TUGAS BESAR TOPOLOGI RANGKUMAN MATERI GRAF DAN POHON
DOSEN PEMBIMBING: SOFYAN SOFYAN ARIFIANTO, S.SI.,M.Kom. S.S I.,M.Kom. NAMA: MAULIDY MAULID YA YUNIARTI YUNIA RTI ANWAR 2015103031110! INFORMATIKA " 2# $%&m'(): m'*)(+'*-('/(m'().om
TEKNIK INFORMATIKA INFORMATIKA FAKULTAS TEKNIK UNI4ERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG 20152016
K'/' P%-'-/'
Segala puji dan syukur kami panjatkan ke hadirat Allah SWT karena atas segala karunia Nya kami dapat menyelesaikan tugas besar untuk mata kuliah k uliah topologi berupa kumpulan materi untuk bab graf dan pohon sebagai tugas pada semester ini. Keberhasilan dalam menyelesaikan makalah ini tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Pada kesemp kesempata atan n ini penulis penulis ingin ingin menguca mengucapka pkan n terima terimakas kasih ih kepada kepada apak apak Sofyan Sofyan Arifianto! S.S".! #.Kom. selaku dosen pengampu mata kuliah Pengantar Topologi! dan semua pihak yang telah memberikan saran dan bantuan selama menyelesaikan tugas ini. Kami menyadari bah$a masih banyak terdapat kekurangan dalam menyelesaikan tugas ini baik dari segi materi maupun penyajiannya! untuk itu saran serta kritikan yang membangun dari dosen dan rekan-rekan sangat diharapkan guna perbaikan makalah ini. Akhir kata penulis berharap semoga tulisan ini bermanfaat bagi pembaca pada umumnya dan penulis pada khususnya.
#alang! %& #ei %'()
Penulis
%
DAFTAR ISI Kata Pengantar.................................................................................................................................ii
A " *+A,...................................................................................................................................( (.(.
*+A, AN AN T+AP T+APAN AN *+A,...... *+A,............. .............. ............. ............. .............. .............. ............. ............. .............. ............. ............. ...............( ........(
(.%.
T+#"N/0/*" T+#"N/0/*" *+A, AN T"P *+A, K12S2S....... K12S2S.............. .............. ............. ............. .............. ............. ...........3 .....3
(.4.
+P+SNT +P+SNTAS" AS" *+A, AN *+A, "S/#/+,"K.. "S/#/+,"K......... ............. ............. .............. .................. .......................(5 ............(5
(.6.
KT+122N* KT+122N*AN.... AN........... .............. ............. ............. .............. .............. ............. ............. .............. ............. ............. .............. ..................... ................%( ..%(
(.5.
0"NTASAN 0"NTASAN 20+ AN 0"NTASAN 0"NTASAN 1A#"0T/N. 1A#"0T/N........ .............. ............. ............. .............. .................. ................%& .....%&
(.).
0"NTASAN 0"NTASAN T+PNK.... T+PNK.......... ............. .............. .............. ............. ............. .............. ............. ............. .............. .............. ............. ...............45 .........45
(.3.
*+A, P0ANA+...... P0ANA+............ ............. .............. ............. ............. .............. .............. ............. ............. .............. .............. ............. ............. .......................6' ................6'
(.7.
PWA+NAA PWA+NAAN N *+A,..... *+A,............ .............. .............. ............. ............. .............. .............. ............. ............. .............. ............. ............. .....................65 ..............65
A "" P/1/N.............................................................................................................................6& %.(.
PN*NA0AN PN*NA0AN P/1/N....... P/1/N.............. .............. ............. ............. .............. .............. ............. ............. .............. ............. ................. .....................6& ..........6&
%.%.
PN+AP PN+APAN P/1/N..... P/1/N............ .............. ............. ............. .............. .............. ............. ............. .............. ............. ............. .............. .............. .............53 ......53
%.4.
PN02S2+AN PN02S2+AN P/1/N T+ANS8+SA0. T+ANS8+SA0........ .............. ............. ............. .............. ........................... ............................)5 ........)5
% .6 .
P/1/N # #+NTAN* 9Spanning 9Spanning Tree:......................................................................3( ree:......................................................................3(
%.5.
P/1/N #+NT #+NTAN* #"N"#2#... #"N"#2#.......... .............. .............. ............. ............. .............. .............. ............. ................... ....................35 .......35
A,TA+ P2STAKA.....................................................................................................................7%
4
BAB I GRAF
1.1.
GRAF DAN TERAPAN GRAF
efinisi *raf; Notasi sebuah graf adalah * < 98! :! dimana ; ". 8 merupakan himpunan tak kosong dari simpul-simpul 9=ertices:! misalkan 8 < > =( ! =% ! ... ! =n ? "". merupakan himpunan sisi @ sisi 9edges: yang menghubungkan sepasang simpul! misalkan < >e( ! e% ! ... ! en ? (Sumber : Matematika Diskrit – Rinaldi Munir halaman 356) '. G'7 S%+%8'-' $ Simple Graph
*raf sederhana adalah graf yang tidak mengandung gelang maupun sisi-sisi ganda. ontoh;
*ambar (.(. *raf sederhana
9. G'7 '-+' $multigraph
*raf ganda yaitu graf * < 98! : yang mengandung sisi ganda dan 8 merupakan himpunan tidak kosong serta himpunan ganda 9multi-set: yang mengandung sisi ganda . ontoh
*ambar (.% *raf memuat sisi ganda . G'7 %m* $ pseudograph)
(
yaitu graf yang mengandung gelang 9loop:. *raf semu lebih umum karena dapat terhubung dengan dirinya sendiri. ontoh
*ambar (.4. *raf memuat gelang di 84
(Sumber Graf Sederhana – Graf Semu : Matematika Diskrit – Rinaldi Munir halaman 35)
d. G'7 T(+'; B%''8,
yaitu *raf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah disebut graf tak berarah! pada graf ini urutan pasangan simpul yang dihubungkan oleh sisi tidak diperhatikan. Badi ( ! #! ) < ( ! #! ) merupakan sisi sama. " k k " ontoh;
*ambar
(.6. *raf tidak berarah
%. G'7 9%''8 $directed graph atau digraph,
yaitu *raf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah disebut sebagai '7 9%''8 atau 9** $arc. Pada graf berarah ( $ #$ ) C ( $ #$ ) menyatakan dua busur yang " k k "
%
berbeda dengan kata lain ( $ #$ ) C ( $ #$ ) dan simpul V dinamakan simpul asal j " k k " 9initial !erte%: sedangkan V dinamakan simpul terminal 9 terminal !erte% :. k ontoh;
*ambar (.5. *raf berarah.
(Sumber Graf Tidak &erarah dan &erarah : Matematika Diskrit – Rinaldi Munir hal 35')
T%m(-o)o( G'7
Tidak berarah Tidak berarah Tidak berarah
S(( G'-+' +(<%9o)%8;'-= Tidak Da Da
#(-(+(<%9o)%8;'-= Tidak Tidak Da
erarah
Tidak
Tidak
T(<%
*raf Sederhana *raf *anda *raf Semu *raf Sederhana berarah *raf *anda erarah *raf ampuran
S((
erarah Da Da erarah dan Da Da tidak berarah 9Sumber : Disrete Mathematis and its appliatin – Rsen halaman 6**)
#o-/o8 T%'<'- G'7
(.
+angkaian listrik.
4
%.
"somer senya$a
kimia karbon
4.
Transaksi konkuren pada basis data terpusat Transaksi T ' menunggu transaksi T ( dan T % Transaksi T % menunggu transaksi T ( Transaksi T ( menunggu transaksi T 4 Transaksi T 4 menunggu transaksi T %
6.
Terapan graf pada teori otomata E0"275F. #esin jaja 9!ending mahine:
Keterangan; a ; ' sen dimasukkan 6
b ; 5 sen dimasukkan ; (' sen dimasukkan d ; (5 sen atau lebih dimasukkan 9Sumber : Graph+ppt leh Rinaldi Munir slide ,3-,')
5
)
/NT/1 S/A0 AN P#A1ASAN
3
7
1.2.
TERMINOLOGI GRAF DAN TIPE GRAF KHUSUS
A. T%m(-o)o( G'7
1. A+>'%-/ $;%/%/'-''- ua buah simpul dikatakan bertetangga 9ad"aent : bila
kedua simpul terhubung langsung seperti simpul 8 adjacent dengan simpul 8 i j jika untuk setiap e(sisi)∈ demikian sehingga e ∈ 98 !8 :. i j
e
∈ 98
8
!8 :! menyatakan bah$a simpul 8 bertetangga langsung dengan simpul ( % (
%
2. I-(+%-$ 9%(('-
2ntuk sembarang sisi e ∈ 98 !8 : dikatakan bah$a j k i: e bersisian dengan simpul 8 atau j ii: e bersisian dengan simpul 8 k
3. S(m<*) /%<%-()$ isolated vertex .
Simpul terpencil adalah simpul yang tidak mempunyai sisi yang bersisian dengannya.
&
Simpul 8 merupakan simpul terpencil karena tidak ada sisi yang 5 menghubungkan langsung ke simpul lainnya. ?. G'7 ;oo- $ null graf emty graph: adalah graf yang tidak mempunyai sisi yang
menghubungkan antara simpul 8 ke simpul 8 . i j
5. D%'>'/ $D%%%
erajat suatu simpul adalah jumlah sisi yang bersisian dengan simpul tersebut .tasi d(V) menyatakan derajat simpul 8. Simpul terpenil adalah simpul dengan d98: < '. Simpul /ang mempun/ai gelang dihitung mempunyai dua buah sisi yang bersisian 9karena dipresentasikan 98!8: dan simpul 8 bersisian dua kali: ! jika terdapat n buah gelang dan e buah sisi bukan gelang yang bersisian dengan simpul 8! maka derajat simpul 8 adalah. d( $ ) = 2n e. 96.%:.
0endant !erte% 9anting-anting: diartikan sebagai simpul yang berderajad satu.
Pada graf berarah! pengertian derajad dibedakan menjadi dua macam : (. d 98: < derajad-masuk 9in-degree: < jumlah busur yang masuk ke simpul 8. in
('
%. d 98: < derajad-keluar 9ut-degree: < jumlah busur yang keluar dari ke out simpul 8 dan d98: < d 98: G d 98: in out (Sumber hal -': Matematika Diskrit – Rinaldi Munir hal 365-36)
TEOREMA PERTAMA $TEOREMA @ABAT TANGAN
iketahui * < 98! : merupakan sebuah graf tak berarah dengan m merupakan sisi. Kemudian d ( v )=2| E| ∑ ∈
v
V
9atatan bah$a ini juga berlaku jika terdapat graf ganda dan loop.:
TEOREMA KEDUA
Sebuah graf tidak berarah yang memiliki derajat ganjil! memiliki jumlah sisi genap ukti; iketahui 8( dan 8% adalah himpunan simpul berderajat genap dan himpunan simpul berderajat ganjil! masing-masing! di sebuah grafik tidak berarah * < 98! : dengan tepi m. Kemudian
TEOREMA KETIGA
#isalkan * < 98! : adalah graf dengan sisi berarah. Kemudian
9Sumber : Disrete Mathematis and its appliatin – Rsen halaman 653 -65*)
B%9%'<' G'<8 K8**
((
'. G'7 L%-;'< $#om<)%/% G'<8
*raf lengkap ialah graf sederhana yang setiap simpulnya mempunyai sisi ke semua simpul lainnya. *raf lengkap dengan n buah simpul dilambangkan dengan Kn. Bumlah sisi pada graf lengkap yang terdiri dari n buah simpul adalah n9n @ (:H%.
K(
K%
K4
K6
K5
K)
9. G'7 L(-;''-
*raf lingkaran adalah graf sederhana yang setiap simpulnya berderajat dua. *raf lingkaran dengan n simpul dilambangkan dengan n.
4
6
5
)
. G'7 T%'/* $R%*)' G'<8 *raf yang setiap simpulnya mempunyai derajat yang sama disebut graf teratur. Apabila derajat setiap simpul adalah r! maka graf tersebut disebut sebagai graf teratur derajat r. Bumlah sisi pada graf teratur adalah nrH%.
+.
G'<8 9(<'/(/%
(%
Sebuah grafik sederhana * disebut bipartit jika himpunan titik 8 dapat dibagi menjadi dua menguraikan set 8( dan 8% sehingga setiap sisi dalam grafik
menghubungkan simpul di 8( dan titik di 8% 9 Sehingga tidak ada kelebihan dalam * menghubungkan baik dua simpul di 8( atau dua simpul di 8% : . ketika ini Kondisi memegang ! kita sebut pasangan 9 8( ! 8% : sebuah bipartisi dari himpunan titik 8 dari *.
H 1
H 2
H 3
G
W
E
a
b
g
c
f e
d
(Sumber beberapa graf khusus: Matematika Diskrit – Rinaldi Munir hal 3-3', )
G'<8 9'* +'( '<8 )'m'
Ketika sisi dan simpul dikeluarkan dari graf ! tanpa menghilangkan titik akhir dari setiap sisi yang tersisa! grafik yang lebih kecil diperoleh . *rafik seperti ini disebut subgraf dari grafik asli .
D%7(-(( 1
(4
Sebuah *raf dari graf * < 9 8 ! : adalah graf 1 < 9 W ! , : ! di mana W ⊆ 8 dan , ⊆ . A *raf 1 dari * adalah subgraf yang tepat dari * jika 1 C *.
D%7(-(( 2
#isalkan * < 9 8 ! : adalah graf sederhana . Subgraph disebabkan oleh subset W dari himpunan titik 8 adalah grafik 9 W ! , : ! di mana tepi set , mengandung sisi di jika dan hanya jika kedua endpoint sisi ini berada di W. ontoh; *rafik * ditunjukkan pada *ambar (5 adalah subgraf dari K5. Bika kita menambahkan tepi menghubungkan c dan e untuk *! kita memperoleh subgraph disebabkan oleh W < >a! b! c! e?.
#N*1AP2S ATA2 #NA#A1KAN S"S" A+" *+AP1 #engingat grafik * < 98! : dan sisi e ∈ ! kita dapat menghasilkan *raf bagian dengan menghapus sisi e. *raf yang dihasilkan! dilambangkan oleh * - e! memiliki himpunan titik yang sama 8 sebagai *. tepi set - e. Karenanya! * - e < 98! - >e?:. emikian pula! jika I adalah bagian dari ! kita dapat menghasilkan subgraf dari * dengan menghapus sisi di I dari grafik. *raf yang dihasilkan memiliki himpunan titik yang sama 8 sebagai *. tepi set @ I
Kami juga dapat menambahkan keunggulan e untuk grafik untuk menghasilkan grafik baru yang lebih besar ketika sisi ini menghubungkan dua simpul sudah *.We dilambangkan dengan * G e grafik baru yang dihasilkan dengan menambahkan keunggulan baru e! menghubungkan dua simpul sebelumnya tidak bersisian ! dengan grafik * /leh karena itu! * G e < 9 8 ! ∪ > e ? : .
(6
1impunan titik dari * G e adalah sama dengan himpunan titik dari * dan himpunan sisi adalah gabungan dari tepi set * dan himpunan > e ? . 9Sumber Graph baru dari graph lama : Disrete Mathematis and its appliatin – Rsen halaman 663 -66*)
/NT/1 S/A0 AN P#A1ASAN
(. *ambarkan graf berikut a. K 3 b. K (!7 c. K 6!6 d. 3 e. W3 0embahasan:
(Sumber : Disrete Mathematis and it1s appliatin# editin-Rsen hal 665 n 2 a-e)
%. Sebuah graf akan dibentuk dari %5 buah sisi. erapa jumlah maksimum simpul di dalam graf sederhana yang dapat dibuat dari %5 buah sisi tersebutJ 0embahasan:
(5
(Matematika Diskrit – Rinaldi Munir# hal *3 n *) 4. Tentukan berapa banyak simpul! sisi dan derajat dari setiap simpul pada graf tak berarah diba$ah ini.
0embahasan:
(Disrete Mathematis and it1s appliatin# editin-Rsen hal 665 n 3)
6. Tentukan berapa banyak sumbu dan sisi dan temukan derajat masuk dan derajat keluar dari setiap sumbu untuk graf berarah diba$ah ini.
()
9iscrete #athematics and itIs application! 3 edition @ +osen hal ))5 no 3:
1.3.
REPRESENTASI GRAF DAN GRAF ISOMORFIK
A. R%<%%-/'( G'7 1. S%-''( K%/%/'-'- $A+>'%- )(/
Kelemahan representasi graf dalam bentuk adjacency matri dan incidency matri! matrik terkadang banyak memuat elemen nol hal ini menimbulkan pemborosan ditinjau dari sisi penyimpanan akan di dalam komputer! karena komputer banyak menyimpan elemen nol. 2ntuk mengatasi ini representasi graf dapat dinyatakan dalam bentuk senerai ketetanggaan. ontoh; a. *raf Sederhana Simpul a b c d e
Simpul Tetangga b! c! e a a! d! e c! e a! c! d
b. *raf erarah Simpul a b c d e
Terminal Simpul b! c! d! e b! d a! c! e b! c! d
2. M'/(; B%(('-
(3
#atrik bersisian menyatakan ke bersisian antara sisi dan simpul dari suatu graf. #isalkan * < 98!: adalah matrik dengan n buah simpul dan m buah sisi. #aka matrik bersisian dari * adalah matrik berukuran nm! baris menunjukkan label simpul dan kolom menunjukkan label sisi. Apabila matriks tersebut diberi nama < Eb F maka b < ( apabila simpul i bersisian langsung dengan sisi j! dan b < ' ij ij ij apabila simpul tidak bersisian dengan sisi j! langsung! atau dinyatakan sebagai berikut matrik < Eb F denganL ij bij < (! jika simpul i bersisian langsung dengan sisi ke j bij < '!jika simpul i tidak bersisian langsung dengan sisis ke j ontoh
#atriks bersisian dari graf tersebut adalah
Simpul A bersisian langgung dengan sisi e dan e maka diberi nilai (! tetapi ( % tidak bersisian langsung dengan sisi e ! e dan e maka diberi nilai nol.egitu 4 6 5 pula simpul-simpul yang lain. 3. M'/(; K%/%/'-'- $A+>'%- m'/(
#isalkan * <98!: adalah matrik dengan n buah simpul ! n M ( maka matrik ketetanggaan * adalah matrik berukuran n n apabila matriks tersebut diberi nama < Eb F maka b < ( apabila simpul i! j bertetangga langsung dan b < ' ij ij ij apabila simpul tidak bertetangga langsung. Atau dinyatakan sebagai berikut matrik < Eb F denganL ij
(7
bij < (! jika simpul i dank e j bertetanggaan langsung bij < '! jika simpul " dan ke j tidak bertetangaan langsung #o-/o8: iberikan graf sederhana sebagai berikut
#atriks ketetanggaan dari graf tersebut adalah
Simpul ke i dan ke j yang bertetangga langsung diberi nilai ( dan yang tidak langsung diberi nilai ' (Sumber Representasi Graf: Matematika Diskrit – Rinaldi Munir hal 3'2-3'5)
B. G'7 Iomo7(;
,"N"S" ; Dua buah graf G, dan G2 dikatakan ismrfik "ika terdapat krespndensi satu satu antara simpul-simpul pada kedua graf tersebut dan antara sisi-sisi keduan/a sehingga "ika sisi e bersisian dengan simpul u dan ! pada G, maka sisi e1 pada G2 "uga bersisian dengan simpul u1 dan !1+ Suatu graf dapat digambarkan dengan berbagai cara. ua buah graf yang isomorfik adalah graf yang sama! kecuali penamaan simpul dan sisinya saja yang berbeda. Sebagai contoh dua graf diatas merupakan dua graf yang isomorfik . ua buah graf dikatakan isomorfik jika memenuhi ketiga syarat berikut 9eo! (&7&:; (. #empunyai jumlah simpul yang sama. %. #empunyai jumlah sisi yang sama 4. #empunyai jumlah simpul yang sama berderajat tertentu (Sumber: Matematika Diskrit – Rinaldi Munir hal 3'6-3'4)
ontoh; iketahui % buah graf tak berarah ;
(&
Periksa apakah kedua graf tersebut isomorfikJ Bika ya! tentukan simpul-simpul yang saling berkorespondensi antara *( dan *%
Ba$ab; Da! kedua graf tersebut adalah isomorfik. Terlihat graf tersebut memuat simpul dimana setiap simpulnya masing-masing berderajat tiga. Simpul yang saling berkorespondensi dari kedua graf tersebut adalah ;
simpul u( dengan simpul =(
simpul u% dengan simpul =4
simpul u4 dengan simpul =5
simpul u6 dengan simpul =)
simpul u5 dengan simpul =6
simpul u) dengan simpul =%
Pada dua graf yang isomorfik! kedua graf tersebut memiliki matriks ketetanggaan yang sama. Perhatikan matriks ketetanggaan dari kedua graf tersebut. iba$ah ini adalah matriks ketetanggaan dari graf *( dan *%;
%'
Terlihat bah$a kedua graf tersebut memiliki matriks ketetanggaan yang sama! yaitu #*( < #*%.
/NT/1 S/A0 AN P#A1ASAN
(. +epresentasikan graf diba$ah ini dengan menggunakan matriks ketetanggaan
0embahasan:
(Disrete Mathematis and ts ppliatin# editin – Rsen hal 65 n ) %. *ambarkan graf tidak berarah yang di representasikan oleh matriks ketetanggan berikut
0embahasan:
%(
(Disrete Mathematis and ts ppliatin# editin – Rsen hal 65 n ,6)
4.
*unakan #atriks bersisian untuk merepresentasikan graf pada soal no (4-(5. i.
0embahasan:
(Disrete Mathematis and ts ppliatin# editin – Rsen hal 66 n 2) 6. Tentukan apakah pasangan graf diba$ah ini isomorfik. tunjukan ke-isomorfikan-nta atau berikan argument yang kuat jika tidak ada.
%%
0embahasan:
(Disr(Disrete Mathematis and ts ppliatin# editin – Rsen hal 66 n 3) 1.?.
KETERHUBUNGAN
A. P'/8 $)(-/''-
Secara informal ! lintasan adalah urutan sisi yang dimulai di sebuah simpul dari grafik dan perjalanan dari simpul ke simpul sepanjang tepi grafik. Sebagai lintasan perjalanan sepanjang tepi! ia mengunjungi simpul sepanjang jalan ini ! yaitu! titik akhir dari tepi ini .
D%7(-(( 1
#isalkan n bilangan bulat positif dan * graf tak berarah . Sebuah panjang lintasan n dari u untuk = di * adalah urutan n sisi e( ! . . . ! n dari * yang terdapat berurutan ' < u ! ( ! . . . ! On - ( ! n < = simpul sehingga ei memiliki ! untuk i < ( ! . . . ! N ! titik akhir i @ ( dan i . Ketika grafik sederhana ! kami menunjukkan jalan ini dengan %4
yang ' urutan =erte ! ( ! . . . ! n 9 Karena daftar simpul ini unik menentukan jalan : . jalan adalah sirkuit jika dimulai dan berakhir pada simpul yang sama ! yaitu ! jika u < = ! dan memiliki panjang lebih besar dari nol . lintasan atau sirkuit dikatakan mele$ati simpul ( ! % ! . . . ! On - ( atau melintasi tepi e( ! e% ! . . . ! n . Sebuah jalur atau sirkuit sederhana jika tidak mengandung tepi yang sama lebih dari sekali .
D%7(-(( 2
#isalkan n bilangan bulat positif dan * diarahkan graph. A panjang lintasan n dari u ke = * sebuah urutan sisi e( ! e% ! . . . ! n * yang e( berhubungan dengan 9 ' ! ( : ! e% terkait dengan 9 ( ! % : ! dan sebagainya ! dengan en terkait dengan 9 n - ( ! n : ! di mana ' < u dan n < = . Ketika tidak ada beberapa sisi dalam grafik diarahkan ! jalan ini dilambangkan dengan urutan titik -nya ' ! ( ! % ! . . . ! On.A panjang lintasan lebih besar dari nol yang dimulai dan berakhir pada simpul yang sama disebut sirkuit atau siklus . Sebuah jalur atau sirkuit disebut sederhana jika tidak mengandung sisi yang sama lebih dari sekali . (Sumber : Disrete Mathematis and ts ppliatin# editin – Rsen hal 64-6')
B. K%/%8*9*-'- <'+' '7 /(+'; 9%''8 D%7(-(( 3
Sebuah graf tidak berarah adalah disebut terhubung jika ada jalur antara setiap pasangan yang berbeda simpul dari grafik . Sebuah graf tidak berarah yang tidak terhubung disebut terputus. Kita mengatakan bah$a kita lepaskan grafik ketika kita menghapus simpul atau tepi ! atau keduanya! untuk menghasilkan *raf terputus .
T%o%m' 1
Ada jalan sederhana antara setiap pasangan simpul yang berbeda dari grafik tidak berarah yang terhubung. Pembuktian;
%6
#isalkan u dan = menjadi dua simpul yang berbeda dari grafik diarahkan terhubung * < 9 8 ! :. karena * terhubung ! ada setidaknya satu jalur antara u dan = . #isalkan ' ! ( ! . . . ! On ! di mana ' < u dan n < = ! menjadi urutan simpul dari lintasan yang paling panjang . lintasan ini setidaknya panjang sederhana . 2ntuk melihat ini ! kita anggap itu tidak sederhana . Kemudian i < j untuk beberapa i dan j dengan ' i Q j . "ni berarti bah$a ada lintasan dari u ke = jarak terpendek dengan urutan titik ' ! ( ! . . . ! Oi - ( ! OB ! . . . ! n diperoleh dengan menghapus sisi sesuai dengan titik urutan i ! . . . ! OB - ( . (Sumber: Disrete Mathematis and ts ppliatin# editin – Rsen hal 6',-6'2)
#. K%/%8*9*-'- <'+' '7 9%''8 D%7(-(( ?
Sebuah graf berarah terhubung kuat jika ada lintasan dari a ke b dan dari b ke setiap kali a dan b adalah simpul dalam grafik . D%7(-(( 5
Sebuah graf berarah terhubung lemah jika ada lintasan antara setiap dua sumbu pada yang didasari pada graf tidak berarah (Sumber: Disrete Mathematis and ts ppliatin# editin – Rsen hal 6'5-6'6)
ua buah simpul =( dan simpul =% disebut /%8*9*- jika terdapat lintasan dari =( ke =%. * disebut graf terhubung 9connected graph: jika untuk setiap pasang simpul =i dan =j dalam himpunan 8 terdapat lintasan dari =i ke =j. Bika tidak! maka * disebut graf tak-terhubung 9disconnected graph:. ontoh graf tak-terhubung;
2 5
1
4 6
3
8
7
%5
*raf berarah * dikatakan terhubung jika graf tidak berarahnya terhubung 9graf tidak berarah dari * diperoleh dengan menghilangkan arahnya:. ua simpul! u dan =! pada graf berarah * disebut terhubung kuat 9strongly connected: jika terdapat lintasan berarah dari u ke = dan juga lintasan berarah dari = ke u. Bika u dan = tidak terhubung kuat tetapi terhubung pada graf tidak berarahnya! maka u dan = dikatakan terhubung lemah 9$eakly coonected:. *raf berarah * disebut graf terhubung kuat 9strongly connected graph: apabila untuk setiap pasang simpul sembarang u dan = di *! terhubung kuat. Kalau tidak! * disebut graf terhubung lemah. 1 1
2
2 3
3
4
graf berarah terhubung lemah
graf berarah terhubung kuat
9Sumber : Slide Graph leh Rinaldi Munir slide ke 3*-36) L(-/''- +'- Iomo7(
Ada beberapa cara di mana lintasan dan sirkuit dapat membantu menentukan apakah dua grafik isomorfis. #isalnya ! keberadaan sebuah rangkaian sederhana dari panjang tertentu yang berguna
yang dapat digunakan untuk menunjukkan bah$a dua grafik tidak
isomorfik . Selain itu! lintasan bisa digunakan untuk membangun pemetaan yang mungkin isomorphisms. #o-/o8:
Tentukan apakah grafik * dan 1 ditunjukkan pada *ambar 3 isomorfik. @''9'-:
%)
Kedua * dan 1 memiliki lima titik dan enam tepi! keduanya memiliki dua simpul berderajat tiga dan tiga simpul berderajat dua! dan keduanya memiliki rangkaian sederhana panjang tiga! rangkaian sederhana panjang empat! dan rangkaian sederhana panjang lima. Karena semua ini in=ariants isomorfik setuju! * dan 1 mungkin isomorfik.
2ntuk menemukan isomorfisma mungkin! kita bisa mengikuti lintasan yang melalui semua simpul sehingga simpul yang sesuai dalam dua grafik memiliki derajat yang sama. #isalnya! lintasan u(! u6! u4! u%! u5 di * dan =4! =%! =(! =5! =6 di 1 baik melalui setiap titik dalam grafikL mulai dari sebuah titik derajat tigaL melalui simpul dari derajat dua! tiga! dan dua! masing-masingL dan akhir pada titik derajat dua. engan mengikuti jalur ini melalui grafik! kita mendefinisikan pemetaan f dengan f 9u(: < =4! f 9u6: < =%! f 9u4: < =(! f 9u%: < =5! dan f 9u5: < =6. pembaca dapat menunjukkan bah$a f adalah isomorfisme! sehingga * dan 1 isomorfik! baik dengan menunjukkan bah$a f mempertahankan tepi atau dengan menunjukkan bah$a dengan penataan yang tepat dari simpul adjacency matriks * and 1 adalah sama.
M%-8(/*- @')* A-/'' S(m<*) T%o%m' 2
#isalkan * adalah graf dengan adjacency matri A sehubungan dengan =( pemesanan! =%!. . . ! 8n dari simpul dari grafik 9dengan sisi berarah atau tidak berarah! dengan
%3
beberapa sisi dan loop diiRinkan:. Bumlah lintasan yang berbeda dari panjang r dari =i ke =j! di mana r adalah bilangan bulat positif! sama dengan 9i! j: th masuknya Ar. (Sumber: Disrete Mathematis and ts ppliatin# editin – Rsen hal 6'-6'')
/NT/1 S/A0 AN P#A1ASAN
(. Apakah setiap daftar rangkaian simpul diba$ah ini membentuk sebuahlintasan pada graf yang diberikanJ #ana yang merupakan lintasan sederhanaJ #ana yang merupakan sirkuitJ erapa panjang dari masing-masing lintasanJ a. a# e# b# # b b. e# b# a# d# b# e c. a# e# a# d#b# #a d. # b# d# a# e#
%7
0embahasan:
(Disrete Mathematis and ts ppliatin# editin – Rsen hal 6'4 n ,)
%. Tentukan apakah graf diba$ah ini terhubung
0embahasan:
(Disrete Mathematis and ts ppliatin# editin – Rsen hal 6'4 n 3) 4. Tentukan apakah setiap graf berikut terhubung kuat dan jika tidak! apakah terhubung lemah.
0embahasan:
%&
(Disrete Mathematis and ts ppliatin# editin – Rsen hal 6'4 n ,,) 6. Temukan bilangan bilangan lintas lintasan an dari a ke e pada pada graf berarah berarah pada soal soal no% dengan dengan panjang panjang a. % b. 4 c. 6
d. 5 e. ) f. 3
0embahasan:
4'
(Disrete (Disrete Mathematis and ts ppliatin# editin – Rsen hal 6'4 n 2)
4(
1.5.
LINTASAN EULER DAN LINTASAN HAMILTON
A. L(-/'' L(-/''- E*)% E*)% +'- S(;* S(;*(/ (/ E*)% E*)% 9Slide *raph @ +inaldi #unir: D%7(-((: L(-/''- E*)% ialah lintasan yang melalui masing-masing sisi di dalam graf
tepat satu kali. ila lintasan tersebut kembali ke simpul asal! membentuk lintasan terutup 9sirkuit:! maka lintasan tertutup itu dinamakan S(;*(/ E*)%. Badi! sirkuit uler ialah sirkuit yang mele$ati masing-masing sisi tepat satu kali.
*raf yang mempunyai sirkuit uler disebut graf uler 9 7ulerian 7ulerian graph:. graph:. *raf yang mempunyai lintasan uler dinamakan juga graf semi-uler semi-7ulerian 9semi-7ulerian graph:. graph:. ontoh. '. G G'7 '7 %m %m(& (&E* E*)% )%
0intasan uler pada graf 9a: ; 4! (! %! 4! 6! ( 0intasan uler pada graf 9b: ; (! %! 6! )! %! 4! )! 5! (! 4 9. G'7 E*)% *)%
Sirkuit uler pada graf 9c: 9c:
; (! %! 4! 6! 3! 4! 5! 3! )! 5! %! )! (
Sirkuit uler pada graf 9d:
; a! ! f ! e! ! b! d ! e! a! d ! f ! b! a
. B*; B*;''- G' G'77 E*)% E*)% '/'* '/'* %m %m(& (&E*) E*)% %
*raf 9e: dan 9f: tidak mempunyai lintasan maupun sirkuit uler 9Sumber : Matematika Diskrit – Rinaldi Munir halaman **-*5) TEOREMA. *raf tidak berarah memiliki lintasan uler jika 9graf semi-uler: dan
hanya jika terhubung dan memiliki dua buah simpul simpul berderajat ganjil ganjil atau tidak tidak ada simpul berderajat ganjil sama sekali. *raf tidak berarah berarah G adalah graf uler 9memiliki sirkuit uler: jika TEOREMA. *raf dan hanya jika setiap simpul berderajat genap. TEOREMA.
9a: 9a: *raf *raf berar berarah ah G memili memiliki ki sirkuit sirkuit uler jika dan hanya jika G
terhubung dan setiap simpul memiliki derajat-masuk dan derajat-keluar sama. 9b: G memiliki lintasan uler jika dan hanya jika G terhubung dan setiap simpul memiliki derajat-masuk dan derajat-keluar sama kecuali dua simpul! yang pertama memiliki derajat derajat-ke -kelua luarr satu satu lebih lebih besar besar derajat derajat-ma -masuk suk!! dan yang kedua kedua memili memiliki ki deraja derajattmasuk satu lebih besar dari derajat-keluar.
a b
d
c
d
c
a
b
a
b
g
f
c e
d 9a:
9b:
9c:
G'm9':
9a: *raf *raf berarah uler 9a! g ! ! b! g ! e! d ! f ! a: 9b: *raf berarah semi-uler 9d 9d ! a! b! d ! ! b: 9c: *raf berarah bukan uler maupun semi-uler 9Sumber 0resentasi (ppt) Graph – Rinaldi Munir Slide ke 4,-42)
B. L(-/'' L(-/''- H'm()/o H'm()/o- +'- S(;*(/ S(;*(/ H'm() H'm()/o/oD%7(-((: L(-/''- H'm()/o- adalah lintasan yang melalui tiap simpul di dalam graf tepat
satu kali. ila lintasan itu kembali ke simpul asal membentuk lintasan tertutup (;*(/ H'm()/o H'm()/o-. -. engan kata 9Sirkuit:! 9Sirkuit:! maka lintasan tertutup itu dinamakan (;*(/
lain! sirkuit 1amilton ialah sirkuit yang melalui tiap simpul di dalam graf tepat satu kali! kecuali simpul asal 9sekaligus simpul akhir: yang dilalui dua kali. H'm()/o-! sedangkan graf yang *raf yang memiliki memiliki sirkuit 1amilton 1amilton dinamakan dinamakan '7 H'm()/o-
hanya memiliki lintasan 1amilton disebut '7 %m(&H'm()/o- .
9a:
1
2
1
2
1
2
4
3
4
3
4
3
9b:
9c :
9a: graf yang memiliki lintasan 1amilton 9misal; 4! %! (! 6: 9b: graf yang memiliki lintasan 1amilton 9(! %! 4! 6! (: 9c: graf yang tidak memiliki lintasan maupun sirkuit 1amilton
TEOREMA. TEOREMA. $T%o%m $T%o%m' ' D(' Bika G adalah graf sederhana dengan n buah simpul
9nM4: sedemikian sehingga derajat tiap simpul paling sedikit nH% 9yaitu! d9=: M nH% untuk setiap simpul = di *:! maka * adalah graf 1amilton
TEOREMA $T%o%m' O% Bika * adalah graf sederhana dengan n buah simpul 9nM4:!
sedemikian sehingga d9=: G d9u: M n untuk setiap pasang simpul tidak bertetangga u dan =! maka * adalah graf 1amilton TEOREMA 1. Setiap graf lengkap adalah graf hamilton. TEOREMA 2. i dalam graf lengkap * dengan n buah simpul 9nM4: terdapat sebanyak
9n-(:H% buah sirkuit hamilton. TEOREMA 3. i dalam graf lengkap * dengan n buah simpul 9nM4 dan n ganjil:!
terdapat 9n-(:H% buah sirkuit hamilton yang saling lepas 9tidak ada sisi yang bersisian:. Bika n genap dan n M 6! maka di dalam * terdapat 9n-%:H% buah sirkuit 1amilton yang saling lepas. eberapa graf dapat mengandung sirkuit uler dan sirkuit 1amilton sekaligus! mengandung sirkuit uler tetapi tidak mengandung sirkuit 1amilton! dan sebagainya..
5
5
1
2
1
2
4
3
4
3
6
9a:
9b:
9a: *raf 1amilton sekaligus graf uler 9b: *raf 1amilton sekaligus graf semi-uler 9Sumber : Matematika Diskrit – Rinaldi Munir halaman *' – *,,)
/NT/1 S/A0 AN P#A1ASAN (. Tentukan Apakah graf berarah berikut memiliki sirkuit euler. Sebutkan sirkuit jika terdapat didalamnya. Bika tidak terdapat sirkuit euler! tentukan apakah graf memiliki lintasan euler dan sebutkan lintasannya.
(Disrete Mathematis and ts ppliatin# editin – Rsen hal 3 n ,'
%. Tentukan Apakah graf berikut memiliki sirkuit euler. Sebutkan sirkuit jika terdapat didalamnya. Bika tidak terdapat sirkuit euler! tentukan apakah graf memiliki lintasan euler dan sebutkan lintasannya.
(Disrete Mathematis and ts ppliatin# editin – Rsen hal 3 n )
4. Tentukan Apakah graf berikut memiliki Sirkuit 1amilton. Bika terdapat! temukan sirkuitnya. Bika tidak! berikan argument untuk menunjukkan mengapa tidak terdapat sirkuit
(Disrete Mathematis and ts ppliatin# editin – Rsen hal 3 n 3,)
6. Apakah graf pada soal no 4' memiliki lintasan 1amiltonJ Bika iya! berikan lintasannya. Bika tidak! berikan argument mengapa tidak terdapat lintasan.
(Disrete Mathematis and ts ppliatin# editin – Rsen hal 3 n 3) 0embahasan
1.6.
LINTASAN TERPENDEK
0intasan terpendek adalah jalur yang dilalui dari suatu node ke node lain dengan besar atau nilai pada sisi yang jumlah akhirnya dari node a$al ke node akhir paling kecil. 0intasan terpendek adalah lintasan minimum yang diperlukan untuk mencapai suatu tempat dari tempat lain. 0intasan
minimum yang dimaksud dapat dicari dengan
menggunakan graf. *raf yang digunakan adalah graf yang berbobot! yaitu graf yang setiap sisinya diberikan suatu nilai atau bobot. alam kasus ini! bobot yang dimaksud berupa jarak dan $aktu kemacetan terjadi. Ada beberapa macam persoalan lintasan terpendek! antara lain; a. 0intasan terpendek antara dua buah simpul tertentu 9a pair shortets path:. b. 0intasan terpendek antara semua pasangan simpul 9all pairs shortest path:. c. 0intasan terpendek dari simpul tertentu ke semua simpul yang lain 9single-source shoertest path:. d. 0intasan terpendek antara dua buah simpul yang melalui beberapa simpul tertentu 9intermediate shortest path:. 9Sumber: Matematika Diskrit – Rinaldi Munir halaman *,2) A)o(/m' <%-'('- )(-/''- /%<%-+%;
9Sumber : Disrete Mathematis and its appliatin# editin b/ Rsen halaman ,2) T%o%m' 1
Algoritma ijkstra menentukan panjang jalur terpendek antara dua simpul di dalam graf terhubung sederhana terhubung tidak berarah berbobot
T%o%m' 2
Algoritma ijkstra menggunakan / 9n%: operasi 9penambahan dan perbandingan: untuk menemukan panjang jalur terpendek antara dua simpul di dalam graf terhubung sederhana terhubung tidak berarah berbobot dengan n sumbu. 9Sumber : Disrete Mathematis and its appliatin# b/ Rsen halaman,3-,* )
/NT/1 S/A0 AN P#A1ASAN (. ari panjang lintasan terpendek antara a dan R pada graf berikut
0embahasan :
(Disrete Mathematis and ts ppliatin# editin – Rsen hal ,6 n 2)
%. ari panjang lintasan terpendek antara a dan R pada graf berikut
0embahasan:
(Disrete Mathematis and ts ppliatin# editin – Rsen hal ,6 n 3)
4. Temukan lintasan terpendek 9pada mileage: diantara setiap pasang kota pada sistem penerbangan yang ditunjukkan pada gambar berikut a. Ne$ Dork dan 0os Angeles b. oston dan San ,rancisco c. #iami dan en=er d. #iami dan 0os Angeles
0embahasan:
(Disrete Mathematis and ts ppliatin# editin – Rsen hal ,6 n ')
6. Temukan rute terpendek 9dalam jarak: diantara komputer pusat pada setiap pasang kota di dalam jaringan komunikasi yang ditunjukkan pada gambar diba$ah ini '. oston dan 0os Angeles 9. Ne$ Dork dan San ,rancisco . allas dan San ,rancisco +. en=er dan Ne$ Dork a.
0embahasan:
(Disrete Mathematis and ts ppliatin# editin – Rsen hal ,6 n ,,)
1..
GRAF PLANAR
D%7(-((:
Sebuah graf disebut planar jika dapat digambarkan pada bidang datar tanpa sisi yang bersimpangan 9di mana persimpangan dari sisi adalah perpotongan garis atau busur yang me$akili mereka pada titik lainnya dari titik akhir bersama mereka : . menggambar graf seperti ini disebut representasi graf planar . (dikutip dari Disrete Mathematis and its1s appliatin# editin)
*ambar graf * mempunyai diagonal berpotongan ! graf tersebut g dapat digambarkan menjadi graf *I dengan diagonal tidak saling berpotongan maka graf * disebut sebagai graf planar. 9Sumber:Matematika Diskrit – Rinaldi Munir halaman 342) *raf bidang adalah representasi graf planar yang digambarkan dengan sisi yang tidak saling berpotongan. Sisi pada graf bidang membagi bidang datar menjadi beberapa $ilayah 9region: atau muka 9face:. . 9Sumber:Matematika Diskrit – Rinaldi Munir halaman 34*) R*m* %*)%
#isalkan * adalah graf planar terhubung sederhana dengan e sisi dan ! sumbu atau titik! dan misalkan r menjadi jumlah $ilayah dalam representasi planar o f G# maka; r = e ! v 2.
(Sumber : Disrete Mathematis and its appliatin# editin – Rsen halaman 2) #OROLLARY 1 . Bika * adalah graf sederhana terhubung dengan e adalah jumlah sisi
dan = adalah jumlah simpul! yang dalam hal ini =M4! maka berlaku ketidaksamaan uler e4=-).
#OROLLARY 2 . Bika * adalah graf planar sederhana terhubung! maka * memiliki
derajat simpul tidak lebih dari lima.
#OROLLARY 3 . Bika * adalah graf sederhana terhubung dengan e adalah jumlah sisi
dan = adalah jumlah simpul! yang dalam hal ini =M4 dan tidak ada sirkuit yang panjangnya 4! maka berlaku e%=-6. (Sumber 8rllar/ ,-3: Disrete Mathematis and its appliatin# editin – Rsen halaman 22-23) TEOREMA KURATOWSKI
*raf G adalah tidak planar jika dan hanya jika ia mengandung upgraf atau subgraf yang isomorfik dengan K 5 dan K 4!4 atau homeomorfik 9hmemrphi: dengan salah satu dari keduanya.U
Sifat graf Kurato$ski adalah; (. Kedua graf Kurato$ski adalah graf teratur. %. Kedua graf Kurato$ski adalah graf tidak-planar 4. Penghapusan sisi atau simpul dari graf Kurato$ski menyebabkannya menjadi graf planar. 6. *raf Kurato$ski pertama adalah graf tidak-planar dengan jumlah simpul minimum! dan graf Kurato$ski kedua adalah graf tidak-planar dengan jumlah sisi minimum.
a
b
f
a
c
f
d
e
b
c
d
e G
G
1
Kita gunakan Teorema Kurato$ski untuk memeriksa keplanaran graf. *raf G di ba$ah ini bukan graf planar karena ia mengandung upagraf 9G(: yang sama dengan 9 4!4. a i
a b
i
h
c
a b
h
c
d
g
f
e
h
c
d
g
f
e
g
e
*raf G tidak planar karena ia mengandung upagraf 9G(: yang homeomorfik dengan 9 5 9dengan membuang simpul-simpul yang berderajat % dari G(! diperoleh 9 5:. 9Sumber : Matematika Diskrit – Rinaldi Munir Re!isi ke-5 halaman34'-*)
/NT/1 S/A0 AN P#A1ASAN
(. apatkah lima rumah dihubungkan pada dua peralatan tanpa ada koneksi yang bersilanganJ 0embahasan:
(Disrete Mathematis and ts ppliatin# editin – Rsen hal 25 n ,)
%. *ambarkan graf planar berikut tanpa ada persilangan
0embahasan:
(Disrete Mathematis and ts ppliatin# editin – Rsen hal 25 n *)
4. Tentukan apakah graf berikut adalah planar. Bika iya! gambarkan sehingga tidak ada sisi yang bersilangan
0embahasan:
(Disrete Mathematis and ts ppliatin# editin – Rsen hal 25 n )
6. #isalkan sebuah graf planar memiliki 4' sisi. Bika sebuah representasi planar dari graf tersebut membagi bidang menjadi %' $ilayah! berapa banyak sumbu yag dimiliki oleh graf tersebutJ 0embahasan:
(Disrete Mathematis and ts ppliatin# editin – Rsen hal 25 n ,*)
1.C.
PEWARNAAN GRAF
D%7(-(( 1:
Pe$arnaan graf sederhaa adalah pemberian $arna untuk setiap sumbu atau titik pada graf sehingga dua titik yang tidak bertetangga diberikan $arna yang sama.
D%7(-(( 2:
ilangan kromatik sebuah graf adalah bilangan terkecil dari $arna yang diperlukan untuk me$arnai sebuah graf. ilangan kromatik graf * di simbolkan dengan 9*:. 9O disini adalah huruf *reek chi.: 9Sumber: Disrete Mathematis and ts ppliatin# editin – Rsen hal 2-2')
a. ilangan Kromatik dari graf planar adalah tidak lebih dari empat.
b.
ilangan kromatik untuk K n adalah n.
c. ilangan kromatik dari graf bipartit lengkap K m!n! dimana m dan n are positi=e integer adalah %.
d.
ilangan kromatik untuk n! ketika n adalah bilangan genap positif dengan n M 6 adalah % dan ketika n adalah bilangan ganjil positif dengan nM4 adalah 4.
e. *raf
kosong . n memiliki 9G: < (!
karena semua simpul tidak terhubung! jadi untuk me$arnai semua simpul cukup dibutuhkan satu $arna saja.
f. *raf lingkaran dengan n ganjil memiliki 9G: < 4! sedangkan jika n genap maka 9G: < %. g. Sembarang pohon T memiliki 9T : < %. (Sumber: 0resentasi Graph leh Rinaldi Munir slide ,,'-,22)
Aplikasi dari Pe$arnaan *raf (. Penjad$alan ujian akhir %. ,rekuensi Tugas 4. "ndeks Pendaftaran 9Sumber: Disrete Mathematis and ts ppliatin# editin – Rsen hal 3,-32)
/NT/1 S/A0 AN P#A1ASAN (. angun grafik ganda untuk map diba$ah ini. Kemudian temukan berapa banyak $arna yang diperlukan untuk me$arnai map sehingga tidak ada % $ilayah yang bertetangga memiliki $arna yang sama
0embahasan :
(Disrete Mathematis and ts ppliatin# editin – Rsen hal 33 n *) %. Temukan bilangan kromatik untuk graf di ba$ah ini
0embahasan:
(Disrete Mathematis and ts ppliatin# editin – Rsen hal 33 n 6) 4. erapa bilangan kromatik untuk WnJ 0embahasan:
(Disrete Mathematis and ts ppliatin# editin – Rsen hal 33 n ,5) 6. Temukan bilangan kromatik untuk graf di ba$ah ini
0embahasan:
(Disrete Mathematis and ts ppliatin# editin – Rsen hal 33 n ,,)
BAB II POHON
2.1.
PENGENALAN POHON D%7(-(( 1
Sebuah pohon adalah sebuah graf terhubung yang tidak berarah dengan tanpa sirkuit sederhana. 9Sumber : Disrete Mathematis and its appliatin# editin - Rsen hal+ *6 :
T%o%m' 1
Sebuah graf tidak berarah adalah pohon jika dan hanya jika ada jalur sederhana yang unik antara dua dari simpul. 9Sumber : Disrete Mathematis and its appliatin# editin - Rsen hal+ *6 :
Po8o- B%';' D%7(-(( 2:
Sebuah pohon berakar adalah pohon di mana salah satu simpul telah ditunjuk sebagai akar dan setiap tepi adalah diarahkan jauh dari akar.
9Sumber : Disrete Mathematis and its appliatin# editin - Rsen hal+ * :
D%7(-(( 3:
Sebuah pohon berakar disebut pohon m-ary jika setiap simpul internal yang memiliki tidak lebih dari anak-anak m. Pohon ini disebut pohon m-ary penuh jika setiap simpul internal yang memiliki tepat anak m. #-ary pohon dengan m < % disebut pohon biner. 9Sumber : Disrete Mathematis and its appliatin# editin - Rsen hal+ *':
T%m(-o)o(
#isalkan % adalah sebuah simpul di dalam pohon berakar. Simpul y dikatakan '-'; simpul % jika ada sisi dari simpul % ke /+ alam hal demikian! % disebut o'-/*' ( parent) /+ b! c! dan d adalah anak-anak simpul a! a adalah orangtua dari anak-anak itu
F*raf
berakar- terminologi pohon
9. L(-/''- $<'/8
0intasan dari a ke j adalah a! b! e! j. Panjang lintasan dari a ke j adalah 4.
. S'*+'' ;'-+*- $(9)(-
f adalah saudara kandung e! tetapi g bukan saudara kandung e! karena orangtua mereka berbeda.
+. U<'
Pohon diatas merupakan 2papohon dengan b sebagai akarnya.
%. D%'>'/ $+%%%
erajat sebuah simpul adalah jumlah upapohon 9atau jumlah anak: pada simpul tersebut. erajat a adalah 4! derajat b adalah %! erajat d adalah satu dan derajat c adalah '. Badi! derajat yang dimaksudkan di sini adalah derajat-keluar. erajat maksimum dari semua simpul merupakan derajat pohon itu sendiri. Pohon di atas berderajat 4
7.
D'*- $)%'7
Simpul yang berderajat nol 9atau tidak mempunyai anak: disebut daun. Simpul h! i! j! f! c! l! dan m adalah daun.
. S(m<*) D')'m $(-/%-') -o+%
Simpul yang mempunyai anak sekaligus punya parent disebut simpul dalam. Simpul b! d! e! g! dan k adalah simpul dalam.
8. A' $)%%) '/'* T(-;'/ Aras
a
b
1
c
e
h
0
d 2
f
i
g k
j
3
4
l
(.
m
T(-( $8%(8/ '/'* K%+')'m'- $+%
Aras maksimum dari suatu pohon disebut tinggi atau ked alaman pohon tersebut. Pohon di atas mempunyai tinggi 6. 9Sumber : Matematika Diskrit – Rinaldi Munir# re!isi ke-5 hal+ *5'-*6,:
Po<%/$(7'/ & (7'/
Sebuah pohon dengan n simpul memiliki n - ( sisi.
T%o%m' 3
Sebuah pohon penuh m-ary dengan i simpul internal yang mengandung n < mi G ( simpul.
T%o%m' ?
Sebuah pohon penuh m-ary dengan 9i:
n simpul memiliki i < 9n - (: H m simpul internal dan l < E9m - (: n G (F H daun m!
9ii:
i simpul internal yang memiliki n < mi G ( simpul dan l < 9m - (: i G ( daun!
9iii:
daun l memiliki n < 9ml - (: H 9m - (: simpul dan i < 9l - (: H 9m - (: simpul internal.
T%o%m' 5
Ada paling daun mh di pohon m-ary dari ketinggian h+ 9Sumber: Disrete Mathematis and its appliatin# editin – Rsen hal+ 52 - 5*:
/NT/1 S/A0 AN P#A1ASAN (.
iantara graf diba$ah ini mana yang merupakan pohonJ
0embahasan:
(Disrete Mathematis and ts ppliatin# editin – Rsen hal 55 n 2) %.
Ba$ab pertanyaan diba$ah ini mengenai ilustrasi pohon berakar
0embahasan: (Disrete Mathematis
and
ts
ppliatin# editin – Rsen hal 55 n *) 4.
erapa tingkatan untuk setiap simpul Pohon berakar pada soal nomer 4
0embahasan:
(Disrete Mathematis and ts ppliatin# editin – Rsen hal 55 n ) 6.
*ambarkan sub pohon dari pohon pada soal no 4 yang berakar pada
a. a. b. .
c. e.
0embahasan;
(Disrete Mathematis and ts ppliatin# editin – Rsen hal 55 n 4) 2.2.
PENERAPAN POHON '. Po8o- P%-'('- B(-%
Pencarian "tem didalam sebuah daftar adalah tugas yang paling penting yang timbul dalam ilmu computer. Tujuan utama kami adalah untuk melaksanakan sebuah algoritma pencarian yang mencari item secara efisien ketika item-item benar-benar diperintahkan. 1al ini dapat tercapai dengan menggunakan Po8o- <%-'('- 9(-%, yang merupakan pohon biner! yaitu
pohon yang setiap
simpul cabangnya
mempunyai maksimum dua buah anak! anak dengan arah kiri disebut anak kiri9left child: dan anak kanan 9right child:. 0eft subtree adalah pohon yang akarnya anak kiri dan pohon yang akarnya anak kanan disebut dengan right subtree . Algoritma untuk meletakan item atau menambahkan item untuk Pohon pencarian iner
ontoh Penggunaan Pohon Pencarian iner untuk kata mathematis# ph/sis# gegraph/# ;lg/# meterlg/# gelg/# ps/hlg/# and hemistr/ 9menggunakan urutan alphabet:.
(Sumber: Disrete Mathematis and its appliatin# editin – Rsen hal+ 5-54)
9. Po8o- K%<*/*'-
Pohon berakar dapat digunakan untuk memodelkan permasalahan dimana jenis-jenis dari keputusan dipecahkan menjadi penyelesaian! pohon berakar dimana .
Setiap simpul dalam menyatakan keputusan ! sedangkan daun menyatakan solusi! jenis pohon ini dinamakan.
#o-/o8:
Akan diurutkan tiga bilangan a!b! dan c! alur kemungkinannya sbb ;
Pohon keputusan untuk membandingkan bilangan a! b dan c
Proses pengurutan bilangan gambar diatas adalah pertama membandingkan bilangan a dan b apabila bilangan a V b maka a dibandingkan bilangan c. apabila bilangan b V c maka b dan c dibandingkan demikian seterusnya sehingga diperoleh kemungkinan bilangan a V b V c atau a V c V b atau b V a V c atau b V cV a. (Sumber: Matematika Diskrit – Rinaldi Munir re!isi ke-5 hal *5)
TEOREMA 1 ; Sebuah algoritma pengurutan berdasarkan pada perbandingan biner
membutuhkan paling tidak Elog nF perbandingan #OROLLARY 1 ; Angka pembanding digunakan oleh algoritma pengurutan untuk
mengurukan elemen sebanyak n buah berdasarkan pada berbandingan biner adalah 9n log n:
TEOREMA 2 : +ata-rata nilai dari perbandingan digunakan oleh algoritma
pengurutan untuk mengurutkan elemen sebanyak n buah berdasarkan pada berbandingan biner adalah 9n log n: (Sumber: Disrete Mathematis and its appliatin# editin – Rsen halaman 6,62: . Ko+% A')'-
Kode a$alan 9prefi code: adalah himpunan kode! missal kode biner! sedemikian sehingga tidak ada anggota kumpulan yang merupakan a$alan dari anggota yang lain. #o-/o8-',
1impunan >'''!''(! '(!('!((? adalah kode a$alan iba$ah ini merupakan pohon biner dari kode prefi 9'''!''(!'(!('!((? 0
0
1
1
01 0
1
000
001
0
10
1
11
Tetapi >(!''!'(!'''!'''(?! bukan kode a$alan! sebab '' adalah prefi dari '''(.
Kode a$alan mempunyai pohon biner yang bersesuaian. Sisi diberi label ' atau (! pelabelan sisi haru taat-asas! yakni semua sisi kiri dilabeli ' saja 9atau ( saja:! sedangkan sisi kanan dilabeli ( saja 9atau ' saja:. arisan sisi-sisi yang dilalui oleh lintasan dari akar ke daun menyatakan kode a$alan. Kode a$alan ini dituliskan pada daun. (Sumber: Matematika Diskrit – Rinaldi Munir re!isi ke-5 hal *6) +. P%-;o+%'- H*77m'-
alam komunikasi data pesan 9messege: yang dikirim seringkali ukurannya sangat besar sehingga $aktu pengirimannya lama. egitu juga dalam penyimpanan data! arsip9file: yang berukuran besar memakan ruang penyimpanan yang besar pula. Kedua masalah ini dapat diatasi.
Table kode AS"" untuk beberapa karakter sbb ;
Akan dibuat pohon 1uffman untuk pesan AAA engan rangkaian bit ; '('''''('(''''(''('''''('(''''(('(''''(('('''('''('''''( Tabel keseringan muncul dan kode 1uffman untuk string AAA sbb;
Sehingga string AAA dengan kode 1uffman direpresentasikan sbb ; '((''('('(((' Kode 1uffman untuk masing-masing karakter dapat diperoleh dari Pohon 1uffman
2ntuk memperoleh kode 1uffman terlebih dahulu kita harus menghitung keseringan kemunculan masing-masing symbol dalam teks! selanjutnya dibuat pohon biner sbb ;
(: Kita pilih dua simbol dengan probabilitas paling kecil ! pada contoh tersebut huruf dan mempunyai probabilitas keseringan muncul paling kecil. Simbol orang tua dari dan adalah dengan probabilitas keseringan muncul (H3 G (H3 < %H3 yang merupakan jumlah dari probabilitas dan . %: Pilih dua simbol berikutnya yang probabilitasnya kecil ! pada contoh ini dengan probabilitas %H3 dan %H3. kombinasisikan kedua simbol sehinnga diperoleh simpul orang tua dengan probabilitas 6H3. 4: Simpul A diperoleh dengan mengkombinasikan simpul A dan probabilitas keseringan muncul 3H3. 6: dalam pohon biner tersebut cabang pada sisi kiri diberi label ' 9nol: dan sisi kanan diberi label (9satu:. 5: ari pohon 1uffman diperoleh symbol A mempunyai kode huffman '! kode (! kode ('! kode ((' dan symbol mempunyai kode (((.
%. Po8o- E;<%(
Pohon ekspresi ialah pohn biner dengan daun menyatakan perand dan simpul dalam 9termasuk akar: menyatakan peratr . ontoh ekspresi pohon biner 9a G b: X 9c H 9d G e :: dinyatakan dalam pohon biner gambar diba$ah ini.
ompiler menggunakan pohon ekspresi untuk menge=aluasi ekspresi yang ditulis dalam notasi infi yaitu operator berada diantara dua buah operand pada notasi prefik 9polish notation: operand mendahului dua buah operand-nya! sedangkan notasi postfik 9in=erse polish notation: kedua operan mendahului /peratornya. ontoh a. kspresi dalam bentuk infi ; 9aGb:X9cH9dGe:: . b. kspresi dalam bentuk prefi X G abHcGde c. kspresi dalam bentuk postfik abGcdeGHX
/NT/1 S/A0 AN P#A1ASAN
(. iberikan masukan berupa rangkaian karakter dengan urutan sebagai berikut; P! T! ! ,! 1! K! N! S! A! 2! #! "! ! ! W! / a. *ambarkan pohon pencarian biner yang terbentuk b. Tentukan hasil penelurusan preorder! inorder! dan postorder dari pohon ja$aban 9a:
0embahasan:
(Matematika Diskrit-Rinaldi Munir halaman *'' 8nth 4+,')
%. uat sebuah pohon pencarian biner untuk kata banana# peah# apple# pear# nut# mang# dan papa/a menggunakan urutan alphabet. 0embahasan:
(Disrete Mathematis and ts ppliatin# editin – Rsen hal 64 n ,)
4.
Apa kode untuk a# e# i# k# # p dan u jika skema
pengkodean
pada graf diba$ah iniJ 0embahasan:
direpresentasikan
(Disrete Mathematis and ts ppliatin# editin – Rsen hal 64 n 2,)
*+ uat sebuah pohon pencarian biner untuk kata enlg/# phrenlg/# ampanlg/# rnithlg/# ihth/lg/# limnlg/# alhem/# dan astrlg/ menggunakan urutan alphabet. 0embahasan:
(Disrete Mathematis and ts ppliatin# editin – Rsen hal 64 n 2)
2.3.
PENELUSURAN POHON TRANS4ERSAL
A)o(/m' P%-%)**'D%7(-(( 1
#isalkan T pohon berakar berurutan dengan akar r. Bika T hanya terdiri dari r! maka r adalah preorder yang tra=ersal dari T. Bika tidak! misalkan T(! T%!. . . ! Tn adalah sub pohon di r dari kiri ke kanan di T. urutan pertama penelusuran dimulai dengan mengunjungi r. Terus dengan melintasi T( sebelum pengurutan! kemudian T% sebelum pengurrutan! dan seterusnya! sampai Tn dilalui di urutan a$al. 9Sumber: Disrete Mathematis and ts ppliatin# editin – Rsen hal 3)
#o-/o8:
i urutan manakah penelusuran urutan a$al mengunjungi simpul dalam berakar T pohon seperti ditampilkan di *ambar 4J @''9:
0angkah-langkah dari penelusuran urutan a$al dari T ditunjukkan pada *ambar 6. Kami melintasi T di urutan a$al dengan daftar pertama akar! diikuti oleh daftar urutan a$al dari subtree dengan akar b! yang daftar urutan a$al dari subtree dengan akar c 9yang hanya c: dan daftar urutan a$al dari subtree dengan akar d.
9Sumber: Disrete Mathematis and ts ppliatin# editin – Rsen hal 3-5)
D%7(-(( 2
#isalkan T pohon berakar berurutan dengan akar r. Bika T hanya terdiri dari r! maka r adalah inorder tra=ersal dari T. Bika tidak! misalkan T(! T%!. . . ! Tn adalah sub pohon
di r dari kiri ke kanan. "norder tra=ersal dimulai dengan melintasi T( di inorder! kemudian mengunjungi r. Terus oleh melintasi T% di inorder! maka T4 di inorder!. . . ! an akhirnya Tn di inorder. 9Sumber: Disrete Mathematis and ts ppliatin# editin – Rsen hal 5)
D%7(-(( 3
misalkan T pohon berakar berurutan dengan akar r. Bika T hanya terdiri dari r! maka r adalah postorder yang tra=ersal dari T. Bika tidak! misalkan T(! T%!. . . ! Tn adalah sub pohon di r dari kiri ke kanan. The postorder tra=ersal dimulai dengan melintasi T( di postorder! maka T% di postorder!. . . . kemudian tn di postorder! dan berakhir dengan mengunjungi r. 9Sumber: Disrete Mathematis and ts ppliatin# editin – Rsen hal 6)
A)o/(m' <%-%)**'- <%o+%
A)o/(m' <%-%)**'- (-o+%
A)o/(m' <%-%)**'-
9Sumber: Disrete Mathematis and ts ppliatin# editin – Rsen hal < 4) /NT/1 S/A0 AN P#A1ASAN
(. angun sebuah alamat sistem uni=ersal untuk pohon berakar berikut. *unakan urutan simpulnya menggunakan urutan leksikografik pada label mereka
0embahasan:
(Disrete Mathematis and ts ppliatin# editin – Rsen hal '3 n 2)
%. angun sebuah alamat sistem uni=ersal untuk pohon berakar berikut. *unakan urutan simpulnya menggunakan urutan leksikografik pada label mereka
0embahasan:
(Disrete Mathematis and ts ppliatin# editin – Rsen hal '3 n 3)
4. etermine the order in $hich a preorder tra=ersal =isits the =ertices of thegi=en ordered rooted tree
0embahasan:
(Disrete Mathematis and ts ppliatin# editin – Rsen hal '3 n 4)
6. Pada urutan yang mana simpul pada urutan pohon berakar untuk soal nomer 7 menggunakan penelusuran inorderJ
0embahasan:
(Disrete Mathematis and ts ppliatin# editin – Rsen hal '3 n ,,)
2.?.
POHON MERENTANG $ Spanning "ree #isalkan * <9 8! : adalah graf tidak berarah terhubung yang bukan pohon maka graf *
memuat beberapa sirkuit. *raf * dapat diubah menjadi pohon T < 9 8 ! : dengan cara i i memutuskan sirkuit yang ada yaitu ; (. Pilih salah satu circuit lalu putuskan dengan *raf * tetap terhubung.maka jumlah circuit berkurang satu. %. 0akukan proses tersebut sehingga circuitnya hilang dari graf *.
#aka graf * berubah menjadi pohon T! yang disebut dengan Pohon perentang 9spanning tree:. alam hal ini simpul dalam T sama dengan simpul dalam graf * sedangkan sisi dalam T merupakan bagian dari sisi dalam graf *.
T%o%m' 1
Setiap graf terhubung mempunyai paling sedikit satu buah pohon merentang.
T%o%m' 2
#enyatakan bah$a graf yang tidak mengandung sirkuit adalah pohon merentang itu sendiri. Pada graf yang mengandung sirkuit! pohon merentangnya diperoleh dengan cara memutuskan sirkuit yang ada. (Sumber : Matematika Diskrit – Rinaldi Munir re!isi ke-5 **-**4)+
Pencarian Pohon merentang untuk graf terhubung sederhana (. #enggunakan pencarian kedalaman pertama Algoritma ;
%. #enggunakan pencarian luas pertama Algoritma;
/NT/1 S/A0 AN P#A1ASAN
(. Temukan pohon merentang untuk graf berikut dengan menghilangkan sisi pada sirkuit
0embahasan:
(Disrete Mathematis and ts ppliatin# editin – Rsen hal 45 n 3)
%. Temukan pohon merentang untuk graf berikut dengan menghilangkan sisi pada sirkuit
0embahasan:
(Disrete Mathematis and ts ppliatin# editin – Rsen hal 45 n *)
4. Temukan pohon merentang untuk graf berikut a. K 5 b. K 6!6 c. K (!)
d. Y4 e. 5 f. W5
0embahasan:
(Disrete Mathematis and ts ppliatin# editin – Rsen hal 45 n ) 6. 2se depth-Zrst search to produce a spanning tree for the gi=en simple graph. hoose a as the root of this spanning tree and assume that the =ertices are ordered alphabetically.
0embahasan:
(Disrete Mathematis and ts ppliatin# editin – Rsen hal 45 n ,*) 2.5.
POHON MERENTANG MINIMUM
A)o(/m' U-/*; M(-(m*m S<'--(- T%% D%7(-(( 1 Sebuah pohon rentang minimum dalam graf berbobot terhubung adalah pohon rentang
yang memiliki jumlah terkecil dari bobot sisiya .
A)o(/m' P(m
(Sumber : Disrete Mathematis and ts ppliatin# editin – Rsen hal 4'-44) (. Ambil sisi dari graf * yang berbobot minimum! masukkan ke dalam T. %. Pilih sisi 9u! =: yang mempunyai bobot minimum dan bersisian dengan simpul di T! tetapi 9u! =: tidak membentuk sirkuit di T. #asukkan 9u! =: ke dalam T. 4. 2langi langkah % sebanyak n @ % kali. 9Sumber: Matematika Diskrit – Rinaldi Munir re!isi ke-5 hal+ *5,: #o-/o8: engan menggunakan algoritma prim tentukan minimum spanning tree pada graf yang ditunjukkan pada gambar 4. Ba$ab;
(Sumber : Disrete Mathematis and ts ppliatin# editin – Rsen hal 44-') A)o(/m' K*;')
(Sumber : Disrete Mathematis and ts ppliatin# editin – Rsen hal ')
9Asumsi; sisi-sisi dari graf sudah diurut menaik berdasarkan bobotnya: (. T masih kosong %. Pilih sisi 9u! =: dengan bobot minimum yang tidak membentuk
sirkuit di T.
Tambahkan 9u! =: ke dalam T. 4. 2langi langkah % sebanyak n @ ( kali. 9Sumber: Matematika Diskrit – Rinaldi Munir re!isi ke-5 hal+ *55: #o-/o8: engan menggunakan algoritma kruskal tentukan minimum spanning tree pada graf yang
ditunjukkan pada gambar 4.
(Sumber : Disrete Mathematis and ts ppliatin# editin – Rsen hal ',)
/NT/1 S/A0 AN P#A1ASAN (. Tentukan dan gambarkan pohon merentang minimum dari graf di ba$ah ini 9tahapan pembentuknya tidak perlu ditulis:
0embahasan:
(Matematika Diskrit – Rinaldi Munir# halaman *'' nth 4+,6) %. *unakan algoritma Kruskal untuk merancang jaringan komunikasi yang telah dijelaskan pada a$al sesi
0embahasan:
(Disrete Mathematis and ts ppliatin# editin – Rsen hal 45 n 5)
4. *unakan algoritma Prim untuk mencari pohon merentang minimum untuk graf berbobot berikut
0embahasan:
(Disrete Mathematis and ts ppliatin# editin – Rsen hal 45 n 2)
6. *unakan algoritma kurskal untuk mencari pohon merentang minimum untuk graf berbobot pada soal no %
0embahasan:
(Disrete Mathematis and ts ppliatin# editin – Rsen hal 45 n 6)
DAFTAR PUSTAKA
#unir! +enaldi! Matematika Diskrit Re!isi 9elima! "nformatika andung! %'(6.
