01 Teoria de Las Redes de Flujo

Mecánica de suelos II

Teoría de redes de flujo

MECANICA DE SUELOS II UNIDAD 01: TEORIA DE LAS REDES DE FLUJO

1.1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES MATEMATICOS 1.2 SOLUCION MATEMATICA DE FORCHEIMER Y SOLUCION GRAFICA DE CASAGRANDE. 1.3 TRAZO DE RED DE FLUJO, CALCULO DEL GASTO, GRADIENTE, SUBPRESIONES, ESTABILIDAD, GRADIENTES CRITICOS Y FUERZA DE FILTRACIÓN.

ANDRÉS ALBERTO HERNÁNDEZ HERNÁNDEZ

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1. TEORIA DE LAS REDES DE FLUJO

Entendiendo una red de flujo como un grafo dirigido, donde la fuente es quien produce o inicia el traspaso de algún material o producto por los arcos, estos últimos, vistos como caminos o conductos y tomando en cuenta la ley de corrientes de Kirchhoff, donde, la suma de flujos entrantes a un vértice debe ser igual a la suma de flujos saliendo del vértice. Línea de Corriente: También llamada Línea de flujo es la trayectoria seguida por las partículas de agua al fluir a través del suelo. Línea Equipotencial: Es aquella que une puntos en donde se tiene el mismo potencial hidráulico o carga hidráulica. Tubo de Corriente: Es el espacio comprendido entre líneas de corriente vecinas. Red de Flujo: Es el conjunto de líneas de corriente y de líneas equipotenciales. Celda de Flujo: Es el espacio comprendido entre dos líneas equipotenciales vecinas y dos líneas de corriente vecinas.

Una vez encontrada la ecuación diferencial, lo que sigue es integrarla y para ello existen diferentes caminos, uno de ellos es emplear métodos numéricos que finalmente permitan la generación de programas de cómputo para casos especiales, otro método es el gráfico mediante el trazo de redes de flujo. Al acomodar en un dibujo hecho a mano las dos familias, respetando las condiciones de frontera y la de ortogonalidad, se tendrá una aproximación a la solución única del problema; esta aproximación, si el dibujo se ha realizado con cuidado, es lo suficientemente buena para los fines ingenieriles y da soluciones del problema ventajosas respecto a las que se obtienes por los métodos matemáticos rigurosos, algo más precisos quizá, pero mucho más complicados.


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1.1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES MATEMATICOS

Descripción matemática: Una red de flujo es un grafo dirigido G = (V,E) en donde cada arco (u,v) E tiene una capacidad no negativa c(u,v) = 0. Se distinguen dos vértices: la fuente s y el destino t. Se supone que cada vértice se encuentra en alguna ruta de s a t. Un flujo en G es una función tal que Restricción de capacidad: Simetría: Conservación: El problema del flujo máximo trata de maximizar este flujo. PROBLEMAS DE REDES DE FLUJO. Algoritmo de flujo máximo Tenemos el conocido problema de flujo máximo o maximal: ¿cuál es la tasa mayor a la cual el material puede ser transportado de la fuente al sumidero sin violar ninguna restricción de capacidad? En otras palabras, el problema consiste en determinar la máxima capacidad de flujo que puede ingresar a través de la fuente y salir por el nodo de destino. El procedimiento para obtener el flujo máximo de una red, consiste en seleccionar repetidas veces cualquier trayectoria de la fuente al destino y asignar el flujo máximo posible en esa trayectoria. Capacidad residual: es la capacidad adicional de flujo que un arco puede llevar. Se puede considerar un grafo como una red de flujo. Donde un nodo fuente produce o introduce en la red cierta cantidad de algún tipo de material, y un nodo sumidero lo consume. Cada arco, por tanto, puede considerarse como un conducto que tiene cierta capacidad de flujo. De igual modo que en redes eléctricas (Ley de Kirchhoff), la suma de flujos entrantes a un nodo, debe ser igual a la suma de los salientes (principio de conservación de energía), excepto para el nodo fuente y el nodo sumidero. Por tanto, el problema de flujo máximo se enuncia como: ¿cuál es la tasa a la cual se puede transportar el material desde el nodo fuente al nodo sumidero, sin violar las restricciones de capacidad?. Este algoritmo se puede usar para resolver modelos de: transporte de mercancías (logística de aprovisionamiento y distribución), flujo de gases y líquidos por tuberías, componentes o piezas en líneas de montaje, corriente en redes eléctricas, paquetes de información en redes de comunicaciones, tráfico ferroviario, sistema de regadíos, etc. Una red de flujo es un grafo dirigido G=(V,E) donde cada arco (u,v) perteneciente a E tiene una capacidad no negativa. Se distinguen dos nodos: la fuente o nodo s, y el sumidero o nodo t. Si existen múltiples fuentes y sumideros, el problema se puede simplificar añadiendo una fuente común y un sumidero común. Este algoritmo depende de tres ANDRÉS ALBERTO HERNÁNDEZ HERNÁNDEZ

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conceptos principales: Un camino de aumento, es una trayectoria desde el nodo fuente s al nodo sumidero t que puede conducir más flujo. La capacidad residual es la capacidad adicional de flujo que un arco puede llevar cf (u,v) = c(u,v) - f(u,v) Teorema de FordFulkerson (1962): En cualquier red, el flujo máximo que fluye de la fuente al destino es igual a la capacidad del corte mínimo que separa a la fuente del destino. El algoritmo es iterativo, se comienza con f(u,v)=0 para cada par de nodos y en cada iteración se incrementa el valor del flujo buscando un camino de aumento. El proceso se repite hasta no encontrar un camino de aumento. A continuación se muestra el pseudocódigo del Algoritmo: Ford-Fulkerson (G,s,t) para cada arco (u,v) de E f(u,v) = 0 f(v,u) = 0 mientras exista un camino p desde s a t en la red residual Gf cf (p) = min {cf (u,v) : (u,v) está sobre p} para cada arco (u,v) en p f(u,v) = f(u,v) + cf (p) f(u,v) = -f(u,v) Una variación del algoritmo de Ford-Fulkerson es el algoritmo de Edmonds-Karp (J. Edmonds; R.M. Karp - 1972). En éste, el ‘camino de aumento’ es elegido usando una búsqueda por niveles o en anchura (breadth-first search). El algoritmo de Edmonds-Karp requiere O(VE2) tiempo de computación, donde V es el número de nodos o vértices, y E el número de arcos del grafo. 1.2 SOLUCION MATEMATICA DE FORCHEIMER Y SOLUCION GRAFICA DE CASAGRANDE. ECUACION DE FORCHEIMER

La ley de Darcy como tal considera que un solo fluido satura 100 % el medio poroso, por lo tanto, el estado estable prevalece. Otra consideración hecha por Darcy es que el flujo es homogéneo y laminar. La ecuación de Forchheimer tiene en cuenta los factores inerciales que determinan que el flujo no es laminar o no Darcy.          ß es la constante inercial y es obtenida normalmente por medio de correlaciones empíricas como la de Geertsma:      √  La correlación de Firoozabadi and Katz:    Estando k en md. SOLUCION GRAFICA DE CASAGRANDE


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Casagrande propuso una solución gráfica de la fórmula del seno para calcular el gasto sin el trazo de la red de flujo, descrita brevemente en la siguiente figura.

A partir del punto conocido M puede trazarse una horizontal que define al punto B. Con centro en B y radio MB puede obtenerse el punto C. Es obvio que, de un modo aproximado, la distancia 3C es una buena aproximación al valor del S 0. Con diámetro 3C, trácese el semicírculo indicado en la figura. Con centro en 3C y radio 3B se debe trazar ahora el arco que define al punto D sobre el semicírculo mencionado; finalmente, un arco de centro en C y radio CD corta el talud de la presa precisamente en el punto 4, proporcionando así la distancia a. Se menciono que el adoptar la pendiente de la línea de corriente superior como el gradiente hidráulico conduce a resultados poco satisfactorios para α≥30°. En cambio, la

hipótesis de que el gradiente es constante en una vertical e igual a dy/ds que realizó Casagrande es satisfactoria para valores de α hasta 60° e inclusive arriba de 60°; de hecho, si se aceptan errores de 25%, la hipótesis es aplicable hasta para valores de α de 90°. Ahora

bien, el hecho de aceptar la formula como valor de S 0 es fuente de errores considerables para valores de α mayores de 60°. Así en resumen, para α<30° la solución de Casagrande y

la de Schaffernak- Van Iterson pueden usarse indistintamente con resultados muy parecidos; para 30°<α<60° es aplicable la solución de Casagrande, que falla para mayores inclinaciones del talud si el valor de S0 se calcula con el método sencillo, sin recurrir a aproximaciones laboriosas. En realidad puede decirse que recomendable no utilizar la solución de Casagrande para α>60°, calculando S0 con la expresión. La solución de Casagrande es preciso hacer la

misma corrección gráfica para satisfacer la condición de entrada de la línea de corriente superior que se hizo en el caso de la solución de Scharffernak- Van Iterson.


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1.3 TRAZO DE RED DE FLUJO, CALCULO DEL GASTO, GRADIENTE, SUBPRESIONES, ESTABILIDAD, GRADIENTES CRITICOS Y FUERZA DE FILTRACIÓN. TRAZO DE LA RED DE FLUJO Y CALCULO DEL GASTO

Al intentar el trazo de las familias de líneas equipotenciales y de flujo surge el problema de que por cada punto de la región de flujo deberá de pasar en principio precisamente una línea de flujo y una equipotencial, pues en cada punto de la región de flujo el agua tiene una velocidad y una carga hidráulica. Esto llevaría, de trazar todas las líneas posibles, a una solución que formaría una mancha uniforme en todas las regiones de flujo; a este modo de proceder le faltaría todo valor práctico, pues las soluciones obtenidas en los diferentes problemas serán uniformemente inútiles. Para aspirar a una solución discriminativa, que sepa diferenciar un problema de flujo de otro, será preciso no trazar todas las líneas de flujo y equipotenciales posibles; en cambio se trazarán sólo unas cuantas seleccionadas con un cierto ritmo útil y conveniente. El problema no es nuevo y los lectores familiarizados con la representación gráfica de otros campos vectoriales de variable escalar, como el campo eléctrico por ejemplo, o la representación de una topografía con curvas de nivel, lo reconocerán de inmediato. La solución que conviene dar en el caso de problemas de flujo es análoga a la dada en esos otros casos: fijar, como se ha dicho, un ritmo para dibujar solamente algunas de las infinitas líneas posibles. La convención más conveniente es la siguiente: a) Dibujar las líneas de flujo de manera que el gasto que pase por el canal formado entre cada dos de ellas sea el mismo (Δq).

b) Dibujar las líneas equipotenciales de manera que la caída de carga hidráulica entre cada dos de ellas sea la misma (Δh).

Supóngase que se ha trazado la red de flujo cumpliendo los requisitos anteriores, de manera que un fragmento de ella, el limitado por las líneas de flujo yi y yj y por los equipotenciales ø y ø. El gasto Δq que pasa por el canal vale, según la ley de Darcy: Δq=k a (Δh/b) (2– 1)

Pues el área media del rectángulo curvilíneo normal es a (se considera un espesor ANDRÉS ALBERTO HERNÁNDEZ HERNÁNDEZ

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unitario normal al plano del papel), Δh es la caída constante de potencial hidráulico entre i

y  j y b es la distancia media recorrida por el agua. Si nf es el numero total de canales de flujo que tiene la red y ne el numero de caídas de potencial que hay en toda la zona de flujo, podrá escribirse, teniendo en cuenta las dos convenciones que se han seguido para construir la red de flujo: Δq= (q/nf ) Δh=(q/ne)

(2 – 2)

Donde q y h son el gasto total y la carga perdida en total, en toda la zona de flujo. Así, la ec. 2 – 1 podrá escribirse: q=k h(n /n f e)(a/b)

(2 – 3)

En la expresión 2 – 3 puede notarse que puesto que q, k, h, nf y ne, son constantes para una red de flujo dada, la relación a/b debe serlo también. Así, si han de satisfacerse las dos condiciones que se ha decidido cumplir, la relación entre el ancho y el largo de todos los rectángulos curvilíneos de una red de flujo debe de ser la misma: es decir todos los rectángulos curvilíneos deben ser semejantes y, recíprocamente, el hecho de que se cumpla esta condición de semejanza implica que se están satisfaciendo automáticamente las dos condiciones impuestas a la red al comienzo de esta sección. Nótese también que el único requisito que ha de cumplirse respecto a la relación a/b, para satisfacer las dos condiciones que fijan el ritmo de las líneas de flujo y equipotenciales es que sea constante; por lo demás, la relación a/b podrá ser cualquier constante. Se antoja así, en aras de la sencillez y la elegancia, fijar el valor de a/b precisamente como la unidad, que es incuestionablemente la constante más sencilla. Si esto se hace, los rectángulos curvilíneos se transforman en cuadrados curvilíneos, de manera que la red dibujada cumplirá la condición de que por cada canal pase el mismo gasto y de que entre cada dos líneas equipotenciales haya la misma caída de potencial, simplemente si las figuras definidas por esas líneas son cuadrados. Evidentemente el cuadrado es la figura más sencilla y conveniente, con la ventaja adicional de que permite verificar lo bien dibujada que una red esté al golpe de vista, lo que no sucedería con los rectángulos, pues al variar el tamaño de ellos no se puede decir sin tomar medidas si se conservan sus proporciones o se han dibujado diferentes, con el correspondiente error. Si se acepta para siempre en adelante que todas las redes de flujo serán de cuadrados, en tanto no se especifique otra cosa, la ec. 2 – 3 podrá escribirse: q= k h(n /n f e) (2 – 4) El término nf/ne depende solamente de la forma de la región de flujo. Se le llama Factor de Forma y se representa:


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Ff =(n /n f e)

(2 – 5)

Así, en definitiva, la expresión 2 – 3 puede ponerse como: q=k h Ff

(2 – 6)

Que es la fórmula sencilla que permite calcular el gasto por unidad de longitud normal a la sección estudiada, que ocurre a través de una región de flujo en la que se ha dibujado la red correspondiente. Antes de detallar otros conceptos importantes que pueden calcularse por medio de la red de flujo, conviene insistir un poco más en las normas para el trazo de éstas. Casagrande en la ref. 1 de este capítulo proporciona los siguientes consejos a los ingenieros no expertos en este campo y a los jóvenes estudiantes: 1. Úsense todas las oportunidades posibles para estudiar la apariencia de redes de flujo bien hechas, tratando después de repetirlas sin tener a la vista el modelo hasta obtener dibujos satisfactorios. 2. Usualmente es suficiente trazar la red con un número de canales de flujo comprendidos entre cuatro y cinco. El uso de muchos canales dificulta grandemente el trazo y desvía la atención de los aspectos esenciales. 3. Debe siempre observarse la apariencia de la red en conjunto, sin tratar de corregir detalles hasta que toda ella está aproximadamente bien trazada. 4. Frecuentemente hay partes de la red en que las líneas de flujo deben ser aproximadamente rectas y paralelas: en ese caso los canales son más o menos del mismo ancho y los cuadrados deben resultar muy parecidos. Puede facilitar el trazo de la red el comenzarlo por esa zona. 5. Las redes de flujo en áreas confinadas, limitadas por fronteras paralelas (especialmente la superior y la inferior) son frecuentemente simétricas y las líneas de flujo y las equipotenciales son entonces de forma parecida a la elíptica. 6. Un error común en los principiantes es el de dibujar transiciones muy bruscas entre las partes rectas y las curvas de las diferentes líneas. Debe tenerse presente que las transiciones deben ser siempre muy suaves y de forma parabólica o elíptica; el tamaño de los diferentes cuadrados debe ir cambiando también gradualmente. 7. En general el primer intento no conduce a una red de cuadrados en toda la extensión de la región de flujo. La caída de potencial entre dos equipotenciales sucesivas correspondiente a un cierto número de canales con el que se intentó la solución, no suele ser una parte entera exacta de la pérdida total de potencial, de manera que al terminar la red suele quedar una última hilera de rectángulos entre dos líneas equipotenciales en la que la caída de carga es una fracción de la ph que haya prevalecido en el resto de la red. ANDRÉS ALBERTO HERNÁNDEZ HERNÁNDEZ

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Generalmente esto no es perjudicial y esta última hilera puede tomarse en cuenta para el cálculo de ne, estimando que fracción de caída ha resultado. Sí, por razones de presentación, se desea que todas las hileras de cuadrados queden con el mismo Δh, podrá

corregirse la red, cambiando el número de canales de flujo, bien sea por interpolación o empezando de nuevo. No debe intentarse convertir la hilera incompleta en una de cuadrados por correcciones locales puramente gráficas, a no ser que el faltante o sobrante de espacio en la hilera incompleta sea muy pequeño. 8. Las condiciones de frontera pueden introducir singularidades en la red que se discutirán con más detalle en los párrafos siguientes. 9. Una superficie de salida en la red, en contacto con aire, si no es horizontal, nunca es ni línea de flujo ni equipotencial, de manera que los cuadrados limitados por esa superficie no pueden ser completos. Sin embargo, como más adelante se demostrará, estas superficies deben cumplir la condición de que se tengan iguales caídas de posición entre los puntos de ellas cortados por las líneas equipotenciales. Además de las normas anteriores, es conveniente que las líneas de flujo y equipotenciales se dibujen siempre completas. Los principiantes cometen numerosos errores de concepto en la red por dejar trazos incompletos que, de ser terminados, les hubieran revelado dichos errores en forma muy clara.

CALCULO DEL GRADIENTE HIDRAULICO

En los puntos de una región de flujo en la que se haya trazado una red de flujo es posible encontrar el gradiente hidráulico, así como la velocidad del agua. Para ello bastará trazar por el punto en cuestión el segmento de la línea de flujo que pase por él y que quede contenido dentro del cuadrado en que haya caído el punto. Entonces la caída entre equipotenciales de la red, Δh, dividida entre la longitud de línea de flujo en la que ocurre

dicha caída proporciona el gradiente hidráulico medio en ese tramo que incluye el punto en cuestión. Mayor aproximación al gradiente específico en el punto se puede tener subdividiendo el cuadrado en otros menores, cada vez más en torno al punto. Una vez que se tiene el gradiente en el punto, bastara multiplicarlo por el coeficiente de permeabilidad del suelo, para tener la velocidad del agua en magnitud, según la ley de ANDRÉS ALBERTO HERNÁNDEZ HERNÁNDEZ

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Darcy; dicha velocidad será tangente en el punto a la línea de flujo que pase por él y estará dirigida en el sentido del flujo. GRADIENTE CRÍTICO

Para una carga de agua real actuante, h, el factor de seguridad contra tubificación puede calcularse sencillamente con la expresión:     Suelen considerarse convenientes valores de F a del orden 3 ó 4. El valor promedio del gradiente hidráulico critico o sea el valor del gradiente hidráulico medio que actúa en el nivel critico en el instante en que la tubificación comienza, se calcula con:          Teniendo en cuenta el valor medio en la práctica, se deduce que para que haya tubificación al nivel D a, supuesto el crítico es preciso que:    Como el gradiente a ese nivel puede calcularse fácilmente de la red de flujo, su comparación con el valor critico igual a 1 proporciona otro enfoque, equivalente al anterior obviamente, para conoce el riesgo de tubificación en un problema dado.

FUERZA DE FILTRACIÓN

Cuando el agua fluye a través de una masa de suelo su efecto no se limita a la presión hidrostática que tiene lugar en el agua en equilibrio, sino que ejerce una presión hidrodinámica sobre las partículas del suelo, en la dirección del flujo, efecto que puede representarse por empujes hidrodinámicos, en la dirección del flujo y tangente a las respectivas líneas de flujo. La magnitud de esas presiones o de esos empujes hidrodinámicos depende sobre todo del gradiente prevaleciente. Considerando un cuadrado de una red de flujo, la presión hidrodinámica que ejerce ANDRÉS ALBERTO HERNÁNDEZ HERNÁNDEZ

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el agua sobre las partículas del suelo en la sección ΔA del cuadrado vale:

   Pues la perdida de carga Δh ha sido transmitida por viscosidad a las partículas

del

suelo. Esta presión produce un empuje hidrodinámico que es:

       Es común expresar esta fuerza por unidad de volumen, teniéndose entonces para el cuadrado considerado.

 

           

La formula dada puede calcular cualquier fuerza de filtración ligada a un cuadrado de una red de flujo; conocido el volumen de éste, que es su área multiplicada por un espesor unitario normal al papel, puede calcularse la fuerza total, que actuará en la dirección del flujo, en el centroide del volumen del cuadrado y tangente a la línea de flujo que pase por ese punto. La fuerza de filtración depende del peso específico del agua y del gradiente hidráulico prevaleciente en el cuadrado en cuestión, pero es independiente de la velocidad del flujo y del coeficiente de permeabilidad del suelo, de modo que es la misma en suelos cohesivos y en suelos friccionantes, aunque las velocidades del flujo en ambos tipos de suelos difieran mucho. La fuerza de filtración es debida a la resistencia viscosa que la estructura sólida del suelo genera en el fluido; por ella el agua consume energía en forma de presión hidrodinámica capaz de vencerla, según se ve el empuje hidrodinámico es debido a la perdida de carga hidráulica que el agua pierde en recorrido ΔL a través del cuadrado.


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