arbol dec

Árboles de Decisiones

2.

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En el capítulo anterior presentamos criterios de decisión para evaluar lo que se pueden denominar alternativas “de una sola etapa”, en el sentido de que ninguna decisión a futuro dependerá de la que se tome ahora. En esta sección consideramos un proceso de decisión “de múltiples etapas” en el cual se toman decisiones dependientes una tras otra. Se puede hacer una representación gráfica del problema de decisión mediante el uso de un árbol de decisión. Esta representación facilita el proceso de toma de decisiones.

Definición.- El árbol de decisiones es una representación gráfica de un análisis de decisiones en forma cronológica. Muestra las alternativas de decisión, los estados de la naturaleza, las probabilidades asignadas y las utilidades o pérdidas condicionales. Ventajas: 1.- Estructura el proceso de decisión obligando al usuario a enfocar el proceso de toma de decisiones en una forma ordenada y en secuencia. 2.- Permite examinar todos los resultados posibles; los deseables y los negativos. 3.- Permite comunicar a otros el proceso de toma de decisiones de una manera muy clara, ilustrando cada suposición sobre el futuro. 4.- Permite discutir en grupo las alternativas al enfocar individualmente cada cifra de costos o ingresos, las probabilidades de un resultado, suceso o evento y los supuestos correspondientes. 5.- Se puede programar en computadora de manera tal que permita hacer simulaciones sobre los diferentes supuestos y sus efectos. Los pasos a seguir son los siguientes: 1.- Definir acciones mutuamente excluyentes y eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos para luego graficar el árbol. 2.- Especificar o calcular la probabilidad para cada evento. 3.- Determinar la ganancia condicional asociada con las diferentes combinaciones de acciones y eventos. 4.- Calcular la ganancia esperad para cada nodo de dedición y de evento. 5.- Elegir la opción óptima por el criterio del valor esperado.

Nota.- Se supone que las condiciones no cambian mientras tomamos la decisión. En cada nodo de evento se determina el valor esperado sumando los productos de las probabilidades de ocurrencia de los resultados por los beneficios correspondientes a cada uno. En cada nodo de decisión se escoge la rama que tiene mayor valor esperado El ejemplo que sigue ilustra los fundamentos del procedimiento del árbol de decisión.

Ejemplo 1.- Una compañía tiene ahora las opciones de construir una planta de tamaño completo o una pequeña que se puede aplicar después. La decisión depende principalmente de las demandas futuras del producto que

Ing. Efraín Murillo


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producirá la planta. La construcción de una planta de tamaño completo puede justificarse en términos económicos si el nivel de demanda es alto. En caso contrario, quizá sea recomendable construir una planta pequeña ahora y después decidir en dos años si ésta se debe ampliar. El problema de decisión de múltiples etapas (dos etapas) se presenta aquí por que si la compañía decide construir ahora una planta pequeña, en dos años deberá tomarse una decisión a futuro relativa a la expansión de dicha planta. En la figura A se presenta un resumen del problema como un árbol de decisión. Se supone que la demanda puede ser alta o baja. El árbol de decisión tiene dos tipos de nodos: uno cuadrado ( ) representa un punto de decisión y un círculo (Ο) denota un evento probabilístico. Por lo tanto, comenzando con el nodo 1 (un punto de decisión), debemos tomar una decisión referente al tamaño de la planta. El nodo 2 es un evento probabilístico del cual emanan dos ramas que representan demanda alta o baja, dependiendo de las condiciones del mercado. Estas condiciones se representarán al asociar probabilidades con cada rama. El nodo 3 es también un evento probabilístico del cual emanan dos ramas que representan demandas alta y baja. Lógicamente, la compañía considerará la posible expansión a futuro de la planta pequeña sólo si la demanda en los dos primeros años resulta ser elevada. Esta es la razón por la que el nodo 4 representa un punto de decisión, donde las dos ramas que de él emanan representan las decisiones de “expansión” y de “no expansión”. Una vez más, los nodos 5 y 6 son eventos probabilísticos y las ramas que emanan de cada uno representan demandas alta y baja. Los datos del árbol de decisión debe incluir (1) las probabilidades asociadas con las ramas que emanan de los eventos y (2) los ingresos asociados con diversas alternativas del problema. Supóngase que la compañía está interesada en estudiar el problema en un periodo de 10 años. Un estudio de mercado señala que las probabilidades de tener demandas altas y bajas en los 10 años siguientes son 0.75 y 0.25, respectivamente. La construcción inmediata de una planta grande costará $5 millones y una planta pequeña costará sólo $1 millón. La expansión de la planta pequeña de aquí a dos años se calcula costará $4.2 millones. Los cálculos o estimaciones del ingreso anual de cada una de las alternativas están dados de la manera siguiente. -

-

-

-

Si se construye la planta completa: -

Si la demanda es alta, generará $1000000 anualmente.

-

Si la demanda es baja, generará $300000 anualmente.

Si se construye la planta pequeña: -

Si la demanda es alta, generará $250000 anualmente para cada uno de los 10 años.

-


Para la planta pequeña ampliada: -

Si la demanda es alta, generará $900000 anualmente.

-


Para la planta pequeña sin expansión y con alta demanda en los dos primeros años, seguida de una baja demanda en cada uno de los ocho años restantes producirá $200000.

Estos datos se resumen en la figura A. Ahora estamos listos para evaluar las alternativas. La decisión final debe señalarnos qué hacer en los nodos de decisión 1 y 4. La evaluación de las alternativas está basada en el uso del criterio del valor esperado (VE). Los cálculos empiezan en la etapa 2 y después retroceden a la etapa 1. Por lo tanto, en los últimos ocho años, podemos evaluar las dos alternativas en el nodo 4 de la manera siguiente: VE{ganancia neta|expansión}= (900000 x 0.75 + 200000 x 0.25) x 8 – 4200000 = $ 1600000 VE{ganancia neta|no expansión}= (250000 x 0.75 + 200000 x 0.25) x 8 = $ 1900000 Por lo tanto, en el nodo 4, la decisión indica que no habrá expansión y la ganancia neta esperada es $1900000.



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Ahora podemos reemplazar todas las ramas del nodo 4 por una sola rama con una ganancia de $ 1900000, que representa la ganancia neta para los últimos ocho años. Ahora efectuamos los cálculos de la etapa 1 que corresponden al nodo 1 como sigue: VE{ganancia neta/planta grande}= (1000000 x 0.75 + 300000 x 0.25) x 10 – 5000000 = $ 3250000 VE{ganancia neta/planta pequeña} = (1900000+250000x2)x0.75 + 200000x10x25 – 1000000 = $1300000 Por lo tanto, la decisión óptima en el nodo 1 consiste en construir una planta grande. Tomar esta decisión ahora elimina evidentemente la consideración de las alternativas en el nodo 4.

Figura A. Árbol de decisiones para el ejemplo 1. Ejercicio: En el ejemplo anterior, supóngase que la demanda durante los últimos ocho años puede ser alta, mediana o baja, con las probabilidades 0.7, 0.2, y 0.1, respectivamente. Los ingresos anuales se resumen de la manera siguiente: 1. La planta pequeña ampliada con demandas alta, mediana y baja producirá un ingreso anual de $ 900 000, $ 600 000 y $ 200 000. 2. La planta pequeña no ampliada con demanda alta, mediana o baja rendirá un ingreso anual de $ 400 000, $ 280 000 y $ 150 000. Determine la decisión óptima en el nodo 4. [Resp. VE{ganancia neta|expansión} = $ 1960000 y VE{ganancia neta|no expansión} = $ 2808000. Por lo tanto, se decide no hacer la ampliación en el nodo 4.]



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Ejemplo 2.- Colaco tiene en la actualidad activos de 150 000 dólares y desea decidir si vende o no un refresco con sabor a chocolate, la Chocola. Colaco tiene tres opciones: Opción 1: Probar en forma local el sabor de Chocola y, a continuación, usar los resultados del estudio de mercado para determinar si vende la Chocola a nivel nacional o no. Opción 2: Vender de inmediato, sin prueba de mercado, la Chocola a nivel nacional. Opción 3: Decidir de inmediato, sin prueba de mercado, no vender Chocola a nivel nacional. A falta de un estudio de mercado, Colaco cree que Chocola tiene 55% de probabilidades de ser éxito nacional, y 45% de probabilidades de ser fracaso nacional. Si la Chocola es éxito nacional, el estado de inversiones de Colaco aumentará en 300 000 dólares y si es fracaso nacional los activos actuales disminuirán en 100 000 dólares. Si Colaco, lleva a cabo un estudio de mercado, a un costo de 30 000 dólares, hay 60% de probabilidades que el estudio dé resultados favorables, a lo que se llama Éxito local, y 40% de probabilidades que el estudio arroje resultados desfavorables, a lo que se llama fracaso local. Si se obtiene éxito local, hay 85% de probabilidades de que la Choclo sea éxito nacional y si se obtiene fracaso local, hay 10% de probabilidad de que sea éxito nacional. Si Colaco es neutral con respecto a riesgos, o sea, desea hacer máximo estado de sus bienes, ¿qué estrategia debe seguir? El árbol de decisiones se muestra en la Figura siguiente:

Árbol de decisiones para COLACO



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Cómo tomar una mejor decisión comprando información confiable (Abordaje de Bayes) En muchos casos, el decisor puede necesitar la opinión de un especialista para reducir sus incertidumbres con respecto a la probabilidad de cada uno de los estados de la naturaleza. Por ejemplo, consideremos el siguiente problema de decisión concerniente a la producción de un nuevo producto:

A1 (desarrollar) A2 (no desarrollar)

Mucha venta A(0.2) 3000 0

Estados de la naturaleza Venta media Poca venta B(0.5) C(0.3) 2000 -6000 0 0

Las probabilidades de los estados de la naturaleza representan los distintos grados que tiene el criterio del decisor (por ejemplo, un gerente) con respecto a la ocurrencia de cada estado. Nos referiremos a estas evaluaciones subjetivas de la probabilidad como probabilidades "a priori". El beneficio esperado de cada curso de acción es A1 = 0.2(3000) + 0.5(2000) + 0.3(-6000) = $ -200 y A2 = 0; entonces elegimos A2, que significa que no desarrollamos. Sin embargo, el gerente se siente algo reacio a tomar esta decisión; por ello solicita la asistencia de una firma de investigación de mercado. Ahora nos enfrentamos a una nueva decisión. Es decir, con cuál firma de investigación de mercado debe consultar su problema de decisión. Es así que el gerente debe tomar una decisión acerca de cuán "confiable" es la firma consultora. Mediante muestreo y luego analizando el desempeño previo de la consultora debemos desarrollar la siguiente matriz de confiabilidad:

Lo que el consultor Ap predijo Bp Cp

Qué sucedió realmente en el pasado A B C 0.8 0.1 0.1 0.1 0.9 0.2 0.1 0.0 0.7

Todas las Firmas de Investigación de Mercado llevan registros (es decir, conservan datos históricos) del desempeño alcanzado en relación con las predicciones anteriores que hubieren formulado. Estos registros los ponen a disposición de sus clientes sin cargo alguno. Para construir una matriz de confiabilidad debe tomar en consideración los "registros de desempeño" de la Firma de Investigación de Mercado correspondientes a los productos que tienen mucha venta, y luego hallar el porcentaje de los productos que la Firma predijo correctamente que tendrían mucha venta, venta media y poca o ninguna venta. Estos porcentajes se representan como P(Ap|A) = 0.8, P(Bp|A) = 0.1, P(Cp|A) = 0.1, en la primera columna de la tabla anterior, respectivamente. Se debe efectuar un análisis similar para construir las otras columnas de la matriz de confiabilidad. Observe que para fines de consistencia, las entradas de cada columna en la matriz de confiabilidad deberían sumar uno. a) Tome las probabilidades y multiplíquelas "hacia abajo" en la matriz, y luego súmelas:


Árboles de Decisiones 0.2 A 02(0.8) = 0.16 0.2(0.1) = 0.02 0.2(0.1) = 0.02

6 0.5 B 0.5(0.1) = 0.05 0.5(0.9) = 0.45 0.5(0) = 0

0.3 C 0.3(0.1) = 0.03 0.3(0.2) = 0.06 0.3(0.7) = 0.21

SUMA 0.24 0.53 0.23

b) SUMA es el resultado de sumar en sentido horizontal. c) Es necesario normalizar los valores (es decir, que las probabilidades sumen 1) dividiendo el número de cada fila por la suma de la fila hallada en el paso b. A (.16/.24)=.667 (.02/.53)=.038 (.02/.23)=.087

B (.05/.24)=.208 (0.45/.53)=.849 (0/.23)=0

C (.03/.24)=.125 (.06/.53)=.113 (0.21/.23)=.913

d) Dibuje el árbol de decisiones. Muchos ejemplos gerenciales, como el de este ejemplo, involucran una secuencia de decisiones. Cuando una situación de decisión requiere que se tome una serie de decisiones, el abordaje de la tabla de pago puede no dar cabida a las múltiples capas de decisiones. Para ello se aplica el abordaje del árbol de decisiones. El árbol de decisiones es una representación cronológica del proceso de decisión, mediante una red que utiliza dos tipos de nodos: los nodos de decisión, representados por medio de una forma cuadrada (el nodo de elección), y los nodos de estados de la naturaleza, representados por círculos (el nodo de probabilidad). Dibuje la lógica del problema construyendo un árbol de decisiones. Para los nodos de probabilidad asegúrese de que las probabilidades en todas las ramas salientes sumen uno. Calcule los beneficios esperados retrocediendo en el árbol, comenzando por la derecha y trabajando hacia la izquierda. Usted puede imaginarse el conducir de su coche, el comenzar en el pie del árbol de la decisión y el trasladarse a la derecha a lo largo de las ramificaciones. En cada nodo cuadrado usted tiene control, puede tomar una decisión, y da vuelta a la rueda de su coche. En cada nodo del círculo la señora Fortuna asume el control la rueda, y usted es impotente. A continuación se indica una descripción paso a paso de cómo construir un árbol de decisiones: 1. Dibuje el árbol de decisiones usando cuadrados para representar las decisiones y círculos para representar la incertidumbre. 2. Evalúe el árbol de decisiones, para verificar que se han incluido todos los resultados posibles. 3. Calcule los valores del árbol trabajando en retroceso, del lado derecho al izquierdo. 4. Calcule los valores de los nodos de resultado incierto multiplicando el valor de los resultados por su probabilidad (es decir, los valores esperados). Podemos calcular el valor de un nodo del árbol cuando tenemos el valor de todos los nodos que siguen. El valor de un nodo de elección es el valor más alto de todos los nodos que le siguen inmediatamente. El valor de un nodo de probabilidad es el valor esperado de los valores de los nodos que le siguen, usando la probabilidad de los arcos. Retrocediendo en el árbol, desde las ramas hacia la raíz, se puede calcular el valor de todos los nodos, incluida la raíz del árbol. Al poner estos resultados numéricos en el árbol de decisiones obtenemos como resultado el siguiente gráfico:



Arbol de decisiones típicos Referencias de la figura No Consultant = Sin consultor;


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8

$500 fee = $500 por honorarios; Hire Consultant = Contratar consultor Determine la mejor decisión con el árbol partiendo de la raíz y avanzando. Del árbol de decisiones surge que nuestra decisión es la siguiente: Contratar al consultor y luego aguardar su informe. Si el informe predice muchas ventas o ventas medias, entonces producir el producto. De lo contrario, no producirlo. Verifique la eficiencia del consultor (%) calculando el índice: (Beneficio esperado recurriendo al consultor {monto en $}) / VEIP. El beneficio esperado recurriendo al consultor surge del gráfico como BE = 1000 - 500 = 500, mientras que VEIP = .2(3000) + .5(2000) + .3(0) = 1600. Por lo tanto, la eficiencia de este consultor es: 500/1600 = 31% Como trabajo domiciliario rehaga este problema con distribución previa plana, es decir, trabajando sólo con las recomendaciones de la firma de marketing. Trabajar con distribución previa plana significa que asigna igual probabilidad, a diferencia de (0.2, 0.5, 0.3). Es decir, el dueño del problema no conoce el nivel de ventas si introduce el producto al mercado.

Probabilidad: -

Conjunta

-

Marginal

-

Condicional

Teorema de Bayes Variable con dos características:

Ejemplo: Tenemos 3 promociones de Ingenierías de 150 alumnos

1ra característica: Especialidad 2da característica: Sexo



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Probabilidad Conjunta: Supongamos que de 150 alumnos tomamos 1 ¿Cuál es la probabilidad que sea ingeniero industrial y que sea hombre?.

P(II ∩ H) =

25 1 = = 0.17 150 6

Cálculo de la matriz de Probabilidades Conjuntas

Interpretación: La columna total (0.37, 0.27 y 0.36) es la probabilidad marginal de que sea II, IM, IS El valor 0.37 significa la probabilidad marginal que el alumno sea II La fila total (0.50 y 0.50) es la probabilidad Marginal de que sea hombre o mujer

¿Cuál es la probabilidad de que un alumno tomado al azar sea II si sabemos que es hombre?

P(II/H) =

P( II ∩ H ) P( H )

=

0.17 = 0.34 0.50

Matriz de Probabilidades Condicionales Respecto al Sexo

Pr obablidad Condicional A = Ing. Efraín Murillo

Pr obabilidad Conjunta Pr obabilidad M arg inal A


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¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre si sabemos que es Ingeniero Industrial?.

P(H / II) =

0.17 = 0.46 0.37

Matriz Condicional con respecto a la especialidad

Pr obablidad Condicional B =

Pr obabilidad Conjunta Pr obabilidad M arg inal B

En conclusión: -

Hay dos tipos de probabilidades marginales y condicionales.

-

La probabilidad conjunta es el elemento común de las dos características, entonces se puede calcular en términos de la otra probabilidad condicional.

En problemas se da como dato una de las dos probabilidades condicionales, por lo tanto hay que calcular en primer lugar la matriz de probabilidades conjuntas.



P(Ai ∩ Bj) =

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n( Ai, Bj ) N

N = total de muestras

P(Ai) = P(Bj) =

n( Ai) N n( Bj ) N

P(Ai / Bj) = P(Bj / Ai) =

j

= ∑ p( Ai ∩ Bj )

(3)

1 i

= ∑ p ( Ai ∩ Bj )

(4)

1

p ( Ai ∩ Bj )

(1)

p ( Bj )

p ( Bj ∩ Ai)

(2)

p ( Ai)

P(Bj∩Ai) = Común para calcular el teorema de Bayes

(De (1) y (2))

P(Ai Bj) = P(Ai/Bj)P(Bj) = P(Bj/Ai)P(Ai)

P(Ai / Bj) =


p( Bj / Ai)P( Ai) p( Bj)


P(Bj/Ai) =

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p( Ai / Bj)P( Bj) p( Ai)

Donde: j

j

1

1

i

i

1

1

P(Ai) = ∑ p ( Ai ∩ Bj ) = ∑ p( Ai / Bj ) p( Bj )

P(Bj) = ∑ p( Ai ∩ Bj ) = ∑ p( Bj / Ai) p( Ai)

⎛ Realidad ⎞ ⎜ ⎟ mercado bueno ⎜ ⎟ = 0.80 Probabilid ad Estudio ⎟ ⎜ ⎜ dijo bueno ⎠⎟ ⎝

⎡este valor es el resultado de⎤ ⎢las experiencias anteriores ⎥ ⎣ ⎦

Lo que nos interesa es saber cuál es la probabilidad de que el estudio diga que es bueno dado que realmente sea bueno.

⎛ Estudio ⎞ ⎜ ⎟ dijo bueno ⎟ Probabilid ad⎜ Realidad ⎜ ⎟ ⎜ mercado bueno ⎠⎟ ⎝

→ generalmente dato conocido

Ejemplo.- La Fruit Computer Company fabrica chips de memoria en lotes de diez. Según su experiencia, Fruit sabe que el 80% de todos los lotes son buenos y el 20% malos. Si se tiene un lote bueno y se extrae un chips, hay una probabilidad de 10% (uno de cada diez) de que el chips sea defectuoso. Si se tiene un lote malo, y se extrae un chips, hay una probabilidad de 50% (5 de cada 10) de que el chips sea defectuoso. Si un lote bueno, se manda a la siguiente etapa de producción, los costos de proceso en que se incurra serán de 1000 dólares. Si un lote malo, se manda a la siguiente etapa de producción, se incurre en 4000 dólares de costos. Fruit tiene también la opción de reprocesar un lote a un costo de 1000 dólares. Es seguro que un lote reprocesado será después un lote bueno. Otra opción es que, por un costo de 100 dólares, Fruit puede probar un chip de cada lote para tratar de determinar si es defectuoso ese lote. Determine cómo puede Fruit reducir al mínimo el costo total esperado por lote.



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SOLUCION: Hay dos estados del mundo: LB = el Lote es Bueno LM = el Lote es Malo Nos dan las siguientes probabilidades marginales a priori: P(LB) = 0 .80 y p(LM) = .20 Fruit tiene la opción de llevar a cabo un experimento: inspeccionar un chip por lote. Los resultados posibles del experimento son: ChM = se encuentra que el chip es defectuoso (Chip Malo). ChB = se encuentra que el chip no es defectuoso (Chip Bueno). Nos proporcionan las siguientes probabilidades condicionales con respecto a los estados del mundo (probailidades a priori). p(ChM|LB) = 0.10,

p(ChB|LB) = 0.90,

p(ChM|LM) = 0.50,

p(ChB|LM) = 0.50

Para terminar el árbol de decisiones de la fig b necesitamos calcular las probabilidades a condicionales con respecto al experimento (probabilidades a posteriori p(LM|ChM), p(LB|ChM), p(LM|ChB) y p(LB|ChB). Comenzamos calculando las probabilidades conjuntas: p(ChM∩LB) = p(LB) p(ChM|LB) = 0.80(0.10) = 0.08 p(ChM∩LM) = p(LM) p(ChM|LM) = 0.20(0.50) = 0.10 p(ChB∩LB) = p(LB) p(ChB|LB) = 0.80(0.90) = 0.72 p(ChB∩LM) = p(LM) p(ChB|LM) = 0.20(0.50) = 0.10 A continuación calculamos la probabilidad de cada uno de los resultados experimentales: p(ChM) = p(ChM∩LB) + p(ChM∩LM) = 0.08 + 0.10 = 0.18 p(ChB) = p(ChB∩LB) + p(ChB∩LM) = 0.72 + 0.10 = 0.82 Entonces usamos la regla de Bayes para determinar las probabilidades a posteriori necesarias: p (ChM ∩ LM ) . 10 5 = = p ( LM | ChM ) = . 18 9 p (ChM ) p ( LB | ChM

)=

p ( LM | ChB

)=

p ( LB | ChB

)=

p (ChM ∩ LB p (ChM

)

)

p (ChB ∩ LB p (ChB

)

. 08 4 = . 18 9

=

. 10 10 = . 82 82

)

p (ChB ∩ LM ) p (ChB

=

)

=

. 72 72 = . 82 82

Estas probabilidades a posteriori se emplean para completar el árbol de la figura siguiente. El cálculo directo indica que la estrategia óptima es probar un chip. Si resulta defectuoso, se procesa el lote. Si no resulta defectuoso, el lote puede proseguir. Se incurre en un costo esperado de 1575 dólares.



Figura B. Ejemplo del uso de la regla de Bayes en árboles de decisiones (ejemplo de los chips de Memoria).

Cálculo de las probabilidades condicionales A


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Cálculo de las probabilidades conjuntas

Cálculo de las probabilidades condicionales B

APLICACIÓN 1.- La compañía Nitro Fertilizer está elaborando un nuevo fertilizante. Si Nitro comercializa el producto y tiene éxito, la compañía obtendrá una ganancia de $50 000; si no tiene éxito, la compañía perderá $35 000. En el pasado, productos similares han tenido éxito 50% de las veces. A un costo de $5 000, se puede probar la efectividad del nuevo fertilizante. Si el resultado de la prueba es favorable, hay 80% de probabilidades de que el fertilizante tenga éxito. Si la prueba resulta desfavorable, sólo hay 30% de probabilidades de que tenga éxito el fertilizante. Hay 60% de probabilidades de un resultado de prueba favorable. Se pide: El árbol de decisiones, los beneficios o costos en cada rama del árbol, las probabilidades respectivas, los resultados esperados y la estrategia óptima de Nitro.

SOLUCIÓN ÁRBOL DE DECISIONES



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Decisión óptima: La empresa deberá realizar la prueba, y si la prueba da un resultado favorable, deberá comercializar, en caso contrario deberá no comercializar. El valor esperado de la decisión óptima es de 14800 dólares.

APLICACIÓN 2.- Una empresa debe decidir si compra una máquina nueva, reparar una existente o seguir con una máquina antigua. Los rendimientos de las máquinas son diferentes según la calidad de la materia prima. Sus beneficios (en millones de soles) son: Máquina nueva

Máquina reparada

Máquina antigua

Materia prima buena

60

24

16

Materia prima mala

-30

6

12

Hay 35% de probabilidad de obtener materia prima buena. Es posible hacer una prueba preliminar a la materia prima con un costo de 1.2 millones, pero estas pruebas no son infalibles, la verdadera calidad solo puede ser determinada durante el proceso. En el pasado las pruebas tuvieron los siguientes resultados: Cuando la calidad resulta Buena Mala La prueba

Buena

0.8

0.3

Indica

Mala

0.2

0.7



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Se pide: El árbol de decisiones, los beneficios o costos en cada rama del árbol, las probabilidades respectivas, los resultados esperados y la decisión óptima.

SOLUCIÓN



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Decisión óptima: La empresa deberá realizar la prueba, y si la prueba da un resultado de Buena, deberá comprar la máquina, en caso contrario deberá seguir con la máquina antigua. El valor esperado de la decisión óptima es de 16.356 millones de dólares.

APLICACIONES PROPUESTAS 1.- La demanda semanal de revistas sobre economía política en un puesto de periódicos puede ser de uno de los valores siguientes: 100, 120 ó 130 revistas con probabilidades 0.2, 0.3 y 0.5. El propietario del kiosco limita sus alternativas a proveer uno de los tres niveles indicados. Si tiene en existencia más de lo que puede vender en el mismo día deberá deshacerse de las revistas remanentes a un precio de descuento de 55 centavos/revista. Suponiendo que el comerciante paga 60 centavos por revista y la vende en $ 1.05, determine el nivel de aprovisionamiento óptimo mediante el uso de una representación de árbol de decisión.

2.- Supóngase en el problema 1 que el propietario de la tienda desea considerar su problema de decisión en un periodo de dos días. Sus alternativas para el segundo día se determinan como sigue. Si la demanda del día 1 es igual a la cantidad de mercancía en existencia, seguirá solicitando la misma cantidad el segundo día. De lo contrario, si la demanda es mayor que la cantidad almacenada, tendrá las opciones de solicitar mayores niveles de aprovisionamiento para el segundo día. Por último, si la demanda del día uno es menor que la cantidad almacenada, tendrá las opciones de ordenar cualquiera de los niveles más bajos para el segundo día. Exprese el problema como un árbol de decisión y obtenga la solución óptima utilizando los datos de costos que se dieron en el problema 1.

3.- Un inversionista está estudiando 4 alternativas de inversión para unos clientes: acciones, bonos, inmuebles y certificado de ahorros. Los patrones históricos de las acciones indican que hay una probabilidad de 30% que las acciones disminuyan en un 20%, una probabilidad en 5 de que permanezcan estables y una probabilidad de 50% de que aumenten el valor en 10%. Las acciones bajo consideración no pagan dividendos. Los bonos tienen una probabilidad del 30% de aumentar su valor en 5% y una probabilidad del 70% de permanecer estables, su rendimiento es de 7%. El paquete de inmuebles en consideración tiene una oportunidad en 10 de aumentar 25% su valor, una oportunidad en 5 de aumentar su valor en 10%, 3 oportunidades en 10 de aumentar su valor en 5%, una oportunidad en 5 de quedarse estables y una oportunidad en 5 de perder 5% su valor. Los certificados de ahorros producen 7.5% con seguridad. Determine la mejor alternativa de inversión.

4.- Un explorador petrolero debe decidir entre perforar un pozo o vender sus derechos de explotación antes de perforar. El explorador tiene la opción de realizar pruebas sismográficas. El costo de perforar un pozo se estima en 5 millones de soles, la ganancia que podría esperarse de encontrar petróleo es de 24 millones. Las pruebas sísmicas le costaría un millón. El explorador podría vender sus derechos por 3 millones antes de la perforación y de las pruebas. Si hiciera las pruebas y los resultados no indican presencia de estructuras (indicador de que haya o no petróleo) puede vender



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sus derechos por 0.2 millones. Si las pruebas indican la presencia de estructuras, puede vender sus derechos por 6 millones. Si no encontrara petróleo el valor del área de exploración sería cero. Las probabilidades de obtener petróleo del área sin ninguna prueba es de 30%. Si lleva a cabo las pruebas sismográficas el explorador considera que estas detectarán las estructuras del subsuelo con un 40% de probabilidad. En caso de detectar estructuras puede perforar con un 65% de probabilidad de encontrar petróleo. En caso de no detectar estructuras puede perforar con 75% de probabilidad de encontrar seco el pozo. Qué debe hacer el perforador?.

5.- Considere una firma que tiene 2 líneas de ensamble, 1 y 2, ambas producen calculadoras electrónicas. La línea ensamble 1 produce el 55% y la línea 2 el 45% del total de producción mensual. El gerente de ventas estima que el 15% y el 10% de las calculadoras producidas en la línea 1 y 2, respectivamente, son defectuosas. a) Si Ud. compró una calculadora y resultó ser defectuosa. ¿Cuál es la probabilidad de que la calculadora haya sido producida en la línea 1?, en la línea 2? b) Si Ud. compró una calculadora y resultó ser Buena. ¿Cuál es la probabilidad de que la calculadora haya sido producida en la línea 1?, en la línea 2? c) Si se toma una calculadora al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sea buena?, defectuosa?. d) Si se toma una calculadora al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sea defectuosa y a la vez haya sido producida en la línea 2?.

6.- Manolo, que es campesino, debe determinar si siembra maíz o trigo. Si siembra maíz y el clima es caluroso, gana 8000 dólares, o si el clima es frío, gana 5000 dólares. Si siembra trigo y el tiempo es caluroso gana 7000 dólares y si el tiempo es frío gana 6500 dólares. En el pasado el 40% de los años han sido fríos y el 60% calientes. Antes de sembrar Manolo puede pagar 600 dólares para un pronóstico del tiempo. Si el año es en realidad frío, hay 90% de probabilidades que el meteorólogo prediga un año frío. Si el año es en realidad caliente, hay 80% de probabilidades que el meteorólogo prediga un año caluroso. ¿Cómo puede Manolo maximizar sus ganancias esperadas?

7.- El gobierno trata de determinar si se debe examinar a los inmigrantes para ver si tienen o no una enfermedad contagiosa. Suponga que la decisión se basará en consideraciones financieras. Suponga además que cada inmigrante cuya entrada se permite y tiene la enfermedad, le cuesta 100000 dólares al país, y que cada inmigrante que entra y no tiene la enfermedad contribuye con 10000 dólares a la economía nacional. Suponga también que el 10% de todos los inmigrantes potenciales tienen la enfermedad. El gobierno puede admitir a todos los inmigrantes, no admitirlos o hacer pruebas para ver si tienen la enfermedad antes de decidir si se admiten o no. Cuesta 100 dólares hacer un examen personal para diagnosticar la enfermedad; el resultado de la prueba es positivo o negativo. Si el resultado de la prueba es positivo, es seguro que la persona tiene la enfermedad. Sin embargo un 20% de todas las personas que sí tienen la enfermedad obtienen resultados negativos en el reconocimiento. La meta del gobierno es elevar al máximo, por inmigrante potencial, los beneficios esperados menos los costos esperados. Utilice un árbol de decisiones para auxiliar en esta determinación.

8.-

La ciudad de Arequipa está considerando reemplazar la flota de autos de gasolina propiedad de la municipalidad por autos eléctricos. El fabricante de estos autos eléctricos afirma que la ciudad experimentará ahorros significativos durante la vida de la flota si efectúa el cambio, pero la ciudad tiene dudas. Si el fabricante tiene la razón, la ciudad ahorrará 1 millón de dólares. Si la nueva tecnología falla, como algunos críticos sugieren, el cambio costará a la ciudad $450 000. Una tercera posibilidad es que ninguna de las situaciones anteriores ocurra y que la ciudad quede igual con el cambio. De acuerdo con un reporte de consultores recientemente terminado, las probabilidades respectivas de estos tres eventos son 0.25, 0.45 y 0.30. La ciudad podría utilizar un programa piloto, que de realizarse indicaría el costo potencial o el ahorro por la conversión a autos eléctricos. El programa incluye rentar tres autos eléctricos durante 3 meses y utilizarlos bajo



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condiciones normales. El costo de este programa piloto para la ciudad sería de $50 000. El consejero de la ciudad considera que los resultados del programa piloto serían significativos, pero no concluyentes. Para apoyar su opinión se muestra la tabla siguiente, la cual presenta un resumen de probabilidades basado en la experiencia de otras ciudades. ¿Qué opciones debería tomar la ciudad si desea maximizar los ahorros esperados?.

Un programa piloto indicará Ahorro Sin cambio Pérdida Dado que en realidad la Conversión

Ahorra dinero Da igual Da pérdida

0.6 0.4 0.1

0.3 0.4 0.5

0.1 0.2 0.4

9.- La presidenta de una compañía de una rama industrial altamente competitiva considera que un empleado de la compañía está proporcionando información confidencial a la competencia. Está 90% segura que este informante es el tesorero de la compañía, cuyos contactos han sido extremadamente valiosos para obtener financiamiento para la compañía. Si lo despide y es el informante, la compañía gana $100 000. Si lo despide pero no es el informante, la compañía pierde su experiencia y aun tiene a un informante en el equipo, con una pérdida para la compañía de $500 000. Si ella no despide al tesorero, la compañía pierde $300 000, sea o no el informante, ya que en ambos casos el informante continúa en la compañía. Antes de decidir la suerte del tesorero, la presidenta podría ordenar pruebas con el detector de mentiras. Para evitar posibles demandas, estas pruebas tendrían que administrarse a todos los empleados de la compañía con un costo total de $30 000. Otro problema es que las pruebas con detector de mentiras no son definitivas. Si una persona está mintiendo, la prueba lo revelará 90% de las veces; pero si una persona no está mintiendo, la prueba lo indicará sólo 70% de las veces. ¿Qué acciones deberá tomar la presidenta de la compañía?.

10.- Una gran compañía de energéticos ofrece al dueño de un terreno $60000 por los derechos de explotación de gas natural en un sitio determinado y la opción para un desarrollo futuro. La opción, si se ejerce, vale $60000 adicionales para el propietario, pero esto ocurrirá sólo si se descubre gas natural durante la etapa de exploración. El propietario, considerando que el interés de la compañía es una buena indicación de que existe gas, está tentado a desarrollar él mismo el campo. Para hacer esto, deberá contratar equipos locales con experiencia en exploración y desarrollo. El costo inicial es de $100000, los que se perderán si no se encuentra gas. Sin embargo, si descubre gas, el propietario estima un beneficio neto de 2 millones de dólares. El propietario antes de tomar la decisión puede realizar pruebas con sonido en el sitio en donde se sospecha que haya gas natural, con un costo de $30000. Las pruebas de sonido indican que no hay gas presente, pero la prueba no es perfecta. La compañía que realizó las pruebas acepta que 30% de las veces la prueba indicará que no hay gas cuando en realidad éste existe. Cuando no existe gas, la prueba es acertada 90% de las veces. Empleando estos datos, actualícese la estimación inicial del propietario de que la probabilidad de encontrar gas es de 0,6 y determínese después la decisión recomendada.

11.- El jefe de marketing de una importante empresa productora de computadoras tiene que decidir si lanzar una nueva campaña antes o después de mayo. Si la lanza antes, tendrá aseguradas unas ventas de 100 millones de soles. Si la lanza después corre el riesgo de que la empresa competidora se adelante, lo que ocurrirá con probabilidad 0.4. Además las ventas también dependen de las previsiones de la coyuntura económica que se presente, que puede ser al alza, con probabilidad 0.5, estabilidad, con probabilidad 0.3 y recesión. Si la economía está en alza y la competidora no ha lanzado su campaña, las ventas se dispararían hasta los 150 millones de soles y si la competidora ha lanzado su campaña las ventas serían de 120 millones. Si la economía está estable, las ventas serían de 90 millones de soles si la competidora lanza su campaña y 110 si no la lanza, y si la economía está en recesión, si la competidora ha lanzado la campaña, las ventas serán de 70 millones y si no la ha lanzado las ventas serán de 80 millones. A la vista de los datos, qué decidirá el jefe de marketing?.



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12.- Iguana Producciones está pensando en producir un programa piloto para una serie de comedia para una importante cadena televisiva. La cadena puede rechazar tanto el piloto como la serie, pero también puede adquirir el programa con duración de 1 o 2 años. Iguana puede decidir producir dicho piloto, o transferir por 10000 dólares los derechos de la serie a un competidor. Las utilidades de Iguana se resume en la siguiente tabla de pagos de utilidades (en miles de dólares).

Estados de la naturaleza Rechazo 1 año 2 años

Alternativa de decisión

S1

S2

S3

Producir serie piloto, d1

–100

50

150

Vender al competidor, d2

100

100

100

a) Si las estimaciones de probabilidades para los estados de la naturaleza son p(rechazo) = 0.2, p(1 año) = 0.3 y p(2ños) = 0.5, ¿qué debería hacer la empresa?. b) ¿Cuál es el máximo que debería estar dispuesto Iguana a pagar para obtener información confidencial sobre los planes de la cadena de televisión?. Por 2500 dólares de honorarios de asesoría, una empresa de consultoría revisará los planes de la serie de comedia y dará la posibilidad general de una reacción favorable por parte de la cadena. Si el estudio especial de esta organización resulta en una evaluación favorable (F) o en una evaluación no favorable (U), ¿cuál debería ser la estrategia de decisión de Iguana?. Suponga de Iguana cree que las probabilidades condicionales siguientes son juicios realistas sobre la precisión de la evaluación de dicha empresa consultora. P(F/s1) = 0.3 p(U/s1) = 0.7 P(F/s2) = 0.6 p(U/s2) = 0.4 P(F/s3) = 0.9 p(U/s3) = 0.1 c) Muestre el árbol de decisión para este problema. d) Cuál es la estrategia de decisión recomendada y el valor esperado, suponiendo que se obtiene la información de la agencia?. e) ¿Vale la información de la agencia los 2500 dólares?. ¿Cuánto sería el máximo que debería estar dispuesto Iguana pagar por la información?.

13.- Se piensa filmar la vida de Pachacútec. Sabemos que si la película fracasa perderemos 4 millones de dólares, y que si es un éxito ganaremos 15 millones de dólares. De antemano, creemos que hay 10% de probabilidades que la película sea un éxito. Antes de filmar, tenemos la opción de pagar 1 millón de dólares a un afamado crítico cinematográfico por su punto de vista acerca de la película. En el pasado, éste crítico ha predicho, en un 60% que las películas serían un éxito, y en un 90% que las películas serían un fracaso. Deseamos elevar al máximo nuestras ganancias esperadas. Use un árbol de decisiones para determinar la mejor estrategia.

14.- Un ingeniero ha desarrollado un nuevo producto y lo ha patentado. Actualmente tiene 3 opciones: fabricar y vender el producto, vender la patente y cobrar un porcentaje por cada unidad vendida o simplemente guardar la patente. Las ventas pueden ser altas o bajas, además tiene la posibilidad de hacer un pequeño estudio de mercado sobre el potencial de ventas a un costo de $1500. Los resultados del estudio le indicaron si las ventas pueden ser muy buenas o malas. En el caso que decida fabricar y vender y resulta que las ventas son altas su beneficio es $25000 por cada año y si son bajas las ventas pierde $5000, en cambio si decide vender la patente cuando las ventas son elevadas se beneficiará en $15000 cada año y si son bajas las ventas se beneficia sólo en $3000. En caso que decida guardar la patente se perjudica en $1000 que le costó desarrollar el nuevo producto. El ingeniero consulta con varios amigos que tienen experiencia en la venta de nuevos productos y en resumen opinaron de que la probabilidad que las ventas sean bajas es 70% y que cuando el estudio de mercado dio los



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resultados de ventas muy buenas hay un 52 % de que realmente las ventas sean altas, en cambio si el estudio de mercado indica que las ventas van a ser malas hay un 16% de que realmente las ventas sean buenas. La probabilidad de que el estudio de mercado de cómo resultado de que las ventas van a ser muy buenas es 56%. a) Cuál es la política óptima que debe tomar el Ingeniero?. Muestre el árbol de decisiones correspondiente indicando los valores esperados en cada nodo de decisión o evento. Si el benéfico por vender la patente cuando las ventas son elevadas fuese $ 13500 cada año, cuál será la decisión óptima?. Muestre el nuevo valor esperado.

15.- Un grupo editorial va ha poner a la venta una nueva revista quincenal de información general. Los beneficios dependerán del precio de venta de la revista y de la aceptación que ésta tenga en el mercado. En cuanto al precio de venta se barajan tres posibilidades: que sea de 3.5 dólares (A1), que sea de 5 dólares (A2), o bien que sea de 1.5 dólares los dos primeros números y 4 dólares el resto (A3). En cuanto a la cuota de mercado se consideran tres niveles: un 10% (E1), con una probabilidad de ocurrencia de 0.3; un 30% (E2), con una probabilidad de 0.4; y un 60% (E3), con una probabilidad de 0.3. La tabla siguiente recoge el beneficio estimado, en miles de dólares para el primer año: E A A1 A2 A3

0.3 E1 -500 -600 -300

0.4 E2 200 600 600

0.3 E3 550 1200 1050

El grupo editorial tiene la posibilidad de contratar los servicios de un analista de mercado, que le informará sobre si la nueva revista será aceptada por el mercado o no. Si la cuota de mercado es de un 60%, la probabilidad de que el informe indique que es aceptada es de 0.5; si la cuota es del 30%, dicha probabilidad será de 0.4 y de 0.2 si la demanda se sitúa en un 10%. Si el informe le cuesta a la editorial 3000 dólares, ¿cuál será la regla de decisión óptima?.


arbol dec

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