TEORIA DE EXPONENTES
2
CAPACIDADES Al estudiar este capítulo el alumno será capaz de:
Identificar los elementos de la potenciación. potenciación. Reconocer las propiedades de los exponentes. Analizar las propiedades propiedades de la teoría de exponentes y radicales. Aplicar las propiedades propiedades de la teoría de exponentes en la solución de ejercicios y problemas. Identificar y comprobar los teoremas de radicación. Aplicar las propiedades propiedades de las ecuaciones exponenciales. Reconocer las expresiones con operaciones que se repiten indefinidamente. indefinidamente. Realizar operaciones de multiplicación, potenciación, división y radicación.
El último teorema de Pierre de Fermat, Fermat, es uno de los teoremas más famosos de la historia de la matemática; cuyo enunciado es: No existen números enteros x; y; z que verifiquen la ecuación: , cuando n es mayor que dos
El enunciado de este teorema quedó anotado en un margen de su ejemplar de la Aritmética de Diofanto de Alejandría traducida al latín por Bachet publicado en 1621. La nota de Fermat fue descubierta póstumamente por su hijo Clemente Samuel, quien en 1670 publica este Libro con las numerosas notas marginales de Fermat. Concretamente Fermat escribió en el margen de la edición de La Aritmética de Bachet lo siguiente: “Es imposible descomponer un cubo en dos cubos, un bicuadrado en dos bicuadrados, y en general, una potencia cualquiera, aparte del cuadrado, en dos potencias del mismo exponente. He encontrado una demostración realmente admirable, pero el margen del libro es muy pequeña para ponerla” Recientemente, en 1994, Andrew John Wiles demostró este teorema. Por dicha demostración se ofrecieron cifras millonarias durante años. Wiles nació el 11 de abril de 1953 en Cambridge182, Inglaterra. Según afirma el propio Wiles, su interés por este teorema surgió cuando era muy pequeño.
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2. TEORÍA DE EXPONENTES Son fórmulas que relacionan a los exponentes de las expresiones algebraicas de un solo término en las operaciones de multiplicación, división, potenciación y radicación en un número limitado de veces.
Definiciones previas CASO
DEFINICIONES
EJEMPLOS
, …
El exponente natural indica las veces que se repite la base.
Exponente natural
n veces
Exponente nulo
Exponente negativo
Exponente fraccionario
√ √ √ √ Todo número diferente de cero elevado al exponente cero es igual a la unidad.
Los babilonios utilizaban la elevación a potencia como auxiliar de la multiplicación, y los griegos sentían especial predilección por los cuadrados y los cubos. Diofanto (III d.C.) ideó la yuxtaposición adhesiva para la notación de las potencias. Así x, xx¸ xxx, etc. para expresar la primera, segunda, tercera potencias de x. Renato Descartes (1596-1650) introdujo la notación
, ,,,
Aunque la palabra raíz proviene del latín radix, la radicación fue conocida por los hindúes y por los árabes mucho antes que por los romanos. Las reglas para extraer raíces cuadradas y cúbicas aparecieron por primera vez en textos hindúes.
Todo número diferente de cero elevado a un exponente negativo se invierte.
Se expresa equivalentemente como los radicales donde el numerador de dicho exponente es el exponente del radicando y el denominador representa al índice del radical.
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2.1. Potenciación Es la operación aritmética que tiene por objeto multiplicar por sí mismo un número llamado base (b) tantas veces como indica otro número llamado exponente(n). Su algoritmo se expresa por:
2.1. Ley de los signos de la potenciación: I) Si la base es positiva, la potencia es positiva así el exponente sea par o impar.
base
TEOREMA
a)
1. Producto de Potencias de Igual Base
II) Si la base es negativa, la potencia es positiva si el exponente es par:
Ejemplo a) b)
II) Si la base es negativa, la potencia es negativa si el exponente es impar:
b)
…
n veces
potencia
GENERALIZACIÓN
EJEMPLOS
{ } {} {} 1) 2)
2. Cociente de Potencias de Igual Base
1) 2)
3. Producto de Potencias de Diferente Base
1)
2)
Ejemplo a)
Teoremas Fundamentales de la potenciación
Ejemplo:
b)
exponente
4. Cociente de Potencias de Diferente Base
1)
2)
2.2. Observación del teorema 5
5. Potencia de Potencia (Ver 2.1)
1)
2)
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Teoremas Fundamentales (continuación) TEOREMA
6. Exponente de exponente
GENERALIZACIÓN
EJEMPLOS
2.3. Ley de los signos de la radicación:
x
I) Si el radicando es positivo, la raíz es positiva así el índice sea par o impar.
√ √ √ √ √
y
Ejemplo:
a)
7. Potencia de una raíz
b)
II) Si el radicando es negativo y el índice es impar, la raíz es negativa.
a) Es la operación aritmética inversa a la potenciación que consiste en hallar un número “r” llamado raíz (en la potenciación se llama base), que al ser elevada a un cierto índice reproduce una cantidad b, llamado radicando. Su algoritmo se expresa por:
√ ⇔
b)
raíz
a)
radicando
Teoremas Fundamentales de la radicación
8. Raíz de un producto
9. Raíz de un cociente
GENERALIZACIÓN
√ √
Ejemplo
b)
TEOREMA
III) Si el radicando es negativo y el índice es par, la raíz no existe.
índice de la raíz
símbolo de la raíz
√ √
Ejemplo
2.2. Radicación
.
EJEMPLOS
√ √ √ √ √ √ √ √ √ √
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Teoremas Fundamentales de la radicación (continuación) TEOREMA
10. Raíz de una raíz 2.4. Observación del teorema N° 10
√ √ √
(Ver 2.4)
11. Raíz de raíz con radicando
2.5. Algunas propiedades de la radicación
GENERALIZACIÓN
EJEMPLOS
√ √ √ √
√√
√ √ √ √ √ , √ … √ √ , … √ √ ||, √ … √ √ … √ √
2.3. Casos especiales
Son aquellas operaciones con exponentes y radicales que se repiten indefinidamente y que tienen una regla de formación.
CASO
GENERALIZACIÓN
1
Ejemplo:
2
Ejemplo:
Ejemplo:
3
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Casos especiales (continuación) CASO 4
GENERALIZACIÓN
√ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ … √ … √ … √ …
¿Alcanzaría todo el trigo del mundo para pagar el juego de ajedrez?
Ejemplo:
5
Ejemplo:
6
Ejemplo:
7
Ejemplo:
8
Ejemplo:
9
Si “n” es par
Si “n” es impar
El ajedrez tiene su origen en un juego hindú denominado Chaturanga, que posiblemente se fusionó con otro juego griego denominado Petteia, ambos juegos existen desde la antigüedad, las primeras apariciones del juego actual son de los alrededores del año 500 de nuestra era, y llegó a Europa a través de los árabes. Cuenta la leyenda que el rey indio Iadava acababa de perder a su hijo en una batalla y un ciudadano (Sessa) que se enteró quiso alegrarlo enseñándole el juego del ajedrez. Parece ser que el rey quedó fascinado con el juego y era tan grande su agradecimiento que ofreció a Sessa para que él pidiese lo que quisiera. Lo único que pidió Sessa fue trigo. Le pidió al rey que le diera un grano de trigo por la primera casilla del ajedrez, dos por la segunda, cuatro por la tercera, y así sucesivamente multiplicando por dos, hasta llegar a la última casilla, la número 64. El número de granos de trigo solicitado sería: S = 1 + 2 + 2 2 + 23 + ... + 263 S = 1 8 44 6 74 4 07 3 70 9 55 1 615( Dieciocho trillones cuatrocientos cuarenta y seis mil setecientos cuarenta y cuatro billones setenta y tres mil setecientos nueve millones quinientos cincuenta y un mil seiscientos quince).
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EJERCICIOS RESUELTOS DE TEORÍA DE EXPONENTES
1. Si y
Halla A+B
Solución:
, ,
3. Reducir:
Solución:
Factorizando
Producto de extremos y medios
2.
⏟… ⏟… ⏟…
Reducir:
Solución:
⏟… ⏟… ⏟… 4.Simplificar:
Solución:
√
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Solución: Solución:
√
=
:
8. Efectuar:
7. Simplificar:
√ √ √
Solución:
6. Simplificar:
5. Reducir:
√ √ √ ( ) √ √ √ √ √
√ √
Solución:
=
32 PROFESOR: FRANCISCO CONTRERAS LOBATO
9. Si
Hallar:
Y
Hallar:
Solución:
√ … √ … √ … √ √ … √ P=
Remplazando:
en P
P=
11. Si
Hallar:
Solución:
√ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 10. Si
(Por casos especiales 1)
Luego:
Solución:
(Por casos especiales 3)
(remplazando el valor de S en V)
Finalmente:
12. Si:
;
Hallar:
Solución:
(Por casos especiales 5)
Si:
Si:
Luego:
33 PROFESOR: FRANCISCO CONTRERAS LOBATO
13. Reducir:
√
Solución:
15. Simplificar:
Solución:
√ √ √ √ √ √
14. Si
Calcular : P=
Solución:
Remplazando
en P
P=
P = 27
16. Si se cumple:
Calcula: R=
Solución:
De
√ Remplazando en R
R=
R = 3 + 3 + 9 + 27 = 42
34 PROFESOR: FRANCISCO CONTRERAS LOBATO
APLICA TUS CONOCIMIENTOS 1)
Calcular:
Respuesta: 1
2) Hallar:
Respuesta: 6
3) Hallar el valor de:
4) Reducir:
Respuesta: 2
Respuesta: 5
35 PROFESOR: FRANCISCO CONTRERAS LOBATO
5) Reducir:
[ ]
Respuesta: 1
7) Hallar x en:
6) Calcula:
[]
Respuesta: 1
8) Reducir:
Respuesta: 3
Respuesta: 7
36 PROFESOR: FRANCISCO CONTRERAS LOBATO
√ √
10) Simplificar:
Respuesta: 1
Respuesta: 7
11) Hallar el valor de:
√ √ √ √√ … …
12) Reducir:
Respuesta: 1
Respuesta: 24
9) Hallar el valor de N:
√
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√ √ √ … √ …
13) Reducir:
14) Hallar:
Si:
L
Respuesta: 1 Respuesta: y
15)Hallar S en:
, 16) Si
Respuesta: 10 Respuesta: 256
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2.6. Algunas observaciones y propiedades importantes
√ √ √ √ √ √ √ √ √
√ √ √ √ √ √ √ Si
=n
2.4. Ecuaciones exponenciales Son aquellas ecuaciones que llevan la incógnita en el exponente de una potencia, o puede encontrarse como base de la potencia.
CASO
GENERALIZACIÓN s e s a b e d d a d l a u g I . 1
S A C I
e s d e t d n a e d l n a o u p x g I e . 2
M y ) s Ó e l e s a a e N b t t n e e n O d e d n n c o e M d a p s a r x d l e t s a u e n g o I i . 3
c a u c e (
EJEMPLOS Resolver:
, , √ , Si
Solución: -Expresando el segundo
miembro como potencia -Igualando exponentes y resolviendo la ecuación
Resolver:
Si
Solución:
-Igualando las bases y resolviendo la ecuación
Resolver:
Solución:
Si
Descomponiendo el exponente en el segundo miembro -Igualando las bases y exponentes para luego resolver Resolver:
e d s a o í n g i o l m r a é n t A . 4
S A C I M Ó N I R T
e l b a i r a v e d o i b m a C . 5
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Solución:
O si
Son ecuaciones con tres términos y mediante un cambio de variable se convierte a una ecuación de segundo grado
Expresando el segundo miembro como exponente fraccionario
Resolver:
Solución:(Usando las
propiedades de las potencias
Haciendo el cambio de variable (resolviendo)
Sustituyendo y por e igualando exponentes
39
EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES EXPONENCIALES 1.
Resolver:
2.
Solución: Factorizando
Solución: Igualando exponentes(caso 1)
3x+5 = 6x + 20
Resolviendo la ecuación 6x -3x = -20 + 5
3x = -15 x=
x= - 5
3.
Resolver:
Solución: Por cambio de variable ( caso 5 )
Haciendo un cambio de variable y ordenando
Resolviendo la ecuación: y = 4 , y = -5
Sustituyendo “y” por
e igualando exponentes
En el primer caso
(cumple la igualdad)
En el segundo caso
(no cumple la igualdad)
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Resolver:
4. Resolver:
Solución: Factorizando
40
5.
Resolver:
Solución:
6. Resolver: Solución:
Igualando las bases para igualar los exponentes y
Expresando en bases iguales e igualando
resolver la ecuación
exponentes
7. Resolver:
Solución:
Resolver:
Solución:
Preparando en el segundo miembro para aplicar la analogía de términos (caso 4)
√
Aplicando el caso 2 de igualdad de exponentes
Para que las bases sean iguales consideramos el exponente igual a cero
41
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APLICA TUS CONOCIMIENTOS 1)
Demostrar que:
√ b)
c)
2) Resolver:
√
√
3) Resolver:
Respuesta:
Respuesta: x=
4) Resolver:
Respuesta:
42
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:
5) Hallar a en:
6) Resolver:
Respuesta: a= 11
{}
Respuesta: C.S=
7) Resolver:
8) Resolver:
Respuesta x= 5 Respuesta: x= 9
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9) Resolver:
√
√
10) Resolver:
Respuesta: x=
Respuesta: x=
11) Si
12) Resolver: Si
hallar el valor de
Respuesta:
√
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Dar el menor valor de x
Respuesta:
44
13) Hallar “n” en:
14) Resolver:
√
Dar el valor de
Respuesta: n = 2
√ √
15) Resolver:
Respuesta: x=
Respuesta:
√ √
16) Resolver:
√
Respuesta: x=
√ 45
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TAREA DOMICILIARIA
1) Reducir:
RECUERDA
{}
*
a) 2
b) 3
a) 2
√
c) 4090
c) 4
d) 6000
e) 7290
d) 6
e) 7
Hallar
b) 36
5) Simplificar:
a) 2
e) 7
√
b) 3
a) 2 4
*
d) 6
b) 130
3) Simplificar:
4) Si
√ √ √
c) 4
2) Simplificar:
a) 100
√
b) 3
c) 128
d) 256
e) 512
√ … c) 4
d) 6
e) 7
46 PROFESOR: FRANCISCO CONTRERAS LOBATO
√
√ √ +
6) Efectuar:
a) 5
b) 6
7) Reducir:
a) 1
c) 7
e) 11
b) 2
8) Calcular:
d) 8
c)
d)
RECUERDA *En los radicales sucesivos
√ √
e) 15
Si las bases son iguales
En el producto se tiene: a) 1
b) 2
9) Resolver:
a) 1
c) 3
b) 2
b) 2
e) 5
10) Resolver: a) 1
d) 4
c)
d)
√ c)
d)
(todos los signos son positivos)
En el cociente
√
e) 15
Se tiene:
(los signos son intercalados)
e) 15
√ √ √ √ √ √
11) Simplifique:
a)
b)
c)
d)
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e)
47
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