FISIKA FISIKA MATEMATIKA MATEMATIKA INTEGRAL RANGKAP
DISUSUN OLEH:
1. NOVITA WIDIYASTUTI 1101135015 2. NOVITA NOVITA YUSNIA YUSNIAWATI 110113506 3. TIT TITAH ESTU ESTUNI NING NG AYU 1101135 4. WULA WULAN N SARI SARI RAHA RAHAYU YU 1101135
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN FISIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU
PENGETAHUA ALAM
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF.DR.HAMKA 2013
A.
INTEGRAL RNGKAP 2
1. Integr! L"#t D$ At% Der& Per%eg" Pn'ng
Konsep n!e"#$% !en!& &n!&' (&n"s s$!& pe&)$* +$p$! '!$ pe#%&$s &n!&' (&n"s )$n,$' pe&)$*. In!e"#$% &n!&' (&n"s )$n,$' pe&)$* +n$-$'$n n!e"#$% %p$! $!$& n!e"#$% #$n"'$p. $+$ n!e"#$% %p$! s$!&/ (&n"s ,$n" +p$'$ +)$!$s/ ,$!& (&n"s !e#se)&! !e#se)&! +)$!$s +)$!$s p$+$ se%$n" !e#!&!&p !e#!&!&p + R 1. Un!&' n!e"#$% %p$! +&$ +$# (&n"s +&$ pe&)$* / pe-)$!$s$nn,$ $+$%$* (&n"s !e#se)&! !e#+e(ns p$+$ s&$!& +$e#$* !e#!&!&p + R 2. 2. e#'&! $'$n '!$ )$*$s !en!$n" n!e"#$% %p$! +&$ &"$ n!e"#$% %p$! !"$.
:
9 $
+
,
)
Rk
5 x k / y k 7 G$-)$# 1.1
Te!$p'$n R )e#&p$ s&$!& pe#se" p$n$n" +en"$n ssss se$$# s&-)& s&-)& 'oo#+n$!/ ,$'n -s$% R /,7 a x b/ c x d 8. en!&' s&$!&
p$#!s +en"$n 9$#$ -e-)&$! "$#s"$#s se$$# s&-)& +$n ,. In -e-)$" R -en$+ )e)e#$p$ pe#se" p$n$n" 'e9% ,$n" &-%$*n,$ n )&$*/ ,$n" +!&n&''$n +en"$n +en"$n ' ; 1/2/.. 1/2/...n. .n. Te!$p'$n Te!$p'$n x k +$n y k $+$%$* p$n$n" p$n$n" ssss ssss Rk +$n
Ak ; x k . y k $+$%$* %&$s. $+$ Rk $-)% se)&$* !!' -s
%$n
)en!&' pen&-%$*$n Re-$nn
f x k 1
k
x k / y k 7 +$n
/ y k 7 Ak .
De(ns In!e"#$% %p$! +&$ An+$ An+$ s&$!& (&n"s +&$ pe&)$* pe&)$* ,$n" !e#+e(ns !e#+e(ns p$+$ s&$!& pe#se" p$n$n" !e#!&!&p R/ '$ %-
IpI 0
n
f x k 1
k
/ y k 7Ak $+$ . -$'$ ( +$p$! +n!e"#$%'$n p$+$ R/ %e)* %$n&!
f x/ y 7dA / ,$n" +se)&! n!e"#$% %p$! +&$ +$n p$+$ R +)e#'$n o%e* R
R
f x/ y 7 dA ; %-
IpI 0
n
f x k 1
k
/ y k 7 Ak
Sifat-sifat Integral Lipat Dua Dua : 1. <'$ (/,7 (/,7 +$n +$n "/,7 "/,7 -$sn"-$sn"-$sn" $sn" 'on!n 'on!n& & +$%$+$%$- +$e#$* R -$'$ -$'$
kf x/ y7dA k f x/ y7dA R
R
> f x/ y7 g x/ y7=dA f x/ y7dA g x/ y7dA R
2.
R
R
f x/ y7dA f x/ y7dA f x/ y7dA R
R1
R2
3. S($! S($! pe-)$ pe-)$n+ n+n" n" )e#%$ )e#%$'& '& '$ '$ (/, (/,77
"/,7 &n!&' se-&$ /,7 + R/ -$'$
f x/ y7dA g x/ y 7dA R
R
Perhitungan Perhitun gan Integral Lipat dua <'$ (/,7 ;1 p$+$ R/ -$'$ n!e"#$% %p$! +&$ -e#&p$'$n %&$s R/ -$'$ n!e"#$% %p$! +&$ -e#&p$'$n %&$s R.
kf x/ y 7dA k f x/ y7dA R
R
1dA
; k
R
; '.AR7
?on!o* So$% 1. An+$ An+$ ( se)&$* s e)&$* (&n"s !$n""$ ,$'n
1/0 x 3/0 y 1 (/,7 ; 2/0 x 3/1 y 2 3/0 x 3/2 y 3
f x/ y 7dA +en"$n R ; 5 x/ y7 0 x 3/0 y 38
*!&n"
R
$@$) -s$% pe#se" p$n$n" R 1/ R 2/ R 3 R 1 ;
5 x/ y7 0 x 3/0 y 18
R 2 ;
5 x/ y7 0 x 3/1 y 28
R 3 ;
"&n$'$n s($! pen&-%$*$ pen&-%$*$n n + n!e"#$% %p$! 5 x/ y7 0 x 3/2 y 38 / %$%& "&n$'$n
+&$/ se*n""$
f x/ y 7dA f x/ y 7dA f x/ y 7 dA f x/ y 7 dA R1
R
R2
R3
; 1.AR 17 2. AR 27 3.AR 37 ; 1.3 2.3 3.3 ; 1B 2. H$-p#
R
2 f x / y 7 dA +en"$n f x / y 7 64 B x y / 16
R ;
5 x/ y7 0 x 4/0 y B8 .
Ke#$' Ke#$'$n $n +en"$n +en"$n -en"* -en"*!&n !&n" " pen&pen&-%$* %$*$n $n
Re-$nnC
<$@$) en&-%$*$n Re-$nn ,$n" +pe#o%e* +en"$n -e-)$" $!$s B )&&# s$n"'$# ,$n" s$-$ +en"$n !$p!$p p&s$! )&&# s$n"'$# se)$" !!'. T!'!!' 9on!o* ,$n" +pe#%&'$n +$n n%$n%$ ,$n" )e#p$+$n$n +$# (&n"s !& $+$%$*
x1 / y1 7 ; 1/17/
( x1 / y1 7 ;
x 2 / y 2 7 ; 1/37/
( x 2 / y 2 7 ;
x 3 / y 3 7 ; 1/57/
( x 3 / y 3 7 ;
x 4 / y 4 7 ; 1/7/
( x 4 / y 4 7 ;
1D 16 65 16 B1 16
105
x 5 / y 5 7
; 3/17/
( x 5 / y 5 7 ;
x 6 / y 6 7 ;
3/37/
( x 6 / y 6 7 ;
x D / y D 7 ;
3/57/
( x D / y D 7 ;
xB / y B 7 ; 3/7/
( xB / y B 7 ;
16
:
0/B/B7
0/0/47 4/B/67
4/0/27
B
4 4/B7
,
41 16 4E 16 65
16 BE 16
<$+ '$#en$ Ak ; 4/ Ak ; x k y k ; 2.2 ; 4
R
f x/ y 7 dA ≈
B
f x
k
k 1
/ y k 7Ak
B
= 4
f x k 1
=
k
/ y k 7
45D 65 B1 105 41 4E 65 BE
= 138
16
2 3
Integral Lipat <'$ f x/ y 7 0 p$+$ R se*n""$ +$p$! '!$ !$(s#'$n n!e"#$% %p$! +&$ se)$"$ Fo%&-e +$# )en+$ pe$% +)$@$* pe#-&'$$n "$-)$# 1 V ; f x / y 7 dA / R ; .
5 x/ y7 a x b/ c y d 8
R
$
)
$ R )
G). 1
G$-)$# 1.2
I#s I#s )en+$ pe$% !& -en$+ 'epn"$n'epn"$n se$$# !e#*$+$p )+$n" : "). 2$7
:
, LA,7
G). 2)
,
G). 1.3
y
I#s$n )+$n" , ; '/ 'epn"$n Fo%&-e ,$n" )e#p$+$n$n ≈ A(y)
y
Vo%&-e o%&-e v +$# 'epn"$n 'epn"$n se9$#$ $p#o's-$s +)e#'$n +)e#'$n o%e* v ≈ A(y)
y
+n!e"#$%'$n / d
V;
A y 7 dy / &n!&' , !e!$p '!$ *!&n" A,7 +en"$n n!e"#$% !&n""$% )$s$ c
A,7 ;
b
d
b
a
c
a
f x/ y 7dx / se*n""$ V ; > f x/ y7dx=dy
.. 27
/
D$# 17 +$n 27
d
f x/ y 7 dA
R
;
> f x/ y7dx=dy c
b
d
a
c
b
a
> f x/ y7dy=dx
LATIHAN SOAL 1
Permasalahan : Hitung : 3
2
0
1
> 2 x 3 y 7dx =dy <$@$)
$.
3
2
0
1
> 2 x 3 y 7dx =dy
)e"!&
&"$
f x/ y 7dA ; R
Perhitungan Perhitunga n Volume ?on!o* so$% H!&n" Fo%&-e V +$# )en+$ pe$% +$!$s ,$n" +)$!$s o%e* : ; 4 2 , +$n
+)$@$* pe#se" p$n$n" R ;
5 x/ y7 0 x 1/0 y 28
<$@$)
:
0/0/47
0/2/27 1/0/37 1/2/17 , 2 1
<$@$) V;
f x/ y 7dA R
1/27
;
4 x 2 y 7dA ;
R
2 1
4 x
1 3 1 ; >>4 x x yx=0 =dy ; 3 0
16 3
s$!&$n Fo%&-e
1.. H!&n" 4 2
$.
x y
2
7dydx
1 1
1
).
x sn y 7dxdy 0 0
y 7dxdy
0 0
2
;
2
2
1
y 7dy 4 3 y7 0
2. Integr! L"#t D$ At% Der& ($)n Per%eg" Pn'ng
: ; (/,7
S
G).1
S
G).2
S
(/,7;0
G).3
G$-)$# 2.1
H-p&n$n S !e##!&!&p +$n !e#)$!$s + )+$n" G).17 'e%%n" S o%e* s&$!& pe#se" p$n$n" R +$n ssn,$ ss n,$ se$$# s&-)&s&-)& 'oo#+n$! G).27. $n+$ (/,7 !e#+e(ns p$+$ S +$n ++e(ns'$n (/,7;0 p$+$ )$"$n R +%&$# S G).37/ ( +$p$! +n!e"#$%'$n p$+$ S '$ +$p$! +n!e"#$%'$n p$+$ R.
f x/ y7 dA ; f x/ y 7 dA S
R
e#*!&n"$n In!e"#$% Lp$! D&$ A!$s H-p&n$n*-p&n$n U-&S&$!& *-p&n$n S $+$%$* , se+e#*$n$ ").47 '$ !e#+$p$! (&n"s(&n"s 'on!n& 1 +$n 2 p$+$ >$/)= se+e-'$n se*n""$ S x/ y 7 1 x 7 y 2 x 7/ a x b8
+
+ ; 1 y 7
,;7
; 2 y 7
+ S
S
,; 7
0
$
*
9
)
G).2.2 Se)&$* *-p&n$n , se+e#*$n$
S
&'$n *-p&n$n se+e#*$n$ A!$& , se+e#*$n$
*
0 G). 2.3 se)&$* *-p&n$n se+e#*$n$
+ ,; 2 7 S G).2.4
,; 1 7 R
0
*
$
)
*
S&$!& *-p&n$n S $+$%$* , se+e#*$n$ ").47 '$ !e#+$p$! (&n"s(&n"s 'on!n&
1
+$ +$n
2 p$+$
>$/)=
se+e-'$n
se*n""$
S x/ y 7 1 x 7 y 2 x 7/ a x b8 . Se+$n"'$n s&$!& *-p&n$n S $+$%$*
se+e#* se+e#*$n$ $n$ ").57 ").57 '$ '$ !e#+$p$ !e#+$p$!! (&n"s (&n"s(& (&n"s n"s 'on!n 'on!n& & 1 +$ +$n 2 p$+$ >9/+= se+ese+e-' '$ $n n se*n se*n"" ""$$ S x/ y 7 1 y 7 x 2 y 7/ c y d 8 . <'$ '!$ n"n -en"*n!&n" n!e"#$% %p$! +&$ +$# s&$!& (&n"s (/,7 $!$& s&$!& *-p&n$n S ,$n" , se+e#*$n$. K!$ %n"'&n" S + +$%$- s&$!& pe#se" p$n$n" R ").67 +$n -e-)&$! (/,7;0 + %&$# S/ -$'$
S
f x/ y 7 dA
;
R
f x/ y 7 dA ;
b
;
b
d
a
c
> f x/ y7dy=dx
2
> f x/ y7dy=dx / se9$#$ #n"'$s a
1 b 2 x 7
f x/ y 7dA ; f x/ y7dydx S
a 1 x 7
D$%$- n!e"#$% se)e%$* +$%$-/ +pe#!$*$n'$n !e!$p. en"n!e"#$%$n !& $+$%$* sep$n$n" "$#s !e)$% +$# "$-)$# 6. pen"n!e"#$%$n -en"*$s%'$n %&$s A7 +$# "$-)$# !e#se)&!/ $'*#n,$ A7 +n!e"#$%'$n -&%$ +$# $ s$-p$ ). <'$ *-p&n$n S $+$%$* se+e#*$n$/ -$'$ d 2 y 7
f x/ y 7dA ; f x/ y7dxdy S
c 1 y 7
, :;(/,7
A7
+
$
) *
,; 1 7
,; 2 7 G).2.5
LATIHAN 3
Ke#$'$n so$% )e#'&!C 1. H!&n"
5 x 2
$.
4 x 10 y7dydx 3 x
<$@$) 5 x 2
$.
4 x 10 y7dydx 3 x
3. Integr! L"#t D$ D!- Kr/"nt K$t$
<'$ : ; (/,7 -enen!&'$n s&$!& pe#-&'$$n $!$s R +$n $n+$'$n ( $+$%$* 'on!n& +$n !$' ne"$!(/ -$'$ Fo%&-e V +$# )en+$ pe$% +)$@$* pe#-&'$$n n +$n +$!$s R $+$%$*
V ; f x/ y 7 dA ...... 17 R
D$%$- 'oo#+n$! '&!&)/ s&$!& pe#se" p$n$n" '&!&) R )e#)en!&' R;
5r / 7 3 a r b/ 8 ,
:;(/,7;#/ 7
r
R
+
r
*
R
G).2. G).2.6
Den"$n 0 +$n 2 . e#s$-$$n pe#-&'$$n +$!$s +$p$! +!&%s se)$"$ : ; (/,7 ; f r 9os / r sn 7 f r / 7
$#!s R +$%$- pe#se" p$n$n" '&!&) ,$n" %e)* 'e9% R 1/1/ R 2
R '
R
/ . R n.n. +en"$n -en""&n$'$n s&$!& 's '&!&) '
p$+$ "$-)$# +$!$s %&$s AR AR ' '7 +$p$! +!&%s R '
A Rk 7 r k r k k +en"$n r k $+$%$*
n
G).2.B
#$!$#$!$ R ' '. <$+ V f r k / k 7r k r k k
Se*n""$ V ; f r / 7rdrd f r 9os / r sn 7rdrd ........ R
27
R
D$# 17 +$n 27
f x/ y 7 dA ; f r 9os / r sn 7rdrd R
#$+&s
R
<'$ p$+$ n!e"#$% %p$! +&$ +$!$s +$e#$* )+$n" ,$n" !e%$* '!$ pe%$$# ,$n" %$%& '!$ -en"en$% s!%$* *-p&n$n se+e#*$n$ +$n *-p&n$n , se+e#*$n$/
p$+$ pen"n!e"#$%$n '&!&) n/ '!$ -en"en$% s!%$* s!%$* *-p&n$n # se+e#*$n$ +$n
*-p&n$n
se+e#*$n$.
H-p&n$n
S r / 7 1 7 r 2 7/ 8 +$n +se)&!
#
se+e#*$n$
se+e#*$n$
)e#)en!&'
'$ )e#)en!&'
;
#; S
S
#;
;
##; ;$
G).2. H-p&n$n # se+e#*$n$
#;)
G).2.10 H-p&n$n se+e#*$n$
1. Pene Pener r# #n n Int Integ egr r!! 2
ene#$p$n n!e"#$% +&$ se%$n &n!&' -en9$# Fo%&-e )en+$ pe$%/ pene#$p$n %$n ,$!& -en9$# -$ss$/ p&s$! -$ss$ +$n -o-en ne#s$. $. J$ss$
An+$ s&$!& %$-n$ -en9$'&p +$e#$* s + )+$n" , +$n '$ 'e#$p$!$n -$ss$ s$!&$n %&$s7 + /,7 +n,$!$'$n o%e* x/ y 7 . $#!s'$n s +$%$ 2 /... Rk . A-)% !!' x k / y k 7 p$+$ Rk . J$ss$ pe#se" p$n$n" 'e9% R 1 / R Rk se9$#$ *$-p#$n x/ y 7 ARk +$n -$ss$ !o!$% %$-n$ se9$#$ *$-p#$n
m
n
x
k
/ y k 7 A Rk 7
k 1
J$ss$ -7 +pe#o%e* +en"$n -en"$-)% %-! #&-&s +$!$s &n!&' no#-$ p$#!s -en+e'$! no%/ se*n""$ n
%- x k / y k 7 A Rk 7
P 0 k 1
L-! &-%$* !e#se)&! -e-)en!&' n!e"#$% #$n"'$p 2 m
x/ y7dA s
). &s$! J$ss$ 2 /...mn <'$ <'$ m1 / m
$+$%$* '&-p&%$n '&-p&%$n !!' -$ss$ ,$n" -$sn"-$sn -$sn"-$sn" "
+!e +!e-p -p$! $!'$ '$n n + x1 / y1 7 / x2 / y 2 7 /......./ x n / y n 7
p$+$ p$+$ )+$ )+$n" n" -$'$ -$'$
-o-en !o!$% !e#*$+$p s&-)& , +$n s&-)& .
M y
n
x m k
k 1
M x
n
y m k
k 1
k
. Koo#+n$! x / y 7 +$# p&s$! -$ss$
k
/
Koo#+n$! x / y 7 +$# p&s$! -$ss$.
x
M y
m
x x/ y 7dA s
x/ y 7dA
+$n y
M x m
s
y x/ y 7dA s
x/ y 7dA s
&s$! -$ss$ +$!$s '$ %$-n$ !e#se)&! !$' *o-o"en 'e#$p$!$n !$' s$-$7/ !$p '$ 'e#$p$!$nn,$ s$-$ *o-o"en7/ -$'$ p&s$! -$ss$ -en$+ x
xdA s
dA
+$n y
ydA s
s
dA s
9. Jo-e Jo-en n Ine# Ine#s s$$ De(ns Jo-en ne#s$ +$# s&$!& p$#!'e% $+$%$* *$s% '$% -$ss$ +$n '&$+#$! $#$' !e#pen+e' +$# p$#!'e% !e#*$+$p s&-)&. <'$ - $+$%$* -$ss$ +$n # $+$%$* $#$'/ se*n""$ 2
2
2
I m1r 1 m 2 r 2 ....mn r n
n
m r
2
k k
k 1
S&$!& S&$!& %$-n$ %$-n$ !$' *o-o" *o-o"en en +en"$n +en"$n 'e#$p$!$n 'e#$p$!$n x/ y 7 ,$n" -en9$'&p -en9$'&p s&$!& +$e#$* s +$# )+$n" ,/ %$%& +p$#!s sepe#! p$+$ "$-)$# 1/ *$-p# -o-en ne#s$ !$p 'epn" Rk / $-)% %-! +$n +)$@$ 'e #&-&s +$!$s/ se*n""$ -o-en ne#s$ !e#*$+$p s&-)& / , +$n : $+$%$* I x / I y / +$n I z
I x % P 0
I y % P 0
n
m y k 1
k
2
k
s
n
m y k 1
y 2 x/ y 7dA
k
2
k
x x/ y 7dA 2
s
I z I x I y
x
2
y 2 7 x/ y 7dA
s
L$!*$n. Se)&$* %$-n$ +en"$n 'e#p$!$n x/ y 7 xy +)$!$s s&-)& / "$#s ;B / '&#F$ y x 2 K 3 . Ten!&'$n
$.
J$ss$
).
&s$! -$ss$
9.
Jo-en ne#s e#s$ !e !e#*$ #*$+$p s&-)& / , +$n : <$@$) $.
m
x/ y7dA s
B x 2 K 3
;
xydydx 0
;
1
0
B
xy 2
2 2K3 0
dx
0
;
1
B
x 2
DK3
dx
0
;
1
B
3
x 2 10 0
10 K 3 B 0
(.
INTEGRAL RANGKAP 3
1. In! In!e"# e"#$% $% R$n"'$p R$n"'$p T"$ T"$ $+$ $+$ Koo#+n Koo#+n$! $! K$#!es& K$#!es&ss :
, x k / y k / z k 7
:
G). 3.1
,
'
e#*$!'$n s&$!& (&n"s ( !"$ pe&)$* ,$n" ++e(ns'$n $!$s s&$!& +$e#$* )e#)en!&' )$%o' +en"$n ssss ss ss se$$# s&-)&s&-)& 'oo#+n$!. en!&' s&$!& p$#!s +$# +en"$n -e%e!$''n )+$n")+$n" -e%$%& se$$# )+$n" 'oo#+ #+n$!/
$+
-e-o!on"
'e
+$%$-
)$%o $%o')$%o $%o'
)$" $"$n/
,$!&
B1 / B 2 / ..../ B k /..../ B n . $+$ Bk / $-)% s$!& !!' 9on!o* x k / y k / z k 7 +$n +en"$n
pen&-%$*$n Re-$nn +pe#o%e* n
f x k 1
k
/ y k / z k 7 V k
Den" Den"$n $n V k ; x k / y k / z k $+$% $+$%$* $* Fo%& Fo%&- Bk . <'$ <'$ $+$%$* $+$%$* p$n$n p$n$n" " +$"on$% +$"on$% !e#p$n$n" !e#p$n$n" +$# se!$p )$%o' )$"$n/ -$'$ '!$ +e(ns'$n +e(ns'$n n!e"#$% %p$! !"$ se)$"$ )e#'&!
P 0
B
n
f x
f x/ y/ z 7dV %-
k
/ y k / z k 7 V k
k 1
<'$ %-!n,$ $+$/ sepe#! *$%n,$ *$%n,$ p$+$ n!e"#$% %p$! +&$. en"e#!$n en"e#!$n n!e"#$% %p$! !"$ !"$ -e-p&n -e-p&n,$ ,$ &#&!$n &#&!$n pen"n pen"n!e" !e"#$%$ #$%$n n se#&p$ se#&p$ sepe#! sepe#! p$+$ p$+$ n!e"# n!e"#$% $% %p$! %p$! +&$. +&$. Se*n""$ n!e"#$% %p$! + (&n"s (/,/:7 (/,/:7 $!$s +$e#$* +!&%s se)$"$ )e#'&! )e#'&!
f x/ y/ z 7dV /
-s$ -s$%n %n, ,$ '!$ !$ !&% !&%s' s'$n $n
f x/ y/ z 7dxdydz /
,$n" $n"
B
B
-e-p&n,$ $#! $. en"n!e"# en"n!e"#$%$n $%$n pe#!$-$ pe#!$-$ +%$'&' +%$'&'$n $n !e#*$+$p !e#*$+$p +en"$n +en"$n -en"$n""$p -en"$n""$p , +$n : se)$"$ 'ons!$n!$ ). en"n!e"#$%$n pe#!$-$ +%$'&'$n !e#*$+$p , +en"$n -en"$n""$p : se)$"$ 'ons!$n!$ 9. Te#$'*#/ e#$'*#/ *$s% +$# )/ +n!e"#$s' +n!e"#$s'$n $n !e#*$+$p !e#*$+$p :. e"!& e"!& &"$ &"$ '$ '$ pen"n pen"n!e" !e"#$%$ #$%$nn, nn,$$ +!&% +!&%ss +$%$+$%$- )en!&' )en!&' ,$n" ,$n" %$n %$n &#&#!$ &#&#!$n n pen"n!e"#$%$nn,$ -en,es&$'$n. Se)$"$-$n$ p$+$ n!e"#$% %p$! +&$/ '$ ( $+$%$* (&n"s p$+$ +$e#$* !e#!&!&p -$'$ -$'$ &n!&' &n!&' -en"* -en"*!&n !&n" " n!e"# n!e"#$% $% !en!& !en!& +"&n$ +"&n$'$n '$n n!e"# n!e"#$% $% )e#&%$ )e#&%$n" n" +&$ '$%/ '$%/ +e-'$n p&%$ &n!&' -en"*!&n" n!e"#$% %p$! !"$/ +"&n$'$n !"$ '$%/ $s$%'$n ( 'on!n&.
Se*n""$
)%$
)$%o'
B 45 x y/ z/ 7 3 a x b/c y d /e z f
8
pe#se"
p$n$n"
,$n"
+)$!$s.
:
(
e
9
+
,
$ )
G). 3.2
B 45 x y/ z/ 7 3 a x b/ c y d / e z f
%$
8/ -$'$ &n!&' -en"*!&n" n!e"#$% %p$!
!"$ $!$s )en+$ $+$%$*
b d f
f x y 5 z/ / 7dV 4 f5 x y 5 z/ / 7dz7dy8dx B
8
ace
Je#&p$'$n )en!&' pe#*!&n"$n n!e"#$% %p$! !"$.
2.
e#*!&n"$n +$n ene#$p$n In!e"#$% R$n"'$p 3
An+$ (/,/:7 !e#+e(ns p$+$ S +$n (/,/:7 )e#n%$ no%/ )%$ +%&$# S. An+$ S *-p&n$n : se+e#*$n$ +$n S xy $+$%$* p#o,e's pe#-&'$$n )en+$ S p$+$ )+$n" ,/ ,/ &n!&' %e)* e%$sn,$ pe#*$!'$n "$-)$# )e#'&!
:
, S,
G). 3.3
,
S,
G). 3.4
%$ ( 'on!n& +$n !e#n!e"#$% p$+$ )en+$ pe$% S/ -$'$ +pe#o%e* z 2 x / y 7
f x/ y/ z 7dV > f x/ y/ z 7dz =dA S
D-$n$ S,
S xy
z 1 x / y 7
$+$%$* p#o,e's pe#-&'$$n )en+$ S p$+$ )+$n" ,. ,. Se%$n&!n,$
'$ S, +$e#$* p$+$ )+$n" , ,$n" )e#)en!&' , se+e#*$n$/ sepe#! p$+$ "$-)$# 3.4 . ,$n ,$n" +) +)$!$ $!$ o%e* %e* S xy x/ y 7 y1 x7 y y 2 x7/ a x b8 / se*n"" se*n""$$ +en"$n
n!e"#
%$)e#&%$n"
+pe#o%e*
z 2 x / y 7
f x/ y/ z 7dV > f x/ y/ z 7dz =dA S
S xy
z 1 x / y 7
b
;
y 2 x 7 z 2 x / y 7
> a
y1 x 7
f x/ y/ z 7dz 7dy=dx
z 1 x / y 7
D$# #&-&s + $!$s pe#%& +pe#*$!'$n )$*@$ )$!$s$n n!e"#$s *$#&s ses&$ +en"$n &#&!$n&#&!$n pen"n!e"#$%$nn,$.
LATIHAN 4
2 x x y
1.
H!&n"
yzdzdydx 0 0
<$@$)
y
1 x xy
2.
x
H!&n"
3
2
y zdzdydx
0 0 0
<$@$) 1 x xy
x 0 0 0
3
y 2 zdzdydx
