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UNIVERSIDAD SAN PEDRO Escuela Ingeniería Industrial INVESTIGACIÓN OPERATIVA II

ANÁLISIS DE LAS FILAS DE ESPERA Introducción En muchas ocasiones en la vida real, un fenómeno muy común es la formación de colas o líneas de espera. Esto suele ocurrir cuando la demanda real de un servicio es superior a la capacidad que existe para dar dicho servicio. Ejemplos reales de esa situación son: los cruces de dos vías de circulación, los semáforos, el peaje de una autopista, los cajeros automáticos, matriculas en la universidad, restaurante de comida rápida, maquinas que esperan ser reparadas, aviones que esperan aterrizar, la atención a clientes en un establecimiento comercial, la avería de electrodomésticos u otro tipo de aparatos que deben ser reparados por un servicio técnico, etc. y estaciones de servicios, tales como mesas en un restaurante, operarios en un taller de reparación, pistas en un aeropuerto, etc. Los problemas de formación de colas a menudo contienen una velocidad variable de llegada de clientes que requieren cierto tipo de servicio, y una velocidad variable de prestación del servicio en la estación de servicio. Una cola es una línea de espera y la teoría de colas es una colección de modelos matemáticos que describen sistemas de línea de espera particulares o sistemas de colas. Los modelos sirven para encontrar un buen compromiso entre costes del sistema y los tiempos promedio de la línea de espera para un sistema dado. Los sistemas de colas son modelos de sistemas que proporcionan servicio. Como modelo, pueden representar cualquier sistema en donde los trabajos o clientes llegan buscando un servicio de algún tipo y salen después de que dicho servicio haya sido atendido. Podemos modelar los sistemas de este tipo tanto como colas sencillas o como un sistema de colas interconectadas formando una red de colas. En la siguiente figura podemos ver un ejemplo de modelo de colas sencillo. Este modelo puede usarse para representar una situación típica en la cual los clientes llegan, esperan si los servidores están ocupados, son servidos por un servidor disponible y se marchan cuando se obtiene el servicio requerido. El problema es determinar qué capacidad o tasa de servicio proporciona el balance correcto. Esto no es sencillo, ya que un cliente no llega a un horario fijo, es decir, no se sabe con exactitud en qué momento llegarán los clientes. También el tiempo de servicio no tiene un horario fijo.

Economía del problema de las filas de espera Un problema central en muchos contextos de servicios es la administración del tiempo de espera. El administrador debe ponderar el costo adicional de brindar un servicio más rápido (más carriles de tráfico, más pistas de aterrizaje, más cajas de salida) respecto del costo inherente de la espera. Con frecuencia, la decisión del equilibrio de estos costos es muy sencilla. Por ejemplo, si se observa que el tiempo total que los empleados se forman en espera de usar una copiadora lo pueden destinar a actividades productivas, se compararía el costo de instalar otra copiadora con el valor del tiempo que ahorren los empleados. Así, la decisión se reduciría a términos de dólares y sería fácil tomar la decisión. Por otro lado, suponga que su problema de la fila de espera radica en la demanda de camas de un hospital. El costo de las camas adicionales se calcula al sumar los costos de construir un edificio, el equipamiento adicional requerido y el incremento de mantenimiento. Pero, ¿cuál es el otro lado de la balanza? En este caso se enfrenta el problema de asignar una cantidad de dinero a la necesidad del paciente que requiere una cama de hospital que no está disponible. Si bien es posible estimar el ingreso que pierde el hospital, ¿qué decir del costo humano que se deriva de la falta de una atención hospitalaria oportuna? VISIÓN PRÁCTICA DE LAS FILAS DE ESPERA Antes de pasar a la presentación técnica de la teoría de las filas de espera conviene analizar el aspecto intuitivo de la cuestión para entender su significado. La ilustración 1 muestra las llegadas a un local de servicios (como un banco) y los requerimientos de servicios de ese local (como cajeros y gerentes de crédito). Una variable importante es el número de llegadas en las horas que el servicio está abierto. Desde el punto de vista de la prestación del servicio, los clientes demandan distintas cantidades de servicio que muchas veces exceden la capacidad normal. Es posible controlar las llegadas de distintas maneras. Por ejemplo, es posible tener una línea corta (como en un restaurante de comida rápida de servicio en el coche, que solo tiene unos cuantos espacios), establecer horarios específicos para clientes específicos o hacer ofertas especiales. En el caso del servidor, el tiempo del servicio se altera con personal más ágil o lento, máquinas más rápidas o lentas, diferentes herramientas, distinto material, diferente distribución, tiempo de preparación más expedito, etcétera.

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Docente Mg. Ing. J. Paredes C.


El punto esencial de las líneas de espera es que no son una condición fija de un sistema productivo, sino que en gran medida se controlan por medio de la administración y diseño del sistema. Algunas sugerencias para administrar filas, basadas en investigaciones del sector bancario, son:  Segmente a los clientes. Si un grupo de clientes necesita algún servicio rápido, ofrézcales una fila especial, de modo que no tengan que esperar por los clientes que requieren servicios más lentos.  Capacite a sus servidores a ser amables. Recibir a los clientes por su nombre o con alguna otra forma de atención especial ayuda mucho a superar el sentimiento negativo que produce una espera larga. Los psicólogos sugieren que se enseñe a los servidores cuándo deben recurrir a acciones amigables específicas, como sonreír cuando reciben a los clientes, tomar pedidos y entregar el cambio (por ejemplo, en una tienda de abarrotes). Las pruebas que aplican estas acciones conductuales específicas demuestran que, en la percepción de los clientes, se registran incrementos sustantivos respecto a la amabilidad de los servidores.  Informe a sus clientes lo que pueden esperar de la situación. Esto reviste especial importancia cuando el tiempo de espera va a ser más largo de lo normal. Explíqueles por qué será más larga la espera y lo que se hace para aligerarla.  Trate de distraer al cliente mientras espera. Ofrecer música, un video o alguna otra forma de entretenimiento puede distraer la atención de los clientes del hecho de que están esperando.  Sugiera a los clientes que acudan al establecimiento en periodos de poca actividad. Indique a los clientes las horas en las que seguramente no tendrán que esperar y también los periodos pico; esto puede aligerar la carga.

El sistema de filas El sistema de filas cuenta, en esencia, con tres componentes básicos: 1) la población fuente y la forma en que los clientes llegan al sistema, 2) el sistema de prestación del servicio y 3) la condición de los clientes que salen del sistema (¿de regreso a la población fuente o no?), como muestra la ilustración 2. Las secciones siguientes abordan cada uno de estos elementos.

LLEGADA DE LOS CLIENTES Las llegadas a un sistema de servicios pueden provenir de una población finita o de una infinita. La diferencia es importante porque los análisis se fundan en diferentes premisas y su solución requiere ecuaciones distintas. Líneas de Espera M/M/1

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Población finita Una población finita se refiere al conjunto limitado de clientes que usarán el servicio y, en ocasiones, formarán una línea. La razón de la importancia de esta clasificación es que cuando un cliente abandona su posición como miembro de la población (por ejemplo, una máquina que se descompone o requiere servicio), el tamaño del grupo de usuarios tiene una unidad menos y ello disminuye la probabilidad de que se presente el siguiente hecho. Al contrario, cuando un cliente recibe un servicio y regresa al grupo de usuarios, la población aumenta, así como la probabilidad de que el usuario requiera el servicio. Esta clase de problemas de una población finita requiere un conjunto de fórmulas distinto al de una infinita. Por ejemplo, piense en una persona que da mantenimiento a un grupo de seis máquinas. Cuando se descompone una de ellas, la población fuente disminuye a cinco y la probabilidad de que una de las cinco restantes se descomponga y necesite reparación definitivamente es menor que cuando operan seis máquinas. Si dos están descompuestos y solos hay cuatro en operación, cambia de nuevo la probabilidad de otra descompostura. Al contrario, cuando la máquina se repara y vuelve a operar, la población de máquinas se incrementa, lo que eleva la probabilidad de la siguiente descompostura. Población infinita Una población infinita es lo bastante grande, en relación con el sistema del servicio, para que el tamaño que resulta de incrementos o decrementos en ella (un cliente que necesita un servicio o un cliente que recibió el servicio y regresa a la población) no afecte sustantivamente las probabilidades del sistema. En el caso de la explicación anterior de lo finito, si hubiera 100 máquinas en lugar de 6, entonces si una o dos máquinas se descompusieran, las probabilidades de las próximas descomposturas no serían muy diferentes y cabría suponer, sin gran posibilidad de errar, que la población (para efectos prácticos) es infinita. Las fórmulas de los problemas de filas “infinitas” no generarían grandes errores si se aplicaran a un médico con mil pacientes o a una tienda de departamentos con 10 mil clientes.

DISTRIBUCIÓN DE LAS LLEGADAS Cuando se describe un sistema de espera es preciso definir el orden de los clientes o las unidades que esperan.


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Las fórmulas de las líneas de espera suelen requerir una tasa de llegadas, o el número de unidades por periodo (por ejemplo, un promedio de uno cada seis minutos). Una distribución constante de llegadas es periódica, y el tiempo que transcurre entre las llegadas sucesivas es exactamente el mismo. En los sistemas de producción, las únicas llegadas que en efecto se acercan a un periodo de intervalos constantes son las sujetas al control de una máquina. Las distribuciones variables de llegadas (aleatorias) son mucho más comunes. Cuando se observan las llegadas a un local de servicios, se adopta uno de dos puntos de vista: en primer término, se analiza el tiempo entre llegadas sucesivas para ver si sigue alguna distribución estadística. Por lo general se supone que el tiempo entre llegadas se distribuye de modo exponencial. En segundo, se establece una duración de tiempo (T) y se determina cuántas llegadas pueden entrar en el sistema en T. Por lo general, se supone que el número de llegadas por unidad de tiempo tiene una distribución de Poisson. Distribución exponencial En el primer caso, cuando las llegadas a un local de servicios se presentan en forma enteramente aleatoria, un plano de tiempos entre llegadas produce una distribución exponencial, como la de la ilustración siguiente. La función de probabilidad es Función de densidad 𝒇(𝒕) = 𝝀𝒆−𝝀𝒕 (1) Donde λ es la media de las llegadas por periodo. El área acumulada debajo de la curva de la ilustración 3 es el resumen de la ecuación (7A.1) dentro de su rango positivo, que es 𝒆−𝝀𝒕 Esta integral permite calcular las probabilidades de las llegadas en un tiempo especificado. Por ejemplo, en el caso de llegadas únicas a una línea de espera (λ = 1), se deriva la tabla siguiente al despejar 𝒆−𝝀𝒕 o utilizando el apéndice F. (Distribución exponencial negativa: valores de e–x) La columna 2 muestra la probabilidad de que pasen más de t minutos antes de que se presente la siguiente llegada. La columna 3 muestra la probabilidad de la siguiente llegada dentro de t minutos (calculada como 1 menos la columna 2).

Distribución de Poisson En el segundo caso, en el cual interesa el número de llegadas en un periodo T, la distribución se presenta como en la ilustración 4, y se obtiene al encontrar la probabilidad exacta de n llegadas durante T. Si el proceso de llegadas es aleatorio, entonces la distribución es de Poisson, y la fórmula es

𝑷𝑻 (𝒏) =

(𝝀𝑻)𝒏 𝒆−𝝀𝒕

(2)

𝒏!

La ecuación (2) muestra la probabilidad de que haya exactamente n llegadas en el tiempo T. Por ejemplo, si la media de las llegadas de unidades al sistema es de tres por minuto (λ = 3) y se quiere encontrar la probabilidad de que lleguen exactamente cinco unidades en un periodo de un minuto (n = 5, T = 1), se tiene

𝑃1 (5) =

(3𝑥1)5 𝑒 −3𝑥1 5!

=

35 𝑒 −3 120

= 2.025𝑒 −3 = 0.101

Es decir, hay una probabilidad de 10.1% de que haya cinco llegadas en un intervalo de un minuto. Función de densidad acumulada P(tiempo entre llegadas ≤ T) = 1

- 𝒆−𝝀∗𝑻

(3)

Por ejemplo, si los clientes llegan al banco con una rapidez promedio de 𝜆= 20 por hora y si un cliente acaba de llegar, entonces la probabilidad de que el siguiente llegue dentro de los siguientes diez minutos (es decir T =1/6 hora) es:


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−20∗( )

6 = 1 - 𝑒 −3.3333 = 1 – 0.036 = 0.964 P (tiempo entre llegadas ≤ 1/6) = 1 - 𝑒 Otro planteamiento igualmente valido para describir el proceso de llegadas consiste en utilizar la distribución de probabilidad del número de llegadas. Por ejemplo, usted podría estar interesado en la probabilidad de que dos clientes lleguen dentro de los diez minutos siguientes. Cuando la distribución de tiempos entre llegadas es una función exponencial con parámetro 𝜆, la distribución de probabilidad para el número de llegadas se conoce como distribución de Poisson y está dada por:

P(tiempo entre llegadas T = n ) =

(λT)n e−λT n!

Por ejemplo, cuando 𝜆 = 20 clientes por hora, la probabilidad de que lleguen n = 2 clientes en los siguientes diez minutos es: (20/6)2 e−20∗1/6 0.036∗11.111 P(tiempo de llegadas en 10 minutos = 2 ) = = = 0.20 2! 2 En primer lugar, se supone que las llegadas son por completo independientes entre sí y con respecto al estado del sistema. En segundo lugar la probabilidad de llegada durante un periodo específico no depende de cuando ocurre el periodo, sino más bien, depende solo de la longitud del intervalo. Se dicen que estas ocurrencias carecen de "memoria". Por ejemplo si existe un promedio de 6 llegadas aleatorias por hora, la probabilidad de que haya solo 3 llegadas durante una hora está dada por: (6∗1)3 ∗e−6∗1 P (6 llegadas en el tiempo de una hora) = = 0.089235 3! Nota e = 2.71828

La distribución de Poisson es discreta, a pesar de que con frecuencia se presenta como curva suave, como en la ilustración 4 (la curva se suaviza a medida que crece n). La distribución es discreta porque, en el ejemplo, n se refiere al número de llegadas a un sistema y este debe ser un entero (por ejemplo, no puede haber 1.5 llegadas). Asimismo, advierta que la distribución exponencial y la de Poisson se derivan una de la otra. La media y la varianza de Poisson son iguales y se denotan por λ. La media de la exponencial es 1/λ, y su varianza es 1/λ2. (Recuerde que el tiempo entre llegadas está distribuido exponencialmente y que el número de llegadas por unidad de tiempo es una distribución de Poisson.) Otras características de las llegadas son sus patrones, el tamaño de las unidades que llegan y el grado de paciencia. Vea la ilustración 5. Distribución de Poisson: Distribución que describe la probabilidad de que se presenten un número dado de llegadas en un intervalo dado de tiempo, cuando el tiempo entre llegadas sigue una distribución exponencial.

Patrones de llegadas. Las llegadas a un sistema son mucho más controlables de lo que se suele reconocer. Los peluqueros pueden disminuir la tasa de llegadas los sábados (y presuntamente cambiarlas a otros días de la semana) Líneas de Espera M/M/1

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si cobran un dólar más por los cortes de adulto o si cobran precios de adultos por los cortes de niños. Las tiendas de departamentos tienen rebajas durante la temporada floja o rebajas de un solo día en parte con fines de control. Las líneas aéreas ofrecen tarifas especiales a excursiones y fuera de temporada por razones similares. El instrumento más sencillo de todos para controlar las llegadas es anunciar el horario de actividades. Las demandas de algunos servicios son a todas luces incontrolables, como las demandas de urgencias médicas en un hospital urbano. Sin embargo, incluso en esas situaciones, las llegadas a las salas de urgencias de hospitales específicos son controlables en cierta medida, por ejemplo, al mantener informados a los conductores de las ambulancias de la región del servicio acerca de la condición de los hospitales que las reciben. Tamaño de las unidades de llegadas. Una llegada única se puede considerar una unidad (el número más pequeño que se maneja). Una llegada única al piso de la Bolsa de Valores de Nueva York (NYSE) es 100 acciones de una emisión, una llegada única en una planta de producción de huevos sería una docena de huevos o una caja de un kilo, una llegada única a un restaurante es una sola persona. Una llegada en grupo es algún múltiplo de la unidad, como un bloque de 1000 acciones en la NYSE, un cartón de huevos en la planta de procesamiento o un grupo de cinco comensales en un restaurante. Grado de paciencia. Una llegada paciente es la de la persona que espera tanto tiempo como sea necesario hasta que el servicio está disponible. Aunque quienes lleguen refunfuñen y se muevan con impaciencia, el hecho de que esperan basta para calificarlos como llegadas pacientes para efectos de la teoría de la fila de espera.

Existen dos clases de llegadas impacientes. Las personas que pertenecen a la primera clase, llegan, echan un ojo al local del servicio y la longitud de la fila y optan por partir. Las de la otra clase llegan, ven la situación, se forman en la fila y, después, pasado algún tiempo, deciden partir. Se dice que las personas del primer tipo son quejumbrosas, mientras que las del segundo son gruñonas.

Definición de teoría de colas La Teoría de Colas es una formulación matemática para la optimización de sistemas en que interactúan dos procesos normalmente aleatorios: un proceso de “llegada de clientes” y un proceso de “servicio a los clientes”, en los que existen fenómenos de “acumulación de clientes en espera del servicio”, si el servidor está ocupado y donde existen reglas definidas (conductos) para la “prestación del servicio”. SISTEMA DE FILAS: FACTORES El sistema de filas consta sobre todo de líneas de espera y el número disponible de servidores. En seguida se presentan las cuestiones relativas a las características y la administración de las filas de espera, la estructura de las filas y el ritmo del servicio. Los factores por considerar en el caso de las filas de espera son su longitud, el número de filas y la disciplina de la fila.


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Longitud. En un sentido práctico, una fila infinita no es más que una fila muy larga en términos de la capacidad del sistema del servicio. Algunos ejemplos de longitud potencialmente infinita son la fila de vehículos automotores de varios kilómetros para cruzar un puente y los amantes del teatro que forman una fila que da la vuelta a la manzana para comprar una entrada. Las gasolineras, muelles de carga y estacionamientos tienen una capacidad limitada de filas en razón de restricciones legales o de las características físicas del espacio. Esto complica el problema de la fila de espera no solo por la utilización del sistema del servicio y el cálculo de las filas, sino también por la forma de la distribución real de las llegadas. La persona que llega y a quien se le niega la posibilidad de formarse en la fila por falta de espacio puede unirse de nuevo a la población en un intento posterior o buscar el servicio en otra parte. Ambas acciones provocan resultados a todas luces distintos en el caso de una población finita. Número de líneas. Una sola línea o fila es, sin duda, una línea única. El término filas múltiples se refiere a las filas aisladas que se forman frente a dos o más servidores o a filas aisladas que convergen en un punto central para su redistribución. La desventaja de las filas múltiples en un local muy activo es que las personas que llegan con frecuencia cambian de fila si algunos de sus servicios antes fueron breves o si les parece que los clientes de otras filas requerirán un servicio que durará poco tiempo. Disciplina de la fila. La disciplina de la fila es la regla o conjunto de reglas que determina el orden en que se brinda el servicio a los clientes que esperan formados. Las reglas que se elijan tienen un enorme efecto en el desempeño global del sistema. El número de clientes en la fila, el tiempo promedio de espera, la banda de variación del tiempo de espera y la eficiencia del local del servicio son tan solo algunos factores que se verán afectados por las reglas de prioridad. La regla de prioridad más común tal vez sea la de que quien primero entra, primero sale (PEPS). A los clientes formados se les atiende en el orden cronológico de su llegada y ninguna otra característica tiene repercusiones para el proceso de selección. En casi todo el mundo se acepta esta regla como la más justa, aunque en la práctica discrimina a la persona que llega después y requiere poco tiempo para su servicio. Otras reglas de prioridad son las que dan preferencia a quienes tienen reservación, urgencias, clientes que producen más ganancias, pedidos más grandes, mejores clientes, quien lleva más tiempo esperando en la fila y la primera fecha prometida. La aplicación de una regla determinada plantea dos grandes problemas prácticos: Uno es garantizar que los clientes conozcan la regla y la respeten; la otra, garantizar un sistema que permita a los empleados controlar la fila (como los sistemas de turnos). Distribución del tiempo del servicio Otra característica importante de la estructura de la espera es el tiempo que el cliente o la unidad pasa con el servidor una vez iniciado el servicio.


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Ritmo del servicio Las fórmulas de las líneas de espera por lo general especifican el ritmo del servicio como la capacidad del servidor para cubrir un número de unidades por periodo (como 12 servicios terminados por hora) y no como el tiempo del servicio, el cual puede durar un promedio de cinco minutos cada uno. Una regla del tiempo constante de un servicio indica que cada servicio tarda exactamente el mismo tiempo. Al igual que en las llegadas constantes, esta característica suele limitarse a las operaciones controladas por máquinas. Cuando los tiempos del servicio son aleatorios, se calcula un aproximado con la distribución exponencial. Cuando se use la distribución exponencial como cálculo aproximado de los tiempos del servicio, μ es el número promedio de unidades o clientes atendidos por periodo. Estructuras de las filas Como muestra la ilustración 6, el flujo de elementos que reciben servicio puede avanzar por una sola fila, por múltiples filas o por una combinación de ambas. La elección del formato depende por una parte del volumen de clientes servidos y, por otra, de las restricciones que impongan los requerimientos de la secuencia que rigen el orden en el cual se debe desempeñar el servicio. 1. Canal único, fase única. Es la estructura más sencilla de la fila de espera, y para resolver el problema de los patrones de llegadas y servicios con una distribución estándar se aplican fórmulas simples. Cuando las distribuciones no son estándar, el problema se resuelve con facilidad mediante una simulación de computadora. Un ejemplo habitual de una situación de un canal único y una fase única es una peluquería de un solo empleado. 2. Canal único, fases múltiples. Un negocio de lavado de automóviles sirve de ilustración porque desempeña una serie de servicios (aspirar, mojar, lavar, enjuagar, secar, limpiar ventanas y estacionar) conforme a una secuencia muy uniforme. Un factor crítico de los canales únicos con servicio en serie es la cantidad de acumulación de elementos que se permite enfrente de cada servicio, lo cual a su vez constituye líneas separadas de espera. 3. Canales múltiples, fase única. Los cajeros en los bancos y las cajas de las tiendas de departamentos que manejan gran volumen son ejemplo de este tipo de estructura. El problema con este formato es que el tiempo asimétrico del servicio que se brinda a cada cliente genera una velocidad o flujo asimétricos de las filas. Esto hace que algunos clientes sean atendidos antes que otros que llegaron antes, así como cierto grado de cambios de una fila a otra. Modificar esta estructura para garantizar la atención a las personas por orden cronológico de su llegada requeriría formar una sola línea, en cuyo caso, a medida que un servidor queda libre pase el siguiente cliente de la fila.

El gran problema de esta estructura es que requiere un control rígido de la línea para mantener el orden y dirigir a los clientes a los servidores disponibles. En algunos casos, este problema se aligera al asignar números a los clientes según el orden de su llegada. 4. Múltiples canales, múltiples fases. Este caso se parece al anterior, salvo que en este se desempeñan dos o más servicios en secuencia. La admisión de pacientes a un hospital sigue este patrón, porque por lo general hay una secuencia específica de pasos: contacto inicial en el mostrador de admisiones, llenar formas impresas, preparar Líneas de Espera M/M/1

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etiquetas de identificación, recibir la asignación de una habitación, acompañar al paciente a la habitación, etc. Como suele haber varios servidores disponibles para este procedimiento, es posible procesar a más de un paciente a la vez. 5. Mixto. Esta clasificación general abarca dos subcategorías: 1) estructuras de múltiples canales a uno y 2) estructuras de rutas alternas. El caso 1) implica filas que se juntan en una para recibir un servicio de una fase, como un puente donde dos carriles se convierten en uno, o las filas que se funden en una para recibir un servicio de varias fases, como las líneas de subensambles que alimentan la línea principal. En el caso 2) se encuentran dos estructuras que difieren en cuanto a los requisitos de la dirección del flujo. La primera es similar al caso de múltiples canales y múltiples fases, salvo que a) puede haber cambios de un canal a otro una vez brindado el primer servicio y b) el número de canales y fases puede variar, de nueva cuenta, después de prestado el primer servicio. SALIDA DEL SISTEMA DE FILAS Cuando el cliente recibe el servicio, quedan dos caminos posibles: 1) el cliente puede regresar a la población fuente y de inmediato convertirse en un candidato que compite de nuevo por un servicio o 2) puede existir escasa probabilidad de otro servicio. El primer caso se ilustra con una máquina que se repara por rutina y vuelve a operar, pero puede descomponerse otra vez; el segundo sería una máquina a la que se le dio mantenimiento o se modificó y es poco probable que requiera otro servicio en un futuro cercano. En otras palabras, se puede decir que la primera es como “un catarro común recurrente”, y el segundo, “una apendicitis, operación que ocurre una sola vez”. Sin duda está claro que cuando la población fuente es finita, todo cambio del servicio desempeñado para los clientes que regresan a la población modifica la tasa de llegadas al local del servicio. Desde luego, esto modifica las características de la línea de espera que se estudia, y por necesidad hay que analizar de nuevo el problema.

Modelos de filas de espera En esta sección se presenta una muestra de cuatro problemas de filas de espera y sus correspondientes soluciones. Cada uno tiene una estructura (vea la ilustración 7) y ecuación de la solución (vea la ilustración 8) un poco diferentes. Hay más tipos de modelos que estos cuatro, pero las fórmulas y las soluciones resultan muy complicadas y, por lo general, se resuelven con simulaciones de computadora. Además, al aplicar estas fórmulas, recuerde que su estado es constante y provienen del supuesto de que el proceso en estudio es continuo. Así, quizá generen resultados inexactos al aplicarse a procesos en los cuales las tasas de llegadas y/o de servicios

Disciplina de la cola: Es el modo en el que los clientes son seleccionados para ser servidos. Las disciplinas más habituales son:  La disciplina FIFO (first in first out), también llamada FCFS (first come first served): según la cual se atiende primero al cliente que antes haya llegado.  La disciplina LIFO (last in first out), también conocida como LCFS (last come first served) o pila: que consiste en atender primero al cliente que ha llegado el último.  La RSS (random selection of service), o SIRO (service in random order), que selecciona a los clientes de forma aleatoria. Líneas de Espera M/M/1

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Símbolos y Nomenclatura de Modelos de Espera Los símbolos siguientes serán empleados en conexión con los modelos de colas. Debe recordarse que un sistema de colas se define tanto por la cola como los canales de servicio. Estado del sistema = número de clientes en el sistema Longitud de la cola = Número de clientes que esperan servicio = Estado del sistema menos número de clientes a quienes se está sirviendo n = Número de clientes en el sistema N(t) = Número de clientes en el sistema de colas en el tiempo t (t≥0) Pn(t) = Probabilidad de que exactamente n clientes estén en el sistema en el tiempo t, asumiendo que el sistema se inició en tiempo cero. Pn = Probabilidad de estado estable de que haya exactamente n clientes en el sistema. P0 = Probabilidad de que el sistema este vacío 𝜆 = Número promedio de llegadas al sistema por unidad de tiempo (Tasa media de llegadas) µ = Tasa media de servicio para todo el sistema (número esperado de clientes atendidos por unidad de tiempo). Nota: µ representa la tasa combinada a la que todos los servidores ocupados (aquellos que están sirviendo a un cliente) logran terminar sus servicios. c = Número de servidores (canales de servicio en paralelo) en el sistema de colas. ρ = 𝜆 / (cµ) = Es el factor de utilización para la instalación de servicio, es decir, la fracción esperada de tiempo que los servidores individuales están ocupados, puesto 𝜆 / (cµ) representa la fracción de la capacidad de servicio del sistema (cµ) que utilizan en promedio los clientes que llegan (𝜆) ρ / c = Factor de utilización para c instalaciones de servicio. Ws = Tiempo promedio que un cliente pasa en el sistema (incluye tiempo de servicio). Wq = Tiempo promedio que un cliente pasa en la cola (excluye el tiempo de servicio) W = Tiempo promedio que un cliente pasa en el servicio Ls = Número promedio de clientes presentes en el sistema de colas. Lq = Número promedio de clientes formados en la cola (excluye los clientes que están en servicio L = número promedio de clientes en servicio Líneas de Espera M/M/1

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1/𝝀 = Tiempo medio entre llegadas esperadas 1/µ = Tiempo medio de servicio esperado

Objetivos: Los objetivos de la teoría de colas consisten en:  El objetivo es encontrar el estado estable del sistema y determinar una capacidad de servicio apropiada  Identificar el nivel óptimo de capacidad del sistema que minimiza el costo global del mismo.  Evaluar el impacto que las posibles alternativas de modificación de la capacidad del sistema tendrían en el costo total del mismo.  Establecer un balance equilibrado ("óptimo") entre las consideraciones cuantitativas de costos y las cualitativas de servicio.  Hay que prestar atención al tiempo de permanencia en el sistema o en la cola: la "paciencia" de los clientes depende del tipo de servicio específico considerado y eso puede hacer que un cliente "abandone" el sistema.  Se debe lograr un balance económico entre el costo del servicio y el costo asociado a la espera por ese servicio El problema es determinar qué capacidad o tasa de servicio proporciona el balance correcto, es decir se desea alcanzar un equilibrio económico entre el costo de servicio y el costo asociado con la espera por dicho servicio. Esto no es sencillo, ya que un cliente no llega a un horario fijo, es decir, no se sabe con exactitud en qué momento llegarán los clientes. También el tiempo de servicio no tiene un horario fijo. Los problemas administrativos relacionados con tales sistemas de colas se clasifican en dos grupos básicos: 1. Problemas de análisis. Usted podría estar interesado en saber si un sistema dado está funcionado satisfactoriamente. Necesita responder una o más de las siguientes preguntas: a. ¿Cuál es el tiempo promedio que un cliente tiene que esperar en la fila antes de ser atendido? b. ¿Qué fracción de tiempo ocupan los servidores en atender a un cliente o en procesar un producto? c. ¿Cuáles son el número promedio y el máximo de clientes que esperan en la fila Basándose en estas preguntas, los gerentes tomarán decisiones como emplear o no más gente, agregar una estación de trabajo adicional para mejorar el nivel de servicio, o si es necesario o no aumentar el tamaño del área de espera. 2.

Problemas de diseño. Usted desea diseñar las características de un sistema que logre un objetivo general. Esto puede implicar el planteamiento de preguntas como las siguientes: a. ¿Cuántas personas o estaciones deben emplearse para proporcionar un servicio aceptable? b. ¿Deberán los clientes esperar en una sola fila (como se hace en muchos bancos) o en diferentes filas (como en el caso de los supermercados)? c. ¿Deberá haber una estación de trabajo separada que maneja las cuestiones ¨especiales¨ (como el caso del acceso a primera clase en el mostrador de una aerolínea? d. ¿Qué tanto espacio se necesita para que los clientes o los productos puedan esperar? Por ejemplo, en un sistema de reservaciones por teléfono, ¿qué tan grande debe ser la capacidad de retención? Esto es, ¿cuántas llamadas telefónicas se deben mantener en espera antes de que las siguientes obtenga la señal de ocupado?

Estas decisiones de diseño se toman mediante la evaluación de los méritos de las diferentes alternativas, respondiendo a las preguntas de análisis del grupo 1 y luego seleccionando la alternativa que cumpla con los objetivos administrativos. En el presente capítulo se proporcionan las técnicas para analizar un sistema de colas dado. Sin embargo, las técnicas matemáticas específicas dependen de la clase de sistema a la cual pertenece su modelo de colas. Problemas típicos de Teoría de Colas son: Situación Aeropuerto Aeropuerto Depto. de bomberos


Llegadas Aviones Pasajeros Alarmas de incendio

Cola Aviones en carreteo Sala de espera Incendios

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Mecanismo de Servicio Pista Avión Depto. De Bomberos.


UNIVERSIDAD SAN PEDRO Escuela Ingeniería Industrial INVESTIGACIÓN OPERATIVA II Compañía telefónica Lavado de carros La corte Panadería Carga de camiones Oficina de correos Crucero Fábrica Cartas de negocios Reproducción Hospital Supermercado Sistema de Cómputo Banco Mantenimiento

Números marcados Autos Casos Clientes Camiones Cartas Autos Subensamble Notas de dictado Pedidos Pacientes Compradores Programas a ser corridos Clientes Máquinas dañadas

Llamadas Autos sucios Casos atrasados Clientes con números Camiones en espera Buzón Autos en línea Inventario en proceso Cartas para mecanografiar Trabajos Personas enfermas

Conmutador Mecanismo de lavado Juez Vendedor Muelle de carga Empleados por correos Crucero Estación de trabajo. Secretaria Copiadoras Hospital Pago en cajas Proceso de datos Depósitos y Cobros Reparación

Los clientes o llegadas pueden ser:  Personas  Automóviles  Máquinas que requieren reparación  Documentos  Entre muchos otros tipos de artículos

Instalaciones de Servicio: Este término se usa para referirse a:    

Estaciones de servicio Líneas telefónicas. Talleres de reparación. Pistas de aeropuerto.

Proceso de servicio Es el procedimiento por el cual se da servicio a los clientes que lo solicitan. Para determinar totalmente el mecanismo de servicio debemos conocer el número de servidores de dicho mecanismo (si dicho número fuese aleatorio, la distribución de probabilidad del mismo) y la distribución de probabilidad del tiempo que le lleva a cada servidor dar un servicio. En caso de que los servidores tengan distinta destreza para dar el servicio, se debe especificar la distribución del tiempo de servicio para cada uno.

Canal

Canales de servicio en paralelo

Canales de servicio en serie

La cola, propiamente dicha, es el conjunto de clientes que hacen espera, es decir los clientes que ya han solicitado el servicio pero que aún no han pasado al mecanismo de servicio.


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El proceso de servicio define cómo son atendidos los clientes. En algunos casos, puede existir más de una estación en el sistema en la cual se proporcione el servicio requerido. Al igual que las llegadas aleatorias, la ocurrencia de tiempos de servicios aleatorios, carentes de memoria, es suceso bastante común en las situaciones cotidianas de líneas de espera. Y al igual que las llegadas aleatorias los tiempos de servicio carentes de memoria se describen a través de una distribución de probabilidad. Los tiempos de servicio probabilísticos se describen matemáticamente mediante una distribución de probabilidad. La distribución que ha resultado confiable en muchas aplicaciones, como cuando se trata el caso de bancos y supermercados, es la distribución exponencial. En este caso, su función de densidad depende de un parámetro, digamos 𝜇(la letra griega my), y esta dada por: Función de densidad f(t) = En la que:

𝝁 ∗ 𝒆−𝝁∗𝒕

(4) 1

𝜇= número promedio de clientes atendidos por unidad de tiempo, de modo que μ= tiempo promedio invertido en atender a un cliente. La diferencia entre las llegadas aleatorias y los tiempos de servicio aleatorios es que estos se describen a través de una distribución continua en tanto que las llegadas se describen a través de una distribución de Poisson, que es discreta. La distribución exponencial describe la probabilidad de que el tiempo de servicio del cliente en una instalación determinada no sea mayor que T periodos de tiempo. La probabilidad puede calcularse con la siguiente fórmula: Función de densidad acumulada −𝝁∗𝑻 F (t) = 1 - 𝒆 −𝜇∗𝑇 P(t≤T) = 1 - 𝑒 Donde 𝜇 = Número medio de clientes que completan el servicio en cada periodo t = tiempo de servicio del cliente T = tiempo de servicio propuesto como objetivo

(5)

Ejemplo: El empleado de la sección de quejas de clientes puede atender, en promedio, a tres clientes por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente requiera menos de 10 minutos de ese servicio? Solución: Es necesario expresar todos los datos en las mismas unidades de tiempo, Puesto que 𝜇 = 3 clientes por hora, convertimos los minutos en horas, o sea T = 10 minutos = 10/60 hora = 0.167 hora. Entonces: −𝜇∗𝑇 P(t≤T) = 1 - 𝑒 −3∗0.167 P(t≤0.167) = 1 - 𝑒 = 1 – 0.61 = 0.39 El valor de e es 2.71822718281828459045….

Tiempo entre llegadas: Intervalo de tiempo que existe entre dos llegadas sucesivas de clientes a un sistema de colas.

Notación de Kendall para la representación de Modelos de Colas David G. Kendall introdujo una notación de colas A/B/C en 1953. Posteriormente Lee completo esta lista en 1966. Esta notación es ampliamente utilizada en la actualidad. Esta notación considera seis de las características mencionadas en la estructura de los modelos de líneas de espera, expresándolas en el formato: (a/b/c): (d/e/f) Dónde: a Distribución de probabilidad del tiempo entre llegadas de las transacciones. b distribución de probabilidades del tiempo de servicio Líneas de Espera M/M/1

13



c d

e f

Los símbolos utilizados en estos dos primeros campos (a y b) son: D: para unos tiempos de servicio o interarribos “deterministas” o constantes Ek: Distribución de tiempos de servicio Erlang o Gamma (o tiempos entre llegadas) con Parámetro k G: cualquier tipo de distribución para tiempos de servicio GI: distribución general independiente de llegadas H: distribución hiperexponencial M: para "Markoviano", significando una distribución exponencial para los tiempos de servicio o Tiempos entre llegadas. número de servidores paralelos orden de atención a los clientes o disciplina de servicio. Los símbolos utilizados en este campo son: FCFS: (First Come, First Served) primeras entradas primeros servicios o First In First Out (FIFO) LCFS: (Last Come, First Served) últimas entradas, primeros servicios SIRO: (Service In Random Order) orden aleatorio PR: con base en prioridades GD: (General Disciplina) Disciplina general de servicio números máximo de clientes que soportan el sistema en un mismo instante de tiempo (en servicio + en espera) Número de clientes potenciales del sistema de líneas de espera (fuente de entrada). Representa un Número finito o infinito en el sistema.

Ejemplos: (M / M / s): Modelo donde tanto los tiempos entre llegada como los tiempos de servicio son exponenciales y se tienen s servidores. (M / G / 1): Tiempos entre llegada exponenciales, tiempos de servicio general y 1 sólo servidor (M/M/c): (FCFS/N/∞): Modelo donde tanto los tiempos entre llegada como los tiempos de servicio son exponenciales, c canales de servicio, disciplina “primero en llegar, primero en atender”, número máximo permisible en el sistema N y fuente de entrada infinita. (M/M/1): FCFS/20/20): Representa la clasificación de un sistema donde existen 3 servidores en paralelo atendiendo de acuerdo con un orden de primeras entradas, primeras salidas, con un tiempo de servicio constante. El sistema tiene solo 20 clientes potenciales, los cuales podrían encontrarse dentro del sistema en un mismo instante. El tiempo entre llegadas de los clientes sigue una distribución exponencial y, en caso de llegar y encontrar todos los servidores ocupados, pasan a formar una fila común. (M/M/UNO) :(LCFS/∞/∞): Es la clasificación de una línea de espera donde hay 1 servidor atendiendo de acuerdo con un orden de últimas entradas, primeras salidas, con tiempo de servicio exponencial. El sistema da servicio a un número infinito de clientes potenciales, mismos que al llegar serán aceptados por el sistema. El tiempo entre llegadas de los clientes sigue una distribución exponencial y en caso de llegar y encontrar al servidor ocupado, pasan a formarse en una fila común. El tratamiento de los problemas de líneas de espera se resume de este modo: a. Describir el problema, definiendo y relacionando las variables b. Derivar las distribuciones correspondientes en base a datos disponibles empleando las pruebas estadísticas adecuadas. c. En base a (b) determinar las características del sistema total. d. Mejorar la performance del sistema con el uso de modelos de decisión y con las características de operación encontradas.


14



Aplicaciones de la teoría de colas Algunos ejemplos de colas:  Facturación en aeropuertos  Cajeros automáticos  Restaurantes de comida rápida  Esperas en líneas de atención telefónica  Intersecciones de tráfico  Peajes  Aviones en espera para aterrizar  Llamadas a la policía o a compañías de servicios públicos  Barcos que esperan ser atendidos en un puerto  Clientes que esperan ser atendidos en una caja pagadora.  Automóviles que esperan ser atendidos en una garita de peaje.

Mejora de la operación de la línea de espera Los modelos de línea de espera indican con frecuencia cuando es conveniente mejorar sus características de operación. Sin embargo, la decisión de cómo modificar la configuración de la línea de espera para mejorar las características de operación debe basarse en las ideas y la creatividad del analista. Después de revisar las características de operación provistas por el modelo de línea de espera, la gerencia de Burger Dome concluyó que las mejoras diseñadas para reducir los tiempos de espera son convenientes. Para mejorar la operación de la línea de espera, los analistas se enfocan a menudo en formas de mejorar la tasa de servicios. En general, la tasa de servicios mejora con uno o ambos de los siguientes cambios: a. Incrementar la tasa de servicios por medio de un cambio de diseño creativo o una nueva tecnología. b. Agregar uno o más canales de servicio de modo que más clientes puedan ser atendidos al mismo tiempo.

ANALISIS DE UN SISTEMA DE COLAS DE UN SOLO CANAL DE UNA SOLA LINEA CON LLEGADA EXPONENCIAL Y PROCESOS DE SERVICIO (M/M/1) En esta sección se verá cómo calcular las diferentes medidas de rendimiento y cómo interpretar el resultado el resultado asociado al análisis de un sistema M/M/1 que consiste en lo siguiente: 1. Una población de clientes finita 2. Un proceso de llegada en el que los clientes se presentan de acuerdo con un proceso de Poisson con una tasa promedio de 𝜆 clientes por unidad de tiempo. 3. Un proceso de colas que consiste en una sola línea de espera de capacidad infinita, con una disciplina de colas de primero en entrar primero en salir. 4. Un proceso de servicio que consiste en un solo servidor que atiende a los clientes de acuerdo con una distribución exponencial con un promedio de 𝜇 clientes por unidad de tiempo


15



Para que este sistema alcance una condición de estado estable, la tasa de servicio promedio, 𝜇, debe ser mayor que la tasa de llegadas promedio, 𝜆. Si éste no fuera el caso, la cola del sistema continuaría creciendo debido a que, en promedio, llegarían más clientes que los que pueden ser atendidos por unidad de tiempo. RELACIONES ENTRE Ws, Wq, Ls y Lq Puede demostrarse bajo condiciones estables de llegada, partida y disciplina de servicio que las formulas: Ls = λ Ws (a veces se le da el nombre de fórmula de Litle) Lq = λ Wq Si la 𝜆 no son iguales, entonces se puede sustituir en estas ecuaciones por la tasa promedio entre llegadas a la larga.

Ws = Wq +

1 μ

Estas relaciones son en extremo importantes, pues permite determinar las cuatro cantidades fundamentales: 𝑾𝒔 , 𝑾𝒒 , 𝑳𝒔 , 𝑳𝒒 , en cuanto se encuentra analíticamente el valor de una de ellas.

Wq = Ws −

1 μ

Multiplicando ambos lados por 𝜆 y sustituyendo en las formulas superiores uno obtiene:

Lq = Ls − ρ Asimismo tenemos, 𝜇 < 𝜆 λ 𝜌= (Factor de utilización o probabilidad de que el sistema esté ocupado) μ λ

Ls = μ−λ λ2

Lq = μ(μ− λ) = 𝜌 ∗ 𝐿𝑠 𝜆

L=𝜇=𝜌 1

Ws = μ− λ λ

Wq = μ(μ− λ) = 𝜌 ∗ 𝑊𝑠 1

W=𝜇 λ

P0 = 1 - μ = 1 – ρ (Probabilidad de que el sistema este vacío o no esté trabajando) A partir de esto podemos obtener la probabilidad de que haya n unidades en el sistema, Pn, mediante: Pn = P0(λ/µ)n = P0ρn En donde n es cualquier entero no negativo. Este importante resultado nos permite calcular las características de operación de las líneas de espera.

Resumiendo las fórmulas de las líneas de espera son las siguientes: Factor de utilización o probabilidad de que el sistema esté ocupado: Líneas de Espera M/M/1

16



𝜌=

λ

(6)

μ

Número promedio de clientes presentes en el sistema:

Ls = λ Ws λ Ls = μ−λ

(7) (8)

Número promedio de clientes formados en la cola:

Lq = λ Wq

(9)

λ2

Lq = μ(μ− λ) = 𝜌 ∗ 𝐿𝑠

(10)

Lq = Ls − ρ

(11)

Número promedio de clientes en servicio 𝜆

L= =𝜌

(12)

𝜇

Tiempo promedio que un cliente pasa en el sistema:

Ws = Wq +

1

(13)

μ

1

Ws = μ− λ

(14)

𝐿𝑠

𝑊𝑠 =

(15)

𝜆

Tiempo promedio que un cliente pasa en la cola:

Wq = Ws − Wq =

λ μ(μ− λ)

𝑊𝑞 =

1

(16)

μ

= 𝜌 ∗ 𝑊𝑠

(17)

𝐿𝑞

(18)

𝜆

Tiempo promedio que un cliente pasa en servicio 1

W=𝜇

(19)

Para cualquier sistema de colas en el cual existe una distribución de estado estable, se cumplen las siguientes relaciones

Ls = λ Ws Lq = λ Wq L = 𝝀W Probabilidad de que el sistema este vacío: λ

P0 = 1 - μ = 1 – ρ

(20)

Probabilidad de que haya n clientes en el sistema: 𝜆 𝑛

𝑃𝑛 = 𝑃0 ( ) 𝜇

= 𝜌𝑛 ∗ 𝑃0

(21)

La probabilidad de esperar más de un tiempo t en el sistema es: 𝑃(𝑊𝑠 > 𝑡) =

e−μ(1− ρ)t

(22)

La probabilidad de esperar más de un tiempo t en la cola es: Líneas de Espera M/M/1

17



𝑃(𝑊𝑠 > 𝑡) = ρe−μ(1− ρ)t 𝑃(𝑊𝑠 > 𝑡)= ρe−t

(23)

Ejercicio Desarrollado No 1: Un lava carros puede atender un auto cada 5 minutos y la tasa media de llegadas es de 9 autos por hora  Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/M/1  Además la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema, la probabilidad de tener una cola de más de 3 clientes y la probabilidad de esperar más de 30 min. en la cola y en el sistema Datos: 𝜆 = 9 Clientes por hora 𝜇 = 12 Clientes por hora Factor de utilización 𝜌

𝜆

9

= 𝜇 = 12 = 0.75

Cantidad de clientes en el sistema: Ls =

Cantidad de clientes en la cola: Lq =

𝜆 𝜇−𝜆

=

9

= 3 Clientes

12−9

𝜆2

92

= = 2.25 Clientes 𝜇(𝜇−𝜆) 12(12−9)

Tiempo que un cliente estará en el sistema: Ws =

1

1

𝜇−𝜆

Tiempo promedio que un cliente estará en la cola:

= 12−9 = 0.333 Horas = 0.333*60 = 20 Min. 𝜆

9

Wq = 𝜇(𝜇−𝜆) = 12(12−9) = 0.25 Horas = 0.25*60 = 15 Min.

Probabilidad de que el sistema este vacío = P0 = 1 -

9 12

= 1 – 0.75 = 0.25

¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente 3 clientes en el sistema? Probabilidad de que haya n clientes en el sistema Pn = ρn*P0 = 0.753 ∗ 0.25 = 0.1055 Calcule la probabilidad de que haya más 3 clientes en el sistema P(Ls > 3) = 𝜌3+1 = 0.3164 También se puede encontrar de la siguiente forma: Probabilidad de que haya n clientes en el sistema Pn = ρn*P0 Al utilizar esta fórmula se obtienen las siguientes probabilidades: n Pn 0 0.2500 1 0.1875 2 01406 3 0.1055 Ahora la probabilidad de que haya hasta 3 clientes en el sistema es: P 0 + P1 + P2 + P3 = 0.2500+0.1875+0.1406+0.1055 = 0.6836 La probabilidad de que haya más de 3 clientes en el sistema es: 1 – 0.6836 = 0.3164 La probabilidad de esperar más de 30 min. En el sistema: P(W s > 30/60= 𝑒 −𝜇(1− 𝜌)𝑡 = 𝑒 −12(1−0.75)∗30/60 = 0.22313016 La probabilidad de esperar más de 30 min. En la cola: P(Wq > 30/60) = 𝜌𝑒 −𝜇(1− 𝜌)𝑡 = 0.75𝑒 −12(1−0.75)∗30/60 = 0.75*0.22313016 = 0.16734762 Desarrollo con DS-POM Ejecute DS-POM Líneas de Espera M/M/1

18



Seleccione la opción Waiting Lines, como se aprecia en la figura siguiente:

Seleccione el botón New de la barra de herramientas

Seleccione la opción 1 M/M/1 (exponential service times), como se aprecia en la figura anterior.

Si gusta digite un título en el cuadro Title:, a continuación haga clic en el botón OK A continuación debe ingresar los datos respectivos, como se aprecia en la figura siguiente:


19



Después de ingresar los datos, haga clic en el botón Solve, ubicado en la barra de herramientas, a continuación se observan los indicadores respectivos.

La tabla siguiente muestra las probabilidades respectivas para diversos valores de n


20



Ejercicio Desarrollado No 2: La sala de urgencias de un hospital, proporciona cuidados médicos rápidos a los casos urgentes que llegan en ambulancia o vehículos particulares. En cualquier momento se cuenta con un doctor de guardia. No obstante, debido a la creciente tendencia a usar estas instalaciones para casos de emergencia en lugar de ir a una clínica privada, el hospital experimenta un aumento continuo del número de pacientes anuales que llegan a la sala de urgencias. Como resultado, es bastante común que los pacientes que llegan durante las horas pico tengan que esperar turno para recibir el tratamiento del doctor. Por esto, se ha hecho una propuesta para asignar un segundo doctor a la sala de emergencias durante esas horas pico, para que se puedan atender dos casos de emergencia al mismo tiempo. Se ha pedido al ingeniero administrador del hospital que estudie esta posibilidad. El ingeniero administrador comenzó por reunir los datos históricos pertinentes, ha concluido que los casos de emergencia llegan casi de manera aleatoria (proceso de entrada poisson), por lo que los tiempos entre llegadas tienen una distribución exponencial. También llegó a la conclusión de que el tiempo que necesita el doctor para atender a los pacientes sigue aproximadamente una distribución exponencial. Así eligió el modelo M/M/s para hacer un estudio preliminar de este sistema de colas. Al proyectar los datos disponibles del turno de la tarde al año próximo, estima que los pacientes llegarán a una tasa promedio de uno cada media hora. Un doctor requiere un promedio de 20 minutos para atender al paciente. Si se usa una hora como unidad de tiempo,

1 𝜆

1 2

1 𝜇

= horas por cliente y =

1 3

horas por cliente, de manera que:

𝜆 = 2 clientes por hora y 𝜇 = 3 clientes por hora A continuación, tenemos las medidas de rendimiento: Factor de utilización 𝜌

𝜆

2

= 𝜇 = 3 = 0.6667

Cantidad de clientes en el sistema: Ls =

Cantidad de clientes en la cola: Lq =

𝜆

2

= 3−2 = 2 Pacientes 𝜇−𝜆 𝜆2

22

4 = = = 1.3333 Pacientes 𝜇(𝜇−𝜆) 3(3−2) 3

Tiempo que un cliente estará en el sistema: Ws =

1 𝜇−𝜆

Tiempo promedio que un cliente estará en la cola:

=

1 3−2 𝜆

= 1 Hora 2

Wq = 𝜇(𝜇−𝜆) = 3(3−2) = 23 = 0.6667 Hora

Probabilidad de que el sistema este vacío = P0 = 1 -

𝜆 𝜇

2

1

3

3

= 1 – = = 0.3333

¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente 1 cliente en el sistema? Probabilidad de que haya n clientes en el sistema Pn = ρn*P0 = 0.66671 ∗ 0.3333 = 0.2222 Calcule la probabilidad de que haya más 2 clientes en el sistema P(Ls > 3) = 𝜌2+1 = 0.66673 = 0.2963 También se puede encontrar de la siguiente forma: Probabilidad de que haya n clientes en el sistema Pn = ρn*P0 Al utilizar esta fórmula se obtienen las siguientes probabilidades: n Pn 0 0.33333 1 0.22221 2 0.14815 Ahora la probabilidad de que haya hasta 2 clientes en el sistema es: P 0 + P1 + P2 = 0.33333+0.22221+0.14815 = 0.70366 La probabilidad de que haya más de 2 clientes en el sistema es: 1 – 0.70366 = 0. 0.29634


21



La probabilidad de esperar más de 0.367879441

1 2

𝑒 −𝜇(1− 𝜌)𝑡 = 𝑒 −3(1−0.6667)∗1/2 =

hora en el sistema: P(Ws > ½)=

1

La probabilidad de esperar más de hora en la cola: P(Wq > 1/2) = 2 0.6667* 0.60653066 = 0.404373991

𝜌𝑒 −𝜇(1− 𝜌)𝑡 = 0.6667𝑒 −3(1−0.6667)∗1/2 =

La probabilidad de esperar más de 1 hora en la cola: P(W q > 1) = 𝜌𝑒 −𝜇(1− 𝜌)𝑡 = 0.6667𝑒 −3(1−0.6667)∗1 = 0.6667* 0.367879441= 0.245265223 𝜆 2 Probabilidad de que un cliente que llega, tenga que esperar: P(W q > 0) = = = 0.6667 (Es el factor de utilización) 𝜇

3

Ejemplo Desarrollado No 3: A una línea de espera llegan 20 unidades por hora y el tiempo promedio de servicio es de 30 unidades por hora, realizar un análisis de esta línea de espera. Datos: λ = 20 unidades por hora µ = 30 unidades por hora Calculo de las medidas de rendimiento (M/M/1) Con los datos anteriores podemos calcular la probabilidad de que el sistema esté ocupado: ρ= λ/µ = 20/30 = 2/3 = 0.6667 Líneas de Espera M/M/1

22



Entonces la probabilidad de que el sistema no esté ocupado: Po = 1 – λ/µ = 1 – 2/3 = 1 / 3 = 0.3333 El número esperado de unidades en el sistema quedará definido por:

Ls =

λ μ−λ

=

20 30−20

= 2 unidades

El número esperado de unidades que esperan ser atendidas quedará definido por:

Lq =

λ2

202

μ(μ− λ)

= 30(30−20) = 4/3 = 1.3333 ó podemos utilizar la siguiente ecuación:

Lq = Ls – ρ = 2 – 2/3 = 4/3 = 1.3333 ó podemos utilizar la siguiente ecuación: Lq = ρ*Ls = 2/3*2 = 4/3 = 1.3333 Entonces en promedio habrá 4 / 3 de unidades esperando ser atendidas y 2 / 3 de unidad siendo atendida. De manera similar, el tiempo promedio que una unidad espera para ser atendida estará definido por:

Wq =

λ μ(μ− λ)

=

20 30(30−20)

= 20/300 = 2/30 = 1/15=0.06667 hora = 4 minutos o podemos emplear la siguiente

fórmula: Lq Wq = λ = (4/3)/20 = 1/15=0.06667 hora = 4 minutos El tiempo promedio que un cliente está en el sistema es el siguiente: Ws = Wq + 1/µ = 1/15 + 1/30 = 2/20 = 1/10 hora = 6 minutos o podemos utilizar la siguiente ecuación:

Ws = Ws =

1 μ− λ Ls λ

1

= 30−20 = 1/10 hora o podemos utilizar la siguiente ecuación:

= 2/20 = 1/10 hora

Solución con DS – POM

Ejercicio Desarrollado No 4: El gerente de operaciones de la carretera panamericana tiene un número de estaciones para el pesado de camiones a lo largo de la autopista, para verificar que el peso de los vehículos cumple con las regulaciones del Ministerio de Transporte y Comunicaciones. La administración está considerando mejorar la calidad de servicio en sus estaciones de pesado y ha seleccionado una de las instalaciones como modelo a estudiar, antes de instrumentar los cambios. Se cuenta con los datos siguientes: λ = Número promedio de camiones que llegan por hora = 60 µ = Número promedio de camiones que pueden ser pesados por hora = 66 El valor de µ = 66 es mayor que el de λ = 60, de modo que es posible hacer el análisis de estado estable de este sistema. Calculo de las medidas de rendimiento (M/M/1) Factor de utilización (intensidad de tráfico) = ρ =

λ μ

=

60 66

= 0.9091

Mientras más cerca esté ρ de 1, más cargado estará el sistema, lo cual tiene como resultado colas más largas y tiempos de espera más grandes. Probabilidad de que no haya clientes en el sistema P0 = 1 – ρ = 1 – 0.9091 = 0.0909


23



El valor indica que aproximadamente 9% del tiempo un camión que llega no tiene que esperar a que se le proporcione el servicio porque la estación de pesado está vacía. Dicho de otra manera, aproximadamente 91 % del tiempo un camión que llega tiene que esperar. Número promedio en la fila Lq =

ρ2

(0.9091)2

= 1−0.9091 = 9.0909 1− ρ

En otras palabras, en estado estable, en promedio, la estación de pesado puede esperar tener aproximadamente nueve camiones esperando para obtener el servicio (sin incluir al que se está pesando). Cuando ya ha determinado un valor para Lq, usted puede calcular los valores de Wq, Ws y Ls, utilizando las formulas vistas anteriormente, de la manera siguiente: Lq

9.0909

Tiempo promedio de espera en la cola Wq = = = 0.1515 λ 60 Este valor indica que, en promedio, un camión tiene que esperar 0.1515 horas, aproximadamente 9 minutos, en la fila antes de que empiece el proceso de pesado. 1

1

μ

66

Tiempo promedio de espera en el sistema Ws = Wq + = 0.1515 +

= 0.1667

Este valor indica que, en promedio, un camión invierte 0.1667 horas, 10 minutos, desde que llega hasta que sale. Número promedio en el sistema Ls = λ*Ws = 60*0.1667 = 10 Este valor indica que, en promedio, existe un total de 10 camiones en la estación de pesado, ya sea en la báscula o esperando a ser atendidas. Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar P = 1 – P0 = ρ = 0.9091 Este valor, como se estableció en el paso 1, indica que aproximadamente 91% del tiempo un camión que llega tiene que esperar. Probabilidad de que haya n clientes en el sistema Pn = ρn*P0 Al utilizar esta fórmula se obtienen las siguientes probabilidades: n Pn 0 0.0909 1 0.0826 2 0.0751 3 0.0683 …. …. Esta tabla proporciona la distribución de probabilidad para el número de camiones que se encuentran en el sistema. Los números que aparecen en la tabla se pueden utilizar para responder una pregunta como: ¿Cuál es la probabilidad de que no haya más de tres camiones en el sistema? En este caso, la respuesta de 0.3169 se obtiene mediante la suma de las primeras cuatro probabilidades de la tabla, para n = 0, 1, 2 y 3. Solución con POM

Tabla de Probabilidades


Grafico del problema

24



Ejercicio Desarrollado No 5: Suponga una estación de gasolina a la cual llegan en promedio 45 clientes por hora  

Se tiene capacidad para atender en promedio a 60 clientes por hora Se sabe que los clientes esperan en promedio 3 minutos en la cola

La tasa media de llegadas 𝜆 es 45 clientes por hora o 45/60 = 0.75 clientes por minuto La tasa media de servicio 𝜇 es 60 clientes por hora o 60/60 = 1 cliente por minuto 𝜆

45

Wq = 𝜇(𝜇−𝜆) = 60(60−45) = 0.05 Horas = 0.05*60 = 3 Min. 1

1

Ws = Wq + 𝜇 = 3 + 1 = 4 Min. Ls = 𝜆Ws = 0.75*4 = 3 Clientes Lq = 𝜆Wq = 0.75*3 = 2.25 Clientes Ejercicio Desarrollado No 6: Suponga un restaurant de comidas rápidas al cual llegan en promedio 100 clientes por hora  Se tiene capacidad para atender en promedio a 150 clientes por hora  Calcule las medidas de desempeño del sistema Datos: 𝜆 = 100 Clientes por hora 𝜇 = 150 Clientes por hora 𝜆

100

Wq = 𝜇(𝜇−𝜆) = 150(150−100) = 0.0133 Horas = 0.0133*60 = 0.8 Min. 1

1

Ws = Wq + 𝜇 = 0.0133 + 150 = 0.02 Horas = 0.02*60 = 1.20 Min. Ls = 𝜆Ws = 100*0.02 = 2 Clientes, habrá en el sistema Lq = 𝜆Wq = 100*0.01333 = 1.333 Clientes, habrá en la cola 𝜆

100

𝜇

150

Factor de utilización 𝜌 = =

= 0.6667 𝜆

100

𝜇

150

Probabilidad de que el sistema este vacío = P 0 = 1 - = 1 -

= 1 – 0.6667 = 0.3333

Calcule la probabilidad de que haya 3 clientes en el sistema 𝜆 3 𝜇

100 3 ) 150

P3 = P0( ) = 0.3333(


= 0.09875

25



Tabla de Probabilidades Prob(n=3) = 0.0988, conforme lo habíamos calculado

Ejercicio Desarrollado No 7: Western National Bank considera abrir un servicio para que los clientes hagan sus operaciones desde su automóvil. La gerencia estima que el ritmo de llegada de los clientes será de 15 por hora; el cajero que trabajará en la ventanilla puede atenderlos con un ritmo de uno cada tres minutos. Parte 1 Si se suponen llegadas de Poisson y servicio exponencial, encuentre 1. La utilización del cajero. 2. El número promedio de automóviles en la fila de espera. 3. El número promedio en el sistema. 4. El tiempo promedio de espera en la fila. 5. El tiempo promedio de espera en el sistema, incluso el servicio. Solución 1. La utilización promedio del cajero es (con el modelo 1)

2. El número promedio en la fila de espera es

3. El número promedio en el sistema es

4. El tiempo promedio de la espera en fila es


26



5. El tiempo promedio de espera en el sistema es

Parte 2 Como el espacio disponible es limitado y se desea brindar un servicio aceptable, el gerente del banco quiere tener la seguridad, con 95% de confianza, de que no habrá más de tres automóviles en el sistema en un momento dado. ¿Cuál es el nivel presente de servicio con el límite de tres automóviles? ¿Qué nivel de utilización de cajero se debe lograr y cuál debe ser el ritmo del servicio del cajero para asegurar 95% en el nivel del servicio? Solución. Parte 2 El nivel presente del servicio para tres automóviles o menos es la probabilidad de que haya 0, 1, 2 o 3 automóviles en el sistema. Con el modelo 1, ilustración 7A.8,

La probabilidad de tener más de tres automóviles en el sistema es de 1.0 menos la probabilidad de tres o menos automóviles (1.0 − 0.685 = 31.5%). Para un nivel de servicio de 95% de tres o menos automóviles, esto determina que P0 + P1 + P2 + P3 = 95 por ciento.

Esto se resuelve mediante prueba y error con los valores de λ/μ. Si λ/μ = 0.50, 0.95= 0.5(1 + 0.5 + 0.25 + 0.125) 0.95 ≠ 0.9375 Con λ/μ = 0.45, 0.95= (1 − 0.45)(1 + 0.45 + 0.203 + 0.091) 0.95 ≠ 0.96 Con λ/μ = 0.47, 0.95 =(1 − 0.47)(1 + 0.47 + 0.221 + 0.104) = 0.95135 0.95 ≈ 0.95135 Por tanto, con una utilización de ρ = λ/μ de 47%, la probabilidad de que haya tres o menos automóviles en el sistema es de 95%. Para encontrar el ritmo de servicio requerido para alcanzar este nivel de servicio de 95%, tan solo se resuelve la ecuación λ/μ = 0.47, donde λ = número de llegadas por hora. Esto da μ = 32 por hora. Es decir, el cajero debe atender aproximadamente a unas 32 personas por hora (un incremento de 60% sobre la capacidad original de 20 por hora) para 95% de confianza de que no habrá más de tres automóviles en el sistema. El servicio tal vez se pueda acelerar si se modifica el método del servicio, con un cajero más o al limitar los tipos de transacciones que ofrece la ventanilla para automóviles. Observe que con la condición de 95% de confianza de que haya tres o menos automóviles en el sistema, el cajero estará inactivo 53% del tiempo.


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Ejercicio Desarrollado No 8: Los mecánicos que trabajan en una planta de troquelado deben sacar herramientas de un almacén. Llega un promedio de diez mecánicos por hora buscando partes. En la actualidad el almacén está a cargo de un empleado a quien se le paga 6 dólares / hora y gasta un promedio de 5 minutos para entregar las herramientas de cada solicitud. Como a los mecánicos se les paga 10 dólares por hora, cada hora que un mecánico pasa en el almacén de herramientas le cuesta 10 dólares a la empresa. Esta ha de decidir si vale la pena contratar, a 4 dólares por hora, un ayudante del almacenista. Si se contrata al ayudante, el almacenista solo tardara un promedio de 4 minutos para atender las solicitudes de herramientas. Supóngase que son exponenciales tanto los tiempos de servicio como el tiempo entre llegadas. ¿Se debe contratar al ayudante? Solución: Los problemas en los que un analista debe elegir entre varios sistemas de colas reciben el nombre de problemas de optimización de colas. En el problema presente, el objetivo de la compañía es minimizar la suma del costo de servicio por hora y el costo esperado por hora debido a los tiempos muertos de los mecánicos. En los problemas de optimización de colas, el componente del costo debido a los clientes que esperan en la cola se denomina costo por demora. Por lo tanto la compañía desea minimizar: Costo esperado / hora = Costo de servicio / hora + Costo esperado de demora / hora El cálculo del costo de servicio por hora es, por lo regular, simple. La manera más fácil de calcular el costo por la demora por hora es observar que: Costo esperado por demora / cliente = (Costo esperado por demora / cliente) (Clientes esperados / hora) En el problema presente, Costo esperado por demora Cliente

Por lo tanto,

$ 10

= (hora−mecánico) (Horas promedio que el mecánico pasa en el sistema)

Costo esperado por demora Cliente

Costo esperado por demora Hora

= 10Ws

= 10Ws𝜆

Ya podemos comparar el costo esperado por hora si no se contrata al ayudante con el costo esperado por hora si se contrata al ayudante. Si no se contrata al ayudante, 𝜆 = 10 mecánicos por hora y 𝜇 = 12 mecánicos por hora. De acuerdo con la formula, Ws = Costo de servicio Hora

=$6 y

1 𝜇−𝜆

=

1 12−10

1 2

= hora. Como el empleado gana 6 dólares por hora, tenemos que:

Costo esperado por demora = Hora

1

10( ) 10 = $ 50 2

Por lo tanto, sin el ayudante, el costo esperado por hora es 6 + 50 dólares = 56 dólares. Con el ayudante, 𝜇 = 15 clientes por hora. Entonces Ws = Costo esperado por demora = Hora

1 𝜇−𝜆

1

1

= 15−10 = 5 hora y

1

10( ) 10 = $ 20 5

Como el costo de servicio por hora es ahora 6 + 4 = 10 dólares por hora, el costo esperado por hora con el ayudante es 10 + 20 = 30 dólares. Por lo tanto, se debe contratar al ayudante porque con él se ahorran 50 – 20 = 30 dólares por hora en costos por demora, que es más que el salario de 4 dólares por hora. Sin contratar al ayudante


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Contratando al ayudante

Conjunto de Ejercicios Propuestos: Problemas M/M/1 1.

un promedio de 10 automóviles por hora llegan a un cajero con un solo servidor que proporciona servicio sin que uno descienda del automóvil. suponga que el tiempo de servicio promedio por cada cliente es 4 minutos, y que tanto los tiempos de llegada y los tiempos de servicio son exponenciales. conteste las preguntas siguientes: a. ¿Cuál es la probabilidad de que el cajero este ocioso? b. ¿Cuál es el número promedio de automóviles que están en la cola del cajero? (Se considera que un automóvil que está siendo atendido no está en la cola esperando) c. ¿Cuál es la cantidad promedio de tiempo que un cliente pasa en el estacionamiento del banco (incluyendo el tiempo de servicio)? d. ¿Cuántos clientes atenderá en promedio el cajero por hora? e. ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar en la cola 20 minutos? f. ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar 25 minutos en el sistema? g. ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente 2 automóviles en el sistema? h. ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de 2 automóviles en el sistema?

2.

Suponga que todos los dueños de automóvil acuden a la gasolinera cuando sus tanques están a la mitad. En el momento actual llega un promedio de 7.5 clientes por hora a una gasolinera que tiene una sola bomba. Se requiere un promedio de 4 minutos para servir a un automóvil. Suponga que los tiempos entre llegadas y los tiempos de servicio son exponenciales. a. Calcule Ls, Lq, Ws, Wq, 𝜌, P0, P3 para las circunstancias actuales b. Suponga que hay un déficit de gasolina y que hay compras de pánico. Para modelar este fenómeno, suponga 3 que todos los dueños de automóvil compran ahora gasolina cuando sus tanques tienen de combustible. 4 Como cada dueño ahora ponen menos gasolina en el tanque cada vez que acude a la gasolinera, suponemos 1 que el tiempo de servicio promedio se reduce a 3 minutos. ¿Qué tanto afectan a Ls y Ws las compras de 3 pánico?


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3.

En un restaurante de comida rápida llegan 100 clientes por hora y se tarda 30 segundos en servir a cada uno de ellos a. ¿Cuánto tiempo pasan los clientes en el restaurante? b. ¿Cuánto tiempo esperan en la cola? c. ¿Cuántos clientes hay en el restaurante? d. ¿Cuál es la utilización del que sirve? e. ¿Cuál es la probabilidad de que haya al menos dos clientes en el sistema?

4.

El gerente de una tienda de abarrotes, en una comunidad, está interesada en brindar un buen servicio a las personas mayores que compran en su tienda. Actualmente la tienda tiene una caja registradora reservada para los clientes de la tercera edad. Esas personas llegan a la caja a un ritmo promedio de 30 por hora, de acuerdo a una distribución de Poisson, y son atendidas a una tasa promedio de 35 clientes por hora, con tiempos de servicio exponenciales. Calcule las siguientes características de operación: a. Probabilidad de que haya cero clientes en el sistema. b. Utilización promedio del empleado de la caja registradora. c. Numero promedio de clientes en el sistema d. Numero promedio de clientes formados en la fila e. Tiempo promedio que los clientes pasan en el sistema f. Tiempo promedio de espera en la fila

5.

El gerente de la tienda del ejemplo 4, desea respuestas a las siguientes preguntas: a. ¿Qué tasa de servicio se requeriría para que los clientes pasaran, en promedio, solo 8 minutos en el sistema? b. Con esa tasa de servicio, ¿Qué probabilidad hay de tener más de 4 clientes en el sistema? c. ¿Qué tasa de servicio se requeriría para tener solo 10% de probabilidad de que haya más de cuatro clientes en el sistema?

6.

Un banco estudia la posibilidad de instalar una ventanilla de auto banca para atender a sus clientes. La gerencia calcula que los clientes llegaran a una tasa de 15 por hora. El cajero que estará en la ventanilla puede atender a los clientes a una tasa de uno cada tres minutos. a. Suponiendo llegadas Poisson y servicio exponencial, determinar: Utilización del cajero, número promedio de clientes en fila de espera, número promedio en el sistema, tiempo promedio de espera en la fila, tiempo promedio de espera en el sistema incluido el servicio. b. Debido a la disponibilidad limitada de espacio y al deseo de proveer un nivel aceptable de servicio, al gerente del banco, le gustaría asegurar, con una confiabilidad del 95%, que no habrá más de tres automóviles en el sistema en cualquier momento. ¿Cuál es el nivel actual de servicio para el límite de tres automóviles? ¿Qué nivel de utilización del cajero se debe alcanzar y cuál debe ser la tasa de servicio del cajero para garantizar un nivel de servicio del 95%?

7.

The Robot Company concede en franquicia estaciones de gasolina y lavado de automóviles. Robot ofrece un lavado gratuito a los clientes que llenen el auto de gasolina, o por el lavado solo cobra US$ 0.5. La experiencia demuestra que el número de clientes que hace lavar su auto después de llenar el tanque es aproximadamente el mismo que el de aquellos que solo lavan el vehículo. La utilidad promedio cuando se llena un tanque es de US$ 0.7, mientras que el costo de lavar el auto le representa a Robot US$ 0.10. Robot funciona 14 horas diarias. Robot tiene tres unidades para el lavado de los coches, y la franquicia debe escoger la unidad que prefiera. La unidad I puede lavar automóviles a una tasa de uno cada cinco minutos y se alquila a un precio de US$ 12 diarios. La unidad II, que es un poco más grande, puede lavar autos a una tasa de uno cada cuatro minutos, pero cuesta US$ 16 diarios. La unidad III, que es la más grande de todas, cuesta US$ 22 diarios y puede lavar un vehículo en tres minutos. El dueño de la franquicia calcula que los clientes no querrán aguardar en fila más de cinco minutos para que les laven al auto. Un tiempo más prolongado hará que Robot pierda las ventas de gasolina y las de lavado de autos. Si el cálculo de llegadas de clientes que lavan el auto es de 10 por hora ¿cuál unidad de lavado se debe seleccionar?


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8.

En la oficina de migraciones, un fotógrafo prepara fotografías para pasaportes a una tasa promedio de 20 fotos por hora. Para eso, el fotógrafo tiene que esperar hasta que el cliente deje de parpadear o de fruncir el entrecejo, por lo cual el tiempo necesario para producir las fotografías muestra una distribución exponencial. Los clientes llegan a una tasa promedio de 19 personas por hora, según una distribución de Poisson. a. ¿Cuál es la utilización de los servicios del fotógrafo? b. ¿Cuánto tiempo pasará el cliente promedio en la cola? c. ¿Cuánto tiempo pasará el cliente promedio en el trámite de la fotografía, en el proceso de obtención de un pasaporte? d. ¿Cuántas personas en promedio habrá en la cola? e. ¿Cuántas personas en promedio habrá en el sistema? f. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya clientes? g. ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente 2 clientes? h. ¿Cuál es la probabilidad de que haya al menos 2 clientes en el sistema? i. ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de dos clientes en el sistema?

9.

El supervisor de la empresa MAQUINAS DE PRECISION SAC desea establecer una política de personal que minimice el total de los costos de operación. La tasa promedio de llegadas al depósito de herramientas, donde estas se entregan a los trabajadores, es de 8 mecánicos por hora. Cada uno de éstos gana $ 20 por hora. El supervisor puede contratar para el depósito de herramientas a un dependiente inexperto, que gana $ 5 por hora y sea capaz de atender 10 mecánicos por hora, o a un dependiente experto, que gane $ 12 por hora y pueda atender 16 llegadas por hora. ¿A cuál de esos dos dependientes convendría seleccionar y cuál sería el costo total estimado por hora?


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APENDICE F: Distribución exponencial negativa: valores de e–x


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AnalisisLineasEspera M/M/1

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