Colegio “MAGÍSTER “MAGÍSTE R LAGRANGE” LAGRANGE ” Pág.1
MATEMÁTICA MATEMÁTICA
Nivel Básico: Despejando Ecuaciones Algebraicamente
Análisis Dimensional UNIDADES DE MEDIDA
Magnitud &undamental Longitud Masa !iem,o !em,eratura !ermodinHmica 0antidad de sustancia Intensidad de la corriente elctrica Intensidad luminosa
Unidad JHsica Metro Kilogramo Segundo Kelvin
Símbolo
E5D5
m g s K
L M ! 1
m ol
mol
N
Am,erio
A
I
0andela
cd
#5" La ,otencia transmitida en una cuerda ,or una onda senoidal se calcula con la .ormula6 P= 0,5 ! "A"v 7Donde 6 *8 ,otencia 9 $ es .recuencia angular9 A es am,litud : v es velocidad5 ;allar la ecuación dimensional ,ara < a= ML"# b= LM! "# c= LM"#! "2 c= M2L"2! "# d= ML! " 25"Las le:es de electricidad de.inen >ue 6 #=$% : #=&'( V8di.erencia de ,otencial I 8Intensidad de la corriente elctrica > 8carga elctrica ) 8 traba(o ;allar la ecuación dimensional de resistencia 45 a= ML"#I b= LM! LM! "#I"2 c= LM"#! "2I d= ML2! "I"2 d= ML! "I"# 5" ;allar la ecuación dimensional de A9 si se cum,le la relación6
Ecuaciones Dimensiónales Derivadas
Magnitud Símbolo Área A Volumen V Velocidad lineal V Aceleración lineal a Velocidad angular $ Aceleración % angular &uer'a & !raba(o ) Energía E *eso + Im,ulsión I *resión * Densidad *eso es,eci.ico / 0a,acidad 0c calorí.ica 0alor es,eci.ico 0e 0arga elctrica 3 Intensidad del E cam,o elctrico *otencial elctrico V 4esistencia 4 elctrica Primero de Secundri #IMESTRE
Ecuación L2 L L!"# L!"2 !"# ! "2 "2
ML! ML2! "2 ML2! "2 ML!"2 ML!"# ML"#! "2 ML" ML"2! "2 ML2! "21"# L2! "21"# I! ML!"I"# ML2! "I"# ML2! "I"2
)=
A 2 . D F .V 2
Donde 08velocidad9 D8densidad9 &8.uer'a9 : V8volumen a= L! "2 b= M! "# c= L?! "2 c= L?! 2 d= " L! @5" En el siguiente ,roblema allar las dimensiones de * 9 sabiendo >ue 38.uer'a9 )8traba(o9 B8aceleración9 V8volumen5 *8
ZV QW sen 30°
a= ML! "2 b= ML! "# c= M"#C2L2! "# c= M"C2L2! d= ML!" 5" ;allar la ecuación dimensional de 0 en la siguiente e,resión6 *8*o e
mv
2
2 CTE
− 1
Donde v8velocidad9 m8masa9 E8energía9 !8tem,eratura9 : *8,otencia5 a= L b= !1 c= 12 d= 1 e= M1 ?5"La .recuencia de oscilación F.= con >ue oscila un ,ndulo .ísico se de.ine6 f =
1
mgd
2π
I
donde6
m8 masa7 g8aceleración de la gravedad7 d8distancia5 G0uHl es la ecuación dimensional del momento inercial FI= a= ML2 b= ML"2 c= ML"2! "2 d= M! "2 e= ML"2! "21"2 I! "
Colegio “MAGÍSTER LAGRANGE” Pág.$
O5" G0uHl es la ecuación dimensional de PEQ : >ue unidades tiene en el SI E =
m
ω
A cos ω t
f F 2 sen 3α
9 Donde
Nivel $ntermedio *Principio de +omogeneidad Dimensional
#5"Si d8distancia : t8tiem,o5 ;allar A : %9 si la ecuación siguiente es dimensionalmente eacta5 d= #o-t . 1
a= L! "2 : L! c= L! "2 : L! "
2
At" . 1
6
/t
b= L! "# : L! " c= L! 2 : L! "
25" Si a8aceleración9 M8masa : L8longitud5 ;allar A si la e,resión siguiente es dimensionalmente eacta5 M 2
R
a= L! "2 b= M! "# c= L?! 2
c= L2! "2 d= L"2!
2
M8masa FKg=7 A8am,litudFm=7 $8.recuencia angular7 .8.recuencia F;'=7 &8.uer'aFN= a= ! 27s2 b= ! "#7;' c= ! "#7redCs d= !7 s e= L! "#7 mCs
A
MATEMÁTICA
M B
R
S B 2 + a. L
a= ML"#! b= LM!"# c= LM"#! "2 c= M2L"2! "# d= ML! " 5" Si la siguiente ecuación dimensional es eacta determinar las dimensiones de e T9 siendo6 A8 .uer'a9 J8traba(o9 08densidad
?5" En un determinado instante un cuer,o e(erce una .uer'a sobre una cuerda determinado ,or la siguiente ecuación: F = kmg +
AV 2 R
7 Donde6
m8masa7 g8aceleración de la gravedad7 V8velocidad : 48radio5 ;allar la ecuación dimensional de : A res,ectivamente5 a= #7 M b= L 7 M c= # 7 ML "# "# d= L7 ML e= #7 ML O5" La ecuación siguiente es dimensionalmente omognea6 2,3Q m. sen36 o
= ( Ph + R. log 0,8) 4. sen30
o
Donde *8,otencia7 8altura7 m8masa5 ;allar las dimensiones de P3Q5 a= ML?! "? b= ML?! "? c= ML"?! ? d= M2L! " e= ML! " 5" Si la e,resión siguiente es dimensionalmente eacta5 ;allar la ecuación dimensional de :5 2
.t a
π
=
n + V .t + n. . R k . log 7 donde6 A P V 2 A
t8tiem,o7 48radio7 a8aceleración7 *8,otencia7 V8velocidad5 a= nL! " b= ML2! " c= ML"! d= ML"2! e= ML! "
A1 . B2 = )
a= L! : L"! 2 b= L! : L2 c= L@! "# : L"! 2 d= L : ! e= L"@! 2 : L"! 2
Nivel Avan4ado: Deduccin de 3ormula Emp6rica
@5" Si la ,resión * esta e,resada ,or6 P= at" . bD . c3 7Donde 6 t8 tiem,o9 D8densidad : &8.uer'a5 ;allar las dimensiones de a9 b : c a= ML"#! @ 7 L2! "2 7 L"2 b= ML"#! "@ 7 L2! "2 7 L2 c= ML"#! "@ 7 L2! "2 7 L"2 d= ML"#! "@ 7 L"2! 2 7 L"2 e= ML"! "@ 7 L2! "2 7 L2
#5" La aceleración con >ue se mueve una ,artícula en el M5A5S59 se de.ine ,or la ecuación6 α = −ω α A β . cos(ϖ .t + ϕ ) 7 Donde6 t8tiem,o7 $8.recuencia angular7 A8am,litud5 Determinar6 % W a= "# b= # c= 2 d= "2 e=
5" En la siguiente e,resión dimensionalmente eacta6 V8volumen9 A8Hrea9 L8longitud9 !8tiem,o5 ;allar la ecuación dimensional de J50
25" En la siguiente e,resión omognea allar el valor de R:R' 7 3= 7A8B9)4 Donde6 &8 .uer'a9 K8numero9 08velocidad9 A8L"#M! "# 9 J8longitud5 a=# b= 2 c= d= @ e=
3
0 8 V + K A + BLT B 2 . A
Primero de Secundri #IMESTRE
I! "
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MATEMÁTICA
5"En la e,resión mostrada allar '9 si &8.uer'a9 D8densidad9 v8velocidad : m#9m29m son masas5
2
a=
λ
39D8v 4=*n.tg-m;-m"-m
a= X
b= "
c=
d= "X
?5"Si la energía cintica de una ,artícula tiene la siguiente ecuación 6 E=Ca#b 7 allar aRb a= # b= c= @ d= "# e= Y
Ejercicios para la clase
#5" La siguiente ecuación es dimensionalmente eacta6 α ." = W . ! + ε 7 donde )8traba(o7 \8energíaCvolumen7 l8 longitud5 Las dimensiones de % : , son res,ectivamente5 a= ML"#! "27 L "C2 b= ML"#! "#7 L"C2 c= ML"2! "27 L"C2 d= ML2! "27 L" e= M2L2! "27 L" 2
25"Si la siguiente e,resión .ísica es eacta6 # = k ( ln ( A + B.C ) − ln ( C . D ) ) 7 allar B
D
b= M
c= ! d= #
e= .altan datos
5" La siguiente ecuación e,resa la energía de de.ormación de un resorte6 E=*;'"/1> donde6 8constante elHstica : 8de.ormación5 ;allar % RW a= b= 2 c= @ d= #C2 e= C2 @5" Si la ,resión >ue e(erce un .luido tiene la .ormula6 P = λ .Q % d A $ 7 donde ]8constante7 d8densidad7 A8Hrea7 38caudal5 Determinar la e,resión correcta de ,resión5 Primero de Secundri #IMESTRE
A
2
d=
5" La energía de un .luido9 el cual circula ,or una tubería9 esta dada ,or la ecuación6 E=#/*P>.*;'"?@v Donde V8volumen9 *8,resión9 -8densidad : v8ra,ide'5 ;allar el valor de %RWR [R / a= b= Y c= @ d= e= 2
a= L
2
b=
λ
Q d
c=
A
λ
Q d A
λ
Q d A
2
2
e= Y
@5"La ecuación >ue de.ine la energía interna sobre mol de un gas ideal tiene la .ormula6 <='"%/ > Donde6 !8 tem,eratura 7 48 9# (ouleCFmol5ZK= ;allar6 % R W a= # b= 2 c= "2 d= "# e= "
"#
2
Q d
e=
λ
Q d A 2
5" Si la siguiente ecuación dimensional es eacta determinar las dimensiones de e T9 siendo6 A8 .uer'a9 J8traba(o9 08densidad A R JT 8 0 " 2 a= L ! : L ! b= L! : L2 c= L@! "# : L"! 2 d= L : ! e= L"@! 2 : L"! 2 ?5" En la e,resión mostrada allar '9 si &8.uer'a9 D8densidad9 v8velocidad : m#9m29m son masas5 &D :v'8FnRtg1=m#5m25m a= X
b= "
c=
d= "X
e= Y
O5"Si la siguiente ecuación es dimensionalmente eacta allar P"2:Q5Sabiendo >ue6 a8aceleración9 v8velocidad9 t8tiem,o5 a8 vt2F#" :"= a= # b= 2 c= "2 d= "# e= " 5" La ecuación >ue de.ine la energía interna sobre mol de un gas ideal tiene la .ormula6 U8C24%! W Donde 6 !8 tem,eratura 48 9# (ouleCFmol5ZK= ;allar6 % R W a= # b= 2 c= "2 d= "# e= " X5" La siguiente e,resión .ísica es dimensionalmente omognea6 B8A senFa2RbRc= Donde PQ se mide en metros : A en mCs5 allar las dimensiones de BaCbc5 a= L"# b= ! "# c= L! "# d= L"#! e= L"#! 2 ?5" Si la ,resión * esta e,resada ,or6 *8 at2 R bD R c& Donde 6 t8 tiem,o9 D8densidad : &8.uer'a5 ;allar las dimensiones de a9 b : c a= ML"#! @ 7 L2! "2 7 L"2 b= ML"#! "@ 7 L2! "2 7 L2 c= ML"#! "@ 7 L2! "2 7 L"2 d= ML"#! "@ 7 L"2! 2 7 L"2 e= ML"! "@ 7 L2! "2 7 L2 #Y5"La energía de un .luido9 el cual circula ,or una tubería9 esta dada ,or la ecuación6 E8V%F*WRF#C2=-[v/= I! "
Colegio “MAGÍSTER LAGRANGE” Pág.&
MATEMÁTICA
Donde V8volumen9 *8,resión9 -8densidad : v8ra,ide'5 ;allar el valor de %RWR [R / a= b= Y c= @ d= e= 2
Primero de Secundri #IMESTRE
I! "
