31
OVER DE ETHERISCHE RUIMTE
GEORGE ADAMS
Vertaling :
'Von dem ätherischen Raume'
'Physical and Ethereal Spaces'
Dit werk verscheen onder dezelfde titel in het tijdschrift 'Natura'
6e jaargang deel 5/6 Dornach 1933
INHOUD
Voorwoord door Olive Whicher blz. 3 - 4
De oude en de nieuwe (projectieve) geometrie blz. 5 - 13
De 'tegenruimte' en zijn krachten blz. 15 - 20
De polariteit bij het oppervlak van de bol blz. 21 - 28
Fysieke en etherische krachten en substanties blz. 29 - 35
Voorwoord door Olive Whicher
Het was al langere tijd een hartenwens van George Adams, om zijn artikel 'Over de etherische ruimte' opnieuw uit te geven. Het verscheen in 1933 in het tijdschrift 'Natura', tegelijk in Duitsland en in Engeland. Dit werk bevat voor het eerst, de wiskundig wetenschappelijke uitwerking van de door Rudolf Steiner geformuleerde oeridee van 'Ruimte en Tegenruimte'.
Door verschillende omstandigheden, waaronder ook zeer tragische, (Adams werd na de dood van Rudolf Steiner uit de Antroposofische Vereniging gezet) was het voor George Adams, lange tijd onmogelijk, om dit artikel nogmaals te laten verschijnen. Bij het verschijnen van het boek 'De plant in ruimte en tegenruimte', dat het artikel als basis heeft, werd door de uitgever de wens geuit, het artikel opnieuw uit te geven. Het leek hem een zeer belangrijk geschrift en de uiterlijke hindernissen bestonden niet meer. Helaas was George Adams, die al met mindere gezondheid te kampen had, op dat moment volop met andere dringende opgaven bezig. Zo kwam het dat we juist met het herwerken van het artikel bezig waren, als George Adams op 30 maart 1963 teruggeroepen werd in de geestelijke wereld. Hij wilde nog tekeningen en opmerkingen toevoegen en ook een langere inleiding schrijven. In die inleiding wilde hij niet alleen eigen nieuw verworven inzichten beschrijven, maar ook wijzen op het belang van het werk van anderen, vooral het werk van L. Locher-Ernst. Bovendien wilde hij de bedoeling van het werk, in historisch perspectief plaatsen als een noodzakelijk werk voor deze tijd.
Dat laatste kon natuurlijk alleen hijzelf, op zijn eigen manier doen. Opmerkingen en tekeningen zijn wel toegevoegd. Ook zijn enkele kleine veranderingen gedaan, in zoverre dat Olive Whicher zijn intenties kende. Georg Unger gaf daarvoor raad.
George Adams wilde volgende woorden van Rudolf Steiner in zijn inleiding citeren. Het is een meditatie(zin) die Steiner in 1903 gaf aan een leerling:
Sinne nach: wie der Punkt zur Sphäre wird und doch er selbst bleibt. Hast du erfast, wie die unendliche Sphäre doch nur Punkt ist, dann komme wieder, denn dann wird dir Unendliches in Endliches scheinen.
Op 22 februari 1963 schreef George Adams in een brief aan een vriend:
"De inhoud van mijn opstel is werkelijk één van de plaatsen waar de exoterische wetenschap van de huidige tijd, zeer dicht de grens van de eeuwige occulte waarheden benadert en de samenvatting, de inhoudelijke duiding en bevestiging van de zijde van de initiatiewetenschap bevordert.
Het formeel wiskundige bij het begrijpen van de etherische of de negatieve of de polair-euclidische ruimte (de benaming die L. Locher-Ernst vaak gebruikt), was voor wiskundigen reeds lang bekend. Ze interesseerden er zich verder niet voor, omdat ze, afgezien van het rein formele, er geen aansprekende inhoud in herkenden. Het wezenlijke ligt echter niet in het formele. Het wezenlijke ligt in de wetenschap dat dit inzicht, dat door de wiskundigen van de 19de eeuw werd ontwikkeld, in een volledig andere ruimte, precies overeenkomt met wat voor de vroegere occultisten bekend was als het geheim van het etherische in zijn ruimtelijk aspect.
Het was Rudolf Steiner die op dit gebied, net zoals op vele andere gebieden, de oeroude waarheden van het occultisme, die de huidige mens zo nodig heeft, op een moderne wetenschappelijke manier toegankelijk maakte en zijn leerlingen de nodige aanwijzingen daartoe gaf. In die zin was mijn Natura-artikel, vooral voor antroposofisch wetenschappelijke lezers bedoeld."
Dit werk wordt als een klein zaadje, dat grote en toekomstige dingen bevat, na een tijdspanne van dertig jaar weer uitgegeven in de verwachting dat dit zaadje wordt opgenomen door warme denk- en hartekrachten en in de toekomst kan groeien en gedijen.
DE OUDE EN DE NIEUWE (PROJECTIEVE) GEOMETRIE
Rudolf Steiner heeft er vaak op gewezen, dat het voor de wetenschappelijke ontwikkeling in onze tijd noodzakelijk wordt, dat de wetenschapsgebieden, die vandaag de dag zo gespecialiseerd en afgezonderd zijn van elkaar, zich met elkaar gaan vermengen en elkaar op een levendige manier gaan doordringen. De indeling zoals die in de hogescholen gebruikelijk is, zal in alle opzichten op een radicale manier moeten veranderen. "Want de huidige verdeling, volstaat niet, om tot een werkelijkheidsgetrouwe wereldbeschouwing te komen." aldus Rudolf Steiner. Als voorbeeld spreekt hij er onder andere over, hoe noodzakelijk het is, geneeskundigen te hebben, die over een grondige kennis van de hogere wiskunde beschikken. Daar kunnen vele fundamentele inzichten en ontdekkingen ontstaan, die de basis vormen voor het begrijpen van de organische metamorfose, juist door deze combinatie.
De bedoelde wederzijdse doordringing betekent vanzelfsprekend, dat ook de afzonderlijke wetenschappelijke gebieden zich zelf van binnen uit moeten veranderen. Een abstract gedachtebouwwerk, zoals de wiskunde van vandaag zich veelvuldig presenteert, heeft voor de mensen die in het echte leven staan, niet veel te betekenen. Alleen als de afzonderlijke wetenschappelijke gebieden veel meer met werkelijkheidszin doordrenkt zouden worden, zullen ze zich bevrijden van hun specialisme. Deze doordringing met werkelijkheidszin moet juist op basis van de antroposofische geesteswetenschap gebeuren. Het zuiver intellectuele denken heeft hiervoor niet de mogelijkheden.
In dit artikel zal het hierboven beschrevene, in zoverre dat het in deze korte vorm mogelijk is, geïllustreerd worden voor een bepaald, maar in dit opzicht grondleggend gebied: de nieuwe, synthetische geometrie (= projectieve geometrie). Rudolf Steiner heeft vaak gewezen op het grote belang van deze geometrie. Er zouden verstrekkende resultaten kunnen volgen, als individuele geneeskundigen en biologen zich verbinden met de ideeën van deze geometrie.
Er zijn concrete opgaven, waar Rudolf Steiner als geestesonderzoeker op gewezen heeft, die wellicht enkel op deze basis kunnen uitgevoerd worden. Nu is het jammer genoeg zo dat juist deze projectieve geometrie, net zoals alle moderne wiskunde, zijn inzichten naar voren brengt in een schijnbaar zeer abstract gedachtekleed, m.a.w. in een zeer abstracte vorm.
Vele mensen die voor deze dingen een levendig begrip zouden hebben, komen niet tot het punt, waarop de betekenis van de projectieve geometrie voor hun opgaven zou kunnen oplichten. De abstracte vorm doet ze terugschrikken.
De projectieve geometrie gaat uit van geheel andere gezichtspunten als de klassieke Euclidische meetkunde, die in de scholen wordt geleerd. Ik wil hierover iets vertellen, niet in de academisch traditionele vorm, maar van bij het begin in het levendige licht, zoals het voortkomt uit antroposofisch inzicht. Deze dingen zijn daardoor begrijpelijk voor het mensenhart, terwijl men anders toch alleen voor wiskundige specialisten zou schrijven. Dat het ook feitelijk gerechtvaardigd is om de projectieve meetkunde in deze samenhang te brengen, zoals hier zal gebeuren, heb ik op een andere plaats reeds uitvoerig besproken. (in het boek 'Strahlende Weltgestaltung')
Geometrie heeft te maken met mysterie-inhouden. Men kan aan de geometrie beleven hoe de ruimte opgebouwd is uit het goddelijke licht. Door de bijzonder manier waarop men als menselijke gestalte in de ruimte is geplaatst, kan men juist het goddelijke nabouwen en nabootsen in het licht van het denken. Men beleeft de opbouw van de ruimte innerlijk, niet uiterlijk door de dwang van de zintuiglijke empirie. In deze zin is de geometrie een eerste trap van het streven naar zuiver geestelijk inzicht.
De projectieve geometrie beweegt zich in dit opzicht in een omgekeerde tijdstroom als de oude geometrie. De oude geometrie was een laatste echo uit de voorchristelijke mysteriën, in het bijzonder de mysteriën van de Egyptisch–Chaldeïsch–Hebreeuwse tijd. In deze mysteriën beleefde men hoe de geesten van de vorm, de mens als fysiek lichaam in de wereldruimte heeft geplaatst, in de opbouw van de driedimensionale ruimte, die in de kruisvorm van het skelet, zelfs in de vorm van een lijkkist tot uitdrukking komt. Wat eenmaal inhoud van de mysteriën was, werd voor de Grieks – Latijnse tijd in een logische abstracte en dialectische vorm veranderd en werd gebruikt als innerlijke scholing van het denken. Dat is de zin van de Euclidische schoolgeometrie. Het is de architectuur van de aards geworden ruimte, die men in deze geometrie voortdurend beleeft.
De projectieve geometrie ontstond in een tijd (19e eeuw) waarin men geen idee meer had van mysteriewijsheid. Maar deze geometrie heeft zeker met mysteriewijsheid te maken, net zozeer als de oude geometrie. Deze projectieve geometrie ontstond in het morgenrood van een nieuwe tijd, waarin opnieuw alle kennis langzamerhand zal overgaan in een nieuwe mysteriewijsheid. Volgens Rudolf Steiner is de projectieve geometrie een van de weinige daden die werkelijk nieuw geschapen werd door de moderne mensheid op het vlak van het denken. Ze zal haar vruchtbaarheid pas ten volle kunnen ontplooien als men de grondleggende ideeën in het concrete geestelijke licht zal beschouwen, zoals het nu al door de geesteswetenschap gebeurt. Zoals de oude geometrie geleidelijk vanuit het concrete geest-beleven uitmondde in de abstracte gedachtenvormen, zo moeten we de nieuwe, projectieve geometrie vanuit de abstracte vorm laten uitmonden in de concrete geestelijke kennis.
Het is verwonderlijk dat de projectieve geometrie niet uitgaat van de gedachte, die men als de meest noodzakelijke van alle betrachting kan beschouwen: de kerngedachten van onze aardse ruimtelijke architectuur, zoals die bijvoorbeeld tot uitdrukking komt in de volgende passage uit het Oude Testament (Koningen 1 hoofdstuk 6, vers 19-20, waarin over Salomo gesproken wordt): " Deze zaal, die twintig el lang, twintig el breed en twintig el hoog was, liet hij vanbinnen met bladgoud bedekken."
De ideeën van lengtemaat en rechte hoek komen hier ter sprake, waaruit de kubus als oervorm ontstaat. Men gaat ervan uit dat de lengtemaat die men in de drie ruimterichtingen kan meten, in het geval van de kubus hetzelfde is. Door het samen-denken van de lengtemaat en de rechte hoek, bekomen we in het vlak de vlaktemaat, vb. de vierkante meter, en in de ruimte de volume-inhoud, vb. de kubieke meter. Alleen de woorden vierkante en kubieke geven al aan dat de rechte hoek ermee te maken heeft. Men bekomt zo, zoals Rudolf Steiner het uitdrukte, de ruimte als omhulling voor fysieke werkingen en fysieke dingen. De ruimte waarin kubieke inhouden gevormd worden. Een andere oervorm in deze fysieke ruimte is de bol, respectievelijk in het vlak de cirkel. Als we er in gedachten vanuit gaan dat we de lengtematen in alle richtingen kunnen vergelijken, dan is het directe gevolg daarvan, de idee van een vlak, waarvan de gezamenlijke punten vanuit een middelpunt naar alle richtingen dezelfde afstand hebben: een bol.
Nu komt het er voor de projectieve geometrie op aan dat men de ruimte niet slechts in het aspect leert kennen hoe die zich aandient als omhulling voor fysieke werkingen. Als men de ruimte op die manier bekijkt, heeft men in werkelijkheid te maken met de laatste stap van een ruimtebouwend gebeuren, net zoals de beendermens, het skelet, een laatste stap in de aardse menswording voorstelt. Wat aan de basis ligt van de ruimte als idee, is niet aan de starre vorm van de kubus of aan de drie loodrechte richtingen gebonden. In de opbouw van de ruimte, in de idee van de wordende ruimte, dringt de projectieve geometrie binnen. Daarin ligt het grote belang van de projectieve geometrie voor een geestelijke kennis van de natuur. Deze geometrie heeft immers de opgave, niet alleen het gewordene, het voltooide, maar eerder het wordende te bekijken en te onderzoeken. Deze geometrie moet zich juist van de ban van het 'voltooide - ruimtelijke' bevrijden. Maar ze zal ook niet tot haar doel komen, als ze het ruimtelijke überhaupt links liet liggen. Er is een kennisbrug nodig, een wetenschap van het ruimtelijk wordende en ont-wordende, een levende overgang tussen het innerlijke wezen en de ruimtelijke verschijning. Een dergelijke kennisbrug wordt opgebouwd door de projectieve geometrie die verdiept kan worden door antroposofische inzichten.
Vanzelfsprekend komt ook de projectieve geometrie tot een ideëel inzicht in de voltooide vormen van de fysieke ruimte: lengtematen en hoekmaten, bol en kubus. Maar deze geometrie gaat niet uit van deze vormen. Deze geometrie gaat uit van een polariteit waarin het fysieke aspect van de ruimte de ene zijde weergeeft, en daartegenover staat het etherische aspect. Men begrijpt concreet geestelijk de ideële oergrond van deze geometrie, als men over deze tegenstelling van het fysieke en het etherische spreekt, als men de volgende woorden gebruikt: hemel en aarde of ook wel zon en aarde.
Men heeft hier te maken met een oeraspect van de ruimte, die voorafgaat aan de vorming van de aardse kubusvorm. Dit aspect kan men ook als een 'binnen-buiten' karakteriseren. In oertijden stond de Oude Saturnus tegenover de omgevende hemelruimte. De hiërarchieën zonden hun krachten tot binnen in de Oude Saturnus. Wat door de 'Geesten van de Wil' (de Tronen) gevormd werd als een 'binnenste', en tegelijk als vuurkern van de wereld, was voor de hemelse geesten van de omgevende ruimte, juist het doel van het werk. Men mag hierbij nog niet denken aan een ruimte zoals we ze nu vandaag hebben. Maar in het binnen en buiten kondigt zich voor het eerst een opbouw van de ruimte aan. In een latere tijd (bij de Oude Maan), werden de verhoudingen gecompliceerder. Uit één wereldlichaam werd een tweeheid: zon en maan. Met het uittreden van de zon werken nu hemelse krachten niet alleen vanuit de gehele omgevende hemelruimte, maar juist voornamelijk vanuit de zon op de maanplaneten daaronder. We lezen dan ook in 'De wetenschap van de geheimen der ziel" van Rudolf Steiner: "Dat het lichaam van de maan van het zonnelichaam afgescheiden wordt, heeft ten gevolge, dat het eerste in dezelfde verhouding komt te staan tot de laatste, als eens het saturnuslichaam tot de totale wereldontwikkeling daar omheen. Het saturnuslichaam was uit het lichaam van de 'Geesten van de Wil' (de Tronen) gevormd. Uit de substantie ervan straalde in de wereldruimte alles terug, wat de bovengenoemde geestelijke wezens, die zich in de omgeving bevonden, beleefden. En deze weerspiegeling ontwaakte door de gebeurtenissen, die er op volgden, langzamerhand tot zelfstandig leven. Alle ontwikkeling berust namelijk hierop, dat zich eerst uit het leven van de omgeving zelfstandig Zijn afzondert; dat dan in dit afgezonderde wezen de omgeving zich als door spiegeling inprent, en dat dit afgezonderde wezen zich vervolgens zelfstandig verder ontwikkelt. Zo scheidde zich ook het maanlichaam van het zonnelichaam af en straalde eerst het leven van het zonnelichaam terug.
We naderen hier een oergeheim, dat samenhangt met de wording van alles wat ruimtelijk is. Ook vandaag is de tegenstelling tussen het zonne - etherische en het aards – fysieke in alle levende natuur aan het werk, zelfs in het 'dode' minerale rijk, als men het dieper leert begrijpen. Als we hier van de zon spreken, wordt niet alleen de uiterlijke verschijning van het wereldlichaam bedoeld, die een schijnbare plaats in de wereldruimte voorstelt, maar nemen we de gehele lichtdoorstraalde sterrenbezaaide hemelsfeer in acht. Deze sfeer werkt met hemelse zonne-krachten in op de aarde.
Deze tegenstelling van het zon-achtige en het aards-fysieke, dragen wij ook in ons eigen mensenwezen. En we beleven beide op een natuurlijke wijze in het geometrische denken. Dat is de oerbelevenis, die aan de grondslag ligt van de projectieve geometrie. In de innerlijke waarneming leeft het als tegenstelling van punt en vlak. De tetraëders die in afb. 1, grenzend aan het boloppervlak, polair tegenover elkaar zijn getekend, laten een mooi voorbeeld zien van de tegenstelling: punt en vlak. Punt is hierbij de aardse pool, vlak is de hemelpool. Aan de in eerste instantie zo abstract lijkende vormen zou men misschien niet onmiddellijk zien, dat het om deze kosmisch reële tegenstelling gaat. Het wordt duidelijker, des te meer men zich in de dingen verdiept. Eerst moet men zekere moeilijkheden overwinnen. Een deel van die overwinning heeft de projectieve geometrie volbracht. Ieder die het wil leren kennen moet het in het eigen denken opnieuw doorleven. Een ander deel zal men in elk geval pas vinden als men deze geometrie uit het abstracte omhoog haalt en betrekt in de concrete samenhangen met de antroposofische mens– en wereldbeschouwing, zoals we dat hier proberen.
De noodzakelijke overwinningen worden veroorzaakt, doordat we de ruimte in eerste instantie eenzijdig fysiek beleven. Aan al het ruimtelijke ligt een polariteit ten grondslag: hemel en aarde, etherisch en fysiek, we kunnen ook zeggen, licht en duisternis. We beleven de ruimte echter in eerste instantie vanuit ons fysieke lichaam. We hebben het etherlichaam als architect van het fysieke lichaam, het fysieke lichaam is dus doordrongen van hemels licht. Zo leeft in alle ruimtevoorstellingen, ook de meest aardse, het etherische licht, ook al wordt het niet echt herkend. Maar die vormen die we waarnemen en die we beleven, zijn degene die overeenkomen met 'het gewordene' van het aardse rijk. Het is tegelijk een ruimte die uit de hemel komt, die we als omhulling kunnen zien voor alle fysieke dingen.
In het actieve denken hebben we de mogelijkheid, om ons van de eenzijdig fysieke ban te bevrijden. Dat heeft de projectieve geometrie in hoge mate bewerkstelligd. Om recht te doen aan deze geometrie, moeten we deze geometrie ook bewust in deze geest denken.
Wanneer men van een oppervlakte spreekt, denkt men dit vaak als een speciaal geval van het vlak: als een extensief vlak met een vlakken-inhoud. Concreet deelt men het oppervlak in, in vierkante cm of vierkante mm, of nog kleinere, tenslotte oneindig kleine deeltjes, bijvoorbeeld bij het integreren. Dat betekent dus: men denkt een oppervlak tenslotte als louter punten. Dit extensieve denken moet men overwinnen. Men moet de vaardigheid verwerven om het vlak als geheel te beleven, etherisch. Niet als een verzameling punten en puntgebieden, maar in haar oneindige uitbreiding als eenheid, ondeelbaar voor het etherisch beleven, zoals een punt voor het fysiek ruimtelijk denken het ondeelbare voorstelt.
Vanzelfsprekend hebben we hier niet te maken met begrensde vlakdelen, maar met een vlak in zijn geheel, dat zich tot in het oneindige voortzet. Hiermee hangt nog een andere moeilijkheid samen, die moet overwonnen worden, nl. wat voor het fysieke ruimtegevoel, het 'oneindig verre' betekent. Hierover kan het louter fysieke denken nooit tot klaarheid komen. Dat fysieke denken denkt de ruimte als in alle richtingen in de leegte starend. In waarheid 'licht' doorheen het oneindige, een etherische wereld tot in ons fysieke ruimtebewustzijn naar binnen. Er doen zich dan voor het louter fysieke denken paradoxen, tegenstellingen voor, omdat men niet meer met het zintuiglijk tastbare, maar met het bovenzinnelijke van doen heeft.
Het tot in het oneindige uitgebreide vlak is namelijk een in zichzelf gesloten vorm of figuur. Het keert vanuit alle kanten in zichzelf terug. Als men in een bepaalde richting naar het oneindige toegaat, komt men uit de tegengestelde richting vanuit de oneindigheid weer terug. Men moet inzien: elke rechte heeft één en slechts één punt in het oneindige, dus niet, geen punt of ook niet twee punten (één links en één rechts). Het is het ene punt op oneindig dat men bereikt door naar links of naar rechts te gaan. Men vertrekt bijvoorbeeld naar links en keert van rechts terug of omgekeerd, net zoals de loop van een cirkel. Hetzelfde geldt voor een verticale rechte: men gaat naar boven in de richting van oneindig en komt van onder weer terug. Zenit en nadir zijn voor de wiskundige ruimte één enkel punt. Als we dezelfde manier van beschouwen richten op het vlak, dan zien we: het vlak heeft in de oneindige verte van de fysieke ruimte als omtrek geen oneindige cirkel, maar een rechte lijn: de rechte op oneindig. En voor de gehele ruimte geldt: het oneindig verre is niet een oneindig grote bol, maar een vlak: het vlak op oneindig. Belangrijk is het inzicht dat het oneindig verre niet in een tweeheid gepolariseerd is, een polariteit die we vanuit het fysieke kennen en gewend zijn. Cirkel en bol zijn gepolariseerd in de tegenstelling van de twee diametrale puntenparen. In het oneindige worden deze tegenstellingen weer tot een eenheid. Pas als we dit goed inzien, kunnen we de ruimte als een in zichzelf gesloten geheel, als iets organisch beschouwen, zodat we de echte verbinding kunnen vinden van het aards-fysieke naar het etherische.
Om het beschrevene aanschouwelijk en concreet te beleven, doen we de volgende gedachte-oefening. Stel je voor een vlak op een bepaalde plaats in de ruimte. Boven dit vlak zweeft een bepaald punt. Door dit punt laat je een beweeglijk vlak gaan, dat alle mogelijke plaatsen door-zweeft, met als enige voorwaarde dat ze het punt in zich behoudt. Nu richt je je blik steeds op de gezamenlijke lijn die het bewegende vlak steeds heeft met het andere, rustende vlak; hoe deze lijn in het onderste vlak rond-zweeft. Men ziet meteen: des te kleiner de hoek tussen deze twee vlakken wordt, des te verder loopt de lijn in de verte weg. Laat men het bovenste vlak oneindig dicht bij de plaats komen waar ze parallel wordt met het onderste vlak, dan zal de gemeenschappelijke lijn oneindig ver weg zijn. En dat gebeurt naar alle kanten toe, naar links, voor, achter,… Van zodra de evenwijdigheid bereikt wordt, verdwijnt de lijn schijnbaar, maar ze kan in het volgende moment van de tegengestelde zijde van de ruimte weer verschijnen als de plaats van de evenwijdigheid een klein beetje is overschreden. Ze verdwijnt links en komt van rechts vanuit de oneindigheid weer terug of ze zweeft met onbeschrijflijke snelheid in de verte rond als de plaats van de evenwijdigheid nog net niet bereikt is. Uiteindelijk zien we in dat de gemeenschappelijke lijn van beide vlakken, ook tijdens de evenwijdigheid echt bestaat; ze is dan alleen oneindig ver weg. Ze is nog altijd een rechte lijn. Zo is het oneindig verre van elk vlak, een rechte lijn. Evenwijdige vlakken hebben de rechte op oneindig als gemeenschappelijke lijn. We kunnen nu zeggen: gelijk welke twee vlakken in de ruimte hebben altijd een rechte gemeenschappelijk.
Eenzelfde gedachtegang kunnen we opbouwen voor lijnen, zoals te zien is in afb. 2. Stel je voor een lijn en een punt in hetzelfde vlak. We laten een lijn door het punt bewegen van links naar rechts en omgekeerd. Het gemeenschappelijke punt van de twee lijnen beweegt naar het oneindig verre, links of rechts. Waar de twee lijnen evenwijdig zijn, is er weer één punt op oneindig. Het punt links is hetzelfde als het punt rechts. De punten vormen in die zin een gesloten cyclische rij.
Op deze manier kunnen we inzien dat de extensieve onderdelen van de ruimte, niet in een vaag 'niets' eindigen, maar in zichzelf gesloten vormen zijn. Door dit inzicht is men voorbereid om ze ook als wezenlijke eenheid te beleven. Men moet zich dit gevoel eigen maken, als men het etherische aspect van de ruimte wil beleven. Men heeft dan niet meer het gevoel: het vlak bestaat uit louter punten, maar men voelt: het vlak is als geheel opgebouwd. Zoals Euclides het punt definieert: wat niet meer deelbaar is, is een punt, zo voelt men zich ten opzichte van het vlak. Voor een etherisch ruimte-beleven is het per definitie een eenheid. Daartegenover moeten we de vaardigheid ontwikkelen om het punt, dus het voor het fysieke ruimtebeleven ondeelbare, innerlijk opgedeeld, dus juist deelbaar te beleven. Rudolf Steiner zei het als volgt: we moeten het intensieve extensief en het extensieve intensief kunnen beleven. Daarop komt het aan. Het extensieve intensief betekent: het vlak als eenheid, als geheel beleven. Het intensieve extensief betekent: het punt als onderverdeeld, als deelbaar beleven. Wat zijn echter de onderdelen van een punt? Het zijn de vlakken die er doorheen gaan. Deze verhouding is wederzijds: zoals we het vlak in punten en puntgebieden op kunnen delen, zo is het punt in vlakken en vlakkengebieden op te delen. Zo als het vlak een oneindig organisme van punten voorstelt, zo stelt het punt in de ruimte een organisme van vlakken voor. Zie afb. 3 en 4.
Wat we op deze manier als zuiver geometrisch idee kunnen ontwikkelen, is het tegenbeeld van kosmische werkelijkheden, in het denken. Het fysieke ruimtebeleven gaat ervan uit: het geheel is vanzelfsprekend groter dan zijn afzonderlijke delen. Dat komt bijvoorbeeld tot uiting in de opdeling van het vlak in puntgebieden. Voor de etherische wereld geldt het omgekeerde. Daar is het geheel ten opzichte van de delen, niet het grootst, veeleer het kleinst. Rudolf Steiner beschreef eens, hoe voor het bovenzinnelijke helderziend bewustzijn de vorming van een etherorgaan, bijvoorbeeld de etherische lever zich laat zien. Er vloeien dan kosmische stromingen uit verschillende wereldrichtingen samen. Waar deze zich wederzijds doordringen ontstaat door hun kwalitatieve, maar ook ruimtelijk werkzame in elkaar weven, het etherorgaan. Het zijn de kosmische delen, de etherische delen van het orgaan. Het geheel is hier dus kleiner als zijn delen. We spreken hier over een heel concreet gegeven, dat voor een helderziend bewustzijn waarneembaar is. In de geometrische ideeënwereld komt hiermee overeen, en wel in de extreemste en meeste ideële vorm, het punt opgebouwd door vlakken; het uit oneindig veel vlakken, die het van alle kanten doorweven, innerlijk opgedeelde punt.
Tussen de polariteiten van het punt en het vlak, bemiddelt de rechte, de lijn. Ze neigt enerzijds naar het etherische, anderzijds naar het fysieke wezen van de ruimte. De lijn doorstraalt het punt in de ruimte, en ze weeft binnen in een vlak, en schept zo gedachtebeelden. We beleven de lijn in het ene geval meer wilskrachtig als straal, in het andere geval meer in gedachten beelden wevend en vormscheppend.
De lijn zelf laat zich op twee manieren opdelen. Eerst in oneindig veel punten die op de lijn liggen. Dat is weer het fysiek-ruimtelijke aspect. Maar men kan de lijn ook etherisch opdelen, namelijk als organisme van alle vlakken, die de lijn omcirkelen. Men kan de lijn dan zien als de gezamenlijke as van alle vlakken; maar men wil dit beeld niet op de gewone manier extensief beleven, maar het extensieve waar mogelijk omvormen in een intensieve. Men moet de vlakken als delen van de lijn kunnen zien, zoals bij de fysieke ruimtebeschouwing de punten. We moeten ons eraan herinneren dat ook de punten een cirkelende gemeenschap vormen. De polariteit is volledig van het moment dat men in het denken de eenzijdigheden overwint, die voor de voorstelling slechts uit gewoontes van het fysieke voortkomen
In het tegenover elkaar stellen van het punt en het vlak in de ruimte, doet zich een activiteit voor in het zuivere denken, waarin de projectieve geometrie zijn eigenlijke oorsprong kent. Het is de activiteit die met het zien van de ruimte, met het perspectief, de zogenaamde projectie te maken heeft (vandaar de naam projectieve geometrie). De ruimtelijke wereld die ons omgeeft is zeer uitgebreid en doorstraald van zonlicht. Daartegenover is ons oog, als we het alleen als fysiek orgaan beschouwen, samengebald samengetrokken, punt-achtig. Het neemt de lichtruimte als in een brandpunt op. We leven weliswaar in het etherlichaam binnen in de ons omgevende lichtwereld; we zwemmen, zoals Rudolf Steiner het eens formuleerde, etherisch in het licht. Maar we brengen ons deze lichtwereld slechts tot fysisch bewustzijn, tot wakker ik-bewustzijn van ons fysiek-aards leven, wanneer we met behulp van het fysieke orgaan de genoemde samentrekking oefenen, zoals ze in de gewone fysiologische optiek, vaak doordrongen van vele optische illusies, geschilderd wordt. In deze uitbreiding en samentrekking beleven we de ruimtelijke wereld zonnekrachtig.
De nieuwe, projectieve geometrie ging uit van de kennis van het perspectief, omdat ze, voor het zuivere denken op een natuurgetrouwe manier, ieder punt in de ruimte als een oog beschouwde, een oog dat de beelden van de wereld in zich kon opnemen. Zo verfoeilijk als deze gedachtevorm kan zijn, als men in deze richting een materialistische optica en een verklaring bedenkt van de verschijningen met zintuiglijk zichtbaar gedachte stralen en dergelijke, zo belangrijk en vruchtbaar is deze voor het reine denken bij het innerlijke aanschouwen. Men stelt zich bijvoorbeeld voor, een geometrisch beeld in een vlak, dat uit lijnen en punten is opgebouwd. Tegenover dit vlak stelt men een 'oog', m.a.w. een punt in de ruimte. Alle vormen die in het vlak als uitbreiding, als beeld voor ons verschijnen, neemt het punt als kegelvorm, als een kiem in zich op. De lijnen van het vlakke beeld worden in het oogpunt vlakken ( want elke lijn in de ruimte vormt met een punt, dat niet op de lijn ligt, een vlak); de punten van het vlakke beeld worden stralen, dus lijnen vanuit het oogpunt. Wat in het vlak uit lijnen en punten als beeld was geconstrueerd, word in het oog als vlakken en lijnen in de overeenkomende indeling ontvangen. Deze indeling kan men niet uiterlijk aanschouwen, zoals het vlakke beeld. Het vlakke beeld is in het punt tot een intensieve geworden, tot een lichtkiem.; zo zal men het beleven als men het opbouwende van de ruimte als 'licht' ziet. Als men tegenover het punt, dat de opbouw in deze intensieve vorm bezit, een nieuw vlak stelt, dan ontstaat een nieuw beeld, dat overeenkomt met een metamorfose van het oerbeeld.
Een eenvoudig voorbeeld in afb. 6: een cirkel in een vlak; tegenover het middelpunt een punt in de ruimte. Daardoor straalt door dit punt naar beide zijden een cirkelkegelvorm; als men tegenover deze vorm een nieuw vlak stelt, bekomt men een curve, een zogenaamde kegelsnede (cirkel, ellips, parabool of hyperbool, naargelang de plaats van het vlak) als metamorfose van de cirkel. Merk wel op: het oorspronkelijke beeld, de cirkel dus, bestaat eigenlijk niet uit louter punten, maar ook uit lijnen in dat cirkelvlak, uit de raaklijnen die de cirkel omhullen. Het is dus niet louter fysiek-ruimtelijk (radiaal), maar tegelijk etherisch (perifeer) gevormd. De punten van de cirkel vormen de stralen, de zogenaamde 'voortbrengers, verwekkers' van de kegel; de raaklijnen vormen de raakvlakken van de kegel. Deze bestaat niet alleen uit de 'voortbrengers', die schijnbaar in zijn mantelvlak liggen, maar bestaat ook organisch uit de raakvlakken die hem omhullen.
In dit ritmische wisselspel van uitdeinen in het vlakke beeld, van samentrekken in de kiem, in het punt, kunnen we alle mogelijke metamorfosen scheppen; ja we kunnen op deze manier door een soort geometrische steigering niet alleen het bestaande verwandelen, maar ook echt nieuwe vormen tot stand brengen. In dit ritme zit een ruimtelijk scheppende kracht. We beleven in dit oeridee van de ruimte een geweldige polariteit, die de grondslag is van de wereldontwikkeling. 'Kiem en beeld' is de naam van dit oeridee. Ook ons eigen mensenwezen is in deze zin opgedeeld en vormgegeven. Deze polariteit hangt samen met verleden en toekomst, met werelddood en opstanding. We hebben beide polen in ons wezen. Uit het verleden dragen we in ons hoofdwezen de wereldbeelden, waarvan we de laatste schaduwen in ons denken beleven. In de toekomst stralend, dragen we de wereldkiemen in ons wilswezen, in de innerlijke bouw van de ledematenmens. Kosmische oerbeelden liggen ten grondslag aan onze vorming vanuit het verleden. We zien hun laatste weerklank nog als constellaties aan het schijnbare hemelvlak uitgesmeerd. De wereldbeelden uit de oneindige omtrek van de ruimte sterven in ons wezen binnen. Dat is het geheim van de bouw van het hoofd van de mens. Maar de wereldoerbeelden staan op, in het bereik van het willen, uit de diepten der aarde, waarin we met het eigen ik als in de vuurkern van de aarde afdalen. "Het verleden schaduwen werpend", schrijft Rudolf Steiner, "en de toekomst werkelijkheids- kiemen behoudend, ontmoeten elkaar in het wezen van de mens. En deze ontmoeting is het mensenleven van de huidige tijd."
Nu kunnen we de naam van het mysterie noemen, dat de nieuwe, projectieve geometrie in het zuivere denken als idee van de wereldruimte, nadert. Het is het Persephone-geheim van de mens- en aardewording, vanuit het verleden, naar de toekomst. Het is hetzelfde geheim, dat in de plantenwereld zich altijd weer in de kleine ritmes van het jaar afspeelt. Het is van onuitsprekelijk betekenis. We beginnen hiermee de ruimte niet meer louter als starre vorm te begrijpen, maar in het worden vanuit de tijd. Aan de oeridee van de ruimte ligt de tijd ten grondslag. Een kennis van de ruimte die overeenkomt met de tijdsgeest moet in staat zijn, de ruimtelijke verhoudingen opnieuw naar een tijdsaspect terug te voeren, want op die weg begint men het ruimtelijke, dat uit het goddelijke leven is verdwenen, in zoverre er van starre aarderuimte sprake is, opnieuw in het zuiver geestelijke te verheffen.
In de voordrachten over de verhoudingen tussen de verschillende natuurweten- schappelijke gebieden tot de astronomie (Stuttgart, januari 1921) spreekt Rudolf Steiner over het plantenrijk met volgende woorden: "Door het plantenrijk opent het aardebestaan zich in zekere zin voor de kosmos. … Het plantendek van een gebied op aarde is in zekere zin een zintuig voor datgene wat zich openbaart vanuit de kosmos. Als er een wisselwerking ontstaat tussen een deel van het aardeoppervlak en de kosmos, is het net zoals een mens die zich naar buiten toe de ogen opent, wanneer hij een zintuigindruk opneemt. En in het andere geval, als de wisselwerking minder intensief is tussen de aarde en de kosmos, dan is het terugtrekken van de vegetatie, zoals het sluiten van de ogen tegenover de kosmos. Het is meer dan een gewone vergelijking, als men zegt dat een gebied door de vegetatie de ogen opent naar de kosmos in de lente en in de zomer, en dat de ogen gesloten worden in de herfst en in de winter. En dat men het openen en sluiten van de ogen laat afhangen van de uiterlijke wereld, zo moet ook iets gezocht worden als AUFSCHLUSSE over de kosmos in het sluiten en openen van de ogen door de vegetatie.
We vatten het geheel nog eens preciezer in het oog. Beschouwen we welk een onderscheid er niet bestaat tussen de vegetatie op een gebied van de aarde, dat de levendigste wisselwerking heeft met het leven van de zon en de vegetatie in een gebied dat niet zo sterk met de zon is verbonden. De winter onderbreekt natuurlijk niet het vegetatieve leven van de aarde, het vegetatieve leven gaat ook verder in de winter. Maar het uit zich op een andere manier, als wanneer het onder invloed is van de intensieve werking van de zonnestralen, of anders gezegd van de werking van de kosmos. Het vegetatieve leven schiet onder de inwerking van de zon in de vorm. Het blad vormt zich, het word gevarieerd, de bloem vormt zich. Als dan de ogen gesloten worden voor de kosmos dan trekt het vegetatieve leven zich terug, tot binnen in de kiem. Het trekt zich terug uit de buitenwereld, het schiet niet in de vorm, maar het schiet zich in een punt samen, het centreert zich.
We zien dus een tegenstelling, die we als een wetmatigheid kunnen zien. We kunnen zeggen: de wisselwerking tussen het aardse en het zonneleven levert voor de vegetatie het volgende op, dat het vegetatieve leven onder invloed van de zon in de vorm schiet, en onder invloed van het aardse leven in een punt samentrekt en tot kiem wordt. Hierin zit dus iets zich uitbreidend en iets centrerend. We pakken de verhoudingen van de ruimte onmiddellijk op vanuit het kwalitatieve. Dat is het wat we voor de opbouw van bepaalde ideeën moeten oefenen, als we tot vruchtbare gezichtspunten op dit gebied willen komen."
In datgene wat Rudolf Steiner hier schildert en laat uitklinken in een oproep: "We pakken de verhoudingen van de ruimte vanuit het kwalitatieve" , vinden we de kosmische achtergrond voor dat oeridee van de ruimte, dat in de projectieve geometrie tot openbaring komt. We gebruikten bewust in elke zuiver geometrische samenhang de uit de plantenleer van Goethe ontleende woorden: uitdeinen en samentrekken. Ook hier zijn deze woorden niet louter uiterlijk ruimtelijk bedoeld, maar ze zijn in diepere, kwalitatieve zin bedoeld.
DE TEGENRUIMTE EN ZIJN KRACHTEN
Het gaat niet alleen over de grote samenhangen. Er zijn veel concretere vooruitzichten, die zich hiermee openen. Rudolf Steiner heeft in zijn wetenschappelijke voordrachten veelvuldig gesproken over deze vooruitzichten. Als men de werkzaamheid van het zonneachtig-etherische wil begrijpen, dan moet men in staat zijn om tegenover de fysieke ruimte, een soort tegenruimte te beleven. Hierin liggen opgaven, zowel voor de wiskundige ideeënopbouw, maar ook voor de kennis van de uiterlijke natuur. Vele dingen in de natuur, en bovendien ook in de mens zelf, kent men vandaag niet, zelfs wanneer het van dichtbij beleefd wordt, omdat het zich afspeelt in deze tegenruimte en het huidige bewustzijn, dat slechts fysieke ruimtelijke voorstellingen in acht neemt, altijd meer de blik richt in de omgekeerde richting.
Dat het etherische te maken heeft met een omgekeerde aard van de ruimtelijke werking, bespreekt Rudolf Steiner reeds in de elementaire schilderingen van de geesteswetenschappelijke kennis van de natuur. Men beleeft de fysieke ruimte altijd vanuit zijn relatieve middelpunt. Dat geldt zowel voor de zuiver geometrische opbouw van de ruimte, als voor de fysieke krachten en stoffen die in deze ruimte werken. Typisch voor deze ruimte is bijvoorbeeld de idee van de poolcoördinaten. Men meet de afstanden in alle richtingen, radiaal vanuit een gekozen middelpunt. Terwijl men tegelijkertijd de hoeken van deze radiale afstanden bekijkt, bouwt men zo een precies beeld op van de plaats- en vormverhoudingen in deze ruimte. Tot zover het zuiver geometrische. Als men nu met stoffen en krachten van de fysieke ruimte te maken heeft, dan beleeft men dit centrische nog sterker. Alle werkingen stralen uit, vanuit middelpunten (zwaartepunten, polen, stralingsbronnen e.d.) en ze verdwijnen naar alle zijden in de verte. Men kan deze krachten zien als centrische krachten, krachten vanuit een centrum. Ze vormen in hun gezamenlijkheid het aardse krachtengebied. Daartegenover spreekt Rudolf Steiner van perifere krachten, universale krachten, krachten vanuit het universum. Ze werken altijd vanuit de omtrek, en dan niet, zoals men het vanuit de fysieke analogie het best kan voorstellen, vanuit afzonderlijke punten van deze omtrek, maar juist vanuit de gehele omtrek. Vanuit de kwaliteit gezien dus omgekeerd aan de manier waarop het fysiek-ruimtelijk als vanzelf verschijnt. Men kan het bijvoorbeeld lezen in het eerste en derde hoofdstuk van het boek 'Grondslagen voor een vernieuwing van de geneeskunde naar geesteswetenschappelijk inzicht' van Rudolf Steiner en Ita Wegman. Daar gaat het onder andere over de levensverschijnselen:
"… Deze waarneming laat zien, dat de levensverschijnselen een geheel andere oriëntering hebben als degene die in het levenloze verlopen. Over deze laatste kan men zeggen: ze laten zien dat daarin krachten heersen, die vanuit het wezen van de stof uitstralen, vanuit het relatieve middelpunt naar de periferie, naar de omtrek. De levensverschijnselen tonen de stof, beheerst van krachten, die van buiten naar binnen werken, naar het relatieve middelpunt toe. Bij de overgang in het leven moet de stof zich onttrekken aan de uitstralende krachten en zich bij de instralende krachten voegen. Nu heeft elke aardse stof en ook elk aards gebeuren zijn uitstralende krachten vanuit de aarde en ook in gemeenschap met de aarde. Het is een stof, zoals in de chemie onderzocht wordt, slechts als een onderdeel van het lichaam van de aarde. Als het tot leven komt, dan moet het ophouden om een gewoon aards onderdeel te zijn. Het wordt betrokken bij de krachten, die van buiten de aarde, van alle kanten naar de aarde toe stralen. Als men een stof of een gebeuren zich als leven ziet ontplooien, dan moet men zich voorstellen, dat hij zich onttrekt aan de krachten, die vanuit het middelpunt van de aarde op hem inwerken en hij komt in het bereik van andere, die geen middelpunt maar een omtrek hebben…"
Rudolf Steiner spreekt niet alleen van omgekeerd werkende krachten, maar op vele plaatsen spreekt hij ook van een omgekeerde manier van opbouw van de ruimte, zoals over het algemeen het ene niet zo abstract van het andere kan gescheiden worden, nl. de ruimte en het gebied van de in de ruimte werkende krachten. Het gaat erom, waar we aanknopingspunten vinden voor deze gedachte? Men kan langs vele wegen tot de werkelijkheid komen; hier is de wiskundige gedachteweg slechts één daarvan, maar in deze samenhang is het wel een zeer belangrijke weg. De projectieve geometrie levert hier immers de gewenste aanknopingspunten, wanneer men ooit moedig genoeg is om de woorden van Rudolf Steiner in hun paradoxe, tegengestelde opvatting voldoende ernstig op te vatten. Het is belangrijk, hoe het zuivere denken hier een ontmoeting heeft met het bovenzinnelijke geesteswetenschappelijk onderzoek.
Het moet duidelijk zijn, hoe zich de vrije, metamorfoserende, even fysiek als etherische ruimte van de projectieve geometrie zich verhoudt tot de starre, aardse, gewordene ruimte, die het onderwerp is van de oude euclidische schoolgeometrie. (De fysiek etherische ruimte die zijn oerideeën openbaart in 'uitbreiding en samentrekking', in kiemen en vormen (scheppen), in de vrije polariteit van punt en vlak.) De geniale wiskundigen van de 19de eeuw hadden inzicht in deze verhouding en toch ontstond uit dit inzicht een nieuw raadsel. Alleen de concrete inzichten van de antroposofie kunnen hier een oplossing aanreiken.
Over de verhouding van de euclidische, dus eenzijdig fysieke ruimte tot deze vrije oer-ruimte, is het volgende te zeggen. Als men het op de gewone abstracte manier beschrijft, dan spreekt men alleen voor de gevormde wiskundigen, die deze manier van uitdrukken begrijpen. Maar het is eigenlijk niet zo moeilijk en het is belangrijk om het in ruimere kring bekend te maken. Ik wil daarom ideeën gebruiken uit andere levensgebieden, die het mogelijk maken, om datgene wat behandeld wordt, te verklaren. Voor wie met de metamorfoseleer van Goethe vertrouwd is, hoe deze niet alleen in plant- en dierkunde, maar voor alle levensgebieden, ook voor het kunstzinnige, betekenis heeft, voor diegene is de volgende gedachte begrijpelijk (aannemelijk en logisch) Aan een bepaald wezen ligt een bepaald vormprincipe ten grondslag. Dat principe openbaart zich niet op een causale, uiterlijke manier, door het samenvoegen van verschillende factoren, maar het openbaart zich juist innerlijk, levendig. Een dergelijk vormprincipe kan bijvoorbeeld van plastische of muzikale aard zijn. Het ontwikkelt zich als een levendig proces, als een innerlijk vervulde gedachte. Het komt altijd weer tot uitdrukking in alle delen, in alle organen van het wezen. In elke plant drukt zich bijvoorbeeld een ideëel oerbeeld uit. Met levendige ogen kan men hetzelfde vormprincipe herkennen in het blad, het kelkblad, het bloemblad en het vruchthuis. Nu kan men ditzelfde vormprincipe dat in de verschillende organen in velerlei metamorfosen verschijnt, ook als de uitdrukking van het geheel beleven. Wat als geheim principe aan de grondslag ligt van alle organen en levensverschijnselen van een wezen, komt ook nog eens in het geheel van het volledige organisme, als in een beeld, naar voren. Deze gedachte geldt niet alleen in het ruimtelijke, maar ook wat betreft de tijd. Wat bij een bepaalde plant bijvoorbeeld als levensritme, als uitdeinen en samentrekken te herkennen is, zien we terug in de verhouding van het levende aardeorganisme tot de zon in de grote kosmische afwisseling van de jaargetijden – zoals ook beschreven in de hierboven aangehaalde woorden van Rudolf Steiner.
Deze gedachte, dat in het geheel zich datgene openbaart, wat als proces in alle afzonderlijke delen werkt, vinden we nu ook in de vorming van de ruimte. Want in de projectieve geometrie beleven we de ruimte juist als organisme. We hadden reeds gevonden wat als oeridee van de ruimte werkt: de polariteit van vlak en punt. Men heeft dan te maken met oneindig veel punten en oneindig veel vlakken. Het komt daarbij vooral aan op de mogelijkheid van het in elkaar overgaan, op het levendige, lichtvolle feit, hoe het 'kiemen en vormen' tussen de twee wezens zich afspeelt. Hoe zou het zijn, als we in de vorming van de ruimte in zijn totaliteit, één enkel oervlak en één enkel oerpunt aan het werk zouden zien, op zo een manier, dat in de vorming van deze totaliteit, van het geheel, de gedachte, die aan de organisatie van de ruimte als proces ten grondslag ligt, zich nog één keer als wereldvorm openbaarde? Dat is het mooie gezichtspunt, dat zich aan het denken kan laten zien.
Nu treedt er iets merkwaardigs op: de geometrische beschouwing levert slechts de helft van een bevestigend antwoord op. Want we zien dan de euclidische ruimte, dus de aardse ruimte, waarvan we de vorming gewoonlijk beleven, uit deze 'vrije oerruimte' van de projectieve geometrie, terwijl men van alle vlakken uit deze ruimte, één enkele als het oneindig verre vlak naar voren laat komen. In deze oerruimte geldt de polariteit van punt en vlak als zuiver proces, in Goethes zin als 'uitdeinen en samentrekken'. De euclidische, fysieke ruimte die we beleven, gaat daarvan uit, terwijl we één vlak zien als de oneindig verre omtrek van deze ruimte. Daaruit ontstaan ook de maat- en symmetrieverhoudingen, die we hier gewend zijn. In afbeelding 7 is het oneindige vlak projectief afgebeeld, waaruit men de kristalvormen van de kubus en de octaëder ziet ontstaan. In afbeelding 8 is dit oervlak naar de oneindigheid verplaatst en dan ontstaan de kristalvormen in werkelijkheid, hoe we ze in de euclidisch, fysieke ruimte beleven.
Met de fysieke aanschouwing van de ruimte, kan men eigenlijk niet verdergaan (men de ruimte hoogstens een beetje … , zoals dat in de niet-euclidische geometrieën gebeurt). Nu pakken we de gedachte op, dat er tegenover de fysiek beleefbare ruimte, een andere ruimte bestaat, waar de verhoudingen juist omgekeerd zijn. Waar men in plaats van een omgeschreven cirkel, in plaats van een omtrek, juist met een wereldmiddelpunt te maken heeft, waar ook de kracht- en maatverhoudingen in plaats van vanuit middelpunten stralenachtig naar de verten naar buiten te werken, juist vanuit de verten, dus vanuit relatieve cirkelomtrekken naar dit wereldmiddelpunt toe te werken. Dus men stelt zich een ruimte voor, die niet van één enkel wereldvlak als oneindig ver vlak is bepaald, maar door een enkel wereldpunt van deze ruimte. Voor een dergelijke tegenruimte is een punt, en niet een vlak, is iets centrisch en niet iets ver verwijderd, de oneindige verte. Alle verhoudingen verliezen zich in dit wereldmiddelpunt, zoals in de fysieke ruimte in de wereldverten. Afbeelding 9, die twee dimensionaal getekend is met behulp van cirkels, is een weergave van een ruimte die vanuit de omgeving is gevormd.
Rudolf Steiner schildert inderdaad daadwerkelijk de ruimte op deze manier waarbij hij het zonne-achtige (dus in het menselijke etherlichaam) ja de zon zelf als wereldlichaam in overweging neemt. Het volgende citaat komt bijvoorbeeld uit de 16de voordracht van de hiervoor genoemde voordrachtencyclus over de verschillende natuurwetenschappen in hun relatie met de astronomie. Het is betekenisvol hoe Rudolf Steiner juist in deze samenhang de projectieve geometrie ter sprake bracht. Hij gaat op deze plek, terwijl hij spreekt over het wezen van de zon, uit van de methodische opmerking, dat men met alle slimheid niets is, als men bij een onderwerp gedachten gebruikt, die niet met het wezen van dat gebied overeenkomen. Dat doet men bijvoorbeeld als men met aards – ruimtelijke gedachten in het gehele zonnegebeuren wil binnendringen.
"Dat, wat men de fysieke constitutie van de zon noemt, dat kan men niet leren kennen met de voorstellingen, die men met het aardse leven. Het laat zich daarmee niet doordringen. En kan er slechts op neerkomen, om de resultaten van de waarnemingen, die er tot op een bepaalde hoogte toe doen op dit vlak op een adequate manier op het vlak van de voorstellingen te doordringen… Nu komt het erop neer, dat juist eenvoudigweg moet geprobeerd worden om een voorbeeld voor te stellen in de richting van het radiale, stralenachtige; dat dit gegeven in het oog gevat wordt, bijvoorbeeld een uitbarsting van een vulkaan of de richting van een deformatie of vervorming bij een aardbeving. We bekijken gebeurtenissen op de aarde in de lijnen-vorm, die vanuit een middelpunt naar buiten gaat. Nu kan u zich voorstellen dat het binnenste van de zon van die aard is dat de gebeurtenissen niet vanuit het middelpunt naar buiten bewegen, maar dat de gebeurtenissen van de corona over de chromosfeer, atmosfeer, fotosfeer, dus in plaats van van binnen naar buiten, juist van buiten naar binnen verlopen. Dat de gebeurtenissen dus… naar binnen toe verlopen en dus in zekere zin naar het middelpunt toe, waarnaar ze tenderen, zich verliezen, zoals zich de gebeurtenissen die van de aarde uitgaan zich verliezen in de vlakmatige uitbreiding. Dan komt men tot een voorstellingsbeeld, dat u in staat stelt om op een bepaalde manier de resultaten van de ervaringen samen te vatten.
Eerst wanneer men op deze manier op het kwalitatieve aspect van de dingen ingaat, wanneer men werkelijk probeert om een soort van kwalitatieve wiskunde te vinden, komt men vooruit. Vandaag kan ik er nog slechts op wijzen, dat er ook nog de mogelijkheid is, juist voor wiskundigen, om vanuit het mathematische juist overgangen te vinden tot een kwalitatieve wiskunde. En deze mogelijkheid is in onze tijd op een zeer sterke manier voorhanden, als men eenvoudigweg probeert om de analytische geometrie en de resultaten daarvan in samenhang te beschouwen met synthetische geometrie, met het innerlijk beleven van de projectieve geometrie. Dat kan een begin zijn, maar een zeer, zeer goed begin…"
De inzichten van de geesteswetenschap zijn niet abstract en wereldvreemd; ze hebben altijd te maken met het leven zelf. Zo is het ook in dit geval. Men kan de hier beschreven gedachte van een perifere ruimte ook in het innerlijk beleven naderbij komen, als men bedenkt hoe de mens zelf in zekere stadia van zijn bestaan, voor de geboorte en ook na e dood, in een geheel andere ruimte leeft dan op aarde. De mens komt dan in zonne- en sterrengebieden. Zoals hij hier in het middelpuntachtige leeft, in een aards lichaam, zo leeft hij daar in het perifere. Rudolf Steiner beschrijft in een voordracht van 21 oktober 1921 het beleven van de wereld na de dood. "De vroegere perifere wereld, daarin voelen we ons nu en de vroegere aardse wereld waarin we leefden, voelen we nu als onze centrale buitenwereld…" Dus er bestaat ook in het reële beleven een centrale buitenwereld, als een kijken naar het oneindige, niet naar verten in de omgeving maar naar binnen, naar een middelpunt.
Maar ook in de natuur op aarde heeft men te maken met de werking van het zonneachtige, van deze tegenruimte. Voor het inzicht in het etherlichaam van levende wezens is het erg belangrijk, om de idee van een dergelijke ruimte en vooral ook het bijhorende ruimtegevoel te kunnen ontwikkelen. Men heeft immers bij vele gebeurtenissen juist hiermee te maken. En voor het menselijke lichaam komt deze polariteit van ruimte en tegenruimte in aanmerking, van zodra men op een concrete manier de omstulping-metamorfose wil begrijpen, die van de stofwisselings-ledematenmens voert naar de bijhorende organen van de hoofd-mens. Juist in deze samenhang wijst Rudolf Steiner op de noodzaak om met deze kwalitatief-mathematische ideeën, deze problemen aan te pakken.
Met de gezichtspunten van de projectieve geometrie kunnen we nu met volledige exactheid, de geometrie van de tegenruimte, uitwerken. Als men nu ook de euclidische geometrie in zogenaamde niet-euclidische geometrieën in zekere zin uit elkaar haalt, zonder dat men de verhoudingen in de opbouw ervan te zeer verandert, dan moeten we in die zin –zuiver wiskundig gesproken- de directe omkering van de euclidische ruimte opbouwen. Hierdoor wordt een gat opgevuld, dat door vele wiskundigen van deze tijd zelfs als enigszins pijnlijk aangevoeld wordt. Ze beleefden in het gebied van de projectieve geometrie, in dat gebied wat ik de oerruimte zou willen noemen, de mooie polariteit van punt en vlak. Daaruit ontstond voor de euclidische ruimte, door het ideële gebruik van een wereldvlak, de oneindigheid. De volledige harmonie van de tegengestelde verhoudingen ging hiermee verloren. Want men had vanaf nu voor de euclidische ruimte, altijd te maken met de verhouding tot dit ene vlak. Een enkel punt bestond er daarentegen niet. Een zekere, voor het zuivere denken, in zekere zin onverklaarbare eenzijdigheid kwam in de plaats van de mooie harmonie, die men eerst beleefde aan de idee van de oerruimte. Hier zou pas het inzicht via de antroposofie een concrete oplossing kunnen aandragen. Men moet immers altijd weer bij de mens terugkomen, de mens die dit allemaal beleeft. We zijn wat betreft ons bewustzijn zo in de ruimte geplaatst, dat we de ruimte aards-fysiek, dus vanuit het punt beleven. In het zuivere denken kunnen we dat in zoverre overwinnen, dat we de oerruimte van de projectieve geometrie ontdekken, waarin punt en vlak, aardse pool en hemelpool in gedachte mekaar in evenwicht houden. En het zou nu juist nog een verdere overwinning van het aardse standpunt betekenen, om die ruimte op te bouwen, die tegenover de fysieke ruimte juist omgekeerd is, die met andere woorden net zo eenzijdig hemels is, als de fysieke ruimte eenzijdig aards.
Het komt erop neer dat zich de verhoudingen elkaar doordringen. Men heeft niet alleen met een polariteit van licht en duisternis te maken, waarbij de polariteiten elkaar slechts uiterlijk afwisselen. Maar het licht werkt zich innerlijk in de duisternis naar binnen en de duisternis in het licht; dan pas ontstaat kleur. Op deze manier moeten we ook de polariteiten van de ruimte beleven. Het is het kenmerk van het fysieke, van de ruimte die beleefd wordt vanuit het punt, dat deze zijn vorm ontvangt vanuit een kosmische periferie, vanuit een wereldvlak, dus juist vanuit het kosmisch, etherische. Dat is juist het wereldgeheim: wat in de diepten, dus in het mineraal, in de kristalvorming te vinden is, heeft in het licht, in de kosmische verten zijn oorsprong. Antroposofisch gesproken: het mineraal, datgene wat als wezen in de diepte is, heeft zijn vormkrachtenlichaam in de wereldverten. Dat dat zo is, beleeft het zuivere denken aan de gedachte van het oneindig verre vlak van de euclidische kristalruimte (want de euclidisch opgebouwde ruimte is in wezen kristal). Nu geldt voor deze hemelse werking, dus voor de etherisch-perifere krachten, juist het omgekeerde. Als etherische krachten richten ze hun werking juist naar het fysieke toe: in macrokosmische zin naar een kiempunt van de aarde zelf, zij het slechts één van de duizenden kiemen, die zich in het aardse ontplooien en die hemelse krachten ontvangen.
Het etherische werkt in de wereld, terwijl het zich vanuit wereldsferen naar een fysieke kiem, naar een relatief middelpunt toe oriënteert. Het fysieke bestaat, heeft bestaansrecht, omdat het vanuit de hemelsfeer, vanuit de oneindige verte van zijn ruimtelijke wereld, zijn vorm, zijn opbouw ontvangt respectievelijk, in oertijden ontving. Dit laatste voert ons naar het verleden terug: het fysieke is juist uit het levendige verdwenen, omdat het etherlichaam vanuit die oneindige verte zich onttrekt. Het eerste gebeuren heeft met de toekomst te maken: etherkrachten omhullen en verzorgen het kiempunt, omdat dit kiempunt de toekomst van de wereld in zich heeft.
We noemen oerruimte, de gedachte, waarin verleden en toekomst, hemels-perifeer en aards-centrisch, vlak en punt, elkaar in evenwicht houden bij het elkaar doordringen, dus de idee van de projectieve ruimte, zoals ze bij het begin beschreven is, dan komen we tot de volgende verhouding:
OERRUIMTE
zuiver idee van de tegenstelling: vlak en punt
licht en duisternis - etherisch en fysiek - hemel en aarde
FYSIEKE RUIMTE ETHERISCHE RUIMTE
euclidische geometrie negatief-euclidische geometrie
Bepaald door een wereldvlak, Bepaald door een wereldpunt,
waarin de wereldbeelden als die de kiem voor een wereldtoekomst
een schaduw uit het verleden naklinken in zich draagt, de kiem die tegelijk een
nieuwe werkelijkheid ontplooit
We moeten hierbij bedenken, dat we in werkelijkheid niet te maken hebben met één ruimte maar met ontelbaar vele ruimten die elkaar ook doordringen: fysieke ruimtes en ook etherische ruimtes. Juist voor het fysieke heeft men niet slechts met een enkele ruimte maar, zoals Rudolf Steiner ooit zei, met een onmeetbare veelheid van ruimtes te maken. Elke kristalvorming heeft zijn eigen ruimte, wereldal vervullend. Men kan dat al inzien door de zuivere gedachte, als men de kristallografische wetmatigheden in het licht van de projectieve geometrie doordenkt; en het komt overeen met het reële bovenzinnelijke beleven. Zo werkt des te meer in het etherische een onmetelijke veelheid aan ruimtes. Overal waar een kiem aanwezig is, in de ruimste zin van het woord, overal, waar in het levendige vuur, iets fysieks, hemelskrachten ontvangt, daar vormt zich om dit relatieve middelpunt heen, een periferisch-etherische ruimte.
DE POLARITEIT BIJ HET OPPERVLAK VAN DE BOL
Nu komt het erop aan dat we in het denken en in het kijken, het juiste evenwicht vinden. We moeten de mogelijke ideeën over een dergelijke ruimte, in het zuivere denken ontwikkelen. Het kan er niet om gaan dat we een nieuwe tak van een wiskunde willen creëren. Door het wiskundige idee van de etherische ruimte, kunnen we ons wel een nieuw gevoel voor de ruimte eigen maken; we beginnen dan eigenlijk op een nieuwe manier te kijken. We hebben hiermee dan ook een weg of een manier om het beleven van het etherische, in de eigen ziel op te wekken en de gebondenheid aan het louter fysieke van de ruimte te overwinnen. Zo kan deze weg ook vruchtbaar zijn voor het uiteindelijke onderzoek van de natuur, in het bijzonder voor het inzicht in de mens. Dus het ontwikkelen van een geometrie van de tegenruimte is een eerste stap op deze weg.
We kunnen dit idee illustreren aan de hand van een eenvoudig voorbeeld, uit de geometrie zelf. Stel je voor: een boloppervlak; maar we willen het boloppervlak niet alleen in de zin van de fysieke, maar ook in de zin van de etherische gedachte van de ruimte beleven. (We noemen in het vervolg de euclidische ruimte altijd fysieke ruimte; daarmee wordt natuurlijk niet bedoeld, dat we deze fysiek zintuiglijk beleven, maar we kenmerken deze als de ruimte, die overeenkomt met de idee van het fysieke. De tegenruimte noemen we de etherische.)
Eerst vormen we ons er een beeld van, hoe de bol met zijn eigenschappen in de fysieke ruimte er uit ziet. De bol heeft een middelpunt. Van zodra we 'bol' denken, is onze gehele ruimtelijke voorstelling in dit punt gecentreerd. Maar dit punt heeft in de fysieke ruimte slechts relatieve betekenis, relatief ten opzichte van de gegeven bol. Een andere bol heeft een ander middelpunt. Wat voor de ruimte op zich absolute betekenis heeft, is niet een punt, maar een vlak, het vlak op oneindig van deze ruimte. Het middelpunt bekomt men bij de projectieve geometrie, door de verhouding van het gegeven boloppervlak tot dit absolute vlak van de ruimte. Het is de pool van elk vlak met betrekking tot de vlakken. Het vlak ontstaat bijvoorbeeld op de volgende manier. Trekt men door een willekeurig punt van het vlak op oneindig( dus door een willekeurig oneindig ver punt) alle mogelijke raaklijnen aan het boloppervlak, dan vormen deze een cilinder, die de bol in een cirkel raakt. Het vlak van die cirkel gaat door het middelpunt. Stelt men zich hetzelfde voor, voor alle oneindig verre punten, dan bekomt men alle vlakken, die door het middelpunt gaan. Uit het in louter punten, en evenzo in louter sterren opgedeelde vlak op oneindig, komt het in louter vlakken opgedeelde middelpunt naar voren. Zo ziet men dat het boloppervlak niet alleen wat betreft de plaats, maar juist ook een kwalitatieve omstulping van de ruimte bewerkstelligt. Op dezelfde manier komt elk vlak van de ruimte, door de relatie met de bol, overeen met een bepaald punt als pool. (afb. 10) Punten die dicht bij het middelpunt liggen, komen overeen met verre vlakken. Als we nu een punt langs de straal, beginnend vanaf het middelpunt, naar het oppervlak laten bewegen, dan beweegt het vlak parallel aan zichzelf (loodrecht op de verlengde straal) beginnend vanaf het vlak op oneindig, het punt tegemoet. Het radiaal naar buiten bewegende punt en het vanuit de hemelsfeer naar binnen komende vlak, voegen zich in elkaar, op het moment dat ze het boloppervlak, enerzijds van binnen, anderzijds van buiten bereiken. Het punt wordt hier tot 'punt van het vlak' en het vlak wordt hier tot het bijhorende 'raakvlak'. Punt en raakvlak horen organisch samen (afb. 11). De bol wordt pas een plastisch vlak doordat het niet uit louter punten, namelijk de eindpunten van de stralen, maar uit louter vlakken bestaat. De bol is niet slechts van binnenuit radiaal, zoals met de punten van een cirkel, atomistisch gevormd, maar hij is tegelijkertijd vanuit de wereldruimte plastisch gevormd, door de raakvlakken, die vanuit de hemelsfeer van alle kanten naar binnen toe werkend als een plastische hand van licht het oppervlak omhult.
Als men het vlak, zoals we sinds het begin hebben aangegeven, in zijn geheel etherisch beleven, dan kan men niet meer tegenwerpen dat het raakvlak slechts met één punt tot het oppervlak hoort, maar ver over dit oppervlak doorloopt, omdat het punt geheel in het vlak ligt. (Dat zegt de ongeschoolde, eenzijdig fysieke manier van kijken.) Men zal echter inzien: het vlak ligt etherisch gezien net zo in het gehele vlak, als het punt op het fysieke vlak. Men zou ook hier naar alle richtingen verder kunnen denken tot het eind en ook weer vinden dat de stelling juist is. Zo kan men ook het vlak fysiek denken, dus extensief; dan moet men ook het punt etherisch opdelen en zo kan men het antwoord vinden.
In dit hele voorbeeld speelden twee dingen een rol. Ten eerste de fysiek-etherische polariteit, die zich uitdrukt in al het ruimtelijke, die zuiver op zich genomen nog niet de fysieke ruimte, maar de oerruimte voorstelt. Dat bijvoorbeeld het boloppervlak aan elk vlak in de ruimte een punt als pool, en aan ieder punt een vlak toe eigent, wordt door de oerruimte bewerkstelligd. Het in de eerste plaats kwalitatieve, nog niet vanuit de vorm bepaalde oerfenomeen van de polaire relatie van punten en vlakken in de ruimte komt in een bepaalde vorm bij het boloppervlak tot uiting. Om dat in te zien, heeft men de euclidische ruimte nog niet nodig.; men heeft zelfs geen zuiver inzicht, als men zich niet van de euclidische ruimte bevrijdt, zoals de projectieve geometrie juist doet. Het tweede wat een rol speelde, was het speciale van een fysieke ruimte, namelijk het enige, oneindig verre vlak, of het vlak op oneindig. Daaruit ontstond, met betrekking tot de bol, het bijzondere punt, namelijk het middelpunt als de pool van het vlak op oneindig.
Als we ons nu van de fysieke ruimte wenden naar de etherische tegenruimte, dan behouden we onveranderd alles wat te maken heeft met de oerruimte. Alleen datgene wat veroorzaakt werd door de eenzijdig fysieke ruimte, wordt in het omgekeerde veranderd. In plaats van het vlak op oneindig als wereldvlak hebben we nu een enkel wereldpunt. Stellen we dat punt voor, om het eenvoudig te maken, in het middelpunt van de bol. We waren immers bereid om de idee van de bol vanuit de periferie, dus in de zin van de tegenruimte te ontwikkelen. Op deze plek moet echter een methodische opmerking geplaatst worden. Het is immers niet eenvoudig om dit met woorden duidelijk te maken. In de innerlijke voorstelling heeft men in de eerste plaats de vormen van de fysieke ruimte. En de gebruikelijke namen van de ruimtelijke vormen en plaatsen, die men moet beschrijven, hebben betrekking op deze ruimte. Nu moeten we in het zuivere denken de idee ontwikkelen van een ruimte, die juist omgekeerd is aan deze ruimte. Dat kan alleen als men het fysieke aspect, die door de voorstellingsvorm vanzelf gegeven is, innerlijk actief overwint. Men begint, tegenover de uiterlijke schijnbare voorstellingsvorm, een doorgaans ander ruimte- en vormgevoel te ontwikkelen. Men kan het dynamisch noemen, omdat, wat we bij het bekijken van vormen in de levende natuur en in de kunst als een dynamisch moment beleven, meestal juist met het etherische te maken heeft. Dan is men echter genoodzaakt uitdrukkingen te gebruiken, die ontleend zijn aan de gegeven fysieke ruimte, en die voor de etherische ruimte, die men moet denken, vaak niet de betekenis hebben, die met de naam overeenkomt. Men moet bijvoorbeeld spreken van het vlak op oneindig. Dat hoort bij het organisme van de oerruimte, maar deze heeft voor de etherische ruimte niet de betekenis van een oneindige verte, in tegendeel, ze is dan eerder het midden, het perifere midden, als we het zo kunnen zeggen, waarvan men uitgaat. We moeten ze echter toch karakteriseren als het vak op oneindig van onze zichtbare ruimte. Hoe zou men het anders duidelijk kunnen maken, als men juist dit vlak bedoelt?
Deze moeilijkheid ligt in de aard van de zaak. Men moet, als men geometrie bedrijft, tot zeer bepaalde voorstellingen proberen te komen. Deze voorstellingen beleeft men in de eerste plaats in relatie tot de fysieke ruimte: rechte hoeken als rechte hoeken, parallelle lijnen als parallelle lijnen, dezelfde afstanden als dezelfde afstanden enz. Maar in de overwinning van datgene wat de fysieke ruimtebeschouwing beschrijft, ligt juist de activiteit, die tot inzicht in het etherische voert. Maar men gebruikt de namen van de dingen van datgene wat overwonnen moet worden, omdat dat zo in ons taalgebruik zit. Tenslotte moet ieder voor zichzelf het overwinnen ervan oefenen. We leven nu eenmaal met ons bewustzijn in de fysieke ruimte; het andere zullen we actief nastreven. Om alle misverstanden te vermijden, zal ik datgene wat we als voorstelling beleven, als beschouwingruimte of als schijnbare ruimte karakteriseren. Als ik spreek over het oneindig verre vlak van onze beschouwingruimte, dan bedoel ik daarmee het genoemde vlak, maar tegelijk ook dat het voor het zuivere denken, op dat ogenblik, juist niet de betekenis van oneindig ver vlak heeft.
Een voorbeeld van dynamisch beleven van de vorm in de etherische ruimte: stel in de etherruimte een cirkel voor (beter gezegd een schijnbare cirkel), maar zo, dat het wereldkiempunt van deze ruimte niet in het middelpunt van de cirkel, maar een beetje ernaast ligt. Voor de fysieke beleving van de ruimte, dus voor het onmiddellijke bekijken ervan, is het dan een cirkel met een excentrisch middelpunt. Voor de etherische tegenruimte is het geen cirkel meer. Men zal het dynamisch als een ellips beleven. (Dit is letterlijk zo bedoeld; niet alleen theoretisch gezien is het dan een ellips, maar men zal het ook als zodanig beleven, van zodra men de idee van de etherische ruimte voor deze vorm kan vatten.) Wat voor de fysieke ruimte het excentrische, de plats en de vorm op zichzelf laat zijn, dat wordt in de dynamische ruimte tot een innerlijke kwalitatieve verandering van de vorm, van zodra de excentrische punt de waarde en de betekenis van wereldpunt heeft.
Omgekeerd wordt datgene wat voor de fysieke aanschouwing in de eerste plaats excentrisch of asymmetrisch verschijnt, voor de dynamische vorming van de etherische ruimte in sommige gevallen concentrisch en symmetrisch. (afb. 12) Een interessant voorbeeld zijn de ellipsen van Kepler als planetenbanen. Het middelpunt van de zon is daar in een van de brandpunten. Als men deze planetenbaan voorstelt in de etherische ruimte, waarvan het wereldpunt juist het middelpunt van de zon is, dan wordt de baan voor deze ruimte tot een cirkel, alhoewel ze fysiek als ellips verschijnt. Dat is niet oninteressant als men bedenkt hoe Kepler zelf oorspronkelijk nog van de oude voorstelling uitging, dat de banen van de hemellichamen cirkels zouden zijn. Dit slechts als historische opmerking: belangrijk voor ons is de mogelijke gedachte: wat voor het kijken in de eerste plaats als een ellips met haar excentrische vorm verschijnt, werkt in de etherische ruimte als een zuivere cirkel, terwijl het punt op oneindig van deze ruimte zich juist in een van de brandpunten bevindt.
In de organische wereld heeft men vaker te maken met vormen, die zich in sferische lagen min of meer excentrisch om een kern heen vormen. Stelt men een dergelijke vorm etherisch-periferisch voor, dan heeft men nieuwe mogelijkheden om de vormen te verklaren.
We keren nu terug naar de bol in de etherische ruimte. Dat we het wereldpunt van de etherische ruimte in het schijnbare middelpunt denken, heeft tot gevolg, dat de bol zich ook voor de etherische ruimte zich als zodanig voordoet. De fysieke ruimte en de etherische ruimte hebben we namelijk in verhouding tot het gegeven oppervlak op de meest eenvoudige manier met elkaar verbonden. Want het is dit vlak, dat we in de fysieke ruimte als het vlak op oneindig beleven, door de verhoudingen van de oppervlakten zelf op dat punt te betrekken, dat voor de etherische ruimte het vlak op oneindig voorstelt.
Het binnenste van de bol is immers, terwijl het voor de fysieke ruimte een eindige, met fysieke substantie te vullen inhoud voorstelt, voor de etherische ruimte geworden tot een oneindige, zelfs tot een oneindige naar binnen toe, naar het wereldpunt toe. We vormen het oppervlak niet meer van binnen naar buiten, radiaal zoals bij de cirkel, maar van buiten naar binnen, perifeer-sferisch. We beginnen niet in het middelpunt, maar in tegendeel, in het daarbij horende vlak, in het vlak op oneindig van onze beschouwingsruimte. Die is dan tot perifeer midden van het oppervlak geworden, zoals het middelpunt fysiek, ruimtelijk het puntgerichte midden voorstelt. Eerder dachten we dus aan een punt, dat zich vanuit het middelpunt radiaal naar buiten, naar alle mogelijke richtingen bewoog, tot het oppervlak werd bereikt, nu denken we aan een vlak, dat van het perifere middenvlak naar binnen beweegt, tot de bol geraakt wordt. Uitgaand van de oneindige verte als vlak, kan men de bol van alle kanten benaderen: van boven en onder, van links en rechts enz. Parallel aan zichzelf beweegt het vlak naar binnen: dat komt periferisch overeen met het idee, dat het punt radiaal vanuit het midden naar buiten beweegt. Voor elke parallelle richting heeft men twee diametraal tegenovergestelde wegen. Zo komt bijvoorbeeld het loodrechte vlak, of vanaf boven of vanaf onder, in de oneindige verte beginnend, (het is hetzelfde vlak op oneindig, boven en onder!) naar het boloppervlak toe, net zoals een punt langs een verticale diameter vanuit het middelpunt, of naar boven of naar onder, het oppervlak radiaal kan bereiken. Er ontstaat steeds de tweeheid van diametraal tegenoverliggende raakvlakken, respectievelijk puntenparen op de bol. (vergelijk hier afb. 11)
Op deze manier vormt het vlak, dat van buitenaf naar binnen komt vanaf alle kanten, omhullend het boloppervlak. Dat is het etherische proces van het ontstaan van de bol. Aan de volkomen analogie en daarbij het kwalitatieve verschil tegenover het fysiek-radiale ontstaan, ligt een mysterie ten gronde. Het hangt samen met de verhouding van de macrokosmische tot de microkosmische mens. We kunnen ons afvragen wat er overeenkomt met de stralen (resp. de diameters) van de bol, hoe ze in de fysieke ruimte verschijnen. Tweevoudig oneindig veel lijnen stralen van het middelpunt uit.. Elke lijn heeft twee diametraal tegenoverliggende punten met het boloppervlak gemeen. Daartegenover heeft men in het etherische middenvlak (dus in het vlak op oneindig van onze beschouwingsruimte) eveneens tweevoudig oneindig veel lijnen. We voelen deze, wevend in de hemelsfeer. Elk tweetal is de gemeenschappelijke lijn, die het middenvlak met twee diametraal tegenoverliggende, dus parallelle vlakken met het boloppervlak verenigt. (In afb. 13 is een dergelijke lijn in het eindige getekend, namelijk de gezamenlijke lijn van de twee vlakken. Laten we de twee vlakken loodrecht bewegen, dan verdwijnt hun gezamenlijke lijn in het vlak op oneindig. Er ontstaan op het boloppervlak tegen tegenoverliggende punten, die in de parallelle vlakken liggen. De gemeenschappelijke lijn van deze parallelle vlakken is in het vlak op oneindig, dus in de hemelsfeer, respectievelijk het middenvlak.)
Elke lijn geeft een 'etherische weg' weer, hoe het middenvlak in een parallelle beweging naar het boloppervlak toe kan komen. Zo is bijvoorbeeld de loodrechte hemel-lijn, de 'etherische weg' voor alle loodrechte vlakken, waarbij we er weer moeten aan herinneren, dat er voor elk van deze vlakken twee wegen zijn, dus in dit geval van boven naar beneden respectievelijk van onder naar boven, naar het boloppervlak toe. We herinneren hierbij aan het reeds eerder besprokene: de lijn deelt zich etherisch op in vlakken, zoals ze zich fysiek in punten opdeelt. Zo is de lijn in de etherische ruimte meestal als weg te denken, maar niet meer voor punten die langs de lijn bewegen, maar voor vlakken die in de lijn samenkomen. Ligt de lijn in het vlak op oneindig van onze beschouwingsruimte, dan is de beweging van de vlakken te zien als een parallelle beweging. Zo is het in het hier beschreven geval. We besluiten met de formulering: wat voor de fysieke ruimte de stralen zijn, die vanuit het middelpunt uitstralen, zijn voor de etherische ruimte de lijnen vanuit de sfeer, die in het middelpunt samenkomen. De uitdrukking 'sfeer-lijnen (lijnen vanuit de sfeer) is in deze samenhang aanschouwelijk en nuttig.
Vanuit elke 'sfeer-lijn' heeft men als vlak twee wegen, om vanuit de periferie het boloppervlak te bereiken. Nu kunnen we ons afvragen: hoe weten we, dat we hierbij juist een boloppervlak vormen, en niet een ellipsoïde of een ander oppervlak? Hoe ontstaat met andere woorden voor de etherische ruimte de idee die overeenkomt met ' de gelijke afstand langs alle stralen in de fysieke ruimte'? De beantwoording van deze vraag hangt samen met een ander, in de oerruimte werkzaam, bovenzinnelijk vormprincipe, waarvan de verklaring hier te ver zou voeren. (Te lezen in het tweede deel 'Klank van de getallen' in mijn artikel in de verzamelband Mathesis' ,1930, of in mijn boek 'Strahlende Weltgestaltung'.) Op deze plaats kan het volgende kort aangeduid worden. Ook voor de fysiek euclidische ruimte ontstaat de idee van de radiale afstanden slechts door een innerlijk begrijpen van het genoemde vormprincipe. Men moet er zich eerst maar aan herinneren, hoe zeer de cirkel- en de bolvorm samenhangen met de vorm van de rechte hoek (men kan bijvoorbeeld denken aan de stelling van Pythagoras, de goniometrische verhoudingen enz.) Een punt op oneindig laat, met betrekking tot het boloppervlak, een vlak ontstaan, dat het middelpunt doorloopt en ten opzichte van de straal die naar elk punt 'wijst', bij alle plaatsen van een punt, loodrecht staat. Dat gebeurt alleen bij de bol. Als men dit idee tot einde doorvoert, dan ontstaan in het middelpunt van de bol louter rechthoekige driehoeken. Er zijn steeds drie lijnen, die elk steeds ten opzichte van het gemeenschappelijke vlak van de twee andere lijnen loodrecht staan. Het zijn de zogenaamde cartesische drie-assenkruizen, die men naar alle mogelijke richtingen in het middelpunt kan tekenen. Het cartesische assenkruis heeft in de bol een soort van vorm-tegenbeeld, zoals de vorm van het menselijke lichaam met het hoofd. Nu ontstaat bij de bol niet slechts in het middelpunt, maar op dezelfde manier in het vlak op oneindig zulke drie-heden. Er worden louter rechthoekige driehoeken gevormd aan de hemelsfeer. Ze bestaan ieder uit drie lijnen en punten, zoals deze drie-assenkruizen ieder uit drie lijnen en vlakken bestaan. Niet alleen de stralen in het aardse middelpunt, maar ook de sfeer-lijnen in elk hemels perifeer midden, verdelen zich op deze manier tegenover de bol.
Wat we in de zin van de projectieve geometrie op de eerste plaats inzien met betrekking tot de vrije oerruimte, is echter nog niet de starre vorm van de rechte hoek, maar de getallendynamiek die eraan ten grondslag ligt; ook niet de klare cirkelvorm maar het cirkelende; niet de bolvorm maar het rondende en bollende in de ruimte. Men heeft namelijk in de ruimte niet alleen te maken met een eeuwig ademende polariteit tussen aards en hemels, zoals tussen het middelpunt en de wereldverte, maar ook met een rondend principe dat zich tussen beide polen bevindt, als in de rustende, in zich gesloten eindige sfeer (bol). Dit principe hangt wiskundig samen met het raadselachtige imaginaire ( -1); zijn concrete geestelijke achtergrond heeft het in datgene wat men als het astrale kenmerkt. Het is niet meer ruimtelijk, werkt echter vormend in de ruimte, vooral door de geestelijke klank van de getalritmes, die in het bijzonder in het cirkelende voorkomen. Zoals het binnen het etherische werkt, zo komt het als getallenether (chemische ether) tot uitdrukking.
Zoals de bolvorm met de drie loodrechte assen, met het oerkruis van de driedimensionale ruimte (respectievelijk met zijn hemelse tegenbeeld) samenhangt, zo leeft ook het geestelijk zielsmatige in de drieheid. Wat zich in het middelpunt als de drie tegenover elkaar polaire loodrechte assen, respectievelijk in het hemelvlak in de bijhorende sfeer-lijnen vorm laat zien, hangt in de geestelijke oergrond van de wereld samen met deze drieheid, die in het zielenleven van de mens als denken, voelen en willen verschijnt. Men kan daarvoor Rudolf Steiners uiteenzettingen lezen over de drie dimensies van het lichaam in hun concrete relatie tot de drie zielenkrachten (24 juni 1922). In een voordracht van 11 april 1920 vindt men hetzelfde over de driegelede opbouw van de hemelsfeer. Dat is het mysterie van de microkosmische en macrokosmische mens, waar we al op wezen. Zoals men zuiver geometrisch de bol pas dan volledig begrijpt, als men in staat is, deze niet slechts aards-cirkelmatig van het centrum uit te vormen, maar ook vanuit de kosmische periferie naar binnen toe, zo is het ook met de geestes-ziele-oergrond van deze ruimtelijke vormen. Zo werkt de geestes-ziele-drieheid boven en onder: in de kosmische sterrensfeer en in het aards-radiale gebied.
Wat we vanuit wiskundige gedachten als de vorming van oppervlakken door een vanuit de hemel werkende vlakken-werking beschreven hebben, heeft te maken met concrete bovenzintuiglijke werkingen. (Daarmee wordt niet bedoeld, dat men het werken vanuit het etherische tot onderwerp van een berekenende wetenschap kan maken. Men moet meestal, als men dit duidelijk wil inzien, het wiskundig kwalitatieve, ideeënrijke, waarin het geestelijke van de vorm en het getal zich uitdrukt, duidelijk onderscheiden van het zuiver rekentechnische.) Rudolf Steiner spreekt in twee voordrachten, die hij op 8 en 9 april in Den Haag gehouden heeft over de verhouding van de antroposofie tot de wetenschappen respectievelijk de kunsten, over de tegenstelling tussen een fysieke en een etherische ruimte, die we hier bespreken. Hij noemt de etherische ruimte een plastische ruimte; het is de ruimte, zoals de beeldhouwer ze moet beleven, een tegenover de euclidische ruimte, geheel andere ruimte.
Eerst is er sprake van de drie dimensies van de fysieke ruimte. Er wordt beschreven hoe we de vorm van de drie richtingen van de assen, uit onze eigen innerlijke lichaamsbeleving naar boven kunnen halen als boven en onder, rechts en links respectievelijk voor en achter. Daartegenover spreekt Rudolf Steiner erover, hoe men door imaginatieve aanschouwing ertoe kan komen, om een gelijkaardige, in elk geval meer kwalitatief ervaren vorming in de hemelsfeer te beleven. En hij spreekt hier van een ruimte, waarvan de werkingen uitgaan van de oneindige sfeer, in plaats van vanuit punten. " Deze andere ruimte heeft zijn geheim daarin, dat men nu niet meer kan uitgaan van een punt en vanzelfsprekend alles op dit punt kan betrekken, maar dat men moet uitgaan van het tegendeel van dat punt. Wat is het tegendeel van dat punt? Het tegendeel van dat punt is niets anders dan een oneindig ver verwijderde bol, een bol, waarnaar men omhoog moest kijken, het blauwe firmament benaderend, als het daar zou zijn. Stelt u zich voor dat ik in plaats van een punt, een holle bol heb waarin ik mij bevindt, en ik betrek alles wat daarbinnen is op deze bol; in plaats van op een punt door coördinaten, geef ik alles een plaats in relatie tot deze holle bol…" Dan wordt op beeldende wijze beschreven, wat de werking is van deze ruimte. Rudolf Steiner spreekt verder, terwijl hij op het bord schetst:
" Nu bekomt men daar niet een ruimte, die zich door drie dimensies laat vormen, als men op deze manier vanuit de sterrenhemel tot een voorstelling van de ruimte wil komen, maar men bekomt een ruimte, die ik ook slechts in een beeld beschrijven. Als ik de ruimte waarover ik gisteren heb gesproken, zou moeten beschrijven met de drie loodrecht op elkaar staande lijnen, dan moest ik de ruimte zo aanduiden, terwijl ik overal configuraties teken, alsof krachten in zulke vlakken, van alle kanten van het wereldal de aarde benaderden en van buitenaf werkten op de gebieden, die op de aardoppervlakte zijn.
Tot een dergelijke voorstelling komt men, als men uitgaat van dat wat met fysieke ogen aan levende wezens, vooral aan mensen te zien is, als men naar het fysieke lichaam kijkt, als men zich van de fysieke zintuigen bedient. Wanneer men echter uitgaat van dat wat ik hier imaginatie genoemd heb, waarbij in plaats van de fysieke mens, de kosmos in beeldvorm zich opent en een ruimte schenkt, van zodra men daarvan uitgaat, komt men ertoe, te kunnen zien wat een tweede lichaam van de mens is, dat door een oude instinctieve helderziendheid het etherlichaam werd genoemd, maar wat beter het vormkrachtenlichaam zou genoemd worden; een bovenzintuiglijk lichaam, dat uit fijne etherische substantie bestaat en dat het fysieke lichaam van de mens doordringt. We kunnen het fysieke lichaam bestuderen, als we de, het lichaam doorstromende krachten, binnen de uitdeining van de ruimte zoeken. Het etherische of vormkrachtenlichaam dat de mens doorstroomt, kunnen we niet bestuderen als we van deze ruimte uitgaan. We kunnen het alleen dan bestuderen, als we het opvatten als, vanuit de gehele kosmos gevormd, als we het zo opvatten dat deze krachtenvlakken die van alle kanten de aarde naderen, ook de mens benaderen en van buitenaf zijn vormkrachtenlichaam plastisch vormgeven."
Het is veelbetekenend hoe Rudolf Steiner op de hier aangehaalde plaatsen van 'krachtvlakken' respectievelijk van een vlakkenmatig-plastisch werken van het etherische vanuit de oneindige hemelsfeer spreekt. Men pakt ook in de wiskundige gedachte van de etherische ruimte dit vlakkenmatig werken. Vlak is hier de wiskundig ideale vorm van dit vlakkenmatige, van het etherische; punt is de wiskundig ideale vorm van het fysiek, aardse. Als we spreken vanuit de plantenwereld: vlak is blad en punt is oog. Als de plant uitdeint in het blad, dan openbaart de plant het zonneachtige; trekt de plant zich puntmatig, in de kiem terug, dan openbaart de plant het aardse. ( zie de geciteerde woorden van Rudolf Steiner op blz. ) In het algemeen zal men vele vormen, vele orgaanvormen in de levende natuur, in de embryologie enz. geheel anders kunnen beoordelen, als men zich er eenmaal van doordringen laat, dat niet alleen het puntmatige oorspronkelijk tot het geheel van de ruimte behoort, maar ook het vlakmatige, niet alleen het fysieke, maar ook het etherisch-hemelse.
4. FYSIEKE EN ETHERISCHE KRACHTEN EN SUBSTANTIES
Nu moet men deze polariteit op dezelfde manier ook voor het substantiële en krachtgevende kunnen begrijpen. De fysieke (euclidische) ruimte is GEFAS voor het fysiek stoffelijke. Dit laatste beleven we als ruimte vullend. Een etherische ruimte vulling zal ons ruimtegevoel, dat nu eenmaal fysiek is, eerder als ruimte uitsparend beleven. Van iets dergelijks spreekt Rudolf Steiner bij de beschrijving van de verhoudingen van de zon. Dit idee ontstaat in volledige klaarheid, overeenkomstig met ons wiskundige begin, en het bevestigt bovendien wat Rudolf Steiner heeft aangegeven, dat het etherische tot uiting komt, als men in de overeenkomstige formules het positieve (plus) in het negatieve (min) verandert, waarbij deze substitutie kwalitatief en niet op een gelijkwaardige kwantitatieve manier uitwerkt. Men komt zo tot de idee van een negatieve substantie. Tot zover het stoffelijke. Als men van krachten in de ruimtelijke wereld spreekt, dan werkt de polariteit van 'licht en zwaar'. Zoals ieder stoffelijk punt naar het middelpunt van de aarde tendeert, zo tendeert elk etherisch vlak naar de hemelsfeer. Als we de eerste tendens de zwaarte noemen, dan is de laatste het innerlijke licht van al het etherische. Zwaarte/gewicht en lichtheid zijn hier de tegenstellingen. Ze houden elkaar in evenwicht, als het etherische (etherlichaam) met het fysieke (fysiek lichaam) organisch verenigd is. Hier wordt niet alleen de fysieke substantie in de strijd met de zwaartekrachten hemelwaarts verheven, maar het bedwingt ook de lichthonger van het etherische, hier in het gebied van het aardse leven. Als het levende wezen sterft, dan vervalt de fysieke substantie naar beneden; de etherische substantie zweeft weg. Dit wegzweven moet men zich niet puntachtig (zoals bij een fysieke ballon), maar veel meer vlakmatig voorstellen. Het etherische zweeft naar de verten, naar de omgeving. Men kan hierbij vergelijken wat Rudolf Steiner in de voordrachten van 9 en 10 december 1920 over licht en zwaarte naar voren brengt.
Deze ideeën over de etherische kracht en substantie kunnen we illustreren aan de hand van het voorbeeld van de bol. Het voorbeeld is van nature gegeven, omdat juist de bol, meer dan andere, de vorm is, die het evenwicht houdt tussen het fysieke en het etherische. (Rudolf Steiner noemt ze in dit geval de 'nulsfeer' in de overgang van de positief gevormde naar de negatief gevormde ruimte.) Men moet bij het volgende in elk geval bedenken, dat we het voorbeeld zo eenvoudig mogelijk hebben gekozen, omdat we wereldpunt en wereldvlak concentrisch hebben gelegd. Als men dat niet doet, dan valt de fysieke idee van de bolsfeer niet meer samen met het etherische. Het periferische midden van een etherische sfeer is dan bijvoorbeeld niet meer het oneindig verre vlak van onze fysieke ruimte, maar men zal ze eerst als een bepaald ander vlak in deze ruimte moeten denken. Anders gezegd: de betreffende ethersfeer is dan niet meer in de absolute omtrek van onze ruimte 'periferisch gecentreerd', maar in een relatieve omtrek. Men begrijpt dan de woorden van Rudolf Steiner: "Krachten,… die geen middelpunt, maar een omtrek hebben"; dus hun eigen relatieve omtrek. Het precieze doordenken van deze gecompliceerde gevallen is voor de hier bedoelde ether-geometrie juist belangrijk, omdat men daardoor des te meer een juist idee verwerft, hoe zich de etherische vormen naar de concrete vormen voegen en daarmee ook voor het fysiek ruimtelijk concrete, namelijk voor de fysieke lichamen van levende wezens, vormscheppend kunnen werken. Juist de wiskundige opbouw van vele bloemen en planten kan een aansporing zijn om een dergelijke ether-geometrie verder te ontwikkelen.
Stellen we ons onze bol eerst voor als fysieke ruimtelijke inhoud. Zoals reeds gezegd, is deze inhoud puntachtig. Men kan de inhoud zien als de som van alle kubieke millimeter, de puntachtige verdwijnende ruimtes samenvoegen. Analoog zal de etherische ruimte van de bol, dat is de gehele overige ruimte met de uitgespaarde bolruimte, uit vlakken respectievelijk vlakmatige deelsferen opgedeeld zijn.
Zoals een punt in de 'binnenruimte' doorheen de gehele fysieke ruimte kan bewegen, zo kan een vlak dat in de 'buitenruimte', die voor het etherische denken juist binnenruimte wordt. Zoals het middelpunt het centrum vormt voor een eindige fysieke inhoud, die door de oppervlakte naar buiten toe omsloten wordt, zo vormt het oneindig verre vlak het periferische midden voor een eindige inhoud van een etherische bol. Die gaat juist van buiten naar binnen. Men heeft dan met een uitgespaarde ruimte te maken. Wat van de oneindigheid (fysiek gesproken) tot aan het oppervlak naar binnen gaat, is voor de etherische ruimte eindige inhoud; wat van de oppervlakte naar binnen naar het wereldpunt toe gaat, is de oneindigheid van de etherische ruimte. Zo komen we tot het precieze idee van een negatieve vulling van de ruimte. Fysieke ruimte en etherische ruimte verhouden zich als plus en min. Wat voor het fysieke (van het boloppervlak naar buiten) de oneindige lege ruimte is (de gehele ruimte, zonder de 'eindige' inhoud van de bol, is voor het etherische de inhoud; wat voor het fysieke de inhoud is (van het oppervlak naar binnen, naar het middelpunt toe) is voor het etherische de uitsparing van de ruimte: de overgebleven oneindige leegte, ruimte naar binnen. Stel je in deze ruimte en tegenruimte, de bijhorende processen voor! Stel je bijvoorbeeld voor een fysieke werking die uitgaat van een middelpunt en die in het gebied van dit punt haar krachtbron heeft. Ze gaat in steeds meer groeiende sferen naar buiten, hoe verder naar buiten, des te meer wordt ze dunner en zwakker. Ze gaat uit van een punt en verliest zich in de uitdeining van het vlak (vergelijk citaat Steiner blz. …) Bij de etherische ruimte is het precies omgekeerd. In het etherische midden – dus in dit geval in de oneindige hemelsfeer – moeten we ons de bron voorstellen van een etherische werking. Terwijl deze laatste zijn hemelse lichtafkomst geleidelijk verlaat, werkt het in altijd kleiner wordende sferen naar het wereldpunt toe. Des te kleiner (uiterlijk fysiek gesproken) de straal van de bol wordt, des te groter moet men de ethersfeer beleven. Dit proces wordt groter in het oneindige, terwijl het wereldpunt benaderd en bereikt wordt. Men heeft hier te maken met een gegeven, dat zich naar het middelpunt toe verliest. Het is alsof een fysieke bol in de oneindige omgeving groeit en ook uitgroeit. Men ervaart het wereldpunt dan niet meer als de nul, maar als oneindig groots – in Rudolf Steiners paradoxale uitdrukkingswijze – als een punt, dat de inhoud heeft van een onbegrensd, groot boloppervlak, dat naar binnen gekeerd is. Als beeld voor een dergelijke etherische werking worden de primordien van het blad van een groeischedel (Euphorbia Wulfenii) getoond. (Afb. 14)
Deze ideeën kan men in de zin van de projectieve geometrie volledig en exact verder ontwikkelen. Ik kan bijvoorbeeld voor de etherische groei naar binnen de bijhorende maatverhoudingen aangeven. Voor het etherische is het wereldpunt, de oneindigheid zelf. Zo kan een gelijkmatige groei naar binnen, er voor het fysieke oog uitzien als een stuwing naar dat punt toe. Het is dezelfde soort stuwing (alleen gebeurt ze van alle kanten tegelijk) zoals men die beleeft bij het perspectief, naar het vluchtpunt toe. Men ziet de sfeer stuwend naar binnen toe groeien, maar men kan met een etherisch gevoel niet een stuwend, maar een eeuwig gelijkmatig bij dit voorbeeld beleven. De precieze verhoudingen leveren het volgende op. Stel je voor een fysiek, vanuit het midden groeiende sfeer. De groei gebeurt ritmisch, in gelijkmatige stappen. Bij de eerste stap wordt de straal 1 bereikt, bij de tweede de straal 2 enz. We krijgen de gelijkmatig groeiende rij van de afstanden van de straal: 0, 1, 2, 3, 4, 5, … Daarbij is de 0 dus het middelpunt. Nemen we nu daartegenover de naar binnen toe groeiende ethersfeer en ook dit gebeuren wordt etherisch-gelijkmatig geritmiseerd. Als we de schijnbaar fysieke straal van de bol, die na de eerste stap van het ritme bereikt wordt, 1, dus de straal vanaf het middelpunt, niet de etherische idee, maar de fysieke voorstelling. Dan wordt bij de volgende stap, van de groei naar binnen toe, de schijnbare straal ½ bereikt, bij de derde stap 1/3 enz. Nu kan men bedenken dat men bij de etherische oorsprong van dit gebeuren, dus bij het steeds weer verwijderen van het oneindig verre vlak als oneindig boloppervlak, de schijnbaar fysieke straal, oneindig is. Dus we krijgen hier de rij: , 1, ½, 1/3, ¼, 1/5, …
Natuurlijk is de schijnbare stuwing nog veel sterker, want men moet de getallen eerst nog van elkaar aftrekken, om de schijnbare maat van de opeenvolgende trappen te bekomen. Wat voor de etherische idee, gelijkmatige stappen zijn, dus 1, 1, 1 enz., ziet er voor de fysieke beschouwing uit als een stuwing: , ½, 1/6, 1/12, 1/20, …
Daarnaast is nog op te merken, dat men voor dit eenvoudige geval, het fysieke beeld van groei in het etherische met behulp van de bekende 'transformatie door reciproque stralen' kan veranderen. Men verandert elk punt met betrekking tot een gegeven bol (nl. die met straal 1) in het bijhorende vlak en omgekeerd. Daardoor bekomt men bij straal 2, ½; bij 3, 1/3 enz. Deze verandering van getallen is een spiegeling, die in wezen daardoor bekomen wordt, dat de nul zich spiegelt in het oneindige en het oneindige zich spiegelt in de nul. De wederzijdse verandering van nul en oneindig, is ook geestelijk gezien de idee van de overgang van de oneindige hemelsfeer met haar goddelijke wereldbeelden in het aardedieptepunt als wereldkiem. Deze laatste is juist het niets, maar het ontvangt datgene wat in de sfeer sterft, om tot nieuw leven te komen. "In uw niets, hoop ik het Al te vinden."
Stel je nu een gebeuren voor, dat in de etherische groei naar binnen, een geheel andere beweging heeft. In plaats van het gelijkmatig naar binnen toe komen (dus voor het fysieke oog, naar het wereldpunt toe stuwend, dat bij de gelijkmatige groei nooit kan bereikt worden) groeit hij nu altijd sneller, naar het oneindige toe. Uiteindelijk bereikt het de oneindigheid, het wereldpunt. Dat is dan een etherische, oneindig geworden bol. We ervaren het niet als een banaal fysiek punt, maar zoals Rudolf Steiner het uitdrukte, als ' punt dat de inhoud van een onbegrensd groot boloppervlak heeft'. Het is etherisch geweven uit enkel vlakken. Zoals voor het fysieke oog in de hemelsfeer enkel sterrenpunten zijn, zo dus ook in het wereldpunt enkel vlakken, die het punt doorweven. Wanneer dit echter niet alleen een gedachtespinsel is, maar een werkelijkheid in de natuur, wanneer met andere woorden in het wereldpunt van de etherruimte, een fysiek ontvangen aanwezig is, dan betekent het ogenblik, waarop het etherische, oneindig wordend, in dit punt inslaat, voor dit fysieke een nieuw begin. Het begint zich op een nieuwe manier fysiek te werken. Vanuit een andere wereld, namelijk vanuit de etherische ruimte, zijn in het punt nieuwe scheppingskrachten ontstaan. Er is iets nieuws fysiek ontstaan. Warmte straalt bijvoorbeeld in het punt, straalt uit in de omgevende fysieke ruimte. Het is een fysiek-ruimtelijke uitstraling, een uitstraling waarvan we gewend zijn dat 'ze zich in de uitdeining van het vlak verliest'.
Men kan nu verder denken dat ook dit laatste gebeuren naar de oneindigheid toe groeit, tot het, het wereldvlak van de fysieke ruimte ( het oneindige boloppervlak) bereikt en dan daarin weer zich omstulpt in een etherisch werken, dat weer hernieuwd naar binnen toe werkt. Zo ontstaat het idee van een niet slechts uiterlijk-ruimtelijke, maar veel meer een kwalitatieve SCHWINGUNG: etherisch, dat zich naar het fysieke toe verliest: fysiek, dat in het etherische opgaat. Zulke mogelijke werkingen komen als van nature voort uit de idee van ruimte en tegenruimte. Men is niet meer gebonden aan een eens gegeven ruimte, waarbinnen slechts extensieve bewegingen kunnen plaatsvinden. Men kan gebeurtenissen denken die zich afspelen bij het ruimte-worden en het ruimte-ont-worden: in de schepping, in de VERNICHTUNG van de ruimte. Rudolf Steiner heeft over het wezen van de warmte als intensieve beweging juist in deze zin gesproken. Als zich bijvoorbeeld iets chemisch, zoals bij een vlam, als warmte laat zien, heeft men juist met een dergelijk gebeuren te maken. Want het chemisch werkzame is in werkelijkheid niet binnen de fysieke ruimte te vinden. Het is slechts NOTBEHELF, als men het voorstelt in fysiek-ruimtelijke vormen, formules van moleculen enz. Men kan overigens bedenken wat het voor het begrijpen van de levendig werkende warmte in tegenstelling tot de louter dode bekekenen kan, als men zich dit werken vanuit de etherverten, dit opborrelen, ontspringen vanuit het punt concreet kan voorstellen. Daarbij kan het kwalitatieve, en ook het vormende werken; de idee van de bol-sfeer, zoals we die hebben beschreven, is tegelijk slechts de matrix (de vorm) de algemene moedersfeer, die alle mogelijke werkingen in zich heeft. We hebben met de hier ontwikkelde idee van ruimte en tegenruimte een middel, om de processen, zoals ze vaak door de geestesonderzoeker beschreven worden, in gedachten te benaderen. Hoe de dingen in werkelijkheid uitpakken, dat kan natuurlijk slechts de ervaring, de uiterlijk-experimentele, of de hogere bovenzinnelijke, uitwijzen. Maar de juiste manier van gedachten vorming over zulke ervaringen is belangrijk.
Het is een mooie gedachteoefening, als men zich het zojuist beschrevene in alle rust voorstelt: het naar binnen toe werken van een ethersfeer vanuit de oneindige verte, het opgaan in het middelpunt; de momentane en kwalitatieve omstulping, terwijl het punt uit het oneindig geworden etherische in het fysieke oerbegin zich verandert, fysiek begint uit te stralen en een groeiende fysieke sfeer naar de verten zendt, tot deze fysieke sfeer weer de hemelsfeer bereikt. Opnieuw vindt dan de kwalitatieve omstulping plaats, maar deze keer op de omgekeerde manier en de ethersfeer groeit weer naar binnen toe.
Rudolf Steiner heeft erop gewezen dat deze gebeurtenissen, vb. het stralende van de ruimte, niet in de vage oneindigheid verloren gaat, maar de stralen gaan tot een zekere sfeer en keren dan kwalitatief veranderd in zich terug. Er ontstaat een ritme. Men kan deze manier van SCHWINGUNG juist begrijpen door de idee van ruimte en tegenruimte.
Als we eerst spraken van krachten, dus van licht en zwaarte, dan ontstaat bij de bol weer in het eenvoudigste geval het volgende. De fysiek-materiële bol openbaart zich in drukkende krachten. Een samentrekkende tendens is de zwaarte. Elk stoffelijk punt tendeert naar het middelpunt, naar het zwaartepunt van het geheel. Als alleen deze kracht zou werken, dan zou alles ten slotte in het ene punt opgaan. Maar de fysieke substantie is ondoordringbaar; ze laat het dus niet toe. Alles heeft zijn ruimte nodig. Dus als tegenkracht werkt het elastische, het dragende, dat zich tegen de druk naar binnen verzet. Uiteindelijk ontstaat, afhankelijk van specifieke zwaarte, afhankelijk van fysieke tendens om de ruimte te vullen van de betreffende stof, een evenwicht in druk en tegendruk.
Nu willen we daartegenover, zuiver in gedachten, de idee ontwikkelen van de bol vervuld met etherische krachten. Die is van buiten naar binnen toe, in plaats van van binnen naar buiten, vervuld. Hij heeft geen zwaartepunt als midden, maar het midden is het lichtvlak van de hemel zelf. Hij is in vlakken, niet in punten verdeeld en opgebouwd. Elk vlak tendeert, hongerig naar het licht, naar een hemelvlak terug. Dit vlak is niet slechts het geometrische midden, maar ook kracht-midden van de etherische bol. Zoals een fysiek lichaam zijn dynamisch midden heeft in een zwaartepunt, zo heeft het etherische lichaam het midden in een lichtvlak, het verlichtingsvlak van het geheel. Zo komen we tot het begrip van de negatieve zwaarte. Die werkt zuigend ten opzichte van het boloppervlak , in plaats van drukkend. Maar het substantiële van de ethersfeer geeft het juist een zekere vervulling van de ruimte. Ze heeft krachten in zich, die het terugtrekken in het hemelvlak verhinderen. Ze vult de ruimte naar binnen toe, zoals de fysiek materiële bol zijn ruimte elastisch naar buiten toe vult. Hij leeft in het evenwicht van de negatieve vervulling van de ruimte, van zijn negatieve zwaarte. Hier ontstaat volledig exact de idee van de kwalitatief zuigende krachten. ( De zuigende werkingen in de fysieke mechanica zijn slechts gemetamorfoseerde druk-krachten. De hier bedoelde krachten staan van bij het begin in een omgekeerde verhouding tot de ruimte.)
Als het in een dergelijke etherische bol tot een soort explosie zou komen als gevolg van een te sterke negatieve vervulling van de ruimte, dan zou dit door de bol-huid naar binnen toe – dus als een implosie – werken, naar het wereldpunt toe. Men heeft dan het omgekeerde, als bij de vulkaanuitbarstingen op aarde. Dat zijn de ideeën die volgens Rudolf Steiner geschikt zijn voor de interpretatie van de fenomenen op de zon. Maar ze hebben ook hun betekenis in de aardse natuur, want ook hier werkt het zon-achtige. Rudolf Steiner wijst erop, hoe bijvoorbeeld in de mens bij alle ervaringen, bij alle zintuiglijke waarnemingen dit zon-achtige werkt. Men ervaart bijvoorbeeld bij het tasten de druk van het fysieke lichaam. Het etherlichaam beantwoordt deze druk met zuigende krachten. In dit spel van krachten ontstaat gevoel. Zo kunnen we in de genoemde voordrachten over de verhouding van de verschillende natuurwetenschappelijke gebieden tot de astronomie, lezen:
' … Datgene wat uitgaat van de zon, deze zuigende kracht, werkt in de mens, het etherlichaam van onder tot boven doordringend; zodat in de mens, als we het menselijk lichaam bekijken, twee elkaar tegengestelde entiteiten werkzaam zijn: zonne-entiteit en aarde-entiteit. We moeten het in elk specifiek geval kunnen terugvinden, dat dat zo is, en als we de dingen op de juiste manier kunnen interpreteren, dan kunnen we ze ook terugvinden… Als ik met mijn vinger hier druk, dan ontstaat in het drukvlak de druk, die de materie op mij uitoefent, en deze tegendruk komt overeen met de zonnekracht, die door mij, dus door mijn etherlichaam werkt. En u heeft, als u zich hier een vlak voorstelt dat op de mens drukt, of tegen de mens drukt, de werking van de ponderabele kracht en de werking van de ponderabele kracht er tegenover gezet. En datgene, wat u hier de ervaring van druk geeft, is niets anders dan de wisselwerking van de ponderabele druk van buiten naar binnen en van de imponderabele druk van binnen naar buiten. U ziet, men kan zeggen, als men met een klaar innerlijk zielenoog de dingen bekijkt, dan vindt men de tegenstelling van aarde en zon, waarin we onderduiken, bij elke zintuiglijke waarneming.'
Ten slotte moeten we nog op een ander aspect van de etherische ruimte wijzen, die belangrijk kan zijn voor het begrijpen van de homeopathische werkingen. We hebben gesproken over de fysieke groei van een bol naar buiten toe en van etherische groei naar binnen toe. Nu keren we deze gedachtegang om! Stellen we ons een fysieke bol voor, die kleiner wordt, dus naar het middelpunt toe verschrompelt. Als de fysieke substantie behouden blijft, dan zal deze zich sterker concentreren; dezelfde kwantiteit verdeelt zich op een altijd kleiner wordende ruimte. Wat is nu het etherisch gebeuren dat hiermee overeenstemt? De bol deint – fysiek gezien – uit naar buiten toe. Dus hij groeit, voor de uiterlijke verschijning. Dat is echter geen groei, maar juist een zich verminderen van de ethersfeer. Die gaat steeds dichter naar het hemelvlak, naar zijn midden-vlak toe. Hij wordt periferisch kleiner.
Als men de idee van de etherische ruimte geoefend heeft en gewend is, dan wordt men snel zeer vaardig, om twee voorvallen, alhoewel ze zich in de uiterlijke ruimtelijke verschijning volledig samenvallen, absoluut anders ervaren kunnen worden. Men heeft uiterlijk gezien bijvoorbeeld met het groter worden van een bol te maken. Als we het ons fysiek voorstellen, dan ervaart men dit groter worden werkelijk als groei. Als men het echter etherisch voorstelt, dan ervaart men het als kleiner worden, ja als een perifeer samen schrompelen, samentrekken, naar de hemelsfeer toe, die etherisch gezien de oneindig kleine sfeer is.
Juist hieraan kunnen we inzien, hoe noodzakelijk en onmisbaar het is, voor een gebeurtenis in de natuur, om het overeenstemmende idee te vinden en niet een idee te gebruiken dat vreemd is aan het wezenlijke, dat wezensvreemd is. Stel je voor een ruimte, bijvoorbeeld een bolvormige kolf, gevuld met een fysieke substantie, met een vloeibare oplossing. Als men de gewone fysieke gedachten gebruikt, dan kan men zeggen: als ik de ruimte door verdampen VERRINGERE, dan wordt de oplossing geconcentreerder, want ze bezit dan dezelfde hoeveelheid van de opgeloste stof. En met deze concentratie wordt de werking van deze stof intensiever. Het is zo vanzelfsprekend als maar kan zijn.
Hoe wordt het als deze fysieke substantie met het etherische verenigd is? Als ze als plantaardige essentie met het leven of zelfs als metaal nog uit oertijden van de aarde met een kosmisch leven te doen had?
In zoverre dat hier een fysieke substantie als drager van het etherische voorhanden is, werkt het zoals de aarde, die met de hemelse krachten in verbinding treedt.
Dat betekent, dat het kiemkrachtig werkt – in de diepere zin van het woord, die in het begin verklaard werd. Een etherische krachtsfeer heeft in dit fysieke gebied iets dat als zijn wereldpunt werkt. Waarheen we het fysieke ook dragen, de ethersfeer gaat mee. Dus het wezenlijke van die kleine fysieke hoeveelheid is niet het fysieke op zichzelf, maar het in de kiem aanwezig zijn van een etherische sfeer. Deze etherische sfeer is met de fysieke stof verbonden, want ze had daarin het doel van haar werking. Ze had die nog niet verlaten, - als dat zo was, dan was het 'dood' en kwam voor de bedoelde werking niet meer in aanmerking. Wat gebeurt er dan, als men de fysieke substantie verdunt? Men concentreert, -periferisch gesproken, dus letterlijk gezien paradoxaal,- de specifieke sfeer van de etherkrachten die daarmee verenigd is. Dus is het volledig te verklaren, - voor de etherische ruimtelijke verhoudingen net zo als vanzelfsprekend het omgekeerde voor de fysieke verhoudingen -, dat men bij fysieke verdunning, de etherische werking in het algemeen intensiever maakt. Dat is het principe van de homeopathische verdunning, juist dat, wat voor het fysieke ruimtelijke denken, de steen des aanstoots was, terwijl men gedachtenvormen koesterde die met schijnbaar overtuigende logica, de onmogelijkheid van een dergelijke gebeurtenis scheen te bewijzen. Er waren natuurlijk ook mensen die zich door de feiten lieten overtuigen.
Wezenlijk is ook hier dat men met de idee van de etherische tegenruimte, de overeenkomstige gedachterichting neemt en een overeenkomend ruimtelijk gevoel ontwikkelt. Het gaat er niet om, door een kale polaire overdracht alle fysiek-ruimtelijke en mechanische gedachten in hun tegenbeeld om te zetten en vanaf nu de ether-geometrie net zo analytisch-causaal en dood te beschouwen, zoals men het veelvuldig met het fysieke gedaan heeft. Elke omkering komt wel overeen met een kosmische werkelijkheid, zelfs met een oerfenomeen van de ruimtelijke kosmos. Daaraan kan men volgens de aanwijzingen van Rudolf Steiner niet twijfelen. Men zal ze echter voorzichtig en met clementie gebruiken en niet de oude fouten herhalen. De leidende gedachte is hier, voor zover het reine denken in aanmerking komt, dat men door de polariteit van de fysieke en etherische ruimte, de fysieke ruimte levendiger en synthetischer leert zien, en niet omgekeerd dat men de etherische ruimte in eenzelfde analytische geest behandelt, zoals het tot nu toe met de fysieke ruimte gebeurde. De natuur van de zaak zal hier leiden, als men het intellectuele denken niet te sterk vooruitstelt. Want het gaat hier niet om een afgewerkte en klare ruimte, men heeft hier te maken met het ontstaan en vergaan van de ruimte in het spel met tegenstellingen. Doorheen dit worden en ont-worden (ontstaan en vergaan) werkt dan ook de geest. De ruimte is niet meer een afgewerkt, klaar en gesloten systeem.
Laat ons het laatste voorbeeld nemen. Voor het etherische is het belangrijk, dat de versterkende werking, de fysieke verdunning, niet op een willekeurige manier, maar ritmisch gebeurt, net als potensiëren, zodat het tijdsaspect en ook het ritme van het getal er doorheen speelt.
Al kunnen we het door middel van het kale denken niet voorspellen, toch is het begrijpelijk; het voert ons namelijk terug tot dieper inzicht, dat ons het begin van de hele weg liet zien.
De polariteit van hemel en aarde is het ruimtelijke tegenbeeld van een mysterie van de tijd. Het is de tijd die tot ruimte wordt. In het worden en het ont-worden ontvangt de ruimte, tijd- en getalritmen vanuit een rein geestelijke wereld.
Zo openbaart zich nu het kosmische leven. We hebben hiermee, vanuit het rein geometrische, een begin gemaakt met een vergeestelijking van de kennis van het ruimtelijke, zoals de tijdsgeest Michael het van ons verlangt.
