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GRADO DE UN MONOMIO A. Grado Relativo: Es el grado respecto de una de sus variables y el valor es el exponente que afecta a dicha variable. Ejemplo:
Expresiones algebraicas:
Sea P(x;y;z) =
Son expresiones denotadas matemáticamente en las cuales las variables son sólo operadas con la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación en una cantidad limitada de veces
GR(x) = GR(y) = GR(z) = B.
Ejemplo: 2 3 1. E (x; y; z) = 5x + 3ay + 2bz 5 x log 7
2.
P (x;y) =
3.
R(x) = 1 + x + x + x
2y 5 2
Grado Absoluto: Es la suma de los grados relativos. Ejemplo: 4 5 3 Sea R(x;y;z) = 2x y z GA =
3
TÉRMINO ALGEBRAICO Es una expresión algebraica donde no están presente las operaciones de adición y sustracción. Ejemplo: Exponentes 5
5 3
5xyz
3
M(x,y) = –4a x y
GRADO DE UN POLINOMIO A. Grado Relativo: Es el grado del polinomio respecto de una de sus variables y el valor es el mayor de los grados relativos de la variable en cada término. Ejemplo: 3 5 2 9 7 Sea P(x,y) = 3x y – 7x y + 5x GR(x) = GR(y) =
Variables Coeficiente
B. Constante
TÉRMINOS SEMEJANTES Dos o más términos serán semejantes si a los exponentes de las respectivas variables son iguales. Ejemplos: 2 7 P(x;y) = 4x y 2 3
P(x;y) = 5x y
M(x;y) = –
4x 3 y2
Ejemplo: 2 5 7 6 P(x;y) = 5x y + 6x + 7xy 2 7
7
y Q(x;y) = –2x y y
S(x;y) = 2xy
y
N(x) =
2x 3 y2
Polinomio Son expresiones algebraicas racionales enteras en las cuales las variables están afectadas sólo de exponentes enteros positivos. Ejemplos: 3 7 P(x;y) = 5x y 2 5 R(x;z) = 2x z + 5z F(x) = 3 – 5x +
Grado Absoluto: (Grado del polinomio) Es el mayor de los grados absolutos de cada término. Ejemplo: 2 3 6 4 4 Si F(x;y) = 2x y – 7x y + 4x y
2
3x
POLINOMIO EN UNA VARIABLE Un polinomio en una sola variable tiene la siguiente forma general: n
n–1
P(x) = b0 x + b1 x
+ ……….. + bn–1x + bn
x: variable de P b0, b1, ......, bn: coeficientes b0: coeficiente principal (C. P.) bn: término independiente (T. I.)
Nota: Término independiente: (T. I.)
(monomio) (binomio)
(trinomio)
T. I. (P) = bn = P(0)
Av. Universitaria 1875 Pueblo Libre (Frente a la U. Católica) – Teléfono: 261-8730
POLINOMIOS IDÉNTICOS: Dos polinomios son idénticos si semejantes tienen coeficientes iguales.
Suma de coeficientes ( coef.) coef. (P) = b0 + b1 + ….. bn = P(1)
Ejemplo: p(x) q(x) p(x)
POLINOMIO ORDENADO: Con respecto a una variable es aquel que presenta a los exponentes de dicha variable colocados en forma ascendente o descendente.
2
ax + bx + c 2 dx + ex + f q(x) si se cumple a = d ; b = e ; c = f
Material de Clase
POLINOMIO COMPLETO: Respecto a una variable, es aquel que presenta todos los exponentes de dicha variable, desde el cero hasta un valor máximo. Estos exponentes no necesariamente deben estar ordenados.
1.
En el monomio: a+b M(x,y) = 5(a–b) x y; el grado absoluto es “6” y el grado relativo a “x” es igual al coeficiente del monomio calcular el valor de “a”.
2.
Si el grado absoluto de P es 16 y el menor exponente de “y” en el polinomio Q es 4, calcular el grado de “Q”. m+11 n–3 m+7 n+2 n+2 m+1 P=x y –x y +x y 2m+6 n+2 2m+2 n+7 3m n+10 Q=x y –x y +x y
3.
Hallar el valor de “m” para que el monomio sea de grado absoluto 100 y el grado relativo a Y sea 40. 4(m+n) 3m–2n M(x,y) = x y
4.
Hallar el valor de “n” para que el monomio:
Ejemplos: 3 2 P(x) = 4x + 12x – 7x + 16 3 2 2 3 P(x,y) = x + 3x y + 3xy + y Si un polinomio es completo: # de térm. = GA(P) + 1
POLINOMIO HOMOGÉNEO: Es aquel en el cual todos sus términos tienen el mismo grado absoluto, al cual se le llama grado de homogeneidad.
x n 1 . E= 3
3
Ejemplo: 3 12 8 7 15 15 P(x,y) = 3x y + 23x y – 15x – 13y 15
15
15
términos
Notas: 1. P(x) = c, c se llama polinomio constante. 2. Si P(x) tiene un solo término , se llama monomio.
Ejemplos: 4 2 P(x) = 4x + 12x – 3x + 7 4 2 3 4 Q(x,y) = 3x + 5x y + 4xy – y
Nota:
= = =
sus
5.
15
x 2n 2
sea de primer grado
x3
Si la expresión:
x n y m z 5n Nota:
x m y n 3 zm 2
Un polinomio homogéneo en dos variables, si está ordenado lo está decreciente a una variable y creciente a la otra
tiene por grado relativo a “x”, 12 y por grado relativo a “y”, 7. El grado relativo a “z” es:
POLINOMIO IDÉNTICAMENTE NULO: Es aquel polinomio cuyos coeficientes son todos ceros. Ejemplo: 2 P(x) = (n – m) x + (p – q) x, si es idénticamente nulo: n–m=0 m=n p–q=0 p=q
6.
Sabiendo que los términos: 2a–3 3b–1 a+5 2a+b+7 (a+2) x y ; (b–5) x y son semejantes. Calcular la suma de sus coeficientes.
7.
Si los términos:
1 13–n 1–m 3 m+n m–n x y ; x y , son 5 3
semejantes, calcular los valores de “m” y “n”.
-2-
Grados -Polinomios
8.
Si el polinomio: m+2 3 n–1 m n+3 P(x,y) = x y + x y + x y es homogéneo, el valor de 2m – n es:
9.
En el polinomio homogéneo: m n+p n p p n q r r q P(x,y) = x + y + x y + x y + x y + x y la suma de todos los exponentes es 54. El valor de E = m + n + p + q + r es:
1.
A) 14
10. Determinar p + q sabiendo que la igualdad se cumple para todo valor x: 27 – 6x = p(x – 2) + q(x + 1)
2.
2
3.
2
a b c ab bc ac
hallar: E =
4.
12. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda en cada una de las siguientes afirmaciones: I. Si un polinomio P(x) es de grado ”n”, entonces tendrá (n + 1) términos. II. Si un polinomio P(x,y) es homogéneo, entonces el GR(X) = GR(y) = GA(P). III. Si un polinomio es completo y ordenado entonces es homogéneo.
5.
13. Obtener el valor de “n” si se sabe que la expresión es de grado 17. W(x) =
n
x
n
x
2 n
3
x
n
B) 7
6.
C) 4m+12 D) 2m+1
E) 23
Dado el monomio: n 2m+3n 5n-m M(x,y) = 4m x y Se tiene: GA(M) = 10 GR(x) = 7 Señalar su coeficiente A) 2 B) 4 C) 8
E) 16
2 n 2 3 2n 3 4 x x x
2 n 2 4 x x
es de segundo grado. A) 4 B) 5 C) 6 7.
n–2
8
P(x) = (4x + 3) (5x – 3) (x + 3) 3 5 4 n–20 5 2 n+1 + (13x + 3) (x + 1) (x – 5) + (3x – 1) es 1280 Calcular el valor de “n”.
A) 1 8.
-3-
D) 7
E) 8
Calcular el valor de “a” si el monomio es de grado 3.
M(x) = 7
D) 64
Señalar el valor de “n” para el cual la expresión:
16. Si la suma de los coeficientes del polinomio: 3
E) N.A.
Calcular el grado absoluto de: 7 12 9 12 11 13 M(x,y) = 9x y – 3x y + 2x y A) 24 B) 18 C) 19 D) 21
15. Hallar el término independiente y la suma de coeficientes del polinomio: 2n 4 P(x–1) = (2x–3) + 4x
E) N.A.
E) 12
P(x) =
14. Calcular el grado del siguiente polinomio: 2 3 20 P(x) = (x + 1) (x + 2) (x + 3) …… (x + 20)
D) 11
Hallar el valor de “b” para que el grado de: 3b+3 2 P(x,y) = (3abx y ) sea 20 A) 5 B) 8 C) 10 D) 3
n
x
C) 10
Hallar el grado de: 2 3 m+3 2m+1 m+3 P(x,y) = 5a b x y z A) 4m+10 B) 4m+7
11. Si: 2 2 5 2 2 3 2 2 P(x) = (a +b –ab)x + (b +c –bc)x + (c +a –ac)x es un polinomio idénticamente nulo; 2
Hallar el grado de la expresión 4 7 2 M(x) = 3a x y z
B) 2
a 1 2 a 2 x x xa 4 C) 3
2
D) 4
E) 5
Sabiendo que el polinomio: 3m+n–1 m+n+2 3m+n m+n–1 3m+n+1 m+n+1 P(x,y) = x y + 3x y +x y es de grado absoluto 36 y la diferencia entre el grado de “x” y el menor exponente de “y” es 12. Hallar “n”. A) 6 B) 8 C) 9 D) 10 E) N.A.
Grados -Polinomios
9.
Sabiendo que el polinomio es homogéneo, calcular “mn”. 3m–2n 7 8 10 2m m+n+1 P(x,y) = x y – 2x y + x y A) 10 B) 15 C) 20 D) 18 E) 24
19. Si el siguiente polinomio es completo y ordenado descendentemente: 2n + 1 p +3 m+2 P(x) = 2ax + 3bx – 5cx ..........posee “2m” términos, hallar “p” A) 3 B) 5 C) 7 D) 0 E) 10
10. Calcular la suma de coeficientes del polinomio, sabiendo que es homogéneo. 5
2
20. La suma de coeficientes del polinomio: 3 7 n–4 10 P(x) = (4x + 3)(5x – 3) + (8x – 9) Es 449, el valor de “n” será: A) 7 B) 8 C) 9 D) 10
2
P(x,y) = axn 7y2n 3 bx2n 17 y25 xayb A) 50
B) a+b
C) 51
D) a–b
E) F.D.
E) 11
11. Hallar: m + n para que el binomio: 3m+2n–5 m–n+4 3m+2n–1 m–n+2 P(x,y) = x y +x y sea de grado absoluto 28 y de grado relativo a “y” 2. A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12
21. Indicar el grado del polinomio: 2 n n n n–1 P(x) = (5x – x + 3) (x – x – 3) (nx + 9) Sabiendo que su término independiente es 729. A) 12 B) 3 C) 6 D) 17 E) 9
12. Señalar el coeficiente del monomio: m m–n 2m+n M(x,y) = (2 ) (5) (m+n) x y si es de noveno grado y de octavo grado relativo a “y”. A) 100 B) 200 C) 300 D) 400 E) 500
22. Si: P(x) = 2x – 3x + 2x Es completo y ordenado en forma decreciente. Hallar: “m + p + q”. A) 6 B) 8 C) 12 D) 11 E) 10
13. Si el polinomio siguiente es idénticamente nulo, hallar mn. 2 2 2 2 P(x,y) = (m+n) xy + 2x y – 18xy + (n–m) x y A) 80 B) 70 C) 35 D) 36 E) 32
23. Si el siguiente polinomio es completo y ordenado hallar la suma de sus coeficientes: m–5 m–4 m–3 P(x) = (m + 5)x + (m + 4)x + (m + 3)x A) 18 B) 24 C) 27 D) 30 E) 35
14. Calcular el valor de “m” si en la siguiente expresión:
24. Determinar “m.p” si el polinomio: m+2n 3 2m 2n p+n P(x,y) = mx y + 2nx y – (xy) es homogéneo. A) 3 B) 9 C) 18 D) 27 E) N.A.
E(x,y) =
x
2m 3
absoluto es 18. A) 3 B) 4
( xy)m 1 y C) 5
2m 4 3
D) 6
m–p+2
el grado E) N.A.
p+q–3
q+2
25. Siendo: P(x) = a(x – 1)(x – 2) + b(x – 1) + c y 2 Q(x) = x – 5x + 1 polinomios idénticos, encontrar el valor de: “a + b + c” A) –1 B) –2 C) –3 D) –4 E) –5
15. Si un polinomio: m–1 n–2 q–3 p +1 P(x) = mx +nx +(p – 1)x +qx +1 Es completo y ordenado, hallar la suma de sus coeficientes. A) 15 B) 16 C) 20 D) 21 E) 25
26. Hallar “m + n” si: 2x + 7 = m(x+ 2) + n(x – 3); x A) 5 B) 4 C) 3 D) 2
16. Hallar “m + n + p” para que el polinomio: n m – 10 m m–p+5 b–p+6 P(x) = 5a x – 4b x + 7cx Sea completo y ordenado en forma descendente. A) 34 B) 36 C) 38 D) 40 E) 32
E) 1
27. Si se sabe que: GA(M) = 4 ; GA(P) = 7; GA(Q) = 6
17. Hallar “a/b”, si el polinomio: a b 2a + 1 6b + 1 P(x, y) = 3mnx y (mx +ny ) es homogéneo. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
M.P 2 M3 . Q M.P.Q 1
Calcular el GA de:
E=
A) 1
C) 18
B) 17
D) 18/17
E) 36/17
28. Para qué valor de “n” la expresión: 5
18. Calcular la suma de coeficientes del siguiente polinomio completo: a b b c a a P(x) = c(x + x ) + a(x + x ) + b(x + x ) + abc A) 6 B) 12 C) 15 D) 18 E) N.A.
M(x) =
5xn
4
4x2n
monomio de grado 2. A) 4,5 B) 5,5
-4-
3
3x10
C) 7,5
2x 4n
resulta ser un
D) 2,5
E) N.A.
Grados -Polinomios
29. Hallar el grado del siguiente monomio: 9 4 3 M(x) = x 4 x 3 x 2 x
A) 1
B) 2
36. Sean: GA[P(x)] = m ; GA[Q(x)] = n, m > n.
C) 3
Hallar:
D) 4
A) m–n
E) 5
A) 3
P 5 ( x) . Q3 ( x)
B) 6
C) 9
D) 18
B) m+5n
C) m–5n
D) m–2n E) N.A.
37. Si el siguiente polinomio consta de 15 factores: 4 7 n P(x) = (x – 16) (x – 15) (x – 14) ………. (x – 2) calcular su grado absoluto. A) 285 B) 300 C) 315 D) 330 E) N.A.
30. Dados los polinomios: P(x) y Q(x) tales que el grado 3 2 2 4 de: P (x) . Q (x) es 17 y que el grado de: P (x) . Q (x) es 22. Hallar el grado de: 3
P( x) P( x). Q( x) GA 5Q( x)
8
38. Calcular el valor de “m” si el grado del siguiente
E) 27
m 2 xm monomio es 10: M(x) = xm1m1 xm 2 m 3 1 2
31. Calcular el valor de “n” si los grados de P y Q son 3 y 4 respectivamente y el grado de toda la expresión:
P7 Q5 2n P5 Q4 n 3
A) 2
A) 1
C) 4
D) 5
E) 6
A) 1
n m x n (1 2n )
nn m
B) 2
C) 3
D) n
33. Si el grado absoluto de: M(x,y) = a 4. Hallar el grado de: P(x) = B) 2
m
E) n
n
N(x) =
a2
C) 7
a
x
b a
x 2a b y a 2b
b a
3 nn
xa 12b D) 6
ya
x 3n
2n
B) 4
x2 .
2n 1 5n
x
C) 8
D) 16
nn 1 n 2n 1 n M(x,y) = ( x n )n
E) 8
n2n 1 y
el GR(x) = 32. Calcular el GR(y). A) 2 B) 4 C) 8
2
xb
D) 4
E) 32
40. Sabiendo que el monomio:
2
si se cumple que: GR(x) = GR(y) A) 1 B) 2 C) 3
n 1
y b es igual
34. Calcular el grado absoluto del monomio: M(x) = 3a 2b
E) N.A.
absoluto de:
2n m
xn
A) 2
A) 1
D) 4
n (n1)2 n x xn M(x) = n es 64; calcular el grado 2n x
32. Hallar el grado del monomio: M(x) = n
C) 3
39. Si el grado de la expresión:
B) 3
nm
B) 2
es igual a 4.
1 n
n
D) 16
n3n 2
E) 32
E) 5
35. Determine el grado de:
x a b c yb c a zc . . E(x,y,z) = a b yb zc xa
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) N.A.
-5-
Grados -Polinomios
