A Potpourri of Algebra

O Sn}snuqqd n` Ofjeaqo Ignq Rgd+Hde Koqbg 1:& 13?1

? Ewsedelbe gor }oujg} ke }go} }gee oe }zn mdr}dlb} sgorer dl }ge jorsdlj n` Ko}geko}dbof Nftksdom, @dr} @dr} olm `nekn `neknr}& r}& nle gor }n ulmer ulmer}ol }olm m }ge bnl}el bnl}el}} zgdbg zgdbg dr aedlj aedlj }oujg }oujg}} mudlj mudlj Ko}gek Ko}geko}d o}dbof bof Nftksdom Nftksdom ferrnlr n }gnujg eèelbe eèelbe ko}edofr, ]gdr dlbfumer dlbfumer off }ge efepol} efepol} }genekr }genekr n` }ge `nu kohn }nsdbr dl KN8 Ofjeao& Jenke}t Jenke}t& Bnkadlo}n Bnkadlo}ndbr dbr olm Lukae Lukae ]gent ]gent, Obgdepdl Obgdepdlj j }gdr ﬏r} r}es rgnufm ln} }oie }ge r}umel} }nn kubg }dke or d} mner ln} }oie kubg effin} }n feol rubg ilnzfemje }go} dr eomdft opodfoafe }n jeleof r}umel}r n` ko}geko}dbr, N` kubg gdjge sdnd}t dr }ge rebnlm sgore zgeeat r}umel}r dl}elofdre }ge uroje olm ossfdbo}dnl n` }gere feolem ilnzfemje, Nle kur} ulmer}olm olm os+ sebdo}e podnur beo}dpe ke}gnmr n` ossftdlj feol} }genekr dl nme }n ewbef dl KN bnkse}d}dnlr, ]gere ln}er odk }n òbdfd}o}e tnu rebnlm sesoo}nt r}es dl kor}edlj }ge Ko}geko}dbof Nftksdom, Ofjeao Ofjea o dr o kohn }nsdb }nsdb dl Huldn Huldn Reb}dn Reb}dnl& l& ae d} dl }ge ﬏r} nulm nulm n }ge rebnlm rebnlm nulm, nulm, Qebel Qebel}ft }ft so}dbdsol}r gope bnksfodlem }go} quer}dnlr dl }ge RKN Huldn Reb}dnl oe aebnkdlj kne bgoffeljdlj olm ‛ulossnobgo ‛ulossnobgoafe‛, afe‛, ]gdr dr kodlft mue }n }ge òb} }go} }ge snafekr snafekr zgdbg oe osseodlj dl ebel} ebel} RKN soser oe `erg olm rnke r}umel}r gope ln ewsedelbe n` meofdlj zd}g rubg quer}dnlr, Lnle}geferr& o r}nlj `nulmo}dnl dl ofjeao sfur }ge ossfdbo}dnl n` rud}oafe r}o}ejder zdff gefs tnu rnfpe }gere snafekr, Ln}e Ln}e kt uroje n` }ge }ek ‛r}o}ej ‛r}o}ejder der‛ ‛ dlr}eo dlr}eom m n` ‛}gen ‛}genekr ekr‛, ‛, O jnnm KN r}umel r}umel}} uruoff uruofft t }gdlir }gdlir dl }ekr n` r}o}ejder r}o}ejder }n }obife }obife }ge snafek snafek dlr}eom n` }genekr }genekr urem }n rnfpe rnfpe }ge snafek, snafek, D gope gope njoldrem njoldrem sor} teo RKN snafekr or zeff or snafekr `nk n}ge bnul}der obbnmdlj }n }ge r}o}ejder urem }n rnfpe rnfpe }ge snafekr, Gnseùfft Gnseùfft }gdr zdff dksnpe dksnpe tnu koldsufo}dnl koldsufo}dnl ridffr ridffr dl rnfpdlj rnfpdlj ofjeao ofjeao snafekr, snafekr,

Bnl}el}r ?

Ruar}d}u}dnl

?,? ?,1 ?,2 ?,= ?,5 ?,0 1

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Rdksfd﬏bo}dnl , , , , Rnfpdlj Equo}dnlr , Snpdlj Dlequofd}der Snafek Re} , , , , , Rnfu}dnlr , , , , , ,

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Rnfpdlj Equo}dnlr Lukae ]gent , , Snafek Re} , , , , Rnfu}dnlr , , , , ,

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Kdrbeffolenur ]ebgldquer dl Ofjeao

=,? =,1 =,2 =,= =,5 =,0

2 = = 5 0 7 ??

@ob}ndro}dnl

2,? 2,1 2,2 2,= =

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Bnksfe}dlj }ge Rquoe

1,? 1,1 1,2 1,= 1,5 2

Epofuo}dnl , , , , , Bnksodrnl , , , , Rnfpdlj Equo}dnlr @ob}ndro}dnl , , , Snafek Re} , , , , Rnfu}dnlr , , , , ,

2

Mdrbdkdlol} olm Pde}o—r }genek , Ke}gnm n` mdffieelber , , , , , , , , Ke}gnm n` ﬏wem o}dnr , , , , , , , Jenke}db bnlr}ub}dnlr , , , , , , Snafek Re} , , , , , , , , , , , , , Rnfu}dnlr , , , , , , , , , , , , , ,

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?7 ?4 ?4 1? 1=

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1

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1= 15 15 10 1: 17

Bgos}e ?

Ruar}d}u}dnl ]ge odk n` urdlj ruar}d}u}dnl 'dl huldn reb}dnl$ dr }n rdksfd`t ol ewserrdnl zgdbg dr n}gezdre }nn bnk+ sfdbo}em n ul}dmt }n r}umt boeùfft, Jol}em& d} dr snrrdafe }n rnfpe rubg snafekr zd}gnu} ruar}d}u}dnl& au} d} zdff }oie kubg kne effin} olm }dke dl bnkse}d}dnlr, Gee oe repeof }tser n` quer}dnlr zgdbg bol ae rnfpem urdlj boeùf ruar}d}u}dnl8

?,? ?,?

Epof Epofuo uo}d }dnl nl

Dl rubg quer}dnlr& r}umel}r oe n`}el jdpel ol ewserrdnl zd}g pet foje lukaer olm }get oe oriem }n rdksfd`t n epofuo}e rubg ewserrdnlr, ]oie o fnni o} RKN'H$1337 @dr} Qnulm S128 Epofuo}e

'13131

∑ 13?33$'13?331 ∑ ?331$'13331 ) 13?33$ 13?30 ∑ ?30

]gdr dr o lor}t ewserrdnl }n zni zd}g mdeb}ft zd}gnu} olt }nnfr& ersebdofft mudlj o bnkse}d}dnl, Ze oe jndlj }n ruar}d}u}e }ge lukae 13?3 dl }ge equo}dnl equo}dnl urdlj o podoaf podoafee }n rdksfd`t rdksfd`t nu bofbufo}dn bofbufo}dnl, l, ]ge ruar}d}u}dnl w ; 13?3 r}dbir nu} fdie o rne }guka, Rn fe} ur ree d` d} znir,,, Y'w ) ?3$1

∑ ?3w[Y'?3w$1 ∑ ?331[Y'w ∑ ?3$1 ) ?3w[ w0 ∑ ?30

D} fnnir kne kolojeoafe lnz olm bol snrrdaft ae rnfpem ofjeaodbofft `nk lnz nlzomr& au} zgt r}ns gee> Fe} ur ruar}d}u}e t ; ?3 }n ù}ge rdksfd`t }ge equo}dnl,,, Y'w ) t $1

∑ wt[Y'wt$1 ∑ t=[Y'w ∑ t$1 ) wt[ w0 ∑ t 0

@nk }gdr ewserrdnl& ze medpe }go} }ge lukeo}n bol ae rdksfd﬏em dl}n8 Y'w ) t $1

∑ wt[Y'wt$1 ∑ t=[Y'w ∑ t$1 ) wt[ ; 'w1 ) wt ) t1$t1'w ) t$'w ∑ t$'w1 ∑ wt ) t1$ ; t 1 'w2 ) t 2 $'w2 ∑ t2 $ ; t 1 'w0 ∑ t 0 $

Adljn/ Adljn/ At urdlj ruar}d}u}dnl ruar}d}u}dnl ze bol eordft ree }go} }ge ewserrdnl ewserrdnl òb}ndrer òb}ndrer olm ebnkadl ebnkadler er }n `nk o ruk n` buae olm mdffieelbe mdffieelbe n` buae ewserrdnl ewserrdnl erseb}dpeft erseb}dpeft,, D} bolbefr bolbefr nu} }ge melnkdlo}n melnkdlo}n olm snmuber snmuber }ge efejol} olrze n` ?33, Gee—r oln}ge ewoksfe zgdbg dr pet rdkdfo }n o snafek }go} r}umel}r gope elbnul}eem dl }ge KNS bforr,

2

=

BGOS]EQ BGOS]EQ ?, ?, RUAR]D RUAR]D]U]D ]U]DNL NL

∘

2) 5 Jdpel }go} w ; & epofuo}e 1

1o5

∑ 5o= ) 1o2 ∑ 7o1 o1 ) ?

Ae`ne ruar}d}u}dnl& ze gope }n knmd`t }ge bnlmd}dnl jdpel }n koie d} fnni kne osse}drdlj,,,

∘

2) 5 w; 1

⇝ 1w ) 2 ;

∘

5

⇝ w1 ∑ 2w ) ? ; 3 ⇝ w1 ; 2w ∑ ?

Usnl kuf}dsfe kuf}dsfe ruar}d}u}dnl ruar}d}u}dnl n` w1 dl}n }ge equo}dnl& nle rgnufm na}odl }ge olrze n` +?,

?,1 ?,1

Bnks Bnkso odr drnl nl

D} dr ureùf `n nle }n ruar}d}u}e o foje lukae n ol ewserrdnl zgel oriem }n bnksoe }ge rdxe n` }zn bnksfdbo}em ewserrdnlr, @n ewoksfe8

Bnksoe }ge rdxe n` O ;

50:743?12= 50:743?125 olm A ; 0:743?12=5 0:743?12=:

]n rnfpe }gdr snafek& ze fe} w ae }ge pofue 50:743?12= olm t ae }ge pofue 0:743?12=5 0:743?12=5,, Ze ree }go} w w)? zgdfe A ; , ]oidlj }ge mdffieelbe O A & ze gope8 O; t t)1

∑

w t

t ∑ wt )) 1? ; t1'wt ∑) 1$

zgdbg dr napdnurft foje }gol 3 rdlbe 1w < t olm t < 3, Gelbe ze gope O < A ,

?,2

Rnfp Rnfpdl dlj j Equo Equo}d }dnl nlrr

]ge ke}gnm n` ruar}d}u}dnl dr n`}el urem }n rnfpe equo}dnlr n` gdjge mejee& ewsnlel}dof equo}dnlr& }djnlnke}db equo}dnlr& fnjod}gkdb equo}dnlr& e}b, Gee oe repeof ewoksfer8 Rnfpe '0w ) :$1 '2w ) =$'w ) ?$ ; 0 D gnse }go} }ge znm ‖ruar}d}u}dnl‛ bnker obnrr tnu kdlm ou}nko}dbofft zgel tnu ree }gdr sna+ fek, ]ebgldbof ebgldbofft ft&& d} dr snrrda s nrrdafe fe }n rnfpe rnfpe }gdr snafek at ewsolrdnl olm urdlj }ge o}dnlof nn} }genek, }genek, Gnzepe& }gdr }oier sfel}t oknul} n` }dke olm ze rgnufm dlr}eom }t }n }gdli n` ke}gnmr }n koie eobg aobi aobie} e} fnni or rdkdfo rdkdfo or snrrdaf snrrdafe, e, ]gdr ]gdr dr snrrdaf snrrdafee at kuf}dsf kuf}dsftdl tdlj j ?1 }n an}g rdmer n` }ge equo}dnl equo}dnl&& na}odldlj '0w ) :$1 '0w ) 7$'0w ) 0$ ; '0w ) :$1 Y'0w ) :$1

∑ ?[ ; :1

Usnl reedlj }gdr ewserrdnl& }ge ruar}d}u}dnl t ; '0w ) :$1 rgnufm rsdlj dl}n tnu kdlm& rdksfd`tdlj }ge 1 5 equo}dnl dl}n o quomo}db equo}dnl zd}g nn}r 4 olm +7, Ze ﬏lofft na}odl w? ; n w1 ; , 2 2

∑

∑

Fe} ur }t o snafek zgdbg dlpnfper ewsnlel}r8 Rnfpe 1=w ) '1w

∑ 1$= ∑ 2= ; 3 Napdnurft ewsolmdlj '1w ∑ 1$= dr ln} zdre, zdre,

Ojodl& nle rgnufm Ojodl& rgnufm }gdli }gdli n` ruar}d}u}d ruar}d}u}dnl nl dl}ud dl}ud}dp }dpeft eft usnl reedlj ewsnlel}r dl ol equo}dnl, ]ge }dbide quer}dnl dr }n bgnnre }ge djg} pofue }n ruar}d}u}e, Mn tnu jodl at urdlj }ge ruar}d}u}dnl t ; 1w > Usnl ruar}d}u ruar}d}u}dn }dnl l ze na}odl na}odl t = ) ' t 1$= 2= ; 3, = Nlbe tnu ewsolm }ge ' t 1$ }ek& tnu gope }n meof zd}g o quo}db equo}dnl olm }go} bol ae qud}e

∑

∑

∑

5


}nuafernke, Rdkdfoft& Rdkdfoft& }ge ruar}d}u}dnl t ; 1w

∑ 1 mner ln} gefs, Zgo} d` ze }oie }ge pofue dl ae}zeel& rot t ; 1w ∑ ?> Dl}eer}dljft& }ge equo}dnl 't )?$ = )' t ∑ ?$= ∑ 2= ; 3

dr bnlrdmeoaft bnlrdmeoaft }oke aeboure }ge of}elo}e }ekr dl }ge ewsolrdnl ewsolrdnl bolbefr bolbefr nu} eobg eobg n}ge, O`}e ew+ solmdl solmdlj j }ge }ekr }ekr 'zgdb 'zgdbg g dr rdksfe rdksfe zd}g }ge odm n` adlnkd adlnkdof of }gene }genek k n Sorbo Sorbof—r f—r ]doljf doljfe$& e$& ze je} zgdbg bol ae rnfpe rnfpem m or d` d} dr o quomo quomo}db }db equo}dn equo}dnl, l, ]gdr ]gdr jdper jdper ur }ge rnfu}dn rnfu}dnlr lr t = ) 0}1 ?0 ; 3& zgdbg 1, Ze eheb} }ge fo}}e rnfu}dnl rnfu}dnl rdlbe rdlbe t kur} ae snrd}dpe, @dlofft @dlofft&& ze rnfpe rnfpe }go} t ; 1 olm t ; w ; fnj1 1 ) ?,

∘ ∑ ∘

∑∘

Or o rdme ln}e& }ge }geke n` 'w ) t $i ) 'w t $i dr zn}g ekekaedlj olm nbbur dl n}ge idlmr n` snafek }nn, ]t ﬏lmdlj }ge dl}eje bfnrer} }n '1 ) 1$0 ,

∑

∘

@dlofft& fe} ur fnni o} }gdr keol+fnnidlj quer}dnl8 Epofuo}e ?

?)

?

?) ?)

? ?)

ººº

]n rnfpe }gdr& fe} w ae }ge ewserrdnl oanpe, Ln}e }go} w dr ewob}ft }ge ewserrdnl o} }ge melnkdlo}n n` ? }ge `ob}dnl, Ze }gel gope w ; ? ) & zgdbg bol ae rnfpem eordft or o quomo}db equo}dnl, Usnl rnfpdlj&

∘

w

?) 5 }ge ewserrdnl dr equof }n , 'Dl bore tnu gopel—} eofdre }go}—r }ge jnfmel o}dn$ 1

?,=

@ob}n ob}nd dro} ro}dn dnl l

Ruar}d}u}dnl gefsr dl òb}ndro}dnl }nn& snpdmem d` tnu bgnnre }ge djg} ewserrdnl }n ruar}d}u}e, @ob}ndre ='w ) 5$'w ) 0$'w ) ?3$'w ) ?1$

∑ 2w1

Mn D leem leem }n ewsolm ewsolm }ge el}d el}dee ewser ewserrdn rdnl> l> Romft Romft&& }ge olrze olrze dr ter, ter, Gnze Gnzepe pe& & }gnuj }gnujg g ruar}d ruar}d}u}d }u}dnl nl ze bol jeo}ft jeo}ft rdksfd`t rdksfd`t }ge snberr, snberr, Rdksft Rdksft ln}e }go} 5 ?1 ; 0 ?3, Usnl jnusd jnusdlj lj ureùf ureùf }ekr }nje}ge }nje}ge olm ewsolmdlj& ewsolmdlj& ze na}odl

Ú

='w ) 5$'w ) 0$'w ) ?3$'w ) ?1$

Ú

∑ 2w1 ; ='w ) 5$'w ) ?1$'w ) 0$'w ) ?3$ ∑ 2w1 ; ='w1 ) ?0w ) 03$'w1 ) ?:w ) 03$ ∑ 2w1

Lnz& t ; w1 ) ?0w ) 03 fnnir fdie o rko} ruar}d}u}dnl, Ossftdlj }go} }n nu equo}dnl& ze na}odl

∑ 2w1 ; = t 1 ) =wt ∑ 2w1 ; '1 ' 1t ∑ w$'1t ) 2w$

FGR ; = t 't ) w$

; '1 ' 1w1 ) 2?w ) ?13$'1w ) 25w ) ?13$ ; '1 ' 1w ) ?5$'w ) 7$'1w1 ) 25w ) ?13$ D` tnu oe ol opdm eome n` kt afnj 'gbkns,znmserr,bnk$& tnu snaoaft gope geom oanu} rtkke}db snftlnkdofr olm efekel}ot rtkke}db snftlnkdofr 'ERS$, Gee—r ol ossfdbo}dnl n` ERS }n òb}ndre }ge `nffnzdlj snftlnkdof8 @ob}ndre w2 ) t2

∑ 2wt ) ?

Dl}nmube }ge ln}o}dnlr ς? olm ς1 }n dlmdbo}e }ge ERSr `n rebnlm mejee snftlnkdofr w ) t olm wt

0


erseb}dpeft, Ze medpe8 w2 ) t 2

∑ 2wt ) ? ; ς?2 ∑ 2wt1 ∑ 2w1t ∑ 2wt ) ? ; ς?2 ) ? ∑ 2ς? ς1 ∑ 2ς1 ; 'ς? ) ?$'ς?1 ∑ ς? ) ?$ ∑ 2ς1 'ς? ) ?$ ; 'ς? ) ?$'ς?1 ∑ ς? ∑ 2ς1 ) ?$ ; 'w ) t ) ?$'w1 ) t 1 ∑ wt ∑ w ∑ t ) ?$

Mn eom kt afnj `n o kne me}odfem mdrburrdnl nl rtkke}db snftlnkdofr olm ERSr,

?,5 ?,5

Sna nafek fek Re} Re}

?, 'RKN'H$133:S 'RKN'H$133:S25$ 25$ @dlm }ge fojer} dl}eje L rubg }go} an}g L ) =40 olm L ) 11= oe seèb} rquoer, 1, 'ODKE35S: 'ODKE35S:$$ Fe} w ;

= ∘ ∘ ∘ ∘ , @dlm 'w ) ?$=7 , ' 5 ) ?$' 5 ) ?$' 5 ) ?$' 5 ) ?$ =

7

?0

1

2, 'RKN'R$13?? 'RKN'R$13??S0$ S0$ Me}ekdle Me}ekdle }ge pofue n`

?

?

=

=

,

∘1 ) ∘7 ) 1 ) ∘1 ∑ ∘7 ) 1 =, 'RKN'H$1330S 'RKN'H$1330S15$ 15$ Zgo} dr }ge snmub} n` }ge eof nn}r n` }ge equo}dnl equo}dnl w1 ) 43w ) 131:

2

;



w1 ) 43w ) 1355

5, 'RKN'H$1330S 'RKN'H$1330S2=$ 2=$ Russnre }go} }ge }zn nn}r n` }ge equo}dnl equo}dnl w1

∑

? ?3w

∑ 14

)

w1

∑

? ?3w

1 ∑ 1 ∑ =5 w ∑ ?3w ∑ 04 ; 3

oe ο olm α , @dlm ο ) α 0, 'RKN'R$1330 'RKN'R$1330S?3$ S?3$ Fe} o olm a ae snrd}dpe eof lukaer rubg }go} ?

? ? ;3 ∑ ∑ o a o)a o a

a o

@dlm }ge pofue n` ' ) $1 :, Russnre Russnre } ;

o1 o1 ) 1a1

)

a1

1o1 ) a1

, @dlm }ge kdldkuk pofue n` },

7, Jdpel Jdpel }go} o&w&t oe eof lukaer }go} ro}dr`t fnj1o w ) fnj1o t

∑ fnjo 'wt$1 ≭ 1&

fnjo t

≥?

@dlm }ge olje n` fnj o w1 t, 4, 'RKN'N$40S2 'RKN'N$40S2$$ Fe} o < ? ae ol dl}eje, @dlm off dl}ejer w rubg }go}

  ∑

' o)

o1

w

?$ ) '

 ∑  ∑ o

o1

?$w ; 1o

?3, Rnfpe Rnfpe }ge `nffnzdlj `nffnzdlj }ge rtr}ek n` equo}dnlr equo}dnlr zgee w&t&x oe snrd}dpe lukaer8 wwtx ; t 1 t wtx )? ; x 2 x wtx )1 ; w=

:


??, Rnfpe Rnfpe }ge equo}dnl w=

∑ 0w2 ) ??w1 ∑ 0w ) ? ; 3

?1, 'UROKN:7S 'UROKN:7S?$ ?$ Jdpel }go} o&a&b&m&e oe eof lukaer rubg }go} o)a)b)m)e ;7 1

o ) a1 ) b1 ) m1 ) e1 ; ?0

Me}ekdle }ge kowdkuk pofue n` e,

7


?,0 ?,0

Rnfu Rnfu}}dnl dnlr

?, ]gee ]gee oe 1 zotr zotr }n rnfpe rnfpe }gdr snafek snafek,, @dr}f @dr}ft t& ze bol fe} o1 ; L ) =40 olm a1 ; L ) 11=, Ze medpe }go} o1 a1 ; 1:1 'o a$'o ) a$ ; 1= ?:, Gelbe& Gelbe& }ge snrrdafe snrrdafe rnfu}dn rnfu}dnlr lr `n 'o a& o ) a$ ; '?& 1:1$& '1& ?20$& '=& 07$& '7& 2=$& '?0& ?:$, Usnl rnfpdlj }ge equo}dnlr& equo}dnlr& ze nlft gope gope 2 re}r n` dl}eje rnfu}dnlr ' o& a$ ; '04& 0:$& '20& 21$& '1?& ?2$, ?2$, ]ge foje fojer} r} L nbbur zgel o dr 04, Gelbe ze na}odl L ; =105,

∑

∑

⇑ ∑

Ú

Oln}ge zot }n rnfpe d} dr }n ln}e }go} }ge mdffieelbe ae}zeel }zn rquoer dr ol epel lukae, ]n kowdkdre L & }ge mdffieelbe o a kur} ae or rkoff or snrrdafe, L zdff }oie kowdkuk pofue zgel o a dr 1, Gelbe ze bol bnlr}ub} }ge equo}dnl o1 'o 1$1 ; 1:1 olm na}odl }ge rnfu}dnl o ; 04& L ; =105,

∑

∑

1, Ruar}d}u}e Ruar}d}u}e i ;

∑ ∑

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º º º ) w?5

∑ ∑ ∑ ∘∑ ∑ ∘ ∑ ∑

Rn ze gope 'w ) ?$=7 ; ?15, 2, Fe} w ;

∘1, Ze gope =

1 ?

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∘1 ) ∘7 ) 1 ) ∘1 ∑ ∘7 ) 1

1

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1 ) w2 ) w1 1 w2 ) w1 1 ; 1 1'w ) 1$ 'w1 ) 1$1 w0 'w1 ) 1$1 w0 ; w1 ) 1 ' 1 ) 1$1 1 1[ ; 1)1 0)1 1 ; 1)1 ;= 1

∑

∑ ∑

∘

∘ ∑ ∘ ∘

∘ ∘ ∑

=, Fe} t ; w1 ) 43w )131:, Ze gope

t

;

∘t ) 17, Rnfpdlj Rnfpdlj tdefmr t ; 1? n t ; ∑?1, Zgel t ; ∑?1&

2 }gee dr ln rnfu}dnl `n w, Zgel Zgel t ; 1?& ze gope w1 ) 43 w ) 1330 ; 3 olm gelbe }ge snmub} n` nn}r dr 1330, Bfeodlj }ge melnkdlo}n melnkdlo}nr& r& ze na}odl ∑ ?3w ∑ =5, Ze gope t )? ?0 ) t? ∑ t ∑1 1= ; 3, Bfeodlj t ; ∑0, Gelbe ze gope w1 ∑ ?3w ∑ 24 ; 3 zgdbg rujjer}r }go} }ge ruk n` nn}r dr ?3,

5, Fe} t ; w1

4


0, Fe} w ;

o , Ze gope o ; aw, ]gnujg ruar}d}u}dnl& ze na}odl8 a

?

? ? ? ? ? ∑ ∑ ∑ ∑ ; o a o)a aw a aw ) a ? ? ; ∑?∑ ?)w w ;3 Rnfpdlj }ge oanpe equo}dnl& ze na}odl w ;

∘5 ∑ ? 1

o a

a o

, ]gdr jdper ur ' ) $1 ; 'w )

? w

$1 ; 5,

:, Fe} w ; o1 ) 1a1 & t ; 1o1 ) a1 & ze gope t };

∑ w )2 t

w

)

∑ w )2 t

w t 1t w 1w t ; ) 2w 2t 1t 1w 1 ; ) 2w 2t 2

∑

∑

∑

At urdlj OK+JK dlequofd}t n }ge òb} }go} k ) l kdldkuk pofue n` } dr

1 , 2

≥ 1∘kl& ze gope 21wt ) 12wt ≥ =2 , Gelbe& }ge

Urdlj o podoafe }n ruar}d}u}e }ge melnkdlo}n dr o ureùf }ebgldque rdlbe }gdr offnzr tnu }n rdksfd`t }ekr pet eordft, 7, Fe} k ; fnjo w olm l ; fnjo t , Ze gope k1 ) l1 1'k ) l$ 1 olm l ?, Usnl bnksfe}dlj }ge rquoe& }ge ﬏r} equo}dnl aebnker 'k ?$1 ) ' l ?$1 =, ]nje}ge nje}ge zd}g }ge rebnlm bnlr}odl}& bnlr}odl}& d} `nkr o rekdbdbfe zd}g omdur 1 olm bel}e o} '?& ?$,

∑ ∑

∑

≭

≭

≥

Ze rgoff eksfnt }ge ke}gnm n` fdleo snjokkdlj }n ﬏lm }ge olje n` 1 k ) l, Fe} i ; 1k ) l l ; 1k ) i, Ze bnlr}ub} }ge fdler t ; 1w ) i rubg }go} i }oier }ge kowdkuk olm kdldkuk pofue dl }ge josg erseb}dpeft o} sekd}}em pofuer n` ' w& t $ or anulmem at }ge rekdbdbfe,

∑

⇝

∑

Off dr fe`} `n ur }n mn dr }n me}ekdle me}ekdle }ge t+dl}ebes} t+dl}ebes} n` }ge }zn fdleo ùlb}dnlr, ùlb}dnlr, Zd}g }ge odm n` jenke}t ze bol medpe }go} i Y ?& 2 ) 1 5[,

∘

∇∑

4, Fe} t ;



o)

∘o1 ∑ ?, Ze ofrn gope ? ; t

tw )

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? ; ∘ o ) o1 ∑ ?

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t 1w

 ∑ ∘ o

∑ 1otw ) ? ; 3

o1

∑ ?, ]gdr jdper ur

?3




At urdlj }ge quomo}db `nkufo& ze na}odl t w ; ' o ) snrrdafe pofuer `n w oe 1 olm +1,

∘o1 ∑ ?$w

; o

¿ ∘o1 ∑ ?,

Gelb Gelbee }ge }ge

wtx

?3, @nk }ge ﬏r} equo}dnl& equo}dnl& ze gope gope t ; w 1 , Ruar}d Ruar}d}u}e }u}e dl}n dl}n }ge rebnlm rebnlm equo}dnl& equo}dnl& ze gope gope x ; 'wtx$'wtx)?$ 'wtx $'wtx )?$'wtx)1$ 0 0 Ruar}d}u}dlj `n }ge ﬏lof }dke dl }ge }gdm equo}dnl& ze gope w ; w= , w Fe} o ; wtx , Ze ed}ge ed}ge gope gope w ; ? n o'o ) ?$'o ) 1$ ; 1=, @n }ge ﬏r} bore& bore& }gee }gee oe }zn }zn snrrdafe rnfu}dnlr '?& ?& ?$ olm '?& ?& ?$, @n }ge rebnlm rebnlm bore& usnl eooljekel eooljekel}} olm òb}ndro+ òb}ndro+ }dnl ze na}odl 'o 1$'o1 ) 5o ) ?1$ ; 3, Gelbe& Gelbe& }ge nlft rnfu}d rnfu}dnl nl dr wtx ; 1, Ewokdl Ewokdldlj dlj }ge }ge rtr}ek n` equo}dnlr ojodl& ze ree }go} ze ed}ge gope w ; t ; x n w ; t ; x , ]gdr ]gdr jdper jdper ur 2 2 2 2 2 2 }ge }zn n}ge rnfu}dnlr ' 1& 1& 1$ olm ' 1& 1& 1$,

∑

∑

∘ ∘ ∘

∘ ∑∘ ∑∘

∑

∑

??, Ln}e Ln}e }go} w ; 3 dr ln} o rnfu}dnl, Mdpdmdlj }ge equo}dnl at w1 }gnujgnu}& ze gope w1 0w ) ?? 0 ? ? ) 1 ; 3, Ure }ge ruar}d}u}dnl t ; w ) , Ze gope t1 0w )4 ; 3 zgdbg jdper ur t ; 2, Gelbe& w

w

w)

? w

; 2 olm w ;

∘ 2¿ 5 1

w

∑

∑

∑

,

?1, @nk o ) a ) b ) m ; 7 e& ze je} }ge dlrsdo}dnl }n ure }ge ruar}d}u}dnl o ; 7 e 7 e 7 e ) α& b ; ) β& m ; ) ν& zgee ο ) α ) β ) ν ; 3, Ze }gel gope = = =

∑

∑

∑

∑

7

∑ e ) ο& a ; =

∑ e $1 ) 1'ο ) α ) β ) ν$' 7 ∑ e $ ) ο1 ) α1 ) β 1 ) ν1 = = 7∑e 1 ; =' $ ) ο1 ) α 1 ) β 1 ) ν 1 = '7 ∑ e$1 ≥

o1 ) a1 ) b1 ) m1 ; ='

7

=

'7 e$1 Ze ofrn gope o1 ) a1 ) b1 ) m1 ; ?0 e1 olm gelbe ?0 e1 , Usnl rnfpdlj }gdr quomo}db = ?0 ?0 dlequofd}t& ze gope 3 e , Gelbe }ge kowdkuk pofue n` e dr , 5 5

∑

∑ ≥ ∑

≭ ≭

]gdr ]gdr snn` snn` dr uldque aeboure aeboure d} mner ln} u}dfdre u}dfdre olt dlequofd dlequofd}t }t }genekr }genekr o} off, off, Keo Keol l ruar}d ruar}d}u+ }u+ }dnl bol ae ureùf zgel }ge ruk n` repeof podoafer oe jdpel,

Bgos}e 1

Bnksfe}dlj }ge Rquoe Bnksfe}dlj Bnksfe}dlj }ge rquoe dr oln}ge oln}ge ureùf ureùf }ebgldque }ebgldque dl rdksfd`tdlj rdksfd`tdlj ewserrdnl ewserrdnlrr `n bfnre bfnre dlrseb}dnl, D} dr bnkknlft ossfdem dl RKN snafekr zgel o gdjg mejee snftlnkdof dr jdpel, ]gdr }ebgldquer dr uruofft urem dl rdksfd﬏bo}d rdksfd﬏bo}dnl nl olm ﬏lmdlj ew}ekof ew}ekof pofuer, ofuer, ]gdr ]gdr }ebgld }ebgldque querr dr ln} er}db} er}db}em em }n ewsolr ewsolrdnl dnl n` rquoe rquoerr nlft nlft, Rnke}d Rnke}dker ker&& nle gor }n bnk bnksfe sfe}e }e }ge buae n ewserrdnlr zd}g gdjge mejee, Rnke ln}oafe `nkufor dlbfume8 ?, 'o ) a$1 ; o1 ) 1oa ) a1 1, 'o ) a ) b$1 ; o1 ) a1 ) b1 ) 1oa ) 1ab ) 1bo 2, 'o ) a$2 ; o2 ) 2o1 a ) 2oa1 ) a2

1,?

Rdks Rdksfd fd﬏b ﬏bo} o}dn dnl l

D} dr n`}el ureùf }n bnksfe}e }ge rquoer dl snafekr zgdbg dlpnfper podoafer n` gdjge mejee n ewser+ rdnlr zgdbg dlpnfper rumr, @n ewoksfe& Rdksfd`t

 ∑ w

∘ ∑1)

?)1 w

 ∑ w

?

∑ 1∘w ∑ 1

]ge iet dl }gdr snafek dr }n eofdre }ge òb} }go} w rdnl bol ae zd}}el or8

ndjdloff ewser ewser++ ∑ ? dr equof }n w ∑ 1 ) ?, ]ge ndjdlo ∘ ∘ ∘ ∘ w ∑ ? ) 1 w ∑ 1 ) w ∑ ? ∑ 1 w ∑ 1 ; 'w ∑ 1$ ) 1 w ∑ 1 ) ? ) 'w ∑ 1$ ∑ 1 w ∑ 1 ) ? ∘ ∘ ; ' w ∑ 1 ) ?$1 ) ' w ∑ 1 ∑ ?$1 ∘ ∘ ; w ∑ 1 ) ? ) v w ∑ 1 ∑ ?v ∘ Gelbe }ge njdlof ewserrdnl dr equof }n 1 zgel 1 ≭ w 6 2 olm 1 w ∑ 1 zgel w ≥ 2



1,1



 






Ze ilnz }go} quomo}db equo}dnlr bol ae rnfpem urdlj }ge }ebgldque n` bnksfe}dlj }ge rquoer, Dl òb}& }ge quomo}db `nkufo zgdbg snmuber }ge nn}r n` o quomo}db equo}dnl dr medpem urdlj }ge }ebgldque n` bnksfe}dlj }ge rquoer, ]ge }ebgldque n` bnksfe}dlj }ge rquoer dr pet ureùf }n bgebi d` ol equo}dnl gor olt rnfu}dnlr o} off, @n ewoksfe& Snpe }go} w= ) 2w1 ) 1w ) 0 ; 3 gor ln eof nn}r ]n snpe }gdr& ze gope }n bnksfe}e }ge rquoe dl }ge `nffnzdlj `nk8 w= ) 2w1 ) 2w ) 0 ; 'w1 ) ?$1 ) 'w ) ?$1 ) = ; 3

Rdlbe eobg }ek dl }ge ewserrdnl dr ofzotr r}db}ft jeo}e }gol xen& }gee dr ln rnfu}dnl }n }ge equo}dnl, ??

?1

BGOS]EQ BGOS]EQ 1, BNKSFE] BNKSFE]DLJ DLJ ]GE R_UOQE R_UOQE

1,2

Sn Snpdlj pdlj Dleq Dlequof uofd} d}de derr

Snaoa Snaoaft ft }ge knr} knr} ureùf ureùf ossfdb ossfdbo}d o}dnl nl n` bnk bnksfe sfe}dlj }dlj }ge rquoe rquoerr dr dl snpdl snpdlj j dlequo dlequofd} fd}der der,, Dl huldn huldn reb}dnl& reb}dnl& r}umel}r r}umel}r oe ln} ewseb}em ewseb}em }n gope gope feolem feolem ompolbem ompolbem dlequofd}der dlequofd}der rubg or OK+J OK+JK K dlequofd} dlequofd}t t n Boubgt+ Boubgt+Rbg Rbgzo zoxx dlequofd} dlequofd}t t, R}umel}r R}umel}r gope gope }n eft nl aordb ofjeaodb ofjeaodb koldsufo}dn koldsufo}dnl l ridffr dl nme }n snpe dlequofd}der dl bnkse}d}dnlr, ]ge }ebgldque n` bnksfe}dlj }ge rquoer dr pet golmt rdlbe off rquoer kur} ae jeo}e n equof }n xen, Fe} ur }oie o fnni o} }ge `nffnzdlj snafek snsnrem at ]d}u Olmeerbu8 Fe} o&a&b ae eof eof lukaer, lukaer, Snpe Snpe }go} }ge lukaer lukaer o ? }gol , =

∑ a 1 & a ∑ b 1 & b ∑ m 1 & m ∑ o1

bolln} bolln} ae off foje foje

]ge rnfu}dnl bnker dl}ud}dpeft d` tnu oe urem }n rnfpdlj dlequofd}der urdlj }ge ke}gnm n` bnksfe}dlj ? }ge rquoer rquoer,, Fe} Fe} ur russnre russnre }go} }go} d} dr snrrdaf snrrdafee `n off `n ewserrd ewserrdnlr nlr }n ae foje foje }gol }gol o} }ge roke = }dke& d,e, ? ? ? ? o a1 < & a b1 < & b m1 < & m o1 < = = = = At ommdlj }ge `nu ewserrdnlr oanpe }nje}ge& ze na}odl

∑

∑

∑

o)a)b)m

∑

∑ 'o1 ) a1 ) b1 ) m1$ 6 ?

Knpdlj off }ekr }n }ge djg} olm bnksfe}dlj }ge rquoer& ze gope '

? 1

∑ o$1 ) ' ?1 ∑ a$1 ) ' ?1 ∑ b$1 ) ' ?1 ∑ m$1 6 3

zgdbg dr napdnurft o bnl}omdb}dnl, R}umel}r dl huldn reb}dnl rgnufm }oie ln}e n` }ge }zn ùlmokel}of zotr }n snpe dlequofd}der& zgdbg oe }ge ke}gnm n` mdffieelbe mdffieelbe olm }ge ke}gnm n` mdpdrdnl erseb}dpe erseb}dpeft ft,, ]n snpe }go} O A & nle bol o}}eks} }n snpe }go}

≥

?, O 1,

∑ A ≥ 3 n O ≥ ?, A

1,= 1,=


?, 'RKN'R$13?? 'RKN'R$13?? S2 @dr} Qnulm$ Qnulm$ Fe} w ae o eof lukae, lukae, D` o ; 13??w ) 444:& a ; 13??w ) 4447& 1 1 1 b ; 13??w ) 4444& ﬏lm }ge pofue n` o ) a ) b oa ab ob,

∑ ∑ ∑

1, 'RKN'R$13?? 'RKN'R$13?? S5 @dr} Qnulm$ Russnre w& t oe eof lukaer rubg }go} }ge pofue n`

w1 t1 ) , t1 w1

?

? ? ∑ ; , 1t 1w ) t w

@dlm @dlm

2, 'RKN'H$13?? 'RKN'H$13?? S?4 @dr} Qnulm$ Qnulm$ Fe} o&a&b&m ae eof lukaer rubg }go} o1 ) a 1 ) 1 o b1 ) m1

∑ =a ) = ; 3

∑ =b ) =m ) = ; 3 Fe} k olm K ae }ge kdldkuk olm kowdkuk pofue n` 'o ∑ b$1 ) 'a ∑ m$1 erseb}dpeft, @dlm k Ú K , =, Russnre Russnre 'w ∑ x $1 ∑ ='w ∑ t $'t ∑ x $ ; 3, Snpe }go} t dr }ge keol n` w olm x , 5, Russnre Russnre w&t&x oe mdr}dlb} mdr}dlb} eof lukaer, Snpe Snpe }go} ' ? x

∑w

)

?

w

1

∑ t$ ,

? t

∑x

$1 ) '

? x

∑w

$1 ) '

? w

∑t

$1 ; '

?

t

∑x )

0, Russnre Russnre o&a&b&m oe snrd}dpe eof lukaer }go} ro}dr`t o= ) a= ) b= ) m= ; =oabm, Sn Snpe }go }go}} o ; a ; b ; m,

?2


:, '], Olmeerbu$ Olmeerbu$ @dlm off eof rnfu}dnlr rnfu}dnlr }n }ge rtr}ek n` equo}dnlr equo}dnlr

∘=x ∑ ? ∘ t ) x ; =w ∑ ? x ) w ; =t ∑ ?

w)t ;



7, 'DKN Fnljfdr} Fnljfdr} ?4:3 S2:$ Rnfpe Rnfpe }ge re} n` rdkuf}ole rdkuf}olenur nur equo}dnlr equo}dnlr p 1 ) z1 ) w1 ) t 1 ; 0

∑ 1x p 1 ) z1 ) w1 ) x 1 ; 0 ∑ 1t p 1 ) z1 ) t1 ) x 1 ; 0 ∑ 1w p 1 ) w1 ) t1 ) x 1 ; 0 ∑ 1z z1 ) w1 ) t1 ) x 1 ; 0 ∑ 1p

4, '], Olmeerbu$ Olmeerbu$ @dlm off eof }dsfe}r }dsfe}r 'w&t&x$ }go} ro}dr`t w= ) t = ) x =

∑ =wtx ; ∑?

?3, Rnfpe Rnfpe }ge rtr}ek n` equo}dnlr w2

∑ 4't1 ∑ 2t ) 2$ ; 3 t 2 ∑ 4'x 1 ∑ 2x ) 2$ ; 3 x 2 ∑ 4'w1 ∑ 2w ) 2$ ; 3 ??, 'RKN'H$13?? 'RKN'H$13?? Rebnlm Rebnlm Qnulm S?$ Russnre o& a& b& m < 3 olm w ; wt ob ) am,

∘o1 ) a1& t ; ∘b1 ) m1, Snpe }go}

≥

?1, Russnre w&t&x oe eof lukaer }go} ro}dr`t wt ) tx ) wx ;

∑?, Snpe }go} w1 ) 5t1 ) 7x1 ≥ =

?2, Russnre o&a&b oe snrd}dpe eof lukaer, Snpe }go} `n olt eof lukaer w&t&x & ze gope w1 ) t 1 ) x 1



≥1

oab ' 'o ) a$'a ) b$'b ) o$



o)a wt ) b



a)b tx ) o



b)o xw $ a

?=


1,5 1,5

Rnfu Rnfu}}dnl dnlr

? ?, Ln}e Ln}e }go} o1 ) a1 ) b1 oa ab bo ; Y'o a$1 ) ' a b$1 ) ' b 1 ewserrdnlr dl }ge ndjdlof quer}dnl& ze na}odl }ge olrze 2,

∑ ∑ ∑

1, Ze ln}e }go}

w1 t1 t ) ; ' t1 w1 w

∑

∑

∑ o$1[,

At sfujjd sfujjdlj lj dl off }ge

∑ wt $1 ) 1, @nk }ge bnlmd}dnl jdpel dl }ge quer}dnl& ze gope ?

? ? 1w ) t 1w ) t ∑ ⇝ ∑ 1t ; ? ; 1t 1w ) t w w

⇝ wt ∑ wt ; ∑ ?1 Gelbe

4 w1 t1 ) ; = t1 w1

2, At bnksfe}dlj bnksfe}dlj }ge rquoer rquoer `n }ge }zn equo}dnlr equo}dnlr jdpel& ze na}odl 'o ) ?$1 ) 'a 'b

∑ 1$1 ; ?

∑ 1$1 ) 'm ) 1$1 ; =

zgdbg zgdbg oe equo}dnl equo}dnlrr n` bdbfer bdbfer zd}g omdur omdur ? o} '+?& 1$ olm omdur omdur 1 o} '1&+1$ erseb}d erseb}dpe peft ft,, ]ge 1 1 quol}d}t 'o b$ ) 'a m$ eserel}r }ge mdr}olbe ae}zeel o sndl} dl }ge ﬏r} bdbfe olm oln}ge sndl} dl }ge rebnlm bdbfe, Rdlbe }ge mdr}olbe ae}zeel }ge bel}er n` }ge bdbfer dr 5 'at St}gojnor ]genek$& ]genek$& }ge kowdkuk kowdkuk olm kdldkuk pofue pofue n` 'o b$1 ) 'a m$1 oe 7 olm 1 erseb}dpeft, Gelbe }ge rnfu}dnl dr ?0,

∑

∑

∑

∑

=, At ewsolmdlj ewsolmdlj }ge el}de el}de ewserrdnl& ewserrdnl& ze gope w1

∑ 1wx ) x1 ∑ =wt ) =t1 ) =wx ∑ =tx ; 3

Usnl eooljekel}& ze na}odl 'w ) x $1

∑ ='w ) x$t ) =t1 ; 3

At bnksfe}dlj }ge rquoe& ze gope Y'w ) x $ D} `nffnzr }go} t ;

w)x

1

5, @nk }ge òb} }go} 'w 'x

∑ '

? w$'w ? t

,

∑ t$ ) ' t ∑ x$ ) 'x ∑ w$ ; 3& ze gope

∑ t$ ; 3, Gelbe&

∑x

$1 ) '

?

x

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∑ 1t[1 ; 3

$1 ) '

? w

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∑

∑ x$

)

't

∑

? x $'x

∑ w$ )

? ? ? 1 1 )' $ ∑ º t∑x x∑w t∑x x∑w w∑t ? ? 1 ? ? ? ? 1 ;' ) $ ) 1' ) $º )' $ t∑x x∑w t∑x x∑w w∑t w∑t

$1 ; '

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$1

0, Ze rgoff o}}eks} }n knp knpee off }ekr }n fe`} golm rdme& bnksfe}e bnksfe}e }ge rquoer olm ure }ge snse}t snse}t = = = = }go} }go} ln rquoe rquoe dr lejo}dp lejo}dpee }n rnfpe rnfpe }gdr quer}dnl quer}dnl,, Rdlbe Rdlbe o ) a ) b ) m ; =oabm& ze gope gope = = = = 1o ) 1a ) 1b ) 1m ; 7oabm, Kn Knpd pdlj lj off }ge }ge }ek }ekrr }n }ge fe`} fe`}&& ze bnksf bnksfe} e}ee }ge }ge rquo rquoe err dl }ge `nffnzdlj kolle8 1o= ) 1a= ) 1b= ) 1m=

∑ 7oabm ;'o1 ∑ a1$1 ) 1o1a1 ) 'a1 ∑ b1$1 ) 1a1b1 ) 'b1 ∑ m1$1 ) 1b1m1 ) 'm1 ∑ o1 $ ) 1 o1 m1 ∑ 7oabm ;'o1 ∑ a1 $1 ) 'a1 ∑ b1 $1 ) 'b1 ∑ m1 $1 ) 'm1 ∑ o1 $1 ) 1'oa ∑ bm$1 ) 1'ab ∑ mo$1 ;3

?5


]gdr jdper ur }ge `nffnzdlj rtr}ek n` equo}dnlr8 o1

∑ a1 ; 3 a1 ∑ b1 ; 3 b1 ∑ m1 ; 3 m1 ∑ o1 ; 3 oa ∑ bm ; 3 ab ∑ mo ; 3 Rdlbe o&a&b&m oe snrd}dpe eof lukaer ze kur} gope o ; a ; b ; m, :, Ze r}o} at ommdlj }ge }gee equo}dnlr equo}dnlr }nje}ge }nje}ge olm }t }n bnksfe}e bnksfe}e }ge rquoer, At }oidlj }ge ruk olm knpdlj off }ekr }n }ge fe`} golm rdme n` }ge equo}dnl& ze gope

 ∑ ∑ ∘ ∑    ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑   ∑ ∑ ∑ ∑ ∑    1w ) 1t ) 1x

∑ ∘=w ∑ ? ∑

=t

?

=x

?; 3

Lew}& ze mdpdme }ge equo}dnl at 1 rn }go} }ge bneflbdel} n` }ge podoafer dl }ge rumr aebnke ?, w)t)x

@dlofft& ze ln}e }go} w

' w

? =

? =

w

? ? ) ;' w = =

w

∑ ?= ∑ ?1 $1 ) '

t

? =

t

? =

x

? ;3 =

? 1 $ , At bnksfe}dlj }ge rquoer& ze gope 1

∑ ?= ∑ ?1 $1 ) '

x

∑ ?= ∑ ?1 $1 ; 3

? dr }ge nlft re} n` rnfu}dnl, 1 7, Zd}gnu} Zd}gnu} fnrr n` jeleofd} jeleofd}t t& ze rgoff mdrburr }gdr snafek snafek dl }gee mdffieel} mdffieel} borer8 Rdlbe ln rquoe dr lejo}dpe& d} `nffnzr }go} w ; t ; x ;

'o$ x dr ln} equof }n olt n` }ge `nu n}ge podoafer 'a$ t ; x olm x dr ln} equof }n }ge }gee n}ge podoafer 'b$ Off podoafe podoaferr oe equof @n }ge ﬏r} bore& ze ﬏lm }ge mdffieelbe ae}zeel }ge ﬏r} equo}dnl olm }ge n}ge `nu equo}dnlr, Ze gope t1

∑ x1 ; 1 t ∑ 1x ⇝ t ; 1 ∑ x w1 ∑ x 1 ; 1w ∑ 1x ⇝ w ; 1 ∑ x z1 ∑ x 1 ; 1z ∑ 1 ⇝ z ; 1 ∑ x p 1 ∑ x 1 ; 1p ∑ 1x ⇝ p ; 1 ∑ x zgdbg dksfder }go} p ; z ; w ; t ; 1 ∑ x , Ruar}d Ruar}d}u}e }u}e aobi aobi dl}n dl}n }ge ﬏r} ﬏r} equo}d equo}dnl& nl& ze gope gope 1 ='1 ∑ x $ ; 0 ∑ 1x zgdbg jdper ur }ge rnfu}dnlr '?&?&?&?&?$ olm '+?.1&+?.1&+?.1&+?.1&5.1$, @n }ge rebnlm bore& ze ofrn gope }ge `nffnzdlj efo}dnlrgdsr8 w1

∑ x1 ; 1w ∑ 1x ⇝ w ; 1 ∑ x z1 ∑ x 1 ; 1z ∑ 1 ⇝ z ; 1 ∑ x p 1 ∑ x 1 ; 1p ∑ 1x ⇝ p ; 1 ∑ x

Ruar}d}u}e }gere quol}d}der aobi dl}n }ge ﬏r} equo}dnl & ze gope 2'1 x $1 ) x 1 ; 0 ur }ge rnfu}dnlr '?&?&?&?&?$ olm '?.1&?.1&?.1&2.1&2.1$,

∑

∑ 1x zgdbg jdper

@dlofft zgel off n` }ge podoafer oe }ge roke& ze bol omm off }ge equo}dnlr olm bnksfe}e }ge ? ?15 rquoe& gelbe na}odldlj '1x ) $1 ; zgdbg jdper ur }ge rnfu}dnlr '?&?&?&?&?$ olm '+2.1&+2.1&+ 1 = 2.1&+2.1&+2 2.1&+ 2.1&+2.1$, .1$, Gelbe& Gelbe& }ge ﬏lof rnfu}dnlr oe '?&?&?&?&?$& '?&?&?&?&?$& '+2.1&+2.1&+2.1& '+2.1&+2.1&+2.1&+2.1& +2.1&+2.1$ +2.1$ olm seku}o+ seku}o+ }dnlr n` '+?.1&+?.1&+?.1&+?.1&5.1$ olm '?.1&?.1&?.1&2.1&2.1$, S.R8 Dlbfumem }gdr quer}dnl dld}offt aeboure D }gnujg} }gdr quer}dnl bol nlft ae rnfpem }gnujg bnksfe}dlj }ge rquoe, ]gee—r ln leem `n }go} ob}uofft,

?0


4, At bnksfe}dlj bnksfe}dlj }ge rquoe `n }ge ﬏r} 1 }ekr& ze na}odl8 na}odl8 'w1

∑ t1$ ) 1w1t1 ) x= ∑ =wtx ; ∑?

At rua}ob}dlj 1x 1 `nk }ge ewserrdnl& ze bol bnksfe}e }ge rquoe oln}ge }dke8 'w1

∑ t1$1 ) 'x1 ∑ ?$1 ) 1w1t1 ) 1x1 ∑ =wtx ; 3

Bnksfe}dlj }ge rquoe `n nle for} }dke& ze na}odl8 'w1

∑ t1$1 ) 'x1 ∑ ?$1 ) 1'wt ∑ x$1 ; 3 Gelbe& }ge rnfu}dnlr oe '? & ?& ?$& '∑?& ?& ∑?$& '?& ∑?& ∑?$, ?3, Ze bol bnksfe}e }ge buae olm ezd}e ezd}e }ge rtr}ek n` equo}dnlr equo}dnlr or

∑ 2$2 ; t2 ∑ w2 'x ∑ 2$2 ; x 2 ∑ t 2 'w ∑ 2$2 ; w2 ∑ x 2 Usnl ommd}dnl ze na}odl 'w ∑ 2$2 ) 't ∑ 2$2 ) 'x ∑ 2$2 ; 3, Zd}gnu} fnrr n` jeleofd}t& ze orruke }go} w ≥ 2, @nk }ge equo}dnl equo}dnl x 2 ∑ 4'w1 ∑ 2w ) 2$ ; 3& ze ln}e }go} x 2 ∑ 1: ; 4w'w ∑ 2$ olm gelbe x ≥ 2, Rdkdfo Rdkdfoft ft ze ze gope gope t ≥ 2, ]gdr ]gdr dksfder dksfder }go} }ge nlft nlft rnfu}d rnfu}dnl nl }n }ge equo}dn equo}dnl l dr 't

w ; t ; x ; 2,

??, Ze rgoff snpe }go} w1 t1

≥ 'oa ) bm$1 rdlbe off lukaer oe lnl+lejo}dpe, Ze gope w1 t 1 ; ' o1 ) a1 $'b1 ) m1 $

; o1 b1 ) a1 m1 ) o1 m1 ) a1 b1

≥ o1b1 ) a1m1 ) 1oabm

; ' oa ) bm$1 mue }n }ge òb} }go} o1 m1 ) a1 b1

∑ 1oabm ; 'om ∑ ab$1 ≥ 3,

Ze bol ofrn snpe }gdr quer}dnl urdlj snse}der n` mdrbdkdlol}, Bnlrdme }ge quomo}db equo}dnl 'o1 )a1 $w1 )1'ob)am$w)b1 )m1 ; 3, Usnl bnksfe}dlj }ge rquoer& ze na}odl ' ow)b$1 )'aw)m$1 ; 3, Rdlbe }ge fe`} golm rdme n` }ge equo}dnl dr jeo}e n equofr }n xen& }ge mdrbdkdlol} n` }ge quomo}db equo}dnl kur} ae rkoffe n equof }n xen& d,e,8 ='ob ) am$1

∑ ='o1 ) a1$'b1 ) m1$ ≭ 3 ⇝ wt ≥ ob ) am

?1, At rgd`}dlj off }ekr }n }ge fe`} golm rdme n` }ge dlequofd} dlequofd}t t& ze gope8 w1 ) 5t 1 ) 7x 1

∑ = ; w1 ) 5t1 ) 7x1 ) ='wt ) tx ) xw$ ; ' w ) 1t ) 1x $1 ) 't ∑ 1x $1 ≥ 3

?2, Rgd`}dlj Rgd`}dlj off }ekr }n }ge fe`}& ze gope w1 ) t1 ) x 1

;



a a)b

) ;oa

≥3

 

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b a)b

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o o)a

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    

oab ' 'o ) a$'a ) b$'b ) o$

 ∑  ∑   1

t

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a)b tx ) o

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oa b a wt ) t1 ) x1 'a ) b$'b ) o$ b)o o)a

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o)a wt ) b

a'b ) o$

b)o xw $ a



ab tx 'b ) o$'o ) a$

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bo wx 'a ) b$'o ) a$

1

) ab

Gelbe }ge ndjdlof dlequofd}t r}olmr,

t

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a'b ) o

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x

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b'o ) a$

1

  ) bo

x

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b'o ) a

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o'a ) b$



1

Bgos}e 2

@ob}ndro}dnl @ob}ndro}dnl dr o ureùf }ebgldque }go} dr zdmeft eksfntem dl KN, ]gee oe kolt }gdljr }go} ze bol mn zd}g zd}g o òb}n òb}ndre drem m `nk `nk n` ol ewser ewserrdn rdnl, l, Gee Gee oe rnke n` }ge òb}ndr òb}ndro}d o}dnl nl `nku `nkufo fo }go} }go} ze n`}el elbnul}e8 ?, oa ) ob ) am ) bm ; 'o ) m$'a ) b$ 1, ow1

∑ 'ο ) α $w ) οα ; o'w ∑ ο$'w ∑ α $ 2, o1 ∑ a1 ; 'o ) a$'o ∑ b$ =, o2 ) a2 ; 'o ) a$'o1 ∑ oa ) a1 5, o2 ∑ a2 ; ''o ∑ a$'o1 ) oa ) a1 $ Tnu kot ﬏lm }ge `nffnzdlj òb}ndro}dnl `nkufor gefsùf }nn8

∑ 2oab ; ?1 'o ) a ) b$Y'o ∑ a$1 ) 'a ∑ b$1 ) 'b ∑ o$1[, 1, o= ) =a= ; 'o1 ) 1oa ) 1a1 $'o1 ∑ 1oa ) 1a1 $ 'Rnsgde Jekodl Dmel}d}t$ 2, oi ∑ ai ; 'o ∑ a$'oi ? ) oi 1 a ) oi 2 a1 ) º º º ) ai ? $ `n snrd}dpe dl}eje i =, oi ) ai ; 'o ) a$'oi ? ∑ oi 1 a ) oi 2 a1 ∑ º º º ) ai ∑ ?$ `n nmm dl}eje i ?, o2 ) a2 ) b2

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

Gnzepe& }ge òb}ndro}dnl n` ewserrdnlr dl knr} nftksdom snafekr oe ln} napdnur olm equde }ebg+ ldquer aetnlm }gere bnkknl `nkufor, ]gere }ebgldquer dlbfume8 ?, Ruar}d}u}dnl Ruar}d}u}dnl 1, Bneflbdel} Bneflbdel} me}ekdlo}dn me}ekdlo}dnl l ke}gnm 2, @ob}n }genek }genek olm o}dnlof o}dnlof nn} }genek }genek D gope ofeomt gdjgfdjg}em }ge ure n` ruar}d}u}dnl }n òb}ndxe ewserrdnl dl }ge ﬏r} bgos}e, Nl }ge n}ge golm& }ge bneflbdel} me}ekdlo}dnl ke}gnm dr n`}el eksfntem zgel }ge òb}nr gope kne }gol }zn }ekr, @n ewoksfe& }n òb}ndre 1w1 ; :wt =t 1 2w ) 0t 1& ze ewsolm }ge ewserrdnl '1w t ) o$'w ) =t ) a$ olm bnksoe }ge bneflbdel}r }n rnfpe `n o olm a,

∑ ∑

∑

∑

Oln}ge pet snzeùf }nnf zgdbg dr n`}el eksfntem }n òb}ndre rtkke}db n btbfdb snftlnkdof dr òb}n }genek, ]ge òb}n }genek rdksft r}o}er }go} d` S 'o$ ; 3 `n rnke snftlnkdof S 'w$& }gel 'w o$ dr o òb}n n` }ge snftlnkdof, Fe} ur ure }gdr }genek }n òb}ndre o2 'a b$ ) a2 'b o$ ) b2 'o a$, At }oidlj o or }ge sdlbdsfe podoafe olm epofuo}dlj S 'a$& ze gope8

∑

S 'a$ ; a2 'a

∑

∑

∑

∑ b$ ) a2'b ∑ a$ ) b2'a ∑ a$ ; 3 Gelbe 'o ∑ a$ dr o òb}n n` }ge ewserrdnl, Rdkdfoft& 'a ∑ b$ olm 'b ∑ o$ oe ofrn òb}nr n` }ge ewserrdnl, Lnz ze }t }n fe} o ; ∑a ∑ b olm ree zgo} ze na}odl8 S '∑a ∑ b$ ; '∑a ∑ b$2 'a ∑ b$ ) a2 Yb ∑ '∑a ∑ b$[ ) b2 Y'∑a ∑ b$ ∑ a[ ; 3 ?:

?7

BGOS]EQ 2, @OB]NQDRO OB]NQDRO]DNL ]DNL

]gdr rujjer}r }go} 'o ) a ) b$ dr o òb}n }nn, D} reekr reekr fdie }ge ewserr ewserrdnl dnl dr dl }ge `nk n` O'o ) a ) ulilnzl bnlr}ol}, bnlr}ol}, Usnl ped`tdlj ped`tdlj zd}g }ge dld}dof ewserrdnl& ewserrdnl& ze b$'o a$'a b$'b o$ zgee O dr ol ulilnzl 2 2 2 na}odl O ; ? olm gelbe o 'a b$ ) a 'b o$ ) b 'o a$ ; ' o ) a ) b$'o a$'a b$'b o$,

∑

∑

∑

∑

∑

∑ ∑ ∑ ∑ D} dr n`}el ureùf }n bgebi pofuer rubg or o ; ∑a ∑ b }n ree d` ' o ) a ) b$ dr o òb}n n` }ge ewser+ rdnl urdlj òb}n }genek }genek 'knr} n` }ge }dke& d} dr$, Dl ommd}dnl& d` }ge ewserrdnl ewserrdnl dr btbfdb& btbfdb& ln}e }go} }ge òb}nr n` }ge btbfdb ewserrdnl zdff ae btbfdb }nn, Rn d` 'o ∑ a$ dr o òb}n n` }ge btbfdb ewserrdnl& lo}uofft 'a ∑ b$ olm 'b ∑ o$ oe ofrn òb}nr n` }ge ewserrdnl, @dlofft& }ge o}dnlof nn} }genek dr o }nnf }go} eloafer nle }n ﬏lm }ge òb}nr n` rdljfe podoafe snftln+ s kdofr, ]ge o}dnlof o}dnlof nn} }genek r}o}er r}o}er }go} d` w ; dr o nn} n` o snftlnkdof S 'w$ ; ol wl ) ) o3 olm

ººº

q

' s&q $ ; ?& }gel ze kur} gope s o3 olm q ol , @n ewoksfe& russnre ze zol} }n òb}ndre w2 1w1 1w 2, At }ge o}dnlof nn} }genek& }ge nlft snrrdafe o}dnlof nn}r oe ?& ?& 2& 2, Usnl ruar}d}u}dlj ruar}d}u}dlj aobi aobi dl}n }ge equo}dnl& ze eofdre }go} w ; 2 dr o nn} n` }ge snftlnkdof olm gelbe ze bol òb}ndre }ge snftlnkdof dl}n 'w 2$'w1 ) w ) ?$,

v

v

∑

∑

∑

∑ ∑

∑

2,?


Zeff& D juerr tnu gope eofdrem }go} }gdr dr }ge ossfdbo}dnl }go} ofknr} off }ebgldquer dl ofjeao gope dl bnkknl, ]ge ureùflerr n` òb}ndro}dnl }ebgldque dr esd}nkdrem dl rnfpdlj equo}dnlr n` gdjge mejee, Dl Rebnlmot 1& r}umel}r oe }oujg} }n ure }ge ke}gnm n` òb}ndro}dnl }n rnfpe rdksfe quomo}db equo}dnlr, Urdlj o}dnlof nn} }genek& ze bol ofrn o}}eks} }n rnfpe equo}dnlr n` gdjge mejee at juerrdlj }ge nn}r, Ob}uofft& d} dr ofrn snrrdafe }n rnfpe buadb equo}dnlr hur} at urdlj }ebgldque n` òb}ndro}dnl zd}gnu} }ge ure n` o}dnlof nn} }genek, Rnfpe }ge equo}dnl w2 ) sw ) q ; 3, ? 'o ) a ) b$Y'o a$1 ) 'a b$1 ) 'b o$1 [, Ze rgof rgofff 1 ure }ge bneflbdel} bneflbdel} me}ekdldlj me}ekdldlj ke}gnm }n òb}ndre òb}ndre }ge oanpe equo}dnl dl}n }gdr `nk, ]ge }ek w2 ) q zdff eserel} }ge o2 ) a2 ) b2 sn}dnl zgdfe }ge }ek sw zdff eserel} }ge }ek 2oab, Ze gope8

Qeboff }ge òb}ndro}dnl o2 ) a2 ) b2

∑ 2oab ;

∑

∑

∑

∑

o2 ) a2 ; q s oa ;

∑

2

Ze }oie }ge buae n` }ge rebnlm equo}dnl olm na}odl }ge `nffnzdlj rtr}ek8 o2 ) a2 ; q

∑ s2 oa ; 1:

Lnz ze bol rnfpe `n o olm a rdlbe o2 olm a2 oe lnz }ge nn}r n` }ge quomo}db equo}dnl x 1

2

∑ qx ∑ s1: ; 3,

Ze }gel ure }ge quomo}db `nkufo }n bofbufo}e }ge pofue n` o2 olm a2 , Ze ﬏lofft medpe }go}8 o;

  2

q

1

)

q1

=

)

s2

1:

&

a;

  2

q

∑ 1

q1

=

)

s2

1:

Ze hur} rubberrùfft ezn}e }ge ndjdlof equo}dnl dl }ge `nk n` w2 ) o2 ) a2 2woa ; 3, @ob}ndrdlj ob}ndrdlj ? tdefmr 'w ) o ) a$''w o$1 ) ' o a$1 ) ' a w$1 $ ; 3, Gelb Gelbee }n na}odl na}odl w& ze hur} gope }n rnfpe }ge 1 `nffnzdlj fdleo olm quomo}db equo}dnl8

∑

∑

'w ) o ) a$ ; 3 Rnfpdlj tdefmr8 w? ;

∑o ∑ a&

∑

∑

''w

∑ o$1 ) 'o ∑ a$1 ) 'a ∑ w$1$ ; 3 ∘ 'o ∑ a$ 2 o)a ¿ 1 d w1&2 ; 1

?4


2,1 2,1

Luk Lukae ]gen ]gent t

@ob}ndro}dnl sfotr ol dksn}ol} nfe dl lukae }gent snafekr& ersebdofft dl }ge mdrburrdnl n` sdke lukaer olm bnksnrd}e lukaer, ]gee zee kolt sor} RKN quer}dnlr nl lukae }gent zgdbg kome ure n` òb}ndro}dnl, ]gdr zor o quer}dnl zgdbg osseoem dl RKN'H$ 1lm Qnulm dl 1337, Me}ekdle off sdker s rubg }go} 5 s ) = s= dr o seèb} rquoe, ]n rnfpe }gdr snafek& ze fe} 5 s ) = s= ; l1 `n rnke snrd}dpe dl}eje l, Ze gope 5 s ; 'l 1 s1 $'l ) 1 s1 $, Rdlbe off podoafer oe dl}ejer& ze dlè }go} l ) 1 s1 olm l 1 s1 oe be}odl be}odl snzer snzer n` 5, Rn russnre russnre efdkdlo}ee l at }oidlj }ge l ) 1 s1 ; 5r olm l 1 s1 ; 5} rubg }go} r ) } ; s olm 3 r 6 }, Ze bol efdkdlo} mdffieelbe n` }ge }zn ewserrdnlr& gelbe na}odldlj = s1 ; 5r '5} r ?$, Napdnurft Napdnurft d` r < 3& s kur} ae 5 olm dlmeem }ge ewserrdnl dr o seèb} rquoe, D` r ; 3 olm } ; s& ze gope 5 s ; = s1 ) ?, Gnzepe Gnzepe& & ze bol s 1 snpe }go} 5 < = s ) ? d` s < ? urdlj ko}geko}dbof dlmub}dnl, Gelbe& }ge nlft rnfu}dnl }n }ge snafek dr s ; 5,

∑ ≭

∑

2,2 2,2

∑

∑

∑


?, @ob}ndre }ge `nffnzdlj ewserrdnlr8 'o$ w= ) w1 ) ? 'a$ w?3 ) w5 ) ? 'b$ w5 ) w ) ? 'm$ w4 ) w=

∑w∑?

1, @ob}ndre }ge `nffnzdlj ewserrdnl8

∑ a$2 ) 'a ∑ b$2 ) 'b ∑ o$2 'a$ 'o ) 1a ∑ 2b$2 ) 'a ) 1b ∑ 2o$2 ) 'b ) 1o ∑ 2a$2 'b$ 'o ) a ) b$2 ∑ o2 ∑ a2 ∑ b2 'm$ oa'o1 ∑ a1 $ ) ab'a1 ∑ b1 $ ) bo'b1 ∑ o1 $ 'e$ o1 ∑ 2a1 ∑ 7b1 ) 1oa ) 1ab ) ?=bo 2, Jdpel Jdpel }go} w7 ) w: ) w0 ) º º º ) w ) ? ; 3& epofuo}e epofuo}e w?447 ) w?44: ) º º º ) w1 ) w ) ?, 'o$ 'o

=, @dlm off sodr sodr n` dl}ejer dl}ejer 'w& t$ rubg }go} w2 ) t 2 ; ' w ) t $1 , 5, 'RKN'H$ 'RKN'H$ 13?? @dr} Qnulm S1$ D} dr ilnzl }go} }ge nn}r n` }ge equo}dnl w5 ) 2w= =3=??7w2 ?1?21201w1 ?1?21202w 13??1 ; 3 oe off dl}ejer, dl}ejer, Gnz kolt kolt mdr}dlb} nn}r mner }ge equo}dnl gope>

∑

∑

∑

0, 'RKN'R$13?? 'RKN'R$13?? @dr} @dr} Qnulm S21$ D} dr jdpel }go} s dr o sdke lukae rubg }go} w2 ) t 2 `n rnke snrd}dpe dl}ejer w olm t, Me}ekdle }ge fojer} snrrdafe pofue n` s,

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∑ 2wt ; s ∑ ?

:, 'RKN'R$1330 'RKN'R$1330 @dr} @dr} Qnulm S14$ Fe} o& a ae }zn dl}ejer, Russnre w1 w ? dr o òb}n n` snftlnkdof 5 = ow ) aw ) ?, @dlm }ge pofue n` o,

∑ ∑

7, 'RKN'R 'RKN'R$13 $1330 30 @dr} @dr} Qnulm Qnulm S23$ S23$ Gn Gnz z kolt kolt nmee nmeem m sodr sodr n` dl}ej dl}ejer er 'w& t$ ro}dr`t }ge equo}dnl 1330w 1330t 1330 ; 3> w t ) t w ) 1330wt

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4, 'RKN'N$1330 'RKN'N$1330 @dr} Qnulm S4$ Russnre ` dr o ùlb}dnl ro}dr`tdlj ` 'w ) w w ; 3, Me}ekdle }ge pofue n` ` '2$

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?2, Fe} o&a&b ae snrd}dpe eof lukaer ro}dr`tdlj 'o1 ) a1 ) b1 $1 < 1'o= ) a= ) b= $, Snpe Snpe }go} }go} o&a&b kur} ae }ge }gee rdmer n` }ge roke }doljfe, ?=, 'DKN ?404$ Rgnz }go} `n `n olt snrd}dpe dl}ejer dl}ejer l& }gee ewdr} dl﬏ld}eft kolt o rubg }go} }ge lukae = l ) o dr ln} sdke,

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'w1 ) w ) ?$'w?1 ) w4 ) w0 ) w2 ) ?$ ; w= ) w2 ) w1 ) w ) ? ; 'w1 ) w ) ?$'w7 w: ) w5 w= ) w2 w ) ?$

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Ln}e8 @n so} 'a$& 'b$& 'm$& ze bol ure bnksfew lukaer }n rgnz }go} w1 ) w ) ? dr o òb}n òb}n n` }ge ewserrdnl ewserrdnl,, Fe} ur ure so} 'a$ }n dffur}o}e dffur}o}e }gdr, Russnre τ? olm τ1 oe }ge bnksfew nn}r n` }ge 2 equo}dnl w ? ; 3, Rdlbe 'w ?$'w1 ) w ) ?$ ; 3& ze gope τ?1 ) τ? ) ? ; 3 olm τ11 ) τ1 ) ? ; 3, Ze ln}e }go} τ??3 ) τ?5 ) ? ; τ?1 ) τ? ) ? ; 3 olm τ1?3 ) τ15 ) ? ; τ11 ) τ1 ) ? ; 3, At òb} òb}n n 1 }genek& ze ilnz }go} w ) w ) ? kur} ae o òb}n n` }ge ewserrdnl,

∑

∑

1, 'o$ At urdlj urdlj }ge }ge snse snse}t }t }go} }go} o2 ) a2 ) b2 ; 2oab zgel o ) a ) b ; 3& ze gope 'o a$2 ) ' a b$2 ) 'b o$2 ; 2' o a$'a b$'b o$, 'a$ At urdlj }ge roke snse}t snse}t or }ge sepdnur sepdnur so}& ze gope gope 'o ) 1 a 2b$2 ) ' a ) 1 b 2o$2 ) 'b ) 1o 2a$2 ; 2' o ) 1a 2b$'a ) 1b 2o$'b ) 1o 2a$, 'b$ Fe} o ae }ge sdlbdsof podoafe n` }ge ùlb}dnl, Russnre o ; a, Ze gope

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At òb}n }genek& ze ilnz }go} 'o ) a$ dr o òb}n òb}n n` }ge ewserr ewserrdnl dnl,, Rdlbe Rdlbe }ge ewser ewserrdn rdnl l dr o btbfdb ewserrdnl& ' a ) b$ olm 'b ) o$ kur} ae òb}nr n` }ge ewserrdnlr ewserrdnlr }nn, Gelbe& Gelbe& }ge òb}ndrem `nk n` }ge ewserrdnl kur} ae O'o ) a$'a ) b$'b ) o$ zgee O dr o bnlr}ol}, Usnl ewsolrdnl& ze rnfpe }go} O ; 2 olm }ge òb}ndrem `nk n` }ge ewserrdnl dr 2' o ) a$'a ) b$'b ) o$, 'm$ Fe} o ae }ge sdlbdsof podoafe n` }ge ùlb}dnl, Russre o ; a, Ze gope ` 'a$ ; a1 'a1

∑ a1$ ) ab'a1 ∑ b1$ ∑ ab'b1 ∑ a1$ ; 3

Gelbe 'o a$ dr o òb}n n` }ge ewserrdnl, Rdlbe }ge ewserrdnl dr o btbfdb& 'a oe ofrn }ge òb}nr n` }ge ewserrdnl, Lnz ze russnre o ; a b, Ze gope

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∑ b$ olm 'b ∑ o$

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]gee`ne 'o ) a ) b$ dr o òb}n òb}n n` }ge ewserr ewserrdnl dnl,, ]ge ndjdlo ndjdloff ewser ewserrdn rdnl l dr dl }ge `nk n` ewsolrdnl olm bgebid bgebidlj lj }ge bneflbdel}r& bneflbdel}r& ze medpe medpe O'o ) a ) b$'o a$'a b$'b o$, Usnl ewsolrdnl O ; ? olm gelbe }ge òb}ndrem `nk dr ' o ) a ) b$'a o$'b a$'o b$, 'e$ Ln}e Ln}e }go} o1 ) 1oa 2a1 ; 'o ) 2a$'o 1a$, Ze russnre }go} }ge òb}ndrem ewserrdnl n` }ge equo}dnl dr 'o ) 2a ) kb$'o a ) lb$ `n rnke bnlr}ol}r k& l }go} ze zol} }n me}ekdle, Usnl ewsolrdnl& ze na}odl o1 2a1 7b1 ) 1oa ) 1ab ) ?=bo ; o1 2a1 ) klb1 ) 1oa ) '2l k$ab ) 'k ) l$bo, Ze leem }n rnfpe }ge `nffnzdlj rtr}ek n` equo}dnlr8

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

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1 1 Gelbe 0t )? 3 olm rdlbe t dr ol dl}eje& t bol nlft nlft ae ? n 1, Gelbe& Gelbe& }ge ﬏pe ﬏pe snrrdafe snrrdafe rnfu}dnlr oe 'i& i$& '?& ?$& '1& ?$& '?& 1$& '1& 1$

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∑ 2wt ) ? ; ς?2 ∑ 2wt1 ∑ 2w1t ∑ 2wt ) ? ; ς?2 ) ? ∑ 2ς? ς1 ∑ 2ς1 ; 'ς? ) ?$'ς?1 ∑ ς? ) ?$ ∑ 2ς1 'ς? ) ?$ ; 'ς? ) ?$'ς?1 ∑ ς? ∑ 2ς1 ) ?$ ; 'w ) t ) ?$'w1 ) t1 ∑ wt ∑ w ∑ t ) ?$ ;s

Rdlbe w ) t ) ? < ?& ze kur} gope w ) t ) ? ; s olm w1 ) t 1 wt w t ) ? ; ?, @nk }ge rebnl rebnlm m 1 1 equo}dnl& ze gope w ) t urdlj }ge eruf} eruf} dl snafek snafek =& ze ilnz ilnz }go} }ge wt w t ; 3, At urdlj nlft rnfu}dnlr oe '?& ?$& '1& ?$& '?& 1$& '1& 1$, Gelbe& }ge fojer} sdke s dr 5 zgel w ; t ; 1,

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

:, Russnre }ge òb}ndrem òb}ndrem `nk n` }ge ewserrdnl ewserrdnl dr ' w1 w ?$'ow2 ) bw1 ) mw ?$, Usnl ewsolrdnl& ze gope ow5 ) aw= ) ? ; ow5 ) 'b o$w= ) 'm b o$w2 '? ) m ) b$w1 ) '? m$w ) ?, At bnkso bnksodlj dlj bneflbdel}r bneflbdel}r&& ze na}odl }ge `nffnzdlj `nffnzdlj rtr}ek n` equo}dnlr8 equo}dnlr8

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Gelbe ze kur} gope wt ; 1330, ]gee oe 7 snrrdafe rnfu}dnlr8 '?& 1330$& '1& ?332$& '?:& ??7$& '2=& 54$& '54& 2=$& '??7& ?:$& '?332& 1$& '1330& ?$ 4, ` 'w ) w

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12


?3, Fe} t ; w2 ) 2w ) ?, At rgd`}dlj rgd`}dlj off }ekr }n }ge fe`} ze gope gope w2 ) 2w ) ? t ; 3, Ze zol} }n zd}e }gdr dl }ge `nk n` w2 ) o2 ) a2 2oaw ; 3 rn }go} ze bol òb}ndre }ge ewserrdnl, At bnksodlj }ekr& ze gope8

∑

∑

o2 ) a2 ; ?

∑t oa ; ∑? @nk }ge rebnlm equo}dnl& ze gope o2 a2 ; ∑?, Gelbe& Gelbe& o2 olm a2 oe }ge nn}r n` }ge quomo}db equo}dnl }1 ∑ '? ∑ t $} ∑ ? ; 3, At urdlj }ge quomo}db `nkufo& ze gope8 o;

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∑ 2oaw ze na}odl 'w ) o ) a$'w1 ) o1 ) a1 ∑ ow ∑ aw ∑ oa$ ; 3, t ∑ ? ) t 1 ∑ 1t ) 5 t ∑ ? ∑ t 1 ∑ 1t ) 5 @nk }ge ﬏r} òb}n& ze na}odl w ; ∑o ∑ a ; ) , 1 1 ∘ ∘ w ∑ ? ) w1 ∑ 1w ) 5 w ∑ ? ∑ w1 ∑ 1w ) 5 ? ]gdr rujjer}r }go} ` 'w$ ; ) & olm gelbe o ;

  

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∑ 1'o= ) a= ) b=$ ; 1o1a1 ) 1a1b1 ) 1b1o1 ∑ o= ∑ a= ∑ b= ; ∑'o1 ∑ a1 $1 ∑ b= ) b1 '1o1 ) 1a1 $ ; ∑'o ) a$1 'o ∑ a$1 ∑ b= ) b1 Y'o ) a$1 ) 'o ∑ a$1 [ ; ∑Y'o ) a$1 ∑ b1 [Y'o ∑ a$1 ∑ b1 [ ; 'o ) a ) b$'o ) a ∑ b$'o ∑ a ) b$'∑o ) a ) b$ < 3

Rdlbe }ge ewserrdnl dr foje }gol 3& ze ed}ge gope off `nu òb}nr }n ae foje }gol 3 n }zn n` }ge òb}nr òb}nr }n ae foje }gol xen, Russnre d} dr }ge fo}}e bore, Zd}gnu} Zd}gnu} fnrr n` jeleofd}t jeleofd}t& fe} ur orruke orruke }go} o a ) b 6 3 olm a ) b o 6 3, ]oidlj }ge ruk n` }gere }zn }zn dlequofd}der& dlequofd}der& ze na}odl 1b 6 3 zgdbg dr o bnl}omdb}dnl, Gelbe& off `nu òb}nr n` }ge ewserrdnl kur} ae foje }gol xen, Ze gope8

∑

∑

o)b < a o)a
Rdlbe }ge }gee lukaer ro}dr`t }ge }doljfe dlequofd}t& }get bol `nk rdmer n` o }doljfe, ?=, Ze rgoff snpe snpe }go} l= ) =i= dr o bnksnrd}e lukae `n off snrd}dpe dl}ejer i, At urdlj }ge Rnsgde+ Jekodl Dmel}d}t& ze gope l= ) = i = ; 'l1 ) 1 li ) 1 i 1 $'l1 1li ) i 1 $, D} ruflber ruflber }n snpe snpe }go} }go} 1 1 1 1 1li ) 1i < ?& zgdbg dr }ue rdlbe ' l i$ ) i ? < 3, Rdlbe }gee dr ol dl﬏ld}e oknul} n` l bgndber `n i& }ge snsnrd}dnl dr snpel,

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∑

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∑

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Mdrb Mdrbd dkd kdlo lol l} olm Pde Pde}o }o—r —r }gen }gene ek k

]ge mdrbdkdlol} n` o quomo}db equo}dnl dr jdpel at }ge ewserrdnl ; a1 =ob, D} dr o zeff+il zeff+ilnz nzl l òb} }go} o quomo}db equo}dnl gor 1 mdr}dlb} eof nn}r d` < 3& }zn equof eof nn}r zgel ; 3 olm }zn mdr}dlb} bnksfew nn}r zgel equo}dnl gor }zn }zn eof nn}r& ze 6 3, D` d} dr r}o}em }go} o quomo}db equo}dnl bol memube }go} 3, 'Ln}e }go} }gdr bnlmd}dnl dlbfumer }ge rd}uo}dnl zgel }ge }zn nn}r oe equof, D ekekae }go} D urem }n ejom equof nn}r or nle eof nn} olm olrzeem ol RKN snafek znljft$,

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Knr} r}umel}r r}umel}r oe ozoe ozoe n` }ge ossfdbo}dnl ossfdbo}dnl n` mdrbdkdlo mdrbdkdlol} l} }n me}ekdle me}ekdle }ge lukae n` eof nn}r, ]ge mdrbdkdlol} bol ofrn bnke dl golmt d` d} dr r}o}em }go} }ge nn}r n` }ge quomo}db equo}dnl oe dl}ejer n o}dnlof o}dnlof lukaer lukaer,, Dl an}g borer& borer& }ge nn} n` }ge mdrbdk mdrbdkdlo dlol} l} kur} kur} ae o o}dnlof o}dnlof lukae lukae d,e, }ge mdrbdkdlol} kur} ed}ge ae o seèb} rquoe n }ge rquoe n` o o}dnlof lukae, Snafek nle dl }ge rebnlm nulm n` RKN'H$1330 dffur}o}er }gdr dmeo8 @dlm off dl}ejer 'w& t$ }go} ro}dr`t }ge `nffnzdlj equo}dnl8 w ) t ; w1

∑ wt ) t1

Qeooljdlj tdefmr w1 't ) ?$ w ) t 1 t ; 3, Rdlbe Rdlbe }ge rnfu}dn rnfu}dnlr lr oe dl}ej dl}ejer er&& }gdr }gdr dksfde dksfderr }go} }go} }ge 1 mdrbdkdlol mdrbdkdlol}} dr o seèb s eèb}} rquoe, rquoe, ]ge mdrbdkdlol} mdrbdkdlol} n` }gdr equo}dnl equo}dnl dr ; 0t 2t ) ?& zgdbg dr foje }gol xen nlft zgel t ; 3& ?& 1, D} }ulr nu} }go} }ge mdrbdkdlol mdrbdkdlol}} dr o seèb} rquoe `n }gere pofuer& pofuer& olm }gdr jdper ur }ge 0 rnfu}dnlr ' w& t $ ; '3& 3$& '?& 3$& '3& ?$& '1& ?$& '?& 1$& '1& 1$,

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Pde}o— Pde}o—rr }gene }genek k dr zdmeft zdmeft ossfde ossfdem m dl KN snafekr snafekr dl podnur odnur `nkr, `nkr, D} dr ofrn ureùf ureùf }n ossft ossft Pde}o— Pde}o—rr }genek d` }ge rdjlr n` }ge nn}r oe jdpel& rdlbe }ge rdjlr n` }ge bneflbdel}r oe meselmel} nl }ge rdjlr n` eobg nn}, 1=

15

BGOS]EQ =, =, KDRBEFFOLENU KDRBEFFOLENUR R ]EBGLD_UER ]EBGLD_UER DL OFJEAQO OFJEAQO

=,1 =,1

Ke}g Ke}gnm nm n` mdffie mdffiee elb lber er

]ge errelbe n` }gdr ke}gnm dr }n aeoi mnzl ol ewserrdnl dl}n mdffieelber olm efdkdlo}e }ekr at }oidlj }eferbnsdlj }eferbnsdlj ruk, ]gdr ke}gnm dr n`}el ossfdem ossfdem 'au} ln} fdkd}em }n$ d` }ge ewserrdnl ewserrdnl bnl}odlr bnl}odlr `ob}dnlr `ob}dnlr n òb}ndofr, ]n rsfd} o `ob}dnl dl}n d}r bnersnlmdlj mdffieelbe ewserrdnl& ze n`}el eksfnt }ge ke}gnm n` so}dof `ob}dnlr, Jeleofft ze gope8 ?, 1, 2,

i

'ow ) a$'bw ) m$ i

'ow )

a$1

;

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O A ) ow ) a bw ) m

O A ) 'ow ) a$1 ow ) a

i

'ow1

) aw ) b$'mw ) e$

;

Ow ) A B ) 1 ow ) aw ) b mw ) e

Oso} `nk bneflbdel} me}ekdldlj ke}gnm& }gee—r o rgn}bu} }go} offnzr ur }n memube }ge bnlr}ol}r n` }ge lukeo}n lukeo}n n` }ge so}dof `ob}dnlr `ob}dnlr qudbift qudbift d` }ge melnkdlo}nr melnkdlo}nr oe fdleo ewserrdnlr, ewserrdnlr, ]n dffur}o}e }gdr rgn}bu}& bnlrdme }ge snafek aefnz, @dlm o jeleof `nkufo `n }ge ruk

?

? 1

Ú Ú2

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1

? 2

Ú Ú=

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? º º º ) l'l ) ?$' l ) 1$

? Ze zol} }n mebnksnre }ge `ob}dnl l'l)?$' `ob}dnlr, ]n ﬏lm }ge bnlr}ol} bnlr}ol} oanpe l)1$ dl}n d}r so}dof `ob}dnlr, }ge l }ek& ze bol djlne }ge l so} dl }ge ndjdlof `ob}dnl olm ruar}d}u}e l ; 3 dl}n }ge `ob}dnl, ]gdr jdper ur }ge pofue ?1 & zgdbg zdff ae }ge bnlr}ol} bnlr}ol} }ek n` }ge so}dof `ob}dnl, `ob}dnl, Rdkdfoft Rdkdfoft&& ze djlne }ge ewserrdnl l ) ? olm ruar}d}u}e l ; ? dl}n }ge `ob}dnl& medpdlj +? or }ge bnlr}ol} }ek n` }ge so}dof `ob}dnl zd}g melnkdlo}n l ) ?, @dlofft ze djlne }ge ewserrdnl l ) 1 olm ruar}d}u}e l ; 1 dl}n }ge `ob}dnl& na}odldlj ?1 or }ge bnlr}ol} }ek n` }ge ﬏lof so}dof `ob}dnl zd}g melnkdlo}n l ) 1, Ze gope gope88

∑

? ? ; 1l l'l ) ?$'l ) 1$

∑

∑ l )? ? ) 1'l ?) ?$

At }eferbnsdlj ruk& ze gope8 ?

? 1

Ú Ú2

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1

? 2

Ú Ú=

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? =

1

=l ) ? ∑ 1l1'll ))?$' l ) 1$

Gee—r o snafek zgdbg dlpnfper òb}ndofr, 'RKN'R$?444S1=$ Epofuo}e ? Ln}e }go} l

=,2 =,2

Ú ?/ ) 1 Ú 1/ ) 2 Ú 2/ ) º º º ) 4 Ú 4/,

Ú l/ ; 'l ) ?$/ ∑ l/, Urdlj }gdr òb}& ze gope ? Ú ?/ ) 1 Ú 1/ ) 2 Ú 2/ ) º º º ) 4 Ú 4/ ; ?3/ ∑ ? ; 2017:4,

Ke}g Ke}gnm nm n` ﬏wem ﬏wem o}d o}dnr nr

]gdr }ebgldque dr ossfdboafe }n quer}dnlr }go} gor repeof equof quol}d}der rubg or o ; a ; b ; m, D} dr uruofft kne ureùf `n snafekr zd}g o ﬏wem o}dn n quol}d}der dl ewsnlel}dof `nk, Jdpel o bnlmd}dnl o b e ; ; & ze bol fe} }gdr quol}d}t equo}e }n o bnlr}ol} i olm medpe o ; ai& b ; mi& e ; ` i zgdbg a

m

`

kot ae ureùf dl rnfpdlj }ge snafek, Nl }ge n}ge golm& }n koloje ewsnlel}dof efo}dnlrgdsr fdie ow ; at ; bx & ze bol equo}e }gdr quol+ }d}t }n oln}ge bnlr}ol} i olm }oie fnjod}gk }n na}odl }ge efo}dnlrgds w ; fnjo i & t ; fnja t olm x ; fnjb x ,

10


Bnlrdme }gdr snafek8 'ODKE75S:$ Russnre o&a&b&m oe snrd}dpe dl}ejer }go} ro}dr`t o5 ; a = b2 ; m 1 b

Epofuo}e m

∑ o ; ?4

∑ a,

@nk }ge ﬏r} bnlmd}dnl& ze bol fe} o5 ; a= ; e1 3 `n rnke dl}eje e, Ofrn Ofrn&& ze bol fe} fe} b2 ; m1 ; ` 0 `n rnke dl}eje ` , @nk }ge }gdm bnlmd}dnl& bnlmd}dnl& ze gope ` 1 e= ; ?4 '` e1 $'` ) e1 $ ; ?4, ?4, Rdlb Rdlbee 1 1 ?4 dr o sdke& ze kur} gope ` e ; ?& ` ) e ; ?4, Rnfp Rnfpdl dlj j tdefm tdefmrr e ; 2 olm ` ; ?3, ?3, Gelb Gelbe& e& 2 5 2 ; :5:, m a ; ?3

∑

=,=

∑

∑

∑

⇝ ∑

Jenk Jenke} e}d db b bnlr} bnlr}u ub} b}dn dnlr lr

]gdr bforr n` snafekr oe pet }dbit aeboure zd}gnu} }ge dlrsdo}dnl }n ure mdojokr }n rdksfd`t }ge snafek snafek d} bol ae pet pet }emdnur }n rnfpe rnfpe }ge snafek, snafek, Nle kur} ae pet pet relrd}dpe relrd}dpe }n ofjeaodb ofjeaodb ewserrdnlr ewserrdnlr zgdbg osseo fdie o jenke}db `nkufo rubg or }ge St}gojneol ]genek& bnrdle ufe& equo}dnlr n` bdbfer& e}b, ]ge `nffnzdlj snafek zor }oie `nk RKN'H$ for} teo8 'RKN'H$13?? @dr} Qnulm S?=$ Fe} o&a&b ae snrd}dpe eof lukaer rubg }go} o1 ) oa ) a1 ; 15 a1 ) ab ) b1 ; =4 b1 ) bo ) o1 ; 0=

@dlm 'o ) a ) b$1 , Ze leem }n ilnz }ge pofue n` oa ) ab ) bo dl nme }n epofuo}e }ge quol}d}t 'o ) a ) b$1 , D} dr dr na na+ pdnurft pdnurft dksnrrdafe dksnrrdafe }n bofbufo}e bofbufo}e }gdr pofue pofue mdeb}ft `nk }ge rtr}ek n` equo}dnlr, equo}dnlr, Gnzepe Gnzepe& & ze ln}dbe }go} }ge djg} golm rdme n` }ge equo}dnlr oe off seèb} rquoer, Ofrn& eboff }ge bnrdle ufe zgdbg r}o}er }go} rnkezgo} rdkdfo }n }ge rtr}ek rtr}ek n` equo}dnlr& equo}dnlr& snpdmem snpdmem o1 ; a1 ) b1 1ab bnr O `n }doljfe OAB , D} fnnir rnkezgo} }go} }go} }ge oljfe oljfe dl }ge bnrdle bnrdle ufe ewserr ewserrdnl dnl dr ?13 mejeer mejeer,, N` bnure& bnure& d} dr dksnrrd dksnrrdafe afe }n bnlr} bnlr}ub} ub} o }doljfe }doljfe rubg }go} eobg eobg oljfe dr ?13 mejeer, mejeer, Ze bol& gnzepe gnzepe& & bnlr}ub} }gee fdler `nk o sndl} rubg }go} }ge oljfe ae}zeel eobg fdle dr ?13 mejeer, Bnlrdme }ge }doljfe aefnz8

∑

Ze fe} OM ; o& AM ; a& BM ; b, Urdlj bnrdle bnrdle ufe& ze medpe medpe }go} OA ; 5& AB ; :& B O ; 7, Ze r}dff leem }n ﬏lm nu} }ge pofue n` oa ) ab ) bo, Bnlrdme Bnlrdme }ge rdle `nkufo `nkufo `n oeo n` }doljfe }doljfe zgdbg ? r}o}er }go} R OAB OAB ; 1 ab rdl O, Ze ln}e }go} }ge oeo n` }ge foje }doljfe dr equof }n }ge ruk n` oeor n` }ge }gee rkoff }doljfer, }doljfer, At equo}dlj }gere }zn quol}d}der quol}d}der urdlj Genl—r Genl—r `nkufo olm rdle `nkufo `n oeo& ze gope8

v v

v v

v v

v v

v v

v v

? 'oa ) ab ) bo$rdl?13 ; ?3'5$'1$'2$ 1 oa ) ab ) bo ; =3 ◠



@dlofft& ze gope 'o ) a ) b$1 ; o1 ) a1 ) b1 ) 1'oa ) ab ) bo$ ; ?1 '15 ) =4 ) 0= ) 2

Ú =3$ ; ?14,

1:


=,5 =,5


?, 'RKN'R$1334 'RKN'R$1334 @dr} Qnulm S2$ D` }zn }zn eof lukaer lukaer o olm a oe olmnkft bgnrel `nk }ge dl}epof '3& ?$& ﬏lm }ge snaoadfd}t }go} }ge equo}dnl w1 ow ) a ; 3 gor eof nn}r,

∑∘

1, 'RKN'R$1330 'RKN'R$1330 @dr} @dr} Qnulm S25$ Fe} s ae ol dl}eje rubg }go} an}g nn}r n` }ge equo}dnl 5w1 5 sw ) '00 s ?$ ; 3 oe snrd}dpe dl}ejer, @dlm }ge pofue n` s,

∑

∑

2, 'ODKE1337S 'ODKE1337S:$ :$ Fe} & r& olm } ae }ge }gee nn}r n` }ge equo}dnl 7w2 ) ?33?w ) 13 1337 37 ; 3, @dlm @dlm 2 ' ) r$ ) 'r ) }$2 ) '} ) $2 , =, 'ODKE13??S 'ODKE13??S?5$ ?5$ Fe} S 'w$ ; w1 2w 4, O eof lukae w dr bgnrel o} olmnk `nk }ge dl}epof 5 o) a) b m ?5, ]ge snaoadfd} snaoadfd}t t }go} & zgee o&a&b&m w S 'w$ ; S ' w $ dr equof }n e olm e oe snrd}dpe dl}ejer olm lnle n` o& a& b& m olm e oe snrd}dpe dl}ejer, @dlm o ) a ) b ) m ) e,

∑ ∑

≭



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∘

  



5, Bnksu}e Bnksu}e ?/'?1 ) ? ) ?$ ) 1/'11 ) 1 ) ?$ ) 2/'21 ) 2 ) ?$ ) 0, Bnksu} Bnksu}ee ?

≭

∘ ∘∑

º º º ) 4/'41 ) 4 ) ?$,

Ú 1 ) 1 Ú 2 ) 2 Ú = ) º º º ) l Ú 'l ) ?$, ? 1 = ) 1 ) = ) 2)? 2 )? 2 )?

:, 'RKN'H$1330 'RKN'H$1330 @dr} @dr} Qnulm S4$ @dlm }ge pofue pofue n` 7, 'Uiodle$ 'Uiodle$ Snpe Snpe }ge dlequofd} dlequofd}t t

1330

º º º ) 21 1

1330

)?

,

∘? )? ∘2 ) ∘5 )? ∘: ) º º º ) ∘444: )? ∘4444 < 1=,

o? o1 o2 ; ; olm s? & s1 & s2 oe ln} off equof }n xen, xen, Snpe Snpe }go} `n off s nrd}dpe nrd}dpe a? a1 a2 o? s? o?l ) s1 o1l ) s2 o2l dl}ejer l& ze gope ' $l ; , a? s? a?l ) s1 a1l ) s2 a2l

4, 'Bolomo$ 'Bolomo$ Jdpel Jdpel

?3, Rnfpe Rnfpe }ge `nffnzdlj `nffnzdlj rtr}ekr rtr}ekr n` equo}dnlr8 equo}dnlr8 'o$

?= w1 ) t 1 ) x 1 ; 2 w)t ?= w1 ) t 1 ) x 1 ; 5 t)x 1 1 1 : w )t )x ; 1 x)w

'a$ ow ; at ; bx ;

? w

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? ) 'o < 3& a < 3& b < 3$ x

l

??, Jdpel Jdpel }go} l dr o lo}uof lukae& ow1 1l )?



l

l

l

ow1 ) at 1 ) bx 1 ;

∘o )

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l

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l

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olm

∘a ) ∘b,

1l )?

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; ?, Snpe Snpe }go} }go}

1l )?

?1, Russnre w? & w1 &

º º º & w?33 oe ?33 snrd}dpe lukaer }go} ro}dr`t }ge `nffnzdlj bnlmd}dnlr8 1 'o$ w1? ) w11 ) º º º ) w?33 < ?3333 'a$ w? ) w1 ) º º º ) w?33 ≭ 233

Snpe }go} d} dr snrrdafe }n ﬏lm 2 lukaer rubg }go} }ge ruk n` }gere 2 lukaer dr foje }gol ?33, ?2, 'ODKE1330S 'ODKE1330S?5$ ?5$ Jdpel }go} w& t olm x oe eof lukaer }go} ro}dr`t8 w; t; x;

olm }go} w ) t ) x ;

  ∑ ∑   ∑ ∑   t1

? ) ?0

x1

? ?0

x1

? ) 15

w1

? 15

w1

∑ 20? )

t1

∑ 20?

∘kl & zgee k olm l oe snrd}dpe dl}ejer olm l dr ln} mdpdrdafe at }ge rquoe

n` olt sdke& ﬏lm k ) l,

17


=,0 =,0

Rnfu Rnfu}}dnl dnlr

?, ]ge mdrbdkdlol mdrbdkdlol}} n` }ge quomo}db quomo}db equo}dnl dr o =a, Rdlbe }ge equo}dnl equo}dnl gor eof eof nn}r& ze kur} gope 3 olm gelbe o =a, ]ge }doljufo ejdnl aefnz dlmdbo}er }ge snrrdafe pofuer n` o olm a ? rubg }go} }ge dlequofd}t gnfmr zd}gdl }ge mnkodl o& a '3& ?$, Rdlbe Rdlbe }ge oeo n` }ge }dolj }doljfe fe dr & 7 ? ? }ge snaoadfd}t zgel }ge equo}dnl gor eof nn}r dr ?; 7 7

≥

∑

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∇ ú

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0

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W W W W W W W W W W W W 3 3

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1, Russnre }ge }zn }zn nn}r n` }ge equo}dnl equo}dnl oe k olm l, Ze gope gope k ) l ; s, Rdlbe k& l oe snrd}dpe dl}ejer& s kur} ae o s nrd}dpe nrd}dpe dl}eje dl}eje }nn, Rdlbe }ge quomo}db equo}dnl equo}dnl gor dl}eje dl}eje bneflbdel}r bneflbdel}r olm dl}eje dl}eje rnfu}dnlr& rnfu}dnlr& }ge mdrbdkdlo mdrbdkdlol} l} n` }ge equo}dnl kur} ae o seèb s eèb}} rquoe, rquoe, Russnre ; i 1 `n rnke dl}eje i , Ze gope8



'5 s$1

∑ ='5$'00 s ∑ ?$ ; i1 ⇝ '5 s ∑ ?21$1 ∑ i1 ; ?:=3= ⇝ '5 s ∑ ?21) i$'5 s ∑ ?21 ∑ i$ ; = Ú ?4 Ú 114 Rdlbe }ge ewserrdnlr 5 s ∑ ?21) i olm 5 s ∑ ?21 ∑ i gope }ge roke sod}t olm rdlbe ?:=3= dr mdpdrdafe at =& an}g ewserrdnlr kur} ae epel lukaer, Ze kur} gope8



5 s 5 s

∑ ?21 ) i ; =57 ∑ ?21 ∑ i ; 27

n



5 s 5 s

∑ ?21 ) i ; ∑27 ∑ ?21 ∑ i ; ∑=57

]ge ﬏r} re} n` equo}dnl jdper ur s ; :0 zgdfe }ge rebnlm re} n` equo}dnlr jdpe ur o lejo}dpe pofue n` s, Gelbe }ge nlft rnfu}dnl `n s dr :0, 2, At urdlj Pde}o—r Pde}o—r }genek& ze gope }ge `nffnzdlj `nffnzdlj efo}dnlrgdsr efo}dnlrgdsr88 )r)} ;3

?33? 7 r} ; 15?

r ) r} ) } ;

∑

Rdlbe  ) r ) } ; 3& ze gope8 ' ) r$2 ) 'r ) }$2 ) '} ) $2 ; 2' ) r$'r ) }$'} ) $ ; 2'r 1 ) 1 r ) r}1 ) r1 } ) }1 ) }1  ) 1r}$ ; 2Y' ) r ) }$'r ) r} ) }$ r}[

∑

; 2'15?$ ; :52

=, ]gdr ]gdr dr o rdldr} rdldr}e e snafe snafek k }go} }go} fnnir fnnir bnk bnksfd sfdbo} bo}em em au} d}r ewdr}e ewdr}elbe lbe keeft keeft repe reperr }ge susnre susnre n` zor}dlj zor}dlj tnu }dke dl }ge bnkse}d}dnl, Leemferr Leemferr }n rot }gdr au}of snafek mdm repe d}r susnre zeff, zeff, @dr}ft @dr}ft&& ln}e }go} S ' w $ kur} ae o seèb} rquoe rdlbe snrd}dpee dl}eje, dl}eje, At S 'w$ dr o snrd}dp bgebidlj off }ge dl}ejer dl ae}zeel 5 olm ?5 dlbfurdpeft& ze eofdre }go} S 'w$ dr o snrd}dpe dl}eje zgel w ; 5& 0& ?2,









14


∇ Y5& 0$& ze gope w1 ∑ 2w ∑ 4 ; ?, @n }ge equo}dnl }n gnfm& }ge pofue n` w1 ∑ 2w ∑ 4 ∘kur} 2 ) 0? ae ferr }gol =, At urdlj quomo}db quomo}db equo}dnl }n rnfpe `n w1 ∑ 2w ∑ 4 6 =& ze na}odl w 6 , 1 ∘ 2 ) 0? Rdlbe }gdr lukae dr rkoffe }gol 0& ze na}odl nu ﬏r} pofdm dl}epof w ∇ Y5& $, 1 Zgel w ∇ Y0& :$& ze gope w1 ∑ 2w ∑ 4 ; 2, @n }ge equo}dnl }n gnfm& }ge pofue n` w1 ∑ 2w ∑ 4∘kur} 2 ) ?34 ae ferr }gol ?0, At urdlj quomo}db quomo}db equo}dnl equo}dnl }n rnfpe rnfpe `n w1 ∑ 2w ∑ 4 6 ?0& ze na}odl w 6 , 1 ∘ 2 ) ?34 Rdlbe }gdr lukae dr rkoffe }gol :& ze na}odl nu rebnlm pofdm dl}epof w ∇ Y0& $, 1 Zgel w ∇ Y?2& ?=$& ze gope w1 ∑ 2w ∑ 4 ; ??, @n }ge equo}dnl }n gnfm& }ge pofue n` w1 ∑ 2w ∑ 4∘kur} 2 ) 01? ae ferr }gol ?==, At urdlj quomo}db equo}dnl }n rnfpe `n w1 ∑2w∑4 6 ?==& ze na}odl w 6 , 1 ∘ 2 ) 01? Rdlbe }gdr lukae dr rkoffe }gol ?=& ze na}odl nu ﬏r} pofdm dl}epof w ∇ Y?2& $, 1 Zgel w

]n bnksu}e }ge snaoadfd}t n` }ge equo}dnl aedlj pofdm& ze gope8

S '





S 'w$ ;



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S ' w $$ ;

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2)

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2)

∘?34

∑ 5$ ) ' 1 ∑ 0$ ) ' ∘0? ) ∘?34 ) ∘01? ∑ 24?3

2)

1

∘01? 1

∑ ?2$

13

]ge ﬏lof rnfu}dnl dr 753, 5, Jeleofft& Jeleofft& ze gope i/'i1 ) i ) ?$ ; i /Y'i ) ?$1

∑ i[ ; ' i ) ?$'i ) ?$/ ∑ i º i /

At }eferbnsdlj ruk& ze gope ?/'?1 ) ? ) ? $ ) 1 / ' 11 ) 1 ) ? $ ) 2 / ' 21 ) 2 ) ? $ ) ?3 ?3/ ? ; 2017:444,

º ∑

? 'l'l )?$'l ) 1$ 'l 2 ? 'l ) ?$ ; l'l ) ?$'l ) 1$ 2

0, Jeleofft& Jeleofft& ze gope l'l ) ?$ ; ?

Ú 1)1 Ú 2) ººº ) l Ú

4/'41 ) 4 ) ?$ ; º º º ) 4/'4

}eferbnsdlj ruk& ruk& ze gope gope ∑ ∑ ?$'l$'l ) ?$$, At }eferbnsdlj

:, Jeleofft& Jeleofft& ze gope 1i 1i ; 21i ) ? 21i ? 1i ; 1i 2 ?

i

i

1 1 ∑ ) ∑ 21 ∑ ? 21 ) ? 1i)? ∑ ∑ 21 ∑ ?

? 1 = At }eferbnsdlj ruk& ) 1 ) = ) 2)? 2 )? 2 )? 7, Ze narepe narepe }go}

i

i)?

ººº

11330 ? ) 11330 ; 1 2 )?

∘2 ∑ ∘? ∘5 ∑ ∘2 ∘: ∑ ∘5 ) ) ) ººº ) 1

1

Dl ommd}dnl& ze ln}e }go}

1

i

1133:

∑ 21 ∑ ? ∘?333? ∑ ∘4444 133:

1

< =7

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º º º ) ∘4444 )? ∘?333? , O`}e o}dnlofdrdlj }ge melnkdlo}nr& ze kur} gope ∘? )? ∘2 ) ∘5 )? ∘: ) º º º ) ∘444: )? ∘4444 < 1= & zgdbg snper nu snsnrd}dnl,

23


o? o1 o2 ; ; ; i zgee i dr ln} equof }n xen, Ze na}odl }gee equo}dnlr equo}dnlr o? ; ia? & o1 ; a? a1 a2 ia 1 & o2 ; ia 2 , Lnz ze gope8

4, Fe}

s? o?l ) s1 o1l ) s2 o2l s? 'ia ? $l ) s1 'ia 1 $l ) s2 'ia 2 $l ; s? a?l ) s1 a1l ) s2 a2l s? a?l ) s1 a1l ) s2 a2l

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zgdbg snper }ge snsnrd}dnl, ?3, ?3, 'o$ 'o$ Fe} Fe} i ; w1 ) t 1 ) x 1 & o ; w ) t& a ; t ) x& b ; x ) w, @nk }ge rtr}ek rtr}ek n` equo}dnlr& equo}dnlr& ze gope ?= ?= ?= o; a; b ; i& zgdbg rujjer}r }go} o 8 a 8 b ; 2 8 5 8 =, Ze fe} o ; 2ο& a ; 5ο& b ; =ο 2 5 = `n rnke bnlr}ol} ο, Rnfp Rnfpdl dlj j `n w&t&x ze na}odl w ; ο& t ; 1ο& x ; 2ο, Ruar}d Ruar}d}u}e }u}e aobi aobi ?=ο1 ?= dl}n }ge ﬏r} equo}dnl& ze gope ; zgdbg jdper ur ο ; ?, Gelb Gelbe& e& nu rnfu} rnfu}dn dnl l dr 2ο 2 'w&t&x $ ; '?& 1& 2$, i

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'a$ Russnre Russnre ow ; at ; bx ; i `n rnke bnlr}ol} i, Ze gope w ; & t ; & x ; , Ze ofrn gope o a b ? ? ? o)a)b ) ) ; i zgdbg usnl ruar}d}u}dnl jdper ur ; i olm i ; o ) a ) b, Gelbe& w

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∘a ; ∘ ∘b ; ∘o ) , ]ge ruk n` }gere }gee ewserrdn ewserrdnlr& lr& & ∘a ) ∘b ; ' ? ) ? ) ? t$ ∘i ; ∘i,xGelbe }ge equofd}t dl }ge quer}dnl gnfmr,

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?1, Ze zdff snpe }gdr snafek snafek at bnl}omdb}dnl bnl}omdb}dnl,, Fe} ur russnre }go} d} dr ln} snrrdaf s nrrdafee }n ﬏lm }gee lukaer lukaer rubg }go} }ge ruk n` }gere }gee lukaer lukaer dr kne }gol ?33, Zd}gnu} Zd}gnu} fnrr n` jeleofd} jeleofd}t t& fe} ur orruke }go} w? w1 w2 orruks}dnl rujjer}r rujjer}r }go} w? ) w1 ) w2 6 ?33, w?33 , Nu orruks}dnl Ze russnre }go} w? ,w1 & w2 & w?33 oe }ge rdmer n` ?33 rquoer, Sfobe off }gere rquoer dl o r}odjg} fdle rdme at rdme `nk w? }n w?33 , Bnlrdme }ge mdojok aefnz

≥ ≥ ≥ººº≥ ººº

Ze rusesnre }gere rquoer rquoer nl}n o jdm n` 2 adj rquoer& rquoer& eobg zd}g felj}g ?33, Rdlbe w? ) w1 ) ) w?33 6 233& }ge rquoer zdff ﬏} zd}gdl }ge }gee rquoer, rquoer, Nu orruks}dnl orruks}dnl ofrn rujjer}r }go} zdff ﬏} dl}n dl}n }ge ﬏r} ﬏r} jdm, jdm, Ln Lnz& z& ze mdpdme mdpdme so} n` }ge ﬏r} jdm dl}n }gee }gee eb}ol eb}oljfe jferr or w? & w1 & w2 zdff rgnzl dl }ge mdojok oanpe& eobg zd}g }ge felj}g n` ?33 olm gedjg} n` w? & w1 & w2 erseb}dpeft, erseb}dpeft, Ze bol knpe off }ge n}ge rquoer `nk }ge rebnlm adj rquoe dl}n }ge eb}oljfe zd}g gedjg} w1 olm

ººº

2?


ze bol knpe off }ge rquoer `nk }ge }gdm adj rquoe dl}n }ge eb}oljfe zd}g }ge gedjg} w2 , ]gdr rujjer}r }go} }ge ruk n` }ge oeor n` }gere rquoer dr ferr }gol ?331 or }get oe oafe }n ﬏} zd}gdl 1 }ge ﬏r} adj rquoe, rquoe, ]gdr bnl}omdb}r bnl}omdb}r zd}g }ge bnlmd}dnl w1? ) w11 ) w?33 < ?3333 olm gelbe }ge orruks}dnl orruks}dnl dr òfre, ]gdr znufm znufm keol }go} }gee kur} ae }gee lukaer lukaer 'dl }gdr bore w? & w1 & w2 $ rubg }go} }ged ruk dr foje }gol ?33,

ººº

?2, Nl gdlmrdjg}& gdlmrdjg}& }gdr fnnir fdie oln}ge oln}ge ODKE snafek snafek zgdbg zgdbg reper reper }n ane bnl}er}ol}r bnl}er}ol}r at `nbdlj }gek }n rquoe eobg equo}dnlr& je} dm n` omdbofr olm rnfpe }ge rdkuf}olenur quomo}db equo}dnlr, Gnzepe Gnzepe& & }gee—r }gee—r ol efejol} efejol} rnfu}dnl rnfu}dnl zgdbg zgdbg koi koier er ure n` }ge `nffnzdlj `nffnzdlj jenke}db bnlr}ub}dnl, bnlr}ub}dnl, Bnlrdme Bnlrdme }ge `nffnzdlj `nffnzdlj }doljfe zd}g rdmer OA ; w&OB ; t&AB ; x

@nk }ge rtr}ek n` equo}dnlr olm at St}gojneol }genek& d} reekr }go} }ge gedjg} n` }ge }doljfe& ? ? ? erseb}dpeft ft,, ]gee oe }zn ke}gnmr }go} ze bol ure }n rnfpe `n w&t&x o} OM&AE&B@ oe , & erseb}dpe 0 5 = }gdr hulb}ue8 ? ? ? 'o$ At bnlrdmedlj bnlrdmedlj }ge oeo n` }ge }doljfe& }doljfe& ze na}odl }ge efo}dnlrg efo}dnlrgds ds w ; t ; x , At urdlj = 5 0 ke}gnm n` ﬏wem o}dnr& ze bol fe} w ; =i& t ; 5 i& x ; 0 i `n rnke oad}ot bnlr}ol} i , Usnl ruar}d}u}dnl dl}n }ge ndjdlof equo}dnl& ze bol rnfpe `n i olm na}odl }ge pofue n` w& t olm x , 5 'a$ Rdkdfoft Rdkdfoft&& at urdlj }ge efo}dnlrg efo}dnlrgdsr dsr er}oafdrgem er}oafdrgem at }ge oeo n` }doljfe& }doljfe& ze gope t ; w olm = 0 x ; w, Ze bol ure Genl—r `nkufo }n re} us }ge `nffnzdlj equo}dnl8 = ? ; 7

 '

?5 : 5 2 w$' w$' w$' w$ 7 7 7 7

zgdbg eloafer ur }n rnfpe `n w eordft olm medpe }ge pofue n` t olm x , D seè }ge rebnlm ossnobg, Rnfpdlj tdefmr w ;

∘1: , ]ge ﬏lof olrze dr 4,

7 7 ?3 ?1 , Gelbe w ) t ) x ; ) ) ; ?5 : ?5 : ?5 : ?5 :

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]ge oanpe snbemue dr ruflbdel} `n ODKE rdlbe ODKE nlft equder bolmdmo}er }n jdpe }ged ﬏lof olrze, olrze, Gnzepe Gnzepe& & nle equder }ge `nffnzdlj `nffnzdlj ruar}ol}do}dn ruar}ol}do}dnlr lr }n snpe snpe }ge uldquelerr uldquelerr n` }ge rnfu}dnl8 'o$ ]n snpe }go} }gdr dr }ge nlft snrrdafe re} n` of}d}umer of}d}umer olm }ge nlft snrrdafe }doljfe }doljfe }go} bol 1 1 1 1 ae bnlr}ub}em& ze narepe }go} }ge equo}dnl w ; t g ) x i dr r}db}ft dlbeordlj `n FGR olm r}db}ft mebeordlj `n QGR, Gelbe& }gee bol nlft ae nle snrrdafe re} n` of}d}ume `n }doljfer zd}g }ge rdmer w&t&x aorem nl }ge rtr}ek n` equo}dnlr,

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∘ ∑

'a$ ]n rgnz rgnz }go} }go} }gee }gee ewdr} ewdr} o }dolj }doljfe fe zd}g zd}g rdme rdme felj}g felj}grr w&t&x & ze narep narepee }go} }go} w1 i1 6 rtr}ek n` equo}d equo}dnlr nlr&& ze gope gope w 6 t ) x & t 6 w& t 1 i 1 6 t& x 1 i1 6 x , @nk }ge rtr}ek x ) w&x 6 w ) t , Gelbe }ge }gee podoafer ro}dr`t }ge }doljfe dlequofd}t,

 ∑

∘ ∑

A Potpourri of Algebra

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