SEMINARIO DE ÁLGEBRA 2015 – III CERES R&F
Álgebra
11. Resolver la ecuación: ab (x + 1) (x – 1) + (a + b) (b – a) x = 0
Teoría de Ecuaciones 1. Resolver: 1
2.
3.
4.
5.
6. 7. 8. 9.
A) − 5 Resolver:
B) −
1 2
2𝑥 − 1 2𝑥 =1− 𝑥−2 2𝑥 − 1 1 1 C) − D) − 3
E) N.A
4
𝑥 2 48 𝑥 4 + = 10 ( − ) 3 𝑥2 3 𝑥 Indicando el número de soluciones enteras A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Resolver: √𝑥 + 7 + 1 = 2𝑥 Indicando la suma de raíces A) 1 B) 2 C) 5/4 D) 3 E) 7/4 Si: “α” y ”β” son raíces de: 𝑥(𝑥 − 6) = 3 Calcular: 𝑀 = (1 + 𝛼)(1 + 𝛽) A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 Resolver en “x”: 𝑥 2 + 3𝑛𝑥 + 2𝑛2 = 𝑚𝑛 + 𝑚2 Indicando una raíz A) n-m B) n+m C) m-n D) m E) n Resolver:√2𝑥 − 3 − √7𝑥 − 5 + √𝑥 + 2 = 0 Señalando la suma de las raíces. A) 4.2 B) 4.5 C) 3 D) 3.5 E) 5.5 Encontrar el valor de “n” para que en la ecuación 3𝑥 2 + 41𝑥 + 𝑛 = 0 el producto de raíces sea 7 A) 1 B) 2 C) 10 D) 21 E) 42 Encontrar el valor de “m” para que. 𝑥 2 + 9𝑥 + 𝑚 = 0 Tenga una raíz que sea el doble de la otra. A) 16 B) 17 C) 18 D) 19 E) 20 Hallar el valor de “n” para que las raíces de la ecuación 𝑥 2 + 3𝑥 𝑛 − 1 = 5𝑥 + 2 𝑛+1 Sean simétricas A) 1 B) 2 C) 8 D) 4 E) N.A
2
10. Resolver: A)
a x a x 8 15 xb xb
a 5b B) a 5b 6 4
E) a 5b 2
C)
a 5b 2
D)
a 5b 6
A) {
a b ; } b a
D) {
a ; b} b
a b ; } b a b E) { a; } a B) {
C) {
a b ; } b a
12. Calcular la suma de las raíces de la ecuación: (x + 9)(x – 3)(x – 7)(x + 5) = 385 A) – 4 B) – 2 C) 2 D) 4 E) 5 13. Calcular la suma de las raíces de la ecuación
21. Hallar la solución de la ecuación: √2x + 3 − √3x − 5 = 1 A) 23 B) 17 C) 8 D) 7 E) 3 22. La solución de ecuación: √2x + 3 + √3x + 2 − √2x + 5 = √3x , es: A) 7 B) 5 C) 3 D) 2 E) 1 Inecuaciones 1.
3 3 x x2 2 1 x x A) 2 B) – 1 C) 1 D) – 2 E) 3 14. El producto de las raíces de la ecuación: √𝑥 + 3 − √𝑥 − 2 = 5 es: A) 0 B) 24 C) – 35 D) no tiene raíces E) x = 6 es única raíz 15. Calcular la solución de la ecuación: 1 3 4 = + √11 − 2√𝑥 √7 − 2√10 √8 + 4√3 A) 20 B) 5 C) 30 D) 13 E) 10 16. Resolver la ecuación:
2.
3
14 x 14 x 4
A) 256
3
B) 225
18. Resolver la ecuación
C) 169
D) 196
E) 144
√x + √x − √x − √x = 3 √ 2
A) 2
B)
4 5
x
x + √x 5
C)
4
B)
D)
,4
E)
D)
16
E)
16 25
C)
,1 / 4
1 , 2
3x 2 10 x 9 0 x 2 4x 3
,3 1,
,3
,1 3,
,1 E) 1,3 D) 3.
4.
2x − 3
Resolver: ≥3 x−2 A) x ∈ 2; 3] B) x ∈ 2; 3] D) x ∈ 3; 2] E) x ∈ 3; 2] x+1 Resolver: >0 A) B) C)
C) x ∈ 1; 2]
x−2
x ∈ 2; 1] U −∞; 1] x ∈ 2; 1] U −∞; 1] x ∈ 2; 3]
5.
D) x ∈ 2; 1] U −∞; 1] E) x ∈ 1; 2] Si: (2x – 3) ∈ − 7; 12 . Hallar “m + n”, tal que m <−3𝑥 + 5 < 𝑛. 13 11 9 7 5 A) – B) – C) – D) – E) –
6.
¿Si
2 3
2x + 1 1
E) – ; 2] 2
2
2
2
2
∈ [1; 4 en que intervalo se encuentra x?
A) – 1; 2] 25
3x 7 x 4 6x 5 20 10 5 20
9 , 4
Resolver la inecuación:
C)
x 8x 2 x , el cuadrado de 2 9
una de sus raíces es: A) 5190 B) 2500 C) 1245 D) 5184 E) 2341 19. La solución de la ecuación. √2x − 3 − √4x − 7 = √3x − 5 − √x − 1 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 20. La solución de la ecuación:
,4
B)
2 7 x 2 7 x 28 E) 28
A)
A)
4
A) 7 B) 13 C) 15 D) 21 17. Hallar el valor de “x” que verifica la ecuación:
Resolver la inecuación:
B) 1;
5 2
]
C) –
1 8
; 1]
D) –
1 4
; 1
SEMINARIO DE ÁLGEBRA 2015 – III CERES R&F 7.
8. 9.
10.
11.
12.
13. 14.
Determinar el intervalo al que pertenece x si: (x + 7) ∈ − ∞; 9 A) – ∞; 0 B) – ∞; 5 C) – ∞; 9 D) – ∞; 2 E) 0, 3 Si A = [−3; 4] ⋀ B = [2; 6]. Hallar: B − A A) [– 3; 2] B) [– 3; 2 C) A D) E) 4, 6] Hallar el conjunto de solución de: [– 7; – 2 ∩ [−3, 6] A) [– 3; 4 B) [– 3; – 2] C) [– 7; – 2] D) – ∞; 4] E) [– 7; 6 Hallar el conjunto de solución de: − 4; 5 ∪ − ∞; 2 A) – ∞; 5 B) – ∞; – 5] C) – ∞; 4 D) – ∞; 2 E) – 4; 5 Carmen tenía cierto número de monedas de $. 1, cuadruplica este número y le presta a Luisa $. 200 quedándole menos de 104 monedas. Después le presta a Patty $. 50 quedándole más de $. 42. ¿Cuántas monedas tenía al inicio, sabiendo que era un número impar? A) 70 B) 73 C) 75 D) 69 E) 76 La edad de Timoteo es un número par. Si a la cuarta parte de su edad se le añade 3 resulta menor que la tercera parte; mientras que si a su mitad se le suma 5, el resultado es menor que 28. Hallar la edad de Timoteo sabiendo que es el mayor posible. A) 40 B) 49 C) 41 D) 42 E) 44 3 4 10 Resolver: √35x − 1 > √35x − 1 . √33x − 13 A) 1, 5 B) 0, 1 C) 2, 5 D) 1, 0 E) 1, 2 Resolver: x 4 − 2x 3 − 16x 2 + 2x + 15 < 0 A) x [– 3; – 1] [1, 5] B) x [–2; –5] [2, 6
C) x [– 4; 2] [3, 4] D) x [–7; – 4] [1, 4] E) x – 3; – 1 1, 5 15. Un valor entero que no pertenece al conjunto de solución de la siguiente inecuación es:
x 2 x 3x 2 0 Es: 4
A) –2
2
B) –1
C) 2
D) 3
E) 1
16. El conjunto de solución de la siguiente inecuación:
2.
2
x 2x x 8 es: x4 2 A) (– , 4] E) (– ∞, 4)
B) (–
,– 3]
C) (– 13, 2]
D) (– 3, 20)
3.
𝑥 2 − 3𝑥 + 2
17. Resolver: <3 𝑥 2 + 2𝑥 + 5 A)𝑥 > 2 B)3 < 𝑥 < 5 C)𝑥 > −3 D)𝑥 > 3 E)ℝ 18. Si 𝑥 ∈ < 1 , 4] encontrar el intervalo al cual pertenece :3𝑥 − 2 A) < 3,12 > B) < 3, 10] C) < 1,12 > D) < 1,10] E) ∅ 19. Resolver |5𝑥 + 1| < −4 A)2 B) 3 C) ∅ D) 1 E) 0 20. El conjunto solución de la inecuación: −𝑥 2 + 8𝑥 − 7 > 0 es: A) < 1,7] B) < 1,7 > C) [1,7] D) < 1, ∞ > E) [ 7] 21. Un padre dispone de 320 soles para ir a un evento deportivo con sus hijos; si toma entradas de 50 soles le falta dinero y si las toma de 40 soles le sobra dinero, el número de hijos es: A)1 B) 3 C) 2 D) 6 E) 4 22. Resolver:
2 x 1 3 x 1 3x
A) x > – 1 B) x < – 1 D) x < – 2 E) x < 4 2 23. Resolver: x + 8x + 16 0
4,4 4,6 E) 2,0
A) {4}
B)
D) 24. Resolver: x(3x + 2) < (x + 2)2 A) 1, 2 B) 1, 1
4. 5.
6.
7. 8.
Sabiendo que el siguiente conjunto de pares ordenados: 𝑅 = {(𝑎 + 𝑏, 3𝑏); (𝑎 + 𝑏, 𝑎 − 𝑏); (𝑎 + 𝑏, 12)} Es una función; calcular a + b. A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) 20 Para que los valores de m y n; la relación: 𝑅 = {(𝑎; 𝑚 + 𝑛), (𝑏; 𝑚 − 𝑛), (𝑎; 9), (𝑏; 1)} Es una función: A) m = 4; n = 5 B) m = 5; n = 4 C) m = 6; n = 5 D) m = 6; n = 3 E) m = 4; n = 4 Si: 𝑓(𝑥) = 5𝑥 2 − 3𝑥 + 7 Hallar: 𝑓(2) + 𝑓(−2) A) 48 B) 50 C) 52 D) 54 E) 56 Cuál debe ser el valor de “a” para que la relación: 𝑅 = {(𝑎 + 3; 5𝑎 − 1), (𝑎 + 3; 14)} Sea una función: A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2 Sea la función: 𝐹 = {(3,5); (6, 𝑏); (3, 𝑎); (𝑎𝑏, 𝑎 + 𝑏); (6,1)} Hallar F(5) A) 10 B) 8 C) 6 D) 4 E) 2 Cuál es el rango de la función: 𝐹 = {(1,4); (1, 𝑎 − 2); (2,3 + 𝑏); (2,2𝑏 + 2)} A) {1,4} B) {2,4} C) {4} D) {5} E) {6} Consideremos los conjuntos A = {1; 3; 5} y B= {2; 4; 6} , se define las relaciones: R1={(x, y) ∈ A x B/x + y = 7} R2 = {(x, y) ∈ A x B/y = 6}. Hallar la suma de todos los
>6 C) x < 2 9. C) {– 4}
C) 1, 2
D) 1, 3 E) 1, 3 Funciones 1. Cuál debe ser el valor de “a” para que la siguiente relación sea una función 𝑅 = {(1; 𝑎), (2; 8); (1; −𝑎); (3; 2)} A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
elementos de: Dom (R1 – R2) U Ran (R1 – R2) A) 7 B) 10 C) 14 D) 12 Dada la función definida por: 3x − 1; si x > 3 𝑓(𝑥) = { x 2 − 2; si − 2 ≤ x ≤ 3 2x + 3; si x < −2 Calcular: P = f (2) + f (–1) + f (–3) + f (4) A) 3 B) 5 C) 7 D) 9
10. Sea f y g dos funciones , tales que: x2 −25
, 𝑥 ∈ [0, 8] g(x) = 1 + √
x−5
E) 6
E) 11 f(x) = √x + 1
,𝑥 ∈ [−4, 4] Determine:
Ran((f) ∪ Ran(g) A)[1, 4] D) [1, 8]
B)[1, 3] E)[2, 4]
C)[1, 2]
SEMINARIO DE ÁLGEBRA 2015 – III CERES R&F 11. Dada las funciones:
21. Si 𝑓(2𝑥 − 1) = 4𝑥 + 5 . El valor de 𝑓(2) − 𝑓(−3), es: A) 6 B) −8 C) 10 D) −10 E) −6 22. Determine el rango de la función f(x) = x2 – 169 A) [– 18; ) B) [0; ) C) [– 169; ) D) [169; ) E) [– 13; 16) 1 23. Hallar el dominio de: f(x) 2
f = {(x, y) ∈ ℝ2 / y = √4 − x} y 1 g = {(x, y) ∈ ℝ2 / y = } 2 √x − 4 12. Entonces el dominio de la función (f + g) es: A) 2, 4] B) − ∞, −2] C)−∞, −2] ∪ [2, ∞ 13. Si 𝑓 es una función definida por: 𝑓 = {(4; 𝑘), (2; 5𝑘), (7; 2𝑘 2 + 1), (4; 2𝑘 − 1)}, entonces la suma de los elementos del rango es: A)6 B) 8 C) 9 D) 11 E) 13 14. Sean los conjuntos 𝐴 = {−3; −2; 0; 6; 4; 11} y B = ℤ . si 𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐵 tal que: 𝑓 = {(−2; 4), (−3; 1), (0; 3𝑎 + 2𝑏), (−2; 2𝑎 + 𝑏), (2𝑎 + 𝑏; 4), (6; 7), (0; 5), (3𝑎 − 𝑏; 𝑎 + 𝑏)}, entonces para que 𝑓 sea una función, el valor de T = a – b, es: A)-5 B) -1 C) 1 D) 4 E) 5 1 15. Determinar el dominio: f(x) = 2 √𝑥 −1 A) < −∞; −1 >∪< 1; +∞ > B) < −∞; −1] ∪ [1; +∞ > C) < −∞; −1 >∪ [1; +∞ > D) < −∞; −1] ∪< 1; +∞ > E) < −∞; −1 > √4+𝑥
16. Sea: 𝑔(𝑥) = , determine el Dominio. 1−𝑥 A) [−4; +∞ > −{1} B) < −4; +∞ > −{1} C) [−4; +∞ > D) ℝ E) ∅ 𝑥+5 17. Hallar el dominio de la función: F(x) =
√1−√𝑥−2
∅ B) [2;4] C) [2; 3 > D) ℝ E) [2;5] 𝑓 es una función definida 𝑥𝑓(𝑥) + 𝑥 − 1; 𝑥 > 1 f(x)={ 4; 𝑥 ≤ 1 𝑓(500)+3𝑓(580) Entonces, el valor de: T = 𝑓(0)
4.
por:
A)-1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 19. Si: 𝐴 = {1,2,4,6,8} y 𝑅1 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴2 / 3 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑥 + 𝑦 }. La suma de todos los elementos del rango de 𝑅1 , es: A) 36 B) 32 C) 24 D) 21 E) 18 20. Si 𝑓(𝑥 + 2) = 𝑥 2 − 3𝑥 + 4 . El valor de 𝑓(3 − 𝑥), es: A) 𝑥 2 + 𝑥 + 2 B) 𝑥 2 − 𝑥 + 1 C) 𝑥 2 + 2𝑥 − 1 2 2 D) 𝑥 − 3𝑥 + 5 E) 𝑥 + 3𝑥 − 2
A) R B) [1,8] C) [-1,-8] D) R – [-1,8] E) 1 24. Hallar la suma de coeficientes de la función cuadrática que cumple: f(2) = 6; f(0) = 4 y f( 1) = 7 5 11 13 7 A) 1 B) C) D) E) 3 3 3 3 3x − 1; x > 3 25. Dada la función f(x) = {x 2 − 2; −2 ≤ x ≤ 3 , calcule el 2x + 3; x < − 2 valor de: E = f (2) + f (1) + f ( 3) + f (4) A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) 11 26. Dada la función: f(x) = mx + b, ∀ x IR, si se sabe que f (3) = 11; f ( 3) = 6. Hallar m +b. 28 28 8 5 11 A) B) C) D) E) 3 5 3 3 3 27. Si f(x + 4) = x2 + 3x, hallar f(a + 1) A) a2 – a B) a2 – 3a C) a2 – 2a D) a2 – 5a E) a2 – 4a 28. Si f = {(1, 4); (4, 5); (2, 3); (3, 2)} y g = {(0, 2); (1, 2); (2, 1); (3, 0); (5, 2)}. Hallar f.g A) {(1, 6); (2, 3); (3, 0)} B) {(1, 8); (1, 3); (3, 0)} C) {(1, 8); (2, 3); (2, 0)} D) {(1, 8); (2, 3); (5, 0)} E) {(1, 8); (2, 3); (3, 0)} 29. Indicar el dominio de:𝑓(𝑥) = √𝑥(𝑥 − 5) A)< −∞, 0] ∪ [5, ∞ > B) < −∞, 0 >∪ [5, ∞ > C) < −∞, 0] ∪< 5, ∞ > D)< −∞, 2] ∪ [5, ∞ > E) < −∞, 0] ∪< 2, ∞ > Logaritmos 1. 2.
A) 1096
1
A) 4
5.
22+log7 5 + 5log72
5log√7√2 B) 2096 C) 3009
D) √2
log3 8log79
E) 7
log5 49
] D) 4096
E) 3096
22 + log75 + 5log7 14
Calcular: J = √
5log7 2
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 4 Si log 2 5 = a , log 5 75 = b, entonces log 2 3 es: b−2 A) a − b + 2 B) 2a + b C) a D) a + b − 2 E) a(b − 2) 7. Resolver: log 2 4. log 4 8. log 8 16 … (diez factores) A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 8. Resolver: 3log √x 2 + log 4 x 2 + 5 = 0 y dar como respuesta la suma de las raíces. 1 5 3 7 A) B) C) D) 1 E) 8 8 8 8 9. Simplificar la expresión: 75 5 32 J = log ( ) − 2log ( ) + log ( ) 16 9 243 A) log 3 B) log 2 C) 2 log 2 D) 2 E) 3 10. Calcular: J = antilog125 antilog 3 colog 25 antilog 5 log 7 49 A) 5 B) 25 C) 125 D) 3 E) 9 11. Calcular: colog 4 antilog 2 log 2 log 2 antilog 0,5 log 0,2 625 A) 1 B) – 1 C) 2 D) – 2 E) – 3 6.
12. Calcular: J =
logb (antilogb2 4) antilogb (logb2 4)
1
A) 8 B) 4 C) 2 D) 2 13. Resolver: J = log √2 antilog √2 log √2 antilog 1 1,5 1
A) − 4 14. Reducir:
B)
1 4
C)
1 2
√2
D) –
1 4
E) 1
E) –
3 2
2log √3 27 − antilog √3 4 ] colog 5 3 + log 5 75 B) 10√3 C) √2 D) 10√10
J = antilog [
Hallar la base del logaritmo de 4, si este es 0,4: A) 30 B) 3 C) 31 D) 29 E) 16 Hallar el número que tiene por logaritmo – 0,25 en base 81
log4 3
Simplificar la expresión: J = 2log3 8 A) √8 B) √3 C) 6 Hallar "J" en : J=[
√𝑥 −7𝑥−8
D) − ∞, −2 ∪ 2,4] E) − ∞, 4]
A) 18. Si
3.
B) 3
C) 8
D) 5
E) 9
A) √10 15. Reducir: 4 J = (colog √2 √1⁄3) (log 9 432 ) A) 4
B) 16
+ [antilog 5 (log9)](4log3 ) C) 25 D) 64 E) – 2
E) 1
SEMINARIO DE ÁLGEBRA 2015 – III CERES R&F 16. Hallar el valor de: J = log16 log 4 log √8 log √2 √2
2
9
17.
18. 19. 20.
1
A) 3 B) 2 C) 1 D) 4 E) 4 Si el log 3 = a ; log 2 = b Hallar el valor de J = log (5!) A) 2a + b + 2 B) a(a + b + 2) C) 3a + b − 2) D)a + 2b + 1 E)2a + 2b − 2 log9 5 Reducir: J = 49log7 27 A) 4 B) 16 C) 27 D) 49 E) 125 Reducir: J = anti log b2 log b3 antilog b4 log b6 8 3 3 3 3 A) 4 B) 2√4 C) 2√2 D) √4 E) √2 Hallar “x” en: log(2x + 1) = log(x − 1,5) + 1 A) 3 B) 4 C) 1 D) 5 E)2
log x 2. log x 2 log
21. Resolver: A)4 B) 5 C) 7 22. Resolver: antilog2logx16 = x A)1/2 B) 1/4 C) 2 16
23.
Resolver: 9
log x x2 10 x25
x 64
D) 6
E) 9
D) 9
132log
A)6 B) 5 C) 7 D) 3 24. Si: antilogbcologblogbx = b-1 . calcular: M = logb(-cologbantilogxb) A)5 B) 4 C) 2 D) 1 1 25. El resultado de: G= 1 log4 (99!)
+⋯+
log99 (99!)
E) 16 x 1
x
E) 1 E) 7
log2 (99!)
1
2
+
1 log3 (99!)
+
es:
A) 9999 B) 99! C) 100! D) 1 E) 90 26. El resultado de
G
log 49 (7) log 27 (9) log
1
(8 )
es:
16
A)-9/14B) – 7/2 C) – 14/9 D) 14/9 E) 9/14 27. Si m = log16 4 y n = log 3√5 √5, calcular el valor de: J = m + n A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
