INTEGRAL LIPAT (MULTIPLE INTEGRAL)
1. Integral Ganda atas Persegi Panjang
Ingat kembali pada fungsi satu variabel f ( x dibagi menjadi menjadi interval-in interval-interva tervall x), interval [a,b] dibagi dengan panjang Δ xk , k=1,2 ,…,n, Kemudian diberikan fungsi f ( x,y . x,y) kontinu pada himpunan berbentuk persegi panjang: R = {( x,y }. x,y) : a ≤ x ≤ b dan c ≤ y ≤ d }. Dengan demikian akan dapat dibangun integral dengan cara serupa seperti pada integral fungsi satu variabel.
aX by = f(x)
y
Luas bidang yang dibatasi oleh kurva y=f(x) dan interval [a,b] dapat dituliskan sebagai berikut:
∞ b lim li m f ( xi)∆ xi = ∫ f ( x)dx) ∆ x →0 ∑ i =1 a Selanjutnya dapat pula diperlihatkan hal-hal sebagai berikut:
Y ∆υi Z f (xi,yi)
X gambar diatas merupakan volume benda dengan luas alas dinyatakan sebagai berikut: = lim
∆σ i →0
∞ ( , ) ∆ f xi yi i υ ∑ i −1
vi dan tinggi f(xi,y j) yang dapat
∫ ∫ f ( x, y)dydx dengan demikian terbentuklah
∆y ∆xi baX j C B D dcA
Y
2. INTEGRAL LIPAT SEBAGAI INTEGRAL ULANGAN
Sebagaimana pada fungsi variabel satu, maka [a,b] dibagi menjadi n bagian yang sama dan [c,d] dibagi m bagian yang sama sehingga didapat: = ∞
∑ f ( xi, yj)∆
i
υ
i =1
n
m
i =1
j =1
∑ ∆ xi∑ f ( xi, yj) ∆ yj = m
n
j =1
i =1
∑ ∆ yj∑ f ( xi, yj )∆ xi
b d d b ∞ f xi yi i dx f x y dy dy f x y dx ∆ = = υ Jadi : lim ( , ) ( , ) ( , ) ∫a ∫c ∫c ∫a ∆ i →0 ∑ i =1 υ
terlihat bahwa seluruh batas integrasi merupakan konstanta Contoh soal :
1.
dy dx =
dx −1
−1 3
∫∫
x
∫ x
4
dy dx =
∫ dy
∫ ∫
x
0
=
−1
−1
0 0
0
=
y
dx
−1
∫ x
5
4
0
= 3 0
0
3
∫ dx ∫ x
4
.y x 5
dy
−1 3
3
4
0
0 0
atau
3 0
4
0
− 1 ( 3) 5
=-
=3
dx −1
3
∫ x
5
4
0
=
x5
= −1
3
0
5
2.
(x2 + 2y) dx = 2
1
0
0
3 5
dy
x 3 10 ∫ 0 3 + 2 yx 2
∫ dy ∫ =
dy 2
1 + 2 y ∫ 0 3 =
1 y + y 2 02 3 = ( ( 2 / 3 ) + 4 ) = 14 / 3 Soal-soal: 1. 1
2
∫ ∫ 0 0
(3 x − 2 y )dydx
2.
3.
2 x + 1 ∫1 ∫ 1 y dydx 2
3
4. 1
2
∫ ∫ (4 x − 2 −1
2
− 3 y )dydx
Bila batas integrasi tidak seluruhnya merupakan konstanta maka dapat diperoleh :
2
3
dydx
∫ ∫ x + y 1
2
b g 2 ( x )
∫ ∫ f ( x, y)dydx a g 1 ( x )
Atau dapat pula diperoleh seperti berikut ini:
d h2 ( y )
∫ ∫ f ( x, y)dxdy c h1 ( y )
Jadi Integral lipat dua diatas dapat menunjukkan Luas dari bidang datar yang dibatasi oleh dua kurva atau lebih Contoh soal: 1. Tentukan luas bidang yang dibatasi oleh y=2x dan y=x2 di kuadran I Penyelesaian: Cara pertama: - tentukan titik potong kedua kurva yaitu di (2,4) - tentukan batas di sumbu x dan luas daerah yang dibatasi oleh kedua kurva tersebut - Luas daerah yang dicari adalah adalah: A=02dx y=x2y=2xdy =02(2x-x2)dx = (x2-13x3) | 0 2 = 22-13∙23= 43 Cara Kedua:
- tentukan titik potong kedua kurva yaitu di (2,4) - tentukan batas di sumbu y dan luas daerah yang dibatasi oleh kedua kurva tersebut - Luas daerah yang dicari adalah adalah: A=04dy x =y2x=ydx =04(y-y2)dy = (23yy -14y2 ) | 0 4 = 234.2 -14∙42 = 43
2.
1 x +1
∫ ∫ 0 x
1
x +1
0
x
∫ = ∫ x{( x + 1) − x }dx = ∫ (2 x + x)dx
xydydx = x( 12 y 2 ) | dx 1 1 2 0
2
1 1 2 0
2
2
1
= 12 ( 23 x 3 + 12 x 2 ) |
0
= 12 ( 23 + 12 ) = 127
3.
1 x +1
∫ ∫ 0 x
1
x +1
∫ ( xy + y ) | dx = ∫ [ x( x + 1 − x) + {( x + 1) = ∫ { x + (2 x + 1)}dx
( x + y )dydx =
2
1 2
0
x
1
1 2
0
1
2
− x 2 }]dx
1 2
0
= ( x + 2
= (1 +
1 2
1 1 2
x ) |
)=
0 3 2
4. Hitung luas bidang yang dibatasi oleh y² = x³ dan y = x Jawab : y=x
y² = x³ x =1
x² = x³
L =01dxx32xdy =01(x-x32)dx =12x² - 25 x5201 = 12-25=110
5. Hitung luas yang di arsir ! Jawab : Garis harus melalui (2,0) dan (0,2) y – y1 = m( x – x1 ) y = -1 ( x – 2 ) y = -x + 2 Lingkaran dengan pusat (0,1) jari-jari = 1 (x-0)² + (y-1)² = 1 x² + (y-1)² = 1 y = -x + 2 x² + (y-1)² = 1
x² + (-x + 2 – 1)² = 1 x² + ( 1 – x)² = 1 x² + 1 – 2x + x² = 1 2 x² - 2x = 0 2x ( x – 1 ) = 0 sehingga: titik potong berada pada X = 0 dan X = 1 Jadi : L = 12dy 2-y1 –(y-1)² dx L= 121-(y-1)² - (2-y) dy= …….. ??? Mencari Volume Benda dengan integral lipat dua: Perhatikan gambar berikut ini:
Atau dapat pula dilakukan dengan cara berikut ini:
Contoh : 1. Hitung volume yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat serta bidang 3x + 6y +4z – 12 = 0 Jawab : Bila z = 0 3x + 6y = 12 x + 2y = 4 Bidang R 3x + 6y + 4z – 12 = 0 z = 34 ( 4 – x – 2y ) V =(34 4-x-2ydA V = 04dx 02- x234 (4 – x – 2y) dy Jadi V= 34 044y-xy-y2|2-x2 dx = 316 0416-8x+x2dx = 316 (16x – 4x² + x³3 ) |4 = 4 2). Tentukan volume yang dibatasi oleh silinder x² + y² = 4 dan bidang-bidang y + z = 4 dan z = 0. Jawab:
Volume yang harus dicari terletak dibawah permukaan z = 4 – y dan diatas bidang z = 0 (bidang XOY). Batas kiri dan kanan oleh lingkaran x² + y² = 4. V = ∫∫ z dA = -22-4-y2+4-y24-ydx dy = 2 -2204-y24-ydx dy = 2 -224-y4-y²dy = 8 -224-y²dy - 2 -22y 4-y² dy = 16 π
Soal:
1). Hitung luas bidang yang dibatasi oleh y² = 4 – x dan y² = 4 – 4x. ex ≤ y ≤ 2e-x}. 2). Hitung luas yang dibatasi: * R {P(x,y)| -1 ≤ x ≤ 0, * R {P(x,y)| 0 ≤ x ≤ π4, x² ≤ y ≤ x +1}.
3). Tentukan volume benda di oktan 1 yang dibatasi oleh z = x² + y², dan tabung x² + y² = 4 serta bidang-bidang koordinat. 4). Hitung volume di kuadran 1 terletak di dalam y² + z² = 9 dan diluar y² = 3x. 5). Hitung volume dari satu bagian yang dipotong dari silinder x² + y² = a² oleh bidang bidang z = 0 dan z = 3y.
2
1
3
5).
∆x ∆y ∆s Y X
4
YX ∆s
(∆s)2 =(∆x)2 + (∆y)2 ∆s = 1+∆y∆x2. ∆x
∆s2 ∆s
= (∆x)2 +(∆y)2 =1+∆x∆y2. ∆y
ds
=1+dxdy2. dy
yzx SR
ds
=1+dydx2. dx
Bila proyeksikan ke Bidang XOY S = 1+∂z∂x2+∂z∂y2.dydx Bila diproyeksikan ke bidang YOZ S = 1+∂x∂y2+∂x∂z2.dydz Bila diproyeksikan kebidang ZOX S = 1+∂y∂x2+∂y∂z2.dzdx Contoh Soal: 1. Carilah luas permukaan yang diproyeksikan ke bidang xoy dengan pembatas x=0, x=1, y=0
YZ X SR
dan y=2 serta tabung z=4-x2 di-oktan I :
z=f(x,y)=4-x2 ∂f∂x = -x4-x2
dan ∂f∂y =o
S = 1+x4-x22+0. dA S =020124-x2 dx.dy S = 2 02sin-1x201dy S = 2 02( π6 )dy S = 2π3
2. Hitung luas dari bagian silinder x2+z2=16 terletak di dalam silinder x2+y2=16 Solusi : Ambil benda tersebut di oktan I
Z
S R
Y
4 X
Z=16-x2 ∂z∂x= - x16-x2 1+ ∂z∂x2+∂z∂y2=1+x216-x2 S= 04016-x21616-x2dydx
∂z∂y=0 = 1616-x2 =404116-x2 y|016-x2dx =404dx=16
Luas permukaan seluruhnya =8 ×16=128 Soal : 1. Hitung luas bagian paraboloid z=x2+y2 yang dipotong oleh f 2. Hitung luas yang merupakan bagian bidang x+y+z=6 didalam silinder x2+y2=4 pada kuadran I 3. Hitung luas yang merupakan sebagian dari bola x2+y2+z2=25 terletak antara bidang z=2 dan z=4
Integral Lipat Tiga ( Triple Integrals ) fx,y,zdv= aby1y2z1z2fx,y,zdzdydx
Z2= f2(x,y) z y2=∅2 (x) Z2=f1(x,y) y1=∅1(x) y a x Contoh soal : 1) -25 03x yx+24 dz dydx = 4 -25 03x x+2-y dy dx = 4 -25 (xy+2y-12 y2)03x dx = 4 -25 (3x2+ 6x- 92x2)dx = 4 -25 (6x- 32 x2) dx = 4 3x2- 12 x35-2 = 4 75-1252- (12+4) = 4 252- 16=-14 2) Hitung volume dari R yang dibatasi oleh silinder z=4-x2 Dan bidang-bidang x=0, y=0 dan z=0 , y=6 Solusi : z V = k dzdydx = 02 06 04-x2 dzdydx y
x
= 02 06 (4-x2) dydx = 02 (4-x2) y 60 dx = 602(4-x2) dx = 6 4x- x33 20 = 6 8-83=32
PR 1) 2) 3) 4)
0π/2 0z 0y sinx+y+zdxdydz π/3π cosyτ 0xycoszxdzdxdy Hitung k (x2+y2+z2) dzdydx bila R dibatasi oleh x+y+z=α x=0, y=0 danz=0 Hitung volume yang dibatasi oleh x+z 2 = 1 dan y2+ z2=1 dan bidang xoy
36
TRANSFORMASI KOORDINAT
Akan dilakukan transformasi koordinat sebagai berikut: x x = x (u,v) y y = y (u,v) sehingga didapat s ƒ(x,y) dxdy = s F{x(u,v), y(u,v)}(……) du dv Sekarang tinjau persoalan berikut: y
y
C
3
Luas ∆ABC = …?
L y2
B
y1
A
P o
Q
x1
x2
R x3
x
Luas ∆ABC = Luas PQCA + Luas QRBC - Luas PRBA = 12 PQ(AP + QC ) + 12QR (CQ+BR ) - 12 PR(AP + BR) = 12 (x3 - x1) (y1 + y3) + 12 (x2 – x3) (y3 + y2) – 12 (x2-x1) (y1+y2) = 12 [ x3 (y1+y3-y3-y2) + x2 (y3+y2-y1-y2)+x1 (y1+y2-y1-y3)] = 12 [ x3 (y1-y2)+ x2 (y3 -y1) +x1 (y2- y3)] = 12 [(x2y3-x3y2) + (x3y1-x1y3) + (x1y2-x2y1)] = 12 x2x3y2y3-x1x3y1y3+x1x2y1y2 = 12 111 x1x2x3 y1y2y3 Luas ∆ABC = 12111x1x2x3y1y2y3 y
D y
A
D
C
C
∆ x ABCD = 2
B
A
B ABC
x
dx dy
(u,v) v Tinjau D u Bidang Lengkung C
A
A (u,v)
B
B (u+∆u,v) C (u+∆u,v+∆v)
Koordinat dapat dinyatakan sbb: A {x(u,v), y(u,v)} B {x(u+∆u,v), y(u+∆u,v)} C {x(u+∆u,v+∆v), y(u+∆u,v+∆v)} D {x(u,v+∆v), y(u,v+∆v)} Bila x=x(u,v) dx= ∂x∂udu+ ∂x∂vdv y=y(u,v) dy= ∂y∂udu+ ∂y∂vdv
x(u,v) x(u+∆u,v) ini menunjukkan bahwa v konstan sehingga dv = 0 x(u,v) x(u,v+∆v) ini menunjukkan bahwa u konstan sehingga du = 0
dx= ∂x∂udu dx= ∂x∂vdv
koordinat A,B dan D akan dapat dinyatakan sbb: A {x(u,v), y(u,v)} B {x(u,v)+∂x(u,v)∂udu, y(u,v)+∂y(u,v)∂udu} D {x(u,v)+∂x(u,v)∂vdv, y(u,v)+∂y(u,v)∂vdv} atau A {x,y} B {x+∂x∂udu, y+∂y∂udu} D {x+∂x∂vdv, y+∂y∂vdv} Jadi Luas ABCD = 2 Luas ABD = 2× 12 111xx+∂x∂udux+∂x∂vdvyy+∂y∂uduy+∂x∂vdv kurang satu halaman (Siapa ya ????)
Telah Diketahui bahwa : Pers 3
∂(x,y)∂(u,v)= xuxvyuyv =D D=xu∙yv-xv∙yu
xu∙hx-yu∙hy=1 xuyuxvyv hxhy = 10
Pers 5 xv∙hx-yv∙hy=0 melalaui rumus Crammer didapat: hx = 1yu0yv xuyuxvyv =yvxu∙yv-xv∙yu=yvD
hy = xu1xv0 D=-xvD Pers 4
xu∙gx-yu∙gy=0 xuyuxvyv gxgy = 01
Pers 6
xv∙gx-yv∙gy=1
gx = 0yu1yv D=-yuD gy = xu0xv1 D=xuD ∂u,v∂x,y= hxhygxgy =hx∙gy-hy∙gx =yvD∙xuD-xvD∙yuD =xu∙yv-xv∙yuD2=DD2=1D ∂u,v∂x,y=1∂(x,y)∂(u,v) Disebut invers jacobian Contoh Soal : 1. Hitunglah : s xy dx dy, bila s adalah luas bagian bidang yang dibatasi oleh : y=x2 dan x=y2 dan y=2x2 x=2y2
Jawab:
sebagai berikut: Misal : U= x2y V= y2x UV= x2y . y2x=xy Bila
y= x2 → U=1 y= 2x2 → U=12 x= y2 → V=1 x= 2y2 →V=12
∂(u,v)ð(x,y) = ∂u∂x∂u∂y∂v∂x∂v∂y = 2xy-x2y2-y2x22yx =4–1=3 jadi : ∂(x,y)ð(u,v) = 13 , sehingga didapat :
Luas daerah dapat dicari dengan cara: S xy dxdy= x1x2dx x22x2xy dy+ x2x3dx x2xxy dy+ x3x4dx x2xxy dy Cara lain adalah dengan menggunakan transformasi
S xy dxdy= S UV Jdudv =121du 121uv (13) dv =13 121u du 121v dv =13u22 1 12v22 1 12 = 13[(12 -18). (12 -18)] =364 2. Hitunglah : 0~e-x2 dx Solusi : Misal : 0~e-x2 dx=I
0~e-x2 dx=20~e-x2 dx = 2.I
dv =dx dy dz = r dθ(r sinθ dφ) dr =r2 sinθ dr dθ dφ J=∂x∂r∂x∂θdxdφdydrd ydθdydφdzdrdzdθdzdφ=r2sinθ Contoh : 1. Hitung volume bola dengan jari-jari = a Solusi : v= dx dy dz= 02π0π0ar2 sinθ dr dθ dφ =02πdφ 0πsinθ dθ0ar2dr = 2π -cosθ 0π r330a =-2π3 a3 cosπ- cos0 V=4π3a3 2. Hitung : x2+y2dx dy bila s adalah lingakaran dengan persamaan : x2+y2 = 2ax Solusi: Mis: x=rcosθ x2+y2=r2 y=rsinθ dx dy=r dr dθ sx2+y2 dx dy= 0π02a cosθr3 dr dθ =140π2 a cosθ4 dθ = 14 0π16a4cos4 Ɵ dƟ = a40π4 cos4Ɵ dƟ = a40π(2 cos2Ɵ)2 dƟ = a40π(1+cos2Ɵ)2 = a40π(1+2cos2Ɵ+cos22Ɵ)dƟ = a40π[1+2cos2Ɵ+12(1+cos4Ɵ)]dt = . . . . . . . . . . . . = 32πa4 Hitung momen Inersia dari suatu bola yg berjari-jari = 1 dengan masa M homogen terhadap poros yang melalui pusat bola!
Solusi : R= r sin Ɵ ∝I = R 2 dm = r 2 sin2Ɵdm = r 2 sin2Ɵ ρ dv = r 2 sin2Ɵ (ρ).r 2 sin Ɵ drdƟdϕ I = ρ02πdϕ0πsin3Ɵ dƟ0ar4 dr = 2 ρπ0π(cos2Ɵ-1)d(cosƟ)-r55│0a = 2πρ a55 (cos33 - cos Ɵ)│0π = 25 ρπa5[(cos3 π3- cosπ) – (cos03-cos0)] = 25 ρπa5[(-13+1)-(13 - 1)] = 25(ρ.43πa3)a2 I = 25 Ma2 Soal 1. 2. 3. 4.
: s 1- x2- y2 dimana s = lingkaran dengan pusat (0,0),jari-jari = 1 s y dxdy dimana s = lingkaran dengan pusat a2,0 , jari-jari = a2 s a2+x2+y2 dxdy dimana s = x2+y2=a2x2-y2 R x2+y2 dxdy dimana R dibatasi oleh x2+y2= 4 dan x2+y2=a
