Raúl Águila Fumey APROXIMACIÓN DISCRETA POR MINIMOS CUADRADOS Consideremos el problema de aproximar los valores de una función en puntos no tabulados, si se cuenta con los datos experimentales de la siguiente tabla. xi y i
1 1.3
2 3.5
3 4.2
4 5.0
5 7.0
6 8.8
7 10.1
8 12.5
9 13.0
10 15.6
Es claro que el polinomio de interpolación, que exige que en el punto xi tome el valor y i resulta ser un muy mal predictor de la información en puntos no tabulados.
De acuerdo a los puntos (graficados) lo mejor seria hallar la mejor recta de aproximación, esta no necesariamente deberá coincidir con los puntos de la tabla. El problema general de ajustar la mejor recta y = ax + b que ajusten los datos {( xi , yi )}im=1 , implica hallar los valores de a, b que minimicen la función S (a, b) =
m
∑1 ( y
i
− ( axi + b))
2
i=
Sabemos que la condición necesaria de valor extremo es que −2
m
∑1 ( y
i
∂S ∂a
=
0 y
∂S ∂b
=
0 , esto es,
− ( axi − b)) xi =0
i=
−2
m
∑1 ( y
i
− ( axi − b)) =
0
i=
Equivalentemente m 2 m m a ∑ xi + b ∑ xi = ∑ xi y i i =1 i =1 i =1 m m a ∑ xi + bm = ∑ y i i =1 i =1
Matricialmente m 2 ∑ xi i =m1 x i ∑ i =1
m xi xi y i ∑ ∑ a i =1 = i =1m b m y i ∑ i =1 m
Completando la tabla anterior se tiene x i y i
1 1.3
2 3.5
3 4.2
4 5.0
5 7.0
6 8.8
7 10.1
8 12.5
9 13.0
10 15.6
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
1.3
7
12.6
20.0 35.0 52.8 70.7
2
xi
x i y i
100.0 117.0 156.0
el sistema resultante para determinar las constantes es a = 1.538 385 55 a 572.4 , donde = 55 10 b 81.0 b = −0.360
la recta de ajuste es y = 1.538 x − 0.360 .
La grafica corresponde a la recta regresión de los datos de la tabla (la que ajusta los datos)
Algunas veces conviene suponer que los datos tienen una relación exponencial. Para ello, la función de aproximación debe tener la forma y = be
ax
o bien la forma y = bx
a
En ambos casos lo indicado es aplicar la función ln (logaritmo natural) a ambos lados, así para el primer caso se tiene ln y = ax + ln b , hacemos la recta de ajuste: yˆ = ln y ; xˆ = x ; aˆ = a ; bˆ = ln b, así la recta que ajusta es de la forma yˆ = aˆ xˆ + bˆ , se hacen las “linealizaciones” correspondientes en la tabla y se aplica la forma matricial del sistema.
Para le segundo caso Se tiene la recta de ajuste yˆ = aˆ xˆ + bˆ , donde yˆ = ln y ; xˆ = ln x ; aˆ = a ; bˆ = ln b , se efectúan las “linealizaciones” correspondientes en la tabla y se aplica la forma matricial para determinar el valor de las constantes. EJERCICIOS 1.-Suponga que h(t ) designa los metros de altura alcanzada en t segundos por un objeto que se lanza verticalmente. De la Ley de Newton se sabe que h' ' (t ) = a~ , a~ constante. Integrando dos veces se tiene que h(t ) = at 2 + bt + c . Si se cuenta con la siguiente tabla para diferentes t :
t h i) ii)
1.5 16
2.0 16.9
2.5 15.8
3.3 9.6
Obtenga la matriz del sistema normal para calcular las constantes a, b, c utilizando el método de los mínimos cuadrados. Suponga que c = 1 y obtenga las otras constantes usando el sistema normal. Obtenga la altura de z en t = 3
2.-Considere la siguiente muestra de un experimento: x i y i
0.6 0.2905
a) Para el modelo
1.0 0.387
f ( x) =
1.6 0.3811
x
2.0 0.902
, determine las constantes a y b utilizando mínimos
ax + b
cuadrados. b) Calcule el error cuadrático medio para a) definido por: 1
N
( y ∑ N 1
E 2 =
i
− f ( xi ))
i=
2
1 2
3.-Un modelo para calcular la tasa y saturación de crecimiento de una población es: y =
ax b + x
en que a y b son constantes, x es la población, medidas en unidades apropiadas.
Este modelo da buenos resultados bajo ciertas condiciones. i) Estimar los valores de las constantes a y b utilizando el método de los mínimos. cuadrados y la tabla de mediciones de tasas para ciertas poblaciones. x i y i
1 1.543
2 1.635
3 1.703
4 1.982
5 2.013
ii) Verifique, al aproximación para x = 2 , y prediga el valor para x = 3.5 4.- Para la tabla: xk yk
0.5 3.6392
1.0 4.4146
2.0 3.2480
2.5 2.4625
3.0 1.7923
i) Usando el método de mínimos cuadrados hallar una curva del tipo:
y = bxe−ax ii) Aproxime y (1.5) .
iii) Usando el error:
E = max
yi − y( xi ) : i = 1,2,3,4,5 determine el error en el ajuste.
5.- Se tiene una muestra de un cierto proceso que se comporta de la forma: 1.2 y = , donde a y b son constantes a determinar. b 1 a + 2.3 + 1.3 x
La muestra se da en la tabla siguiente: x y i) ii)
1.4 0.433
2.1 0.445
2.8 0.443
3.5 0.457
4.2 0.459
Use el método de mínimos cuadrados para determinar las constantes y verifique el valor aproximado en x = 2.8 . Obtenga el valor de la aproximación en x = 3.9 .
6.- Determine una curva del tipo
y = ae
0.1 1.44
0.2 1.59
xi y i
bx
+ 0.258
0.3 1.8
que ajuste los datos de la tabla: 0.4 1.97
Además verifique el valor de la aproximación para
0.5 2.19
x = 0.2
0.6 2.46
y prediga el valor para
x = 0.35
7.- Suponga dos sustancias radioactivas. La primera con coeficiente de decaimiento 0.2 y la otra 0.7. En el instante t = 0 hay α [gr ] , β [gr ] respectivamente. Un modelo para la cantidad total w = w(t ) presente en el instante t del tiempo es: w = α e −0.2 + β e −0.7 t
a)
t
Deduzca un modelo lineal para determinar las constantes α , β mediante el método de los mínimos cuadrados haciendo uso de la tabla siguiente. Se sugiere t multiplicar w por e 0.2 .
t i wi
b) verifique el valor para
1.0 1.21919
1.2 1.08013
1.5 0.903396
t = 1.2 y prediga el valor para t = 1.3
Raúl Águila Fumey
