Anexa_A2 Studiul Stabilitatii Sistemului Test 1

Anexa 2

STUDIUL STABILITĂŢII SISTEMULUI ELECTROENERGETIC TEST1 Se consider ă sistemul electroenergetic Test1 din figura A2.1 constituit din: • o centrală electrică echipată cu două grupuri bloc generator-transformator de 50 MW, având parametrii prezenta ţi în tabelele A2.1 şi A2.2; • reţeaua electrică de 110 kV, format ă din trei linii electrice aeriene, având parametrii prezentaţi în tabelul A2.3, care are rolul de a evacua energia produsă în centrală şi de a alimenta cu energie electric ă o zonă de consum; • o staţie de transformare de 110 kV/ 20 kV kV echipată cu două transformatoare, având parametrii prezenta ţi în tabelul A2.2. CET_MT

CET_IT

SEN

L1

Pg,IT+jQg,IT

G1, G2

T1,T2

L2

L3

Pc,IT+jQc ,IT

CON_IT T3,T4 CON_MT Pc,MT+jQc,M T Zona de consum

Fig. A2.1.Schema monofilar ă a sistemului electroenergetic TEST1 Ştiind că

transformatoarele bloc T1 şi T2 funcţionează pe plotul nominal, iar transformatoarele T3 şi T4, din staţia coborâtoare, funcţionează pe plotul –5, să se studieze stabilitatea unghiular ă şi de tensiune a sistemului sistemului în următoarele condiţii de funcţionare: (i) linia L2 este retrasă din exploatare pentru reparaţii (regimul R1); (ii) linia L2 este repusă în funcţiune (regimul R2). Regimurile permanente de funcţionare ale sistemului corespunzătoare celor două configuraţii considerate, calculate cu programul STABTEN în ipoteza că regulatoarele automate de tensiune ale generatoarelor din centrală controlează tensiunea nodului CET_IT (nodul de racord al grupurilor bloc generator transformator la reţeaua electrică de repartiţie zonală), sunt date în tabelul A2.4.

446

Dinamica sistemelor electroenergetice electroenergetice

Valorile mărimilor nodale – modulul tensiunii şi puterile nodale activă şi reactivă – sunt raportate la tensiunea de bază egală cu tensiunea nominală a fiecărui nod, respectiv la puterea de bază S b = 100 MVA . Tabelul A2.1. Parametrii generatoarelor electrice

Gen G1,G2

S n

P n

U n

[MVA] 62.5

[MW] 50

[kV] 10.5

X d

= X q

[%] 220

Tabelul A2. 2.

Trafo T1,T2 T3,T4

S n

U nf nf

[MVA] 80 63

[kV] 11 22

U nr nr

Δ P 0

[kV] 121 121

'

T d ' 0

T q' 0

[s] 6

[s] 0.4

H

[s] 6.4

Parametrii transformatoarelor electrice Δ P scnom [kW] 351 260

i0

[kW] 81 60

= X q' [%] 20

X d

[%] 0.4 0.9

u sc

[%] 11.5 12

Reglaj plotri × ΔU p

plot

± 9x1.78% ± 9x1.78%

0 -5

Tabelul A2. 3. Parametrii liniilor electrice

Linia

Un

L

L1 L2 L3

[kV] 110 110 110

[km] 30 25 20

r 0

[Ω/km fază] 0.1 0.1 0.1

x0

[Ω/km fază] 0.40 0.45 0.40

g 0

[μS/km fază] 0.0 0.0 0.0

b0

[μS/km fază] 3.0 2.5 3.0

Tabelul A2. 4. Regimurile de funcţionare

Nod

U

U n

[kV]

[u.r.]

θ [grade]

P g

[u.r.]

Q g

[u.r.]

P c

Qc

[u.r.]

[u.r.]

0.700 0.700 0.000 0.200 0.000

0.300 0.000 0.100 0.000

0.700 0.000 0.200 0.000

0.300 0.000 0.100 0.000

Regimul R1 – linia L2 retrasă din exploatare

CON_MT CON_IT CET_IT SEN

20 110 110 110

1.020 0.982 1.020 1.000

1.340 -1.180 1.340 0.000

0.750 0.000 0.750 0.163

0.368 0.000 0.368 0.108

Regimul R2 – linia L2 repusă în funcţiune

CON_MT CON_IT CET_IT SEN

20 110 110 110

1.050 0.992 1.020 1.000

-4.720 -0.740 0.490 0.000

0.000 0.000 0.750 0.160

0.000 0.000 0.676 -0.220

A2.1. Analiza regimului de func ţionare R1 Deoarece nodul SEN al reţelei TEST1 este de putere infinită, în cazul în care linia L2 este retrasă din exploatare (regimul R1) se obţin cele două configuraţii clasice – un generator conectat la o bar ă de putere infinită prin intermediul unei linii electrice, respectiv alimentarea unei zone de consum dintr-un sistem de putere infinită – prezentate în figurile A2.2,a şi A2.2,c. Înlocuind reţeaua electrică văzută de

447

Anexa A2

la bornele generatorului, respectiv sarcinii cu echivalenţii Thévenin corespunzători, se obţin schemele echivalente de calcul din figurile A2.2,b şi A2.2,d . CET_MT

G1,G2

CET_IT

SEN

L1

T1,T2 Pc,IT+jQc,IT

CET_MT

E Th

b

CON_IT

L3

SEN

G1 ,G2

a SEN

Z Th

SEN

T3,T4 Pc,MT+jQc,MT

E Th

Z Th

CON_MT

Pc,MT+jQc,MT=P 2+jQ 2

c

d

Fig. A2.2. Schemele monofilare şi schemele echivalente de calcul pentru studiul stabilităţii sistemului TEST1 în cazul indisponibilităţii liniei L2

A2.1.1. Studiul stabilit ăţii unghiulare Studiul stabilităţii unghiulare vizează stabilitatea la mici perturbaţii, respectiv stabilitatea tranzitorie a generatoarelor din centrala electrică. Având în vedere configuraţia rezultată după retragerea din exploatare a liniei L2, studiul stabilităţii unghiulare a acestui regim se va efectua considerând sistemul din figura A2.2,a, având nodurile numerotate ca în figura A2.3 şi sarcina reprezentată printr-o admitanţă constantă legată la pământ a cărei valoare este: Pc , IT − jQc , IT 0.2 − j 0.1 1u..r. Yc = = = 0.1922 − j0.0961u 2 2 1.02 U CET CET _ IT 3

1

L1

2 1

G1,G2

T1 ,T2 Y c

a

Z Th

U 1

2

E Th

b

Fig. A2.3. Schema monofilar ă pentru studiul stabilit ăţii unghiulare – a şi schema de calcul redusă – b

A2.1.1.1. Întocmirea schemei echivalente Pentru întocmirea schemei echivalente transformatoarele sunt reprezentate printr-un cuadripol Γ în serie cu un transformator ideal reprezentat prin operatorul de transformare N , iar linia printr-un cuadripol Π (fig. A2.4).

448

Dinamica sistemelor electroenergetice electroenergetice y13

1 y130

N

y23

3

Y c

y320

2 y230

E =U s

0

Fig. A2.4. Schema echivalent ă a reţelei electrice pentru studiul stabilităţii unghiulare Parametrii schemei echivalente se calculeaz ă după cum urmează: Calculul parametrilor schemei echivalente a liniei electrice L1 Având în vedere datele liniei electrice, prezentate în tabelul A2.3, se calculează: 

•

impedan ţ impedan ţ a longitudinal ă 0.1 + j 0.4 ) = 3 + j12 Ω Z L = L ( r0 + jx0 ) = 30 (0.

•

admitan ţ admitan ţ a transversal ă Y L 0

= L ( g0 +

jb0 ) = 30 ( 0 + j 3)10−6

= 90 × 10−6 S

• admitan ţ admitan ţ ele ele cuadripolului Π , în unit ăţ ăţ i relative Mai întâi se calculează impedanţa de bază Z b 2 , respective admitanţa de bază 1 U b22 1102 Y b 2 folosind relaţia Z b 2 = = = = 121 Ω . S-a ţinut seama că parametrii Yb 2 S b 100 liniei sunt raportaţi la tensiunea nominală a nodurilor de racord şi, prin urmare, U b = U b 2 = U n,2 = 110 kV . În aceste condiţii, ţinând seama de faptul că numărul de circuite în paralel este nc = 2 , rezultă: y y

= nc 23 230

Z b 2

= y 320

1

= 4.7451 - j18.9804 3 + j12 1 Y 1 1 10 −6 ×121 = 0 + j0.0109 = nc L0 = nc Y L0 Z b 2 = 2 ( 0 + j 90 )10 2 Y b 2 2 2

Z L

=2

Calculul parametrilor schemei echivalente a transformatoarelor Pe baza datelor de catalog ale transformatoarelor, prezentate în tabelul A2.2, ăşur ării fixe U nf : se calculează parametrii acestora raporta ţi la tensiunea înf ăş • parametrii longitudinali 2 U nf 112 −3 nom −3 10 = 351 2 10 = 0.0066 Ω RT = ΔP sc 2 80 S nT 

2 u sc U nf

11.5 11.5 112 Z T = = = 0.1739 Ω 100 S nT 100 80 80

449

Anexa A2

= ZT2 − RT 2 = 0.1738 Ω Z T = RT + jX T = 0.0066 + j 0.1738 Ω X T

•

•

parametrii transversali Δ P 81 GT 0 = 20 10−3 = 2 10 −3 11 U nf i0 S nT

Y T 0

=

BT 0

=

Y T 0

= GT −

2 100 U nf

YT2

=

= 0.0007 S

0.4 80 = 0.0026 S 100 112

− GT 2 = 0.0026 S jBT = 0.0007 − j 0.0026 S

raportul de transformare

Valoarea raportului de transformare, în unit ăţi relative, este dat ă de relaţia U nf U b 2 11 110 N = = = 0.9524 U nr (1 + plot × ΔU p 100 ) U b1 121(1 + 0 ×1.78 100 ) 10.5 S-a ţinut cont că tensiunea de baz ă pentru nodul 1 este U b1 = 10.5 kV , iar pentru nodurile 2 şi 3 tensiunea de baz ă este U b 2 = 110 kV şi c ă transformatoarele funcţionează pe plotul nominal.

•

admitan ţ ele cuadripolului

Γ , în unit ăţ i relative

Mai întâi se calculeaz ă impedanţa de bază Z b1 , respectiv admitan ţa de bază 1 U b21 10.52 Y b1 folosind relaţia Z b1 = = = = 1.1025 Ω . S-a avut în vedere c ă 100 Yb1 S b parametrii transformatorului sunt raporta ţi la tensiunea nominal ă a înf ăşur ării fixe conectată la nodul 1 şi, prin urmare, U b = U b1 . În aceste condiţii, ţinând seama de faptul că sunt două transformatoare în paralel, rezult ă: Z 1 y = nT b1 = 2 = 0.4837 − j12.6677 13 0.0066 + j 0.1738 Z T y

= nT 130

Y T Y b1

= nT Y T 0 Z b1 = 2 ( 0.0007 − j 0.0026 )1.1025 = 0.0015 − j0.0056

A2.1.1.2. Calculul regimului permanent al generatoarelor Pentru calculul regimului permanent al generatoarelor se determin ă, mai întâi, tensiunea şi puterile în nodul 1 (fig. A2.3, a). În acest sens, din schema echivalent ă (fig. A2.4) se separ ă schema echivalentă a transformatoarelor (fig. A2.5) şi se scriu ecuaţiile tensiunilor nodale pentru acest circuit sub forma: (A2.1,a) Y 11U 1 + Y 13 U 3 = I 1 (A2.1,b) Y 31U 1 + Y 33 U 3 = I 3

450

Dinamica sistemelor electroenergetice

în care Y 11 , Y 13 = Y 31 şi Y 33 sunt termenii matricei admitan ţelor nodale

[Y nn ] =

Y 11

= y13 + y130

Y 13

= − N y13

= − N y13

Y 33

= N 2 y13

Y 31

Efectuând înlocuirile numerice se ob ţine:

[Y nn ] =

0.4851 − j12.6734 −0.4606 + j12.0645 −0.4606 + j12.0645 0.4387 − j11.4900 y13

1

N

3

P g,IT +jQg,IT S 3 ( I 3)

S 1 ( I 1) y130

CET_IT

Pc,IT +jQc,IT

Fig. A2.5. Schema pentru calculul tensiunii şi puterii complexe la bornele generatoarelor Observa ţ ie. Schema echivalent ă cu operator real de transformare poate fi înlocuit ă cu schema galvanică din figura A2.6 [ER85]. Echivalen ţa celor două scheme rezultă din faptul c ă ele au aceeaşi matrice a admitanţelor nodale. i=1 y130 +(1-N ) y13

Ny13

k =3 N(N -1) y13

Fig. A2.6. Schema echivalent ă galvanică a transformatorului Ţinând cont că din calculul regimului permanent se cunosc tensiunea nodului 3

(nodul CET_IT) U 3 = U 3e jθ3 = 1.02 ⋅ e j1.34 = 1.0197 + j0.0239 şi puterea injectată în acest nod prin intermediul transformatoarelor P g , IT + jQg , IT = 0.75 + j 0.368 (fig. A2.5), se determină: *

P g , IT − jQg , IT ⎛ S ⎞ 0.75 − j0.368 I 3 = ⎜ 3 ⎟ = − =− = − 0.7435 + j0.3435 * 1.0197 0.0239 U − j U ⎝ 3⎠ 3

iar din relaţia (A2.1,a), rezultă: 1 U1 =

Y 31

( I 3 − Y 33U 3 ) = 1.0019 + j0.0832 = 1.0054 4.7453 o

În continuare se calculează I 1

= Y 11U 1 + Y 13 U 3 = 0.7827 − j0.3662

451

Anexa A2

respectiv, puterea complex ă la bornele generatoarelor S g

= S 1 = U 1 I 1* = U g I g * = 0.7537 + j0.4320

Fiind cunoscute mărimile la borne U g = U 1 şi I g = I 1 se calculează tensiunea electromotoare E g din spatele reactanţei sincrone şi unghiul rotoric δ0 astfel:

• pe baza datelor de catalog ale generatoarelor (tabelul A2.1) se calculeaz ă reactanţa sincronă în unităţi relative folosind rela ţia: 2 1 X d [%] U ng 1 1 220 10.5 2 1 X s = X d = X q = = = = 1.7657 n g Z b1 n g 100 S ng Z b1 2 100 62.5 1.1025

1 X d

•

din ecuaţia generatorului sincron în regim permanent rezult ă: E g

= Eq δ0 = U g +

jX s I g = 1.6485 + j1.4651 = 2.2055 41.6281o

respectiv, unghiul rotoric

δ0 = arg ( E g ) = 41.6281o Observa ţ ii:

(i) În calculul reactanţei sincrone X s s-a ţinut seama că există două grupuri generatoare în paralel (n g = 2 ) care se înlocuiesc cu un grup echivalent având puterea aparentă nominală S n = ng S n g ; (ii) Deoarece datele de catalog ale generatoarelor sunt raportate la tensiunea şi puterea nominală ale acestora, iar parametrii reţelei de transport sunt raportaţi la S b = 100 MVA , este necesar să se raporteze şi constanta de iner ţie H tot la puterea de bază S b . În acest sens, se are în vedere relaţia de 1 2 J ω0 2 definiţie a acestei constante H = . Deoarece momentul de iner ţie al S ng

grupului echivalent este suma momentelor de iner ţie ale grupurilor individuale J g , adică J = n g J g , iar puterea nominală a acestuia este S n = ng S ng , rezultă că timpul de lansare al grupului echivalent este egal cu cel al unui grup individual, adică e = Ta ,e = 2 H e = 2 H . Dacă constanta de iner ţie H se raportează la puterea de bază S b = 100 MVA , atunci noile valori sunt: 1 2 J ω0 S 62.5 2 6.4 = 4 , respectiv H ' = = ng H = 100 Sb S b

' e

= Ta' ,e = 2 H ' = 8 s .

452


A2.1.1.3. Calculul echivalentului Thévenin Utilizând schema galvanică pentru reprezentarea transformatoarelor bloc rezult ă schema echivalentă din figura A2.7 a re ţelei de transport în care: Y1

= N y13 = 0.4606 − j12.0645

Y2

= y 23 = 4.7451 − j18.9804

Y 10

= y130 + (1 − N ) y13 = 0.0245 − j0.6089

Y 20

= y 230 = 0 + j0.0109

Y 30

= N ( N − 1) y13 + Y c + y 320 = 0.1703 + j0.4893 Y 1

1

3

Y 10

Y 2

2 E =U s

Y 20

Y 30

0

0

Fig. A2.7. Schema pentru calculul echivalentului Thévenin Pe baza acestei scheme se calculeaz ă echivalentul Thévenin (fig. A2.3, b) ţinând cont că t.e.m. E Th este egală cu tensiunea U 1 la mersul în gol, iar impedan ţa Z Th este impedanţa echivalentă a reţelei pasivizate (sursa de tensiune este scurtcircuitată) între bornele 1 şi 0.

•

Calculul t.e.m. E Th

Se scrie ecuaţia matriceală a tensiunilor nodale pentru schema din figura A2.7 Y 11

= Y 1 + Y 10

= −Y 1 Y 23 = −Y 2 Y 33 = Y 1 + Y 2 + Y 30

0

Y 13

U1

I1

= 0

U2 = I2 = Y 2 + Y 20 0 Y 31 = −Y 1 Y32 = −Y 2 U3 Având în vedere c ă U 2 = 1 + j 0 (este tensiunea impusă de sistemul de putere infinită), iar la mersul în gol I 1 = 0 , rezultă sistemul de ecuaţii ⎧Y 11U 1 + Y 13 U 3 = 0 ⎨ ⎩Y 31U 1 + Y 32 U 2 + Y 33 U 3 = 0

0

Y 22

din care se determin ă U 3 = − U1

= E Th =

Y 11 Y 13

U 1 , respectiv

Y 13 Y 32 Y 11 Y 33

− Y 13 Y 31

U2

= 0.9454 − j0.0081 = 0.9454 −0.4882 o

453

Anexa A2

•

Calculul impedan ţ ei Z Th

Scurtcircuitând sursa şi aplicând regulile de echivalare a admitan ţelor în serie, respectiv paralel rezultă: Y Th

= Y 10 +

+ Y 30 ) = 0.9441 − j7.9975 Y 1 + Y 2 + Y 30 Y 1 (Y 2

respectiv Z Th

= RTh +

jX Th

= 0.0146 + j0.1233

În continuare, se vor înlocui cele dou ă generatoare printr-un generator echivalent având puterea aparent ă nominală S n = 2S ng = 125 MVA şi constanta de timp, raportată la puterea de bază Sb = 100 MVA , = Ta = 2 H ' = 8 s . În plus, pentru simplificarea calculelor, se alege ca origine de faz ă t.e.m. E Th şi se notează U g = U g θ = U 1 , Z e = Z Th = Re + jX e , respectiv E = E 0 = E Th . În aceste condiţii, se obţine schema echivalentă din figura A2.8. 1

U g =U 1

I g Z e=Re+jX e

2

E=E Th

Fig. A2.8. Schema echivalentă a sistemului TEST1 pentru studiul stabilităţii unghiulare

A2.1.1.4. Studiul stabilit ăţii la mici perturbaţii Pentru studiul stabilităţii la mici perturbaţii se utilizează modelul EAD care cuprinde: (i)

ecua ţ iile regimului electromecanic 1 d ω = ( Pm − Pe − Dω) = f1 ( x, y , μ ) dt M d δ = ω0 ω = f 2 ( x, y, μ ) dt

(ii) ecua ţ ia dinamicii fluxului în înf ăşurarea de excita ţ ie dE q' 1 = ' ⎡ E f − Eq' − ( X d − X d' ) I d ⎤ = f 3 ( x, y , μ ) dt

T d 0

⎣

⎦

(A2.2)

(A2.3)

(iii) ecua ţ iile diferen ţ iale ale sistemului de excita ţ ie Se consider ă că generatorul este echipat cu un sistem de reglare automat ă a tensiunii având schema bloc prezentat ă în figura A2.9, iar parametrii în tabelul A2.5. Acesta cuprinde regulatorul şi un PSS, ambele modelate prin func ţii de transfer simple.

454

Dinamica sistemelor electroenergetice +

ω

K PSS

1 + sT 1

U PSS +

1 + sT 2

U 0 K e

Σ -

E f

1 + sT e

U g

Fig. A2.9. Schema bloc a sistemului de excita ţie Tabelul A2.5. Parametrii sistemului de reglare automat ă a tensiunii RAT PSS T e [s] K PSS T 1 [s] T 2 [s] 0.2 0.5 0.5 0.1

K e

50

Conform schemei bloc se pot scrie urm ătoarele ecuaţii diferenţiale pentru sistemul de excitaţie: dE f 1 = ⎡ K e (U 0 + U PSS − U g ) − E f ⎤ = f 4 ( x, y , μ ) dt

dU PSS dt

T e

=

⎣

⎦

1⎡

T ⎤ K PSS ω + 1 ( Pm − Pe − Dω) − U PSS ⎥ = ⎢ T2 ⎣ M ⎦

(A2.4) f 5 ( x, y, μ )

(iv) ecua ţ iile statorice

(v)

Ud

− X q I q = g1 ( x, y , μ ) = 0

Uq

− Eq' + X d' I d = g 2 ( x, y , μ ) = 0

(A2.5)

ecua ţ ia fazorial ă a re ţ elei de transport

U 1 = U g = E + ( Re

+

jX e ) I g

(A2.6)

Ţinând seama de relaţia de legătur ă dintre sistemul de coordonate rotorice ( d ,q) şi

cel al reţelei de transport (re,im), adică de faptul că între vectorul A = Ad + jAq şi fazorul A = Are + jAim există relaţia A = Ae − j( δ− π 2 ) , ecuaţia (A2.6) se scrie sub forma: Ud

− E sin δ − Re I d + X e I q = g 3 ( x, y , μ ) = 0

Uq

− E cos δ − Re I q − X e I d = g 4 ( x, y , μ ) = 0

(A2.6’)

După cum se poate observa, ecua ţiile modelului matematic pot fi scrise sub următoarea formă compactă: & = f ( x , y , μ ) (A2.7) 0 = ( x, y, μ) T

în care: x = ⎡⎣ω, δ, Eq' , E f ,U PSS ⎤⎦ este vectorul variabilelor dinamice de stare; y = ⎡⎣U d ,U q , I d , I q ⎤⎦ T

μ = [ Pm ,U 0 , E ]

T

– vectorul variabilelor algebrice de stare; – vectorul parametrilor.

455

Anexa A2

Prin liniarizarea sistemului de ecua ţii (A2.7) în jurul punctului de echilibru analizat rezultă:

Δ x&

=

A1

B

0 C J1 iar după eliminarea variabilelor algebrice se ob ţine:

Δx Δy

Δ x& = AΔx

în care A =

A1 − BJ1−1C

(A2.8) (A2.9)

este matricea de stare.

Calculul condiţiilor iniţiale Având în vedere regimul permanent al generatoarelor calculat la punctul A2.1.1.2 şi faptul că s-a ales ca origine de fază t.e.m. E Th , se determină: 

•

Unghiul rotoric şi argumentul tensiunii la bornele generatorului

δ = δ0 − θTh = 41.6281 − (−0.4882) = 42.1163o θ = θ0 − θTh = 4.7453 − (−0.4882) = 5.2335o În aceste condiţii, tensiunea şi curentul la bornele generatorului devin: U g = 1.0054e j 5.2335 = 1.0012 + j 0.0917 U g − E 1.0012 + j 0.0917 − 0.9454 I g = = = 0.7861 − j 0.3595 Z e 0.0146 + j 0.1233 • Componentele (d,q) ale tensiunii şi curentului Având în vedere că: U d + jU q = U g e − j ( δ−π 2) = (1.0012 + j 0.0917)(sin42.1163 + j cos42.1163) + jI q = I g e − j ( δ−π 2) = (0.7861 − j 0.3595)(sin 42.1163 + j cos42.1163) rezltă: U d = 0.6034 şi U q = 0.8042 , respectiv I d = 0.7939 şi I q = 0.3420

I d

• Tensiunile electromotoare E q' şi E f Mai întâi, pe baza datelor de catalog ale generatoarelor (Tabelul A2.1), se calculează reactanţele tranzitorii X d ' şi X q' , în unităţi relative, folosind relaţia: 2 ' 1 X d [ %] U ng 1 1 20 10.52 1 X d = X q = = = = 0.1605 n g Z b1 n g 100 S ng Z b1 2 100 62.5 1.1025 Din relaţiile (A2.5) rezultă: Eq' = U q + X d' I d = 0.8042 + 0.1605 × 0.7939 = 0.9316 . În continuare, se anulează derivatele în raport cu timpul în relaţiile (A2.3) şi (A2.4) şi se ţinea seama că în regim permanent ω = 0 , adică U PSS = 0 . În aceste condiţii, din relaţia (A2.3) se obţine: '

E

f

'

1 X d '

= Eq' + ( X d − X d' ) I d = 0.9316 + (1.7657 − 0.1605)0.7939 = 2.2059

iar din prima relaţie (A2.4)

456


2.2059 = 1.0495 K e 50 În funcţie de gradul de detaliere a modelului generatorului sincron, se disting mai multe cazuri, care sunt analizate în continuare. U0

= U g +

E f

= 1.0054 +

Cazul 1. Modelul clasic al generatorului sincron

În acest caz, modelul este constituit doar din ecuaţiile regimului electromecanic (A2.2), generatorul fiind modelat printr-o t.e.m. constantă în spatele reactanţei tranzitorii (fig. A2.10). Prin urmare, vectorul variabilelor dinamice de stare este T [ x ] = [ω, δ ] . jX d '

Re + jX e

I g

E ' δ'

U g

E 0

Fig. A2.10. Schema echivalentă pentru studiul stabilităţii folosind modelul clasic al generatorului sincron Fiind cunoscute mărimile electrice de stare la bornele generatorului, se determină t.e.m. din spatele reactanţei tranzitorii: ' E = U g + jX d ' I g = 1.0589 + j 0.2179 = 1.081111.6269o Având în vedere schema echivalentă din figura A2.10, rezultă: ' E − E −E I g = = ' Re + j ( X d' + X e ) Re + jX de respectiv, expresia puterii electromagnetice

E

Pe

Re

'

= real{E I g } =

2

Re

'

'2

'2

+ X de

'

X d ' e

'

( E − E E cos δ ) +

2

Re

'2

+ X de

E ' E sin δ'

(A2.10)

în care X de' = X d' + X e . Observa ţ ii: după cum este cunoscut, în cazul modelului clasic, argumentul δ' al t.e.m. ' E este utilizat în ecuaţia de mişcare în locul unghiului δ , pentru a defini poziţia rotorului; (ii) dacă Re = 0 , atunci din relaţia (A2.10) rezultă expresia cunoscută a puterii (i)

'

electromagnetice : Pe = real{E I g } =

E ' E '

X de

sin δ'

457

Anexa A2

Matricea de stare este:

∂ f1 ∂f 1 D ' − ∂ω ∂δ A = = M ∂ f 2 ∂f 2 ω0 ∂ω ∂δ'

−

1 ∂ P e '

M ∂δ

=

0

−

D

8 314.1593

−0.4444 0

în care:

∂ P e E ' E ( Re sin δ' + X de' cos δ' ) = 3.5550 = ' 2 '2 ∂δ Re + X de În tabelul A2.6 sunt prezentate rezultatele analizei modale ob ţinute considerând trei valori diferite pentru factorul de amortizare D. Tabelul A2.6. Rezultatele analizei stabilităţii la mici perturbaţii în cazul utilizării

modelului clasic pentru generatorul sincron Valorile proprii

ξ

f n [Hz]

f d [Hz]

D = 10

λ1,2 = −0.6250 ± j11.7988

0.0529

1.8805

1.8778

D = 0

λ1,2 = ± j11.8154

0

1.8805

1.8805

-0.0026

1.8805

1.8805

D = −0.5

λ1,2 = 0.0313 ± j11.8153

Se constată că pentru o amortizare negativ ă D < 0 sistemul devine instabil în regim de mici perturba ţii (partea reală a valorilor proprii devine pozitiv ă). Cazul 2. Generatorul f ăr ă RAT (excita ţ ie constant ă)

În acest caz modelul matematic este constituit din ecua ţiile diferenţiale (A2.2) şi (A2.3), respectiv ecuaţiile algebrice (A2.5) şi (A2.6’). Prin urmare, vectorul T

variabilelor dinamice de stare este [ x ] = ⎡⎣ω, δ, E q' ⎤⎦ . În cele ce urmează, pentru calculul matricelor din modelul liniar (A2.8) se consider ă D = 10 şi se are în vedere că: (A2.11) Pe = U d I d + U q I q În aceste condiţii rezultă:

[ A1 ] =

∂ f1 ∂ω

∂f1 ∂δ

∂ f 2 ∂ω

∂f1 ∂δ

∂ f3 ∂ω

∂ f 1 ∂δ

∂f 1 D ∂ E q' − 0 0 −1.2500 0 0 M ∂f 2 = ω0 0 0 = 314.1593 0 0 ∂ E q' 1 0 0 −0.1667 0 0 − ' ∂f 3 T d 0 ∂ E q'

458


∂ f1 ∂U d ∂ f 2 [ B ] = ∂U d ∂ f3 ∂U d

∂f1 ∂U q ∂f 2 ∂U q ∂f3 ∂U q

∂f1 ∂I d ∂f 2 ∂I d ∂f 3 ∂I d

∂f 1 ∂I q − I d M ∂f 2 = 0 ∂I q 0 ∂f 3 ∂I q

−

I q

−

M

U d M

0 0

−

X d

−

U q M

0

0

− X d '

0

T d ' 0

=

−0.0992 −0.0427 −0.0754 −0.1005 0 0 0 0 0 0 −0.2675 0

[C ] =

∂ g1 ∂ω

∂g1 ∂δ

∂ g 2 ∂ω

∂g 2 ∂δ

∂ g3 ∂ω

∂g3 ∂δ

∂ g 4 ∂ω

∂g 4 ∂δ

∂ g1 ∂U d ∂ g 2 ∂U d [ J 1 ] = ∂ g3 ∂U d ∂ g 4 ∂U d 1 0 1 0

∂g 1 ∂ E q' ∂g 2 0 0 0 0 0 0 ' ∂ E q 0 0 −1 0 0 −1 = = ∂g3 0 − E cos δ 0 0 −0.6340 0 ' 0 E sin δ 0 0 0.7013 0 ∂ E q ∂g 4 ∂ E q' ∂g1 ∂U q ∂g 2 ∂U q ∂g3 ∂U q ∂g 4 ∂U q

∂g1 ∂ Id ∂g 2 ∂ Id ∂g3 ∂ Id ∂g 4 ∂ Id

∂g 1 ∂I q 1 0 0 − X q ∂g 2 ∂I q 0 1 X ' 0 = d = ∂g 3 1 0 − Re X e ∂I q 0 1 − X e − Re ∂g 4 ∂I q

0 0 −1.7657 1 0.1605 0 0 −0.0146 0.1233 1 −0.1233 −0.0146

În final se obţine matricea de stare −1.2500 −0.2659 −0.2917 0 0 [ A ] = [ A1 ] − [ B ][ J1 ] [ C ] = 314.1593 0 −0.6561 −1.1088 −1

având valorile proprii λ1,2 = −0.9863 ± j9.1211 şi λ3 = −0.3862 . Prin urmare, sistemul este stabil deoarece toate valorile proprii au partea real ă negativă.

459

Anexa A2 Cazul 3. Generatorul este prev ă zut cu RAT.

În acest caz, modelul matematic include şi ecuaţiile sistemului de excitaţie (A2.4). Faţă de cazul precedent, la vectorul variabilelor dinamice de stare se adaug ă variabilele E f şi U PSS . În aceste condi ţii, matricea A1 are în plus dou ă linii şi două coloane, matricea B are suplimentar dou ă linii, iar matricea C are în plus două coloane. ∂ f1 ∂ E f ∂ f 2 ∂ E f ∂ f3 ∂ E f

A1(2)

[ A1] = ∂ f 4 ∂ω

∂f 4 ∂δ

∂ f 4 ∂ω

∂f 4 ∂ Eq'

∂f 4 ∂ E q' ∂f 4 ∂E q'

∂f 1 ∂U PSS ∂f 2 ∂U PSS ∂f 3 ∂U PSS =

∂f 4 ∂ E f ∂ f5 ∂ E f

−

M

ω0

∂f 4 ∂U PSS ∂f 5 ∂U PSS

D

K PSS T2

0

0

0

0

0

0 1

0 1

0

Td' 0

T d ' 0

−

0

0 −

0

0

0

0

0

−

T 1 D T2 M

0

1

K e

Te

T e

−

0

1 T2

B (2)

[ B ] =

∂ f 4 ∂U d ∂ f5 ∂U d

∂f 4 ∂U q ∂f5 ∂U q −

∂f 4 ∂I d ∂f5 ∂I d

∂f 4 = ∂I q ∂f 5 ∂I q

I d

−

M

0

K e

Ud Ud

−

M

−

0

2

Te

−

U d

2

+Uq

T1 I d T2 M

Pentru calculul termenilor

−

K e

U q

T e

2

Ud

−

2

+U q

T1 I q T2 M

−

M

0

0

−

I q

X d

U q M

0

0

− X d '

0

T d ' 0

0

0

−

T 1 U d T2 M

−

T 1 U q T2 M

∂4 ∂4 şi s-a ţinut cont că U g = U = ∂U d ∂U q

U d2

+ U q2 .

În plus, având în vedere că variabilele E f şi U PSS nu intervin în ecua ţiile algebrice, rezultă că cele două coloane care se adaug ă la matricea C sunt nule şi, prin urmare:

460


0 0 0 0 0 −1 [C ] = 0 − E cos δ 0 0 E sin δ 0

0 0 0 0

0 0 0 0

Ţinând cont că prin adăugarea celor dou ă noi variabile dinamice de stare, matricea J 1 nu se modifică, după efectuarea înlocuirilor şi a calculelor numerice, rezultă următoarea matrice de stare:

0 0 −1.2500 −0.2659 −0.2917 314.1593 0 0 0 0 0 −0.6561 −1.1088 0.1667 0 [ A] = 0 −15.2070 −94.1162 −5 250 −1.2500 −1.3296 −1.4585 0 −10

Rezultatele analizei modale aplicate matricei de stare A sunt prezentate sintetic în tabelul A2.7. Tabelul A2.7. Rezultatele analizei stabilităţii la mici perturbaţii în cazul utilizării modelului detaliat pentru generatorul sincron. ξ σ ω Valorile proprii Variabilele de stare cu participare maximă ω, δ λ1,2 = −1.0228 ± j 9.4913 −1.0228 9.4913 0.1071 λ3,4 = −2.4093 ± j 2.6774

−2.4093

λ5 = −10.4946

-10.4946

2.6774 0.6689 0

-

Eq' , E f

U PSS

A2.1.1.5 Studiul stabilit ăţii tranzitorii Se consider ă că la momentul t 0 = 0 pe unul dintre circuitele liniei L1, în apropierea nodului 3 (fig. A2.3, a), se produce un scurtcircuit trifazat cu punere la pământ care este eliminat prin deconectarea circuitului avariat simultan la cele două capete la momentul t = t d . În aceste condi ţii, se disting urm ătoarele trei regimuri de func ţionare ale sistemului: (i) regimul normal de func ţ ionare (n) corespunzător intervalului de timp t < t 0 care precede apari ţia defectului; (ii) regimul de avarie (av) corespunzător intervalului de timp t0 ≤ t < t d până la eliminarea defectului; (iii) regimul postavaria (d.av) corespunzător intervalului de timp t ≥ t d care urmează eliminării defectului. Pentru a studia stabilitatea tranzitorie, în schema echivalentă de calcul redusă (fig. A2.3,b) se neglijează rezistenţa Re a impedanţei Z e = Z Th , adică se reprezintă reţeaua

461

Anexa A2

de transport prin t.e.m. E Th = E 0 în spatele reactanţei echivalente jX e , iar generatorul prin t.e.m. E ' = ct . din spatele reactanţei tranzitorii jX d ' . Se obţine astfel schema echivalentă din figura A2.11. P g+jQg

jX d '

jX e

I g '

E

U g

δ'

E 0

Fig. A2.11. Schema echivalent ă pentru studiul stabilităţii tranzitorii Dacă se notează cu X de' = X d' + X e reactanţa echivalentă dintre cele dou ă t.e.m, atunci expresiile puterilor electromagnetice, corespunz ătoare celor trei regimuri de func ţionare, pe baza c ărora se trasează caracteristicile tranzitorii P − δ din figura A2.12, sunt:

⎧ E ' E ( n) ⎪ ' ( n) sin δ pentru t < t 0 ⎪ X de ⎪ pentru t0 ≤ t < t d P e = ⎨0 ⎪ E ' E ( d .av) ⎪ sin δ pentru t ≥ t d ⎪⎩ X de' ( d. av)

(A2.12)

în care: δ = δ' este argumentul t.e.m. E ' folosit şi pentru a defini pozi ţia rotorului în raport cu sistemul de axe ata şat reţelei; ' ( n) – t.e.m şi reactanţa echivalentă ale reţelei electrice în E ( n) şi X de regimul normal de func ţionare; ( d . av ) ' ( d. av ) – t.e.m şi reactanţa echivalentă ale reţelei electrice în E şi X de regimul după avarie. P e[u.r] 3.75

(n)

3.00

(d.av)

2.25 A f

1.50

P m

0.75 A 0

A a

δ0

π δcrit 2

δm π δ[rad]

Fig. A2. 12. Caracteristicile tranzitorii P − δ

462


Pentru regimul normal de func ţionare echivalentul Thévenin a fost deja calculat la punctul A2.1.1.3. Deci E ( n ) = 0.9454 , iar X de'( n) = X e + X d' = 0.2838 . Deoarece în regimul post avarie un circuit al liniei L1 este deconectat, se impune recalcularea echivalentului Thévenin pentru acest regim. Urmând procesul de calcul prezentat în paragraful A2.1.1.3 se ob ţine E ( d .av ) = 0.9384 şi '( d . av ) X e( d .av ) = 0.1670 , respectiv X de = 0.3275 .

A2.1.1.5.1. Determinarea unghiului critic – δcrit şi a timpului critic – t crit de eliminare a defectului folosind criteriul ariilor egale Deoarece s-a neglijat rezistenţa Re , pentru calculul t.e.m. tranzitorii ' ' ' E = E δ , este necesar să se recalculeze mărimile la bornele generatoarelor. În acest sens, se consider ă cunoscute puterea activ ă P g şi modulul tensiunii U g la borne şi se determină argumentul θ şi puterea reactivă Q g folosind relaţiile: U g E ( n )

P g =

sin θ

X e( n )

Q g =

U g2 X e( n )

−

U g E ( n ) X e( n)

cos θ

Având în vedere c ă P g = 0.7537 , iar U g = 1.0054 , din prima rela ţie rezultă

θ = arcsin S g

= Pg +

P g X e( n ) ( n)

U g E

= 5.6118o , iar din a doua ecua ţie

jQg = 0.7537 + j 0.5259 , iar U g = U g e jθ

În continuare se calculeaz ă

E

'

= U g +

Q g = 0.5259 . Prin urmare

= 1.0006 + j 0.0983 .

(

jX d '( n ) S g U g

*

)

= 1.09611.9154o .

Deci modulul t.e.m. tranzitorii, care r ămâne constant, este E ' = 1.096 , iar valoarea iniţială a unghiului rotoric δ0 = δ' = 0.2080 rad = 11.9154 o . Valoarea maximă a unghiului rotoric, dup ă eliminarea defectului, corespunde punctului de intersec ţie dintre dreapta Pm = ct . şi caracteristica P − δ după avarie. Prin urmare, din rela ţia P m =

E ' E ( d .av) '( d. av ) X de

δm = π − arcsin

sin δ rezultă: '( d . av) Pm X de '

( d . av)

E E

= 166.1123o

Pentru a determina unghiul critic de eliminare a defectului se impune condi ţia de egalitate dintre aria de accelerare Aa şi aria de frânare A f . Având în vedere figura A2.12, această condiţie se poate scrie sub forma Aa + A0 = A f + A0 . Ţinând cont că: Aa

+ A0 = P m (δm − δ0 )

463

Anexa A2

iar δm

A f

+ A0 =

∫P

δm ( d .av )

e

δcrit

dδ =

∫

δcrit

E ' E ( d .av)

'( d . av ) X de

sin δ d δ

rezultă: '( d . av) ⎧⎪ ⎫ X de δcrit = arccos ⎨ P m (δ m − δ0 ) ' ( PA) + cos δ m ⎪⎬ = 1.9016 rad=108.9544o . E E ⎪⎩ ⎪⎭ Fiind cunoscut unghiul critic se poate determina timpul critic de eliminare a defectului. În acest sens, se ţine cont de faptul că pe durata defectului puterea electromagnetică este nulă, iar rotorul este supus unei puteri de accelerare constantă egală cu P m . În aceste condiţii ecuaţiile (A2.2) ale regimului electromagnetic devin:

d ω P m dt

=

M

, respectiv

d δ dt

= ω0 ω

din care, prin integrare, se obţine:

⎧ t P m t C ⎪⎪ω ( ) = M + 1 ⎨ 2 ⎪δ ( t ) = ω 0 P m t + ω C t + C 0 1 2 ⎪⎩ M 2 Ţinând cont că la momentul t = t 0 = 0 ω = 0 , iar δ = δ0 rezultă C 1 = 0 , iar C 2 = δ0 . Prin urmare, variaţia unghiului rotoric în timpul procesului de accelerare este dată de relaţia: ω0 P m t 2 δ ( t ) = δ0 + M 2 Impunând condiţia δ ( t ) = δcrit rezultă expresia timpului critic de eliminare a defectului: 2 ( δcrit − δ0 ) M 2 ⋅ (1.9016 − 0.2080 ) ⋅ 8 t crit = = = 0.3383s ω0 P m 314.16 ⋅ 0.7537 A2.1.1.5.2. Simularea r ăspunsului dinamic al sistemului prin integrarea numerică a ecuaţiei de mişcare Simularea r ăspunsului dinamic al sistemului electroenergetic necesită integrarea numerică a sistemului de ecuaţii diferenţiale care descrie comportamentul acestuia. În cazul utilizării modelului clasic al generatorului sincron, singurele ecuaţii diferenţiale care intervin în model sunt ecuaţiile regimului electromecanic. În continuare, pentru integrarea numerică a acestora, se vor utiliza metoda trapezelor şi metoda Runge-Kutta de ordinul 2. În acest sens, se ţine cont că ω şi δ sunt variabile iner ţiale, iar puterea mecanică – P m este constantă.

464

Dinamica sistemelor electroenergetice 

Metoda trapezelor

Deşi, în conformitate cu expresiile (A2.12), puterea electromagnetică P e depinde doar de variabila iner ţială δ , în continuare, pentru simplificarea calculelor, se admite ipoteza că acesta este o mărime neiner ţială, adică Pe (t + Δt ) = Pe (t ) . În aceste condiţii, prin aplicarea metodei trapezelor ecuaţiilor regimului electromecanic (A2.2) rezultă expresiile: ⎧ ⎧ ⎫ 1 Δt ⎡ D Δt ⎤ ⎪ω(t + Δt ) = D Δt ⎨[ Pm − Pe (t )] M + ⎢1 − M 2 ⎥ ω(t ) ⎬ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎪ 1+ (A2.13) ⎨ M 2 ⎪ Δt ⎪δ(t + Δt ) = δ(t ) + ω0 [ω(t + Δt ) + ω(t ) ] 2 ⎩ cu ajutorul cărora se calculează viteza unghiular ă şi unghiul rotoric la momentul t + Δt în funcţie de mărimile electrice la momentul t . În acest sens, se parcurg următoarele etape: (i) Se iniţializează procesul de calcul: − se stabileşte: t = 0+ (momentul imediat apari ţiei defectului); ω(0+ ) = ω(0 − ) = 0 ; δ(0+ ) = δ(0 − ) = δ0 = 0.208rad=11.9154 o . − se alege pasul de integrare Δt = 0.001 s , momentul eliminării defectului t d şi momentul până la care se efectuează simularea t s = 2s . (ii) Se calculează puterea electromagnetică la momentul t folosind expresia corespunzătoare din rela ţia (A2.12). Astfel, pentru t = 0+ < td , Pe (t ) = Pe (t + Δt ) = 0 (iii) Se calculează ω(t + Δt ) şi δ(t + Δt ) folosind relaţiile (A2.13) ⎧ 1 0.001 ⎡ 10 0.001 ⎤ ⎫ [0.7537 − 0] 0 ⎬ = 9.42 ⋅10 −5 ω(0.001) = + ⎢1 − ⎨ ⎥ 10 0.001 ⎩ 8 ⎣ 8 2 ⎦ ⎭ 1+ 8 2 0.001 δ(0.001) = 0.208 + 314.15 ⎡⎣9.41560 ⋅10 −5 + 0 ⎤⎦ ≅ 0.208rad 2 (iv) Se stabileşte t = t + Δt şi se reia calculul de la pasul (ii) Curbele de variaţie ale unghiului rotoric, pentru diverse valori ale momentului de eliminare a defectului – t d , obţinute folosind metoda trapezelor implementat ă în MATLAB, sunt prezentate în figura A2.13, a. Rezultatele obţinute prin această simularea dinamică confirmă valoarea timpului critic de eliminare a defectului ob ţinută anterior cu ajutorul criteriului ariilor. Astfel, se observ ă că în ipoteza neglijării amortizării, pentru o valoare td = 0.34 s stabilitatea se pierde (unghiul rotoric cre şte, iar generatorul îşi pierde sincronismul cu sistemul de putere infinit ă), iar pentru o

465

Anexa A2

valoare t d = 0.33s procesul dinamic este un proces oscilatoriu neamortizat, adic ă generatorul păstrează sincronismul. În plus, dac ă se consider ă şi efectul amortizării, atunci, pentru timpi de eliminare a defectului mai mici decât t crit , oscila ţiile se amortizeaz ă. 

Metoda Runge-Kutta de ordinul 2

Sistemul de ecuaţii diferenţiale (A2.2) se scrie sub forma: 1 d ω = ( Pm − Pmax sin δ − Dω ) = f ω ( ω, δ ) dt d δ

dt

M

= ω0 ω = f δ ( ω, δ )

în care:

⎧ E ' E ( n) ⎪ ' ( n) pentru t < t 0 ⎪ X de ⎪ pentru t 0 ≤ t < t d Pmax = ⎨0 ⎪ E ' E ( d .av) ⎪ pentru t ≥ t d ⎪⎩ X de' ( d. av) Fiind cunoscute valorile ω(t ) şi δ(t ) , se determină: ⎧ω(t + Δt ) = ω(t ) + 1 ( K + K ) ω,2 ⎪⎪ 2 ω,1 ⎨ ⎪δ(t + Δt ) = δ(t ) + 1 ( K δ,1 + K δ,2 ) ⎪⎩ 2

(A2.14)

în care:

⎧ Kω,1 = f ω (ω(t ), δ(t )) ⋅ Δt ⎪ ⎪ Kδ,1 = f δ (ω(t ), δ(t )) ⋅ Δt (A2.15) ⎨ ( ( ) , ( ) ) K f t K t K t = ω + δ + ⋅ Δ ω,1 δ,1 ⎪ ω,2 ω ⎪ K ,2 = f ( ω(t ) + K ,1 , δ(t ) + K ,1 ) ⋅ Δt δ ω δ ⎩ δ Astfel, considerând Δt = 0.001s şi D = 10 , pentru a determina valorile ω(0.001) şi δ(0.001) se are în vedere faptul că: ⎧ω(0) = ω(0+ ) = ω(0 − ) = 0 ⎪ o ⎨δ(0) = δ(0+ ) = δ(0 − ) = δ0 = 0.208rad=11.9154 ⎪ P = 0 ⎩ max şi se calculează:

− prima clasă de coeficienţi Runge-Kutta 1 ( 0.7537 − 0 ⋅ sin11.9154 −10 ⋅ 0 ) ⋅ 0.001 = 9.4215 ⋅10 −5 8 K δ,1 = 314.15 ⋅ 0 = 0 K ω,1 =

466


− a doua clasă de coeficienţi Runge-Kutta 1 0.7537 − 0 ⋅ sin(11.9154 + 0) −10 ⋅ (0 + 9.4215 ⋅10 −5) ) ⋅0.001 = 9.4097 ⋅10 −5 ( 8 K δ,2 = 314.15 ⋅ (0 + 9.4215 ⋅10 −5 ) ⋅ 0.001 = 2.9598 ⋅10 −5 În final se ob ţine: ω(0.001) = 0 + 0.5 ⋅ (9.4515 + 9.4097) ⋅10 −5 = 9.4156 ⋅10 −5 K ω,2

=

δ(0.001) = 0.208 + 0.5 ⋅ (0 + 2.9598 ⋅10 −5) ≅ 0.208rad Curbele de varia ţie ale unghiului rotoric, pentru diverse valori ale momentului de eliminare a defectului – t d , ob ţinute folosind metoda Runge-Kutta implementată în MATLAB, sunt prezentate în figura A2.13 b. Se constată că acestea sunt practic identice cu cele ob ţinute prin metoda trapezelor.

a

b

Fig. A2.13 Variaţia unghiului rotoric δ obţinută cu: a) metoda trapezelor; b) metoda Runge-Kutta de ordinul 2

A2.1.2. Studiul stabilităţii de tensiune Având în vedere configura ţia rezultată după retragerea din exploatare a liniei L2, studiul stabilităţii de tensiune a regimului R1 vizează stabilitatea legăturii care alimentează zona de consum. În aceste condi ţii, studiul se va efectua considerând sistemul din figura A2.2, c, având nodurile numerotate ca în figura A2.14, a. 1

3

L3

2

T3,T4 Pc,MT+jQc,MT

a

1

E Th=U 1

Z Th=R+ jX

2

Pc,MT+jQ c,MT= P2+jQ2

b

Fig. A2.14. Schema monofilar ă pentru studiul stabilităţii de tensiune – a şi schema de calcul redus ă – b

467

Anexa A2

A2.1.2.1. Întocmirea schemei echivalente Se reprezintă linia electrică printr-un cuadripol Π , iar transformatoarele printr-un cuadripol Γ , cu parametrii raporta ţi la tensiunea înf ăşur ării reglabile (înf ăşurarea primar ă), în serie cu operatorul de transformare N (fig. A2.15). y13

1

E=U s

y130

y310

N

y23

3

2

y320

U 2

0

Fig. A2.15. Schema echivalentă a reţelei electrice pentru studiul stabilit ăţii de tensiune Parametrii schemei echivalente se calculeaz ă într-o manier ă similar ă cu cea prezentată în paragraful A2.1.1.1 cu deosebirea c ă de această dată parametrii transformatoarelor sunt raporta ţi la tensiunea înf ăşur ării reglabile corespunzătoare plotului curent de func ţionare şi, prin urmare, toate impedan ţele, respectiv, 1 U b21 110 2 admitanţele sunt raportate la Z b1 = = = = 121 Ω . S-a ţinut cont că 100 Yb1 S b tensiunea de bază pentru nodul 1 este U b1 = U n1 = 110kV . 

Calculul parametrilor schemei echivalente a liniei electrice L3

•

impedan ţ a longitudinal ă Z L

•

= L ( r0 +

jx0 ) = 20 ( 0.1 + j 0.4 ) = 2 + j8 [ Ω]

admitan ţ a transversal ă Y L 0

= L ( g0 +

jb0 ) = 20 ( 0 + j3 )10 −6

= 60 ×10 −6 [ S ]

admitan ţ ele cuadripolului Π , în unit ăţ i relative Ţinând seama că numărul de circuite în paralel este nc

•

y y 

= nc 13 130

Z b1

= y310

1

= 7.1176 - j 28.4706 2 + j8 1 Y 1 1 = nc L0 = nc Y L 0 Z b1 = 2 ( 0 + j 60 )10 −6 ×121 = 0 + j0.0073 2 Y b1 2 2

Z L

=2

= 2 , rezultă:

Calculul parametrilor schemei echivalente a transformatoarelor

Pentru calculul parametrilor transformatoarelor se are în vedere faptul c ă acestea funcţionează pe plotul –5 şi, prin urmare, tensiunea înf ăşur ării reglante corespunzătoare acestui plot este: Ur

= U nr (1 + plot

ΔU p 100

) = 121 ⋅ (1 − 5

1.78 ) = 110.231kV 100

468


•

parametrii longitudinali U r 2

110.2312 −3 10 = 260 10 = 0.796 Ω RT = Δ 2 632 S nT u sc U r 2 12 110.2312 Z T = = = 23.1445 Ω 100 S nT 100 63 P scnom

X T

ZT2

=

Z T = RT

•

•

−3

− RT 2 = 23.1308 Ω

+

jX T = 0.796 + j 23.1308

parametrii transversali Δ P 60 10 −3 GT 0 = 20 10−3 = 2 110.231 U r i0 S nT

Y T 0

=

BT 0

=

Y T 0

= GT −

100 U r 2 YT2

=

Ω

= 4.9379 ⋅10 −6 S

0.9 63 = 46.6630 ⋅10 −6 S 2 100 110.231 −6

− GT 2 = 46.4010 ⋅10 S jBT = ( 4.9379 − j 46.401 ) ⋅10 -6 S

raportul de transformare

N =

(

)

U nr 1 + plot × ΔU p 100 U b1 U nf

U b 2

=

121(1 − 5 ×1.78 100 ) 20 = 0.911 22 110

S-a ţinut cont c ă tensiunea de bază pentru nodul 2 este U b 2 = U n 2 = 20 kV .

•

admitan ţ ele cuadripolului

Γ , în unit ăţ i relative

Ţinând seama de faptul c ă sunt două transformatoare în paralel, rezult ă: Z 121 y = nT b1 = 2 = 0.3596 − j10.4499 23 0.796 + j 23.1308 Z T y

= nT 130

Y T 0 Y b1

= nT Y T 0 Z b1 = 2 ( 4.9379 − j 46.401) ⋅10 -6 ⋅121 = 0.0012 − j0.0112

A2.1.2.2. Calculul echivalentului Thévenin Pentru calculul echivalentului Thévenin al re ţelei electrice de transport v ăzută de la bornele sarcinii (nodurile 2 – 0) se parcurg etapele prezentate în paragraful A2.1.1.3. Utilizând schema galvanic ă pentru reprezentarea transformatoarelor rezult ă schema echivalentă din figura A2.16 în care, de aceast ă dată: Y1 = y

13

Y2

iar

= 7.1176- j28.4706

= N y 23 = 0.911 ⋅ ( 0.2984 − j8.6726 )

469

Anexa A2

Y 10

= y130 = j 0.0073

Y 20

= N ( N − 1) y 23 = −0.0292 + j0.8473

Y 30

= y 310 + y320 + (1 − N ) y23 = 0.0332 − j0.934 Y 1

1 E=U s

3

Y 10

Y 2

2 Y 20

Y 30

0

0

Fig. A2.16. Schema pentru calculul echivalentului Thévenin

•

Calculul t.e.m. E Th

Se scrie ecuaţia matriceală a tensiunilor nodale pentru schema din figura A2.16, ţinând cont c ă în acest caz I 2 = 0 Y 11

= Y 1 + Y 10

= −Y1 Y 23 = −Y 2 Y 33 = Y 1 + Y 2 + Y 30

0

Y 13

U1

I1

U 2 = I 2 = 0 = Y 2 + Y 20 0 Y 31 = −Y 1 Y 32 = −Y 2 U3 Având în vedere că U 1 = 1 + j 0 (este tensiunea impus ă de sistemul de putere infinită), iar la mersul în gol I 2 = 0 , rezultă sistemul de ecuaţii ⎧Y 22 U 2 + Y 23 U 3 = 0 ⎨ ⎩Y 31U 1 + Y 32 U 2 + Y 33 U 3 = 0

0

Y 22

din care se determin ă U 3 = − U2

Pentru U 1 = U s

•

Y 22 Y 23

U 2 , respectiv

= E Th =

Y 23 Y 31

U

− Y 23 Y 32 1 = 1 + j 0 se obţine ETh = 1.0975 + j 0 = 1.0975 0 o Y 22 Y 33

(A2.16)

Calculul impedan ţ ei Z Th

Scurtcircuitând sursa şi aplicând regulile de echivalare a admitan ţelor în serie, respectiv paralel rezultă: Y th

= Y 20 +

Y 1 (Y 1 + Y 30 ) Y1 + Y 2

+ Y 30

= 0.5748 − j6.4001

respectiv Z Th

=

1 Y Th

=R+

jX

= Z β = 0.0139 + j 0.155 = 0.1556 84.8681o

În continuare, pentru studiul stabilit ăţii de tensiune se va utiliza schema de calcul redusă (fig. A2.14,b) .

470


A2.1.2.3. Analiza punctelor posibile de func ţionare A şi B Se consider ă că sarcina are o caracteristică de tipul P = ct . , iar puterea complexă solicitată este S 2 = P2 + jQ2 = 0.7 + j 0.3 . P 0.7 Prin urmare, S2 = P22 + Q22 = 0.7616 , iar cos ϕ = 2 = = 0.9191 S 2 0.7616

•

Calculul tensiunilor U 2 A şi U 2 B

Ţinând cont că U1

= E Th = 1.0975 conform relaţiilor (6.19) şi (6.20) (vezi

capitolul 6) rezultă: α = U12 − 2( RP2 + XQ2 ) = 1.09752 − 2(0.0139 ⋅ 0.7 + 0.155 ⋅ 0.3) =1.0921

Δ = α 2 − 4 Z 2 S 22 = 1.09212 − 4 ⋅ 0.1556 2 ⋅ 0.7616 2 =1.1365 respectiv U 2 A

=

α+ Δ 2

1.0921 + 1.1365 = 1.0388 2

1.0921 − 1.1365 = 0.1141 2 2 Se observă că valoarea tensiunii în punctul A de func ţionare este practic egală cu cea obţinută în urma calculului de regim permanent (vezi tabelul A2.4). U 2 B

•

=

α− Δ

= =

Calculul sensibilit ăţ ilor tensiunii

Conform relaţiilor (6.25), rezultă:

∂U 2 A = ∂ P 2 ∂U 2 A ∂Q2

−R

−0.0139 = −0.0142 1.09752 − 4(0.0139 ⋅ 0.7 + 0.155 ⋅ 0.3) U12 − 4( RP 2 + XQ2 ) − X −0.155 = = = −0.1582 2 2 1.0975 − 4(0.0139 ⋅ 0.7 + 0.155 ⋅ 0.3) U1 − 4( RP 2 + XQ2 ) =

respectiv

∂U 2 B = ∂ P 2

R U12

− 4( RP 2 + XQ2 )

= 0.0142 şi

∂U 2 B = ∂Q2

X U12

− 4( RP 2 + XQ2 )

= 0.1582

A2.1.2.4. Caracteristicile re ţelei de transport Se adoptă ipoteza factorului de putere constant şi se determină punctul critic.

•

Calculul puterilor maxime transmisibile

Puterile maxime care pot fi tranzitate c ătre zona de consum se determin ă pe baza relaţiei S 2max =

U 12

2( R cos ϕ + X sin ϕ + Z )

(vezi relaţia (6.10) din capitolul 6).

471

Anexa A2

Astfel, pentru cos ϕ = 0.9191 ( sin ϕ = 0.394 , repectiv tg ϕ = 0.4286 ), rezultă: 1.09752 S 2max = = 2.6247 2(0.0139 ⋅ 0.9191 + 0.155 ⋅ 0.394 + 0.1556) P2max = S 2max cos ϕ = 2.6247 ⋅ 0.9191 = 2.4125 Q2max = S 2max sin ϕ = 2.6247 ⋅ 0.3940 = 1.0339 iar distanţa în putere aparent ă dintre punctul curent de func ţionare şi punctul critic (distanţa în putere calculat ă la factor de putere constant) este: DSc = S 2max − S 2 = 2.6247 − 0.7616 = 1.8631

•

Calculul tensiunii critice

Având în vedere că în punctul critic Δ = 0 , valoarea tensiunii în acest punct U12 − 2( RP2max − XQ2max ) este dată de relaţia U 2cr = . Înlocuind valorile numerice 2 se obţine: U 2cr =

•

1.09752 − 2(0.0139 ⋅ 2.4125 − 0.155 ⋅1.0339) = 0.6391 . 2

Efectul compensării puterii reactive

Se consider ă trei valori diferite pentru factorul de putere ( c os ϕ = 0.9191 inductiv, cos ϕ = 1 şi cos ϕ = 0.98 capacitiv) şi se trasează caracteristicile U 2 − P 2 considerând tensiunea sursei constant ă ( U s = 1 , adică U 1 = 1.0975 ). În acest sens, mai întâi se calculeaz ă valorile puterilor maxime transmisibile şi cele ale tensiunilor critice urmând metodologia prezentat ă anterior pentru cos ϕ = 0.9191 . Rezultatele obţinute sunt prezentate în tabelul A2.8. Tabelul A2.8. Valorile puterilor maxime transmisibile şi ale tensiunilor critice pentru diverse valori ale factorului de putere şi U s = 1

cos ϕ

tg ϕ

Puterile maxime transmisibile S 2max

P 2max

Q2max

U 2 cr

0.9191

0.4286

2.6247

2.4125

1.0339

0.6391

1

0

3.5525

3.5525

0

0.7435

0.98

-0.2031

4.2643

4.2643

-0.8659

0.8229

În continuare, pentru generarea caracteristicilor U 2 − P 2 se variază puterea activă P 2 transmisă către zona de consum de la 0 pân ă la P 2max şi se calculează valorile tensiunilor U 2 A şi U 2 B în punctele posibile de funcţionare. Cele trei caracteristici astfel obţinute sunt prezentate în figura A2.17 a.

472


•

Efectul modificării tensiunii la capătul sursă

Se consider ă două valori diferite pentru tensiunea nodului surs ă ( U s = 1 şi U s = 1.05 ) şi se trasează caracteristicile U 2 − P 2 considerând factorul de putere constant (cos ϕ = 0.9191 inductiv). De această dată, deoarece pentru cazul U s = 1.05 s-au modificat condi ţiile de funcţionare este necesar s ă se recalculeze valoarea tensiunii electromotoare E Th (valoarea impedan ţei Z Th nu se modific ă deoarece topologia re ţelei nu s-a modificat). În acest sens, în rela ţia (A2.16) se înlocuieşte U 1 = 1.05 + j 0 . Urmând procedeul de calcul prezentat mai sus, se calculeaz ă puterile maxime transmisibile şi tensiunile critice, iar apoi se genereaz ă caracteristicile U 2 − P 2 . Rezultatele obţinute sunt prezentate în tabelul A2.9 şi figura A2.17, b. Tabelul A2.9. Valorile puterilor maxime transmisibile şi ale tensiunilor critice pentru diverse valori ale tensiunii sursei şi cos ϕ = 0.9191

U s

U1

= E Th

Puterile maxime transmisibile S 2max

P 2max

Q2max

U 2 cr

1

1.0975

2.6247

2.4125

1.0339

0.6391

1.05

1.1542

2.8937

2.6598

1.1399

0.6711

tg ϕ=0.4286 tg ϕ=0

U s=1.0 tg ϕ=-0.2031

a

Us=1.05

b

Fig. A2.17 Caracteristicile U 2- P 2 a) tensiunea sursei constantă şi factor de putere variabil; b) factor de putere constant şi tensiunea sursei variabilă

A2.1.2.5. Analiza modal ă a matricei Jacobian redus ă Se consider ă schema de calcul redusă (fig. A2. 16) în care nodul 1 este nodul de echilibru, iar nodul 2 este nod de tipul PU . Prin urmare, modelul matematic este constituit din ecuaţiile bilanţului de puteri la nodul 2

473

Anexa A2

Deoarece P2 g

⎧⎪ P2 g − P2 c = P 2 t ⎨ ⎪⎩Q2 g − Q2 c = Q2 t = Q2 g = 0 , P2c = P 2 şi Q2 c = Q2 , iar + B21 sin θ2 ) + G22U 22 Q2t = U1U 2 (G21 sin θ2 − B21 cos θ2 ) − B22U 22

P2t = U1U 2 (G21 cos θ2

rezultă sistemul de ecuaţii neliniare: ⎧⎪ P2 + U1U 2 (G21 cos θ2 + B21 sin θ2 ) + G22U 22 = 0

⎨ 2 ⎪⎩Q2 + U1U 2 (G21 sin θ2 − B21 cos θ2 ) − B22U2 = 0

în care P 2 şi Q2 sunt puterile activă şi reactivă solicitate de către zona de consum. În aceste condiţii matrice Jacobian este:

⎡ J Pθ

[ J ] = ⎢

⎣ J Qθ

∂P2t ⎤ ⎡ −Q2t − B22U 22 ⎢ ⎥ ∂U 2 ⎥ ⎢ = ∂Q2 t ⎥ ⎢ ⎢ P2t − G22U 22 ⎥ ∂U 2 ⎦ ⎣⎢

⎡ ∂ P2t J PU ⎤ ⎢ ∂θ2 ⎥=⎢ J QU ⎦ ⎢ ∂Q2t ⎢ ∂θ ⎣ 2

⎤ ⎥ U 2 ⎥ 2⎥ Q2t − B22U 2 ⎥ U 2 ⎦⎥ P2 t + G22U 22

iar matricea Jacobian redus ă J R = J QU − J Qθ ⋅ J P−θ1 ⋅ J PU . Se observă că în acest caz particular J R este o matrice de dimensiune 1x1 a c ărei valoare proprie este chiar elementul matricei. În plus, valoarea minim ă singular ă este egală cu valoarea proprie şi, prin urmare, indicatorul global VSI se calculează ca raportul dintre valorile proprii calculate pentru regimul corespunz ător punctului A de funcţionare şi, respectiv pentru regimul de mers în gol. În continuare, pentru calculul matricei J R şi evaluarea stabilităţii de tensiune folosind analiza modal ă a acestei matrice se are în vedere că U 1 = 1.0975 şi se parcurg următoarele etape: (i) Calculul matricei admitan ţ elor nodale −Y th ⎤ ⎡ 0.5748 − j 6.4001 −0.5748 + j6.4001 ⎤ ⎡Y [Y nn ] = ⎢ th ⎥=⎢ ⎥ ⎣−Y th Y th ⎦ ⎣ −0.5748 + j 6.4001 0.5748 − j6.4001 ⎦ Deci G22 = 0.5748 , iar B22 = −6.4001 (ii) Calculul tensiunii U 2 Fiind cunoscute valorile puterilor activ ă P 2 şi reactivă Q2 se calculează

α = U12 − 2( RP2 + XQ2 ) şi Δ = α 2 − 4 Z 2 S22 = α2 − 4Z 2 ( P 22 + Q22 ) respectiv U 2 A

=

α+ Δ 2

şi U 2 B

=

α− Δ 2

474


Astfel, pentru P 2 = 0.7 şi Q2 = 0.3 rezultă α = 1.0921 şi Δ = 1.1365 , respectiv U 2 A = 1.0388 şi U 2 B = 0.1141 (vezi paragraful A2.1.2.3). (iii) Calculul matricei Jacobian redusă şi evaluarea stabilit ăţ ii de tensiune Pentru calculul elementelor matricei Jacobian se ţine cont de faptul c ă, în conformitate cu ecuaţiile bilanţului de puteri, în cele două puncte posibile de funcţionare P 2t = − P 2 şi Q2t = −Q2 . Astfel, pentru punctul de func ţionare A, caracterizat de U 2 = U 2 A = 1.0388 , elementele matricei Jacobian sunt:

= Q2 − B22U 22 = 0.3 + 6.4001 ⋅1.0388 2 = 7.2063 − P2 + G22U 22 −0.7 + 0.5748 ⋅1.0388 2 J PU = = = −0.0768 J P θ

1.0388

U 2

J Qθ

= − P2 − G22U 22 = −0.7 − 0.5748 ⋅1.0388 2 = −1.3203

J QU =

−Q2 − B22U 22 U 2

=

−0.3 + 6.4001 ⋅1.0388 2 1.0388

= 6.3596

iar matricea Jacobian redus ă este:

= J QU − J Qθ ⋅ J P−θ1 ⋅ J PU = 6.3596 −

−1.3203 ⋅ ( −0.0768)

= 6.3596 7.2063 Deci valoarea proprie a matricei J R,A este λ = 6.3596 > 0 şi, prin urmare, regimul de funcţionare este un regim stabil din punct de vedere al tensiunii. Pentru punctul de func ţionare B, caracterizat de U 2 = U 2 A = 0.1141 , elementele matricei Jacobian sunt: J P θ = Q2 − B22U 22 = 0.3 + 6.4001 ⋅ 0.11412 = 0.3833 J R , A

J PU = J Qθ

− P2 + G22U 22 U 2

=

−0.7 + 0.5748 ⋅ 0.11412 0.1141

= −6.0699

= − P2 − G22U 22 = −0.7 − 0.5748 ⋅ 0.11412 = −0.7075

J QU =

−Q2 − B22U 22 U 2

=

−0.3 + 6.4001 ⋅ 0.11412 0.1141

= −1.8993

iar matricea Jacobian redus ă este:

= J QU − J Qθ ⋅ J P−θ1 ⋅ J PU = −1.8993 −

−0.7075 ⋅ ( −6.0699)

= −13.1026 0.3833 Deci valoarea proprie a matricei J R,B este λ = − 13.1026 < 0 şi, prin urmare, regimul de funcţionare este un regim instabil din punct de vedere al tensiunii. În tabelul A2.10 sunt prezentate rezultatele analizei stabilităţii de tensiune folosind tehnica analizei modale a matricei Jacobian redus ă pentru diverse valori ale puterii solicitată de către zona de consum. Dup ă cum se poate constata, pe m ăsur ă ce puterea transportată creşte, valorile proprii ale matricei J R corespunzătoare celor două puncte de funcţionare A şi B se apropie una de alta şi devin egale cu zero în punctul critic. J R , A

475

Anexa A2

Deasemenea, valoarea indicatorului global VSI scade de la 1 în regimul de mers în gol, la 0 în punctul critic. Tabelul A2.10 Rezultatele analizei modale a matricei J R şi valorile indicatorului global VSI în diverse puncte de pe caracteristica P -U P 2

Q2

Punctul de funcţionare A

Punctul de funcţionare B

U 2 A

λ = J R

U 2 B

λ = J R

VSI

B

0 0.5 0.7 1.0 1.5 2.0

0 0.2143 0.3 0.4286 0.6429 0.8527

1.0975 1.0573 1.0388 1.0078 0.9440 0.8515

7.0811 6.5849 6.3596 5.9304 5.0291 3.6257

0 0.0801 0.1141 0.1680 0.2690 0.3977

-14.3923 -13.1026 -11.2441 -8.2235 -4.9801

1 0.930 0.898 0.837 0.710 0.512

P 2max

Q2max

0.6391

0

0.6391

0

0

2.4125

1.0339

A2.2. Analiza regimului de func ţionare R2 Pentru studiul stabilităţii acestui regim de func ţionare se admit urm ătoarele ipoteze simplificatoare: (i) se neglijează pierderile de mers în gol şi pierderile de putere activ ă din înf ăşur ările transformatoarelor bloc T1 şi T2 , iar reactanţa acestora se adaugă reactanţelor generatoarelor; (ii) pentru studiul stabilităţii unghiulare se va utiliza modelul clasic, iar sarcinile vor fi modelate prin admitan ţe constante; (iii) pentru studiul stabilit ăţii de tensiune se va utiliza modelul regimului permanent, iar caracteristicile statice ale sarcinilor vor fi considerate de tipul P =ct.

A2.2.1. Calculul matricei admitan ţelor nodale Se întocmeşte schema echivalentă şi se numerotează nodurile ca în figura A2.18. Valorile parametrilor schemei echivalente (admitan ţele şi raportul de transformare), calculate conform metodologiei prezentate în paragrafele anterioare, sunt prezentate în tabelul A2.11. Tabelul A2.11. Parametrii schemei echivalente

Latura L1 L2 L3 T3,T4

i

k

3 2 2 1

4 3 4 2

y

ik

4.7451– j 18.9804 2.2776– j10.2494 7.1176– j28.4706 0.3596– j10.4499

y

ik 0

j0.0109 j0.0038 j0.0073

0

y

ki 0

j0.0109 j0.0038 j0.0073 0.0012– j0.0112

N ik

0.911

476


y340 E g

5

y34

3

jX g

y430 4

Y C 3 y 2 4

y 2 3

y

0

y 24

3 2 0

0

y 2 4

y 2 3 0

2

y210 y12

N 21 1 Y C 1

Fig. A2.18. Schema echivalent ă pentru calculul matricei admitan ţelor nodale şi a matricei admitanţelor nodale extins ă Aplicând regulile de scriere direct ă a termenilor matricei admitan ţelor nodale, rezultă: 2 Y 11 = N 21 y = 0.2984 − j8.6726 ; Y 12 = Y 21 = − N 21 y = −0.3276 + j9.5198 ; 12 12 Y 22

= y12 + y120 + y23 + y 230 + y24 + y240 = 9.7561 − j 49.1700

Y 23

= Y 32 = − y 23 = −2.2776 + j10.2494 ;

Y 24

= Y 42 = − y 24 = −7.1176 + j28.4706 ;

Y 33

= y 23 + y 320 + y34 + y340 = 7.0227 − j 29.2151

Y 34

= Y 43 = − y 34 = −4.7451 + j18.9804 şi

Y 44

= y 24 + y 420 + y34 + y430 = 11.8627 − j 47.4328

Deci matricea admitanţelor nodale este: − 0.3276+j 9.5198 0 0 ⎡ 0.2984 − j 8.6726 ⎤ ⎢ −0.3276 + j 9.5198 9.7561 − j 49.1700 − 2.2776 + j 10.2494 − 7.1176+ j 28.4706⎥ ⎥ ⎡⎣Y nn ⎤⎦ = ⎢ ⎢ −2.2776 + j10.2494 7.0227 − j 29.2151 − 4.7451+ j 18.9804⎥ 0 ⎢ ⎥ −7.1176 + j 28.4706 − 4.7451 + j 18.9804 11.8627 − j 47.4328⎥⎦ 0 ⎢⎣

477

Anexa A2

A2.2.2. Studiul stabilităţii unghiulare Conform ipotezelor adoptate, pentru studiul stabilit ăţii unghiulare sarcinile sunt reprezentate prin admitan ţe legate la pământ, iar generatoarele prin t.e.m. E g din spatele reactanţei X g (fig. A2.18).

•

Calculul admitan ţ elor sarcinilor

Având în vedere regimul permanent de func ţionare (tabelul A2.4) şi numerotarea nodurilor (fig. A2.18) rezult ă: *

Y C 1

=

S c1 U 12

=

0.7 − j 0.3 = 0.6349 − j0.2721 1.052

=

0.2 − j 0.1 = 0.1922 − j0.0961 1.022

*

Y C 3

=

S c 3 U 32

•

Calculul reactan ţ elor Reactanţele transformatoarelor bloc şi cele ale grupurilor generatoare raportate la tensiunea nominală a liniilor electrice, adică la U n = 110kV .

sunt

– reactanţa transformatoarelor bloc 1 u sc [%] U n2 S b 1 11.5 110 2 100 X T = = = 0.0719 nT 100 S nT U b 2 100 80 110 2 – reactanţa sincronă 1 X d [%] U n2 S b 1 220 110 2 100 X d = X q = = = 1.76 nG 100 S nG U b 2 100 62.5 1102 – reactanţa tranzitorie 1 X d' [%] U n2 S b 1 20 110 2 100 X d ' = = = 0.16 nG 100 S nG U b 2 100 62.5 1102

A2.2.2. Studiul stabilităţii la mici perturbaţii În cadrul acestui paragraf se va evalua natura punctului de echilibru şi se va determina frecvenţa proprie de oscilaţie a rotoarelor grupurilor generatoare.

•

Natura punctului de echilibru

Se neglijează efectul RAT şi se evaluează stabilitatea naturală a sistemului. Prin urmare, E g este t.e.m. din spatele reactanţei sincrone X g = X d + X T = 1.8319 , adică E g

= Ee jδ = U 3 +

jX g I g

Având în vedere regimul permanent de func ţionare şi numerotarea nodurilor, rezult ă: U 3 = U 3 (cos θ3 + j sin θ3 ) = 1.02(cos0.49 + j sin 0.49) = 1.02 + j0.0009 *

*

⎛ S g 3 ⎞ ⎛ Pg 3 + jQg 3 ⎞ 0.75 − j 0.676 I g = ⎜ = 0.7359 − j 0.6621 ⎟ =⎜ ⎟ = 1.02 0.0009 U U j − 3 ⎝ 3⎠ ⎝ ⎠

478


E g = 1.02 + j 0.0009 + j1.8319(0.7359 − j0.0979)

= 2.2329 + j1.3489

Deci E = 2.6087 , iar δ = 0.5434rad = 31.1358 o . Modelul matematic este constituit doar din ecua ţiile regimului electromecanic (A2.2) şi, prin urmare, matricea de stare este:

∂ f1 ∂f 1 D − ∂ω ∂δ A = = M ∂ f 2 ∂f 2 ω0 ∂ω ∂δ

−

1 ∂ P e M

∂δ

0

Aceasta este similar ă cu matricea de stare determinat ă în cadrul paragrafului A2.1.1.4, cazul 1, deosebirea constând în faptul c ă de această dată se utilizează 1 ∂ P e unghiul rotoric δ , iar pentru calculul termenului − este necesar să se M

∂δ

calculeze matricea admitan ţelor nodale redusă. În acest sens, mai întâi se calculează matricea admitanţelor nodale a reţelei extinsă rezultată prin adăugarea nodurilor interne ale generatoarelor, a admitan ţelor transversale corespunz ătoare sarcinilor şi a laturilor reprezentate de reactan ţele sincrone ale generatoarelor (fig. A2.18). Pentru sistemul Test1 analizat, matricea admitan ţelor nodale extinsă este:

⎡Y 'nn ext ⎡⎣Y nn ⎤⎦ = ⎢ ⎢⎣Y gn

Y 11 + Y C 1

Y 12

0

0

Y 21

Y 22

Y 23

Y 24

0

Y 32

0

Y 42

0

0

Y ng ⎤

⎥= Y gg ⎥⎦

Y 33

+ Y C 3 − j

1

Y 34

X g

Y 43 j

0 0 1 j

0

Y 44

1

0

X g

X g

−j

1 X g

Prin eliminarea Gauss a nodurile pasive 1, 2 şi 3 rezultă matricea admitanţelor nodale redusă în care nodurile r ămase (nodurile active la care sunt conectate sursele) sunt nodurile 4 şi 5:

⎡ ⎣

r Y nn

⎤= ⎦ =

r

Y 44 r

Y 54

r

Y 45 r

Y 55

⎡G44r + =⎢ r ⎣⎢G54 +

r jB44 r jB54

+ r G55 +

r G45

r ⎤ jB45

⎥=

r jB55 ⎦⎥

0.8773 − j0.9638 0.0037 + j0.5303 0.0037 + j0.5303 0.0026 − j0.5355

Puterea electromagnetică este egală cu puterea activă la nodul 5 al re ţelei extinsă, adică: * r r Pe = real(U 5 I 5 ) = real(U 5 (Y 54 U 4 +Y 55 U 5 )* )

479

Anexa A2

Având în vedere c ă U 4 = 1 0 (tensiunea nodului de putere infinit ă), iar U 5 = E g = E δ (t.e.m a generatorului) se ob ţine: Pe

= U 4 E (G54r cos δ + B54r sin δ) + B55r E 2

(A2.17)

respectiv

∂ P e = U 4 E (−G54r sin δ + B54r cos δ) = 1.1792 ∂δ În final, ţinând cont că = 8 s , pentru D = 10 se obţine următoarea matrice de stare A =

−1.25

−0.1474

314.1593

0

ale cărei valori proprii sunt λ1,2 = −0.625 ± j6.7762 . Deoarece valorile proprii au partea reală negativă punctul de echilibru (regimul de func ţionare) este stabil.

•

Frecven ţ a proprie de oscila ţ ie a rotoarelor generatoarelor

Pentru determinarea frecven ţei proprii de oscilaţie a rotoarelor se utilizeaz ă modelul clasic al generatoarelor. Prin urmare, în acest caz X g = X d' + X T = 0.2319 , iar E g = E ' = E ' δ ' = 1.1735 + j0.1715 = 1.1860 8.3144 o . Urmând paşii de calcul descrişi la punctul precedent se ob ţine atricea admitanţelor nodale redusă Y nnred =

0.9233 − j 4.1067 −0.0800 + j3.7033 −0.0800 + j3.7033 0.1246 − j3.7386

respectiv matricea de stare A =

−1.25

−0.5450

314.1593

0

ale cărei valori proprii sunt λ1,2 = σ ± jω = −0.625 ± j13.0696 . Deci frecvenţa proprie ω 13.0696 de oscilaţie a rotoarelor este f = = = 2.08Hz . 2π 2π

A2.2.2. Studiul stabilităţii tranzitorii Se consider ă că la momentul t 0 = 0 pe unul dintre circuitele liniei L1, în apropierea nodului 3, se produce un scurtcircuit trifazat cu punere la p ământ, care este eliminat prin deconectarea circuitului avariat, simultan la ambele capete, la momentul t = t d . Comportamentul dinamic al sistemului la aceast ă succesiune de evenimente (scenariu) se simulează prin integrarea ecuaţiei de mişcare folosind metoda trapezelor şi metoda Runge-Kutta de ordinul 2. Etapele de calcul sunt acelea şi cu cele prezentate în cazul analizei tranzitorii a regimului R1, deosebirea constând în faptul c ă de această

480


dată pentru calculul puterii electromagnetice se va utiliza rela ţia (A2.17). În acest sens, este necesar ă simularea evenimentelor prin operarea modific ărilor corespunzătoare în matricea admitanţelor nodale extinsă calculată pentru regimul normal de func ţionare şi apoi calculul matricei admitan ţelor nodale redus ă prin eliminarea Gauss a nodurilor pasivizate. Astfel, deoarece scurtcircuitul se produce în imediata vecin ătate a nodului 3, rezultă că în regimul de avarie tensiunea acestui nod devine U 3 ≅ 0 . Un astfel de eveniment (defect) se simulează suprimând în matricea admitan ţelor nodale extinsă linia şi coloana corespunz ătoare nodului avariat. Având în vedere matricea ext Y nn calculată anterior, după suprimarea liniei şi coloanei corespunz ătoare nodului 3 şi eliminarea nodurilor pasive 1 şi 2 se obţine matricea admitanţelor nodale redus ă corespunzătoare regimului de avarie Y nnr ( av)

r ( av ) G44

+ = r ( av) G54 +

r ( av) jB44 r ( av) jB54

r ( av) G45

+ r ( av) G55 +

r( av) jB45 r( av) jB55

=

5.4403 − j19.3406 0 0 0 − j 4.3122

Se constată că G54r ( av) = B54r ( av) = G55r( av) = 0 şi, conform relaţiei (A2.17), în perioada de defect P e = 0 . Prin deconectarea circuitului avariat al liniei L1se modifică admitanţele y 34 şi y

340

= y 430 din schema echivalentă care, în acest caz, se înjumătăţesc deoarece

numărul de circuite în func ţiune se reduce de la nc = 2 în regim normal de funcţionare, la nc = 1 în regimul de după avarie. Operând modificările termenilor Y 33 , Y 34 , Y 43 şi Y 44 în matricea admitanţelor nodale extins ă corespunzătoare regimului normal de funcţionare şi eliminând nodurile pasive 1, 2 şi 3, rezultă matricea admitanţelor nodale redusă pentru regimul dup ă avarie: Y nnr (d .av )

r ( d . av) G44

+ jB44r ( d . av) = r ( d .av) G54 + jB54r ( PA) =

r ( d . av) G45

+ r ( d . av) G55 +

r ( d. av) jB45 r ( d. av)

jB55

=

1.0182 − j3.4000 −0.1863 + j2.980 −0.1863 + j 2.9800 0.2389 − j3.0179

Observa ţ ie: În general, având în vedere regulile de scriere direct ă a termenilor matricei admitanţelor nodale, pentru a simula deconectarea unei linii electrice i – k se modifică termenii corespunzători din matricea admitanţelor nodale folosind rela ţiile: nou

Y ii

vechi nou vechi nou vechi = Y iivechi − yik − y ik 0 ; Y nou + y ik kk = Y kk − y ik − y ki 0 ; Y ik = Y ik + y ik şi Y ki = Y ki

Pentru a ilustra modul în care se efectueaz ă calculele, se consider ă că deconectarea circuitului avariat se produce la momentul t = 0.36s . În acest moment, valoarea vitezei unghiulare şi cea a unghiului rotoric sunt ω(0.36) = 0.337 , respectiv

481

Anexa A2

δ(0.36) = 2.0536rad . Continuarea procesului de integrare numeric ă, considerând pasul de integrare Δt = 0.001s , se efectuează astfel:

•

metoda trapezelor

(i) Se calculează puterea electromagnetică la momentul actual t = 0.36s folosind relaţia (A2.17). În acest sens, se utilizeaz ă matricea Y nnr ( PA) şi se ţine cont de faptul c ă U 4 = 1 , δ = 2.0536 rad , iar E = E ' = 1.1868 . Rezultă: Pe (t

2

= 0.36) = U 4 E ' (G54r ( PA) cos δ + B54r ( PA) sin δ) + G55r( PA) E ' = 3.5689

(ii) Folosind relaţiile (A2.13) se determin ă: ω(0.361) = 0.0334

δ(0.361) = 2.0642 rad (iii) Se stabileşte t = t + Δt şi se repetă calculul până la momentul t = t s = 2s . •

Metoda Runge-Kutta de ordinul 2

1. Se calculează puterea electromagnetică la fel în aceiaşi manier ă cu cea prezentată în cadrul metodei trapezelor. Rezult ă Pe (t = 0.36) = 3.5689 2. Fiind cunoscută puterea electromagnetică se calculează prima clasă de coeficienţi Runge-Kutta folosind rela ţiile (A2.15). Rezult ă: K ω,1 = −3.5237 ⋅10 −4 K δ,1 = 0.016

3. Se recalculează puterea electomagnetică P e înlocuind în relaţia (A2.17) pe δ cu δ + K δ,1 . Rezult ă P e = 3.5534 . 4. Cu noua valoare a puterii electromagnetice folosind rela ţiile (A2.15) se calculează a doua clasă de coeficienţi Runge-Kutta. Rezultă: K ω,2

= −3.5043 ⋅10−4

K δ,2

= 0.0105

5. Folosind relaţiile (A2.14) se determină noile valorile ale vitezei unghiulare şi unghiului rotoric: ω(0.361) = 0.0334

δ(0.361) = 2.0642 rad 6. Se stabileşte t = t + Δt şi se repetă calculul până la momentul t = t s = 2s . Curbele de variaţie ale unghiului rotoric, pentru diverse valori ale momentului de eliminare a defectului, obţinute folosind metoda trapezelor şi metoda Runge-Kutta de ordinul 2, implementate în MATLAB, sunt prezentate în figura A2.19.

482


a)

b)

Fig. A2.19. Curbele de varia ţie ale unghiului rotoric ob ţinute cu: a – metoda trapezelor; b – metoda Runge-Kutta de ordinul 2

A2.2.3. Studiul stabilităţii de tensiune Modelul matematic utilizat este constituit din ecua ţiile bilanţului de puteri în nodurile reţelei electrice grupate dup ă cum urmează (vezi capitolul 6, paragraful 6.6):

• Pi

ecua ţ iilei folosite pentru calculul regimului permanent 2

= GiiU i +

4

∑ U U [G i

k

ik

cos(θi − θ k ) + Bik sin(θ i − θ k )] i = 1,2,3

k =1 k ≠i

Qi

= − BiiU i2 +

(A2.18)

4

∑U U i

k

[Gik sin(θi − θ k ) − Bik cos(θ i − θ k )] i = 1,2

k =1 k ≠i

• Q g ,i

ecua ţ iile puterilor reactive injectate de generatoare în noduri 2

4

= − BiiU i +

∑U U i

k

[Gik sin(θi − θ k ) − Bik cos(θ i − θ k ) ] + Qc,i = 0 i = 3,4 (A2.19)

k =1 k ≠i

Liniarizând cele dou ă sisteme de ecuaţii în jurul punctului analizat, rezultă:

⎡ Δθ1 ⎤ ⎡ Δ P 1 ⎤ ⎡ Δθ1 ⎤ ⎢ Δθ ⎥ ⎢ Δ P ⎥ ⎢ Δθ ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ 2 ⎥ ΔQ g ,3 [ J ] ⎢ Δθ3 ⎥ = ⎢ ΔP 3 ⎥ (A2.20) respectiv ⎡⎣ J Qg ⎤⎦ ⎢ Δθ3 ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ΔQ g ,4 U Q U Δ Δ Δ ⎢ 1⎥ ⎢ 1⎥ ⎢ 1⎥ ⎢⎣ ΔU 2 ⎥⎦ ⎢⎣ ΔQ2 ⎥⎦ ⎢⎣ ΔU 2 ⎥⎦ în care [ J ] =

J Pθ

J PU

J Qθ

J QU

∂ P ∂P ∂Q g = ∂θ ∂U , iar ⎡⎣ J Qg ⎤⎦ = ∂Q ∂Q ∂θ ∂θ ∂U

(A2.21)

∂Qg sunt matricele ∂U

483

Anexa A2

jacobian ale căror elemente se obţin prin derivarea expresiilor din membrul drept al relaţiilor (A2.18), respectiv (A2.19) în raport cu argumentele şi modulele tensiunilor. Având în vedere matrice admitan ţelor nodale calculată în paragraful A2.2.1 şi regimul de funcţionare prezentat în tabelul A2.4, rezultă:

•

matricele jacobian

9.8682 −9.8682 0 −0.3529 −9.9156 48.3838 −10.3189 0.3313 0 0 −10.4178 29.8185 [ J ] = 0 8.8140 −1.0286 1.0286 −0.3478 −9.6037 2.5267 −9.4434

−1.0369 9.6749 −2.0983 −9.9478 48.7794

−0.1193 −0.0787 −0.2308 −0.2932 −0.2719 ⎡⎣ J Qg ⎤⎦ = −0.0634 0.0470 0.2477 −0.8082 −0.7503 •

matricea jacobian redusă −1

[ J R ] = ⎡⎣ J QU ⎤⎦ − ⎡⎣ J Qθ ⎤⎦ [ J Pθ ] [ J PU ] = •

8.7772 −10.0559 −9.4620 50.9774 T

matricea de sensibilitate a variabilelor de stare [ x ] = [θ1 , θ2 , θ 3 ,U 1 , U 2 ] la T

varia ţ ii ale variabilelor de intrare [ s ] = [ P1 , P2 , P3 ,Q1 , Q2 ]

0.1298 0.0265 −1 [ S xs ] = [ J ] = 0.0100 0.0236 0.0102

•

0.0282 0.0272 0.0100 0.0074 0.0065

0.0099 0.0020 −0.0020 0.0099 −0.0060 −0.0056 0.0370 −0.0002 −0.0002 0.0002 0.1447 0.0285 0.0001 0.0269 0.0249 T

matricea de sensibilitate a variabilelor de ie şire [ q ] = ⎡⎣Q g 3 , Qg 4 ⎤⎦ la varia ţ ii ale variabilelor de intrare

−0.1193 −0.0787 −0.2308 −0.2932 −0.2719 ⎡⎣ Sqs ⎤⎦ = ⎡⎣ J Qg ⎤⎦ [ J ]−1 = −0.0634 0.0470 0.2477 −0.8082 −0.7503 

Calculul indicatorilor locali

Aceşti indicatori se calculează pentru nodurile 1 şi 2 (nodurile a c ăror tensiune nu este controlată) folosind matricele de sensibilitate. Astfel, pentru a calcula indicatorii locali ai nodului 1 se consider ă o variaţie a consumului de putere reactiv ă în acest nod ΔQc1 = 1u.r , adică ΔQ1 = ΔQ g1 − ΔQc1 = −1u.r , iar Δ P1 = ΔP2 = ΔP3 = ΔQ2 = 0 . În T

aceste condiţii [ Δ s ] = [0,0,0, −1,0]

şi, ţinând cont că

[ Δ x ] = [ S xs ][ Δs ] , iar

[ Δq ] = ⎡⎣ Sqs ⎤⎦ [ Δs ] , rezultă ΔU1 = − S xs ( 4,4 ) = −0.1447u.r . , respectiv

484


ΔQ g1 = − S qs (1, 4) = 0.2932 şi ΔQ g1 = − S qs ( 2,4 ) = 0.8082 . Prin urmare, sensibilitatea tensiunii în nodul 1 la varia ţ ia puterii reactive consumat ă în acest nod este: ΔU1 [ kV ] U 20 kV SU1Q 1  = − S xs ( 4,4 ) n1 = −1447 = −0.02894 100 ΔQc1 [ MVAr ] Sb MVAr iar sensibilitatea puterii reactive generat ă la varia ţ ia a puterii reactive consumat ă: c

2

∑ ΔQ

g , k

SQ g Qc1



k =1

ΔQc1

= ΔQg ,1 + ΔQg ,2 = 0.2932 + 0.8082 = 1.1014

În mod similar se determină: SU 2Qc 2



ΔU 2 [ kV ] ΔQc 2 [ MVAr ]

= − S xs ( 5,5 )

U b 2 Sb

= −0.0249

110 kV = −0.02739 100 MVAr

2

∑ ΔQ

g , k

SQ g Qc 2



k =1

ΔQc 2

= 0.2719 + 0.7503 =1.0222 = ΔQg ,1 + ΔQg ,2 = −S qs (1,5) − S qs (2,5)

Analiza modală a matricei Jacobian redusă Aplicând descompunerea dup ă valorile proprii matricei [ J R ] , rezultă (vezi capitolul 6, relaţia 6.77): 

[ R ] =

−0.9780 0.2211 6.6316 -0.9753 −0.2212 şi [ L ] = [Λ] = −0.2087 −0.9752 53.1230 0.2087 −0.9781

Deci valorile proprii corespunzătoare celor două moduri de variaţie U-Q sunt λ1 = 6.6316 , respectiv λ 2 = 53.1230 şi, prin urmare, sistemul este stabil în tensiune. Factorii de participare ai nodurilor 1 şi 2 la modurile de variaţie U-Q: • modul 1 de varia ţ ie ( λ1 = 6.6316 ) − participarea nodului 1: P11 = R(1,1) ⋅ L(1,1) = (−0.978) ⋅ (−0.9753) = 0.9538 − participarea nodului 2: P21 = R(2,1) ⋅ L(1, 2) = (−0.2087) ⋅ (−0.2212) = 0.0462 • modul 2 de varia ţ ie ( λ 2 = 53.1230 ) − participarea nodului 1: P12 = R(1, 2) ⋅ L (2,1) = 0.2211⋅ 0.2087 = 0.0462 − participarea nodului 2: P22 = R(2, 2) ⋅ L(2, 2) = (−0.9752) ⋅ (−0.9751) = 0.9538 Se constată că în modul 1 de varia ţie U-Q nodul 1 are o participare dominant ă, în timp ce în modul 2 U-Q nodul 2 are o participare dominantă. Conform relaţiilor (6.82) şi (6,83) sensibilităţile tensiunii la variaţia puterii reactive consumate sunt: ⎛ P P ⎞ ⎛ 0.9538 0.0462 ⎞ + S U1Q1 = − ⎜ 11 + 21 ⎟ = − ⎜ ⎟ = −0.1447 ⎝ λ1 λ 2 ⎠ ⎝ 6.6316 53.123 ⎠

Anexa_A2 Studiul Stabilitatii Sistemului Test 1

Recommend Documents