........nº Términos de la sucesión: t1 t2 t3 t4......... tn Sucesiones Numéricas Importantes

CPU – UNSM -T

tn: Término enésimo t0: Término anterior al primero -> t0 = t1-r r: Razón aritmética -> r = t2 - t1 n: Lugar del término enésimo b) Sucesión Geométrica; En general: Dada la sucesión geométrica: t1; t2; t3; t4; t5;....... xq xq xq xq q: razón geométrica Entonces: tn = t1 x qn-1 2. SUCESIONES LITERALES Es el conjunto de letras relacionadas por el abecedario castellano y por alguna relación lógica. Nota: No se considera ni CH ni LL, por ser estas letras compuestas mientras no digan lo contrario. Es decir: A B C D E F G H I J K L M 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

N Ñ O P Q R S T U V W X 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Y Z 26 27

3. SUCESIONES GRAFICAS Es un conjunto ordenado de figuras que se distribuyen de acuerdo a los siguientes criterios:  Criterio de giro: (Horario u antihorario)  Criterio de oposición y/o desaparición de elementos de la figura.  Unión y/o intersección de figuras. Ejemplo: Continúa en la serie.  

…

 

A) B) C) D) E) SUCESIÓN POLINOMIAL DE SEGUNDO ORDEN O CUADRÁTICA. En toda sucesión cuadrática el término enésimo es de la forma:

tn = a.n2 + b.n + c Donde a, b y c son valores constantes que se hallan de la siguiente manera: t0 ; t1 ; t2 ; t3 ; t4 ; t5 ; ..... 214 | P á g i n a



Dado: 2 ; 12 ; 72 ; X ; … ¿Cuál es el valor de X? 2 ; 12 ; 72 ; X

+m0 +m1 +m2 +m3 +m4 +r

+r

+r

a=r/2

+r c = t0

b = m0 - a

Dónde: r : m2 – m1 mo = m1 - r to = t1 – m SUCESIÓN POLINOMIAL DE ORDEN SUPERIOR Veamos por ejemplo una sucesión de cuarto orden. 1º t1,

2º 3º 4º t2 , t3 , t4 , a

b

c

5º 6º........nº t5 , t6,.......,tn d

p2 q1

p3 q2

r t n  t1C

 aC

p4 q3

n 1 1

 p1C

n 1 2

 q1C

n 1 3

 rC

n 1 4

+3 +3 +3 Ejemplo: 7; 15; 25; 37; X;… ¿Cuál es el valor de X? Resolución: 7 ; 15 ; 25 ; 37 ; X ; … +10 +2

+12… +2…

“Aquí la diferencia constante se puede apreciar, cuando hacemos aparecer las secundas diferencias” Ahora efectuamos la reconstrucción en base a la progresión aritmética (De abajo hacia arriba): 7 ; 15 ; 25 ; 37 ; X +8

III. Combinadas: Ejemplo: Hallar el número que sigue en: 4 ; 5 ; 10; 12 ; 24 ; 27; X Resolución: 4 ; 5 ; 10 ; 12 ; 24 ; 27 ; X x2

+2

x2

+3

x2

r

Tipos de Sucesiones: I. Aritméticas: Cuando la diferencia entre 2 términos consecutivos es constante también se le denomina “Progresión Aritmética” y a la diferencia común que estos presentan, se le conoce como “Razón Aritmética”. Ejemplo: Dado: 17; 20; 23; X;… ¿Cuál es el valor de X? Resolución: 17; 20; 23; X 23 + 3 = 26

+8

Se deduce X = 72 x 6 = 432

Se deduce que: X = 27 x 2 = 54 Ejemplo: Hallar el número que sigue en: 1 ; 3 ; 6 ; 11 ; 20 ; 37 +2 +3 +5 +9 +17

e

Su término enésimo viene dado por: n 1 0

x6 x6x6

+1

<

p1

CPU – UNSM -T

+10 +12 +14 +2 +2 +2 X = 37 + 14 = 51

II. Geométricas: Cuando cada término se obtiene multiplicando al que le precede por un valor constante, se le conoce también como “Progresión Geométrica”. Ejemplo:

+1

+2 x2

+4 x2

+8 x2

Se reconstruye de abajo hacia arriba IV. Sucesión Alternadas o Intercaladas: (Con dos o más sucesiones en una sola) Ejemplo: ¿Cuál es el producto de los dos términos siguientes en la sucesión? 1 ; 8 ; 5 ; 4; 9 ; 0 ; 13 ; …. Resolución: Se observa que hay dos sucesiones intercaladas. La 1ra: 1 ;5 ; 9 ; 13 ; aa = 17 +4 +4 +4 +4 La 2da: 8 ; 4 ; 0 ; b b = -4 -4 -4 -4 Luego el producto de los últimos términos es: a x b = 17 x -4 = -68 V. Sucesiones Especiales: Las sucesiones numéricas pueden ser operacionales, tal es el caso de las progresiones o las secuencias por reconstrucción; sin embargo hay otros casos que responden más a un criterio conceptual como puede ser: “Cuadrados Perfectos”, “Primeros Cubos”, “Números Primos”, “Números Triangulares”, “Sucesión de Fibonacci”,…, etc. Ejemplo: ¿Qué continúa?: 1 ; 8 ; 27 ; … 13 23 33 Se trata de los primeros cubos perfectos Se trata de los primeros cubos perfectos, seguirá: 43 = 64 215 | P á g i n a



VI. Analogías Numéricas: La analogía numérica es un grupo de números distribuidos en tres o más filas tales que cada fila está formado por tres elementos, dos extremos y un medio. Los medios están encerrados entre paréntesis y uno de ellos al menos es la incógnita.Todos los elementos de dos filas por lo menos se conocen entre sí como también los extremos de las filas con la incógnita. Las operaciones entre los extremos deben ser como resultado a sus respectivos medios. Estructura: Presentamos a continuación una estructura general una estructura general de las analogías numéricas de tres filas. Extremos Medios 1ra Fila 2daFila 3ra Fila Donde los rectángulos sombreados son los datos numéricos conocidos y el rectángulo no sombreado es la incógnita Ejemplo: Determinar el valor de X en la siguiente analogía. 1 (7) 3 3 (9) 2 0 (X) 5 Solución: Iniciamos a buscar relaciones operacionales en los extremos tal que nos den como resultado los medios. Obtenemos la siguiente relación operacional entre ellos mismos. 1ra Fila: 2(1+3) – 1 = 7 2daFila: 2(3+2) – 1 = 9 Ahora aplicamos esta relación operacional para la fila de la incógnita, tenemos: 3ra Fila: 2(0+5) -1 = X = 9 Observación: Esta relación es operativa es, como adivinanza, que a lo más puede estar compuesta de 3 operaciones. Ejemplo: Completar: 12 (15) 8 3 (6) 17 13 (X) 5 Resolución: 1ra Fila: 12 x 8 = 96 9 + 6 = 15 2da Fila: 3 x 17 = 51 5+1=6 3ra Fila: 13 x 5 = 65 6 + 5 = X = 11 VII. Distribuciones Numéricas: Una distribución numérica es grupo formado por lo menos seis números distribuidos en dos o más filas tales que tienen el mismo número de elementos y estas filas pueden ser formadas por dos o más elementos. Por lo menos un elemento de la fila es la incógnita. Una distribución forma columnas de elementos. Todos los elementos de por lo menos de dos filas o dos columnas se conocen. Ejemplo:

CPU – UNSM -T

Determinar el valor de X e la siguiente distribución. 2 3 4 6 5 2 10 13 X Resolución: Tenemos que buscar relaciones operacionales entre las dos primeras filas o entre las dos primeras columnas. Obtenemos la siguiente relación operacional entre las columnas. 1ra Columna: 2 x 6 – 2 = 10 2da Columna: 3 x 5 – 2 = 13 Lo que hemos encontrado, es una buena relación, aplicamos esta relación para la tercera columna. 3ra Columna: 4 x 2 – 2 = X X=6 Observación: No existe un criterio general para resolver distribuciones numéricas. Las relaciones operacionales entre los elementos de una distribución numérica se pueden presentar de diversas formas. Estas podrían ser relaciones entre los elementos de las fila, de las columnas y de otro tipo. Para tener éxito en la solución de problemas con distribuciones numéricas se debe buscar relaciones operacionales adecuadas y lógicas entre los elementos de las filas o de las columnas o de otra naturaleza. Ejemplo: Completar: 12 8 5 4 9 9 6 3 13 ? 2 15 Resolución: 1ra Fila: 12 + 8 = 5 x 4 2da Fila: 9 + 9 = 6 x 3 3ra Fila: 13 + ? = 2 x 15 ? = 17 VIII. Distribuciones Numéricas (con gráficas): Una distribución gráfica numérica es un grupo de números distribuidos en una ó más figuras tal que al menos un elemento es la incógnita. Existe una relación operacional entre los elementos del grupo. Ejemplo: Determinar el valor de X en la siguiente distribución. 6

5

7 1

X

10

3

2

6 4

0

3

Resolución: Buscamos relaciones operacionales entre los elementos de las dos figuras. Obtenemos la siguiente relación entre los elementos de las figuras: 1ra Figura: (1 + 3 + 5) – 2 = 7 2da Figura: (2 + 4 + 6) – 2 = 10 216 | P á g i n a



Esta la que hemos encontrado es una buena relación, aplicamos a la tercera figura y tenemos: 3ra Figura: (0 + 3 + X) – 2 = 6 X=5 Ejemplo: El número que falta es: 4

6

6

9

Ejemplo:

CPU – UNSM -T

II I

I

III

? 5

7

Resolución: 7

7

3

2

3

7

1

?

Resolución: 1ra Figura: (7 - 4) – (6 + 3) = 2 2daFigura: (7 + 6) – (9 + 1) = 3 3ra Figura: (7 + 5) – (7 + 4) = ? = 1 IX. Sucesiones Gráficas: Son aquellos cuyos términos son gráficos. Ejemplo: ¿Qué figura continua?

Resolución:  Observamos que la primera parte sombreada gira de 2 en 2 posiciones en sentido horario.  El cuadrilátero gira de 2 en 2 posiciones en sentido antihorario.  El “ “ gira de 3 en 3 posiciones en sentido horario. Luego continúa:

4

A la figura I le hacemos un corte en la parte central, designando un punto en cada región resultante. Esa es la figura II. La siguiente figura es resultado de hacer lo mismo con la figura III.

Ejemplo: I

II

III

? Resolución: La primera figura gira 90º en sentido horario y aparece la segunda figura. Al girar las regiones sombreadas de la tercera, aparece la siguiente figura:


Ejemplo: Haga la figura siguiente en:

1.

¿Cuántos triángulos y cuadriláteros hay en esta figura?

cuántos

Resolución: Tenemos que encontrar una relación coherente de cambio de posición (generalmente por medio de giros). De donde hallaremos que: 45º (giro antihorario)

Luego: 45 º

45º (giro horario)

A) 10 – 6 B) 10 -10 C) 12 – 10 D) 12 – 6 E) 12-12 2. La mitad del número de segmentos de recta que se representan en la figura es:

45 º 45 º 45 º

X. Analogías de Figuras: En los siguientes ejercicios, los símbolos de las columnas I y II tienen entre sí, una relación. Seleccione el símbolo de la derecha que tiene la misma relación con el símbolo de la columna III.

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 217 | P á g i n a


3.


CPU – UNSM -T

¿Cuántos trapecios hay en la siguiente figura?

A) 50 Y 125 B) 55 Y 225 C) 75 Y 250 D) 30 Y 100 E) 55 Y 150 A) 25 B) 28 C) 30 D) 32 E) 40 4.

8.

El número de triángulos en la figura es:

¿Cuántos ángulos menores de 180°se puede contar en la figura?

A) 1 B) 5 C) 10 D) 15 E) 20

5.

A) 40 B) 46 C) 48 D) 36 E) 44 ¿Cuantos sectores circulares hay en la figura?

9.

¿Cuántos cuadrados se puede observar en la figura?

A) 15 B) 21 C) 25 D) 31 E) 37 A) 18 B) 20 C) 22 D) 24 E) 26 10. ¿Cuántos triángulos hay en la figura? 6.

Utilizando doce piezas iguales se arma el sólido mostrado ¿Cuántas piezas están en contacto con por lo menos otras ocho?

A) 41 B) 51 C) 61 D) 71 E) 81 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 7.

11. ¿Cuántos triángulos hay en la figura?

¿Cuántos cuadrados y cuantos cuadriláteros se puede observar en esta figura?

218 | P á g i n a



A) 30 B) 36 C) 40 D) 44 E) 48 12. ¿Cuantos hexágonos hay en la figura?

CPU – UNSM -T

60  cifras   13 1313 131313 1313... 1313 A     ...  15 1515 151515 1515 ... 1515     60cifras

A) 6

B) 7 C) 8

D) 9

E) 10

19. Resuelve: A) 7 B) 6 C) 5 D) 3 E) 1

13. Se reparten caramelos a un grupo de niños en cantidades que forman una sucesión aritmética. Al séptimo niño le tocó la mitad de lo que le tocó al último y a éste el quíntuplo de lo que le tocó al primero ¿Cuántos niños son? A) 17 B) 27 C) 37 D) 47 E) 57 14. Se contrata a un obrero para cavar en busca de fósiles, prometiéndole pagar una suma por el primer fósil que encuentre y que luego se le irá duplicando dicha suma por cada nuevo fósil encontrado. Si encuentra 12 fósiles y recibe en total 12285 soles. ¿Cuánto le pagaron por el quinto fósil hallado? A) 46 B) 47 C) 48 D) 49 E) 50 8; 17; 32;

A) 32 B) 64 C) 128 D) 256

3? A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

21.

Calcular 1 2 1 2 1 2 𝑆= + 2+ 3+ 4+ 5+ 6+⋯ 3 3 3 3 3 3 A)

22.

5 7

B)

5 8

C)

5 11

2

6 5

B)

1 3

4

20

C)

2 7

E)

1 + 10

⋯+

5 11

E)

D)

3 5

1 30

3 5

23. Hallar: a + b + c, si: abc .99 = d833 A) 21 B) 14 C) 15 D) 16 E) 19 24.

Si: a – b = b – c =

44

16. Sea la sucesión (an) en la que sus primeros

10 12 14 términos son: ; 1; ; ; . ¿A 5 11 14 17

3 7

D)

Hallar el valor de S. 1 1 3 𝑆= + + +

E) 7

6

E) 1024

20. En la siguiente sucesión 0; 3; 10; 21; 36; … ; hallar la suma de cifras del término que ocupa el lugar 40. A) 12 B) 15 C) 18 D) 21 E) 7

53; 80;…..

¿Cuántos términos de 3 cifras acaban en

=

4

 (1984)(2016)  256     (959)(1041)  1681 

A)

15. En la sucesión

A

Calcular: E = .

(a  c ) 4  (b  c ) 4  (a  b) 4 36 A) 1

B) 2

C) 3

D) 6

E) 12

partir de qué lugar los términos de la sucesión son menores que 0,72? A) 20º

B) 18º C) 16º D) 17º E) 21º

17. ¿Qué término sigue en la sucesión

3

19 11 17

mostrada? 1, 2 , 11 , 6 , 9 ,….. A) 19/12 D) 73/38

B) 23/19

C) 46/37

E) 38/23

18. Calcula la suma de cifras del resultado de:

25. Calcular la suma de cifras del resultado 2 ... 33 de: E = (333  ) 12 cifras A) 102 B) 119 C) 109 D) 117 E) 108 26. Hallar “X” en: 39, 24, 14, 10,…. A) 12 B) 56 C) 11 D) 9 E) 10 27. Hallar el valor de “X” en: 4 5 9 9 9 36 15 X 25 A) 9 B) 12 C) 13 D) 15 E) 18 28. Que numero falta en: 1080 360 9 219 | P á g i n a



A) 3

S  1  4  16  64  256  512

513 171 9 468 156 X C) 5 D) 11 E) 12

B) 0

CPU – UNSM -T

2

4

6

8

X

29.

30.

31.

¿Qué término continúa?. 40 ; 5 ; 50 ; 62; A) 80 B) 48 C) 72 D) 18 E) 40

5;5 A) 13 21

32.

33.

1 2

T1 ; T2 ; T3 ; ...... ; Tn

La suma de todos sus términos se obtiene aplicando la siguiente relación:

Que término continua?. E;F;M;A;M;? A) B B) N C) G D) F 1 2

 En General: Para toda sucesión o progresión geométrica de “n” términos

E) J

S  T1  T2  T3  ......  Tn S 

19 2

,7, ,x B) 13/2 E) 7

C) 19

1 2

D)

1 2

Hallar el valor de x:

A) 5 B) 7 C) 3 Completa la serie:

A) 18

B) 25

C) 9

D) 8

E) 6

D) 13 E) 27

Donde:

SEMANA N°03 A) SERIE ARITMÉTICA: La serie aritmética es la adición indicada de los términos de una sucesión o P.A. Dada la siguiente sucesión de 10 términos determine la suma de todos ellos. 7 ; 12 ; 17 ; 22 ; ......... ; 52 S  7  12  17  22  ........  52

n



q 1

T1 : Pr imer Término

q  Razón

q

1 ; q  0



n : número de términos b) Serie Geométrica de Infinitos Términos: Hallar el valor de la siguiente serie infinita 3 3 S  48  24  12  6  3    ....... 2 4  En general: en toda serie geométrica de infinitos términos su suma (conocido como suma limite se calcula así). S = T1 + T2 + T3 + T4 +…… PRINCIPALES FÓRMULAS DE SERIES

1. Suma de los primeros números naturales.

1  2  3  ...  n

SERIES Y PROGRESIONES



T1 q  1

S

nn  1 2

2. Suma De Los Primeros Números Pares 2  4  6  ...  2n S  n(n  1) 3. Suma De Primeros Números Impares

1  3  5  ...  2n  1 S  n 2 4. Suma De Cuadrados n(n  1(2n  1) S 12  22  ...  n 2 6

10 tér min os

 En general: Para toda aritmética de “n” términos

sucesión

T1 ; T2 ; T3 ; ....... ; Tn r

r

 La suma de todos sus términos se obtiene multiplicando la semisuma del primero y ultimo términos por el número de términos, es decir: T  Tn S  T1  T2  T3  ......  Tn  1 n 2

 T  Tn  n S 1  2  

Dónde:

T1  Pr imer tér min o

Tn  Ultimo término n= Número de términos

B) SERIE GEOMÉTRICA: Es la adición indicada de los términos de una sucesión geométrica. Las series geométricas pueden ser: a) Serie Geométrica Finita: Hallar la suma de los siguientes términos

5. Suma De Cubos

13  23  ...  n3

 nn  1 S  2 

2

6. Suma De Pares Al Cuadrado

2 22  42  62  ...  2n S 

2n (n  1)(2n  1) 3

7. Suma De Impares Al Cuadrado

12  32  ...  2n  1

2

S

2n (4n 2  1) 3

8. Suma De Pares Al Cubo

S  2n(n  1)

2

S  2n(n  1)

2

9. Suma De Cubos Impares

13  33  ...  2n  1

3

S  n 2 (2n 2  1)

10. Suma de los “n” primeros productos consecutivos. Tomados de 2 en 2 n(n  1)(n  2) S  1x2  2 x3  3x4  ...  n(n  1)  3 Tomados de 3 en 3:

220 | P á g i n a



S  1x2 x3  2 x3x4  3x4 x5  ...  n(n  1)(n  2)

nn  1n  2n  3 S  4 11. S=1/1.2 + 1/2.3 + 1/3.4 + …. + 1/n(n+1) = S = n/n+1 PROGRESIONES A) PROGRESIONES ARITMÉTICAS (P.A) Se llama así a la sucesión de términos en la cual un término cualquiera después del primero es igual al término anterior aumentado en una cantidad constante llamada razón.

Notación: T1  Pr imer tér min o

Tn  Tér min o de lugar "n " n  Número de tér min os r  Razón

T2 

B) PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Se llama así a la sucesión de términos en la cual un término cualquiera después del primero es igual al anterior multiplicado por una cantidad constante distinta de cero. Se les denomina también progresión por cociente. Notación: T1  Pr imer término

n  Número de términos S n  Suma de n términos S L  Suma límite

P n  Pr oduco de n términos Tn  Tér min o enésimo q  Razón   T1 ; T2 ; T3 ; ........ ; Tn

÷ T1 . T2 . T3 .............. Tn-1 . Tn

Por definición: Tn  Tn 1  r  r  Tn  Tn 1

De la definición: Tn   Tn 1  q ; despejando “q”

Ejemplos: r= 4 r= -2

q

Formula del término de lugar “n” Tn  T1   n  1  r

Fórmula de la suma de los “n” primeros términos de una P.A sn 

 T1  Tn  2

n

Ó

 2T1   n  1  r  Sn   n 2

Interpolación: Dados dos números a y b para interpolar “m” medios aritméticos (ó medios diferenciales) entre “a” y “b” se forma una P.A cuyos extremos sean “a” y “b”. ÷ a ............ b "m"medios

La razón de interpolación es:

r

ba m 1

PROPIEDADES: 1 La suma de dos términos equidistantes de los extremos, es igual a la suma de los extremos. 2 Si en una P.A existe término central este será igual a la media aritmética de los extremos.

Tc 

T1  Tn 2

En consecuencia sabemos que: Sn 

 T1  Tn  2

 n ; entonces: S n  Tc  n

En: T1 .T2 .T3 

T1  T3 2

Formula de una Progresión Geométrica

Forma de una P.A

÷ 3 . 7 . 11 ....... ÷ 4 . 2 . 0 .........

CPU – UNSM -T

Tn T n 1





  3 : 6 : 12 : 24 : 48 : ...... q= 2   405 : 135  45  15 : ...... q= 1/3   5  25  125  625 : ...... q=  5

Cuando: q  0 : Se obtiene una P.G. creciente 0  q  1 : Se obtiene una P.G. decreciente q  0 : Se obtiene una P.G. oscilante Término de lugar “n” de una P.G. T n  T1  q

n 1

Suma de los “n” primeros términos de una P.G. 𝑞𝑛 −1 ) 𝑞−1

Sn = 𝑇1 (

Sn 

También

Tn  q  T1 q 1

Suma límite de una P.G. Decreciente de infinitos    Términos SL 

T1 1q

Producto de los “n” primeros términos de un P.G. Pn 

 T1  Tn  n

Interpolación en:   a: .......... : b “m” medios Geométricos, se cumple que: q  m 1

b a

PROPIEDADES: I) El producto de dos términos equidistantes de los extremos es igual al producto de los extremos II) El término central de una P.G. es igual a la 221 | P á g i n a



media geométrica de los extremos Tc 

T1  Tn

Consecuencias: ero Sabemos que: 1 Pn 

2

do

 T1  Tn  n   Tc  ÷  T1 : T2 : T3

n

 T2 

T1  T3

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Hallar la suma de todos los números de dos cifras que sean múltiplos de 3. A) 1601 B) 1 665 e) 1065 D) 1021 E) 1902 2. ¿Cuál es la suma de todos los números impares comprendidos entre 100 y 200? A) 7200 B) 7300 C) 7500 D) 7700 E) 7900 3. ¿Cuántos números de tres cifras, comienzan en 3 y son múltiplos de 3? ¿Cuál es la suma de todos ellos? A) 28; 10 226 B) 25; 11203 C) 34; 11 883 D) 42; 10 114 E) 18; 11 020 4. Se empieza a escribir la serie de números impares positivos en forma descendente desde 69. El número de términos para que la suma sea igual a 1 000 es: A) 11 8)23 C) 17 D) 10 E) 20

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A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 10 13. Si A Y B representan las sumas respectivas de los pares positivos e impares positivos no mayores que 1 000, calcular A-B. A) 501 B) 500 C) 499 D) 999 E) 1 000 14. Para que se cumpla: 24 + 22 + 20 + = 150 La serie debe tener: (1) 15 términos (2) 12 términos (3) 10 términos Son ciertas: A) Sólo 1 B) Sólo 3 C) 1 y2 D) 1y3 E)2y3 15. Al simplificar la expresión: 42 R = √(1 + 3 + 5 … + 49)0.1+0.2+0.3+⋯2 Se obtiene: A) 5 B) 25 C) 0,25 D) 35 E) 0.5 16. Entre los kilómetros 23 y 107, donde hay estaciones de servicio, se quiere intercalar seis más, dispuestas proporcionalmente en el recorrido, ¿En cuál de los siguientes kilómetros está la sexta estación? A) 36 8) 46 e) 58 D) 83 E) 70 17. Dada la sucesión: 1; 2; -3, 4, 5, -6, 7, 8, -9,.... entonces la suma de sus cien primeros términos es: A) 1864 8) 1560 e) 1584 D) 1684 E) 1060

5. Determinar a + b + c, tales que la igualdad dada sea cierta: 1 + 4 + 7 + ........ + (3n - 2) = an2 + bn + c A) 2 B) 3 C) 1 D) 3 E) 4

18. La serie 3; 6; 9; 12; consta de 20 términos y la serie 3; 5; 7; 9; 11 tiene 30 términos ¿Cuántos términos de las dos series son iguales? A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13

6. Efectuar: S = 1+ 3 + 5 + + 9 A) 1 350 B) 2 500 C) 4 326 D) 3 600 E) 1200 7. Hallar el valor "u" en la siguiente igualdad: 2+ 4 + 6 + + u = 600 A) 48 B) 35 C) -2 D) 54 E) 62

19. Una progresión aritmética está formada del 4 al 55. La suma de los 6 primeros números es 69, de los 6 siguientes es 177y la suma de los 6 últimos es 285. El segundo y el décimo término de la progresión serán: A) 7 Y 31 B) 10 y34 C) 10y28 D) 13y37 E) 8 y32

8.

Hallar la suma de los 20 primeros múltiplos de 5. A) 2150 B) 890 C) 1 050 D) 1 020 E) 990

9. Efectuar: 1 + 4 + 9 + 16+ + 576 A) 2 890 B) 3 690 C) 4 209 D) 5340 E) 4 900 10. Efectuar: 1 + 8 + 27 + + 3 375 A) 14400 B) 12300 C) 13200 D) 11800 E) 13800 11. Hallar el valor de la siguiente suma. S = 2 + 6 + 12 + 20 + + 600 A) 2200 B) 3200 C) 3200 D) 4200 E) 5200 12. ¿Cuántos términos debe tener como mínimo la serie mostrada para que la suma sea mayor que 1 OOO? S= 1+2+4+8+ …..

20. Hallar el valor de la siguiente serie: S=3+8+ 13+ 18+ +503 A) 24 558 B) 23 475 C) 24 586 D) 25 553 E) 26780 21. El segundo término de una P.A. es 7y el séptimo término es 22; hallar la suma de los 10 primeros términos. A) 175 8) 176 e) 177 D) 178 E) 179 22. Hallar la suma de los 15 primeros términos de una serie aritmética cuyo término central es A) 330 8)340 e) 350 D) 360 E) 370 23. Calcular la suma de los 100 primeros términos de: 1; 2; 3 - 4; 5; 6; 7- 8; 9; 10; 1112......... /' A) 2 640 8) 2650 e) 2 660 D) 2 670 E) 2 680 222 | P á g i n a



23. Calcular: 2 + 6 + 12 + 20 + + 210 A) 1000 B) 1 110 C) 1 120 D) 1 130 E) 1140 24. En el siguiente triángulo numérico, hallar la suma de los elementos de la fila número 20. 1 11 212 3333 46664 5 10 10 10 10 5 6 15 15 15 15 15 6 A) 3113 B) 3 114 C) 3115 D) 3.116 E) 3117 25. Calcular: s= 1 x 19 + 2 x 18 + 3 x 17 + + 19 x 1 A) 1 300 B) 1305 C) 1310 D) 1320 E) 1330 26. Dados: S1= 10x 11 + 11 X 12+ 12x 13+ +20x21 S2 = 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + + 20 x 21 Hallar: S2 - S, A) 5 310 B) 5410 C) 5510 D) 5 610 E) 5710 27. Se contrata a un obrero para cavar en busca de fósiles, prometiéndole pagar una suma por el primer fósil que encuentre y que luego se le irá duplicando dicha suma por cada nuevo fósil encontrado. Si encuentra 12 fósiles y recibe en total 12285 soles. ¿Cuánto le pagaron por el quinto fósil hallado? A) 46 B)47 C) 48 D) 49 E) 50 28. Rosa y María leen una novela de 3 000 páginas. Rosa lee 100 páginas diarias y María lee 10 páginas el1er día, 20 el2do día, 30 el tercero y así sucesivamente. Si ambas comienzan el 22 de febrero de un año bisiesto. ¿En qué fecha coincidirán en llegar a la misma página y cuántas páginas habrán leído hasta ese día? A) 10 de Febrero; 1 800 páginas B) 11de Marzo; 1900 páginas C) 21 de Abril; 2 000 páginas D) 10 de Mayo; 2100 páginas E) 15 de Junio; 2200 páginas 29. Se reparten caramelos a un grupo de niños en cantidades que forman una sucesión aritmética. Al séptimo niño le tocó la mitad de lo que le tocó al último y a éste el quíntuplo de lo que le tocó al primero ¿Cuántos niños son? A) 17 B) 27 C) 37 D)47 E) 57 30. Se tiene 120 canicas para formar un triángulo mediante filas, de modo que la primera fila tenga uno, la segunda dos, la

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tercera tres y así sucesivamente. ¿Cuántas filas tendrá dicho triángulo? A) 11 B) 12 C) 13 O) 14 E) 15

SEMANA N° 04 OPERADORES MATEMATICOS 1. OPERACIÓN MATEMATICA.- Es un proceso que consiste en transformar una o más cantidades en otra llamada resultado; dicho proceso está sujeto a ciertas reglas y convenciones perfectamente definidas. 2. OPERADOR MATEMATICO.- Se da este nombre a ciertos símbolos que representan a una OPERACIÓN MATEMÁTICA. Así, el operador carece de significado por sí solo, pero si actúa sobre cantidades las transforma en otras diferentes; dichos símbolos pueden ser: a) OPERADORES UNIVERSALES O CONVENCIONALES: Aquellos representativos de las operaciones matemáticas tales como: adición, sustracción, multiplicación, división, radicación, etc. +, -, x, ÷, √ b) OPERADORES ARBITRARIOS O NO CONVECNCIONALES: Son aquellos que expresan operaciones matemáticas en función a los operadores universales. Para poder resolverlos es necesario conocer previamente su regla o ley; estos operadores pueden ser: asterisco (*); número (#); círculo (O); triángulo (∆); arroba (@), etc. 3. REGLA DEL OPERADOR. Es la forma como se define a la resolución de una operador arbitrario, por ejemplo: Operador Triángulo = “x”

X3 +3 } Regla 3

del Operador

cantidad afectada por el operador. =

Ejemplo:

53 +3 3

=

128 3

a ∗ b = 3a − b3 Ejemplo: 3 ∗ 4 = 3(3) − 43 = −55 m n P= Ejemplo: 1

5m. 10n2 .15P3

2 3=

20 5(1). 10x22 .15x33 20

= 4050

EJERCICIOS PROPUESTOS: 1. Se define:

Hallar “a” en:

A) 5 B) 2

C) 3/2 D) 4

E) 1

223 | P á g i n a



CPU – UNSM -T

10.-En el siguiente cuadro 2. Si

∆ 1 2 3 4

Hallar el valor de “N” (en los reales) Sabiendo que:

1 3 1 4 2

2 1 2 3 4

3 4 3 2 1

4 2 4 1 3

Hallar. E=

3.

4.

5.

6.

A) 1y2 B) 2y3 C) 1y 3 D) 4y1 E) 5y8 Si “∆” es un operador tal que, a∆b = a2-a-1, calcular: S = 3∆(3∆(3∆(3∆(…..)))))))) A) 1 B) 7 C) 3 D) 4 E) 5 Si el operador: a%b = 𝑎2 − 2𝑎 − 1; calcular (4%(5%(6%(…%(100%(101%102)))…) A) 2 B) 6 C) 11 D) 9 E) 7 Se define a%b=a+b -3 , calcular: E = (2-1%5-1)%((((4-1)-1)-1)-1 A) 2 B) 8 C) 3 D) 1 E) 0

(1  2 1 )(3 1  4) 2(11  4 1 )

A) 1,5

B) 1

C) 2

D) 0,5 E) 0,6

11. Se define: A = 2A2 – 5A + 3. Calcular: (-2) A) 19 B) 20 C) 21 D) 23

E) 25

12. Se define: ab = a  b, si a  b  a.b, si a  b

Calcular: E = (2  1)  (1  2) A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

E) 5

13. Siendo a * b = a3 - 2a. Calcular: E = 3 * ( 4 * (5 * (...)))  100 paréntesis

Definido el operador “” mediante:

A) 31

B) 32

C) 33

D) 34 E) 21

(n1)2; “n” es par n =

2n ; “n” es impar

14. Si

Determinar: L = {(3) (2)  2}  A) 5

B) 10

C) 8 D) 9

Calcular:

E) 6

7.-Si “#” define la operación (a # b)c = abac A) x+205 D)x+310

Calcular: E = (1 # 2) A) 2

(3 # 4)

(5 # 6)



30 Términos

B) 1

C) 25

D) 0

15.

=

Calcular:

C) x+305

x 2  2x  2

E) 6 = x2 ;

8.-Dadas las operaciones: x = 2x+3;

B) x+105 E) x+100

x

= 4x  3

hallar el valor de “x” tal que:

A) -1

7

B) -2

C) -3

D) -4

E) -5

16. Se define la operación * en la tabla. A) 19 B) 11

C) 7

D) 23

2

0

E) 31

9.-Se define: a * b = a + 2a + b Hallar: E = 5 * (7 * (9 * ...(1997* 1999))...) A) 5

B)

35

C) 6

D) 7

E) 8

* 1 2 3 4

1 1 3 4 5

2 3 1 5 6

3 4 5 1 7

4 5 6 7 1 224 | P á g i n a



Determine el valor de P. 2∗4 2∗6 𝑃= [𝑎 ∗ 𝑎 + ] 1∗2 6∗2 A) 4 B) 5 C) 6 D) 7

2 23. Si: a#b  a .b 35b  1 . Entonces el valor 4a b de : 5#5#5#5# ...  es: A)6 B) 2 C) 4 D) 9 E) 3

E) 8

17. Sabiendo que: 𝑥 = 𝑥2 + 2

CPU – UNSM -T

𝑥 = 4𝑥 + 2

24. Si: A**B A BBA  .Hallar “E” 1 2 A) B) 3 C) 6 D) 27 5

calcular el valor de:

E)

2 81

200 operadores 4

A) 2

B) 4

C) 3

D) 5

25. Hallar el valor de : 6#  (3# + 2#), donde : x# = x2 – x, y m  n = 3m – 10n + 20 A) 30 B) -20 C) -10 D) 20 E) 10

E) 8

18. En el conjunto de números reales se define

si

SEMANA N° 05

𝑎 = (𝑎 + 1)2

el operador

SISTEMA DE NUMERACION: 𝑎𝑏𝑐𝑑(n) n: es la base, a,b,c, d, son cifras Principios fundamentales:  Toda base es un numero entero mayor que la unidad  La base siempre es mayor que cualquiera de las cifras que conforman el número.  El mayor valor de una cifra es igual a la base menos uno. Representación de los Números: 𝒂𝒃𝒄𝒅(n) número de cuatro cifras. Descomposición Polinómica de un Numeral.

= 100

4

Determine el valor de: 𝑥 2 + 2𝑥 + 6 A) 2

B) 4

19. Si 𝑥 = 𝑥 =

𝑥+ 1 𝑥−1

C) 6 𝑥−1 𝑥+1

D) 5

E) 7

; 𝑥 ≠ −1

; 𝑥 ≠1

Halle 𝑥 A) −𝑥

B) 𝑥

C) 2𝑥

D)

1 𝑥

E)

𝒂𝒃𝒄𝒅𝒆(n)= an4+bn3+cn2+dn+e 𝒂𝒃𝒂𝒃(n)= 𝑎𝑏n2+𝑎𝑏 CAMBIOS DE BASE a) De base n a base 10(n≠10) Se usa la descomposición polinómica. Ejemplo: Convertir 4253(6) al sistema decimal. =4.63+2.62+5.6+3=969

𝑥 2

20. Se define los operadores: 𝑎 + 𝑏 = 2𝑎 + 𝑏 2𝑎 − 𝑏; si 𝑎 ≤ 𝑏 𝑎 𝑏={ 2𝑏 − 𝑎; si 𝑎 > 𝑏

Propiedades: (𝒏 − 𝟏)(𝒏 − 𝟏) … … (𝒏 − 𝟏)(n)=nk-1 

y la ecuación 3 𝑥 + 2 = 𝑐

“k” veces 

Donde c es un número real. ¿De qué intervalo se pueden escoger los valores de c de tal forma que la ecuación anterior tenga por lo menos una solución real para x? A) 𝑐 ≤ 3

B) 𝑐 > 3

C) 𝑐 = 2

D) 𝑐 < 3

𝟏𝒂 𝟏𝒃 = n+c+b+a 𝟏𝒄(n) b) De base 10 a base n (n≠10) Se usa las divisiones sucesivas Ejemplo: Convertir 418 al sistema quinario.

E)

𝑐≠3 21. Si: a * b = 2a – 3b. Calcular el valor de “x”, si: (2x + 1) * (x – 1) = 8 A) 2 B) 3 C) 5 D) 6 E) 0 22. Siendo: a Θ b = a3 + 2a. Calcular: E = 3 Θ (4 Θ (5 Θ (…))) A) 32 B) 35 C) 34 D) 33 E) 36

418=3133(5) c) De base n a base m(m,n≠10) Pasar de base n a base 10 y luego pasar de base 10 a base m. NOTA: 0,𝒂𝒃𝒄(n) = 𝒂𝒃𝒄(n) 𝟏𝟎𝟎𝟎(n) ̂ (n)= 0,𝒂𝒃𝒄 𝒂𝒃𝒄(n) 225 | P á g i n a



(𝒏 − 𝟏)(𝒏 − 𝟏)(𝒏 − 𝟏)(n) Conteo de cifras: Dada la secuencia: 1,2,3,4…..N(n),N tiene k cifras, entonces: # de cifras (1 N(n)= (N(n) +1) k – 11….111(n) “k” cifras Base 2 3 11

Sistema binario ternario Undecimal

Cifras 0,1 0,1, 2 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,α

4 5 6

cuaternario 0,1, 2, 3 quinario 0,1, 2, 3, 4 senario 0,1, 2, 3, 4, 5

7 8 9

eptal octal nonal

0,1, 2, 3, 4, 5, 6 0,1, 2, 3, 4, 5, 6,7 0,1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8

10

decimal

0,1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9

  10    11  23 (13)  2  10  3 (13)   12    Números capicúas. Son aquellos números cuya lectura de izquierda a derecha o viceversa es la misma. aa

 2 cifras

aba  3 cifras abba  4 cifras

Descomposición polinómica: Es descomponer en sumandos tal que estos sean potencias o múltiplos de la base. ab (n)  a  n   b abc (n)  a  n   b  n   c



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abc (n)

 n  1  n  1  n  1 (n) aa  11a aaa  111a

aaaa  1111a CRIPTO ARITMÉTICA Es el proceso de encontrar las cifras que están representadas por letras u otros símbolos los cuales intervienen en la formación de números en las operaciones aritméticas y otros teniendo en cuenta las propiedades de las mismas. Características: A cada letra corresponde una y solamente una cifra o viceversa. A letras iguales corresponde cifras iguales. Si las cantidades vienen representadas por otros símbolos que no son letras cada símbolo no equivale necesariamente a cifras diferentes, a no ser que se indique en el problema. La letra “O” no representa necesariamente el cero, a no ser que sea dado en el problema. EJERCICIOS PROPUESTOS:

1.

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ Si el número: (𝑎 + 1)(𝑎 − 1)(𝑎 − 2)(4), llevarlo a base (6). A) 124 B) 421 C) 412 D) 121E) 223

2.

̅̅̅̅̅̅̅(n) Hallar “a+b+c+d+n” si : 102(3) = 𝑎𝑏𝑐𝑑 A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8

3.

Si el numeral: ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ (𝑎 − 1)𝑏(𝑏 + 1)(𝑎 + 5)(3 − 𝑎) es capicúa, hallar la cifra del tercer orden. A) 4 B) 8 C) 7 D) 5 E) 9

4.

Si los números están correctamente escritos calcular “a+b” ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑏 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ (2𝑎)(𝑎 − 2)(5) y ( )(𝑏 + 5)(9)

2

abcd (n)  a  n   b  n   c  n   d 3

2

ab  10a  b abc  100a  10b  c abcd  1000a  100b  10c  d Descomposición por bloques:

    abcabc  1000  abc   abc  1001  abc  abab  100 ab  ab  101 ab

Observaciones: A mayor numeral aparente le corresponde menor base y viceversa.

3

A) 2

234 (5)  10212 (3) mnp (x)= abc (x)    m= a , n= b , p= c mayor menor El mayor numeral de “x” cifras de base “n”.

 n  1  n  1  ......  n  1  (n)  n x  1 1a

 n  xa

1a

"x "veces

0, abc (n) 

1a (n)

abc (n) 1000 (n)

D) 6

E) 3

Cuantos números de dos cifras cumplen que son iguales a cuatro veces la suma de sus cifras. A) 1 B) 3 C) 5 D) 4 E) 7

6.

Un numero de dos cifras es igual a la suma de siete veces la cifra de las decenas más nueve veces la cifra de las unidades. ¿Cuál es la suma de las cifras del número? A) 10 B) 11 C) 12 D) 17 E) 15 Si : ̅̅̅ 𝑎𝑏 + ̅̅̅ 𝑏𝑎 = 143 𝑦 𝑎 − 𝑏 = 5 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 ̅̅̅ 𝑎𝑏2 A)8836 B)8826C) 8766 D) 625 E) 100

7.

x cifras

* 1a

C) 5

5.

mayor

menor

B) 6

8.

Un número está compuesto por 2 cifras cuya suma es 10 y tal que al invertir el orden de sus cifras el número disminuye en 36 unidades, dar como respuesta el producto de sus cifras. A) 21 B) 10 C) 16 D) 14 E) 28 226 | P á g i n a



9.

Calcular 3m + 2n – p, si se sabe que los siguientes números están ̅̅̅̅̅̅(4) , ̅̅̅̅̅ correctamente escritos:31𝑚 21𝑛(m) , ̅̅̅̅̅(n) 𝑝𝑝0 A) 11 B) 12 C) 16 D) 13 E) 15

10. El cuádruplo de un número es de la forma ̅̅̅ ab, pero si al número se le multiplica por 3 ̅̅̅. y luego se le divide entre 2 se obtiene ba Hallar: (a-b). A) 3 B) 7 C) 5 D) 8 E) 9 11. El número telefónico de Rosita tiene 6 cifras y es capicúa. Si la primera cifra se multiplica por 11, se le añade la segunda; luego todo se multiplica por 11 y Finalmente añadimos la tercera cifra y obtenemos 985 ¿Cuál es la suma de sus cifras del número? A) 18 B) 28 C) 30 D) 36 E) 32

21. Hallar el valor de a si (a  3)a(a  2)7 es de 3 cifras. A) 4 B) 5 C) 7 D) 8 E) 6 22.

Hallar:  a  b  si:

 x  1  x  1  x  1  x  1 (x)  ab4 A) 6

B) 7

13. Hallar el valor de “a” si : ̅̅̅̅̅ 1𝑎4 =504𝑛 A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 14. Cuántas cifras se emplean al escribir la siguiente serie? 30, 33, 36, 39, ……………………….2238

284 ; 21; 2 B) 12 C) 13

26.

E) 16

Hallar: a  b si.



ab  ba  11 ab  ba



A) 11 B) 12 C) 13

15. Cuántos números de la forma ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑎(𝑎 − 2)𝑏(6 − 𝑏) existen en el sistema decimal? A) 56 B) 64 C) 72 D) 81 E) 48

A) 232 B) 200

llevarlo a base decimal.

) 14

25. Cuál es la última cifra del menor número capicúa de 5 cifras cuya suma de cifras es 27. Siendo c/u de ellas menores que 9. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

27.

770 (5)

D) 9 E) 10

24. En qué sistema de numeración los números que se dan, están en progresión aritmética.

A) 200 B) 1000 C) 1600 D) 2600E) 2560

16. El número

C) 8

23. Elías nació en el año 19ab y se sabe que en 19 ba cumplió 2b años. Cuantos años cumplirá en el año 2005. A) 16 B) 17 C) 18 D) 19 E) 58

A) 11 12. Cuantos números de cuatro cifras mayores que 2700 terminan en 25 y 75? A) 145 B) 146 C) 147 D) 150 E) 120

CPU – UNSM -T

D) 14

E) 20

Expresar 1658 – 1 en el sistema binario y dar como respuesta la suma de sus cifras: C) 100 D) 231 E) 421

28) ¿Cuál de los siguientes numerales representa el mayor número? A) 4024 (5) B) 2215 (6) C) 1340 (7) D) 1004 (8) E) 371(12)

A) 215 B) 210 C) 220 D) 230 E) N.A 17. El número 333 de base decimal llevarlo a base 7. A) 555 (7) B) 654 (7) C) 325 (7) D) 650 (7) E) N.A 18. Cuantos números de 3 cifras hay en base 8. A) 325 B) 448 C) 447 D) 457 E) 458

19.

20.

29) ¿Cuántas cifras se emplearan para escribir todos los términos de la sucesión siguiente? 401 , 443 , 487 , 533 , ......... , 1541

A) 48 B) 25 C) 40 D) 42 E) 30 30) Se tiene una colección de pesas:1kg, 3kg, 9kg, 27kg,……….. se desean pesar 317kg . ¿Cuál es el menor número de pesas que deben tomarse? A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9

En qué sistema se realizó la operación: 50-27=22 A) 8 B) 9 C) 11 D) 13 E) 12 Calcular: a+b+c si.

aabc (7)  babb (5) A) 6 B) 9 C) 7

D) 8

E) 4

227 | P á g i n a



SEMANA N° 06 PROMEDIOS Y RAZONES Y PROPORCIONES RAZONES Se llama razón a la comparación de dos cantidades. Esta comparación puede ser de dos maneras: Razón Aritmética y Razón Geométrica Ejemplo: comparar los números 64 y 16  Razón Aritmética: 64-16 =48  Razón Geométrica: 64/16=4 RAZON ARITMETICA a–b=r Razón aritmética b: Consecuente a:Antecedente RAZON GEOMETRICA a  k k:Razón geométrica b

a:Antecedente B:Consecuente PROPORCIONES Se establece una proporción al igualar 2 razones, entonces las proporciones pueden ser Geométricas o Aritméticas. PROPORCION ARITMETICA Se llama así a la igualdad de dos razones aritméticas de un mismo valor: Si: a – b = r y c – d = r a – b = c – d Proporción Aritmética Terminología: a y c: antecedentes b y d: consecuentes a y d:extremos b y c: medios CLASES DE PROPORCION ARITMETICA 1. PROPORCION ARITMETICA DISCRETA a–b=c–d d: cuarta diferencial 2. PROPORCION ARITMETICA CONTINUA a–b=b–c b: media diferencial c: tercera diferencial PROPORCION GEOMETRICA Se llama así a la igualdad de dos razones geométricas de un mismo valor: Si: a b

 k

y

c d

 k

a b



c d

Proporción Geométrica Terminología: a y c: antecedente b y d: consecuente a y d: extremos b y c: medios Donde k: constante de proporcionalidad CLASES DE PROPORCION GEOMETRICA 1. PROPORCION GEOMÉTRICA DISCRETA a c  b d d: cuarta proporcional 2. PROPORCION GEOMÉTRICA CONTINUA

CPU – UNSM -T

a b  b c b: media proporcional c: tercera proporcional PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES GEOMÉTRICAS a) La suma o resta de los dos primeros términos es a la suma o resta de los dos últimos términos, como los antecedentes son entre si o como los consecuentes son entre si. Si: a  c  a  b  a  b b

d

cd

c

d

b) La suma de los dos primeros términos es a su resta como la suma de los dos últimos términos es a su resta. a c ab cd    b d ab cd

c) La suma o la diferencia de los antecedentes es a la suma o diferencia de los consecuentes como cada antecedente es a su respectivo consecuente. a c ac a c     b d bd b d

d) En toda proporción geométrica la suma o resta de los dos términos de la primera razón es a su consecuente i antecedente como la suma o resta de los dos términos de la segunda razón es a su consecuente o antecedente. ab c  d  a c  b d   b dab  c  d  a c

e) La suma de antecedentes es a su diferencia como la suma de consecuentes es a su diferencia. a  c  a  c  b  d b

d

ac

bd

PARA RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES En forma genérica podemos afirmar que: a1 a 2 a3 a    ....  n  k(razón) b1 b 2 b3 bn

a) La suma de los antecedentes sobre la suma de los consecuentes NO hace variar la razón: a1  a 2  a3  ....  an  k(razón) b1  b 2  b3  ...  bn

b) El producto de los antecedentes sobre el producto de los consecuentes hace variar la razón: a1  a 2  a3  ....  an n  k (razón) b1  b 2  b3  ...  bn

PROMEDIOS Se llama promedio o cantidad media de un conjunto de números a un número que es mayor que la menor cantidad y menor que la mayor. a1  a 2  a3  ......  an a1  Pr ome dio  an

Media aritmética (M.A) Media aritmética de a y b. M.A 

ab 2

228 | P á g i n a



Media aritmética (M.A) de “n” Números. M.A 

a1  a 2  a3  ......  an n

A) 94

ab

Hallar la tercera proporcional de una proporción geométrica continua donde el producto de sus cuatro términos es 6561 y el primer término es 9 veces el último término. A) 3 B) 18 C) 27 D) 81 E) 243

8.

Si: 30 12 10 y además: a + b + c = 52 Hallar el valor de: a – c A) 20 B) 24 C) 8 D) 12

Media armónica (M.H) Media armónica de “a” y “b”.

ab

n M.H  1 1 1 1    ......  a1 a 2 a 3 an

No olvide que: M.A  M.G  M.H MG2= MA.MH Media ponderada (M.P.) Es el promedio de cantidades que poseen pesos EJERCICIOS PROPUESTOS: 1. Dos números están entre sí como 7 es a 12. Si al menor se le suma 70, para que el valor de la razón no se altere, entonces el valor del otro número debe triplicarse. Hallar el mayor de los 2 números. A) 60 B) 48 C) 36 D) 72 E) 84 2.

En un corral la relación entre el número de pollos y el número de gallinas es como 5 es a 3. Si se mueren 1/3 del número de aves del cual 2/3 eran pollos y el resto gallinas. ¿Cuál será la nueva relación entre el número de pollos y gallinas que quedan?. A) 29/19 B) 29 C) 19 D) 3/2 E) 4/3 32

3.

4.

bc

4

c 4 e Si: b Hallar el valor de “e”. A) 1 B) 2 C) 4

D) 3 E) 8

Sabiendo que:

a a 1 aa b aa y que la suma de los términos de esta proporción es 144. Calcular el valor de la media proporcional. A) 16 B) 27 C) 32 D) 9 E) 25



5.

Los antecedentes de varias razones geométricas equivalentes son: 2 ; 3 ; 4 y 5 el producto del primer antecedente y los 3 últimos consecuentes es 41160. La suma de los consecuentes es:

E) 97

7.

M.G  n a1  a2  a3  ......  an

2ab ab Media armónica (M.H) para “n” números.

D) 96

Determinar la tercia proporcional entre la media proporcional de 9 y 16; con la cuarta proporcional de 10; 15 y 14. A) 38 B) 36, 75 C) 40 D) 34, 25 E) 32, 5

Media geométrica (M.G) de “n” Números.

M.H 

C) 95

6.

Media geométrica (M.G) Media geométrica de “a” y “b”.

M.G 

B) 98

CPU – UNSM -T

9.

 bc  ca

E) 10

En una proporción geométrica continua, la suma de sus términos extremos es 51; y la suma de sus cubos es 110619. Hallar la suma de los términos de la proporción. A) 102 B) 95 C) 147 D) 75 E) 180 a

 b k

b c 10. Si: y ab  ac  320 Hallar: a + b + c; siendo a, b, c y k números enteros y distintos entre sí. A) 1090 B) 2102 C) 1092 D) 2100 E) 318

11. La suma de los 4 términos de una proporción geométrica continua es a la diferencia de sus extremos como 3 es a 1. ¿Cuál es la razón geométrica del extremo mayor al extremo menor?. A) 4 : 1B) 3 : 2 C) 2 : 3D) 1 : 2 E) 5 : 1 12. Tres números forman una proporción aritmética continua de constate igual a 5. Si los dos mayores están en la proporción de 4 a 3. Calcular l tercera diferencia. A) 5 B) 15 C) 20 D) 10 E) 12 13. En un aula de 40 alumnos el promedio de los 10 aprobados es 14. Hallar el promedio de los desaprobados si el promedio de la clase es 08. A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10 14. El promedio de 5 números es 85. se considera un sexto número y el promedio aumenta en 15. Hallar el sexto número. A) 15 B) 35 C) 75 D) 115 E) 175 15. El promedio de las edades de los cuatro hermanos de Pedro es 20 y de los 3 hermanos de Elsa es 30. ¿Cuál será el promedio de todos ellos incluido Pedro y Elsa, si la suma de las edades de ambos es 46 años?. A) 20 B) 30 C) 25 D) 24 E) 35 229 | P á g i n a



16. Sean a y b dos números enteros pares, si el producto de la MA con su MH es igual a cuatro veces su MH, entonces el menor valor que toma uno de dichos números es. A) 4 B) 6 C) 2 D) 8 E) 10 17. Sean a y b dos números enteros si el producto de la MA con su MH es igual al doble de su media geométrica, entonces el menor valor de (a + b) es: A) 1 B) 2 C) 5 D) 4 E) 6 18.

En el último Examen de Admisión 20171 CPU-UNSM, se obtuvo que el promedio de notas de los varones es 1100 y el promedio de notas de las damas 1150. si el número de varones respecto al de damas es como 5 es a 7. ¿Cuál es el promedio del Examen?. A) 1032 B) 1051 C) 1079 D) 1129.16 E) 1143

19. Se tienen 60 objetos, cuyos pesos son un número entero de kilogramos. Sabiendo que el promedio de los pesos es 50 kgs. ¿Cuánto puede pesar como máximo uno de ellos, si ninguno pesa menos de 48 kg?. A) 150 KG B) 560 C) 580 D) 650 E) 168 𝐴+𝐵

𝐵+𝐶

𝐴+𝐶

20. Si: = = , además 3A+2B-C = 9 11 10 240 halle;(A+B-C) A) 30 B) 36 C) 40 D) 45 E) 48 √𝑚2 −18

√𝑛2 −98

√𝑝2 −32

21. Si : = = = 𝐾, ademas 3 7 4 ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 𝑎𝑎0(𝐾) =𝐾0(3) hallar el valor de: 𝑀 = √𝑚2 + 27 + √𝑛2 + 147 + √𝑝 2 + 48 A) 36

CPU – UNSM -T

produce la máquina B, la máquina C produce 2. En un día, la máquina A produjo 4400 botellas más que C. ¿Cuántas botellas produjo la máquina B ese día? A) 2000 B) 4000 C) 6000 D) 3000 E) 5000 25. La relación entre las edades de dos hermanas es, actualmente, 3/2. Se sabe que, dentro de 8 años, dicha relación será 5/4. ¿Cuál es la edad actual de la hermana menor? A) 4años B) 6 C) 8 D) 10 E) 12 26. En una serie de tres razones geométricas continuas e iguales, la suma de los consecuentes es 180 y la suma de las tres razones es 9/4. Hallar la suma de los antecedentes. A) 405 B) 120 C) 135 D) 245 E) 240 27. En una proporción aritmética continua los extremos están en la relación de 9 a 5. Si la diferencia de cuadrados de los términos de la segunda razón es un numero de tres cifras lo menor posible, halle la media diferencial. A) 12 B) 14 C) 16 D) 21 E) 35 28. El promedio de 20 números es 40. Si agregamos 5 números, cuyo promedio es 20. ¿Cuál es el promedio final? A) 32 B) 33.5 C) 38 D) 36 E) 45 29. El promedio de las 6 calificaciones de matemáticas de Juanito es 75, afortunadamente para Juanito su profesor eliminó su peor nota y el promedio de Juanito subió a 85, ¿cuál era la peor nota de Juanito? A) 20 B) 25 C) 30 D) 15 E) 50

B) 30 C) 42 D) 45 E) 32

22. Dos pescadores tienen 5 y 4 truchas respectivamente. Se encuentran con un cazador cansado y de hambre, con quien comparten las truchas en partes iguales. El cazador al despedirse, como agradecimiento, les obsequia $ 42, ¿cuánto le corresponde a cada pescador? A) 30 y 12 B) 26 y 16 C) 28 y 14 D) 21 y 18 E) 35 y 28 23. En una bolsa hay 165 monedas. si por cada 5 monedas de S/.2 hay 8 monedas de S/.5 y por cada 2 monedas de S/.5 hay 5 monedas de S/.1, halle el número de monedas de S/.5. A) 32 B) 58 C) 48 D) 64 E) 40 24. En una fábrica embotelladora, se tienen 3 máquinas (A, B y C). Por cada 7 botellas que produce la máquina A, la máquina B produce 5 y, por cada 3 botellas que

30. La edad promedio de 4 hombres es 65 años. Ninguno de ellos es mayor de 70 años. ¿Cuál es la edad mínima que cualquiera de los hombres puede tener? A) 67 B) 65 C) 64 D) 50 E) 54

SEMANA N° 07 FRACCIONES Y REDUCCIÓN A LA UNIDAD INTRODUCCIÓN: Uno de los conceptos más usados en nuestra vida cotidiana es la fracción. Cuando vamos al mercado pedimos ½ kg. de arroz, ¾ de pollo, etc. En esta parte se estudiará el fascinante mundo de las fracciones. FRACCIÓN: Se denomina fracción o quebrado a un número racional que no es entero f

a b

Numerador

Denomin ador Fracción

230 | P á g i n a



CLASIFICACIÓN DE LAS FRACCIONES: 1. Comunes u ordinarios. 2 7 10 Ejemplos: , , , etc 3 5 7 2. Decimales. 5 9 7 , , ,etc Ejemplos: 10 100 1000 3. Por la relación de sus términos. a f a b b a) Propias: 7 30 6 , , ,etc 14 57 11 a b) Impropias: f   a  b b 16 19 35 , , ,etc Ejemplos: 7 9 23 a c) Igual a la unidad: f   a  b b 5 7 9 , , ,etc Ejemplos: 5 7 9 4. Por grupos de fracciones. a a) Heterogéneas: f   b  diferentes b 4 3 9 , , Ejemplo: 5 7 4 a b) Homogéneas: f   b  iguales b 5 13 18 , , , etc Ejemplos: 7 7 7 Número mixto: Es aquel que resulta de sumar un entero y una fracción. Ejemplo:

Ejemplos:



5

3. Si a los dos términos de una fracción propia se le suma o resta un mismo número, la fracción aumenta o disminuye, respectivamente. 5 53  8  8  5 Ejemplo: 12 12  3 15 15 12 4. Si a los dos términos de una fracción impropia se les suma o se les resta un mismo número, la fracción disminuye o aumenta respectivamente. 19 Ejemplo: 17

19  6 25 25 19    17  6 23 23 17 5. Si al numerador de una fracción se le multiplica o divide por un número sin variar el denominador, la fracción queda multiplicada o dividida por dicho número respectivamente. 5 Ejemplo: Sea la fracción 7

5  3 15  quedo multiplicado por 3 7 7 5 3 5  quedo dividido por 3 7 21 6. Si al denominador de una fracción se le multiplica o divide por un número sin variar el numerador, la fracción queda dividida o multiplicada por dicho número, respectivamente. 5 Ejemplo: Sea la fracción 7

5 5 5 15  ;  7  3 21 7  3 7

1 1 1 1 4 4 5 9 3 3 ; 9

FRACCIÒN GENERATRIZ: Fracción: a/b= Nº Decimal exacto:  0,8 = 8/10  0,21 = 21/100 Decimal Periódico Puro:  0, 3̂ = 3/9 ̂ = 2/999  0, 002 Decimal Periódico Mixto: 24−2  0,24̂ = 90 3542−35

̂=  0,3542 9900 PROPIEDADES DE LAS FRACCIONES ORDINARIAS: 1. De un grupo de fracciones que tienen igual denominador, es mayor el que tiene mayor numerador. 6 7 19 19 Ejemplo: , ,  el mayor es : 8 8 8 8 2. De un grupo de fracciones que tienen igual numerador, es mayor el que tiene menor denominador. 5 5 5 5 Ejemplo: , ,  elmayor es : 6 9 16 6

CPU – UNSM -T

7. Si a los dos términos de una fracción se les multiplica o divide por un mismo número, la fracción no se altera. Ejemplo: Sea la fracción

3 32 6  = 16 16  2 32 GANANCIAS Y PÉRDIDAS SUCESIVAS: Si consideramos una cantidad como unidad es posible que se pierda o gane una parte (fracción) con respecto a esta. Quedando entonces disminuida o aumentada nuestra cantidad inicial. Pierdo Queda Gano Tengo 2 4 1 1 3 3 3 3 5 3 ( ) 9 4 𝑚/𝑛

4 3 ( ) 9 4 𝑛−𝑚 𝑛

5 3 ( ) 9 4

14 3 ( ) 9 4

𝑚/𝑛

𝑛+𝑚 𝑛

Ej. 231 | P á g i n a



Luego de perder en forma sucesiva ½ y 2/5 de lo que iba quedando, Raúl gana en forma consecutiva sus 3 últimos juegos: 1/2, ¼ y 1/6 de la cantidad que iba acumulando, retirándose con S/.70. ¿Cuánto tenía al inicio? P: pierde ; G: Gana INICIO P P G G G FINAL 1/3 2/5 ½ ¼ 1/6 70 QUEDA 2/3 x 3/5 x 3/2 x 5/4x 7/6X = 70 X = 80 II.- REDUCCIÓN A LA UNIDAD: Es una variedad de fracciones en la cual se trata de homogenizar lo hecho por cada objeto o personajes ya sea en 1 día, 1 hora, 1 min., etc. Ej. Si Antonio hace una obra en 4 días, entonces, en 1 día hace ¼ de la obra o viceversa, si Antonio en 1 día hace ¼ de la obra, entonces toda la obra lo hace en 4 días, es decir en forma práctica inviertes las cantidades. EJEMPLO: 1.- En una lancha pueden caber 15 mujeres o bien 10 hombres. ¿Cuántas parejas pueden caber en la mencionada lancha? Al abordar las 15 mujeres cada una ocupa 1/15 de la capacidad de la lancha. Cuando abordan los 10 hombres cada uno ocupa 1/10. Cuando aborda una pareja, la mujer ocupa 1/15 y el hombre 1/10. Entre los 2 ocupan: 1/15 + 1/10 = 1/6 Entonces si cada pareja ocupa 1/6 de la capacidad de la lancha, significa que en ella caben 6 parejas. (Inviertes). 2.- Ana hace un trabajo en 20 días y Beto lo hace en 30 días el mismo trabajo. En cuántos días harán dicho trabajo junto. Juntos en 1 día harán: 1/20 + 1/30 = 1/12 del trabajo Toda la obra lo hará en 12 días. EJERCICOS PROPUESTOS: 1.-De las siguientes fracciones: 21/19, 18/171,20/115. Halle la inversa de la suma de la mayor y la menor de las fracciones indicadas. A)2

105 190

B)3

50 91

C)3

101 112

D)3

100 137

E)2

117 137

2.-Si a los dos términos de una fracción irreductible, se le suma el triple del denominador y al resultado se le resta la fracción, resulta la misma fracción. ¿Cuánto suman los términos de la fracción original? A) 11 B)8 C)3 D) 13 E)10 3.-Cuantos números de dos cifras significativas cumplen con que la suma de sus cifras sea 1/n del valor del número? (n ∈ 𝑍) A) 10 B) 12 C) 14 D)16 E)18

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4.-La quinta parte de un número de tres cifras equivale al triple de la suma de las cifras del número. Halle el producto de dicha cifras. A) 12 B) 15 C) 18 D) 20 E) 21 5.-Una fracción sumada con su inversa resulta 50 veces el valor de la fracción original. Si el producto de los términos de la fracción es 50575. Señale la diferencia de los números. A) 105 B) 150 C)220 D)300 E)510 6.-Cuantas fracciones equivalentes a 432/648 tienen como suman de términos a un valor menor a 1000, que posee una cantidad impar de divisores? A) 4 B) 5 C) 6 D) 15 E) 18 ̅̅̅ 7.-Hallar axb, si la fracción 𝑎𝑏⁄̅̅̅ es equivalente 𝑏𝑎 a 57/152. A) 12 B)14 C)16 D)15 E)18 8.-Un reservorio de agua tiene una capacidad de 9600 litros de agua, pero falta llenar los 3/16 de su volumen. Se extrae ¼ de lo que hay en él. ¿Qué cantidad de agua habrá que agregar para que solo falte llenar 1/6 de su capacidad? A) 2500 Lt B)2100 C)2150 D)2650 E)2700 9.-Se tiene un paquete de harina, que pesa 1450 gramos. Para preparar un biscocho se utiliza 2/5 de lo que hay en el paquete y para alfajores se usa 10/19 de lo que no se utiliza. ¿Cuántos gramos de harina quedan? A) 750gr B)570 C)480 D)450 E)654 10.-Una vasija llena de agua contiene 1K de sal en disolución, se bota ¼ del contenido y se vuelve a llenar con agua, se bota nuevamente 1/3 del contenido y se vuelve a llenar con agua. Por último se bota la mitad del contenido. ¿Qué cantidad de sal queda en la vasija? A)1/4k B)3/7k C)1/3k D)1/2k E)1/7k 11.-Una obra se divide en varias etapas, cada una con el mismo volumen a trabajar, contratando 15 obreros. Al terminar la primera etapa se despide un número de obreros igual a la cuarta parte del número de obreros que no se despide, trabajando ellos toda la segunda etapa. Si se lleva trabajando 9 días. ¿Cuántos obreros se deben contratar para la siguiente 232 | P á g i n a



etapa de modo que se termine según lo planificado? A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12 12.-Se tiene un recipiente cuya capacidad es de 27/4 litros y un envase de 3/7 lt con el cual se desea llenar el recipiente pero cada vez que se trae el agua en el envase se derrama 1/8 de lo que está lleno. ¿Cuántas veces habrá que utilizar el envase, para llenar el recipiente? A) 10 B)12 C)16 D)18 E)20 13.-Antes de la votación, los ¾ del total apoyaban una lista A, la mitad del resto votarían por B y 27 estaban indecisos. Después de la votación, los resultados mostraron que solo la mitad de los que apoyaban la lista A votaron por ella, 1/34 del total no voto, y el resto voto por B. ¿Cuántos votos de diferencia obtuvieron las listas A y B? A) 24 B) 25 C) 30 D)31 E)35. 14.-A una varilla de fierro se le hacen cuatro cortes de la forma siguiente: el primero para reducirlo en ¼ de su longitud, el segundo 1/5 de lo que ha quedado, el tercero 1/6 del resto y el cuarto 1/7 del nuevo resto, quedando de la varilla 42 cm. ¿Cuál era la longitud inicial? A) 0.99m B)1 C) 0.97 D) 0.96 E)0.98 15.-Carlos adelanta a Manuel en 24 pasos y avanza 6 pasos por cada 5 que da Manuel, pero tres pasos de Carlos equivalen a 2 pasos de Manuel. ¿Cuántos pasos debe dar este último para que alcance a Carlos? A) 75 B) 80 C) 84 D) 85 E) 90 16.-En un recipiente de 50 litros de capacidad hay 23 litros de vino, 17 de alcohol y el resto se completa con agua. Se bota la cuarta del contenido y se vuelve a llenar con agua, luego se bota 1/3 y se llena otra vez con agua. Por último se bota 1/5 y se vuelve a llenar con agua. ¿Cuál es la cantidad de agua contenida en el recipiente? A) 30 Lt B) 34 C)36 D)40 E)42 17.-En una carrera de campo, un corredor observa que ha recorrido 7/13 de lo que le falta recorrer. ¿Cuánto tiempo ha empleado, si toda la carrera lo hace en 80 minutos?

CPU – UNSM -T

18.-Los 2/5 de una barrica más 10 litros son de vino y 5/9 de la barrica menos 8 litros son de agua. ¿Cuántos litros son de vino? A) 17 B)19 C)21 D)23 E)28 19.-Según el censo nacional de 1993, en el Perú, la población que se concentra en la región amazónica es los 2/15 de lo que se encuentra en la faja costera, y esta es los 3/5 de la población total del país. ¿Qué parte de la población total, no está en la región amazónica ni en la faja costera? A) 8/25 B)4/15 C) 11/15 D)17/25 E)11/25 20.-Carlos debe 120 soles, piensa amortizar la deuda pagando 7/15 del valor de esta, pero realiza gastos de modo que solo puede pagar ¾ de lo que pensaba dar. Si hubiese pagado 8 soles. ¿Qué parte de la deuda le faltaría pagar? A)3/7 B)4/15 C)4/7 D)7/12 E)1/15 21.-Raul y José alquilan un local comercial. Raúl ocupa los 3/7 del local y paga mensualmente 240 dólares. José paga quincenalmente y por ello le descuenta 1/32 de lo que debía pagar. ¿Cuánto paga José quincenalmente en dólares? A) 115 B)130 C)120 D)155 E)160 22.-¿A qué hora del día, los 5/8 del tiempo transcurrido es la mitad de lo que falta por transcurrir? A) 6:40 a.m. B)6:00 a.m. C)2:00 p.m. D)10:10 a.m. E)10:40 a.m. 23.-Dos carpinteros pueden hacer 20 bancos, trabajando juntos 24 días. El más joven puede hacer 1 banco en 3 días. Si han hecho 15 bancos. ¿Cuántos días más de lo señalado entregaran los bancos, si el menor se retira? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 4/3 24.-Una lámina de Gerflex, sometido a una determinada temperatura, se dilata aumentando su largo en 1/9 y su ancho en 7/20. ¿Qué fracción del área inicial de la lámina es la nueva área? A)2/3 B)3/4 C)3/5 D)3/2 E)4/3 25.-Se mesclan tres tipos de arroz cuyos costos unitarios son de S/3, S/2.2, S/1.5 en las

A) 28 Minutos B) 20 C)30 D)52 E)24 233 | P á g i n a



siguientes cantidades: 9kg, 5kg, 6kg,. Calcular el costo de la mescla.

Si se tiene “n” aumentos sucesivos: A1, A2, …, An, el aumento único equivalente Au, será: AU=[

A) 2.35 B) 3.3 C) 3.8 D) 3.9 E) 4.9

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(100+A1 )(100+A2 )…(100+An ) 100n−1

]%-100%

APLICACIONES DEL TANTO POR CIENTO 26.-En qué relación deben de mesclar café de s/20 el kg con café de s/30 el kg para obtener café de s/23.

Pv : Precio de venta Pc: Precio de compra D: Descuento G : Ganancia P: Pérdida PL: Precio de Lista = PF: Precio Fijado Pv = Pc + G

A) 4/5 B) 4/9 C) 7/3 D) 3/7 E) 4/5 27.-Se mescla 12 litros de pisco de s/8 el litro con 10 litros de s/7.5 y 8 litros de s/5. ¿A cómo se deberá vender para ganar el 10% del costo? A) 7.73 B) 8.73 C)8.43 D)9.33 E)9.53 28.-Un comerciante ha comprado 350 litros de aguardiente a 1.35 el litro. ¿Qué cantidad ¿Qué cantidad de agua habrá de añadir para vender el litro a s/1.75 y ganar el 30%? A) 1 Litro B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 29.-Se mezclan 40 litros de alcohol de 90% de pureza con X litros de alcohol al 50% y 30 litros al 80% de pureza. Halle X si se sabe que la mezcla tiene 75% de pureza. A) 30 litros 40 litros

B) 120 litros E) 20 litros

C) 50 litros

D)

30.-A 80 litros de alcohol al 60% se le adiciona 40 litros de agua. ¿Cuantos litros de alcohol puro se deben agregar a esta nueva mezcla para obtener la concentración inicial? A) 50 B) 60 C) 70 D) 80 E) 90

Pv = Pc – P

Pv = PL – D

Ejemplo: El 25% de 44 es: 25/100(44) = 11 Conversión del tanto por ciento a fracción o decimal: 20% = 20/100 =2/100 = 0,2 500% = 500/100 = 5/10 = 0,5 Variaciones Porcentuales: En las variaciones porcentuales solo se analiza las cantidades que varían, más no las cantidades fijas. Ejemplos: 1) ¿En qué porcentaje aumenta el área de un cuadrado cuando u lado aumenta en 30%? Resolución: Por suposición adecuada: Consiste en dar valores adecuados de tal manera que la magnitud cuya variación se quiere analizar sea 100 (100%). Asumamos que el lado del cuadrado sea 10 (este valor tiene 30% y además hace que el área sea como 100). Área=102=100 Área = 132 = 169 100%

13

10 169% Aumenta 10 10 69% El área aumenta 30% 10

13

30% (10) =3

13

13

SEMANA N° 08 PORCENTAJE Y MEZCLA PORCENTUAL Es el número de partes iguales que se toman de una cantidad total (unidad), dividida en partes iguales, % <>1/100. En general: a por ciento de N = a%N = a/100(N). TANTO POR CUANTO Es Una o varias partes de una unidad cualquiera: “El A por B de N:

A

B

(N) ”

Observaciones: 1. N = 100%N 2. a%N ± b%N = (a ± b)%N DESCUENTOS SUCESIVOS Si se tiene “n” descuentos sucesivos: D1, D2, …, Dn, el descuento único equivalente Du, será: DU=100%- [

(100−D1 )(100−D2 )…(100−Dn ) 100n−1

]%

EJERCICIOS PROPUESTOS: 1.-Calcular el 3 por 15 del 20 por ciento del 400 por 1000 de 6250. A) 100 B) 200 C)120 D) 90 E)150 2.-En un salón el 25% del número de mujeres es igual al número de hombres. Calcular que tanto por ciento representa el número de hombres con respecto al total. A) 105 B) 20 C) 30 D) 40 E)34 3.-Si A aumenta en un 20%. ¿En cuánto aumentara A3?

AUMENTOS SUCESIVOS 234 | P á g i n a



A) 24% B) 33.2 C)42 D)15 E)72.8

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4.-Diana lleva 2000 huevos al mercado y encuentra que el 10% estaba malogrado y solo pudo vender el 60% de los buenos. ¿Cuántos quedaron sin vender?

reparte estos productos a las tiendas de comercio ganando una comisión del 15% del precio al por mayor. La tienda remata el artículo haciendo un descuento dl 10% del precio de compra (del distribuidor). ¿En qué porcentaje se eleva el precio de fábrica del producto?

A) 230 B) 324 C) 720 D) 660 E) 834

A) 24.2% B)22.15 C)25.32 D)32 E)31.21

5.-Al venderse un televisor se gana el 20% del precio de venta. ¿Qué porcentaje del precio de costo se está ganando?

14.-Un comerciante compra al contado un artículo con un descuento del 20% del precio de lista. ¿Qué porcentaje del precio fijado en lista representa el precio de venta del comerciante si él debe ganar el 20% del precio de compra?

A) 15 B) 20 C) 25 D)30 E)35 6.-Un comerciante al vender un televisor en s/406.4 gano el 10% del 20% del 80% del costo. ¿A cuánto debe vender el televisor para ganar el 20% del 25% del 65% del costo? A) 413 B) 235 C) 427 D) 399 E) 440 7.-Para fijar el precio de venta de un artículo se aumentó su costo en 30%, pero al venderlo se hizo una rebaja del 10% de este precio fijado. ¿Qué tanto por ciento del costo se ganó?

A) 96% B) 72 C)113 D)87 E)99 15.-Un ejército por dos veces durante una campaña es atacado muriendo el 10% de los soldados que batallaban en cada ocasión. ¿Cuántos hombres tenían el ejército al empezar la campaña si termino la campaña 7290 soldados? A) 3700 B)8990 C)7500 D)10380 E)9000

8.-¿A qué descuento único equivale el hacer dos descuentos sucesivos del 20% y 20%?

16.-Al venderse un artículo se sabe que el precio de venta más el precio de costo es el 150% de la ganancia. En qué relación se encuentra el precio de venta y la ganancia?

A)32% B)33 C)35 D)36 E)37

A)2/3 B)5/4 C)3/5 D)9/11 E)11

9.-¿A cuánto equivale los descuentos sucesivos del 20%, 20% y 20% de una misma cantidad?

17.-Que porcentaje del 25% de 480 es el 50% del 40% del 80% de 600?

A)48.8% B)50 C)32 D)52 E)44

A) 80 B)90 C)100 D)110 E)120

10.-Si el 125% de x es igual al 4 por 5 de (x+a). ¿Qué porcentaje de x es a?

18.-El precio de venta de un objeto es s/8970, el comerciante gano en esta operación el 15%. Si la ganancia neta fue de s/970. Calcular los gastos que produce la venta.

A)17% B)19 C)18 D)15 E)22

A) 35.21% B)42.32 C)56.25 D)51 E) 44.6 11.-Que porcentaje de un número que tiene por 20% al 40% de 60 es el 72% de otro número que tiene por 40% al 60% de 20? A) 12 B) 14 C)16 D)17 E)18 12.-En una reunión los hombres exceden en 50% a las mujeres, si las mujeres aumentan 5%. ¿En qué porcentaje deben aumentar los hombres para que el total de personas aumente 20%?

A) 101 B)176 C) 200 D)250 E)276 19.-Si Soledad se retiró del casino con s/240 habiendo perdido primero el 20% y luego ganando el 50% de lo que quedaba. ¿Con cuanto fue al casino? A) s/343 B)288 C)250 D)200 E)240 20.-Se vende un artículo ganando el 60%, si se otorgan dos descuentos sucesivos de 20%. ¿Qué porcentaje se ganara?

A) 10 B)20 C)30 D)40 E)50 A) 20% B) 38.4 C) 2.4 D) 36 E) 31 13.-Un mayorista vende un producto ganando el 20% del precio de fábrica. Un distribuidor 235 | P á g i n a



21.-Que porcentaje habrá que disminuir a un número para que sea igual al 30% del 15% del 80% del 10% de sus 25/9 parte.

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A) 40 B) 50 C)60 D)65 E)70

SEMANA N° 09 CUATRO OPERACIONES

A) 99% B) 77 C) 81 D) 32 E) 15 22.-En una ciudad de 2500 habitantes el año pasado se casaron el 12% de los varones y el 8% de las mujeres. ¿Qué tanto por ciento del total de los habitantes son varones? A) 20% B) 60 C) 40 D) 45 E) 50 23.-Un litro de mescla formada por 75% de alcohol y 25% de agua pesa 970 gramos. ¿Cuánto pesa un litro de mescla formada por 255 de alcohol y 75% de agua? A) 920gr B)970 C)990 D)975 E)995 24.-Pilar tiene 30 litros de una solución que contiene 12 litros de alcohol. ¿Cuántos litros de agua debe agregar para obtener una solución al 25%? A) 20 B) 15 C) 16 D)21 E)18

Adición: 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 = 𝑆 Donde 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 : sumando S = suma total Sustracción: M-S=D M= minuendo S= sustraendo D= diferencia 𝑀+𝑆+𝐷 PROPIEDAD:M= 2 Multiplicación:𝑎𝑥𝑏 = 𝑝 a= multiplicando b= multiplicador p= producto División: División exacta: D 0

D

D

26.-Si el lado de un cuadrado aumenta en 20% su área aumenta en 121m 2. Si el lado disminuye en 205. ¿En cuánto disminuye su área?

A)1/2 B)2 C)3/2 D)3 E)5/2 28.-Se tiene dos recipientes de 10 litros cada uno, el primero con 60% de alcohol y el segundo con 80% de alcohol. ¿Cuántos litros deben intercambiarse para que ambos tengan el mismo porcentaje de alcohol?

r

A) 325 B) 330 C)335 D)340 E)345 30.-¿A cuánto equivale el 4 por 9 del 3 por 7 de 315?

d

D= dxq+r

d

D= d(q+1)-r

q+1

METODOS GRAFICOS DE SOLUCION:  M. Rombo.  M. Cangrejo.  M. Rectángulo.  M. Equivalencias  M. falsa Suposición. EJERCICIOS PROPUESTOS: 1.

La suma del minuendo, sustraendo y diferencia de una sustracción es 19 456 Y el minuendo es el cuádruple del sustraendo. Hallar el sustraendo. A) 2 432 B)608 C) 1 216 D) 3040 E) 3648

2.

Un alumno tiene que multiplicar un número por 30; pero se olvida de poner el cero a la derecha del producto; por lo que obtiene un resultado que difiere del verdadero en 5 751. Hallar dicho número. A) 639 B)219 C) 1 917 D)213 E) 426

A)6 lt B)4 C)7 D) 5.4 E)5 29.-De un grupo de 400 personas el 15 por 80 son mujeres. ¿Calcular el número de hombres?

q

q r   Por exceso:

A) 13520 B) 13540 C) 13620 D)13480 E)13650

27.-Para aumentar en un 125% el área de un círculo, su radio se debe multiplicar por:

D= dxq

División inexacta:  Por defecto:

25.-El 40% del 75 por mil de 8 por 9 de un numero se le suma la quinta parte del 5 por 7 del 42% de dicho numero el resultado es 1183. Hallar el número.

A) 120m2 B) 105 C)108 D)99 E)103

d

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3.

¿Cuánto se debe sumar al dividendo de una división cuyo divisor y residuo son 15 y 6, para que el cociente aumente en 3 y el resto sea máximo? A) 48 B) 57 C)50 D)53 E) 62

4.

Se tiene el producto: a x 15 x 18 si aumentamos 7 unidades a cada uno de los factores el producto aumenta en 4 970. Hallar. "a": A) 8 B) 4 C)6 D)9 E) 16

5.

A un número formado por un 2, un 7, y un 1 se le resta otro formado por un 5 y dos 7y se obtiene un número formado por un 3, un 1 y un 5. ¿Cuál es el resultado? A) 135 B)315 C)153 D)513 E) 351

6.

Hallar la suma de las cifras de ab2, sabiendo que este número disminuido en Su C.A. da un número de tres cifras iguales. A) 9 B)15 C) 11 D) 6 E)13

7.

El cociente y el resto en una división inexacta son 4 y 30 respectivamente, si se suman los términos el resultado es 574. Hallar el divisor. A) 438 B)102 C)430 D) 170 E) 108

8.

Se han comprado 77 latas de leche de dos capacidades distintas; unas tienen 8 onzas y las otras 15 onzas. Si el contenido total es de 861 onzas. ¿Cuántas latas de 8 onzas se compraron? A) 42 B) 20. C) 39 C) 35 D)40 9. Debo pagar 2050 dólares con 28 billetes de 50 y 100 dólares. ¿Cuántos billetes de 100 dólares debo emplear? A) 15 B) 14 C)13 D) 16 E) 17

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13. A un número se le multiplica por 3, se le resta 6, se multiplica por 5, se le divide por 8, se eleva al cuadrado, se le resta 171 y se le extrae raíz cúbica, obteniéndose 9. Cuál es dicho número? A) 12 B)18 C)24 D) 30 E) 36 14. En un corral hay 180 patas y54 cabezas; si lo .único que hay son gallinas y conejos. ¿Cuál es el número de alas? A) 36 B)48 C)18 D) 60 E) 54 15. Una vasija llena de agua pierde durante la primera hora las 1/3 parte de su capacidad. durante la segunda hora la 1/3 del resto y así sucesivamente. Al cabo de 5 horas, quedan 32 litros en la vasija. ¿Cuál es la capacidad de esta? A) 486 litros B) 343 litros C) 81 litros D) 162 litros E) N.A. 16. Un padre propone 12 problemas a su hijo con la condición de que porcada problema que resuelva el muchacho reciba 10 soles y por cada problema que no resuelva perderá 6 soles. Después de trabajar en los 12 problemas el muchacho recibe 72 soles. ¿Cuántos problemas resolvió? A) 3 B)9 C)6 D)7 E)8 17. En un mercado por 3 kilos de arroz, dan 5 kilos de azúcar, de la misma manera por 8 kilos de azúcar dan 4 kilos de frijoles; por 10 kilos de frijoles dan 2 kilos de carne de res. ¿cuántos kilos de carne de res nos darán por 30 kilos de arroz? A) 2 B)8 C) 4 D) 12 E)5

10. Se forma la longitud de 1 metro, colocando 37 monedas de 50 y 100 pesos en contacto y a continuación unas de las otras. Los diámetros de las monedas eran de 25 y 30 mm. ¿Cuántas monedas son de 50 pesos? A) 20 B) 26 C)18 D)22 E)25

18. En una fiesta hay 60 personas entre damas y caballeros, una primera dama bailó con 5 caballeros, una segunda dama bailó con 8 caballeros, una tercera dama bailó con 13 caballeros, y así sucesivamente hasta que la última dama bailó con todos los caballeros. ¿Cuántos caballeros asistieron a dicha fiesta? A) 53 B)47 C)25 D) 37 E) 30

11. Una persona participó en 3 apuestas; en la primera duplicó su dinero y gastó 30 soles. En la segunda triplicó lo que le quedaba y gastó 54 soles, en la tercera cuadriplicó la suma restante y gastó 72 soles. Al final le quedó 48 soles. ¿Cuánto tenía al comienzo? A) 30 B)28 C) 31 D) 51 E)29

19. En una feria agropecuaria por 3 patos dan 2 pollos; por 4 pollos dan 3 gallinas; por 12 gallinas dan 8 monos; si 5 monos cuestan 150 soles. ¿Cuánto tengo que pagar para adquirir 5 patos? A) S/.50 B)S/.60 C) 70.D) S/.80 E) S/.65

12. En un estacionamiento para bicicletas y triciclos, habían 70 timones y 170 llantas. ¿Cuántos triciclos había? A) 30 B)40 C)20 D) 15 E)10

20. Un vendedor vende 3 grabadoras por 500 soles y otro que tiene el doble de grabadores, los vende a 2 por 300 soles. Si se juntan para evitar la competencia las deben vender a: A) 5 por 800 soles B) 7 por 1 100 soles 237 | P á g i n a



C) 7 por 550 soles D) 9 por 1 400 soles E) 3 por 700 soles 21.

Hallar el mayor abc tal que: C.A.(abc) = 2(cba - 1) y dar como respuesta (a + b+ c). A) 7 B)10 C) 8 D) 12 E)9 22. El cociente de una división es 11 y el resto 39. Determinar el dividiendo sabiendo que es menor que 500 y que su cifra de unidades es cero. A) 490 B)460 C)480 D) 450 E)470 23. Uno de los factores de un producto es doble del otro, si a cada uno de ellos se le suma dos unidades, el producto aumenta en 100 unidades. ¿Cuál fue el mayor de los factores? A) 32 B) 16 C) 72 D)24 E) 8 24. Un pastor que llevaba carneros a la feria: Si vendo mis carneros a 20 soles clu podré comprar un caballo y tener 90 soles de sobra; pero si los vendo a 18 soles cl u comprando el caballo no me sobran más que 6 soles. ¿Cuánto suma el precio de caballo y la cantidad de carneros que tenía el pastor? A) 795 B) 792 C)784 D)692 E) no vendió los carneros 25. En un examen de "n" preguntas, cada respuesta correcta recibe 6 puntos y cada respuesta equivocada - 4 puntos, si un estudiante saca cero. ¿Cuántas preguntas buenas tuvo? A) n/10 B) 3n/10 C) n/5 D) 2n/5 E) 3n/4 26. El agua contenida en un pozo se agota en 3 horas. En cada hora baja el nivel Del agua en 2/3 de la altura; más 2 metros. Determinar el espesor que tenía la capa de agua. A) 38m B) 46,5 m C) 78m D) 72 m E) 54m 27. Un ingeniero quiere premiar a algunos de sus ayudantes; dando 5 soles a cada uno le faltarían 3 soles y dándoles 4 soles le sobrarían 7 soles. Dar la suma del número de ayudantes y el número total de soles? A) 10 B) 67 C)47 D) 48 E) 57 28. Si el precio del transporte de una encomienda de un punto a otro es SI. 30,5 por los 4 primeros kilos y SI. 1,5 por cada kilo adicional. ¿Cuál es el peso de una encomienda cuyo transporte ha costado SI. 62? A) 40 Kg B) 30 Kg. C) 41 Kg D) 25 Kg.E) 28 Kg

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29. Un escolar duda comprar entre 360 cuade s o por el mismo precio 45lapiceros y 45 lápices; pero decide comprar el mismo número de artículos de las 3 clases. ¿Cuántos artículos compró en total? A) 120 B)195 C) 135 E) 200 C)180 30. Ocho personas tienen que pagar por partes iguales una deuda de SI. 250 (en total). Como algunas de ellas no pueden hacerla; cada una de las restantes abonan SI. 18,75 más. ¿Cuántas personas no pagaron? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 31. Tres jugadores P, Q Y R acuerdan jugar tres partidas, donde el que quede último en cada uno de ellas duplicará el dinero a los otros dos, si cada uno perdió una partida en el orden indicado de presentación y al final, el primero tiene SI. 480, el segundo SI. 560 Y el tercero SI. 280. ¿Cuánto dinero tenía "A" al empezar el juego? A) SI. 640 B) SI. 840 C) 6 D) SI. 720 SI. 960

E)

32. Se tiene 48 naranjas repartidas en 3 montones diferentes. Del primer montón se pasó al segundo tantas naranjas como hay en éste, luego del segundo se pasó al tercero tantas naranjas como hay en ese tercero y por último del tercero se pasó al primero tantas como aún quedaban en ese primero. Si los tres tienen ahora igual número. ¿Cuántas naranjas había al principio en cada montón? A) 26,12 y 10 B) 20,16 y 12 C) 20,16 Y 23 D)22,14y12 D) 18, 1·6Y 14

SEMANA N° 10 PLANTEO DE ECUACIONES Al finalizar el presente capítulo, el lector estará en la capacidad de interpretar enunciados sobre problemas de diversa índole, para su posterior representación simbólica, desarrollar las habilidades abstracción cuantitativa, es decir capacidad para representar simbólicamente a las cantidades y las y las relaciones existentes entre ellas. Enfrentar la manera adecuada las diferentes formas de plantear y resolver una ecuación asimismo; como de la vida cotidiana. Veamos a continuación algunos ejemplos de pequeñas frases u oraciones traducidas del lenguaje castellano al lenguaje simbólico.

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LENGUAJE LENGUAJE CASTELLANO ALGEBRAICO La suma de 3 x+(x+1)+(x+2)= números 153 consecutivos es 153 La edad de Ángel es 2 A=2x años veces la edad de B=x años Beatriz Yo tengo la mitad de YO =x lo que tú tienes y él TU =2x tiene el triple de lo que El= 6x tú tienes El exceso de A sobre A –B = 50 B es 50 El triple de un número, 3x +10 aumentado en 10 El triple, de un numero 3(x+10) aumentado en 10 He comprado tantas Compro=xcami camisas como soles sas cuesta cada una C/u = S/. x Sugerencias: - Leer detenidamente el texto del problema hasta comprender de qué se trata. - Ubicar los datos y la pregunta - Elegir la(s) variable(s) con las cuales se va a trabajar - Relacionar los datos con las variables para plantear una o más ecuaciones que al resolver nos den la solución al problema. ejemplos: 1. Anteayer tuve el triple de lo que tengo hoy y lo que tengo hoy es el doble de lo que tenía ayer, que fue 50 soles menos que anteayer. ¿cuántos soles debo agregar a mi dinero para poder comprar un pantalón que cuesta S/ 60. Resolución:Anteayer ayer hoy S/. 6x S/. x S/. 2x Por dato:6x – x = 50 X=10 Hoy tengo S/. 20 me falta agregar S/. 60 – S/. 20 = S/. 40 EJERCICIOS PROPUESTOS: 1.

En un negocio de aves, se venden pavos; gallinas y codornices. Son todos gallinas menos 5; son todos pavos menos 7, Y son todos codornices menos 4, si un cliente compró todas las gallinas y codornices entonces: A) Compró 8 aves B) Sólo quedó 1 pavo C) Dejó 3 pavos D) Habían 7 pavos E) Llevó 16 aves

2.

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Si al comprar una docena de lapiceros me regalan 1 lapicero. ¿Cuántas docenas he comprado si recibo 338 lapiceros? A) 21 B) 24 C) 26 D) 28 E) 30

3.

"A" tiene un año menos que "B" y "B" un año menos que "C". Si el cuadrado de la edad de "C" se resta el cuadrado de la edad de "B", la diferencia es 11 años menos que los .17/5 de la edad de "A". ¿Hallar la edad de "C"? A. 10 años B) 13 C) 11 D) 14 E) 12

4.

En una tienda hay la siguiente oferta: un cuadro grande con marco vale 6 cuadros pequeños sin marco, 2 cuadros grandes sin marco valen uno pequeño con marco, tres pequeños sin marco valen uno pequeño con marco. ¿Cuántos cuadros pequeños sin marco se pueden cambiar por los marcos de dos cuadros grandes? A) 6 B) 7 C) 9 D) 10 E) 12

5.

Si tiene un examen de 350 preguntas de las cuales 50 son de matemáticas, suponiendo que a cada pregunta de matemáticas se dé el doble de tiempo que a cada pregunta no relacionada, con esta materia. ¿Cuánto demorará resolver matemáticas si el . Examen dura tres horas? A) 45 min B) 60 C) 52 D) 70 C) 62

6.

Para ensamblar 50 vehículos, entre bicicletas, motocicletas y automóviles, se utilizaron entre otros elementos 38 motores y 148 llantas. ¿Cuántas motocicletas se ensamblaron? A) 10 B)12 C)14 D) 16 E) 24

7.

El cuadrado de la suma de las 2 cifras que componen un número es igual a 121.Si de este cuadrado se restan el cuadrado de la primera cifra y el doble del producto de las 2 cifras; se obtiene 81. ¿Cuál es el número? A) 65 B)56 C)47 0)38 E)29

8.

Hoy gané S/.1 más que ayer y lo que he ganado en los dos días es 25 soles más que los 2/5 de los que gané ayer. ¿Cuánto gané ayer? A) S/.15 B) 17 C) 16 D) 13 E) 1.4.

9.

"A" Y"B"· comienzan a jugar con igual suma: de dinero; cuando "B" ha perdido los 3/4 del dinero con que empezó a jugar, lo que ha ganado "A" es 24 soles más que la tercera parte de los que le queda a "B". ¿Con cuánto empezaron a jugar? para que quede los 2/3 del mismo? A) 20 soles O) 23 B) 21 E) 36 E) 22

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10. Se reunieron varios amigos y quienes tomaron cuatro tazas de leche y dos tazas de café y tuvieron que pagar 20 soles. Si en otra oportunidad; consumiendo 1 taza de leche y 3 tazas de café pagaron 10 soles. Entonces una taza de leche cuesta. A) 2.5 soles B) 4 C) 6 s D) 3 E) 5 11. En 7 horas 30 minutos una costurera puede confeccionar un pantalón y tres camisas; o 2 pantalones y una camisa. ¿En cuánto tiempo puede confeccionar un pantalón y una camisa? A) 3 horas C) 4 horas E) 5 horas . B) 3 horas 30 min 4 horas 30 min 12. hay 300 mil y en el tercer piso 100 mil. ¿Cuántos libros deben trasladarse del primero al tercer piso para que en el primer piso haya tantos libros como en el segundo y tercero juntos? A) 20 mil B) 100 C) 150 D) 50 E) 75 13. Si a un número se le quita 30 unidades, queda los 3/5 del número. ¿Qué cantidad se le debe quitar al número inicial A) 10 B) 18 C) 15 D) 20 E) 25 14. En un corral de chanchos y pelícanos el número de ojos es 24 menos que el número de patas (extremidades). ¿Hallar el número de hocicos? A) 6 B) 10 C) 12 D) 16 E) 20. 15. Los cuadrados de 2 números están entre sí como 25 y 36. Si la diferencia entre los cubos de dichos números es 728.¿Hallar el menor? A) 10 ·B) 12 C) 15 D)18 E) 20 16. Si a un número le agregamos un tercio de su valor, luego este resultado lo multiplicamos por un octavo del número inicial y por último a este resultado se le quita un sexto del número inicial. Si el resultado de toda esta operación es 2. ¿Hallar el número inicial? A) 5 B) 42. C) 15 D) 3 E) 4 17. Se divide un mismo número entre 2 números consecutivos, obteniéndose en ambos casos 45 de cociente. Si los 2 residuos suman 73 uno de ellos es. A) 12 B) 14 C) 16 D)18 E) 24 18. Una persona pierde en una apuesta S/.300 luego pierde S/.400, enseguida pierde la mitad de lo que le quedaba y por último pierde la mitad del resto, quedándose con S/.250 ¿Cuánto tenía inicialmente? A) SI. 2 800 B) SI. 1 400 C) SI. 1 700 D) SI. 1 950 E) SI. 1 100

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19. En una expedición a la selva, unos científicos encontraron un animal raro tal es así que los dedos de sus cuatro extremidades inferiores excedían en 16 al total de dedos de sus tres extremidades superiores. Si el total de dedos que posee es igual al total que tienen. Dos seres humanos. ¿Cuántos dedos tienen en sus extremidades inferiores? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 28 20. Si la mitad del tiempo que ha pasado desde las 7 a.m., es una tercera parte del tiempo que falta para las 10 p.m. ¿Qué hora es? A) 11 a.m. B) 12 a.m. C) 10 a.m. D) 1 p.m. E) 2 p.m. 21. Un frutero gasta tres sumas iguales de dI era en comprar manzanas, naranjas y plátanos. Cada naranja cuesta SI. 10 menos que una manzana y SI. 15 más que un plátano; en total compró 150 frutas. El número de naranjas excedió al de manzanas en tantos plátanos como pudo comprar por SI. 150.¿Cuánto invirtió en total el frutero? A) SI. 4 000 B) SI. 3800 C) 4200 D) SI. 3200 E) SI. 3 600 22. Un grupo de hombres, estaban formados en cuadrado, de manera que el marco lo constituían tres filas de hombres. Se observó que separando 3 hombres se podrá formar un cuadrado lleno en el cual el número de hombres de cada lado excedería en 19 a la raíz cuadrada del número de hombres que había en el lado mayor del primitivo. ¿Cuántos hombres existen en total A) 684 B) 924 C) 720 D) 732 E) 600 23. Un rectángulo de 30 x 100 cm,será agrandado para formar otro rectángulo de área doble, para ello se añade, una tira de igual anchura en sus bordes. ¿Cuál es el ancho de la tira en metros? A) 0,01 m B) 0,1 m C) 0,2 m D) 0.02. E) 0,3 m 24. Un comerciante compró algunos radios por 5 300 soles y luego queriendo tener una ganancia de 50 soles en cada radio los vendió por SI. 5 700 ¿Cuántos radios compró? A) 6 B) 8 C) 15 D) 18 E) 20 25. El producto de dos números es 918. Si al multiplicador le restamos 2 unidades, el producto disminuye en 68. Hallar el mayor de los dos números. A) 34 B) 102 C) 153 D) 51 E) 72

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26. En un examen Carlos obtuvo 5 puntos menos que Esteban, quien tuvo 2 puntos menos que Juan, cuyo puntaje es igual a la semisuma de lo obtenido por Esteban y Alberto. Si este último obtuvo 12 puntos, ¿Cuántos puntos obtuvo Carlos? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 27. Un lapicero de tinta seca cuesta S/.8 y un lápiz S/.5. Se quiere gastar exactamente S/.96 de manera de poder adquirir la mayor cantidad posible de artículos. ¿Cuál es el número de lápices comprados? A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 17 28. Un obrero gana S/.3 más que otro diariamente. Al cabo de 26 días se retira el primero y seis días después el segundo. Si los dos han cobrado la misma cantidad. ¿Cuál es el jornal diario del primero? A) 13 B) 15 C) 16 D) 17 E) 18 29. La diferencia de 2 números más 60 unidades es igual al cuádruple del menor, menos 50 unidades. ¿Hallar los números si la suma de ambos es 70? A) 20 Y 30 B) 40 Y 30 C) 10 Y 20 D) 15 Y 25 E) 40 Y 20 30. Un taxista compra 6 galones diarios de gasolina al precio de S/.15 el galón. ¿Cuántos galones podrá comprar con la misma cantidad de dinero si la gasolina sube a S/.18 el galón? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 31. Al preguntar una madre a su hija cuando había gastado de los 40 soles que le dio. Ella respondió. “Si no hubiera comprado un regalo que me costó 10 soles tan solo hubiera gastado los

3 de lo que no hubiera 5

gastado” ¿Cuánto gasto? A) 15 B) 20 C) 25

D) 30 E) 16

32. Un taxista compra 6 galones diarios de gasolina al precio de S/.15 el galón. ¿Cuántos galones podrá comprar con la misma cantidad de dinero si la gasolina sube a S/.18 el galón? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

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33. Si reparto tantos caramelos como niños hay me faltan 2; pero si doy un caramelo a cada niño me sobran 70 caramelos. ¿Cuantos caramelos tengo? A) 70

B) 79 C) 80

D) 68 E) 54

34. Cuando se instaló agua a una población correspondía a cada habitante 60 litros de agua por día. Ahora que la población se ha aumentado en 40 habitantes a cada uno de ellos les corresponde 58 litros de agua por día. Hallar la población actual. A) 1000 B) 1100 C) 1200 D) 800

900 E)

35. En una reunión se encuentran tantos caballeros como tres veces el número de damas, después se retiran 8 parejas; el número de caballeros que aún quedan es igual a 5 veces el de damas. ¿Cuántos caballeros había inicialmente? A)

10 B) 42

C) 45

D) 4 E) 24

36. Una persona concurre al hipódromo con S/. 500 y apostó en 10 carreras. Por cada carrera que acierta gana S/. 250 y por cada desacierto pierde S/. 150. Si se retira con S/. 1400. ¿Cuántas apuestas acertó? A)

5

B) 6

C) 8

D) 7 E) 4

37. La diferencia de dos números es 36. Si el mayor se disminuye en 12, se tiene el cuádruplo del menor. Hallar el producto de los números dados. A) 352 B) 328

C) 334

D) 224

E) 330

38. Una persona tiene S/. 120 y otra S/. 50; después que cada una de ellas gastó la misma cantidad de dinero, a la primera le queda el triple de los que a la segunda. ¿Cuánto les queda en conjunto a ambas personas? A) 140 B) 120

C) 100

D) 150

E) 240

39. Dos docenas de libros cuestan tantos soles como libros dan por S/. 2 400. ¿Cuánto cuestan 4 libros? A) S/. 40 B) 36

C) 41 D) 48 E) 39

40. En un corral hay liebres y loros. Si comparamos el doble del número de cabezas con el número de patas, éste excede a aquel en 16. ¿Cuántas liebres son? A) 3

B) 16

C) 8

D) 6

E) 7

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SEMANA N° 11 EDADES Cuando interviene 1 Sujeto: Sea “X” la edad actual de una persona, entonces dentro de “n” años tendrá “X + n” años y hace “m” años tenía “X - m” años. -m

Hace m años

+n

Hoy tengo

X-m

X m+n

Hace n años X+n

Pasado

Presente

Futuro

22

25

32

27

30

37

14

17

24

Se cumple:  La diferencia de edades de dos personas en el transcurso del tiempo es constante: 27 – 22 = 5 Se deduce 30 – 25 = 5  Se concluye que la suma en aspas(de valores ubicados, simétricamente) es constante: Ejemplo: 22 25 = 52 Ejemplo:

+ 27

20

=

Suponiendo que fue hace “X” años, luego en ese momento yo tenía: 40 − 𝑋 = 4 + 4(40 ÷ 4 − 4) 40 − 𝑋 = 28 𝑋 = 12 EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Rafael cuenta que cuando cumplió años en 1994, se dio cuenta que su edad era igual a la suma de las cifras del año de su nacimiento. ¿Cuántos años tenía en 1,999? A) 25

B) 36 C) 28 D) 24 E) 30

2. En el año 2002 un profesor sumó los años

Se deduce

Ojo: Cuando en un enunciado nos mencionan “hace…” o “dentro de…”, se debe tomar como punto de referencia el tiempo de presente, (hoy). Cuando Intervienen 2 ó Más Sujetos: Para este tipo de situaciones se sugiere utilizar un cuadro, con el propósito de razonar ordenadamente. ¡Veamos ahora una observación muy importante!. Asumiendo que las edades de tres personas en el pasado, presente y futuro son:

Y o T u E l

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de nacimiento de 45 estudiantes de un salón y luego las edades de los estudiantes, en seguida sumó ambos resultados y obtuvo 90068. ¿Cuántos estudiantes no cumplieron años en dicho año? A) 22

B) 23 C) 24

D) 25 E) 21

3. Cuando tú naciste yo tenía la tercera parte de la edad que tengo ahora. ¿Cuál será tu edad cuando yo tenga el doble de la edad que tienes, si en ese entonces nuestras edades sumarán 56 años? A) 25

B) 24 C) 30 D) 32

E) 18

4. La edad de 3

hermanos hace 2 años estaban en la misma relación que: 3; 4 y 5. Si dentro de 2 años serán como: 5; 6 y 7. ¿Qué edad tiene el mayor?

A) 10

B) 12 C) 4

D) 15

E) 18

5. Ulises le dice a Carlitos: “Tengo el triple de la edad que tu tenías cuando yo tenía la mitad de la edad que tienes y cuando tengas la edad que yo tengo, yo tendré el doble de la edad que tu tenías hace 12 años”. ¿Cuánto suman sus edades actuales? A) 70

B) 64

C) 68

D) 72

E) 73

6. Hace 6 años la edad de un tío es 8 veces la de su sobrino; pero dentro de 4 años solo será el triple. ¿Calcular la suma de sus edades? A) 56 B) 48 C) 64 D) 52 E) 42

52

7. Las edades de Roberto y Griselda suman Se deduce

Relación con el año de nacimiento:  Si la persona que cumplió años: Año de nacimiento + Edad actual = Año actual  Si la persona aún no cumple años: Año de nacimiento + Edad actual = Año actual -1 Ejemplos: 1) Sabiendo que tengo 40 años, ¿hace cuantos años tenía 4 años, más que 4 veces la edad que tenía cuando cumplí 4 años menos de la cuarta parte de mi edad actual? Resolución:

en la actualidad 120 años. Si Roberto tiene la edad que ella tenía cuando él tenía la tercera parte de su edad actual. ¿Qué edad tiene Griselda? A) 76 B) 75 C) 74 D) 73 E) 72

8. La edad de un padre y la de su hijo suman 90. Si el hijo nació cuando el padre tenía 36 años ¿Cuántos años tiene el hijo? A) 22 B) 30 C) 27 D) 35 E) 19

9. Hace 4 años la edad de Andrés era los 2/3 de la edad de Rosa y dentro de 8 242 | P á g i n a



años será los 5/6. ¿Cuál es la edad de Rosa? A) 12 B) 11 C) 17 D) 15 E) 16

10. Fernando tiene 4 años. La raíz cuadrada del año en que nació, mas su edad actual es igual a la edad cuando murió. ¿a qué edad murió, si nació en el año ̅̅̅̅̅̅̅ 19𝑎𝑏 ? A) 45 B) 46 C) 47 D) 48 E) 49

11. Un padre tuvo a su primer hijo a los 18 años. Si actualmente su edad es el doble de la edad de su hijo. ¿Cuál es la suma de las edades? A) 59

B) 54

C) 60

D) 65

E) 78

12. La edad de Pedro es la mitad de la edad de Carlos, y es los tres cuartos de la edad de su Paola. Si la suma de las tres edades es 65 años. Hallar la edad de Paola. A) 10

B) 15

C) 20

D) 25

E) 30

19. Juana tiene una hija a los 20 años y una nieta 24 años después; cuando la nieta tiene 11 años la abuela dice tener 45 años y la hija 30 años. ¿Cuál es la suma de las edades que ocultan ambas? A) 10

B) 15 C) 20 D) 25

mi edad aumentada en 4 años, tendría 32 años. ¿Qué edad tengo? A) 36

B) 18

C) 54

D) 14

E) 28

14. Hace 14 años, la relación de mi edad a tu edad era como 5 es a 1, y dentro de 6 años dicha relación será como 5 es 3. ¿Qué edad tengo? A) 30

B) 20

C) 36

D) 18

E) 34

E) 30

20. Luis sumo: 1 año, más dos años, mas tres años y así sucesivamente hasta la edad actual que tiene dando como resultado un numero de tres cifras iguales, ¿Cuál es la edad de Luis? A) 36

B) 38

C) 40 D) 42 E) 44

21. Si tuviera 13 años más de la edad que tengo, entonces lo que me faltaría para cumplir 72 años seria los 3/4 de la edad que tenía hace 3 años ¿dentro de 8 años que edad tendré? A) 38 B) 36

13. Si al triple de la edad que tengo se le quita

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C) 43

D) 35

E) 46

22. Teresa le dice a Gilma “Yo tengo el doble de la edad que tu tenías, cuando yo tenía la edad que tú tienes y cuando tu tengas la edad que yo tengo, la suma de nuestras edades será de 54 años. ¿cuál es la edad de Gilma? A) 21

B) 18 C) 12 D) 22

E) 16

23. Tú tienes la edad que yo tenía cuando tú 15. Dentro de 20 años, Pedro tendrá el doble de la edad que tenía hace 10 años. ¿Qué edad tendrá dentro de dos años? A) 40 B) 42 C) 30 D) 32 E) 36 16. Un alumno le pregunto por su edad a su profesor, este contesto:” Mi edad es la suma de todos aquellos números naturales tales que el cuadrado, de su cuádruple disminuido en 2, es mayor que 9 pero menor que 625”. ¿Cuál es la edad del profesor? A) 20 B) 30 C) 40

D) 50

E) 60

17. Yo tengo el doble de la edad que tu tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes, y cuando tu tengas la edad que yo tengo, la diferencia de nuestras edades será 8 ¿Qué edad tengo? A) 22 B) 32 C) 42

D) 52

E) 62

18. Si a la suma de los años de nacimiento de 40 alumnos se le suma sus edades se obtiene 78868. Si la suma se hizo en octubre de 1972. ¿Cuántos cumplieron años ya ese año? A) 21 B) 23

C) 25

D) 28

tenías 10 años. Se sabe que cuando yo tenga 34 años tú tendrás la edad que tengo. ¿Cuántos años tienes actualmente? A) 14 B) 16

C) 18

D) 20

E) 22

24. Hace 3 años Pepe Lucho le dijo a Henry “dentro de 7 años la relación de nuestras edades será como 22 a 7. Determinar la edad actual de Pepe, si la relación actual es como 4 a 1. A) 40 B) 20 C) 30 D) 42

E) 48

25. El doble de la suma de las edades de 2 personas es 60 años. Si dentro de 10 años la edad del primero será el doble de la edad que tuvo el segundo hace 10 años. ¿Cuál es la edad del segundo? A) 5 años

B) 30

C) 20

D) 15 E) 25

E) 31 243 | P á g i n a



26. Hace “X” años tuve 30 años, dentro de “3X” años tendré 54 años ¿Cuántos años tengo actualmente? A) 32

B) 34

C) 36

D) 40 E) 45

27. Alberto tiene 32 años

y su edad es el cuádruplo de la edad que tenía Ana, cuando Alberto tenía la tercera parte de la edad que ahora tiene Ana. Hallar la edad de Ana que tendrá dentro de 10 años. A) 36 B) 38 C) 39 D) 40 E) 45 28. Jaimito tiene la edad que tenía pepito, cuando Jaimito tenía la tercera parte de la edad que tiene pepito, Si Pepito tiene 12 años más que Jaimito ¿Cuántos años tiene Pepito? A) 24 B) 32 C) 30 D) 36 E) 50 29. Carlos nació 4 años antes que María. En 1970 la suma de sus edades era la cuarta parte de la suma de sus edades de 1994. ¿En qué año tendrá 60 años Carlos? A) 2010 B) 2012 C) 2015 D) 2018 E) 2020 30. La edad de un niño será dentro de 4 años un cuadrado perfecto. Hace 8 años su edad era la raíz de este cuadrado. ¿Dentro de cuantos años tendrá el cuádruplo de los años de los años que tenía hace 3 años? A) 20 B) 24 C) 12 D) 18 E) 10

SEMANA N° 12 COMPARACIÓN DE MAGNITUDES Y REGLA DE TRES COMPARACIÓN DE MAGNITUDES MAGNITUD: Es todo aquello que es susceptible a sufrir variación (aumento o disminución) y que puede ser medido, la comparación de magnitudes puede realizarse considerando 2 magnitudes, 3 magnitudes, etc. Existen 2 tipos de comparación: A) Comparación Simple.- Se elimina así cuando se compara solamente 2 magnitudes: como resultado de esta comparación podemos diferenciar dos tipos de magnitudes: 1.-Magnitudes Directamente Proporcionales (DP): Se dice que dos magnitudes A y B son directamente proporcionales cuando el cociente de cada par de sus valores es constante. Sean en valores de: A: a1, a2,…, an B: b1, b2,…, bn => ADPB Si se cumple que:

a a1 a 2 a 3 = = =…= n =k b1 b2 b3 bn

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* Un carpintero hace 10 docenas de sillas en 24 días. Cuantas sillas hará en 2 semanas. # sillas # días 120 ----------------- 24 x --------------------- 14

# sillas 120 x = cte => = => x=70 # días 24 4

 Hará 70 sillas

2.-Magnitudes inversamente proporcionales (IP): Se dice que A es IP a B, cuando los productos de cada par de sus valores son iguales: Sean los valores de: A: a1, a2,…, an B: b1, b2,…, bn => A IP B Si se cumple que: a1b1 = a2b2 =…= anbn = k Ej. Se observa que si el número de obreros aumenta, el número de días disminuye: => (# # Obreros # días obreros)IP(# 2 72 días) = cte 4 36 => 2x72 = 8 18 4x36 = 8x18 = 1 144 1x144=144 * Un encuestador pensó visitar 20 casas, pero visitó 5 casas menos por permanecer un minuto más en cada visita. ¿Cuánto tiempo dedicó a cada casa? # casas# minutos en c/casa 20 x 15 x +1 => (# casas)(# minutos en c/casa) = cte. 20 (x) = 15(x +1) x=3  En cada casa dedicó: 4 minutos B) Comparación Múltiple.- Se presenta cuando se comparan más de dos magnitudes DP y/o IP. Ej.: * Para enlosetar el piso de una sala de 5 m de largo y 4 m de ancho, se han empleado tres operarios, durante 2 días, trabajando 10 horas diarias. ¿Cuántos operarios harán falta para enlosetar en 3 días trabajando 8 horas diarias, otro piso de 8 m de largo y 5 metros de largo?.

(# operarios)(# días)(h/d) = cte Área 3.2.10 x.3.4 = x=5 5.4 8.5

 Harán falta 5 operarios REGLA DE TRES Es una operación matemática que consiste en hallar el cuarto última de proporción geométrica cuando se conocen 3 de ellos. La Regla de Tres puede ser:  Simple: Cuando sólo intervienen en ella 2 magnitudes. 244 | P á g i n a



 Compuesta: Cuando intervienen más de dos magnitudes. R3SD: Es aquella en la que las magnitudes que se presentan son directamente proporcionales. Ejm: * Sabiendo que de 125 kg de remolacha pueden extraerse 15 kg de azúcar. ¿Cuántos kg de azúcar proporcionar 50 Kg de remolacha? remolacha azúcar

8

r

20

1

d

10

5r

x

1

10d

Luego se tiene: 8.r.20.1.10d=10.5r.x.1.d X = 32 días EJERCICIOS PROPUESTOS: 1. A es D.P con B2 e I.P a C , cuando A=4, B=8 y C=16. Hallar A cuando B=12 y C=36.

125 ----------- 15 50 ----------- x

A) 4

125 15 = =>125x = (50)(15) 50 x

2.

R3SI: Se presenta cuando las magnitudes son I.P. Ejm: * Un grupo de 24 excursionistas llevan víveres para 18 días, pero al inicio de la excursión se suman 3 personas más. ¿Cuántos días antes se acabarán los víveres? ExcursionistasDías 24 8 (24+3) x => 24(18) = 27(x) x = 16 Por lo tanto, los víveres se acabarán 18 – 16 = 2 días antes R3Compuesta: Es aquella que está formada por dos o más reglas de tres simple sea directa o inversamente proporcional. Método práctico de solución Método de rayas: Para esto se debe tener en cuenta que se entienda por: causa, circunstancia y efecto. 1) Causa o acción: Es todo aquello que realiza o ejecuta una obra pudiendo ser hombre animal o máquina con su respectiva habilidad, eficiencia o rapidez. 2) Circunstancia: Es el tiempo, modo, forma, como se produce o fabrica algo : (tantos días, tantas horas diarias, tantas raciones diarias) 3) Efecto: Es todo lo hecho, producido, consumido, gastado, realizado, fabricado con su respectiva dificultad.

Hombre días Maquinaria h/d Animal ración diaria

B) 8

C) 9

D) 12

E) 6

A es D.P con B e I.P con C, cuando C es igual a 3/2, A y B son iguales. ¿Cuál

x=6

Causa Circunstancia

CPU – UNSM -T

es el valor de B cuando A es igual a 1 y C =12. A) 8 3.

B) 6

C) 4

D) 12

Si el precio de un diamante es D.P al cuadrado de su peso ¿Cuánto se perdería si un diamante se rompe en 2 pedazos siendo el peso de uno dos veces más que el otro?(el diamante entero estaba en 32000 soles)

4.

A) 5000 B) 10000

C) 12000

D) 6000

E) 12500

Un buey atado a una cuerda de 7.5 m de longitud puede comer la hierba que está a su alcance, en 2 días ¿qué tiempo demoraría para comer la hierba que está a su alcance, si la longitud de la cuerda fuera de 15m?

5.

A) 10

B) 8

Una

cuadrilla

C) 12 de

10

D) 9

E) 11

obreros

se

comprometen a construir en 24 días cierta obra, al cabo de 18 días solo han

Efecto

hecho 5/11 de la obra. ¿Cuántos obreros tendrán que reforzar

Trabajo realizado con su respectiva dificultad

Ej.: Con 8 Obreros se puede hacer una obra en 20 días. ¿En cuántos días 10 obreros cuya rapidez es 5 veces la de los anteriores harán una obra 9 veces más difícil que la primera. Solución: Ordenando las cantidades y aplicando el método de rayos. Obreros rapidez días obra dificultad

E) 9

a la

cuadrilla para terminar la obra en el tiempo fijado? A) 23 6.

B) 25

C) 25

D) 26 E) 30

Una familia de 5 personas gasta 6000 soles para vivir 3 meses en una ciudad. ¿Cuánto deben gastar? para vivir en otra ciudad durante 5 meses, si el costo de vida es 5/4

245 | P á g i n a



de la anterior, sabiendo que se une la suegra a la familia. A) 15000 soles D) 14000 7.

12. Dos ruedas de 24 y 45 dientes están engranadas. Cuando funcionan 4 minutos,

B) 18000

C)

16000

E) 19000

una a dado 70 vueltas más que el otro ¿Cuál es la velocidad del engranaje

Una bomba demora 10 horas y 15 minutos

pequeño en RPM?

para llenar un estanque. Cuando el

A) 37,5 B) 40 C) 38,5 D) 50 E) 35,5

tanque está lleno hasta 1/5 se malogra y su

13. Para pintar un cubo de de 10cm de lado se

rendimiento disminuye en 1/3. ¿Cuánto

gasta S/ 360 ¿Cuánto se gastara para

tiempo tardará la bomba para llenar el

pintar un cubo de 15cm de lado?

reservorio?

A) 800 S/.

A) 12. h 35’ B) 13h. 25’ C) 14h. 21’ D) 11h. 12’ 8.

B) 810

D) 450

E) 14h. 25’

C) 900 E) 500

14. 6 caballos tienen ración para 15 días, si se

Repartir 2500 en partes que sean D.P. a

aumentan 3 caballos mas ¿Para cuantos

220; 223 y 224 y dar como respuesta la suma

días alcanzara la ración anterior?

de la parte menor con la mayor.

9.

CPU – UNSM -T

A) 12 B) 10 C) 14 D) 9 C) 100

E) 13

A) 1700

B) 1600

15. Tres obreros hacen una obra en 10 días

D) 2400

E) 2000

trabajando 8h/d ¿Cuántos días necesitaran

Fue organizado un concurso de matemática

5 obreros trabajando 6h/d para hacer la

por equipos. El equipo ganador de 3

misma obra?

integrantes recibió un premio; el cual se repartió

entre

C) 9

D) 7

E) 10

miembros

16. Un ingeniero puede construir 6 km. De pista

proporcionalmente al número de problemas

con 40 obreros en 50 días, trabajando 8

resueltos durante el concurso, siendo éstos

horas diarias. ¿Cuántos días tardaría este

36, 32 y 30 respectivamente. Si el segundo

ingeniero en construir 8 km. De pista, con

hubiera resuelto un problema más, habría

50 obreros doblemente eficientes que los

recibido S/. 143. más. ¿A cuánto ascendió

anteriores, en un terreno de triple dificultad,

el premio?

trabajando 2 horas más por día?

A) 21000

sus

A) 12 B) 8

B) 21021

D) 15000

C)

14014

10. Al repartir cierta cantidad en 3 partes que sean D.P. a 3 , 3

n –1

D) 60

E) 65

n –1

admisión en 10 horas; (n+18) lo pueden realizar en 6 horas. ¿En cuánto tiempo se

4n + 1 y 4n respectivamente y se observa que

realizará el mismo examen, si no pudieron

la primera excede a la última en 216.

asistir 18 profesores?

Hallar la cantidad a repartir.

A)16 h B) 24 h C) 33 h

B) 1980

D) 1660

e I.P. con 4

C)64

,

A) 1480

y3

n+1

B)54

17. “n” profesores elaboran el examen de

E) 20000 n

A) 55

C) 1660

D) 30 h E) 26 h

18. El ladrillo de los usados en construcción de

E) 1530

hornos pesa 3 kg. ¿Cuánto pesara un

11. Si “A (DP) B y C (IP) D2. Averiguar cómo

ladillo hecho del mismo material si las

varia A cuando B aumenta en su tercera

dimensiones se reducen a la mitad?

parte, C disminuye en sus 2/5 y D aumenta

A) 3 kg. B) 3/2 C) 1/3

en la 1/5 parte de su valor. A) 5/9

B) 4/9 C) ¾

D) 4/3

D) 3/8

E) 2/3

19. Una cuadrilla de 12 obreros pueden E) ½

terminar un trabajo en 15 días, trabajando 10 horas diarias. Al cabo de 7 días de 246 | P á g i n a



CPU – UNSM -T

labor, se dan de baja 5 obreros y no son

obreros para construir 4 zanjas en igualdad

reemplazados sino al cabo de 3 días.

de condiciones, pero de 36m. de largo.

¿Cuántos obreros habrán de tomarse para poder cumplir con el trabajo en el día

26. Al repartir cierta cantidad en 3 partes que sean D.P. a 3n, 3n –1 y 3n + 1 e I.P. con 4n –1,

determinado? A) 24

A) 60 B) 96 C) 110 D) 120 E) 150

B) 13

C) 21

4n + 1 y 4n respectivamente y se observa que

D) 18 E) 8

20. Una obra pueden terminar 63 obreros en 18 días trabajando 6 horas diarias, pero

la primera excede a la última en 216. Hallar la cantidad a repartir.

deseando terminar 5 días antes, a los 4 días

A) 1480

de trabajo se tuvo que aumentar más

D) 1660

B) 1980 C) 1660 E) 1530

obreros y trabajar 2 horas más por día.

27. La capacidad de un condensador es D.P. a

¿Cuántos obreros se aumentaron para

su longitud “L” e I.P. a su sección “A”. ¿Qué

terminar la obra en el plazo deseado?

sucede con la capacidad si “L” se hace la

A) 21

3ra parte y “A” se hace la sexta parte?

B) 15

C) 35

D) 42

E) 37

21. Una rueda de 27 dientes engrana con otra de 12 dientes, dando la primera 836 vueltas

A) Se hace la mitad C) no varía

por minuto. ¿Cuántas vueltas dará por hora, la segunda?

B) se duplica D)

se

cuadruplica

E) se triplica 28. El siguiente cuadro presenta algunos de los

A) 112 860 B) 1881 C) 122 860 D) 211 860 E) 2780 22. Cuatro personas inician una empresa por un lapso de 2 años, aportando para ello

valores correspondientes a las magnitudes A y B, relacionadas mediante condiciones de proporcionalidad. Hallar “x”

cantidades iguales; luego de un año, dos de ellos aumentan su capital en su mitad y los otros dos, retiran la mitad del suyo. ¿Cuál fue la utilidad total obtenida, si uno de los

A

847 567

X

B

11

5

9

A) 135 B) 145 C) 155 D) 165 E) 175 29. Si un alumno hábil

puede resolver 20

que retiran la mitad de su capital recibe

problemas durante 2 horas. ¿Cuántos

9000 de beneficio?

problemas podrá resolver otro alumno

A) 40 000 B) 42 000 C) 46 000 D) 48 000 E) 52 000 23. Un móvil recorre 500 m en 10 minutos con velocidad constante ¿Qué tiempo empleará en

recorrer

los

siguientes

200

m.

manteniendo su velocidad? A) 12

B) 6

C) 4

días

E) 7

emplearan

40

obreros

realidad la misma obra? B) 7

C) 8

D) 11

de dificultad que los primeros, en 3 horas A) 20

B) 32 C) 75

D) 40

E) 18

30. Tres prados tienen la misma área pero en

anterior. El pasto del 1er prado

igualmente hábiles que los anteriores en

A) 5

anterior y cuyos problemas tienen el doble

c/u el grado de crecimiento es el doble del

D) 5

24. Si 20 obreros hacen una obra en 10 días. ¿Cuántos

hábil, cuya habilidad es 5 veces que el

puede

alimentar 72 ovejas en 36 días y el 2do puede alimentar a 48 en 90 días ¿Cuántas ovejas se comerán todo el pasto del tercero en 60 días?

E) 13

A) 75

B) 72

C) 81

D) 78

E) 84

25. 20 obreros construyen 3 zanjas de 18 m. de largo c/u, empleando 27 días en esa labor. Determinar el tiempo que tardarán 15 247 | P á g i n a



SEMANA N° 13 RELOJES, ADELANTOS Y RETRASOS Hr = Hm + Rt Hr = Hm - At Dónde: Hr =Hora real Hm =Hora marcada Rt =Retraso total At =Adelanto total Fórmula para calcular la medida del ángulo que forman el horario y el minutero: a) Cuando el horario adelanta al minutero 11 𝜃 = − m + 30H 2

Dónde: H: Hora de referencia (0 ≤ H<12) m: números de minutos la hora de referencia.

a) 108º b) 115º c) 98º d) 158º e) 105º Resolución: Dónde: H= 3 m= 36 11 𝜃 = −30(3) + (36) 2 𝜃 = −90° + 198 𝜽 = 𝟏𝟎𝟖° EJERCICIOS PROPUESTOS: 1.

¿Hallar el ángulo que forman las manecillas del reloj a las 8 horas 50 minutos? A) 45º B) 33º C) 35º D) 50º E) 65º

2.

Si fuera 5 horas más tarde de lo que es, faltarían para acabar el día, el triple de las horas que habían transcurrido hasta hace 3 horas. ¿Qué hora es? A) 6:15h B) 7:30h C) 8:00h

transcurridos a partir de

𝜃: Angulo formado por las agujas del reloj. b) Cuando el minutero adelanta al horario 11 𝜃= 𝑚 − 30𝐻 2 c) Para que un reloj malogrado vuelva a marcar la hora correcta debe adelantarse o retrasarse 12h o 720 minutos

3.

RELACION DEL RECORRIDO DEL HORARIO Y MINUTERO

D) 10: 35

En 1 hora la relación de recorrido del horario y minutero es:

4.

𝐻 5 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 1 = = 𝑚 60 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 12 1 De donde: H = 12 m

Si el minutero recorre “m” divisiones; el horario recorre la doceava parte. PROBLEMAS RESUELTOS 1. ¿Qué ángulo forman las agujas de un reloj a las 8h 16 minutos? a) 100º b) 165º c) 152º d) 186º e) 250º Resolución: H= 8 m= 16 Aplicaremos la primera relación 11 (16) 2 𝜃 = 240 − 88 𝛉 = 𝟏𝟓𝟐°

𝜃 = 30(8) −

2. Hace ya 48 horas que un reloj se adelanta 2 minutos cada 6 horas ¿Qué hora señalara el reloj cuando sean en realidad: 9h:40’ minutos? a) 9:38` b) 9:56´ c) 9:50´ d) 8:45´ e)9:41´ Resolución: Entonces diremos que: Cada 6 horas……..se adelanta 2´ Cada 48 horas……se adelanta x´ (48ℎ)(2´) Luego se tiene:𝑥´ = = 16´ 6ℎ Entonces se tendrá: Hora marcada= Hora Real + adelanto Hora marcada: 9:40´+ 16´= 9:56´ 3. ¿Qué ángulo forman las agujas de un reloj a las 3h 36 minutos?

CPU – UNSM -T

D) 7:00h E) 5:45h Entre las 10 y las 11. ¿A qué hora las agujas de un reloj se oponen?

A) 10: 19

1 3 8 15

B) 10: 21

8 11 4

E) 10: 21

C) 10: 21

9 11

7

Un reloj marca las 3 en punto. ¿A qué hora entre las 3 y las 4 se superpondrán las agujas? A) 3h 16m y 21s B) 4h 19m C) 5h D) 6h E) 8m 5. En cada día un reloj se atrasa 3 minutos y otro se adelanta 2 minutos ¿cada cuánto tiempo vuelve a marcar la misma hora? A) 122 días B) 134 C) 144 D) 150 E) 120 6. Un reloj demora (m+1) segundos en tocar m2 campanadas ¿Cuántas campanadas tocara en 1 segundo? A) m/2 B) m/3 C) 2m D) m-1 E) m 7. Ya pasaron de las 3 sin ser las 4 de esta tarde, si hubieran pasados 25 minutos más, faltarían para las 5:00pm los mismos minutos que pasaron desde las 3:00pm hasta hace 15 minutos ¿Qué hora es? A) 3:40 B) 3:50 C) 3:52 D) 3:55 E) 3:58 8. Si el duplo de las horas transcurridas en un día es igual al cuádruplo de las que faltan para terminar el día. ¿Qué hora es? A) 3 a.m. B) 5 p.m. C) 4 p.m. D) 4 a.m. E) 2 p.m. 248 | P á g i n a



9.

La mitad del tiempo que ha pasado desde las 9: a.m. es una tercera parte del tiempo que falta para las 7:00 p.m. ¿Qué hora es? A) 11 a.m. B) 1 p.m. D) 6 a.m. E) 2 p.m.

C) 4 p.m.

10. Hallar “θ” en el gráfico:

A) 9am

B) 8am D) 6am

CPU – UNSM -T

C) 7am E)5am

18. ¿ En que día y hora del mes de Abril del año 2000 se verificó que la fracción transcurrida de ese mes fue igual a la fracción transcurrida de ese año? A) 8 de abril ; 3 a.m. B) 8 de Abril ; 6 a.m. C) 9 de abril ; 3 a.m. D) 8 de abril ; 2 p.m. E) 8 de abril ; 6 a.m

A) 120º

B) 110º C) 130º D) 142º E) 135º

11. Faltan 5 para las 12. ¿Qué ángulo estarán formando las agujas del reloj? A) 27ºB) 27º30’C) 26º30’D) 25º30’ E) 28º 12. Un reloj se atrasa 5 min cada 40 min, si ahora marca las 6 h 30 min y hace 8 horas que se atrasa, la hora correcta es: A) 7:45

B) 8:05

C) 7:30

D) 7:15 E) 8:30

13. El tiempo que faltara para las 11 am, dentro de 10 minutos es excedido en 6 minutos por los 3/5 del tiempo trascurrido del día ¿Qué hora es? A)10:05 am B) 6:50 9:50 E) 10:15

C) 9:55

D)

14. Un reloj se adelanta 1 min, por hora si empieza correctamente a las 12 del medio del día jueves 16 de setiembre ¿Cuándo volverá a señalar la hora correcta? A) 10 de oct. B) 16 de oct. C) 30 de set D) 4 de oct. E) 20 de oct. 15. Un reloj se atrasa 3 min. Cada 2 horas y otro se adelanta 2 min, cada hora, si se malograron en el mismo instante. A partir de este último momento ¿Después de cuantos días volverán a marcar simultáneamente, la hora correcta? A) 20

B) 45 C) 120

D) 60

E) 95

16. El quíntuplo de las horas transcurridas en un día es igual al número de horas que faltan para acabar el día. Qué hora es? A) 2am B) 3am C) 5am D) 4 am E)7am

17. Al mirar un reloj se observa que los 3/5 de lo que falta para acabar el día es igual al tiempo transcurrido. Qué hora es?

19. Un microbús sale a las 08:00 horas. El conductor sabe que si conduce a 100 km/h llegará a su destino a las 20:30 horas. Si marcha 250 km a est5a velocidad y luego disminuye a 80 km/h llegará a su destino a las: A) 20:30 h B) 21:30 h C) 22:00 h D) 23:00 h E) 22.3 20. Si un reloj marca la hora constante (sin dar saltos). ¿ Qué ángulos se formarán cuando sean las 2 horas con 36 minutos?. A) 128° 30’ D) 138° 30’

B) 128°

C) 138°

E) 148°

21. Si la mitad del tiempo que ha transcurrido desde los 9 am. Equivale a la tercera parte del tiempo que falta para las 7 pm. ¿Qué hora es? A) 9:00 B) 10:30 C) 13:00 C) 12:00 E) 11:00 22. ¿A qué hora de la mañana el tiempo que marca un reloj es igual a 5/4 de lo que falta para las doce del mediodía? . A) 10:20 B) 6:40 C) 8:15 D) 9:00 E) 11:45 23. Un pasajero parte a las 9:00 am (hora de Lima) de Lima a Londres, siendo la duración del viaje con escalas, de cierto número de horas. Si llegó a Londres al día siguiente a las 12 m. (hora de Londres). ¿Cuántas horas duró el viaje, si hay una diferencia de 6 horas entre Lima y Londres? A) 22 B)20 C) 18 C) 21 E) 23 24. ¿Cuál es la relación de la fracción transcurrida de la semana a la fracción transcurrida del día cuando son los 6 am. del Miércoles? A) 8/7 B) 1/7 C) 6/7 D) 9/7 E) 3/5 25. Un reloj da las tres. Mientras suenan las campanas pasan 3 segundos. ¿Cuánto tiempo será necesario para que éste reloj dé las siete? A) 7s B) 8s C) 9s D) 3s E) 6s 249 | P á g i n a



26. Un reloj se atrasa 900 segundos por día. Se pone a la hora exacta un domingo a las 12 del mediodía. ¿Qué hora marcará el sábado siguiente a mediodía? A) 9:00 B) 10:30 C) 16:30 D) 5:30 E) 11:30 27. En un momento dado, dos relojes marcan las 12 en punto: uno de ellos se atrasa 5 segundos por hora y el otro se adelanta 7 segundos, también por hora. ¿Qué tiempo mínimo tendrá que transcurrir para que los d9s relojes vuelvan a marcar una misma hora? A) 1200 horas B) 160 días C) 180 horas D) 180 días E) 240 días 28. Qué ángulo forman las agujas de un reloj a las 8:20? A) 1200 B) 1250 e) 1300 D) 1350 E) 140° 29. ¿Cuántas veces por día aparecen superpuestas las agujas de un reloj? A) 12 B)24 C) 19 C) 22 E) 10 30. Las longitudes del horario y minutero de un reloj son 6 cm y 8 cm respectivamente. ¿A qué distancia se encuentran las puntas de dichas manecillas a las 3 pm. ? A) 12 cm B) 9cm C) 10 cm D) 7,5 cm E) N.A.

SEMANA N° 14 MOVILES Ecuación fundamental: 𝑑 𝑑 𝑣= d= v.t 𝑡= 𝑡 𝑣 Donde: V: velocidad T: Tiempo d: espacio TIEMPO DE ALCANCE: 𝒅 Ta= 𝒔 𝒗𝟏−𝑽𝟐

CPU – UNSM -T

30 kmlh y en el mismo instante un camión parte de B hacia A, a 20 km/h. ¿Cuánto tardarán en encontrarse ya qué distancia de A se producirá el encuentro? A)

3 h ; 90 km B) 3;20 C) 2 ;70 2;90

D)

E) 4h

2. Un móvil parte de A a 20 kmlh Y3 horas más tarde, parte un segundo móvil, a 40 kmlh siguiendo el mismo camino que el primero. ¿Qué tiempo dura la persecución y a qué distancia de A es alcanzado el primer móvil? A) 3 h ; 90 km B) 3;120 C) 12 ;70 4;9

D)

E) 4h

3. Al recorrer la distancia entre dos puntos A y B de un río, una embarcación se desplaza a 45 kmlh a favor de la corriente y sólo a 33 kmlh en contra de la corriente. ¿Cuál es la rapidez de la corriente del río? A) 5 B) 6 C) 3 D) 7 E) 9 4. ¿Cuántos metros recorre una liebre en 10 segundos, si en 1/5 de minuto recorre 40 metros más? A) 180 m B) 200 C) 240 D) 160 E) 140 5. Luis y Alberto parten de una ciudad a otra,

Donde: ds: distancia de separación V1, V2: Velocidad de los móviles TIEMPO DE ENCUENTRO: 𝒅 Te= 𝒔

situada a 24 km de la primera; Luis lo hace

Donde: ds: distancia de separación V1,V2: Velocidad de los móviles VELOCIDAD PROMEDIO: Es la velocidad que reemplaza a diferentes velocidades que tiene un móvil con el mismo tiempo y la misma distancia total.

A) 5 km/h B) 4 C) 6 D) 8 E) 9

𝒗𝟏+𝑽𝟐

Vp=

𝑑𝑡 𝑡𝑡

=

𝑑1+𝑑2+𝑑3+𝑑4+⋯

𝟐𝑽𝟏.𝑽𝟐 = 𝑡1+𝑡2+𝑡3+𝑡4+⋯ 𝒗𝟏+𝑽𝟐

Donde: di: espacios ti: tiempos vi: velocidades EJERCICIOS PROPUESTOS: 1. La distancia entre dos ciudades es de 150 km. Un auto parte de la ciudad A hacia B, a

con una rapidez de 2 km por hora menos que Alberto; llegando a su destino con una hora de retraso. ¿Cuál es la rapidez de Luis?

6. Un jet posee una rapidez de 2,2 MACH y un helicóptero posee una rapidez de 0,52 MACH. Hallar la diferencia de tiempo al recorrer 1 190 km. Considerar 1 MACH = V sonido = 1 190 km / h A) 1,92 h B) 1,47 C) 0,45 D) 0,59 E) 1h

7. Un tren de carga que va a 42 km/h es seguido 3 horas después por un tren de pasajeros que va a 60 km/h. ¿En cuántas horas el tren de pasajeros alcanzará al de carga y a qué distancia del punto de partida? 250 | P á g i n a



A) 5 h; 350 km B) 8 h; 600 km C) 6 h; 420 km D) 7 h; 420 km E) 9 h; 500 km

CPU – UNSM -T

triplicado la ventaja. ¿Cuál es la rapidez del más rápido? A) 45 km/h B) 60 km/h C) 75 km/h

8. Una liebre que da 7 saltos por segundo,

D)

90 km/h E) 120 km/h

tiene ya dados 70 saltos cuando se suelta

14. Un auto sube una cuesta a una rapidez de 4

un galgo tras ella. El galgo da 17 saltos por

km/h y baja a una rapidez de 6 km/h. Si en

segundo.

en

subir y bajar emplea 20 horas. ¿En cuánto

alcanzarla si los saltos son de igual

disminuirá el tiempo de subida si su rapidez

longitud?

de subida se incrementa en 1 km/h?

¿Cuánto

tardará

éste

A) 7s B) 70s e) 17s D) 12 s

A) 2 h 24 min B) 2 h 48 min C) 3 h 24

9. Dos móviles distantes 2 000 metros se acercan con rapideces de 10 m/s y 40 m/s.

min D) 2h E) 3 h 15. Un campesino va caminando de su casa

¿Al cabo de qué tiempo se encuentran?

hacia su chacra. Parte a medianoche y

A) 10 s B) 20s e) 30s D) 40s E) 50s

recorre 70 m cada minuto. En cierto trecho del camino sube a la moto de un amigo que

10. Dos móviles están separados por una

había partido del mismo lugar a las O horas

distancia de 2 300 metros. Si se desplazan

20 minutos con una rapidez de 150 m por

al encuentro con rapideces de 60 mis y 40

minuto. El campesino llega a su destino 20

mis respectivamente. ¿Al cabo de qué

minutos antes que si hubiese continuado

tiempo estarán separados 1 300 m por

andando. Calcular la distancia entre la casa

primera vez?

y; la chacra.

A) 12 s B) 8 s C) 10 s D) 15 s E) 13 s

A) 5450 m B) 5250 m C) 4 500 m

D)

4 250 m E) 600 m 11. Un tren demora B segundos en pasar

16. La bajada de una montaña se hace

delante de un semáforo y el triple de tiempo

ordinariamente en los 4/5 del tiempo

en cruzar un puente de 400 m de largo.

empleado en la subida. Una persona baja

¿Cuál es su longitud?

desde la cúspide en 1 h 56 min y subió a

A) 200 m B) 100 m C) 160 m

D)

280 m E) 400 m

razón de 50 metros cada 5 minutos. La altura de la montaña es :

12. La rapidez de un bote de ida es 20 km/h; cuando va de regreso (contra la corriente),

A) 1160,20 m B) 1 160 m C) 1450 m 1400,20 m

D)

E) 2 691 m

logra una rapidez de 15 km/h. Hallar el

17. Un muchacho y una chica parten al mismo

espacio recorrido si va de Iquitos a Nauta;

tiempo en bicicleta, del mismo lugar, en el

sabiendo que además de ida demora 5

mismo camino y en la misma dirección; él a

horas menos que de regreso.

6 kilómetros por hora y ella a 5 kilómetros

A) 500 km B) 150 km C) 225 km

D)

300 km E) 400 km 13. Dos móviles se mueven en el mismo sentido; la rapidez de uno es el triple de la del otro. En un instante dado la ventaja es de 60 km y después de 2 horas se ha

por hora. Después de 3 horas, el muchacho regresa. ¿A qué distancia del punto de partida encuentra a la muchacha? A) 16 km B) 16,9 km C) 16,4 km D) 17 km E) 18km 18. Un viajero, después de recorrer la tercera parte de su viaje, disminuye su rapidez en 251 | P á g i n a



CPU – UNSM -T

su tercera parte. ¿Cuánto más habrá

La rapidez del primer automóvil es de 50

aumentado el tiempo de duración del viaje?

km/h y la del segundo de 40 km/h. Después

A) en su cuarta parte

de media hora, del mismo punto y en la

B) en su mitad

C) en su tercera parte

misma dirección parte un tercer automóvil

D) en un tanto igual E) en sus dos terceras

que alcanza al primero 1,5 h más tarde que

partes

al segundo. Hallar la rapidez del tercer

19. Jorge y Enrique apostaron una carrera para atravesar una piscina partiendo de los extremos opuestos. Después de minuto y

automóvil. A) 90 km/h B) 75 km/h C) 72 km/h

D)

60 km/h E) 36 km/h

medio se cruzaron en la mitad de la piscina.

23. Dos trenes salen uno hacia el otro de dos

Si no pierden tiempo al voltear y mantienen

puntos separados 650 km. Si salen al mismo

sus respectivas rapideces. ¿A cuántos

tiempo, se encontrarán al cabo de 10 horas,

minutos después del momento de partida se

pero si uno de ellos sale 4 horas y 20

cruzan por segunda vez?

minutos antes que el otro, se encontrarán 8

A) 3 B) 4 1/2 C) 6 D) 7 1/2 E) 9

horas después de la salida del segundo.

20. Dos carros salen de dos ciudades situadas a 180 km, yendo uno al encuentro del otro; el primero recorre cada día 6 km más que el segundo y el número de días durante los

Determinar la rapidez del tren más rápido. A) 40 km/h B) 35 km/h C) 30 km/h

D)

45 km/h E) 55 km/h 24. Dos cuerpos se mueven a lo largo de una

cuales viajan es igual a la mitad del número

circunferencia.

de km que el segundo recorre en un día.

circunferencia completa 5 segundos más de

¿Cuál es la distancia recorrida por cada uno

prisa que el segundo. Si giran en el mismo

antes del encuentro?

sentido coincidirán cada 100 segundos.

A) 100 km y 80 km D) 118km y 62 km B) 98 km y82 km E) 108 Y 72 km 21. En

una

carrera

de

El

primero

recorre

la

¿Qué porción de circunferencia (en grados) recorre el más rápido en un segundo?

motocicletas

tres

A) 16 B) 14 C) 22 D) 18 E) 20

máquinas salieron simultáneamente. La segunda hace 15 km/h menos que la

25. Dos ciudades A y B distan 300 km entre

primera y 3 km/h más que la tercera. La

sí. A las 9 de la mañana parte de la

primera llega a la meta 12 minutos antes que

ciudad A un coche hacia la ciudad B con

la segunda y la segunda llega a la meta 3

una velocidad de 90 km/h, y de la ciudad

minutos antes que la tercera. Si durante el

B parte otro hacia la ciudad A con una

recorrido

velocidad de 60 km/h. Se pide a qué

no

se

registraron

paradas;

determinar:

hora se encontraron:

1) La distancia de la carrera 2) La rapidez de la segunda motocicleta A) 1) 110 km 11)85 km/h 70 km/h

A) 10 am B) 11 C)8 D)6

E)2 pm

B) 1) 80 km11)

C) 1) 70 km 11)60 km/h

D) 1) 100 km 11) 75 km/h E) 1) 90 km 11) 75 km/h 22. Dos automóviles partieron al mismo tiempo de un mismo punto en una misma dirección.

26. Dos coches salen al mismo tiempo. El primero sale desde un punto A y el segundo desde un punto B, y se dirigen hacia un punto C en la misma dirección. Sabiendo que la distancia de A a B es 30 252 | P á g i n a



Km, y que el primer coche va a 80 Km/h y el segundo a 50 km/h, ¿a qué distancia de B se encontrarán?

CPU – UNSM -T

Es la medida de su extensión indicada por un número real positivo, acompañado de una unidad adecuada. PERIMETRO: Es la medida del borde de una región.

A) 10 km B) 110 C)80 D)50 E)20 27. Un automóvil pasa frente a un mojón que lleva el número kilométrico AB. Una hora

ÁREAS: 1 TRIÁNGULO EQUILÁTERO:

después pasa frente al mojón BA, una A= (a2√3)/4

hora más tarde frente al mojón A0B. ¿Qué números tienen los mojones? A)16,61,106 D)59,25,106

B)11,10,100 C)80,67,129

2 EN FUNCIÓN DEL ÁNGULO: S= ( 𝐴𝐶. 𝐴𝐵Senαº)/2

E)45,10,106

28. Un gato y un perro entrenados corren una carrera de 100 metros y luego regresan. El perro avanza 3 metros a cada salto y el gato sólo 2, pero el gato da 3 saltos por cada 2 del perro. ¿Cuál es el

3 EN FUNCIÓN DEL SEMIPERÍMETRO: a+b+c A=√(𝑝)(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐) 𝒑 = 2

resultado de la

carrera? A) Gana el perro

B) Llegan iguales

Faltan datos D) Gana el gato

C)

4

EN FUNCIÓN DEL INRADIO: A=p.r

5

EN FUNCIÓN DEL CIRCUNRADIO:

E)

Imposible determinar 29. Un tren demora 8 segundos en pasar en pasar delante de un semáforo y el triple de tiempo en cruzar un puente de 400 m de largo. ¿Cuáles su longitud? A) 200 m

B) 180

D) 280

E) 400

C) 160 𝑎.𝑏.𝑐 4𝑟

A= 30. La velocidad de “A” es 10 km/h mayor que la “B”. Si “A” en 16 horas recorre lo mismo

6

EN FUNCIÓN DEL EXINRADIO:

que B en 20 horas, ¿en cuánto tiempo se encontrarían,

si

salieran

en

sentido

SABC=r (p-a)

contrarios desde 2 ciudades distantes 450 km? A) 3h

B) 4h

C) 7h

D) 9h

E) 5h

7

CUADRADO:

S=L2 =D2/2

SEMANA N° 15 ÁREA DE REGIONES SOMBREADAS REGIÓN PLANA: Es una parte del plano, limitado por una línea cerrada, ya sea cerrada o curva. ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA:

8

TRAPECIO: 𝐵+𝑎 ]h 2

S=[

253 | P á g i n a


9


CPU – UNSM -T

CÍRCULO: 𝑆 = 𝜋𝑟 2

Solución: 10 𝑺=

SECTOR CIRCULAR: 𝜋𝑟 2 α

𝐿.𝑟

360

2

=

11 ÁREA DE LA CORONA CIRCULAR: 2 2 S= 𝜋(R -r )

RELACIONES DE ÁREAS: PROPIEDAD DEL DEBARICENTRO:LA CEVINA:

PROPIEDAD

64 𝜋(4)2 𝐴𝑠𝑜𝑚𝑏. = 64 − [ + ] 2 4 𝐴𝑠𝑜𝑚𝑏. = 32 − 4𝜋 ⟹ 𝐴𝑠𝑜𝑚𝑏. = 4(8 − 𝜋)𝑐𝑚2 PRINCIPIOS FUNDAMENTALES

Xº= gº/2 Xº= 90-(gº/2)

TRAPECIO: S2= M.N Xº=(sº+eº)/2 Ejemplo 1: I. Traslación de áreas simétricas: Ejemplos: 1. Si ABCD es un cuadrado de lado “L”, calcular el área de la región sombreada.

Propiedades fundamentales de trapecio: 1. ̅̅̅̅̅= 𝑎+𝐵 𝑀𝑁 2 2. 𝑏−𝑎 ̅̅̅̅ 𝑃𝑄 = 2

3. a+d=b+c Solución:

Ángulos en la circunferencia: 1. Ángulo central: ̂ aº=m𝐴𝐵 De la figura, el área de la región sombreada es 𝐿2

la mitad del área total: 2 II. DIFERENCIA DE ÁREAS Ejemplos: 1. Si ABC es un cuadrado de 8 cm de lado, además P y Q son puntos medios. Calcular el área de la región sombreada.

2.

Ángulo inscrito:

̂ /2) aº=m (𝐴𝐵 254 | P á g i n a



1. 3.

Ángulo semi inscrito:

CPU – UNSM -T

El perímetro del triángulo equilátero ABC es 36 cm. Al desagregar según los cortes mostrados, la suma de los perímetros de los triángulos pequeños es en cm:

̂ )/2 aº=m(𝐴𝐵

4.

Ángulo ex inscrito:

̂ )/2 aº=m(𝐴𝑃𝐵

5.

Ángulo externo:

̂ -m𝐶𝐷 ̂ 2aº= m𝐴𝐵

A) 36 B) 547 C) 72 D) 108 E) 216 2.

Teorema de las tangentes: X2=a.b

La siguiente figura está compuesta de 6 cuadrados, cada uno de lado x cm. Si el número de centímetros del Perímetro de la figura es igual al número de centímetros cuadrados del área, ¿Cuál es el valor de x?

Teorema de la secante

m.n=A.B

A) 1 B) 5/3 C) 2 D) 5/2 E) 7/3 Teorema de las cuerdas

3.

a.b=c.d

¿Cuánto debe medir A8 para que el área del triángulo 8AE sea la mitad del área del trapecio 8CDE?

Teorema de Poncelet

a+b=c+2r Teorema de Pitod

a+b=c+d

A)3 B) 8/5 C) 4 D) 8/3 E) 7/3 4.

Cuadrilátero inscrito

El cuadrado de lado 12 está dividido en cuadrados cuyas áreas son 36 y 25; Y dos regiones cuyas áreas son R y S respectivamente. El valor de R - S es:

xº+zº=180 EJERCICIOS PROPUESTOS: 255 | P á g i n a



CPU – UNSM -T

9√3 metros cuadrados. ¿Cuánto medirá la diagonal del cuadrado? A) 5, 3√2 B) 4, 3√2 C) 4, 5√2 D) 5, 3√4 E) 4, 5√3

A) 4 5.

12. Un rectángulo tiene una dimensión doble que la otra; si cada dimensión aumenta un metro, el área aumenta 145 m2 . Hallar el área del rectángulo original. A) 5 600 m2 B) 4 600 m2 C) 4800 m2 D) 3700 m2 E) 4608 m2

B) 5 C) 1 D) 2 E) 3 Un terreno rectangular tiene el doble de largo que de ancho y está completamente rodeado por x metros de cerca. La superficie del terreno en términos de x es:

13. Con los datos de la figura, determine el área del trapecio

A) 1/X B) 2𝑥 2 C) 2𝑥 2 /9 D) 𝑥 2 /18 E) 𝑥 2 /72 6.

En la figura se presenta un hexágono regular de lado "a ", entonces el área del polígono ABCEOA es:

A) 220 B) 221 C) 222 D) 223 E) 224 14. Hallar el área del cuadrado ABCD, si el área del triángulo AMP es 50m2.

A)

√3𝑎2 2

B)

4𝑎2 3√3

C)

2𝑎2 √3

D) √3𝑎2 E)

3√3𝑎2 4

7.

Calcular el área de un hexágono regular cuyo lado es igual al lado de un cuadrado inscrito en un círculo de 2m de radio. A) 18√3 B)16√2 C) 20√3 D) 18√2E) 12√3

8.

Los perímetros de un cuadrado y un rectángulo de áreas iguales miden 8m y 10 m respectivamente. ¿Cuáles son las Dimensiones del rectángulo? A) 3 m ; 2m B) 6 m ; 4 m C) 4 m ; 1 m D) 2,5 m ; 2,5 m E) N.A.

9.

A) 150 B) 160 C) 170 D) 180 E) 190 15. Calcular la Longitud de la circunferencia mostrada, si 01 y 02 son centros de otras circunferencias.

Una sala tiene 3 metros de largo que de ancho. Si el largo fuese 3 metros más de lo que es y el ancho fuese dos metros menos; la superficie del piso sería la misma. Hallar el área de dicha superficie. A) 150 B) 160 C) 170 D) 180 E) 190

10. El perímetro de un triángulo isósceles es 200 metros. Si uno de los lados iguales es un múltiplo de 25; hallar las dimensiones del triángulo. A) 75; 75,50 B) 71; 74,60 C) 70; 75, 55 D) 65; 70 Y 60 E) 70; 85 Y 40 11. Un cuadrado y un ∆ equifátero tienen perímetros iguales. El área del triángulo es

A) 21𝜋 8) 51 𝜋 e) 71 𝜋 D) 61 𝜋 E) 81 𝜋 16. ULIQUITO posee un terreno de forma triangular determinado por los puntos (-5 : O),(2; -4) Y (3 ; 6) en el cual deberá sembrar 256 | P á g i n a



CPU – UNSM -T

pasto para alimentar a su ganado. Hallar el área total que deberá trabajar. A) 35 B) 40 C) 43 D) 37 E) 45 17.

En la figura, el área del triángulo BFC es 10m2, EF = FC/2. Hallar el área del paralelogramo ABCD. A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 17 21. El diámetro AC mide 4 m y M, N, P Y Q son puntos medios. Hallar el área de la región sombreada.

A) 60 m2 B) 90 C) 120 D) 40 E) 80 18. ¿Qué % del área total es el de la región sombreada? (ABCD es un rectángulo)

A) 9𝜋/2 B) 9𝜋/4 C) 7𝜋/4 D) 3𝜋/2 E) 3𝜋/4 22. El cuadrado ABCD tiene lado L, y, el cuadrado MNRS tiene una diagonal: MR = AC/2.Hallar el área de la región sombreada.

A) 37,5%B) 40% C) 37% D) 35% E) 39,5% 19. Si el área del cuadrado ABCD mide 40 m2. ¿Cuál será el área de la figura ombreada?

A) ¾ 𝐿2 B) 𝐿2 /8 C) 𝐿2 /4 √2𝐿2 /2 A) 17m2 B) 15 C) 20 D) 40 E) 16

D) √2 𝐿2 E)

23. Hallar el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado de lado 2a.

20. En la figura, calcular el área de la zona sombreada.

257 | P á g i n a



A) 2𝑎2 (𝜋-2) B) 2𝑎2 (𝜋-1)C) 4𝑎2 (𝜋-2) D) 𝑎2 (𝜋-2) E) 3𝑎2 (𝜋-4) 24. Hallar el área de la región sombreada. A)

4 (2𝜋 3

− 3√3)

B) 2𝜋 − 3√3 C) D) E)

4

b) PRINCIPIO DE MULTIPLICACION (INCLUYENTES) Nº de maneras = (m.n) METODOS DEL CONTEO: I.- COMBINACIÓN: n! Ckn = (n − k)! k! II.- PERMUTACIÓN: A). P. lineal:  VARIACION: Cuando intervienen algunos de sus elementos.

(𝜋 − 3√3)

3 4 (2𝜋 3 3 (2𝜋 4

− √3) − 3√3)

𝑽𝒏𝒌 =

25. Hallar: S = A1 + A2



45

A1

𝑃(𝑛: 𝑛1 ; 𝑛2 ; 𝑛3 … ; 𝑛𝑘 ) =

10

45

D)15

𝑛! 𝑛1 ! 𝑛2 ! 𝑛3 ! … ; 𝑛𝑘 !

C) PERMUTACIÓN CIRCULAR: 𝑷𝒄(𝒏) = (𝒏 − 𝟏)! PROBLEMAS PROPUESTOS

A2

12

A)10 B)8 C)12

𝒏! (𝒏 − 𝒌 )!

Cuando participan todos los elementos 𝑷𝒏 = 𝒏! B). PERMUTACIÓN CON REPETICION:

4 3

CPU – UNSM -T

E)14

1.

Siete caballos participan en una carrera. De cuántas maneras diferentes pueden ocupar los primeros lugares si no ocurren empates en el orden de llegada? A) 720 B) 5040 C) 210 D) 70 E) 21

2.

¿De cuántas maneras diferentes puede colocarse 4 soldados en una fila? A)21 B)20 C)24 D) 120 E) 14

3.

¿Cuántas variaciones pueden formarse de 10 objetos tomados de tres en tres? A) 780 B) 720 C) 730 D) 760 E) 740

4.

Un individuo descansa 2 días cualesquiera de la semana. ¿Cuántas semanas podrán transcurrir para que no se repitan los días de descanso? A) 14 B) 20 C) 21 D) 25 E)19

5.

¿Cuántos objetos distintos tienen que haber para que el número de combinaciones que se pueden formar tomándolo de 3 en 3 para que sea igual a 12 veces el número de obreros. A) 8 B) 10 C) 12 D) 9 E) 7

6.

De cuántas maneras diferentes podrá vestirse un estudiante si tuviese 3 camisas, 4 pantalones y 2 pares de zapatos? A) 12 B) 34 C) 24 D) 6 E) 42

26. Hallar el área sombreado si el lado del cuadrado es 4 a) 6( + 1) b) 6( - 1) c) 2(6 - ) d) 6 - 2 e) 8

27. Hallar el área sombreado si el lado del cuadrado es 4 a) 8 -  b) 8 - 2 c) 8 +  d) 16 - 4 e) 16

SEMANA N° 16 ANÁLISIS COMBINATORIO RAZONAMIENTO LÓGICO I. - PRINCIPIOS DEL CONTEO: a) PRINCIPIO DE ADICIÓN (EXCLUYENTE) Nº de maneras = (m+n)

258 | P á g i n a


7.


Para la etapa final del Concurso Nacional

a 12, entonces es cierto que la bolsa C

Escolar se han clasificado 5 estudiantes de

tiene:

la región costa, 4 estudiantes de la región

A) Tres barras con el número 1.

sierra y 3 estudiantes de la región selva,

B) Dos barras con el número 6.

quienes han sido alojados en habitaciones

C) Dos barras con el número 1.

triples del Centro Recreacional Pachanga.

D) Ninguna barra con el número 5.

¿De cuántas formas se pueden alojar los

E) Una barra con el número 6.

estudiantes en una habitación determinada

12. De cinco futbolistas, donde ninguno tiene la misma cantidad de goles convertidos, se sabe que Claudio tiene dos goles más que Abel, Flavio tiene dos goles más que Roberto, pero uno menos que Abel y Andrés más goles que Roberto, pero menos que Abel. ¿Cuántos goles menos que Claudio tiene Andrés? A) 1 B) 3 C) 5 D) 2 E) 4

de forma tal que haya 2 estudiantes de una misma región? A) 60 B) 75 C) 120 D) 145 E) 220 8.

9.

CPU – UNSM -T

Ayer tenía 16 años y el próximo año tendré 17 años. Si el día de mañana cumplo años. ¿En qué día y mes nací? A) 28 de Febrero B) 01 de Marzo C) 29 de Febrero D) 01 de Enero E) 31 de Diciembre Hay 70 plumones en una caja: 20 son rojos, 20 son verdes, 20 son amarillos y de los restantes algunos son negros y los otros blancos. ¿Cuántos plumones como mínimo debemos extraer de la caja, sin mirarlos, para tener la seguridad de que entre ellos habrá 10 plumones del mismo color? A) 36 B) 37 C) 38 D) 35 E) 39

10. Cinco mujeres, al ser interrogadas por un delito que cometió una de ellas, manifestaron lo siguiente: - Bertha: Fue Elsa - Ana: Fue Bertha - Elsa: Bertha miente - María: Yo no fui - Karla: Yo fui Si solo una de ellas dice la verdad, ¿quién cometió el delito? A) Bertha B) Ana C) María D) Elsa E) Karla 11. Se tiene 12 barras de chocolate, de las cuales 4 están enumeradas con el número 6; 4 con el número 5 y 4 con el número 1. Se distribuye las 12 barras en tres bolsas, A, B y C con igual número de barras. Si la suma de los números de la bolsa A es igual a 19, la de B es igual a 17 y la de C es igual

13. En una caja, se tiene 200 canicas de color verde, 200 de color rojo, 200 de color azul, 200 de color negro y 250 de color amarillo. ¿Cuál es el menor número de canicas que se debe extraer al azar para tener, con certeza, al menos 100 canicas del mismo color? A) 497 B) 498 C) 495 D) 496 E) 494 14. Se tiene tres ciudades M, N y P. Un empresario que viaja en avión, cuando va de M hacia N tiene que atrasar su reloj 2 horas al llegar a N y cuando va de M hacia P debe adelantarlo 3 horas al llegar a P. Si sale de P hacia N, a las 11 p.m. y el viaje dura 4 horas, ¿qué hora es en N cuando llega? A) 11 p.m. B) 7 C) 8 D) 10 E) 9 15. Una receta exige 4 litros de agua: si tuvieras una jarra de 4 litros no habría problema pero no posees más que 2 jarras sin graduar, una de 5 litros y otra de 3. ¿Es posible medir los 4 litros que necesitamos? A) No es posible B) Es posible C) Solo en forma aproximada D) No se puede responder E) Pregunta mal formulada 16. En la avenida I hay cinco casas (1, 2, 3, 4, 5) que están en línea recta. Cuatro encuestadores (P, Q, R, T) deben visitar, cada uno, solo una de las cinco casas. Analice la siguiente información: - Los encuestadores P y Q estuvieron separados por una casa. - Los encuestadores R y T estuvieron separados por dos casas. - La misma casa no pudo haber sido visitada simultáneamente por dos 259 | P á g i n a



CPU – UNSM -T

encuestadores. De acuerdo con la información dada ¿Cuáles casas no pudieron ser visitadas? A) La 1 y la 3 B) La 2 y la 4 C) La 2 y la 5 D) La 3 y la 4 E) La 3 y la 5

24. En una ferretería tienen un stock de 84m de alambre, y diario cortan 7m. ¿En cuántos días habrán cortado todo el alambre?

17. Se le pregunta la hora a un señor y este contesta: "Dentro de 20 minutos mi reloj marcará las 10 y 32". Si el reloj está adelantado de la hora real 5 minutos, ¿qué hora fue hace 10 minutos exactamente?

25. una habitación hay 11 pelotas amarillas , 13 azules y 17 verdes. Si se le pide a un ciego sacar las pelotas, ¿cuál es el mínimo número de pelotas que debe extraer para que obtenga con total seguridad 11 pelotas del mismo color?

A) 10h10min B) 10h07min C) 10h12min D) 09:50 E) 09:57min 18. En una de las tres cajas hay un tesoro, la única ayuda que dispone el adivinador es saber que uno y sólo uno de los letreros está mal. ¿Dónde está el tesoro? A) En II

B) En III

D) En I

E) En I o III

B) 10

C) 20

D) 15

A) 24 B) 11 C) 28 D) 31 E) 30 26. En una caja grande hay 6 cajas dentro de cada una de estas cajas hay 3 cajas, dentro de estas hay 2 cajas. ¿Cuántas cajas hay en total? A) 36 B) 18 C) 51 D) 61 E) 90

C) En I o II

19. Juan es el doble de rápido que Ángel y este dos veces más rápido que Omar. Para realizar una obra trabajaron durante 3 horas al término de las cuales se retira Omary los otros culminan la Obra en 5 horas más de trabajo. ¿Cuántas horas emplearía Omar en realizar 1/3 de la Obra? A) 30

A) 13 B) 12 C) 11 D) 10 E) 9

E) 25

20. Se compran tres manzanas por $10 y se venden cinco manzanas por $20, ¿Cuántas manzanas se deben vender para ganar $150? A) 125 B) 225 C) 300 D) 150 E) 100 21. Lucía fue al médico, éste le recetó tomar 4 pastillas, una pastilla cada 6 horas, ¿En qué tiempo podrá terminar de tomar todas las pastillas? A) 28 B) 24 C) 20 D) 18 E) 32 22. Si dos estudiantes pueden resolver 2 preguntas en 2 minutos, ¿Cuántos estudiantes se necesitarán para resolver 4 preguntas en 4 minutos? A) 4 B) 8 C) 16 D) 2 E) 6 23. En cierto examen Rosa obtuvo menos puntos que María, Laura menos puntos que Lucía, Noemí el mismo puntaje que Sara; Rosa más que Sofía; Laura el mismo puntaje que María y Noemí más que Lucía. ¿Quién obtuvo menos puntaje? A) Laura B) Maria C) Rosa D) Sofia E) Sara

27. Cinco pueblos A, B, C, D y E (no necesariamente en ese orden) se encuentran a lo largo de una carretera. Las distancias (en kilómetros) entre ellos se muestran en el siguiente cuadro: A B C D E A 0 3 3 1 6 B 3 0 6 2 3 C 3 6 0 4 9 D 1 2 4 0 5 E 6 3 9 5 0 El orden correcto de estos pueblos a lo largo de la carretera es: A) ACDBE B) CADBE C) CDABE D) CBDAE

E) ABCDE

19. Andrea, Braulio, Carlos, Dante y Esteban están sentados formando una ronda, en el orden indicado. Andrea dice el número 53, Braulio el 52, Carlos el 51, Dante el 50, y así sucesivamente. ¿Quién dice el numero 1? A) Andrea B) Carlos C) Braulio D) Esteban E) Dante 20. Diana nació dos años antes que Pedro y Ramiro tres años antes que Andrés. Si Pedro es el hermano mayor de Esteban y Andrés y, además, Esteban nació tres años después que Andrés, ¿Cuál de los cinco es el menor? A) Diana B) Pedro C) Ramiro D) Esteban E) Andrés 30. Un sapo se dirige dando saltos desde el punto A hacia el punto B, distantes entre sí 100 cm. Si entre ambos puntos está el punto C a 12.5 cm de B, ¿con cuántos saltos llegará a C, si en cada salto avanza 260 | P á g i n a



la mitad de la distancia que le falta para llegar a B? A) 4 B) 3 C) 6 D) 5 E) 2 31. Luz, Ruth, Katty y Nora tienen profesiones diferentes y viven en las ciudades A, B, C y D. Una de ellas es profesora, Nora es enfermera, la que es contadora vive en A y la bióloga nunca ha emigrado de C. Luz vive en D y Katty no vive ni en A ni en B. ¿Qué profesión tiene Luz y dónde vive Katty? A) Luz es bióloga y Katty vive en C. B) Luz es profesora y Katty vive en D. C) Luz es profesora y Katty vive en C. D) Luz es contadora y Katty vive en D. E) Luz es enfermera y Katty vive en C. 32. Si una ficha roja equivale a 3 azules y cada azul equivale a 2 blancas, ¿a cuánto equivaldrán 120 blancas? A) 20 rojas B) 20 azules C) 15 azules D)

10 rojas E) 25 blancas

33. Si en el producto indicado 27x36, cada factor aumenta en 4 unidades; ¿Cuánto aumenta el producto original? A) 320 B) 288 C) 328 D) 268 E) 220 34.Un turista alquila un auto a $30 diarios y adicionalmente abona $ 0,1 por km recorrido. El auto le rinde 35 km por galón en la ciudad y 50 km por galón en carretera, a un costo de $3,5 por galón. Si en una semana lo que recorre en carretera es 5 veces lo recorrido en ciudad, calcule el costo total en dólares, del alquiler del auto en dicha semana al cabo de la cual se recorrió 600 km en total. A) 315 B) 350 C) 425 D) 450 E) 470 35. De Carla, Betty y Jessica se sabe que solo una de ellas miente, y que la que miente es la menor de las tres. Si Betty dice que Carla y Jessica son mentirosas, se puede afirmar que:

CPU – UNSM -T

36. Paco llena un vaso con vino y bebe una cuarta parte del contenido; vuelve a llenarlo, esta vez con agua, y bebe una tercera parte de la mezcla; finalmente, lo llena nuevamente con agua y bebe la mitad del contenido del vaso. Si la capacidad del vaso es de 200mL, ¿qué cantidad de vino queda finalmente en el vaso? A) 100 B) 40 C) 60 D) 80 E) 50 37. Cuatro amigas de Carola, cada una con lentes oscuros, tienen la siguiente conversación: Betty: Yo no tengo ojos azules Elisa: Yo no tengo ojos pardos María: Yo tengo ojos pardos Leyla: Yo no tengo ojos negros Si se sabe que solo una tiene ojos azules y las demás tienen ojos pardos, y que solo una de las cuatro amigas miente, ¿Quién tiene ojos azules? A) Betty B) Maria C) Elisa D) Leyla E) Carola 38. Roberto es el único hijo del abuelo de Javier, y Rosario es la única nuera del abuelo de Roberto. Si el hijo único de Javier tiene cinco años y de una generación a otra consecutiva transcurren 20 años, ¿cuál es la suma de las edades del abuelo y bisabuelo de Javier? A) 135 B) 140 C) 155 D) 150 E) 145 39. María califica 25 exámenes por hora y Rosa 20 exámenes por hora. Cada una tiene que calificar 500 exámenes. Si María terminó de calificar. ¿Cuántos exámenes le faltan por calificar a Rosa? A) 100 B) 60 C) 90 D) 120 E) 50 40. Un

niño tiene el mismo número de hermanas que de hermanos, y una de sus hermanas tiene la mitad de hermanas que de hermanos. ¿Cuántos niños hay en la familia? ¿Cuántos son hombres y cuántas mujeres? A) 5, 3 hombres y 2 mujeres B) 4, 2 hombres y 2 mujeres C) 5, 2 hombres y 3 mujeres D) 7, 4 hombres y 3 mujeres

A) Betty es mayor que Carla B) Carla y Betty son mayores que Jessica C) Carla y Jessica son mayores que Betty D) Jessica y Betty son mayores que Carla E) Betty es mayor que Jessica

261 | P á g i n a

Trigonometría

TARAPOTO - PERÚ

DECIMONOVENA EDICIÒN

TRIGONOMETRIA 2017-II

UNSM - CPU-T

SEMANA 01 ANGULO TRIGONOMÉTRICO SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES 1. ANGULO TRIGONOMÉTRICO. Es una figura generada por la rotación de un rayo, alrededor de un punto fijo llamado vértice, desde una posición inicial hasta una L.F posición final.

L.I.: Lado inicial L.F.: Lado Final 1.1 CONVENCIÓN : L.I. Ángulos Positivos Si el rayo gira en sentido Anti horario

 Ángulos Negativos Si el rayo gira en sentido horario. 

Ejemplo: 

x

Nótese en las figuras:  “” es un ángulo trigonométrico de medida positiva.  “x” es un ángulo trigonométrico de medida negativa.  Se cumple: x=- Observación: a) Angulo nulo Si el rayo no gira, la medida del ángulo será cero. 0 0 b) Angulo de una vuelta Se genera por la rotación completa del rayo, es decir su lado final coincide con su lado inicial por primera vez. 1V

-2V El ángulo mide -2 vueltas 2. SISTEMAS ANGULARES Así como para medir segmentos se requiere de una unidad de longitud determinada, para medir ángulos se necesita de otro ángulo como unidad de medición. 2.1 Sistema Sexagesimal Su unidad angular es el grado sexagesimal (1º); el cual es equivalente a la 360ava parte del ángulo de una vuelta. 1V 1º   1V 360º 360 Equivalencias: 1º=60’ 1’=60’’ 1º=3600’’ 2.2 Sistema Centesimal Su unidad angular es el grado centesimal (1g), el cual es equivalente a la 400ava parte del ángulo de una vuelta. 1V 1g   1V= 400g 400 Equivalencias: 1g=100m 1m=100s 1g=10000s 2.3 Sistema Radial o Circular o Internacional Su unidad es el radian, el cual es un ángulo que subtiene un arco de longitud equivalente al radio de la circunferencia respectiva. B

A

mAOB=1rad

1 rad  0 c) Magnitud de un ángulo Los ángulos trigonométricos pueden ser de cualquier magnitud, ya que su rayo puede girar infinitas vueltas, en cualquiera de los sentidos. Como se muestra en el ejemplo. El ángulo mide 3 vueltas 3V

1 rad r

0

0 -1V

r

r

1V  1V=2rad  6,2832 2

Nota Como  = 3,141592653... Entonces:

  3,1416 

22  10  3  2 7

3. CONVERSION DE SISTEMAS Factor de Conversión Es un cociente “conveniente” de dos magnitudes angulares equivalentes. Magnitudes angulares equivalentes 1 vuelta : 1 v 360º=400g=2rad Llano : 1/2v 180º=200g=rad Grados : 9º =10g 263 | P á g i n a



Sexagesimal y Centesimal

Ejemplos:  Convertir a radianes la siguiente magnitud angular =12º Resolución: Magnitud Factor de equivalente Conversión rad 180º

rad = 180º

rad   rad 180º 15  Convertir a radianes la siguiente magnitud angular: =15º Resolución: Magnitud Factor de Equivalente Conversión rad rad = 200g



rad



Convertir a sexagesimal magnitud angular: =40g

Hallar:

E

sgte.

9º 10g

C R  200 

Centesimal y Radian

3.-El número de grados sexagesimales que mide un ángulo más el número de grados centesimales que mide el otro ángulo es 196. Calcular la medida del menor ángulo en radianes. Sabiendo que son suplementarios.

 36º

1º 1g 9º   1' 1m 5g

Resolución: Recordando: 1º=60’ 1g = 100m 9º = 10g m Reemplazando en: E  60'  100 1'

1m

2.-La suma de los números que representan el complemento de un ángulo en los tres sistemas conocidos es igual a la suma de los números que representan las medidas en los tres sistemas. Halle dicho ángulo en radianes. a) 𝜋/4 b)11𝜋/2 c) 𝜋/20 d)𝜋/10 c)𝜋/7

10g

  40g



la

Factor de Conversión 9º

9º = 10g

Sexagesimal y Radian

a) 5𝜋/6 b)11𝜋/20 c) 𝜋/20 d)15 𝜋/20 c)6 𝜋/20

3 rad 40

Magnitud equivalente

S R  180 

1.-El número de grados sexagesimales de un ángulo con el número de grados centesimales de otro ángulo están en la relación de 11 a 9, si además el suplemento de la suma de dichos ángulos es 8,10. Calcule la medida del ángulo menor en el sistema circular

200g

200g

S C  9 10


  12º

  15g

UNSM - CPU-T

a) 𝜋/5 b)11𝜋/10 c) 𝜋/8 d)𝜋/20 c)9𝜋/5 

10g 5g

E = 60 +100 + 2 =162 FORMULA GENERAL DE CONVERSION Sean S, C y R los números que representan la medida de un ángulo en los sistemas sexagesimal, centesimal y radial respectivamente, luego hallamos la relación que existe entre dichos números.

4.-La suma de dos ángulos es 60 0 sexagesimales y la diferencia de los mismos es 60 grados centesimales, el menor de dichos ángulos medidos en radianes es: a) 𝜋/40 b)𝜋/10 c) 𝜋/30 d)𝜋/20 c) 𝜋/60 5.-Si 𝛼 es la 30 ava parte de un grado sexagesimal y 𝛽 es la 20 ava parte de un grado centesimal. Calcular el valor de la expresión: 𝐾=

0

Sº

Cg

a)1/5 b)1/10 c)1/15 d)1/3 e)1/20

Rrad

De la fig. Sº = Cg = Rrad ... (1) Además 180º = 200g = rad ... (2) Dividiendo (1) entre (2) tenemos:

S C R   180 200  Fórmulas particulares:

3𝛼 − 2𝛽 10𝛽 − 9𝛼

Fórmula o Relación de Conversión

6.-La suma de la medida de dos ángulos es 4320, si uno de ellos mide 50g . Hallar la medida del otro ángulo en grados sexagesimales. a)350 b)270 c)300 d)250 e)290 7.-La diferencia de los números que representan el suplemento en grados sexagesimales y el complemento en grados centesimales de la medida de un mismo ángulo 264 | P á g i n a



es igual a 85. Hallar la medida radial de dicho ángulo. a) 𝜋/3 b)11𝜋/5 c) 𝜋/8 d)𝜋/9 c)𝜋/4 8.-Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo miden (10n/3)g y (20n/3)g, Hallar la medida del mayor ángulo en radianes. a) 𝜋/2 b)𝜋/3 c) 𝜋/4 d)𝜋/6 c)𝜋/5 9.-Hallar el ángulo mayor de los tres ángulos de un triángulo expresado en radianes, si se sabe que están en progresión aritmética y que el menor mide 360. a) 7𝜋/15 b)4𝜋/3 c) 𝜋/13 d)𝜋/20 c)𝜋/5 10.-La diferencia de los números que representan el suplemento en grados sexagesimales y el complemento en grados centesimales de la medida de un miso ángulo es igual a 85. Hallar la medida radial de dicho ángulo. a) 𝜋/5 b)𝜋/4 c) 𝜋/7 d)𝜋/6 c)2𝜋/5 11.-Hallar un ángulo en radian sabiendo que el producto de los números C y S es a la semidiferencia de los números como 10 veces el cuadrado del número que expresa la medida de este ángulo en radian es a 𝜋. a) 180 𝑟𝑎𝑑. b)200𝑟𝑎𝑑 c) 450𝑟𝑎𝑑 d)120𝑟𝑎𝑑 c)360𝑟𝑎𝑑. 12.-La diferencia de las inversas de las medidas de un ángulo en grados sexagesimales y centesimales es igual al cociente entre su medida en radianes y 2𝜋. Determinar la medida de dicho ángulo. a) 𝜋/30 b)𝜋/3 c) 𝜋/25 d)𝜋/6 c)𝜋/45 13.-Calcular la medida en radianes sabiendo que la diferencia de su número en grados centesimales con su número de grados sexagesimales es a su suma como dos veces su número en radianes es a 57𝜋. a)6𝜋 b)7𝜋 c)3𝜋/2 d)3𝜋/4 e)3𝜋 14.-Calcular la medida del mayor ángulo en radianes, si la suma de la cuarta parte del número de grados sexagesimales de un ángulo y los tres quintos del número de grados centesimales de otro ángulo vale 70 y además suplementarios. a) 𝜋/3 b)𝜋/6 c)2 𝜋/3 d)3𝜋/5 c)5𝜋/6 15.-Calcular el valor numérico que toma la siguiente expresión K=5(A + 7.6B)/4B, sabiendo que A es el número de segundos sexagesimales y B es el número de minutos centesimales del mismo ángulo.

UNSM - CPU-T

a)100 b)25 c)50 d)60 e)40 16.-Las medidas de tres ángulos están en progresión aritmética de razón 10g. Hallar la medida del mayor de ellos si la suma de los tres ángulos es 5𝜋/3𝑟𝑎𝑑. a)110 b)108 c)210 d)109 e)112 17.-Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo miden 5n grados centesimales y 18n grados sexagesimales. Hallar la medida del menor ángulo en radianes. a) 𝜋/10 b)3𝜋/10 c) 𝜋/30 d)𝜋/20 c) 𝜋/40 18.-Un ángulo mide 36000 segundos sexagesimales y otro mide 𝜋/225 radianes. Hallar la suma de los números de estas medidas expresadas en grados centesimales. a)9 b)14 c)13 d)11 e)12 19.-La medida de un ángulo en los sistemas sexagesimal (S), Centesimal(C) y Radial, verifica: 10S + 4C + 100R = 200XR. Hallar X – 13/𝜋. a)0 b)1 c)1/2 d)2 e)-1 20.-Los ángulos de un triángulo se encuentran en progresión aritmética, Calcular el ángulo intermedio en radianes. a) 𝜋/4 b)𝜋/5 c) 𝜋/6 d)𝜋/3 c) 𝜋/2 21.-La medida de un ángulo a en el sistema sexagesimal es a0b´c´´ y en el sistema radial es 0.114𝜋rad. Hallar a+b+c. a)62 b)63 c)64 d)65 e)70 22.-El número de grados sexagesimales que tiene un ángulo, excede en 14 al número de radianes en 51. Hallar en número de grados centesimales que tiene dicho ángulo (considerar 𝜋/22). a)35 b)45 c)55 d)65 e)75 23.-Los números S y C representan la medida de un ángulo en grados sexagesimales y centesimales respectivamente, se relacionan así: S=2x-1 y C=2x+4. Hallar la medida de dicho ángulo en radianes. a) 3𝜋/8 b)𝜋/5 c) 3𝜋/2 d)𝜋/3 c) 9𝜋/2 24.-Calcular la medida de un ángulo en radianes sabiendo que la diferencia de su número de grados centesimales con su número de grados sexagesimales es a su suma como dos veces su número de radianes es a 57𝜋. a) 𝜋/2 b)𝜋/3 c) 𝜋/4 d)𝜋/5 c) 𝜋/6

265 | P á g i n a



SEMANA 02 LONGITUD DE ARCO/SECTOR CIRCULAR RUEDAS Y ENGRANAJES 1. ARCO Una porción cualquiera de una circunferencia, recibe el nombre de “Arco” de la circunferencia.

R A

R

AB: Arco AB A: Origen del arco AB B: Extremo del arco AB O: Centro de la circunferencia R: Radio de la circunferencia

Amplitud Dada por la medida del ángulo central que sostiene el arco. Longitud de Arco En una circunferencia de radio “R” un ángulo central de “” radianes determina una longitud de arco “L”, que se calcula multiplicando el número de radianes “” y el radio de la circunferencia “R”. B

L: Longitud del arco AB R: Radio de la circunferencia : Nº de radianes del ángulo L Central (0   2  ) L = R.

R 0 rad R rad

A Ejemplo: Determine el perímetro de un sector circular AOB cuyo radio tiene por longitud 4m, y la amplitud del ángulo es 0,5 radianes. Resolución: A L = R. L = 4.0,5 L=2 El perímetro 2p del sector AOB será: 2p = R + R + L 2p = 4m + 4m + 2m 2p = 10m

4m 0 4m m

AOB: Sector Circular AOB Área del Sector Circular A

R 2 2 L.R S 2 L2 S 2 S

R

0

S

 rad

L

R

B

0

UNSM - CPU-T

rad

L

B

B



Ejemplos: Calcular el valor del área de los sectores circulares mostrados en cada caso: I. 2m 0

3m 2m

II. 0

4m 1 rad 4m

III.

2m 0,5 rad

0

Resolución: Caso I L.R (3m).(2m) SI   SI  2 2 Caso II

SI  3m2

R 2 (4m)2.1  SII  2 2

SII  8m2

SII  Caso III

(2m)2 L2 SIII  4m2  SIII  2.0,5 2 De la figura mostrada, calcular el área de la región sombreada, si la línea curva ABC, tiene por longitud 4m.

SIII  

0

Nota:  La longitud de la circunferencia se calcula multiplicando 2 por el radio “R” de la circunferencia (2R)

12m

8m D

C

LC=2R

R 0

2. SECTOR CIRCULAR Se llama sector circular a la región circular limitada por dos radios y el arco correspondiente. B 0

cuerda

A B

Resolución: Denotemos por: L1 : Longitud del arco AB, el radio R1=12m L2 : Longitud del arco BC, el radio R2=4m

0

C

4m L

De la figura:

12m

8m

2

B

A L 1

266 | P á g i n a A

DECIMONOVENA EDICIÒN L 2  R 2.2  4m.


 2

L2  2m Según el dato: L AB  LBC  4m L1  L2  4m L1  2  4m L1  2m El área del sector AOB será: L .R 2m.12m S1  1 1   12m2 2 2 Observaciones: El incremento de un mismo radio “R” en un sector circular inicial de Área “S” (Fig.1); produce un incremento de área proporcional a los números impares de “S”, que el estudiante podría comprobar (Fig.2).



S

0

R R R

Fig.2

R R S

0

7S

5S

3S

R

Donde: AT= Área del trapecio circular. También: rad 

APLICACIONES MECANICAS a) Numero de Vueltas Cuando una rueda (disco, aro) gira sobre una superficie plana desde una posición A hasta una posición B, como se muestra, se puede afirmar lo siguiente: r

Ejemplo: Hallar el cociente de las áreas sombreadas A y B respectivamente. Resolución:

S

3S

4 4 4 Recordando la observación: A =7S 4

B

d

𝜃𝑔

𝑑

𝑛 = 2𝜋

R

B

r

A

r

A

Bb h

; 𝑛 = 2𝜋𝑟 ;

𝜃𝑔 =

𝐿 𝑟

Donde: n = número de vueltas que da la rueda al ir de A hasta B 𝜃𝑔= número de radianes del ángulo que gira la rueda L = longitud que recorre la rueda Cuando la superficie es curva, el número de vueltas viene dado por:

Fig. 1

R

UNSM - CPU-T

7S

5S 4

𝐿𝑐 𝑛= 2𝜋𝑟 r

r

lc r

r b) Transmisión de movimientos Los sistemas mecánicos que permiten transmitir movimientos pueden ser debido a un contacto entre sus elementos o unidos a través de una faja o un eje. b.1. Engranajes. La longitud de arco definidas por el contacto entre dos poleas o piñones, son iguales. Esto se denota asi: θ θ

L1 = L2

B = 3S A 7  B 3

AREA DE UN TRAPECIO CIRCULAR  Se llama trapecio circular a aquella región circular formada por la diferencia de dos sectores circulares concéntricos. h  rad

l

𝐴𝑇 =

𝐿+𝑙 )ℎ 2

𝜃(𝑅 2

− 2

𝑟2 )

𝐴𝑇 =

L1 = L2 R

1

2

L

θ1R1 = θ2R2

b.3. Transmisión de eje. Los ángulos centrales barridos son iguales, es decir

h

𝐴𝑇 = (

b.2. Poleas. Las longitudes recorridas por cualquier punto del borde de las poleas son iguales a la longitud recorrida por un punto de la faja.

R A

θ1R1 = θ2R2

R

R

𝐿2 −𝑙2 2𝜃

r1

Eje común

r2

𝐿1 𝑟1

=

𝐿2 𝑟2

267 θ| P 1 =áθg2 i n a



UNSM - CPU-T

a)34𝜋 b)54𝜋 c)20𝜋 d)64𝜋 e)74𝜋 9.-Hallar el ángulo central de un sector circular en el sistema circular si tiene igual área y perímetro que la de un cuadrado. a)0.5rad b)1rad c)1.5rad d)2rad e)2,5rad EJERCICIOS PROPUESTOS

10.-Un auto de carrera sigue una pista circular alrededor de la tribuna de los jueces. Calcular la longitud recorrida en la pista por el auto, si esta longitud subtiende un ángulo central de 1600 (diámetro de la pista = 1260m)

1.-De la figura, hallar a/b

a)1560m b)1260 c)1760 d)1860 e)1660 3X

X

11.-Un sector circular y un cuadrado tienen igual área e igual perímetro, determinar la medida del ángulo central en grados sexagesimales de dicho sector. Indicar el valor más próximo.

a b b a)1/2 b)1

c)1/4 d)2

a)1140 b)120016´ 0 e)111 12´

e)0.3

2.-Hallar 𝛼

𝛼 2

4

3 2

a)1/3rad b)1/2rad c)1/4rad d)2/3rad e)4/3rad 3.-Calcular la longitud del arco correspondiente a un ángulo central de 400 en una circunferencia de 18m de radio. a)𝜋 b)2𝜋 c)3 𝜋 d)4 𝜋 e)8𝜋 4.-En un sector se cumple que el arco mide 3𝜋 y el radio mide 9. ¿Cuál es la medida sexagesimal del ángulo central? a)100 b)20 c)30 d)40 e)60 5.-Calcular el área de un sector circular cuyo ángulo central mide 40g y su radio 10m a)8𝜋 b)10𝜋 c)40𝜋 d)6𝜋 e)4𝜋 6.-El área de un sector circular es de 4m 2 su perímetro es de 8m. Hallar el radio del círculo. a)1 b)2 c)3 d)4 e)5 7.-En un sector de área 120𝜋, se reduce el arco a la mitad y se triplica el radio, obteniéndose un nuevo sector circular, cuya área es a)120𝜋 b)150𝜋 c)180𝜋 d)210𝜋 e)240𝜋 8.-Un molinete de riego tiene un alcance de 12m y un ángulo de giro de 135 0 calcular el área (en m2) del sector circular mojado para el molinete.

c)112011´

d)114034´

12.-El ángulo central de un sector circular es igual a 160 y se desea disminuir en 70. ¿En cuánto hay que aumentar el radio del sector para que su área no varíe, si su longitud inicial era igual a 27m? a)3m b)6m c)9m d)12m e)15m. 13.-A un alumno se le pide calcular el área de un sector cuyo ángulo central es de 2 0, pero el escribe 2 radianes obteniendo un área A, si el área correcta es B. Calcular A/B. a)1 b)𝜋/180 c)180/𝜋 d)9/10 e)200/9 14.-Se tiene un sector circular de radio (x-1)m, ángulo central de medida xrad y una longitud de arco (x+1)m. Calcular su área. a)1m2 b)√2+1 c) √2-1 d) √2 e)2 15.-En un sector circular de área 4𝜋u2 los números que representan la medida del ángulo central en el sistema sexagesimal (S) y Centesimal ( C ) viene dado por las relaciones: S=(x+2)(x-4) y C = (x+1)(x-3). Calcular la longitud del arco de dicho sector circular. a) √2𝜋𝑢 b)2√2𝜋 c)2𝜋 d)4√2 e)4𝜋 16.-Dado un sector circular cuyo ángulo central mide 600 duplicamos la longitud de su radio y disminuimos a la medida de su ángulo central en 𝜃 0 y se obtendrá un nuevo sector circular cuya área es el triple del área del sector circular original. Hallar 𝜃. A915 b)20 c)160/3 d)30 e)140/3 17.-Las ruedas delantera y posterior de una bicicleta miden 40cm y 30cm respectivamente. 268 | P á g i n a



UNSM - CPU-T

¿Cuál debe ser la longitud avanzada en metros por la bicicleta para que la rueda posterior realice 10 vueltas más que la delantera? a)20𝜋 b)22𝜋 c)24𝜋 d)26𝜋 e)27𝜋

SEMANA 03 RAZONES TRIGONOMETRICAS EN TRIANGULOS RECTANGULOS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Las razones trigonométricas son números que resultan de dividir dos lados de un triángulo rectángulo. Cos  =

Ejemplo:  En un triángulo rectángulo ABC (recto en C), se sabe que la suma de catetos es igual “k” veces la hipotenusa. Calcular la suma de los senos de los ángulos agudos del triángulo. Resolución: Nótese que en el enunciado del problema tenemos:

Cat .ady. a   Sen  Hip . b

B



Cat .op. c Tg  =   C tg  Cat .ady a

a

Cat .ady. a   Tg  Cat .op. c

C

Ctg  = Sec  =

Hip . b   Csc  Cat .ady a

Hip . b   Sec  Cat .op c Cat .op. c   Cos  Sen  = Hip . b

Csc  =



C A a Hipotenusa

c

eb t o

C

B

a

Teorema de Pitágoras “La suma de cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa”.



ab c

k .c  k c

Los tres lados de un triángulo rectángulo se hallan en progresión aritmética, hallar la tangente del mayor ángulo agudo de dicho triángulo. Resolución: Nótese que dado el enunciado, los lados del triángulo están en progresión aritmética, de razón “r” asumamos entonces: Cateto Menor = x – r Cateto Mayor = x Hipotenusa = x + r Teorema de Pitágoras x+r (x-r)2+x2=(x+r)2 x 2 2 2 2 2 x -2xr+r +x =x +2xr+r x2-2xr=2xr x2=4xr x-r x=4r

 3r Nos piden calcular Tg=

A + B = 90º

c

A

b

4r

Teorema “Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios”.





a b  c c

5r

a2 + b2 = c 2

A

Sen  Sen 

IMPORTANTE “A mayor cateto, se opone mayor ángulo agudo”. Luego, reemplazando en la figura tenemos:

Cateto

1. DEFINICION DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS PARA UN ANGULO AGUDO. Dado el triángulo ABC, recto en “B”, según la figura, se establecen las sgts definiciones para el ángulo agudo “”:

c

Luego: Sen  Sen 

TRIANGULO RECTANGULO

t

a + b = k.c Nos piden calcular



4r 4  3r 3

Calcular el cateto de un triángulo rectángulo de 330m de perímetro, si la tangente de uno de sus ángulos agudos es 2,4. Resolución:

a) Sea “” un ángulo agudo del triángulo que cumpla con la condición: 269 | P á g i n a

b



24 12  10 5 Ubicamos “” en un triángulo rectángulo, cuya relación de catetos guardan la relación de 12 a 5. La hipotenusa se calcula por Pitágoras. Tg  2,4 

Triángulo Rectángulo Particular

12

13

General

12k

13k

 5



UNSM - CPU-T Tangente Cotangente Secante Cosecante Dado: x+y=90º, entonces se verifica Senx =Cosy Tgx = Ctgy Secx = Cscy Así por ejemplo:  Sen20º = Cos70º (20º+70º=90º)  Tg50º = Ctg40º (50º+40º=90º)  Sec80º = Csc10º (80º+10º=90º) Nota: Conocida una razón trigonométrica, luego hallaremos las restantes; graficando la condición (I) en un triángulo, tenemos:

5k

b) El perímetro del es: Según la figura: 5k+12k+13k = 30k Según dato del enunciado =330m Luego: 30k = 330 K =11m c) La pregunta es calcular la longitud del menor cateto es decir: Cateto menor = 5k = 5.11m = 55m 2. PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS 2.1 Razones Trigonométricas Recíprocas. “Al comparar las seis razones trígono métricas de un mismo ángulo agudo, notamos que tres partes de ellas al multiplicarse nos producen la unidad”. Las parejas de las R.T. recíprocas son entonces: Sen . Csc = 1 Cos . Sec = 1 Tg . Ctg = 1 Ejemplos:  Indicar la verdad de las siguientes proposiciones. I. Sen20º.Csc10º =1 ( ) II. Tg35º.Ctg50º =1 ( ) III. Cos40º.Sec40º=1 ( ) Resolución: Nótese que las parejas de R.T. recíprocas, el producto es “1”; siempre que sean ángulos iguales. Luego: Sen20º.Csc10º1 ; s No son iguales Tg35º.Ctg50º 1 ; s No son iguales Cos40º.Sec40º=1 ; s Sí son iguales 2.2 Razones Trigonométricas de Ángulos Complementarios. “Al comparar las seis R.T. de ángulos agudos, notamos que tres pares de ellas producen el mismo número, siempre que su ángulo sean complementarios”. Nota: “Una razón trigonométrica de un ángulo a la co-razón del ángulo complementario”. RAZON CO-RAZON Seno Coseno

5

4

Tgx= x

C at.Op. 4  C at.Ady. 3

3

3. RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS AGUDOS NOTABLES 3.1 Triángulos Rectángulos Notables Exactos I. 30º y 60º

60º 2k

1k

30º

II. 45º y 45º k 45º k

k

45º k

3.2 Triángulos Rectángulos Notables Aproximados I. 37º y 53º 53º

5k

3k

37º 4k

II. 16º y 74º 74º

25k

7k

16º 24k

TABLA DE LAS R.T. DE ANGULOS NOTABLES  R.T.

30º

60º

45º

37º

53º

16º

74º

Sen

1/2

3 /2

2 /2

3/5

4/5

7/25

24/25

Cos

3 /2

1/2

2 /2

4/5

3/5

24/25

7/25

Tg

3 /3

3

1

3/4

4/3

7/24

24/7

Ctg

3

3 /3

1

4/3

3/4

24/7

7/24

Sec

2 3 /3

2

2

5/4

5/3

25/24

25/7

Csc

2

2 3 /3

2

5/3

5/4

25/7

25/24

Ejemplo: 270 | P á g i n a



9. En un triángulo rectángulo ABC recto en B se cumple 2tanA = cscC. Calcular: senA

Calcular: F  4.Sen30º 3.Tg60º

10.C os37º 2.Sec45º

Resolución: Según la tabla mostrada notamos: F

1  3. 3 2 4 10.  2. 2 5 4.



F

UNSM - CPU-T

23 5 1   8  2 10 2

A)

3 4

B) 1/2

D)

3 2

E)

C) 1/4

2 3 3

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.

Siendo el triángulo rectángulo ABC recto en “B”, además: a = 1; c = 4. Hallar “ 17 . cos A ”

2.

A) 1

B) 3

D) 5

E) 7

Si: 4sen = 3, Hallar “csc” A) 1/4 B) 4/3 D) 2/3

3.

D) 25

E) 37

4. Si: cos42º =

D) 4

C) 50

1 . sec  x  15 

Hallar: ctg2(x + 3) A) 1 B) 2

5.

C) 1/2

Si: tg(xº + 20º) x ctg50º = 1 Hallar “x” B) 40

Calcular: E = tanA + tanC A) 4

B) 6

D) 2

E) 10

C) 8

C) 4

E) 3/5

A) 30

10. En un triángulo rectángulo ABC recto en B se verifica que 8senAsenC = 1.

11. En un triángulo ABC recto en C se tiene que a + c = 2. csc B  cot B Calcular: E  b A) 1

B) 2

D) 1/4

E) 4

12. En un triángulo ABC (AB = AC) se sabe 24 que tan B  si el lado desigual mide 42 7 cm calcular el perímetro de dicho triángulo. A) 162 B) 152 C) 172 D) 182

C) 3

E) 5

Si: sec(x + 10º) = csc40º. Hallar: tg(5º + x)

C) 1/2

E) 192

13. En un triángulo rectángulo, la cotangente de uno de sus ángulos agudos es 0,75 calcular la hipotenusa, si el área de dicho triángulo es 24 unidades cuadradas. A) 54 B) 10 C) 15 D) 20

E) 25

14. Del gráfico hallar: tanα . tanθ A) 5 D) 3 6.

7.

C) 2

B

A) 2

E) 4

En un triángulo rectángulo ABC recto en B.

C 1/4

A) 1

B) 2

D) 4

D) 4

E) 5

Si: sec x  7 Calcular: E  tan 2 x  42senx A) 10 B) 12

C) 3

E)

C) 14

E) 20

En un triángulo rectángulo ABC recto en C se cumple tan A  7 . 3 Determinar: E  7 tan B  6 sec A A) 3

B) 5

D) 9

E) 11

C) 7



B) 1/2

Reducir: E = senA secC + senC secA

D) 18 8.

B) 1

M 

A

C

2

15. Si ABCD es un cuadrado. Calcular: tanθ. 1 Si: tan   8 A) 8/15 B C  B) 15/4 C) 1/8 D) 8 E) 15/8



A

D

16. Del gráfico, calcular: cos2θ A) 1/2 B) 1/3

 

271 | P á g i n a 6

3



UNSM - CPU-T

C) 3/2 D) 2/3 E) 1/4 17. Del gráfico calcular tanθ. Si ABCD es un cuadrado. A) 1 B C

SEMANA Nº04: MISCELANEA

B) 2




3

C) D)

2

E)

5

A

D

𝜋 15

A) 𝑦 17𝜋/30

18. Del gráfico. Calcular: E 

cot   tan  

A) 1 B) 1/4 C) 4

1. La diferencia de las medidas de los ángulos es 30g y su suma es 750. Calcular la medida de cada uno de ellos en radianes.







15𝑦 17𝜋/60 D)-

19. Del gráfico hallar: M 

A) 11/5

sec x  sec y  sec z sec x  sec y  sec z

AQ AR  2 3

B

3𝜋

𝑦 17𝜋/60 E)

4

C)2𝜋/

𝑦 − 5𝜋/3

B)

1409 g

C) 240g D)

29 90

rad

C) 1/11

Q

D) 2/11

P y

A

x

Halle el número de radianes.

z

E) 11/2 20. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 20 m si la tangente de uno de sus ángulos agudos es 0,75 determinar su perímetro. A) 12 m B) 24 m C) 48 m E) 28 m

21. Si: sec   5 2 Determinar: E  5sen  cot  A) 1

B) 2

D) 4

E) 5

3. En un cierto ángulo se cumple que el número de segundos sexagesimales menos 3 veces el número de minutos centesimales es igual a 294 000. Hallar su número en radianes. A) /20 B) /10 C) /5 D) /30 E) /15 4. Siendo S, C y R lo convenido y sabiendo que se cumple: S = 3p + 6 ; C = 7p - 8

R

B) 1/3

D) 36 m

60

− 2𝜋/15

E) 190°

E) 2

Si: AP 

2𝜋

2. Se tiene 3 ángulos tal que la suma del primero con el segundo es 20°; del segundo con el tercero es 40g y del primero con el tercero es 5/9 rad. Hallar el mayor de dichos ángulos. A) 42°

D) 1/2

4𝜋 𝑦 15

B)

A) /8 B) /10 C) /18 D) /9 E) /20 5. Los radios de la rueda de una bicicleta están en relación de 15 a 8. Cuál es el ángulo en grados sexagesimales que habrá girado la rueda mayor cuando la rueda haya dado 3/8 de vuelta. a)1350 b)130 c)140 d)125 e)120 6. Una rueda recorre un arco de una pista circular de radio 10 describiendo respecto al centro de la pista un ángulo central de 72 0 y dando 8 vueltas. Calcular la longitud del radio e la rueda. a)1/4m b)2 c)2/5 d)3 e)7/9

C) 3

7. Una rueda de radio 8 esta sobre una pista circular de radio 24 y describe sobre dicha pista un ángulo central de 1200. ¿Qué ángulo barre la rueda en este recorrido? 272 | P á g i n a



a)1200 b)189 c)360 d)120 e)352. 8. Las longitudes de los radios de las ruedas de una bicicleta están en la relación 15/8. ¿Cuál es el ángulo barrido por la rueda mayor cuando la rueda menor barre 1350? 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 5

a) 9.

3𝜋 5

b)

c)𝜋/6 d)𝜋/2 e)3𝜋/2

Los radios de las ruedas de una bicicleta son 30cm y 40cm esta bicicleta se encuentra sobre una pista rectilínea. Calcular el número de vueltas que da la rueda mayor si la menor dio 8 vueltas al recorrer la bicicleta un cierto espacio.

UNSM - CPU-T

15. En un triángulo rectángulo ABC recto en A reducir:

E

( a  c)(1  cos B) bsenB

A) a

B) b

D) 0

E) 1

C) c

16. Si AOB es un cuarto de circunferencia Además tan   5 . Calcular: cot  12 A C 

a)3 vueltas b) 5 c)6 d)8 e)9 10. Una moneda de radio 2m recorre 40m, otra moneda de radio 3m recorre 60m. Calcular el radio de una tercera moneda de tal manera que recorra la suma de las distancias anteriores y de la suma del número de vueltas de las mismas. Además las tres monedas están sobre una pista rectilínea. a)2/5 b)3/5 c)4/5 d)5/2 e)5/3 11. Los radios de las ruedas de una bicicleta son 30cm y 40cm, esta bicicleta se encuentra sobre una pista rectilínea. Calcular el número de vueltas que da la rueda mayor, si la menor dio 8 vueltas al recorrer la bicicleta una cierta distancia

O



A) 2

B) 3

D) 5

E) 6

B

C) 4

17. Siendo “” y “” complementarios que verifican la igualdad. Sen( +  sen()) = cos( -  cos()) Calcular: E  1  1   A) 1

B) 2

D) 4

E) 5

C) 3

18. Calcular: E = (4sen2º + 3cos88º) csc2º A) 14 B) 13 C) 11

a)4 b)6 c)8 d)31/3 e)32/3 D) 9 12. Los radios de las ruedas de una bicicleta miden 20cm y 70cm. Hallar la distancia recorrida por dicha bicicleta si la rueda mayor dio 100 vueltas menos que la rueda menor. Considerar 𝜋/22. a)128m b9156 c)167 d)176 e)182 13. Si: sen  3 . 3

F A) 1 D)

Determinar:

2 tan   3 csc  B) 2

2

E)

C) 3

3

3 14. Si se tiene que  es agudo y cos   4

E) 7

19. Simplificar: 3tg30º 5 sec 20º E  2sen10º   cos 80º ctg60º csc 70º A) 4

B) 6

D) 10

E) 12

C) 8

20. Si: sen3x = cos14x. Calcular: E  tg5x tg12x  2 sec x csc16 x A) 1

B) 2

D) 4

E) 5

C) 3

21. Si: “x” e “y” son complementarios además: senxcosy = sen45º Determine:

Calcular:

F  csc2   4 cot  7 A) 1

B) 2

D) 4

E) 5

E = sec2x + tg2y C) 3

A) 2

B) 3

D) 5

E) 0

C) 4

22. Si: sec(4x – 10º) = csc(40º - x) 273 | P á g i n a



3x Calcular: E  tg2 3x  csc 2 A) 3

B) 4

D) 6

E) 7

C) 5

SEMANA 05 ANGULOS HORIZONTALES Y VERTICALES Ángulos verticales Los ángulos verticales son ángulos agudos contenidos en un plano vertical y formados por dos líneas imaginarias llamadas horizontal y visual y pueden ser de elevación o depresión.





ÁNG ÁNGULO

Ángulos horizontales Los ángulos horizontales son ángulos agudos contenidos en un plano horizontal, se determinan tomando como referencia los puntos cardinales norte(N) , sur(S) , este(E) y oeste(O). ROSA NÁUTICA Gráfico que contiene 32 direcciones notables, cada dirección forma entre ellas un ángulo cuya medida es 11° 15’ En el gráfico adjunto sólo se muestran 16 direcciones notables, cada una forma entre ellas un ángulo cuya medida es 22° 30´

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Un avión que vuela sobre la línea que separa a dos ciudades A y B la observa con ángulos de depresión de 30° y 45° . Hallar a la que vuela el avión si la distancia que separa a las dos ciudades es 125(1+√3 )m A) 135m B) 100 C) 110 D) 125 E) 120

UNSM - CPU-T

2. Una persona observa la parte superior de un edificio con un ángulo de elevación de 37° camina 28m hacia el edificio y lo vuelve a observar con un ángulo de elevación de 53°. Si a partir de esta posición emplea 9s para llegar al edificio, calcular la velocidad de la persona, si es constante. A) 4m/s B) 6m/s C) 2m/s D) 3,5m/s E) 9m/s 3. Una persona de 2m de altura se encuentra a 9m del pie de un edificio y observa la azotea del mismo con un ángulo de elevación de 53°. Determinar la altura del edificio. A) 16m B) 14 C) 12 D) 10 E) 8 4. Pepe se encuentra al oeste de Daniel, a 40m. Si ambos divisan a Sonia al N30°𝐸 y al N60°𝑂, ¿Cuál es la distancia entre Daniel y Sonia? A) 38,6m B) 36,6m C) 34,6m D) 42,6m E) 44,6m 5. Un avión se encuentra a una altura de 4500m sobre un objetivo, se viene cayendo con un ángulo de inclinación 𝛼debajo de la horizontal. Luego de recorrer 1300m, el avión toma la dirección horizontal y recorre L metros, alejándose del objetivo después de lo cual, el piloto observa el objetivo con un ángulo de depresión de 53°. Calcule L si: tg𝛼 =

5 12

A) 1000m B) 1200m 1800m E) 2000m

C) 1500m

D)

6. Dos barcos están apartados 30km uno del otro. B está situado de A al S80°O, un submarino C se ve desde A en la dirección S20°O. Calcular la distancia del barco A al submarino C, si desde B se observa C en dirección S40°E. A) 15km B) 20km C) 25km D) 30km E) 35km 7. Desde un punto entierra se divisa lo alto de un edificio con un ángulo de elevación 𝛼. Nos acercamos una distancia igual al doble de la altura del edificio y el ángulo de elevación es ahora 𝛽. Calcular: L = ctg 𝛼 − ctg 𝛽 A) 3 B) 4 C) 5 D) 2 E) 6 8. Desde lo alto de un faro se observa a un mismo lado, dos barcos anclados con ángulos de depresión de 53° y 37°. Si los barcos están separados una distancia de 14m, ¿Cuál es la altura del faro? A) 20 B) 24 C) 25 D) 21 E) 22 274 | P á g i n a



9. Desde lo alto de un edificio de 100m de altura se observa un auto estacionado bajo un ángulo de depresión de 30°. Calcular la distancia desde el auto hasta el pie del edificio en el punto que está bajo el observador. A)100√3 B)100√2 C)100 D)10√3 E)√3 10. Un niño observa la parte más alta de un árbol con un ángulo de elevación𝛼, si el niño camina dos tercios de la distancia que los separa inicialmente, el ángulo de elevación es el doble, calcular 𝛼. A) 60° B) 30° C) 75° D) 15° E) 45° 11. Desde un punto en el piso se observa la parte más alta de un edificio con un ángulo de elevación 𝜃, si desde la mitad de la distancia el ángulo de elevación es el complemento de 𝜃, calcular ctg𝜃 A)√3 B)√2 C)2√2 D)√3 E) 2√3 12. Una persona se dirige a un faro y observa lo alto del mismo, bajo un ángulo de elevación 𝛼 , después de caminar 15 m, vuelve a observarlo con un ángulo de elevación 𝛽. Si la altura del faro es 30 m, calcular: 1 𝐸 = 2𝑡𝑔𝛼( + 𝑐𝑡𝑔𝛽) 2 A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 2

UNSM - CPU-T A) 235m 236m

B) 237m E) 239m

C) 238m

D)

16. Un avión vuela horizontalmente a una altura de 2000 m y observa delante un punto sobre la tierra con un ángulo de depresión de 30° luego de recorrer x mobserva nuevamente el punto adelante con un ángulo de depresión de 45°. Hallar x (√3 = 1,73) A) 1420m B) 1440m D) 1400m E) 1460m

C) 1480m

17. Desde el piso se observa la parte más alta de dos edificios de 50 m y h metros con ángulos de elevación de 45° y 37°, respetivamente. Si los edificios están separados 98m, calcular la altura h. A) 34m B) 36 C) 32 D) 30 E) 38 18. Desde el pie de un poste se observa un edificio con un ángulo de elevación de 45°, luego de la parte más alta se observa el edificio con un ángulo de elevación de 37°. Calcular la altura del edificio si el poste mide 10m. A) 10m B) 20 C) 30 D) 40 E) 50 19. Desde un punto P se divisa dos barcos A y B en las direcciones E10°N y O80°N respectivamente; con distancias de 10 y 10√3 , calcular la distancia entre A y B. A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50

13. Dos edificios están separados una distancia d, con alturas H y h, respectivamente. Desde el edificio H se observa el punto más alto y el más bajo del otro edificio con ángulo de depresión 37° y 53°, hallar H/h 8 16 7 7 7 A) B) C) D) E)

20. Katty sale de su casa rumbo al colegio, realizando el siguiente recorrido: 10 m al norte, 20√2 al NE y finalmente 20 m al este, llegando a su destino. ¿A qué distancia de su casa, se encuentra el colegio de Katty? A) 10m B) 20m C) 30m D) 40m E) 50m

14. Di te colocaras a 48 m a la base de un edificio, el ángulo de elevación de la parte más alta sería𝛼 pero si te alejaras una distancia d, respecto al punto anterior, el ángulo de elevación sería ahora 𝜃. Calcular

21. Pedro observa a Sofía al N10°E y Pamela al este; a una misma distancia. ¿En qué dirección observa Pamela a Sofía? A) N50°O B) N30°O C) N40°O D) N60°O E) N10°O

7

7

d, si: 𝑡𝑔𝛼 = A) 58m 64m

7 12

16

𝑦 𝑡𝑔𝜃 =

8

5

1 4

B) 66m

C) 62m

D)

E) 60m

15. Una antena de 15 m de altura está en el borde de un edificio, si desde un punto se observa la parte más alta y más baja de la antena con ángulo 𝜃 y 𝛽; respectivamente, hallar altura del edificio, si:𝑡𝑔𝜃 = 1,26 𝑦 𝑡𝑔𝛽 = 1,185

22. Desde un punto P se divisa dos objetos A y B en las direcciones NE y este a 20√2m y 60m, respectivamente. Si desde B se observa a A al N𝛼O; calcular tg𝛼. A) 10 B) 8 C) 6 D) 4 E) 2 23. Desde tres puntos en tierra se observa la parte más alta de un árbol de 30m, con ángulos de elevación cuya suma de senos es 0,94. Si las líneas visuales son 275 | P á g i n a



proporcionales a 3,4 y 5, hallar la suma de las cosecantes de los ángulos de elevación. A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18

UNSM - CPU-T

RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS EN POSICIÒN NORMAL

𝑦 𝑟 𝑐𝑠𝑐𝛼 = 𝑟 𝑦 𝑥 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑠𝑒𝑐𝛼 = 𝑟 𝑥 𝑦 𝑥 𝑡𝑔𝛼 = 𝑐𝑡𝑔𝛼 = 𝑥 𝑦 SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS IC IIC IIIC IVC Senα y Cscα + + Cosα y Secα + + tanα y Ctgα + + 𝑠𝑒𝑛𝛼 =

SEMANA 06 RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS EN POSICION NORMAL, CUADRANTALES Y COTERMINALES ANGULOS TRIGONOMETRICOS EN POSICION NORMAL (ESTANDAR O REGULAR) Un angulo esta en posicion normal respecto a un sistema de coordenadas rectangulares, cuando su lado inicial pertenece al semieje positivo de las abcsisas ( → ) y su

Cuadro de valores de las razones trigonometricas de los angulos cuadrantales de mayor aplicaciòn

𝑂𝑋

vértice coincide con el origen del sistema de coordenadas rectangulares x

V

θ

β

α CLASIFICACIÒN x’ a) Angulos que pertenecen a algùn cuadrante

b) Angulos cuadrantales Son angulos en posicion normal cuyo lado final coincide con algun semieje del sistema de coordenadas rectangulares;pueden ser positivos o negativos. NOTA:

00;3600 0 1 0 ND 1 ND

Sen Cos Tan Ctg Sec Csc

900 1 0 ND 0 ND 1

1800 0 -1 0 ND -1 ND

2700 -1 0 ND 0 ND -1

c). ANGULOS COTERMINALES Son aquellos ángulos en posición normal que tienen el mismo lado final; y su diferencia de medidas es siempre múltiplo de 3600.

PROPIEDADES DE ANGULOS COTERMINALES

Siendo α y β coterminales se cumple: 1. α – β = n(3600) ò α – β = n(2πrad) 2. R.T(α) = R.T(β)….. β= n(vueltas) +α, nєΖ-{0} 3. R.T.(3600n +β )= R.T.(β); n є Ζ UBICACIÓN DE LOS ANGULOS αє IC→ 00<α<900 αє IIC→ 900<α<1800 αє IIIC→ 1800<α<2700 αє IVC→ 2700<α<3600

 Un angulo cuadrantal є a ningun cuadrante.  La medida de un angulo cuadrantal: 𝑛𝜋 𝑛(900 ) ò ( );𝑛 𝜖 𝑍 2

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Si M=

𝑐𝑡𝑔𝜃 = −1,05 𝑦 𝑐𝑜𝑠𝜃 < 0

,

calcular:

𝑠𝑒𝑛3 𝜃+𝑐𝑜𝑠 3 𝜃 (𝑐𝑜𝑠𝜃+𝑠𝑒𝑛𝜃)3

276 | P á g i n a


TRIGONOMETRIA 2017-II A = 2 cot2  - 7 sec 

A) 1257 B) 1258 C) 1259 D) 1260 E) 1261 2. Si: 𝑐𝑜𝑠𝜃 = −0,8 ; 𝜃𝜖𝐼𝐼𝐶 , E = csc 𝜃 + ctg 𝜃 1 1 A) B) 3 2

1 C) 5

3 D) 10

5 2

B)−

7 2

C) 0

7 2

C) 9

D) 10 E) 4

1;

1 1 5 13cos

270° <  < 360°

Hallar el valor de: n = sec - tan 

√28 𝑡𝑔𝜃 4

D)

B) 7

11. Si:

3. Si el punto P(−√2; √14) pertenece al lado final de un ángulo en posición normal 𝜃,

A)−

A) 3

calcular:

2 E) 5

calcular: 𝑁 = √14𝑠𝑒𝑛𝜃 +

UNSM - CPU-T

A) 1

B) 3

C) 5

D) 7

E) 9

12. Si: sen /2 = 0,8 y   3er cuadrante. Calcular el valor de: E = 6Tan /2 – 9 Sec /2

5 2

E)

A) 0

4. Si: 𝑡𝑔𝜃 + 4𝑠𝑒𝑛30° = 𝑐𝑜𝑠180° ; 𝜃𝜖𝐼𝐼𝐶 , calcular: K = 3sen𝜃 − 𝑐𝑜𝑠𝜃 A)√3 B)√2 C)√10 D)√5 E) 10

B) 1

C) 5

D) 7

E) 9

13. Sabiendo que:

4Tan  321 

2Tan 1

; Sen < 0

Calcular el valor de: 5. Hallar las medidas de dos ángulos coterminales que están en la relación de 1 a 3, la suma de ambas está comprendida entre 2016° y 2304° A)540°, 1620° B) 1620°, 2700° C)1260°, 2940° D) 1790°, 2640° E)1500°, 2500° 6. Si el lado final de un ángulo en posición normal 𝜃 pasa por la intersección de las rectas. 𝐿1 : 𝑥 + 𝑦 − 1 = 0

C) 3

D) 1

B) 5

C) 7

SenCosTg Csc  Cot

A A) + 15.

C) ±

B) -

Si 𝑠𝑒𝑛𝜃 =

−3 5

B) 1

C) 2 D)3

y

𝛼

de 𝐸 = √(sen𝛼 − 𝑐𝑜𝑠𝛼)2 7 D) 2

5 E) 2

x

8. Si: 𝑡𝑔𝜃 = −0,75 ; 𝜃𝜖𝐼𝑉𝐶 , calcular el valor de: A) 9.

1

A)

2

C)

39 80

E) 4

2√5

5

𝑠𝑒𝑐𝜃+𝑠𝑒𝑛𝜃 𝐸= 𝑐𝑡𝑔𝜃 39 38 − B)− 80 80

E) 0

; 𝜃 ∈ 𝐼𝑉C, calcular:

E) 0

3

7 C) 5

D) -/+

𝑅 = 𝑠𝑒𝑐𝜃 − 𝑡𝑔𝜃

7. Si |sec𝛼 | = sec𝛼 𝑦 sen𝛼 = − , hallar el valor 7 B)− 2

E) 11

14. Determinar el signo de la expresión; si: “” pertenece al 3er. cuadrante y “” pertenece al 4to cuadrante.

(a+1;1-a)

5 A)− 2

D) 9

16. Del siguiente gráfico adjunto, calcular: 𝑃 = 𝑡𝑔𝛼 + 𝑐𝑡𝑔𝛼

Calcular: K = 6tg𝜃 − √52𝑠𝑒𝑛𝜃 B) 4

A) 3

A) 0

𝐿2 : 2𝑥 − 𝑦 − 8 = 0

A) 5

P = 13sen  + 5 cot 

D)

35 80

E)−

15 40

 es un ángulo en posición normal, cos  = -5/13 los puntos P y Q que tiene por coordenada (-15, a) y (b, -24) respectivamente pertenecen a su lado final. Calcular la distancia entre dichos puntos. A) 13 B) 12 C) 25 D) 10 E) 8

10. Si: Sen = 32 ; siendo “” el ángulo que pertenece al segundo cuadrante. Hallar el valor de:

B)

3 2

C) 5/2 D)

5 2

E) 3

17. De la figura mostrada, calcular: 𝑡𝑔𝜙𝑠𝑒𝑛𝜙 y

x

𝜙

A) 1

B)

3 2

C)

𝐹=

5 2

D)

7 2

E) 4 277 | P á g i n a

DECIMONOVENA EDICIÒN 18. Simplificar: 𝑌 = A) 5

B) 4

𝑎𝑐𝑠𝑐90°+(𝑏2 −𝑎)𝑠𝑒𝑛2 270°+𝑏2 𝑐𝑜𝑠360° 𝑎2 𝑠𝑒𝑛540°+𝑏2 𝑠𝑒𝑛90°+2𝑎𝑐𝑜𝑠180°𝑡𝑔180°

C) 3

19. Reducir: 𝑀 =


D) 2

E) 1

UNSM - CPU-T

 Cuando se presentan ángulos negativos Sen(-β) = - Senβ Ctg(-β) = - Ctgβ Cos(-β) = Cosβ Sec(-β) = Secβ Tan(-β) = - Tanβ Csc(-β) = - Cscβ

𝑠𝑒𝑛270°+𝑐𝑜𝑠90°−𝑡𝑔0° 1+𝑠𝑒𝑛180°+𝑐𝑜𝑠90°

EJERCICIOS PROPUESTOS A) 1

B) 0

C) -1

E) 3

si: 𝑠𝑒𝑛90° + 𝑐𝑜𝑠180° + 1 =

20. Calcular X, 𝑥𝑠𝑒𝑛270° A) -1

D) 2

1.- Si 𝑆𝑒𝑛(−𝑥) + 2 Cos(−𝑥) = 2𝑆𝑒𝑛𝑥; 𝑥 𝑒𝑠 𝑎𝑔𝑢𝑑𝑜 Calcular: 𝑀 = 𝑆𝑒𝑐(−𝑥) + 𝐶𝑠𝑐(−𝑥)

B) 0

C) 1

D) 2

E) 3

SEMANA 07 REDUCCION AL PRIMER CUADRANTE Es un procedimiento que nos permite calcular el valor de una razón trigonométrica de un ángulo trigonométrico de cualquier magnitud relacionados con las razones trigonométricas de los ángulos del primer Cuadrante. PRIMER CASO: Para ángulo menores a una vuelta Casos particulares A) Para el eje “x” ( eje de abscisas) R.T. (180º ± β)= ±R.T.(β)

R.T. (π ± β)= ±R.T.(β)

R.T. (360º ± β)= ±R.T.(β)

R.T. (2π ± β)= ±R.T.(β)

a)

√5 2

b) −

√5 2

c)

√13 6

d) −

√13 6

e) −

√5 5

2.- Reducir: 𝐴=

𝑆𝑒𝑛(900 + 𝑥)𝑇𝑎𝑛(1800 − 𝑥)𝐶𝑠𝑐(2700 + 𝑥) 𝐶𝑜𝑠(1800 + 𝑥)𝑆𝑒𝑐(3600 − 𝑥)𝐶𝑜𝑡(1800 + 𝑥)

a) 1 b) -1 e) −𝑇𝑎𝑛2 𝑥

c) 𝑇𝑎𝑛2 𝑥

d) 𝐶𝑜𝑡 2 𝑥

3.- Simplificar: 𝐶=

𝑆𝑒𝑛(𝜋 − 𝜃)𝐶𝑜𝑡(2𝜋 − 𝜃)𝑆𝑒𝑐(

3𝜋 + 𝜃) 2

𝑇𝑎𝑛(𝜋 + 𝜃)

a) 𝑇𝑎𝑛2 𝜃

b) −𝑇𝑎𝑛 2 𝜃 c) 𝐶𝑜𝑡 2 𝜃 d) −𝐶𝑡𝑔2 𝜃 e) 1

4.- Simplificar: 3𝜋 − 𝑥) 2 𝐶= 3𝜋 𝑇𝑎𝑛(𝜋 − 𝑥)𝐶𝑜𝑠( + 𝑥) 2 𝑆𝑒𝑛(𝜋 + 𝑥)𝑇𝑎𝑛(

Casos generales R.T. (180 º± β) = ± R.T.(β)

a) 𝐶𝑜𝑡𝑥 b)𝐶𝑜𝑡 2 𝑥 c)−𝐶𝑜𝑡 2 𝑥 3 d)−𝐶𝑜𝑡𝑥 e)𝐶𝑜𝑡 𝑥

ò R.T. (Kπ ± β) = ± R.T.(β)

5.- Si: 𝑂 < 𝐴 < B) Para el eje “y”(eje de ordenadas)

𝜋 2

Evaluar: R.T. (90º±β)=±CO-R.T.(β) R.T.(270º±β)=±CO-R.T.(β)

R.T.

𝜋 ( 2

R.T.

3𝜋 ( 2

± β)= ±CO-R.T.(β) ±β)= ±CO-R.T.(β)

Casos generales 𝜋

R.T. [(2𝑘 + 1) ± 𝛽]= ±CO- R.T.(β) 2 ò R.T. [(2𝑘 + 1)90º ± 𝛽]= CO- R.T.(β) SEGUNDO CASO:  Para ángulos mayores a una vuelta 𝛼 ÷ 360 𝑟 𝑦 𝑞 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝑟) Donde: r: residuo q: cociente

𝜋 3𝜋 𝐹 = 𝑆𝑒𝑛 ( + 𝐴) + 𝐶𝑜𝑠(𝜋 + 𝐴) + 𝑇𝑎𝑛 ( + 𝐴) 2 2 𝜋 + 𝑆𝑒𝑐 ( + 𝐴) + 𝐶𝑡𝑔(2𝜋 + 𝐴) 2 + 𝐶𝑠𝑐(𝜋 + 𝐴) a) 2 𝑆𝑒𝑛𝐴 6.- Calcular: 𝑀=

2𝑆𝑒𝑐1200 − 1 + √3 𝑇𝑎𝑛2400 4𝑇𝑎𝑛3150 − 1

a) 1 e) -2

b) 2

c) 3

d) 4

7.- Calcular: 𝐶=

Ejemplo: 𝑠𝑒𝑛2580° = 𝑠𝑒𝑛60° 2580 ÷ 360 = 60° 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜

b) −2𝑆𝑒𝑛𝐴 c) 2𝐶𝑠𝑐𝐴 d) −2𝐶𝑠𝑐𝐴 e) −2𝑆𝑒𝑐𝐴

𝑆𝑒𝑛1350 . 𝑆𝑒𝑛2400 𝑇𝑎𝑛1500 𝐶𝑜𝑠2100 . 𝐶𝑜𝑠3000

278 | P á g i n a

DECIMONOVENA EDICIÒN a)

√6 3

b) −

e) −

6 3

TRIGONOMETRIA 2017-II 2√6 3

c)

d) −

a) 2

2√6 3

𝐸=

(2𝑆𝑒𝑐30000

− 1)(2𝑆𝑒𝑛33830

2𝐶𝑜𝑠49200

a)

1 2

d)

1 − 4

−1

e)

1 4

c)

a) 1

c) −𝑇𝑎𝑛(18300 ) =

−√3 3

a) 0

33 20

c)

1 44

d) −

a) 0

33 20

c) -1

d) 2

e) -2

b) -1

c) 1

d) -2

e) 2

𝑆𝑒𝑛(𝐵 + 𝐶) = 𝐶𝑜𝑠𝐶 Dicho triángulo es: a) b) c) d) e)

𝑆𝑒𝑛(900 + 𝛼) 𝐶𝑜𝑠(900 − 𝛼) 𝑏= + 𝐶𝑜𝑠(−𝛼) 𝑆𝑒𝑛𝛼 a=0 a = -1 a = -2 a=0 a = -1

y y y y y

12.- SI: 𝑥 + 𝑦 =

b = -2 b = -2 b=2 b=0 b=2

1800

b) 0

⋀ 𝐿=

Calcule el valor de:

𝑆𝑒𝑛𝑥 𝑆𝑒𝑛𝑦

c) -3

𝐶𝑜𝑠(𝐴 + 𝐵) = 𝑆𝑒𝑛𝐶 Entonces el valor de A+B es:

+

2700

𝑇𝑎𝑛𝑦 𝐶𝑡𝑔𝑧

d) 2

e) -5

𝑥+𝑦 = 𝜋

1±√2 2

b) 1 ± √2

c) ±

a)

b)

𝜋

c)

3

2𝜋 3

d)

𝜋

e)

6

𝜋 2

𝐶𝑜𝑠 2 𝐴 + 𝑆𝑒𝑛2 𝐵

√2−1 2

a) -1

𝑆𝑒𝑛(1800 +∝)𝐶𝑜𝑠(∝ −900 )𝑇𝑎𝑛(21600 +∝) 𝐶𝑜𝑠(5400 −∝)𝑆𝑒𝑛(4500 +∝)𝑇𝑎𝑛(3600 +∝)

b) −

1 2

c) 0

d)

1 2

e) 1

21.- Si A y B son ángulos complementarios, al simplificar:

14.- Simplificar la expresión:

∝= 2

4

Si se sabe que A y B son ángulos suplementarios.

e) ±√2 − 1

𝑆𝑒𝑐 2

𝜋

20.- Calcular:

Hallar: Ctgx a) ±√2 + 1

Escaleno Rectángulo Isósceles Acutángulo Equilátero

19.-Si un triángulo ABC, se cumple que:

𝑦+𝑧 =

𝑇𝑎𝑛𝑥 + 𝐶𝑡𝑔𝑦 = 2;

Sabiendo que:

b) 1

18.- Es un triángulo ABC se cumple:

𝐶𝑜𝑠(−𝛼) 𝑆𝑒𝑛(3600 + 𝛼) 𝑎= + 𝐶𝑜𝑠(1800 + 𝛼) 𝑆𝑒𝑛(−𝛼)

𝐸=

e) -2

5𝜋 7𝜋 9𝜋 + 𝛼)𝑆𝑒𝑛( − 𝛼)𝑆𝑒𝑐( + 𝛼) 2 2 2 𝐸= 𝐶𝑜𝑠(5𝜋 + 𝛼)𝐶𝑠𝑐(7𝜋 − 𝛼)𝐶𝑡𝑔(9𝜋 + 𝛼)

11.- Simplificar las expresiones:

d)

d) 2

𝑇𝑎𝑛(

𝑠𝑒𝑛2 2250 + 𝑇𝑎𝑛2 3300 − 𝑆𝑒𝑛2 7800 𝐹= 𝑇𝑎𝑛2 7800 − 𝑇𝑎𝑛2 3300 + 𝐶𝑡𝑔2 2250

13.- Si:

c) 0

17.- Simplificar:

10.- Hallar el valor numérico de:

a) a) 1

b) -1

Es igual a:

d) = −√3 e) +𝑆𝑒𝑛25340 = 𝐶𝑜𝑠140

31 12

𝑒𝑠:

7𝜋 𝜋 ) 𝑆𝑒𝑛( ) 12 + 12 𝜋 𝐶𝑜𝑠( ) 𝐶𝑜𝑠(7𝜋) 12 12

−𝐶𝑡𝑔(−32700 )

b)

𝜋 6

𝑆𝑒𝑛(

a) = −0,5 0 b) −𝐶𝑜𝑠(−1110 ) = +0,5√3

a) b) c) d) e)

e) 0

16.- El valor de la siguiente expresión:

−𝑆𝑒𝑛(−7500 )

e) −

d) -2

3𝜋 𝜋 ) + 𝐶𝑜𝑠(𝜋 − 𝜃) − 𝑇𝑎𝑛(𝜃 + ) 2 6 𝜋 𝐶𝑡𝑔(2𝜋 − 𝜃) − 𝑆𝑒𝑐(−𝜃) + 𝐶𝑠𝑐( + 𝜃) 2

Cuando: 𝜃 =

1 − 2 √3 − 4

b)

31 12

c) -1

𝑆𝑒𝑛 (𝜃 +

− 1)

9.- Marque Ud. La afirmación correcta:

a)

b) 1

15.- El valor de la expresión:

√2 3

8.- Calcular: 𝑈=

UNSM - CPU-T

𝐸=

𝑆𝑒𝑛(𝐴 + 2𝐵)𝑇𝑎𝑛(2𝐴 + 3𝐵) 𝐶𝑜𝑠(2𝐴 + 𝐵)𝑇𝑎𝑛(4𝐴 + 3𝐵)

Se obtiene. a) √3

b) √2

c) −√2

d) -1

e) 1

Entonces E es igual a: 279 | P á g i n a



22.- En un triángulo ABC, cuáles de las siguientes proposiciones se cumplen:

UNSM - CPU-T

5. Sabiendo que ⍺ y 𝜃 son coterminales y además pertenecen al IIIC, también se sabe 5 12

que: 𝑡𝑔𝛼 =

I. 𝑠𝑒𝑛𝐴 = 𝑠𝑒𝑛(𝐵 + 𝐶) II. 𝑐𝑜𝑠𝐴 = 𝑐𝑜𝑠(𝐵 + 𝐶)

A) 1

III. 𝑠𝑒𝑛𝐵 = −𝑠𝑒𝑛(𝐴 + 2𝐵 + 𝐶)

6.

a) VVV b) VFV c) VFF d) FVF e) FFF

117 203

B)

Del

Calcular: 𝐸 = 204 169

C)

gráfico,

sec(𝜃−𝛼−𝛽) 𝑐𝑜𝑠𝛽

𝑠𝑒𝑛𝜃+𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑠𝑒𝑐𝜃

D) 2

E)

1 17

𝐾 = 𝑠𝑒𝑛(𝜃 − 𝛼) +

calcular:

+1

𝜃

𝛼 𝛽 SEMANA Nº08:

B) 2 C) -1 D) 0 E) −

A) 1

MISCELANEA

7.

1 2

De la figura, Hallar: 𝑠𝑒𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽

EJERCICIOS PROPUESTOS y

1. Un leñador camina directamente hacia el Este y observa dos árboles, ambos en la dirección NE. Después de caminar 0,5km observa que uno de los arboles está exactamente al Norte y el otro al NO. Que distancia hay entre los árboles. A)

√2 2

B)

√2 4

C)

√2 8

D)

√2 16

y=2x 𝛼

x

𝛽

E) √2

2. Jana recorre 80 km en la dirección N530 O, luego 80√2 en la dirección SO y finalmente 120 km hacia el Este. A que distancia se encentra de su posición inicial. A) 40 B) 60 C) 35 D) 20 E) 15 3. Dos ángulos coterminales que están en relación de 2 a 7 y la diferencia de ellos es mayor que 1200° pero menor de 1500°. Hallar los ángulos. A) 1400° y 576° B) 2130° y 576° C) 2016° y 576° D) 1080° y 576° E) 720° y 216°

A) − 8.

A) 2

C) −

3 5

D)−

4 5

E) 1

(𝑎+𝑏)2 𝑠𝑒𝑛8 𝜋/2+(𝑎−𝑏)2 𝑠𝑒𝑛5 3𝜋/2 2𝑎𝑏𝑐𝑜𝑠𝜋

B) -2

C) 4

D) 5

E) 0

Simplificar: 𝐾 = (𝑎 + 1)𝑐𝑜𝑠540° − (𝑎 − 1)𝑠𝑒𝑛630° A) 2 𝐵)0 𝐶)2𝑎 𝐷) − 2𝑎 𝐸) − 2

10. Simplificar: 𝑐𝑜𝑠(−𝑥) 𝑠𝑒𝑛(90° + 𝑥) − 𝑐𝑜𝑠(180° + 𝑥) 1 1 𝐵) 𝐶) − 𝐷)1 𝐸) − 2

𝐾= A) 2

4. Calcular: 𝐾 = 𝑡𝑔𝛽 + 𝑡𝑔𝛼

2 5

B) −

Reducir: 𝑆=

9.

1 5

2

2

11. Calcular: (b;5b) 𝛽

𝑀=

𝛼

(a;4a)

A) -3

B) 6

A) C) 9

D)1

E) -1

3 2

𝐵) −

12. Reducir:𝑃 = A)

109𝜋 253𝜋 ) + 𝑠𝑒𝑐 ( ) 3 6 143𝜋 𝑡𝑎𝑛 ( ) 6

𝑠𝑒𝑛 (

5 B) 1

5 2

𝐶)

3 2

𝐷)

5 2

𝐸) −

7 2

3𝑠𝑒𝑛20°−2𝑐𝑜𝑠110° 𝑐𝑜𝑠70°

C) 2

D) 3 E) 4

13. Si: 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 𝜋; simplificar: 280 | P á g i n a

DECIMONOVENA EDICIÒN 𝐸=


𝑡𝑎𝑛𝐶 𝑐𝑜𝑠(𝐵 + 𝐶) + 𝑡𝑎𝑛(𝐴 + 𝐵) 𝑐𝑜𝑠𝐴

A) − 1 𝐵) 2

𝐶) 1 𝐷) 0 𝐸) − 2

UNSM - CPU-T

23. Simplificar: 𝑠𝑒𝑛(−𝑥) 𝑐𝑜𝑠(−𝑥) 𝑡𝑎𝑛(−𝑥) 𝑀= + + 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑡𝑎𝑛𝑥 A) 3

14. Si: 6𝑠𝑒𝑛(180° − 𝛼) = 8 − 4𝑐𝑜𝑠(270° + 𝛼) ; 𝛼 ∈ 𝐼𝐼𝐶 Calcular: 𝑐𝑜𝑠𝛼 A) -0.3 B) -0.4 C) -0.6 D) -0.8 E) 0.6

𝐵) 1

𝐶)

24. Reducir:𝑇 = A) − 1

𝐵) 2

1 3

𝐷) − 1

𝑠𝑒𝑛(−𝑥) 𝑠𝑒𝑛(180°−𝑥)

𝐶) − 3

+

𝐸) − 3

𝑐𝑡𝑔(−𝑥) 𝑠𝑒𝑐(−𝑥) + 𝑐𝑡𝑔𝑥 𝑠𝑒𝑐(180°+𝑥)

𝐷) 0

𝐸) 1

15. El resultado de 𝐹 = 4𝑡𝑔 (

1749𝜋 ) 4

A) -1 B) 3

+ 5𝑐𝑡𝑔(

C) 5

327𝜋 ) 4

es:

D) 9 E) 11

16. Señalar el signo de: 𝑠𝑒𝑛100° + 𝑐𝑜𝑠310° ; 𝑡𝑔140° 𝑐𝑜𝑠130° + 𝑐𝑡𝑔340° 𝐴= ; 𝑠𝑒𝑛210° 𝑠𝑒𝑛114° + 𝑡𝑔117° 𝐶= 𝑐𝑜𝑠314 − 𝑠𝑒𝑛214°

SEMANA 09

𝐽=

A)−; −; + B) +; +; + C)−; −; − D)−; + + E)−; +; − 17. Si 𝜃𝜖𝐼𝐼𝐼𝐶 ; 𝛽𝜖𝐼𝑉𝐶 calcular el signo de A y B: 𝑡𝑔𝛽 − 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 𝐴 = 𝑠𝑒𝑐𝛽 + 𝑡𝑔𝜃𝑠𝑒𝑛𝛽 ; 𝐵 = 𝑐𝑜𝑠3 𝜃 A) +; + B)+; − C)−; − D)−; + E) 0 18. ¿A qué cuadrante pertenece 𝜃 , si: 𝑠𝑒𝑛𝜃 > 0 ; 𝑐𝑜𝑠𝜃 < 0 ? A)IC

B)IIC D)IV

C)IIIC E) 0

2 3

A)√5/3 B)−√5/3 C)√5/2 D)−√5/2 E)−√5 20. Reducir: 𝑠𝑒𝑛(180° + 𝑥) 𝑐𝑜𝑠(180° − 𝑥) 𝑠𝑒𝑐(180° − 𝑥) + + 𝑠𝑒𝑛(360° − 𝑥) 𝑐𝑜𝑠(360° − 𝑥) 𝑠𝑒𝑐(180° + 𝑥) d) -1

e) -3

3𝜋

21. Simplificar:𝐾 =

𝑠𝑒𝑛( 2 −𝑥)𝑡𝑎𝑛(2𝜋−𝑥)

𝑠𝑒𝑛(7𝜋 + 𝑥) 𝑐𝑜𝑠(16𝜋 + 𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(12𝜋 − 𝑥) 𝑐𝑜𝑠(13𝜋 − 𝑥)

𝐵) − 2 𝐶) 2

1. Senθ.Cscθ = 1

→ Senθ =

2. Cosθ.Secθ = 1

→ Cosθ =

3. Tanθ.Ctgθ = 1

→ Tanθ =

1 𝐶𝑠𝑐𝜃 1 𝑆𝑒𝑐𝜃 1 𝐶𝑡𝑔𝜃

Tanθ =

𝑆𝑒𝑛𝜃 𝐶𝑜𝑠𝜃

Ctgθ =

𝐶𝑜𝑠𝜃 𝑆𝑒𝑛𝜃

C) Identidades Trigonométricas Pitagóricas

1. Sen2θ + Cos2θ = 1 → Sen2θ = 1- Cos2θ Cos2θ = 1- Sen2θ 2. 1 + Tan2θ = Sec2θ → Tan2θ = Sec2θ -1 Sec2θ- Tan2θ = 1 2 2 3. 1 + Ctg θ = Csc θ → Ctg2θ = Csc2θ -1 Csc2θ- Ctg2θ = 1

𝜋

22. Simplificar:

A)0

IDENTIDADES FUNDAMENTALES Las identidades trigonométricas fundamentales sirven de base para la demostración de otras identidades más complejas. Se clasifican: A) Identidades Trigonométricas Reciprocas

𝑠𝑒𝑐(𝜋+𝑥)𝑐𝑜𝑠( 2 −𝑥)

A)𝑠𝑒𝑛𝑥 𝐵) − 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝐶)𝑡𝑎𝑛𝑥 𝐷)𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝐸)1

𝑆=

Una identidad trigonométrica es una igualdad que contiene expresiones trigonométricas que se cumplen para todo valor admisible de la variable.

B) Identidades Trigonométricas por Cociente

19. Si 𝑠𝑒𝑛𝛼 = ; 𝛼𝜖𝐼𝐼𝐶 , calcular 𝑐𝑡𝑔𝛼

a) 3 b) 1 c) 2

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

𝐷)

1 2

𝐸) −

1 2

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS AUXILIARES 1. Tanθ + Ctgθ = Sec θ. Csc θ 2. Sec2θ + Csc2θ = Sec2θ. Csc2θ 3. Sen4θ + Cos4θ = 1 – 2Sen2θ. Cos2θ 4. Cos4θ + Ctg4θ = 1 + 2Csc2θ. Ctg2θ 5. Sec4θ + Tan4θ = 1 + 2Sec2θ. Tan2θ 6. Sen6θ + Cos6θ = 1 – 3Sen2θ. Cos2θ 281 | P á g i n a

DECIMONOVENA EDICIÒN 7. 8. 9. 10.


Cos6θ + Ctg6θ = 1 + 3Cos2θ. Ctg2θ (Senθ + Cosθ)2 = 1+ 2SenθCosθ (Tanθ + Ctgθ)2 = Sec2θ + Csc2θ (1+Senθ + Cosθ)2= 2 ( 1 + Senθ)(1 +Cosθ)

UNSM - CPU-T θ+cosθ+tanθsenθ θcos2 θ+secθ+θsen2 θ

13. Simplificar: M = a) -1

b) ½

c) 1

d) 2

e) -2

14. Si la igualdad: tan x + sec x = AsecAx – 1 2

2

Es una identidad, calcule el valor de A. EJERCICIOS PROPUESTOS a) 1 b) ½ c) 3 d) 2 e)1/3

a) Cos2θ

15. Si: 5√3 senθ – 3cosθ=3secθ

cos3 θ.sec2 θ+tanθ.senθ

01. Simplifique:k =

ctgθsenθ

b) Csc2θ

c) sen2θ

d) secθ

e) sec2θ 2

2

2

c) -2

d) 1

Calcule: Q =

e) -1

a) 1/6

03. Simplifique la siguiente expresión:

c) -1

04. Simplifique:P =

d) 1

tan3 x+ctg3 x secx.cscx

b) 6

c) 3

d) 5

e) 1/3

17. Si se cumple: secθ – cosθ = n

(1 + senx + cosx)2 A= (senx + tanx)(cosx + ctgx) b) ½

e) 2

16. Si: tanx + ctgx = 3 2

M= sen x (1-sec x) + sec x + cos x a) 2 b) 3

5√3 tanθ 3

b) √3 c) −√3 d) -3

a) -2

02. Reduzca la siguiente expresión:

a) -2

Calcule: tanθ −

Calcule: D= senθ + tanθ – n(cscθ + ctgθ) a) 0 b)-1 c) 2n

e) 2

d) 1 e) -2n

18. Calcule el valor de “a”, para que la siguiente

2senαcosα−cosα 1−senα+sen2 α−cos2 α

igualdad sea una identidad, (θ € IC)

a) Senα b) cosα c)ctgα d) cscα e) tanα 2 𝑠𝑒𝑐𝜃 + 𝑡𝑎𝑛𝜃 =√ 𝑎(𝑠𝑒𝑐𝜃 − 𝑡𝑎𝑛𝜃) 𝑠𝑒𝑐𝜃 − 𝑡𝑎𝑛𝜃

05. Reducir: 1 1 𝑄 = (sen6 x + cos 6 x) − (sen2 x − cos 2 x)2 3 4 a) ¼ b)2 c) ½ 06. Simplifique:𝐻 =

d) 1/3

𝑡𝑎𝑛𝛼+𝑐𝑡𝑔𝛼 𝑐𝑠𝑐𝛼

a) –cscα b) – tanα

e)1/12

−

(cscβ + 3senβ)2 = p + (3senβ-cscβ)2 d) –senα

c) 3

d) 2

a) 1/5

e)1/2

08. Calcule : F= tanx(1-ctg2x)+ctgx(1-tan2x) a) 1 b) -2

c) 0

d) 2

a) e)

𝑐𝑜𝑠𝑥 1+𝑐𝑜𝑠 2 𝑥

b)

c)

𝑠𝑒𝑛𝑥 1+𝑠𝑒𝑛𝑥

d)

𝑐𝑜𝑠𝑥 1+𝑐𝑜𝑠𝑥

a) Secθ

b)secθcscθ

𝑐𝑠𝑐𝜃−𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃

c)senθ

d) cscθ

12. Simplificar:J = b) -2

(tanθ+cscθ)2 −(ctgθ+secθ)2

d) -3/7

e)

Tan2 θ−Ctg2 θ Sec2 θ−Csc2 θ

c) 1

Senx+1

23. Simplificar:M=

d) 3 tan2x

+(

e) 3/4

Ctgx+Cscx −2 Cosx+1

)

e) 1

Tan4 x+Sen4 x−Tan4 xSen4 x (Tanx+Senx)(Tanx−Senx)

b) 0

a) Tan2 x

)

d) 2

b) Ctg2α c)Cos2α d) 2

c)-1

24. A que es igual:

e)cosθ

a) 2

a) Tan2α

a) 1

11. Simplificar:M =

c) 1/5

Tanx+Secx −2

𝑠𝑒𝑛𝑥 1−𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑐𝜃−𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃

b) 2/3

22. Reducir:Q =(

(Sec2 x+cos2 x)(secx−cosx) sec4 x−cos4 x 𝑠𝑒𝑛𝑥 1+𝑐𝑜𝑠𝑥

e) -3

1/2

a) 1/2

c)1 d) -2 e) -3

10. Simplificar:P =

b) 1/4

21. Calcular: 𝑊 =

e) -1

09. Calcule: S= sec4x – tan4x - 2tan2x b) 2

c) -4 d) 3

Calcular : A =Cscx – Ctgx

(tan2xsen2x + sen2x) ctg2x b) 0

b) 12

20. Si Cscx + Ctgx = 4

07. Reduzca la expresión:

a) -1

Calcular “p” a) 4

e) –secα

a) 1

e) -1/2

19. Dada la identidad:

𝑐𝑜𝑠𝛼 1−𝑠𝑒𝑛𝛼

c) –ctgα

a) -2 b) -1/2 c)2 d) 1

d) -2

e) 2

√Sen2 x(1+Cos2x)+Cos4 x−Cos2 x √Cos2 x(1+Sen2 x)+Sen4 x −Sen2 x

b) Tanx

c)-Tanx

e) 4Tanx

secθ−cscθ

c) -1

d) ½

e) 3 282 | P á g i n a



UNSM - CPU-T  2   3  2  1     =   2   2   2  2     

SEMANA 10 IDENTIDADES DE ANGULOS COMPUESTOS

A) Razones trigonométricas de la suma de dos arcos 1. Sen(α+β) = SenαCosβ + CosαSenβ 2. Cos(α+β) = CosαCosβ - SenαSenβ 3. Tan(α+β) = 4. Ctg(α+β) =

4. Ctg(α-β) =

6 2

1−Tanα.tanβ Ctg∝ .Ctgβ−1

15º

Ctgβ+Ctgα

Tan∝ −Tanβ 1+Tanα.tanβ

6 2 b)

Cos 16º = Cos (53º-37º) = Cos 53º.Cos37º Sen37º

 3   4   4  3   5   5   5  5 

=       

Ctg∝ .Ctgβ+1 Ctgβ−Ctgα

 Cos 16º =

C) Otras identidades 1. 2. 3. 4. 5.

75º

4

Tan∝ +Tanβ

B) Razones trigonométricas de la diferencia de dos arcos 1. Sen(α-β) = SenαCosβ - CosαSenβ 2. Cos(α-β) = CosαCosβ + SenαSenβ 3. Tan(α-β) =

6 2 4

 Sen75º =

Sen (α+β). Sen(α-β) = Sen2α- Sen2β Sen (α+β). Sen(α-β) = Cos2 β - Cos2 α Cos (α+β). Cos(α-β) = Cos2α- Sen2β Tanα±Tanβ±Tan(α±β)Tanα.Tanβ= Tan(α±β) Si α +β =45 Tanα + Tanβ + TanαTanβ=1

6. 1 ± TanαTanβ= 7. Tanα±Tanβ = 8. Ctgα±Ctgβ=

Cos (∝∓β)

74º

25

7 16º

24 Propiedades:

Cos αCosβ

𝑆𝑒𝑛 (∝±𝛽)

𝐶𝑜𝑠 𝛼𝐶𝑜𝑠𝛽 Sen(∝±𝛽)

Sen αSenβ

9. Tanα+Ctgβ =

24 25

Si: a + b + c = 180° Tga + tgb + tgc = tga.tgb.tgc

Ctga.ctgb + ctgb.ctgc + ctgactgc = 1

Cos (∝−β) Cos αSenβ

10. Ctgβ - Tanα =

Cos (∝+β) Cos αSenβ

D) Razones trigonométricas de la suma de tres arcos 1. Sen(α+β+θ) = SenαCosβCosθ+ SenβCosαCosθ + SenθCosαCosβ – SenαSenβSenθ 2. Cos(α+β+θ) = CosαCosβCosθ - CosαSenβCosθ + Cosβ SenαSenθ – CosθSenαSenβ 3. Tan(α+β+θ)=

Si: a + b + c = 90° Tga.tgb + tgb.tgc + tga.tgc = 1 Ctga + ctgb + ctgc = ctga.ctgb.ctgc EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Determinar el valor de expresión:

la

siguiente

M  Sec 323º Sec17º 2Tan 28Tan17

Tan∝ +Tanβ+Tanθ−Tan∝ TanβTanθ 1−(Tanα.Tanβ+Tan∝Tanθ+TanβTanθ)

A) 1 D)

B) 2 2

E)

C) 3 3

Aplicación: a) Sen 75º = Sen (45º+30º) = Sen 45º Cos30º+Cos45º Sen30º

2. Simplificar la siguiente expresión Cos 25º  3Cos 65º F Sen10º Sen80º A) 2

B)

3

C) 1 283 | P á g i n a

DECIMONOVENA EDICIÒN D)

TRIGONOMETRIA 2017-II D) Cosx

E) 2 2

2

3. En el gráfico adjunto determinar Cot: 4



5

8

16 A) 13 D)

13 12

2

E) Tanx

9. Reducir la siguiente trigonométrica: m  3Cos 370  Sen170 A) Sen70º

B) Cos70º

C) 2Sen70º

D) 2Cos70º

13 C) 10

3 16

4. Determinar el valor de: F = Tan66º.Cot57º-Cot24ºCot33º B) 3 E) -2

C) 1

5. Si sabemos que: Tan2 – Tan2 + 2Tan2 Tan2 = 2 y además

10. Determinar el valor de: J = Tan35º+Cot80º+Cot55º.Tan10º A) 3

B) 2

C) 1

D) 0

E) – 1

11. Calcular: "sen16º" A) 0,22 B) 0,32 D) 0,28 E) 0,36

E

sen( x  y)  sen y cos x cos y

A) 1

B) senx

Determinar el valor de Tg (+).

D) tgx

E) ctgx

A) 6

B)

3 2

2 5

E)

5 2

C)

2 3

R

Q

13. Reducir: E  A) 2 D) 2tgx

6. En la figura PQRS es un trapecio isósceles, QRTV es un cuadrado y además PR = PS Hallar Tan .



V

C) cosx

Sen( x  y )  Sen( x  y ) Cosx Cosy B) tgx C) tgy E) 2tgy

14. Reducir: E

cos( x  y)  cos( x  y) sen x sen y

A) 1 D) 2ctgx ctgy

B) 2 C) -2 E) -2ctgx ctgy

15. Calcular: "tg8º" a)

P

C) 0,45

12. Reducir:

Tan( - ) = 3.

D)

expresión

E) 2Sen50º

13 B) 16 E)

A) 2 D) -1

UNSM - CPU-T

T

1 2

b)

1 3

c)

1 5

d)

1 6

e)

1 7

S

16. Reducir: E = Sen(30º+x)+Sen(30º-x) A) D)

3 7

B)

3 4

E)

4 3

C)

3 3

1 7

7. Calcular el valor de M: M  Tan 20º.Tan 48º  Tan 20º.Tan 22ºTan 22º.Tan 48º 5 3 A) 3 B) C) 2 D) E) 1 2 2 8. Reducir la siguiente expresión: (Senx  Cosx )(Seny  Cosy ) N Sen( x  y )  Cos ( x  y ) A) 1

B) 2

C) Senx

a) 2Senx

b) Cosx

d) Senx

e)

c) 2Cosx

3Senx

17. Reducir: E = Cos(45º+x)+Cos(45º-x) a) Cosx b) Senx c) 2Cosx d) 18. Si:

2 2

e) senα = cosβ =

3 2

1 ;  Є IIC 2 1 2

; β Є IVC 284 | P á g i n a



UNSM - CPU-T

Calcular: "sen(α + β)" 6 2 4

a)

d)

6 2 c) 4

b)

 ( 6  2) 4

2 6 4

2.

2 6 4

e)

Sen

 = 2

Coseno de

1  Cos 2

 : 2

 = 1 + Cos 2  1  Cos Cos =  2 2

2Cos² 19. Con los datos anteriores; calcular: "cos( + β)" 6 2 4

a)

 ( 6  2) d) 4

20. Calcular: E  a) 2

b) 1

b)

6 2 4

e)

3 1 4

c)

2 6 4

() Depende del cuadrante al cual “

cos(60 0  x )  cos(60 0  x ) Cosx c)

3

d)

Donde:

3 2

3.

e) 2 3

SEMANA 11

4.

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ARCO DOBLE Y MITAD ANGULO DOBLE

 : 2 1  Cos  tg = 1  Cos 2  Cotangente de : 2 1  Cos  Ctg =  1  Cos 2

 ” 2

Tangente de

1. Sen 2a =2 Sena Cosa Sen 2a=

2 𝑇𝑎𝑛𝑎

Identidades auxiliares

1+𝑇𝑎𝑛2 𝑎

1. Tan

2. Cos 2a = Cos2a – Sen2a Cos 2a = 1 - 2Sen2a Cos 2a = 2Cos2a – 1 Cos 2a =

3. Ctg

1+𝑇𝑎𝑛2 𝑎 2𝑇𝑎𝑛𝑎

4. Ctg

1−𝑇𝑎𝑛2 𝑎

4. Especiales: 

2 𝜃

= Cscθ - Ctgθ

2. Ctg = Cscθ+Ctgθ

1−𝑇𝑎𝑛2 𝑎

3. Tan 2a =

𝜃

2 𝜃 2 𝜃

𝜃

- Tan 2 =2 Ctgθ

𝜃 + Tan 2 =2 Cscθ 2

5. Sec

2 𝜃 =√ 2 1+𝐶𝑜𝑠𝜃

6. Csc

2 𝜃 =√ 2 1−𝐶𝑜𝑠𝜃

Ctg + Tg = 2Csc 2



Ctg - Tg = 2Ctg2



Sec 2 + 1 =



Sec 2 - 1 = tg2.tg



8Sen4 = 3 – 4Cos2 + Cos4

Reducir: 𝐸 = (𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑠𝑒𝑐𝑥)2 + (𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑐𝑠𝑐𝑥)2



8Cos4 = 3 + 4Cos2 + Cos4

A) 1



Sen4 + Cos4 =



Sen  + Cos  = 5  3Cos 4 8 6

3  Cos 4 4

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.

2.

 Seno de : 2  2 Sen2 = 1 - Cos 2

B) 2

C) 3

D) 4

E) 8

Reducir: 𝐶 = 𝑐𝑜𝑠 4 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛4 𝑥 A) 𝑐𝑜𝑠𝑥 B) 𝑐𝑜𝑠4𝑥 C) 𝑐𝑜𝑠2𝑥 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 E) 2𝑐𝑜𝑠4𝑥

6

ANGULO MITAD 1.

tg2 tg

3.

D)

Del gráfico calcular “X” C 5 D 𝛼 𝛼x x

4 |Página 285 x

B



UNSM - CPU-T

13. Si: 𝑡𝑔2 𝑥 − 3𝑡𝑔𝑥 = 1 Calcular: 𝑡𝑔2𝑥 A) 1

Reducir:

A) −

𝐸 = (𝑐𝑡𝑔𝑥 − 𝑡𝑔𝑥)𝑠𝑒𝑛2𝑥 A) 𝑐𝑜𝑠2𝑥 B) 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 C) 4𝑐𝑜𝑠2𝑥 D) 1 4

1 𝑐𝑜𝑠2𝑥 2

E) 𝑐𝑜𝑠2𝑥 5.

Reducir: 𝐸 = 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑥𝑐𝑜𝑠4𝑥 A)

6.

𝑠𝑒𝑛8𝑥 8 𝑠𝑒𝑛8𝑥 D) 4

B)

𝑠𝑒𝑛16𝑥 8 𝑐𝑜𝑠8𝑥 E) 4

C)

2 3

E) −

D) 3

1 3

14. Siendo: 2𝑡𝑔𝑥 + 1 = 2𝑐𝑡𝑔𝑥 Calcular: 𝑐𝑡𝑔4𝑥

A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 4.

C) −

B) 2

15 8

B) 2 C) −

2 3

E) −

D) 3

1 3

15. Reducir: 𝐿 = (2𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)2 + (𝑠𝑒𝑛𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠𝑥)2 − 5 A) 𝑠𝑒𝑛2𝑥 B) 2𝑠𝑒𝑛2𝑥 C) 𝑠𝑒𝑛4𝑥 D) 4𝑠𝑒𝑛2𝑥 E) 5𝑠𝑒𝑛2𝑥 16. Si 𝑐𝑜𝑠2 (45 − 𝑥) − 𝑠𝑒𝑛2 (45 − 𝑥) = 𝑛𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 hallar el valor de “n” A) 1

𝑠𝑒𝑛4𝑥 8

B) 2

C) 4

E) √2

D) ½

17. Simplificar: 𝐴 = 1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑡𝑔

Reducir:

A) 𝑠𝑒𝑛

𝐸 = 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠3 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛3 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑥 2

B) 𝑐𝑜𝑠

𝑥 2

𝑥 2

C) 𝑠𝑒𝑛𝑥

D) 𝑐𝑜𝑠𝑥 E) 𝑡𝑔𝑥

A) 𝑠𝑒𝑛4𝑥 B) 2𝑠𝑒𝑛4𝑥 C) 4𝑠𝑒𝑛4𝑥 1 2

18. Si 𝑐𝑜𝑠𝛼 = √3 − 1; calcular el valor de 𝛼 2𝑐𝑜𝑠2 𝛼. 𝑐𝑡𝑔 2 𝐸= 𝑐𝑠𝑐𝛼(1 + 𝑐𝑜𝑠2𝛼)

1 4

D) 𝑠𝑒𝑛4𝑥 E) 𝑠𝑒𝑛4𝑥 7.

Reducir: 𝐸 = 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑐𝑜𝑠4𝑥𝑐𝑜𝑠8𝑥

8.

A)

𝑠𝑒𝑛8𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥

B)


D)

𝑠𝑒𝑛16𝑥 16𝑠𝑒𝑛𝑥

E)

𝑠𝑒𝑛8𝑥 16𝑠𝑒𝑛𝑥

C)

A) 2√3 E) 5√2


A) 2𝑡𝑔𝑥 B) 4𝑡𝑔𝑥 C) 8𝑡𝑔𝑥 1

2

4

20. Simplificar: 𝐸 = A) 3

Reducir: 𝐸 = 𝑡𝑔2𝑥(1 − 𝑡𝑔2 𝑥) − 𝑡𝑔𝑥 A) 1 B) 𝑡𝑔𝑥 C) 𝑐𝑡𝑔𝑥 D) 2𝑡𝑔𝑥 E) 2𝑐𝑡𝑔𝑥

B) 4

+ 4𝑠𝑒𝑛2

C) 2

𝜃 4

D) 1 √21 ; 5

𝜃 2

A) 2√3 E) 5√2

B) √10

C) −2√10

E) 5 𝜋<𝜃<

3𝜋 2

𝜃 2

D) −√3

SEMANA Nº12:

C) 𝑠𝑒𝑛4𝑥 D) 𝑐𝑜𝑠4𝑥

12. Reducir: 𝑉 = 𝑐𝑠𝑐20° + 𝑐𝑠𝑐40° + 𝑐𝑠𝑐80° + 𝑐𝑡𝑔80° A) 𝑐𝑡𝑔5° B) 𝑐𝑡𝑔10° C) 𝑡𝑔10° D) 𝑡𝑔5° E) 2𝑡𝑔10°

𝜃 1−𝑐𝑜𝑠 2

Calcule: 𝑁 = √7 𝑠𝑒𝑛 + 9√3𝑐𝑜𝑠

𝐶 = [(𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)2 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 1]2 − 1

11. Si: 𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 = √1 − 𝑡𝑔𝛼 , además: 𝑐𝑜𝑠4𝜃 = 𝑎𝑠𝑒𝑐 2 𝛼 − 𝑏𝑡𝑔2 𝛼 , calcular: ab A) 1 B) 2 C) −2 D) 3 E) −3

1−𝑐𝑜𝑠𝜃

21. Sabiendo que 𝑠𝑒𝑛𝜃 = −

10. Reducir:

A) 𝑠𝑒𝑛2𝑥 B) 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 E) 2𝑐𝑜𝑠4𝑥

D) √3

𝜃 𝜃 𝑀 = 𝑐𝑠𝑐𝜃 [tan + 2𝑠𝑒𝑛2 𝑐𝑡𝑔𝜃] 2 2 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

D) 𝑡𝑔𝑥 E) 𝑡𝑔𝑥 9.

C) −2√10

19. Simplificar:

Reducir: 𝐸 = 𝑡𝑔4𝑥(1 − 𝑡𝑔2 2𝑥)(1 − 𝑡𝑔2 𝑥) 1

B) √10

MISCELANEA EJERCICIOS PROPUESTOS 1.

Calcular el valor de m para que la siguiente igualdad sea una identidad: 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑐𝑥 − = 𝑐𝑡𝑔𝑚 𝑥 1 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 A)0 B) −1 C) 2 D)1 E) −2

286 | P á g i n a

DECIMONOVENA EDICIÒN 2.

Si: 5sen 𝛼 = 6sen 𝛽 ; hallar 𝑡𝑔2 𝛽 B) 3

A)1 3.

y

C)

1 2

8cos 𝛽 = 5√3𝑐𝑜𝑠 𝛼 1 3

E) 2

D)

C) −1

𝜋 12

B)

𝜋 6

C)

A) ctg2𝛼 B) ctg4𝛼 E) 8ctg4𝛼

E) 2

D)−2

11. Hallar el valor de “x” 1 𝑠𝑒𝑐𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥 8 𝜋 18

𝜋 24

D)

E)

𝜋 48

12. Reducir: 𝐿 = 𝑐𝑡𝑔𝛼 − 𝑡𝑎𝑛𝛼 − 2𝑡𝑎𝑛2𝛼

(3𝑠𝑒𝑛4 𝑥 − 2) − (1 − 3𝑐𝑜𝑠 4 𝑥) (𝑠𝑒𝑛6 𝑥 − 2) + (𝑠𝑒𝑛6 𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠 6 𝑥)

B) 0

A)1

UNSM - CPU-T

A)

Simplificar: 𝐻=

4.


Determinar A+B; si la siguiente igualdad:

C) 2ctg4𝛼 D) 4ctg4𝛼

13. Hallar el valor de “x”

2𝑠𝑒𝑛2 𝑥𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 4 𝑥 = 𝐴𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 − 𝐵 𝑐𝑜𝑠 4 𝑥

B) 3

A)2 5.

C) 4

tan x  tan y  tan x. tan y tan( x  y ) b) tgx c) tgy

Reducir: E  a) 1 d) ctgx

6.

E) 1

D)5

A)

e) ctgy

Halle un valor agudo de "x" que verifique:

Cos 4 x.Cosx  Sen 4 x.Senx  1 2

7.

8.

a) 6º

b) 12º

d) 21º

e) 24º

b) 10º

d) 20º

e) 30º 1

senα = ;

Si:

cosβ = ; 

10 4

c) 15º

  IIC β  IIIC

17

9.

1 7

b) 

1 7

c)

1 13

5 11

b) 

5 7 c) 11 11

d) 

1 13

e) 

3 13

1 15

D)

4 15

E)

5 18

14. Calcular “tan𝜃”

A) 1

B) 2

C)

3 √2

D) 3

E)

1 √5

15. Si: tg = -22; 270° <  < 360°. 𝛼 𝛼 Calcular: 𝑃 = 2𝑠𝑒𝑐 + 𝑐𝑠𝑐 2

2

A) √3(1 − √2)

B) √3

C)

D) (1 − √2)

E) √7(1 − √2)

√3 (√2 − √2

2)

d) -

7 11

e) 

A) senx D) ctgx

B) cscx C) tgx E) cosx

17. La simplificación de: 1 11

10. Calcular el valor de tanα del gráfico

𝜃 2

𝜃 2

𝜃 2

𝜃 2

𝐸 = 4𝑠𝑒𝑛 . 𝑐𝑜𝑠 (𝑐𝑜𝑠 2 − 𝑠𝑒𝑛2 ) es: A) sen2θ B) csc2θ C) tgθ D) ctg2θ E) cosθ 18. La simplificación de la expresión es: 𝑥 𝑥 𝐸 = 𝑡𝑔 + 2𝑠𝑒𝑛2 . 𝑐𝑡𝑔𝑥 2 2

mostrado: A) 1 B) 1/2 C) 2 D) 1/3 E) 3

C)

𝑥 𝐸 = 𝑐𝑡𝑔𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥(𝑡𝑔𝑥 − 𝑡𝑔 ) 2

Con los datos anteriores; calcular: "tg(β -)" a)

8 15

16. Reducir la expresión

Calcular: "tg( +β)" a)

B)

c) 18º

Halle un valor agudo de "x" para que cumpla: Sen4x.Cosx-Senx.Cos4x = 0,5 a) 5º

17 15

2 α 1

A) senx D) ctgx

B) cscx E) cosx

C) tgx

19. Reducir la expresión: 3

𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝐸 = 𝑐𝑠𝑐 + 𝑐𝑠𝑐 + 𝑐𝑠𝑐 + 𝑐𝑡𝑔 8 4 2 2 287 | P á g i n a

DECIMONOVENA EDICIÒN A) 𝑡𝑔

𝑥 16

B) 𝑡𝑔

𝑥 8

C) 𝑡𝑔

TRIGONOMETRIA 2017-II 𝑥 4

D) 𝑐𝑡𝑔

𝑥 8

E) 𝑐𝑡𝑔

𝑥 16

B) 𝑐𝑡𝑔

𝑥 2

−

a) 5

𝑠𝑒𝑐𝑥 − 1 𝑅=√ 𝑠𝑒𝑐𝑥 + 1 𝑥 2

3.- El valor de la expresión: 𝑆𝑒𝑛3𝑎 𝑆𝑒𝑛𝑎

20. Simplificar la expresión:

A) 𝑡𝑔

UNSM - CPU-T

𝐶𝑜𝑠3𝑎 𝐶𝑜𝑠𝑎

Es:

b) 4

c) 3

d) 2

e) 1

4.- 𝑆𝑒𝑛2𝑎 = 𝐶𝑜𝑠3𝑎, 0 < 𝑎 <

C) 𝑐𝑡𝑔𝑥 D) 𝑡𝑔𝑥 E) 2

𝜋 2

Calcular el valor de: Sena a)

1+√5 5 √5 e) 4

b)

√5−1 4

c)

√5−1 3

d)

√5+1 4

2 3

5.- Si: 𝑆𝑒𝑛𝐴 = , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑆𝑒𝑛3𝐴 𝑒𝑠: a) 1 b) 19/23 c) 27/22 d) 21/29 e) 22/27 6.- Calcular el valor de: 𝐹 = (3 − 4𝑆𝑒𝑛0 100 )(1 − 2𝑆𝑒𝑛2 400 ) a) 1

SEMANA 13 Sen 3a = 3 Sena – 4 Sen3a Sen 3a = Sena ( 2 Cos2a + 1) Cos 3a = 4 Cos3a - 3 Cosa Cos 3a = Cosa ( 2 Cos2a - 1)

5. Tan 3a = 6. Tan 3a

3𝑇𝑎𝑛𝑎−𝑇𝑎𝑛3 𝑎

1−3𝑇𝑎𝑛2 𝑎 2𝑐𝑜𝑠2𝑎+1 =tanα(2𝑐𝑜𝑠2𝑎−1) 𝐶𝑡𝑔3 𝑎−3𝐶𝑡𝑔𝑎

7. Ctg 3a =

c) 1/2

d) -1/2

e) 1/3

7.- Simplificar:

ANGULO TRIPLE

1. 2. 3. 4.

b) -1

𝐶𝑜𝑠 3 200 + 𝐶𝑜𝑠 3 400 𝐶𝑜𝑠200 + 𝐶𝑜𝑠400 a) 3

b) 4

c) 4/3

d) 3/4

e) 3/2

2𝐶𝑜𝑠6𝑎. 𝑆𝑒𝑛3𝑥 + 𝑆𝑒𝑛3𝑥

8.- Reducir.-

a) Sen6x d) Cos9x

b) 3Sen6x e) 3Cos6x

c) Sen9x

9.- La siguiente igualdad es una identidad: 𝑆𝑒𝑛3𝜃 𝐶𝑜𝑠3𝜃 + = 2𝐾𝐶𝑜𝑠𝐾𝜃 𝑆𝑒𝑛𝜃 𝐶𝑜𝑠𝜃

3𝐶𝑡𝑔2 𝑎−1

Hallar K: PROPIEDADES IMPORTANTES

a) 0

4Senx.Sen(60º-x).Sen(60º+x) = Sen3x 4Cosx.Cos(60º-x).Cos(60+x) = Cos3x Tanx . tan (60-x) . Tan(60+x) = Tan3x

10.- Calcular: a)

√5 2

b) 1

c) 2

d) 4

e) 3

𝑆𝑒𝑛3 180 + 𝐶𝑜𝑠 3 360

b)

√5 8

c)

√5 4

d)

√5 6

e) −

√5 4

11.- Calcular: 𝐶𝑜𝑡180 (4𝐶𝑜𝑠180 − 3𝑆𝑒𝑐180 )

EJERCICIOS PROPUESTOS a) 1 1.- Simplificar:

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

2.- La expresión que da Cos3x en términos de Cosx es: a) 3𝐶𝑜𝑠𝑥 + 4𝐶𝑜𝑠 3 𝑥

b) 4𝐶𝑜𝑠𝑥3𝑐𝑜𝑠 3 𝑥

c) 3𝐶𝑜𝑠𝑥 − 4𝐶𝑜𝑠 3 𝑥

d) 4𝐶𝑜𝑠3𝑥 − 3𝐶𝑜𝑠𝑥

e) 3𝐶𝑜𝑠3𝑥 − 4𝐶𝑜𝑠𝑥

c) 3

d) 4

e) √5

12.-Calcular:

𝐸 = (𝑇𝑔2𝐴 + 𝑇𝑔𝐴)(𝐶𝑜𝑠3𝐴 + 𝐶𝑜𝑠𝐴)𝐶𝑠𝑐3𝐴 a) 1

b) 2

𝑇𝑎𝑛90 + 𝐶𝑜𝑡90 − 𝑇𝑎𝑛270 − 𝐶𝑜𝑡270 a) 2

b) 4

13.- Calcular: a)

√3 2

d) 14.-

c) 6

d) 0

e) 8

𝐶𝑜𝑠850 (1 + 2𝑆𝑒𝑛800 ) b)

√6−√2 4

1 2

c) e)

√6+√2 4

√5−1 4

Simplificar: 288 | P á g i n a



B) IDENTIDADES PARA TRANSFORMAR PRODUCTOS A SUMAS O DIFERENCIAS

𝑇𝑎𝑛3𝜃(2𝐶𝑜𝑠2𝜃 − 1) − (2𝐶𝑜𝑠2𝜃 + 1)𝑇𝑎𝑛𝜃 a) Tanθ b) Cotθ c) 0 d) Tan3θ e) Cot3θ

a) 64 b) 9/64 d) 192 e) 64/9 16.- Calcular: 𝑆𝑒𝑐 a) 1 b) 2

2𝜋 9

C)

2𝜋

+ 8𝐶𝑜𝑠 2

c) 3

c) 1/64

d) 5

b) −

7 9

𝐴

23 27

c)

d) −

23 27

17 27

e)

b) 17 27

23 27

c) −

e) −

b)

2

2

+1

𝐴

23 27

108 125

2

𝑆𝑒𝑛

𝐵

𝐶 Cos Cos 2 2

𝐶 2

-1

22 27

Cos2(x-120°) +Cos2x +Cos2(x+120°) = 3/2 e) Sen4 (x-120°) +Sen4x+Sen4(x+120°) = 9/8 c)

e)

𝐴 CosA+CosB+CosC =-4 Cos 2

𝐵

c) Sen (x-120°) + Senx + Sen(x+120°) = 0 Cos(x-120°) + Cosx + Cos(x+120°) = 0 d) Sen2 (x-120°) +Sen2x+Sen2(x+120°) = 3/2

19.- Hallar: 𝑆𝑒𝑛1110 a)

𝐶

1. SenA + SenB+ SenC = 4 Sen 2 Sen 2.

Hallar: Cos6x

8 125 107 d) 125

𝐵

b) Si A +B +C =360°, Se cumple

3

d) −

𝐶

2. CosA+CosB+CosC =-4Sen 2 Sen 𝑆𝑒𝑛

1

22 27

𝐵

𝐴

18.- Si: 𝐶𝑜𝑠2𝑥 = ,

a)

PROPIEDADES

1. SenA + SenB+ SenC = 4 Cos 2 Cos Cos 2 2

e) 6

Calcular: 𝑠𝑒𝑛3𝜃 7 9

2Senα Cosβ = Sen (α+β) + Sen (α-β) 2Senβ Cosα = Sen (α+β) - Sen (α-β) 2Cosα Cosβ = Cos(α+β) + Cos (α-β) 2Senα Senβ = Cos (α-β) - Cos(α+β)

a) Si A+B+C = 180°, Se cumple:

9

17.- Siendo: 𝐶𝑜𝑡𝜃 = 2√2; "θ” agudo.

a)

1. 2. 3. 4.

3𝐶𝑜𝑠 2 100 . 𝑆𝑒𝑐 2 200 . 𝑆𝑒𝑐 2 700

15.- Calcular:

UNSM - CPU-T

9 125

Cos4(x-120°) +Cos4x +Cos4(x+120°) = 9/8

117 125

f) Senx. Sen(60- x) Sen (60+x) = 𝑆𝑒𝑛4 3𝑥 g) Cosx. Cos(60- x) Cos(60+x) = 𝐶𝑜𝑠4 3𝑥

20.- Sabiendo que:

h) Tanx. Tan(60- x) Tan(60+x) = 𝑇𝑎𝑛 3𝑥

𝐶𝑜𝑡𝛼 = −2√2; 𝛼 ∈ 𝐼𝐼𝐶. Calcular: a)

17√2 36

d) −

b) −

b)

c)

23√2 36

1.- Pasar a productos de cosenos:

7√2

e) −

36

Calcular: 𝐶 = 1 3

17√2 36

23√2

21.- Siendo: 𝑆𝑒𝑛∅ =

a)


𝐶 = 𝑆𝑒𝑛3𝛼𝑆𝑒𝑐𝛼

𝐶 = 𝑠𝑒𝑛3𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥

36

2 3

𝐶𝑜𝑠3∅ 𝐶𝑜𝑠∅ 2 9

c) −

7 9

d) −

1 3

2 9

e) −

A) B) C) D) E)

2𝑐𝑜𝑠48°𝑐𝑜𝑠45° 2𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥 2cos(45° − 𝑥)cos(45° − 2𝑥) 2𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 2𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑜𝑠3𝑥

2.- Pasar a productos de cosenos: 𝐶 = 1 + √2

SEMANA Nº14 TRANSFORMACIONES TRIGONOMETRICAS A) IDENTIDADES PARA TRANSFORMAR SUMAS O DIFERENCIAS A PRODUCTOS ∝+β

∝− β

2 ∝−β

2 ∝+ β

1. Senα + Senβ = 2 Sen(

)Cos(

)

2. Senα – Senβ =2 Sen(

)Cos(

)

2 ∝+β

2 ∝− 𝛽

2 ∝+β

2 ∝−𝛽

3. Cosα + Cosβ = 2 Cos(

4. Cosα – Cosβ = -2Sen(

)Cos(

2

)Sen(

2

) )

A) B) C) D) E)

2𝑐𝑜𝑠52°𝑐𝑜𝑠7° 2𝑐𝑜𝑠52°30′ 𝑐𝑜𝑠7°30′ 4𝑐𝑜𝑠52°𝑐𝑜𝑠7° 4𝑐𝑜𝑠52°30′ 𝑐𝑜𝑠7°30′ 2𝑐𝑜𝑠60°𝑐𝑜𝑠45°

4.- Reducir: 𝐶 =

𝑠𝑒𝑛2𝑥+2𝑠𝑒𝑛4𝑥+𝑠𝑒𝑛6𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥+2𝑐𝑜𝑠4𝑥+𝑐𝑜𝑠6𝑥

A) 𝑡𝑔𝑥 B)𝑡𝑔2𝑥 C)𝑡𝑔4𝑥 D)𝑡𝑔6𝑥 E)2𝑡𝑔2𝑥 5.- Señalar el valor máximo de: 𝑗 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 600 ) + 𝑠𝑒𝑛𝑥

289 | P á g i n a



A) 100 B) 200 C) 300 D) 400 E) 500

√3 2

A) 1 B)2 C)2√3 D)√3 E)

6.- Hallar la suma del máximo y mínimo valor de: 𝐸 = 4𝑠𝑒𝑛(3𝑥 + 320 )𝑠𝑒𝑛(280 − 3𝑥)

17.- Calcular x, si:

𝑠𝑒𝑛5𝑥+𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥

=1

A) 100 B) 200 C) 300 D) 400 E) 500 18.- Si: 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 900 , simplificar la

A) −1 B) 1 C)−2 D) 2 E) 4 7.- Transforme a producto: 𝑃 = 1 + √3 A) 2𝑐𝑜𝑠150 B) √3 𝑐𝑜𝑠150 C)√2 𝑐𝑜𝑠150

expresión: 𝐹 =

𝑠𝑒𝑛2𝐴+𝑠𝑒𝑛2𝐵+𝑠𝑒𝑛2𝐶 4𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵𝑐𝑜𝑠𝐶

A) 5

C) 3

B) 4

D) 2

E) 1

19.- Simplificar: 𝑅 = 𝑠𝑒𝑛20 + 𝑠𝑒𝑛40 + 𝑠𝑒𝑛60 +. . +𝑠𝑒𝑛1780

𝐷) 2√2 𝑐𝑜𝑠150 E)2√2 𝑠𝑒𝑛150

A) 𝑡𝑔0 B) 𝑐𝑡𝑔10 C) 𝑠𝑒𝑛10 D) 𝑐𝑜𝑠10 E)𝑐𝑡𝑔890

8.- Si: 𝑥 + 𝑦 = 30°, calcular: 𝐸=

UNSM - CPU-T

20.- Calcular la siguiente suma:

𝑠𝑒𝑛(𝑥+3𝑦)+𝑠𝑒𝑛(3𝑥+𝑦) 𝑠𝑒𝑛2𝑥+𝑠𝑒𝑛2𝑦

𝐵 = 𝑐𝑜𝑠10 + 𝑐𝑜𝑠20 + 𝑐𝑜𝑠30 +. . +𝑐𝑜𝑠3590

A) 1 B) 2 C) −√3 D) 2√3 E) -1

A) 0 B) -1 C) 1 D) ½ E)-1/2

9.- Reducir: 𝑃 = 1 + 𝑡𝑔400 A) 𝑠𝑒𝑛50 𝑐𝑜𝑠400 B) √2 𝑐𝑜𝑠50 𝑠𝑒𝑐400 C) √2𝑐𝑜𝑠50 𝑠𝑒𝑛400 D) 𝑐𝑜𝑠50 𝑠𝑒𝑐400 E) 𝑐𝑜𝑠50 𝑠𝑒𝑛400 10.- Calcular: 𝑆 =

SEMANA 15

2𝑠𝑒𝑛100

A) 0 B) 1 C) −1 D) 11.- Si 𝑡𝑔𝛼 = 3; 0 < 𝛼 < 𝑁= A)

RESOLUCIÒN DE TRIÀNGULOS OBLICUÀNGULOS Un triángulo es oblicuángulo si no es recto ninguno de sus ángulos,

1−4𝑠𝑒𝑛100 𝑠𝑒𝑛700

1 2

E) −

1 2

En la resolución de triángulos oblicuángulos vamos a utilizar los teoremas del seno y del coseno.

𝜋 2

𝑠𝑒𝑛8𝛼 − 𝑠𝑒𝑛4𝛼 2𝑠𝑒𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠6𝛼

2√10 5

B)

√10 5

12.- Reducir: 𝐶 =

C)

Se utilizan tres propiedades: 3√10 5

D)

2√5 5

E)

2√10 5

𝑠𝑒𝑛5𝑥+𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑠𝑒𝑛3𝑥

Suma de los ángulos de un triángulo Ley del seno

A) 𝑐𝑜𝑠4𝑥 B) 2𝑐𝑜𝑠4𝑥 C) 𝑐𝑜𝑠2𝑥 D) 2𝑐𝑜𝑠2𝑥

A + B + C = 180º

𝑎 𝑏 𝑐 = = = 2𝑅 𝑠𝑒𝑛𝐴 𝑠𝑒𝑛𝐵 𝑠𝑒𝑛𝐶

E) 2𝑐𝑜𝑠𝑥 13.- Reducir: 𝐷 =

𝑠𝑒𝑛8𝑥+𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠8𝑥+𝑐𝑜𝑠2𝑥

Ley del coseno

b2 = a2 + c2 - 2·a·c·Cos B

A) 𝑡𝑔4𝑥 B) 𝑡𝑔5𝑥 C) 𝑡𝑔3𝑥 D) 𝑐𝑡𝑔3𝑥 E)𝑐𝑡𝑔5𝑥 14.-Reducir: 𝑉 =

a2 = b2 + c2 - 2·b·c·Cos A

c2 = a2 + b2 - 2·a·b·Cos C

𝑠𝑒𝑛𝑥−𝑠𝑒𝑛2𝑥+𝑠𝑒𝑛3𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑐𝑜𝑠2𝑥+𝑐𝑜𝑠3𝑥

A) 𝑡𝑔𝑥 B) 𝑡𝑔2𝑥 C) 𝑡𝑔3𝑥 D) 𝑐𝑡𝑔3𝑥 E) ctg2x

Ley de tangentes

15.- Transformar a producto: 𝐸 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑠𝑒𝑛5𝑥 + 𝑠𝑒𝑛9𝑥 + 𝑠𝑒𝑛15𝑥 A) 4𝑠𝑒𝑛7𝑥𝑐𝑜𝑠4𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥 B) 2𝑠𝑒𝑛7𝑥𝑐𝑜𝑠4𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥 C) 8𝑠𝑒𝑛7𝑥𝑐𝑜𝑠4𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥 D) 𝑠𝑒𝑛7𝑥𝑐𝑜𝑠4𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥 E) 16𝑠𝑒𝑛7𝑥𝑐𝑜𝑠4𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑠𝑒𝑛7𝑥−𝑠𝑒𝑛𝑥 16.- Calcular x, si: = √3 𝑐𝑜𝑠7𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥

Ley de proyecciones

𝐴−𝐵 𝑎 − 𝑏 𝑡𝑎𝑛 ( 2 ) = 𝑎 + 𝑏 𝑡𝑎𝑛 (𝐴 + 𝐵 ) 2 𝐴−𝐶 𝑡𝑎𝑛 ( 𝑎−𝑐 2 ) = 𝑎 + 𝑐 𝑡𝑎𝑛 (𝐴 + 𝐶 ) 2 𝐵−𝐶 𝑡𝑎𝑛 ( 𝑏−𝑐 2 ) = 𝑏 + 𝑐 𝑡𝑎𝑛 (𝐵 + 𝐶 ) 2 a = b cosC + c cosB b = a cosC + c cosB

290 | P á g i n a



c = a cosB + b cosA

UNSM - CPU-T A) 8√6

9.

B)

√6 3

C)

8√6 6

D)

8√6 3

E) 8/3

En un triángulo ABC; 2a=5b, hallar: 𝑠𝑒𝑛𝐵 𝐾= 𝑠𝑒𝑛𝐴 A) 0.1 B) 0.2 C) 0.3 D) 0.4 E) 0.5

10. Del triángulo mostrado, calcular la medida del ángulo “A” B

El teorema del seno. En todo triángulo la relación de un lado entre el valor del seno del ángulo opuesto se mantiene constante. A


2. En un triángulo ABC, su lado AB es igual a 4, la m𝛼𝐴 = 15° y m𝛼𝐶 = 45°. Calcular la longitud del lado AC. A) √6 B) 2√6 C) 2 D) 3√2 E) 2√3 3. Dado el triángulo ABC, calcule el lado “b” y el ángulo “B”, si además: a=24, c=40, A=37° A) 32,53° B) 12,45° C) 18,60° D) 24,37° E) 20,45°

5 A) √17 B) √18 C) √19 D) √20 E) √21 5. Sea un triángulo ABC, simplificar: 𝑏 2 + 𝑐 2 − 𝑎2 𝑘= 𝑏𝑐 A) cosA B) 2cosA C) –cosA D) -2cosA E) -1 6. Un estudiante observa una estatua con visuales que miden 8m y 7m, los cuales forman un ángulo de 60° calcular la altura de la estatua. A)√53 B) √55 C) √57 D) √59 E) √61 7. En un triángulo ABC: A=45º; B=60º; a=4; Hallar “b” A) 2√6 B) 6 C) √6 D) √3

13. En un triángulo ABC; simplificar la expresión: 𝑠𝑒𝑛𝐵 + 𝑠𝑒𝑛𝐶 𝑎 − 𝑏 𝐸= + 𝑠𝑒𝑛𝐶 + 𝑠𝑒𝑛𝐴 𝑐 + 𝑎 A) 1 B) 2 C) 0 D) √2 E) 3 14. Simplificar: 𝑎𝑠𝑒𝑛𝐵+2𝑏𝑠𝑒𝑛𝐴 ; 𝑎𝑠𝑒𝑛𝐶+3𝑐𝑠𝑒𝑛𝐴

8.

En un triángulo ABC: A=60º; B=75º; a=8; Hallar “b”

B) 2

si b=4c

C) 3

D) 4

E) 6

15. En un triángulo ABC, reducir: 𝑎 𝑏 𝑐 𝐾= + + 𝑐𝑜𝑠𝐴 𝑐𝑜𝑠𝐵 𝑐𝑜𝑠𝐶 A) RtgA.tgB.tgC B) 2RtgA.tgB.tgC C) R/2tgA.tgB.tgC D) 3RtgA.tgB.tgC E) 4RtgA.tgB.tgC 16. Del triángulo mostrado calcular “a” B 𝑎

2 37º A

A)

C

3 √71 9

B) 3/4

C)

17. En un triángulo ABC: E) √2

D) 16º E) 8º

12. En un triángulo ABC; reducir la expresión: E=asenB-bsenA A) 1 B) 2 C) 0 D) -1 E) 3

A) 1

60°

C) 58º

11. Hallar el circunradio de un triángulo ABC, si: a=12, A=60º A) √3 B) 2√3 C) 4√3 D) 6√3 E) √12

𝐾=

4. Del gráfico, calcular x

C

5

A) 30º B) 37º 1. En un triángulo ABC, si: 𝐴 = 60°; 𝑏 = 4√7; 𝑐 = 6√7. Hallar el lado “a” A) 7 B) 10 C) 13 D) 14 E) 20

3√2

135º

Calcular: ”C” A) 10º B) 45º

√85 19 𝑎 7

C) 60º

=

D) 𝑏 24

√85 5

=

E) 5/4

𝑐 25

D) 30º E) 90º

18. En un triángulo ABC: 𝑏 2 = 𝑎2 + 𝑐 2 + √3𝑎𝑐 291 | P á g i n a



Hallar “B” A) 60º B) 90º C) 120º D) 150º E) 135º 19. En un triángulo ABC, se cumple que: 𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 𝑏𝑐 Calcular la medida del ángulo “A” 𝜋 𝜋 𝜋 A) 𝜋 B) C) D) E) 2𝜋 3

4

UNSM - CPU-T

10. En un triangulo , dos de sus ángulos miden π/3 rad y π/5 rad. ¿Cuál es la medida sexagesimal del tercer ángulo? A) 84° B) 94° C) 74° D) 64° E) 54° 11. Señale la medida sexagecimal de un ángulo que verifica: C – S = 3; siendo “S” y “C” lo convencional para dicho angulo.

6

SEMANA Nº16:

A) 18° B) 27° C) 36° D) 45° E) 9°

MISCELANEA

12. De la figura que se muestra, calcular el valor de “Z” en el sistema radial.

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Sabiendo que: 𝐶𝑜𝑠𝜃 =

1

,

3√2

Calcular: 𝑃 = 𝑆𝑒𝑛3𝜃𝐶𝑠𝑐𝜃 a)

2 9

b)

4 9

c) −

7

2. Reducir: 𝐴 =

𝑆𝑒𝑛3𝑥 𝑆𝑒𝑛𝑥

e) −

9

4

a) Cosx b) Sen2x d) 4Cos2x e) 2

65

B)

142 65

4. Reducir: 𝐶 =

C)

1 65

que, 𝑡𝑔𝜃 =

D)

140 65

𝑠𝑒𝑛3𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃

E) -142

B

A)-230º B) 220º C) -248º

= 𝑛; Hallar: 2𝑐𝑜𝑠2𝜃

90º

30º-3x

(8𝑠𝑒𝑛3 10°

c) 4

2x+10º

E) -235º

+ 1)𝑐𝑠𝑐10°

d) 6

C

e) 9 15. Reducir:



E  (C  S ) 20  5S 54C    S9 

7. En un triángulo ABC 𝑎𝑐𝑜𝑠𝐴+𝑏𝑐𝑜𝑠𝐵+𝑐𝑐𝑜𝑠𝐶 ; 𝑠𝑒𝑛𝐵.𝑠𝑒𝑛𝐶

A) a/2

B) a

es igual a:

C) 2a

D) 3a

Q A) 13

C

17.

(9-6x)°

(5x-3)°

B

 

20 10 20 C

E) 5

16. Reducir:

̅̅̅̅ es bisectriz 9. Del grafico hallar “x” si 𝑂𝐶

A

20

Dónde: S, C, R lo convencional. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

E) 4ª

8. En un triángulo acutángulo ABC; 𝑎 = 3 + √6; 𝑏 = 2 + √6 y B=45º. Halle el ángulo “C” A) 75º B) 45º C) 60º D) 105º E) 15º

A) 2 B) 4 C) 6 D) 12 E) 18

A

D) 250º

6. Hallar: 𝐶 =

𝐹=

E) 5

14. Del Grafico hallar “x”

𝑠𝑒𝑛3𝑥−3𝑠𝑒𝑛𝑥 1−𝑐𝑜𝑠 2 𝑥

a) n b) n-1 c) n+1 d) 2n-1 e) 2n+1

a) 2 b) 3

12 . 5

Calcular:𝐸 = 2𝑠𝑒𝑛𝜃 + 3𝑐𝑜𝑠𝜃 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

A) 3senx B) -3senx C) 4senx D) -4senx E) –senx 5. Si:

-3Z

13. Si 𝜃 es un ángulo agudo y además se tiene

c) Sen4x

2 5

145

5Z

E) π/9

3. Si: 𝑐𝑡𝑔(30° + 𝑥) = , 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟: 𝑡𝑔3𝑥 A) −

B) π/30

D) π/18

9

𝐶𝑜𝑠3𝑥 𝐶𝑜𝑠𝑥

−

Z

C) - π/18 2

d) −

9

A)-π/20

40RC S 10R

B) 22

C) 42

D) 23 E) 55

Calcular la medida de un ángulo medido en grados sexagesimales, para el cual se cumple la siguiente relación: A) 4º

B) 9º

C) 5º

C+15 5

D) 8º

=

S+20 6

E) 6º

O 292 | P á g i n a

DECIMONOVENA EDICIÒN 18.


UNSM - CPU-T

Del sector circular mostrado. Calcular el área de la figura sombreada. A) 10m2 B) 15m2 C) 20m2 D) 30m2 E) 40m2

293 | P á g i n a

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN MARTÍN TARAPOTO

AUTORIDADES UNSM-T PERIODO 2014 - 2019

Ing. Dr. ANIBAL QUINTEROS GARCÍA RECTOR

Ing. Dr. OSCAR W. MENDIETA TABOADA VICERRECTOR ACADÉMICO

Ing. Dra. ANITA RUTH MENDIOLA CÉSPEDES VICERRECTORA DE INVESTIGACIÓN

Centro Pre Universitario Dr. Orlando Rios Ramirez DIRECTOR CPU

Ing. Msc. Jaime Ramirez Navarro

SUB DIRECTOR ACADÉMICO

Ing. Pedro Elías Pérez Vargas SUB DIRECTOR ADMINISTRATIVO

Jr. Orellana N° 575 - (042) 524033

COMPLEJO UNIVERSITARIO TARAPOTO - SAN MARTÍN

Universidad Nacional de San Martín - Tarapoto CENTRO PREUNIVERSITARIO Servicios que Brindamos Ingreso directo a los primeros puestos. Docentes con nivel Universitario Textos académicos virtuales en USB Seminarios Semanales Orientación vocacional permanente Tópico Atención Psicológica

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