SAYI S!STEMLER! VE KODLAR
2. Kayan Noktalõ Sayõ Sistemleri
1. Sabit Noktalõ Sayõ Sistemleri
Sayõ sistemleri iki ana gruba ayrõlõr.
2.
Basamak De"eri
Basamak A"õrlõ"õ
Taban De"eri
" 234.5610 = 2 x 10+2 + 3 x 10+1 + 4 x 10+0 + 5 x 10-1 + 6 x 10-2 !
234.5610 =234.56D
En Küçük De"erli Basamak (Least Significant Digit, LSD)
Kesir Kõsmõ . 5 6 ! !
Ondalõk Nokta (Decimal Point, DP)
Tam Kõsõm 3 4
En büyük De"erli Basamak (Most Significant Digit,MSD)
2 !
2.2
Günlük ya!antõmõzda kullandõ"õmõz sayõ sistemi ondalõk (decimal) sayõ sistemidir. Ayrõca 10 tabanlõ sistem olarak da adlandõrõlõr ve bu sistemde on tane sembol kullanõlõr. Semboller : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 Ondalõk sayõ sisteminin genel biçimi ve terminolojisi a!a"õda verilmi!tir.
2.1.1. Ondalõk Sayõ Sistemi
2.1. Sabit Noktalõ Sayõ Sistemleri
0
1
1
. !
0
Basamak Basamak De"eri A"õrlõ"õ
En Küçük De"erli Bit (Least Significant Bit, LSB)
1 !
2.3
#ki tabanlõ sistemden on tabanlõ sisteme dönü!üm için daha önce verilen kuvvet serisi !eklindeki açõlõm kullanõlarak iki tabanlõ sayõnõn on tabanlõ de"eri elde edilmi!tir. 1101.012 = 13.2510
Taban De"eri
" 1101.012 = 1 x 2+3 + 1 x 2+2 + 0 x 2+1 + 1 x 2+0 + 0 x 2-1 + 1 x 2-2 !
1101.012 =1101.01B
En büyük De"erli Bit #kili Nokta (Most Significant Bit, MSB) (Binary Point, BP)
1 !
#kili (Binary) sayõ sistemi, sayõsal elektronik sistemlerinde yaygõn olarak kullanõlõr. Günlük ya!antõmõzda kullandõ"õmõz ondalõk sayõ sisteminden iki yönlü dönü!üm yapõlarak kullanõlõr. Bu sistemde, Boole cebrinde do"ru ve yanlõ!õ belirtmek üzere iki tane sembol kullanõlõr. Semboller : 0,1 #kili sayõ sisteminin genel biçimi ve terminolojisi a!a"õda verilmi!tir.
2.1.2. !kili Sayõ Sistemi
2.1.3. Sekizli Sayõ Sistemi
Sonuç olarak 1 1 0 1 . 0 1 elde edilir. 13.2510= 1101.012
#kinci ve son kõsõmda ise kesirli kõsmõn dönü!ümü yapõlõr. 0.25 x 2 = 0.5 tam kõsmõ 0 0.5 x 2 = 1.0 tam kõsmõ 1
13 $ 6 # kalan 1 2 6 $ 3 # kalan 0 2 3 $ 1 # kalan 1 2 1 $ 0 # kalan 1 2 Buradan 1 1 0 1 elde edilir.
13.2510= ( ? )2 Birinci kõsõmda önce tamsayõ kõsmõn dönü!ümü yapõlõr.
2.4
3
. !
1
F !
On altõlõ Nokta En Küçük De"erli Basamak (Hexadecimal Point) (Least Significant Digit, LSD)
A
Basamak A"õrlõ"õ
419.1210937510= ( ? )16
1A3.1F16 = 419.1210937510
2.5
1A3.1F16 =1A3.1FH Onaltõlõk sistemden ondalõk sisteme dönü!üm için bir örnek a!a"õda verilmi!tir. Burada daha önce verilen kuvvet serisi !eklindeki açõlõm kullanõlarak onaltõlõk sayõnõn ondalõk de"eri elde edilmi!tir.
Taban De"eri
" 1A3.1F16 = 1 x 16+2 + 10 x 16+1 + 3 x 16+0 + 1 x 16-1 + 15 x 16-2 !
Basamak De"eri
On altõ tabanlõ sayõ sisteminin gösterimi ve sayõlarõn kuvvet serisi !eklindeki açõlõmõ a!a"õda verilmi!tir
En büyük De"erli Basamak (Most Significant Digit, MSD)
1 !
Onaltõlõk (Hexadecimal, Hex) sayõ sistemi, sayõsal elektronik sistemlerinde mikroi!lemci temelli uygulamalarda yaygõn olarak kullanõlõr. Semboller 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F Onaltõlõk sayõ sisteminin genel biçimi ve terminolojisi a!a"õda verilmi!tir.
2.1.4. Onaltõlõk Sayõ Sistemi
419.1210937510= 1A3.1F16
Sonuç olarak 1 A 3 . 1 F elde edilir.
0.12109375 x 16 = 1.9375 tam kõsmõ 1 0.9375 x 16 = 15.0 tam kõsmõ 15 Buradan 0 . 1 F elde edilir.
#kinci ve son kõsõmda ise kesirli kõsmõn dönü!ümü yapõlõr.
Buradan 1 A 3 elde edilir.
419 $ 26 # kalan 3 16 26 $ 1 # kalan 10 16 1 $ 0 # kalan 1 16
Birinci kõsõmda önce tamsayõ kõsmõn dönü!ümü yapõlõr.
2.6
3
7
.
. 2
0010
5
0101
73.2510 = 0111 0011 . 0010 0101BCD 2.7
Ondalõk sistemden BCD sisteme dönü!üm, her bir ondalõk basamak ayrõ ayrõ 4-bit ikili sayõya dönü!türülerek yapõlõr.
0011
0111
BCD sayõ sisteminin genel biçimi ve terminolojisi a!a"õda verilmi!tir.
#kili kodlanmõ! ondalõk (Binary Coded Decimal, BCD) sayõ sistemi, ikili sayõlarõn ondalõk kar!õlõklarõnõn fiziksel dõ! dünyada gösterilmesini sa"lamak üzere sayõsal elektronik sistemlerinde yaygõn olarak kullanõlõr. Semboller 0, 1
2.1.5. !kili Kodlanmõ" Ondalõk Sayõ Sistemi
1011 1001.01112 = B9.716
#kili sistemden onaltõlõk sisteme dönü!üm için ikili sayõ 4-bitlik gruplara ayrõlõr ve bunlarõn onaltõlõk kar!õlõ"õ (16=24 oldu"u için bunu yapmaya hakkõmõz var) yazõlarak elde edilmesi a!a"õda verilmi!tir.
1A3.1F16= 0001 1010 0011.0001 11112
16=24 oldu"u için onaltõlõk sistemden ikili sisteme dönü!üm için onaltõlõk sayõnõn her basama"õna kar!õlõk olarak 4-bitlik ikili kodu yazõlarak elde edilebilir.
1001001.012 = 73.2510 = 0111 0011 . 0010 0101BCD
2.8
#kili sistemden BCD sisteme dönü!üm yapmak için önce ikili sayõ ondalõk sayõya dönü!türülür. Sonra ondalõk sistemden BCD sisteme dönü!üm için her bir ondalõk basamak ayrõ ayrõ 4-bit ikili sayõya dönü!türülür.
0111 0011 . 0010 0101BCD = 73.2510 = 1001001.012
BCD sistemden ikili sisteme dönü!üm için sayõ önce ondalõk nokta referans alõnarak 4-bit gruplara ayrõlõr ve her bir 4-bit ikili sayõ ba"õmsõz olarak ondalõk sayõya dönü!türülür. Sonra ondalõk sayõ ikili sayõya dönü!türülerek BCD sistemden ikili sisteme dönü!üm yapõlõr.
2.9
Tablo 2-1 #kili sayõlarõn (4-bit) i!aretli gösterimi Ondalõk #!aretli 2’ye #!aretli 1’e #!aretli De"er tümleyen tümleyen büyüklük +7 0111 0111 0111 +6 0110 0110 0110 +5 0101 0101 0101 +4 0100 0100 0100 +3 0011 0011 0011 +2 0010 0010 0010 +1 0001 0001 0001 +0 0000 0000 0000 -0 —— 1111 1000 -1 1111 1110 1001 -2 1110 1101 1010 -3 1101 1100 1011 -4 1100 1011 1100 -5 1011 1010 1101 -6 1010 1001 1110 -7 1001 1000 1111 -8 1000 —— —— Buradaki gösterim !ekilleri $ekil 2-1 ile kar!õla!tõrõldõ"õnda en uygun ve verimli olan 2’ye tümleyen i!aretli tamsayõ gösterimidir ve matemati"e de en uygun olan !ekildir.
2.2. !"aretli Sayõlar
-8
-7
-5
-4
-2
-1
0
-8=1000 +7=0111
+4=0100
+1 +2 +3 +4 +5 +6 +7
-1=1111 0=0000
-3
$ekil 2-1 #!aretli tamsayõlar ile 2’ye tümleyen sayõlarõn grafik gösterimi
-4=1100
-6
2.10
Pozitif #!aretli sayõlardan negatif i!aretli sayõlarõn elde edilmesi : 1’e Tümleme #le Pozitif Sayõlarõn Negatif 2’ye Tümleme #le Pozitif Sayõlarõn Kar!õlõ"õnõn Elde Edilmesi Negatif Kar!õlõ"õnõn Elde Edilmesi + 5 ! 0101 ; önce sayõnõn 1’e tümleyeni bulunur. - 5 ! 1010 + 5 ! 0101 1010 + 1 ; sonra 1 eklenir. ——— - 5 ! 1011 1010B 1011B #kili Sistemde On altõlõ Sistemde + 15 = 0000 1111 + 2A 1’e tümleme 1’e tümleme 1111 0000 FF – 2A = D5 + 1 + 1 —————— —— 1111 0001 - 2A = D6 - 15 !1111 0001B - 2AH !D6H
2.11
b0
-126 ! f ! 128
m = 8 için üst kõsmõn sõnõrlarõ :
FPN2 biçimindeki kayan noktalõ sayõlarõn sõnõr de"erleri a!a"õda verilmi!tir.
#ki tabanõ için kayan noktalõ sayõnõn genel biçimi a!a"õda verilmi!tir. A $ (&1) S % f % 2e , S : i!aret biti, e : üst kõsmõ, f : kesir kõsmõ
FPN )r = F x rE
Kayan Noktalõ Sayõlarõn (FPN, Floating Point Number) genel biçimi a!a"õda verilmi!tir.
b31 b30 b23 b22 !"aret Üst (127 eklenmi") (1.) Kesir (sayõnõn de#eri) 1-bit 8-bit 23-bit (+ do"al halinden 1-bit)
2.12
32-bit ikili sayõ ile i!aretsiz olarak 0 ile 4,294,967,295 veya 2’ye tümleyen i!aretli olarak -2,147,483,648 ile 2,147,483,647 arasõnda ondalõk sayõlarõ gösterebiliriz. Daha büyük ve küçük de"erli sayõlarõ, ancak bilimsel gösterimden yararlanarak kayan noktalõ (Floating Point) sayõlar biçiminde gösterebiliriz. A!a"õda IEEE/ANSI 754 standardõna uygun bir 32-bit kayan noktalõ sayõ biçimi gösterilmi!tir.
2.3. Kayan Noktalõ Sayõ Sistemleri
#!aret biti = 0 (pozitif) Üst (Exs) = 5 + 127 = 13210 = 100001002 Kesir (F) = 0110111001…00 (MSB = 1 gösterilmez) b31 b30 ….b23 b22…………….. …………. b0 0 10000100 (1.) 01101110010000000000000 Bunun sonucunda IEEE normalize FPN FPN2 = 010000100011011100100000000000002=42372000h
Önce sayõnõn en büyük a"õrlõklõ biti dõ!õnda tamamõ kesir haline getirilir. 101101.110012 = 1.0110111001 x 25
45.78110=101101.110012 sayõsõ IEEE 32-bit normalize FPN2 gösterimi:
Örnek 1 :
eb = 255 , e = 128 , f = 7FFFFF ( 2128 % 2) = 3.4 x 10+38 x 2 = 6.8 x 10+38
eb = 1 , e = -126 , f = 000000 ( 2-126 ) = 1.18 x 10-38
en küçük ve en büyük de"er :
2.13
1.23x10+3 için e = 10 , f = 1.00110011100000000000000
Örnek 5 :
1.0 için e = 0 , f = 1.00000000000000000000000
Örnek 4 :
0.099999994039536 elde edilir.
2.14
Dönü!ümden elde edilen bu 32-bit kayan noktalõ sonuç yeniden ondalõk sayõya dönü!türülürse
0.1 için e = -4 , f = 1.100110011001100110011002
Örnek 3 :
0.15625 için e = -3 , f = 1.01000000000000000000000
Örnek 2 :
(+)
- 2B + 78 (-)
- 2B - 78
D5 88 —— 1 5D
- 15 1111 0001 + 08 0000 1000 ——————— - 07 1111 1001
D5 78 —— 1 4D
+ 15 0000 1111 - 08 1111 1000 ——————— + 07 0000 0111
2BH=43D, 78H=120D + 2B + 2B 2B + 78 - 78 88 —— —— (+) A3 (-) B3
+ 15 0000 1111 + 08 0000 1000 ——————— + 23 0001 0111
- 15 1111 0001 - 08 1111 1000 ——————— - 23 1110 1001
2.15
#kili sayõlar ile yapõlan toplama i!lemi, i!leme giren sayõlarõn kar!õlõklõ bitleri bit bit toplanõr ve olu!masõ halinde eldenin bir sonraki toplamaya eklenmesi !eklinde yapõlõr. Bu toplama i!leminde i!leme giren sayõlar, 2’ye tümleyen i!aretli de"erler ise do"al olarak sayõlarõn i!areti dikkate alõnarak do"ru sonuç elde edilir. Çõkarma i!lemi ise, toplama i!lemine giren ikinci sayõnõn i!areti de"i!tirilerek gerçekle!tirilir.
2.4.1. Toplama / Çõkarma !"lemi
#kili sayõlar ile dört i!lem (toplama, çõkarma, çarpma ve bölme), özelliklede toplama ve çõkarma i!lemleri sayõsal elektronik sistemlerin programlanmasõnda sõkça kullanõlan i!lemlerdir.
2.4. Aritmetik !"lemler
270H
On altõlõ Sistemde 24 x 26 = 624 18H x 1AH ———— F0 + 18 ———— 270
#kili Sistemde 50/5=10 110010B/ 0101B 101 !(1) —— 001 101 101 !(01) —— 000 0 !(0) 1010B 1AH
On altõlõ Sistemde 9CH/06H 9CH / 06H 6 !(1) —— 3C 3C !(A) —— 00
2.16
Bölme i!lemi, bölünen sayõnõn bölen sayõ ile kar!õla!tõrõlarak çõkarõlmasõ ve bu i!leme bölünen sayõnõn bölen sayõdan küçük olana kadar devam edilmesi !eklinde yapõlõr.
2.4.3. Bölme !"lemi
#kili Sistemde 5 x 4 = 20 0101B x 0100B ———— 0000 0000 0101 + 0000 ———— 0010100 0010100B
#kili sayõlarla çarpma i!lemi, çarpan sayõnõn çarpõlan sayõnõn bütün bitleri ile tek tek lojik “VE” i!lemine sokulmasõ ve çarpan sayõnõn her bir biti için sola ötelenerek toplanmasõ ile elde edilir.
2.4.2. Çarpma !"lemi
2421 Kodu
0000 0001 0010 0011 0100 1011 1100 1101 1110 1111
Ondalõk Sayõ
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100
1000000 1111001 0100100 0110000 0011001 0010011 0000011 1111000 0000000 0011000
3-Fazla 7-parçalõ LED (aktif “0”) Kodu gfedcba
2.17
#kili sayõlarõn sõralamasõnõ de"i!tirmek veya bunlara fiziksel anlam yüklemek gibi özellikler katõlmasõyla elde edilen sayõ gruplarõna, yapõlan kodlama ile ilgili bir ad verilir. Tablo 2-2 Çok kullanõlan bazõ ikili kodlanmõ! ondalõk kodlar
2.5.1. Sayõsal Kodlar
2.5. Kodlar
d
g
c
b
$ekil 2-2 Bir 7-parçalõ göstergenin harfli kodlamasõ
e
f
a
2.18
Ondalõk 4-bit !kili Sayõ DCBA 0 0000 1 0001 2 0010 3 0011 4 0100 5 0101 6 0110 7 0111 8 1000 9 1001 10 1010 11 1011 12 1100 13 1101 14 1110 15 1111 “Gray” DCBA 0000 0001 0011 0010 0110 0111 0101 0100 1100 1101 1111 1110 1010 1011 1001 1000
Tablo 2-3 Çok kullanõlan ikili kodlar
2.19
(b) Gray kodlanmõ! disk
$ekil 2-3 Mil açõsõ kodlayõcõ diskler
(a) ikili kodlanmõ! disk
2.20
2.21
Bunlardan en yaygõn olanõ Tablo 2-4’de verilen 128 sembolden olu!an ASCII ( AMERICAN STANDARD CODE for INFORMATION INTERCHANGE, Bilgi De"i!imi için Standart Amerikan Kodu) alfa nümerik kodudur.
Fiziksel dünyada bilgi ileti!imde kullanõlan semboller yalnõz sayõlarõ içermez. Bunlara ek olarak büyük ve küçük harfler, noktalama ve özel i!aretler de kullanõlõr.
2.5.2. Alfa Nümerik Kodlar
LSB "
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
Hex
Ör : ‘A’ = 41H = 65
NUL SOH STX ETX EOT ENQ ACK BEL BS HT LF VT FF CR SO SI
MSB 0 DLE DC1 DC2 DC3 DC4 NAK SYN ETB CAN EM SUB ESC FS GS RS US
' 1 Bo"luk ! " # $ % & ' ( ) * + , . /
2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 : ; < = > ?
3
4 @ A B C D E F G H I J K L M N O
Tablo 2-4 ASCII tablosu
P Q R S T U V W X Y Z [ \ ] ^ _
5 ` a b c d e f g h i j k l m n o
6 p q r s t u v w x y z { | } ~ DEL
7
2.22
Ör : ‘%’ = D0H = 208
2.23
IBM uyumlu bilgisayarlarda EBCDIC (EXTENDED BCD INTERCHANGE CODE, Bilgi De"i!imi için Geni!letilmi! BCD Kodu) karakter kod tablolarõ kullanõlõr. Bu geli!mi! karakter kodu, ASCII koduna ek olarak fazladan 128 tane daha karakter kodu içerir ve bilginin yanõnda de"i!ik uluslara göre özel karakterleri de"i!ir. Tablo 2-5 Bir EBCDIC tablosu
2.24
2.25
2.26
2.27
1. ASCII (American Standard Code for Information Interchange) tablosunu çizerek gösteriniz. Bu tabloda yer alan kod gruplarõnõ ve kullanõm amaçlarõnõ belirtiniz. Kontrol kodlarõnõn çalõ!ma fonksiyonlarõnõ kõsaca açõklayõnõz. Not: A4 Kareli kâ"õda elle çizilip yazõlacaktõr. Kâ"õt ikiyüzlü kullanõlacak ve bir yapraktan fazla kâ"õt kullanõlmayacaktõr. SÜRE: 1 hafta BA$ARILAR D#LER#M.
Mikroi!lemci Sistemleri 1. YIL #Ç# ÖDEV# Y. Doç. Dr. Tuncay UZUN
