Investigación de Operaciones II
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PRACTICA TEORIA DE COLAS
TEMA: Análisis de Sistemas de Colas M/M/1 y M/M/k OBJE TI VOS Al culminar la presente práctica, el alumno estará capacitado para:
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!tili"ar la Teor#a de $olas como una %erramienta de apo&o a la toma de decisiones en el análisis de di'erentes sistemas de colas( ) E ) E$ !)SOS
So't*are +inSB -opción Queuing Analysis. /A )
$ O TE 0)I$ O
TEORIA DE LÍNEAS DE ESPERA Con el objeto de verifcar si una situación situación determinada del sistema sistema de líneas de espera espera se ajusta o no a un modelo conocido, se requiere de un método para clasifcar las líneas de espera. Esa clasifcación debe de responder preguntas como las siguientes: 1.- El sistema de líneas de espera !ene un solo punto de servicio o e"isten varios puntos puntos de servicio en secuencia# $.-E"iste $.-E"iste solo una instalación de servicio o son m%l!ples las instalaciones de servicio que pueden atender a una unidad# &.- 'as unidades que requieren el servicio llegan siguiendo alg%n patrón o llegan en (orma aleatoria# ).- El !empo que requieren para el servicio se da en alg%n patrón de o asume duraciones aleatorias aleatorias de !empo# *+C/* 0E*'' 2or lo general, las tasas de llegada 3 de servicio no se conocen con cer!dumbre sino que son de naturale4a naturale4a estoc5s!ca o probabilís!ca. Es decir los !empos de llegada 3 de servicio deben describirse a través través de distribuciones de probabilidad 3 las distribuciones de probabilidad que se elijan deben describir la (orma en que e comportan los !empos de llegada o de servicio. En teoría de líneas de espera o de colas se u!li4an tres distribuciones de probabilidad bastante bastante comunes, estan se mencionan a con!nuación: Markov Determinísca General Genera l 'a distribución de 6ar7ov 6ar7ov, en 8onor al matem5!co matem5!co .. 6ar7ov quien iden!fco los eventos 9sin memoria9, se u!li4a para describir ocurrencias aleatorias, es decir, aquellas de las que puede decirse que carecen de memoria acerca de los eventos eventos pasados. na distribución determinís!ca es aquella en que los sucesos ocurren en (orma constante constante 3 sin cambio. 1
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'a distribución general sería cualquier otra distribución de probabilidad. Es posible describir el patrón de llegadas por medio de una distribución de probabilidad 3 el patrón de servicio a través de otra. 2ara permi!r un adecuado uso de los diversos sistemas de líneas de espera, 7endall, matem5!co brit5nico elaboro una notación abreviada para describir en (orma sucinta los par5metros de un sistema de este !po. En la notación 0endall un sistema de líneas de espera se designa como A/B/ En donde A ; se sus!tu3e por la letra que denote la distribución de llegada. B ; se sus!tu3e por la letra que denote la distribución de servicio. ; se sus!tu3e por el entero posi!vo que denote el numero de canales de servicio. 'a notación 7endall también u!li4a 6 ; 6ar7oviano, ; determinís!ca, < ; por ejemplo, una por una o en (or ?i las unidades rec8a4an o no debido a la longitud de la línea de espera 3 no ingresan al sistema. ?i las unidades se arrepienten 3 abandonan el sistema después de 8aber aguardado un !empo en la fla. ?i e"iste o no espacio sufciente para que todas las unidades que llegan aguarden en la fla. 'os modelos de 'íneas de espera que se anali4ar5n son los siguientes: Mo"e#o M / M / $ Mo"e#o M / M / S Mo"e#o M / G / $ Mo"e#o M / D / $ MODELO M / M / $ Este sistema trata de una distribución de llegada 6ar7oviano, !empo de servicio 6ar7oviano, 3 un servidor. L#e%a"as a#eatorias &M / M / $' En las situaciones co!dianas es (5cil encontrar ejemplos de llegadas aleatorias, puesto que las llegadas ser5n aleatorias en cualquier caso en la que una de ellas no a(ecte a las otras. n ejemplo cl5sico de llegadas aleatorias son las llamadas que arriban a un conmutador tele(ónico o un servicio de emergencia. ?e 8a determinada que las ocurrencias aleatorias de un !po especial pueden describirse a través de una distribución discreta de probabilidad bien conocida, la distribución de Poisson. Este !po especial de
$
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3as respuestas 4uscadas son: Tasa de ocupación del sistema 5 6 5 789 ro4a4ilidad de ;ue el sistema este lleno 5 * 5 4 5 (<=>19 Tiempo promedio ;ue un cliente pasa en el sistema 5 + 5 8(8>?7@%oras
&
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EJERCICIOS PROPUESTOS .
Tabla de Simulación Los clientes llegan a una estación de Gasolina, donde realizan un servicio de
abastecimiento de combus!ble como tarea principal. 'a gerencia de operaciones desea determinar unos indicadores con los cuales pueda determinar, el nivel de atención a sus clientes, para lo cual 8a registrado la siguiente in(ormación: Client e Int !rri"o #$er% ic
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7
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9 8
1 0 7
1 1 3
1 2 1
1 3 7
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Client e Int !rri"o #$er% ic
1 6 7
1 7 4
1 8 8
1 9 3
2 0 6
2 1 7
2 2 5
2 3 3
2 4 4
2 5 3
2 6 7
2 7 8
2 8 6
2 9 5
3 0 4
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&ealice una ta"la de $i'ulación de teor(a de Colas, en la )ue deter'ine* #ie'+o +ro'edio de s+era de un Cliente en cola #ie'+o +ro'edio de s+era de un Cliente en el siste'a -iciencia del ser%icio
II. Para cada ejercicio Resuelva el problema en WINQSB, . co'+are los resultados o"tenidos teórica'ente con los o"tenidos en /I$ Ejercicio 1.- .! una l(nea de es+era llegan 20 unidades +or ora . el tie'+o +ro'edio de ser%icio es de 30 unidades +or ora, realizar un anlisis de esta l(nea de es+era atos l 20 unidades +or ora ' 30 unidades +or ora Con los datos anteriores +ode'os calcular la +ro"a"ilidad de )ue el siste'a est ocu+ado* 20 : 30 2 :3 r ntonces la +ro"a"ilidad de )ue el siste'a no est ocu+ado* o 1 ; r 1 : 3 l nu'ero es+erado de unidades en el siste'a )uedar de-inido +or* 2
)
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=
=>L> = : = : $ ste 'odelo su+one llegadas . tie'+os de ser%icio aleatorios +ara canales de ser%icio '?lti+les, teniendo las 'is'as consideraciones )ue le 'odelo de canal ?nico de ser%icio @= : = : 1A, eBce+to )ue aora eBiste una sola -ila de entrada )ue ali'enta los canales '?lti+les de ser%icio con iguales tasas de ser%icio l clculo de las caracter(sticas de la l(nea de es+era +ara el 'odelo = : = : $ es lago 'as co'+licado )ue los clculos +ara el caso de canal ?nico, . dado )ue +ri'ordial'ente nos interesa las i'+licaciones de estas caracter(sticas 'as )ue las -or'ulas necesarias +ara calcularlos, nos a+o.are'os en le uso de ta"las ela"oradas a +artir de estas -or'ulas +ara acer los clculos Caracter(sticas de o+eración n el 'odelo = : = : $, si ' es la tasa +ro'edio de ser%icio +ara cada uno de los $ canales de ser%icio, entonces .a no se re)uiere )ue ' l , +ero $' de"e ser 'a.or )ue l +ara e%itar una acu'ulación in-inita de l(neas de es+era n el caso de = : = : $, la caracter(stica )ue se utilizar +ara acer los de's clculos es la +ro"a"ilidad de )ue el siste'a est ocu+ado n otras +ala"ras, la +ro"a"ilidad es de )ue a.a $ o 's unidades en el siste'a n este caso todos los canales de ser%icio se estarn utilizando . +or ello se dice )ue el siste'a est ocu+ado sto de +uede re+resentar co'o* @$iste'a ocu+adoA D lo +ode'os calcular +or 'edio de la siguiente ecuación*
@$iste'a ocu+adoA n donde o estar re+resentado +or
Con las ecuaciones anteriores +ode'os calcular los de's datos )ue re)uiera el siste'a n el 'odelo = : = : $, al igual )ue el 'odelo = : = : 1, se tiene )ue L L) E r, +ero a)u( utilizare'os el %alor @siste'a ocu+adoA +ara calcular L)*
L) @siste'a ocu+adoA B !ora calculare'os el %alor L L) @siste'a ocu+adoA B n el caso de = : = : $, al igual )ue en el 'odelo = : = : 1, / L : l . /) L) : l , +or ello se tiene )ue
@
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n la siguiente -igura se re+resenta este 'odelo
Fercicio ara eFe'+li-icar el 'odelo = : = : $, su+onga )ue eBisten cinco canales de ser%icio con tasas +ro'edio de ser%icio ' 6 . una tasa de llegada de l 24 unidades +or ora, esto i'+lica )ue $ 5 atos '6 l 24 $5 ntonces tene'os )ue
ota* ara encontrar los %alores de o con una 'a.or ra+idez nos +ode'os auBiliar de la ta"la )ue se aneBa a este siste'a, la cual nos +ro+orciona este %alor teniendo co'o +ar'etros los %alores de $ . de r Considerando los %alores o"tenidos +ode'os calcular el %alor de o 00130, la +ro"a"ilidad de )ue el siste'a este ocu+ado ser @siste'a ocu+adoA 05547, utilizando este %alor o"tene'os )ue*
A
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>
=>L> = : G : 1 escri+ción $iste'a de l(neas de es+era con llegadas aleatorias, distri"ución general de los tie'+os de ser%icio @+ara el cual se su+one conocida la des%iación estndarA, un canal de ser%icio . una l(nea de es+era n este 'odelo las llegadas se distri"u.en de acuerdo con la distri"ución de oisson, al igual a los casos anteriores, +ero los tie'+os de ser%icio no necesaria'ente se distri"u.en de acuerdo con la distri"ución eB+onencial negati%a $i considera'os el caso en )ue solo eBiste un solo canal, esta'os considerando el caso = : G : 1, es decir, llegadas de ti+o =aro%, tie'+o de ser%icio general . un canal de ser%icio La razón +or la )ue +ode'os considerar el caso = : G : 1 es )ue las -or'ulas )ue se utilizan +ara calcular sus caracter(sticas de o+eración son "astantes si'+les !l igual )ue en el caso = : = : $, no es +osi"le calcular en -or'a directa el nu'ero es+erado de unidades en el siste'a @LA ara esto +ri'ero de"e de calcularse el nu'ero de unidades )ue estn es+erando a ser atendidas @L)A, . utilizar este resultado +ara calcular el %alor de L ara calcular el %alor de L) de"e'os de conocer le %alor de la des%iación @s A estndar de la distri"ución )ue distingue los tie'+os de ser%icio $i no se conoce la distri"ución de los tie'+os de ser%icio no es +osi"le deter'inar las caracter(sticas de o+eración !ora si conoce'os la des%iación estndar . la 'edia de la distri"ución de los tie'+os de ser%icio, +uede o"tenerse -or'ula +ara el %alor de L) a +artir de la siguiente ecuación
$i utiliza'os L) +ode'os deter'inar el %alor de L, +or 'edio de la siguiente ecuación*
!l igual )ue las caracter(sticas de o+eración de los 'odelos = : = : 1 . = : $ : 1, +ode'os calcular el tie'+o es+erado en el siste'a de l(neas de es+era @/A, . el tie'+o )ue se in%ierte antes de ser atendido @/)A, esto l o +ode'os realizar +or 'edio de las siguientes ecuaciones*
=>L> = : : 1 escri+ción
B
Investigación de Operaciones II < $iste'a de l(neas de es+era con llegadas aleatorias, tie'+o de ser%icio constante, una l(nea de ser%icio . una l(nea de es+era n este 'odelo los tie'+os de ser%icio son deter'in(sticos, este es un caso es+ecial de la situación = : G : 1 )ue se analizó con anterioridad, en donde la des%iación estndar es igual a cero n este caso se +uede conocer el nu'ero de unidades )ue estn es+erando a ser atendidas @L)A, a tra%s de la siguiente ecuación*
#odas las de's caracter(sticas de o+eración +ueden deter'inarse a +artir de este %alor $i utiliza'os L) +ode'os deter'inar el %alor de L, +or 'edio de la siguiente ecuación*
!l igual )ue las caracter(sticas de o+eración de los 'odelos = : = : 1 . = : $ : 1, +ode'os calcular el tie'+o es+erado en el siste'a de l(neas de es+era @/A, . el tie'+o )ue se in%ierte antes de ser atendido @/)A, esto l o +ode'os realizar +or 'edio de las siguientes ecuaciones*
H&CICI>$ ro"le'a ! e"ido a un reciente incre'ento en el negocio una secretaria de una cierta e'+resa tiene )ue 'ecanogra-iar 20 cartas +or d(a en +ro'edio @asu'a una distri"ución de oissonA ! ella le to'a a+roBi'ada'ente 20 'inutos 'ecanogra-iar cada carta @asu'a una distri"ución eB+onencialA $u+oniendo )ue la secretaria tra"aFa oco oras diarias atos l 20 : 8 25 cartas:ora ' @1 : 20 'inA@60 'in: 1 oraA 3 cartas:ora La tasa de utilización de la secretaria estar de-inida +or*
l tie'+o +ro'edio de es+era antes de )ue la secretaria 'ecanogra-(e una carta se deducir de la siguiente 'anera* oras !ora el nu'ero +ro'edio de cartas )ue estarn en la l(nea de es+era*
$i desera'os conocer la +ro"a"ilidad de )ue a la secretaria tenga 'as de cinco cartas )ue 'ecanogra-iar, se deter'inar(a de la siguiente 'anera*
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ro"le'a $a' el %eterinario 'aneFa una cl(nica de %acunación antirr"ica +ara +erros, en la +re+aratoria local $a' +uede %acunar un +erro cada tres 'inutos $e esti'a )ue los +erros llegarn en -or'a inde+endiente . aleatoria'ente en el transcurso del d(a, en un rango de un +erro cada seis 'inutos, de acuerdo con la distri"ución de oisson #a'"in su+onga )ue los tie'+os de %acunación de $a' estn distri"uidos eB+onencial'ente eter'inar* atos l 1 : 6 0167 +erros:'in ' 1 : 3 034 +erros:'in La +ro"a"ilidad de )ue $a' este de ocioso de-inir de la siguiente 'anera*
!ora la +ro+orción de tie'+o en )ue $a' est ocu+ado
l n?'ero total de +erros )ue estn siendo %acunados . )ue es+eran a ser %acunados
l nu'ero +ro'edio de +erros )ue es+eran a ser %acunados
ro"le'a C Las lla'adas llegan al con'utador de una o-icina a una tasa de dos +or 'inuto, l tie'+o +ro'edio +ara 'aneFar cada una de ests es de 20 segundos !ctual'ente solo a. un o+erador del con'utador Las distri"uciones de oisson . eB+onencial +arecen ser rele%antes en esta situación atos l 2 lla'adas:'inutos ' @1 : 20 segA@60 segA 3 lla'adas:'inuto La +ro"a"ilidad de )ue el o+erador este ocu+ado se de-inir*
D
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l tie'+o +ro'edio )ue de"e de es+erar una lla'ada antes de ser to'ada +or l o+erador
l nu'ero de lla'adas )ue es+eran ser contestadas
ro"le'a !l +rinci+io de la te'+orada de -ut"ol, la o-icina de "oletos se ocu+a 'uco el d(a anterior al +ri'er Fuego Los clientes llegan a una tasa de cuatro llegadas cada 10 'inutos . el tie'+o +ro'edio +ara realizar la transacción es de dos 'inutos atos l @4 : 10A 04 c:'in ' @1 :2 A 05 c:'in l nu'ero +ro'edio de gente en l(nea se de-inir de la -or'a siguiente* +ersonas l tie'+o +ro'edio )ue una +ersona +asar(a en la o-icina de "oletos 'inutos La +ro+orción de tie'+o )ue el ser%idor est ocu+ado
ro"le'a lectronics Cor+oration retiene una "rigada de ser%icio +ara re+arar desco'+osturas de ')uinas )ue ocurren con +ro'edio de tres +or d(a @a+roBi'ada'ente de naturaleza de oissonA La "rigada +uede ser%ir a un +ro'edio de oco ')uinas +or d(a, con una distri"ución de tie'+o de re+aración )ue se ase'eFa la distri"ución de eB+onencial atos l 3 re+ar :d(a ' 8 re+ar :d(a La tasa de utilización de este siste'a se encontrar de la siguiente -or'a*
l tie'+o +ro'edio de desco'+ostura +ara cada ')uina )ue est desco'+uesta
Las ')uinas )ue estn es+erando a ser re+aradas el cual)uier 'o'ento dado
1
Investigación de Operaciones II 11 La +ro"a"ilidad de )ue a.a una ')uina en el siste'a, dos, tres o 's ')uinas en el siste'a
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0375
1
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0019
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0007
5
0002
ro"le'a J l arr.Ks Car /as est a"ierto seis d(as a la se'ana, +ero el d(a del negocio 'as +esado es sie'+re el s"ado ! +artir de datos istóricos, arr.Ks esti'a )ue los coces sucios llegan a una tasa de 20 +or ora, todo el d(a s"ado Con una "rigada co'+leta tra"aFando la l(nea de la%ado a 'ano, l calcula )ue los auto'ó%iles se +ueden la%ar a una tasa de uno cada dos 'inutos ste eFe'+lo se tiene una l(nea de es+era de canal sencillo, los auto'ó%iles se la%an de uno en uno $u+onga llegadas de oisson . tie'+os eB+onenciales de ser%icio atos l 20 auto'ó%il :ora ' @1 : 2 'inA@60 'inA 30 auto'ó%il : ora l nu'ero +ro'edio de auto'ó%iles en la l(nea se de-inir de la siguiente 'anera*
l tie'+o +ro'edio )ue un auto'ó%il es+era antes de ser la%ado
l tie'+o +ro'edio )ue un auto'ó%il +asa en el siste'a de ser%icio
La tasa de utilización del la%ado de auto'ó%iles
La +ro"a"ilidad de )ue no a.a auto'ó%iles en el siste'a
III.- RESUELVA LOS EERCICIOS E! "I!#S$ A%LICACI&! 1.- En un sistema de consultas onCline ;ue atiende a una determinada región geográ'ica, llegan en promedio 1= consultas por %ora, siguiendo este nDmero de llegadas un proceso de oisson(
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Investigación de Operaciones II
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El tiempo ;ue tarda el ordenador en responder a una consulta, 'luctDa aleatoriamente siguiendo una distri4ución eponencial de media 2 minutos( Pinchando en la ventana de cuadros de la izquierda nos pregunta el tipo de modelo que se va a estudiar ( !na ve" introducidos los datos pinc%a en Solve and analyze , & elige solve the performance para ver los resultados(
a. FuG porcentaHe de tiempo estará el ordenador sin utili"ar 4. F$uánto de4erán esperar, en promedio, las consultas antes de ser atendidas c. F$uál será, en promedio, el nDmero de consultas ;ue estarán en la cola esperando a ser atendidas d. $on el 'in de reducir los tiempos de espera, se decide comprar un segundo ordenador( Se plantean dos 'ormas de utili"ar el nuevo e;uipo: i. Situarlo en la o'icina central Hunto al anterior, de 'orma ;ue si llega una consulta & un e;uipo está ocupado, se dirige inmediatamente al otro, esperando en cola sólo si los dos están ocupados( ii. Situar el ordenador en una delegación & dividir la po4lación de clientes en dos grupos de igual tamao de 'orma ;ue cada uno sea atendido independientemente por uno de los dos ordenadores( F$uál de las dos alternativas conduce a tiempos medios de espera menores( Pinchando en la opción del menú Windows, se puede volver a la pantalla de introducción de datos.
e. Si las capacidades de las colas son de = consultas, calcular la pro4a4ilidad de ;ue se pierda un cliente para los dos diseos del sistema( Pinchando en results y probability summary, se pueden obtener las probabilidades.
'.
ara estudiar cómo var#an los distintos parámetros de rendimiento del sistema al variar alguno de los parámetros de entrada, se puede reali"ar un análisis de sensi4ilidad( ara ello pinc%a en Solve and analyze, & elige Perform sensitivity anlisis desde la pantalla inicial de introducción de datos( Volviendo al sistema original, /K/K1 con capacidad in'inita, estudia cómo var#a el nDmero medio de clientes en el sistema al variar la tasa de llegada entre 1= & 8 clientes por %ora, con un paso de 8(= cK%( Tam4iGn puedes ver los resultados grá'icamente pinc%ando en results & eligiendo graphs Fpor ;uG el sistema es inesta4le cuando la tasa de llegada es 8
LOTA: $uando no es eponencial el tiempo de servicio o el tiempo entre llegadas, tenemos ;ue elegir la opción !eneral "ueueing Systems en la pantalla inicial( En la l#nea correspondiente a service time distribution y#o interarrival time distribution, pulsaremos dos veces el ratón para poder elegir distri4uciones ;ue no sean eponencial( Al no eistir solución anal#tica en muc%os casos, los resultados se pueden o4tener mediante aproimaciones numGricas - $ppro%imation by !#!#s., o mediante simulación( 3as distri4uciones más %a4ituales son: 1. Exp/a/b: Eponencial de media 4, tomando valores para Ma( Lormalmente, a58 . 2. Gamma/a/b/c: Namma con parámetro de escala 4, parámetro de 'orma c, c45 media tomando valores
para x>a. Lormalmente, a=0. 3. Normal / /P: Lormal con =media y P=desviación t#pica. 4. $onstante: Lo %ace 'alta poner $onstante, solo el valor de la constante.
A%LICACI&! '.- !na gran aseguradora tiene un sistema de cómputo centrali"ado ;ue tiene una diversidad de in'ormación so4re cuentas de clientes( 3os agentes de seguros, en un área ;ue inclu&e seis distritos, utili"an l#neas tele'ónicas para tener acceso a la 4ase de datos so4re la in'ormación de clientes( Actualmente, el sistema de computación central de la empresa da acceso simultáneamente a 2 usuarios a la computadora central( A los agentes ;ue intentan utili"ar el sistema cuando está ocupado se les niega el accesoQ no %a& periodo de espera( 3a administración se da cuenta de ;ue al aumentar el volumen de negocios, %a4rá más solicitudes al sistema de in'ormación central( ue se les niegue acceso al sistema es tanto ine'iciente como molesto para los agentes( 3as solicitudes de acceso siguen una distri4ución de pro4a4ilidad oisson, con una media de 7 llamadas por %ora( 3a tasa media de servicio por l#nea es de 8 llamadas por %ora(
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a. 4. c. d.
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F$uál es la pro4a4ilidad de ;ue se estGn utili"ando 8, 1, & 2 l#neas de acceso( F$uál es la pro4a4ilidad de ;ue se le niegue acceso a un agente al sistema( F$uál es el nDmero promedio de l#neas de acceso en uso( laneando para el 'uturo, la administración desear#a tener la capacidad de maneHar R 5 =8 llamadas por %oraQ además, la pro4a4ilidad de ;ue se le niegue acceso a un agente al sistema no de4er#a ser superior a su respuesta del inciso -4.( F$uántas l#neas de acceso de4erá tener este sistema(
) E E )EL$IAS BI B3ION) TI $ AS WINSTON,
+a&ne 3( Investigación de Operaciones Aplicaciones & Algoritmos( /Gico: Nrupo Editorial T%omson, 88=( MATHUR , Solo*( Investigación de Operaciones, el Arte de la Toma de Uecisiones( /eico: rentice all ispanoamericana, 1??( TAHA, and& A: Investigación de Operaciones( /Gico: Ediciones rentice all ispanoamericana, 1??< HILLIER, F.S. LIE!ERMAN, G."( Introducción a la Investigación de Operaciones( San rancisco: olden Ua&, 1??>(
1&
