Hafta 1: İşaretler ve Sistemler
Ele Alınacak Ana Konular • Sürekli-zaman ve ayrık-zaman işaretler • Bağımsız değişkenin dönüştürülmesi • Üstel ve sinüzoidal işaretler • İmpuls ve birim basamak fonksiyonları • Sürekli-zaman ve ayrık-zaman sistemler • Sistemlerin temel özellikleri
Sürekli-zaman ve ayrık-zaman işaretler • İşaretler bir olayın davranışı veya doğası hakkında bilgi içermektedir. • İşaretleri çeşitli şekillerde ifade etmek mümkündür. İşaretler, matematiksel olarak bir veya daha fazla bağımsız değişkenin fonksiyonu biçiminde temsil edilir. • Örneğin, ses işareti zamanın fonksiyonu olarak akustik basınçla belirtilir. Benzer şekilde, bir görüntü iki konum değişkeninin fonksiyonu olarak parlaklıkla tanımlanır. • Bu derste, aksi belirtilmediği sürece bir bağımsız değişkenli işaretleri inceleyecek ve bağımsız değişkene ZAMAN diyeceğiz. Ancak, tüm fiziksel olaylarda bağımsız değişkenin zaman olmadığı hatırda tutulmalıdır. Örneğin, meteorolojik araştırmalarda yüksekliğe bağlı olarak hava basıncı, sıcaklık ve rüzgar hızının değişimi hakkında bilgi önemlidir. Bu durumda bağımsız değişken yüksekliktir. İncelenen işaretler ise hava basıncı, sıcaklık ve rüzgar hızıdır.
Sürekli-zaman ve ayrık-zaman işaretler
Bir ses kaydı. İşaret, “should we chase” kelimlerini, zamana bağlı olarak akustik basınç değişimleri şeklinde temsil etmektedir. Üst satır “should”, ikinci satır “we” ve son iki satır “chase” kelimlerine karşılık gelmektedir.
Sürekli-zaman ve ayrık-zaman işaretler • Bu derste, sürekli-zaman ve ayrık-zaman şeklinde sınıflandırılan temel iki tür işareti inceleyeceğiz. Sürekli-zaman işaret durumunda, bağımsız değişken süreklidir ve dolayısıyla işaret bağımsız değişkenin tüm değerleri için tanımlıdır. Diğer yandan, ayrık-zaman işartler sadece belirli zamanlarda tanımlıdır ve bağımsız değişken ayrık değerler alır.
• Zamanın fonksiyonu olarak ses işareti ve yüksekliğin fonksiyonu olarak atmosferik basınç sürekli-zaman işaretlere örnektir. İstanbul Menkul Kıymetler Borsası (İMKB) haftalık endeksi ve dünyadaki ülkelere göre toplam nüfüs ayrıkzaman işaretlere örnektir. • Sürekli-zaman ve ayrık-zaman işaretlerini birbiriyle karıştırmamak amacıyla, sürekli ve ayrık durumlarda bağımsız değişken için sırasıyla t ve n; işaretler için de x(t) ve x[n] notasyonlarını kullanacağız.
Sürekli-zaman ve ayrık-zaman işaretler (a) Sürekli-zaman ve (b) ayrıkzaman işaretlerinin grafik gösterilimi. 2.5 kişiden oluşan bir aile için ortalama kazançtan söz etmenin anlamsız olması gibi bir ayrık-zaman işaretinin 3.5. örneği hakkında söz etmek de anlamlı değildir. Bu yüzden, kaynağı ne olursa olsun, ayrık-zaman işaretlerinin n’nin tamsayı değerleri için tanımlı olduğuna dikkat ediniz.
Sürekli-zaman ve ayrık-zaman işaretler • İşaretler çeşitli fiziksel olayları temsil edebilir. Çoğu uygulamada, ilgilenilen işaret bir fiziksel sistemdeki güç ve enerjiyi belirten fiziksel büyüklüklerle doğrudan ilişkilidir. • Bir sürekli-zaman işareti x(t)’de t1 ≤ t ≤ t2 aralığında ve bir ayrık-zaman işareti x[n]’de n1 ≤ n ≤ n2 aralığındaki TOPLAM ENERJİ, |x| sayının genliğini göstermek üzere n t2
t1
2
2
| x(t ) | dt ,
| x[n] |2
n n1
ilişkilerinden hesaplanır. ORTALAMA GÜÇ, sonuçlar ilgili aralıkların boyuna bölünür (sürekli durumda t2 - t1; ayrık durumda n2 - n1 + 1) elde edilir. • Yukarıda verilen ilişkileri sonsuz aralık durumuna genelleştirmek mümkündür. Aralığın sonsuza gitmesi limit durumunda ilgili tanımlar elde edilir:
E
lim T
P
T
N
2
| x(t ) | dt T
1 lim T 2T
T
2
| x(t ) | dt T
E
lim N
P
n
| x[n] |2 N
1 lim N 2N 1 n
N
| x[n] |2 N
Sürekli-zaman ve ayrık-zaman işaretler • Enerji ve güç içeriğine göre işaretler üç sınıfa ayrılabilir.
• Sonlu enerjiye sahip (E∞ < ∞) işaretlere ENERJİ İŞARETİ denir. Enerji işaretlerinin gücü sıfır olmalıdır. Bir örnek vermek gerekirse, [0,1] aralığında 1, diğer zamanlarda sıfıra eşit olan bir sürekli-zaman işaretinin enerji işareti olduğunu göstermek zor değildir. • Sonlu güce sahip işaretlere (P∞ < ∞) GÜÇ İŞARETİ denir. Güç işaretlerinin enerjisi sonsuz olmalıdır. Değeri 4 olan sabit bir ayrık-zaman işareti (tüm n değerleri için x[n] =4) güç işaretidir.
• Diğer bir grup işaretler için ne enerji ne de güç sonlu bir değere sahiptir. x(t) = t şeklinde bir işaret bu gruba girmektedir.
Bağımsız değişkenin dönüşümü • İşaret ve sistem analizindeki önemli bir kavram bir işaretin dönüştürülmesidir.
• Örneğin, bir uçak kontrol sisteminde pilotun eylemlerine karşılık işaretler elektriksel ve mekanik sistemler aracılığıyla uçağın hız veya konumundaki değişikliklere dönüştürülür. • Diğer bir örnek olarak, bir ses siteminde kaset veya CD’ye kaydedilmiş müziği temsil eden bir giriş işareti istenilen karakteristikleri iyileştirme, kaydetme gürültüsünü gidermek amacıyla değiştirilebilir. • Aşağıda, bağımsız değişkene yapılan basit değişikliklerden oluşan dönüşümleri ele alacağız. • Bu basit dönüşümler, işaretler ve sistemlerin temel özelliklerini tanımlamamıza imkan verecektir.
Bağımsız değişkenin dönüşümü • Bağımsız değişkene yapılabilecek dönüşümlerden birisine ZAMANDA ÖTELEME denir ve sürekli durum için x(t-t0) şeklinde ifade edilir (ayrık-durumda ifade x[n-n0]’dir). Orijinal ve ötelenmiş işaretlerin şekli aynıdır ancak işaretler birbirlerine göre kaymıştır.
• Öteleme ile radar, sonar ve sismik işaret işleme uygulamalarında karşılaşılır. Bu uygulamalarda, farklı konumlardaki alıcılar bir ortamdan iletilen bir işareti algılar. İşaretin alıcılara ulaşma süreleri arasındaki farktan ötürü alıcılardaki işaretler birbirine göre ötelenmiş olmaktadır.
Bağımsız değişkenin dönüşümü • Bağımsız değişkene yapılabilecek ikinci bir dönüşüme ZAMANI TERSİNE ÇEVİRME denir ve sürekli durumda matematiksel olarak x(-t) şeklinde ifade edilir. Orijinal işaretin dikey eksen (t = 0) etrafında döndürülmesiyle zaman tersine çevrilmiş işaret elde edilir.
Bağımsız değişkenin dönüşümü • Bağımsız değişkene yapılabilecek üçüncü dönüşüme ÖLÇEKLEME denir ve sürekli durumda x(αt) biçiminde temsil edilir. α’ya ölçekleme katsayısı denir. α’nın 1’den büyük olması durumunda orijinal işaretin şeklini bozmadan işareti α kadar daraltarak öçeklenmiş işareti elde ederiz. Aksi durumda, orijinal işaret α’nın tersi kadar genişletilir.
Bağımsız değişkenin dönüşümü • Şimdi orijinal işarete bu üç temel dönüşümün birlikte uygulanmasını ele alacağız. Genel dönüşüm x(αt+β) şeklinde ifade edilebilir. Orijinal işaretten dönüştürülmüş işareti bulmak için , işaret ilk önce β kadar ötelenir, daha sonra otelenmiş işaret α ile ölçeklenir. α’nın negatif olması durumunda ayrıca zaman tersine çevrilir. Aşağıda, bir sürekli-zaman işareti x(t) için, x(t+1), x(-t+1), x(3/2t) ve x(3/2t+1) işaretleri çizilmiştir.
Bağımsız değişkenin dönüşümü TANIM: Bir sürekli-zaman işareti t’nin değerinden bağımsız olarak x(t) = x(t+T) eşitliğini pozitif bir T değeri için sağlıyorsa T periyodu ile periyodiktir. Eşitliğin geçerli olduğu en küçük T değerine temel periyod (T0) denir. Periyodik olmayan işaretlere aperiyodik denir. TANIM: Bir ayrık-zaman işareti n’nin değerinden bağımsız olarak x[n] = x[n+N] eşitliğini pozitif bir tamsayı N değeri için sağlıyorsa N periyodu ile periyodiktir. Eşitliğin geçerli olduğu en küçük N değerine temel periyod (N0) denir.
T0 = T
N0 = 3.
Bağımsız değişkenin dönüşümü TANIM: Bir işaret zaman tersine çevrilmiş haline eşitse (x(t) = x(-t)) ÇİFT; zaman tersine çevrilmiş halinin negatifine eşitse (x(t) = - x(-t)) TEK işarettir.
çift işaret
tek işaret
TANIM: Bir işaret ile zaman tersine çevrilmiş halinin toplamının yarısına işaretin ÇİFT PARÇASI denir. Bener şekilde, işaret ile zaman tersine çevrilmiş halinin farkının yarısına işaretin TEK PARÇASI denir.
Ev x(t ) Od x(t )
1 x(t ) x( t ) 2 1 x(t ) x( t ) 2
Bağımsız değişkenin dönüşümü Bir ayrık-zaman işareti ile işaretin çift ve tek parçaları aşağıda verilmiştir.
Sürekli-zaman üstel ve sinüzoidal işaretler • Sürekli-zaman karmaşık üstel işaretin genel ifadesi, C ve a karmaşık sayılar olmak üzere x(t) = Ceat’dir. Bu iki parametrenin değerine bağlı olarak karmaşık üstel işaret farklı davranış gösterir. • Aşağıda gösterildiği gibi C ve a gerçel ise, iki durum vardır. a pozitif ise x(t) artar, aksi halde azalır. Ayrıca, a = 0 olduğunda, x(t) sabit olmaktadır.
(a) a > 0, (b) a < 0.
Sürekli-zaman üstel ve sinüzoidal işaretler • a gerçel kısmı sıfır olan karmaşık bir sayı (a = jw0t), yani x(t ) durumda x(t) periyodiktir. j
(t T )
ej
0
j
t
olsun. Bu t
e • Periyodiklik tanımından, x(t)’nin periyodik olması için e eşitliğini sağlayan pozitif bir T değeri bulunabilmelidir. Üstel sayıların özelliğinden
ej
0
(t T )
olduğundan, periyodiklik için e j
0
T
ej
0
o
0
t j 0T
e
1 olmalıdır.
• T’nin alacağı değer w0’a bağlıdır. w0 = 0 ise, x(t) =1 olup T’nin herhangi bir değeri için periyodiktir. w0 ≠ 0 ise, en küçük pozitif T değeri (temel periyod) için T0
bulunur. O halde, e j
0
t
ve e
j
0
t
2 |
0
|
işaretleri aynı temel periyoda sahiptir.
Sürekli-zaman üstel ve sinüzoidal işaretler • Periyodik karmaşık üstel işaretle yakından ilişkili bir işaret x(t ) şeklinde tanımlanan sinüzoidal işarettir.
A cos( 0t
)
• t’nin birimi saniye ise, ve 0’ın birimleri radyan ve saniye başına radyandır. 0 = 2 f0 yazılırsa f0’ın birimi, saniye başına değişim sayısı veya hertz (Hz)’dir.
• Sinüzoidal işaret periyodik olup temel periyodu T0
2 |
0
|
şeklindedir.
Sürekli-zaman üstel ve sinüzoidal işaretler • Euler ilişkisi kullanılarak, karmaşık üstel ve sinüzoidal işaretler birbiri cinsinden yazılabilir. İlişkiler aşağıda verilmiştir: ej A cos( 0t
0
t
cos( 0t ) A j j ) e e 2
0
t
j sin( A e 2
0t ) j
e
j
0
t
• Eşdeğer olarak, sinüzoidal işaretler, karmaşık üstel işaretin gerçel ve sanal kısmı şeklinde ifade edilebilir: A cos( 0t ) A Re{e j ( t ) } Asin( 0t ) A Im{e j ( t )} 0
0
• Üstel işaretler atomik patlamalardaki zincir reaksiyonları, karmaşık kimyasal işlemleri, radyoaktif bozunumu, RC devrelerinin ve sönümlü mekanik sistemlerin yanıtını modellemede kullanılır. Benzer şekilde, sinüzoidal işaretler enerjinin korunduğu fiziksel sistemlerde karşımıza çıkar. Örneğin, bir LC devresinin doğal yanıtı ve bir müzik tonuna karşılık gelen akustik basınç değişimleri sinüzoidaldir.
Sürekli-zaman üstel ve sinüzoidal işaretler • Bir sürekli-zaman sinüzoidal veya periyodik karmaşık üstel işaretin temel periyodu T0, TEMEL FREKANS olarak adlandırılan | 0| ile ters orantılıdır.
•
= 0 ise, x(t) sabit olup herhangi bir positif T için periyodiktir. O halde, sabit bir işaretin temel periyodu tanımsızdır. Ancak, sabit bir işaretin temel periyodunu sıfır kabul edebiliriz (sabit bir işaretin değişim hızı sıfırdır). 0
Sürekli-zaman üstel ve sinüzoidal işaretler • Periyodik karmaşık üstel ve sinüzoidal işaretlerin güç işareti olduğu gösterilebilir. • Periyodik karmaşık üstel işaretlerden çoğu diğer işaret üretilebilir. Ortak bir periyod ile periyodik olan periyodik üstel işaretler kümesine HARMONİK İLİŞKİLİ KARMAŞIK ÜSTEL KÜMESİ denir.
• ej t işaretinin T0 ile periyodik olabilmesi için T0 = 2 k, k = 0, 1,2,... olmalıdır. T0 = 2 k koşulunun sağlanması için , 0’ın 0 = 2 / T0 olarak tanımlanırsa, katı olmalıdır. O halde, harmonik ilişkili bir karmaşık üstel kümesi, pozitif bir 0 frekansının katlarına eşit temel frekansa sahip periyodik üstel işaretler kümesidir: jk ( t ) e k
0
t
,
k
0, 1, 2,...
• k = 0 için k(t) sabittir, herhangi bir diğer k değeri için frekansıyla veya 2 T0 |k | 0 |k| temel periyodu ile periyodiktir.
k(t)’ye
k. HARMONİK denir.
k(t),
|k|
0
temel
Sürekli-zaman üstel ve sinüzoidal işaretler • Sürekli-zaman karmaşık üstel işaretin genel ifadesi, C ve a karmaşık sayılar olmak üzere Ceat ile verildiğini hatırlayınız. C, kutupsal koordinatlarda C = |C|ej , a ise kartezyen koordinatlarda a = r + j 0 şeklinde ifade edilsin. • C ve a yerine konulup Euler ilişkisi konulursa karmaşık üstel işaret Ceat | C | ert cos( 0t
)
j | C | ert sin(
0t
)
şeklinde yeniden düzenlenebilir. Bu ilişkiden aşağıdaki gözlemler yapılabilir. • Karmaşık üstel işaretin genliği |C|ert’dir.
• r = 0 ise, karmaşık üstelin gerçel ve sanal kısımları sinüzoidaldir. • r > 0 ise, gerçel ve sanal kısımlar artan üstel işaret, aksi halde azalan üstel işaret ile çarpılır. Azalan üstel işaret ile çarpılan sinüzoidal işaretlere SÖNÜMLÜ sinüzoidal denir. Sönümlü sinüzoidal işaretlerle RLC devrelerinde ve mekanik sistemlerde karşılaşılır. Bu tür sistemler, zamanla azalan salınımlı enerji üretir.
Sürekli-zaman üstel ve sinüzoidal işaretler
(a) Artan sinüzoidal işaret x(t) = Cert cos( 0t + ), r > 0. (b) Azalan sinüzoidal işaret x(t) = Cert cos( 0t + ), r < 0. Şekillerde kesikli eğriler |C|ert’fonksiyonlarına karşılık gelmektedir.
Ayrık-zaman üstel ve sinüzoidal işaretler • Ayrık-zaman karmaşık üstel işaretin genel ifadesi, C ve α karmaşık sayılar olmak üzere x[n] = Cαn’dir. α = eβ olmak üzere, üstel işaret x[n] = Ceβn şeklinde de yazılabilir. C ve α’nın aldığı değerlere göre işaretin şekli değişir. • C ve α gerçel ise, aşağıdaki durumlar mümkündür: |α| > 1 ise, işaretin genliği n arttıkça üstel olarak artar. |α| < 1 ise, işaretin genliği n arttıkça üstel olarak azalır. α pozitif ise, işaretin tüm değerleri aynı işarete (hepsi pozitif veya negaif) sahiptir. α negatif ise, x[n]’nin işareti örnekten örneğe değişir. α = 1 ise, x[n] sabittir (x[n] = C). α = -1 ise, x[n] dönüşümlü olarak C ve –C değerlerini alır. • Ayrık-zaman gerçel üstel işaret doğum oranına bağlı olarak nüfus artışı ve zamana (gün, ay, yıl vb) bağlı olarak yatırım sonucunda elde edilen kar gibi olayları modellemede kullanılır.
Ayrık-zaman üstel ve sinüzoidal işaretler
Ayrık-zaman gerçel üstel işaret x[n] = Cαn (a) α > 1 (b) 0 < α < 1. (c) -1 < α < 0. (d) α < -1
Ayrık-zaman üstel ve sinüzoidal işaretler • Sürekli durumda olduğu gibi, karmaşık üstel işaretle yakından ilişkili bir işaret x[n] A cos( 0 n ) şeklinde tanımlanan sinüzoidal işarettir. • n boyutsuz ise,
ve
0’ın
birimleri radyandır.
• Euler ilişkisi kullanılarak ayrık-zaman karmaşık üstel ve sinüzoidal işaretler birbirleri cinsinden yazılabilir:
ej A cos(
0n
0
n
cos( 0n) j sin( A j j n A ) e e e 2 2 0
0 n) j
e
j
0
n
• Ayrık-zaman karmaşık üstel ve sinüzoidal işaretlerin, sürekli durumda olduğu gibi güç işaretleri olduğunu göstermek zor değildir.
Ayrık-zaman üstel ve sinüzoidal işaretler
Ayrık-zaman üstel ve sinüzoidal işaretler e j 0 yazılıp Cαn ifadesinde • C ve α için kutupsal koordinatlarda C = |C|ej , yerine konulursa ayrık-zaman karmaşık üstel işaret aşağıdaki gibi yazılabilir: C
n
C
n
cos(
0
n
)
jC
n
sin(
0
n
)
• |α| = 1 ise, karmaşık üstel işaretin gerçel ve sanal kısımları sinüzoidaldir. |α| < 1 ise, sinüzoidal işaretler azalan bir üstel işaretle, aksi halde ise artan bir üstel işaretle çarpılmaktadır.
Ayrık-zaman üstel ve sinüzoidal işaretler • Sürekli-zaman ve ayrık-zaman işaretler arasında önemli farklar vardır. Birinci fark olarak, aşağıda gösterildiği gibi e j 0n , 2π ile periyodiktir:
e j(
0
2 )n
e j 2 ne j
0n
ej
0n
• Sürekli durumda ω0’ın farklı değerleri için e j 0t farklı işaretler olmasına karşın, j n ayrık-durumda e 0 işaretinde ω0 yerine ω0 + 2π, ω0 + 4π, ω0 + 6π… yazıldığında aynı sonuç elde edilmektedir. Bu yüzden, ayrık-zaman karmaşık üstel işaretleri 2π uzunluğundaki bir frekans aralığında incelemek yeterlidir. Genelde 0 ≤ ω0 < 2π veya -π ≤ ω0 < π seçilir. j t • |ω0| arttıkça e 0 işaretinin temel freakansı artıyordu. Ayrık durumda bu geçerli değildir. ω0, 0’dan π’ye doğru artarken e j 0n işaretinin birim zamandaki salınım sayısı artarken π’den 0’a doğru artarken salınım sayısı azalır. O halde, ayrık-zaman karmaşık üstel işaret, ω0’ın 0 veya π’nin çift katlarına yakın değerleri için düşük frekanslı, π’nin tek katlarına yakın değerleri içinse yüksek frekanslıdır.
Ayrık-zaman üstel ve sinüzoidal işaretler
Ayrık-zaman üstel ve sinüzoidal işaretler j n j (n N ) e j 0 n veya e j 0 N 1 eşitliğini • e 0 işaretinin periyodik olması için e 0 sağlayan pozitif bir tamsayı N bulunabilmeliydi. Karmaşık üstel işaretin 1 değerini alması için üs 2π’nin katı olmalıdır. O halde, m bir tamsayı olmak üzere periyodiklik şartı olarak ω0/2π’nin rasyonel bir sayı oması gerektiğini belirten
0
N
2 m
0
2
m N
yazılabilir (ikinci fark: sürekli işaret ω0’ın herhangi bir değeri için periyodikti!). Bu koşul, ayrık-zaman sinüzoidal işaretler için de geçerlidir. • Ayrık-zaman karmaşık üstel işaretin temel periyodu N ise, temel frekansı 2π/N’dir. O halde, e j 0n işaretinin temel frekansı olacaktır.
2 N
0
m
Ayrık-zaman üstel ve sinüzoidal işaretler ej
0t
ej
0n
ω0’ın farklı değerleri için farklı işaretler
2π ile periyodik
ω0’ın herhangi bir değeri için periyodik
N > 0 ve m tamsayıları için ω0= 2πm/N ise periyodik
Temel frekans: ω0
Temel frekans: ω0/ m
Temel periyod: ω0=0 ise tanımsızdır ω0≠ 0 ise 2π/ ω0
Temel periyod: ω0=0 ise tanımsızdır ω0≠ 0 ise m(2π/ ω0)
• Son olarak, harmonik ilişkili bir ayrık-zaman karmaşık üstel kümesi, ortak bir periyod N’ye sahip periyodik üstel işaretler kümesidir: jk ( 2 [ n ] e k
/ N )n
,
k
0, 1,..., N 1
• Sürekli durumdan farklı olarak, periyodiklikten ötürü kümede N adet işaret olduğuna dikkat ediniz (sürekli durumda kümede sonsuz işaret vardı!).
Ayrık-zaman impuls ve birim basamak dizileri TANIM: Ayrık-zaman İMPULS dizisi [n] aşağıdaki eşitlikle tanımlanır: [ n]
0, n 0 1,
n 0
Dizinin grafik gösterilimi:
TANIM: Ayrık-zaman BİRİM BASAMAK dizisi u[n] aşağıdaki eşitlikle tanımlanır: u[n]
Dizinin grafik gösterilimi:
0, n 0 1,
n 0
Ayrık-zaman impuls ve birim basamak dizileri • Ayrık-zaman impuls ve birim basamak dizileri arasında aşağıdaki ilişkiler vardır: [n] u[n] u[n 1] n
u[n]
[ m]
(1. gösterilim )
m
u[n]
[n k ] (2. gösterilim ) k 0
• Toplama işlemlerinin pozitif ve negatif n değerleri çin hesaplanması aşağıda gösterilmiştir:
1. gösterilim, a) n < 0, b) n > 0.
2. gösterilim, a) n < 0, b) n > 0
Ayrık-zaman impuls ve birim basamak dizileri • Ayrık-zaman impuls dizisi, bir işareti n = 0 anındaki değerini değerini örneklemede kullanılabilir: x[n] [n] = x[0] [n] • Daha genel ifadeyle, n = n0 anındaki bir impuls işaretin n0 anındaki değerini örneklemde kullanılabilir: x[n] [n - n0 ] = x[n0] [n- n0] • İmpuls dizisinin örnekleme özelliği, doğrusal ve zamanla değişmeyen sistemlerin analizi ile sürekli-zaman işaretlerin ayrıklaştırıldığı örnekleme konularında sıkça kullanılacaktır.
Sürekli-zaman impuls ve birim basamak fonksiyonları TANIM: Sürekli-zaman birim basamak fonkiyonu u(t) aşağıdaki eşitlikle tanımlanır: u (t )
0, t
0
1, t
0
Fonksiyonun grafik gösterilimi:
TANIM: Sürekli-zaman impuls fonksiyonu (t) aşağıdaki eşitlikle tanımlanır: (t )
du (t ) dt
Not: u(t), t = 0 anında sürekli olmayıp türevi hesaplanamayacağından (t)’nin tanımı aslında geçerli değildir. Ancak, limit durumda birim basamak fonksiyonuna eşit olan yumuşak geçişli işaretler kullanılırsa tanım geçerli olacaktır.
Sürekli-zaman impuls ve birim basamak fonksiyonları • Aşağıda, Δ → 0 limit durumunda u(t)’ye eşit olan, türevi tüm noktalarda hesaplanabilir bir fonksiyon uΔ(t) ve fonksiyonun türevi Δ(t) verilmiştir.
•
Δ’nın değerinden bağımsız olarak altındaki alan 1 olan kısa süreli bir darbedir. Δ, 0’a yaklaştıkça Δ(t) darlaşıp dikleşecek ancak altında kalan alan hep 1 olackatır. Δ → 0 limit durumunda darbenin süresi sıfır, yüksekliği sonsuz olacaktır. Bu durum grafiksel olarak şöyle gösterilir: Δ(t),
(t )
lim
0
(t )
du (t ) 0 dt
lim
Sürekli-zaman impuls ve birim basamak fonksiyonları • Genel olarak, altındaki alan k olan ölçeklenmiş impuls fonksiyonu k (t) ile gösterilir ve grafik gösterilimde okun yanına 1 yerine k yazılır. •
(t), u(t)’nin türevi olduğundan, u(t) şekilde yazılabilir: t
u (t ) u (t )
0
(t)’nin integralidir. İntegral eşdeğer iki
( )d
(1. gösterilim )
(t - )d
(2. gösterilim )
• İntegrallerin pozitif ve negatif t değerleri için hesaplanması aşağıda gösterilmiştir:
1. gösterilim, a) t < 0, b) t > 0.
2. gösterilim, a) t < 0, b) t > 0.
Sürekli-zaman impuls ve birim basamak fonksiyonları • Sürekli-zaman impuls fonksiyonunun da örnekleme özelliği vardır. Aşağıda, keyfi bir x(t) için, x1(t) = x(t) Δ(t) çarpımı ve çarpımın sıfırdan farklı olduğu kısmın büyültülmüş hali gösterilmiştir.
• Yeterince küçük Δ için 0 ≤ t ≤ Δ aralığında x(t) yaklaşık olarak sabit olduğundan x(t) Δ(t) ≈ x(0) Δ(t) yazılabilir. Δ → 0 limit durumunda Δ(t), (t)’ye eşit olduğundan impulsun örnekleme özelliği x(t) (t) = x(0) (t) elde edilir. • Benzer adımları kullanarak, t = 0 yerine t = t0 anındaki bir impuls için örnekleme özelliği x(t) (t - t0) = x(t0) (t - t0) şeklinde olur.
Sürekli-zaman impuls ve birim basamak fonksiyonları • Gerçek bir fiziksel sistem, eylemsizliğe sahiptir ve uygulanan girişlere aniden yanıt veremez. Dolayısıyla, sistemin yanıtı uygulanan darbenin süresi veya şeklinden ziyade darbenin altındaki alandan (darbenin toplam etkisinden) etkilenecektir. • Hızlı davranış gösteren sistemler için darbenin süresi, yanıt darbenin şekli veya süresinden etkilenmeyecek şekilde küçük olmalıdır. Herhangi bir gerçek fiziksel sistem için süresi yeterince küçük bir darbe bulabiliriz. İmpuls fonksiyonu, bu kavramın idealleştirilmişidir (herhangi bir sistem için yeterince küçük süreli darbe!). • İmpuls ve ilişkli fonksiyonlara TEKİL veya GENELLEŞTİRİLMİŞ fonksiyonlar denilmektedir. Daha fazla bilgi aşağıdaki kaynaklardan edinilebilir: A. H. Zemanian, Distribution theory and transform analysis, NY, McGraw-Hill, 1965. R. F. Hoskins, Generalised functions, NY, Halsted Press, 1979. M. J. Lighthill, Fourier analysis and generalized functions, NY, Cambridge University Press, 1958.
Sürekli-zaman impuls ve birim basamak fonksiyonları • Süreksizlik içeren sürekli-zaman işaretlerinin türevi impuls fonksiyonu kullanılarak hesaplanabilir. Süreksizlik noktalarındaki türev impuls fonksiyonu oluşturur ve impulsun genliğini süreksizlik noktasındaki sıçrama miktarı belirler. Aşağıda bir örnek verilmiştir. Türev doğru ise, b)’deki işaretin integrali a)’daki işareti vermelidir. c)’de herhangi bir t değeri için integral aralığı gösterilmiştir. Integral işleminin sonucu t < 0 ise 0 1 ≤ t < 2 ise 2, 2 ≤ t < 4 ise -1, t ≥ 4 ise 1 olup gerçekten de a)’daki işaret elde edilir.
Sürekli-zaman ve ayrık-zaman sistemler • SİSTEM, girişine uygulanan bir işareti çıkışında başka bir işarete dönüştüren bir süreç olarak değerlendirilebilir. • Sürekli-zaman sistemlerde giriş ve çıkış işaretleri sürekliyken; ayrık-zaman sistemlerde ayrıktır. Sistemler grafiksel olarak aşağıdaki şekilde gösterilir: x(t)
y(t) x(t) → y(t)
x[n]
y[n] x[n] → y[n]
• Bir işaret, başka bir işaret haline dönüştürülmek istendiğinde bir sürekli-zaman sistemi tasarlanabilir (analog çözüm). Ancak, işaret örneklenip ayrık-zaman haline getirildikten sonra aynı işlem bir ayrık-zaman sistem tasarlanarak da yapılabilir (sayısal çözüm). Sayısal çözümde elde edilen sonuçun tekrar sürekli hale getirilmesi gerektiğine dikkat ediniz. • Sayısal çözümün analog çözüme göre üstünlükleri oldukça fazladır. Bu konu SAYISAL İŞARET İŞLEME dersinde ele alınmaktadır.
Sürekli-zaman ve ayrık-zaman sistemler Örnek: Bir sürekli-zaman sistemine örnek olarak, aşağıda verilen RC devresinde giriş işareti vs(t) ile çıkış işareti vc(t) arasındaki ilişkiyi bulalım.
Ohm yasasından, direnç üzerinden geçen akım, direnç üzerindeki gerilimin dirençin değerine bölünmesiyle elde edilir: i (t )
Kapasitenin tanımından
i (t ) C
vs (t ) vc (t ) R
dvc (t ) dt
Bu iki eşitlikten, giriş ile çıkış arasındaki ilişki aşağıda verilen diferansiyel denklem olarak elde edilir: dvc (t ) dt
1 vc (t ) RC
1 vs (t ) RC
Sürekli-zaman ve ayrık-zaman sistemler Örnek: Bir ayrık-zaman sistemine örnek olarak, ay sonunda banka hesabındaki para miktarını ele alalım. x[n] ay boyunca net para girişi (yatırılan-çekilen) ve y[n] ay sonunda hesaptaki para olmak üzere, y[n]’nin aşağıda verilen fark denklemiyle belirlendiğini varsayalım: y[n] = 1.01y[n-1] + x[n] Modeldeki 1.01y[n-1] terimi, ilgili ayda % 1 oranında faizi modellemektedir. • Yukarıda verilen basit iki örnek, daha karmaşık sistemlere uyarlanabilir. Genelde, giriş ile çıkış arasındaki ilişki, sürekli-zaman sistemlerde diferansiyel denklemlerle, ayrık-zaman sistemlerde ise fark denklemleriyle verilir. • Bu derste, sistemleri analiz edebilmek için etkili yöntemler (Fourier dönüşümü, z-dönüşümü vb) tanıtılacaktır.
Sürekli-zaman ve ayrık-zaman sistemler • Çoğu gerçek sistem, birkaç alt sistemden oluşmaktadır. Diğer bir deyişle, basit sistemler birleştirilerek karmaşık sistemler oluşturulabilir. • Sistemleri çok değişik biçimlerde birbirleriyle bağlamak mümkündür. Ancak, sıklıkla kullanılan bağlama biçimleri SERİ, PARALEL ve SERİ-PARALEL olup bunlara karşılık gelen blok diyagramlar aşağıda verilmiştir.
Sürekli-zaman ve ayrık-zaman sistemler • Diğer önemli bir sınıf, aşağıda gösterilen GERİBESLEMELİ bağlamadır.
• Geribesleme sistemleri birçok uygulamada kullanılmaktadır. Örneğin, sayısal olarak kontrol edilen bir uçak sisteminde gerçek ve gerekli hız, yön ve yükseklik arasındaki farklar gerekli düzeltmeleri yapmak üzere geri besleme işaretleri olarak kullanılır. Elektrik devrelerinde de geribesleme mevcuttur. Aşağıda bir elektrik devresi ve karşılık gelen blok diyagram verilmiştir
Sürekli-zaman ve ayrık-zaman sistemler • Herhangi bir andaki çıkışı, sadece o andaki girişine bağlı olan sistemlere HAFIZASIZ, aksi halde HAFIZALI denir. • Hafızasıs sistemler: y[n] = (2x[n] –x2[n])2 y(t) = R x(t) • Hafızalı sistemler: n
y[n]
x[k ] k
y (t )
1 C
t
x( ) d
• Hafızalı sistemlerde, girişi çıkışın hesaplandığı an dışındaki zamanlarda saklayan mekanizmalar olmalıdır. Çoğu fiziksel sistemde, hafıza enerjinin depolanması ile doğrudan ilişkilidir. Örneğin, kondansatör elektriksel yük biriktirerek enerji saklar.
Sürekli-zaman ve ayrık-zaman sistemler • Herhangi bir andaki çıkışı, girişin geçmişteki veya o andaki değerlerine bağlı olan sistemlere NEDENSEL denir. • Nedensel sistemler:
n
y[n]
x[k ] k
y (t )
1 C
t
x( ) d
• Nedensel olmayan sistemler: y[n] x[n] x[n 1] y (t ) x(t 1)
• Bir sistemin nedensel olup olmadığı belirlenirken giriş-çıkış arasındaki ilişki tüm anlarda incelenmelidir. Ayrıca, giriş-çıkış arasındaki ilişkide girişten hariç diğer fonkiyonlar dikkate alınmamalıdır.
Sürekli-zaman ve ayrık-zaman sistemler • Sınırlı girişler için sınırlı çıkışlar oluşturan sistemlere KARARLI, aksi halde KARARSIZ denir. • Kararlı sistemler: 1 2M 1 y (t ) e x (t )
M k M
y[n]
x[n k ]
• Kararsız sistemler: n
y[n] k y (t ) tx(t )
x[k ]
• Bir sistemin kararsız olduğunu göstermek için iyi bir yaklaşım, sonsuz bir çıkış üreten sonlu bir giriş bulmaktır. Ancak, bu herzaman mümkün olmayabilir. Bu gibi durumlarda, giriş işaretinden bağımsız olarak çalışan bir yöntem kullanılmalıdır.
Sürekli-zaman ve ayrık-zaman sistemler • Bir sistemde, giriş işaretine uygulanan bir öteleme çıkış işaretinde de aynı miktarda ötelemeye neden oluyorsa sisteme ZAMANLA DEĞİŞMEYEN, aksi halde zamanla değişen denir. • Örnek: Giriş-çıkış ilişkisi y(t) = sin[x(t)] ile verilen sistemi ele alalım. Giriş işaretine t0 kadar bir öteleme uygulayalım, yani x2(t) = x(t-t0) olsun. Sistemin x2(t)’ye yanıtı, y2(t) = sin [x2(t)] = sin[x(t-t0)]’dir. Çıkışın t0 kadar ötelenmişi, y(t-t0) = sin[x(t-t0)]’dir. Giriş işaretine uygulanan öteleme, çıkışta da aynı miktarda ötelemeye sebep olup bu sistem zamanla nedenseldir. değişmeyendir • Örnek: Giriş-çıkış ilişkisi y[n] = nx[n] olan sistemin zamanla değiştiği, benzer işlemler takip edilerek gösterilebilir.
Sürekli-zaman ve ayrık-zaman sistemler • İki veya daha fazla işaretin toplamından oluşan bir girişe olan yanıtı, giriş işaretini oluşturan bileşenlere yanıtlarının toplamına eşit olan sistemlere DOĞRUSAL denir. • Doğrusallığın matematiksel tanımı, sürekli-zaman sistemleri için aşağıda verilmiştir. Tanım, ayrık-zaman durumunda da geçirlidir. • Bir sisteme uygulanan uygulan xk(t) girişlerine karşılık gelen çıkışlar yk(t), k = 1,2,... olsun. ak’lar katsayı olmak üzere, sistemin x(t )
ak xk (t ) a1x1 (t ) a2 x2 (t ) a3 x3 (t ) ... k
girişine yanıtı y (t )
ak yk (t ) a1 y1 (t ) a2 y2 (t ) a3 y3 (t ) ... k
ise, sistem doğrusaldır.
Sürekli-zaman ve ayrık-zaman sistemler Örnek: Giriş-çıkış ilişkisi y(t) = tx(t) olan sistemin doğrusal olup olmadığını belirleyelim. Sistemin, keyfi iki giriş işareti x1(t) ve x2(t)’ye olan yanıtı
x1 (t )
y1 (t ) tx1 (t )
x2 (t )
y2 (t ) tx2 (t )
olsun. a ve b katsayılar olmak üzere, x1(t) ve x2(t)’nin ağırlıklı toplamı x3(t) olsun:
x3 (t ) ax1(t ) bx2 (t ) Sistemin x3(t)’ye olan yanıtı
y3 (t ) tx3 (t ) t (ax1 (t ) bx2 (t )) atx1 (t ) btx2 (t ) ay1 (t ) by2 (t )
şeklinde olup sistem doğrusaldır.
Sürekli-zaman ve ayrık-zaman sistemler Örnek: Giriş-çıkış ilişkisi y(t) = x2(t) olan sistemin doğrusal olup olmadığını belirleyelim. Sistemin, keyfi iki giriş işareti x1(t) ve x2(t)’ye olan yanıtı 2
x1 (t )
y1 (t )
x1 (t )
x2 (t )
y2 (t )
x2 (t )
2
olsun. a ve b katsayılar olmak üzere, x1(t) ve x2(t)’nin ağırlıklı toplamı x3(t) olsun:
x3 (t ) ax1(t ) bx2 (t ) Sistemin x3(t)’ye olan yanıtı y3 (t )
x32 (t ) (ax1 (t ) bx2 (t ))2 a 2 x12 (t ) b 2 x2 2 (t ) 2abx1 (t ) x2 (t ) a 2 y1 (t ) b 2 y2 (t ) 2abx1 (t ) x2 (t )
olup sistem doğrusal değildir.
Sürekli-zaman ve ayrık-zaman sistemler Örnek: Giriş-çıkış ilişkisi y[n] = 2x[n]+3 olan sistemin doğrusal olmadığını göstermek zor değildir. Giriş-çıkış ilişkisi doğrusal olmasına rağmen, sistemin doğrusal olmaması ilginçtir. Bu sistemin çıkışı, aşağıda gösterildiği gibi doğrusal bir sistemin çıkışıyla sistemin SIFIR-GİRİŞ yanıtına eşit olan bir işaretin toplamı olarak düşünülebilir:
Örneğimizde doğrusal sistem x[n] 2x[n], sıfır-giriş yanıtı y0[n] = 3’dür. Böyle sistemlerde, iki girişe olan yanıtlar arasındaki fark, girişlerin farkının doğrusal bir fonksiyonudur: y1[n] y2[n] 2 x1[n] 3 {2 x2[n] 3} 2{x1[n] x2[n]} Bu tür sistemlere ARTIŞSAL DOĞRUSAL sistem denilmektedir.
Hafta 10: z-Dönüşümü
Ele Alınacak Ana Konular • z-dönüşümü • z-dönüşümünün yakınsaklık bölgesi
• Ters z-dönüşümü • z-dönüşümünün özellikleri • z-dönüşümü kullanarak LTI sistemlerin analizi
z-Dönüşümü • İmpuls yanıtı h[n] olan bir LTI sistemin, zn girişine olan yanıtının y[n] = H(z)zn olduğunu görmüştük. H(z) aşağıdaki gibi hesaplanıyordu:
H ( z)
h[n]z
n
n
• z = ej yani |z| = 1 için, yukarıda verilen toplam h[n]’nin ayrık-zaman Fourier dönüşümüdür. |z| = 1 olmak zorunda olmadığında, toplamaya z-dönüşümü denir. • z karmaşık bir sayı olmak üzere, bir ayrık-zaman işaret x[n]’nin z-dönüşümü X ( z)
x[n]z
n
n
denklemiyle tanımlanır. z-dönüşümünü belirtmek için Z{x[n]} kullanacak, işaret ile z-dönüşümü arasındaki ilişkiyi, aşağıdaki şekilde belirteceğiz. Z x[n] X ( z)
z-Dönüşümü • Laplace dönüşümü ile sürekli-zaman Fourier dönüşümü arasında ilişki olduğu gibi, z-dönüşümü ile ayrık-zaman Fourier dönüşümü arasında ilişki vardır. j • z kutupsal koordinatlarda z re şeklinde yazılabilir. O halde, j
X ( z ) X (re )
x[n]re
n
j n
x[n]r e
n
j n
n
• Görüldüğü gibi, X(rej), x[n] ile r-n dizilerinin çarpımının Fourier dönüşümüne eşittir. Yani, X(rej) = F{x[n]r-n }. • |z| = 1 iken, toplama x[n] işaretinin ayrık-zaman Fourier dönüşümüne eşit olur: X ( z ) z e j X (e j ) F x[n]
z-Dönüşümü • Laplace dönüşümü, karmaşık s-düzleminde j-ekseni üzerinde hesaplandığında sürekli-zaman Fourier dönüşümünü veriyordu. • z-dönüşümü, karmaşık z-düzleminde birim çember hesaplandığında, ayrık-zaman Fourier dönüşümüne eşit olur.
(|z|=1)
üzerinde
• Bir x[n] işaretinin z-dönüşümünün var olabilmesi için x[n]r-n işaretinin ayrıkzaman Fourier dönüşümü yakınsamalıdır. Verilen bir işaret için, z-dönüşümünün var olduğu r değerleri kümesine YAKINSAKLIK BÖLGESİ (ROC) denir. ROC, birim çemberi içeriyorsa, işaretin Fourier dönüşümü de vardır.
z-Dönüşümü ÖRNEK: x[n] a u[n] işaretinin z-dönüşümünü hesaplayınız, sıfır-kutup diyagramı ve yakınsaklık bölgesini çiziniz. n
ÇÖZÜM:
X ( z)
x[n]z
n
n
a z
n n
n 0
az 1
n
n 0
Serinin yakınsaması için |az-1|<1 veya eşdeğer olarak |z|>|a| olmalıdır. O halde,
X ( z ) az 1 n 0
n
1 z , 1 1 az za
ROC : z a
z-Dönüşümü n ÖRNEK: x[n] a u[n 1] işaretinin z-dönüşümünü hesaplayınız, sıfır-kutup diyagramı ve yakınsaklık bölgesini çiziniz.
ÇÖZÜM:
X ( z)
x[n]z
n
-
n
1
a
n
n n
z
a z 1 a 1 z n n
n 1
n
n 0
Serinin yakınsaması için |a-1z|<1 veya eşdeğer olarak |z|<|a| olmalıdır. O halde,
X ( z ) 1 a 1 z 1 n 0
n
1 1 z , 1 1 1 a z 1 az za
ROC : z a
z-Dönüşümü ÖRNEK: Aşağıda verilen işaretin z-dönüşümünü diyagramını ve yakınsaklık bölgesini çiziniz. n
hesaplayınız,
sıfır-kutup
n
1 1 x[n] 7 u[n] 6 u[n] 3 2
ÇÖZÜM:
n n n n 1 n 1 1 1 1 1 X ( z ) 7 u[n] 6 u[n] z 7 z 6 z 2 n n 0 3 n 0 2 3
z-dönüşümünün var olabilmesi için iki seri de yakınsamalıdır Yani, 1 1 1 z 1 z 1 / 3 ve z 1 1 z 1 / 2 3 2
O halde, X ( z)
7 6 1 1 1 z 1 1 z 1 3 2
3 3 1 z z z 1 2 2 , ROC : z 1 1 2 1 1 1 1 1 z 1 z z z 3 2 3 2 1
Aynı sonucu, önceki alıştırmaları kullanarak hesaplama yapmadan da bulabiliriz. n
1 1 Z , u[n] 1 1 3 1 z 3 n 1 1 Z , u[n] 1 1 2 1 z 2 n n 7 6 1 1 Z 7 u[n] 6 u[n] , 1 1 1 1 3 2 1 z 1 z 3 2
ROC : z
1 3
ROC : z
1 2
ROC : z
1 2
z-Dönüşümü ÖRNEK: Aşağıda verilen işaretin z-dönüşümünü diyagramını ve yakınsaklık bölgesini çiziniz.
hesaplayınız,
sıfır-kutup
n n n 1 1 j / 4 1 1 j / 4 1 x[n] sin n u[n] e e u[n] 3 4 2j 3 2 j 3
ÇÖZÜM:
n n n n 1 1 j / 4 1 1 j / 4 1 1 1 j / 4 n 1 1 j / 4 1 X ( z) e z e z e z e 2 j 3 2 j 3 2 j 3 2 j 3 n 0 n 0 n 0
z-dönüşümünün var olabilmesi için iki seri de yakınsamalıdır Yani, 1 j / 4 1 1 e z 1 z 1 / 3 ve e j / 4 z 1 1 z 1 / 3 3 3
O halde,
1
z 1 1 1 1 1 3 2 X ( z) , ROC : z 1 j / 4 1 j / 4 2 j 1 1 e j / 4 z 1 2 j 1 1 e j / 4 z 1 3 z e z e 3 3 3 3
z-Dönüşümü ÖRNEK: Aşağıda verilen işaretlerin z-dönüşümünü hesaplayınız, sıfır-kutup diyagramını ve yakınsaklık bölgesini çiziniz. (i) x[n]= δ[n], (ii) x[n]= δ[n-1], (ii) x[n]= δ[n+1]
ÇÖZÜM: (i)
X ( z)
(ii) X ( z )
(iii) X ( z )
[ n] z
n
n
[0]z 0 1,
[n 1]z
ROC : z
n
[1 1]z 1 z 1 ,
n
[1 1]z ( 1) z,
ROC : z
n
[n 1]z
n
ROC : z
z-Dönüşümü ÖRNEK: Aşağıda verilen işaretin z-dönüşümünü diyagramını ve yakınsaklık bölgesini çiziniz. a n , 0 n N 1 x[n] , aksi halde 0,
ÇÖZÜM:
N 1
X ( z) a z n 0
n n
N 1
az
1 n
n 0
Sıfırlar (pay polinomunun kökleri)
hesaplayınız,
a 0.
n
1 az 1 1 zN aN , ROC : z 1 az 1 z N 1 z a
zk ak e j 2k / N , k 0,1,..., N 1
Kutuplar (payda polinomunun kökleri): z = a, z=0 (N-1) katlı k= 0 için bulunan sıfır ile kutup birbirini götürür. Sonuç olarak, Sıfırlar:
zk ak e j 2k / N , k 1,..., N 1
Kutuplar: z=0 (N-1) katlı
sıfır-kutup
z-Dönüşümü Örnek: x[n] b , b 0 işaretinin z-dönüşümünü hesaplayınız, sıfır-kutup diyagramını ve yakınsaklık bölgesini çiziniz. n
Çözüm: İşaret çift taraflı olup b < 1 ve b > 1 için şekli aşağıda verilmiştir.
x[n] b n [n] b nu[n 1]
x[n] b n [n] b nu[n 1]
1 , 1 bz 1 1 Z b nu[n 1] , 1 b 1 z 1 Z b nu[n]
ROC : z b ROC : z
1 b
1 1 , 1 bz 1 1 b 1 z 1 b2 1 z 1 , ROC : b z 1 b z b z b b
Z x[n] b nu[n] b nu[n 1] X ( z)
z-Dönüşümünün Yakınsaklık Bölgesinin Özellikleri 1. Bir ayrık-zaman işaretini z-dönüşümünün ROC’si, z-düzleminde sıfır etrafında bir halkadır. 2. ROC herhangi bir kutup içermez. 3. Ayrık-zaman işaret sonlu süreli ise, z-dönüşümünün ROC’si muhtemelen z = 0 ve/veya z = ∞ hariç, tüm z-düzlemidir. 4. Ayrık-zaman işaret sağ taraflı ve |z|=r0 halkası z-dönüşümünün ROC’si içinde ise, |z| > r0 eşitsizliğini sağlayan tüm z değerleri de ROC içindedir. 5. Ayrık-zaman işaret sol taraflı ve |z|=r0 halkası z-dönüşümünün ROC’si içinde ise, 0 < |z| < r0 eşitsizliğini sağlayan tüm z değerleri de ROC içindedir.
z-Dönüşümünün Yakınsaklık Bölgesinin Özellikleri 6. Ayrık-zaman işaret çift taraflı ve |z|=r0 halkası z-dönüşümünün ROC’si içinde ise, ROC |z|=r0 halkasını içeren bir halkadır. 7. Ayrık-zaman işaretin z-dönüşümü rasyonel ise, ROC kutuplarla sınırlıdır veya sonsuza kadar uzanır. 8. Ayrık-zaman işaretin z-dönüşümü rasyonel ve işaret sağ taraflı ise, ROC en dıştaki kutbun dışındaki bölge, yani en yüsek genlikli kutbun genliğine eşit halkanın dışıdır. İşaret aynı zamanda nedensel ise (sağ taraflı ve n < 0 için sıfıra eşitse), z = ∞ ROC içindedir. 9. Ayrık-zaman işaretin z-dönüşümü rasyonel ve işaret sol taraflı ise, ROC en içteki kutbun içindeki bölge, yani en küçük genlikli kutbun genliğine eşit halkanın içidir. İşaret aynı zamanda nedensel değilse (sağ taraflı ve n > 0 için sıfıra eşitse), z = 0 ROC içindedir.
z-Dönüşüm Çiftleri İşaret
z-Dönüşümü
Yakınsaklık Bölgesi (ROC)
[n]
1
Tüm z değerleri
u[n]
1 1 z 1
z 1
1 1 z 1
z 1
u[n 1]
[n m]
nu[n] nu[n 1]
m > 0 için 0 veya m < 0 için ∞ hariç tüm z değerleri
z m 1 1 z
1
1 1 z
1
z z
z-Dönüşüm Çiftleri İşaret n u[n] n
n u[n 1] n
z-Dönüşümü
z 1
1 z
1 2
z 1
1 z
1 2
Yakınsaklık Bölgesi (ROC) z z
cos(0 n)u[n]
1 cos(0 ) z 1 1 2 cos(0 ) z 1 z 2
z 1
sin(0 n)u[n]
sin(0 ) z 1 1 2 cos(0 ) z 1 z 2
z 1
r cos(0 n)u[n]
1 r cos(0 ) z 1 1 2r cos(0 ) z 1 r 2 z 2
z r
r sin(0 n)u[n]
r sin(0 ) z 1 1 2r cos(0 ) z 1 r 2 z 2
z r
n
n
Ters z-Dönüşümü • x[n] işaretinin z-dönüşümü X(z)=X(rej) , x[n]r-n işaretinin ayrık-zaman Fourier dönüşümü ise, x[n]r-n işareti X(rej)’nın ters Fourier dönüşümüdür. Yani, X (re j ) F{x[n]r n } x[n]r n F 1{ X (re j )} x[n] r n F 1{ X (re j )} rn
1 2
• z = rej değişken dönüşümü yapılırsa,
2
X (re j )e jn d
1 2
2
X (re j )(re j ) n d
dz jre j d jzd d (1 / j ) z 1dz
• ω, 2π aralığında değişirken, z r yarıçaplı bir daire üzerinde değerler alır. Dolayısıyla, integral z cinsinden aşağıdaki gibi olur: x[n]
1 j 2
X ( z) z
n 1
dz
(Ters z-dönüşümü)
• O, merkezi orijin olan, saat yönünün tersi yönde, r yarıçaplı kapalı bir eğriyi ifade etmeketdir. Ters z-dönüşümü, karmaşık düzlemde integral alma yerine basit kesirlere ayırma ve kuvvet serisine açma yöntemleri kullanılarak belirlenir.
Ters z-Dönüşümü Örnek (basit kesirlere ayırma): Aşağıda verilen z-dönüşümlerinin tersini bulunuz. (i)
X ( z)
3 (5 / 6) z 1 1 , ROC : z 3 1 1 1 1 1 z 1 z 4 3
(ii) X(z) aynı, ROC: 1/4<|z|<1/3, (iii) X(z) aynı, ROC: |z|<1/4,
Çözüm:
X ( z)
A B 1 2 1 1 1 1 (1 / 4) z 1 (1 / 3) z 1 (1 / 4) z 1 (1 / 3) z 1
n n Z (i) bileşenler sağ taraflıdır: 1 / 4 u[n] 21 / 3 u[n]
1 2 1 1 (1 / 4) z 1 (1 / 3) z 1
(ii) 1/4 kutbundan gelen bileşen sağ taraflı, 1/3 kutbundan gelen bileşen sol taraflıdır: Z 1 / 4n u[n] 21 / 3n u[n 1]
(iii) bileşenler sol taraflıdır:
1 2 1 (1 / 4) z 1 1 (1 / 3) z 1
Z 1 / 4 u[n 1] 21 / 3 u[n 1] n
n
1 2 1 1 (1 / 4) z 1 (1 / 3) z 1
Ters z-Dönüşümü Örnek (kuvvet serisine açma): Aşağıdaki z-dönüşümünün tersini bulunuz. X ( z ) 4 z 2 2 3z 1 , ROC : 0 z
Çözüm: z-dönüşümünün tanımını hatırlayalım: X ( z)
x[n]z
n
n
Görüldüğü gibi, z-dönüşümünde z’nin kuvvetlerinin yanında gözüken sayılar işaretin değerleridir (z0 yanındaki sayı x[0], z-1 yanındaki sayı x[1], z-2 yanındaki sayı x[2], z1 yanındaki sayı x[-1], z2 yanındaki sayı x[-2], vb). O halde, 4, n 2 2, n 0 x[n] 3, n 1 0, aksi halde x[n] 4 [n 2] 2 [n] 3 [n 1]
Ters z-Dönüşümü Örnek (kuvvet serisine açma): Aşağıdaki z-dönüşümünün tersini bulunuz. X ( z)
1 , ROC : z a 1 az 1
Çözüm: Önceki örneklerden işaretin sağ taraflı ve x[n]=anu[n] olduğunu biliyoruz. Aynı sonucu verilen rasyonel z-dönüşümünü kuvvet serisine açarak da bulabiliriz. Polinom bölme işlemi, z’nin negatif kuvvetleri oluşacak şekilde yapılır: 1 1 az 1 a 2 z 2 a 3 z 3 ... 1 1 az
O halde, n < 0 için x[n] = 0, x[1] = a, x[2] = a2 veya genel olarak x[n]=anu[n]. Not: ROC |z| < |a| olsaydı, işaret sol taraflı olacağından z’nin pozitif kuvvetleri oluşacak şekilde polinom bölme işlemi yapılr: 1 a 1 z a 2 z 2 a 3 z 3 ... 1 1 az
Bu durumda, n≥0 için x[n]=0, x[-1]=-a-1, x[2]=-a-2 veya genel olarak x[n]=-anu[-n-1].
Ters z-Dönüşümü Örnek (kuvvet serisine açma): Aşağıdaki z-dönüşümünün tersini bulunuz. X ( z ) ln(1 az 1 ), ROC : z a
Çözüm: ln(1+x) için seri açılımı aşağıda verilmiştir. (1) n1 x n ln(1 x) , n n 1
x 1
ln(1+x) için seri açılımında x yerine az-1 yazılırsa soruda X(z) elde edilir: (1) n1 a n z n X ( z) , n n 1
x 1
Açılımda, z’nin kuvvetlerinin yanında gözüken sayılar işaretin değerleri olduğundan an (1) n 1 , n 1 x[n] n 0, n0
(a) n x[n] u[n 1] n
z-Dönüşümünün Özellikleri • Kolaylık olması bakımından, z-dönüşümü ve tersini belirtmek için sırasıyla Z{x[n]} ve Z-1{X(z)} kısa gösterilimini kullanacağız. Ayrıca, z-dönüşüm çiftini belirtmek için Z x[n] X (z)
notasyonunu kullanacağız.
• z-dönüşümünün aşağıda verilen özellikleri aracılığıyla, z-dönüşümü bilinen işaretlerden çoğu işaretin z-dönüşümünü elde etmek kolaylaşmaktadır. • Aşağıda sadece en önemli özelliklerin ispatı verilecektir. Diğer özelliklerin ispatı benzer şekilde yapılabilir.
z-Dönüşümünün Özellikleri Zamanda öteleme:
Z Z x[n] X ( z) x[n n0 ] z n0 X ( z )
İspat: z-dönüşüm denkleminden Z{x[n n0 ]}
x[n n ]z
n
0
n
n-n0 = u değişken deönüşümü yapılırsa, Z{x[n n0 ]}
x[u]z (u n0 ) z n0
u
x[u]z
u
z n0 X ( z )
u
X(z)’nin ROC’si R olsun. n0>0 ise, z-n0 ile çarpımdan dolayı, z = 0’da kutuplar oluşur ve bunlar X(z)’nin z = 0’daki sıfırlarını götürebilir. Dolayısıyla, z = 0, z-n0X(z)’nin kutbu olabilir. Bu durumda x[n-n0]’ın ROC’si orijin hariç R’dir.
n0<0 ise, z-n0 ile çarpımdan dolayı, z = 0’da sıfırlar oluşur ve bunlar X(z)’nin z = 0’daki kutuplarını götürebilir. Dolayısıyla, z = 0, z-n0X(z)’nin sıfırı olabilir. Bu durumda x[n-n0]’ın ROC’si sonsuz hariç R’dir.
z-Dönüşümünün Özellikleri z n Z Z x[n] X ( z ) z0 x[n] X z0
z-uzayında ölçekleme: İspat:
Z{z0n x[n]}
z
n
n 0
x[n]z n
z x[n] n z0
n
z X z0
z, X(z)’nin yakınsaklık bölgesi içindeyse, |z0|z, X(z/z0)’ın yakınsaklık bölgesi içindedir. O halde, X(z)’nin yakınsaklık bölgesi R ise, X(z/z0)’ın yakınsaklık bölgesi |z0|R olur. Özel durum:
Z z0 e j0 e j0n x[n] X e j0 z
Diğer bir deyişle, bir işareti zaman uzayında belirli frekanslı karmaşık üstel bir işaret ile çarpmak, z-dönüşümünün üstel işaretin frekansı kadar dönmesine neden olur. Yani, tüm sıfırlar ve kutuplar üstel işaretin frekansı kadar döner.
z-Dönüşümünün Özellikleri Konvolüsyon özelliği:
y[n] x[n] * h[n] Y ( z) X ( z) H ( z)
y[n]
İspat: Konvolüsyon denkleminden
x[k ]h[n k ]
k
n Y ( z ) Z y[n] x[k ]h[n k ] z x[k ] h[n k ]z n n k k n
Zamanda öteleme özelliğinden parantez içindeki terim z k H ( z ) dir. O halde, Y ( z)
x[k ]z
k
k
H ( z ) H ( z ) x[k ]z k X ( z ) H ( z ) k
X(z)’in ROC’si R1 ve H(z)’in ROC’si R2 olsun. Y(z) = X(z)H(z) olduğundan, Y(z)’in var olabilmesi için X(z) ve H(z) var olmalıdır. Yani, Y(z)’in ROC’si R = R1∩R2 olur. Ancak, çarpımda sıfır-kutup götürmesi olursa Y(z)’in ROC’si R1∩R2 kesişiminden de büyük olabilir.
z-Dönüşümünün Özellikleri Z Z X ( z ) nx[n] z z-uzayında türev alma: x[n]
İspat:
X ( z)
x[n]z
n
n
dX ( z ) dz
dX ( z ) nx[n]z n1 dz n
Eşitliğin her iki tarafı –z ile çarpılırsa dX ( z ) z nx[n]z n Z nx[n] dz n
X(z)’in ROC’si R olsun. -z ile çarpma ilave bir kutup getirmeyip, sıfır-kutup götürmesi oluşmaması durumunda z = 0’da bir sıfır oluşturur. Bu nedenle, bir ayrıkzaman işareti zaman-uzayında n ile çarpmak z-dönüşümünün ROC’sini etkilemez. Yani, -z(dX(z)/dz)’in ROC’si de R’dir.
z-Dönüşümünün Özellikleri Örnek: z-dönüşümü
X(z) =ln(1+az-1), |z| > a olan işareti, z-uzayında türev alma özelliğinden yararlanarak hesaplayalım. Çözüm: dX ( z ) az 1 nx[n] z dz 1 az 1 a Z a(a ) n u[n] 1 az 1 az 1 Z n 1 a(a ) u[n 1] 1 az 1 a(a ) n 1 u[n 1] (a ) n x[n] u[n 1] n n Z
z-Dönüşümünün Özellikleri Örnek: z-dönüşümü X ( z)
az 1
1 az
1 2
,
z a
olan işareti, z-uzayında türev alma özelliğinden yararlanarak hesaplayalım. Çözüm: 1 1 az 1 d 1 az 1 Z n na u[n] z dz 1 az 1 1 az 1
Z a nu[n]
2
z-Dönüşümünün Özellikleri Özellik
İşaret
z-dönüşümü
ROC
x[ n] x1[ n]
X ( z) X1 ( z)
R R1
x2 [ n ]
X 2 ( z)
R2
Doğrusallık
ax1[n] bx2 [n]
aX 1 ( z ) bX 2 ( z )
En az R1 ∩ R2
Zamanda öteleme
x[n n0 ]
z n0 X ( z )
e j0n x[n]
X (e j0 z )
z-uzayında ölçekleme
z0n x[n] a n x[n]
z X z0 X (a 1 z )
Zamanda tersine çevirme
x[-n]
X ( z 1 )
Zamanda ölçekleme
x[r ], n rk x( k ) [n] 0, n rk
X (zk )
Orijin dahil veya hariç R R z0R |a|R 1/R R1/k
z-Dönüşümünün Özellikleri Özellik
İşaret
Eşlenik alma
x * [ n]
Konvolüsyon
x1[n] * x2 [n]
X1 ( z) X 2 ( z)
En az R1 ∩ R2
Fark alma
x[n] x[n 1]
(1 z 1 ) X ( z )
En az R ∩ (|z| > 0)
Toplama
n
x[k ]
k
z-uzayında türev alma
nx[n]
z-dönüşümü X * ( z* )
1 X ( z) (1 z 1 ) z
dX ( z ) dz
İlk Değer Teoremi n < 0 için x[n]=0 ise x[0] lim X ( z ) z
ROC R
En az R ∩ (|z| > 1)
R
LTI Sistemlerin z-dönüşümü Kullanılarak İncelenmesi • X(z), Y(z) ve H(z), bir LTI sistemin sırasıyla girişinin, çıkışının ve impuls yanıtının z-dönüşümleri olmak üzere, konvolüsyon özelliğinden Y(z) = H(z) X(z) olduğunu görmüştük. H(z)’ye sistemin TRANSFER FONKSİYONU denir. • Bir LTI sistemin çoğu özelliği, transfer fonksiyonunun kutupları, sıfırları ve yakınsaklık bölgesiyle ilişkilidir. • Bir sistem nedensel ise n<0 için h[n]=0 olup impuls yanıtı sağ taraflıdır. O halde, H(z)’nin ROC’si z-düzleminde bir çemberin dışından sonsuza doğru uzanmalıdır. • Ayrıca, H(z) rasyonel ise, sistemin nedensel olabilmesi için H(z)’nin ROC’si en dıştaki kutbun dışında ve sonsuzu içeren bir bölge olmalıdır. Yani, z → ∞ limit durumunda H(z) sonlu olmalıdır. Diğer bir deyişle, H(z)’nin pay polinomunun derecesi payda polinomunun derecesinden büyük olmamalıdır.
LTI Sistemlerin z-dönüşümü Kullanılarak İncelenmesi
Bir ayrık-zaman LTI sistemin nedensel olabilmesi için gerek ve yeter koşul, transfer fonksiyonunun yakınsaklık bölgesinin karmaşık z-düzleminde bir çemberin dışında ve sonsuzu içeren bir bölge olmasıdır.
Rasyonel transfer fonksiyonlu bir ayrık-zaman LTI sistemin nedensel olabilmesi için gerek ve yeter koşul (a) transfer fonksiyonunun yakınsaklık bölgesi karmaşık z-düzleminde en dıştaki kutbun dışındaki bir bölge olmasıdır ve (b) H(z)’nin pay polinomunun derecesinin payda polinomunun derecesinden büyük olmamasıdır.
LTI Sistemlerin z-dönüşümü Kullanılarak İncelenmesi Örnek: Transfer fonksiyonları aşağıda verilen ayrık-zaman LTI sistemlerin nedensel olup olmadıklarını belirleyiniz. (i)
z3 2z 2 z H ( z) 1 1 z2 z 4 8
(ii)
H ( z)
1 1 , ROC : z 2 1 1 1 2 z 1 1 z 2
Çözüm: (i) ROC hakkında bilgi sahibi olmamamıza rağmen sistemin nedensel olmadığını söyleyebiliriz çünkü pay polinomunun derecesi payda polinomunun derecesinden büyüktür. 5 1 5 z 2z 2 z 2 2 H ( z) 5 1 1 1 z2 z 1 1 z 1 2 z 2 2 2
(ii)
z=1/2, z=2’de iki kutup vardır. Sistem nedenseldir çünkü ROC en dıştaki kutbun dışına doğrudur ve pay polinomunun derecesi payda polinomununkinden büyük değildir.
LTI Sistemlerin z-dönüşümü Kullanılarak İncelenmesi • LTI bir ayrık-zaman sistemin kararlı olabilmesi için impuls yanıtı mutlak toplanabilir olmalıdır. Bu durumda, h[n]’nin ayrık-zaman Fourier dönüşümü var olup H(z)’nin ROC’si karmaşık z-düzleminde birim çemberi içermelidir. • LTI bir ayrık-zaman sistemin nedensel olduğu biliniyorsa, H(z)’nin ROC’si en dıştaki kutbun dışına doğru olmalıdır. ROC’nin aynı zamanda birim çemberi de içermesi için, H(z)’nin kutuplarının tümü karmaşık z-düzleminde birim çemberin içinde olmalıdır. Bir ayrık-zaman LTI sistemin kararlı olabilmesi için gerek ve yeter koşul, H(z)’nin ROC’sinin karmaşık z-düzleminde birim çemberi (|z|=1) içermesidir. Rasyonel transfer fonksiyonlu nedensel bir ayrık-zaman LTI sistemin kararlı olabilmesi gerek ve yeter koşul H(z)’nin kutuplarının tümünün birim çember içinde (yani tümünün genliğinin birden küçük) olmasıdır.
LTI Sistemlerin z-dönüşümü Kullanılarak İncelenmesi Örnek: Transfer fonksiyonları aşağıda verilen nedensel ayrık-zaman LTI sistemlerin kararlı olup olmadıklarını belirleyiniz. (i)
H ( z)
1 1 az 1
(ii)
H ( z)
1 1 2r cos( ) z 1 r 2 z 2
Çözüm: (i) H(z)’nin z = a’da bir kutbu vardır. Sistemin kararlı olabilmesi için kutup birim çember içinde olmalıdır. Yani, |a| < 1 ise sistem kararlı, aksi halde kararsızdır. (ii) H(z)’nin z1 = re jθ ve z2 = re -jθ’ da iki kutbu vardır. |r| < 1 ise, kutuplar birim çember içinde, aksi halde dışındadır. O halde, sistemin kararlı olabilmesi için, r| < 1 koşulu sağlanmalıdır.
Doğrusal, Sabit Katsayılı Fark Denklemleriyle Tanımlanan LTI Sistemler • Girişi-çıkış ilişkisi aşağıda verilen ayrık-zaman sistemin transfer fonksiyonunu bulalım N
M
k 0
k 0
ak y[n k ] bk x[n k ] • Konvolüsyon özelliğinden,
Y ( z) X ( z) H ( z) H ( z)
Y ( z) X ( z)
• Fark denkleminin her iki tarafının z-dönüşümü alınır ve z-dönüşümünün zamanda öteleme özelliği kullanılırsa transfer fonksiyonunu bulunabilir: N M N M Z ak y[n k ] Z bk x[n k ] ak Z y[n k ] bk Z x[n k ] k 0 k 0 k 0 k 0 M
N
a z k 0
k
k
M
Y ( z ) bk z k X ( Z ) H ( z ) k 0
b z
k
a z
k
k 0 N
k 0
k
k
Doğrusal, Sabit Katsayılı Fark Denklemleriyle Tanımlanan LTI Sistemler ÖRNEK: Giriş-çıkış ilişkisi aşağıda verilen sistemin transfer fonksiyonu ve impuls yanıtını bulunuz. y[n]
ÇÖZÜM:
1 1 y[n 1] x[n] x[n 1] 2 3
1 1 z 1 1 1 1 1 Y ( z) 3 Y ( z) z Y ( z) X ( z) z X ( z) H ( z) 2 3 X ( z ) 1 1 z 1 2
H(z)’nın ters z-dönüşümü alınırsa impuls yantı elde edilir.
1 1 1 1 1 z z 3 1 1 1 1 3 h[n] Z H ( z ) Z Z 1 1 1 1 1 1 z 1 z 1 z 1 2 2 2
Ters z-dönüşümü yakınsaklık bölgesine bağlıdır. İki durum vardır n
(i) ROC: |z|>1/2, impuls yanıtı sağ taraflı olup (ii) ROC: |z|<1/2, impuls yanıtı sol taraflı olup
n 1
11 1 h[n] u[n] u[n 1] 3 2 2 n n 1 11 1 h[n] u[n 1] u[n] 3 2 2
Hafta 3: Doğrusal ve Zamanla Değişmeyen Sistemler
Ele Alınacak Ana Konular • Ayrık-zaman işaretlerin impuls dizisi cinsinden ifade edilmesi • Ayrık-zaman LTI sistemlerin konvolüsyon toplamı gösterilimi • Sürekli-zaman işaretlerin impuls fonksiyonu cinsinden ifade edilmesi • Sürekli-zaman LTI sistemlerin konvolüsyon integrali gösterilimi
Ayrık-zaman işaretlerin impuls dizisi cinsinden ifade edilmesi • Doğrusallık ve zamanla değişmezlik özellikleri iki açıdan çok önemlidir: (i) çoğu fiziksel sistem bu iki özelliğe sahip olup doğrusal ve zamanla değişmeyen (LTI) sistem olarak modellenebilir, (ii) LTI sistemleri incelemek amacıyla geliştirilmiş güçlü matematiksel yöntemler (Laplace ve z-dönüşümleri) mevcuttur. • LTI bir sistemin girişine uygulanan herhangi bir işareti, temel bazı işaretlerin toplamı cinsinden yazabilirsek, sistemin çıkışı temel işaretlere olan yanıtlarının toplamına eşit olacaktır. • Aşağıda gösterileceği gibi, sürekli-zaman işaretleri impuls fonksiyonu, ayrıkzaman işaretleri ise impuls dizisi cinsinden ifade edilebilir. O halde, sistemin impulsa olan yanıtı bilindiğinde herhangi bir girişe olan yanıtı hesaplanabilir. • Sistemin impulsa olan yanıtına İMPULS YANITI denir. Giriş-çıkış ilişkisi ayrıkzaman durumunda KONVOLÜSYON TOPLAMI, sürekli-zaman durumda ise KONVOLÜSYON İNTEGRALİ ile verilir.
Ayrık-zaman işaretlerinin impuls cinsinden ifade edilmesi • Bir ayrık-zaman işaret impulsların toplamı şeklinde düşünülebilir. Aşağıda bir ayrık-zaman işaretinin [-2, 2] aralığındaki bileşenlerinin impuls dizisi karşılıkları verilmiştir.
Ayrık-zaman işaretlerinin impuls cinsinden ifade edilmesi • Şekilden, beş bileşenin toplamının -2 ≤ n ≤ 2 aralığında x[n]’ye eşit olduğu görülmektedir. Genelleştirme yaparsak, bir ayrık-zaman işaret x[n] impuls dizisi cinsinden şöyle yazılabilir: x[n] ... x[ 3] [n 3] x[ 2] [n 2] x[ 1] [n 1] x[0] [n] x[1] [n 1] x[2] [n 2] x[3] [n 3] ... x[k ] [n k ] k
• Yani, herhangi bir ayrık-zaman işaret ötelenmiş impulsların ağırlıklı toplamı olup ağırlıklar işaretin değerleridir. Örnek olarak, x[n] = u[n] olsun. k < 0 için u[k] = 0 ve k ≥ 0 için u[k]=1 olduğundan, daha önce tartıştığımız ilişki elde edilir:
u[n]
[n k ] k 0
Ayrık-zaman LTI sistemlerin konvolüsyon toplamı gösterilimi • Bir ayrık-zaman LTI sistemin keyfi bir x[n] girişine olan yanıtını bulmaya çalışalım. Girişi, x[n]
x[k ] [n k ] k
şeklinde yazabilriz. • Sistemin [n-k]’ya olan yanıtını hk[n] ile belirtelim. Sistem doğrusal olduğundan, sistemin x[n]’ye yanıtı y[n]
x[k ]hk [n] k
olacaktır. • O halde, ayrık-zaman LTI sistemin - < k < için [n-k]’ya olan yanıtları (hk[n]’ler!) biliniyorsa, sistemin herhangi bir girişe olan yanıtı hesaplanabilir.
Ayrık-zaman LTI sistemlerin konvolüsyon toplamı gösterilimi • Sistem zamanla değişmez olduğundan, hk[n] = h0[n-k] ilişkisi geçerli olmalıdır. • Çünkü, hk[n] sistemin [n-k]’ya; h0[n] ise [n]’ye olan yanıtıdır. Zamanla değişmeyen bir sistemde giriş hangi miktarda ötelenmişşe çıkışda aynı miktarda ötelenir. Girişler arasında k kadar öteleme olduğuna göre, çıkışlar arasında da k kadar öteleme , yani hk[n] = h0[n-k] olamlıdır. • Notasyon kolaylığı için h[n] = h0[n] yazacak ve h[n]’ye sistemin İMPULS YANITI (sisteme [n] uygulandığında elde edilen yanıt) diyeceğiz. • Sonuç olarak, bir ayrık-zaman LTI sistemin impuls yanıtı h[n] ve sisteme uygulanan giriş x[n] ise, sistemin yanıtı
y[n]
x[k ] h[n k ] k
ilişkisinden hesaplanır. Bu ilişkiye KONVOLÜSYON TOPLAMI denir ve kısaca y[n] = x[n] * h[n] şeklinde gösterilir.
Ayrık-zaman LTI sistemlerin konvolüsyon toplamı gösterilimi ÖRNEK: Bir ayrık-zaman LTI sistemin impuls yanıtı h[n] ve sisteme uygulanan giriş aşağıda verilmiştir. Sistemin çıkışını hesaplayınız.
ÇÖZÜM: Giriş işaretinde sadece iki terim sıfır olduğundan konvolüsyon toplamı iki terimin toplamından oluşur:
y[n] x[0]h[n 0] x[1]h[n 1] 0.5h[n] 2h[n 1] Bu örnek için, impuls yanıtı 0.5 ile çarpılır, 1 birim sağa ötelenip 2 ile çarpılır. İki işlemden elde edilen sonuçların toplamı çıkışa eşit olur. İlgili işlemler ve sonuç aşağıda verilmiştir.
Ayrık-zaman LTI sistemlerin konvolüsyon toplamı gösterilimi
Ayrık-zaman LTI sistemlerin konvolüsyon toplamı gösterilimi • Giriş ve/veya impuls yanıtı sonsuz değer aldığında konvolüsyon toplamı etkin bir şekilde hesaplanmalıdır. Çıkışın herhangi bir n anındaki değerinin konvolüsyon toplamından hesaplandığını hatırlayınız:
y[n]
x[k ] h[n k ] k
• İlk önce, x[k] ve h[n-k] işaretleri k’nın fonksiyonu olarak çizilir. Bu iki fonksiyon çarpılarak g[k] = x[k] h[n-k] dizisi elde edilir. • Daha sonra, g[k] dizisi tüm k değerleri üzerinden toplanarak y[n] bulunur. • Çıkışı bulmak için bu işlem tüm n değerleri için tekrarlanır. • Bu işlem yapılırken h[n-k]’nın h[k]’nın zaman tersine çevrilmiş ve n kadar ötelenmiş hali olduğu hatırda tutulmalıdır.
Ayrık-zaman LTI sistemlerin konvolüsyon toplamı gösterilimi ÖRNEK: Bir ayrık-zaman LTI sistemin impuls yanıtı h[n] = u[n] ve sisteme uygulanan giriş, 0 < α < 1 olmak üzere x[n] = αnu[n] olarak verilmiştir. Sistemin çıkışını hesaplayınız.
Ayrık-zaman LTI sistemlerin konvolüsyon toplamı gösterilimi ÇÖZÜM: Aşağıda x[k] ve h[n-k] n < 0 ve n ≥ 0 için çizilmiştir.
Ayrık-zaman LTI sistemlerin konvolüsyon toplamı gösterilimi • Şekillerden n < 0 ise, x[k] ile h[n-k] dizilerinin kesişmeyip x[k] h[n-k] çarpımının sıfıra eşit olduğu görülmektedir. O halde, n < 0 ise y[n] = 0. • n ≥ 0 ise, diziler 0 ≤ k ≤ n aralığında kesiştiğinden x[k] h[n-k] çarpımı şöyle olur: k
, 0 k n 0, aksi halde
x[k ]h[n k ]
• y[n]’yi belirlemek için konvolüsyon toplamı hesaplanmalıdır. n
y[n]
x[k ]h[n k ] k
x[k ]h[n k ] k 0
n k 0
k
n 1
1 1
Ayrık-zaman LTI sistemlerin konvolüsyon toplamı gösterilimi Özetle,
n 1
1 y[n]
, n 0
1 0,
n 0
Ayrık-zaman LTI sistemlerin konvolüsyon toplamı gösterilimi ÖRNEK: Bir ayrık-zaman LTI sistemin impuls yanıtı h[n] ve sisteme uygulanan giriş x[n] aşağıda verilmiştir. Sistemin çıkışını hesaplayınız. x[n]
1,
0 n 4
0, aksi halde
n
h[n]
0,
,
0 n 6 aksi halde
Aralık 1: n < 0. Aralık 2: 0 ≤ n < 4 Aralık 3: 4 < n ≤ 6 Aralık 4: 6 < n ≤ 10 Aralık 5: n > 10.
Ayrık-zaman LTI sistemlerin konvolüsyon toplamı gösterilimi • ÇÖZÜM: x[k]h[n-k] çarpımı 5 aralıkta farklı değerler aldığından, çıkış her aralıkta ayrı ayrı hesaplanmalıdır. • Aralık 1 (n < 0): x[k]h[n-k] çarpımı sıfır olup y[n] = 0. • Aralık 2 (0 ≤ n < 4): n k
x[k ]h[n k ]
n
y[n] k 0
,
0, n k
n r 0
0 k n aksi halde r
n 1
1 1
Ayrık-zaman LTI sistemlerin konvolüsyon toplamı gösterilimi • Aralık 3 (4 < n ≤ 6): n k
x[k ]h[n k ] 4
n k
y[n] k 0
k
k 0
y[n] k n 6
n 4
1
n 1
1
n k
, n 6 k 4 0, aksi halde
x[k ]h[n k ]
n k
15
n1 1
1
• Aralık 4 (6 < n ≤ 10):
4
0 k 4 aksi halde
0,
4
n
,
10 n r 0
6 r
6
10 n r 0
r 1
6
1 1
• Aralık 5 (n ≥ 10): x[k]h[n-k] çarpımı sıfır olup y[n] = 0.
n 11
n 4
1
1
7
Ayrık-zaman LTI sistemlerin konvolüsyon toplamı gösterilimi Özetle,
0, n 0 n 1
1 1 n 4
, 0 n 4 n 1
y[n]
, 4 n 6
1 n 4
1
7
, 6 n 10 0, n 10
Sürekli-zaman işaretlerin impuls cinsinden ifade edilmesi Bir sürekli-zaman işareti ötelenmiş darbelerin toplamı biçiminde yaklaşık olarak yazılabilir. Aşağıda bir sürekli-zaman işaretin -Δ ≤ t ≤ Δ aralığındaki darbe yaklaşıklığı çizilmiştir.
Sürekli-zaman işaretlerin impuls cinsinden ifade edilmesi •
Δ(t)
fonksiyonu aşağıdaki şekilde tanımlansın: 1 (t )
,
0,
0 t aksi halde
• Sürekli-zaman işaret yaklaşık olarak şöyle yazılabilir:
xˆ (t )
x(k )
(t k )
k
• Δ küçüldükçe yaklaşıklık iyileşir ve Δ
x(t )
0 limit durumunda x(t) elde edilir. Yani,
lim xˆ (t) 0
lim 0k
x(k )
(t k )
Sürekli-zaman işaretlerin impuls cinsinden ifade edilmesi • Δ 0 limit durumunda toplama integrale eşit olur (Riemann integral tanımını hatırlayınız!). • Ayrıca, Δ
0 limit durumunda
Δ(t)
fonksiyonu (t)’ye eşit olur. O halde,
x(t )
x( ) (t
)d
• Örnek olarak, x(t) = u(t) olsun. t < 0 için u(t) = 0 ve t ≥ 0 için u(t) = 1 olduğundan u(t) ile (t) arasında daha önce verdiğimiz aşağıda verilen ilişki elde edilir:
u (t )
u ( ) (t (t 0
)d
)d
Sürekli-zaman LTI sistemlerin konvolüsyon integrali gösterilimi • Bir sürekli-zaman LTI sistemin keyfi bir xˆ (t ) girişine olan yanıtını bulmaya çalışalım. Girişi,
xˆ (t )
x(k )
(t k )
k
şeklinde yazabiliriz. • Sistemin Δ(t-kΔ) ’ya olan yanıtını ile hˆk (t ) belirtelim. Sistem doğrusal olduğundan, xˆ (t ) ’ye yanıtı aşağıdaki eşitlikle verilir.
yˆ (t )
x(k )
k
(t )
k
• Δ
0 limit durumunda x(t ) xˆ (t )
y (t )
ve doayısıyla y (t ) yˆ (t ) olur. Yani,
lim yˆ (t ) 0
lim 0k
x(k )
k
(t )
x( ) (t )d
Sürekli-zaman LTI sistemlerin konvolüsyon integrali gösterilimi • Sistem zamanla değişmez olduğundan
h (t)= h0(t- ) ilişkisi geçerli olmalıdır. • Notasyon kolaylığı için h(t) = h0(t) yazacak ve h(t)’ye sistemin İMPULS YANITI (sisteme (t) uygulandığında elde edilen yanıt) diyeceğiz. • Sonuç olarak, bir sürekli-zaman LTI sistemin impuls yanıtı h(t) ve sisteme uygulanan giriş x(t) ise, sistemin yanıtı
y(t )
x( )h(t
)d
ilişkisinden hesaplanır. Bu ilişkiye KONVOLÜSYON INTEGRALİ denir ve kısaca y(n) = x(t) * h(t) şeklinde gösterilir.
Sürekli-zaman LTI sistemlerin konvolüsyon integrali gösterilimi • Çıkışın herhangi bir t hesaplandığını hatırlayınız:
anındaki
y(t )
değerinin
x( )h(t
konvolüsyon
integralinden
)d
• İlk önce, x( ) ve h(t- ) işaretleri ’nun fonksiyonu olarak çizilir. Bu iki fonksiyon çarpılarak g( ) = x(t)h(t- ) işareti elde edilir. • Daha sonra, g( ) işaretinin değerleri üzerinden inetgrali alınarak y(t) bulunur. • Çıkışı bulmak için bu işlem tüm t değerleri için tekrarlanır. • Bu işlem yapılırken h(t- )’nın h( )’nun zaman tersine çevrilmiş ve t kadar ötelenmiş hali olduğu hatırda tutulmalıdır.
Sürekli-zaman LTI sistemlerin konvolüsyon integrali gösterilimi ÖRNEK: Bir sürekli-zaman LTI sistemin impuls yanıtı h(t) ve sisteme uygulanan giriş x(t) aşağıda verilmiştir. Sistemin çıkışını hesaplayınız.
x(t ) e atu (t ), h(t ) u (t )
a 0
ÇÖZÜM: Aşağıda x( ) ve h(t- ) işaretleri t < 0 ve t ≥ 0 için çizilmiştir.
• Şekillerden t < 0 ise, x( ) ve h(t- ) işaretlerinin kesişmeyip x( )h(t- ) çarpımının sıfıra eşit olduğu görülmektedir. O halde, t < 0 ise y(t) = 0. • t ≥ 0 ise, işaretler 0 ≤ ≤ t aralığında kesiştiğinden x( )h(t- ) çarpımı şöyle olur:
x( )h(t
) e
a
• y(t)’yi belirlemek için konvolüsyon integrali hesaplanmalıdır. t
y(t )
e 0
• Özetle, y (t )
1 (1 e a
at
)u (t )
a
d
1 e a
a
t
| 0
1 (1 e a
at
)
Sürekli-zaman LTI sistemlerin konvolüsyon integrali gösterilimi ÖRNEK: Bir sürekli-zaman LTI sistemin impuls yanıtı h(t) ve sisteme uygulanan giriş x(t) aşağıda verilmiştir. Sistemin çıkışını hesaplayınız. x(t )
1, 0 t T 0, aksi halde
h(t )
t , 0 t 2T 0, aksi halde
Aralık 1: t < 0. Aralık 2: 0 ≤ t < T Aralık 3: T ≤ t < 2T Aralık 4: 2T < 4 ≤ 3T Aralık 5: t > 3T
Sürekli-zaman LTI sistemlerin konvolüsyon integrali gösterilimi • ÇÖZÜM: x( )h(t- ) çarpımı 5 aralıkta farklı değerler aldığından, çıkış her aralıkta ayrı ayrı hesaplanmalıdır. • Aralık 1 (t < 0): x( )h(t- ) çarpımı sıfır olup y(t) = 0. • Aralık 5 (t > 3T): x( )h(t- ) çarpımı sıfır olup y(t) = 0. • Diğer üç aralıkta x( )h(t- ) çarpımı aşağıda çizilmiştir.
Sürekli-zaman LTI sistemlerin konvolüsyon integrali gösterilimi Çıkışı bulmak için x( )h(t- ) çarpımının ilgili aralıklardaki integrali hesaplanır. Sonuç ve çıkış işaretinin grafiği aşağıda verilmiştir.
y (t )
0, t 0 1 2 t 0 t T 2 1 2 Tt t , T t 2T 3 1 2 3 2 t Tt T , 2T t 3T 2 2 0, t 3T
Hafta 4: Doğrusal ve Zamanla Değişmeyen Sistemler
4.Hafta
1
Ele Alınacak Ana Konular • LTI sistemlerin özellikleri • Diferansiyel denklemlerle tanımlanmış sürekli-zaman nedensel LTI sistemler
• Fark denklemleriyle tanımlanmış ayrık-zaman nedensel nedensel LTI sistemler • Tekil fonksiyonlar
4.Hafta
2
LTI Sistemlerin Özellikleri • Konvolüsyon işlemi, değişme özelliğine sahiptir. Matematiksel olarak, x[n] * h[n] h[n] * x[n]
h[k ]x[n k ]
k
x(t ) * h(t ) h(t ) * x(t ) h( ) x(t )d
• Bu ilişkiler, basit değişken dönüşümleriyle ispatlanabilir. Örneğin, ayrık-zaman durumunda r = n-k değişken dönüşümü yapılırsa x[n] * h[n]
k
r
x[k ]h[n k ] x[n r ]h[r ] h[n] * x[n]
• Özetle, bir LTI sistemde giriş ve impuls yanıtının rolleri değiştirilirse çıkış aynı kalmaktadır:
4.Hafta
3
LTI Sistemlerin Özellikleri • Konvolüsyon işlemi, dağılma özelliğine sahiptir. Matematiksel olarak, x[n] * (h1[n] h2 [n]) x[n] * h1[n] x[n] * h2 [n] x(t ) *[h1 (t ) h2 (t )] x(t ) * h1 (t ) x(t ) * h2 (t )
• Bu ilişkileri ispatlamak zor değildir. Sürekli-zaman durumu için ilişkilerin blok diyagram yorumu aşağıda verilmiştir:
• Özetle, paralel olarak bağlanmış LTI sistemler, impuls yanıtı parelel bağlamadaki LTI sistemlerin impuls yanıtlarının toplamına eşit olan tek bir sisteme eşdeğerdir.
4.Hafta
4
LTI Sistemlerin Özellikleri • Konvolüsyon işlemi, birleşme özelliğine sahiptir. Matematiksel olarak, x[n] * (h1[n] * h2 [n]) ( x[n] * h1[n]) * h2 [n] x(t ) *[h1 (t ) * h2 (t )] [ x(t ) * h1 (t )] * h2 (t )
• Ayrık-zaman durumu için ilişkilerin blok diyagram yorumu aşağıda verilmiştir:
• Özetle, seri olarak bağlanmış iki LTI sistem, impuls yanıtı seri bağlamadaki sistemlerim impuls yanıtlarının konvolüsyonuna eşit olan tek bir sisteme eşdeğerdir.
4.Hafta
5
LTI Sistemlerin Özellikleri • Konvolüsyon işlemi değişme özelliğine sahip olduğundan iki işaretin konvolüsyonu herhangi bir sırada yapılabilir. O halde, değişme ve birleşme özelliklerinden
• Sonuç olarak, seri olarak bağlanmış LTI sistemlerde sistemlerin sırası değiştirildiğinde toplam yanıtın değişmeyeceği anlaşılmaktadır. Yani,
4.Hafta
6
LTI Sistemlerin Özellikleri • Hafızasız sistem tanımından, LTI sistemlerin hafızasız olabilmesi için ayrık-zaman durumunda n ≠ 0 için h[n] = 0, sürekli-zaman durumunda ise t ≠ 0 için h(t) = 0 olmalıdır. Yani, h[n] K [n] h(t ) K (t )
• K =1 durumunda konvolüsyon toplamı ve konvolüsyon integrali aşağıdaki sonuçları verecektir: x[n] * [n]
x[k ] [n k ] x[n] x[n] * [n] x[n]
k
x(t ) * (t ) x( ) (t )d x(t ) * (t ) x(t )
• Toplama işleminde, herhangi bir sayının sıfır ile toplamı kendine; çarpma işleminde herhangi bir sayının 1 ile çarpımı kendine eşittir. Konvolüsyon işleminde ise, bir işaretin impuls ile konvolüsyonu kendine eşit olmaktadır. O halde, konvolüsyon işleminin BİRİM OPERATÖRÜ impuls fonksiyonudur.
4.Hafta
7
LTI Sistemlerin Özellikleri • Herhangi bir LTI sistemin tersinin de LTI olacağı gösterilebilir.
• Bir işaret, sisteme uygulanıp sistemin çıkışı da ters sisteme uygulandığında tekrar işaret geri elde edilir. Bu gözlem, sürekli-durumda aşağıda özetlenmiştir:
• O halde, sistem ve tersinin seri bağlanmasından oluşan toplam sistemin impuls yanıtı impuls fonksiyonuna eşit olmalıdır. Sistemin ve tersinin impuls yanıtları sırasıyla h ve h1 ile gösterilsin. İmpuls yanıtları arasındaki ilişki h(t ) * h1 (t ) (t ) h[n] * h1[n] [n]
eşitlikleriyle verilir.
4.Hafta
8
LTI Sistemlerin Özellikleri ÖRNEK: Bir sürekli-zaman LTI sistemin girişi ile çıkışı arasındaki ilişki y(t) = x(t-t0) ile verilmektedir. Ters sistemin impuls yanıtını bulunuz. ÇÖZÜM: Sistemin impuls yanıtını bulmak için girişine δ(t) uygulanmalıdır. O halde, h(t ) (t t0 )
Sisteme x(t) uygulandığında çıkış
y(t) = x(t) * h(t) = x(t) * δ(t-t0) = x(t-t0). olup sistem girişi t0 kadar ötelemektedir. Çıkış, ters yönde t0 kadar ötelenirse giriş geri elde edilecektir. Yani, ters sistemin impuls yanıtı h1(t) = δ(t+t0) olmalıdır. Yanıtımızı kontrol edelim: h(t ) * h1 (t ) (t t0 ) * (t t0 ) (t t0 t0 ) (t ) 4.Hafta
9
LTI Sistemlerin Özellikleri • Bir LTI sistemin nedensel olabilmesi (çıkışın girişin gelecekteki değerlerine bağlı olmaması) için impuls yanıtı bağımsız değişkenin negatif değerleri için sıfır olmalıdır. Yani, h[n] 0,
n0
h(t) 0,
t 0.
• O halde, nedensel bir LTI sistemde giriş belirli bir ana kadar sıfır ise çıkış da o ana kadar sıfır olacaktır. • Nedensel LTI sistemler için konvolüsyon denklemleri aşağıdaki gibi olur: y[n]
n
k
k 0
x[k ]h[n k ] h[k ]x[n k ] t
0
y (t ) x( )h(t )d h( ) x(t )d
4.Hafta
10
LTI Sistemlerin Özellikleri • Bir LTI sistemin kararlı olabilmesi için impuls yanıtının sağlaması gereken koşulu ayrık-zamanda çıkaralım. Sürekli-zamanda adımlar benzer olduğundan sadece sonuç verilecektir. • B bir sabit olmak üzere, impuls yanıtı h[n] olan sistemin girişine tüm n değerleri için |x[n]| < B koşulunu sağlayan bir herhangi bir giriş uygulandığında çıkışın genliği konvolüsyon toplamı kullanılarak bulunabilir: y[n]
h[k ]x[n k ]
k
• Sonsuz tane sayının toplamının mutlak değeri, sayıların mutlak değerlerinin toplamından küçük (veya eşit) ve iki sayının çarpımının mutlak değeri sayıların mutlak değerlerinin çarpımına eşit olduğundan
y[n] | h[k ] | | x[n k ] | k
4.Hafta
11
LTI Sistemlerin Özellikleri • En son toplamada, girişin genliği tüm anlarda B’den küçük olduğundan, girişin genliği yerine B yazılırsa toplamanın değeri daha fazla büyüyeceğinden
y[n] B h[k ] k
• Son eşitsizlikten, çıkışın sonlu ve dolayısıyla sistemin kararlı olabilmesi için impuls yanıtının mutlak toplanabilir olması gerektiği sonucu çıkmaktadır:
h[k ]
k
• Benzer şekilde, bir sürekli-zaman LTI sistemin kararlı olabilmesi için impuls yanıtının mutlak integrallenebilir olması gerektiği gösterilebilir:
h(t ) dt
4.Hafta
12
LTI Sistemlerin Özellikleri ÖRNEK: İmpuls yanıtları aşağıda verilen sistemlerin kararlılığını belirleyiniz.
(a) h[n] = δ(n-n0), (b) h(t) = δ(t-t0), (c) h[n] = u(n),
(d) h(t) = u(t).
ÇÖZÜM: (a) Sistem kararlıdır çünkü (b) Sistem kararlıdır çünkü (c) Sistem kararsızdır çünkü (d) Sistem kararsızdır çünkü
n
n
h[n] [n n ] 1
0
h(t ) dt (t t0 ) dt 1
n
n
h[n] u[n]
h(t ) dt u (t ) dt
4.Hafta
13
LTI Sistemlerin Özellikleri • LTI sistemlerin davranışını belirlemek için BİRİM BASAMAK YANITI (sisteme birim basamak uygulandığında elde edilen yanıt) da kullanılabilir. Bu nedenle, impuls yanıtı ile birim basamak yanıtı arasındaki ilişkiyi bulmak faydalı olabilir. • Ayrık-durumda sistemin birim basamak yanıtını s[n] ile gösterelim. h[n] ile s[n] arasındaki ilişki konvolüsyon toplamı kullanılarak belirlenebilir: s[n]
n
k
k
h[k ]u[n k ] h[k ]
• Yukarıdaki ilişki eşdeğer olarak , h[n] = s[n] - s[n-1] şeklinde de yazılabilir.
• Sürekli-durumda h(t) ile s(t) arasındaki ilişki konvolüsyon integralinden bulunur:
t
s(t ) h( )u (t )d h( )d h(t )
ds (t ) s ' (t ) dt
4.Hafta
14
Diferansiyel Denklemlerle Tanımlanmış Nedensel LTI Sistemler • y(t) çıkış, x(t) giriş olmak üzere, bir sürekli-zaman sisteminde giriş-çıkış ilişkisi aşağıdaki gibi olsun: dy(t ) 2 y (t ) x(t ) dt
• Diferansiyel denklem giriş ile çıkış arasında bir kısıt vermektedir, ancak bu kısıt çözüm için yeterli değildir. Çözüm için başlangıç koşulları da belirtilmelidir. • Bu derste, nedensel sürekli-zaman LTI sistemleri tanımlamada diferansiyel denklemler kullanacağız. Nedensel LTI sistemler için başlangıç koşulları özel bir şekildedir. • Diferansiyel denklemi, K gerçel bir sayı olmak üzere x(t) = K e3t u(t) girişi için çözelim. y(t), özel (yp(t)) ve homojen çözümün (yh(t)) toplamına eşittir: y(t ) y p (t ) yh (t )
4.Hafta
15
Diferansiyel Denklemlerle Tanımlanmış Nedensel LTI Sistemler • Özel çözüm diferansiyel denklemi sağlayan bir çözüm, homojen çözüm ise giriş sıfırken diferansiyel denklemin çözümüdür. • Özel çözümün girişle aynı forma sahip olduğu ancak parametrelerinin bilinmediği varsayılır. Yani, A bilinmeyen bir sabit olmak üzere yp(t) = Ae3t. Çözüm, diferansiyel denklemde yerine konulursa: 3 Ae 3t 2 Ae 3t Ke3t , t 0 A
K , 5
y p (t )
K 3t e 5
• Homojen çözümün, B ve s sabitler olmak üzere yh(t) = Best şeklinde olduğu varsayılır. yh(t) diferansiyel denklemde yerine konulursa, aşağıdaki sonuç bulunur: sBe st 2Be st e st (s 2) 0
• s = -2 olmalıdır ve homojen çözüm herhangi bir B için Be-2t’dir. Sonuç olarak, y(t ) yh (t ) y p (t ) Be 2t 4.Hafta
K 3t e , 5
t 0.
16
Diferansiyel Denklemlerle Tanımlanmış Nedensel LTI Sistemler • Görüldüğü gibi, soruda verilen bilgiler B sabitinin değerini belirlemek için yeterli değildir. • Sistemin nedensel olduğu varsayılırsa, t < t0 için x(t) = 0 ise, t < t0 için y(t) = 0 olmalıdır. Örneğimizde t < 0 için x(t) = 0 olup t < 0 için y(t) = 0 olacaktır. Çözüm t = 0’da hesaplanıp sıfıra eşitlenirse B hesaplanabilir: 0 B
K K B 5 5
• O halde, çözüm tam olarak aşağıdaki gibi olur. 0, t0 K y (t ) K 3t 2t y (t ) (e3t e 2t )u (t ) (e e ), t 0 5 5
4.Hafta
17
Diferansiyel Denklemlerle Tanımlanmış Nedensel LTI Sistemler • Genelleştirme yaparsak, N. Dereceden sabit katsayılı diferansiyel denklem aşağıdaki şekilde verilir: d k y(t ) M d k x(t ) ak bk k dt dt k k 0 k 0 N
• Çıkışın en yüksek dereceden türevine diferansiyel denklemin derecesi denir. Çözüm, homojen ve özel çözümlerin toplamına eşittir. • Diferansiyel denklem tek başına çözüm için yeterli değildir. Başlangıç koşulları da belirtilmelidir. Farklı başlangıç koşulları farklı çözümler verir. • Ancak, sistem nedensel ise t < t0 için x(t) = 0 ise, t < t0 için y(t) = 0 olacağından başlangıç koşulları bulunabilir ve t > t0 için y(t) hesaplanabilir. İlgili başlangıç koşulları şöyledir: 2 N 1 y (t0 )
dy (t0 ) d y (t0 ) d y(t0 ) ... 0. dt dt 2 dt N 1
4.Hafta
18
Fark Denklemleriyle Tanımlanmış Nedensel LTI Sistemler • N. dereceden sabit katsayılı bir fark denklemi aşağıdaki şekilde verilir: N
a k 0
M
k
y[n k ] bk x[n k ] k 0
• Çözüm, homojen ve özel çözümlerin toplamına eşittir. • Fark denklemi tek başına çözüm için yeterli değildir. Başlangıç koşulları da belirtilmelidir. Fark denklemi şu şekilde de düzenlenebilir: N 1 M y[n] bk x[n k ] ak y[n k ] a0 k 0 k 1
• O halde, y[n]’nin hesaplanabilmesi için y[n-1], y[n-2], …, y[n-N] başlangıç koşullarının bilinmesine gerek vardır. • Sürekli durumda olduğu gibi sistemin nedensel olduğu biliniyorsa başlangıç koşulları belirlenebilir ve fark denklemi çözülebilir. 4.Hafta
19
Fark Denklemleriyle Tanımlanmış Nedensel LTI Sistemler • Fark denkleminin, N’nin sıfırdan farklı olup olmamasına göre iki şekli vardır: N 1 M y[n] bk x[n k ] ak y[n k ], a0 k 0 k 1 M b y[n] k x[n k ], N 0. k 0 a0
N 0,
• N = 0 durumunda, çıkış sadece girişe bağlı olup çözüm için başlangıç koşulları gerekli değildir. Bu tür denklemlere YİNELEMELİ OLMAYAN denklem denilir. • Yinelemeli olmayan fark denkleminde x[n] = δ[n] yapılırsa sistemin impuls yanıtı elde edilir: bn , 0nM h[n] a0 0, aksi halde
• İmpuls yanıtı, sonlu sayıda değer aldığından yinelemeli olmayan fark denklemleriyle tanımlanan LTI sistemlere SONLU İMPULS YANITLI (FIR) sistem denilir. 4.Hafta
20
Fark Denklemleriyle Tanımlanmış Nedensel LTI Sistemler • .N ≠ 0 durumunda, çıkış hem giriş hem çıkışa bağlı olup için başlangıç koşullarına gerek vardır. Bu tür fark denklemlerine YİNELEMELİ fark denklemi denilir. • ÖRNEK: Giriş-çıkış ilişkisi aşağıdaki fark denklemiyle verilen ayrık-zaman nedensel LTI sistemi ele alalım: y[n] x[n]
1 y[n 1] 2
• Görüldüğü gibi, çıkışın herhangi bir andaki değerinin hesaplanabilmesi için bir önceki değeri bilinmelidir. • x[n] = Kδ[n] olsun. n < 0 için giriş sıfır olduğundan n < 0 için y[n] = 0 olmalıdır. Bu nedenle, n < 0 için çıkışın hesaplanmasına gerek yoktur. • n ≥ 0 için başlangıç koşulu olarak y[-1] = 0 seçip hesaplamalara başlayabiliriz.
4.Hafta
21
Fark Denklemleriyle Tanımlanmış Nedensel LTI Sistemler 1 y[1] K 2 1 1 y[1] x[1] y[0] K 2 2 y[0] x[0]
2
1 1 y[2] x[2] y[1] K 2 2 . . n
1 1 y[n] x[n] y[n 1] K 2 2 n
• K = 1 için x[n] = δ[n] olup sistemin impuls yanıtı
1 h[n] u[n] 2
olur.
• İmpuls yanıtı, sonsuz sayıda değer aldığından yinelemeli fark denklemleriyle tanımlanan LTI sistemlere SONSUZ İMPULS YANITLI (IIR) sistem denilir.
4.Hafta
22
Birinci DerecedenFark Denklemleriyle Tanımlanmış Ayrık-Zaman LTI Sistemlerin Blok Diyagram Gösterilimi • Aşağıdaki fark denklemiyle tanımlanan basit bir ayrık-zaman nedensel LTI sistemi ele alalım: y[n] bx[n] ay[n 1]
• Bu sisteme karşılık gelen blok diyagram gösterilimini elde etmek için toplama, bir sabitle çarpma ve birim gecikme operatörleri aşağıdaki şekilde tanımlansın.
4.Hafta
23
Birinci Dereceden Fark Denklemleriyle Tanımlanmış Ayrık-Zaman LTI Sistemlerin Blok Diyagram Gösterilimi • O halde, fark denklemi aşağıda verilen blok diyagramla temsil edilebilir.
• Blok diyagram, sistemin gerçekleştirilebilmesi için hafıza elemanına ve başlangıç koşullarının bilinmesine gerek olduğunu göstermektedir. • Birim gecikme elemanı hafıza görevini görüp hesaplamalar için gerekli bir önceki çıkış değerini saklamaktadır. Sistem nedensel ise, giriş uygulanıncaya kadar hafıza elemanında saklanan değer sıfırdır.
4.Hafta
24
Birinci Dereceden Diferansiyel Denklemlerle Tanımlanmış Sürekli-Zaman LTI Sistemlerin Blok Diyagram Gösterilimi • Aşağıdaki fark denklemiyle tanımlanan basit bir ayrık-zaman nedensel LTI sistemi ele alalım: dy(t ) 1 dy(t ) ay(t ) bx(t ) y(t ) bx(t ) dt a dt
• Bu sisteme karşılık gelen blok diyagram gösterilimini elde etmek için toplama, bir sabitle çarpma ve türev alma operatörleri aşağıdaki şekilde tanımlansın.
4.Hafta
25
Birinci Dereceden Diferansiyel Denklemlerle Tanımlanmış Sürekli-Zaman LTI Sistemlerin Blok Diyagram Gösterilimi • O halde, diferansiyel denklem aşağıda verilen blok diyagramla temsil edilebilir.
• Türevin gerçekleştirilmersi zordur ve türev işlemi gürültü ile hatalara karşı oldukça duyarlıdır. • İntegral işleminin gerçekleştirilmesi ise kolaydır. Bu nedenle blok diyagram gösteriliminde integratör kullanılması tercih edilir.
4.Hafta
26
Birinci Dereceden Diferansiyel Denklemlerle Tanımlanmış Sürekli-Zaman LTI Sistemlerin Blok Diyagram Gösterilimi • Diferansiyel denklemin her iki tarafının integrali alınırsa eşdeğer gösterilim elde edilir: t dy(t ) bx(t ) ay(t ) y(t ) bx( ) ay( )d dt
• Bu sisteme karşılık gelen blok diyagram gösterilimini elde etmek için toplama, bir sabitle çarpma ve integral alma işlemleri gereklidir. İntegratör tanımı ve sistemin blok diyagram gösterilimi aşağıda verilmiştir:
4.Hafta
27
Birinci Dereceden Diferansiyel Denklemlerle Tanımlanmış Sürekli-Zaman LTI Sistemlerin Blok Diyagram Gösterilimi • İntegratörler, işlemsel kuvvetlendiriciler kullanılarak gerçekleştirilebilir. • Bu nedenle, sürekli-zaman sistemlere karşılık gelen blok diyagram gösterilimi modern analog hesaplayıcılara temel teşkil etmektedir. • İntegratör hafıza görevini görüp hesaplamalar için gerekli başlangıç değerini saklamaktadır. Bunu görmek için, integral işleminin aşağıdaki şekilde yeniden düzenlenebileceğine dikkat ediniz:
bx( ) ay( ) d y(t ) y(t0 ) t bx( ) ay( ) d
y(t )
t
t
0
• İntegratör y(t0) başlangıç değerini saklamaktadır. • Hem ayrık hem de sürekli durumda yüksek dereceden sistemlere karşılık gelen blok diyagramlar benzer şekilde elde edilebilir. 4.Hafta
28
Hafta 5: Periyodik İşaretlerin Fourier Serisi Gösterilimi
Ele Alınacak Ana Konular • LTI sistemlerin karmaşık üstel işaretlere yanıtı • Sürekli-zaman periyodik işaretlerin Fourier serisi gösterilimi
• Fourier serisinin yakınsaklığı • Sürekli-zaman Fourier serisinin özellikleri
LTI Sistemlerin Karmaşık Üstel İşaretlere Yanıtı • LTI sistemlerin analizinde faydalı bir yaklaşım, işaretleri aşağıdaki iki özelliği sağlayan temel işaretlerin doğrusal kombinasyonu şeklinde temsil etmektir: 1. Temel işaretler, geniş ve faydalı bir işaret kümesini oluşturabilmelidir. 2. Bir LTI sistemin temel bir işarete yanıtı basit olmalıdır. Böylece, LTI sistemin bir girişe yanıtı, basit yanıtların doğrusal kombinasyonu olacaktır. • Bu iki özelliği, hem sürekli hem de ayrık durumda karmaşık üstel işaretler sağlamaktadır. • LTI bir sistemin çıkışı, girişin karmaşık bir sabitle çarpımına eşitse girişe SİSTEMİN ÖZFONKSİYONU, karmaşık sabite SİSTEMİN ÖZDEĞERİ denilir. • s ve z karmaşık sayılar olmak üzere, aşağıda gösterildiği gibi sürekli-zamanda est, ayrık-zamanda zn LTI sistemlerin özfonksiyonudur.
LTI Sistemlerin Karmaşık Üstel İşaretlere Yanıtı • İmpuls yanıtı h(t) olan bir sürekli-zaman LTI sistemin girişine est uygulandığında sistemin çıkışı konvolüsyon integralinden hesaplanabilir:
y (t ) h( ) x(t )d h( )e s (t ) d
e st h( )e s d
• Eşitliğin sağındaki integralin yakınsadığını varsayalım. İntegralin değeri s’e bağlıdır ve karmaşık bir sayıdır. İntegralin sonucunu H(s) ile gösterlim:
H ( s) h( )e s d
• O halde, y(t) = H(s)est (çıkış, girişin karmaşık bir sayı ile çarpımına eşittir). Yani, karmaşık üstel est işaretinin sürekli-zaman LTI sistemlerin özfonksiyonu olduğunu göstermiş olduk.
LTI Sistemlerin Karmaşık Üstel İşaretlere Yanıtı • Benzer işlemler ayrık-zamanda yapılabilir. İmpuls yanıtı h[n] olan bir ayrık-zaman LTI sistemin zn girişine olan yanıtı konvolüsyon toplamından hesaplanır: y[n]
h[k ]x[n k ]
k n
z
h[k ]z n k
k
h[k ]z k
k
• Eşitliğin sağındaki toplamanın yakınsadığını varsayalım. Toplamanın değeri z’ye bağlıdır ve karmaşık bir sayıdır. Toplamanın sonucunu H(z) ile gösterlim: H ( z)
h[k ]z k
k
• O halde, y[n] = H(z)zn (çıkış, girişin karmaşık bir sayı ile çarpımına eşittir). Yani, karmaşık üstel zn işaretinin ayrık-zaman LTI sistemlerin özfonksiyonu olduğunu göstermiş olduk.
LTI Sistemlerin Karmaşık Üstel İşaretlere Yanıtı • İmpuls yanıtı h(t) olan bir sürekli-zaman LTI sisteme üç adet karmaşık üstel işaretin toplamına eşit olan bir giriş uygulayalım.
x(t ) a1es t a2es t a3es t 1
3
2
• Özfonksiyon özelliğinden, sistemin karmaşık üstel işaretlere yanıtı şöyledir:
a1e s t a1H ( s1 )e s t a2e s t a2 H ( s2 )e s t a3e s t a3 H ( s3 )e s t 1
1
2
2
3
3
• Sistem doğrusal olduğundan, karmaşık üç üstel işaretin toplamından oluşan girişe olan yanıtı üstel işaretlere olan yanıtlarının toplamına eşittir:
y(t ) a1H (s1)es t a2 H ( s2 )es t a3H (s3 )es t 1
2
3
LTI Sistemlerin Karmaşık Üstel İşaretlere Yanıtı • Yukarıdaki sonucu genelleştirebiliriz. Bir sürekli-zaman LTI sistemin girişi x(t), karmaşık üstel işaretlerin ağırlıklı toplamı (doğrusal kombinasyonu) olsun: x(t ) ak e s t k
k
• Doğrusallık ve özfonksiyon özelliklerinden, sistemin çıkışı aşağıdaki gibi olur: y (t ) ak H ( sk )e s t k
k
• Benzer şekilde, bir ayrık-zaman LTI sistemin girişi x[n], ayrık-zaman karmaşık üstel işaretlerin doğrusal kombinasyonu olsun: x[n] ak zk n k
• Sistemin çıkışı aşağıdaki gibi olur: y[n] ak H ( zk ) zkn k
LTI Sistemlerin Karmaşık Üstel İşaretlere Yanıtı • GÖZLEM: Bir LTI sistemin girişi karmaşık üstel işaretlerin doğrusal kombinasyonu ise, çıkışı da aynı üstel işaretlerin doğrusal bir kombinasyonudur. Çıkış işaretinin gösterilimindeki katsayılar, giriş işaretinin gösterilimindeki katsayılar ile karmaşık üstel işaretlere karşılık gelen sistem özdeğerlerinin çarpımına eşittir. • Bu gözlem, Fourier ve kendisinden sonra gelenlerin herhangi bir işaretin karmaşık üstel işaretlerin doğrusal kombinasyonu şeklinde nasıl yazılabileceği hakkında araştırma yapmalarına ön ayak olmuştur. • Bu ve önümüzdeki haftalar, soruyu sırasıyla sürekli ve ayrık-zaman periyodik işaretler için yanıtlayacak, daha sonraki haftada periyodik olmayan işaretler durumunu ele alacağız.
• s ve z herhangi bir karmaşık sayı olabilir. Ancak, Fourier analizinde s ve z sırasıyla s = j ve z = e j varsayılacaktır. Laplace ve z-dönüşümü konularında s ve z herhangi bir karmaşık sayıya genelleştirilecektir.
LTI Sistemlerin Karmaşık Üstel İşaretlere Yanıtı ÖRNEK: Bir sürekli-zaman LTI sistemin girişi ile çıkışı arasındaki ilişki y(t)=x(t-3) ve sisteme uygulanan giriş x(t) = ej2t olsun. Sistemin çıkışı şöyledir:
y(t ) e j 2(t 3) e j 6e j 2t Uygulanan giriş bir özfonksiyon olduğundan bu sonucu aslında bekliyorduk. Girişe karşılık gelen özdeğeri hesaplayalım. Sistemin impuls yanıtının h(t) = (t-3) olduğu açıktır. O halde,
H ( s) h( )e s d ( 3)e s d e3s
Örneğimizde s = j2 olduğundan, girişe karşılık gelen özdeğer H(j2) = e-j6 olarak elde edilir. Görüldüğü gibi çıkış, giriş ile girişe karşılık gelen ödeğerin çarpımına eşittir. .
Sürekli-zaman Periyodik İşaretlerin Fourier Serisi Gösterilimi • Harmonik ilişkili karmaşık üstel işaretlerin doğrusal kombinasyonu şeklinde yazılan bir sürekli-zaman işareti ele alalım:
x(t )
k
ak e
jk0 t
ak e jk 2 / T t
k
• Harmonik ilişkili üstel işaretlerin herbirinin T ile periyodik olduğunu görmüştük. O halde, x(t)’de T ile periyodiktir. • k = 0 için, toplamadaki üstel işaret sabittir. k = 1 için üstel işaretlerin temel frekansı 0’dır ve bu terimlere TEMEL veya BİRİNCİ HARMONİK bileşenler denir. k = 2 için üstel işaretlerin temel frekansı 20’dır ve bu terimlere ikinci harmonik bileşenler denir. Genel olarak, k = N için toplamadaki karmaşık üstel işaretlere N. HARMONİK bileşenler denir. • Periyodik bir işaretin yukarıdaki gibi toplama şeklinde ifade edilmesine FOURİER SERİSİ gösterilimi denir.
Sürekli-zaman Periyodik İşaretlerin Fourier Serisi Gösterilimi ÖRNEK: Temel frekansı 2 olan bir sürekli-zaman periyodik işaretin Fourier serisi gösterilimi aşağıda verilmiştir: x(t )
3
ak e jk 2t
k 3
1 1 1 a0 1, a1 a1 , a2 a 2 , a3 a3 4 2 3
Katsayılar toplamada yerine konularak işaretin analitik ifadesi elde edilebilir:
x(t ) 1
1 j 2t 1 1 e e j 2t e j 4t e j 4t e j 6t e j 6t 4 2 3
Euler ilişkisi kullanılarak, işaret trigonometrik fonksiyonlar cinsinden de yazılabilir: .
1 2 x(t ) 1 cos(2t ) cos(4t ) cos(6t ) 2 3
Harmonik bileşenlerin işareti nasıl olusşturduğu aşağıda gösterilmiştir.
Sürekli-zaman Periyodik İşaretlerin Fourier Serisi Gösterilimi • Sürekli-zaman gerçel periyodik işaretler için Fourier serisinin diğer bir gösterilimi vardır. Gerçel bir işaret için x*(t) = x(t) olduğundan *
jk t * jk t ak e x(t ) ak e a* k e jk t k k k 0
0
0
• Son ifade, Fourier serisi gösterilimi ile karşılaştırılırsa ak = a*-k veya eşdeğer olarak a*k = a-k sonucu çıkar. Bu sonuçtan yararlanılarak Fourier serisi aşağıdaki gibi yazılabilir:
x(t )
k
ak e
jk 0 t
a0 ak e jk t a k e jk t 0
k 1
a0 ak e jk t ak*e jk t k 1
0
0
a0 2 Re ak e jk t k 1
0
0
Sürekli-zaman Periyodik İşaretlerin Fourier Serisi Gösterilimi • Son ifadede ak kutupsal koordinatlarda Ak ejk şeklinde yazılırsa aşağıda verilen eşdeğer trigonometrik gösterilim elde edilir:
x(t ) a0 2 Re Ak e j e jk t k 1
k
0
a0 2 Ak cos(k0t k ) k 1
• ak kartezyen koordinatlarda Bk + jCk şeklinde yazılırsa aşağıda verilen diğer bir trigonometrik gösterilim elde edilir:
x(t ) a0 2 Re Bk jCk e jk t k 1
0
a0 2 Bk cos(k0t ) Ck sin( k0t ) k 1
Sürekli-zaman Periyodik İşaretlerin Fourier Serisi Gösterilimi • Şimdi de, periyodik bir işaret için Fourier serisi katsayılarının nasıl hesaplanabileceğini tartışacağız. • Fourier serisi gösteriliminde, eşitliğin her iki tarafı e-jn0t ile çarpıldıktan sonra çarpımın [0,T] aralığında integrali alınırsa aşağıdaki ifade elde edilir: T
0
x(t )e
jn0 t
T
dt 0
ak e jk t e jn t dt 0
k
k
0
ak [ 0 e j[ k n ] t dt ] T
0
• Köşeli parantez içindeki ifade Euler formülü kullanılarak yeniden düzenlenebilir: T
0
e j[ k n] t dt 0 cos[(k n)0t ]dt j 0 sin[(k n)0t ]dt 0
T
T
Sürekli-zaman Periyodik İşaretlerin Fourier Serisi Gösterilimi • k n için cos[(k-n)0t] ve sin[(k-n)0t] işaretleri T/|k-n| temel periyodu ile periyodiktir. İntegralın alındığı aralık T uzunluğunda olup temel periyodun |k-n| katıdır. • Sinüs ve kosinüs işaretlerinin bir periyodunda, işaretlerin sıfırın üstünde ve altında kalan kısımları aynı alana sahip olup bu işaretlerin bir periyod ve dolayısıyla da bir periyodun tamsayı katı uzunluğundaki bir aralıktaki integrali sıfıra eşittir. k n için her iki integral sıfıra eşittir. • k = n için, integrand 1 olup integralin sonucu T’ye eşittir. Özetle, T
0
T, k n e j[ k n] t dt 0, k n 0
• O halde, seri gösterilimindeki katsayılar şöyle hesaplanır:
an
1 T jn t x ( t ) e dt 0 T 0
Sürekli-zaman Periyodik İşaretlerin Fourier Serisi Gösterilimi • Yukarıda bulunan sonucun, T uzunluklu herhangi bir aralık için geçerli olduğuna dikkat ediniz. T uzunluklu herhangi bir aralık boyunca integral T notasyonu ile gösterilmek üzere, sürekli-zaman periyodik işaretin Fourier serisine açılımı ve açılımdaki katsayıların hesabı aşağıdaki eşitliklerde verilmiştir:
x(t )
k
ak
ak e
jk0 t
ak e jk 2 / T t
k
1 1 jk t jk ( 2 / T )t x ( t ) e dt x ( t ) e dt T T T T 0
• İşaretin seri şeklinde gösterilimine SENTEZ, katsayıların nasıl hesaplanacağını veren eşitliğe ise ANALİZ denklemi denilir. a0 katsayısı, işaretteki sabit veya DC bileşen olup işaretin bir periyod boyunca ortalama değeridir:
a0
1 x(t )dt T T
Sürekli-zaman Periyodik İşaretlerin Fourier Serisi Gösterilimi ÖRNEK: Temel periyodu T ve temel frekansı 0 = 2/T olan periyodik kare dalganın Fourier serisi gösterilimini elde ediniz.
ÇÖZÜM: İşaretin bir periyodunun matematiksel ifadesi şöyledir: 1, | t | T1 x(t ) 0, T | t | T / 2 1
Fourier serisi katsayılarını bulmak için T uzunluklu herhangi bir aralık seçilebilir. İşaret, t = 0 etrafında simetrik olduğundan aralık olarak –T/2 ≤ t ≤ T/2 seçilmesi mantıklıdır.
Sürekli-zaman Periyodik İşaretlerin Fourier Serisi Gösterilimi İlk önce a0’ı belirleyelim. a0
1 1 T /2 1 T 2T1 x ( t ) dt dt dt T T T T / 2 T T T 1
1
Diğer katsayılar (ak, k 0) benzer şekilde hesaplanır: 1 T /2 1 T jk t jk t x ( t ) e dt e dt T / 2 T T T jk T jk T 2 e e k0T 2j 2 sin( k0T1 ) sin( k0T1 ) k0T k
ak
1
0
0
1
0 1
0 1
Katsayılar sabit bir T1 ve değişik T değerleri için aşağıda çizilmiştir. Bu örnek için katsayılar gerçel çıktığından katsayılar için bir grafik yeterli olmuştur. Katsayıların karmaşık sayı olması halinde, gerçel ve sanal kısımları çizmek için iki grafiğin gerekli olacağına dikkat ediniz.
Sürekli-zaman Periyodik İşaretlerin Fourier Serisi Gösterilimi
Sürekli-zaman Periyodik İşaretlerin Fourier Serisi Gösterilimi ÖRNEK: Sinüzoidal işaretler için Fourier serisi doğrudan hesaplanabilir. Aşağıda verilen işaretin Fourier serisi gösterilimini elde edelim. x(t ) 1 sin(0t ) 2 cos(0t ) cos(20t ) 4
Çözüm: Euler ilişkisiden işaret karmaşık üstel işaretlerin toplamı şeklinde yazılabilir:
1 j t 1 e e j t e j t e j t e j ( 2 t / 4) e j ( 2 t / 4) 2j 2 1 1 1 1 1 e j t 1 e j t e j / 4 e j 2 t e j / 4 e j 2 t 2 2 2j 2j
x(t ) 1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
O halde x(t)’nin Fourier serisi katsayıları ifadeye bakılarak doğrudan yazılabilir 1 1 1 1 1 j , a1 1 1 j 2j 2 2j 2 2 2 a2 e j / 4 (1 j ), a 2 e j / 4 (1 j ) 4 4 ak 0, k 3. a0 1, a1 1
Sürekli-zaman Periyodik İşaretlerin Fourier Serisi Gösterilimi Katsayıların genliği ve fazı, k’ya bağlı olarak aşağıda çizilmiştir.
Sürekli-zaman Periyodik İşaretlerin Fourier Serisi Gösterilimi ÖRNEK: Örnekleme bahsinde kullanılacak periyodik impuls dizisininFourier serisi katsayılarını bulalım. x(t )
(t kT )
k
ÇÖZÜM: İşaret, analiz denkleminde yerine konularak katsayılar hesaplanabilir. İşaret simetrik olduğundan integral aralığı olarak –T/2 ≤ t ≤ T/2 almak uygundur. 2
2
jk t jk t T /2 1 ak x(t )e T dt x(t ) e T dt T / 2 T T 2 2 jk t 1 T /2 1 jk T 0 1 T –T/2 ≤ t ≤ T/2 aralığında x(t) = (t) olduğundan, ak (t )e dt e T T / 2 T T
Not: Yukarıdaki sonucu bulurken şu özelliği kullandık:
T /2
T / 2
(t ) f (t )dt f (0)
Sürekli-zaman Fourier Serisinin Yakınsaklığı • Kare dalgada süreksizlikler vardır. Halbuki seri gösterilimindeki harmonik ilişkili karmaşık üstel işaretlerin hepsi süreklidir. Süreksiz bir işaretin sürekli işaretlerle temsil edilebileceğine şüpheyle bakılmıştır. • Fourier’in tespitleri dönemin usta matematikçisi Lagranage tarafından veto edilmiştir. Hatta, dönemin diğer matematikçileri Lacroix, Monge ve Laplace’nin Fourier’e desteği bile araştırmaların yayınlanması için yeterli olmamıştır. Fourier’in araştırmaları vefatından sonra yayınlanabilmiştir. • Fourier serisinin geçerliliğini göstermek için, bir sürekli-zaman periyodik işaretin sonlu sayıda harmonik ilişkili karmaşık üstel işaretle temsilini ele alalım:
xN (t ) • eN(t) yaklaşıklık hatasını göstersin:
N
ak e jk t 0
k N
eN (t ) x(t ) xN (t ) x(t )
N
ak e jk t 0
k N
Sürekli-zaman Fourier Serisinin Yakınsaklığı • Farklı yaklaşıklıkları birbiriyle karşılaştırabilmek için, yaklaşıklık hatasının boyutunu veren bir ölçüt kullanmamız gereklidir. Ölçüt olarak, bir periyot boyunca hatanın enerjisini kullanacağız. 2
EN T eN (t ) dt
• Hatanın enerjisini minimum yapan katsayıların
ak
1 jk t x ( t ) e dt T T 0
olduğu gösterilebilir (ödevlerin birinde bu sonuç ispatlanacaktır!). Yani, hatayı minimum yapan katsayılar Fourier serisi katsayılarına eşittir. O halde, x(t)’nin Fourier serisi gösterilimi varsa, N büyüdükçe hata azalır ve N limit durumunda EN sıfıra eşit olur. • Şimdi de periyodik bir işaretin hangi koşullar altında Fourier serisi gösterilimine sahip olacağını belirlemeye çalışalım.
Sürekli-zaman Fourier Serisinin Yakınsaklığı • İki durumla karşılaşmak mümkündür: (i) katsayıların hesaplanmasına imkan veren integral yakınsamayabilir (bazı katsayılar sonsuz olabilir), (ii) katsayıların hepsi sonlu olsa bile, bu katsayılar sentez denkleminde yerine konulduğunda elde edilen seri orijinal işareti vermeyebilir. 2
• Periyodik bir işaret, bir periyod boyunca sonlu enerjiye sahi, yani T x(t ) dt ise, Fourier serisi katsayılarının sonlu olacağı gösterilebilir. Bu durumda, işaret ile Fourier serisi gösterilimi arasındaki hatanın enerjisi bir periyot boyunca sıfır olacaktır.
e(t ) x(t )
k
ak e jk t T e(t ) dt 0 0
2
• Bu sonuç, Fourier serisi gösteriliminin işarete eşit olduğu anlamına gelmediğini, ancak ikisi arasındaki farkta enerji olmadığını belirtmektedir. • Fiziksel sistemler, işaretin enerjisine yanıt verdiğinden, bu anlamda işaret ile Fourier serisi gösterilimi eşdeğerdir. İlgilendiğimiz çoğu periyodik işaretin enerjisi sonlu olup bu işaretler için Fourier serisi gösterilimi mevcuttur.
Sürekli-zaman Fourier Serisinin Yakınsaklığı • Dirichlet, periyodik bir işaret ile Fourier serisi gösteriliminin, işaretin süreksiz olduğu noktalar hariç eşit olabilmesi için koşulları belirlemiştir. Süreksizlik noktalarında seri, işaretin süreksizlik noktasında soldan ve sağdan limitlerinin ortalamasına eşit olur. Dirichlet koşulları aşağıda verilmiştir.
• Koşul 1: İşaret bir periyod boyunca mutlak integrallenebilir olmalıdır:
T x(t ) dt • Koşul 2: Bir periyot boyunca, işaretin sonlu sayıda minimum ve maksimumu olmalıdır. • Koşul 3: Sonlu bir aralıkta, işarette sonlu sayıda süreksizlik olmalı ve ayrıca süreksizlik noktalarında işaretin değeri de sonlu olmalıdır. • Dirichlet koşullarını ihlal eden işaretler örnekler aşağıda verilmiştir.
Koşul 1’i ihlal eden bir işaret
Koşul 2’yi ihlal eden bir işaret
Koşul 3’ü ihlal eden bir işaret
Sürekli-zaman Fourier Serisinin Yakınsaklığı • Dirichlet koşullarını sağlamayan işaretlerin fiziksel sistemlerde karşımıza çıkma olasılığının oldukça az olduğu örneklerden görülmektdir. • 1898 yılında, Amerikan fizikçi Albert Michelson, sonlu Fourier serisini N = 80’e kadar hesaplayan bir aygıt (modern adıyla harmonik analizör) geliştirmiştir. • Michelson, aygıtını pek çok periyodik işaret için test etmiştir. Michelson, kare dalga için ummadığı sonuçlar elde edince geliştirdiği aygıtın hatalı olabileceğini düşünmüş ve konuyu matematiksel fizikçi Josiah Gibbs ile paylaşmıştır. • Gibbs, problemi derinlemesine incelemiş ve düşüncelerini 1899 yılında Michelson ile paylaşmıştır. • Periyodik kare dalga, Dirichlet koşullarını sağladığından, sonlu serideki terim sayısı sonsuza giderken süreksizlik noktalarında serinin limiti süreksizlik değerinin ortalamasına eşit olmalıdır. Diğer noktalarda, seri işarete yakınsamalıdır. Çeşitli N değerleri için yaklaşık işaret ve kare dalga aşağıda çizilmiştir.
Sürekli-zaman Fourier Serisinin Yakınsaklığı • Michelson’un Gözlemi: Sonlu seri, süreksizlik noktalarında dalgalanmalar vermektedir. Dalgalanmaların tepe genliği N’den bağımsızdır ve N arttıkça azalmamaktadır. • Gibbs’in Açıklaması: İşaretin süreksiz olmadığı bir t1 noktası süreksizlik noktasına yaklaştıkça hatanın küçük olması için N büyük olmalıdır. Bu nedenle, N arttıkça dalgalanmalar süreksizlik noktası etrafında yoğunlaşır ancak dalgalanmanın maksimum genliği sabit kalır. • Bu gözleme GIBBS OLAYI denir. Yani, süreksiz bir işaretin sonlu terimli Fourier serisi yaklaşıklığı yüksek frekanslı dalgalanmalar içerir ve süreksizlik noktasında işaretten daha yüksek değer alır. • Sonlu terimli Fourier serisi kullanılacaksa, dalgalanmalardaki toplam enerji ihmal edilebilecek kadar küçük olacak şekilde yeterince büyük N değeri seçilmelidir. Limit durumunda, hatasının enerjisi sıfır olur ve Fourier serisi yakınsar.
Sürekli-zaman Fourier Serisinin Özellikleri • Temel periyodu T ve temel frekansı ω0 = 2π/T olan periyodik bir işaretin Fourier serisi katsayılarının ak olduğunu belirtmek için FS
x(t ) ak
notasyonunu kullanacağız. • Sürekli-zaman Fourier serisinin aşağıda verilen özellikleri aracılığıyla, Fourier serisi katsayıları bilinen işaretler yardımıyla çoğu işaretin Fourier serisi açılımını elde etmek kolaylaşmaktadır.
• Fourier dönüşümü konusunda da göreceğimiz gibi, çoğu özellik Fourier dönüşümünün özelliklerinden elde edilebilir. Bu nedenle, sadece en önemli özellikleri sıralayacak ve yorumlayacağız.
Sürekli-zaman Fourier Serisinin Özellikleri FS
Özellik 1 (Zamanda öteleme): x(t ) ak ise,
FS
x(t t0 ) e jk0t0 ak e jk ( 2 / T )t0 ak
İspat: Periyodik bir işaret, zamanda ötelenirse periyodikliği korunur ve periyodu değişmez. Ötelenmiş y(t) = x(t-t0) işaretinin Fourier serisi katsayıları bk olsun: bk
1 1 jk0t y ( t ) e dt x(t t0 )e jk0t dt T T T T
İntegralde, τ = t-t0 değişken dönüşümü yapalım. t, uzunluğu T olan bir aralıkta değişiyorsa τ’da uzunluğu T olan bir aralıkta değişecektir. O halde, 1 jk0 ( t0 ) jk0t 0 1 jk0 x ( ) e d e x ( ) e d T T T T e jk0t0 ak e jk ( 2 / T )t0 ak
bk
Yorum: e jk ( 2 / T )t0 1 olduğundan,
bk ak .
(Periyodik bir işaret ötelendiğinde Fourier serisi katsayılarının genliği değişmez!)
Sürekli-zaman Fourier Serisinin Özellikleri FS
Özellik 2 (Zamanda tersine çevirme): x(t ) ak
FS
ise, x(t ) ak
İspat: Periyodik bir işaret, zamanda tersine çevrilirse periyodikliği korunur ve periyodu değişmez. Fourier serisi açılımından x(-t) işareti x(t )
a e
k
jk 2t / T
k
şeklinde yazılabilir. Toplamada, k = -m değişken dönüşümü yapılırsa x(t )
a
m
m
e jm 2t / T
Son eşitlik, x(-t) işaretinin Fourier serisi açılımı olup açılımdaki katsayılar a-k’dır. Yorum: Bir sürekli-zaman periyodik işaret zamanda tersine çevrilirse, karşılık gelen Fourier serisi katsayıları da tersine çevrilir. O halde, çift işaretlerin (x(t)=x(-t)) Fourier serisi katsayıları çift (ak=a-k), tek işaretlerinki ise tek (ak= -a-k) olacaktır.
Sürekli-zaman Fourier Serisinin Özellikleri FS
FS
Özellik 3 (Zamanda ölçekleme): x(t ) ak ise, x(t ) ak
İspat: Periyodik bir işaret, ölçeklendiğinde periyodu değişir. x(t)’nin temel periyodu T ve temel frekansı ω0 = 2π/T ise, x(αt)’nin temel periyodu T/α ve temel frekansı αω0’dır. x(t)’nin Fourier serisi açılımında t yerine αt yazılırsa x(t )
a e
k
jk (0t )
k
Son eşitlik, temel frekansı αω0 olan işaretin Fourier serisi gösterilimi olup açılımdaki katsayılar ak’dır. Yorum: Bir sürekli-zaman periyodik işareti zamanda ölçekleme Fourier serisi katsayılarını değiştirmez.
Sürekli-zaman Fourier Serisinin Özellikleri FS
Özellik 4 (Zamanda türev alma): x(t ) ak ise,
dx(t ) FS 2 ak jk0 ak jk dt T
İspat: Periyodik bir işaretin türevi alınırsa yine periyodik olur ve periyodu değişmez. x(t)’nin Fourier serisi açılımında, eşitliğin her iki tarafının t’ye göre türevi alınırsa
dx(t ) d d jk0t ak e ak e jk0t dt dt k k dt
jk a e
k
jk0t
0 k
Son eşitlik, temel frekansı ω0 = 2π/T olan işaretin Fourier serisi gösterilimi olup açılımdaki katsayılar jkω0ak = jk(2π/T)ak olarak görülmektedir. Yorum: Bir sürekli-zaman periyodik işaretin türevini almak, Fourier serisi katsayılarının hem genliğini hem de fazını değiştirmektedir.
Sürekli-zaman Fourier Serisinin Özellikleri Özellik 5 (Parseval ilişkisi):
1 2 x(t ) dt ak T T k
x(t ) x(t ) x* (t ) İspat: İntegralde , gösterilimlerini kullanırsak 2
2
yazıp, x(t) ile eşleniği için Fourier serisi
1 1 1 2 jk0t * * jl0t x ( t ) dt x ( t ) x ( t ) dt a e a e k l dt T T T T T T k l
*1 a a e j ( k l )0t dt k l T T k l
Köşeli parantez içindeki integrali daha önce hesaplamıştık:
T , k l j ( k l )0 t e dt T 0, k l
O halde, son eşitlikte sonsuz tane integral olmasına rağmen integrallerin sonucu sadece l = k için T, diğer l değerlerinde 0’a eşittir. Sonuç olarak, iki toplama bir toplamaya indirgenir ve l = k olur: 1 2 * 1 x(t ) dt ak ak T ak T T T k k
2
Sürekli-zaman Fourier Serisinin Özellikleri Parseval İlişkisinin Yorumu: • Bir işareti değişik şekillerde temsil etmek aslında ilave bir bilgi vermemektedir. • Bir bakış açısında gizli olan bir bilgi, diğer bir bakış açısında ortaya çıkabilir.
• İşaretin enerjisi kullanılan gösterilimden bağımsıztır. Diğer bir deyişle, işaretin enerjisini zaman veya frekans uzayında hesaplamak aynı sonucu vermelidir.
Diğer Özellikler: • Sürekli-zaman Fourier serisinin ispatını vermediğimiz başka özellikleri de vardır. • Diğer özelliklerin ispatı benzer şekilde yapılabilir. Özelliklerin tümü aşağıdaki tabloda listelenmiştir.
Sürekli-zaman Fourier Serisinin Özellikleri Özellik
Periyodik İşaret
Fourier Serisi Katsayıları
x(t ) 0 2 / T temel frekansı ve y (t ) T temel periyodu ile periyodik
ak
Doğrusallık
Ax(t ) By (t )
Aak Bbk
Zamanda öteleme
x(t t0 )
Frekansta öteleme
e jM0t x(t ) e jM ( 2 / T )t x(t )
ak e jk0t0 ak e jk ( 2 / T )t0 ak M
Eşlenik alma
x* (t )
a* k
Zamanda tersine çevirme
x(t )
a k
Zamanda ölçekleme
x(t ) α>0 ( T/α ile periyodik)
ak
Periyodik konvolüsyon
x( ) y(t )d
Tak bk
T
Zamanda çarpma
x(t ) y(t )
bk
a b
l
l k l
Sürekli-zaman Fourier Serisinin Özellikleri Özellik Zamanda türev alma Zamanda integral alma
Periyodik İşaret dx(t ) dt
t
jk0 ak jk
2 ak T
1 1 ak a k jk jk ( 2 / T ) 0
x(t )dt
Gerçel işaretler için eşlenik simetriklik
x(t) gerçel
Gerçel ve çift işaretler Gerçel ve tek işaretler
x(t) gerçel ve çift x(t) gerçel ve çift
Gerçel işaretlerin çift-tek ayrıştırması
Fourier Serisi Katsayıları
ak a* k e{ak } e{a k } m{ak } m{a k } a a k k ak a k ak gerçel ve çift ak saf karmaşık ve çift
xe (t ) Ev{x(t )} [ x(t ) gerçel ]
e{ak }
xo (t ) Od{x(t )} [ x(t ) gerçel]
jm{ak }
Periyodik İşaretler için Parseval İlişkisi 1 2 x(t ) dt ak T T k
2
Sürekli-zaman Fourier Serisinin Özellikleri ÖRNEK: Sürekli-zaman Fourier serisinin özelliklerinden yararlanarak aşağıda verilen g(t) işaretinin (T = 4 ile periyodik) Fourier serisi katsayılarını bulalım.
ÇÖZÜM: g(t) işaretini analiz denkleminde yerine koyarak, Fourier serisi katsayılarını belirleyebiliriz. Ancak, g(t) işaretini daha önce Fourier serisini hesapladığımız periyodik simetrik kare dalga cinsinden ifade edip sonucu bulacağız. Kare dalga ve Fourier serisi katsayıları, hatırlatma amacıyla aşağıda verilmiştir: a0
2T1 T
ak
sin(k0T1 ) , k 0 k
Periyodik kare dalga işaretinde T = 4 ve T1 = 1 alalım. Şekillerden, g(t) ile x(t) arasındaki ilişkinin g(t) = x(t-1) – 1/2 olduğu görülmektedir. x(t-1) işaretinin Fourier serisi katsayıları bk olsun. Öteleme özelliğinden, bk ak e jk / 2
DC terimin (-1/2) Fourier serisi katsayıları ck olsun. DC işaretin sıfırdan farklı bir Fourier serisi katsayısı vardır: k 0 0, ck 1 / 2, k 0
g(t) işaretinin Fourier serisi katsayıları dk olsun. Doğrusallık özelliğinden ak e jk / 2 , k 0 d k bk ck a0 1 / 2, k 0
Son ifadede ak yerine konulursa sin(k / 2) jk / 2 e , k 0 d k k 0, k 0
Sürekli-zaman Fourier Serisinin Özellikleri ÖRNEK: Sürekli-zaman Fourier serisinin özelliklerinden yararlanarak aşağıda verilen x(t) işaretinin (T = 4 ile periyodik) Fourier serisi katsayılarını bulalım.
ÇÖZÜM: Bu işaretin türevi, önceki örnekte ele alınan g(t) işaretine eşittir. g(t) ve x(t) işaretlerinin Fourier serisi katsayılarını sırasıyla dk ve ek ile gösterelim. Türev özelliğinden, d k jk (2 / 4)ek ek
2d k jk
İfade, k ≠ 0 için geçerlidir. dk eşitlikteyerine konulursa ek
2 sin(k / 2) jk / 2 e , k 0 j (k ) 2
e0, bir periyot boyunca x(t)’nin altındaki alan periyoda bölünerek elde edilebilir: e0
1 1 2 1 x ( t ) dt x ( t ) dt T T 4 2 2
<<<<<<<<<<>>>>>>>>>>>>
Hafta 6: Periyodik İşaretlerin Fourier Serisi Gösterilimi
Ele Alınacak Ana Konular • Ayrık-zaman periyodik işaretlerin Fourier serisi gösterilimi • Ayrık-zaman Fourier serisinin özellikleri
• Fourier serisi ve LTI sistemler • Filtreleme • Sürekli-zaman filtre örnekleri
• Ayrık-zaman filtre örnekleri
Ayrık-zaman Periyodik İşaretlerin Fourier Serisi Gösterilimi • Ayrık-zaman Fourier serisindeki amaç, periyodik bir ayrık-zaman işareti harmonik ilişkili ayrık-zaman karmaşık üstel işaretler cinsinden yazmaktır. Ancak, k [n] e jk n e jk ( 2 / N ) n , k 0,1,2, ile verilen harmonik ilişkili karmaşık üstel kümesinde birbirinden farklı N adet işaret olduğunu hatırlayınız. 0
• N ile periyodik bir ayrık-zaman işareti, harmonik ilişkili üstel işaretlerin doğrusal kombinasyonu şeklinde yazmaya çalışalım: x[n] ak e jk ( 2 / N ) n k
• Birbirinden farklı N adet üstel işaret olduğundan, toplama N terim içermelidir. Toplamaya herhangi bir k değerinden başlanabilir (örneğin, k = 0,1,…, N-1 veya k = 3,4, N+2). Bu durumu belirtmek için k = notasyonu kullanılırsa x[n]
a e
k N
jk ( 2 / N ) n
k
• Periyodik bir ayrık-zaman işaretin bu şekilde yazılmasına ayrık-zaman Fourier serisi gösterilimi ve ak katsayılarına Fourier serisi katsayıları denir.
Ayrık-zaman Periyodik İşaretlerin Fourier Serisi Gösterilimi • Ayrık-zaman Fourier serisi katsayılarının hesaplanmasında aşağıda verilen eşitliği kullanacağız. N , k 0, N ,2 N jk ( 2 / N ) n e aksi halde n N 0,
• Fourier serisinin iki yanını e-jr(2π/N) n ile çarpıp, N terim üzerinden toplarsak
x[n]e
jr ( 2 / N ) n
n N
a e
jk ( 2 / N ) n jr ( 2 / N ) n
j ( k r )( 2 / N ) n
n N k N
k N
ak
e
k
e
n N
• İçteki toplama k = r için N, k ≠ r için 0’dır. O halde, iki toplama tek toplamaya indirgenir ve k = r olur. Sonuç olarak,
x[n]e
n N
jr ( 2 / N ) n
a N a
k N
r
r
1 N
x[n]e
n N
jr ( 2 / N ) n
Ayrık-zaman Periyodik İşaretlerin Fourier Serisi Gösterilimi • Ayrık-zaman periyodik işaretin Fourier serisine açılımı ve açılımdaki katsayıların hesabı aşağıdaki eşitliklerde özetlenmiştir. Sentez denklemi: Analiz denklemi:
x[n]
a e
k N
ak
1 N
x[n]e
n N
jk0 n
k
jk0 n
a e
k N
1 N
jk ( 2 / N ) n
k
x[n]e
jk ( 2 / N ) n
n N
• k[n] = e-jk(2π/N) n olsun. Sentez denklemi, k = 0,1,…, N-1 veya k = 1,2,…, N için yazılırsa aynı sonucu vereceğinden x[n] a00 [n] a11[n] aN 1N 1[n] x[n] a11[n] a22 [n] aNN [n]
• Ancak, 0[n] = N[n] olduğundan, yukarıdaki eşitliklerden a0 = aN sonucu çıkar. Benzer işlemler, arka arakaya gelen N adet k için yapılırsa ak = ak+N elde edilir. Yani, periyodik bir ayrık-zaman işaretin Fourier serisi katsayıları da periyodiktir!
Ayrık-zaman Periyodik İşaretlerin Fourier Serisi Gösterilimi ÖRNEK: Sinüzoidal işaretler için Fourier serisi doğrudan hesaplanabilir. Aşağıda verilen işaretin Fourier serisi gösterilimini elde edelim. x[n] sin(0 n)
Çözüm: 2π/ω0 rasyonel bir sayı ise x[n] periyodiktir. Bu koşulun sağlanması halinde iki durum vardır: Durum 1: N bir tamsayı olmak üzere, 2π/ω0 = N Durum 2: N ve M tamsayılar olmak üzere, 2π/ω0 = N/M Durum1: Euler ilişkisinden
1 j0 n j0 n e e 2j 1 j ( 2 / N ) n 1 j ( 2 / N ) n 1 1 e e a1 , a1 , ak 0, k 1 2j 2j 2j 2j
x[n] sin(0 n)
Durum2: Euler ilişkisinden x[n]
1 j0n j0n 1 jM ( 2 / N ) n 1 jM ( 2 / N ) n 1 1 e e e e aM , a M , ak 0, k M 2j 2j 2j 2j 2j
Fourier serisi katsayıları her iki durum için aşağıda çizilmiştir. Katsayıların periyodik olduğuna dikkat ediniz.
Durum 1: N = 5
Durum 2: M=3, N=5
Ayrık-zaman Periyodik İşaretlerin Fourier Serisi Gösterilimi ÖRNEK: Aşağıdaki işaretin ayrık-zaman Fourier serisi gösterilimini elde edelim 2 x[n] 1 sin N
2 n 3 cos N
4 n cos n 2 N
ÇÖZÜM: İşaret N ile periyodiktir. Euler ilişkisinden x[n] 1
1 j ( 2 / N ) n j ( 2 / N ) n 3 j ( 2 / N ) n j ( 2 / N ) n 1 j ( 4 / N / 2 ) n j ( 4 / N / 2 ) n e e e e e e 2j 2 2
3 1 3 1 1 1 1 e j ( 2 / N ) n e j ( 2 / N ) n e j / 2 e j 2( 2 / N ) n e j / 2 e j 2( 2 / N ) n 2 2 2 2j 2 2j
Fourier serisi katsayıları doğrudan yazılabilir: 3 1 3 1 3 1 3 1 j , a1 j 2 2j 2 2 2 2j 2 2 1 1 a2 j , a 2 j , ak 0, k 0, 1, 2. 2 2 a0 1, a1
Fourier serisi katsayılarının gerçel ve sanal kısımları, genliği ve fazı aşağıda çizilmiştir.
Ayrık-zaman Periyodik İşaretlerin Fourier Serisi Gösterilimi ÖRNEK: Aşağıdaki verilen periyodik ayrık-zaman kare dalganın Fourier serisi gösterilimini elde edelim
ÇÖZÜM: 1 ak N
N1
x[n]e
n N1
jk ( 2 / N ) n
1 N
N1
e
n N1
1 jk ( 2 / N ) N1 1 e jk 2 ( 2 N1 1) / N e jk ( 2 / N ) N 1 e
jk ( 2 / N ) n
1 N
2 N1
e
jk ( 2 / N )( m N1 )
m 0
1 jk ( 2 / N ) N1 2 N1 jk ( 2 / N ) m e e N m 0
1 e jk ( 2 / 2 N ) e jk 2 ( N1 1/ 2) / N e jk 2 ( N1 1/ 2) / N e jk ( 2 / 2 N ) e jk ( 2 / 2 N ) e jk ( 2 / 2 N ) N
1 sin[2k ( N1 1 / 2) / N ] , k 0, N ,2 N , N sin( k / N ) 2 N1 1 k 0, N ,2 N , N
Fourier serisi katsayıları 2N1+1=5 ve N = 10, 20, 40 için aşağıda çizilmiştir.
N = 10
N = 20
N = 40
Ayrık-zaman Fourier Serisinin Özellikleri • Temel periyodu N ve temel frekansı ω0 = 2π/N olan periyodik bir ayrık-zaman işaretin Fourier serisi katsayılarının ak olduğunu belirtmek için FS
x[n] ak
notasyonunu kullanacağız. • Ayrık-zaman Fourier serisinin aşağıda verilen özellikleri aracılığıyla, Fourier serisi katsayıları bilinen işaretler yardımıyla çoğu işaretin Fourier serisi açılımını elde etmek kolaylaşmaktadır.
• Özellikler, sürekli durumdakine benzer bir şekilde kolaylıkla ispatlanabilir.
Ayrık-zaman Fourier Serisinin Özellikleri Özellik
Periyodik İşaret
Fourier Serisi Katsayıları
x[n] 0 2 / N temel frekansı ve a k y[n] N temel periyodu ile periyodik bk Doğrusallık
Ax[n] By[n]
Aak Bbk
Zamanda öteleme
x[n n0 ]
Frekansta öteleme
e jM0t x[n] e jM ( 2 / N )t x[n]
ak e jk0n0 ak e jk ( 2 / N ) n0 ak M
Eşlenik alma
x * [ n]
a* k
Zamanda tersine çevirme
x[n]
a k
Zamanda ölçekleme
x[n / m], n, m nin tam katı x( m ) [n] aksi halde 0,
1 ak m
Periyodik konvolüsyon
x[r ] y[n r ]
r N
Zamanda çarpma
x[n] y[n]
Nak bk
a b
l N
l k l
Ayrık-zaman Fourier Serisinin Özellikleri Özellik Zamanda fark alma Zamanda toplama
Periyodik İşaret
Fourier Serisi Katsayıları
1 e
x[n] x[n 1] n
x[k ]
jk ( 2 / N )
a
k
1 a jk ( 2 / N ) k 1 e
k
Gerçel işaretler için eşlenik simetriklik
x[n] gerçel
Gerçel ve çift işaretler Gerçel ve tek işaretler
x[n] gerçel ve çift x[n] gerçel ve tek
ak a* k e{ak } e{a k } m{ak } m{a k } a a k k ak a k ak gerçel ve çift ak saf karmaşık ve tek
Gerçel işaretlerin çift-tek ayrıştırması
xe [n] Ev{x[n]} [ x[n] gerçel ]
e{ak }
xo [n] Od{x[n]} [ x[n] gerçel]
jm{ak }
Periyodik İşaretler için Parseval İlişkisi
1 2 x[n] ak T n N k N
2
Ayrık-zaman Fourier Serisinin Özellikleri ÖRNEK: Ayrık-zaman Fourier serisinin özelliklerinden yararlanarak aşağıda verilen x[n] işaretinin (N = 5 ile periyodik) Fourier serisi katsayılarını bulalım.
ÇÖZÜM: x[n] işareti, aşağıda gösterildiği gibi x1[n] ve x2[n] işaretlerinin toplamı olarak yazılabilir. x[n] x1[n] x2 [n]
x[n], x1[n] ve x2[n] işaretlerinin Fourier serisi katsayıları sırasıyla ak ,bk ve ck olsun. Doğrusallık özelliğinden ak bk ck
1 sin[3k / 5] 5 sin(k / 5) , k 0,5,10, bk daha önce bulunmuştu (N1=1, N = 5): bk 3 k 0,5,10, 5
x2[n] işareti sabit (DC) olup sıfırdan farklı bir Fourier serisi katsayısına sahiptir: 0, k 0 ck 1, k 0
Fourier serisi katsayıları 5 ile periyodik olduğundan
O halde,
0, k 0,5,10, ck 1, k 0,5,10,
1 sin(3k / 5) , k 0,5,10, 5 sin(k / 5) ak bk ck 8 , k 0,5,10, 5
Ayrık-zaman Fourier Serisinin Özellikleri ÖRNEK: Hakkında aşağıdaki bilgiler bilinen bir ayrık-zaman işareti bulunuz.
1. x[n], N = 6 ile periyodiktir, 2.
5 n 0
x[n] 2
7
3.
n ( 1 ) x[n] 1 n2
4. Yukarıdaki üç koşulu sağlayan işaretler arasından, periyot başına en küçük enerjiye x[n] sahiptir. ÇÖZÜM: 2 nolu bilgiden a0=1/3. (1) n e jn e j ( 2 / 6)3n olduğundan, 3 nolu bilgiden a3=1/3 .
İşaretteki ortalama güç Parseval ilişkisi kullanılarak hesaplanabilir: 5
P ak
2
k 0
ak katsayılarının her birinin P’ye katkısı pozitif bir sayıdır. a0 ve a3 değerleri belli olduğundan, P’nin en küçük olabilmesi için a1 = a2 = a4 = a5 = 0 olmalıdır. Tüm katsayılar belirlendiğinden, sentez denklemi kullanılarak işaret belirlenebilir. 5
x[n] ak e k 0
jk ( 2 / N ) n
5
ak e jk ( 2 / 6) n k 0
a0 a3e jn (1 / 3) (1 / 6)(1) n
Bir periyot boyunca işaretin değişimi aşağıda verilmiştir
Fourier Serisi ve LTI Sistemler • İmpuls yanıtı h(t) olan bir sürekli-zaman LTI sistemin girişine est uygulandığında sistemin çıkışı H(s)
H ( s) h(t )e st dt
olmak üzere, y(t) = H(s)est ile veriliyordu. • Benzer şekilde, impuls yanıtı h[n] olan bir ayrık-zaman LTI sistemin zn girişine olan yanıtı H(z) H ( z)
h[k ]z k
k
olmak üzere, y[n] = H(z)zn eşitliğinden hesaplanmaktaydı.
• s ve z genel karmaşık sayılar olduğunda H(s) ve H(z)’ye SİSTEM FONKSİYONU denir.
Fourier Serisi ve LTI Sistemler • s = jω özel durumunda (giriş ω frekanslı karmaşık üstel işaretse) sürekli-zaman sistem fonksiyonuna sistemin FREKANS YANITI denir ve H(jω) ile gösterilir:
H ( jw) h(t )e jt dt
• Benzer şekilde, z = ejω ise, ayrık-zaman sistem fonksiyonuna frekans yanıtı denir ve H(ejω) ile belirtilir: H (e j )
h[k ]e
jn
k
• LTI bir sistemin periyodik bir işarete yanıtı, sistemin frekans yanıtından kolaylıkla belirlenebilir. Adımlar aşağıda verilmiştir.
Fourier Serisi ve LTI Sistemler • Sürekli-zaman: Periyodik x(t) işareti impuls yanıtı h(t) olan bir LTI sisteme uygulandığında çıkışı hesaplayalım. • x(t) periyodik olduğundan Fourier serisine açılabilir: x(t )
a e
k
jk0t
k
ak H ( jk0 )e jk0t
• Herhangi bir karmaşık üstel ( ak e jk t ) işarete yanıt: 0
• Sistem doğrusal oduğundan, sistemin karmaşık üstel işaretlerin toplamına olan yanıtı, karmaşık üstel işaretlere tek tek yanıtlarının toplamına eşittir. x(t )
ak e jk0t y(t )
k
a H ( jk )e
k
k
jk0t
0
• Gözlem: Çıkış da periyodiktir. Girişin Fourier serisi katsayıları ak ise çıkışın Fourier serisi katsayıları H(jkω0)ak’dır. Yani, giriş katsayıları frekans yanıtının karşılık gelen frekanstaki değeriyle çarpılmaktadır.
Fourier Serisi ve LTI Sistemler • Ayrık-zaman: Periyodik x[n] işareti impuls yanıtı h[n] olan bir LTI sisteme uygulandığında çıkışı hesaplayalım. • x[n] periyodik olduğundan Fourier serisine açılabilir: x[n]
a e
k N
jk ( 2 / N ) n
k
j 2k / N )e jk ( 2 / N ) n • Herhangi bir karmaşık üstel ( ak e jk ( 2 / N ) n ) işarete yanıt: ak H (e
• Sistem doğrusal oduğundan, sistemin karmaşık üstel işaretlerin toplamına olan yanıtı, karmaşık üstel işaretlere tek tek yanıtlarının toplamına eşittir. x[n]
a e
k N
k
jk ( 2 / N ) n
y[n]
a H (e
k N
k
j 2k / N )
)e jk ( 2 / N ) n
• Gözlem: Çıkış da periyodiktir. Girişin Fourier serisi katsayıları ak ise çıkışın Fourier serisi katsayıları H (e j 2k / N )ak ’dır. Yani, giriş katsayıları frekans yanıtının karşılık gelen frekanstaki değeriyle çarpılmaktadır.
Fourier Serisi ve LTI Sistemler ÖRNEK: Aşağıda verilen sürekli-zaman periyodik işaret, impuls yanıtı h(t) = e-t u(t) olan sisteme uygulandığında, çıkışın Fourier serisi katsayılarını bulunuz. 1 2 x(t ) 1 cos(2t ) cos(4t ) cos(6t ) 2 3
ÇÖZÜM: Giriş ve çıkışın katsayıları ak ve bk olsun. İlk önce frekans yanıtını hesaplayalım. H ( j ) h(t )e jt dt e t e jt dt
0
1 1 j
Girişin temel periyodu T = 1 (ω0 = 2π) olduğundan çıkışın da temel periyodu 1’dir. Ayrıca, girişin k ≠ 0, ±1,±2,± 3 için Fourier serisi katsayıları sıfırdır. O halde, y (t )
3
b e
k 3
jk 2t
k
,
bk ak H ( jk 2 ),
1 1 b1 4 1 j 2
1 1 , b1 4 1 j 2
1 1 b2 2 1 j 4
1 1 , b 2 2 1 j 4
1 1 b3 3 1 j 6
1 1 , b3 3 1 j 6
b0 1,
Fourier Serisi ve LTI Sistemler ÖRNEK: İmpuls yanıtı h[n] = α-nu[n], (-1< α < 1) olan sisteme uygulandığında, çıkışın Fourier serisi katsayılarını bulunuz.
x[n] cos(2n / N )
ÇÖZÜM: Çıkışın katsayıları bk olsun. İlk önce frekans yanıtını hesaplayalım. j
H (e )
h[n]e
n
Euler ilişkisinden O halde,
Diğer bir deyişle,
jn
e
n jn
n 0
e j n 0
n
1 1 e j
1 1 x[n] e j ( 2 / N ) n e j ( 2 / N ) n 2 2 1 1 H e j 2N e j ( 2 / N ) n H e j 2N e j ( 2 / N ) n 2 2 1 1 1 j ( 2 / N ) n 1 j ( 2 / N ) n e e j 2N j 2N 2 1 e 2 1 e
y[n]
1 1 b1 , j 2N 2 1 e
1 1 b1 , bk 0, k 1 j 2N 2 1 e
Hafta 7: Sürekli-zaman Fourier Dönüşümü
Ele Alınacak Ana Konular • Sürekli-zaman Fourier dönüşümü • Sürekli-zaman periyodik işaretler için Fourier dönüşümü
• Sürekli-zaman Fourier dönüşümünün özellikleri • Doğrusal, sabit katsayılı diferansiyel denklemlerle tanımlanan sistemler
Sürekli-zaman Fourier Dönüşümü • Periyodik olmayan (aperiyodik) bir işareti, periyodu sonsuz olan periyodik bir işaret gibi düşünebiliriz. • Periyodik bir işaretin periyodu büyüdükçe, temel frekans küçülür ve dolayısıyla Fourier serisi gösterilimindeki harmonik ilişkili üstel işaretlerin frekansları yakınlaşır. • Periyodun sonsuz olması limit durumunda frekans bileşenleri sürekli hale gelir ve Fourier serisi toplamı integrale eşit olur. • Fourier serisinin, periyodun sonsuza gitmesi durumundaki limit haline FOURIER DÖNÜŞÜMÜ denir.
Sürekli-zaman Fourier Dönüşümü • Aşağıda verilen periyodik kare dalganın Fourier serisi katsayılarını hesaplamıştık ak
2 sin(k0T1 ) k0T
• Sabit bir T1 ve değişik T değerleri için Fourier serisi katsayılarını çizersek, periyodun katsayılar üzerindeki etkisini belirlemiş oluruz. • Alternatif olarak, Tak
2 sin(T1 )
k
değerlerini çizebiliriz.
0
• 2sin(ωT1)/ω fonsiyonu, Tak’nın zarfını temsil etmektedir ve ak katsayıları bu zarfın eşit aralıklı örnekleridir.
Sürekli-zaman Fourier Dönüşümü
Sürekli-zaman Fourier Dönüşümü • T arttıkça veya eşdeğer olarak temel frekans ω0 = 2π/T azaldıkça, zarf daha sık örneklenmektedir. T → ∞ limit durumunda, orijinal periyodik kare dalga dikdörtgen darbeye ve T ile çarpılmış Fourier serisi katsayıları zarfa eşit olur. • Bu örneği genelleştirmek mümkündür. Aperiyodik bir işaret, periyodik bir işaretin periyod sonsuza giderken limit hali gibi düşünülebilir. Periyodik işaret Fourier serisine açılır ve periyodun sonsuza gitmesi durumunda serinin davranışı incelenir.
• Aşağıda, periyodik olmayan sonlu süreli bir işaret x(t) ile bu işaretten türetilen ve ~ bir periyodu sonlu süreli işarete eşit olan periyodik bir işaret x (t ) verilmiştir.
Sürekli-zaman Fourier Dönüşümü •
~ x (t ) Fourier serisine açılabilir. |t|
olduğundan
~ x (t )
a e
k
ak
jk0t
k
1 T /2 ~ 1 T /2 1 jk0t jk0t x ( t ) e dt x ( t ) e dt x(t )e jk0t dt T T / 2 T T / 2 T
• Tak’nın zarfı X(jω), X ( j ) x(t )e jt dt şeklinde tanımlansın. • O halde, ak 1 X ( jk0 ) T
• Zarf cinsinden bulunan katsayılar, Fourier serisinde yerine konulur ve 2π/T=ω0 olduğu göz önünde bulundurulursa ~ x (t )
1 1 X ( jk0 )e jk0t 2 k T
X ( jk )e
k
0
jk0t
0
Sürekli-zaman Fourier Dönüşümü • ω0→ 0 iken, aşağıdaki şekilden görüldüğü gibi en son toplama integrale yakınsar.
jk0t
• Toplamadaki her bir terim, yüksekliği X ( jk0 )e ve genişliği ω0 olan bir dikdörtgenin alanıdır. ω0→ 0 limit durumunda, toplama X ( j )e j t fonksiyonunun integraline yakınsar. O halde, T→ ∞ için x(t) → ~x (t ) gerçeğini kullanırsak, aşağıda verilen Fourier dönüşüm çiftini elde ederiz. x(t )
1 2
X ( j )e j t d
X ( j ) x(t )e j t dt
Sürekli-zaman Fourier Dönüşümü • Şimdiye kadar yapılan tartışmadan, periyodik bir işaretin Fourier serisi katsayılarının, işaretin bir periyodunun Fourier dönüşümü cinsinden ifade edilebileceği anlaşılmaktadır. •
~ x (t ) , T ile periyodik olsun ve Fourier serisi katsayıları ak ile gösterilsin. ~ x (t ) nin
bir periyoduna eşit sonlu süreli bir işaret x(t) ve Fourier dönüşümü X(jω) ile belirtilsin. O halde, ak
1 X ( j ) T k
0
• Tartışma, sonlu süreli işaretler için yapılmıştır. İşaret sonlu olmasa bile, analiz denklemindeki integral yakınsayabilir ve bu tür işaretler için Fourier dönüşümü bulunabilir. • Fourier dönüşümünün yakınsaması için yeterli olan koşullara Dirichlet koşulları denir ve aşağıda listelenmiştir.
Sürekli-zaman Fourier Dönüşümü •Sürekli-zaman Harmonik ilişkili Fourierkarmaşık dönüşümüüstel için Dirichlet işaretlerinkoşulları doğrusal kombinasyonu şeklinde yazılan bir sürekli-zaman işareti ele alalım: Koşul 1: İşaret mutlak integrallenebilir olmalıdır:
x(t )
k
ak e
ak e jk 2 / T t x(t ) dt
jk0 t
k
•Koşul Harmonik 2: Herhangi ilişkilibir üstel sonlu işaretlerin aralıkta,herbirinin işaretin sonlu T ilesayıda periyodik minimum olduğunu ve maksimumu görmüştük. olmalıdır. O halde, x(t)’de T ile periyodiktir. •Koşul k = 3: 0 için, Herhangi toplamadaki bir sonlu üstelaralıkta, işaret sabittir. işarette sonlu k = 1sayıda için üstel süreksizlik işaretlerin olmalı temel ve ayrıca frekansı süreksizlik 0’dır ve noktalarında bu terimlere işaretin TEMEL değeri veyadeBİRİNCİ sonlu olmalıdır. HARMONİK bileşen Özetle, mutlak integrallenebilir sürekli veya sonlu sayıda süreksizliğe sahip işaretlerin Fourier dönüşümü hesaplanabilir.
Sürekli-zaman Fourier Dönüşümü ÖRNEK: x(t ) eatu(t ), a 0 faz spektrumunu çiziniz.
işaretinin Fouier dönüşümünü hesaplayınız, genlik ve
ÇÖZÜM: Fourier dönüşüm denkleminden
0
X ( j ) x(t )e j t dt e ate j t dt
1 , a j
a0
Görüldüğü gibi, işaret gerçel olmasına rağmen Fourier dönüşümü karmaşık değerli olabilmektedir. O halde, ω’nın fonksiyonu olarak Fourier dönüşümünün genliğini (genlik spektrumu) ve fazını (faz spektrumunu) belirleyebilir ve çizebiliriz. X ( j )
1 a2 2
,
X ( j ) tan 1 a
Sürekli-zaman Fourier Dönüşümü a t
ÖRNEK: x(t ) e , a 0 fonksiyonu olarak çiziniz.
işaretinin Fouier dönüşümünü hesaplayınız ve frekansın
ÇÖZÜM: Fourier dönüşüm denkleminden
X ( j ) x(t )e j t dt e
a t
0
0
e j t dt e ate j t dt e ate j t dt
1 1 2a 2 a j a j a 2
Bu durumda Fourier dönüşümü gerçel çıkmıştır. İşaret ve Fourier dönüşümü aşağıda çizilmiştir.
Sürekli-zaman Fourier Dönüşümü ÖRNEK: Sürekli-zaman impuls işaretinin Fouier dönüşümünü hesaplayınız
ÇÖZÜM: X ( j ) x(t )e j t dt (t )e j t dt 1 İmpuls işaretinin Fourier dönüşümü tüm frekanslarda eşit bileşenlere sahiptir. 1, x ( t ) ÖRNEK: Dikdörtgen darbenin Fourier dönüşümünü hesaplayınız 0, T1 sin(T1 ) j t j t ÇÖZÜM: X ( j ) x(t )e dt e dt 2
T1
t T1 t T1
Sürekli-zaman Fourier Dönüşümü ÖRNEK: Fouier dönüşümü aşağıda verilen sürekli-zaman işaretini bulunuz. 1, X ( j ) 0,
W W
ÇÖZÜM: Ters Fourier dönüşüm denkleminden x(t )
1 2
X ( j )e j t d
1 2
W
W
e j t dw
sin(Wt ) t
Sürekli-zaman Fourier Dönüşümü • Sürekli-zaman Fourier dönüşümü ve LTI sistemlerin analizinde sin(aθ)/bθ şeklinde özel bir fonksiyonla sıklıkla karşılaşılır ve böyle fonksiyonlara sinc fonksiyonu denir. • Sinc fonksiyonu matematiksel olarak şöyle tanımlanır: • Sinc fonksiyonu aşağıda çizilmiştir.
sinc( )
sin( )
Aşağıda sinc(W) fonksiyonu ve Fourier dönüşümü, değişik W değerleri için çizilmiştir. W arttıkça Fourier dönüşümü genişlerken, sinc fonksiyonunun ana lobunun genişliği darlaşır. Yani, zaman uzayı ile frekans uzayı arasında ters bir ilişki vardır. Zamanda daha yer kaplayan bir işaretin Fourier dönüşümü, daha fazla yer kaplayan bir işaretinkine göre daha geniş bir frekans aralığında frekans bileşenlerine sahipir.
Periyodik İşaretlerin için Fourier Dönüşümü • Sürekli-zaman periyodik işaretlerin de Fourier dönüşümünü hesaplamak mümkündür. Göreceğimiz gibi, periyodik işaretlerin Fourier dönüşümü impuls fonksiyonu içermek zorundadır. • Fourier dönüşümü X(jω) = 2π(ω-ω0) olan işareti, ters Fourier dönüşümü kullanarak rahatlıkla bulabiliriz. x(t )
1 2
2 ( 0 )e j t d e j0t
• Daha genel olarak, sonsuz adet impulsun toplamından oluşan bir Fourier dönüşümünün tersi, sonsuz adet üstel işaretin toplamı olmalıdır: X ( j )
k
2ak ( k0 ) x(t )
a e
k
jk0t
k
• O halde, periyodik bir işaretin Fourier dönüşümü, şiddetleri işaretin Fourier serisi katsayıları ve konumları temel frekansın katları tarafından belirlenen impulslar içermektedir.
Periyodik İşaretlerin için Fourier Dönüşümü ÖRNEK: Aşağıda verilen periyodik işaretin Fourier dönüşümünü hesaplayınız. ak
ÇÖZÜM:
X ( j )
2 ak ( k0 )
k
2 sin(k0T1 ) k0T
2 sin(k0T1 ) ( k0 ) k k
Periyodik İşaretlerin için Fourier Dönüşümü ÖRNEK: Aşağıda verilen periyodik işaretin Fourier dönüşümünü hesaplayınız. ak
ÇÖZÜM:
X ( j )
2 ak ( k0 )
k
2 T
(
k
1 T /2 1 jk0 t ( t ) e dt T T / 2 T
2k ) T
Not: Zaman uzayı ile frekans uzayı arasındaki ters ilişkiye dikkat ediniz. İmpulslar zaman uzayında birbirinden uzaklaşırsa frekans uzayında yakınlaşmaktadır.
Periyodik İşaretlerin için Fourier Dönüşümü ÖRNEK: x1(t)=sin(ω0t) ve dönüşümlerini hesaplayınız. ÇÖZÜM:
x2(t)=cos(ω0t)
x1 (t ) sin(0t ) a1
periyodik
işaretlerinin
1 1 , a1 , ak 0, k 1 2j 2j
X 1 ( j ) 2a1 ( 0 ) 2a1 ( 0 )
j
( 0 ) ( 0 ) j
1 1 x2 (t ) cos(0t ) a1 , a1 , ak 0, k 1 2 2 X 2 ( j ) 2a1 ( 0 ) 2a1 ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )
Fourier
Sürekli-zaman Fourier Dönüşümü İşaret
Fourier Dönüşümü
Fourier Serisi Katsayıları
ak e jk t
2
e j t
2 ( 0 )
a1 1, ak 0, k 1
cos(0t )
0 0
a1 a1 1/ 2, ak 0, k 1
sin(0t )
( / j ) 0 0
a1 a1 1/ 2 j, ak 0, k 1
0
k
0
2 ( )
x(t ) 1 Periyodik kare dalga
t T1 1, x(t ) 0, T1 t T / 2
(t nT )
n
ak ( k0 )
k
2 sin( k0T1 ) ( k0 ) k k
2 T
2k ( T )
k
ak
a0 1, ak 0, k 0 sin( k0T1 ) 0T1 k T sinc 0 1 k
ak
1 , k T
İşaret 1, x(t ) 0,
Fourier Dönüşümü t T1 t T1
sin(Wt ) t
2 sin(T1 )
Fourier Serisi Katsayıları
İşaret periyodik değil
W W
1, X ( j ) 0,
İşaret periyodik değil
(t )
1
İşaret periyodik değil
u (t )
1 j
İşaret periyodik değil
t t0
e jt
İşaret periyodik değil
eat u(t ), ea 0 teat u(t ), ea 0
t n 1 at e u (t ), ea 0 (n 1)!
0
İşaret periyodik değil
1 a j
İşaret periyodik değil
1
a j
2
1
a j
n
İşaret periyodik değil
Sürekli-zaman Fourier Dönüşümünün Özellikleri • Kolaylık olması bakımından, sürekli-zaman Fourier dönüşümü ve tersini belirtmek için sırasıyla F{x(t)} ve F-1{X(j)} kısa gösterilimini kullanacağız. Ayrıca, sürekli-zaman Fourier dönüşüm çiftini belirtmek için F x(t ) X ( j )
notasyonunu kullanacağız.
• Sürekli-zaman Fourier dönüşümünün aşağıda verilen özellikleri aracılığıyla, Fourier dönüşümü bilinen işaretlerden çoğu işaretin Fourier dönüşümünü elde etmek kolaylaşmaktadır. • Aşağıda sadece en önemli özelliklerin ispatı verilecektir. Diğer özelliklerin ispatı benzer şekilde yapılabilir.
Sürekli-zaman Fourier Dönüşümünün Özellikleri F F X ( j ) x(t t0 ) e jt X ( j ) Zamanda öteleme: x(t ) 0
İspat: Ters Fourier dönüşüm denkleminden
x(t )
1 2
X ( j )e j t d
Eşitliğin her iki tarafında t yerine t-t0 yazılırsa x(t t0 )
1 2
X ( j ) e j (t t0 ) d
1 2
X ( j)e
jt0
e
j t
d
Yorum: Bir sürekli-zaman işaret ötelendiğinde, Fourier dönüşümünün genliği değişmez, fazı ise öteleme ile doğru orantılı bir şekilde ötelenir.
F x(t ) X j X ( j ) e j X ( j )
F x(t t0 ) e jt X ( j ) X ( j ) e j X ( j ) t 0
0
Sürekli-zaman Fourier Dönüşümünün Özellikleri F F Zaman-frekans ölçekleme: x(t ) X ( j ) x(at )
1 j X a a
İspat: Fourier dönüşüm denkleminden
F x(at ) x(at )e j t dt
İntegralde, τ = at değişken dönüşümü yapılırsa
1 j ( / a ) x ( ) e d , a 0 a F x(at ) 1 x( )e j ( / a ) d , a 0 a Yorum: Zaman uzayı ile frekans uzayı arasında ters bir ilişki vardır. Zamanda dar (geniş) yer kaplayan işaretlerin Fourier dönüşümü geniş (dar) bir aralıkta frekans bileşenlerine sahiptir. Ayrıca, a = -1 seçilirse, zamanda tersine çevrilmiş işaretin Fourier dönüşümünün de tersine çevrileceği anlaşılmaktadır.
Sürekli-zaman Fourier Dönüşümünün Özellikleri dx(t ) F jX ( j ) dt 1 İspat: Ters Fourier dönüşüm denkleminden x(t ) X ( j )e j t d 2 F Zamanda türev alma: x(t ) X ( j )
Eşitliğin her iki tarafında t’ ye göre türevi alınırsa dx(t ) 1 dt 2
j t j X ( j ) e d
Yorum: Zaman uzayında türev alma, frekans uzayında j ile çarpmaya karşılık gelmektdir. Bu özellik, sabit katsayılı difrenasiel denklemlerle tanımlanmış LTI sistemlerin analizinde çok önemli rol oynayacaktır. Çözümü zor olan diferansiyel bir denklem, Fourier dönüşümünün bu özelliği sayesinde çözümü çok kolay olan bir cebirsel denklem haline getirilir, denklem istenilen değişken için çözülür ve ters Fourier dönüşümü alınarak çözüm elde edilir.
Sürekli-zaman Fourier Dönüşümünün Özellikleri Konvolüsyon özelliği: y(t ) x(t ) * h(t ) Y ( j) X ( j) H ( j)
y(t ) x( )h(t )d
İspat: Konvolüsyon denkleminden
Eşitliğin her iki tarafının Fourier dönüşümü alınırsa
Y ( j ) F y (t ) {
x( )h(t )d } e j t dt
x( ){ h(t )e j t dt}d j H ( j ) dir. O halde, Zamanda öteleme özelliğinden parantez içindeki terim e
Y ( j ) x( )e j H ( j )d
H ( j ) x( )e j d X ( j ) H ( j ) Yorum: İki işaretin konvolüsyonunun Fourier dönüşümü, Fourier dönüşümlerinin çarpımına eşittir. Yani, iki işaretin konvolüsyonunu bulmak için, Fourier dönüşümleri çarpılır ve çarpımın ters Fourier dönüşümü alınır.
Sürekli-zaman Fourier Dönüşümünün Özellikleri ÖRNEK: x(t)=e-btu(t) b>0 ve h(t)=e-atu(t) a>0 işaretlerinin konvolüsyonunu Fourier dönüşümünden yararlanarak hesaplayınız. ÇÖZÜM:
X ( j )
1 1 1 , H ( j ) , Y ( j ) b j a j (a j )(b j )
Y(j) basit kesirlere açılırsa Y ( j )
A B 1 1 1 a j b j b a a j b j
y(t)’yi elde etmek için ters Fourier dönüşümü almak yeterlidir.
1 1 1 y (t ) F 1Y ( j ) F 1 a j b j b a 1 e at u (t ) ebt u (t ) ba
Sürekli-zaman Fourier Dönüşümünün Özellikleri F Çarpma (modülasyon) özelliği: r (t ) s(t ) p(t ) R( j )
1 S ( j ) * P( j ) 2
Yorumlar: 1. Zaman uzayında çarpma, frekans uzayında konvolüsyona karşılık gelmektedir. 2. Zaman uzayında konvolüsyonun frekans uzayında çarpmaya karşılık geldiğini hatırlayınız. Zaman ve frekans uzayları arasındaki bu ilişkiye DÜALLİK denilir. Dualliğin nedeni, Fourier ve ters Fourier dönüşüm denklemlerinin eşit olmamakla birlikte oldukça benzer olmasıdır. 3. Verilen bir Fourier çifti için, zaman ve frekans değişkenlerinin rolleri değiştirilerek DÜAL çift elde edilir. 4. Düallik özelliği kullanılarak, diğer pek çok özellik elde edilebilir. Örneğin, zaman uzayında türev almak j ile çarpmaya karşılk geldiğine göre, zaman uzayında integral alma j ile bölmeye karşılık gelmelidir. 5. Düallik özelliği, darbe ve sinc Fourier dönüşüm çifti için aşağıda verilmiştir ve diğer fonksiyon çiftlerine uygulanabilir.
Sürekli-zaman Fourier Dönüşümünün Özellikleri
Sürekli-zaman Fourier Dönüşümünün Özellikleri ÖRNEK: Bir s(t) işaretinin spektrumu aşağıda verilmiştir. p(t)= cos(0t) olmak üzere, r(t) = s(t)p(t) işaretinin spektrumunu Fourier dönüşümünün çarpma(modülasyon) özelliğinden yararlanarak bulunuz.
ÇÖZÜM: P( j ) ( 0 ) ( 0 ) 1 S ( j ) * ( 0 ) ( 0 ) 1 S ( j ( 0 ) 1 S ( j ( 0 ) R( j ) 2 2 2
Sürekli-zaman Fourier Dönüşümünün Özellikleri Özellik
Aperiyodik İşaret
x(t ) y (t )
Fourier dönüşümü
X ( j ) Y ( j )
Doğrusallık
ax(t ) by(t )
aX ( j ) bY ( j )
Zamanda öteleme
x(t t0 )
Frekansta öteleme
e j t x(t )
e jt X ( j ) X ( j ( 0 ))
0
0
Eşlenik alma
x* (t )
X * ( j )
Zamanda tersine çevirme
x(t )
X ( j )
Zaman ve frekans ölçek
x(at )
1 j X a a
Konvolüsyon
x(t ) * y(t )
X ( j )Y ( j )
x(t ) y(t )
1 X ( j ) * Y ( j ) 2
Zamanda çarpma
Özellik Zamanda türev alma Zamanda integral alma
Periyodik İşaret dx(t ) dt
t
Frekansta türev alma
jX ( j )
1 X ( j ) X (0) ( ) j
x(t )dt
tx(t )
j
d X ( j ) d
X ( j ) X * ( j ) e{ X ( j )} e{ X ( j )} m{ X ( j )} m{ X ( j )} X ( j ) X ( j ) X ( j ) X ( j )
Gerçel işaretler için eşlenik simetriklik
x(t) gerçel
Gerçel ve çift işaretler Gerçel ve tek işaretler
x(t) gerçel ve çift x(t) gerçel ve tek
Gerçel işaretlerin çift-tek ayrıştırması
Fourier Serisi Katsayıları
xe (t ) Ev{x(t )} [ x(t ) gerçel ] xo (t ) Od{x(t )} [ x(t ) gerçel]
X(j ) gerçel ve çift X(j ) saf karmaşık ve tek
e{ X ( j )} jm{ X ( j )}
Aperiyodik İşaretler için Parseval İlişkisi 2 1 x(t ) dt 2 X ( j ) d
2
Doğrusal, Sabit Katsayılı Diferansiyel Denklemlerle Tanımlanan Sistemler • Girişi-çıkış ilişkisi aşağıda verilen sürekli-zaman sistemin frekans yanıtını bulalım d k y (t ) M d k x(t ) ak k bk k dt dt k 0 k 0 N
Y ( j ) X ( j ) H ( j ) H ( j )
• Konvolüsyon özelliğinden,
Y ( j ) X ( j )
• Diferansiyel denklemin her iki tarafının Fourier dönüşümü alınır ve Fourier dönüşümünün türev özelliği kullanılırsa frekans yanıtı bulunabilir: N N M d k y (t ) M d k x(t ) d k y (t ) d k x(t ) F ak F b a F b F k k k k k dt k dt k k 0 k 0 k 0 dt k 0 dt M
N
M
a ( j ) Y ( j ) b ( j ) k
k 0
k
k 0
k
k
X ( j ) H ( j )
b ( j )
k
a ( j )
k
k 0 N
k 0
k
k
Doğrusal, Sabit Katsayılı Diferansiyel Denklemlerle Tanımlanan Sistemler ÖRNEK: Giriş-çıkış ilişkisi aşağıda verilen sistemin frekans yanıtını ve impuls yanıtını bulunuz. d 2 y (t ) dy (t ) dx(t ) 4 3 y ( t ) 2 x(t ) dt dt dt 2
ÇÖZÜM: Her iki tarafın Fourier dönüşümü alınırsa ( j )2 Y ( j ) 4( j )Y ( j ) 3Y ( j ) ( j ) X ( j ) 2 X ( j ) Y ( j ) j 2 H ( j ) X ( j ) ( j )2 4( j ) 3
H(j)’nın ters Fourier dönüşümü alınırsa impuls yantı elde edilir. 1/ 2 1/ 2 h(t ) F 1H ( j ) F 1 j 1 j 3 1 1 h(t ) et u (t ) e3t u (t ) 2 2
Hafta 8: Ayrık-zaman Fourier Dönüşümü
Ele Alınacak Ana Konular • Ayrık-zaman Fourier dönüşümü • Ayrık-zaman periyodik işaretler için Fourier dönüşümü
• Ayrık-zaman Fourier dönüşümünün özellikleri • Doğrusal, sabit katsayılı fark denklemleriyle tanımlanan sistemler
Ayrık-zaman Fourier Dönüşümü • Aperiyodik bir işaret, periyodik bir işaretin periyod sonsuza giderken limit hali gibi düşünülebilir. Periyodik işaret Fourier serisine açılır ve periyodun sonsuza gitmesi durumunda serinin davranışı incelenir. • Aşağıda, periyodik olmayan sonlu süreli bir işaret x[n] ile bu işaretten türetilen ve bir periyodu sonlu süreli işarete eşit olan periyodik bir işaret ~x [n] verilmiştir. lim ~ x [n] x [n]
N
Ayrık-zaman Fourier Dönüşümü • ~x [n] Fourier serisine açılabilir. –N1 ≤ n ≤ N2 için , x[n] = ~x [n] ve aralığın dışında x[n] =0 olduğundan
a e
~ x [ n]
k N
1 ak N j
• X (e )
jk ( 2 / N ) n
k
1 jk ( 2 / N ) n ~ x [ n ] e N n N
x[n] e
j n
N2
x[n] e
jk ( 2 / N ) n
n N1
1 N
x[n] e
jk ( 2 / N ) n
n
şeklinde tanımlansın.
n
• O halde, ak 1 X (e jk ) 0
N
• Bulunan katsayılar, Fourier serisinde yerine konulur ve 2π/N=ω0 olduğu göz önünde bulundurulursa ~ x [ n]
1 1 jk0 jk0 n X ( e ) e 2 k N N
X (e
k N
jk0
)e jk0n0
Ayrık-zaman Fourier Dönüşümü
• Son toplamadaki her bir terim, yüksekliği X (e jk )e jk n ve genişliği ω0 olan bir dikdörtgenin alanıdır. ω0→ 0 limit durumunda, toplama X (e j )e j n fonksiyonunun integraline yakınsar. O halde, N→ ∞ için ~x [n] → x[n] gerçeğini kullanırsak, aşağıda verilen ayrık-zaman Fourier dönüşüm çiftini elde ederiz. 0
x[n] j
1 2
X (e )
2
X (e j )e j n d
x[n]e
n
jn
0
Ayrık-zaman Fourier Dönüşümü • Sürekli-zaman ve ayrık-zaman Fourier dönüşümleri incelendiğinde önemli farklar olduğu göze çarpmaktadır. • İlk olarak, sürekli-zaman durumunda analiz ve sentez denklemlerinin ikisi de integral olup, integral aralığı sonsuzdur. Ayrık-zaman durumunda, analiz denklemi sonsuz bir toplama iken sentez denklemi 2 aralığında sonlu bir integraldir. • İkinci olarak, sürekli-zaman Fourier dönüşümü periyodik değilken (özel durumlar hariç), ayrık-zaman Fourier dönüşümü 2 ile periyodiktir. • Bu farklılıkların nedeni, harmonik ilişkili sonlu sayıda karmaşık üstel işaret olmasıdır. • Ayrıca, ayrık-zamanda 0 veya 2’nın katlarına yakın frekanslar yavaş değişen işaretlerden, ’nin katlarına yakın frekanslar ise hızlı değişen işaretlerden kaynaklanmaktadır.
Ayrık-zaman Fourier Dönüşümü • Şimdiye kadar yapılan tartışmadan, periyodik bir ayrık-zaman işaretin Fourier serisi katsayılarının, işaretin bir periyodunun ayrık-zaman Fourier dönüşümü cinsinden ifade edilebileceği anlaşılmaktadır. •
~ x [n] , N ile periyodik olsun ve Fourier serisi katsayıları ak ile gösterilsin. ~ x [n] nin
bir periyoduna eşit sonlu süreli bir işaret x[n] ve Fourier dönüşümü X(ejω) ile belirtilsin. O halde, ak
1 X (e j ) N k
0
• Tartışma, sonlu süreli işaretler için yapılmıştır. İşaret sonlu olmasa bile, analiz denklemindeki toplama yakınsayabilir ve bu tür işaretler için ayrık-zaman Fourier dönüşümü bulunabilir. • Ayrık-zaman Fourier dönüşümünün yakınsaması için yeterli olan koşullar sürekli durumdakinden farklıdır.
Ayrık-zaman Fourier Dönüşümü •Ayrık-zaman Harmonik Fourier ilişkili dönüşümü karmaşık için üstelyakınsama işaretlerinkoşulu doğrusal kombinasyonu şeklinde yazılan bir sürekli-zaman işareti ele alalım: Koşul : İşaret mutlak toplanabilir veya sonlu enerjiye sahip olmalıdır:
x(t )
ak e
k x [ n]
n
jk0 t
,
ak e jk 2 / T t
k x [ n]
2
n
Sentez denklemi için yakınsama problemi yoktur çünkü sentez denklemi sonlu bir integraldir. O halde, sentez denklemi hesaplanırken sürekli-zaman durumunda karşılaşılan Gibbs olayı ile ayrık-zaman durumunda karşılaşılmaz.
Ayrık-zaman Fourier Dönüşümü ÖRNEK: x[n] a nu[n], a 1 faz spektrumunu çiziniz.
işaretinin Fouier dönüşümünü hesaplayınız, genlik ve
ÇÖZÜM: Fourier dönüşüm denkleminden j
X (e )
x[n]e
n
j n
a e n 0
n j n
ae j n 0
n
1 1 ae j
Görüldüğü gibi, işaret gerçel olmasına rağmen Fourier dönüşümü karmaşık değerli olabilmektedir. O halde, ω’nın fonksiyonu olarak Fourier dönüşümünün genliğini (genlik spektrumu) ve fazını (faz spektrumunu) belirleyebilir ve çizebiliriz. Pozitif ve negatif a değerleri için genlik ve faz spektrumları aşağıda çizilmiştir. Her iki durumda da spektrumların 2 ile periyodik olduğuna dikkat ediniz.
a>0
a<0
a > 0 için işaretin tüm değerleri pozitif olup işaret yavaş değiştiğinden Fourier dönüşümü 0 ve 2’nin katlarında bileşenlere sahiptir. a < 0 için işaretin değeri bir pozitif, bir negatif olup işaret hızlı değiştiğinden Fourier dönüşümü ’nin katlarında frekans bileşenlerine sahiptir.
Ayrık-zaman Fourier Dönüşümü ÖRNEK: x(t ) a , a 1 fonksiyonu olarak çiziniz. n
işaretinin Fouier dönüşümünü hesaplayınız ve frekansın
ÇÖZÜM: Fourier dönüşüm denkleminden j
X (e )
x[n]e
j n
n
ae n 0
1
a
n j n
e
n
a n e j n n 0
ae
j n
j n
n 1
1 ae j 1 a2 1 ae j 1 ae j 1 2a cos( ) a 2
Bu durumda Fourier dönüşümü gerçel çıkmıştır. İşaret ve Fourier dönüşümü aşağıda 0 < a < 1 için çizilmiştir.
Ayrık-zaman Fourier Dönüşümü ÖRNEK: Ayrık-zaman impuls işaretinin Fouier dönüşümünü hesaplayınız
ÇÖZÜM:
j
X (e )
x[n]e
j n
1e j 0 1
n
İmpuls işaretinin Fourier dönüşümü tüm frekanslarda eşit bileşenlere sahiptir. ÖRNEK: Dikdörtgen darbenin Fourier dönüşümünü hesaplayınız 1, x[n] 0,
ÇÖZÜM:
j
X (e )
x[n]e
n
j n
N1
e j n
n N1
n N1 n N1
sin N1 1 / 2 sin / 2
Sürekli durumda olduğu gibi, darbenin Fourier dönüşümü sinc fonksiyonudur. Ancak, sürekli-zamanda yan lobların genliği devamlı azalırken ayrık-zamanda periyodiklikten dolayı bu durum geçerli değildir.
Periyodik İşaretlerin için Fourier Dönüşümü • Ayrık-zaman periyodik işaretlerinde Fourier dönüşümünü hesaplamak mümkündür. periyodik işaretlerin Fourier dönüşümü impuls fonksiyonu içermek zorundadır. • Fourier dönüşümü
j
X (e )
2 (
0
l
x[n]
1 2
olan işareti bulalım
2l )
j n 2 ( 2 l ) e d ( 0 )e j n d e j0 n 0 l
• Periyodik bir ayrık-zaman işaret Fourirer serisine açılabilir: x[n]
a e
k N
jk ( 2 / N ) n
k
• Açılımındaki karmaşık üstel terimlerin Fourier dönüşümü temel frekansın katlarında impulslardır. Doğrusallık özelliğinden, sonsuz adet işaretin toplamının Fourier dönüşümü, tek tek Fourier dönüşümlerinin toplamına eşittir. O halde, j
X (e )
2a ( k ) 2a k
k
k
0
k
k
2 N
Periyodik İşaretlerin için Fourier Dönüşümü ÖRNEK:
x[n]
[n kN] ile verilen periyodik işaretin Fourier dönüşümü nedir?
k
ÇÖZÜM: Fourier serisi katsayıları tüm n değerleri için 1/N olarak bulunmuştu. 2 2 X (e ) 2 ak k N N k j
k
k
2 N
Periyodik İşaretlerin için Fourier Dönüşümü ÖRNEK: x [n]=cos(ω0n) periyodik işaretinin Fourier dönüşümü nedir?
ÇÖZÜM:
x[n] cos(0 n) j
X (e )
2a (
l
1 j 0 n 1 j 0 n e e 2 2
1
(
l
0
0
2l )
2l )
2a
l
( 0 2l )
1
(
l
0
2l )
İşaret
Fourier Dönüşümü
ak e jk (2 / N )n
k
2
2k ak N k
Fourier Serisi Katsayıları
ak 0 2m / N periyodik
e j n 0
2 l ( 0 2l)
1, k m, m N , m 2 N ,... ak aksi halde 0,
0 2m / N periyodik
cos(0n)
1 / 2, k m, m N , m 2 N ,... l ( 0 2l ) ( 0 2l ) a k aksi halde 0,
0 2m / N periyodik
sin(0 n) x[n] 1 Periyodik kare dalga n N1 1, x[n] 0, N1 n N / 2
(n kN )
k
( j
l
0
2l ) ( 0 2l )
2 l ( 2l)
2k 2ak N k
2 N
2k ( N )
1 / 2 j, k m, m N , m 2 N ,... ak 1 / 2 j, k m,m N ,m 2 N ,... 0, aksi halde
1, k 0, N ,2 N ,... ak aksi halde 0, sin[(2k / N )( N1 1 / 2)] , k 0, N , ,... ak N sin(k / N ) (2 N1 1) / N , k 0, N , ,...
k
ak
1 , k N
İşaret
Fourier Dönüşümü
a nu[n], a 1 1, x[n] 0,
n N1 n N1
1 1 ae j
İşaret periyodik değil
sin ( N1 1 / 2) sin( / 2)
İşaret periyodik değil
1, 0 W X (e j ) 0, W
İşaret periyodik değil
sin(Wn) W Wn sinc n
İşaret periyodik değil
1
[n]
1 2k 1 e j k
u[n]
[n n0 ]
(n 1)a u[n], a 1
n r 1! a nu[n], n!(r 1)!
a 1
İşaret periyodik değil İşaret periyodik değil
e n0
n
Fourier Serisi Katsayıları
1
1 ae
j 2
1
1 ae
j r
İşaret periyodik değil İşaret periyodik değil
Ayrık-zaman Fourier Dönüşümünün Özellikleri • Kolaylık olması bakımından, ayrık-zaman Fourier dönüşümü ve tersini belirtmek için sırasıyla F{x[n]} ve F-1{X(ej)} kısa gösterilimini kullanacağız. Ayrıca, sürekli-zaman Fourier dönüşüm çiftini belirtmek için F x(t ) X (e j )
notasyonunu kullanacağız.
• Ayrık-zaman Fourier dönüşümünün aşağıda verilen özellikleri aracılığıyla, Fourier dönüşümü bilinen işaretlerden çoğu işaretin Fourier dönüşümünü elde etmek kolaylaşmaktadır. • Aşağıda sadece en önemli özelliklerin ispatı verilecektir. Diğer özelliklerin ispatı benzer şekilde yapılabilir.
Ayrık-zaman Fourier Dönüşümünün Özellikleri Zamanda öteleme:
F F x[n] X (e j ) x[n n0 ] e j n0 X (e j )
İspat: Ters Fourier dönüşüm denkleminden
x[n]
1 2
X (e
j
)e j n d
Eşitliğin her iki tarafında n yerine n-n0 yazılırsa x[n n0 ]
1 2
X (e j ) e j ( nn0 ) d
1 2
X (e
j
)e j n0 e j n d
Yorum: Bir sürekli-zaman işaret ötelendiğinde, Fourier dönüşümünün genliği değişmez, fazı ise öteleme ile doğru orantılı bir şekilde ötelenir.
F x[n] X e j X (e j ) e j X ( e
j
)
F x[n n0 ] e j n0 X (e j ) X (e j ) e j X ( e
j
) n0
Ayrık-zaman Fourier Dönüşümünün Özellikleri Frekansta türev alma:
dX (e j ) x[n] X (e ) nx[n] j d F
İspat: Fourier dönüşüm denkleminden
j
F
j
X (e )
x[n]e
j n
n
Eşitliğin her iki tarafında ’ ya göre türevi alınırsa dX (e j ) jnx[n]e j n d n
Son eşitliğin her iki tarafı j ile çarpılırsa sonuç elde edilmiş olur.
Ayrık-zaman Fourier Dönüşümünün Özellikleri Konvolüsyon özelliği:
y[n] x[n] * h[n] Y (e j ) X (e j ) H (e j )
İspat: Konvolüsyon denkleminden
y[n]
x[k ]h[n k ]
k
O halde,
Y (e ) F y[n] x[k ]h[n k ] e j n n k x[k ] h[n k ]e j n k n
j
Zamanda öteleme özelliğinden parantez içindeki terim Y ( j )
x[k ]e
k
j k
e j k H (e j )
dir. O halde,
H ( e j )
H (e ) x[k ]e j k X (e j ) H (e j ) j
k
Yorum: İki işaretin konvolüsyonunun Fourier dönüşümü, Fourier dönüşümlerinin çarpımına eşittir. Yani, iki işaretin konvolüsyonunu bulmak için, Fourier dönüşümleri çarpılır ve çarpımın ters Fourier dönüşümü alınır.
Ayrık-zaman Fourier Dönüşümünün Özellikleri ÖRNEK: x[n]=nu[n] ||<1 ve h[n]=nu[n] ||<1 işaretlerinin konvolüsyonunu Fourier dönüşümünden yararlanarak hesaplayınız. ÇÖZÜM:
X (e j )
1 1 1 , H ( j ) , Y ( j ) j j j 1 e 1 e 1 e 1 e j
Y(e j) basit kesirlere açılırsa Y (e j )
A B 1 j j 1 e 1 e
1 e j 1 e j
y[n]’yi elde etmek için ters Fourier dönüşümü almak yeterlidir. 1 y[n] F 1 Y (e j ) F 1 1 e j 1 e j
nu[n]
nu[n]
1 n 1 n 1 u[n]
Ayrık-zaman Fourier Dönüşümünün Özellikleri Çarpma (modülasyon) özelliği:
F y[n] x1[n]x2 [n] Y (e j )
İspat: Fourier dönüşüm denkleminden
1 X 1 (e j ) * X 2 (e j ) 2
y[n]e j n
Y (e j )
n
x [n]x [n]e
n
1
j n
2
x1[n] yerine ters Fourier dönüşüm ifadesi kullanılır ve toplama ile integralin sırası değiştirilirse Y ( e j )
1
d x2 [n]e j n 2 X 1 (e j ) x2 [n]e j ( ) n d n
2 X (e )e
n
j
j n
1
1 2 2 1 X 1 (e j )X 2 (e j ( ) )d 2 2 1 X 1 ( e j ) * X 2 ( e j ) 2
Ayrık-zaman Fourier Dönüşümünün Özellikleri Özellik
Aperiyodik İşaret x[n] y[n]
Fourier dönüşümü X ( e j ) Y (ej )
Doğrusallık
ax[n] by[n]
aX (e j ) bY (e j )
Zamanda öteleme
x[n n0 ]
e j n0 X (e j )
Frekansta öteleme
e j0 n x[n]
X (e j ( 0 ) )
Eşlenik alma
x* (t )
X * ( j )
Zamanda tersine çevirme
x[n]
X (e j )
Zamanda ölçekleme
x[n / k ], n, k' nıınkatı x k [ n] aksi halde 0,
Konvolüsyon Zamanda çarpma
X e jk
x[n] * y[n]
X (e j )Y (e j )
x[n] y[n]
1 X (e j ) * Y (e j ) 2
Özellik Zamanda fark alma Zamanda toplama
Aperiyodik İşaret
Fourier Dönüşümü
x[n] x[n 1]
(1 e j ) X (e j ) 1 j j0 X (e ) X (e ) ( 2k ) 1 e j k
n
x[k ]
k
Frekansta türev alma
dX (e j ) j d
nx[n]
X ( e j ) X * ( e j ) j j e{ X (e )} e{ X (e )} j j m{ X (e )} m{ X (e )} X ( e j ) X ( e j ) X (e j ) X (e j )
Gerçel işaretler için eşlenik simetriklik
x[n] gerçel
Gerçel ve çift işaretler Gerçel ve tek işaretler
x(t) gerçel ve çift x(t) gerçel ve tek
Gerçel işaretlerin çift-tek ayrıştırması
xe [n] Ev{x[n]} [ x[n] gerçel ] xo [n] Od{x[n]} [ x[n] gerçel]
X(e j ) gerçel ve çift X(e j ) saf karmaşık ve tek
e{ X (e j )} jm{ X (e j )}
Aperiyodik İşaretler için Parseval İlişkisi
x[n]
n
2
1 2
2
2
X (e j ) d
Doğrusal, Sabit Katsayılı Fark Denklemleriyle Tanımlanan Sistemler • Girişi-çıkış ilişkisi aşağıda verilen ayrık-zaman sistemin frekans yanıtını bulalım N
a k 0
M
k
y[n k ] bk x[n k ] k 0
Y (e j ) Y ( e ) X ( e ) H (e ) H ( e ) X (e j )
• Konvolüsyon özelliğinden,
j
j
j
j
• Fark denkleminin her iki tarafının Fourier dönüşümü alınır ve Fourier dönüşümünün öteleme özelliği kullanılırsa frekans yanıtı bulunabilir: N M N M F ak y[n k ] F bk x[n k ] ak F y[n k ] bk F x[n k ] k 0 k 0 k 0 k 0 M
N
a e k 0
k
j k
M
Y (e j ) bk e j k X (e j ) H (e j ) k 0
b e
j k
a e
j k
k 0 N
k 0
k
k
Doğrusal, Sabit Katsayılı Diferansiyel Denklemlerle Tanımlanan Sistemler ÖRNEK: Giriş-çıkış ilişkisi aşağıda verilen sistemin frekans yanıtını ve impuls yanıtını bulunuz. y[n]
3 1 y[n 1] y[n 2] 2 x[n] 4 8
ÇÖZÜM: Her iki tarafın Fourier dönüşümü alınırsa 3 1 Y (e j ) e jY (e j ) e j 2Y (e j ) 2 X (e j ) 4 8 j Y (e ) 2 H ( e j ) X ( e j ) 1 3 e j 1 e j 2 4 8
H(e j)’nın ters Fourier dönüşümü alınırsa impuls yantı elde edilir. 4 2 h[n] F 1 H (e j ) F 1 1 1 e j 1 1 e j 4 2 n n 1 1 h[n] 4 u[n] 2 u[n] 2 4
Hafta 10: Laplace Dönüşümü
Ele Alınacak Ana Konular • Laplace dönüşümü • Laplace dönüşümünün yakınsaklık bölgesi
• Ters Laplace dönüşümü • Laplace dönüşümünün özellikleri • Laplace dönüşümü kullanarak LTI sistemlerin analizi
Laplace Dönüşümü • İmpuls yanıtı h(t) olan bir LTI sistemin, est girişine olan yanıtının y(t) = H(s) est olduğunu görmüştük. H(s) aşağıdaki gibi hesaplanıyordu:
H ( s) h(t )e st dt
• s=jw için yukarıda verilen integral ifadesi h(t)’nin Fourier dönüşümünü verir. s’in genel karmaşık değişken (s= +jw ) olması durumunda integral ifadesine Laplace dönüşümü denir. • s karmaşık bir sayı olmak üzere, bir sürekli-zaman işaret x(t)’nin Laplace dönüşümü
X ( s) x(t )e st dt
denklemiyle tanımlanır. Laplace dönüşümünü belirtmek için L{x(t)} kullanacak, işaret ile Laplace dönüşümü arasındaki ilişkiyi, aşağıdaki şekilde belirteceğiz. L x(t ) X ( s)
Laplace Dönüşümü • Laplace dönüşümü ile sürekli-zaman Fourier dönüşümü arasındaki ilişki aşağıda gösterilmiştir. • s=jw için,
• Dolayısı ile • s= +jw için,
s jw X (s) x(t )e st dt X ( jw) x(t )e jwt dt
X (s) s jw F x(t )
s jw X (s) x(t )e st dt X ( jw) x(t )e( jw)t dt
X ( jw) x(t )e t e jwt dt x(t )e t e jwt dt
Bu durumda eşitliğin sağ tarafının x(t) eolduğu görülür.
t
‘nin Fourier dönüşümüne eşit
Laplace Dönüşümü • Görüldüğü gibi Laplace dönüşümü, karmaşık s-düzleminde j-ekseni üzerinde hesaplandığında sürekli-zaman Fourier dönüşümünü verir. !!! X (s) s jw F x(t )
• x(t)e-
t
işaretinin Fourier dönüşümü de x(t) işaretinin Laplace dönüşümünü verir.
• Bu durumda: 1-) Bir x(t) işaretinin Laplace dönüşümünün var olabilmesi için x(t)e- t işaretinin Fourier dönüşümü yakınsamalıdır.Verilen bir x(t) işareti için, Laplace dönüşümünün var olduğu değerleri kümesine YAKINSAKLIK BÖLGESİ (Region Of Converge, ROC) denir. 2-) Eğer ROC imajiner ekseni (s=j) içeriyorsa, işaretin Fourier dönüşümü de vardır. 3-) Bazı işaretler için Fourier dönüşümü yakınsamaz iken Laplace dönüşümü yakınsayabilir.
Laplace Dönüşümü at ÖRNEK 1 : x(t ) e u(t ) işaretinin Laplace dönüşümünü hesaplayınız.
ÇÖZÜM: Bu işaret için Fourier dönüşümü önceki haftalarda aşağıdaki gibi hesaplanmıştır.
0
X ( j ) x(t )e j t dt e at e j t dt
1 , a j
a0
İşaretin Laplace dönüşümü ise,
0
X (s) x(t )e s t dt e at e s t dt
X ( s) s jw
veya,
0
e ( a )t e jwt dt
s jw X (s)
0
e ( s a )t dt
1 , a 0 ( a) jw
1 , sa
Re s a
Laplace Dönüşümü ÖRNEK 2: x(t ) e at u(t )
ÇÖZÜM:
işaretinin Laplace dönüşümünü hesaplayınız.
0
X (s) e at e s t u (t )dt e ( s a )t dt L e at u (t ) X ( s)
1 , sa
Re s a
Laplace Dönüşümü Örnekler incelediğinde farklı iki işarete ait Laplace dönüşümlerinin cebirsel olarak birbirine eşit olduğu görülür. L e at u (t ) X ( s)
e at u (t ) L X ( s)
1 , sa
1 , sa
Re s a Re s a
Fakat eşitliklerin geçerli olduğu tanım aralıklarının (yakınsaklık bölgesinin) birbirinden farklı olduğuna dikkat ediniz. Res a ve Res a Bu durumda Laplace dönüşümü için cebirsel ifadenin yanısıra tanım aralığıda belirtilmelidir.
Laplace Dönüşümü
L e at u (t ) X ( s)
1 , sa
Re s a
L e at u (t ) X ( s)
1 , Re s a sa
Laplace Dönüşümü ÖRNEK: x(t ) 3e2t u(t ) 2et u(t ) işaretinin Laplace dönüşümünü hesaplayınız..
X (s) 3e2t u(t ) 2et u (t ) e s t dt 3 e2t e s t dt 2 et e s t dt 0 0 L e2t u (t ) X ( s)
1 , s2
Re s 2
L et u (t ) X ( s)
1 , s 1
Re s 1
X ( s)
3 2 s 1 2 Re s 1 s 2 s 1 s 3s 2
her iki koşulun sağlandığı bölge…
Laplace Dönüşümü ÖRNEK: x(t ) e2t u(t ) et (cos3t )u(t ) işaretinin Laplace dönüşümünü hesaplayınız.. 1 1 x(t ) e2t e (13 j )t e (13 j )t u (t ) 2 2
L e2t u (t ) X ( s)
1 , s2
Re s 2
L e (13 j )t u (t ) X (s)
1 , s (1 3 j )
Re s 1
L e (13 j )t u (t ) X (s)
1 , s (1 3 j )
Re s 1
1 1 1 1 1 X ( s) s 2 2 s (1 3 j ) 2 s (1 3 j )
2s 2 5s 12 , Re s 1 2 s 2s 10 (s 2)
Laplace Dönüşümü Örneklerden görüldüğü gibi reel veya karmaşık üstel işaretlerin doğrusal kombinasyonu olarak tanımlanan işaretin Laplace dönüşümü; X ( s)
N ( s) D( s )
yapısındadır. Pay N(s) ve payda D(s) için tanımlanan polinomlara ait köklerin s-düzleminde yerine yerleştirilmesi ve ROC bölgesinin tanımlanması Laplace dönüşümünün ifadesi için alternatif bir yöntemdir.
Bu tip gösterimde N(s)’in kökleri “o”, D(s)’in kökleri ise “x” ile belirtilir.
Laplace Dönüşümü
X ( s)
s 1 Re s 1 s 2 3s 2
2s 2 5s 12 X ( s) , Re s 1 2 s 2 s 10 ( s 2)
N(s)’in kökleri X(s)’in sıfırları olarak adlandırılır. Çünkü s’in bu değerleri için X(s) =0 değerini alır. D(s)’in kökleri ise kutup olarak adlandırılır ve X(s) = olur
Laplace Dönüşümü 4 3
1 3
Örnek: x(t ) (t ) et u(t ) e2t u (t ) işaretinin Laplace dönüşümünü hesaplayınız.. (t ) L
(t )e
st
dt 1
ROC ?
1 e u (t ) X ( s) , s 1 t
L
Re s 1
e2t u (t ) L X ( s)
4 1 1 1 ( s 1)2 X ( s) 1 = Re s 2 3 s 1 3 s 2 ( s 1)( s 2)
Soru: x(t) işaretinin Fourier dönüşümü için ne söylenebilir?
1 , s2
Re s 2
Laplace Dönüşümü Özellik 1: Laplace dönüşümü X(s)’ e ait ROC jw eksenine paralel bir şerittir. Daha önce belirtildiği gibi s= +jw olmak üzere x(t) nin Laplace dönüşümünün var olabilmesi için x(t)e- t işaretinin Fourier dönüşümü yakınsamalıdır.
x(t ) e t dt
Dolayısı ile koşul sadece s’in gerçel kısmına
bağlıdır.
Özellik 2: X(s)’ e ait ROC kutup içermez. Kutup noktalarında X(s)= yakınsamayacaktır.
olduğundan
X ( s) x(t )e st dt
integrali
Laplace Dönüşümü Özellik 3: x(t) sonlu bir işaret ve mutlak integrallanabilir ise X(s)’e ait ROC tüm s-düzlemidir.
x(t)e-
t
Laplace Dönüşümü Özellik 4: x(t) sağ tarafa dayalı bir işaret ise ve Re{s}= 0 ROC bölgesinde ise Re{s}> 0 şartını sağlayan tüm s noktalarıda ROC alanındadır.
x(t ) e 0t dt ise 0 1
T1
şartını sağlayan 1 içinde
x(t ) e
1t
dt
T1
geçerli olacaktır. Özellik 5: x(t) sol tarafa dayalı bir işaret ise ve Re{s}= 0 ROC bölgesinde ise Re{s} < 0 şartını sağlayan tüm s noktalarıda ROC alanındadır.
