Algoritmo de Strassen. En la disciplina matemática del álgebra lineal, el algoritmo de Strassen, llamado así por Volker Strassen, es un algoritmo usado para la multiplicación de matrices. Es asintóticamente más rápido que el algoritmo de multiplicación de matrices estándar, pero más lento que el algoritmo más rápido conocido, y es útil en la práctica para matrices grandes.
Historia Volker Strassen publicó el algoritmo de Strassen en 1969. Pese a que su algoritmo es sólo ligeramente más rápido que el algoritmo estándar para la multiplicación de matrices, fue el primero en señalar que el enfoque estándar no es óptimo. Su artículo comenzó la búsqueda de algoritmos aún más rápidos, como el complejo algoritmo de Coppersmith –Winograd de Shmuel Winograd en 1910 (que utiliza 20 multiplicaciones binarias, pero utiliza 155 sumas binarias en lugar de las 18 del algoritmo de Strassen), publicado en 2000 .
Algoritmo Sean A, B dos matrices cuadradas sobre un anillo R. Queremos calcular la matriz C como producto
Si las matrices A, B no son de tipo 2 n x 2n habrá que rellenar lo que falta de filas y columnas con ceros. Partimos A, B y C en matrices de igual tamaño de bloque
Con
Entonces
Con esta construcción, no hemos reducido el número de multiplicaciones. Todavía tenemos 8 multiplicaciones para calcular la matriz C i, j , que es el mismo número de multiplicaciones que se necesitan cuando se usa el método estándar de multiplicación de matrices. Ahora viene la parte importante. Definimos las matrices de nuevo
que luego se utilizan para expresar C i, j en términos de M k. Debido a nuestra definición de la M k podemos eliminar una multiplicación de matrices y reducir el número de multiplicaciones a 7 (una multiplicación por cada M k) y expresar C i, j como
Iteramos n-veces el proceso de división hasta que las submatrices degeneran en números (elementos del anillo R). Las implementaciones prácticas del algoritmo de Strassen, permiten cambiar a métodos estándar de multiplicación de matrices para submatrices lo suficientemente pequeñas, para las cuales son más eficientes. El punto a partir del cual el algoritmo de Strassen es más eficiente depende de la implementación específica y del hardware. Se ha estimado que el algoritmo de Strassen es más
rápido para matrices con anchura desde 32 a 128 para implementaciones optimizadas,1 y 60.000 o más para implementaciones básicas.
Análisis numérico La multiplicación de matrices estándar requiere aproximadamente 2N 3 (donde N = 2n)operaciones aritméticas (sumas y multiplicaciones); la complejidad asintótica es O(N3). El número de sumas y multiplicaciones requeridas en el algoritmo de Strassen puede ser calculado como sigue: sea f(n) el número de operaciones para una matriz de . Entonces por aplicación recursiva del algoritmo de Strassen, vemos que f(n) = 7f(n − 1) + l4n, para alguna constante l que depende del número de sumas realizadas en cada aplicación del algoritmo. Por lo tanto f(n) = (7 + o(1))n,esto es, la complejidad asintótica para multiplicar matrices de tamaño N = 2 n usando el algoritmo de Strassen es . La reducción en el número de operaciones aritméticas se obtiene a cambio de reducir un tanto la estabilidad numérica.
Algoritmo de Kruskal El algoritmo de Kruskal es un algoritmo de la teoría de grafos para encontrar un árbol recubridor mínimo en un grafo conexo y ponderado. Es decir, busca un subconjunto de aristas que, formando un árbol, incluyen todos los vértices y donde el valor total de todas las aristas del árbol es el mínimo. Si el grafo no es conexo, entonces busca un bosque expandido mínimo (un árbol expandido mínimo para cada componente conexa). El algoritmo de Kruskal es un ejemplo de algoritmo voraz. Un ejemplo de árbol expandido mínimo. Cada punto representa un vértice, el cual puede ser un árbol por sí mismo. Se usa el Algoritmo para buscar las distancias más cortas (árbol expandido) que conectan todos los puntos o vértices. Funciona de la siguiente manera:
se crea un bosque B (un conjunto de árboles), donde cada vértice del grafo es un árbol separado se crea un conjunto C que contenga a todas las aristas del grafo mientras C es no vacío eliminar una arista de peso mínimo de C si esa arista conecta dos árboles diferentes se añade al bosque, combinando los dos árboles en un solo árbol en caso contrario, se desecha la arista o o
o
Al acabar el algoritmo, el bosque tiene un solo componente, el cual forma un árbol de expansión mínimo del grafo. Este algoritmo fue publicado por primera vez en Proceedings of the American Mathematical Society, pp. 48 –50 en 1956, y fue escrito por Joseph Kruskal. Complejidad del algoritmo m el número de aristas del grafo y n el número de vértices, el algoritmo de Kruskal muestra una complejidad O(m log m) o, equivalentemente, O(m log n), cuando se ejecuta sobre estructuras de datos simples. Los tiempos de ejecución son equivalentes porque:
m es a lo sumo n 2 y log n2 = 2logn es O(log n). ignorando los vértices aislados, los cuales forman su propia componente del árbol de expansión mínimo, n ≤ 2m, así que log n es O(log m).
Se puede conseguir esta complejidad de la siguiente manera: primero se ordenan las aristas por su peso usando una ordenación por comparación (comparison sort) con una complejidad del orden de O(m log m); esto permite que el paso "eliminar una arista de peso mínimo de C" se ejecute en tiempo constante. Lo siguiente es usar una estructura de datos sobre conjuntos disjuntos (disjoint-set data structure) para controlar qué vértices están en qué componentes. Es necesario hacer orden de O(m) operaciones ya que por cada arista hay dos operaciones de búsqueda y posiblemente una unión de conjuntos. Incluso una estructura de datos sobre conjuntos disjuntos simple con uniones por rangos puede ejecutar las operaciones mencionadas en O(m log n). Por tanto, la complejidad total es del orden de O(m log m) = O(m log n). Con la condición de que las aristas estén ordenadas o puedan ser ordenadas en un tiempo lineal (por ejemplo, mediante el ordenamiento por cuentas o con el ordenamiento Radix), el algoritmo puede usar estructuras de datos de conjuntos disjuntos más compl ejas para ejecutarse en tiempos del orden de O(m α( n)), donde α es la inversa (tiene un crecimiento extremadamente lento) de la función de Ackermann. Demostración de la corrección Sea P un grafo conexo y valuado y sea Y el subgrafo de P producido por el algoritmo. Y no puede tener ciclos porque cada vez que se añade una arista, ésta debe conectar vértices de dos árboles diferentes y no vértices dentro de un subárbol. Y no puede ser disconexa ya que la primera arista que une dos componentes de Y debería haber sido añadida por el algoritmo. Por tanto, Y es un árbol expandido de P.
Sea Y1 el árbol expandido de peso mínimo de P, el cual tiene el mayor número de aristas en común con Y. Si Y 1=Y entonces Y es un árbol de expansión mínimo. Por otro lado, sea e la primera arista considerada por el algoritmo que está en Y y que no está en Y 1. Sean C1 y C2 las componentes de P que conecta la arista e. Ya que Y1 es un árbol, Y 1+e tiene un ciclo y existe una arista diferente f en ese ciclo que también conecta C 1 y C2. Entonces Y 2=Y1+e-f es también un árbol expandido. Ya que e fue considerada por el algoritmo antes que f, el peso de e es al menos igual que que el peso de f y ya que Y 1 es un árbol expandido mínimo, los pesos de esas dos aristas deben ser de hecho iguales. Por tanto, Y 2 es un árbol expandido mínimo con más aristas en común con Y que las que tiene Y 1, contradiciendo las hipótesis que se habían establecido antes para Y 1. Esto prueba que Y debe ser un árbol expandido de peso mínimo. Otros algoritmos para este problema son el algoritmo de Prim y el algoritmo de Boruvka.
Ejemplo
Este es el grafo original. Los números de las aristas indican su peso. Ninguna de las aristas está resaltada.
AD y CE son las aristas más cortas, con peso 5, y AD se ha elegido arbitrariamente, por tanto se resalta.
Sin embargo, ahora es CE la arista más pequeña que no forma ciclos, con peso 5, por lo que se resalta como segunda arista.
La siguiente arista, DF con peso 6, ha sido resaltada utilizando el mismo método.
La siguientes aristas más pequeñas son AB y BE, ambas con peso 7. AB se elige arbitrariamente, y se resalta. La arista BD se resalta en rojo, porque formaría un ciclo ABD si se hubiera elegido.
El proceso continúa marcando las aristas, BE con peso 7. Muchas otras aristas se marcan en rojo en este paso: BC (formaría el ciclo BCE), DE (formaría el ciclo DEBA), y FE (formaría el ciclo FEBAD).
