Analisis y Diseno n˜ o de Controladores PID Johan Sebasti´ Sebastian a´ n Pulecio Zuluaga
Andr´ Andres e´ s Felipe Guzm´ Guzman a´ n
Aldemir Vargas Eudor
808033
808020
808054
Universidad Nacional de Colombia Ingenier´ Ingenier´ıa ıa Electronica o´ nica
Universidad Nacional de Colombia Ingenier´ Ingenier´ıa ıa Electr onica o´ nica
Universidad Nacional de Colombia Ingenier´ Ingenier´ıa ıa Electr onica o´ nica
—Tras Resumen—Tras
haber estudiado estudiado y analizado analizado los sistemas sistemas de contro controll en lazo lazo cerrado cerrado y los difere diferente ntess tipos tipos de contro controlad ladore oress utili utilizad zados os para para modi modific ficar ar la resp respue uest sta a de la plan planta ta ante ante un requerimiento especifico, presentamos aqu´ aqu´ı un sistema de control con controlador PID con su respectivo analisis. a´ lisis. —Tiemp mpo o de esta establ blec ecim imie ient nto( o(ts ),M´aximo aximo Index Terms—Tie sobreimpulso(M p ), Error de estado estacionario(ess ), Controlador PID.
I.
O BJETIVOS
Dise˜ Disenar n˜ ar un controlador PID partiendo de unas condiciones dadas. Observar y analizar el comportamiento de la planta antes y despu´es es de aplicar el controlador PID Determ Determina inarr las venta ventajas jas y desve desventa ntajas jas de aplica aplicarr un controlador PID a una planta.
II. II .
´ I NTRODUCCION
Al estu estudi diar ar los los tipo tiposs de cont contro rola lado dore ress util utiliz izad ados os en los los sist sistem emas as de cont contro rol, l, tale taless como como el P(pr P(prop opor orci cion onal al), ), el PI(proporcional-integral PI(proporcional-integral), ), el PD(proporcional-deriv PD(proporcional-derivativo ativo)y )y el PID(propo PID(proporcio rcionalnal-inte integralgral-deri derivat vativ ivo),et o),etc; c; es importan importante te se˜ senalar ˜ que m as a´ s de la mitad de los controladores industriales utilizan los PID o´ una modificaci on o´ n de estos. En el presente trabajo presentamos el dise no n˜ o de un controlador PID partiendo de la funcion o´ n de transferencia G(s) =
S 2
0,18 + 0,948S + + 0 ,18
y utilizando unas condiciones de partida como el valor de un M p y un tss dados.
III.
´ M ARCO T E ORICO
Un controlador PID corrige el error entre un valor medido y el valor que se quiere obtener calcul´andolo y luego sacando una accion o´ n correctora que puede ajustar al proceso acorde. El algoritmo de c alculo a´ lculo del control PID se da en tres par ametros a´ metros distintos: el proporcional, el integral, y el derivativo. El valor Proporcional determina la reacci´on on del error actual. El Integral genera una correcci´on on proporcional a la integral del error, esto nos asegura que aplicando un esfuerzo de control suficiente, el
error de seguimiento se reduce a cero. El Derivativo determina la reaccion ´ del tiempo en el que el error se produce. La utilid utilidad ad de los controla controlador dores es PID estriba estriba en que se aplican aplican en forma forma casi general a la mayor´ mayor´ıa ıa de sistemas sistemas de contr control, ol, en partic particula ularr cuando cuando el modelo modelo matem matem atic a´ tico o de la planta planta no se conoce conoce y, por lo tanto, tanto, no se pueden pueden emplear emplear metodos e´ todos de dise no n˜ o anal´ anal´ıticos. ıticos. Un controlador PID agrega un polo en el origen y dos ceros o bien complejos conjugados o bien reales en la funci´on on de transferencia de la planta.
Proporcional: La parte proporcional consiste en el producto entre la se nal n˜ al de error error y la consta constante nte propor proporcio cional nal como como para para que hagan hagan que el error en estado estacionario sea casi nulo, pero en la mayor´ mayor´ıa ıa de los casos, casos, estos estos valor valores es solo solo ser´ seran a´ n optimos o´ ptimos en una determin determinada ada porci porci on o´ n del rango rango total total de contro control, l, siendo siendo distinto distintoss los valores valores optim o´ ptimos os para para cada cada porci porci´on o´ n del rango. rango. Sin embargo, existe tambi en e´ n un valor l´ l´ımite ımite en la constante proporci proporcional onal a partir partir del cual, en algunos algunos casos, el sistema sistema alcanza valores superiores a los deseados. Integral: El modo de control Integral tiene como prop´osito osito disminuir y elimi eliminar nar el error error en estado estado estaci estaciona onario rio,, provo provocad cado o por el modo proporciona proporcional. l. El control control integral integral act ua u´ a cuando cuando hay ´ entr una desviaci desviaci´on entree la vari variab able le y el punt punto o de cons consig igna na,, integ integran rando do esta esta desvia desviaci cio´ n en el tiempo y sumandola a´ ndola a la acci´ acci´ on prop propor orci cion onal al.. El erro errorr es inte integr grad ado, o, lo cual cual tiene tiene la funci´ funci´on on de promedia promediarlo rlo o sumarlo sumarlo por un per´ per´ıodo ıodo determ determina inado; do; Luego Luego es multi multipli plicad cado o por una consta constante nte I. Posterio Posteriormen rmente, te, la respuest respuestaa integral integral es adicionada adicionada al modo Proporcional para formar el control P + I con el prop osito o´ sito de obtener una respuesta estable del sistema sin error estacionario. Derivativo: ´ derivativa se manifiesta cuando hay un cambio en La accion el valor absoluto del error; (si el error es constante, solamente act´uan uan los modos proporcional e integral). La funci´on o n de la acci´on on derivativ derivativaa es mantener el error al m´ınimo ınimo corrigi´endolo corrigi´endolo proporci proporcionalm onalmente ente con la misma misma velocida velocidad d que se produce; produce; de esta manera evita que el error se incremente.
La FTLC nos queda Y s Gc (s)G p (s) = Rs 1 + Gc (s)G p (s) y nos interesa es el denominador que debe tener la dinamica de la ecuacion(8) Como la FT de un controlador PID esta dada por K i K d s2 + K p s + K i + K d s = s s Hallamos la FT de trayectoria directa Gc (s) = K p +
Y s = G c (s)G p (s) = E s
Como nos dan un M p = 16% y tenemos que la ecuacion canonica de segundo orden es de la forma Ecuac.(1)
0,948 + 0,18K d = 3 ⇒ K d = 11,4 0,18 + 0,18K p = 6 ⇒ K p = 32,33 0,18K i = 4 ⇒ K i = 22,22
tenemos que
M p
=
e
como nos dan un t si´on t
s
=
4
ξw
n
s
Finalmente la FT nos queda
⇒ ξ = 0,5
= 4seg utilizando
⇒ ξw
n
El denominador de esta expresi´on debe tener el comportamiento de la ecuaci o´ n(2) y para ello tomamos la ecuac.(8) y le agregamos un polo remanente, le agregamos (s+1) y nos queda
Igualando los denominadores nos queda que
0,18 G(s) = 2 S + 0,948S + 0 ,18
1−
0,18 s2 + 0,948s + 0,18
(s + 1)(s2 + 2s + 4) = s 3 + 3s2 + 6s + 4
y nuestra funcion de transferencia esta dada por
√ −ξπξ 2
Y s 0,18(K d s2 + K p s + K i ) = 3 Rs s + s2 (0,948 + 0,18K d ) + s(0,18 + 0,18K p ) + 0 ,18K i
C ALCULOS
s2 + 2ξw n s + wn 2
K d s2 + K p s + K i s
Y hallando la FT de LC tenemos
Figura 1. Controlador PID
IV.
=
4
t
s
=
4 4
la expre-
Y s 2s2 + 5,8s + 4 = 3 Rs s + 3 s2 + 6 s + 4 Con los valores de K p , K i , K d podemos dise˜nar el controlador PID
=1
luego despejando wn tenemos que wn = 2 y rearmando la ecuaci´on(1) can´onica nos queda s2 + 2s + 4
Ecuac.(2)
Figura 3. Diagrama de Bloques del esquema de control
Figura 2. Diagrama de Bloques del esquema de control
El circuito general del controlador junto con la planta queda de la siguiente manera .
Figura 4. Diagrama de Bloques del esquema de control
Los resultados obtenidos en MatLab se muestran en la siguiente grafica
Figura 5. Resultados en MatLab
R EFERENCIAS [1] KATSUHIKO OGATA, Ingenier´ıa de Control Moderna. ´ PEARSON EDUCACION,S.A.,Madrid,2003. Cuarta. Edici o´ n,
