APUNTES DE HIDRAULICA GENERAL Y APLICADA. UNIDAD TEMÁTICA 1.
Concepto de Hidráulica: Es la especialidad de la Ingeniería Civil que trata de la aplicación de la Mecánica de Fluidos, a la solución de problemas de su incumbencia. Mecánica de Fluidos: Estudio teórico del equilibrio y el movimiento de los fluidos.
Clasificación de la Hidráulica: HIDROSTATICA (Líquido en reposo.) HIDROCINEMATICA (Líquido en GENERAL
HIDRÁULICA
APLICADA
movimiento. Describe el movimiento sin tener en cuenta las causas que lo producen.) HIDRODINÁMICA (Líquido en movimiento. Describe el movimiento tener en cuenta las causas que lo producen.)
HIDROLOGIA MAQUINAS HIDRÁULICAS. H. AGRÍCOLA H. SANITARIA H. FLUVIAL Y MARÍTIMA H. SANITARIA, etc
Estados de la Materia: En la naturaleza, la materia se encuentra en uno de los estados o formas siguientes:
SÓLIDO ESTADOS DE LA MATERIA
FLUIDO
LIQUIDO GASEOSO
En toda materia, las moléculas que la conforman, se encuentran permanentemente animadas de movimiento. En la materia sólida, estos movimientos son oscilaciones alrededor de puntos fijos, conservando una forma que le es propia. En los fluidos, las moléculas se mueven en forma desordenada, cambiando su posición relativa, trasladándose en el seno de la masa (movimiento Browniano). La materia en estado fluido carece de forma propia, adoptando la del recipiente que lo contiene. Otra diferencia entre los estados sólido y fluido, es que el primero, presenta una tenaz tendencia a mantener su forma, siendo necesaria la aplicación de un esfuerzo intenso para modificarla. Al cesar el esfuerzo, el sólido recupera casi en su totalidad la forma original. Por el contrario, un fluido cambia de forma bajo esfuerzos débiles, sin desintegración de su masa, careciendo casi por completo de la tendencia a recuperar su forma primitiva al cesar el esfuerzo. Los fluidos presentan grandes diferencias de comportamiento entre los estados liquido y gaseoso. Los líquidos oponen enorme resistencia al cambio de volumen de su masa, al punto que pueden considerárselos incompresibles aun bajo presiones elevadas. Los gases por el contrario, son fácilmente comprimidos, pudiendo reducirse con poco esfuerzo a una fracción de su volumen original.
Otro aspecto que los distingue, es que los líquidos presentan una superficie que limita con la atmósfera terrestre, la que se designa “ superficie libre”. Los gases tienden a expandirse, ocupando la totalidad del recipiente que los contiene, careciendo de superficie libre. Fluido perfecto: Es un fluido ficticio caracterizado por la absoluta ausencia de resistencia a la deformación. Como en los fluidos reales esta resistencia está dada por su viscosidad, el fluido perfecto carece totalmente de ella.
Líquido perfecto: Es el fluido perfecto, absolutamente incompresible. Gas perfecto: Es el fluido perfecto que al comprimirlo, cumple con la ley de Boyle y
Mariotte ( p*V = cte.). La creación de una entidad ficticia como el líquido perfecto, surge como necesaria para simplificar la solución de casos prácticos, frente a la enorme cantidad de variables en juego. Los resultados logrados con las expresiones obtenidas a partir de la hipótesis del fluido perfecto, no resultan ser exactos; por lo que son ajustados mediante coeficientes correctores experimentales. Esta metodología ha sido común en la solución de numerosos problemas hidráulicos. Concepto de Partícula: Es la mínima porción de masa fluida que : a) Cumple con las leyes generales del movimiento de la masa total. b) Posee las características y propiedades de la sustancia a la que pertenece. c) Su volumen es despreciable frente al total, pudiendo admitírsela como un punto material, carente de dimensión. El número de moléculas que componen a la partícula, será el estricto necesario para conferirle las características de la masa líquida a que pertenece y representa. Este elemento ficticio permite aplicar el cálculo infinitesimal a la solución de problemas de la Hidráulica. Concepto de Medio Continuo: Sustancia tal que sus partículas componentes se encuentran en permanente contacto sin chocarse, en cuyo interior no existen ni se generan espacios vacíos ni ocupados por otra sustancia. Este concepto asegura que las funciones deducidas a partir de la Mecánica de Fluidos, resulten ser continuas.
UNIDAD TEMÁTICA 2.
Concepto de Presión: En general, presión se define como la intensidad de una fuerza (∆E) distribuida sobre una superficie, dividida por el área de ésta (∆S):
p=
∆E ∆S
La presión hidrostática en un punto (p), es la ejercida por un fluido en reposo actuando sobre una superficie infinitesimal genérica (dS):
∆ E dE = ∆ S→ 0 ∆ S dS
p = lim
Donde: dE es el empuje hidrostático elemental. El Empuje hidrostático total sobre un área S será:
E=
∫ dE = ∫ p.dS S
En particular, si p = cte. Resulta:
S
E = p. S
Propiedades de la presión hidrostática en un punto: 1°) Todo liquido en reposo, sometido a la única acción de la gravedad terrestre, ejerce una presión contra una superficie, que resulta ser perpendicular a la misma en cada punto. Esta propiedad es fácilmente demostrada por el absurdo: Supóngase que la presión no fuese normal a la superficie sobre la que actúa. Entonces podría ser descompuesta en componentes normal y tangencial a la superficie. La componente normal, es anulada por la reacción de la propia superficie. La componente tangencial a no encontrarse compensada, tendería a provocar desplazamiento del líquido en inmediato contacto con la superficie, lo que contraría la hipótesis de reposo formulada al comienzo. Por ello la componente tangencial debe ser nula, o lo que es igual, la presión será normal a la superficie. 2°) La magnitud de la presión hidrostática en un punto de un liquido en reposo, es la misma para todas las direcciones posibles; esto es, resulta independiente de la orientación del elemento que contenga a dicho punto. 3°) Principio de Blas Pascal.- Toda presión ejercida en un punto de un líquido, se transmite íntegramente en todo sentido con la misma intensidad. 4°) Principio Fundamental de la Hidrostática.- En todo liquido en reposo, la diferencia de presión entre dos puntos separados por una diferencia de profundidad ∆h, es igual al producto del peso específico del líquido (γ), por dicha diferencia de profundidad:
p2 − p1 = γ . ∆ h ( I )
Si el punto (1) estuviese situado a la misma profundidad que el (2), sería: ∆h =0 ; p2 = p1 Ello significa que todos los puntos situados sobre un plano paralelo al nivel libre (horizontal), poseen la misma presión hidrostática.(Superficie de Nivel o Superficie de igual Presión). Si el punto (1) se situara en la Superficie Libre, la presión hidrostática en él, sería: p1 =0, resultando de la ecuación (I) que en p = γ . h general: Es decir que la presión hidrostática en un punto de una masa líquida en reposo, es igual al producto del peso específico del líquido por la profundidad del punto respecto a la superficie libre.
La Presión Atmosférica. Es la presión que la atmósfera ejerce sobre cada punto de la superficie terrestre. Su valor o magnitud depende del espesor y del peso específico de la atmósfera. Varía con la temperatura ambiente y la altitud, pues a mayor altura desde la superficie terrestre, disminuyen el espesor y el peso específico de la atmósfera, con lo que se reduce también la presión atmosférica. La media normal a 0°C y a nivel del mar, es de: p0=1,033 kg/cm2. En la práctica resulta corriente adoptar: p0 =1,00 kg/cm2
Presión Relativa y Presión Absoluta. Al actuar la presión atmosférica sobre la superficie libre de un líquido en reposo, su intensidad se transmite íntegramente en todas direcciones (Principio de Pascal). Si en la Figura 2-1, suponemos que el punto (1) se encuentra sobre la superficie libre y sobre ésta actúa ahora la presión atmosférica, la ecuación (I) resulta:
p2 − p0 = γ . ∆ h ( I )
resultando ser en general:
p = p0 + γ . h ( II ) Esta magnitud de la presión que incluye a p0 se denomina presión absoluta. El valor de la presión hidrostática obtenido precedentemente:
p = γ . h ( III )
Se denomina también presión relativa, por representar solo el efecto del líquido, sin considerar la presión atmosférica. La necesidad de contar con dos formas de cuantificar la presión, se debe a que en determinados casos, la presión atmosférica actúa sobre la totalidad del elemento en
estudio, anulándose su efecto. En tales casos es suficiente trabajar con presiones relativas (ej. compuertas, depósitos abiertos, etc.) En otros casos la presión atmosférica no se autocompensa por actuar parcialmente sobre el elemento. En tales casos es necesario trabajar con presiones absolutas (ej. tuberías a presión, depósitos cerrados, y presurizados, etc.)
Altura representativa de la presión hidrostática. Si de la expresión (III) se despeja:
h=
p γ
El valor obtenido, se denomina altura representativa de la presión hidrostática o mas simplemente altura de presión. Expresa la altura que debe tener la columna de un líquido de peso específico γ, para producir en su base una presión p.
Representación gráfica de presiones. A partir de las expresiones (II) y (III), puede representarse la distribución de presiones con la profundidad p = f(h). La Figura 2-2 muestra tales gráficas:
Figura 2-2
1. La pendiente de la gráfica es:
tgα =
γ .h = γ h
Esto indica que la pendiente resulta ser proporcional al peso específico relativo del líquido. En el caso de colocarse en un recipiente abierto, tres líquidos no miscibles de diferentes pesos específicos, estos se ordenan con γ creciente con la profundidad. El gráfico de presiones relativas es mostrado en la Figura 2-3.
Figura 2-3
Los valores de las presiones en las profundidades en que cambia el líquido, son las siguientes:
p1 = h1. γ 1 p2 = h1. γ 1 + (h2 − h1 ). γ 2 p3 = h1. γ 1 + (h2 − h1 ). γ 2 + (h3 − h2 ). γ
3
(γ 1 < γ 2 < γ 3) Unidades para medir presiones: Las presiones tanto absolutas como relativas se expresan en diferentes unidades según cual sea el sistema adoptado. 1) Sistema Técnico: ( metro, kilogramo fuerza, segundo) Unidad de presión: (kg/cm2) o equivalente de múltiplos y submúltiplos. 2) Sistema CGS. Unidad de presión: 1 Baria = 1 Dina/cm2 = 1,019716 x 10-6 kg/cm2 3) Sistema Inglés: 1 Libra/ pulg2 = 144 Libra/ pié2 = 0,07031 kg/cm2 4) Sistema Internacional: 1 Pascal = 1 Newton / m2 = 1,02 x 10-5 kg/cm2 5) Atmósfera física: 1 Atm. Física = 1,03323 kg/cm2 Elementos para medir presiones. Piezómetros y manómetros. (Ver Facorro Ruiz, pág 35 y sigtes.) Manómetro de Bourdón (Ver Stevenazzi pág. 54) Barómetros (Presión atmosférica). Plano de Carga Hidrostático absoluto (Ver Facorro Ruiz, Pág. 9). Partiendo de la expresión general de la presión absoluta:
p = p0 + γ . h
Figura 2-4
en la que h, mide la profundidad del punto respecto a la superficie libre. Si adoptamos libremente un plano de referencia situado a una distancia H de la superficie, podemos referir la posición de cualquier punto a esta nueva referencia. Resulta entonces:
h= H− z Sustituyendo este valor en la expresión anterior se obtiene:
p = p0 + γ ( H − z)
Si particularizamos esta expresión para un punto cualquiera (1) será:
p1 = p0 + γ ( H − z1 )
Poniendo de otra forma se tiene:
p1 p0 = + H − z1 γ γ De donde:
z1 +
p1 p0 = + H γ γ
Análogamente, para otro punto cualquiera (2) será:
z2 +
p2 p0 = + H γ γ
Comparando las expresiones anteriores resulta:
z1 +
p1 p p = z2 + 2 = ... = cte. = 0 + H γ γ γ
A la coordenada de un punto referida al plano de comparación se denomina: Altura geométrica ¨z¨. Entonces, para todo líquido en reposo, la suma de la altura geométrica ¨z¨ más la altura representativa de la presión absoluta (p/γ) en cualquier punto es constante. Dicha suma define la posición de un plano horizontal que se denomina Plano de Carga Hidrostático Absoluto.
Empuje sobre superficies planas sumergidas. Caso general. El caso general trata de una superficie plana de forma cualquiera, totalmente sumergida, que forma un ángulo α respecto a la superficie libre del líquido. 1) La Magnitud del Empuje E que ejerce un liquido de peso específico ¨γ¨ sobre una superficie plana sumergida de área S, prescindiendo de la acción exterior, es igual al producto de dicha área, por la presión hidrostática actuante en el baricentro de la superficie(pg).(Ver demostración en Facorro Ruiz, pág. 18). Esto es:
E = γ . hg . S = pg . S siendo:
γ: Peso especifico del líquido en que está sumergida totalmente la superficie. hg: Profundidad del baricentro de la superficie respecto al nivel libre.
2) La dirección de Empuje (E) es perpendicular al plano de la superficie sumergida. 3) El punto de aplicación del empuje E en la superficie, denominado centro de presión (C), tiene las siguientes coordenadas (Ver Figura 2-4)
xc =
I xy e.S
yc = e +
Ig e.S
donde:
Ig: Momento de Inercia de la Superficie S respecto al eje baricéntrico g-g ( ∫
y 2 . dF
).
). Ixy : Momento centrífugo respecto a los ejes x e y ( ∫ Cuando la superficie plana es simétrica, el centro de presión y el baricentro se sitúan en el eje de simetría, con lo que la abscisa xc = 0. x. y. dF
Figura 2-5
Empuje sobre superficies rectangulares. El cálculo del empuje hidrostático sobre superficies planas de forma rectangular, caso frecuente en la práctica, puede ser realizado de modo sencillo, sin necesidad de apelar a las expresiones del caso general visto antes. Considerase el caso más general de una superficie inclinada, sumergida a cierta profundidad (Figura 2-5).
Figura 2-6
Puede demostrarse que:
1) el empuje elemental sobre la superficie B . dl es:
dE = γ ⋅ h ⋅ B ⋅ dl Se observa que este empuje elemental representa el área sombreada del diagrama de presiones (γ. h . dl) multiplicada por el ancho B. El Empuje total sería:
E=
∫ dE = ∫ γ ⋅ h ⋅ B ⋅ dl
Valor que representa el área del diagrama de presiones, multiplicada por B. Entonces:
E = área diagrama de presiones x B Por tanto, la intensidad del empuje E, resulta ser igual al volumen del diagrama de presiones abarcado por la superficie, esto es:
E=
1 ⋅ ( p2 + p1 ) ⋅ L ⋅ B 2
2) La recta de acción del empuje E, pasa por el baricentro (G) del trapecio de presiones cuyas bases son p1 y p2 y su altura L, y es perpendicular a la superficie. La posición del baricentro de un trapecio, puede ser establecida analítica o gráficamente como se indica a continuación.
Figura 2-7
El método gráfico consiste en: 1°) Se adicionan: la base menor a continuación de la base mayor en el extremo izquierdo, y la base mayor a continuación de la menor en el derecho. Se traza la diagonal que une los puntos extremos así obtenidos. 2°) Se traza la línea que une los puntos medios de las bases del trapecio. 3°) La intersección de las líneas obtenidas según los pasos anteriores, es el baricentro G del trapecio. Analíticamente:
1 2 p2 + p1 L⋅ 3 p2 + p1 1 2 p1 + p2 L2 = L ⋅ 3 p2 + p1 L1 =
Empuje sobre superficies curvas sumergidas. Caso general Se considera primero el empuje sobre superficies curvas de generatrices horizontales, con lo que la determinación se torna un problema de dos dimensiones. Supongamos que AB es la directriz de una superficie cuya profundidad b (perpendicular al dibujo) sea b = 1,0 m. (figura 2-7) Podemos sustituir a la curva AB por un conjunto de planos horizontales y verticales, los cuales, en el límite, los cuales al aumentar indefinidamente el número de ellos, se identifican con la curva. Sobre un elemento de área dSv actúa un empuje elemental horizontal:
dEh = γ ⋅ h ⋅ dSv
Sumando todos estos empujes horizontales el total será igual al empuje horizontal que se ejerce sobre el plano vertical A’ B. Sobre un elemento plano horizontal (MN) el líquido ejerce un empuje vertical elemental cuya magnitud es igual al peso del prisma de líquido: MNN’M’, o sea:
dE v = γ ⋅ Superficie MNN ′M ′ ( por metro de ancho)
Figura 2-8
Sumando todos los empujes verticales elementales se obtendrá como total, el peso del líquido contenido entre las verticales por los extremos de la curva, la superficie libre y la poligonal en que se descompuso la curva. La componente vertical del empuje (Ev) pasará por el baricentro de la superficie ABCD.
El empuje vertical será la superficie ABCD (figura cerrada) multiplicada por el peso específico.
Ev = γ ⋅ Superficie ABCD (aplicada en el Baricentro y para b = 1m) →
→
→
E = E h+ Ev E=
Eh2 + Ev2
Se deduce que pasando al límite, llevando el número de planos a infinito, la poligonal coincide con la curva AB y el problema de determinar el empuje sobre una superficie curva se resuelve mediante una composición de las componentes horizontal y vertical. Resumiendo.- La componente vertical del empuje sobre una superficie curva es igual al peso del líquido que descansa sobre la superficie y está aplicada en el centro de gravedad de dicha figura. La componente horizontal es igual al empuje sobre la superficie plana que se obtiene proyectando la superficie curva sobre un plano vertical, paralelo a la dirección de la generatriz. Ejemplos:
Figura 2-9
Empuje sobre compuertas de sector circular. Nomenclatura ( Ver figuras siguientes ). b: Ancho de la compuerta. D, U: Dintel y umbral de la compuerta. R: Radio del sector circular. C: Centro de rotación de la compuerta. hc: Distancia máxima entre superficie libre y C; siendo positiva si C está debajo de la superficie libre y negativa en caso contrario. hd, hu: Distancias desde la superficie libre al dintel y al umbral respectivamente. Eh, Ev: Componentes horizontal y vertical del empuje E sobre la compuerta. La componente vertical ascendente, tiene signo negativo (-). Mientras que la componente vertical descendente tiene signo positivo (+ ). La componente horizontal es siempre positiva. α0: Angulo con vértice en C, entre la horizontal y el dintel, en (°) sexagesimal. α1: Angulo con vértice en C, entre la horizontal y el umbral, en (°) sexagesimal. α, αd, αu : Ángulos variables medidos desde la horizontal de C. γ : Peso especifico del agua ( 1,0 ton/m3).
1er Caso: Centro de rotación(C) por encima del dintel de la compuerta.
Se considera una zona de compuerta DN, siendo N un punto genérico variable con α. La distancia hc deberá introducirse en las expresiones siguientes con el signo que corresponda, según la convención hecha arriba (positiva si C está debajo de la superficie libre y negativa en caso contrario).:
(
1 2π α 0 − α − E v = γ . b. R R 180o 4
0 0
) + sen2α
0
− sen2α + hc ( cos α 0 − cos α )
Ésta componente vertical del Empuje hidrostático, es siempre negativa por estar dirigida hacia arriba.
Las notaciones α 0 y α 00 significan que los Angulos deben estar expresados en grados sexagesimales.
1 E h = γ . b. R R( cos 2α 0 − cos 2α ) + hc ( senα − senα 4
E=
0
)
E h2 + E v2 Las componentes Eh y Ev corresponden al arco DN, es decir que haciendo variar α se abarca a toda la compuerta. La resultante E para cualquier arco considerado, resulta normal, o sea pasa por C.
Figura 2-11
2° Caso: El centro de rotación C se encuentra entre el dintel y el umbral.
Figura 2-12
Este caso se resuelve en dos partes: la primera calcula las componentes vertical y horizontal del empuje, de la porción DM (sector: α0 - αd ). La segunda parte, consiste en calcular las componentes del empuje desde el dintel D y para puntos por debajo de M (sector: α0 + αu ).
Primera parte:
E v = γ . b. R hc ( cos α d − cos α 0 ) − E h = γ . b. R hc ( senα 0 − senα d ) −
(
0 1 2 π α 0 − α R 4 180o
1 R( cos 2α 4
d
0 d
) + sen2α
− cos 2α
0
d
− sen2α 0
)
Segunda parte:
− E v = γ . b. R hc ( cos α 0 − cos α E h = γ . b. R hc ( senα 0 + senα
u
)
u) +
(
0 1 2 π α 0 + α + R 4 180o
0 u
) − sen2α
1 R( cos 2α 0 − cos 2α 4
u
0
− sen2α u
)
El signo menos (–) significa que la componente vertical tiene sentido ascendente:
E=
E h2 + E v2
3er Caso: El centro de rotación C se encuentra debajo del dintel y el umbral.:
Figura 2-13
La solución del presente caso, es idéntica a la primera parte del caso 2, a la que se remite.
División en fajas de igual empuje hidrostático. Cuando se debe diseñar una compuerta metálica de forma cualquiera o las paredes de un depósito de hormigón armado, surge la necesidad de dividir a las misma en zonas de igual empuje, al efecto de lograr que los refuerzos horizontales a disponer se encuentren igualmente solicitados. Esto conlleva al empleo de un solo tipo de perfiles o la misma cantidad de armadura en cada faja; logrando de este modo, mejor aprovechamiento de los materiales y menor stock de secciones. Lógicamente, como la presión hidrostática se incrementa linealmente con la profundidad, la premisa de igual empuje, obliga a disponer los refuerzos con separaciones decrecientes y anchos de fajas menores a medida que se aproxime al fondo. La cantidad de zonas de igual empuje, dependen fundamentalmente de razones económicas. El problema hidráulico consiste en determinar estas zonas de igual empuje; siendo tema de otra asignatura (Resistencia de Materiales u Hormigón Armado), establecer las escuadrías de los perfiles laminados y calibres de chapas en compuertas metálicas o las secciones del hormigón y la armadura necesarias en las paredes de hormigón armado. La determinación de fajas de igual empuje se tratará en tres partes a saber: A)División de superficie plana rectangular en zonas de igual empuje. Método Analítico Consideramos la siguiente compuerta:
Figura 2-14
Figura 2-15
El Empuje Total se calcula con las siguientes expresiones:
1 h 2 − h02 E = . γ .b. ( Empuje Total ) 2 senα 1 E = . γ .b. senα .(l 2 − l02 ) ( Empuje Total ) 2 El Empuje Parcial se lo obtiene de la siguiente forma:
E1 =
E ( Empuje Parcial ) n
Donde n es el número de partes iguales en las que queremos dividir el elemento. Tomamos una i-ésima zona del trapecio de presiones, el cual se encuentra entre li-1 y li. Dichas longitudes se calculan con las siguientes expresiones:
li =
(
)
i 2 2 l − l0 + l02 n
i 2 1 li = h − h02 + h02 ⋅ n senα
(
)
La posición en donde actúa el Empuje Parcial resulta de la expresión que sigue:
yi = li − 1 +
li − li − 1 2hi + hi − 1 ⋅ 3 hi + hi − 1
Método Gráfico (se dibuja en escala) Con el segmento A’’C’’ como diámetro, se realizan los siguientes procedimientos: a)Por el centro O del segmento A’’C’’ se traza una semicircunferencia.:
(a)
b)Con centro en A’’ y radio A’’B’’ se traza otro arco de circunferencia hasta cortar en B’ a la semicircunferencia dibujada anteriormente.:
(b) y (c)
c)Se proyecta el punto B’ sobre el segmento A’’C’’. d)Se divide el segmento C’’B en tantas partes iguales como zona zonas de igual empuje se quieren determinar. e)Se proyectan los puntos B, D y E sobra la semicircunferencia.
(d) y (e)
f)Con centro en A’’ y radio A’’ E’, se traza un arco hasta cortar a la traza del elemento plano. De manera análoga se procede el radio A’’D’, A’’B’. g)Los sectores de igual empuje resultan ser las zonas B’’D’’, D’’E’’ y E’’C’’.
(f) y (g)
El empuje parcial de una determinada zona está aplicado en el Baricentro del trapecio de dicha zona.
Método de Parábola de Empuje Para la compuerta considerada en los métodos anteriores, se procede de la siguiente forma: a)Se traza la parábola de Empuje. b)Se divide el empuje total en partes iguales. c)Se proyectan sobre la curva los puntos medios de las partes de igual empuje, y luego sobre la compuerta.
(f) y (g)
Los puntos medios de cada parte, que luego de ser proyectados sobre la curva se proyectan sobre la compuerta, determinan las zonas de igual empuje. B)División de compuertas de sector circular en zonas de igual empuje.
Se comienza con en trazado del diagrama de empujes, en coordenadas polares. Para ello es necesario cubrir los siguientes puntos: B.1) Se dibuja la compuerta de sector en escala conveniente. B.2) Se calculan los valores Eh, Ev según el caso que se trate, determinándose a partir de ellos el valor del empuje E, todo ello para valores variables de α en cantidad suficiente de puntos como para representar fielmente el diagrama. Téngase presente que en el dintel (D), el empuje es nulo. Los valores calculados se representan en coordenadas polares, a partir de la superficie de la compuerta.
B.3) Se traza una curva continua uniendo los puntos radiales que representan los empujes desde el dintel D hasta el punto considerado (segmentos: NN’, QQ’, UU’, etc), llevados en escala conveniente. Si por un punto del diagrama de empujes N´ se traza un arco concéntrico, este corta al segmento QQ’ en el punto Q”. El segmento Q’’Q’ representa en la escala elegida, el empuje que se produce entre los puntos N y Q de la compuerta. El segmento UU´ representa el empuje total que se produce desde el dintel D hasta el umbral U de la compuerta. B.4) Se divide el segmento UU’ en tantas partes iguales como zonas de igual empuje se quiere establecer. B.5) Por cada punto de división del segmento UU´ se trazan arcos de circunferencia concéntricos hasta cortar a la curva de empuje. Se trazan las rectas que unan estas intersecciones con el centro de rotación C. Las intersecciones de estas rectas con la traza de la compuerta, dan los puntos extremos de las zonas de igual presión. B.6) Para obtener la posición de los refuerzos en una compuerta metálica, se sigue el procedimiento descrito en B.5, pero partiendo del punto medio de cada parte en que fuera dividido el segmento UU´. C) División de compuertas en zonas de igual empuje. Caso general. El método general que se verá, conocido como Método de Kulka en honor a su descubridor, permite determinar “n” zonas de igual empuje hidrostático así como la posición de refuerzos, para los casos de superficies curvas con generatrices horizontales. De este modo, un problema espacial puede ser tratado en dos dimensiones, al adoptarse una longitud unitaria. El desarrollo del método se llevará a cabo mediante el siguiente ejemplo: 1er Paso: Se dibuja en un sistema x, h, la directriz AB de la compuerta en escala adecuada, siendo x la traza de la superficie libre y h la profundidad. Se descompone esta directriz en una poligonal A, 1, 2, B, cuya sucesión de “m” segmentos la represente lo más fielmente posible( en el ejemplo, m = 3 para mayor claridad, puntos 1 y 2).
2° Paso: En el sistema de ejes Eh, h; se dibuja la Parábola Auxiliar que representa la magnitud de la componente horizontal del empuje, para h ≥ h0 cuya ecuación es:
1 E2 = ⋅ γ ⋅ h2 − h02 2
(
)
siendo: γ: Peso especifico del líquido h: Profundidad de un punto genérico. h0: Profundidad del punto más elevado de la generatriz. 3er Paso: Por los vértices de la poligonal (A, 1, 2, B), se trazan horizontales hasta cortar la parábola auxiliar dibujada según 2° paso en puntos A’, 1’, 2’ y B’. Por estas intersecciones se levantan verticales hasta el cuadrante superior de coordenadas EV , Eh. 4° Paso: Se determinan las perpendiculares a cada segmento de la poligonal (n1, n2, y n3). Se traslada la primera perpendicular al cuadrante x, U, interceptándola con las verticales provenientes de los extremos la primera línea poligonal, trazadas según 3er paso. El segmento de perpendicular así determinado, representa en magnitud dirección y sentido, al empuje hidrostático actuante en el primer segmento de poligonal A-1. A partir del extremo derecho del primer segmento de perpendicular 2’’, se lleva la perpendicular al segundo segmento de poligonal, obteniéndose con la vertical proveniente del siguiente vértice de éste, el segundo segmento de perpendicular 1’’-2’’, el que representa en magnitud dirección y sentido, al empuje actuante en el segundo segmento de poligonal 1,2. De la misma forma se determinan los restantes segmentos de perpendicular, conformándose un Polígono de Empujes Parciales. El empuje total sobre la superficie, en dirección sentido e intensidad, será el vector que una los puntos extremos de éste polígono de empujes parciales (B’’-A’’). 5° Paso: Se divide el polígono de empujes parciales en “n” partes iguales, usando compás con abertura constante, requiriéndose varios tanteos con diferente abertura, hasta lograrlo. 6° Paso: Por cada punto de división del polígono de empujes determinados como se indica en 5° paso, se bajan verticales hasta cortar a la parábola auxiliar. Desde estas intersecciones, se llevan horizontales hasta cortar a la directriz de la figura, en los puntos que la dividen en zonas de igual empuje. Para situar los puntos donde emplazar los refuerzos, se determinan los puntos medios de cada una de las “n” partes en que quedó dividido el polígono de empujes, por los que se bajan verticales hasta cortar a la
parábola auxiliar. Desde estas intersecciones, se llevan horizontales hasta cortar a la directriz de la figura en los puntos en que se deberán colocar los refuerzos horizontales.
UNIDAD TEMÁTICA 3 Cinemática de los fluidos Cinemática es la parte de la Hidráulica que estudia el movimiento de los fluidos desde un punto de vista descriptivo, sin considerar las causas que lo originan, mantienen y modifican. Existen dos métodos para establecer el estado de movimiento de un fluido en cada instante de tiempo, conocidos por los nombres de sus autores, a saber: Métodos de Lagrange y de Euler. El propósito de ambos métodos es estudiar de la mejor forma posible, la relación entre la posición de una partícula y el tiempo. Partícula: porción mínima de masa de un fluido, que cumple las leyes generales del movimiento, posee todas las propiedades del fluido y su volumen es despreciable respecto al total. El número de moléculas que componen una partícula, será el estrictamente necesario para conferirle las características de la masa líquida a que pertenece. Se admite que las partículas no tienen dimensión. El concepto de partícula, permite aplicar el cálculo infinitesimal para resolver problemas hidráulicos. Medio Continuo: es un medio en el cual las partículas que lo componen, se encuentran en permanente contacto, sin chocarse, y en cuya interacción no existen, ni se forman, espacios vacíos u ocupados por otra sustancia. La hipótesis de medio continuo, permite suponer que existe continuidad en las funciones deducidas a partir de las leyes de la mecánica de fluidos. El Método de Lagrange. Describe el movimiento de cada partícula como parte de una masa fluida. Define Trayectoria, como el lugar geométrico de las sucesivas posiciones ocupadas por una misma partícula en movimiento.
Figura 3-1 Es evidente que cada trayectoria está determinada por la partícula que la recorre, y cada partícula recorre su trayectoria; existiendo una correspondencia biunívoca entre esos elementos. Cada partícula se individualiza por la posición (a, b, c) que ocupa en un sistema de ejes coordenados cartesianos ortogonales x, y, z, en el instante t=to. La posición de la partícula para un tiempo t ≠ t0, estará dada por el sistema de ecuaciones escalares:
x = x ( a , b , c, t )
y = y ( a , b , c, t )
(3 − 1)
z = z( a , b , c, t )
que definen la trayectoria. Otra manera de individualizar una partícula, y definir su trayectoria, es mediante un vector que tenga su origen en el del sistema de coordenadas y su extremo en la posición de la partícula. Este vector posición puede expresarse: → r = r r0 , t
→
→
→
sien d o r0 el vecto r p o sició n p ara t = t0 q u e in d ivid u aliza a la p artícula.
Conocida la posición de la partícula en un instante determinado, es posible determinar la velocidad a que se desplaza. En la Figura 3-1, se ha supuesto que la partícula pasa en un intervalo ∆t, de la posición:
x, y, z
a otra próxima:
x + ∆ x, y + ∆ y, z + ∆ z en forma escalar. O bien, de la posición: →
r
a la próxima:0 →
→
r+ ∆ r
en forma vectorial. Si establecemos la relación entre los desplazamientos finitos y el tiempo necesario para alcanzarlos, tendremos:
∆x ∆y ∆z , , ∆t ∆t ∆t
Si en los anteriores cocientes se hace tender ∆t → 0, se tendrán las componentes de velocidad en el punto según los ejes coordenados:
∆x = lim ∆ t→ 0 ∆ t ∆y v y = lim = ∆ t→ 0 ∆ t ∆z vz = lim = ∆ t ∆ t→ 0 vx =
Con el análisis vectorial:
∂x ∂t ∂y ∂t ∂z ∂t
( 3 − 2)
v=
lim ∆ t→ 0
∆r ∂r = ∆t ∂t
esta velocidad resulta ser tangente a la trayectoria en cada posición alcanzada por la partícula.
v=
v x2 + v y2 + v z2
La aceleración se define:
ax =
lim
ay =
lim
∆ vx ∂ vx ∂ 2 x = = ∆t ∂t ∂ t2 ∆ vy ∂ vy ∂ 2 y = = ∆t ∂t ∂ t2
lim
∆ vz ∂ vz ∂ 2 z = = 2 ∆t ∂t ∂t
az =
∆ t→ 0
∆ t→ 0
∆ t→ 0
a=
(3 − 3)
a x2 + a y2 + a z2
En lenguaje vectorial:
a=
lim ∆ t→ 0
∆ v ∂ V ∂ 2r = = ∆t ∂ t ∂ t2
La dirección del vector aceleración, normalmente no es tangente a la trayectoria. Las trayectorias pueden interceptarse, debiendo cumplir la condición de que las partículas que las recorren alcancen el punto común en tiempos diferentes.
Trayectorias de dos partículas entre dos tiempos t0 y t3 El método de Lagrange parece ser el más práctico para describir el movimiento de las partículas, pero en la práctica presenta grandes dificultades de aplicación. El Método de Euler Este método no sigue a cada partícula a través del tiempo como el anterior sino que estudia el movimiento de todas las partículas que pasan por determinado punto (P) del fluido en movimiento, en el tiempo t (ver Figura 3-3).
Las expresiones que siguen, proporcionan las componentes de velocidad de las partículas que pasan por un punto singular de coordenadas x, y, z, en cada instante t.
vx = v x ( x , y, z, t )
v y = v y ( x, y , z, t )
( 3 − 4)
vz = vz ( x , y , z , t )
Figura 3-3 Estas ecuaciones escalares proporcionan, ya sea la velocidad de la partícula situada en cada punto x, y, z, en determinado tiempo t, configurando las líneas de corriente instantáneas; o bien, situados en un punto x, y, z, suministran las diferentes velocidades que animan a las partículas que pasan por ese punto a través del tiempo. En forma vectorial será: v = v ( r, t ) , siendo r el vector posición del punto considerado. Diferenciando las expresiones (3-4) resulta:
∂ vx dt + ∂t ∂ vy dv y = dt + ∂t ∂ vz dv z = dt + ∂t dv x =
∂ vx ∂ vx ∂ vx dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z ∂ vy ∂ vy ∂ vy dx + dy + dz (3 − 5) ∂x ∂y ∂z ∂ vz ∂ vz ∂ vz dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z
Dividiendo ambos miembros de (3-5) por dt, se obtienen las componentes de aceleración en cada punto y en cada instante de tiempo:
dv x ∂ v x = + dt ∂t dv y ∂ v y = + dt ∂t dv z ∂ v z = + dt ∂t
∂ vx ∂x ∂ vy
⋅
dx ∂ v x dy ∂ v x dz + ⋅ + ⋅ dt ∂ y dt ∂ z dt
dx ∂ v z dy ∂ v z dz + ⋅ + ⋅ ∂ x dt ∂ y dt ∂ z dt ∂ v z dx ∂ v z dy ∂ v z dz ⋅ + ⋅ + ⋅ ∂ x dt ∂ y dt ∂ z dt ⋅
dx dy dz = vx = vy = vz dt dt dt dv x ∂ v x ∂v ∂v ∂v ∴ = + v x ⋅ x + v y ⋅ x + vz ⋅ x dt ∂t ∂x ∂y ∂z dv y ∂ v y ∂ vy ∂v ∂v = + vx ⋅ + v y ⋅ z + v z ⋅ z (3 − 6) dt ∂t ∂x ∂y ∂z dv z ∂ v z ∂v ∂v ∂v = + v x ⋅ z + v y ⋅ z + vz ⋅ z dt ∂t ∂x ∂y ∂z Si el movimiento es permanente, en un punto determinado la velocidad no varia con el tiempo, anulándose las derivadas parciales de las componentes de la velocidad respecto del tiempo. En consecuencia para régimen permanente es:
dv x ∂v ∂v ∂v = v x ⋅ x + v y ⋅ x + vz ⋅ x dt ∂x ∂y ∂z dv y ∂ vy ∂v ∂v = vx ⋅ + v y ⋅ z + vz ⋅ z dt ∂x ∂y ∂z dv z ∂v ∂v ∂v = v x ⋅ z + v y ⋅ z + vz ⋅ z dt ∂x ∂y ∂z
( 3 − 7)
las componentes de velocidad para una partícula, pueden ser expresadas en forma general mediante:
vx =
dx dt
vy =
dy dt
vz =
dz dt
(3 − 8)
Siendo ahora derivadas totales, por que al fijar las coordenadas de P, las velocidades dependen exclusivamente de t De la igualdad de segundos miembros de las ecuaciones (3-4) y (3-8) se tiene:
dx = v x ( x , y , z , t ) . dt
dy = v y ( x , y , z , t ) . dt dz = vz ( x , y , z , t ) . dt
Expresiones que integradas suministran las coordenadas de la partícula que deben ser equivalentes a las de Lagrange , debiéndose calcular tres constantes de integración, cumpliendo la condición de que para t = t0 , las coordenadas del punto P(x,y,z) deben ser las que individualizan la partícula (a,b,c). Si bien teóricamente el problema de vincular ambos métodos está resuelto, en la práctica su solución es altamente complicada. Líneas de Corriente En el método de Euler, las líneas características que representan el movimiento de las partículas, se denominan líneas de corriente, que pueden definirse como una familia de curvas que en un instante t, resultan ser tangentes en todos sus puntos a los vectores velocidad V de las partículas. La configuración de estas líneas cambia para diferentes instantes. Las líneas de corriente, por su naturaleza, no pueden intersectarse pues de ser lo contrario, la partícula que pasare por el punto de intersección en el tiempo t, tendría simultáneamente dos velocidades distintas que resultarían tangentes a cada línea de corriente, lo que resulta físicamente imposible.
Líneas de Corriente para tiempo t Para patentizar las diferencias entre trayectoria y líneas de corriente, se apela al siguiente experimento de laboratorio: supóngase que se arrojan en un fluido en movimiento, algunas pocas limaduras de aluminio que se iluminan convenientemente. Simultáneamente se fotografían con apertura del diafragma de algunos segundos. La placa presentará trazos luminosos que representan la proyección en el plano de la película, de las trayectorias seguidas por las partículas materializadas por las limaduras. Repitiendo la experiencia pero arrojando ahora una gran cantidad de limaduras de aluminio, tomándose fotografías instantáneas (breve tiempo de apertura del obturador), cada limadura imprimirá en la placa un pequeño trazo luminoso que representa la dirección de la velocidad, uniendo con una curva tangente a los diferentes trazos, obtenemos líneas de corriente. Tubo y filamento de corriente. Corriente líquida.
Supóngase que en la masa en movimiento, se toma una curva cerrada, perpendicular a la dirección del movimiento, que no sea línea de corriente y consideremos todas las líneas de corriente que la cortan en un instante dado, estas delimitan un tubo de longitud indeterminada denominado tubo de corriente. Puesto que según se vio, las líneas de corriente tienen la propiedad de no entrecruzarse, por lo que este tubo de corriente no puede ser atravesado por el líquido, obrando como si sus paredes fuesen impermeables, sin variar el contenido en su interior. Si la curva cerrada es de sección infinitesimal, el tubo de corriente se denomina filamento de corriente. Este concepto permite imaginar a la masa líquida en movimiento como formada íntegramente por filamentos de corriente cumpliendo la condición de continuidad señalada para las partículas. Esta forma de suponer el escurrimiento, se denomina Corriente líquida. (figura 3-5).
Figura 3-5 Clasificación del movimiento de fluidos. Las diferentes formas que el movimiento de un fluido puede adoptar, se clasifica de diversos modos, tomando en consideración diferentes aspectos del mismo La primera gran división es: Permanente.- Si en cualquier punto del fluido en movimiento, sus características (velocidad, presión, densidad, etc.), no varían con el tiempo, pudiendo hacerlo con el cambio de posición del punto. No se incluye la variable tiempo.
Movimiento o Régimen
v = v( x , y , z ) Impermanente.- Si en cualquier punto del fluido en movimiento, sus características (velocidad, aceleración, presión, densidad, etc.), varían con el tiempo, pudiendo hacerlo con el cambio de posición del punto.
v = v( x , y , z , t )
El movimiento permanente se subdivide en:
Movimiento Permanente
Uniforme.- Si en cualquier sección transversal al movimiento, la velocidad en puntos homólogos, sea la misma. Variado.- Si no se cumple lo anterior.
Un segundo enfoque para clasificar los movimientos, tiene en cuenta el fenómeno que a continuación se detalla, el que fuera estudiado por O. Reynolds mediante el siguiente dispositivo. Condiciones para la Experiencia de Reynolds: •Igual Peso Específico y temperatura de los líquidos.
•Régimen Permanente (SL= cte.):
Figura 3-6 El depósito A, contiene un líquido cuya superficie libre mantiene permanentemente constante su nivel. El depósito B contiene colorante con el mismo peso específico que el líquido del depósito A, que es inyectado mediante una delgada boquilla en el arranque del tubo de vidrio C. La válvula D, regula la velocidad del líquido que circula por C. Primera fase: Al abrir ligeramente la válvula, el líquido escurre a baja velocidad. El colorante forma una línea recta continua. Segunda fase: Se aumenta la velocidad del líquido, observándose que el colorante forma una línea ondulada cuya amplitud aumenta con la velocidad. Tercera fase: Cuando la velocidad es elevada, la línea desaparece, produciéndose la total difusión del colorante en el líquido. Frente a este hecho, Reynolds. denomina Régimen laminar al comportamiento del liquido observado en la primera fase; donde el flujo se desarrolla en forma de láminas concéntricas, con cambios graduales de velocidad entre ellas, siendo las componentes de velocidad en las direcciones distintas del eje del tubo, nulas o prácticamente despreciables. Denomina Régimen turbulento al de la tercera fase del proceso descrito, el que se caracteriza por tener componentes de velocidad en direcciones distintas a la del eje del tubo, de magnitud considerable, lo que provoca trayectorias erráticas. La segunda fase, constituye una transición entre ambos regímenes.
Normalmente, la conducción a presión de un líquido de alta viscosidad (ej.: petróleo, aceite, etc.) se realiza en régimen laminar. Para los restantes líquidos (agua, gasolina, etc.), el régimen es turbulento. Para establecer si un régimen en particular es laminar o turbulento, Reynolds crea un numero adimensional que lleva su nombre, el que más adelante será definido y comentado. En la práctica, pueden darse casos que combinan los sistemas de clasificación descriptos; esto es, pueden darse casos de movimiento permanente o impermanente en regímenes laminares o turbulentos. Definición de Caudal: Se define Caudal de una corriente líquida, al volumen de fluido que atraviesa una sección transversal de la misma en la unidad de tiempo:
Figura 3-7 Sea un trozo de filamento de corriente con sección transversal dS por la que pasan partículas animadas de velocidad v. En un intervalo de tiempo dt, habrá pasado por la sección un volumen:
dv
= dS . de = dS . v. dt
Por definición, el Caudal Elemental que circula por la sección del filamento considerado será:
dQ =
dv dt
=
dS . v. dt = v. dS dt
El caudal total que pasará por la sección S, plana y perpendicular a la dirección del movimiento de la corriente líquida, será:
Q=
∫ dQ = ∫ v. dS S
S
Su dimensión es: Concepto de Velocidad Media: Si el
[ Q] =
( longitud ) 3 tiempo
movimiento de un fluido fuese permanente, la velocidad v de cada filamento de corriente se mantendrá constante con el tiempo. En tal circunstancia puede definirse una velocidad única, representativa de las velocidades de los filamentos que integran la corriente líquida. A esta velocidad se designa Velocidad Media (V), y su valor es obtenido como sigue:
Q=
∫ v.dS = ∫ V .dS S
S
∫
Q = V . dS = V . S S
o sea:
Q = V .S De donde:
V=
Q S
dirigida perpendicularmente a la superficie S. La Velocidad Media es aquella velocidad ficticia a la que deberían estar animadas todas las partículas de una sección transversal de la corriente líquida, para que el caudal erogado resulte ser igual al real
Q=
∫ v.dS S
Se concluye que en toda corriente líquida en movimiento permanente, el caudal es igual al producto de la sección transversal S por la velocidad media V. Su dimensión es:
[ Q] =
longitud tiempo
Principio de Continuidad. Considérense en una corriente líquida en movimiento permanente, dos secciones S1 y S2 , cuyas velocidades medias sea V1 y V2 respectivamente.
En un tiempo dt, las secciones se trasladarán las distancias:
de1 = V1. dt de2 = V2 . dt
El volumen de líquido que atravesó por cada sección en el tiempo dt será:
dV1 = S1. de1 = S1.V1. dt dV2 = S2 . de2 = S2 .V2 . dt
Considerando al líquido incompresible y a la corriente líquida cumpliendo con las condiciones de medio continuo (condiciones del líquido perfecto y continuidad), resulta que ambos volúmenes deben ser iguales. Entonces:
S1.V1. dt = S2 .V2 . dt O bien:
S1.V1 = S2 .V2 o lo que es igual:
Q1 = Q2 = ... = Qn Esta conclusión, conocida como Principio de Continuidad, se enuncia: en toda corriente líquida incompresible en movimiento permanente, el caudal es el mismo para cualquier sección que se considere. Radio Hidráulico: Se define Radio Hidráulico (R), al cociente entre la sección S de una corriente líquida, dividida por su perímetro mojado p. Su dimensión es una longitud. Se denomina perímetro mojado (p) de una corriente líquida, a la longitud de la línea de contacto entre ésta y su continente, en una sección transversal determinada. Su dimensión es Longitud. Para las siguientes formas de sección transversal, se marcan sus perímetros mojados y sus secciones transversales:
R=
S p
(Radio Hidráulico)
La Tabla 1 siguiente, presenta valores de Superficie, Perímetro mojado y Radio hidráulico para algunas secciones transversales características.
TABLA 1. SUPERFICIE, y PERÍMETRO MOJADO PARA ALGUNAS SECCIONES TRANSVERSALES CARACTERÍSTICAS. Perímetro Sección Caso Superficie (S) Transversal mojado (P)
1
Rectangular
S = b. h
p = 2h + b
S = b. h + h 2 tgϕ
p = b + 2h.sec ϕ
S = π .r 2
p = 2π r
Trapecial 2 3
4
Circular (lleno)
Circular parcial lleno
r − h 2 S = r 2 arccos − ( r − h) . 2rh − h r
(
)
1/2
r − h p = 2r .arccos r
Numero de Reynolds. Reynolds estableció una velocidad del fluido, por debajo de la cual el régimen es permanentemente laminar. A esta velocidad la denominó Velocidad Crítica (Vc).
El fenómeno no es simétrico pues la velocidad de cambio de régimen difiere según se trate de velocidades crecientes o decrecientes Reynolds vinculó a la velocidad crítica Vc con un numero adimensional conocido como Número de Reynolds (Re), que permite establecer si un régimen de
escurrimiento es laminar o turbulento; y en este último, cuantifica cuan turbulento es. Su expresión es:
4.V . R Re = ν donde: V : Velocidad media de la corriente líquida (m/seg). R : Radio hidráulico (m) ν : Viscosidad cinemática del líquido (m2/seg) El valor particular de Re para el cual el régimen deja de ser laminar, es:
Re = 2.320 ( para cualquier líquido)
La velocidad que corresponde a este valor es la velocidad crítica Vc, esto es:
Vc =
2320.ν 4R
Si Re> 2.320 ⇒ Régimen Turbulento UNIDAD TEMÁTICA 4. Hidrodinámica Es la parte de la Hidráulica General que estudia el movimiento de los fluidos considerando las causas que lo originan, mantienen y modifican. Las fuerzas que intervienen en el movimiento de un fluido, son: 1.- La fuerza de la gravedad terrestre. 2.- La fuerza causada por diferencia de presiones. 3.- La fuerza de viscosidad, presente en todos los fluidos reales. 4.- La fuerza de elasticidad; que no entra en juego en fluidos incompresibles. 5.- La tensión superficial, que normalmente resulta de escasa importancia. De las fuerzas enumeradas, la gravedad es externa al fluido, siendo las restantes internas o inherentes al propio fluido. Ecuaciones de Euler (expresiones generales de la hidrodinámica) Euler deduce las ecuaciones que llevan su nombre, estudiando el movimiento permanente de una partícula de líquido perfecto (incompresible, sin viscosidad) de dimensiones dx, dy, dz, sujeta a la acción de la gravedad terrestre y a las presiones que sobre sus caras ejerce el fluido exterior.
Figura 4-1 Aplicando la segunda ley de Newton según el eje x, siendo p la presión en el centro de la partícula:
•
dm ⇒ dm = ρ . dV dV dV = dx.dy.dz ∴ dm = ρ . dx. dy. dz ( Masa Elemental de la Partícula) ρ =
•
ax =
•
∑
dv x dt
Fx = dm. a x
∂p dv p. dy. dz − p + . dx dy. dz = ρ . dx. dy. dz. x ∂x dt dv x p. dy. dz p. dy. dz ∂ p dx. dy. dz ⇒ = − − ⋅ dt ρ . dx. dy. dz ρ . dx. dy. dz ∂ x ρ . dx. dy. dz dv x 1 ∂p ∴ = − ⋅ dt ρ ∂x
Para el eje y:
• ∑ Fy = dm.a y dv y ∂p p.dx.dz − p + .dy .dx.dz = ρ .dx.dy.dz. ∂ y dt dv y p.dy.dz p.dy.dz ∂ p dx.dy.dz ⇒ = − − ⋅ dt ρ .dx.dy.dz ρ .dx.dy.dz ∂ y ρ .dx.dy.dz dv y 1 ∂p ∴ = − ⋅ dt ρ ∂y Para el eje z:
•
dW = dm. g ∴ dW = ρ . g. dx. dy. dz
•
az =
•
∑
dvz dt
Fz = dm. az
∂p dv p. dx. dy − p + . dz dx. dy − dW = ρ . dx. dy. dz. z ∂z dt ∂p dv p. dx. dy − p + . dz dx. dy − ρ . g. dx. dy. dz = ρ . dx. dy. dz. z ∂z dt dvz p. dx. dy p. dx. dy ∂ p dx. dy. dz g. ρ . dx. dy. dz ⇒ = − − ⋅ − dt ρ . dx. dy. dz ρ . dx. dy. dz ∂ z ρ . dx. dy. dz ρ . dx. dy. dz dvz 1 ∂p ∴ = − ⋅ − g dt ρ ∂z Entonces, las ecuaciones a las que Euler arribó son: (El eje z positivo, es vertical ascendente).
dv x 1 ∂p = − ⋅ dt ρ ∂x dv y 1 ∂p = − ⋅ (4 − 1) dt ρ ∂y dvz 1 ∂p = − ⋅ − g dt ρ ∂z Siendo: ρ: Densidad (masa /volumen) del fluido. p: Presión que actúa sobre la partícula. g: Aceleración de la gravedad terrestre. El Principio de Bernoulli Este principio, es confirmatorio del principio de conservación de la energía en el movimiento de un fluido perfecto (carente de viscosidad e incompresible), es el más importante de la Hidrodinámica, y tiene gran aplicación en la solución de problemas de la Hidráulica en que el movimiento puede considerarse permanente. Existen diversas formas de justificarlo, eligiéndose en este caso el empleo de las ecuaciones de Euler (4-1), transcriptas en el punto anterior. Partiendo de las ecuaciones de Euler; multiplicando la primera por dx, la segunda por dy y la tercera por dz., resulta:
dv x 1 ∂p . dx = − ⋅ ⋅ dx dt ρ ∂x dv y 1 ∂p ⋅ dy = − ⋅ ⋅ dy (4 − 1) dt ρ ∂y dvz 1 ∂p ⋅ dz = − ⋅ ⋅ dz − g ⋅ dz dt ρ ∂z Sumando miembro a miembro las tres ecuaciones anteriores, resulta:
dv y dv x dv 1 ∂p ∂p ∂p . dx + ⋅ dy + z ⋅ dz = − ⋅ ⋅ dx − ⋅ dy − ⋅ dz − g ⋅ dz (4 − 2) dt dt dt ρ ∂x ∂y ∂z Siendo:
dx = vx dt
dy = vy dt
dz = vz dt
el primer miembro de la igualdad anterior resulta:
vx ⋅ dvx + v y ⋅ dv y + vz ⋅ dvz
( )
( )
1 . d v x2 2 1 = 2. v y . dv y ⇒ v y . dv y = . d v y2 2 1 = 2. vz . dvz ⇒ vz . dvz = . d vz2 2
d v x2 = 2. v x . dv x ⇒ v x . dv x =
( )
d v y2
( )
d vz2
( )
( )
Sumando miembro a miembro
( ) (
( ) )
( )
1 1 1 . d v x2 + . d v y2 + . d vz2 2 2 2 1 v x . dv x + v y . dv y + vz . dvz = . d v x2 + v y2 + vz2 2 v x . dv x + v y . dv y + vz . dvz =
Movimiento Permanente ⇒ Velocidad constante con respecto al tiempo
v 2 = v x2 + v y2 + vz2 ∴
v x . dv x + v y . dv y + vz . dvz =
( )
1 .d v2 2
Al suponer movimiento permanente, la presión p no resulta ser función del tiempo, por lo que su diferencial total será:
dp =
∂p ∂p ∂p ⋅ dx + ⋅ dy + ⋅ dz ∂x ∂y ∂z
Llevando los valores anteriores a la igualdad (4-2), resulta:
( )
1 ⋅ d v2 = − 2 dp + g ⋅ dz + ρ
1 ⋅ dp − g ⋅ dz ρ 1 ⋅ d v2 = 0 2
( )
Integrando esta ecuación entre dos puntos cualquiera 1 y 2 de una misma trayectoria, manteniendo la hipótesis de fluido incompresible (ρ es constante ), es :
dp 1 + g ⋅ dz + ⋅ d v 2 = 0 2 ρ 2 1 1 1 1 1 2 dp + g dz + d v = 0 2 ρ 2 2 2
∫
1
( )
∫
Como:
∫
∫ ( )
( ) v d v = 2 v . dv = 2 ⋅ ( ) ∫ ∫ 2
d v 2 = 2. v. dv
2
2
⇒
= v2
(
)
1 1 2 p1 − p2 ) + g ( z1 − z2 ) + v1 − v22 = 0 ( ρ 2 p1 1 p 1 + g. z1 + ⋅ v12 = 2 + g. z2 + ⋅ v22 = cte. ρ 2 ρ 2
Dividiendo por g a ambos miembros de la igualdad anterior, y teniendo en cuenta que γ=ρ.g se tiene:
p1 v12 p2 v22 pn vn2 + z1 + = + z2 + = ... = + zn + = cte. γ 2g γ 2g γ 2g En general:
p v2 + z+ = cte. (4 − 3) γ 2g Los términos de la expresión anterior, cuya unidad es Longitud, representan las formas de energía intervinientes en el proceso no disipativo, cuya energía total se mantiene. El significado de estos términos es:
z: Altura geométrica. Distancia vertical desde el Plano de Comparación, hasta la posición de la partícula. Representa la energía potencial de posición por unidad de peso de la partícula. P/γ: Altura representativa de la presión para la partícula o Altura Piezométrica. Representa la energía potencial de presión por unidad de peso de la partícula.
z + P/γ: Cota Piezométrica. Representa la energía potencial total por unidad de peso de la partícula disponible. v2/2g: Altura representativa de la velocidad. Representa la energía cinética por unidad de peso de la partícula.
z + P/γ + v2/2g: Energía total por unidad de peso de la partícula, valor que se mantiene constante por tratarse de un sistema conservativo (sin pérdidas de energía). Este valor constante define un plano horizontal, paralelo al plano de comparación adoptado, que se denomina: Plano de Carga Hidrodinámico.
Figura 4-2 La anterior expresión (4-3) sintetiza el Principio de Bernoullí para una partícula de un líquido perfecto, que se expresa de la siguiente forma: En el movimiento permanente de una partícula de líquido perfecto, la suma de la altura geométrica, la altura representativa de la presión mas la altura representativa de la velocidad, es constante para cualquier posición de la partícula. Generalización del Principio de Bernoullí La ecuación (4-3) es válida para una línea de corriente y constituye la expresión del principio de conservación de la energía para el caso de líquidos incompresibles, no viscosos en movimiento permanente. Para aplicar este importante principio a la solución de casos ciertos, con líquidos reales, la anterior expresión del Principio de Bernoullí, debe ser adecuada en diversos aspectos a saber: 1) La primera generalización del Principio, consiste en pasar del análisis de una partícula animada de una velocidad “v”, a la sección transversal de la corriente líquida, animada de una velocidad media “V”. La condición que debe cumplirse es la igualdad de energía cinética entre ambas situaciones: a) Energía cinética real, considerando la velocidad individual de las partículas que en un mismo instante atraviesan la sección transversal de un filamento de corriente dS:
dECr = Siendo:
1 2 ⋅ v ⋅ dm 2
dQ =
dv
∧
t
⇒ dv
dQ = v. dS
= dQ. t = v. dS . t
dm = dv
. ρ = dQ. t . ρ = ρ . v. dS . t
Sustituyendo:
1 ⋅ ρ ⋅ v 2 . v. t . dS 2 1 = ⋅ ρ . v 3 ⋅ t . dS 2
dE Cr = dE Cr
Para la Corriente Líquida resulta:
E Cr =
1 ⋅ ρ . t . v 3 . dS 2 S
∫
Para todas las partículas que atraviesan la sección transversal S. b) Energía cinética de la corriente líquida considerando la velocidad media:
E Cm =
1 1 ⋅ ρ . t . V 3 . dS = ⋅ ρ . t .V 3 dS 2 2 S S
E Cm =
1 ⋅ ρ . t .V 3. S (Energía Cinética Media) 2
∫
∫
La relación entre ambas energías cinéticas es:
α =
E Cr E Cm
1 ⋅ ρ . t . v 3 . dS 2 S = 1 ⋅ ρ . t .V 3. S 2
∫
∫ v . dS 3
α =
S
V 3. S
o bien:
∫ v . dS = α .V . S 3
3
S
⇒ E Cr = α . E C m
El coeficiente α antes determinado, denominado Coeficiente de Coriolis, permite corregir la energía cinética calculada con la velocidad media, para igualarla con la energía cinética real obtenida a partir de la suma de energías cinéticas de cada partícula que atraviesa la sección S en un mismo instante. Depende de la desigualdad de las velocidades individuales de los filetes líquidos y, por consiguiente, de la forma y dimensiones de la sección transversal, de la viscosidad del fluido y de las asperezas de las paredes. Su valor determinado experimentalmente, resulta se siempre mayor que 1. Según el investigador francés H. Bazin, sus valores son. Para paredes lisas: α = 1,0318. Para paredes rugosas: α = 1,1220 En primera aproximación, puede aceptarse el criterio de ingenieros ingleses, quienes adoptan: α = 1,00. En consecuencia, al extender el Principio de Bernoullí de un filamento de corriente a toda la sección transversal, la expresión 4-3 se transforma en:
p V2 + z+ α ⋅ = cte. (4 − 4) γ 2g 2) Cuando un líquido natural se mueve, los esfuerzos tangenciales internos debidos a la viscosidad, desarrollan trabajos de rozamiento, transformando parte de la energía hidrodinámica de la corriente líquida en energía calorífica que se disipa en la atmósfera, que a los efectos del escurrimiento, constituye una pérdida. La corriente líquida, en general escurre en contacto con las paredes de la conducción, lo que generan frotamientos parietales que se desarrollan en una delgada capa líquida adherida a la pared sólida, denominada Capa Límite, de la que luego trataremos. El conjunto de las acciones de la viscosidad, tanto en el interior de la corriente líquida como en las paredes, produce una Pérdida de Carga Continua (J), por lo que el plano de carga hidrodinámico para un líquido real, desciende en el sentido del escurrimiento.
En consecuencia, el Principio de Bernoullí queda generalizado como sigue:
p1 v12 p2 v22 p3 v32 z1 + + α ⋅ = z2 + + α ⋅ + J1,2 = z3 + + α ⋅ + J1,3 γ 2g γ 2g γ 2g Comparando este proceso real con el que correspondería a un líquido perfecto, se observa que en la sección 2, ni la altura geométrica (z2) ni la representativa de la velocidad (v22/2g) varían para uno u otro. Se concluye entonces que la disminución de cota del plano de carga hidrodinámico, se ha realizado a expensas de una disminución de la altura de presión. Esto es:
p J1,2 = 2 γ
p
p − 2 γ
r
El subíndice p alude a fluido perfecto y el r a fluido real. La cuantificación de las pérdidas de carga, difiere según se trate de conducciones a superficie libre como en canales, cauces naturales, etc., o a presión como en tuberías. A continuación, se tratará la cuantificación de las pérdidas de carga en conducciones a presión. Pérdidas de Carga en Conducciones a Presión Se ha visto que para que un líquido real origine, mantenga o modifique su movimiento en una conducción, debe disponer de energía hidrodinámica. El caudal que circulará, resultará de una compleja relación entre las características del fluido, de la conducción y la energía total disponible. Cuando un líquido circula a presión por una tubería, se constata que los niveles piezométricos entre dos secciones cualesquiera, acusan un descenso en el sentido del
escurrimiento, debido a las resistencias que el fluido real debe superar para mantenerse en movimiento permanente. Físicamente, se trata de la transformación irreversible de parte de la energía hidrodinámica que posee el líquido, en calor que se disipa en la atmósfera. Hidráulicamente, esta transformación constituye una pérdida en el balance de la energía hidrodinámica disponible, consumida en vencer las resistencias que la conducción presenta a la circulación del líquido. Por la forma de producirse y propagarse, las pérdidas de carga se clasifican en Pérdidas Continuas y Pérdidas Localizadas. Las Pérdidas Continuas son debidas a los frotamientos parietales e internos de un líquido viscoso en movimiento, manifestándose a lo largo de la conducción. Las Pérdidas Localizadas, que se manifiestan en sectores de muy corta longitud, son producidas por la existencia de singularidades en la conducción, como ser: cambios de dirección o sección de la tubería, interposición de dispositivos de cierre y regulación del caudal (válvulas), derivaciones, etc. Si la velocidad media con la que el líquido se desplaza por la tubería es V, su energía cinética por unidad de peso del fluido es: V2/2g. Para producirla o modificarla, es necesario que se transforme energía potencial en cinética. Este cambio reversible entre dos formas de energía hidrodinámica, no constituye una pérdida para la circulación, razón por la cual se designa como Transformación de Energías, pudiendo darse tanto de potencial a cinética como a la inversa. Para evidenciar la forma en que se producen las pérdidas y transformaciones de energía en una conducción, se analiza el siguiente ejemplo de una tubería, exprofesamente compleja, que vincula dos depósitos I y II. La energía total disponible H está dada por la diferencia de nivel libre de ambos depósitos, la que deberá mantenerse constante como condición para que el movimiento sea permanente.
4-4
Figura
Dos son los planos que se adoptan para referir el proceso: 1)El plano horizontal que contiene a la superficie libre del depósito I (plano de carga hidrodinámico), que indica la energía total que dispone el sistema. Por claridad en la exposición las energías cinéticas en todo punto de la conducción, se referirán a esta horizontal. 2)El Plano de Comparación que se elige de forma que todos los puntos involucrados en la conducción, se sitúen por encima del mismo. A partir de este plano, se refieren las alturas geométricas de todos los puntos de la cañería. Considerando la tubería que une los depósitos I y II, la transformación de energía potencial en cinética se indica por la poligonal BCDEFG, energía que puede transformarse nuevamente en potencial, recuperándose parcialmente al disminuir la velocidad. Las condiciones de circulación motivan que se produzcan distintas pérdidas de carga, las que provocan un descenso del nivel piezométrico y que se clasifican en pérdidas de carga en la entrada, por frotamiento, por cambio de dirección y por variación de sección. Situados en un punto a una distancia infinitesimal de la cara del depósito I y hacia el interior del mismo, el líquido está animado de velocidad extremadamente baja, por lo que se energía cinética resulta despreciable y la energía potencial es igual al valor total H. Si se corre a un punto situado a una distancia infinitesimal de la cara del depósito I pero hacia el exterior del mismo, el líquido se encuentra animado de la velocidad media V1, con una energía cinética V12 2 g, la que se produce a expensas de la energía potencial, produciéndose una transformación de energías hidrodinámicas. Pero, además, en ese punto se produjo una pérdida de carga, debido a la fuerte inflexión que sufren las líneas de corriente para ingresar a la conducción. Esta es la primera pérdida de carga localizada que se produce y que debe agregarse a la energía cinética. Por ello, la Línea Piezométrica arranca del punto B. De acuerdo a la figura se observa que: BH representa la pérdida de carga del fluido en la entrada de la tubería y HI es la pérdida por frotamiento en el recorrido en el primer tramo de cañería de diámetro D1.
BH = J e → Pérdida de Carga en la Entrada HI = J f → Pérdida de Carga por Frotamiento
1er Tramo Cañería de diámetro D1
Pasando el tramo de longitud L1, el conducto modifica su sección disminuyendo su diámetro de D1 a D2 y aumentando, entonces, su velocidad de V1 a V2, generando el descenso del nivel piezométrico CD = IJ por transformación de energía potencial en cinética y, además, la pérdida de carga JK por variación de sección. En el 2do tramo, también, se produce una pérdida por frotamiento, representada por KL. CD = IJ → Transformación de Energía Potencial en Cinética JK = J cs → Pérdida de Carga por Cambio de Sección KL = J f → Pérdida de Carga por Frotamiento
2do Tramo Cañería de diámetro D2 (D2
En el 3er Tramo, LM representa la caída de presión por la variación de sección del diámetro D2 a un mayor valor D3. Este aumento provoca una disminución de la velocidad, y entonces se recupera el nivel piezométrico EF=MN por transformación de
energía cinética en potencial. Además, existen las pérdidas NO y PQ por frotamiento en el recorrido, y OP debido a un cambio de dirección de la tubería. LM = J cs → Pérdida de Carga por Variación de Sección EF = MN → Transformación de Energía Potencial en Cinética NO = J f → Pérdida de Carga por Frotamiento OP = J cd → Pérdida de Carga por Cambio de Dirección PQ = J f → Pérdida de Carga por Frotamiento
3er Tramo Cañería de diámetro D3 (D3>D2
En Q no se recupera la energía cinética GR, pues el ensanchamiento de la sección al entrar en el depósito produce una caída de presión (efecto Borda) equivalente a la energía a recuperar. GR = J u → Pérdida de Carga por Variación de la Energía Cinética
Entrada del Depósito II
Se observa que la circulación en la tubería ha motivado que la energía hidrodinámica (desnivel final o pérdida de carga total H), originalmente disponible, se distribuya de la siguiente forma:
H = f (Q) = J e + Σ J cs + Σ J cd + Σ J f + J u La importancia de conocer el trazado de la línea piezométrica de una conducción, consiste en que permite verificar en todo punto de la misma: • Que el nivel piezométrico resulte suficiente para el servicio previsto. Por ejemplo, si se trata de una línea de provisión de agua potable, dicho nivel debe superar con cierto huelgo la posición de los tanques de reserva de las viviendas. • Que la presión no resulte excesiva como para producir pérdidas en las juntas o roturas en cañerías. • Averiguar la forma de funcionamiento de la cañería (por gravedad o bombeo, autocebante o no, etc.). La Pérdida de Carga Total se puede considerar como una Carga Unitaria:
J = j.l j=
J (Pérdida de Carga Unitaria) l
La pérdida de carga unitaria es igual a la pendiente del tramo considerado. Resistencia por Frotamiento Se determinará la relación que, en forma general, vincula la pérdida de carga J con la resistencia opuesta a la corriente de un fluido que circula por un conducto circular con un movimiento permanente uniforme (diámetro constante) y cuyo eje forma un ángulo α con la horizontal.
Al ser el movimiento permanente, la velocidad no varía con el tiempo y, además, por ser uniforme, permanecen iguales las velocidades en todas las secciones. Si las velocidades son iguales, la aceleración es nula, lo que conduce a que la resultante de todas las fuerzas actuantes debe ser nula (por aplicación de la 2 da ley de Newton). En consecuencia, pueden aplicarse las condiciones de equilibrio de las fuerzas actuantes sobre el volumen situado entre dos secciones cualesquiera 1 y 2.
Las fuerzas que actúan sobre el volumen considerado son:
• P1 y P2 debidas a las presiones que actúan en las secciones 1 y 2, respectivamente; • El Peso G del volumen sombreado, para el cual se plantea el equilibrio; y • La Resistencia de Frotamiento W que se opone al escurrimiento. Planteando la ecuación de equilibrio respecto al eje de la tubería:
•∑ F = 0
⇒ G senα + P1 − P2 − W = 0
W = G senα + P1 − P2
(1)
Siendo:
G = γ .S .l (Peso del Líquido Sombreado) P1 = p1 S (Fza. debida a la Presión p1 ) P2 = p2 S (Fza. debida a la Presión p 2 ) Sustituyendo en (1) se tiene que:
W = γ .S .l.senα + p1 .S − p2 .S W = S .( γ .l.senα + p1 − p 2 )
Debido a que el conducto tiene sección circular, entonces:
π .d 2 S= 4 Además:
senα =
z1 − z 2 l
La expresión de W resultante será:
π .d 2 W= [γ .( z1 − z2 ) + 4 γ .π .d 2 W= 4
γ .π .d 2 p1 − p2 ] = ( z1 − z2 + p1 − p2 ) 4 p1 p2 z + − z + 1 2 γ γ
El término entre corchetes es igual a la diferencia de los niveles piezométricos entre las secciones 1 y 2, que por tratarse de un movimiento permanente uniforme y no haber variación de energía cinética, equivale a la pérdida de carga J en las secciones 1 y 2. Entonces:
γ .π .d 2 W= J 4 Considerando la Pérdida de Carga Unitaria o Caída de Presión por Unidad de longitud j, se tiene en la expresión de W:
γ .π .d 2 W= j.l = γ .π .r 2 l. j 4 La fórmula anterior relaciona la Resistencia a la Circulación con la Pérdida de Carga Unitaria j que circula con movimiento permanente uniforme por un conducto de diámetro d (o radio r).
γ : Peso Específico de líquido que circula por el conducto d: Diámetro del conducto
r: Radio del conducto l: Distancia entre las secciones
Variación de las Velocidades en una Sección Transversal para Régimen Laminar Supóngase que un líquido escurre en régimen laminar por un conducto cilíndrico de diámetro d. El movimiento se realiza por capas que se deslizan unas sobre otras, variando en forma continua su velocidad. Para los conductos circulares, estas capas líquidas tienen la forma de cilindros, cuyo eje coincide con el del conducto, y todas las generatrices de un mismo cilindro tendrán la misma velocidad. Para un cilindro de radio s, la relación entre la pérdida de carga j y la resistencia W estará dada por:
Ws = γ .π .s 2l. j
Las Tensiones (tangenciales) que esta fuerza motivan serán:
τ
Ws γ .π .s 2 l. j = = S 2π .s.l τ = γ .j s 2
2π .s.l : Superficie lateral del cilindro
Relacionando esta tensión con la correspondiente a la ley de Newton de la viscosidad: η : Viscosidad Absoluta
τ
=η
dv ds
dv : Gradiente de Velocidad ds
resulta:
−η
dv γ . j = s ds 2
afectándose el primer miembro del signo menos (-) por ser negativo el gradiente de velocidad
dv , ya que la velocidad disminuye a medida que aumenta s: ds
⇒ − dv =
γ .j s.ds 2η
Integrando entre s y r se obtiene:
γ .j r − ∫ dv = s.ds ∫ 2 η s s r
γ . j r 2 s2 − ( vr − v s ) = − 2η 2 2 γ .j 2 2 ( vs − vr = r − s ) 4η La velocidad de contacto vr entre el líquido y la pared es nula para el régimen laminar, por lo que:
vs =
γ .j 2 2 (r − s ) 4η
Esta ley de Variación de la Velocidad en sección transversal, es una parábola de 2 grado, cuyo eje de simetría coincide con el eje de la tubería como muestra la siguiente figura: do
La velocidad máxima vmáx se presenta en el eje del conducto, en s = 0
vmáx =
γ .j 2 r 4η
Ecuación de Hagen- Poiseuille (válida para el régimen laminar) El cálculo del Caudal para el caso anterior se realiza considerando que el gasto elemental de un cilindro de radio s y espesor ds es:
dQ = v s .2π .s.ds El Caudal Total será: r
Q=
∫ v .2π .s.ds = s
0
r
2π ∫ v s .s.ds
r
0
r
γ .j 2 2 2π .γ . j 2 2 Q = 2π ∫ ( r − s ).s.ds = ( r − s ) .s.ds ∫ 4η 4η 0 0 r r π .γ . j 2 3 Q= r . s . ds − s . ds ∫0 2η ∫0
π .γ . j r 4 r 4 π .γ . j r 4 = Q= − ⋅ 2η 2 4 2η 4 π .γ . j 4 Q= r 8η π .γ . j 4 Q= d 128η Por tanto, la Ecuación de Hagen- Poiseuille para el régimen laminar resulta:
Q=
π .γ . j 4 d 128η
Según la expresión anterior, el caudal que pasa en un conducto circular en régimen laminar y movimiento permanente es proporcional al peso específico del líquido, a la pérdida de carga unitaria j y a la cuarta potencia del diámetro, e inversamente proporcional a la viscosidad. Debido a que la viscosidad depende de la temperatura, ésta también influye sobre el escurrimiento. Conocido el caudal, se calcula la Velocidad Media:
π .γ . j 4 r Q γ .j 2 8η V= = = r S π .r 2 8η γ .j 2 V= r 8η Comparando la velocidad media con la velocidad máxima v máx = γ . j.r 2 4η , se observa que la velocidad media vale la mitad de la máxima en el eje del conducto. Por tanto:
V=
1 vmáx 2
Despejando la pérdida de carga j de la expresión de la velocidad media, se tiene que:
j=
8η 32η V = V γ .r 2 γ .d 2
La expresión anterior corresponde a la ecuación de Poiseuille de la Pérdida de Carga para el régimen laminar. Pérdidas de Carga Continua Las Pérdidas de Carga Continua son debidas a frotamientos parietales e internas de un líquido real en movimiento, manifestándose a lo largo de toda la conducción. Las pérdidas de carga parietales, merecen ser tratadas con mayor detalle. La explicación moderna de la resistencia de superficie, la constituye la Teoría de la Capa Límite, propuesta hace un siglo por Prandtl, revolucionando la Aeronáutica y la Mecánica de Fluidos.
Esta teoría propone la existencia de la Capa Límite; una delgada capa de fluido adherida a la superficie sólida cuyo patrón de movimiento difiere sustancialmente del resto del fluido, debido a que se hacen sentir en ella intensamente los efectos de viscosidad y rozamiento. Su existencia fue descubierta cuando se contaron con instrumentos de medición de velocidades de precisión. La perdida de carga parietal es debida entonces a dos fenómenos que pueden o no coexistir: a) Efecto de la viscosidad entre la capa límite, animada de muy baja velocidad, y los filamentos de corriente adyacentes a la misma. Según la ley de Newton de la viscosidad, la Tensión Tangencial τ que se genera entre dos capas de fluido de Viscosidad absoluta η , cuyo Gradiente de Velocidad es dv/de, resulta ser:
τ
=η
dv de
η : Viscosidad Absoluta dv : Gradiente de Velocidad de
Al ser el gradiente de velocidad (dv/de) de importante magnitud, resultan en el contacto de la capa límite con la corriente líquida, tensiones tangenciales de intensidad superior a las producidas en su interior b) Resistencia opuesta por las asperezas, al escurrimiento de los filamentos de corriente, con la formación de estelas detrás de cada aspereza. La capa límite, por su escasa velocidad, contornean las asperezas sin generar estelas, resultando despreciable la resistencia de las asperezas a su desplazamiento.
La capa límite posee un espesor δ que es inversamente proporcional al Número de Reynolds del escurrimiento. Si el régimen es laminar, la capa límite cubre totalmente las asperezas, con lo que la resistencia parietal se reduce al efecto de la viscosidad (punto a). En el otro extremo, si el régimen es de alta turbulencia, el espesor de la capa límite resulta despreciable, y la resistencia parietal se reduce a la acción de las asperezas actuando sobre los filamentos de corriente que circulan entre ellas (punto b). Para turbulencias intermedias, coexisten ambas formas de resistencia parietal. De lo expuesto se deduce que un mismo contorno sólido puede comportarse como liso o rugoso según el régimen de escurrimiento de la corriente líquida. Si el régimen es laminar, el contorno sólido se comportará como liso, independientemente de la rugosidad del material que lo compone, por que la capa límite cubre las asperezas con exceso. Para escurrimiento turbulento, la superficie sólida se comporta como lisa, mientras la capa límite cubra a todas las asperezas, y se comportará como rugosa, cuando al disminuir δ las asperezas emerjan de ella, actuando sobre el resto de la corriente. De acuerdo con resultados experimentales, los tres comportamientos del contorno sólido descriptos, se dan al cumplirse las siguientes condiciones:
1)Comportamiento Liso, si: δ > 3 k (siendo k la Rugosidad Absoluta). 2)Comportamiento Intermedio: 3 k ≥ δ ≥ k/8 3)Comportamiento Rugoso: δ < k/8. La Rugosidad de un contorno sólido, se debe a sus asperezas, esto es las irregularidades superficiales detectadas a veces por el tacto. No es simple obtener un criterio cuantitativo sobre la rugosidad de un contorno, debido a la variabilidad e irregularidad de las asperezas, tanto en lo relativo a su forma y dimensiones, como a la distribución en un contorno sólido. No obstante, existe un parámetro de simple determinación, que define un aspecto de las asperezas: su altura media, determinada por medios estadísticos a partir de mediciones en laboratorio mediante comparadores pneumáticos. Esta altura media se denomina Rugosidad Absoluta, y se representa por la letra k. En general, la rugosidad de un contorno depende de los siguientes factores: 1) De la altura promedio de las asperezas o rugosidad absoluta k. 2) De la variación entre la altura efectiva de las asperezas, respecto de la altura media k.
Las asperezas de los casos a y b si bien son muy diferentes en su configuración, tienen el mismo valor de rugosidad absoluta k. El caso b que presenta mayores diferencias entre la rugosidad absoluta y las alturas individuales de las asperezas, genera mayores pérdidas parietales que el caso a. 3) De la forma de las asperezas. Dependiendo de la amplitud (altura) y longitud de onda (extensión) de las mismas. Así se distinguen:
3.1)
Superficies rugosas: gran amplitud y pequeña longitud de onda. Ejemplos: hormigón, fundición de hierro, mamposterías de piedra o ladrillo, etc.
3.2)
Superficies onduladas: pequeña amplitud y gran longitud de onda. Ejemplos: paredes de acero u hormigón pintadas, plásticos etc.
4) De la disposición geométrica de las asperezas. 5) De la separación l entre asperezas. Por otra parte, los valores de k, no son constantes para un mismo material de contorno sólido, pues varía de acuerdo al procedimiento constructivo (ejemplo: hormigón). Finalmente es necesario tener en cuenta que todo contorno sólido, con el uso, incrementa su rugosidad por corrosión o por incrustaciones en su superficie. Para valorar esta variación se ha establecido la siguiente expresión empírica:
kt = k0 + α .t siendo:
kt : Rugosidad absoluta después de un tiempo de uso t k0 : Rugosidad absoluta del material nuevo
α : Incremento de la rugosidad en la unidad de tiempo Expresión de Darcy-Weisbach Mediante observaciones y experiencias se logro establecer algunas leyes generales para la pérdida de carga continua que sufre una corriente de líquido natural que circula por una conducción de paredes sólidas. Dichas leyes determinan que la pérdida de carga continua: 1.Crece con la rugosidad de las paredes internas de la conducción;
2.Es directamente proporcional al área de la superficie mojada; es decir, es
directamente proporcional a la longitud de la conducción y al perímetro mojado p. El Área de la superficie mojada es: p.L;
3.Es inversamente proporcional a cierta potencia de una longitud X que caracteriza la
forma de conducción (diámetro d, en conducciones cerradas circulares).
4.Es directamente proporcional a una cierta potencia de la velocidad media de la corriente líquida, cercana a 2; y 5.Varía con una cierta potencia de la relación entre la viscosidad absoluta y la densidad. Esto implica que:
Jα k . p.L ⋅
1 n η ⋅ V ⋅ r X ρ
s
1 n η ⋅ V ⋅ r X ρ
∴ J = C.k . p.L ⋅
s
Si k ′ = C.k , de modo que k ′ englobe la rugosidad de las paredes de la conducción y el factor de proporcionalidad, entonces resulta:
∴ J = k ′ . p.L ⋅
1 n η ⋅ V ⋅ r X ρ
s
La expresión anterior corresponde a la ecuación de la Pérdida de Carga Continua o Pérdida de Carga por Frotamiento. Siendo:
L: Longitud de la conducción p: Longitud de la conducción X: Longitud que caracteriza la forma de la conducción V: Velocidad Media de la corriente líquida
η : Viscosidad Absoluta del líquido ρ : Densidad del líquido. Para una conducción cerrada de forma circular, resulta:
p = π .d ∧ X = d p π .d π = = X r d r d r− 1 Si m = r − 1 entonces:
p π = m r X d ⇒ J = k ′ .L ⋅
π n η ⋅ V ⋅ m d ρ
s
Agrupando los términos constantes, se tiene:
η k ′′ = k ′ .π ⋅ ρ
s
Vn ∴ J = k ′′ .L ⋅ m d La Pérdida de Carga Unitaria valdrá:
J Vn j = = k ′′ ⋅ m L d La expresión anterior es aplicable a todos los problemas de escurrimiento de los líquidos naturales en conducciones circulares, de cualquier dimensión y naturaleza, determinando k ′′ , n y m . Según Darcy-Weisbach:
m= 1 n= 2 y V 2 2g j = k ′′ ⋅ ⋅ d 2g 1 V2 j = 2 g .k ′′ ⋅ ⋅ d 2g Haciendo k ′′ .2 g = f , resulta en definitiva:
f V2 j= ⋅ d 2g La ecuación de arriba es la Fórmula de Darcy-Weisbach de la Pérdida de Carga Unitaria que se origina en un conducto circular por el cual circula una corriente líquida natural. Donde:
f : Coeficiente de Frotamiento El Coeficiente de Frotamiento depende: • De la Velocidad Media de la corriente líquida, cuando n=2; • Del Diámetro interno del conducto, cuando m=1; • De la Viscosidad y Densidad del líquido; y
• De la Rugosidad de las paredes del conducto (incluida k”). Por tanto, el Coeficiente de Frotamiento depende de:
• Número de Reynolds Re; y • Rugosidad Relativa k/d (relación entre Rugosidad Absoluta y el diámetro interno).
Para el régimen laminar la fórmula de Poiseuille de la pérdida de carga es:
η j = 32 γ
V ⋅ 2 d
Este valor viene a ser una particularización de la expresión de Darcy-Weisbach; igualándose resulta:
j=
η V f V ⋅ = 32 ⋅ 2 d 2g γ d
Despejando f y simplificando se tiene que:
η g γ f = 64 V .d Además, se sabe que:
υ =
η g (Viscosidad Absoluta) γ Re =
V .d υ
En consecuencia:
f =
64 64 = V .d Re υ
Por tanto, el Coeficiente de Frotamiento para el régimen Laminar es:
f =
64 Re
En el escurrimiento laminar, el coeficiente de frotamiento resulta inversamente proporcional al Número de Reynolds, e independiente de la rugosidad de las paredes internas del conducto.
