UNIDAD 4. Análisis de Señales Discretas en el Tiempo.
4.1 Teorema del Muestreo. El muestreo es la operación que consiste en tomar muestras periódicas de los valores de una señal continua (analógica) a intervalos regulares del tiempo (o de la variable independiente). La frecuencia a la cual se captura los valores se dice frecuencia de muestreo. El muestreo es el primer proceso de que interviene en la conversión de una señal analógica en digital. Los otros procesos matemáticos son la cuantificación y la codificación. Esta transcripción a señales digitales se realiza con el objetivo de facilitar su procesamiento y darle a la señal resultante mayor inmunidad al ruido y otras interferencias a las que son más sensibles as señales analógicas. Según el Teorema de Nyquist-Shannon para replicar con exactitud la forma de la señal, la frecuencia de muestreo debe ser superior al doble de la máxima frecuencia a muestrear. Ejemplo: Un CD de audio contiene datos musicales muestreados a 44.1 kHz (44.100 muestras por segundo) ya que el oído humano puede captar los sonidos hasta 16 kHz y a veces hasta h asta 22 kHz.
4.2 Cálculo Numérico de la Transformada de Fourier: Transformada Discreta de Fourier. Sea x(t) una señal continua en el tiempo tomaremos una aproximación de una sumatoria de impulso discretos.
(t)= ∑ Puesto que x(t) es efectivamente limitada tanto tiempo como en ancho de banda, esta aproximación es buena. Δt= T/N y N es el número total de muestras tomadas en el tiempo [0,T]. Si mantenemos la naturaleza de banda limitada de x(t) se sigue que Δt ≤ evitar el efecto de Aliasing.
W para
-(f)= ∑ *+ =
Aplicando la Transformada de Fourier esta sumatoria es la transformada de Fourier de una señal discreta representado por los valores {x(n Δt)} y es a veces expresada como una función de la variable ω= 2π f Δt= 2π r , donde r es la
s. Nuestro interés radica en el calcula digital de X(f), conjunto de calores discretos de {0, , , … N- }. Si
frecuencia normalizada de restringiremos
f a
un
definimos f= = kfs, donde k toma valores enteros de 0 a N-1: Rescribiendo x(f).
=∑ La dependencia explícita de x(n Δt) en Δt ha sido descartada y ambas X(f) y x(f) son ahora remplazadas por secuencuas {Xk} y {xn}. Esta es la definición de la Transformada Discreta de Fourier de una secuencia { , = x(Δt), = (Δt),…. = n((n-1) Δt)}.
4.3 Señales Periódicas Discretas en el Tiempo. Si x(t) es periódica su desarrollo en serie de Fourier es:
,-
• Al igual que en tiempo continuo, una señal x[n] discreta y periódica puede representarse como una superposición de exponenciales complejas discretas con frecuencias múltiplos de la frecuencia fundamental. • Si la señal es periódica (x[n] = x[n+N]), con periodo N, su representación mediante la serie de Fourier es:
,- ,-
– Donde ŵ0= 2π/N es la frecuencia fundamental de la señal periódica. La frecuencia de la componente k-ésima en la superposición es k ŵ0. – La frecuencia normalizada, ŵ = w Ts, incorpora la dependencia temporal y permite utilizar n en lugar de t como variable independiente.
Ejemplo: Determinar los coeficientes DTFS para la siguiente señal:
La señal tiene un periodo de 24, de manera que tan solo se hace necesario definir un periodo y evaluar sobre este periodo la DTFS. Los comandos usados para realizar dicho cálculo son: >> n = 0:23; >> x = ones(1,24) + sin( (n * pi / 12) + (3 * pi / 8 ) ); >> X = fft(x)/24; El resultado teórico del ejemplo es el siguiente:
El resultado obtenido mediante los comandos presentados anteriormente es: X= Columns 1 through 5 1.0000 0.0000i
0.4619 - 0.1913i 0.0000 + 0.0000i -0.0000 + 0.0000i -0.0000 +
Columns 6 through 10 -0.0000 - 0.0000i 0.0000 - 0.0000i 0.0000 - 0.0000i 0.0000 + 0.0000i -0.0000 - 0.0000i Columns 11 through 15
-0.0000 - 0.0000i -0.0000 - 0.0000i 0.0000i
0
-0.0000 + 0.0000i -0.0000 +
Columns 16 through 20 -0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i
0.0000 - 0.0000i
0.0000 + 0.0000i
0.0000 + 0.0000i -
Columns 21 through 24 -0.0000 - 0.0000i -0.0000 - 0.0000i 0.0000 - 0.0000i 0.4619 + 0.1913i
Como se puede ver, tres componentes tienen valor diferente de cero. Un uso común de la transformada de Fourier, es encontrar las componentes frecuencia les dé una señal en el dominio del tiempo que está contaminada con ruido. Considérese dos señales senoidales que tienen frecuencias fundamentales de 50Hz y 120Hz, luego considérese estas señales contaminadas con ruido aleatorio. Los comandos para generar una señal con las especificaciones anteriormente mostradas son los siguientes:
>> t = 0:0.001:0.6; >> x = sin ( 2 * pi * 50 * t ) + sin ( 2 * pi * 120 * t ); >> y = x + 2 * randn ( size ( t ) ); >> plot( 1000 * t (1:50), y (1:50) )
Es de gran dificultad identificar las componentes de frecuencia mirando la señal original. Sin embargo al realizar la conversión de esta señal al dominio de la frecuencia, la identificación de estas componentes se hace más sencilla. La conversión de la señal al dominio de la frecuencia se hace calculando la Transformada R ápida de Fourier, tomando para el cálculo los primeros 512 puntos de la señal. El espectro de potencia es una medida de la potencia a varias frecuencias, y este puede ser calculado con los siguientes comandos. >>Pyy = Y .* conj (Y) / 512;
Para realizar la gráfica se puede tener en cuenta que la información que aparece en el arreglo Pyy es por propiedades de la transformada, simétrica con respecto a la frecuencia media, es decir que si tenemos 512 puntos de muestra, la señal que esta almacenada en el arreglo es simétrica con respecto a la muestra 256, por lo tanto dibujar las ultimas 256 muestras del arreglo será completamente innecesario. De manera que para visualizar el espectro de potencia los comandos deben ser como se muestran a continuación:
>> f = 1000*(0:256)/512; >> plot(f,Pyy(1:257))
Para ver todas las muestras y entender la característica de simetría descrita anteriormente se pueden utilizar los siguientes comandos:
>> f = 1000*(0:511)/512; >> plot(f,Pyy)
Del espectro de potencia se puede visualizar que las componentes con mayor frecuencia se encuentran a los 50 y 120 Hz respectivamente. Comprobando así que las señales de las cuales se formó la señal contaminada con ruido tienen estas frecuencias fundamentales. Ejemplo:
Una señal periódica discreta en el tiempo (con periodo N ) se puede ver como un conjunto de números finitos. Por ejemplo, digamos que tenemos el siguiente
conjunto de números {…,3,2,-2,1,3,…}
que
describe
una
señal
discreta,
donde
=4: N
Podemos representar esta señal como una señal periódica o como un intervalo simple de la siguiente forma: Función en el intervalo de [0,T].
Ejemplo: El conjunto de señales de tiempo discreto con periodo N es igual a CN . Tal como en el caso continuo, formaremos una base usando senosoidales armónicos. Antes de esto, es necesario ver las senosoidales complejas discretas con mas detalle.
4.4. Señales no periódicas: Transformada de Fourier Discreta en el Tiempo.
Sea x[n] una señal no periódica de tiempo discreto tal que
∑ | ,-|
, esto es que la secuencia x[n] es sumable absolutamente.
La secuencia de x[n] puede ser representado por a integral de Fourier dela forma:
x[n]=
∫ ( )
(1)
donde:
= ∑ ,-
X
(2)
La ecuación (1) se denomina ecuación de síntesis o la transformada de Fourier inversa de tiempo discreto y la ecuación (2) se denomina ecuación de análisis o transformada de Fourier de tiempo discreto. La Transforma de Fourier de tiempo discreto de una señal en general es una función compleja y puede ser escrita como:
X
es la parte real y es la parte imaginaria de una función . donde
Ejemplo: muestra la gráfica de la secuencia, la transformada de Fourier de tiempo discreto existe y es sumable absolutamente, se tiene : [8]
|,-| | ,-| || ||
Este es una serie geometrica y la sumatoria existe si |a|<1, en ese caso, se tiene:
|| ||
Deeste modo, la transformada de Fourier de tiempo discreto de la secuencia existe si |a|<1. La transformada de Fourier de tiempo discreto es:
,- ,-
,- Esta serie eciste, si |a
| ||
4.5 Propiedades de la TFDT. Se presentan las propiedades de la Transformada de Fourier de Tiempo Discreto son útiles para encontrar las transformadas de funciones complicadas a partir de las transformadas de funciones simples. En el cuadro se muestra las propiedades de la Transformada de Fourier de Tiempo Discreto.
4.6 Análisis de Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo Discreto usando TFDT. Los grupos de sistemas que combinan las características de linealidad e invariación en el tiempo, son muy importantes pues tienen aplicaciones significativas en el proceso digital de señales. La propiedad de invariación en el tiempo implica que si h[n] es la respuesta del impulso δ [n], entonces la respuesta a δ[n-k] es h[n-k]. Así la salida: y[n] =
∑ ,- , -.
Como consecuencia de la ecuación un sistema lineal invariante en el tiempo se caracteriza complemente por su respuesta al impulso (h[n]). Así teniendo una h[n] determinada, es posible calcular la salida y[n] provocada por una entrada x[n]. Comúnmente la ecuación es llamada suma de convolución, se dice que y[n] es la convolución de x[n] con h[n]. Y se representa de la siguiente manera y[n]= x[n] * h[n]. La operación de convolución (discreta en el tiempo), toma dos desiciones x[n] y h[n] para producir una tercera y[n]. La derivación de la ecuación sugiere que la muestra de entrada en n= k (x[n] δ [n-k]), sea transformada por el sistema en una secuencia de salida x[k] h [n-k] (-∞ < n < ∞), sobreponiéndose en cada salida.
k para
formar la secuencia de
