unidad 1

Libro de Actividades - Primer grado de secundaria

2

MATEMÁTICA 1 | Manuel Coveñas Naquiche

CONJUNTOS

Presentación

Lord Kelvin (W. Thomson) ilustre físico inglés resaltaba los conocimientos cuantitativos: “Suelo decir con frecuencia que cuando se puede medir aquello de que se habla y expresarlo en números, se sabe algo acerca de ello; pero nuestro saber es insuficiente e insatisfactorio mientras no somos capaces de expresarlo en números; lo demás puede significar el comienzo del conocimiento, pero nuestros conceptos apenas habrán avanzado en el camino de la ciencia, y esto cualquiera que sea la materia de que se trate“. Mediciones y números, hay mediciones directas, con un instrumento de medición, y mediciones indirectas, mediante el cálculo con fórmulas; en fin, mediciones, números, formas y relaciones son los que dan vida a la matemática y son conceptos relacionados con el quehacer de las personas en su vida cotidiana. Por ello, los conocimientos matemáticos se organizan en “Número, relaciones y funciones“, “Geometría y medición“ y “Estadística y probabilidad“. El texto de Matemática Serie COVEMATIC para el nivel secundaria presenta un “Texto de grado“ y un “Libro de actividades“. En el Texto de grado se exponen los temas de cada unidad con una didáctica de acuerdo al grado de estudio. Cada unidad presenta las siguientes secciones: a. Activo mis saberes. b. Desarrollo de los contenidos. c. Ejercicios y problemas resueltos. d. Actividad para la investigación. e. Tema transversal. f. Juicio crítico - Reflexión - Amplío mis conocimientos. El Libro de actividades presenta las actividades que el alumno debe resolver para desarrollar las capacidades del área de Matemática: “Razonamiento y demostración“, “Comunicación matemática“ y “Resolución de problemas“. Cada unidad presenta las siguientes secciones: a. Manolito te reta. b. Actividad para la clase. c. Actividad para la casa. d. Aplico mis aprendizajes e. Pongo a prueba mis aprendizajes. f. Autoevaluación. Metacognición El texto de Matemática SERIE COVEMATIC brinda abundante información teórica y numerosos problemas, resueltos con estrategias sencillas, que ayudan a los alumnos a comprender, afianzar y ampliar sus conocimientos teóricos. Además, el texto presenta situaciones problemáticas que incitan al pensamiento creativo, que es la capacidad que permite a los estudiantes generar ideas novedosas para resolver problemas relacionados con sus estudios y también de su vida cotidiana, de manera interesante y con originalidad. El pensamiento creativo complementa al pensamiento lógico generando nuevas ideas, que éste las desarrolla. Todo lo expuesto ha encaminado mis voluntades y esfuerzos en bien de la “Educación matemática escolar“ de mi país. El Autor.

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 1

3

Indice Capitulo 1 Teoría del conjuntos .................................................................... 7 Manolito te Reta Crucimática Actividades para la Clase Actividades para la Casa Aplico mis aprendizajes Pongo a prueba mis aprendizajes Evaluación

Capítulo 2 Números naturales………………………………………………… 33 Manolito te Reta Crucimática Actividades para la Clase Actividades para la Casa Aplico mis aprendizajes Pongo a prueba mis aprendizajes Evaluación

Capítulo 3 Sistema de numeración .............................................................. 65 Manolito te Reta Crucimática Actividades para la Clase Actividades para la Casa Aplico mis aprendizajes Pongo a prueba mis aprendizajes Evaluación

Capitulo 4

Divisibilidad .............................................................................. 87

Manolito te Reta Crucimática Actividades para la Clase Actividades para la Casa Aplico mis aprendizajes Pongo a prueba mis aprendizajes Evaluación

Capitulo 5

Números enteros ....................................................................... 121


Capítulo 6

Números racionales ................................................................... 161


Capitulo 7 Funciones y proporcionalidad .................................................... 207 Manolito te Reta Crucimática Actividades para la Clase Actividades para la Casa Aplico mis aprendizajes Pongo a prueba mis aprendizajes Evaluación

Capitulo 8 Razones proporciones ................................................................ 229 Manolito te Reta Crucimática Actividades para la Clase Actividades para la Casa Aplico mis aprendizajes Pongo a prueba mis aprendizajes Evaluación

Capítulo 9 Tanto por ciento y porcentaje ..................................................... 247 Manolito te Reta Crucimática Actividades para la Clase Actividades para la Casa Aplico mis aprendizajes Pongo a prueba mis aprendizajes Evaluación

Capítulo 10

Expresión algebraicas .............................................................. 265


Capítulo 11

Ecuaciones e inecuaciones ...................................................... 305


Capítulo 12

Geometría Plana ..................................................................... 333


Capítulo 13

Transformaciones geométricas ............................................... 395


Capítulo 14

Sólidos geométricos................................................................. 415


Capítulo 15

Sistema internacional de unidades S.I................................... 433


Capítulo 16

Estadística y probabilidades ................................................... 451


Conjuntos

2.

Resuelve problemas de contexto real y matemático que implican la organización de datos utilizando todo sobre conjuntos.

las estrategias y los procesos para re1. Organiza solver problemas relacionados con conjuntos.

Resolución de problemas

conjuntos.

2. símbolos utilizados en las operaciones con

Interpreta el significado matemático de los

gráfica y simbólicamente conjuntos 1. Representa y sus operaciones.

Comunicación Matemática

conjuntos.

las herramientas adecuadas en 2. Selecciona cada situación para resolver problemas entre

procesos matemáticos para resolver 1. Aplica operaciones con conjuntos.

Razonamiento y demostración

Aprendizajes esperados

Desde hace mucho se ha tratado de tener a la teoría de conjuntos como el pilar fundamental de ese frondoso árbol que denominamos Matemática . Por ello se ha trabajado con mucho afán en su completa elaboración. Fue Georg Cantor quien sembró esta por allá en el siglo XIX y desde entonces un gran número de muy buenos matemáticos han desfilado por ella haciendo nuevos e interesantes aportes.

1

Unidad

Muestra seguridad y perseverancia al resolver problemas preguntas de sus tareas.

2. Toma la iniciativa para resolver

1.

Actitudes ante al Área

Responsabilidad

Solidaridad

Valores

Educación de calidad para el bien comun

Tema Transversal

Libro de Actividades - Primer grado de secundaria En el siguiente SUDOKU el objetivo es rellenar una cuadricula de 9 x 9 celdas (81 cuadriculas) dividido en sub cuadriculas de 3 x 3 (también llamada cajas o regiones) con las cifras del 1 al 9 de tal manera que puedan desarróllalo y hallar las letras que faltan. Luego indicar en el diagrama de Venus el número de elementos de 1. n(A) 2. n(A

B)

3. n(A

B

6

9

a

8

h

6

9

1

8

5. n( )

d

9

Si: D={ ; 5; θ} G={5; 8; } son llamados conjuntos... Si: A={1; 3; 5} B={3; 5; 6} el n (A-B) es...

3

es unitario, el valor de (x; y

)

Si: A={1;2;3} B={1;2;4;6} C={0;1;2;5} n(A B C) es:

A) El ... de un conjunto es el número de elementos que posee un conjunto. B) P={2;2;2;2}; es un conjunto...

4 2

6

8

7

5

7

La notación A B se lee: “A diferencia...B”

Si: A={ } B= AyB

representan


9

3 5 6

6 2

9

1

4 1

6

7

5

Las notaciones: se leen:”.......... del conjunto A”

8 el cardinal de A es...

1 A es un conjunto ...

5

entonces P(C) tiene ... elementos.

8

f

e

Es verdadero o falso ¿ c ?

8

1

Conjuntos... son aquellos que no tienen elemento común.

El conjunto B={7x+3; 17; y2+1}

Si Z={ }, n[P(Z)] es ...

7 b 1 8

2 c

C)

4. n(A' – B')

3

g

CONJUNTOS

ACTIVIDADES PARA LA CLASE

2

Dado el conjunto: A = {1; 2; 3; {4}; {5}} Indica si es verdadero(V) o falso (F).

1

1∈A

... ( V )

4∈A

... ( F )

2∈A

... ( V )

{4} ∈ A

... ( V )

4∉A

... ( V )

{5} ∈ A

... ( F )

5∈A

... ( F )

3∈A

... ( F )

φ∈A

... ( F )

{1;2} ∈ A ... ( F )

B = {3x-1/x ∈

; 2 < x ≤ 7}

Si: 2 < x ≤ 7 & x = {3; 4; 5; 6; 7} Por la condición: 3x – 1= {8; 11; 14; 17; 20} ∴ B = {8; 11; 14; 17; 20}

Determina por extensión el siguiente conjunto.

3

Determina por extensión el siguiente conjunto.

4

Determina por comprensión los siguientes conjuntos.

•

M = {9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17} M = {x + 8 / x ∈ ; 1 ≤ x ≤ 9}

Si: 5 < x < 15 Entonces: x ∈ {6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14} Por la condición:

•

N = {5; 6; 7; 8; ... ; 99} N = {x + 4 / x ∈ ; 1 ≤ x ≤ 95}

x–1 ∈ 2

•

P = {1; 4; 9; 16; 25; ... ; 100}

x–1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 = ; ; ; ; ; ; ; ; 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

P = {x2 / x ∈ ; 1 ≤ x ≤ 10} •

∴ C = {3; 4; 5; 6}

5

Q = {12; 15; 18; 21; 24; 27; 30} Q = {3x / x ∈ ; 4 ≤ x ≤ 10}

Determina por extensión el conjunto: L = {x3 - x/x ∈ ∧ x < 4} y dar como respuesta la suma de sus elementos.

Determina el cardinal del siguiente conjunto:

Si:

Si: x < 4 & x = {0; 1; 2; 3} Por condición: x3 – x ∈ {0; 0; 6; 24} Se deduce que: ∴ La suma de elementos será: 6 + 24 = 30

Rpta.

6

4 < x < 30 ∧

x ∈ 5

Se deduce que: x = 5 x ∈ { 5;...; 10;...; 15;...; 20;..., 25 } 5 10 15 20 25 ; ; ; ; 5 5 5 5 5 x = { 1; 2; 3; 4; 5 } ∴ n (D) = 5 D=

30

Rpta.

5


9


7 Si los conjuntos A y B son iguales, calcula x ⋅ y. A = {x + 5 ; 16} B = {3y – 2 ; 9}

8 El siguiente conjunto es unitario: A = {5a - 3 ; 7 ; b + 1} Calcula: a+b Si A es un conjunto unitario

Si son conjuntos iguales: 3y – 2 = 16 3y = 18 y=6

5a – 3 = 7 5a = 10 a=2

x+5=9 x=4

b+1=7 b=6

∴ a+b=2+6=8

∴ x ∙ y = 4 ∙ 6 = 24 Rpta.

24

9 ¿Cuántos de los siguientes conjuntos son unitarios?

Rpta.

10 ¿Cuántos de los siguientes conjuntos son vacíos?

M = {x/x es vocal de la palabra CATARATA}

D = {x/5x – 3 = 20 ; x ∈ }

N = {x/x ∈ ; 5 < x < 7}

E=

P = {5; 5; 5} Q = {2x/x ∈ R = {x ∈

F = {x/x ∈

; x2 = 25}

8

; 5 < x2 < 10}

G=

/3x – 1 = 8}

H=

Rpta. 5 11 Con respecto a los conjuntos A y B se sabe lo siguiente: • A tiene 32 subconjuntos. • B tiene 127 subconjuntos propios. Calcula: n(A) + n(B) Si: A tiene 32 subconjuntos. 2n(A) = 32 2n(A) = 25 & n(A) = 5 y: B tiene 127 subconjuntos propios. 2n(B) – 1= 127 2n(B) = 128 2n(B) = 27 & n(B) = 7 ∴ n(A) + n(B) = 12

10

Rpta.


Rpta. 3 12 Dados los siguientes conjuntos iguales: A = {3a+b ; 27} B = {3a - b ; 243} Calcula: a ⋅ b. Si son conjuntos iguales, se tiene: 3a – b = 27 3a – b = 33 &a–b=3

12

a– b=5 a+b=3 2a = 8 a=4 &4–b=5 b=1

3a + b = 243 3a + b = 35 &a+b=5 ∴ a ∙ b = (4) (1) = 4

Rpta. 4

CONJUNTOS

Sol. 9

M = {x/x es vocal de la palabra CATARATA}

∴ M = {A}

N = {x/x ∈ ; 5 < x < 7}

∴ N = {6} P = { 5, 5, 5 }

conjunto unitario

∴ P = {5}

conjunto unitario

Q = {2x/x ∈ ; x2 = 25}

Si x2 = 25

conjunto unitario

R = { x ∈ ; 3x – 1= 8}

Si 3x – 1 = 8 3x = 9 x=3 ∴ R = {3} conjunto unitario

Hay 5 conjuntos unitarios Sol. 10

D = {x/5x – 3 = 20; x ∈ } Si: 5x – 3 = 20 5x = 23 x=

& n = {2; 3; 4; 5}

De la condición:

x=5

&

n +1 /n∈ ;1
conjunto unitario

∴ Q = {10}

G=

23 ∉ 5

∴ D={}

x ∈ / x ∈ ; 2 < x < 4} E={ 2

Si n = 2

2 +1 3 = = 3∈ 2–1 1

n=3

3 +1 4 = = 2∈ 3–1 2

n=4

4 +1 5 = =∉ 4–1 3

n=5

5 +1 6 = =∉ 5–1 4

∴ G = {2; 3} ≠ {}

G=

n / n ∈ N; 2 < n < 7 n+1 Si: 2 < n < 7 & n = 3; 4; 5; 6

3 3 = =∉N 3+1 4

4 4 = =∉N 5 4+1

5 5 = =∉N 6 5+1

6 6 = = ∉N 7 6+1

∴ H={} Existen 3 conjuntos vacios.

Si: 2 < x < 4 & x = 3 3 x = ∉ 2 2

∴ E={}

F = { x/x ∈ ; 5 < x2 < 10} Si: 5 < x2 < 10

& x=3

∴ F={3}≠{}


11


ACTIVIDADES

Ser lider es promover las buenas relaciones entre los demas” 1

Dado el conjunto: J = {a, b, {c}, {d},{e, f}}

PARA LA CASA

2

Evalúa el siguiente conjunto por extensión: A ={2x/x ∈ ∧ 2 ≤ x ≤ 10}

Indica verdadero (V) o falso (F)

Resolución:

a⊂J

... ( F )

φ⊂J

... ( V )

Si: 2 ≤ x ≤ 10 & x = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}

{a} ⊂ J

... ( V )

{e,f} ⊂ J

... ( F )

Entonces 2x ∈ {4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20}

{c} ⊂ J

... ( F )

{{e,f}} ⊂ J

... ( V )

{{d}} ⊂ J ... ( V )

{b,{c}} ⊄ J ... ( F )

{a,b} ⊂ J ... ( V )

{d} ⊄ J

A = {4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20}

... ( V ) Rpta. A={4,6,8,10,12,14,16,18,20} 4

Evalúa por comprensión el conjunto:

3

Evalúa por comprensión el conjunto F = {4; 9; 16; 25; 36; 49}

Resolución:

Resolución: 3 1 2 3 4 ; ; ; Si: 1 = & A= 3 3 3 3 3 ∴ A=

Se observa que: 4 = 22; 9 = 32; 16 = 42; 25 = 52; 36 = 62; 49 = 72; ∴ F = {x2 / x ∈ ; 2 ≤ x ≤ 7}

n /n∈ ;1≤n≤4 3

Rpta.

Rpta.

5

6

Sean los conjuntos A = {x/x ∈ ; 3 < x < 7} 2 B = {x / x ∈ A} Calcula la suma de los elementos de B

Q={2x/x ∈

12

∧ 0 ≤ x ≤ 5}

Resolución: Si: 0 ≤ x ≤ 5 & x ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5} De la condisión: 2x; se deduce:

Resolución: Del conjunto A: x ∈ {4; 5; 6} Se deduce: B = {x2 / x ∈ A} B = {42, 52, 62} = {16; 25; 36} ∴ La suma de elementos de B es: Rpta.

Evalúa el siguiente conjunto por extensión:

Q = {20, 21, 22, 23, 24, 25} ∴ Q = {1; 2; 4; 8; 16; 32}

77


Rpta.

Q={1,2,4,8,16,32}

CONJUNTOS

ACTIVIDADES


Se sabe que: n(M) = 20 n(N) = 17 n(M∩N) = 12 ¿Cuántos elementos tiene M∪N?

Dados los conjuntos: A = {1; 2; 5; 8; 10} B = {2; 3; 4; 5; 6} C = {x/x ∈ A ; x2 < 50} Calcula: (B ∪ C) ∩ A Resolución:

2

Resolución: M

N 8 12 5

PARA LA CLASE

C = {x/x ∈ A; x2 < 50} puede ser: 1, 2, 5 & C ={1; 2; 5} calculando: (B C) ∩ A [{2;3;4;5;6} {1;2;5}] ∩ {1;2;5;8;10} { 1 ; 2 ;3 ;4 ; 5 ; 6} ∩ { 1 ; 2 ; 5 ;8 ;10 } ∴ (B C) A = {1; 2; 5}

n(MUN) = 8+12+5 ∴ n(MUN) = 25

Rpta.

Rpta. 3

Sean los conjuntos: M = {x/x es letra de la palabra popeye} N = {x/x es vocal de la palabra pepino} Calcula: M ∪ N

Operando con los conjuntos: U = {1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 11 ; 13} F = {3 ; 5 ; 7 ; 9} G = {7; 9 ; 11 ; 13} Efectúa: (F' ∩ G') ∆ (F'∩G) Resolución:

4

Resolución:

Si: F = {3;5;7;9} & F' = {1;2;11;13} y: G = {7;9;11;13} & G' = {1;2;3;5} Calculando: (F' ∩ G') ∆ (F' ∩ G) [{1 ;2;11;13} ∩ {1 ; 2 ;3;5}] ∆ [{1;2;11;13} ∩ {7;9;11;13}]

M = {p; o; e; y} N = {e; i; o} Calculando ∴ MUN = {p; o; e; i; y}

{1;2} ∆ [{11;13}

∴

(F' ∩ G') ∆ (F' ∩ G) = {1; 2; 11; 13}

Rpta. 5

Rpta. Observa el diagrama siguiente:

6

Observa el siguiente diagrama:

¿Cuántos elementos tiene el conjunto [(A C)

B]

Resolución: Se observa que: A= {3;5;7;9}, B= {1;3;4;6} y C= {6;8;10}

Calcula: Resolución: R

[(A ∆ C) ∩ B] = [{3; 5; 7; 9} ∆ {6; 8; 10} ∩ {1; 3; 4; 6}

CP

{ 3 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10} ∩ { 1 ; 3 ; 4 ; 6 }

∴

∴

n[(A ∆ C) ∩ B] = 2

Rpta. 2

(Q – R) = {3; 8; 23 } ∩ { 23 ; 28 ; 33; 38} R CP

(Q – R) = {23}

Rpta.


13


7

Con los conjuntos: A = {x ∈ /x es divisor de 28} B = {x ∈ /5x – 6 = 29} C = {x ∈ /

= 1}

Calcula: (A∪B)∩C Resolución:

x–1 = 1 ∴ x = 7 6

(A ∪ B) ∩ C = {1;2;4;7;14;28} ∩ {7} = {7} Rpta. 9

F = {2; 3; 4; 5} G = {x + 1/ x ∈ ; x = 3;4;5;6;7;8;9} & G = {4; 5; 6; 7; 8; 9;10} H = {6; 8; 10} (G – F) ∩ H = {6;7;8;9;10} ∩ {6;8;10} ∴ (G – F) ∩ H = {6;8;10} Rpta.

A

Rpta. A' ∩ B' = {0; 1; 2; 3; 11} 10 Sean los conjuntos: A = {x/x ∈ ; 4 < x < 14} B = {2x+1/x ∈ ; 2 ≤ x < 7} Calcula: A ∩ B. Resolución: A = {x / x ∈ ; x = {5;6;7;8;9;10;11;12;13} ∴ A = {5;6;7;8;9;10;11;12;13} De B = 2 ≤ x < 7 & x = {2;3;4; 5; 6} & B = {2x + 1 / x ∈ ; x = 2 ≤ x < 7} ∴ B = {5; 7; 9; 11; 13} A ∩ B = {5; 7; 9; 11; 13}

Rpta.

A ∩ B = {5; 7; 9; 11; 13}

(G – F) ∩ H = {6; 8; 10}

11 Expresa en un diagrama lineal el siguiente diagrama de Venn - Euler C

B

U = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11} A = {6; 7; 8; 9; 10} B = {4; 5; 6; 7} A' = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 11} B' = {0; 1; 2; 3; 8; 9; 10; 11} Entonces: A' ∩ B' = {0; 1; 2; 3; 11}

(A∪B)∩C = {7}

Considerando los conjuntos: F = {x/x ∈ ; 4 ≤ x2 < 30} G = {x+1/x ∈ ; 2 < x < 10} H = {x/x es un número par mayor que 5 y menor que 12} Calcula: (G – F) ∩ H Resolución:

U

Sean los conjuntos: U = {x/x ∈ ; x < 12} A = {x/x ∈ ; 5 < x 10} B = {x/x ∈ ; 3 < x < 8} Calcula: A' ∩ B'. Resolución:

A = {1; 2; 4 ; 7 ; 14 ; 28} B = {7} ya que: 5x – 6 = 29 ∴ x = 7 C = {7} ya que:

8

12 Dados los conjuntos: D = {a ; b ; c ; d ; e ; f} E = {c ; d ; e ; h ; g} F = {d ; e ; f ; h ; i} ∩ (F – D)

Calcula: Resolución:

D ∩ E ∩ F = {d; e} E ∪ F = {c; d; e; f; h; g; i}

Resolución:

D∩E∩F

C

U A

E∪F

C

F – D = {h; i} D∩E∩F

∴ C

E∪F

B

14


= {c; f; h; g; i}

∩ (F – D)= {h; i} ∩E∩F ∩ (F – D) = {h; i} Rpta. CD E∪F

CONJUNTOS

ACTIVIDADES


Sean los conjuntos: A = {1; 2; 3; 4} B = {1; 3; 5; 7} C = {4; 5; 6; 7; 8} Encuentra la suma de los elementos de (A ∆ B) ∩ C.

PARA LA CASA

2

¿Qué operación representa la región sombreada?

Resolución: [{1; 2; 3 ;4} ∆ {1; 3; 5 ;7}] ∩ {4; 5; 6; 7; 8} {2; 4; 5; 7} ∩ {4; 5 ; 6; 7; 8} {4; 5; 7} La suma de elementos: 4 + 5 +7 = 16 Rpta. 3

Rpta.

16

Observa e indica la operación que representa cada conjunto:

4

a) {d, e} b) {a, d} c) {c, d, e} d) {a, c, g} e) {g, h}

Resolución:

Resolución: a) P ∩ R b) P – Q c) [Q – (P R)] (P ∩ R) d) [P Q R] – [(P ∩ R) (P Q) e) (P Q R)' [R – (P Q) 5

Si: P = {x/x ∈ ; 3 < x 6}, Q = {x/x ∈ ; x2 = 25} y R = {x/x ∈ ; x < 6} Calcula: (P ∪ Q) ∩ R.

P = {4; 5; 6}, Q = {5}, R = {0;1;2;3;4;5} (P ∪ Q) ∩ R = {4; 5; 6} ∩ {0; 1; 2; 3; 4; 5} ∴ (P ∪ Q) ∩ R = {4; 5}

(Q R)]

Dados los conjuntos A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} , B = {3, 4, 5, 6, 7} y C = {2, 4, 5, 6, 8, 9} Grafica y calcula:

Rpta. {4, 5} 6

Expresa en un diagrama lineal el siguiente diagrama de Venn.

Resolución: {1; 2} ∪ {2;4;5;6;8;9} – {8; 9} ∪ {3;4;5;6;7} {1;2;4;5;6;8;9} – {3;4;5;6;7;8;9} A B {1; 2} 1

3 7 45 2 6 8 9 C

Resolución: Rpta. {1;2}

A

B

C

U F

E

D


15


ACTIVIDADES

Ser lider es promover las buenas relaciones entre los demas” 1 En una encuesta realizada a 120 personas: 40 leen solamente la revista “Gente”; 60 leen solamente la revista “Caretas” y 12 no leen ninguna de estas revistas. ¿Cuántos leen las dos revistas? Resolución: C

G U = 120

40

8

PARA LA CLASE

2 En una olimpiada deportiva participaron 74 alumnos de primero de secundaria de las secciones A, B y C. En total fueron 24 estudiantes de 1°A de los cuales 14 eran varones; 23 estudiantes de 1°C de los cuales 11 eran mujeres. Si en total participaron 41 varones, se pide averiguar I. El número de mujeres que participaron II. El número de varones de 1°B III. El número de mujeres de 1°A

Resolución:

60

Varones

12

IA

IB

IC

Total

14

15

12

41

Mujeres

10

12

11

33

Total

24

27

23

74

Rpta. 8 3

En un salón de 100 alumnos: 65 aprobaron Raz. Matemático; 25 aprobaron Raz. Matemático y Raz. Verbal y 15 aprobaron solamente Raz. Verbal. ¿Cuántos no aprobaron ninguno de los cursos mencionados? Resolución:

4

RV

RM

U = 100

Rpta. I. 33 II. 15 III. 10

40 25

15 20

En una fiesta de promoción participaron 78 jóvenes. En un momento determinado 17 chicos bailaban y 31 chicas no bailaban. ¿Cuántos chicos y chicas participaron en la fiesta? Resolución: Chicos

Chicas

Total

Bailan

17

17

34

No Bailan

13

31

44

Total

30

48

78

Rpta. 20 5

De 60 deportistas se observa que 24 de ellos practican fútbol, 26 practican básquet y 25 practican voleibol; 13 practican fútbol y básquet; 10 practican básquet y voleibol, 9 practican fútbol y voleibol. Si 6 practican los tres deportes, ¿cuántos no practican ninguno de estos deportes? Resolución: B

3

7 6 12

16

6

En un colegio funcionan dos secciones de 1° grado de secundaria: A y B. Hay 12 mujeres en 1°A y 8 varones en 1°B; el total de estudiantes en 1°B es 25 y el total de varones en ambas secciones es 18. Halle el número total de estudiantes en 1° grado de secundaria. Resolución:

F 8

Rpta. 30 chicos y 48 chicas

U = 60

9 4 11

Rpta. 11


Varones

Mujeres

Total

1° A

10

12

22

2° B

8

17

25

18

29

47 Rpta. 47

CONJUNTOS

7 De un grupo de estudiantes que llevan por lo menos uno de los tres cursos que se indican, se sabe que: 70 estudian Inglés; 40 estudian química; 40 estudian matemática; 15 estudian matemática y química; 20 estudian matemática e inglés; 25 estudian inglés y química; 5 estudian los tres cursos. ¿Cuántos son los alumnos en total?

8 Una sección de 1ro. de secundaria está formada por 35 alumnos entre hombres y mujeres, se sabe que: 7 hombres aprobaron matemáticas; 6 hombres aprobaron lenguaje; 5 hombres y 8 mujeres no aprobaron ninguno de los dos cursos; 11 aprobaron sólo matemáticas; 7 aprobaron solo lenguaje y 16 hombres hay en la sección. ¿Cuántas mujeres aprobaron sólo lenguaje? Resolución:

Resolución:

M

Q

I 30

20 5 5 15 10 10

L

Total

5 2 4

5

16

M

6 2 3

8

19

Total

11 4 7

13

35

U = 95

M

M

H U = 30+20+5+15+5+10+10

∴

L

Rpta. 95 9 Durante el mes de diciembre, Rafael va a misa o al teatro. Si 18 días va a misa y 20 días va al teatro, ¿cuántos días va solamente a misa? Resolución: U = 31 M=18

Rpta. 3 10 Se conoce que un grupo de 80 señoritas tienen las siguientes actividades: 50 juegan futbol, 32 básquet y 23 voley. Además 6 juegan en los tres deportes y 10 no practican ningún deporte. Si "w" es el total de personas que practican exactamente dos deportes y "z" un sólo deporte.Hallar: z - w

Resolución:

T=20

B

F 11

7

z1 w1 w 6

13

2

10 M

z3

z2

z 1 +w 1 +w 2 +6= 50 & z 1 +w 1 +w 2 = 44 z 2 +w 1 +w 3 +6= 32 & z 2 +w 2 +w 3 = 26 z3+w2+w3+6= 23 & z3+w2+w3= 17 z1+z2+z3+2(w1+w2+w3) = 87 z1+z2+z3+w1+w2+w3 = 64

w3

∴ w1+w2+w3 = 23 z1+z2+z3 = 64 – 23= 41

V

Me piden: z – w = 41 – 23 = 18

T = 18 + 20 – 31 = 7 Rpta. 11

11 De un grupo de 200 consumidores de “pollo a la brasa” a 120 no les gusta la mostaza; a 130 no les gusta el ketchup; a 80 no les gusta ni la mostaza ni el ketchup. ¿A cuántas personas les gusta ambas salsas?

Rpta. 18 12 De un grupo de 45 estudiantes, se sabe que 14 alumnos no tienen 17 años no tienen 17 años, 20 alumnos no tienen 16 años; 8 alumnos y 3 alumnas no tienen ni 16 ni 17 años. ¿Cuantos alumnas tienen 16 o 17 Resolución:

14

Resolución: U = 200 M

Alumnos 26

K

6

20

12

Alumnos 19 50

30

(–)

3 16 años 17 años

40

8

Otras Edades

Total = 45 Alumnas 16 o 17 años = (19 – 3) = 16

80 Rpta. 30

Rpta. 16


17


ACTIVIDADES


En un taller de matemática recreativa participan 50 alumnos de primero de secundaria. Todos tienen entre 12 y 13 años de edad. En total son 20 mujeres; 15 varones tienen 13 años y hay 23 estudiantes de 12 años. I. ¿Cuántos varones tienen 12 años? II. ¿Cuántas mujeres tienen 13 años?

Resolución:

Varones

Mujeres

Total

12 años

15

08

23

13 años

15

12

27

Total

30

20

50

PARA LA CASA

2

A una función de cine asistieron 650 personas; 380 son mayores de edad; 410 son varones y 60 mujeres son menores de edad. ¿Cuántos varones mayores de edad asistieron a la función? Resolución: Varones Mujeres

Mayores de edad

200

180

380

Menores de edad

210

60

270

Total

410

240

650

Rpta. I. 15 II. 12 3

De un grupo de 40 personas se sabe que 15 de ellas no estudian ni trabajan; 10 personas estudian y 3 personas estudian y trabajan. ¿Cuántas de ellas realizan sólo una de las dos actividades? Resolución:

U = 40 T

E 7

3

Rpta. 200 4 En una campaña publicitaria participaron 110 jóvenes de entre 15, 16 y 17 años. Hay en total 60 varones de los cuales 20 tienen 15 años y 18 tienen 17 años. Si 27 son mujeres de 16 años y en total son 35 los jóvenes de 15 años, se desea saber: I. ¿Cuántos jóvenes de 16 años participaron? II. ¿Cuántas mujeres de 17 años participaron?

Resolución:

15 15

Sólo una de 2 actividades = 15 + 7= 22

15 años 16 años 17 años total

Varones

Mujeres

Total

20 22 18 60

15 27 8 50

35 49 26 110

Rpta. 22 5

De 400 alumnos, se sabe con certeza que: 110 estudian matemática; 240 estudian geografía; 190 estudian literatura; 80 estudian matemática y geografía; 100 estudian geografía y literatura; 50 estudian matemática y literatura; 40 estudian los tres cursos. ¿Cuántos alumnos estudian por lo menos dos de los cursos mencionados? Resolución: U = 400 M G Por lo menos 2 cursos: 20 40 100 40+10+60+40 40 = 150 10 60 80 L

18

Rpta. 150


Total

Rpta. I. 49 II. 8 6 A una fiesta asistieron 150 personas, el número de hombres es el doble del número de mujeres. De los hombres; 23 no usan reloj pero si tienen terno y 42 tienen reloj. De las mujeres; las que no usan minifaldas son tantas como los hombres que no usan terno ni reloj y 8 tienen minifalda y reloj. ¿Cuantas mujeres usan minifaldas pero no reloj? Resolución: Terno Hombres 100 Mujeres 50 Total = 150

Reloj

23 a

7 Mini

b

a + b = 42 7 mujeres usan minifalda pero no reloj.

8 35 Reloj

Rpta. 7

CONJUNTOS

APLICO MIS

Ser lider es promover las buenas relaciones entre los demas”

Razonamiento y demostración 1 El conjunto: A = {3x/x ∈ Por extensión es:

; 5 < x < 9}

A) {6; 7; 8} B) {5; 6; 7; 8; 9} D) {6; 9; 12; 15} E) {3; 4; 5} 2 Dado el conjunto: B ={x/x ∈ Calcula n[P(B)] A) 16

B) 32

D) 8

E) 24

A) {4; 6; 8; 10; 12; 14; 18; 20} B) {2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 18; 20} C) {1; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20} D) {4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20} E) {6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20}

C) {2; 4; 8; 16; 32} D) {1; 2; 4; 16; 32} E) {0; 2; 4; 8; 16} 5 Dado el conjunto: B = {x2/x ≤ 5 ; x ∈ } Calcula la suma de sus elementos D) 60

E) 62

6 Dados los conjuntos unitarios: A = {x + 7; 2x + 5} ∧ B = {y - 3 ; 5y - 15}

Calcula el valor de “x + y” A) 5

B) 6

7 Traducir a un diagrama lineal el siguiente diagrama de VennEuler.

C) 7

E) Ninguna.

C)

D) 8

A) 7 y 7 D) 7 y 12

B) 7 y 6 E) N.A.

C) 6 y 5

9 Si los conjuntos A y B son iguales, calcula la suma de los elementos del conjunto “C”, tal que: A = {5a-1 ; 4b+2}; B={125; 64} ∧ C = {x3/x ∈ ∧ b ≤ x ≤ a} B) 27

C) 100

D) 80

E) 90

10 Resuelva por comprensión el siguiente conjunto:

A) {1; 2; 4; 8; 16; 32} B) {1; 2; 4; 8; 16}

C) 45

D)

A) 36

4 Resuelva el siguiente conjunto por extensión: Q={2x/x ∈ ∧ 0 ≤ x ≤ 5}

B) 30

B)

8 Calcula cuántos elementos tienen A y B, respectivamente sabiendo que: a) n P(A) = 128 b) n P(B) = 163

3 Resuelva el siguiente conjunto por extensión: A ={2x/x ∈ ∧ 2 ≤ x ≤ 10}

A) 55

A)

C){18;21;24;}

∧ 0 < x ≤ 5} C) 64

APRENDIZAJES

E) 9

P = {4; 6; 8; 10; 12; 14; 16} A) P = {x/x ∈ ; 4 ≤ x ≤ 16} B) P = {2x/x ∈ ; 4 ≤ x ≤ 16} C) P = {x/x es número par menor que 17} D) P = {x2/x ∈ ; 2 ≤ x ≤ 16} E) P = {2x/x ∈ ; 2 ≤ x ≤ 8} 11 Si A ={3x/x ∈ ; 2< x ≤ 6}, entonces por extensión será: A) A ={3;4;5;6} B) A = {3;3;3;3} C) A ={9;12;15;18} D) A = {9;12;15} E) Ninguna 12 Si B ={x2 - 3/x ∈ ; 3 ≤ x < 6}, entonces por extensión será: A) B = {3; 4; 5} B) B = {3; 4; 5; 6} C) B = {6; 13; 22} D) B = {6; 13; 22; 33} E) Ninguna 13 Resuelva por comprensión el siguiente conjunto: D ={1; 3; 5; 7; 9; 11} A) D = {x/x ∈ ∧ x ≤ 11} B) D = {2x + 1/x ∈ ∧ x ≤ 11} C) D = {2x - 1/x ∈ ∧ 0< x ≤ 6}


19


D) D = {2x - 1/x ∈ E) D = {x + 1/x ∈

∧ 2 ≤ x ≤ 6} ∧ 0 ≤ x < 10}

20 Si:

14 Dados los conjuntos: A = {x/5 < x < 7; “x” es número natural} B = {x/3x - 1= 8; “x” es número natural} De ellos ¿cuál o cuáles son unitarios?. A) A

B) B

C) A y B

D) Nulos E)N.A.

15 Si los siguientes conjuntos: A = {a + b ; 13} B = {a - b ; 7} Son unitarios. Calcula el cardinal del conjunto C.

{

C = a, b2 + 1, a + b, A) 1

B) 2

21 Dados los conjuntos: A = {x ∈ / 3 ≤ x ≤ 9} B = {x ∈ /5 < x < 11} Calcula: (A ∩ B) ∩ C

}

a ,b+2 2

C) 3

D) 4

E) 5

16 Resuelva por comprensión el conjunto: M = {7; 9; 11; 13; 15} A) M = {x/x ∈ C) M = {2x/x ∈

; 3 < x < 7} ; 2 < x < 8}

E) M = {x+1/x ∈

; 5 < x < 15}

D = {2x–3/ 4 < x < 10 ; x ∈ } B) 7

C) 31

D) 15

E) 63

D) 5

E) 6

19 Dados los siguientes conjuntos: A = {x/x es letra de la palabra “teléfono”} B = {x/x es letra de la palabra “elefante”} Calcula: A ∩ B A) {e; l; f} D) {l; f}

20

B) 7 E) 15

C) 10

/x2 = 9} ∧ C = {x ∈ N /x - 2 = 4}

Calcula: (B ∪ C) ∩ A B) {3; 4; 5}

C) {3; 6}

D) {2; 3; 4; 5; 6} E) N.A.

Calcula: n(A) + n(B) C) 4

C) {8; 9}

23 Dados los conjuntos: A = {x/x es dígito y 2 ≤ x ≤ 6}

A) {2; 4; 5}

A = {x ∈ / x tiene suma de sus cifras igual a 5} B = {x ∈  / x tiene producto de su cifras igual a 3} B) 3

E) N.A.

B = {x ∈

18 Dado el conjunto universal: U = {x/x ∈ ; 10 < x < 40} y los conjuntos:

A) 2

D) {7; 8; 9}

A) 11 D) 9

17 Calcula el número de subconjuntos propios que tiene el siguiente conjunto

A) 3

B) {6; 7}

B = {x ∈ /x es múltiplo de 4 y 3 < x < 30} ¿Cuántos elementos tiene el conjunto: A ∪ B?

; 4 < x < 10}

D) M = {2x+1/x ∈

A) {6; 7; 8}

C = {7; 8; 9}

22 Dados los conjuntos: A = {x ∈ /x es múltiplo de 5 y 4 < x < 21}

; 6 < x < 16}

B) M = {2x-1/x ∈

A = {1; 2; 3; 7}, B= {2; 5; 6; 7}, C = {3; 4; 5; 7}, entonces, ¿cuáles son los elementos que deben estar en las partes coloreadas del diagrama? A) 2, 5 y 7 B) 2, 3 y 7 C) 2 y 3 D) 3, 5 y 7 E) 2, 5, 6 y 7

B) {e; f; n} C) {e; l; f; n} E) {e; l; f; n; t}


24 Del siguiente diagrama: Calcula: “(P ∪ R) ∩ Q” A) {2; 4; 6} B) {2; 4; 5; 6} C) {5; 6} D) {2; 3; 4; 5; 6} E) N.A. 25 ¿Cuál es el máximo número de elementos que puede tener: (P ∪ Q) ∩ R? Si n(P) = 5; n(Q) = 3 y n(R) = 8 (Q,R y P son conjuntos).

CONJUNTOS

A) 13 D) 8

B) 14 E) 11

C) 16

26 ¿Cuál es el mínimo número de elementos que puede tener: (A ∩ B) ∪ C; si n(A)=5, n(B) = 4 y n(C) = 3?

(A,B y C son conjuntos, además: n(A) significa el número de elementos del conjunto A). A) 3 D) 6

B) 4 E) 12

C) 5

27 Dados los conjuntos: A = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} B = {4; 6; 8} C = {2; 4; 6; 7}. Calcula el valor de “A - (C - B)”. A) {2; 5; 7} D) {4; 6; 8}

B) {3; 4; 5; 6; 8} E) N.A.

C) {2; 4; 6; 8}

28 Del siguiente diagrama: Calcula “(A - B) ∪ (B - C)” A) {1; 2; 4; 6} B) {2; 3; 4; 5; 6} C) {1; 2; 3; 4} D) {1; 2; 3; 5} E) {1; 2; 3; 4; 5; 6}

32 Dado el conjunto universal: U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} y los conjuntos: A = {1; 3; 5; 7; 9} ∧ B = {2; 3; 4}. Hallar (A - B)'. A) {1; 5; 7; 9} C) {3; 4; 6; 8}

33 Si A es el conjunto de adultos y B es el conjunto de todas las personas que beben Coca Cola, ¿cómo expresaríamos en el lenguaje de conjuntos: “No adultos que no beben Coca Cola”? A) A ∩ B D) A' ∩ B'

A = {3; 5; 7; 9}; B = {1; 2; 4; 6; 8} ∧ C = {3; 4; 7; 8; 9; 10}. Calcula (A ∪ B) ∆ C. A) {3; 5; 7; 9}

B) {1; 2; 4; 6; 9} C) {2; 3; 4; 5; 6}

D) {1; 2; 5; 6; 10} E) N.A. 30 En la figura A, B y C son conjuntos no vacíos. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa el área pintada? A) (A ∩ C) ∪ B B) (A - C) ∩ B C) (A ∩ C) - B D) (A ∩ B) - C E) (A ∪ C) - B 31 Dados los conjuntos: A = {x ∈ B = {x ∈ C = {x ∈

/x es múltiplo de 4 y 3
A) {4; 8; 12} B) {6; 12; 18; 24; 30} C) {4; 8; 18; 24} D) {4; 8; 18; 24; 30}

B) A' ∩ B E) (A ∩ B)'

C) A ∩ B'

34 Dados los conjuntos: A = {x/x ∈ ; x < 10} ; x < 5} B = {x2/x ∈ C = {2x/x ∈ ; x < 6}

Calcula (A − B) ∩ C. A){2; 6; 8}

B) {1; 4; 9}

D) {0; 2; 4}

E) {1; 2; 3; 4}

35 Si: A = {x/x ∈ B = {x/x ∈

; 5 < x < 10} ; 7 < x < 13}

29 Dados los conjuntos:

B) {2; 3; 4; 6; 8; 10} D) {1; 5; 9; 3; 6} E) N.A.

Calcula el número de subconjuntos de (A ∆ B). A) 4

B) 8

D) 32

E) 64

36 Si:

C){2;3;5;6;7;8}

C) 16

A = {a, b, c, d, e} B = {c, d, e, f}

Calcula n(A ∪ B) - n(A ∩ B). A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

37 Dados los conjuntos: A = {1; 2; 3; 4; 5} B = {2; 4; 6; 8}

Calcula (A - B) ∪ (A ∆ B). A) {2; 4; 6; 8} D) {2; 4}

B) {1; 2; 3; 4; 5} E) {1; 3; 5; 6; 8}

C) {1; 3; 5}

38 Dados los conjuntos: A = {x/x ∈ ; 5 < x < 16} B = {x/x ∈ A ; x < 10} Calcula el número de subconjuntos propios que tiene el conjunto (A ∩ B). A) 1023 B) 511

C) 255

D) 64

E) 15


21


Calcula : A ∩ B

39 ¿Qué operación corresponde al diagrama?

A) {41; 71}

B) {55; 51; 61}

C) {41; 51}

D) {61; 71}

E) φ

45 Dado que: = {0; 1; 2; 3; 4; ....} A = {x/x ∈ B = {x/x ∈ C = {x/x ∈ A) (A ∩ B)'

B) (A ∪ B)'

D) (A − B)'

E) A' ∪ B'

C) (A ∆ B)'

Calcula n [A ∩ B ∩ C]. A) 6

40 Calcula n[(A ∪ B) – C ] ; si:

; x es múltiplo de 3} ; x es múltiplo de 4} ; x <25}

B) 4

C) 3

D) 2

E) 1

46 Calcula la suma de elementos del conjunto A

A ={1; 2; 3; 4; 5; 6}; B = {2; 4; 6; 8; 10} C = {n/n = 2k+1 ∧ 0
B) 6

C) 7

D) 8

41 U = {1; 2; 3 ; … ; 12} A ={2; 4; 6; 9; 10; 12} ∧ B = {1; 2; 5; 6; 8; 10; 11}

¿Cuántos elementos tiene: A' - B? A) 6

B) 5

C) 4

D) 3

E) 2

42 Si:

Calcula : n (A ∪ B ∪ C). A) 3

B) 4

D) 6

 = {x ∈

A = {x ∈  / x es múltiplo de 2}

B = {x ∈  / x es múltiplo de 3}

C = {x ∈  / x es múltiplo de 6}

Calcula : (A ∩ B) ∆ C '. A) A

B) B

D) 60

C) C

D) U

E) φ

Dados los conjuntos:

A = {x2-3x+1/x ∈

B = {10x+1/x ∈

; 50 ≤ x2 ≤ 100} ; 3 < x < 8}


E) 67

a y b ∈ . Indica el valor de a+b. A) 12

B) 16

C) 10

D) 9

48 Si:

A={a, b, c, x, y, z}

B={x, y, z, w} (A

Calcula n[(A  B)' B) 4

C) 5

E) 14

B)]. D) 6

E) 7

Clave de Respuestas

/ 1 ≤ x ≤ 30}

44

E) 7

Dados los conjuntos:

43

22

C) 5

C) 65

Calcula la suma de elementos del conjunto A; si A = B. ;A=B

A) 3 C = {x/4x – 5 = 19}

B) 66

47

A) 61

E) 9

1. C

11. C

21. D

31. D

41. E

2. B

12. C

22. C

32. B

42. D

3. D

13. C

23. C

33. D

43. D

4. A

14. C

24. D

34. A

44. A

5. A

15. C

25. D

35. D

45. C

6. A

16. D

26. A

36. C

46. C

7. D

17. C

27. B

37. E

47. B

8. D

18. D

28. D

38. E

48. A

9. C

19. E

29. D

39. C

10. E

20. C

30. C

40. B

CONJUNTOS

APLICO MIS


APRENDIZAJES

Comunicacion Matemática 1 Dado el diagrama y las proposiciones: Indicar cuáles son verdaderas y cuáles son falsas:

7 Si A={2; 8; {9}}, ¿cuántas de las afirmaciones son ciertas? I. 2 ⊂ A II. {8} ∈ A III. {2;8} ⊂ A IV. {9} ∈ A

I. 8 ∈ A

II. 4 ∈ C

III. 3 ∉ B

IV. 1 ∈ B

V. 5 ∉ A

VI. 9 ∉ C

A) VVFVVF

B) VFVVFF

D) VVVFVV

E) VFFVFV

8 Dado el diagrama y las proposiciones: I. C ⊂ A II. B ⊂ A III.C ⊂ B

C) VVVVFV

2 Si A= {{a};b;{c};{d;e}}, ¿cuál de las siguientes relaciones es verdadera? A) {c} ⊂ A D) {d;e} ⊂ A

B) a ⊂ A C) b ⊂ A E) {{d;e}} ⊂ A

; 4 < x ≤ 7}

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? A) 3 ∈ A D) 1 ∈ A

B) 7 ∈ A E) 5 ∈ A

C) 2 ∈ A

E) N.A.

9 Si P ={2;4;6;8;10}, al transformar el conjunto por comprensión tenemos: I. P = {x/x ∈ ∧ x < 9} II. P = {(2x + 2)/x ∈ ∧ 0 ≤ x < 5} III. P = {2x/x ∈ ∧ 0 ≤ x ≤ 5} A) Sólo I D) Sólo III

3 Dado el conjunto: M = {x-1/x ∈

Indicar cuál o cuáles son verdaderas. A) Sólo I B) I y III C) Sólo II D) Los tres

B) Sólo II E) II y III

C) I y II

10 Traducir a un diagrama lineal el siguiente diagrama de Venn-Euler.

4 Dado el siguiente conjunto: R = {a ; b ; {c} ; d ; e} I. a ∧ b ∈ R II. {{c}} ⊂ R Cuáles son falsas. A) Sólo I D) I y II

B) Sólo II E) II y III

III. {e} ∈ R

B)

C)

C) Sólo III

5 Dados los conjuntos:

A)

D) E) Ninguna

A = φ ; B = {0} ; C = {φ}, indique lo correcto. A) A = B D) n(B) = 0

B) B = C C) n(B) = n(C) E) Todos son iguales.

6 Si M={3; 5; 7; 9; 11} al transformar el conjunto por comprensión, tenemos que: I. M = {x/x ∈ ∧ x < 6} II. M = {(2x+1)/x ∈ ∧ 1 ≤ x<6} III. M = {(2x-1)/x ∈ ∧ 1 < x<6}

11 Si: A = {x/“x” es un número natural mayor que 5} B = {x/“x” es una fiera} C = {x/“x”es un mamífero} De ellos cuál es conjunto o cuál no, de acuerdo a ello marque F, si es falso, y V si es verdadero, según corresponda. A) VFV B) VFF C) VVV D) FFF E) FFV


23


12 Observa el diagrama: Indicar cuál es la respuesta correcta.

A

.1

B .2

A) M={1;3;4;5;6;7} C) P={2;3;4;6}

.4

D) N={4;5;7}

.5

E) Ninguna.

13 Si A={4x/x ∈ ; 3
B) 20 ∈ {16;20;24} D) {20} ⊂ {20;25}

E) B ⊄ A 14 Dado el conjunto: B ={x/x ∈ ∧ 0 < x ≤ 5} Calcula el valor de: n[P(B)] A) 16

B) 32

C) 64

D) 8

15 Según el diagrama, evaluar las proposiciones como verdaderas (V) o falsas (F). I. A ⊂ M

II. B ⊂ M

A) VVVV D) VFFF

III. D ⊂ B

IV. A ⊂ B M B

C

B) VVVF E) VFVF

C) VVFF

A = {x2–10/x ∈

; 3 < x < 8}

Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. La suma de los elementos de A es 22. II. n(A) = 4 III. A tiene 16 subconjuntos B) VVV E) FFF

C) FFV

I. (A - B) ∩ (C – B) II. (A ∩ C) – B

III. (A ∩ B) – C

A) Sólo I B) Sólo II C) I y II D) II y III E) Todas

20 La parte coloreada corresponde a:

A) VFVF D) FFVV

B) VVFF E) FVFV

C) VVVV

A) (B ∩ C) – A B) (A ∩ C) – B C) (A ∩ B) – C D) (A ∪ C) – B E) (B ∪ C) – A

16 Si A = {1; 2; {3}; 4} ¿Cuál de las afirmaciones es falsa? A) 1 ∈ A D) {3} ∈ A

B) 4 ∈ A E) {3} ⊂ A

C) {1; 2} ⊂ A

17 Dado el diagrama, indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F) I. 3 ∈ B II. 2 ∈ A III. 6 ∉ C IV. 4 ∉ A

24


19 La operación que corresponde al diagrama es:

D

A

18 Dado el conjunto:

A) FVV D) VFF E) 24

.6

.3

B) N={4;5;6;7}

Clave de Respuestas

1. D

6. A

11. C

16. E

2. E

7. B

12. D

17. B

3. E

8. B

13. A

18. A

4. C

9. B

14. B

19. C

5. C

10. B

15. A

20. B

CONJUNTOS


Resolución de Problemas 1

En una encuesta de mercado sobre el consumo de pescado y pollo se encontró que de los 1000 encuestados: 200 no consumen ninguno de estos productos; 500 no consumen pollo; 600 no consumen pescado. ¿Cuántos consumen pescado y pollo? A) 50

B) 60

C) 80

D) 100

E) 120

2 A 60 alumnos de un salón les preguntaron por el deporte que practican y respondieron: 40 juegan fútbol; 36 juegan voleibol ¿Cuántos alumnos practican los dos deportes? A) 20

B) 14

C) 18

D) 12

E) 16

3 En una reunión de profesores de ciencias:

B) 70

C) 100

D) 91

E) 87

4 En una encuesta realizada a un grupo de deportistas: 115 practican básquet; 35 practican básquet y ajedrez; 90 practican sólo ajedrez y 105 no practican básquet. ¿A cuántos deportistas se encuestó? A) 220

B) 230

C) 210

D) 200

E) 190

5 En una fiesta donde había 100 personas, se observó que se bailaba la salsa o el rock. Si: 65 personas bailaban la salsa; 60 personas bailaban el rock; ¿cuántas personas no bailaban el rock, sabiendo que todos bailaban por lo menos uno de estos tipos de baile? A) 40 B) 25 C) 35 D) 15 E) 30 6 De 200 lectores: 80 leen las revistas A y B; 110 son lectores de la revista B. ¿Cuántos leen sólo la revista A? Todas leen al menos una de estas 2 revistas A) 30 B) 90 C) 60 D) 50 E) 70 7 En una asamblea de 70 integrantes de un club: 45 son estudiantes; 48 trabajan; 8 no trabajan ni estudian. ¿Cuántos trabajan, pero no estudian? A) 31

B) 14

C) 1 7

D) 39

APRENDIZAJES

8 En una peña criolla trabajan 32 artistas, de estos: 16 bailan; 25 cantan y 12 cantan y bailan. El número de artistas que no cantan ni bailan son: A) 1

E) 25

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

9 De un grupo de 110 personas: 70 hablan Inglés, 20 no hablan ni Inglés ni francés; el número de los que hablan francés es el doble de los que hablan solamente inglés. ¿Cuántos hablan inglés y francés? A) 10

B) 20

C) 25

D) 30

E) 40

10 En una reunión de 58 caballeros se observó que los que usan corbata y anteojos representan la tercera parte de los que usan corbata; los que usan anteojos son el doble de los que usan corbata y anteojos; si 10 personas no usan ni corbata, ni anteojos, ¿cuántos usan corbata, pero no anteojos? A) 12

47 eran de matemática; 40 eran sólo de física y 4 no enseñaban ninguno de estos cursos. ¿Cuántos profesores integraban la reunión? A) 83

APLICO MIS

B) 24

C) 36

D) 18

E) 10

11 De 75 alumnos de un aula. los 3/5 usa reloj; 1/3 de los alumnos sólo usa anteojos; los 2/5 usa anteojos y reloj. ¿Cuántos no usan anteojos ni reloj? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 12 Un conjunto A tienen 42 elementos y otro conjunto B tienen 24 elementos, si A ∪ B tiene 52 elementos, ¿cuántos elementos tiene A ∩ B? A) 12

B) 13

C) 14

D) 15

E) 16

13 Si 20 personas usan anteojos solamente; 90 personas no usan anteojos; 70 no usan sombrero; los que usan sombrero y anteojos son los 3/4 del total, ¿cuántas personas usan sombreros y anteojos? A) 100

B) 110

C) 220

D) 330

E) 300

14 A una reunión asistieron 80 personas de las cuales 32 no cantan, pero sí bailan y 24 no bailan, pero sí cantan. Si el número de personas que no cantan ni bailan es el doble del número de personas que cantan y bailan, ¿cuántas personas no cantan ni bailan? A) 8 B) 32 C) 16 D) 24 E) 64 15 En una ciudad de 120 personas: a 1/4 de la población no les gusta la carne ni el pescado; a 1/2 de la población les gusta la carne y a los 5/12 les gusta el pescado. ¿A cuántas personas no les gusta el pescado? A) 40

B) 60

C) 50

D) 70

E) N.A.


25


16 De un grupo de 90 personas: 20 estudian y trabajan; el número de los que solamente trabajan es el doble de los que solamente estudian. El número de los que no estudian ni trabajan es la mitad de los que trabajan. ¿Cuántas personas no estudian? A) 30 D) 50

B) 55 E) N.A.

C) 45

17 En una encuesta realizada a un grupo de lectores de revistas: 40 personas leen la revista A; 60 personas leen la revista B; los que no leen ninguna de estas revistas son el triple de los que leen ambas revistas; si 80 personas no leen la revista A, ¿cuántas personas leen ambas revistas? A) 10 D) 15

B) 20 E) 25

C) 30

18 En una reunión de profesores: 23 usan corbata; 16 usan anteojos y 10 usan solamente anteojos. Los que no usan corbata son el triple de los que usan solamente corbata. ¿Cuántos profesores están reunidos? A) 77 D) 74

B) 83 E) 90

C) 51

19 De 120 personas: 30 conocen sólo Argentina; 40 no conocen Brasil; el número de personas que conocen Brasil es el cuádruple del número de personas que conocen Brasil y Argentina. ¿Cuántas personas conocen sólo Brasil? A) 80 D) 50

B) 70 E) 40

C) 60

20 En una biblioteca están estudiando 62 alumnos: Hay 12 alumnos que les gusta matemática y Lenguaje; el número de alumnos que les gusta matemática es el doble del número de alumnos que les gusta lenguaje; el número de alumnos que no les gusta ni matemática ni lenguaje es la mitad del número de los que les gusta sólo matemática. ¿A cuántos alumnos les gusta lenguaje? A) 20 D) 12

B) 8 E) 14

C) 15

21 Para ir a trabajar a una fábrica, de un grupo de 100 obreros 30 van con polo y 40 con camisa de obrero. Si 60 van con polo o camisa, ¿cuántos obreros van con polo y camisa, si hay obreros que van con otro tipo de ropa? A) 5 D) 10

26

B) 7 E) 40

C) 9


22 En una clase de 30 alumnos, 14 han sido aprobados en matemática, 10 en física y 5 en ambos cursos. ¿Cuántos alumnos han sido aprobados en un curso por lo menos? A) 11

B) 15

C) 17

D) 19

E) 20

23 Se encuesta a 45 televidentes acerca de su preferencia por los canales A o B: 12 televidentes ven el canal A, pero no el B; 18 ven el canal B, pero no el A; el número de personas que no ven ninguno de los dos canales es el doble del número de personas que ven ambos canales. ¿Cuántos no ven el canal B? A) 15

B) 22

C) 17

D) 23

E) 28

24 De un total de 100 estudiantes que postulan a la Universidad de San Marcos o a la Universidad Católica se conoce que: Los que postulan a San Marcos son el cuádruple de los que postulan a Católica solamente; 70 postulan exclusivamente a San Marcos. ¿Cuántos estudiantes intentarán las 2 posibilidades? A) 70

B) 10

C) 20

D) 30

E) 40

25 En una encuesta realizada a 141 amas de casa sobre sus preferencias por los productos A y B se obtuvo el siguiente resultado: 40 amas de casa consumen “A” solamente; 90 amas de casa no consumen el producto “B”; las que consumen B son el triple de las que consumen A y B. ¿Cuántas amas de casa no consumen el producto A? A) 34

B) 17

C) 51

D) 84

E) 90

26 De 80 alumnos que participaron en una olimpiada escolar: 30 participaron en natación; 20 participaron en atletismo; el número de alumnos que participaron en otros deportes son el doble de los que participaron en natación solamente. ¿Cuántos alumnos participaron en los dos deportes mencionados? A) 10

B) 15

C) 20

D) 25

E) 30

27 Se reúnen 110 personas que son actores y/o cantantes; 40 son solamente actores; hay tantos cantantes como actores, ¿cuántos son actores y también cantantes? A) 40

B) 30

C) 15

D) 10

E) 70

28 En un club donde solamente hay deportistas que practican fútbol y/o básquet, el número de futbolistas es el doble del número de basquetbolistas; 10 personas practican ambos deportes y 90 personas no saben jugar básquet. ¿Cuántos deportistas hay en dicho club? A) 170

B) 130

C) 150

D) 100

E) 140

CONJUNTOS

29 Una encuesta realizada entre 82 madres de familia arrojó el siguiente resultado: 43 saben costura; 47 saben repostería; 58 saben tejido; 19 saben costura y repostería; 28 saben costura y tejido; 30 saben repostería y tejido; 11 saben las tres ocupaciones. ¿Cuántas amas de casa saben sólo una de las tres especialidades? A) 25

B) 27

C) 29

D) 30

E) 31

30 De un grupo de 59 personas se observa lo siguiente: 8 personas leen sólo el “Comercio”; 16 personas leen sólo la “República”; 20 personas leen sólo el “Expreso”; 7 personas leen el “Comercio” y la “República”; 8 personas leen el “Comercio” y el “Expreso”; 3 personas leen la “República” , el “Expreso” y el “Comercio”; 2 personas no leen ninguno de estos diarios. ¿Cuántas personas leen el “Expreso”? A) 25

B) 28

C) 29

D) 20

E) 24

17 ven los canales 5 y 2 40 no ven los canales 4, 5 ni 2 ¿Cuántos televidentes ven los canales 4; 5 y 2? A) 15

B) 17

C) 8

D) 20

E) 10

Las preguntas que se formulan a continuación se refieren al siguiente problema: Entre 150 personas que consumen hamburguesas se observaron las siguientes preferencias en cuanto al consumo de las salsas de mayonesa, ketchup y mostaza: 80 consumen mayonesa; 70 consumen ketchup; 90 consumen mostaza; 50 consumen mayonesa y ketchup; 35 consumen ketchup y mostaza; 40 consumen mayonesa y mostaza; 30 consumen las tres salsas.

34 ¿Cuántas personas no consumen ninguna de estas tres salsas? A) 5

B) 6

C) 7

D) 8

E) 10

31 En una encuesta realizada a un grupo de 100 estudiantes de un instituto de idiomas se obtuvo el siguiente resultado: 28 estudian español; 30 estudian alemán; 42 estudian francés; 8 estudian español y alemán; 10 estudian español y francés; 5 estudian alemán y francés; 3 estudian los tres idiomas.

35 ¿Cuántas personas consumen solamente ketchup?

¿Cuántos estudiantes toman el francés como único idioma de estudio?

38 ¿Cuántas personas consumen mostaza, pero no ketchup?

A) 20

B) 30

C) 13

D) 32

E) 28

32 De 38 estudiantes que desfilaron en un batallón: 18 usaban anteojos; 19 llevaban saco; 20 usaban corbata; 11 estudiantes usaban exactamente dos de estas prendas. ¿Cuántos estudiantes usaban anteojos, saco y corbata? A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

33 En una encuesta realizada a 129 televidentes: 37 ven el canal 4; 34 ven el canal 5; 52 ven el canal 2; 12 ven los canales 4 y 5; 15 ven los canales 4 y 2

A) 10

B) 20

C) 70

D) 15

E) 45

36 ¿Cuántas personas consumen solamente mostaza? A) 90

B) 45

C) 30

D) 40

E) 35

37 ¿Cuántas personas consumen sólo una de estas tres salsas? A) 60

A) 55

B) 70

B) 45

C) 80

C) 50

D) 90

D) 70

E) 100

E) 30

39 ¿Cuántas personas consumen mayonesa y ketchup, pero no mostaza? A) 15 B) 25 C) 18 D) 20 E) 10 40 ¿Cuántas personas consumen ketchup o mostaza, pero no mayonesa? A) 50

B) 60

C) 65

D) 55

E) 70

41 ¿Cuántas personas consumen exactamente dos salsas? A) 20

B) 30

C) 35

D) 25

E) 40

42 ¿Cuántas personas consumen por lo menos dos salsas? A) 70

B) 65

C) 80

D) 40

E) 50


27


43 ¿Cuántas personas no consumen ni mayonesa, ni ketchup? A) 45

B) 50

C) 55

D) 60

E) 65

44 ¿Cuántas personas no consumen mayonesa? A) 65

B) 60

C) 50

D) 70

E) 75

45 ¿Cuántas personas no consumen mostaza? A) 60

B) 70

C) 45

D) 85

E) 80

46 De 150 personas que fueron encuestadas se obtuvo los siguientes resultados. 70 son mujeres 85 personas beben café 18 mujeres no beben café ¿Cuántos hombres no beben café? A) 35

B) 51

C) 33

D) 29

E) 47

47 En un salón se encuentran 52 alumnos de los cuales 30 son hombres , 12 mujeres no tienen 18 años. Si 30 personas tienen 18 años: ¿Cuántos hombres tienen 18 años? A)10

B) 12

C) 22

D) 20

E) 30

48 De una muestra recogida a 200 turistas se determinó lo siguiente: 64 eran norteamericanos, 86 eran europeos y 90 eran ingenieros, de estos últimos 30 eran norteamericanos y 36 europeos. De los no ingenieros ¿cuántos no son europeos ni norteamericanos? A) 22

B) 24

C) 26

D) 25

E) 23

49 En un salón de clases de 60 alumnos se observa que a 40 alumnos les gusta matemática a 30 les gusta lenguaje y a 12 alumnos no les gusta ninguno de estos cursos. ¿A cuántos alumnos les gusta solamente matemática? A) 16

B) 22

C) 20

D) 18

E) 24

50 Se realizó una encuesta a 150 alumnos sobre la preferencia de 4 cursos: A; x; G y T obteniéndose los siguientes datos: Ninguno que prefiere G, prefiere T. 20 sólo A; 20 sólo G; 20 sólo X ; 20 A y G, pero no X; 6 sólo con G y X; 4 sólo A y T; 24 T y X; 28 sólo T. ¿Cuántos prefieren x, si 6 no prefieren alguno de estos cursos? A) 48

28

B) 50

C) 52

D) 54

E) 58


51 En un salón de 36 alumnos, se nota que 20 son mujeres, de las cuales 3 no estudian matemática. Si del total de alumnos del salón 24 estudian matemática, ¿cuántos hombres no estudian matemática? A) 6

B) 9

C) 8

D) 7

E) 10

52 Se reunieron 80 estudiantes para hacer deporte, de los cuales 25 juegan fútbol, 45 juegan básquet y 20 juegan a "las escondidas" solamente. ¿Cuántos son los que juegan fútbol y básquet si solo hay 3 juegos y todos participan?. A) 9

B) 12

C) 10

D) 13

E) 15

53 De un grupo de 30 personas, se sabe; que 13 conocen el español, 15 el inglés y 26 el alemán. También se sabe que 10 personas hablan sólo un idioma, mientras que hay 12 que conocen exactamente 2 idiomas. ¿Cuántas personas desconocen estos idiomas? A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

54 Cierto número de medallas de oro, plata y bronce es distribuido entre 100 atletas en un festival deportivo. Se sabe que 45 atletas reciben medallas de oro, 45 reciben medallas de plata, 60 reciben de bronce, 15 reciben medallas de oro como de plata, 25 atletas reciben medallas de plata y bronce, 20 reciben medallas de oro y bronce, 5 reciben de oro, plata y bronce. ¿Cuántos atletas no recibieron medallas?. A) 1

B) 5

C) 2

D) 7

E) 6

Clave de Respuestas 1. D

12. C

23. B

34. A

45. A

2. E

13. D

24. B

35. D

46. E

3. D

14. C

25. D

36. B

47. D

4. A

15. D

26. A

37. C

48. C

5. A

16. B

27. B

38. A

49. B

6. B

17. A

28. E

39. D

50. E

7. C

18. D

29. B

40. C

51. B

8. C

19. C

30. C

41. C

52.C

9. E

20. A

31. B

42. B

53.B

10. B

21. D

32. D

43. B

54.B

22. D

33. E

44. D

11. C

CONJUNTOS

APLICO MIS


APRENDIZAJES

Razonamiento y demostración Sol. 1 Si A = {3x / x ∈ ; 5 < x < 9} x = {6; 7; 8} & A = {18; 21; 24}

Sol. 7 U

B A C ⊂B⊂U C

Sol. 2 Si B = {x / x ∈ /; 0 < x ≤ 5} x = 1; 2; 3; 4; 5 & B = {1; 2; 3; 4; 5} n[P(B)] = 25 = 32

Aquí : D ⊂ A ⊂ U

D

Sol. 8 a) P(A) = 128 ⇒ 2n(A) = 27 ⇒ n(A) = 7 b) P(B) = 163 ⇒ 2n(B) = 163 = n(24)3 ⇒ 2n(B) = 212 = n(B) = 12 ∴ n(A) y n(B) = 7 y 12

Sol. 3 Si A = {2x / x ∈ / 2 ≤ x ≤ 10} x = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} & B = {4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20}

Sol. 9

A = {5a–1 ; 4b+2} B = {125 ; 64}

Como: A = B Sol. 4 Q = {2x / x ∈ / 0 ≤ x ≤ 5} x ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5} & Q = {20; 21; 22; 23; 24; 25} ∴ Q = {1; 2; 4; 8; 16; 32} Sol. 5 B = {x2 / x ≤ 5; x ∈ } x ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5} & Q = {02; 12; 22; 32; 42; 52} Q = {0; 1; 4; 9; 16; 25} La suma de elementos: 1 + 4 +9 + 16 +25 ∴ ∑ elementos = 55 Sol. 6 Tenemos; los conjuntos unitarios: A = {x + 7; 2x + 5} & x + 7 = 2x + 5 & x = 2 B = {y – 3; 5y – 15} & y – 3 = 5y – 15 12 = 4y & y = 3 Me piden: x + y = 2 + 3 = 5

⇒

5a–1 = 125 = 53 4b+2 = 64 = 43

Ademas: C = {x3 / x ∈ ∧ b ≤ x ≤ a} ⇒ C = {x3 / x ∈ ∧ 1 ≤ x ≤ 4} ⇒ x ∈ ∧ 1 ≤ x ≤ 4 ⇒ x = {1; 2; 3; 4} ⇒ x3 = {1; 8; 27; 64} ∴ C = {1; 8; 27; 64}

Me piden: ∑ elementos (C) = 1 + 8 + 27 + 64 = 100 Sol. 10

P = {4; 6; 8; 10; 12; 14; 16} P = {2(2); 2(3); 2(4); 2(5); 2(6); 2(7); 2(8)} ∴ P = {2x / x ∈ ; 2 ≤ x ≤ 8} Sol. 11 Tenemos:

A = {3x / x ∈ ; 2 < x ≤ 6} 2< x ≤ 6 → x ∈ {3; 4; 5; 6} 3x ∈ {9; 12; 15; 18} → A = {9; 12; 15; 18}

Me piden: Conjunto "A" = A = {9; 12; 15; 18} por extensión Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 1

29


Sol. 12 Tenemos: B = {x2 – 3 / x ∈ ; 3 ≤ x < 6} ⇒ 3 ≤ x < 6 ⇒ x = {3; 4; 5} ⇒ x2 – 3 = {6; 13; 22} ∴ B = {6; 13; 22} Sol. 13 Tenemos: D = {1; 3; 5; 7; 9; 11} Sea: x ∈ {1; 2; 3; 4; 5; 6} ⇒ 0 < x ≤ 6 ∧ x ∈ Ademas: 2x – 1 ∈ {1; 3; 5; 7; 9; 11} = D ∴ D = {2x – 1/ x ∈ / 0 < x ≤ 6} Sol. 14 Veamos: A = {x / 5 < x < 7; "x" es un número natural} ⇒ 5< x < 7 → x = 6 → A = {6} B = {x / 3x – 1 = 8; "x" es un número natural} ⇒ 3x – 1 = 8 → x = 3 → B = {3} ∴ A y B son conjuntos Unitarios Sol. 15 a + b = 13 a–b=7 Resolviendo: a = 13 + 7 = 10 ; b = 13 – 7 = 3 2 2 Reemplazando en: C = {a; b2 + 1; a + b ; a ; b + 2} 2 C = {10, 10; 13; 5; 5} C = {10; 13; 5} ∴ n(C) = 3 Sol. 16

M = {7; 9; 11; 13; 15} M = {6+1; 8+1; 10+1; 12+1; 14+1} M = {2(3)+1; 2(4)+1; 2(5)+1; 2(6)+1; 2(7)+1} ∴ M = {2x+1 / x ∈ ; 2 < x < 8} Sol. 17

x ∈ {5; 6; 7; 8; 9} → (2x – 3) ∈ {7; 9; 11; 13; 15} D = {7; 9; 11; 13; 15} n(D) = 5 N° de subconjuntos propios = 25 – 1 = 31

30


Sol. 18 U = {11; 12; 13; ...; 39} A = {14; 23; 32} → n(A) = 3 B = { 13; 31} → n(B) = 2 ∴ n(A) + n(B) = 5 Sol. 19

A = { t ; e; l ; f ; o ; n } B = { e ; l; f ; a ; n ; t } A ∩ B = {e ; l ; f ; n ; t }

Sol. 20 .1

.2

.6 .7 .3 C

B

5 .4

Están en la parte coloreada: 2 y 3

Sol. 21 A = {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} B = {6; 7; 8; 9; 10} C = { 7; 8; 9} ∴ (A ∩ B) ∩ C = {7; 8; 9} Sol. 22 A = {5; 10; 15; 20} B = {4; 8; 12; 16; 20; 24; 28} n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) ∴ n(A ∪ B) = 4 + 7 – 1 = 10 Sol. 23 A = {2; 3; 4; 5; 6} B = {3} ; C = {6} (B ∪ C) ∩ A = {3; 6} Sol. 24 P ∪ R = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 9} Q = {1; 2; 3; 4; 5; 6;8} (P ∪ R) ∩ Q = {2; 3; 4; 5; 6} Sol. 25 El máximo número de elementos de (P ∪ Q) ∩ R se da cuando R es un subconjunto de (P ∪ Q) y en consecuencia: (P ∪ Q) ∩ R = R Luego: Máximo n° de elementos = n(R) = 8

CONJUNTOS

Sol. 26

Sol. 34

El mínimo número de elementos de (A ∩ B) ∪ C se da cuando A ∩ B = ∅ Luego: (A ∩ B) ∪ C = C Mínimo n° de elementos = n(C) = 3 Sol. 27 A={2;3;4;5;6;7;8} C–B={2;7} A – (C – B) = { 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 8 } Sol. 28 A–B={1} B–C={2;3;5} (A – B) ∪ (B – C) = { 1 ; 2 ; 3 ; 5 } Sol. 29 A ∪ B = { 1; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 } C = { 3 ; 4 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 } (A ∪ B) ∆ C= { 1 ; 2 ; 5 ; 6 ; 10 } Sol. 30 La región pintada corresponde a: (A ∩ C) – B Sol. 31

Por extensión:

A = {4 ; 8 ; 12 ; 16 } B = { 6; 12 ; 18 ; 24 ; 30 } C = { 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ... ; 15 } A∆B = {4 ; 8 ; 6 ; 16 ; 18 ; 24 ; 30 } B∆C = {0;1;2;3;4;5;7;8;9;10;11;13;14;15;18;24;30} (A ∆ B) ∩ (B ∆ C) = {4; 8; 18; 24; 30}

A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} B = {0; 1; 4; 9; 16} C = {0; 2; 4; 6; 8; 10} (A – B) = {2; 3; 5; 6; 7; 8} (A – B) ∩ C = {2; 6; 8}

Sol. 35 Por extensión: A = {6; 7; 8; 9} B = {8; 9; 10; 11; 12} (A ∆ B) = {6; 7; 10; 11; 12} N° de subconjuntos de (A ∆ B) = 25 = 32 Sol. 36 Por extensión: A ∪ B = {a; b; c; d; e; f} A ∩ B = {c; d; e} n(A ∪ B) – n(A ∩ B) = 6 – 3 = 3 Sol. 37 A – B = {1; 3; 5} A ∆ B = {1; 3; 5; 6; 8} (A – B) ∪ (A ∆ B) = {1; 3; 5; 6; 8} Sol. 38 Por extensión: A = {6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15} B = {6; 7; 8; 9} A ∩ B = {6;7; 8; 9} → n(A ∩ B) = 4 N° de subconjuntos propios de (A ∩ B) = 24 – 1 = 15 Sol. 39 La parte que no está sombreada corresponde al conjunto A ∆ B; luego la parte sombreada correspondende a: ∴ (A ∆ B)'

Sol. 32

Sol. 40

U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} A – B = {1; 5; 7; 9} (A – B)' = {2; 3; 4; 6; 8; 10}

A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 10} C = {3; 5; 7; 9} (A ∪ B) – C = {1;2; 4; 6; 8; 10} n[(A ∪ B)– C] = 6'

Sol. 33 A = Conjunto de adultos ⇒ A' = Conjunto de no adultos B = Conjunto bebedores de Coca cola ⇒ B' = Conjunto no beben Coca cola ∴ No adultos que no deben Coca cola = A' ∩ B'

Sol. 41

A' = {1; 3; 5; 7; 8; 11} B = {1; 2; 5; 6; 8; 10; 11} A' – B = {3; 7} ∴ n(A' – B) = 2


31

Sol. 42

Sol. 47

A = {1; 2} B = {2; 3; 4; 5; 6} C = {6} A ∪ B ∪ C = {1; 2; 3; 4; 5; 6} ∴ n(A ∪ B ∪ C) = 6

A = { a2 + 3 ; / b + 1 } B = { 19 ; 13 } Si son: a2 + 3 = 19 ⇒ a2 = 16 b + 1 = 13 ⇒ b = 12 ∴ a + b = 4 + 12 = 16

Sol. 43 U = {1; 2; 3; 4; ... ; 30} A = {2; 4; 6; 8; ... ; 30} B = {3; 6; 9; 12; ... ; 30} C = {6; 12; 18; 24; 30} A ∩ B = {6; 12; 18; 24; 30} = C ∴ (A ∩ B) ∆ C' = C ∆ C' = U

Sol. 48 A

x ∈

A = {41; 55; 71}

Sol. 1

10(4) + 1 = 41 10(5) + 1 = 51 10(6) + 1 = 61 10(7) + 1 = 71

B = {41; 51; 61; 71}

A

7. 9.

2.

8.

3.

A = {0; 3; 6; 9; 12; ...} B = {0; 4; 8; 12; 16; ... } C = {0; 1; 2; 3; 4; ... ; 24} A ∩ B ∩ C = {0; 12; 24} ∴ n(A ∩ B ∩ C) = 3 Sol. 46 A = {x2 – 4 / x ∈ , 4 ≤ x ≤ 6} x = { 4; 5 ; 6 }

A = {42 – 4; 52 – 4; 62 – 4}

A = {12; 21; 32}

∑ elementos

A = 12 + 21 +32 = 65


4.

Ahora: A = {1; 3; 8; 9; 4} B = {2; 6; 7; 8; 9} C = {5; 6; 8; 4} Luego: I. 8 ∈ A ← (V) II. 4 ∈ C ← (V) III. 3 ∉ B ← (V) IV. 1 ∈ B ← (F) V. 5 ∉ A ← (V) VI. 9 ∉ C ← (V)

32

B

1.

Sol. 45

w

Comunicacion Matemática

/ 3 < x < 8 → x ∈ {4; 5; 6; 7}

A ∩ B = {41; 71}

B

(A ∆ B)' ∪ (A ∩ B) ( a, b, c, w)' ∪ ( x , y , z ) {x , y , z} ∪ {x , y , z} {x, y, z} n[(A ∆ B)' ∪ (A ∩ B)] = 3

x ∈ / 50 ≤ x2 ≤ 100 x ∈ { 8; 9; 10 }

x y z

a b c

Sol. 44

82 – 3(8) + 1 = 41 92 – 3(9) + 1 = 55 102 – 3(10) + 1 = 71

∴ a=4

∴ Tenemos: VVVFVV

C

6. 5.

CONJUNTOS

Sol. 2

Sol. 7

A = {{a}; b; {c}; {d; e}}

Luego: A) {c} ⊂ A B) a ⊂ A C) b ⊂ A D) {d; e} ⊂ A E) {{d; e}} ⊂ A

← ← ← ← ←

(F) (F) (F) (F) (V) ; {d; e} ∈ A

A = {2; 8 ; {9}} I. 2 ⊂ A II. {8} ∈ A III. {2; 8} ⊂ A IV. {9} ∈ A

Son ciertas 2 afirmaciones Sol. 8

B

Sol. 3

A

x ∈ {5; 6; 7} → (x – 1) ∈ {4; 5; 6} ∴ A = {4; 5; 6} 5 ∈ A es verdadera Sol. 4

C

R = {a; b; {c}; d; e}

Luego: I. a / b ∈ R .... (V) porque a ∈ R / b ∈ R II. {{c}} ⊂ R .... (V) porque {{c}} ∈ P(R) & {{c}} ⊂ R III. {e} ∈ R .... (F) porque {e} ⊂ R ∴ Son falsas solo III

A = f &n(A) = 0 B = {0} & n(B) = 1 C = {f} & n(C) = 1 ∴ n(B) = n(C)

Luego: I. C ⊂ A ... (V) II. B ∈ A ... (F) III. C ⊂ B ... (V) Son verdaderas I y II Sol. 9 P = {2; 4; 6; 8; 10} P = {2(1); 2(2); 2(3); 2(4); 2(5)} P = {2(0)+2; 2(1)+2; 2(2)+2; 2(3)+2; 2(4)+2} P = {2x + 2 / x ∈ / 0 ≤ x < 5} ∴ Sólo II

Sol. 5

... (F) ... (F) ... (V) ... (V)

Sol. 10 (=s)

Sol. 6 M = {3; 5; 7; 9; 11} Luego: I. M = {x / x ∈ / x < 6} ⇒ x ∈ / x < 6 → x ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5} ∴ M = {0; 1; 2; 3; 4; 5} ............ (F) II. M = {(2x + 1)/ x ∈ / 1 ≤ x < 6} ⇒ x ∈ {1; 2; 3; 4; 5} ⇒ (2x + 1) = {3; 5; 7; 9; 11} ∴ M = {3; 5; 7; 9; 11} ............ (V) III. M = {(2x + 1)/ x ∈ / 1 < x < 6} x ∈ {2; 3; 4; 5} ⇒ (2x – 1) = {3; 5; 7; 9} ∴ M = {3; 5; 7; 9} ............ (F) ∴ Cumple: solo II

U A

B C

* Aquí: C ⊂ B ⊂ A ⊂ U * Luego: U A B C

Sol. 11 A = {x / "x" es un número natural mayor que 5} ⇒ A = {6; 7; 8; 9....} ← Conjunto B = {x / "x" es una fiera} ⇒ B = {tigre, ...} ← Conjunto C = {x / "x" es mamífero} ⇒ C = {vaca; carnero; ...} ← Conjunto ∴ Tenemos: VVV


33


Sol. 12

Sol. 15 M 4. 5. 3. 6.

P

I. A ⊂ M II. B ⊂ M III. D ⊂ B IV. A ⊂ B

N

1.

7.

2.

Sol. 16 {3} ⊂ A es FALSA Lo correcto es {3} ∈ A Sol. 17 I. 3 ∈ B II. 2 ∈ A III. 6 ∉ C IV. 4 ∉ A

A = {4x / x ∈ ; 3 < x ≤ 6} ⇒ 3 < x ≤ 6 → x ∈ {4; 5; 6} ⇒ 4x ∈ {16; 20; 24} → A = {16; 20; 24} B = {5x / x ∈ ; 3 < x ≤ 5} ⇒ 3 < x ≤ 5 → x ∈ {4; 5} ⇒ 5x ∈ {20; 25} → B = {20; 25} Graficando: A

16.

B 20.

25.

24. Luego: A) B ⊂ A ............................... (F) B) 20 ∈ {16; 20; 24} ............ (V) C) 20 y 25 ∈ {20; 25} .......... (V) D) {20} ⊂ {16; 20; 24} ....... (V) E) B ⊄ A ................................ (V) ∴ Es falso (A) Sol. 14

Por extensión

B = {1; 2; 3; 4; 5} n(B) = 5 n(P(B)) = 2n(B) = 25 = 32

34

... (V) ... (V) ... (V) ... (F)

Sol. 18

Sol. 13

∴ VFVF

Luego: M = {1; 3; 4; 5; 6} N = {4; 5; 7} P = {2; 3; 4} Ahora: A) M = {1; 3; 4; 5; 6; 7} (F) B) N = {4; 5; 6; 7} (F) C) P = {2; 3; 4; 6} (F) D) N = {4; 5; 7} (V) E) Ninguna

... (V) ... (F) ... (V) ... (F)


x ∈ {4; 5; 6; 7} x2 ∈ {16; 25; 36; 49} (x2 – 10) ∈ {6; 15; 26; 39} A = {6; 15; 26; 39} I. Suma de elementos de A es 22 ... (F) Lo verdadero es: 6 + 15 + 26 + 39 = 86 II. n(A) = 4 ... (V) III. A tiene 16 subconjuntos ... (V) Sol. 19 I. (A – B) ∩ (C – B) ... (V) ... (V) II. (A ∩ C) – B III. (A ∩ B) – C ... (F)

∴ Sólo I y II

Sol. 20

(A ∩ C) – B

CONJUNTOS

Resolución de Problemas

Sol. 3 U M = 47

Sol. 1

F = x + 40

47 – x

1 000

x

z

Donde:

y

M : Profesores de matemática F : profesores de física

200

Pe : consumen pescado Po : consumen pollo Segun el enunciado: 500 no consumen pollo, o sea: Consumen sólo pescado, o no consumen ninguno de los dos. Entonces: 500 = x + 200 x = 300 ⇒ Consumen sólo pescado 300 encuestados 600 no consumen pescado, o sea: Consumen sólo pollo o no consumen ninguno de los dos. Entonces: 600 = y + 200 y = 400 Consumen sólo pollo: 400 encuestados, luego:

Sea "x" el número de profesores que enseñan ambos cursos. Del gráfico: U = (47 – x) + x + 40 + 4 ⇒ U = 91

Sol. 4 U B = 115

Po= 400+y

300

z

A = 125

80

90

35

15

Graficamos: B : practican basquet A : practican ajedrez 80 + 35 + 90 + 15 = U U = 220

1 000 Pe= 300+z

40 4

Po= z + y

Pe = x + z

x

∴ Se encuestó a 220 deportistas

Sol. 5

400

100 S = 65

200

Del gráfico:

R = 60

65 – x

300 + z + 400 + 200 = 1 000 900 + z = 1 000 z = 100 ∴ Consume pescado y pollo 100 personas.

x 60 – x

# de personas que no bailan rock

S : bailan salsa R : bailan rock Sea "x" el número de personas que bailan salsa y rock Entonces:

Sol. 2 60

(65 – x) + x + (60 – x) = 100 125 – x = 100 x = 25

V = 36

F = 40

40 – x

x

36 – x

∴ No bailan rock: 65 – 25 = 40 personas

200

Practican los dos deportes

F : Juegan fútbol

Sol. 6 200 A = x+80

V : Juegan voleibol

x

Sea "x" el número de alumnos que practican los 2 deportes. Del gráfico: (40 – x) + x + (36 – x) = 60 76 – x = 60 x = 16 ∴ 16 alumnos practican los 2 deportes

B = 110

80

30

110 – 80 = 30

# de lectores sólo de la revista A

Sea x el número de lectores sólo de la revista A. Del gráfico: x + 80 + 30 = 200 x + 110 = 200 x = 90 ∴ Leen sólo la revista "A" 90 lectores.


35


Sol. 7

Sea x el número de caballeros que usan corbata y anteojos al mismo tiempo.

70 E = 45

T = 48

45 – x

x

Según el enunciado veamos que:

48 – x

x= 8

1 (x + y) 3

E : estudian T : trabajan Sea x el número de personas que trabajan y estudian. Entonces: 8 + (45 – x) + x + (48 – x) = 70 101 – x = 70 x = 31

Entonces:

z=x

58 C

2x

A

x

x

Del gráfico:

32 B = 16

2x + x + x + 10 = 58 4x + 10 = 58 4x = 48 x = 12

C = 25

12

25 – 12

13

# de personas que no bailan ni cantan

Luego: Usan corbata, pero no anteojos:

Del gráfico:

2x = 2(12) = 24

32 = 4 + 12 + 13 + x 32 = 29 + x x=3

∴ 24 personas usan corbarta, pero no anteojos

∴ El número de artistas que no bailan ni cantan es 3

Sol. 11 El total de los alumnos es 75, luego:

Sol. 9 Sea x el número de personas que hablan ambos idiomas, inglés y francés. 110 I = 70

F = 2(70 – x)

70 – x

x

2(70–x) – x 20

3 (75) = 45 5 1 Usan sólo anteojos: (75) = 25 3 2 Usan anteojos y reloj : (75) = 30 5 Usan reloj:

Graficando:

Del gráfico: (70 – x) + x + +[2(70 – x) – x] + 20 = 110 70 + (140 – 2x – x) + 20 = 110 70 + 140 – 3x + 20 = 110 230 – 3x = 110 120 = 3x x = 40 ∴ 40 personas hablan inglés y francés

C

A

y

x

75 R = 45

15

A = 55

25

30

x

Sea "x" el número de alumnos que no usan anteojos ni reloj. Del gráfico: 15 + 30 + 25 + x = 75 x=5 70 + x = 75 ∴ 5 alumnos no usan anteojos ni reloj

Sea el diagrama 58

Sol. 12 A = 42

z 10

C : usan corbata A : usan anteojos

36

1 y 3 1 y 3

10

4

Sol. 10

1 x+ 3 2 x= 3 2x = y

x + z = 2x

∴ Trabajan, pero no estudian: 48 – 31 = 17 personas

Sol. 8

x=


42 – x

B = 24

x

24 – x

A∩B

CONJUNTOS

Si A ∪ B tiene 52 elementos

80 C

⇒ (42 – x) + x + (24 – x) = 52 66 – x = 52 x = 14

B

24

x

32 2x

∴ A ∩ B tiene 14 elementos

Sean "x" el número de personas que cantan y bailan

Sol. 13

Entonces:

U A

n° de personas que no cantan ni bailan: 2x

S

20

Del gráfico:

y

x

24 + x + 32 + 2x = 80 56 + 3x = 80 3x = 24 x=8

z

A : usan anteojos S : usan sombrero Tenemos que:

∴ No cantan ni bailan: 2(8) = 16 personas

n° de personas que usan solamente anteojos: 20 n° de personas que usan solamente sombrero: y n° de personas que usan solamente anteojos y sombrero: x n° de personas que no usan ninguno de los dos objetos: z

C: n° de personas que les gusta la carne: P: n° de personas que les gusta el pollo:

z = 50

Si 90 personas no usan anteojos

- No les gusta la carne ni el pescado:

⇒ y + z = 90

3 (120) = 30 4

↓

y + 50 = 90

Población = 120 personas Sean:

Si 70 personas no usan sombreros ⇒ 20 + z = 70

Sol. 15

1 (120) = 60 2 5 (120) = 50 - Les gusta el pescado: 12

y = 40

- Les gusta la carne:

Los que usan sombreros y anteojos son:

3 3 U⇒x= U 4 4

Graficamos:

El gráfico será:

120 C = 60

U A

S

20

3 U 4

60 – x

40

3 U + 40 + 50 = U 4 3 110 + U = U 4 U

20 +

110 =

4

U = 440

∴ Usan sombrero y anteojos:

Sol. 14

3 (440) = 330 4

Sabemos que:

50 – x

Sea "x" el número de personas que gusta del pescado y la carne. Entonces: (60 – x) + x + (50 – x) + 30 = 120 140 – x = 120 x = 20 ∴ No les gusta el pescado 30 + 60 – 20 = 70 personas

Sol. 16

90 E

32 personas no cantan, pero sí bailan

T

x

⇒ Sólo bailan 32 personas

20

y z

24 personas no bailan, pero sí cantan: ⇒ Sólo cantan 24 personas

x

30 50

Del gráfico:

P = 50

E : estudian T : trabajan


37


Donde:

Sol. 19

Personas que sólo estudian: x El gráfico será:

120 A = 30+x

90 E

30

T

x

B = 110

4x – x

3x

x

10

2x

20

x + 10

Del gráfico: x + 20 +2x + (x + 10) = 90 30 + 4x = 90 4x = 60 x = 15

Luego: Las personas que no estudian: sólo trabajan o no estudian ni trabajan. ∴ No estudian:

Sea "x" el número de personas que conocen Argentina y Brasil. Entonces: 30 + x + 3x + 10 = 120 40 + 4x = 120 4x = 80 x = 20 ⇒ 3x = 3(20) = 60

∴ 60 personas conocen sólo Brasil

Sol. 20 62

2x + (x +10) = 3x + 10 = 3(15) + 10 = 55

M = x + 12

L = y + 12

personas

x

Sol. 17 A = 40

x

Del enunciado:

60 – x

x + 12 = 2(y + 12) x x + 12 = y + 12 ⇒ +6 = y + 12 2 2 x –6=y 2 x Del gráfico: x + 12 + y + = 62 2 x x – 6 + = 62 x + 12 + 2 2 2x + 6 = 62 2x = 56 x = 28 Además:

3x

Sea "x" el número de personas que leen la revista A y B. Si 80 personas no leen "A" ⇒ 80 = (60 – x) + 3x

80 = 60 + 2x

20 = 2x

x = 10

∴ Leen ambas revistas 10 personas

Sol. 18

U A = 16

10

n° de alumnos que les gusta lenguaje

C = 23

6

= y + 12 x x = – 6 + 12 ⇒ = + 6 2 2 28 + 6 = 20 = 2

17 x

Sea " x" el número de personas que no usan corbata no anteojos

∴ A 20 alumnos les gusta lenguaje

Entonces: Los que no usan corbatas son los que sólo usan anteojos o los que no usan ni corbata, ni anteojos.

Sol. 21

⇒ 10 + x = 3(17) 10 + x =51 x =41

U = 10 + 6 + 17 + x ↓ U = 10 + 6 + 17 + 41 U = 74 ∴ Hay 74 profesores reunidos


100 P = 30

30 – x

C = 40

x

40 – x y

Del gráfico:

38

x 2

B = 60

40 – x

y

12

# de obreros que van con polo o con camisa

Sea "x" el número de obreros que van con polo y camisa. "60 van con polo o camisa"

x + 30 – x + 40 – x = 60 70 – x = 60 x = 10 ∴ 5 obreros van con polo y camisa

CONJUNTOS

Del gráfico:

Sol. 22 30 M = 14

14 – 5

40 + x + 2x + 50 = 141 90 + 3x = 141 3x = 51 x = 17

F = 10

9

5

5

10 – 5

no consumen A: 2x + 50 = 2(17) + 50 = 84

9 + 5 + 5 = 19

Sol. 26

∴ 19 alumnos han sido aprobados en por lo menos 1 curso

Sol. 23

80 N = 30

30 – x

45 A

18

x

Sea "x" el número de alumnos participantes en natación y atletismo.

Sea "x" el número de personas que ven ambos canales.

(30 – x) + x + (20 – x) + 2(30 – x) = 80 110 – 3x = 80

12 + x + 18 + 2x = 45

30 + 3x = 45

3x = 15

x=5

No ven el canal "B"

x = 10

30 = 3x

∴ 10 alumnos participaron en natación y atletismo

Sol. 27

12 +2x = 12 + 2(5) = 22

110

40

100 C

70

x

Sea "x" el número de estudiantes que sólo postulan a Católica (C). Entonces: 70 + (4x – 70) + x = 100 5x = 100 x = 20 x = 20 en 4(20) – 70 = 10

∴ 10 estudiantes intentarán las 2 posibilidades 141 A = 40 + x

40

40

40 + x + 40 = 110 80 + x = 110 ∴ x = 30

Sol. 28 Sabemos que: ⇒ n° de personas que practican sólo fútbol = 90 Si 10 personas practican ambos deportes, entonces: ⇒ n° de personas que practican fútbol = 90 + 10 = 100 Si "El número de futbolistas es el doble de número de basquetbolistas" 100 = 50 ⇒ n° de basquetbolistas = 2 Graficando: F = 100

B = 3x

x

x

Sea "x" el número de personas que son actores y cantantes

4x – 70

Reemplazamos: 4x – 70

C = 40 + x

A = 40 + x

SM = 4x

20 – x 2(30 – x)

2x

Sol. 25

x

B

12

Sol. 24

A = 20

90

2x

90 – 40 = 50 No consumen el producto "B"

Sea "x" el número de personas que consumen A y B Entonces:

B = 50

10

40

50 – 10

Del gráfico: n° de deportistas = 90 + 10 + 40 = 140 ∴

En dicho club hay 140 deportistas

# de personas que consumen "B" = 3x # de personas que consumen sólo "B = 3x – x = 2x


39


Sol. 29

Sol. 32

82

C = 43

U = 38

A

R = 47

8 9 11 17 19 2 11

S

y

7

b

a x

Del gráfico: n° de madres que sólo saben costura: 7 n° de madres que sólo saben repostería: 9 n° de madres que sólo saben tejido: 11

x + y + a + b = 18 x + z + a + c = 19 x + w + b + c = 20 3x + y + z + w + 2(a + b + c) = 57 x + y + z + w + a + b + c = 38 2x + a + b + c = 19 2x + 11 = 19

Piden: 7 + 9 + 11 = 27 madres

∴ x=4

Sol. 33

C

R

8

C4 = 37

C: n° de madres que leen el "Comercio" R: n° de madres que leen la "República" T: n° de madres que leen el "Expreso" Del gráfico:

x

15–x 17–x

C2 = 52

40

Del gráfico: 52 + 10 + x + 12 – x + 5 + x + 40 = 129 119 + x = 129 x = 10 El n° de Televidentes que ven los 3 canales es 10

8 + 4 + 5 + 3 + 16 + x + 20 + 2 = 59 58 + x = 59 x=1

Ma = 80

K = 70

20 20 15 30 10 5 x 45

Me piden: # de personas que leen el "Expreso": 5 + 3 + x + 20 = 29 personas

M = 90

Del gráfico: 100

E = 28

90 + 20 + 20 + 15 + x = 150 145 + x = 150 x=5

A = 30

7

5 3

2

x F = 42

E: estudiantes que estudian español A: estudiantes que estudian alemán F: estudiantes que estudian francés Me piden: # de estudiantes que sólo estudian francés: x Del gráfico, tenemos: 7 + 3 + 2 + x = 42 x = 30

40

C5 = 34

10+x 12–x 5+x

4 16 3 x 5 2 20 E

Sol. 31

2

C

C: n° de personas que saben costura R: n° de personas que saben repostería E: n° de personas que saben tejido

59

c

w

T = 58

Sol. 30

z


Sol. 34 El n° de personas que no consumen ninguna salsa es 5 Rpta  A Sol. 35 El n° de personas que consumen sólo ketchup es 15 Rpta  D Sol. 36 El n° de personas que consumen solamente mostaza es 45 Rpta  B

CONJUNTOS

Sol. 37

Sol. 44

Del gráfico:

Del gráfico:

consumen sólo mayonesa: 20 consumen sólo mostaza: 45 consumen sólo ketchup: 15 80

consumen sólo mostaza : 45 consumen sólo ketchup : 15 consumen mostaza y ketchup : 5 no consumen alguna salsa : 5

∴ 80 personas consumen sólo una de las tres salsas

Rpta  B

Por lo tanto: ∴ 70 personas no consumen mayonesa

Sol. 38

Rpta  D

Del gráfico: consumen sólo mostaza: 45 consumen sólo mostaza y mayonesa: 10

Sol. 45 Del gráfico: consumen sólo mayonesa : 20 consumen sólo ketchup : 15 consumen mayonesa y ketchup : 20 no consumen alguna salsa : 5

∴ 55 personas consumen mostaza pero no ketchup

Rpta  A Sol. 39 El # de personas que consumen mayonesa y ketchup, pero no mostaza es 20 Rpta  D

Sol. 40

Por lo tanto: ∴ 60 personas no consumen mostaza

Rpta  A Sol. 46

El # de personas que consumen ketchup o mostaza, pero no mayonesa:

Mujeres

15 + 5 + 45 = 65

Rpta  C Sol. 41 consumen sólo mayonesa y mostaza: 10 consumen sólo mayonesa y ketchup: 20 consumen sólo mayonesa y mostaza: 5

52

18

70

Hombres

33

47

80

85

65

150

47 hombres no beben café

18

∴ 35 personas consumen sólo las 2 salsas

Rpta  C

no 18

total

Hombres

20

10

30

Mujeres

10

12

22

Total

30

22

52

∴

20 hombres tienen 18 años

Sol. 48

Del gráfico: consumen sólo dos salsas: consumen tres salsas: 30

total

Sol. 47

Por lo tanto:

Sol. 42

no café

Total ∴

Del gráfico:

café

Norte No No Norte Europeos Europeos Americanos Americanos

35

Por lo tanto: ∴ 65 personas comunes por lo menos dos salsas

Rpta  B

Total

Ingenieros

36

30

90

No Ingenieros

50

34

110

Total

86

64

200

110 – (50 + 34) = 26 no eran ingenieros, ni europeos, ni norteamericanos.

Sol. 43 Del gráfico: consumen sólo mostaza: 45 no consumen alguna salsa: 5 Por lo tanto: ∴ 50 personas no consumen ni mayonesa, ni ketchup

Rpta  B Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 1

41


Sol. 49

Sol. 52

U = 80

U = 60 M = 40

L = 30

Se observa b+a+c = 60 – 12

b 18

a 22

d 12

c

e

20 E=

b + a + c +a = 70 ⇒ 48 + a = 70 a = 22 b = 18

Sol. 50

Por dato: a + b + c + d = 25 b + c + e + f = 45 Sumando (a+b+c+d+e+f)+ b + c = 70 miembro a miembro 60 + (b + c) = 70

T

4

b

20

d

X

a 20

b1

b3

A = 26

d

a1 + b1 + b2 + c = 13 a2 + b2 + b3 + c = 15 a3 + b1 + b3 + c = 26

150 = 6 + 20 + 20 + 20 + 4 + 28 + 20 + a + b + c + 6 150 = 124 +a + b + c + d ⇒ c +d = 2

a1 + a2 + a3 + 2(b1 + b2 + b3) + 3c = 54

24

9 + 2(12) + 3c = 54 ⇒ 33 + 3c = 54

x = 20 + 6 + a + b + c + d

= 26 + 24 + 2 = 52

 c=7 a1 + a2 + a3 + b1 + b2 + b3 + c + d = 30

Sol. 51

No Matemática

Total

Hombres

7

9

16

Mujeres

17

3

20

Total

24

12

36

∴ No estuadian Matemática 9 hombres.

9

+

+

c + d = 30 7+d=9

 d = 2

Sol. 54 U = 100 Plata

Oro

10

15

5

10 20

No reciben = 100 – (15+10+10+15+5+20+20) medalla  No reciben medalla 5

20 Bronce


12

15

42

b1 + b2 + b3 = 12...(2)

a2

a3

G

Matemática

c

Por dato a1 + a2 + a3 = 9 ...(1)

b2

6

6

I = 15

a1

20

Me piden

U = 30

E = 13

a + b = 24

c

20

Sol. 53

Se sabe por dato:

28

 b + c = 10

U = 150

A

 a+b+c+d+e+f=60

f

M y L = a ⇒ b + a = 40 a + c = 30

Se observa: a+b+c+d+e+f+20=80

b

a

⇒ b+a+c = 48

c 8

B=45

F=25

= 100 – 95

CONJUNTOS

Ser lider es promover las buenas relaciones PONGO A PRUEBA MIS APRENDIZAJES entre los demas”

Razonamiento y demostración 1 Dados los conjuntos: A = {m; n; p; q; r; s; t} B = {j; l; n; q; s; u; v} y el diagrama de A y B mostrando las zonas I, II y III. m p r

q s n t

j l u v

a) ¿Qué elementos deben estar en la zona I? {m; p; r; t} .............................................................. b) ¿Qué elementos deben estar en la zona II?

2 Dados los conjuntos: M = {x ∈ / x3 = x, x ≠ 0} y N = {y ∈ / (y+1)(y–1) = 0} Demuestra que el conjunto M es igual que el conjunto N. M: x3 = x & x(x2 – 1) = 0 ................................................................... x = 0 x = –1 x = 1 ∈ ................................................................... ∴ M = {1} ................................................................... N: y + 1 = 0 & y = –1 ∉ ................................................................... y–1=0 & y=1∈ ................................................................... ∴ N = {1} ................................................................... Se deduce que:

{q; s; n} ..............................................................

M=N

c) ¿Qué elementos deben estar en la zona III? {j; l; u; r} ..............................................................

3 Si {a}, {b}, {c} y {d} son elementos del conjunto A y a, b, c, d, son elementos del conjunto B,

4 Con respecto a los conjuntos P, Q y R se sabe que:

P∩Q=Q y Q ∩ R= R

a) ¿Los elementos a, b, c, d del conjunto B son también elementos del conjunto A? ¿Por qué? No porque {a}, {b}, {c}, {d}. Son elementos de A y no ab, c, d de A, mientras que a, b, c, d son elementos de B.

Demuestra que CPR = (CQR) ∪ (CPQ) Resolución: Q

b) ¿Son iguales los conjuntos A y B? ¿Por qué? No son iguales por que B tiene elementos y A tiene subconjuntos.

R 2

P 3

1

c) ¿Es {a} un subconjunto del conjunto A? ¿Por qué? Si es subconjunto de A. Por que esta entre llaves.

CPR = CQR ∪ CPQ {2; 3} = {2} ∪ {3} {2; 3} = {2; 3}

L.q.q.d


43



Comunicación matemática 2 Observe el siguiente diagrama de Venn:

1 De la siguiente información:

U

50 estudiantes desfilaron en un batallón, de los cuales: • • • • • • •

18 usaban anteojos. 19 llevaban saco. 20 usaban corbata. 9 usaban anteojos y saco. 7 usaban saco y corbata. 7 usaban anteojos y corbata. 4 usaban anteojos, saco y corbata.

A

C

B

y escriba verdadero o falso en cada recuadro, según corresponda. F V e) A – C = B a) A B = A b)

A

B=A

F

f) A

Un diagrama que indica los números de elementos es:

c)

A

C=U

V

g) A ∆ C = A

Total =

d)

B

A=B

V

h)

50

estudiantes. Anteojos

En cada recuadro escriba el número que corresponde.

3

C

=A–B

V V

Saco

5

6

V

C=φ

3 Con respecto al diagrama

7

4

mostrado:

3

10

12 Corbata

Se deduce que: 12 estudiantes no usaban anteojos, ni sacos, ni corbatas. b) 6 estudiantes usaban solamente anteojos. a)

c)

7

estudiantes usaban solamente saco.

d) 10 estudiantes usaban solamente corbata. e) 23 estudiantes usaban solo una de las prendas. f)

13 estudiantes usaban corbata, pero no saco.

g)

5

estudiantes usaban anteojos y saco, pero no corbata.

encierre en un recuadro cada proposición siguiente que sea verdadera. a) B ∩ C = A ∩ B F d) B ∩ C = C V b) A ∩ B = B V e) A ∪ B = B ∪ C F c) B – C = A – B F f) CAC = (CB C) ∪ (CAB) V

4 Se presentan los conjuntos P, Q, R y varias proposiciones. En cada paréntesis escriba la palabra VERDADERA si la proposición es verdadera, y FALSA si la proposición es falsa.

h) 20 estudiantes usaban saco o corbata, pero no anteojos. i) 11 estudiantes usaban exactamente dos prendas. j)

15 estudiantes usaban por lo menos dos prendas.

k)

22 estudiantes no usaban ni anteojos, ni saco.

l)

32 estudiantes no usaban anteojos.

m) 31 estudiantes no usaban saco. n) 30 estudiantes no usaban corbata.

44


a) b) c) d) e) f) g) h)

3 ∈ (Q - R) 5 ∈ (P - R) 7 ∈ (Q ∩ R) 6 ∈ (Q ∆ R) 8 ∈ (R - P) {4; 6; 7} = Q - P {7; 8; 9} = R - Q {4; 3; 6; 8; 9} = R ∆ Q

( ( ( ( ( ( ( (

V F V V V V V V

) ) ) ) ) ) ) )

CONJUNTOS


Resolución de Problemas 1 De una muestra de 120 adolescentes se observó que el número de varones que usan lentes es el doble del número de mujeres que no usan lentes; 78 personas usan lentes y hay tantas mujeres con lentes como varones sin lentes. ¿Cuántas mujeres no usan lentes? Resolución: lentes

sin lentes

Total

Varones

2x

78 – 2x

78

Mujeres

78 – 2x

x

42

78

42

120

Total

2 En un campeonato de atletismo interescolar participaron 285 personas entre público y atletas. Todos los atletas recibieron medallas distribuidas de la siguiente manera: 95 reciben medalla de oro; 60 reciben medalla de plata; 130 reciben medalla de bronce; 40 reciben medalla de oro y plata; 25 reciben medalla de plata y bronce; 65 reciben medalla de oro y bronce; 20 reciben las tres medallas. ¿Qué cantidad de personas estuvieron como espectadores? Resolución: O

Se observa que: 78 – 2x + x = 42 78 – 42 = 2x – x x = 36 ∴ Hay 36 mujeres que no usan lentes.

3

De 185 lectores de revistas: 47 leen la revista “A”; 13 leen las revistas "B" y "C" 53 leen la revista “B”; 5 leen las revistas "A", "B" y "C" 65 leen la revista “C”; 17 leen las revistas "A" y "C" 15 leen las revistas “A” y “B”; ¿Cuántos leen la revista A, pero no la revista B?

10 45

20 20

15 5 110 B

60

4

∴ 110 personas estuvieron como espectadores

En una fábrica textil laboran 350 personas entre obreros y empleados. Las mujeres constituyen los 2/3 del total de varones. Los 2/7 del total del personal son mujeres obreras; los 3/10 del total del personal no son obreros. ¿Cuántos varones trabajan como empleados? Resolución: 2 Mujeres = Varones 3 Mujeres + Varones = 350

Resolución: U = 185 A 20 12 60

P

B

10 5

30 8

40 C

∴ Leen la revista "A", pero no la revista "B": 20 + 12 = 32

2 v + v = 350 3

5v = 350 ⇒ 3

V = 210 M = 140

2 (350) = 100 7 3 (350) = 105 no son obreros = 10 mujeres no obreras = 140 – 100 = 40 varones no obreros = 105 – 40 = 65 Mujeres obreras =


45


COEVALUACIÓN Nombre del evaluador: ……………………….............................................. Equipo: ………………................................................................................. INSTRUCCIONES:

En la primera columna escribe el nombre de cada uno de tus compañeros de equipo sin incluir el tuyo. Asígnales una puntuación de 0 a 20 en cada uno de los aspectos a evaluar y si crees necesario puedes colocar un comentario.

ASPECTOS A EVALUAR: 1. Su actitud de apoyo para la elaboración del trabajo. 2. Participó activamente en las diferentes actividades del grupo. 3. Cumplió con lo elaborado. 4. Fue tolerante ante las ideas de otros y tomaba en cuenta sus opiniones. 5. Sus aportes los realizó pensando en beneficio del equipo.

Compañeros

Aspectos a evaluar 1

2

3

4

5

Comentarios

1. 2. 3. 4. 5. 6. AUTOEVALUACIÓN Nombre del ALUMNO:…………………………........................................... Equipo:………………….............................................................................. INSTRUCCIONES:

N°

1. 2. 3. 4. 5.

Luego de completar tus datos responde los aspectos que señalan tu desempeño en tu equipo de trabajo marcando con un aspa (X) en la columna de SI o NO y luego completa el recuadro realizando una reflexión sobre tu participación. Aspectos a evaluar

SI

NO

¿Mostré entusiasmo en la participación de la actividad? ¿Participé de manera activa en las diferentes actividades propuestas por el equipo? ¿Realicé aportaciones que ayudaron al buen desempeño de mi equipo? ¿Fui tolerante ante las ideas de mis compañeros? ¿Cumplí puntualmente con lo acordado por el equipo?

REFLEXIONO SOBRE MI DESEMPEÑO EN EL EQUIPO:

............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................

46


CONJUNTOS

HETEROEVALUACIÓN INSTRUCCIONES:

El profesor responderá los aspectos que señalan tu desempeño en tu equipo de trabajo marcando con un aspa (X) en la columna de SI o NO y luego completará el recuadro realizando un comentario sobre tu participación.

N°

1. 2. 3. 4. 5.

Aspectos a evaluar

SI

NO

¿Mostró interés en el desarrollo de la actividad? ¿Participó de manera activa en las diferentes tareas propuestas por el equipo? ¿Realizó aportaciones que ayudaron al buen desempeño del equipo? ¿Es tolerante ante las ideas de sus compañeros? ¿Cumplí puntualmente con lo acordado por el equipo?

REFLEXIÓN SOBRE LA PARTICIPACIÓN DEL ALUMNO EN EL EQUIPO DE TRABAJO:

............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... METACOGNICIÓN Responde de manera personal las siguientes preguntas: 1. ¿Qué dificultades he tenido para comprender el tema de conjuntos?

.............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................. ..............................................................................................................................................................

2. ¿Cómo he superado estas dificultades? .............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................. 3. ¿Qué aplicaciones tiene lo estudiado? .............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................. ..............................................................................................................................................................


47

unidad 1

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