Apuntes de Probabilidad y Estadística
** Probabilidad **
Definicion. Se refiere al estudio de azar y la incertidumbre en cualquier situación en la cual varios posibles sucesos pueden ocurrir; la disciplina de la probabilidad proporciona métodos de cuantificar las oportunidades y probabilidad asociadas con un suceso.
Ejemplos:
Existen 50-50 probabilidades de que la persona con posesión de su cargo busque la reeleccion Probablemente se ofrecera por los menos una sección del curso el proximo año Las probabilidades favoreceran la rápida solución de la huelga Se espera que se vendan por lo menos 20000 boletos para el concierto
EXPERIMENTO Es toda accion o proceso cuyo resultado esta sujeto a la incertidumbre Ejemplos:
Lanzar al aire una moneda una vez o varias veces Seleccionar una carta o cartas de un mazo Pesar una pieza de pan El tiempo de recorrido de la casa al trabajo en una mañana particular Obtener tipos de sangre de un grupo de individuos Medir las resistencias a la compresión de diferentes vigas de acero
EXPERIMENTO DETERMINISTICO Es un experimento que si se realiza partiendo de las mismas condiciones, producen el mismo resultado por muchas veces que se repita. Ejemplo:
Si hoy es martes, mañana sera miercoles Si un numero natural es par, el siguiente será será impar
EXPERIMENTO ALEATORIO Es un experiemento cuyo resultado no se puede predecir con exactitud, incluso cuando se realiza en las mismas condiciones los resultados pueden ser distintos Ejemplo:
Lanzar undado o una moneda El próximo sorteo de la loteria nacional
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Supóngase que se toma una muestra de aire de un tanque de almacenamiento, para analizar la presencia de una molécula rara. Los resultados de este experimento pueden reasumirse de una manera muy sencilla: la muestra contiene o no la molécula.
RESULTADO El resultado de un experimento quizás sea una simple elección entre dos posibilidades: ser el resultado de una medición o conteo directos, o bien, ser una respuesta obtenida despues de mediciones y cálculos exhaustivos. E s p a c i o m u e s t r al
El conjunto de los posibles resultados de un experimento aleatorio recibe el nombre de e s p a c i o m u e s t r a l del experimento. El espacio muestral se denota con la letra . Ejemplo: 1.- Supóngase que se analiza un cilindro de aire, para detectar la presencia de una molécula rara.
= { ,} 2.- Si cuatro contratistas entrar en una licitación por un contrato para la construcción de una autopista, y con ,, y se denota que se concede a los señores Adam, Brown, Clark o Dean, respectivamente.
= {,,,} 3.- Cuando una agencia gubernamental debe decidir dónde ubicar dos nuevas instalaciones de investigación en cómputo y que (por alguna razón) es de interés indicar cuántas de ellas se localizaran en Texas y cuántas en California.
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El espacio muestral se escribirá como:
= {(0,0), (1,0), (0,1), (2,0), (1,1), (0,2)}
4.- Dos gasolineras están localizadas en cierta intersección. Cada una dispone de 6 bombas de gasolina. Considérese el experimento en el cual se determina el número de bombas en uso a una hora particular del día en cada una de las gasolineras. Un resultado experimental especifica cuántas bombas están en uso en la primera gasolinera y cuántas están en uso en la segunda. Los 49 resultados se muestran en se muestra en la siguiente Tabla:
Evento
Un evento es cualquier recopilación (subconjunto) de resultados contenidos en el espacio muestral . Un evento es simple si consiste en exactamente un resultado y compuesto si consiste en más de un resultado. Por subconjunto se entiende cualquier parte de un conjunto, incluido todo el conjunto y, de manera trivial, un conjunto llamado conjunto vacío, que se denota ∅, que no tiene elementos en absoluto.
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Ejemplo: 1.-
Es el evento en donde Texas y California tendrán una de las dos instalaciones de investigación
= {(1,0)(0,1)}
= {(0,0)(0,1)(0,2)}
Evento en donde Texas no tendrá ninguna instalación de investigación Evento en donde Texas y california tendrán igual número de instalaciones
= {( 0,0)(1,1)}
2.- Del ejemplo de las gasolineras
= {( 0,0)(1,1)(2,2)(3,3)(4,4)(5,5)(6,6)} =
= {(0,4)(1,3)(2,2)(3,1)(4,0)} =
Evento en que el número de bombas en uso es el mismo en ambas gasolineras.
Evento en que el número de bombas en uso es cuatro.
Ejercicios
3.1 (Miller y Freud) Un ingeniero ambiental sospecha de contaminación por mercurio en un área que contienen tres lagos y dos ríos. Verificará los cinco para indicios de contaminación por mercurio. a) Exprese cada resultado usando dos coordenadas, de modo que (2,1); por ejemplo, represente el evento de que dos de los lagos y uno de los ríos estarán contaminados. Dibuje un diagrama, similar al de la figura 3.1, que muestre los 12 resultados en el espacio muestral. b) Si es el evento de que igualmente tanto lagos como ríos están contaminados, es el evento de que ninguno de los ríos esté contaminado 1.- (Sección 2.1, Devore) Cuatro Universidades, 1,2,3 y 4 están participando en un torneo de basquetbol. En la primera ronda, 1, jugará con 2 y 3 jugara con 4. Acto seguido los ganadores jugarán por el campeonato y los dos perdedores también jugarán. Un posible resultado puede ser denotado por 1324 (1 derrota a 2 y 3 derrota a 4 en los juegos de la primera ronda y luego 1 derrota a 3 y 2 derrota a 4). a) Enumere todos los resultados en . b) Que denote el evento en que 2 gana el juego de campeonato. Enumere los resultados en .
[Autor]
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Tarea
Ejercicio 2 de la sección 2.1 del libro de Devore 8va edición. Inciso a, b y c
Alg un as relacion es d e la teoría de c on junto s
1. El complemento de un evento , denotado por ′, es el conjunto de todos los resultados en que no están contenidos en . 2. La unión de dos eventos y . Denotados por ∪ y leídos " ", es el evento que consiste en todos los resultados que están o o (de tal suerte que la unión incluya resultados donde tanto como ocurren, así también resultados donde ocurre exactamente uno), es decir, todos los resultados en por los menos uno de los eventos. 3. La intersección de dos eventos y , denotada por ∩ y leída " ", es el evento que consiste en todos los resultados que están tanto en . Ejemplo: 1.- Con referencia al espacio muestral de la figura 3.1 y los eventos , y ,
= {(0,0), (1,0), (0,1), (2,0), (1,1), (0,2)} = {(1,0)(0,1)} = {(0,0)(0,1)(0,2)} = {( 0,0)(1,1)}, mencione los resultados que comprenden cada uno de los siguientes eventos; asimismo, exprese los eventos con palabras: a) ∪ ; b) ∩ ; c) ′ Resultado a) ∪ = {( 1,0)(0,1)(0,0)(1,1)} =
b) ∩ = {(0,1)} =
[Autor]
Evento en que ni Texas ni California obtendrán las dos nuevas instalaciones
Evento en el que Texas no conseguirá ninguna de las nuevas instalaciones y California obtendrá solo una Evento en el que Texas obtendrá, al menos, una de las nuevas instalaciones de investigación en computación.
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d) = {( 1,0)(2,0), (1,1)} = 2.- Del ejemplo 2.3 en el cual se observa el número de bombas en uso en una sola gasolinera de seis bombas, sea
= {0,1,2,3,4}
= {3,4,5,6} y
= {1,3,5}
Entonces,
= {5,6} ∪ = {1,2,3,4,5,6} = ∪ = {0,1,2,3,4,5} ∩ = {3,4} ∩ = {1,3} ( ∩ ) = { 0,1,2,5,6} Definición. Que ∅ denote el evento nulo (el evento sin resultado). Cuando ∩ = ∅ , se dice que y son eventos mutuamente excluyentes.
Ejemplo 1.- En una pequeña ciudad hay tres distribuidores de automóviles: un distribuidor GM que vende Chevrolets, Pontiacs y Buicks; un distribuidor Ford que vende Fords y Mercurys; y un distribuidor Chrysler que vende Plymouths y Chryslers. Si un experimento consiste en observar la marca del siguiente carro vendido,
= { Chevrolets, Pontiacs, Buicks, Fords, Mercurys, Plymouths, Chryslers} Entonces los eventos
= {Chevrolet, Pontiac, Buick } = {Ford, Mercury} Son mutuamente excluyentes porque el siguiente carro vendido no puede ser tanto un producto GM como un producto Ford.
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Ejercicios
3.3 (Miller y Freud). Con referencia al ejercicio 3.1, mencione los resultados que comprenda cada uno de los siguientes eventos, y también exprese con palabras los eventos.
= {( 0,0)(0,1)(0,2)(1,0)(1,1)(1,2)(2,0)(2,1)(2,2)(3,0)(3,1)(3,2)} = {( 0,0)(1,1)(2,2)} = {(0,0)(1,0)(2,0)(3,0)} = {( 0,1)(0,2)(1,2)} a) ∪ b) ∩ c) ’
3.5 (Miller y Freud). Para construir espacios muestrales para experimentos donde se trata con datos no numéricos, a menudo se codifican las diversas alternativas al asignarles números. Por ejemplo, si a un mecánico se le pregunta si trabajar en cierto modelo de automóvil es muy fácil, fácil, promedio, difícil o muy difícil, puede asignarse a dichas alternativas los códigos 1, 2, 3, 4, y 5. Si = {3,4}, = {2,3} y = { 4,5}, exprese simbólicamente, y también con palabras, cada uno de los siguientes resultados al mencionar sus elementos. a) ∪ = {2,3,4} b) ∩ = {3} c) ′ = { 1,2,3} 3.3 (Miller y Freud). Con referencia al ejercicio 3.5, ¿cuál de los tres pares de eventos, y , y y y , son mutuamente excluyentes?
y y y 4. Cada muestra de cuatro hipotecas residenciales está clasificada como tasa fija ( ) o tasa variable (). a) ¿Cuáles son los 16 resultados en ? b) ¿Qué resultados están en el evento en que exactamente tres de las hipotecas seleccionadas son de tasa fija? R= 2,3,5,9 c) ¿Qué resultados están en el evento en que las cuatro hipotecas son del mismo tipo? R= 1,16 d) ¿Qué resultados están en el evento en que a lo sumo una de las cuatro es una hipoteca de tasa variable? R= 1,2,3,5,9 e) ¿Cuál es la unión de eventos en los incisos c) y d) y cuál es la intersección de estos dos eventos? R= La unión (1, 2, 3, 5, 9,16) describe el evento de que las cuatro hipotecas son del mismo tipo o que a lo sumo una de las cuatro hipotecas es de tasa variable. La intersección (1) es el evento donde todas las hipotecas son fijas. [Autor]
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f) ¿Cuáles son la unión e intersección de los eventos en los incisos b) y c)? R= La unión (1, 2, 3, 5, 9, 16) es el evento donde exactamente tres de las hipotecas son de tasa fija o que las cuatro hipotecas son del mismo tipo. La intersección con palabras es el evento de que exactamente tres de las hipotecas sean de tasa fija y que cuatro hipotecas sean del mismo tipo. Esto no puede suceder (No hay resultados en común): ∩ = ∅ Tarea
2.1 (Wackerly) Suponga que una familia contiene dos hijos de edades diferentes y estamos interesados en el género de estos niños. Denotemos con que una hija es mujer y que el hijo es hombre y denote con un par, por ejemplo , que le hijo de mayor edad es la niña y el más joven es el niño. Hay cuatro puntos en el conjunto de posibles observaciones:
= {,,,} Denote con el subconjunto de posibilidades que no contenga hombre; , el subconjunto que tiene dos hombres; y , el subconjunto que contenga al menos un hombre. Indique los elementos de:
, , , ∩ , ∪ , ∩ , ∪ , ∩ y ∩ ′. D i ag r a m a d e V e n n
Los espacios y eventos, en particular las ralaciones entre eventos, a menudo se representan con diagramas de Venn
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Ejemplo 1.- ( ∪ )′ = ′ ∩ ′
( ∪ )′
.
′ ∩ ′
2.- Un fabricante de motores pequeños se interesa por tres clases principales de defectos. Si es el evento de que el tamaño del eje es muy grande, es el evento de que los devanados son inadecuados y el evento de que las conexiones eléctricas no sean satisfactorias, exprese con palabras cuáles eventos se representan mediante las siguientes regiones del diagrama de Venn de la figura 3.4: a) región 2 b) regiones 1 y 3, juntas c) regiones 3, 5, 6 y 8, juntas
a) Representa el evento de que el eje es muy grande y los devanados inadecuados; no obstante las conexiones eléctricas son satisfactorias. b) Evento en que los devanados son inadecuados y las conexiones eléctricas no son satisfactorias. c) Evento de que el tamaño del eje no es demasiado grande
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Ejercicios
3.9 (Miller y Freud). En la figura 3.6, es el evento de que una veta contenga cobre y es el evento de que contenga uranio. Explique con palabras qué eventos se representan con las regiones 1, 2, 3 y 4.
3.10 (Miller y Freud). Con referencia al ejercicio 3.9, ¿qué eventos se representan mediante a) las regiones 1 y 3 juntas; b) las regiones 3 y 4 juntas; c) las regiones 1, 2 y 3 juntas? 2-16 (Montgomery). El diagrama de Venn de la figura 2-10 contiene tres eventos. Reproduzca la figura y sombree la región que corresponde a cada uno de los siguientes eventos. a) ′ b) ∩ c) ( ∩ ) ∪ d) ( ∪ )′ e) ( ∩ )′ ∪
2-17 (Montgomery). El diagrama de Venn de la figura 2-11 contiene tres eventos. Reproduzca la figura y sombree la región que corresponde a cada uno de los eventos siguientes. a) ′ b) ( ∩ ) ∪ ( ∩ ′) c) ( ∩ ) ∪ d) ( ∪ )′ e) ( ∩ )′ ∪
[Autor]
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Tarea
3.11 (Miller y Freud). Con referencia a la figura 3.4, ¿Qué eventos se representan mediante a) la región 5; b) las regiones 4 y 6 juntas; c) las regiones 7 y 8 juntas; d) las regiones 1, 2, 3 y 5 juntas?
3.13 (Miller y Freud). Utilice diagramas de Venn para verificar que a) ( ∩ ) = ′ ∪ ′ b) ∪ ( ∩ ) = c) ( ∩ ) ∪ ( ∩ ) =
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