Veleučilište u Varaždinu
Vježbe iz fizike
Priredio: mr.sc. Jurica Hižak, predavač
Varaždin, 2012
Sadržaj:
1
GRAFIČKI PRIKAZ 1-D GIBANJA ................................................................................................................ 3
2
PUT KAO POVRŠINA ISPOD V-T GRAFA .................................................................................................... 5
3
PRIMJENA KINEMATIČKIH JEDNADŽBI NA 1D GIBANJE ........................................................................... 7
4
HORIZONTALNI I KOSI HITAC ................................................................................................................. 10
5
KRUŽNO GIBANJE .................................................................................................................................. 13
6
DINAMIKA TIJELA NA HORIZONTALNOJ RAVNINI .................................................................................. 14
7
DINAMIKA POVEZANIH TIJELA .............................................................................................................. 15
8
DINAMIKA TIJELA NA KOSINI................................................................................................................. 16
9
ZAKON GRAVITACIJE ............................................................................................................................. 18
10
ZAKON OČUVANJA KOLIČINE GIBANJA .................................................................................................. 19
11
ZAKON OČUVANJA ENERGIJE ................................................................................................................ 21
12
INERCIJALNE SILE................................................................................................................................... 24
13
ROTACIJA KRUTOG TIJELA ..................................................................................................................... 25
14
FLUIDI ................................................................................................................................................... 26
15
COULOMBOV ZAKON ............................................................................................................................ 27
16
ELEKTRIČNO POLJE TOČKASTIH NABOJA ............................................................................................... 29
17
ELEKTRIČNI POTENCIJAL ........................................................................................................................ 30
18
BIOT-SAVARTOV ZAKON ....................................................................................................................... 31
19
LORENTZOVA SILA ................................................................................................................................. 32
20
FARADAYEV ZAKON INDUKCIJE ............................................................................................................. 32
1 Grafički prikaz 1-D gibanja 1.1
Opiši gibanje prikazano na grafu i izračunaj brzinu tijela u različitim etapama gibanja.
Rješenje: Prve dvije sekunde tijelo se giba stalnom brzinom duž x-osi, udaljavajući se od ishodišta (x=0) . Na samom početku gibanja tijelo se nalazi na 0, a na kraju druge sekunde nalazi se na poziciji 8 . Brzina tijela u prvoj etapi:
∆ , ∆
gdje je ∆ pomak tijela koji se definira kao razlika između završne (konačne) pozicije i početne pozicije .
8 0 4 ⁄. 2 0
U drugoj etapi (od kraja druge sekunde do kraja četvrte sekunde) tijelo miruje. Naime tokom cijelog vremenskog intervala tijelo se nalazi na istoj poziciji 8 . Dakle:
0.
U trećoj etapi (od t=4 do t=8s) tijelo se vraća u ishodište. Pomak i brzina su negativni.
0 8 2 ⁄. 8 4
1.2
Nacrtaj x-t graf za tijelo koje se prve 4 sekunde giba stalnom brzinom 0.5m/s, zatim dvije sekunde stoji, da bi u intervalu od t=6 do t=8 putovalo brzinom 1.5 m/s. Pretpostavimo da je u početnom trenutku tijelo bilo na poziciji x=0.
Rješenje: Prve 4 sekunde tijelo prevali 2m. Naime,
∆ ∆ · ∆ 0.5 · 4 2 . ∆
Konačna pozicija je, prema tome, ∆ 0 2 2 . U drugoj etapi tijelo miruje, pa je x-t pravac paralelan s vremenskom osi. U trećoj etapi tijelo pređe: ∆ · ∆ 1.5 · 2 3 , što znači da je konačna pozicija tijela ∆ 2 3 5 .
Valja primjetiti da nagib x-t pravca ovisi o brzini tijela. Veći nagib pravca odgovara većoj brzini tijela!
2 Put kao površina ispod v-t grafa 2.1
Krenuvši iz mirovanja, tijelo ubrzava tako da za 10s postigne brzinu 4m/s. Odredi prevaljeni put. Rješenje:
Prevaljeni put odgovara površini ispod v-t grafa. U ovom slučaju radi se o površini pravokutnog trokuta.
s=
1 ⋅ 10 ⋅ 4 = 20m 2
Zadatak se može rješiti uporabom formule ukoliko se prethodno izračuna akceleracija tijela: ∆ 4 0 0.4 / ∆ 10 2.2
1 · 0.4 · 10 20 2
Krenuvši iz mirovanja, tijelo za 2s postigne brzinu 8m/s, a zatim se još 2sekunde giba stalnom brzinom. Odredi ukupni pređeni put.
Rješenje
s=
1 ⋅ 2 ⋅ 8 + 2 ⋅ 8 = 24m 2
2.3
Automobil ide brzinom 10m/s. U jednom trenutku počne ubrzavati tako da 5s nakon početka ubrzavanja brzinomjer pokazuje 72km/h. Koliki put je prevaljen za vrijeme ubrzavanja?
Rješenje Konačna brzina automobila je
72
1000 72 · 20 / 3600
Prevaljeni put odgovara površini ispod v(t) pravca. Ta površina se može promatrati kao zbroj pravokutnika i trokuta. Slijedi:
5 · 10
1 · 5 · 10 50 25 75 2
Vlak koji ima brzinu 20m/s počinje usporavati retardacijom od 0.4m/s2. Kad će se vlak zaustaviti i koliki će put prevaliti za to vrijeme? (t=50s, s=500m) Rješenje 2.4
∆
Iz definicije akceleracije ∆
slijedi:
! " !0"
! " !0" , Kako bi saznali vrijeme zaustavljanja potrebno je u jednadžbu staviti v(t)=0 0 !0" ,
Početna brzina je !0" 20, dok je akceleracija 0.4 0 20 0.4 · ,
#
%$. Prema tome:
Dakle, vlak će se zaustaviti nakon 50s. Zaustavni put možemo odrediti pomoću v-t grafa:
1 · 50 · 20 500 2
3 Primjena kinematičkih jednadžbi na 1D gibanje 3.1
S ruba mosta bacimo vertikalno u vodu kamen brzinom 2m/s. Nađi visinu mosta i brzinu kojom kamen padne u vodu ako on pada točno 3s.
Rješenje Osnovne kinematičke jednadžbe za jednoliko ubrzano gibanje glase 1 & , 2
& . U slučaju padanja u gravitacijskom polju s početnom brzinom dobivamo formule za “vertikalni hitac prema dolje”: 1 & ' , 2
& ' , Direktnim uvrštavanjem podataka slijedi: 1 2 · 3 · 10 · 3 51 , 2
2 10 · 3 32 .
3.2
Za koliko vremena padne kamen s tornja visokog 45m? A za koliko ako mu damo početnu brzinu prema dolje 12.5m/s? Zanemari otpor zraka. (t=3s, t=2s) Rješenje Krenimo od kinematičke jednadžbe za put: 1 & , 2 U slučaju bez početne brzine & 0 uz akceleraciju ' (slobodan pad):
(
1 ' , 2
2 3. '
Kad tijelo ima početnu brzinu, uvrštavanjem podataka dobivamo kvadratnu jednadžbu: 1 45 12.5 · 10 , 2 2 5 18 0,
5 ) √25 144 , 4
Kao fizikalno smisleno uzimamo samo pozitivno rješenje, dakle 2. 3.3
Tijelo je počelo akcelerirati, iz mirovanja bez početne brzine. Za vrijeme osme i devete sekunde prešlo je 40m. Odredi akceleraciju.
Rješenje: a=2.5m/s2
3.4
Tijelo je ispaljeno vertikalno u zrak brzinom 40m/s. Odredi nakon koliko vremena će se naći na visini h=35m. Rješenje: Ako u osnovnu kinematičku jednadžbu za put uvrstimo ', dobivamo formulu za vertikalni hitac u vis: 1 & ' , 2 što nas vodi na kvadratnu jednadžbu:
odnosno
35 40 5 ,
8 7 0,
1, 7
Oba rješenja imaju smisla; tijelo se prvi put nađe na visini 35 na kraju prve sekunde, dok se penje, a drugi put nakon 7 kad pada. 3.5
Tijelo ispaljeno vertikalno u vis padne na zemlju nakon 8s. Odredi maksimalnu visinu i početnu brzinu.
Rješenje 1 & ' , 2
& ' , Iz druge jednadžbe vidi se da brzina tijela linearno pada (za -10m/s, svake sekunde) i da će u jednom trenutku pasti na nulu –to je trenutak kad tijelo postigne maksimalnu visinu. Dakle, uvrštavanjem brzine 0 u jednadžbu za brzinu, možemo dobiti vrijeme uspinjanja, tj. trenutak postizanja maksimalne visine. 0 & ' , Jednadžbe za vertikalni hitac u vis glase:
0 40 10 + 4, 1 & · 4 ' · 4 , 2
što znači da maksimalna visina iznosi:
40 · 4 5 · 4 80 . Tijelo je bačeno prema dolje brzinom 5m/s. Koliko traje let ako u posljednjoj sekundi tijelo pređe polovicu ukupne visine s koje je bačeno? (t=3s) Rješenje:
3.6
1 , & ' , 2
Za ukupno t sekundi tijelo padne na tlo:
dok za 1 sekundi tijelo pređe prvu polovinu visine:
, 1 & ! 1" '! 1" , 2 2 Pomnožimo li potonju jednadžbu s 2 i izjednačimo li je s prvom jednadžbom dobit ćemo: 1
& ' 2 & ! 1" '! 1" , 2 5 5 10! 1" 10! 1" ,
iz čega slijedi kvadratna jednadžba bez slobodnog člana: 5 15 0, 5 ! 3" 0, 3.
4 Horizontalni i kosi hitac 4.1
Projektil je ispaljen s vrha zgrade visoke 45m u horizontalnom smjeru, brzinom 20m/s. a)Izračunaj položaj i brzinu projektila nakon 2s, b) Odredi kada i gdje će projektil udariti . Rješenje: a)U x-smjeru, brzina se ne mijenja (uz pretpostavku da je otpor zraka zanemariv). Dakle, komponente brzine su:
- & ,
. '
Valja obratiti pažnju na to da smo y-os postavili prema dolje. Koordinate projektila dane su jednadžbama: & , 1 / ' , 2
Dakle, nakon dvije sekunde tijelo se nalazi u točki (40,20), a vektor brzine je 0 2010 2020. Iznos brzine u trenutku 2 možemo izračunati pomoću Pitagorinog poučka:
3 - . ,
420 20
5 28 ⁄.
b) Ukupno vremensko trajanje hica dobit ćemo ako postavimo uvjet / , 45 . 1 2, , ' + ( 3. 2 '
Domet dobivamo iz relacije za x-koordinatu položaja: & , ako uvrstimo trenutak udarca o tlo: 6 & (
2, , '
6 60 . 4.2
Projektil ispaljen sa vrha zgrade visoke 80m u horizontalnom smjeru, pao je na tlo 24m daleko od podnožja zgrade. Odredi brzinu ispaljivanja.
Rješenje: Domet projektila je: 6 & (
2, , '
iz čega slijedi:
& 63 4.3
' 6 /. 2,
Jackie Chan skače s vrha zgrade na susjednu zgradu koja je 2 m niža od zgrade sa koje skače. Zgrade su međusobno udaljene 4.2m, a brzina njegovog skoka iznosi 7m/s u horizontalnom smjeru. Hoće li Jackie uspjeti?
Rješenje: Da, domet mu je 4.4m>4.2m
4.4
Tijelo se giba po vrhu zgrade brzinom 12m/s, a osam metara prije ruba počne usporavati deceleracijom -2m/s2. Nakon što izleti preko ruba, izvodi horizontalni hitac te padne 15m daleko od podnožja zgrade. Odredi visinu zgrade. Rješenje: Prvo treba naći brzinu kojom tijelo izleti s vrha zgrade 1 s = v0 t + at 2 2 2 2 2 ⇒ v = v0 + 2as ⇒ v = 12 − 2 ⋅ 2 ⋅ 8 = 112 m / s v = v0 + at Iz formule za domet horizontalnog hica slijedi h =
4.5
D 2 g 15 2 ⋅10 = ≈ 10m 2v 2 2 ⋅112
Tijelo je ispaljeno brzinom 40m/s, pod kutem 600 u odnosu na tlo. Odredi položaj tijela nakon 1.5s. Odredi maksimalnu visinu i domet.
Rješenje: Položaj je x=30, y=40, hmax=60m, D=137m
4.6
Tijelo je izbačeno brzinom 10m/s pod 300 sa vrha zgrade visoke 30m. Odredi domet. Rješenje: Ako koordinatni sustav postavimo na vrh zgrade (vidi sliku) onda je ykoordinata položaja zadana relacijom: 1 y = v0 sin α ⋅ t − gt 2 2
Uvrštavanjem podataka dobivamo kvadratnu jednadžbu: t2 −t −6 = 0
Rješenje jednadžbe odgovara vremenu trajanje leta. t=3s Domet tijela:
D = v0 cos α ⋅ t ≈ 26 m 4.7
**Izračunajte doskok skijaša skakača koji polijeće brzinom 20m/s pod 150u odnosu na horizontalu, a padina na koju aterira približno izgleda kao kosina nagiba 450. Zanemari otpor zraka.
Rješenje: D=135m
5 Kružno gibanje 5.1
Odredi obodnu brzinu ventila na kotaču koji se okreće frekvencijom 1Hz. Udaljenost ventila od osovine je 45cm. Rješenje: Brzina ventila odgovara omjeru opsega putanje i perioda
v=
2rπ T
Frekvencija je: f =
1 iz čega slijedi v = 2rπf = 0.9 ⋅ π ⋅ 1 ≈ 2.83m / s T
Krenuvši iz mirovanja kotač ubrzava kutnom akceleracijom 4rad/s2. Koliko okretaja će napraviti za 10s i kolika je kutna brzina nakon 10s? Rješenje
5.2
1 7 8& 9 , 2 8 8& 9 .
Kinematičke jednadžbe za tijelo koje rotira:
Kako je početna kutna brzina jednaka nuli, slijedi: 1 1 7 9 · 4 · 10 200 :; 2 2
Broj okretaja:
5.3
8 9 40 :;/ . <
7 5 31 > :. 2=
Marisol Martinez živi u glavnom gradu Ekvadora. Odredi njenu obodnu brzinu (kojom se okreće oko Zemljine osi).
Rješenje: v=1670 km/h
5.4
Nakon iskapčanja motora, ventilator, koji se vrtio frekvencijom 1800 okretaja/min, počinje jednoliko usporavati i zaustavi se nakon 20s. Potrebno je izračunati kutnu brzinu ventilatora 10s nakon isključivanja motora.
Rješenje: 8 94 :;/.
6 Dinamika tijela na horizontalnoj ravnini 6.1
Tijelo mase 2kg vučemo po horizontalnoj podlozi faktora trenja 0.4, vučnom silom 20N. Izračunaj akceleraciju.
Rješenje: a=6m/s2
6.2
Tijelo mase 4kg giba se pod utjecajem vučne sile 10N po horizontalnoj podlozi akceleracijom 1m/s2. Odredi faktor trenja. Rješenje: Drugi Newtonov zakon nam u ovom slučaju daje F − ma 10 − 4 ⋅1 ma = FV − µmg ⇒ µ = V = = 0.15 mg 40
6.3
Trideset metara ispred zebre, neoprezni vozač uočio je crveno svjetlo na semaforu. U tom trenutku njegova brzina iznosila je 72km/h. Kad je kočnica stisnuta do kraja, faktor trenja između kotača i ceste iznosi 0.85. Hoće li se uspjeti zaustaviti prije zebre?
Rješenje: Da, zaustavni put s=24m.
7 Dinamika povezanih tijela 7.1
Tijela m1=2kg i m2=4kg, povezana su užetom zanemarive mase i nalaze se na ravnoj, hrapavoj podlozi. Faktor trenja između tijela i podloge je 0.1. Na tijelo m2 djelujemo vučnom silom Fv= 12N. Odredi akceleraciju.
Rješenje: Dijagram sila:
gdje su F1 i F2 sile trenja. Napišimo jednadžbe gibanja za oba tijela:
m1a = T − F1 m2 a = FV − T − F2 Zbrajanjem jednadžbi možemo eliminirati silu napetosti užeta T, pa dobivamo:
( m1 + m2 )a = FV − F1 − F2
a=
7.2
FV − µm1 g − µm2 g = 1m / s 2 m1 + m2
Dva tijela masa 3kg, odnosno 1kg povezana su laganim, nerastezljivim užetom preko koloture obješene za strop. Izračunaj akceleraciju. Rješenje: Primjenimo2.Newtonov zakon na oba tijela
m1a = m1 g − T m2 a = T − m2 g
gdje je T sila napetosti užeta. Zbrojimo te dvije jednadžbe pri čemu dolazi do eliminacije napetosti T.
a=
7.3
m1 g − m2 g 30 − 10 = = 5m / s 2 m1 + m2 4
Tijelo mase 5kg koje se nalazi na površini stola faktora trenja 0.52, pomoću niti je preko koloture povezano s tijelom mase 3 kg koje visi niz rub stola. Masu niti i masu koloture možemo zanemariti. Odredi akceleraciju tijela. Rješenja: Primjenimo drugi Newtonov zakon na oba tijela:
m1a = T − µm1 g m2 a = m2 g − T gdje je T sila napetosti niti. Zbrajanjem tih jednadžbi dobijamo
a (m1 + m2 ) = (m2 − µm1 )g
a=
7.4
m2 − µm1 3 − 0.52 ⋅ 5 g= ⋅ 10 = 0.5m / s 2 m1 + m2 8
Tijelo mase 5kg koje se nalazi na površini stola faktora trenja 0.52, pomoću niti je preko koloture povezano s tijelom mase 3 kg koje visi niz rub stola. Masu niti i masu koloture možemo zanemariti. Odredi kojom brzinom će se prvo tijelo zabiti u koloturu, ako mu je početna udaljenost od koloture bila 2.25m. Rješenje: Drugi Newtonov zakon primjenjen na oba tijela daje:
m1a = T − Ftr m2 g − µm1 g = 0 .5 m / s 2 ⇒a = m2 a = m2 g − T m1 + m2 Brzina kojom prvo tijelo udari koloturu: v =
8 Dinamika tijela na kosini
2as = 1.5m / s
8.1
Nacrtaj sile koje djeluju na tijelo koje se nalazi na kosini. Odredi koliko iznosi sila trenja, ako tijelo ima masu 2kg, nagib kosine je 600, a faktor trenja 0.4. Rješenje:
FTR = µN FTR = µmg cos α Uvrštavanjem podataka dobivamo:
1 FTR = 0.4 ⋅ 2 ⋅10 ⋅ = 4 N 2
8.2
Tijelo se uspinje stalnom brzinom uz kosinu nagiba 450, pomoću vučne sile FV= 5 G gdje je G težina tijela. Odredi faktor trenja. 2 Rješenje:
Ako se tijelo uspinje stalnom brzinom znači da je zbroj svih sila nula tj. FV = FTR + mg
2 2
5 2 2 mg = µmg + mg ⇒ 2 2 2 5=µ 2+ 2
µ=
8.3
5− 2 5 = − 1 ≈ 0.58 2 2
Tijelo mase 2kg nalazi se na kosini nagiba 300. Kolikom vučnom silom moramo djelovati uzbrdo kako bi se tijelo penjalo akceleracijom 1m/s2? Faktor trenja između tijela i podloge je 0.4.
Rješenje: (18.9 N)
9 Zakon gravitacije 9.1
Kojom silom se privlače Zemlja i Mjesec? Masa Zemlje je 6⋅1024kg, a masa Mjeseca je 7.3⋅1022kg. Njihova srednja udaljenost je 384 000 km. Gravitacijska konstanta je G=6.67⋅10-11 Nm2/kg2. Rješenje:
F =G
9.2
24 m1m2 ⋅ 7.3 ⋅ 10 22 −11 6 ⋅ 10 = 6 . 67 ⋅ 10 ⋅ ≈ 2 ⋅ 10 20 N 2 2 8 r (3.84 ⋅10 )
Kolikom se silom privlače Zemlja i Mjesec? Masa Mjeseca je 7.3⋅1022 kg. Udaljenost njihovih središta je 384 000 km.
(Rj. F=2⋅1020N) 9.3
Polumjer Marsa je 53% polumjera Zemlje, a masa 11% mase Zemlje. Odredi ubrzanje slobodnog pada.
(Rj. g=3.9 m/s2)
9.4
9.5
Izračunaj ubrzanje slobodnog pada na površini Marsa, ako je njegova masa 6.5⋅1023kg, a radijus 3400km. Gravitacijska konstanta je G=6.67⋅10-11 Nm2/kg2. Rješenje: Pretpostavimo da se na površini Marsa nalazi tijelo mase m. Izjednačimo težinu tijela sa Newtonovim izrazom za gravitacijsku silu: mM mg = G 2 R Podijelimo jednadžbu s masom tijela i dobivamo ubrzanje slobodnog pada: M g =G 2 R 6.5 ⋅10 23 g = 6.67 ⋅10 −11 ≈ 3.75 m / s 2 6 2 (3.4 ⋅10 )
Kolika je masa Sunca ako znamo da je radijus Zemljine putanje 150 milijuna kilometara?
( Rj. M=2⋅1030kg)
9.6
Odredi period satelita koji kruži oko nepoznatog planeta na udaljenosti 188 000 km, od središta planeta. Masa planeta je 1025 kg, gravitacijska konstanta je G=6.67⋅10-11 Nm2/kg2. Rješenje: Gravitacija igra ulogu centripetalne sile, dakle:
v2 mM =G 2 r r M v2 = G r m
Brzina je omjer opsega kružnice i perioda: v =
2πr T
2
r3 M 2πr ⇒ T = 2π ≈ 6.3 ⋅10 5 s ≈ 174h =G r GM T
10 Zakon očuvanja količine gibanja 10.1 Dvije kuglice od plastelina m1=0.2kg i m2=0.1kg gibaju se jedna prema drugoj istim brzinama ( iznosa 3m/s), te se neelastično sudare i tako zaljepljene nastavljaju gibanje. Odredi brzinu novog tijela. Rješenje: Zakon očuvanja količine gibanja nam daje: m1v1 + m2 v 2 = (m1 + m2 )v gdje je v brzina novog tijela nastalog spajanjem dviju kuglica. v=
m1v1 + m2 v 2 0.2 ⋅ 3 + 0.1 ⋅ (−3) 0.3 = = = 1m / s m1 + m 2 0 .2 + 0 .1 0 .3
10.2 Čovjek mase 80kg trči brzinom 8km/h i sustiže kolica mase 100kg koja se gibaju u istom smjeru brzinom 2.6km/h, te skoči u njih. Kolikom će se brzinom sada gibati kolica. Rješenje: Očuvanje količine gibanja u ovom slučaju glasi: m1v1 + m2 v 2 = (m1 + m2 )v v=
m1v1 + m 2 v 2 80 ⋅ 8 + 100 ⋅ 2.6 900 = = = 5km / h m1 + m2 180 180
10.3 Dva tijela m1=1kg i m2=3kg sudaraju se savršeno neelastično pod kutem α=600. Brzina prvog tijela prije sudara je v1=2m/s, a brzina drugog tijela v2=1m/s. Odredi brzinu gibanja tijela koje je nastalo u sudaru. Rješenje:
r v r v r S obzirom da je v1 = v1i , v2 = v2 cosα ⋅ i + v2 sin α ⋅ j , prema zakonu očuvanja količine gibanja vrijedi: x) m1v1 + m2 v2 cos α = (m1 + m2 )v′x y ) m2 v2 sin α = (m1 + m2 )v′y Uvrštavanjem podataka dobivamo: 1 1 ⋅ 2 + 3 ⋅ 1 ⋅ = 4v′x 2 3 3 ⋅1 ⋅ = 4v′y 2 Odnosno 7 3 3 v′x = m / s, v′y = m/ s 8 8 1 2 Iznos nove brzine: v ′ = 7 + (3 3 ) 2 ≈ 1.09 m / s 8
10.4 Dvije kuglice od plastelina m1=0.2kg i m2=0.1kg gibaju se jedna prema drugoj istim brzinama ( iznosa 3m/s), pod kutem 900 jedna u odnosu na drugu, te se neelastično sudare i tako zaljepljene nastavljaju gibanje. Odredi brzinu novog tijela. Rješenje: v r v r S obzirom da je v1 = vi , v 2 = vj , prema zakonu očuvanja količine gibanja vrijedi:
x) m1v = (m1 + m2 )v′x y ) m2 v = (m1 + m2 )v′y Uvrštavanjem podataka dobivamo: v ′x = 2m / s, v′y = 1m / s
Iznos nove brzine: v′ = 2 2 + 12 = 5 m / s
10.5 Raketa se giba brzinom 100km/h u horiz. smjeru i u jednom trenutku se raspadne na dva dijela. Nakon raspada, veći dio ima 60% mase i giba se brzinom 110km/h u istom smjeru. Odredi brzinu manjeg dijela. (Rj:85km/h) 10.6 Čovjek mase 80kg trči brzinom 8km/h i sustiže kolica mase 100kg koja se gibaju u istom smjeru brzinom 2.6km/h, te skoči u njih. Kolikom će se brzinom sada gibati kolica. (v=5km/h) 10.7 U barku mase 120kg koja se giba brzinom 0.5m/s pod kutem 36.870 u odnosu na rivu, u smjeru od rive prema pučini, uskače čovjek mase 70kg brzinom 2m/s, okomito na rivu. Odredi kut gibanja barke nakon doskoka. Pretpostavi da su riva i paluba barke na istoj razini. (850)
10.8 Topovska kugla mase 5kg ispaljena je u horizontalnom smjeru s bedema visine 7.2 m. Odredi brzinu kojom se nepričvršćeni top mase 200 kg trznuo u suprotnom smjeru, ako je domet kugle bio 120m. (v=2.5m/s)
11 Zakon očuvanja energije 11.1 Tijelo mas 3kg podigli smo na visinu 2m. Koliki smo rad izvršili? Rješenje:
W = E pot = mgh = 60 J 11.2 Tijelo mase 2kg ima brzinu 5m/s. Izračunaj kinetičku energiju. Rješenje:
1 1 Ekin = mv 2 = ⋅ 2 ⋅ 52 = 25 J 2 2
11.3 Tijelo mase 2kg padne s visine 5m i udari o tlo brzinom 9m/s. Pomoću zakona očuvanja energije odredi koliko energije se utrošilo na svladavanje otpora zraka. Rješenje: Energija utrošena na svladavanje otpora zraka odgovara razlici početne i konačne energije:
1 1 ∆E = mgh − mv 2 = 2 ⋅ 10 ⋅ 5 − ⋅ 2 ⋅ 9 2 = 19 J 2 2
11.4 Tijelo je ispaljeno vertikalno u vis. Kolika mu je bila početna brzina ako je došlo do visine 20m? Rješenje: Prema zakonu očuvanja energije:
1 2 mv = mgh ⇒ v = 2 gh = 400 = 20m / s 2
11.5 Opruga ima konstantu k=60N/m. Odredi koliku potencijalnu energiju ima ta opruga kad je sabijemo za 10cm. Rješenje: Elastična potencijalna energija: E pot =
2 1 2 1 kx = ⋅ 60 ⋅ (10−1 ) = 0.3J 2 2
11.6 Ako tijelo iz prethodnog zadatka udari u oprugu konstante k=20N/cm, za koliko će se sabiti opruga? Rješenje: Zakon očuvanja energije nam daje:
2 Ekin 1 50 Ekin = E pot ⇒ Ekin = kx 2 ⇒ x = = ≈ 0.16m 2 k 20 ⋅10 2 11.7 Neka opruga može se sabiti za 2cm pod utjecajem sile od 100N. Odredi za koliko će se skratiti ta opruga kada se u nju zabije tijelo mase 50kg brzinom 2m/s. Rješenje: Prema Hookeovom zakonu F = kx iz čega slijedi da je konstanta opruge: F 100 k= = = 5 ⋅10 3 N / m −2 x 2 ⋅10 Tijelo koje se giba ima određenu kinetičku energiju koja se prilikom sabijanja opruge pretvori u elastičnu potencijalnu energiju. Zakon očuvanja energije nam daje: 1 2 1 2 mv = kx ⇒ x = 2 2
mv 2 = 0 .2 m k
11.8 Tijelo se spušta po kosini nagiba 200. U trenutku kad stigne do podnožja ima dvostruko manju brzinu nego što bi imalo kad bi kosina bila savršeno glatka. Izračunaj faktor trenja kosine. (Rj: µ=0.27) 11.9 Spustivši se s vrha kosine visoke 7m, nagiba 500 tijelo se zaustavilo 8m daleko od podnožja kosine. Odredi faktor trenja uz pretpostavku da je podloga ista i na kosom i na vodoravnom dijelu puta. (Rj: µ=0.5) 11.10 Spustivši se s vrha kosine visoke 2m, nagiba 300 tijelo se zaustavilo 4m daleko od podnožja kosine. Odredi faktor trenja uz pretpostavku da je podloga ista i na kosom i na vodoravnom dijelu puta. Rješenje: Gravitacijska potencijalna energija se utrošila na svladavanje sile trenja mgh = FTR1 s1 + FTR 2 s 2
Sila trenja na kosom dijelu puta je FTR1 = µmg cos α . Prema tome:
mgh = µmg cos α ⋅ s1 + µmgs 2 Iz čega se dobiva:
µ=
1 ≈ 0.27 2+ 3
11.11 Tijelo mase m1= 4kg giba se po x-osi brzinom v1=5m/s i sudara se centralno i savršeno elastično sa tijelom mase m2=1kg koje se giba brzinom v2=-15m/s. Odredi njihove brzine nakon sudara. (Rj: v1'=-3 m/s , v2'=17m/s) Rješenje: Kombiniramo očuvanje količine gibanja i očuvanje energije. (1) m1v1 + m 2 v2 = m1v1′ + m2 v2′
1 1 1 1 m1v12 + m2 v22 = m1v1′ 2 + m2 v′22 2 2 2 2 Iz relacije (1) dobivamo
(2)
20 − 15 = 4v1′ + 1 ⋅ v′2 v′2 = 5 − 4v1′ što možemo uvrstiti u jednadžbu (2). 1 1 1 1 2 ⋅ 4 ⋅ 25 + ⋅ 225 = ⋅ 4 ⋅ v1′ + (5 − 4v1′ ) 2 2 2 2 2 Nakon sređivanja dobivamo kvadratnu jednadžbu s dva rješenja. Pravo rješenje je
v1′ = −3m / s što znači da je v ′2 = 17 m / s
12 Inercijalne sile 12.1 Na ekvatoru nekog planeta težina je tijela dva puta manja na ekvatoru nego na polu. Gustoća materije planeta je 3·103 kg/m2. Odredi period okretanja planeta oko svoje osi.( Gravitacijska konstanta je G=6.67⋅10-11 Nm2/kg2, a volumen kugle V=4R3π/3) Rješenje: Prividna težina tijela je rezultanta sile teže i centrifugalne sile:
mg ′ = mg − Fcf Ubacivanjem poznatih odnosa dobivamo:
1 v2 Rg mg = mg − m ⇒ v 2 = 2 R 2
M R2 2 GM 8π 2 R 3 2πR GM 2 2 = ⇒ T = Prema tome: v = ⇒ 2R 2R GM T 4 3 Masu planeta možemo zapisati u obliku M = ρV = ρ ⋅ R π 3
Ubrzanje slobodnog pada na površini planeta je g = G
Uvrštavanjem u jednadžbu za period dobivamo:
T=
6π = 9705 s = 2.7 h ρG
13 Rotacija krutog tijela 13.1 Na obod šupljeg valjka mase 3kg, radijusa 5cm, djeluje sila tako valjak sve brže rotira te nakon 20s ima kutnu brzinu 500 rad/s. Odredi moment sile i ukupan broj okretaja u 20 sekundi. (M=0.19Nm, N=795okr) 13.2 Lagano uže duljine 5m na čijem se kraju nalazi uteg mase 2kg namotano je na šuplji valjak mase 2kg. Odredi za koliko sekundi će se uže razmotati kad pustimo da uteg pada. 13.3 Na kotač momenta tromosti I=0.25kgm2 vezana je osovina polumjera r=2cm. Na osovinu je namotano uže na čijem je kraju obješen uteg mase m=2kg. Pustimo li uteg on se pod utjecajem težine počinje spuštati. Koliki put prevali uteg tri sekunde nakon početka gibanja?
13.4 Kružna ploča, promjera 1.6 m i mase 100kg, se vrti frekvencijom 600 okretaja u minuti. U jednom trenutku na njezinu oblu površinu počinje pritiskati kočnica silom 200N. Faktor trenja kočnice o ploču je 0.4. a)Koliki je moment sile koji zaustavlja ploču? b)Odredi moment inercije ploče. c)Kolika je kutna akceleracija? d)Koliko će okretaja ploča učiniti prije nego li se zaustavi? Rješenje: a)Sila koja zaustavlja ploču je
µFpr , prema tome moment koji zaustavlja ploču je
M = rµFpr = 0.8 ⋅ 0.4 ⋅ 200 = 64 Nm d) n= 785 okretaja
13.5 Dva utega masa 1kg i 3 kg povezana su pomoću niti koja je prebačena preko koloture mase 2kg radijusa 5cm. Masu niti možemo zanemariti. Odredi kutnu akceleraciju, a potom i kutnu brzinu koloture 2s nakon početka gibanja. (a=4m/s2)
14 Fluidi 14.1 Lonac cilindričnog oblika bez poklopca mase 1kg I volumena 0.01 m3 pluta na vodi u uspravnom položaju s otvorom prema gore. a) Koliki je dio volumena lonca uronjen u vodu? b)Koliko je pijeska gustoće 3000kg/m3 potrebno sipati u lonac da bi potonuo? Rješenje: a)Kad lonac pluta izjednačene su sila teže i sila uzgona:
mg = ρV g∆V ⇒ ∆V =
m
ρV
= 10 −3 m 3
∆V 10 −3 = = 0.1 = 10% V 10 −2 b)Kad lonac uronimo do ruba, sila uzgona je ρV gV . Kritična granica je zadana uvjetom: (m + m p ) g ≥ ρV gV m p ≥ ρV V − m Postotak dobijemo iz
m p ≥ 9kg tj. V p ≥ 3l
14.2 Kad se kocka potopi u vodu (1000kg/m3) ona pluta tako da viri 2cm iznad površine, a kad se ta ista kocka stavi u ulje gustoće 920kg/m3 tada viri 1cm iznad površine. Odredi volumen kocke. (Rj: V=2.46dm3)
14.3 Brzina vode u širem dijelu horizontalne cijevi je 4m/s, a tlak 124 000Pa. Odredi brzinu u užem dijelu gdje je tlak 100 000Pa. 14.4 U horizontalnoj cijevi radijusa 6cm voda teče brzinom 10m/s pri statičkom tlaku 8·105Pa. Koliki je tlak u užem dijelu cijevi radijusa 3cm? (Rj: p2=5⋅104Pa) 14.5 Kad se kocka potopi u vodu (1000kg/m3) ona pluta tako da viri 2cm iznad površine, a kad se ta ista kocka stavi u ulje gustoće 920kg/m3 tada viri 1cm iznad površine. Odredi volumen kocke. (Rj: V=2.46dm3)
15 Coulombov zakon 15.1 Dvije jednake čestice, svaka naboja q, odbijaju se silom od 3.6 N. Odredi iznos naboja q, ako su čestice razmaknute za jedan i pol metar. (rj: 3⋅10-5C)
15.2 Izračunaj udaljenost između dva naboja q1=2µC i q2=-4µC ako je privlačna sila između ta dva naboja 2⋅10-5N. (rj: 60m)
15.3 Odredi kolikom će silom međusobno djelovati dva naboja na udaljenosti 5cm ako na udaljenosti 1cm međudjeluju silom od 50 mN. (rj. 2mN)
15.4 Dvije kuglice jednakih masa i polumjera obješene su na nitima tako da im se površine dodiruju. Pošto smo ih nabili ukupnim nabojem 6⋅10-7 C niti su se otklonile za 600. Kolika je masa svake kuglice, ako znamo da je duljina niti 30cm ( rj: 1.5g)
15.5 Odredite relativnu dielektričnost petroleja ako se dva jednaka naboja, svaki od 1/3 nC, odbijaju silom od 5 µN kada su razmaknuti za 1cm. (rj: 2)
15.6 O dva jednaka balona napunjena helijem obješen je uteg mase 5g i oni lebde u zraku kao što prikazuje slika. Svaki balon nosi naboj Q. Odredite količinu tog naboja. (Rj:Q=5.64⋅10-5C)
Rješenje: Sile koje djeluju na jedan balon prikazane su na dijagramu:
gdje je U sila uzgona, Fel električna odbojna sila, T sila napetosti niti. Uzmemo li u obzir da vrijedi: 2U=mg , možemo pisati:
mg Q2 tgα = k 2 2 r gdje je α kut između vertikale i niti. −5
Iz napisane jednadžbe slijedi Q = 5.64 ⋅ 10 C
15.7 Odredi koliki naboj q treba staviti u središte kvadrata tako da sustav bude u ravnoteži.
2 1 (Rj: q = e + ) 2 4
16 Električno polje točkastih naboja 16.1 Izračunaj električno polje u točki koja je 2m udaljena od točkastog naboja q=4nC. Kad bi u tu točku stavili naboj od 2C, kolika bi sila djelovala na taj naboj? (rj: 9N/C, 18N) 16.2 Odredi iznos i smjer el.polja na polovištu između naboja q1=1nC i q2=2nC. Naboji su razmaknuti za 2m. (rj: 9N/C prema prvom naboju) 16.3 Zadan je jednakokračni trokut ABC gdje su koordinate A(0,0), B(6,0), C(3,4), izraženo u metrima. U točki A se nalazi naboj 5nC, a u točki B naboj -5nC. Odredi rezultantno polje u točki C. (rj: 54N/C)
16.4 Dva jednaka naboja q=4nC nalaze se u točkama (0,0) i (5,0). Odredi iznos i vektor polja koje vlada u točki (4,0). (rj: 33.75N/C)
16.5 Naboji 1nC i 4nC međusobno su razmaknuti za 3m. Odredi u kojoj točki je el. polje jednako nuli. (Rj: r1=1m)
16.6 Metalna kugla radijusa 1m nabijena je nabojem tako da površinska gustoća naboja iznosi 0.25nC/m2. Odredi iznos električnog polja na udaljenosti 1m od površine kugle. (rj: 7.1 N/C)
16.7 Naboj 3nC nalazi se u točki (0,0), a naboj -2nC u točki (4,0). Odredi vektor i iznos vektora polja u točki (2, 1). ( Rj: 8i+0.8j, E=8.09 N/C)
16.8 Naboji q1=1nC i q2=2nC nalaze se u točkama (0,0)m i (6,0)m. Odredi električno polje u točki (6,6)m. (Rj: 0.088i+0.58j, E=0.59N/C)
16.9 Tri jednaka naboja iznosa 3mC nalaze se u vrhovima A, B i C kvadrata ABCD, stranice a=5cm. Odredi iznos električnog polja u vrhu D. (Rj: E=2⋅⋅1010N/C)
17 Električni potencijal 17.1 Dva naboja q1=2nC i q2=1nC udaljeni su međusobno 3m. Odredi rad koji treba izvršiti da se naboj q2 približi na udaljenost 1m. (Rj: W=12nJ)
17.2 Metalna kugla radijusa 6cm nabijena je nabojem 6nC, dok je metalna kugla radijusa 2cm nabijena nabojem 4nC. Odredi koliki bi naboj prošao vodičem kad bi njime povezali te dvije kugle uz pretpostavku da je kapacitet tog vodiča zanemariv. (Rj: 1.5nC)
17.3 Dvije metalne kugle pozitivno su nabijene. Prva kugla ima polumjer 2cm i nabijena je na potencijal 200V, a druga ima polumjer 5cm i nabijena je na 80V. Kugle dovedemo u međusobni kontakt, a zatim ih razmaknemo na udaljenost 40cm. Kolika će biti jakost električnog polja na polovištu njihove međusobne udaljenosti? (Rj: 8.6 ⋅105 N/C)
17.4 Elektron (q=1.6·10-19 C, m=9.1·10-31kg) uleti u horizontalnom smjeru između dviju kvadratičnih ploča (10cm x10cm) kondenzatora postavljenih u horizontalnoj ravnini i međusobno razmaknutih za 1cm. Napon između ploča iznosi 10-2 V. Odredi minimalnu brzinu elektrona potrebnu da prođe kroz procijep. (Gravitacija se može zanemariti) (Rj: v=3⋅⋅105m/s)
17.5 Ploče kondenzatora 10cmx10cm nabijene su nabojem 20nC odnosno -20nC. Međusobno su razmaknute 1mm, a između se nalazi papir rel. dielektričnosti 2. Odredi polje i napon između ploča. (Rj: E=1.2⋅⋅105 N/C, U=Ed)
18 Biot-Savartov zakon 18.1 Beskonačni vodič, kojim teče struja i=20A savinut je pod pravim kutem tako da polumjer zakrivljenosti iznosi R=10 cm. Koliko iznosi magnetsko polje u točki O ? (Rj:B=71.4 µT)
1.
18.2 Kroz beskonačno dugi, ravni vodič teče struja jakosti I1=30A dok kroz kratki štap duljine 20cm koji je postavljen okomito na prvi vodič, teče struja I2=20A. Udaljenost bližeg kraja štapa od dugog vodiča je 30cm. Oba vodiča leže u istoj ravnini. Odredite ukupnu silu na štap. (Rj: F=6.13⋅⋅10-5N)
18.3 Izračunaj magnetsko polje u središtu metalnog, žičanog okvira napravljenog u obliku trokuta, stranice 5cm, kojim teče struja 2A. (B=7.2⋅⋅10-5T)
18.4 Četiri dugačka, tanka, paralelna vodiča postavljena su duž bridova prizme kvadratičnog presjeka na međusobnoj udaljenosti l=20cm. Svakim vodičem teče struja jakosti 20A kao na slici. Izračunajte magnetsku indukciju na osi sustava (u točki P). (Rj: B=8⋅⋅10-5T)
19 Lorentzova sila 19.1 Čestica mase 1g vrti se u magnetskom polju B=2mT, brzinom 10m/s. Naboj čestice je 0.2C. Odredi radijus putanje. (r=25m)
19.2 Pozitivna čestica naboja 0.02C, ubrza se pomoću napona 2000V, a zatim proleti kroz otvor na negativnoj elektrodi i uđe u magnetsko polje B=2T čije silnice su okomite na smjer gibanja. Odredi masu čestice ako znamo da se zaustavila 10cm daleko od otvora. (Rj: m=5⋅⋅10-8kg)
19.3 U homogenom magnetskom polju giba se α-čestica (2p+2n0) po kružnoj orbiti radijusa 1m, frekvencijom 5 okretaja u sekundi. Mase protona i neutrona su približno jednake, obje čestice imaju m=1.67·10-27kg. Odredi magnetsko polje. (Rj: B=6.6⋅⋅10-7T)
20 Faradayev zakon indukcije 20.1 Odredi napon koji se inducira na krajevima štapa duljine 2m koji se vrti oko jednog svog kraja frekvencijom 20Hz, u ravnini okomitoj na silnice polja 10-2T. (Rj: U=2.5V)
20.2 Naboj Q ravnomjerno je raspoređen po tankom kružnom, dielektričnom prstenu položenom na glatku, horizontalnu ravninu. Homogeno magnetsko polje, okomito na ravninu, raste jednoliko od 0 do B0. Koju će kutnu brzinu ωo dobiti prsten? Masa prstena je m. (Rj: QB0/2m) 20.3 Kvadratični okvir 10cm x 10cm načinjen od žice otpornosti 2·10-7 Ωm, presjeka 1mm2 postavljen je okomito na silnice magnetskog polja B=8·10-3T. U jednom trenutku zakrene se za 600 oko osi koja prolazi kroz središte okvira, paralelno sa stranicom. Koliki naboj je prošao kroz žicu prilikom rotacije?
