INCIDENCIA DEL PESO DE UNA TAPA DE CERVEZA EN LA CALIDAD DEL PRODUCTO
NATALY ORREGO ROLANDO ESTRADA GABRIEL TABORDA DIANA MOLINA
Trabajo de campo
Juan Díaz Valencia Docente Estadística Inferencial
INSTITUCIÓN UNIVERSITARIA ITM INGENIERÍA EN PRODUCCIÓN MEDELLÍN 2010
CONTENIDO Pág. INTRODUCCIÓN
3
1. OBJETIVOS DEL TRABAJO
4
2. DEFINICIÓN DEL PROBLEMA A INVESTIGAR
5
3. OBJETIVOS DE LA INVESTIGACIÓN
6
4. MARCO TEÓRICO
7
4.1 EL TAPÓN CORONA
7
4.2 DISTRIBUCIÓN NORMAL
8
4.3 INTERVALO DE CONFIANZA
9
4.4 INTERVALO DE CONFIANZA PARA UNA PROPORCIÓN
9
4.5 ETAPAS BÁSICAS EN PRUEBAS DE HIPÓTESIS.
10
4.6 PRUEBA DE UNO Y DOS EXTREMOS.
11
5. ESPECIFICACIONES TÉCNICAS DE UNA TAPA DE CERVEZA
12
6. DESARROLLO DE LA INVESTIGACIÓN
13
6.1 PROBLEMAS DISTRIBUCIÓN NORMAL
13
6.2 PROBLEMAS INTERVALOS CONFIANZA CON SIGMA CONOCIDO n:12
14
6.3 PROBLEMAS INTERVALOS CONFIANZA CON SIGMA DESCONOCIDO n: 12
15
6.4 PROBLEMAS INTERVALOS DE PROPORCIÓN n: 12
16
6.5 PROBLEMAS INTERVALOS CONFIANZA CON SIGMA CONOCIDO n: 18
17
6.6 PROBLEMAS INTERVALO CONFIANZA CON SIGMA DESCONOCIDO n: 18
18
6.7 PROBLEMAS DE INTERVALOS DE PROPORCIÓN n: 18
19
6.8 PROBLEMAS TAMAÑO DE MUESTRA n
20
6.9 PROBLEMAS PRUEBAS DE HIPÓTESIS Z
22
6.10 PROBLEMAS VALOR P
23
6.11 PROBLEMAS PRUEBA T
24
7. CONCLUSIONES
25
8. CIBERGRAFIA
26
INTRODUCCIÓN La presente investigación se refiere a un estudio realizado en una compañía cervecera llamada Pilsen S.A. por estudiantes de ingeniería en producción del ITM, donde se pretende analizar la incidencia del peso de una tapa de cerveza en el proceso de inspección y aprobación del área de calidad de esta compañía. Para profundizar en el tema daremos algunas nociones básicas sobre las funciones de las tapas en los envases y su importancia a lo largo de la historia. El invento surgió en 1891 en la ciudad norteamericana de Baltimore, gracias al ingenio de William Painter. La retención del producto es la función básica de cierre o tapa. Mantener el envase cerrado de tal manera que el producto no se fugue o derrame. Conservar el peso, volumen y/o cantidad comprados por el consumidor. La preservación de la calidad del producto puede ser tan simple como prevenir los cambios de presión en un recipiente, o tan complicada como evitar la transmisión de oxígeno o vapor de agua dentro del envase cuando un producto es sensible a alguno de los anteriores. Mantener la presión interna es una función común en las tapas como son las bebidas carbonatadas cuyos envases resisten presiones de hasta 80psi durante varias semanas, mientras los productos son transportados, almacenados y vendidos. De modo similar muchos alimentos son producidos y vendidos con vacío interno, permitiendo mantener la calidad del producto evitando la presencia de oxígeno que podría promover el desarrollo de ciertos microorganismos o la oxidación de las grasas contenidas en los productos. La seguridad del contenido y la prevención de adulteración del mismo es una función muy importante de las tapas utilizadas en muchos productos Los aspectos mencionados anteriormente son las bases fundamentales que nos incentivan a realizar la investigación anteriormente mencionada, por consiguiente daremos inicio a la muestra de los resultados obtenidos.
1. OBJETIVOS DEL TRABAJO ♦ Aplicar los conocimientos adquiridos en la asignatura estadística inferencial. ♦ Diseñar y adaptar Distribuciones de Probabilidad discretas (normal, t) a
situaciones reales para obtener respuestas con un margen de error mínimo.
♦ Reconocer las principales distribuciones de muestreo como herramienta en la predicción de parámetros
2. DEFINICIÓN DEL PROBLEMA A INVESTIGAR Como anteriormente mencionábamos el objetivo de realizar esta investigación es analizar la incidencia del peso de una tapa de cerveza en el proceso de inspección y aprobación del área de calidad de esta compañía. Inicialmente la idea de realizar una investigación referente a el peso de un tapa de cerveza, se genero cuando el área de calidad observo que una muestra representativa del producto presentaba un defecto de calidad critico el cual es llamado fuga de líquidos, la prueba realizada para detectar este tipo de anomalías es llamada prueba de hermeticidad y es efectuada mediante un equipo conocido como campana al vacío. Después de realizar la prueba de hermeticidad se extrajeron las unidades no conformes del mismo y se pudo concluir que el espesor de uno de los componentes principales de la tapas, el linner no cumplía con las medidas establecidas por la empresa este defecto perjudica de forma critica el producto ya que no sella de manera adecuada, permite que se introduzcan agentes contaminantes o que se pierda el gas contenido en la cerveza. Con base en lo anterior se decidió inspeccionar el peso de las tapas para determinar las probabilidades de rechazo de una población de 120 unidades tapas de cerveza. Los métodos que serán tenidos en cuenta para el desarrollo y ejecución de la investigación están basados en conocimientos teóricos de estadística inferencial aportados por el asesor y docente Juan Díaz valencia el cual sugirió emplear modelos de distribución normal, intervalos de confianza, Determinación de tamaños de muestras, análisis de hipótesis entre otras. Mediante el planteamiento de problemas que se puedan presentar dentro de la compañía. Durante el proceso de investigación se presentaron algunos limitantes que entorpecieron la ejecución del proyecto tales como dificultades para extraer información de la empresa cervecera, la publicación de información considerada confidencial (fotos y videos) y la poca disponibilidad de tiempo para analizar las muestras. Afortunadamente estas limitantes pudieron ser superadas exitosamente y el proyecto será enunciado a continuación.
3. OBJETIVOS DE LA INVESTIGACIÓN ♦ Evaluar si el peso de la tapa y su componente (liner) cumplen con las Especificaciones analizadas en la muestra registrada. ♦ Analizar si las diferencias encontradas en la muestra inicial afectan la
calidad del producto envasado.
♦ Determinar si en la toma de la muestra, se evidencian diferencias significativas en el peso, de tal manera se pueda descartar alguna de las tapas.
4. MARCO TEÓRICO 4.1 EL TAPÓN CORONA Es un complemento de las botellas de vidrio o aluminio, generalmente de bebidas, que sirve para taparlas en fábrica, no puede ser reutilizado y para abrirlas el consumidor debe utilizar un abrebotellas, aunque algunos tipos más modernos se pueden girar con la mano para abrir (twist-off corona). Fue inventado por William Painter en el año 1891. A diferencia del tapón convencional, no se inserta dentro de la botella, sino que mediante máquinas especiales se ajustan exteriormente a la boca del envase. Existen fábricas repartidas por todo el mundo donde se elaboran estos tapones y los proveedores son las embotelladoras de los productos: aguas minerales, cerveceras y plantas de bebidas refrescantes de todo tipo. El tapón corona o chapa tiene interiormente un plástico o goma para un ajuste entre la boca de la botella y la chapa con el fin de asegurar la estanqueidad del producto en sí, antiguamente este material era corcho. Cuando el nuevo cierre para botellas fue patentado se llamó crown cork, literalmente corcho corona. Más tarde pasó a ser conocido como crown cap o tapón corona. Pero pronto fue bautizado popularmente como chapa. El invento surgió en 1891 en la ciudad norteamericana de Baltimore, gracias al ingenio de William Painter. Hasta ese momento, los cierres de las bebidas gaseosas no permitían una total estanqueidad. Las pérdidas del líquido envasado o del dióxido de carbono que hacía de él una bebida gaseosa suponían enormes pérdidas para los embotelladores. En ocasiones, el contacto entre el líquido y algunos tapones metálicos habituales en la época había derivado además en serios problemas de salud pública. Las diferentes marcas de bebidas comenzaron a diseñar cierres más reconocibles, más llamativos y sugerentes. La imagen del sello de una botella pasó a ser fundamental en la identidad corporativa de cualquier compañía. Una revisión de los diseños de chapas de las últimas décadas evidencia las evoluciones del grafismo, de la tipografía y de las técnicas de coloreado de chapas que han tenido lugar en este período.
Las chapas han mantenido su diseño original con exiguas variaciones desde la última década del siglo XIX. Sólo la pieza de corcho ha sido sustituida por materiales plásticos, más higiénicos y efectivos. Han surgido variantes, como la denominada twist-off, que permite una apertura manual del envase con un simple giro. Elimina así el principal problema de las chapas, la necesidad de un instrumento para abrir las botellas. No siempre está a mano cuando se tiene sed. 4.2 DISTRIBUCIÓN NORMAL En estadística y probabilidad se llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece en fenómenos reales. La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respecto de n determinado parámetro. La importancia de esta distribución radica en que permite modelar numerosos fenómenos naturales, sociales y psicológicos. Mientras que los mecanismos que subyacen a gran parte de este tipo de fenómenos son desconocidos, por la enorme cantidad de variables incontrolables que en ellos intervienen, el uso del modelo normal puede justificarse asumiendo que cada observación se obtiene como la suma de unas pocas causas independientes. La distribución normal también aparece en muchas áreas de la propia estadística. Por ejemplo, la distribución muestral de las medias muéstrales es aproximadamente normal, incluso si la distribución de la población de la cual se extrae la muestra no es normal.1 Además, la distribución normal maximiza la entropía entre todas las distribuciones con media y varianza conocidas, lo cual la convierte en la elección natural de la distribución subyacente a una lista de datos resumidos en términos de media muestral y varianza. La distribución normal es la más extendida en estadística y muchos test estadísticos están basados en una supuesta "normalidad".
En probabilidad, la distribución normal aparece como el límite de varias distribuciones de probabilidades continuas y discretas. 4.3 INTERVALO DE CONFIANZA Se llama intervalo de confianza en estadística a un par de números entre los cuales se estima que estará cierto valor desconocido con una determinada probabilidad de acierto. Formalmente, estos números determinan un intervalo, que se calcula a partir de datos de una muestra, y el valor desconocido es un parámetro poblacional. La probabilidad de éxito en la estimación se representa por 1 - α y se denomina nivel de confianza. En estas circunstancias, α es el llamado error aleatorio o nivel de significación, esto es, una medida de las posibilidades de fallar en la estimación mediante tal intervalo.1 El nivel de confianza y la amplitud del intervalo varían conjuntamente, de forma que un intervalo más amplio tendrá más posibilidades de acierto (mayor nivel de confianza), mientras que para un intervalo más pequeño, que ofrece una estimación más precisa, aumentan sus posibilidades de error. Para la construcción de un determinado intervalo de confianza es necesario conocer la distribución teórica que sigue el parámetro a estimar, θ. Es habitual que el parámetro se distribuya normalmente.. 4.4 INTERVALO DE CONFIANZA PARA UNA PROPORCIÓN El intervalo de confianza para estimar una proporción p, conocida una proporción muestral pn de una muestra de tamaño n, a un nivel de confianza del (1-α)·100% es:
En la demostración de estas fórmulas están involucrados el Teorema Central del Límite y la aproximación de una binomial por una normal.
4.5 ETAPAS BÁSICAS EN PRUEBAS DE HIPÓTESIS.
Al realizar pruebas de hipótesis, se parte de un valor supuesto (hipotético) en parámetro poblacional. Después de recolectar una muestra aleatoria, se compara la estadística muestral, así como la media (x), con el parámetro hipotético, se compara con una supuesta media poblacional (). Después se acepta o se rechaza el valor hipotético, según proceda. Se rechaza el valor hipotético sólo si el resultado muestral resulta muy poco probable cuando la hipótesis es cierta. Etapa 1.- Planear la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. La hipótesis nula (H0) es el valor hipotético del parámetro que se compra con el resultado muestral resulta muy poco probable cuando la hipótesis es cierta. Etapa 2.-Especificar el nivel de significancia que se va a utilizar. El nivel de significancia del 5%, entonces se rechaza la hipótesis nula solamente si el resultado muestral es tan diferente del valor hipotético que una diferencia de esa magnitud o mayor, pudiera ocurrir aleatoria mente con una probabilidad de 1.05 o menos. Etapa 3.- Elegir la estadística de prueba. La estadística de prueba puede ser la estadística muestral (el estimador no segado del parámetro que se prueba) o una versión transformada de esa estadística muestral. Por ejemplo, para probar el valor hipotético de una media poblacional, se toma la media de una muestra aleatoria de esa distribución normal, entonces es común que se transforme la media en un valor z el cual, a su vez, sirve como estadística de prueba. Consecuencias de las Decisiones en Pruebas de Hipótesis. Etapa 4.- Establecer el valor o valores críticos de la estadística de prueba. Habiendo especificado la hipótesis nula, el nivel de significancia y la estadística de prueba que se van a utilizar, se produce a establecer el o los valores críticos de estadística de prueba. Puede haber uno o más de esos valores, dependiendo de si se va a realizar una prueba de uno o dos extremos. Etapa 5.- Determinar el valor real de la estadística de prueba. Por ejemplo, al probar un valor hipotético de la media poblacional, se toma una muestra aleatoria y se determina el valor de la media muestral. Si el valor crítico que se establece es un valor de z, entonces se transforma la media muestral en un valor de z. Etapa 6.-Tomar la decisión. Se compara el valor observado de la estadística muestral con el valor (o valores) críticos de la estadística de prueba. Después se acepta o se rechaza la hipótesis nula. Si se rechaza ésta, se acepta la alternativa; a su vez, esta decisión tendrá efecto sobre otras decisiones de los administradores operativos, como por ejemplo, mantener o no un estándar de desempeño o cuál de dos estrategias de mercadotecnia utilizar. Pasos de la prueba de hipótesis
1. 2. 3. 4. 5.
Expresar la hipótesis nula Expresar la hipótesis alternativa Especificar el nivel de significancia Determinar el tamaño de la muestra Establecer los valores críticos que establecen las regiones de rechazo de las de no rechazo. 6. Determinar la prueba estadística. 7. Coleccionar los datos y calcular el valor de la muestra de la prueba estadística apropiada. 8. Determinar si la prueba estadística ha sido en la zona de rechazo a una de no rechazo. 9. Determinar la decisión estadística. 10. Expresar la decisión estadística en términos del problema. 4.6 PRUEBA DE UNO Y DOS EXTREMOS. Cuando estudiamos ambos valores estadísticos es decir, ambos lados de la media lo llamamos prueba de uno y dos extremos o contraste de una y dos colas. Con frecuencia no obstante, estaremos interesados tan sólo en valores extremos a un lado de la media (o sea, en uno de los extremos de la distribución), tal como sucede cuando se contrasta la hipótesis de que un proceso es mejor que otro (lo cual no es lo mismo que contrastar si un proceso es mejor o peor que el otro) tales contrastes se llaman unilaterales, o de un extremo. En tales situaciones, la región crítica es una región situada a un lado de la distribución, con área igual al nivel de significación.
5. ESPECIFICACIONES TÉCNICAS DE UNA TAPA DE CERVEZA
El instrumento de medición empleado para el muestreo fue una balanza digital con una precisión de 0.01 gr - 200 gr. La unidad de medida que vamos a emplear son gramos. La tapa corona es elaborada en un material llamado hojalata que es un material constituido por acero y carbono (entre 0,03% y 0,13%), recubierto por una capa de estaño.
MUESTREO DatosDE e (CE Bas
Peso N° N° Desvestp en gr 1 2,071 31 2 Desvest 2 2,086 32 2 6. DESARROLLO DE LA INVESTIGACIÓN
6.1 PROBLEMAS DE DISTRIBUCIÓN NORMAL 1. El peso de las tapas de cerveza empleadas para sellar botellas de vidrio se
distribuye normalmente con una media de 2,0840 y una desviación estándar de 0,0219. ¿qué proporción de tapas de cerveza tiene un peso mayor de 2,088? µ = 2,084 g σ = 0,0219 g X = peso de las tapas de cerveza empleadas para sellar botellas de vidrio en gramos 2,088 − 2,084 x −µ P ( X ≥ 2,088 ) = 1 − P ( X ≤ 2,088 ) =1 − P ≤ =1 − P ( z ≤ 0,18 σ 0,0219
)
= 1 – 0,5714 = 0,4286 R// La proporción de tapas que tiene un peso mayor de 2,088 es 0,4286 2. En la empresa PILSEN S.A el jefe de la línea de cervezas necesita saber cuál
es el porcentaje de tapas de cerveza que tienen entre 2,020 y 2,060 gramos. se ha podido determinar que el peso de las tapas de cerveza se distribuyen normalmente con una media de 2,0840 gr y una desviación estándar de 0,0219 gr. µ = 2,0840 g σ = 0,0219 g x −µ 2,060 − 2,084 2,020 − 2,084 P ( 2,020 ≤ X ≤ 2,060 ) = P ≤ ≤ = P ( − 2,92 ≤ z ≤ −1,09 0,0219 σ 0,0219
P(Z< -1,09) - P(Z<-2,92)= 0,1379 – 0,0018 = 0,1361 R// El porcentaje de tapas que tienen entre 2,020 y 2,060 gramos es de 13,61%
)
6.2 PROBLEMAS DE INTERVALOS DE CONFIANZA CON SIGMA CONOCIDO n: 12 Suponga que el jefe de línea de una planta de producción de cervezas sabe que el peso de las tapas para cerveza es una variable aleatoria con distribución aproximadamente normal, con una desviación estándar de 0,0219 gr. Una muestra aleatoria de 12 tapas permite obtener un peso promedio de 2,073 g. Establezca un intervalo de confianza de 95%,98% y 99% para el promedio del peso por tapa. a) µ = 2,084 g σ = 0,0219 g Intervalo de confianza = 95 % Z α = Z 0 , 025 = 1.96 2
X −( Z α )( σ /
n ) ≤ µ ≤ X +( Z α (σ /
2
n)
2
2,073 −(1.96 )( 0,0219 / 12 ) ≤ µ ≤ 2,073 +(1.96 )( 0,0219 / 12 )
2,06061 ≤ µ ≤ 2,0854
R// El peso medio real estará en el intervalo 2,06061 ≤ µ ≤ 2,0854 con una confianza del 95%. b) µ = 2,084 g σ = 0,0219 g Intervalo de confianza = 98 % Z α = Z 0 , 01 = 2.326 2
X −( Z α )( σ /
n ) ≤ µ ≤ X +( Z α (σ /
2
n)
2
2,073 −( 2.326 )( 0,0219 / 12 ) ≤ µ ≤ 2,073 +( 2.326 )( 0,0219 / 12 )
2,058 ≤ µ ≤ 2,088
R// Se concluye con un 98% de confianza que el peso de la tapas se encuentra entre 2,058 y 2,088 c) µ = 2,084 g
σ = 0,0219 g Intervalo de confianza = 99 % Z α = Z 0, 005 = 2,575 2
X − ( Z α )(σ / n ) ≤ µ ≤ X + ( Z α (σ / n ) 2
2
2,073 −( 2.575 )( 0,0219 / 12 ) ≤ µ ≤ 2,073 +( 2.575 )( 0,0219 / 12 )
2,0567 ≤ µ ≤ 2,0893
R// El peso medio real estará en el intervalo con una confianza del 99%. 6.3 PROBLEMAS DE INTERVALOS DE CONFIANZA CON SIGMA DESCONOCIDO n: 12 Para el peso de las tapas de cerveza construir un intervalo de confianza de 95%, 98% y 99% para la media poblacional con n=12 y una media muestral de 0,0021 kg y una desviación estándar de 0,000016 kg. a) Intervalo de confianza = 95 % Z α = Z 0 , 025 = 1.96 2
X − ( Z α )( S / n ) ≤ µ ≤ X + ( Z α ( S / n ) 2
0,0021 −(1.96 )( 0,000016
2
/ 12 ) ≤ µ ≤ 0,0021 +(1.96 )( 0,000016
0,0020909 ≤ µ ≤ 0,002109052 2.089 ≤ µ ≤ 2.1090 Gramos
/ 12 )
Kilogramos
R// Se concluye con un 95% de confianza que el peso de la tapas se encuentra entre 2,089 y 2,1090 gramos. b) Intervalo de confianza = 98 % Z α = Z 0 , 01 = 2.326 2
X − ( Z α )( S / n ) ≤ µ ≤ X + ( Z α ( S / n ) 2
0,0021 −( 2.326 )( 0,000016
2
/ 12 ) ≤ µ ≤ 0,0021 +( 2.326 )( 0,000016
0,002089 ≤ µ ≤ 0,002111 Kilogramos 2.089 ≤ µ ≤ 2.111 Gramos
/ 12 )
R// Se concluye con un 98% de confianza que el peso de la tapas se encuentra entre 2,089 y 2,111 c) Intervalo de confianza = 99 % Z α = Z 0, 005 = 2,575 2
X − ( Z α )( S / n ) ≤ µ ≤ X + ( Z α ( S / n ) 2
2
0,0021 −( 2.575 )( 0,000016
/ 12 ) ≤ µ ≤ 0,0021 +( 2.575 )( 0,000016
/ 12 )
0,002096 ≤ µ ≤ 0,0021034 Kilogramos 2.096 ≤ µ ≤ 2.1034 Gramos
R// Se concluye con un 99% de confianza que el peso de la tapas se encuentra entre 2,096 y 2,1034. 6.4 PROBLEMAS INTERVALOS DE PROPORCIÓN n: 12 Un ingeniero de producción de una gran cervecería lleva a cabo un estudio para determinar la proporción de tapas utilizadas para un lote de producción que tiene un atributo no conforme (tienen un escasez de material y por tal razón no cumple con los estándares de peso requeridos por la empresa).Se toma una muestra aleatoria de 12 tapas y 3 no cumplen con el peso requerido. Obtenga intervalo de confianza al 95%, 98% y 99% para la proporción real de tapas utilizadas que no cumplen con los requisitos. a) Intervalo de confianza = 95 % Z α = Z 0 , 025 = 1.96 2
3 = 0,25 12 p (1 − p ) p − ( Z α )( ) ≤ π ≤ p + ( Z α )( n 2 2 p=
0.25 − (1.96 )(
p (1 − p ) ) n
0.25 (0.75 ) ) ≤ π ≤ 0.25 + (1.96 )( 12
0.005 ≤ π ≤ 0.495
b) Intervalo de confianza = 98 %
0.25 (0.75 ) ) 12
Z α = Z 0 , 01 = 2.326 2
3 = 0,25 12 p(1 − p ) p − ( Z α )( ) ≤ π ≤ p + ( Z α )( n 2 2 p=
0.25 − (2.326 )(
p(1 − p) ) n
0.25 (0.75 ) ) ≤ π ≤ 0.25 + (2.326 )( 12
− 0.04075 ≤ π ≤ 0.54075
0.25 (0.75 ) ) 12
c) Intervalo de confianza = 99 % Z α = Z 0, 005 = 2,575 2
p=
3 = 0,25 12
p − ( Z α )( 2
p (1 − p ) ) ≤ π ≤ p + ( Z α )( n 2
0.25 − ( 2.575 )(
p (1 − p ) ) n
0.25 (0.75 ) ) ≤ π ≤ 0.25 + ( 2.575 )( 12
− 0.071875 ≤ π ≤ 0.571875
0.25 (0.75 ) ) 12
6.5 PROBLEMAS DE INTERVALOS DE CONFIANZA CON SIGMA CONOCIDO n: 18 El peso de las tapas para cerveza es una variable aleatoria con distribución normal, con una desviación estándar de 0,0219 gr. Una muestra aleatoria de 18 tapas permite obtener un peso promedio de 2,077 g. Establezca un intervalo de confianza de 95%,98% y 99% para el promedio del peso por tapa.
a) Intervalo de confianza = 95 % Z α = Z 0 , 025 = 1.96 2
X − ( Z α )(σ / n ) ≤ µ ≤ X + ( Z α (σ / n ) 2
2
2,077 −(1.96 )( 0,0219 ) / 18 ) ≤ µ ≤ 2,0077 +(1.96 )( 0,0219 ) / 18 )
2,06688 ≤ µ ≤ 2,08711
R// El peso medio real estará en este intervalo con una confianza del 95%. b) Intervalo de confianza = 98 % Z α = Z 0 , 01 = 2.326 2
X − ( Z α )(σ / n ) ≤ µ ≤ X + ( Z α (σ / n ) 2
2
2,077 −( 2.326 )( 0,0219 / 18 ) ≤ µ ≤ 2,077 +( 2.326 )( 0,0219 / 18 )
2,064991 ≤ µ ≤ 2,089008
R// El peso medio real estará en este intervalo con una confianza del 98%. c) Intervalo de confianza = 99 % Z α = Z 0, 005 = 2,575 2
X − ( Z α )(σ / n ) ≤ µ ≤ X + ( Z α (σ / n ) 2
2
2,077 −( 2.575 )( 0,0219 / 18 ) ≤ µ ≤ 2,077 +( 2.575 )( 0,0219 / 18 )
2,063703 ≤ µ ≤ 2,09029
R// El peso medio real estará en este intervalo con una confianza del 99%. 6.6 PROBLEMAS DE INTERVALO DE CONFIANZA CON SIGMA DESCONOCIDO n: 18 Para el peso de las tapas de cerveza construir un intervalo de confianza de 95%, 98% y 99% para la media poblacional con n=18 y una, media muestral de 2,077 g y una desviación estándar de 0,018 g a) Intervalo de confianza = 95 % Z α = Z 0 , 025 = 1.96 2
X − ( Z α )( S / n ) ≤ µ ≤ X + ( Z α ( S / n ) 2
2
2,077 −(1.96 )( 0,018 / 18 ) ≤ µ ≤ 2,077 +(1.96 )( 0,018 / 18
2.068684 ≤ µ ≤ 2,085315
b) Intervalo de confianza = 98 % Z α = Z 0 , 01 = 2.326 2
X − ( Z α )( S / n ) ≤ µ ≤ X + ( Z α ( S / n ) 2
2
2,077 −( 2.326 )( 0,018 / 18 ) ≤ µ ≤ 2,077 +( 2.326 )( 0,018 / 18 )
2,06713 ≤ µ ≤ 2,08686
c) Intervalo de confianza = 99 % Z α = Z 0, 005 = 2,575 2
X − ( Z α )( S / n ) ≤ µ ≤ X + ( Z α ( S / n ) 2
2
2,077 −( 2.575 )( 0,018 / 12 ) ≤ µ ≤ 2,077 +( 2.575 )( 0,018 / 12 )
2,06607 ≤ µ ≤ 2,08792
6.7 PROBLEMAS DE INTERVALOS DE PROPORCIÓN n: 18 Determinar la proporción de tapas que cumplen con los requerimientos de calidad para un lote de producción; .Se toma una muestra aleatoria de 18 tapas y 6 no cumplen con el peso requerido, se desea obtener un intervalo de confianza de 95%, 98% y 99% en la estimación de la proporción verdadera de la población a) Intervalo de confianza = 95 % Z α = Z 0 , 025 = 1.96 2
p=
12 = 0,6666 18
p − ( Z α )( 2
p (1 − p ) ) ≤ π ≤ p + ( Z α )( n 2
p (1 − p ) ) n
0.6666 − (1.96 )(
0.6666 (0.3334 ) ) ≤ π ≤ 0.6666 + (1.96 )( 18
0.4488 ≤ π ≤ 0.8844
0.6666 (0.3334 ) ) 18
b) Intervalo de confianza = 98 %
Z α = Z 0 , 01 = 2.326 2
3 = 0,25 12 p (1 − p ) p − ( Z α )( ) ≤ π ≤ p + ( Z α )( n 2 2 p=
0.6666 − ( 2.326 )(
p (1 − p ) ) n
0.6666 (0.3334 ) 0.6666 (0.3334 ) ) ≤ π ≤ 0.6666 + ( 2.326 )( ) 18 12
0.4081 ≤ π ≤ 0.9251
c) Intervalo de confianza = 99 % Z α = Z 0, 005 = 2,575 2
p=
3 = 0,25 12
p − ( Z α )( 2
p(1 − p ) ) ≤ π ≤ p + ( Z α )( n 2
0.6666 − ( 2.575 )(
p(1 − p) ) n
0.6666 (0.3334 ) ) ≤ π ≤ 0.6666 + (2.575 )( 18
0.3804 ≤ π ≤ 0.9527
6.8 PROBLEMAS TAMAÑO DE MUESTRA n
0.6666 (0.3334 ) ) 18
Cuál debería ser el tamaño de la muestra para que el error de estimación absoluto en el peso de las tapas sea inferior a 5 gramos con una desviación estándar de 8,88 g y con una confianza del 95%, 98% y 99%. a) Intervalo de confianza = 95 % P ( Z ≤ z ) = 0,95 z =1,96 2
Χ*µ =n σ / n 2
8,88 *1.96 =n 5
n = 11 .8997 = 12
b) Intervalo de confianza = 98 % P ( Z ≤ z ) = 0,98
z = 2,326 2
Χ*µ =n σ / n 2
8,88 * 2.326 =n 5 n =17 ,06 =17
c) Intervalo de confianza = 99 % P ( Z ≤ z ) = 0,99
z = 2,575 2
Χ*µ =n σ / n 2
8,88 * 2.575 =n 5 n = 20 ,91 = 21
6.9 PROBLEMAS PRUEBAS DE HIPÓTESIS Z
Se estudia el peso en gramos de tapas de cervezas. De una m.a de 20 tapas se obtiene un peso promedio de 2,075 g y una desviación estándar de 0,0178 g. ¿Se puede afirmar que el peso real no es del 2,066 g? Con α = 0,05 y con α = 0,01. a) Con α = 0,05 H 0 : µ = 2,066 Vs H a : µ ≠ 2,066
Zc =
X − x 2,075 − 2,066 = = 2,26 σ 0,0178 n 20
Z α = Z 0 , 05 =1.645 Re_ H 0 : si ´ Z c Z α
Como 2.26 >1.645
Rechazamos Ho.
R// Según los datos observados, el peso medio de las tapas de cerveza no es de 2,066 g.
b) Con α = 0,01 H 0 : µ = 2,066 Vs H a : µ ≠ 2,066
Zc =
X − x 2,075 − 2,066 = = 2,26 σ 0,0178 n 20
Z α = Z 0 , 01 = 2.326 Re_ H 0 : si ´ Z c Z α
Como 2,26 < 2,326
No podemos rechazar Ho.
6.10 PROBLEMAS VALOR P a) Con α = 0,05 H 0 : µ = 2,066 Vs H a : µ ≠ 2,066 Re_ H 0 : si´ p < α
Zc =
X − x 2,075 − 2,066 = = 2,26 σ 0,0178 n 20
p= P ( Z ≥ Z c
)
=1 − P ( Z ≤ 2.26 ) =1 − 0,9881 = 0,0119
R// Como 0,0119 < 0,05 Rechazamos Ho. Según los datos observados, el peso medio de las tapas de cerveza no es de 2,066 g. b) Con α = 0,01 H 0 : µ = 2,066 Vs H a : µ ≠ 2,066 Re_ H 0 : si´ p < α
Zc =
X − x 2,075 − 2,066 = = 2,26 σ 0,0178 n 20
p= P ( Z ≥ Z c
)
=1 − P ( Z ≤ 2.26 ) =1 − 0,9881 = 0,0119
R// Como 0,0119 > 0,01
No podemos Rechazar Ho.
6.11 PROBLEMAS PRUEBA T Dos proveedores fabrican tapas para cerveza. La importancia radica en el peso de estas, la cual se mide en gramos. Una muestra aleatoria de 30 tapas suministrada por el proveedor X, arrojan un peso promedio de 2.072 y una desviación estándar de 0.0182. Del proveedor Y se toma una muestra aleatoria de 25 tapas donde su peso promedio fue 2.073 y una desviación estándar de 0.0184. ¿Puede decirse que los tapas del proveedor Y tienen mayor peso promedio al impacto que los tapas del proveedor X? Use α = 0.05
R// Como t (-0.19651) < (-1.96) se rechaza H 0 , se puede concluir que las tapas del proveedor Y tienen mayor peso promedio que las tapas del proveedor x. 7. CONCLUSIONES El aporte fundamental de esta investigación fue satisfactorio ya que nos permitió demostrar que el peso es una herramienta determinante para prevenir posibles fallas o defectos de calidad de las tapas de la cerveza. Al mismo tiempo permite profundizar, que otras incidencias tiene esta materia prima y en que lo afecta si sus características, en este caso el peso de la tapa o tapón corona, y como puede incidir en la calidad del producto. Con este trabajo logramos comprender el funcionamiento del liner, así como su importancia en el peso de la tapa, que papel cumple es este, y como podemos determinar un mejor peso de esta.
8. CIBERGRAFIA
♦ http://www.monografias.com/trabajos17/pruebas-de-hipotesis/pruebas-dehipotesis.shtml ♦ http://www.monografias.com/trabajos17/pruebas-de-hipotesis/pruebas-dehipotesis.shtml ♦ http://es.wikipedia.org/wiki/Tap%C3%B3n_corona ♦ http://tectonicablog.com/?p=7799 ♦ http://www.grupobavaria.com/espanol/home.php
