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GEOESTADISTICA GEOESTADISTICA MINERA MINERA Ing. ROBERTO BRUNO -
[email protected] C on s u l to r IN IN TE T E RCA RC A D E J u n i o 2008
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VARIOGRAMAS MODELOS
Las Propiedades •
La Modelización.
• Algunos modelos. •
La anisotropía.
VARIOGRAMAS MODELOS Las Propiedades Meseta y alcance •
Alcance:
C(h) = 0 h > a
•
Alcance convencional :
•
Meseta:
C(h=0)
⇒
C(h) < e h > a g(h) = C(0)
33
VARIOGRAMAS MODELOS Las Propiedades Ejemplos de variogramas con alcance y meseta •
Variograma experimental de la saturación de "olio" en un yacimiento de idrocarboneto.(Mining Geostatistics di Journel & Huijsbregts, pag 237).
44
VARIOGRAMAS MODELOS Las Propiedades Ejemplos ...
Variograma experimental de la variable Cu en un yacimiento del Cile (Journel & Huijbregts, 1978, "Mining Geotatististics")
Variograma de conducibilidad eléctrica num solo en Israel. (de ”Disjunctive Kriging in Agriculture ”, de R. Webster and Oliver”, M.Armstrong(ed.)
55
66
VARIOGRAMAS MODELOS Las Propiedades Ejemplos …
abujardado
pulido
variogramma sa lev 120
variogramma sa boc1
600
1400
500
1200
400
0ｰ
300 200 100
0?
45ｰ
800
45?
90ｰ
600
90?
135ｰ
400
135?
200
0
0 0
•
1000
100
200
300
400
500
0
100
200
300
400
500
Comparación entre variogramas de variable intensidad de imagenes de chapas de roca ornamental (“serizzo antigorio”) pulido y abujardado (tesis de E.Paletta A.A 2003-2004)
VARIOGRAMAS MODELOS Las Propiedades Anisotropia geométrica Elipse de anotropia
Variograma de dos Direcciones principales
Lentes mineralizadas
77
88
VARIOGRAMAS MODELOS Las Propiedades Ejemplo de anisotropia geometrica •
Los valores de variograma con anisotropia geometrica para diferentes direcciones: alcances=500 (0 °) e 1000 (90 °); meseta=10
Variogramma
h
(h)
(h)
(h) a90=1000
0 250 500
a0=500
12
) h ( 10 a m m a r g o i r a V
8 6
direzione 0
4
direzione 90°
2 0 0
500
1000 distanza (h)
750 1000
1500
2000
99
VARIOGRAMAS MODELOS Las Propiedades Ejemplo … A 45° de alcance vale cerca de 650. Variogramma
h
(h)
(h)
(h) a90=1000
0
0
0
0
250
…
…
…
500
10
…
…
a0=500
12
) h 10 ( a m m a r g o i r a V
8 6
direzione 0
4
direzione 90°
2 0 0
500
1000 distanza (h)
750
10
10
…
1000
10
10
10
1500
2000
VARIOGRAMAS MODELOS Las Propiedades Anisotropia zonal
meseta 2
meseta 1 alcance Variograma en 2 direciones
•
Formaciones sedimentarias
g(h) = g1(hx) + g2(hx, hy, hz)
10 10
11 11
VARIOGRAMAS MODELOS Las Propiedades Ejemplo de anisotropia zonal •
El valor de un variograma modelo con anisotropia zonal en la direccion 90°. Componente isotropa Ciso=10, aiso= 1000; a componente zonal C90=3, a90= 500. h
0
250
500
750
(h)
(h)
(h)
Variog ram a Variograma ) ) 12 h 12 h ( ( a 10 a10 m m8 8 a a r r 6 g g 6 o o 4 5 i 5 i r r 4 a a v 2 v 2 0 0
1000
0 0
500 5 5 500
1000 10 10 1000
1500 1500
2000 2000
12 12
VARIOGRAMAS MODELOS Las Propiedades Variogramma anisotropia zonale ) 14 h ( 12
Ejemplo … g(h) = 3*g1(500, h90) + 10*g2(1000, h)
a 10 m 8 m a r 6 g 4 o i r 2 a V 0
direzione 0 direzione 90° zonale 90
0
500
1000
1500
2000
distanza (h)
h
h90(0)
g0(h)
h90(45 )
g45(h)
h90(90)
g90(h)
0
0
giso(h)
0
giso(h)+gzon(h/2½)
0
giso(h)+gzon(h)
250
0
177
250
500
0
354
500
750
0
530
750
1000
0
707
1000
VARIOGRAMAS MODELOS Las Propiedades
Forma del modelo en la origen •
La forma en el origen del variograma es correlada al nivel de continuidad de la variable.
13 13
VARIOGRAMAS MODELOS Las Propiedades Tendencia del modelo a las grandes distancias
14 14
VARIOGRAMAS MODELOS Las Propiedades Modelo con estructuras anidadas
15 15
VARIOGRAMAS MODELOS
16 16
Las Propiedades Ejemplos
Anisotropia geométrica (residiuos gravimetria). De Sismard (1980)
Anisotropia zonal (variograma del logaritmo del tenor en oro en direción paralela y perpendicular a una faglia. De Champigny e Armstrong (1989)
17 17
VARIOGRAMAS MODELOS
•
LAS PROPIEDADES.
•
LA MODELIZACION.
• ALGUNOS MODELOS. •
LA ANISOTROPIA.
VARIOGRAMAS MODELOS Las Modelización “FUNCIONES DEFINIDAS POSITIVAS” •
Muchas relaciones teóricas son combinaciones lineales de variogramas.
•
Las funciones “definidas positivas”, en práctica, garantizan la positividad de las varianzas.
•
Formalmente una función es definida positiva si, la combinación lineal N doble resulta siempre positiva:
N
∑∑ λ λ f ( x , x ) ≥ 0 i =1 j =1
i
j
i
j
18 18
VARIOGRAMAS MODELOS Las Modelización LAS FUNCIONES MODELOS DE VARIOGRAMAS •
Haga una combinación lineal autorizada (Sl=0) de la FASt. N
∑ i
•
λ j Z ( x i )
=1
Su varianza es una función del variograma, el modelo del cual tiene que ser una función condicionalmente (‘) “definida positiva”. N ⎧ N ⎫ Var ⎨ ∑ λ i Z ( x i )⎬ = − ∑ i =1 ⎩ j = 1 ⎭
•
N
∑ λ λ γ ( x i
j
i
− x j ) ≥ 0
j = 1
(‘) significa que la sumatoria de los ponderadores vale 0 (zero).
19 19
VARIOGRAMAS MODELOS Las Modelización Ejemplo
Piezometría del acuífero de la bacia de Korhogo (Costa D’Avorio) medida de Julio hasta Diciembre en 4 Piezómetros.
20 20
21 21
VARIOGRAMAS MODELOS Las Modelización Ejemplo Ejemplo … …
días Lluvia
días Piezometro n.4
días Ruscellamento
días Piezometro n.3
días
días
Piezometro n.33
Piezometron.18
22 22
VARIOGRAMAS MODELOS Las Modelización
Sensibilidad En el calculo del variograma experimental necesita considerar su sensibilidad a: •
La selección de las clases de cálculo.
•
El tamaño del campo.
•
Los valores anómalos.
•
Los valores altos y su posición en el campo.
•
La homogenidad de la población.
VARIOGRAMAS MODELOS Las Modelización Ejemplo de sensibilidad • La temperatura de un lago medida cotidianamente: a) en el mismo punto; b) a 50m de profundidad. • La temperatura parece aumentar en los 30 años.
• Los expertos podrían interpretar la periodicidad.
23 23
24 24
VARIOGRAMAS MODELOS Las Modelización Sensibilidad da las clases
+ + 2 2 meses meses
50 giorni ≈ 2 mesi
6 6 meses meses
•
11 11 meses meses
xx 12 12 meses meses
VARIOGRAMAS MODELOS Las Modelización Sensibilidad a la tolerancia de las clases
•
años
±± 50% 50% (6 (6 meses) meses)
±± 25% 25% (3 (3 meses) meses)
xx
±± 8% 8% (1 (1 mes) mes)
+ +
±± 3% 3% (10 (10 días) días)
25 25
VARIOGRAMAS MODELOS Las Modelización Sensibilidad a la dimensión del campo •
Yacimento de uranio: mineralización en vetas pequeñas. topografia
Ejemplo de sondeo tipo
Variograma calculado: • Todo el sondeo • La mitad del sondeo
26 26
VARIOGRAMAS MODELOS Las Modelización Sensibilidad a los valores anómalos • Tenor de azufre de dos capas de carbón
variograma de las dos capas (calculado con 207 datos)
variograma de las dos capas eliminando dos valores anómalos
27 27
VARIOGRAMAS MODELOS Las Modelización Sensibilidad a los valores altos • Tenor de oro, en 1501 muestras con s/m = 8,2
Histograma
Variograma experimental con y sin y valores altos
28 28
VARIOGRAMAS MODELOS Las Modelización Sensibilidad a la homogeneidad de la población • Muestreo a grande escala de los módulos métalicos en el Océano Pacífico.
Plan de Muestreo
Variogramas experimental en diversas direcciones
29 29
VARIOGRAMAS MODELOS Las Modelización Sensibilidad a la homogenidad …. Variogramas direccionales de las poblaciones II
Localización de las dos poblaciones
Histograma de las dos poblaciones
30 30
31 31
VARIOGRAMAS MODELOS Las Modelización
Consideraciones sintéticas: •
El variograma experimental es un estimador correcto del r r variograma.
•
Necesita calcular el variograma para cualquier vector.
•
La función modelo tiene que garantizar la positividad de las varianzas.
•
Se modelizan juntamente los variogramas experimentales en las diferentes direcciones.
h
32 32
VARIOGRAMAS MODELOS
•
LAS PROPIEDADES.
•
LA MODELIZACION.
• ALGUNOS MODELOS ISOTROPOS. •
LA ANISOTROPIA.
33 33
VARIOGRAMAS MODELOS Algunos modelos
El modelo de efecto de pepita • No hay correlación espacial.
γ (h) = 0 γ (h) = C
h=0
(h )
C
∀h > 0 h
34 34
VARIOGRAMAS MODELOS Algunos modelos
EJEMPLO • Distribución espacial de una variable en 2D con modelo de variograma pepítico.
35 35
VARIOGRAMAS MODELOS Algunos modelos El modelo esférico
Representación bi- y tridimensional del modelo esfé rico de una variable en 2D (hx,hy)
h y
h x
h y
h x
36 36
VARIOGRAMAS MODELOS Algunos modelos Ejemplo: • Distribución espacial de una variable en 2D con modelo de variograma esférico isotropo. 0
5
x (km) 10
15 ) m (k x
15
10
10
5
5
0
15
0
5
10 x (km)
0
x k ( m )
a = 2500 m
VARIOGRAMAS MODELOS Algunos modelos El modelo exponencial
exponencial h y
h x
⎛ − ah ⎞ γ (h ) = c⎜⎜1 − e ⎟⎟ ⎝ ⎠
Representación bidimensional del modelo exponencial de una variable en 2D (hx,hy)
37 37
VARIOGRAMAS MODELOS Algunos modelos Ejemplo • Distribución espacial de una variable a 2D con modelo de variograma exponencial isótropo. 0
5
x (km) 10
15 ) m (k x
15
10
10
5
5
0
15
0
5
10 x (km)
0
x k ( m )
a = 2500 m
38 38
VARIOGRAMAS MODELOS Algunos modelos Exponencial
El modelo gaussiano
h y
gaussiano h x h ⎞ ⎞ ⎛ − ⎛ ⎜ ⎜ γ (h ) = c 1 − e ⎝ a ⎠ ÷ ÷ ⎜ ⎝ ⎠ 2
÷
Rapresentación bidimensional del modelo GAUSSIANO de una variable en 2D (hx,hy)
39 39
VARIOGRAMAS MODELOS Algunos modelos Ejemplo • Distribución espacial de una variable a 2D con modelo de variograma gaussiano isotropo. 0
5
x (km) 10
15 ) m (k x
15
10
10
5
5
0
15
0
5
10 x (km)
0
x k ( m )
a = 2500 m
40 40
VARIOGRAMAS MODELOS Algunos modelos El modelo lineal y ejemplo • Distribución de una variable en 2D.
γ (h ) = ch lineal
41 41
VARIOGRAMAS MODELOS Algunos modelos El modelo periódico • Es definido en 1D y es caracterizado por el período T
⎛ 2π ⎞ ⎞ ⎛ γ (h ) = C ⎜⎜1 − cos⎜ h ⎟ ⎟⎟ ⎝ T ⎠ ⎠ ⎝ NB - El modelo no es estrechamente definido positivo porque restituye varianzas nulas por incrementos con distancias múltiples del período.
42 42
43 43
VARIOGRAMAS MODELOS Algunos modelos Ejemplo: • Variable a 1D con variograma periodico.
⎛ 2π ⎞ ⎞ ⎛ γ (h ) = C ⎜⎜1 − cos⎜ h ⎟ ⎟⎟ ⎝ T ⎠ ⎠ ⎝
VARIOGRAMMA SPERIMENTALE 0,0014 0,0012 0,001 ) 0,0008 h (
var sper. modello
0,0006 0,0004 0,0002 0 0
10
20
30
40
50
60
h
γ(t) = γpep + γper C0 = 0,0002
Cper = 0,00055 T = 24
Tesina Geostatistica Leonardo Fumelli – AA 2004/5
44 44
VARIOGRAMAS MODELOS Algunos modelos El modelo sinusoidal • Es definido en 3D y tiene una periodicidad amortiguada; unico parametro es el periodo T ⎛ 2π ⎞ ⎞ ⎜ sin ⎛ ⎜ h⎟ ⎟ T ⎠ ⎟ γ (h ) = C ⎜ 1 − ⎝ ⎜ ⎟ 2π h ⎜ ⎟ T ⎝ ⎠
h ∈ R3
Variogramma modello a sinusoidale (C=1, T=5) 1,5
) h (
1 0,5 0 0
5
10
15 h
20
25
30
VARIOGRAMAS MODELOS Algunos modelos El modelo de “efecto de hoyo” • La periodicidad si amortiga cuando aumenta la distancia y es controlada por el periodo, T ; el amortiguamiento es controlado por el alcance, a
⎛ − ah ⎛ 2π ⎞ ⎞ γ (h ) = C ⎜⎜1 − e cos⎜ h ⎟ ⎟⎟ ⎝ T ⎠ ⎠ ⎝ El modelo es significativo en 1D porque para dimensiones mayores sí aplican las condiciones: T/2p ≥ a (R 2 ); T/2p ≥ a√ 3 (R 3 )
45 45
VARIOGRAMAS MODELOS Algunos modelos Modelos con estructuras anidadas modelo elementare con capacidad menor
modelo elemental con capacidad mayor
Estructura aninada
46 46
VARIOGRAMAS MODELOS Algunos modelos Ejemplo • Distribución espacial de una variable en 2D con estructuras anidadas, suma de dos variogramas modelos: cubico 1000 + esferico 6000. 0
) m (k x
x (km) 5 5000 10 10000
15 15000
15 15000
15 15000
10 10000
x k ( 10 10000 m )
5 5000
5 5000
0
0
5 5000
10000 10 x (km)
15000
0
a1= 1000 m A2= 6000 m
47 47
48 48
VARIOGRAMAS MODELOS
•
LAS PROPIEDADES.
•
LA MODELIZACION.
• ALGUNOS MODELOS ISOTROPOS. •
LA ANISOTROPIA.
49 49
VARIOGRAMAS MODELOS Algunos modelos La anisotropia geometrica • El alcance varia con la dirección.
aα =
1 sin 2 (α ) 2 y
a
meseta meseta
+
cos 2 (α ) a x2
Lentes Lentes mineralizadas mineralizadas
VARIOGRAMAS MODELOS Algunos modelos Ejemplo • Cartografia de una variable en 2D con variograma modelo exponencial con anisotropia geométrica de alcances min/max 1000/3000 m, y dirección de anisotropia 30°. 0
5
x (km) 10
15
hy 15 ) m (k x
representación bidimensional
15
10
10
5
5
0
0
0
5
10 x (km)
del modelo exponencial
x k ( m )
con anisotropia geométrica de una variable
h yy
a 2D (hx,hy)
50 50
VARIOGRAMAS MODELOS Algunos modelos Anisotropia zonal • Es un modelo con estructuras anidadas, una de las cuales contribuye sólo en una dirección.
((h zon )) γ γ ((hh == γ γ isoiso((hh))++γ γ zon zon h zon hh zon ) = h cos (α zon zon = h cos (α zon ) r r
azon=60
51 51
VARIOGRAMAS MODELOS Algunos modelos Ejemplo • Cartografia de una variable a 2D con variograma con anisotropia zonal compuesta por : esferico 1500 isotropo + esferico 2000 zonal en dir. 30° 0
5
x (km) 10
15 ) m (k x
15
10
10
5
5
0
15
0
5
10 x (km)
0
x k ( m )
52 52
53 53
VARIOGRAMAS MODELOS Algunos modelos Ejercicio •
Datos los 3 modelos isotropos: Efecto de pepita, γ1 = 5 Esférico, γ2, alcance 10 y meseta 3 Lineal, γ3. de inclinación 2
•
Cuales son los valores de los variogramas para: – h = 0 – h = 5 – h = 20
VARIOGRAMAS MODELOS Algunos modelos Solución •
Datos los 3 modelos isotropos: – Efecto de pepita, g1 = 5 – Esférico, g2, alcance 10 y meseta 3 – Lineal, g3. de inclinación 2 Distancia
Valores elementales g1, g2, g3
Valor final g = g1+g2+g3
0
0, 0, 0
0
5
5, 2.06, 10
17.06
20
5, 3, 40
48
54 54
55 55
VARIOGRAMAS MODELOS Algunos modelos
!Cuidado! • Histograma y variograma no definen unicamente una FA, mas con ley espacial diferente. • Existen FA con el mismo variograma y el mismo histograma, pero con ley espacial diferente.
VARIOGRAMAS MODELOS Algunos modelos
!Cuidado! • Ejemplo: los siguientes FA tienen histograma exponencial y variograma exponencial, pero las leyes espaciales son diferentes.
56 56
