REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO “SANTIAGO MARIÑO” EXTENSIÓN MATURÍN
VIGAS HIPERESTÁTICAS POR EL MÉTODO DE TRES MOMENTOS
Trabajo de Recuperación de Índice Académico. Académico.
Aut!"# Yaneth Pérez. Tut!# Ing. Lorenzo Mantilla.
M"tu!$%& A'(t& )*+,-
2
M"tu!$%& A'(t& )*+,-
2
2
INDICE GENERAL
3
INTRODUCCIÓN CAPÍTULOS I-EL PROBLEMA C%t./tu"012"314% 5.0 6!70.8"
!
O79.t1:( 5. 0" 1%:.(t1'"314% "bjeti#o $eneral
!
"bjeti#o %&pec'(ico )
;u(t1<13"314% 5. 0" I%:.(t1'"314%
)
II-MARCO RE=ERENCIAL D.("!!00 5.0 t.8" * V1'"( * V1'"( H16.!.(t>t13"( * V1'"( C%t1%u"(
+
A6013"314% 5.0 8?t5 6! 6"(( , R.(u0t"5(
CONCLUSIONES !RE=ERENCIAS..............................................................................................! ANEXOS..........................................................................................................),
4
INTRODUCCION %l an/li&i& de la& de(ormacione& en #iga& no& permite limitar lo& de&cen&o& de la& mi&ma&0 entregando &eccione& adecuada& 1 por otra parte incorporar nue#a& e2pre&ione& para re&ol#er #iga& hipere&t/tica&. 3na (orma de en(ocar la re&olución de la& #iga& hipere&t/tica& con&i&te en de&componer la #iga inicial en #aria& #iga& cu1o e(ecto &umado e4ui#alga a la &ituación original. La& &olicitacione& e2terna&0 carga& 1 reaccione&0 generan cortante0 momento 1 de(ormación0 &iendo #/lido el principio de de&compo&ición de la& #iga& en #iga& cu1a& accione& &umen el mi&mo e(ecto. Para la re&olución matem/tica de la e&tructura0 e& decir0 el e&tudio de la& carga& 1 e&(uerzo&0 e2i&ten #ario& método& de an/li&i& de de(ormacione& de #iga&0 e& mu1 importante conocer la& herramienta& nece&aria& para determinar de(le2ione& 1 giro& en elemento& e&tructurale& e& por e&o 4ue para re&ol#er un problema de an/li&i& e&tructural e& nece&ario hacer tanto un e&tudio matem/tico0 para determinar la& carga& 1 e&(uerzo& 4ue a(ectan a la e&tructura0 como un e&tudio ar4uitectónico0 para determinar el material a utilizar en la con&trucción de la e&tructura a&' como &u& dimen&ione&. Para e&o ha1 #ario& método& matem/tico& de an/li&i& de de(ormacione& de #iga& entre ello& tenemo&5 • • • • •
método de /rea de momento0 método de #iga conjugada0 tre& momento&0 método de la doble integración entre otro&.
%n el pre&ente trabajo daremo& a conocer todo lo re(erente al c/lculo de #iga& hipere&t/tica& por el método de Tre& Momento&.
CAPITULO I
1
EL PROBLEMA C%t./tu"012"314% 5. P!70.8" %l ingeniero (rancé& 6lape1ron en -789 enunció por primera #ez la ecuación (undamental de lo& tre& momento&. :La ecuación de lo& tre& momento& e& aplicable a tre& punto& cual4uiera de un #iga0 &iempre 4ue no ha1a di&continuidade&0 tale& como articulacione&0 en e&a parte de la e&tructura;. %ntonce&0 e&te método &ir#e para hallar lo& momento& en lo& apo1o& de una #iga hipere&t/tica0 o en punto& caracter'&tico& o notable& de la #iga. Al aplicar la ecuación (undamental de lo& tre& momento&0 a tre& punto& de apo1o con&ecuti#o& i0 j0 <0 lo& término& del corrimiento del &egundo miembro de la ecuación &er/n nulo& o iguale& a mo#imiento& conocido& de lo& punto& de apo1o9 obteniendo de e&ta manera una ecuación 4ue contiene0 como =nica& incógnita&0 a lo& momento& en lo& apo1o&. %&to &igni(ica0 4ue podemo& e&cribir una ecuación en (orma independiente0 para tre& punto& de apo1o con&ecuti#o& en una #iga continua. >e e&ta manera0 &e llega a un &i&tema compatible :n; ecuacione& independiente& con :n; incógnita& 4ue &on lo& mo#imiento& en lo& apo1o&0 lo& cuale& &e hallan re&ol#iendo el &i&tema. 6uando en una e&tructura continua0 tenemo& un apo1o e2tremo empotrado0 la (orma de &al#arlo lo #eremo& en lo& ejercicio& de aplicación.
O79.t1:( 5. 0" I%:.(t1'"314% O79.t1: G.%.!"0 6alcular #iga& hipere&t/tica& por el método de tre& momento&.
2
O79.t1:( E(6.3$<13( >ar a conocer todo lo re(erente al método de Tre& Momento&. Analizar toda la teor'a a (in de no tener problema& al momento de re&ol#er lo& ejercicio&. Re&ol#er ejercicio& utilizando el Método de tre& momento&.
;u(t1<13"314% 5. 0" I%:.(t1'"314% Manejar correctamente la ecuación de lo& tre& momento& para el mejor entendimiento 1 re&olución de lo& ejercicio&. "btener bueno& re&ultado& en el aprendizaje del pre&ente tema0 conociendo aun m/& la teor'a.
3
CAPITULO II D.("!!00 5.0 T.8" %n toda edi(icación con e&tructura& 4ue recibir/n pe&o& 1 (le2ione& &e nece&itan colocar elemento& con&tructi#o& 4ue &on e&pec'(icamente di&e?ado& para ello. %n e&te cap'tulo dedicado a la& #iga& #amo& a hablar a cerca de toda& 1 de cada una de ella&0 haciendo mención de la& ecuacione& 4ue &e nece&itan para llegar determinar cu/l de ella& u&ar0 en el momento 1 edi(icación preci&a. Para conocer a la& #iga& hipere&t/tica&0 e& nece&ario &aber 4ué e& 1 cómo de(inir una #iga.
V1'"( La& #iga& &on (undamentale& en la& con&truccione& de obra&0 e& un elemento con&tructi#o lineal0 4ue hace el trabajo de (le2ión0 1 en la& #iga& la longitud predomina &obre la& otra& do& dimen&ione&. @on la& 4ue &e encargan de &oportar todo el pe&o de un techo0 o cual4uier otro tipo de carga0 1 depende del tama?o del edi(icio de la cantidad0 del pe&o 1 de la longitud de la& #iga&0 en la con&trucción de #i#ienda& &e u&an #iga& de do& tipo& la& #iga& de concreto para ba&e& e&tructurale& de do& m/& pi&o&0 1 la& #iga& de madera.
V1'"( H16.!.(t>t13"( @on la& 4ue como &u palabra lo indica0 permanecen r'gida&0 e&t/tica&0 pero para llegar a colocarla& e& nece&ario haber realizado ante&0 un an/li&i& o e&tudio de cada ca&o. Lo& procedimiento& de an/li&i& 1 de e&tudio &e denominan de cuanti(icación0 e& decir 4ue midiendo el e4uilibrio0 de la di&tribución del (actor tran&porte 1 pe&o0 1 e& un procedimiento 4ue (inaliza cuando el momento de la (uerza
4
&ea tan pe4ue?o 4ue no a(ecte de ning=n modo el momento de (uerza (inal de la #iga. Para ello &e lle#an a cabo medicione& para cada barra0 con la& (órmula& e&pec'(ica&0 1 &e calculan lo& (actore& de di&tribución por nodo0 4ue e& cuando &e mide la rigidez de la& barra& o #iga&. >icho en palabra& m/& &encilla&0 podemo& decir 4ue la& #iga& hipere&t/tica&0 &on la& barra& horizontale& 4ue tienen do& empotramiento& en &u& e2tremo&0 pero e&to& empotramiento& tienen cada uno un momento de (uerza0 4ue &on momento de (uerza horizontal0 1 momento de (uerza #ertical.
Pu.%t. 3%(t!u15 8.51"%t. :1'"( 5. "3.! 3%t1%@"(-
Lo& método& m/& acon&ejable& para medir o calcular e&o& momento& de (uerza&0 &e deben de determinar toda& la& (uerza& 4ue &e mue&tran0 haciendo la& ecuacione& de &uma en e&e momento en un e2tremo0 1 luego en el otro0 a&' de e&ta manera &e obtiene0 el método adecuado. La& #iga& hipere&t/tica&0 &e u&an en (orma habitual en la& edi(icacione& por4ue la #entaja 4ue é&ta& po&een e& 4ue no tienen #ibración0 por la acción de la carga con la 4ue e&t/n di&e?ada&0 aun4ue no &on recomendada& en zona& de &i&mo&0 por4ue la& (uerza& en e&to& ca&o&0 &obrepa&an la re&i&tencia 4ue tienen en &u di&e?o 1 &e rompen la& e&tructura&. %n mucho& ca&o& &e pueden lograr 4ue la& #iga& hipere&t/tica& &e colo4ue en lugare& en lo& 4ue tienen lugar lo& mo#imiento&0 pero para ello &e deben agregar otro& elemento& 4ue por &u alto co&to &e recurre directamente a otro&. Lo& ingeniero& ci#ile& &on lo& pro(e&ionale& 4ue &aben calcular la& ecuacione& 1 n=mero& de incógnita& 4ue
5
tienen la& #iga& hipere&t/tica&0 1a 4ue &on c/lculo& complejo& &i lo de&ean calcular per&ona& 4ue no conocen la& ecuacione& determinada& para la obra. %n cual4uier obra de e&tructura &e nece&itan conocimiento& de la& (uerza& con la& 4ue trabajan lo& mo#imiento& de lo& pe&o& de (le2ión0 e& por ello 4ue &e hace nece&ario 4ue la& #iga& de apo1o &ean la& 4ue corre&ponden a cada ca&o0 como e& el ca&o de la& #iga& hipere&t/tica&. La& carga& pueden &er a(ectada& en (orma &igni(icati#a en la e&tructura 1 la& mi&ma& &e la& puede di#idir en carga& permanente&0 en carga& tran&itoria& o en carga& #ariable&. Para conocer lo& &oporte& de cual4uier #iga &e hacen nece&ario&0 lo& c/lculo& de lo& &i&tema& de (uerza& 1 &e deben conocer lo& #alore& de &u& &oporte&. %n una #iga de apo1o &imple0 por ejemplo genera una (uerza0 1 una reacción0 4ue e& determinada a ella.
VIGAS CONTINUAS 6uando &e trabajan con #iga& con m/& de un tramo en #iga& continua&0 la& reaccione& no pueden &er calculada& e&t/ticamente. 3na (orma de re&ol#erla& e& aplicando el Teorema de lo& Tre& Momento&0 el cual puede &er utilizado también para re&ol#er #iga& de un &olo tramo. %&ta ecuación puede &er e2pre&ada de la &iguiente manera5
M L ! M! BL L!C M) L!
6 A 1 a 1
L 1
>onde5 M0 M!0 M) D Momento& (lectore& en lo& apo1o& 0 ! 1 ). L0 L! D Longitude& en lo& tramo& 1 !
6
+
6 A 2 b 2
L 2
D ,
A0 A! D Erea >el diagrama de momento& (lectore& de la& carga& &obre lo& tramo& 1 !. aD >i&tancia del centro del diagrama de momento& (lectore& del tramo al apo1o . bD >i&tancia del centro del diagrama de momento& (lectore& del tramo ! al apo1o ). Lo& término&5 6 A 1 a 1
L 1
6 A 2 b 2
L 2
Pueden obtener&e (/cilmente de la &iguiente tabla0 4ue agrupa lo& + tipo& de carga& b/&ico&. %&to& tipo& b/&ico& de carga pueden combinar&e para obtener tipo& m/& complejo&0 &um/ndo&e o re&t/ndo&e. @i &e #a a trabajar con m/& de do& tramo&0 deben e&cribir&e una ecuación de Tre& Momento& por cada par de tramo& con&ecuti#o&. Por ejemplo5
@i &e #a a trabajar con m/& de do& tramo&0 deben e&cribir&e una ecuación de Tre& Momento& por cada par de tramo& con&ecuti#o&. Por ejemplo5
M L ! M! BL L!C M) L! M! L! ! M) BL! L)C M* L)
7
6 A 1 a 1
L 1 6 A 2 a 2
L 2
+
6 A 2 b 2
+
6 A 3 b 3
L 2
L 3
D , D ,
M) L) ! M* BL) L*C M7 L*
6 A 3 a 3
L 3
+
6 A 4 b 4
L 4
D ,
%n e&te ca&o tendr'amo& ) ecuacione& con 7 incógnita& BM0 M!0 M)0 M* 1 M7C. $eneralizando0 &iempre #amo& a tener do& incógnita& m/& 4ue la& ecuacione& de Tre& Momento& 4ue #amo& a con&truir. Pero lo& momento& en lo& e2tremo& pueden &er hallado& de acuerdo a lo& &iguiente& criterio&5
@i tenemo& un apo1o &imple0 el momento en dicho e2tremo &er/ igual a cero. Para el diagrama de arriba0 M D , 1 M7 D ,. @i tenemo& un empotramiento0 &e puede con&truir una ecuación adicional de Tre& Momento&0 creando un tramo #irtual en el 4ue todo& lo& #alore& &ean iguale& a cero. Para el diagrama de arriba0 &i &uponemo& 4ue el apo1o 7 e& un apo1o empotrado0 podr'amo& e&cribir la &iguiente ecuación de Tre& Momento&0 en donde todo& lo& término& con &ub'ndice cero #alen cero5 " &ea5 M* L* ! M7 L*
6 A 4 b 4
L 4
D ,
@i tenemo& un #oladizo0 el momento en tal e2tremo &eguir/ #aliendo cero. Adem/&0 el momento &iguiente al de dicho e2tremo &er/ igual a la &uma de lo& producto& de la& carga& por &u brazo de palanca a e&te =ltimo apo1o.
M D , 1 M!D PL
8
Aplicando el Teorema de lo& Tre& Momento& e& (/cil obtener lo& momento& (lectore& en cada apo1o. Fallar la& reaccione& en cada apo1o e& igualmente &encillo0 utilizando la &iguiente (órmula0 para cada tramo5 M 2− M 1 R D L 1 M 1− M 2 R! D L 1
Po&teriormente0 la& reaccione& e4ui#alente& de cada tramo &e &uman.
Por medio de e&te teorema puede analizar una #iga apo1ada por cual4uier n=mero de apo1o&0 e&to &e debe a 4ue relaciona lo& momento& (le2ionante& en tre& B)C
9
apo1o& entre &' 1 con la& carga& 4ue &e encuentran en la #iga. La ecuación de tre& momento& (ue determinada en la &upo&ición de momento& (lectore& po&iti#o&. %n un problema particular0 donde &e tienen m/& de do& tramo&. 3n n=mero &u(iciente de ecuacione& &imult/nea& para determinar lo& momento& de&conocido& &e obtiene imaginando &uce&i#amente lo& apo1o& de tramo& contiguo&. >e manera &imilar ocurre cuando &e tiene un &olo tramo0 donde &e agregan tramo& con condicione& cero B,C0 para adaptar&e a la ecuación de tre& momento&.
APLICACIÓN DEL MÉTODO POR PASOS @eparar la #iga en tramo& tom/ndolo& de do& en do&. @uperponer la& carga& en cada tramo &in #iolar lo& principio& de la e&t/tica. 6alculando 1 ubicando la& reaccione& de lo& apo1o&. 6on&truir el diagrama de cortante 1 momento (lector0 calculando 1 ubicando aérea& 1 &u& re&pecti#o& cancroide&. Aplicar la ecuación de tre& momento& en lo& tramo&0 de do& en do&. "bteniendo un &i&tema de ecuación de do& ecuacione& 1 do& incógnita& por cada tramo. @u&tituir 1 re&ol#er. 6on&iderando la& condicione& de borde0 donde lo& momento& &on cero B,C. 6on el #alor de lo& momento& calculado&0 &u&tituir en la& ecuacione& de (uerza0 calculando la& (uerza& en lo& tramo& con lo& #alore& encontrado& para obtener la& reaccione& reale& de lo& apo1o&. 6on&truir el diagrama de momento 1 cortante total de la e&tructura.
10
RESULTADOS E;ERCICIO +6alcule el corte 1 el momento en la &iguiente #iga hipere&t/tica.
,** <8 !0-7m
!0-7m
!0-7m
,** <8 !0-7m
!0-7m R
R!
!0-7m R)
R*
,** <8 !0-7m R
L
!0-7m R!
L!
R)
Por tabla BL D L!C 6 A 1 a 1
L 1
D
w.L³ L 1 D
500 ( 2.85) ³ 4
=2893,6406
D. 0" .3u"314% 5. t!.( 88.%t(# M . !0-7 ! M! B!0-7 !0-7C M) !0-7 %n la reacción M D , %ntonce& 4ueda5 11
2893,6406 + 2893,6406
D ,
0* M! !0-7 M) 78-80!-! D ,
!
%c.
,** <8 !0-7m R!
L!
!0-7m R)
M! L! ! M) BL! L)C M* L)
L)
R*
6 A 2 a 2
L 2
+
6 A 3 b 3
D ,
L 3
%n la reacción * M* D , %ntonce& 4ueda5 !0-7 M! 0* M) !-)0+*,+ !-)0+*,+ D , !0-7 M! 0* M) 78-80!-! D ,
%c. !
Re&ol#iendo %c. 1 %c. ! por hp5
M! D G*,+0!7,
G*,+0!7,
2
R+ ,* '< M) D εMizquierda +¿ 5,7
G*,+0!7,
12
2
R) +,&, '< M* D εMizquierda+¿ 8,55
, D B78, . -077C B7+807 . 708C H 7,, . -077
R). !0-7
2
RF +,&, '< Para todo
εFy = 0
R R! R) R* H 7,, . -077 D , D R* D 78,
I 3!t.
0 ≤ x ≤ 2.85
w ( x )=−500 v ( x )=−500 x + 570 M ( x )=−250 x ² + 570 x = 324,9 kgf . m
6orte con eje 2 B# D ,C , D G7,,2 78, D 2 D .*
T"70" 5. :"0!.( /
v ( kgf )
M (kgf . m)
, !0-7
78, G-77
, G*,+0!7
!0-7J
8!07
G*,+0!7
( m)
!0-7JD G-77 7+807 D 8!07
II 3!t.
0 ≤ x ≤ 2,85
w ( x )=−500
13
v ( x )=−500 x + 712,5 M ( x )=−250 x ² + 712,5 x − 406,125
6orte con eje 2 B# D ,C , D G7,,2 8!07 D 2 D 0*!7 MB0*!7C D ,07)
T"70" 5. :"0!.( /
v ( kgf )
M (kgf .m)
, !0-7
8!07 G8!07
G*,+0!7 G*,+0!7
!0-7J
-77
G*,+0!7
( m)
v ´ B!0-7JC D G8!07 7+807 D -77
III 3!t.
0 ≤ x ≤ 2,85
w ( x )=−500 v ( x )=−500 x + 855 M ( x )=−250 x ² + 855 x −406,125
6orte con eje 2 B# D ,C , D G7,,2 -77 D 2 D 08 MB08C D )!*0
T"70" 5. :"0!.( /
v ( kgf )
M (kgf .m)
-77 G78,
G*,+0!7 ,
( m) , !0-7
14
!0-7J
,
,
v ´ B!0-7JC D G78, 78, D ,
,**'<8 78,
7+807
7+807
v ( kgf ) 855
712,5
570
15
78,
x ( m )
-
M ( kgf ) -
x ( m)
101,5
324,
E;ERCICIO )6alcule el corte 1 el momento en la &iguiente #iga hipere&t/tica.
), <8 !0!,m
)0,,m
0-,m ), <8
16
!087m
!087m
!0!,m
)0,,m
R
0-,m
R!
R)
!087m R*
!087m R7
Primero bu&camo& M7 2,75
M7 D GB!87
C D G,)0-*)*8
2
Ahora aplicamo& la ecuación de tre& momento&
), <8 !0!m R
)0,m L
R!
L!
R)
Por tabla 6 A 1 a 1
L 1 6 A 2 a 2
L 2
D
w.L³ L 1 D
275 ( 2,2) ³
D
w.L³ L 2 D
275 ( 3,0 ) ³
4
4
=732,05 kgf / m K =1856,25 kgf / m K
M . L ! M! BL L!C M) L!
6 A 1 a 1
L 1
%ntonce& no& 4ueda5 ,0* M! ) M) !7--0) D ,
!
%c.
), <8 )0,m R!
L!
0-,m R)
L)
R*
Por tabla
17
6 A 2 b 2
L 2
D ,
6 A 3 a 3
L 3
D
w.L³ L 3 D
275 ( 1.8 ) ³
=400,95 kgf / m ²
4
6 A 2 a 2
M! L! ! M) BL! L)C M* L)
L 2
)M! 0+ M) 0- M* !!780! D , )
+
6 A 3 b 3
L 3
D ,
%c. !
), <8 0-,m R)
L)
!087m R*
L*
R7
Por tabla 6 A 4 a 4
L 4
D
w.L³ L 4 D
275 ( 2.75 ) ³ 4
M) L) ! M* BL) L*C M7 L* 70-M) 0M* H ,!-0-)*) D ,
=1429,7852 kgf / m ²
6 A 3 a 3
L 3
+
6 A 4 b 4
L 4
%c. )
Bu(3"%5 !."331%.( M! D εMizquierda +¿ 2,2
G-0-+-
2
R+ )+&)* '< M) D εMizquierda+¿ 5,2
G!,*078
R) &FF '< M* D εMizquierda +¿
18
2
D ,
7
7)07!* D !+0!, . 8 B8+0))+ . *0-C R) . 0- G !87. 8
2
RF F&,F+ '<
M7 D
εMizquierda+¿
G,)0-*)*8 D !+0!, . .87 8+0))+ . 8077 -+)0-7) . *077 R* . !087 G !87. 9,75
087
2
R J &)F '< Para todo
εFy = 0
R R! R) G R* R7 H !87 . !07 D , D R7 D 7+-0)!8
I 3!t.
0 ≤ x ≤ 2,85
w ( x )=−275 v ( x )=−275 x + 216,20 M ( x )=−137,5 x ² + 216,20 x = 84,986 kgf .m
6orte con eje 2 B# D ,C , D G!872 !+0!, D 2 D ,
T"70" 5. :"0!.( /
v ( kgf )
M (kgf .m)
, !0!
!+0! G)--0-
, G-0-+
!0!J
*,807)+
G-0-+
( m)
#B!.!JCD G)--0- 8+0))+ D *,807)+
19
II 3!t.
0 ≤ x ≤3
w ( x )=−275 v ( x )=−275 x + 407,5936 M ( x )=−137,5 x ² + 407,5936 x −189,86
6orte con eje 2 B# D ,C , D G!872 *,807)+ D 2 D 0*-! MB0*-!C D !0!
T"70" 5. :"0!.( 2
v ( kgf )
M (kgf .m)
, )
*,807)+ G*80*,+
G-0-+ G!,*078!
)J
**+0**+8
G!,*078!
( m)
v B)JC D G*80*,+ -+)0-7) D **+0**+8
III 3!t.
0 ≤ x ≤ 1,80
w ( x )=−275 v ( x )=−275 x + 446,4467 M ( x )=−137,5 x ² + 446,4467 x −204,5792
6orte con eje 2 B# D ,C , D G!872 **+0**+8 D 2 D 0+!)* MB0+!)*C D 780-
T"70" 5. :"0!.(
20
/
v ( kgf )
M (kgf .m)
, .-
**+0**+8 G*-077))
G!,*078! 7)07!*
.-J
G770-!8
7)07!*
( m)
v B0-,JC D G*-077)) H 80!8)- D G770-!8
IV 3!t.
0 ≤ x ≤ 2,75
w ( x )=−275 v ( x )=−275 x + 55,8271 M ( x )=−137,5 x ² + 55,8271 x −153,5249
T"70" 5. :"0!.( /
v ( kgf )
M ( kgf .m )
( m) ,
55,8271
!087
G
G,)0-*)
!087J
-!0,88 87+0!7
G,)0-*)
v B!087JC D G-!0,88 7+-0)!8D 87+0!7
V 3!t.
153,5249
0 ≤ x ≤ 2,75
w ( x )=−275
21
v ( x )=−275 x + 756,25 M ( x )=−137,5 x ² + 756,25 x −¿ ,)0-*)
T"70" 5. :"0!.( /
v ( kgf )
M (kgf .m)
756,25
−1039,843
,
,
( m) ,
!087
), '<8
!+0!,
8+0))+
-+)0-7)
80!8)-
V (kf.m)
756,2 446,44 407,59 216,2
22
7+-0)!8
2m -388,8 -
M
-
-
2m
84,896 112,199 153,52 157,811
E;ERCICIO F6alcule el corte 1 el momento en la &iguiente #iga hipere&t/tica.
* <8 !0,m
!0-,m
!0-,m
!0-,m
* <8
23
)0,m
)0,m
!0,m
!0-,m R
!0-,m
!0-,m
R!
R)
)0,m R*
)0,m R7
Primero bu&camo& M 1 M7 M D GB*-,
2m
C D G+,
2 3m
C D G!+,
2
Ahora aplicamo& la ecuación de tre& momento&
* <8 !0-m R
!0-m L
R!
L!
R)
Por tabla 6 A 1 a 1
L 1
D
480 ( 2,8 ) ³
w.L³ L 1 D
4
=2634,24 kgf / m K
M . L ! M! BL L!C M) L!
6 A 1 a 1
L 1
6 A 2 b 2
L 2
D ,
%ntonce& no& 4ueda5 G+,
!
%c.
* <8 !0-m R!
L!
!0-m R)
L)
R*
24
Por tabla 6 A 3 a 3
L 3
D
w.L³ L 3 D
480 ( 2,8 ) ³
=2634,24 kgf / m ²
4
6 A 2 a 2
M! L! ! M) BL! L)C M* L)
L 2
M! !0- ! M) B!0- !0-C M* . !0- !0-M! 0! M) !0- M* D G7!+-0*-
)
+
6 A 3 b 3
L 3
2634,24 + 2634,24
D , D,
%c. !
* <8 !0-m R)
L)
!0-m R*
L*
R7
Por tabla 6 A 3 a 3
L 3 6 A 4 a 4
L 4
D
w.L³ L 3 D
480 ( 2,8 ) ³
D
w.L³ L 4 D
480 ( 3 ) ³
4
4
M) L) ! M* BL) L*C M7 L*
=2634,24 kgf / m ²
=3240 kgf / m ² 6 A 3 a 3
L 3
+
6 A 4 b 4
L 4
M) !0- ! M* B!0- )C H !+,0) !+)*0!* )!*, D , !0-M) 0+M* D +,708+
%c. )
>e %c. 0 %c. ! 1 %c. ) con FP
M) J+*&*) '-8 MF J,&, '-8 M +&*F '-8
25
D ,
Bu(3"%5 !."331%.( M! D εMizquierda+¿ 4,8
G,0,!+
2
R+ +F,&+F '< M) D εMizquierda +¿ 7,6
G*-70*7-.m D )70). 70+ R! . !.- H *-, . 80+
2
R) *,&))'< M* D εMizquierda+¿ 10.4
+0*,*) D )70). -0* ,70+!8! . 70+ R) . !0- H *-, . ,0*
2
RF ++)&F)'< M7 D εMizquierda +¿ G!+, D )70). 0* ,70+!8!. 70+ 8!0)*-! . 70- R* . ) H *-, . )0* 13,4 2
R F+&F,, '<
Para todo
εFy = 0
R R! R) R* R7 H *-,
I 3!t.
0 ≤ x ≤2
w ( x )=−480 v ( x )=−480 x
26
M ( x )=−240 x
2
T"70" 5. :"0!.( /
v ( kgf )
M (kgf .m )
, !
, G+,
, G+,
!J
870)
G+,
( m)
#B!JCD G+, )70) D 870)
II 3!t.
0 ≤ x ≤ 2,8
w ( x )=−480 v ( x )=−480 x + 975,9193 M ( x )=−240 x ² + 975,91936 x −960
6orte con eje 2 B# D ,C , D G*-,2 870) D 2 D !0,))! MB!0,))!C D G!*,B!0,))!CK 870)B!0,))!C H +, D)!0,!+
T"70" 5. :"0!.( /
v ( kgf )
M (kgf . m)
( m) , !0-
870) G)+-0,-,8
G+, G,0,!+
!0-J
7)807*+7
G,0,!+
v B!0-JC D G)+-0,-,8 ,70+!8! D 7)807*+7
27
III 3!t.
0 ≤ x ≤ 2,80
w ( x )=−480 v ( x )=−480 x + 537,5465 M ( x )=−240 x ² + 537,5465 x −109,026
6orte con eje 2 B# D ,C , D G*-,2 7)807*+7 D 2 D 0! MB0!C D 08,
T"70" 5. :"0!.( /
v ( kgf )
M (kgf .m)
, !.-
7)807*+7 G
G,0,!+ G*-70*7-
!.-J
-,+0*,)7 ,70**8
G*-70*7-
( m)
v B!0-,JC D G-,+0*,)7 8!0)*-! D ,70**8
IV 3!t.
0 ≤ x ≤3
w ( x )=−480 v ( x )=−480 x + 56,4198 M ( x )=−240 x ² + 56,4198 x +¿ +07**
T"70" 5. :"0!.( /
v ( kgf )
M ( kgf . m )
−56,4198
169,5494
(m) ,
28
)
G*+0*-
G!+,
)J
**,
G!+,
v B)JC D G*+0*- !)+0*+-D **,
V 3!t.
0 ≤ x ≤3
w ( x )=−480 v ( x )=−480 x + 1440 M ( x )=−240 x ² + 1440 x − 2160
T"70" 5. :"0!.( /
v ( kgf )
M (kgf .m )
( m) , )
1440
−2160
,
,
* <8
V (kgf.m)
)-0)
,70+!8!
8!0)*-!
1140 975,919 905,94
537,546
29
)-0+)77
!)+0*+-
X (m) -960 -
M (kgf.m)
-2160
-960 -
-109,026
X (m) 32,1026 169,5494 191,970 369,437
30
CONCLUSIONES Lo& procedimiento& e&tudiado& para el an/li&i& 1 c/lculo de la de(ormación de una #iga continua. %n el principio de &uperpo&ición e&tablece 4ue el e(ecto de un conjunto de carga& 4ue act=a &imult/neamente0 e& el mi&mo cuando &e &uman lo& e(ecto& de cada una de ella& actuando por &eparado. %l método de lo& tre& momento& e& de&arrollado por 6lape1ron para el c/lculo de la& #iga& continua&0 con&iderando como tale& a la& e&tructura& lineale& (ormada& por #ario& tramo& de #iga& apo1ada&. %&te método toma como incógnita& hipere&t/tica& lo& momento& (lectore&5 M!0 M)0 4ue act=an en la& &eccione& tran&#er&ale& corre&pondiente& a lo& apo1o& intermedio&. %l teorema de lo& tre& momento& permite el c/lculo de lo& momento& (lectore& &olicitante& en lo& apo1o& de la& #iga& continua&. @u deducción e&t/ ba&ada en la& condicione& de de(ormación de la& #iga& en el régimen el/&tico.
31
BIBLIOGRA=IA
"rtiz errocal0 L.0 Re&i&tencia de materiale&0 Mc$raGFill0 !,,!0 I@N -*G*-G ))7)G+. P1tel0 A. @inger.0 Re&i&tencia de materiale&0 Alaomega grupo editorG"O"R>. Me2ico !,,*. http5.monogra('a&.com
32
ANEXOS
33
V1'" 3%t1%u" K 0" !.6!.(.%t"314% 5.0 88.%t <0.3t! u. "3t@" .% .00"
34
