İşaretler ve İşaret İşleme • İşaretler günlük hayatımızda önemli bir rol oynar. • Bir işaret zaman, uzaklık, konum, sıcaklık ve basınç gibi bağımsız değişkenlerin bir fonksiyonudur. • Karşılaştığımız çoğu işaret doğal olarak üretilir. • Ancak, bir işaret yapay olarak ya da bir bilgisayar aracılığıyla da üretilebilir. • Tipik işaretlere bazı örnekler aşağıda verilmiştir.
Tipik İşaretlere Örnekler • Ses ve müzik işaretleri – hava basıncını uzayda bir konumda zamanın bir fonksiyonu olarak temsil eder • “I like digital signal processing” ses işaretinin dalgaşekli aşağıda gösterilmiştir.
Tipik İşaretlere Örnekler • Elektrokardiyografi (EKG) işareti – kalbin elektriksel aktivitesini temsil eder. • Tipik bir EKG işareti aşağıda gösterilmiştir.
Tipik İşaretlere Örnekler • EKG işareti periyodik bir dalgaşeklidir. • Dalgaşeklinin aşağıda gösterilen bir periyodu, kalpten atardamarlara kan transfer işleminin bir çevrimini temsil eder.
Tipik İşaretlere Örnekler • Elektroenselefogram (EEG) işaretleri – beyindeki milyarlarca nöronun rastgele uyarılmasıyla oluşan elektriksel aktiviteyi temsil eder.
Tipik İşaretlere Örnekler • Sismik işaretler – bir deprem, bir volkanik patlama veya bir yer altı patlamasından kaynaklanan kaya hareketleriyle oluşur. • Yer hareketi, hareketin kaynağından başlayıp yeryüzünün katmanlarından tüm yönlerde ilerleyen üç tür elastik dalga oluşturur.
Tipik İşaretlere Örnekler • Tipik bir sismograf kaydı aşağıda verilmiştir.
Tipik İşaretlere Örnekler • Renksiz görüntü - ışık şiddetini iki uzamsal koordinatın bir fonksiyonu olarak temsil eder.
Tipik İşaretlere Örnekler • Video işaretleri–çerçeve olarak adlandırılan görüntü dizilerinden oluşur ve 3 değişkenin bir fonksiyonudur: 2 uzamsal koordinat ve zaman.
Video
İşaretler ve İşaret İşleme • Bir işaret bilgi taşımaktadır. • İşaret işlemenin çıkartmaktır.
amacı
işaretin
taşıdığı
faydalı
bilgiyi
• Bilgi çıkartma yöntemi, işaretin türüne ve işaretin taşıdığı bilginin doğasına bağlıdır. • Bu ders, işaretlerin ayrık-zaman gösterilimi ve ayrık-zaman işlemesini ele almaktadır.
İşaretlerin Temsili ve Sınıflandırılması
• İşaret türleri, bağımsız değişkenlerin ne olduğuna ve işareti tanımlayan fonksiyonun aldığı değere bağlıdır. • Örneğin, bağımsız değişkenler sürekli veya ayrık olabilir. • Benzer şekilde, işaret bağımsız değişkenlerin sürekli veya ayrık bir fonksiyonu olabilir.
İşaretlerin Temsili ve Sınıflandırılması
• Ayrıca, işaret gerçel veya karmaşık değerli bir fonksiyon olabilir. • Tek bir kaynaktan üretilen işarete SKALER İŞARET denir. • İki veya daha fazla kaynaktan üretilen işarete VEKTÖR veya ÇOK KANALLI işaret denir.
İşaretlerin Temsili ve Sınıflandırılması • Bir boyutlu (1-D) bir işaret, tek bir bağımsız değişkenin bir fonksiyonudur • Çok boyutlu (M-D) bir işaret, birden fazla bağımsız değişkenin bir fonksiyonudur. • Ses işareti, bağımsız değişkenin zaman olduğu 1-D bir işarettir • Bir görüntü işareti, bağımsız değişkenlerin uzamsal koordinatlar olduğu 2-D bir işarete örnektir. • Renkli bir görüntü, birincil renkleri (kırmızı, yeşil, mavi) temsil eden 3 adet 2-D işaretten oluşur.
İşaretlerin Temsili ve Sınıflandırılması • Renkli bir görüntü ve görüntünün üç renk bileşeni aşağıda gösterilmiştir.
İşaretlerin Temsili ve Sınıflandırılması • Renksiz bir sayısal video işaretinin her bir çerçevesi, her çerçeve zamanın ayrık anlarında meydana gelmek üzere ayrık 2 uzamsal değişkenin bir fonksiyonu olan 2-D bir görüntü işaretidir. • Bu nedenle, renksiz bir video işareti 3 bağımsız değişken 2 uzamsal koordinat ve zaman olmak üzere, 3-D bir işarete bir örnek olarak düşünülebilir. • Renkli bir video işareti, 3 birincil rengi (kırmızı, yeşil, mavi) RGB’yi temsil eden 3 adet 3-D işaretten oluşan 3-kanallı bir işarettir. • RGB televizyon işareti, iletim amacıyla parlaklık ve 2 renk bileşinenden oluşan 3-kanallı diğer bir tür işarete dönüştürülür.
İşaretlerin Temsili ve Sınıflandırılması • 1-D bir işaret için, bağımsız değişken genelde zaman olarak adlandırılır. • Bağımsız değişken sürekliyse, işarete SÜREKLİ-ZAMAN işaret denir. • Bağımsız değişken ayrıksa, işarete AYRIK-ZAMAN işaret denir. • Bir sürekli-zaman işaret, zamanın her anında tanımlıdır. Bir ayrık-zaman işaret, zamanın belirli anlarında tanımlı olup bir sayı dizisidir. • Sürekli genlikli bir sürekli-zaman işaretine genelde ANALOG bir işaret denir. Ses işareti analog bir işarete örnektir.
İşaretlerin Temsili ve Sınıflandırılması • Sonlu sayıda rakamla temsil edilen ayrık-genlikli bir ayrık-zaman işaretine SAYISAL işaret denilir. • Sayısal bir işarete örnek, bir sayısallaştırılmış muzik işaretidir.
DVD’ye
kaydedilmiş
• Sürekli genlikli bir ayrık-zaman işaretine ÖRNEKLENMİŞ işaret denir. • O halde, sayısal bir işaret kuantalanmış örneklenmiş bir işarettir. • Son olarak, ayrık-genlikli sürekli-zaman işaretleriyle karşılaşılabilir. Aşağıda, 4 işaret türüne örnekler verilmiştir.
de
İşaretlerin Temsili ve Sınıflandırılması
İşaretlerin Temsili ve Sınıflandırılması • Bir işaretin matematiksel temsilindeki fonksiyonel bağımlılık genelde açık bir şekilde gösterilir. • Sürekli-zaman 1-D bir işaret için, sürekli bağımsız değişken genelde t ile gösterilir. Örneğin u(t), sürekli-zaman 1-D bir işareti temsil eder. • Ayrık-zaman 1-D bir işaret için, ayrık bağımsız değişken genelde n ile gösterilir. Örneğin {v[n]} ayrık-zaman 1-D bir işareti temsil eder. • Bir ayrık-zaman işaretinin her üyesi v[n]’ye bir ÖRNEK denir.
İşaretlerin Temsili ve Sınıflandırılması • Çoğu uygulamada, bir ayrık-zaman işaret bir sürekli-zaman işaretin zamanda düzgün aralıklarla örneklenmesiyle elde edilir. • Ayrık-zaman işaretin tanımlandığı zamanlar düzgün aralıklıysa bağımsız ayrık değişken n, tamsayı değerler alacak şekilde normalleştirilebilir. • Sürekli-zaman 2-D bir işaret durumunda, 2 bağımsız değişken genelde x ve y ile gösterilen uzamsal koordinatlardır. • Örneğin, renksiz bir görüntünün (x,y) konumundaki parlaklığı u(x,y) olarak ifade edilebilir.
İşaretlerin Temsili ve Sınıflandırılması • Sayısallaştırılmış bir görüntü 2-D ayrık-zaman bir işarettir ve iki bağımsız değişkeni genelde m ve n ile belirtilen ayrıklaştırılmış uzamsal değişkenlerdir. O halde, sayısallaştırılmış bir görüntü v[m,n] olarak ifade edilebilir. • Renksiz bir video işareti 3-D bir işarettir ve u(x,y,t) şeklinde temsil edilebilir. • Renkli bir video işareti, birincil renkleri temsil eden 3 işaretten oluşan bir vektör işarettir:
İşaretlerin Temsili ve Sınıflandırılması • Matematiksel bir ifade ya da kural, veya tablodan okuma gibi iyi tanımlanmış bir işlemle tam olarak belirlenebilen bir işarete DETERMİNİSTİK bir işaret denir. • Rastgele bir şekilde üretilen ve önceden kestirilemeyen bir işarete RASTGELE bir işaret denir.
Tipik İşaret İşleme Uygulamaları • Analog işaretler durumunda, çoğu işaret işleme algoritmaları zaman uzayında yapılır. • Ayrık-zaman işaretler durumunda, genelde hem zaman hem de frekans uzayında işlemler gerçekleştirilir.
Temel Zaman-uzayı İşlemleri • En temel üç zaman-uzayı işlemi ölçekleme, öteleme ve toplamadır. • ÖLÇEKLEME, bir işaretin pozitif veya negatif bir sabitle çarpılmasıdır. Analog işaretler durumunda, kazanç denen çarpım sabitinin genliği 1’den büyükse işleme KUVVETLENDİRME, aksi halde ZAYIFLATMA denir. • x(t) işareti ile ölçeklenmişşe, işlem sonucunda y(t) = x(t) işareti oluşur.
Temel Zaman-uzayı İşlemleri • Diğer temel iki işlem, İNTEGRAL ve TÜREV almadır. • x(t) analog işaretinin integrali
işaretini oluşturur. • x(t) analog işareti nin türevi
işaretini oluşturur.
Temel Zaman-uzayı İşlemleri • ÖTELEME işlemi, orijinal işaretin ötelenmiş bir kopyası olan bir işaret oluşturur. • x(t) analog işareti için, y(t) = x(t-t0), x(t)’nin pozitif olduğu varsayılan t0 kadar süreyle ötelenmesiyle elde edilen işarettir. • t0 süresi negatifse, işleme İLERLETME denir.
Temel Zaman-uzayı İşlemleri • Çoğu uygulama, yeni bir işaret oluşturmak amacıyla iki veya daha fazla işaret içeren işlemler gerektirir. Örneğin, y(t) = x1(t) + x2(t) + x3(t) ile verilen işaret x1(t), x2(t) ve x3(t) analog işaretlerinin toplanmasıyla oluşturulur. • x1(t) ve x2(t) işaretlerinin çarpımı y(t) = x1(t) x2(t) işaretini oluşturur. • Şimdiye kadar tartışılan temel işlemler, ayrık-zaman işaretler üzerinde de uygulanır. • Daha karmaşık işlemler, iki veya daha fazla basit işlemin birleştirilmesiyle gerçekleştirilir.
Filtreleme • FİLTRELEME, en sık kullanılan karmaşık işaret işleme yöntemlerinden birisidir. Bu işlemi gerçekleştiren sisteme bir FİLTRE denir. • Bir filtre, belirli frekans bileşenlerini bozunumsuz geçirirken diğer frekans bileşenlerini bastırır. • Filtreden geçmeye izin verilen frekans aralığına GEÇİRME bandı, filtrenin bastırdığı frekans aralığına da SÖNDÜRME bandı denir. • Çoğu durumda, analog işaretler için filtreleme işlemi doğrusaldır.
Filtreleme • x(t) giriş işareti, y(t) çıkış işareti ve h(t) filtrenin impuls yanıtı olmak üzere, doğrusal bir analog filtreleme işlemi
eşitliğiyle verilen konvolüsyon integraliyle tanımlanır. • Dört tür temel filtre mevcut olup tanımları aşağıda yapılmıştır.
Filtreleme • ALÇAK GEÇİREN bir filtre, KESİM FREKANSI denen belirli bir frekans fc’den küçük frekansları geçirir, fc’den büyük frekansları bastırır. • YÜKSEK GEÇİREN bir filtre, belirli bir kersim frekans fc’den küçük frekansları bastırır, fc’den’den büyük frekansları geçirir. • BAND GEÇİREN bir filtre, fc1< fc2 olmak üzere, iki kesim frekansı fc1ve fc2 arasındaki frekansları geçirir, fc1’den küçük ve fc2’den büyük frekansları bastırır. • BAND SÖNDÜREN bir filtre, fc1< fc2 olmak üzere, iki kesim frekansı fc1ve fc2 arasındaki frekansları bastırır, fc1’den küçük ve fc2’den büyük frekansları geçirir.
Filtreleme • Aşağıdaki şekil, 50 Hz, 110 Hz ve 220 Hz frekansına sahip sinüzoidal 3 işaretten oluşan bir giriş işaretinin alçak geçiren filtrelenmesiyle oluşan sonucu göstermektedir.
Filtreleme • Aşağıdaki şekil, aynı işaretin yüksek ve band geçiren filtrelenmesiyle elde edilen sonuçları göstermeketdir.
Filtreleme • Yukarıda verilen dört tür filtreden başka tüt filtreler de vardır. • Tek bir frekans bileşenini bastıran filtreye ÇENTİK filtre denir • ÇOK BANDLI bir filtrenin birden fazla geçirme ve södürme bandı vardır. • TARAK filtre, bir düşük frekansın tamsayı katsayılarını bastırır.
Karmaşık İşaretlerin Üretilmesi • Bir işaret gerçel ve karmaşık değerli olabilir. İlk durumdaki işaretler GERÇEL, ikinci durumdaki işaretlere KARMAŞIK işaret denir. • HİLBERT DÖNÜŞTÜRÜCÜSÜ kullanılarak, gerçel bir işaretten karmaşık bir işaret üretilebilir. • Hilbert dönüştürücüsünün impuls yanıtı aşağıdaki eşitlikle verilir:
Karmaşık İşaretlerin Üretilmesi • Sürekli-zaman Fourier dönüşümü (CTFT) X(j) aşağıda verilen gerçel bir işaret x(t)’yi ele alalım.
• X(j)’ya x(t)’nin SPEKTRUMU denir. Gerçel bir işaretin genlik spektrumu çift, faz spektrumu ise tek bir işarettir. Gerçel bir işaretin spektrumu pozitif ve negatif frekanslar içerdiğinden Xp(j) ve Xn(j), X(j)’nın sırasıyla pozitif ve negatif frekans aralığını kapsayan kısımları olmak üzere, aşapıda verilen eşitlik yazılabilir:
Karmaşık İşaretlerin Üretilmesi • x(t) bir Hilbert dönüştürücüsüne uygulanırsa çıkışta y(t) oluşur:
• y(t)’nin spektrumu Y(j), hHT(t) ve x(t)’nin spektrumlarının çarpımına eşittir. hHT(t)’nin spektrumu
olduğundan Y(j) aşağıda verilen eşitlikten elde edilebilir:
Karmaşık İşaretlerin Üretilmesi • y(t)’de gerçel bir işarettir. g(t) = x(t) + j y(t) ile verilen karmaşık işareti ele alalım. g(t)’nin spektrumu aşağıdaki eşitlikten bulunur:
• Diğer bir deyişle, ANALİTİK bir işaret adlandırılan karmaşık işaret g(t) sadece pozitif frekans bileşenlerine sahiptir.
Modülasyon ve Demodülasyon • Düşük frekanslı bir işaretin bir haberleşme kanalı üzerinden etkin bir şekilde iletilebilmesi için bir modülasyon işlemi aracılığıyla işaretin yüksek frekanslı bir işarete dönüştürülmesi gereklidir. • Alıcı tarafta, modülasyonlu yüksek frekanslı işarete demodülasyon işlemi uygulanarak iletilen düşük frekanslı işaret geri elde edilir. • Analog işaretlerin modülasyonu için dört yötem vardır: (1) Genlik modülasyonu (2) Frekans modülasyonu (3) Faz modülasyonu (4) Darbe genlik modülasyonu
Genlik Modülasyonu • Genlik modülasyonunda TAŞIYICI denen yüksek frekanslı sinüzoidal bir işaret Acos(0t)’nin genliği, BİLGİ işareti denen düşük frekanslı bir x(t) işaretiyle değiştirilir. Bu işlem MODÜLASYONLU işaret denen yüksek frekanslı bir işaret oluşturur: y(t) = Acos(0t) x(t). • Frekans öteleme özelliğini göstermek için, 1 << 0 olmak üzere, x(t) = cos(1t) olsun. y(t) ve y(t)’nin spektrumu aşağıdaki eşitliklerden hesaplanabilir:
Genlik Modülasyonu • Bilgi işareti ve moodülasyonlu işaretin spektrumu aşağıda verilmiştir:
Genlik Modülasyonu • Şekilden görüldüğü gibi, modülasyonlu işaret y(t), merkezi 0 frekansı olan 2m bandgenişlikli bandsınırlı yüksek frekanslı bir işarettir. Modülasyonlu işaretin 0 ile 0 + m frekansları arasında kalan kısmına ÜST YAN BAND, 0 ile 0 - m frekansları arasında kalan kısmına ise ALT YAN BAND denir. • İki yan band oluştuğundan ve taşıyıcı mevcut olmadığından bu yönteme literatürde TAŞIYICISI BASTIRILMIŞ ÇİFT YAN BANDLI (SC-DSB) modülasyon denmiştir.
Genlik Modülasyonu • Bilgi işaretini geri elde etmek yapılan demodülasyon işlemi iki adımdan oluşur: İlk önce, y(t) taşıyıcı ile aynı frekanslı sinüzoidal bir işaretle çarpılır:
• r(t)’nin spektrumu aşağıda verilmiştir:
Genlik Modülasyonu • Daha sonra, r(t)’den x(t)’yi elde etmek için r(t), kesim frekansı c , m < c < 2 0 - m eşitsizliklerini sağlayan alçak geçiren bir filtreden geçirilir. • Modülasyon ve demodülasyon işlemlerinin blok diyagram gösterilimleri aşağıda verilmiştir.
Genlik Modülasyonu • Pratikte, demodülasyonda kullanılan sinüzoidal işaretin frekansının taşıyıcı frekansına eşit olmasını sağlamak zordur. Bu problemin üstesinden gelmek için, modülasyon işlemi modülasyonlu işaret taşıyıcıyı da içerecek şekilde değiştirilir. • Bu işlem, m katsayısı tüm t değerleri için [1+mx(t)] > 0 olacak şekilde seçilen bir sayı olmak üzere genlik modülasyonlu işaret aşağıdaki gibi yeniden tanımlanarak yapılır:
• Modülasyonlu işarette taşıyıcı da mevcut olduğundan bu işleme ÇİFT YAN BAND (DSB) modülasyonu denir.
Genlik Modülasyonu • Aşağıdaki şekilde, 20 Hz frekanslı sinüzoidal bir bilgi işareti ve m =0.5 için DSB yöntemi kullanılarak elde edilen 400 Hz taşıyıcı frekanslı genlik modülasyonlu işaret gösterilmiştir.
Genlik Modülasyonu • Geleneksel DSB genlik modülasyonu durumunda, bilgi işaretinin bandgenişliği m iken modülasyonlu işaretinki 2m’dir. İletim kapasitesini arttırmak amacıyla modülasyonlu işaretin sadece alt veya üst yan bandı iletilir. • Karşılık gelen işleme TEK YAN BAND (SSB) modülasyonu denir ve nasıl yapılabileceği aşağıda gösterilmiştir.
Genlik Modülasyonu • SSB modülasyon yönteminde ilgili işaretlerin spektrumları aşağıda verilmiştir.
DSP’nin Üstünlükleri • Filtre karakteristiklerinde sapmaların oluşmaması: filtre katsayıları hafızada saklanan ikili tabanda katsayılar olduğundan harici çevre ve sıcaklık gibi harici parametrelerden etkilenmezler. • İyileştirilmiş kalite seviyesi: İşlemenin kalitesi sadece ekonomik kısıtlardan etkilenir. Veriyi/katsayıları temsil etmede kullanılan bit sayısı arttırılarak istenilen kalite elde edilebilir. Temsilde 1 bit arttırmak SNR’da 6 dB iyileşmeye neden olur. • Aynı sonucun tekrar elde edilebilmesi: Parametre toleransları sistem performansını etkilemez. Cihazın ömrü boyunca kalibrasyona gerek yoktur. • Yeni fonksiyon geliştirme kolaylığı: proğramlanabilir filtreleri tasarlamak ve kolaydır.
Uyarlanır ve gerçekleştirmek
DSP’nin Üstünlükleri • Çoğullama: Aynı düzenek birkaç işaret tarafından paylaşılabilir, dolayısıyla ekeonomik kazanım sağlanır. • Modülerlik: Gerçekleştirme için standard sayısal devreler kullanılır. • VLSI ve ULSI teknolojileri kullanılarak tek çip gerçekleştirme • Yükleme etkisinin oluşmaması
DSP’nin Eksiklikleri • Daha az güvenilirlik: sayısal sistemler aktif cihazlar olduğundan daha fazla güç kullanırlar ve daha az güvenilirdirler. • Sınırlı çalışma frekansı aralığı: Frekans aralığı, gerçekleştirilebilecek ve kullanılabilecek maksimum hesaplama kapasitesine karşılık gelen değerlere sınırlıdır. • Analog işaretlerin işlenmesinde ilave karmaşıklık: Gerekli analog-sayısal (A/D) ve sayısal-analog (D/A) dönüştürücüler toplam sistem karmaşıklığını arttırır.
DSP Uygulama Örnekleri • Cep telefonu • Ayrık çoklu ton iletim • Sayısal fotoğraf makinesi ve kamera • Sayısal ses sentezi • İşaret kodlama ve sıkıştırma • İşaret İyileştirme
Cep Telefonu Blok Diyagramı
Bir Chip Üzerindeki Cep Telefonu Sistemi
• 100-200 MHz DSP + MCU • ASIC lojik • Yoğun hafıza • Analog arayüz
Sürekli-zaman İşaretlerin Ayrık İşlenmesi • Bir sürekli-zaman işaretin sayısal işlenmesi üç adımdan oluşmaktadır: 1. Sürekli-zaman işaretinin bir ayrık-zaman işaretine dönüştürülmesi 2. Ayrık-zaman işaretin işlenmesi 3. İşlenmiş ayrık-zaman işaretin tekrar bir sürekli-zaman işarete çevrilmesi • Bir sürekli-zaman işaretin sayısal hale çevrilmesi ANALOG-SAYISAL (A/D) dönüştürücüyle yapılır. • Sayısal bir işaretin analog bir işarete dönüştürülmesi ters işlemi ise SAYISAL-ANALOG (D/A) dönüştürücüyle yapılır.
Sürekli-zaman İşaretlerin Ayrık İşlenmesi • A/D dönüştürme işlemi sonlu bir zaman aldığından dönüşüm tamamlanıncaya kadar A/D dönüştürücünün girişindeki işaretin genliğinin sabit kalmasını garantileyip sayısal temsilindeki hatayı en küçük yapmak amacıyla bir ÖRNEKLE-ve -TUT (S/H) devresi kullanılır. • Örtüşmeyi önlemek amacıyla S/H devresinden önce bir analog ÖRTÜŞME ÖNLEYİCİ filtre kullanılır. • D/A dönüştürücünün basamak şeklindeki dalgaşekline sahip çıkışını yumuşatmak aamacıyla bir analog YENİDEN OLUŞTURMA filtresi kullanılır.
Sürekli-zaman İşaretlerin Ayrık İşlenmesi
• Anlatılanlar ışığında toplam blok diyagram gösterilimi yukarıda verilmiştir. • Örtüşme önleyici ve yeniden oluşturma filtreleri analog alçak geçiren olduğundan, sayısal filtre tasarımından önce analog alçak geçiren filtre tasarımını ele alacağız. • Ayrıca, en sık kullanılan IIR sayısal filtre tasarım yöntemi, prototip bir analog alçak geçiren filtrenin dönüştürülmesine dayalıdır.
Sürekli-zaman İşaretlerin Ayrık İşlenmesi • Önceden belirtildiği gibi, çoğu uygulamada ayrık-zaman işaretler süreklizaman işartetlerin örneklenmesiyle oluşturulur. • Değişik birden fazla sürekli-zaman işaretin örneklenmesi aynı ayrık-zaman işaretini verebilir. Aslında, örneklendiğinde aynı ayrık-zaman işaretini veren sonsuz sayıda sürekli-zaman işareti vardır. • Ancak, bazı koşullar altında verilen bir ayrık-zaman işaretine karşılık gelen tek bir sürekli-zaman işareti bulmak mümkündür. • Bu koşullar sağlandığında, örneklenmiş işaretten orijinal sürekli-zaman işaretini yeniden oluşturma mümkündür. Şimdi, bu ilişkiyi ve karşılık gelen koşulları belirleyeceğiz.
Örneklemenin Frekans Uzayındaki Etkisi • ga(t), t = nT anlarında örneklenip g[n] = ga(nT) dizisini oluşturan bir süreklizaman işareti olsun. Burada, T ÖRNEKLEME PERİYODUNU göstermektedir. • T’nin tersine ÖRNEKLEME FREKANSI denir ve FT ile gösterilir. • ga(t)’nin frekans uzayı gösterilimi sürekli-zaman Fourier dönüşümüyle (CTFT) verilir:
• Benzer şekilde, g[n] ’nin frekans uzayı gösterilimi ayrık-zaman Fourier dönüşümüyle (DTFT) verilir:
Örneklemenin Frekans Uzayındaki Etkisi • Amacımız Ga(j) ile G(ej) arasındaki ilişkiyi bulmaktır. Bu amaçla, örnekleme işlemini matematiksel olarak ga(t) ile
eşitliğiyle tanımlanan periyodik impuls dizisi p(t)’nin çarpımı olarak ele alırız.
• p(t), aşağıda gösterildiği gibi T aralıklı ideal impulslardan oluşan bir işarettir.
Örneklemenin Frekans Uzayındaki Etkisi • Çarpma işlemi sonucunda gp(t) ile gösterilen bir impuls dizisi oluşur:
• gp(t), t = nT anlarında impulslardan oluşan bir sürekli-zaman işaretidir. İmpulsların genliğini, örneklenecek analog işaret ga(t)’nin örnek değerleri ga(nT) belirler. Aşağıda bir analog işaret ga(t) ve buna karşılık gelen impuls dizisi gp(t) gösterilmiştir.
Örneklemenin Frekans Uzayındaki Etkisi • Gp(j)’nın eşdeğer iki ifadesi vardır. Birincisi, (t-nT)’nin ağrlıklı toplamı ile verilir: • İkinci ifade, POISSON formülünden yaralanılarak elde edilir. Bir (t) işareti için Poisson formülü, T = 2π/T ve (j) işaretin CTFT’si olmak üzere
ilişkisiyle verilir. Poisson formülü, t = 0 için aşağıda verilen eşitlik olur:
Örneklemenin Frekans Uzayındaki Etkisi • CTFT’nin frekans öteleme özelliğinden ga(t) e -jt’nin CTFT’si Ga(j(+)) olacaktır. t = 0 için verilen Poisson formülünde (t) = ga(t) e -jt yazılırsa, aşağıda verilen ilişkiyi elde ederiz:
• Yukarıdaki ifadede yerine yazılırsa Gp(j)’nın
ile verilen ikinci gösterilimi elde edilir. • Gp(j)’nın ifadesinden bu işaretin periyodik bir fonksiyon olduğu görülmektedir. Ga(j)’nın T’nin tam katlarına ötelenmiş ve 1/T ile ölçeklenmiş kopyalarının toplamı Gp(j) işaretini oluşturmaktadır.
Örneklemenin Frekans Uzayındaki Etkisi • Gp(j) eşitliğinin sağ tarafındaki toplamada k=0 için bulunan terim, Gp(j)’nın TEMELBAND kısmı, diğer tüm k değerleri için bulunan terimler ise Gp(j)’nın frekans ötelenmiş kısımlarıdır. • - T/2 ≤ ≤ T/2 frekans aralığına TEMELBAND veya NYQUIST bandı denir. • ga(t)’nin bandsınırlı bir işaret olduğunu varsayalım. T = 2π/T olmak üzere, aşağıda örnek bir Ga(j) ve periyodik impuls dizisi p(t)’nin CTFT’si P(j) çizilmiştir.
Örneklemenin Frekans Uzayındaki Etkisi T’nin farklı iki değeri için Gp(j) aşağıda çizilmiştir. Şekillerden görüldüğü gibi, T > 2 m durumunda, Gp(j)’yı oluşturan ötelenmiş kopyalar arasında kesişme yoktur. Diğer yandan, T < 2 m durumunda, Gp(j)’yı oluşturan ötelenmiş kopyalar arasında kesişme vardır. Bu olaya ÖRTÜŞME denir.
Örneklemenin Frekans Uzayındaki Etkisi • Aşağıda gösterildiği gibi T > 2m ise, örneklenmiş işaret gp(t), T kazançlı ve m < c < T-m eşitsizliklerini sağlayan c kesim frekanslı ideal bir alçak geçiren filtreden geçirilerek analog işaret ga(t) hatasız bir şekilde yeniden oluşturulabilir.
• Diğer yandan, T < 2m ise, Ga(j)’nın kesişen ötelenmiş kopyalarından dolayı filtreleme aracılığıyla analog işaret ga(t) hatasız bir şekilde yeniden oluşturulamaz.
Örneklemenin Frekans Uzayındaki Etkisi Yeniden oluşturma filtresinin ve ilgili işaretlerin spektrumları aşağıda verilmiştir.
Örneklemenin Frekans Uzayındaki Etkisi Örnekleme Teoremi: ga(t), CTFT’si || > |m| için Ga(j) = 0 olan bandsınırlı bir işaret olsun. T = 2π/T olmak üzere, T > 2m ise, ga(t) örnek değerler ga(nT)’den tek olarak belirlenebilir. {ga(nT)} verildiğinde,
ile verilen bir impuls dizisi oluşturup diziyi T kazançlı ve m < c < T-m eşitsizliklerini sağlayan c kesim frekanslı ideal bir alçak geçiren filtre Hr(j)’den geçirerek ga(t)’yi hatasız olarak yeniden oluşturabiliriz. Yorumlar: 1. T > 2m koşuluna NYQUIST koşulu denir. 2. T /2 frekansına KATLAMA frekansı denir. 3.ga(t)’de minimum örnekleme frekansını belirleyen en yüksek frekansa NYQUIST denir. 4. 2mfrekansına NYQUIST hızı denir.
Örneklemenin Frekans Uzayındaki Etkisi • Sayısal telefonda 3.8 kHz işaret bandgenişliği kabul edilebilirdir. Bu nedenle, sayısal telefon haberleşmesinde ses işaretinin bandgenişliğinin iki katından daha büyük olan 8 kHz örnekleme frekansı kullanılır. • Yüksek kaliteli analog müzik işareti işlemede ise 20 kHz bandgenişiliğinin yeterli olduğu tespit edilmiştir. Kompakt disk (CD) müzik sistemlerinde işaret bandgenişliğinin iki katından biraz daha büyük olan 44.1 kHz örnekleme frekansı kullanılmaktadır.
Örneklemenin Frekans Uzayındaki Etkisi Örnek: Aşağıda zaman uzayında denklemleri ve karşılık gelen spektrumları verilen sinüzoidal üç işareti ele alalım.
Örneklemenin Frekans Uzayındaki Etkisi Bu işaretler, T=20π rad/s örnekleme frekansında (T=0.1s) örneklenmektedir. Örnekleme sonucunda, ile verilen spektruma sahip üç adet sürekli-zaman impuls dizisi g1p(t), g2p(t), g3p(t) olşur. Dizilerin spektrumları aşağıda verilmiştir.
Örneklemenin Frekans Uzayındaki Etkisi • g1(t) durumunda, örnekleme freknası Nyquist koşulunu sağladığından örtüşme oluşmamıştır. Ayrıca, alçak geçiren filtre çıkışındaki işaret orijinal sürekli-zaman işarete eşittir. • Diğer iki durumda, örnekleme freknası Nyquist koşulunu sağlamamaktadır. Her iki durumda da alçak geçiren filtre çıkışı cos(6πt)’ye eşittir. • G2p(j)’da = 6π’de oluşan impuls, G2(j)’da = -14π’deki impulsun örtüşmesinden kaynaklanmıştır. • Benzer şekilde, G3p(j)’da = 6π’de oluşan impuls, G3(j)’da = 26π’deki impulsun örtüşmesinden kaynaklanmıştır.
Örneklemenin Frekans Uzayındaki Etkisi • Şimdi, g[n]’nin DTFT’si ile gp(t)’nin CTFT’si arasındaki ilişkiyi bulacağız. İki spektrumun tanımı aşağıda verilmiştir.
• Yukarıdaki denklemlerde, g[n] = ga(nT) ilişkisi kullanılırsa,
elde edilir. Son olarak, aşağıdaki sonuç bulunur
olduğu hatırlanırsa
Örneklemenin Frekans Uzayındaki Etkisi • Bir önceki yansıda verilen spektrum alternatif olarak
şeklinde ifade edilebilir. bulundurulursa şu sonuç çıkar:
ilişkisi göz önünde
Gp(j)’da = /T yazılırsa, G(ej) elde edilir. • Gp(j), T = 2π/T periyodlu periyodik bir fonksiyondur. •
= /T ile verilen dönüşümden dolayı, G(ej)’da periyodik bir fonksiyon olup periyodu 2π’dir.
Analog İşaretin Yeniden Oluşturulması • Şimdi, ideal yeniden oluşturma filtresinin çıkışındaki işareti bulacağız. Sonuç, filtrenin impuls yanıtı ile giriş arasındaki konvolüsyon toplamına eşittir. • Filtrenin impuls yanıtı, Hr(j)’nın ters DTFT’si alınarak bulunabilir:
• Filtrenin girişinin • O halde, filtre çıkışı
olduğunu hatırlayınız.
olarak elde edilir. (c = T /2 = π / T olduğu varsayılmıştır.)
Analog İşaretin Yeniden Oluşturulması Yukarıda verilen denklem, bandsınırlı bir aradeğerleme işilemi olup denklemdeki sinüzoidal fonksiyonların analog işareti nasıl oluşturduğu aşağıda verilen şekilde açıklanmaya çalışılmıştır.
Analog İşaretin Yeniden Oluşturulması • c = T /2 ise, hr(0) = 1 ve n ≠ 0 için hr(nT) = 0 olduğu gösterilebilir. Bu gözlem interpolasyon denkleminde kullanıldığında - ∞ < r < ∞ aralığındaki tüm tamsayılar için
sonucu çıkar. • Yukarıdaki sonuç, örnekleme teoreminde verilen koşulun geçerli olup olmadığından bağımsız olarak doğrudur. • Ancak, örnekleme frekansı T örnekleme teoremindeki koşulu sağlıyorsa, yeniden oluşturulan işaret sadece örnekleme anlarının katlarında değil, tüm t değerleri için orijinal analog işarete eşit olur.
Band Geçiren İşaretlerin Örneklenmesi • Şimdiye kadar yapılan tartışmada sürekli-zaman işaretinin Ωm frekansıyla bandsınırlı bir işaret olduğu varsayıldı. Böyle sürekli-zaman işaretlere ALÇAK GEÇİREN işaret denir. • İşaretin daha yüksek bir ΩL< |Ω| < ΩH frekans aralığına bandsınırlı olduğu uygulamalar vardır. Böyle işaretlere BAND GEÇİREN işaret denir. • Bandgeçiren işaretler örneklenirken ΩT ≥ 2 ΩH seçilerek örtüşme önlenebilir. Ancak bu yaklaşımın önemli iki sınırlaması vardır: (i) örneklemeyle elde edilen ayrık-zaman işaretin spektrumunda spektral boşluklar olacaktır, (ii) ΩL büyük bir değere sahipse gerekli örnekleme frekansı çok yüksek olup bazı uygulamalarda pratik olmayabilir. • Aşağıda bandgeçiren işaretler için kullanılabilecek daha uygun bir yöntem tartışılmıştır.7
Band Geçiren İşaretlerin Örneklenmesi • ΔΩ = ΩL - ΩH band geçiren işaretin bandgenişliğini tanımlasın. • İşaretteki en yüksek frekans ΩH’ın bandgenişiliğinin bir tamsayı katı olduğunu varsayalım. Yani, M bir tamsayı olmak üzere ΩH = M(ΔΩ). • Örnekleme frekansını ΩT = 2(ΔΩ) = 2ΩH/M olarak seçeriz (örnekleme frekansının Nyquist frekansının M’de birine eşit olduğuna dikkat ediniz). • Örnekleme frekansının bu değeri Gp(jΩ) için daha önceden bulduğumuz eşitlikte yerine konulursa Gp(jΩ) aşağıdaki şekilde elde edilir:
• Alçak geçiren işaretlerin örneklenmesinde olduğu gibi, örnklenmiş işaret bandgeçiren işaretin spektrumunun ölçeklenmiş ve ötelenmiş kopyalarının toplamından oluşmaktadır. • k’nın her değeri için ötelemenin miktarı kopyalar arasında kesişme olmayacağını garantilediğinden örtüşme oluşmaz.
Band Geçiren İşaretlerin Örneklenmesi Aşağıdaki şekil tartışmaya açıklık getirmektedir.
• Analog işaret ga(t), gp(t)’nin geçirme bandı ΩL< |Ω| < ΩH ve kazancı T olan bandgeçiren bir filtreden geçirilmesiyle elde edilebilir. • Düşük frekans bandlarındaki herhangi bir kopyanın uygun bir bandgeçiren filtre kullanılarak oluşturulabileceğine dikkat ediniz.
Analog Alçak Geçiren Filtre Karakteristikleri Analog alçak geçiren bir filtrenin genlik yanıtı |Ha(jΩ)| aşağıda gösterildiği gibi verilebilir.
Ωp: Geçirme bandı kenar frekansı Ωs: Söndürme bandı kenar frekansı δp: Geçirme bandı maksimum dalgalanması δs: Söndürme bandı m aksimum dalgalanması
Dalgalanmalar dB cinsinden de verilebilir: Maksimum geçirme bandı dalgalanması: Minimum söndürme bandı zayıflatması:
Analog Alçak Geçiren Filtre Karakteristikleri 0 ≤ Ω ≤ Ωp frekans aralığı GEÇİRME BANDI olarak tanımlanır. Geçirme bandında |Ha(jΩ)| 1’den δp kadar sapabilir. Yani
Ωs ≤ Ω ≤ ∞ frekans aralığı SÖNDÜRME BANDI olarak tanımlanır. Söndürme bandında |Ha(jΩ)| 1’den δs kadar sapabilir. Yani
Analog Alçak Geçiren Filtre Karakteristikleri Genlik karakteristikleri aşağıda gösterildiği gibi genliğin geçirme bandındaki maksimum değeri 1 olacak şekilde de verilebilir.
Maksimum geçirme bandı sapması Maksimum södürme bandı genliği
Genelde iki parametre daha tanımlanır: Geçiş oranı: Ayırtedicilik parametresi:
Butterworth Yaklaşıklığı N. dereceden analog Butterworth alçak geçiren filtresinin genlik yanıtının karesi aşağıdaki eşitlikle verilir:
Ω = 0’ da |Ha(jΩ)|2 nın ilk 2N‐1 türevi sıfıra eşittir. dB cinsinden KAZANÇ
olarak verilir. Ωc 3‐db KESİM FREKANSI olarak adlandırılır. Bu adlandırmanın nedeni Ω = Ωc de kazancın yaklaşık olarak ‐3dB olmasıdır:
Butterworth Yaklaşıklığı Ωc = 1 durumunda çeşitli N değerleri için Butterworth yaklaşıklığı ile elde edilen genlik yanıtları aşağıda verilmiştir:
Butterworth Yaklaşıklığı Butterworth alçak geçiren filtresini tanımlayan iki parametre derece N ve 3‐dB kesim frekansı Ωc dir. Bu parametreler, belirtilen kenar frekansları Ωp ve Ωs ile geçirme bandı minimum genliği ve maksimum södürme bandı dalgalanmasından aşağıdaki denklemler kullanılarak hesaplanabilir:
İki denklem N için çözülürse
bulunur.
Butterworth Yaklaşıklığı Derece tamsayı olduğundan, hesaplanan N değeri en yakın tamsayıya yuvarlanır. N değeri herhangi bir denklemde yerine konularak 3‐dB kesim frekansı Ωc belirlenir. Analog Butterworth alçak geçiren filtresinin transfer fonksiyonu
şeklinde verilir. Denklemde
olup payda polinomu DN(s)’ye N. Dereceden Butterworth Polinomu denir.
Butterworth Yaklaşıklığı Örnek: 1‐dB kesim frekansı 1 kHz’de ve 5 kHz’deki zayıflatması 40 dB olan en düşük dereceli Butterworth alçak geçiren belirleyiniz. Verilenlerden
yazarız. İki denklemi çözerek buluruz. Derece hesabı için gerekli olan 1/k ve 1/k1 parametreleri hesaplandığında
elde edilir. O halde, derece
olarak hesaplanıp tamsayı olmak zorunda olduğundan N = 4 seçeriz.
Chebyshev Yaklaşıklığı N. dereceden analog 1. tür Chebyshev alçak geçiren filtresinin genlik yanıtının karesi aşağıdaki eşitlikle verilir:
Paydadaki TN(Ω)’ye N. dereceden Chebyshev Polinomu denir ve
eşitliğiyle tanımlanır.
Chebyshev Yaklaşıklığı Çeşitli N değerleri için 1. tür Chebyshev yaklaşıklığı ile elde edilen genlik yanıtları aşağıda verilmiştir:
Chebyshev Yaklaşıklığı Ω = Ωs de genlik 1/A olduğundan
yazılabilir. Yukarıdaki denklem N için çözülürse
bulunur. Filtrenin derecesi tamsayı olmak zorunda olduğundan, hesaplanan sayı en yakın tamsayıya yuvarlanır.
Chebyshev Yaklaşıklığı N. dereceden analog 2. tür Chebyshev alçak geçiren filtresinin genlik yanıtının karesi aşağıdaki eşitlikle verilir:
Paydadaki TN(Ω) terimi N. dereceden Chebyshev polinomudur. 1. tür Chebyshev yaklaşıklığında olduğu gibi, 2. tür Chebyshev alçak geçiren filtresinin derecesi
eşitliği kullanılarak hesaplanan sayı en yakın tamsayıya yuvarlanarak belirlenir.
Chebyshev Yaklaşıklığı
Çeşitli N değerleri için 2. tür Chebyshev yaklaşıklığı ile elde edilen genlik yanıtları aşağıda verilmiştir:
Chebyshev Yaklaşıklığı Örnek: 1‐dB kesim frekansı 1 kHz’de ve 5 kHz’deki zayıflatması 40 dB olan Chebyshev alçak geçiren filtrenin en küçük derecesini belirleyelim. Verilen değerlerden derece
olarak hesaplanır. Sonuç yuvarlanırsa N = 3 olur.
Elliptik Yaklaşıklığı N. dereceden analog Elliptik alçak geçiren filtresinin genlik yanıtının karesi aşağıdaki eşitlikle verilir:
Paydadaki RN(Ω) terimi, RN(1/Ω) = 1/ RN(Ω) eşitliğini sağlayan N. dereceden rasyonel bir fonksiyonudur. RN(Ω)’nın sıfırları 0 < Ω < 1 aralığında, kutupları ise 1 < Ω < ∞ aralığındadır. Filtrenin derecesi aşağıdaki denklemler kullanılarak hesaplanır:
Elliptik Yaklaşıklığı Örnek: 1‐dB kesim frekansı 1 kHz’de ve 5 kHz’deki zayıflatması 40 dB olan elliptik alçak geçiren filtrenin en küçük derecesini belirleyelim.
k = 0.2 ve 1/k1 = 196.5134 olarak bulunmuştu. Bu değerleri derece formülünde yerine koyarsak
buluruz. Sonuç olarak derece N= 2.23308 olarak hesaplanır N = 3 seçilir.
Elliptik Yaklaşıklık Ωp = 1 durumunda çeşitli N değerleri için elliptik yaklaşık ile elde edilen genlik yanıtları aşağıda verilmiştir:
MATLAB Kullanılarak Analog Alçak Geçiren Filtre Tasarımı Örnek: 1‐dB kesim frekansı 1 kHz’de ve 5 kHz’deki zayıflatması 40 dB olan elliptik alçak geçiren filtreyi MATLAB kullanarak tasarlayalım. Gerekli komutlar
şeklindedir. Komutlar yazılırken Wp = 2π1000, Ws = 2π5000, Rp = 1, Rs = 40 girilirse kazanç grafiği aşağıda verilen filtre tasarlanmış olur.
Analog Yüksek Geçiren, Band Geçiren ve Band Söndüren Filtre Tasarımı Adım 1: Uygun bir frekans dönüşümü kullanılarak gerekli filtre transfer fonksiyonu HD(s) prototip bir alçak geçiren transfer fonksiyonu HLP(s)’e dönüştürülür. Adım 2: Prototip alçak geçiren filtre tasarlanır. Adım 3: Gerekli filtre transfer fonksiyonu HD(s), HLP(s)’ye frekans dönüşümünün tersi uygulanarak elde edilir. Prototip alçak geçiren transfer fonksiyonu HLP(s)’nin Laplace dönüşüm değişkeni s, gerekli filtre transfer fonksiyonu HD(ŝ)’ninki ise ŝ ile belirtilsin. s‐uazyından ŝ‐uzayına dönüşüm tersi mevcut olan s F ŝ fonksiyonu ile verilir. O halde,
Analog Yüksek Geçiren Filtre Tasarımı Gerekli spektral dönüşüm: HLP(s)’in geçirme bandı kenar frekansı Ωp ve HHP(ŝ)’in geçirme bandı kenar frekansı Ωp^ omak üzere
ile verilir. s = j , ŝ jŵ yazılarak frekanslar arasındaki ilişki
olur. Frekans dönüşümü aşağıda grafiksel olarak gösterilmiştir.
alçak geçiren
yüksek geçiren
Analog Yüksek Geçiren Filtre Tasarımı Örnek: Aşağıdaki karakteristiklere sahip bir analog Butterworth yüksek geçiren filtre tasarlayalım: ŵp 4 kHz, ŵs 1 kHz, αp 0.1 dB, αs 40 dB. Ωp = 1 seçelim. O halde, prototip alçak geçiren filtrenin karakteristikleri şöyledir: Ωp = 1, Ωs = 4, αp 0.1 dB, αs 40 dB. Aşağıda MATLAB komutları ve prototip alçak geçiren filtre ile gerekli yüksek geçiren filtrenin kazançları çizilmiştir.
Analog Band Geçiren Filtre Tasarımı Gerekli spektral dönüşüm: HLP(s)’in geçirme bandı kenar frekansı Ωp ve HBP(ŝ)’in geçirme bandı kenar frekansları Ωp1^ ve Ωp2^ olmak üzere
ile verilir. s = j , ŝ jŵ yazılarak frekanslar arasındaki ilişki
olur. Bw bandgeçiren filtrenin geçirme bandı genişliği, Ω0^ ise geçirme bandı merkez frekansıdır. Frekans dönüşümü aşağıda grafiksel olarak gösterilmiştir. alçak geçiren alçak geçiren
band geçiren
Analog Band Geçiren Filtre Tasarımı Aşağıda verilen koşul sağlanmalıdır:
Bu koşul sağlanmıyorsa, koşul sağlanacak şekilde frekanslardan birisi değiştirilmelidir. İki durumla karşılaşmak mümkündür: Durum 1:
Durum 2: Her iki durumda eşitliğin nasıl sağlanabileceği aşağıda tartışılmıştır.
Analog Band Geçiren Filtre Tasarımı Durum 1: Aşağıda gösterildiği gibi söndürme bandı kenar frekanslarından birisi arttırılabilir, veya geçirme bandı kenar frekanslarından birisi azaltılabilir.
Örneğin, Ωp1^ , değerine düşürülebilir. Bu durumda, geçirme bandı genişleyecek ve soldaki geçiş bandı daralacaktır. Benzer şekilde, Ωs1^ , değerine yükseltilebilir. Bu kez, geçirmebandı genişliği değişmezken soldaki geçiş bandı daralacaktır. Not: Eşitlik koşulu Ωp2^ azaltılarak veya Ωs2^ arttırılarak da sağlanabilir. Birinci durumda, gerekli geçirme bandı genişliği, ikinci durumda ise gerekli söndürme bandı genişliği daralacağından iki çözüm de geçerli değildir.
Analog Band Geçiren Filtre Tasarımı Durum 2: Aşağıda gösterildiği gibi söndürme bandı kenar frekanslarından birisi azaltılabilir, veya geçirme bandı kenar frekanslarından birisi arttırılabilir.
Örneğin, Ωp2^ , değerine yükseltilebilir. Bu durumda, geçirme bandı genişleyecek ve sağdaki geçiş bandı daralacaktır. Benzer şekilde, Ωs2^ , değerine azaltılabilir. Bu kez, geçirmebandı genişliği değişmezken sağdaki geçiş bandı daralacaktır. Not: Eşitlik koşulu Ωp1^ arttırılarak veya Ωs1^ azaltılarak da sağlanabilir. Birinci durumda, gerekli geçirme bandı genişliği, ikinci durumda ise gerekli söndürme bandı genişliği daralacağından iki çözüm de geçerli değildir.
Analog Band Geçiren Filtre Tasarımı Örnek: Karakteristikleri aşağıda verilen analog bir elliptik band geçiren filtre tasarlayalım. ŵp1 4 kHz, ŵp2 7 kHz, ŵs1 3 kHz, ŵs2 8 kHz αp 1 dB, αs 22 dB.
ŵp1 ŵp2 28x106, ŵs1 ŵs2 24x106, ŵp1 ŵp2 ŵs1 ŵs2 olduğundan ŵp1 frekansı ŵp1 ŵs1 ŵs2 / ŵp2 3.471528 kHz değerine düşürülür. Prototip alçak geçiren filtre için Ωp = 1 seçelim. Frekans dönüşüm formülünden söndürme bandı kenar frekansı
olarak hesaplanır. O halde, prototip alçak geçiren filtrenin karakteristikleri şöyledir: Ωp = 1, Ωs = 1.4, αp 1 dB, αs 22 dB.
Analog Band Geçiren Filtre Tasarımı Gerekli MATLAB kodları ve elde edilen eğriler aşağıda verilmiştir.
Analog Band Söndüren Filtre Tasarımı Gerekli spektral dönüşüm: HLP(s)’in södürme bandı kenar frekansı Ωs ve HBP(ŝ)’in söndürme bandı kenar frekansları Ωs1^ ve Ωs2^ olmak üzere
ile verilir. s = j , ŝ jŵ yazılarak frekanslar arasındaki ilişki
Bw bandsöndüren filtrenin söndürme bandı genişliği, Ω0^ ise södürme bandı merkez frekansıdır. Frekans dönüşümü aşağıda grafiksel olarak gösterilmiştir. Alçak geçiren
Band söndüren
Analog Band Söndüren Filtre Tasarımı Aşağıda verilen koşul sağlanmalıdır:
Bu koşul sağlanmıyorsa, koşul sağlanacak şekilde frekanslardan birisi değiştirilmelidir. İki durumla karşılaşmak mümkündür: Durum 1:
Durum 2: Her iki durumda eşitliğin nasıl sağlanabileceği aşağıda tartışılmıştır.
Analog Band Söndüren Filtre Tasarımı Durum 1: Aşağıda gösterildiği gibi söndürme bandı kenar frekanslarından birisi arttırılabilir, veya geçirme bandı kenar frekanslarından birisi azaltılabilir.
Örneğin, Ωp2^ , değerine düşürülebilir. Bu durumda, geçirme bandı genişleyecek ve sğdaki geçiş bandı daralacaktır. Benzer şekilde, Ωs2^ , değerine yükseltilebilir. Bu kez, geçirmebandı genişliği değişmezken sağdaki geçiş bandı daralacaktır. Not: Eşitlik koşulu Ωp1^ azaltılarak veya Ωs1^ arttırılarak da sağlanabilir. Birinci durumda, gerekli geçirme bandı genişliği, ikinci durumda ise gerekli söndürme bandı genişliği daralacağından iki çözüm de geçerli değildir.
Analog Band Söndüren Filtre Tasarımı Durum 2: Aşağıda gösterildiği gibi söndürme bandı kenar frekanslarından birisi azaltılabilir, veya geçirme bandı kenar frekanslarından birisi arttırılabilir.
Örneğin, Ωp1^ , değerine yükseltilebilir. Bu durumda, geçirme bandı genişleyecek ve soldaki geçiş bandı daralacaktır. Benzer şekilde, Ωs1^ , değerine azaltılabilir. Bu kez, geçirmebandı genişliği değişmezken soldaki geçiş bandı daralacaktır. Not: Eşitlik koşulu Ωp2^ arttırılarak veya Ωs2^ azaltılarak da sağlanabilir. Birinci durumda, gerekli geçirme bandı genişliği, ikinci durumda ise gerekli söndürme bandı genişliği daralacağından iki çözüm de geçerli değildir.
Ayrık‐Fourier Dönüşümü Tanım: 0 ≤ n ≤ N‐1 aralığında tanımlı N‐uzunluklu bir dizi x[n]’nin AYRIK FOURIER DÖNÜŞÜMÜ (DFT), ayrık‐zaman Fourier dönüşümü (DTFT) X(ejω)’nın 0 ≤ ω < 2π aralığında ωk = 2πk/N , k = 0,1, …, N‐1 noktalarında örneklenmesiyle elde edilir. DTFT’nin tanımından DTFT ile DFT arasındaki ilişki
şeklinde olacaktır. WN = e‐j 2πN notasyonu kullanılarak DFT genelde
olarak ifade edilir. Ters DFT formülü :
Ayrık‐Fourier Dönüşümü Ters DFT formülünün doğruluğunu göstermek için eşitliğin her iki yanı WN ln ile çarpılıp tüm n değerleri üzerinden toplanırsa
bulunur. ilişkisinden
toplamındaki sıfırdan farklı tek terim k= l iken elde edilir. O halde
Ayrık‐Fourier Dönüşümü Örnek: Aşağıda verilen dizinin DFT’sini hesaplayalım.
Örnek: Aşağıda verilen N‐uzunluklu dizinin DFT’sini hesaplayalım.
Ayrık‐Fourier Dönüşümü Örnek: Aşağıda verilen 0 ≤ n ≤ N‐1 aralığında tanımlı N‐uzunluklu dizinin DFT’sini hesaplayalım. (0 ≤ r ≤ N‐1)
Euler ilişkisi kullanılarak g[n] aşağıdaki şekilde yeniden yazılabilir:
O halde, g[n]’nin N‐nokta DFT’si
olur. ilişkisini kullanırsak
DFT’nin Vektör‐Matris Notasyonunda Gösterilmesi DFT, vektör matris notasyonunda aşağıdaki şekilde ifade edilebilir:
DN matrisine, NxN DFT‐MATRİSİ denir.
DFT’nin Vektör‐Matris Notasyonunda Gösterilmesi Benzer şekilde, ters DFT vektör matris notasyonunda aşağıdaki şekilde ifade edilebilir:
DN‐1 matrisine, TERS DFT‐MATRİSİ denir. İki matris arasında aşağıda verilen ilişki vardır:
MATLAB Kullanılarak DFT Hesaplanması • MATLAB’de DFT ve ters DFT hesaplamak için mevcut komutlar: fft , ifft • Bu fonksiyonlar, doğrudan hesaplama yerine etkin hesap yükünü oldukça azaltan FFT algoritmasını kullanmaktadır. • Aşağıda x[n] = cos(6πn/16), 0 ≤ n ≤ 15 dizisinin DFT ve DTFT’sinin genliği çizilmiştir.
DTFT’nin DFT’den Aradeğerlemeyle Hesaplanması N‐uzunluklu x[n] dizinin DFT’si X[k], dizinin DTFT’si X(ejω)’nın düzgün aralıklı ωk = 2πk/N , k = 0,1, …, N‐1 noktalarındaki frekans örnekleridir. O halde, N‐uzunluklu x[n] dizinin DFT’si X[k] verildiğinde dizinin DTFT’si X(ejω) X[k]’dan belirlenebilir.
r aşağıdaki şekilde tanımlansın.
S, r cinsinden
şeklinde yazılabilir.
DTFT’nin DFT’den Aradeğerlemeyle Hesaplanması Yukarıdaki tanımları kullanarak
veya eşdeğer olarak
yazabiliriz. O halde,
Sonuç olarak DTFT ile DFT arasındaki ilişki şöyledir:
DTFT’nin Örneklenmesi DTFT’si X(ejω) olan x[n] dizisini ele alalım. X(ejω)’yı düzgün aralıklı ωk = 2πk/N , k = 0,1, …, N‐1 noktalarında örnekleyerek N adet X(ejωk) frekans örneği elde ederiz. Bu N adet frekans örneği N‐nokta ters DFT’si N‐uzunluklu y[n] dizisi olan N‐nokta DFT Y[k] gibi düşünülebilir. Aşağıda X(ejω) ve Y[k] verilmiştir.
Amacımız, y[n] ile x[n] arasındaki ilişkiye hesaplamaktır. Y[k]’ya ters DFT uyglanarak y[n] elde edilir:
DTFT’nin Örneklenmesi y[n] ile x[n] arasındaki ilişkiyi bulmak için aşağıda eşitlikten yaralacağız:
Bu sonuç, önceki saydaki köşeli parantez içindeki terim yerine konulursa gerekli sonuç şöyle bulunur:
Sonuç: y[n] dizisi x[n] dizisinin sonsuz sayıda ötelenmiş kopylarının toplamıdır. Kopyalar x[n] dizisinin N’nin tamsayı katları kadar ötelenmesiyle elde edilir ve toplam sadece 0 ≤ n ≤ N‐1 aralığında dikkate alınır. Formülü sonlu uzunluklu dizilere uygulamak için, belirtilen aralık dışındaki örneklerin sıfır olduğunu varsayarız. O halde, M ≤ N olacak şekilde x[n] M‐uzunluklu bir dizi ise 0 ≤ n ≤ N‐1 aralığında y[n] = x[n]
DTFT’nin Örneklenmesi Ancak, M > N olduğunda, örtüşme meydana gelir ve x[n] y[n]’den elde edilemez. Örnek: Aşağıda verilen diziyi ele alalım:
Dizinin DTFT’si X(ejω)’yı ωk = 2πk/4 , k = 0,1,2,3 noktalarında örnekleyerek ve daha sonra bu diziye 4‐nokta ders DFT uygulayarak
buluruz. Yani, {x[n]} {y[n]}’den hesaplanamaz.
DFT Kullanılarak DTFT Hesaplanması M >> N olmak üzere, X(ejω)’yı ωk = 2πk/M , k = 0,1,…,M‐1 frekanslarında hesaplamak istiyoruz.
xe[n] dizisi şöyle tanımlansın:
X(ejω)’yı xe[n] dizisi cinsinden yazmak mümkündür:
O halde, X(ejω) M‐ uzunluklu xe[n] dizisinin M‐nokta DFT’si Xe[k]’dır. M, 2’nin bir tamsayı katı ise Xe[k] FFT ile etkin bir şekilde hesaplanabilir.
DFT Özellikleri
DFT Özellikleri
DFT Özellikleri
Bir Dizinin Dairesel Ötelemesi 0 ≤ n ≤ N‐1 aralığında tanımlı N‐uzunluklu bir diziyi ele alalım. x[n] böyle bir dizi ise, ötelenmiş dizi x1[n] = x[n‐n0] 0 ≤ n ≤ N‐1 aralığında tanımlı olmayacaktır. O halde, ötelenmiş dizi daima 0 ≤ n ≤ N‐1 aralığında tanımlı olacak şekilde bir öteleme tanımlamamız gereklidir. DAİRESEL ÖTELEME olarak adlandırılan bu öteleme mod operatörü kullanılarak
şeklinde tanımlanır. n0 > 0 ise (sağ tarafa dairesel öteleme), yukarıdaki denklem
anlamına gelir. N‐uzunluklu dizi bir daire üzerinde eşit aralıklı N nokta olarak gösterilirse, dairesel öteleme operatörü dizinin saat yönünde veya saat yönünün tersinde n0 örnek döndürülmesi gibi düşünülebilir.
Bir Dizinin Dairesel Ötelemesi
Dairesel Konvolüsyon N‐ uzunluklu g[n] ve h[n] dizilerini ele alalım. İki dizinin doğrusal konvolüsyonu (2N‐1) uzunluklu yL[n] dizisini verir:
yL[n] dizisi hesaplanırken iki dizinin uzunlukları (2N‐1) olacak şekilde sonlarına sıfır eklendiği varsayılmıştır. yL[n] dizisi, h[n] dizisinin ters çevrilmesi ve sağa ötelenmesinden oluşturlur. N‐uzunluklu bir dizi veren konvolüsyona benzer bir işlem tanımlamak için dairesel öteleme kullanmak gereklidir. Sonuçlanan işleme DAİRESEL KONVOLÜSYON denir aşağıdaki eşitlikle tanımlanır:
İşleme, N‐uzunluklu iki dizi içerdiğinden N‐nokta dairsel konvolüsyon da denir ve
notasyonu ile gösterilir.
Dairesel Konvolüsyon Örnek: 4‐uzunluklu aşağıdaki iki dizinin dairesel konvolüsyonunu hesaplayalım.
0 ≤ n ≤ 3
Dairesel Konvolüsyon
Dairesel Konvolüsyon Dairesel konvolüsyon DFT kullanılarak da hesaplanabilir. Yukarıda verilen örneği DFT kullanarak çözelim.
Dairesel Konvolüsyon
Dairesel Konvolüsyon
Dairesel Konvolüsyon
Dairesel Konvolüsyon Örnek: Yukarıda verilen iki diziyi sonlarına sıfır ekleyerek 7 uzunluklu genişletilmiş diziler ge[n] ve he[n] oluşturalım ve genişletilmiş dizilerin 7 uzunluklu dairesel konvolüsyonunu hesaplayalım.
Dairesel Konvolüsyon
Not: Sonuç y[n] , g[n] ve h[n] dizilerinin doğrusal konvolüsyonundan elde edilen yL[n] dizisine eşittir.
DFT ile Doğrusal Konvolüsyonun Hesaplanması N ve M uzunluklu g[n] ve h[n] dizilerini ele alalım. L = M+N‐1 olsun. İki dizinin sonlarına sıfır ekleyerek L uzunluklu genişletilmiş diziler ge[n] ve he[n] oluşturalım:
O halde, Blok diyagram gösterilimi aşağıda verilmiştir:
Dairesel Konvolüsyon N‐nokta dairesel konvolüsyon vektör‐matris notasyonunda aşağıdaki gibi yazılabilir.
Matrisin herhangi bir köşegenindeki tüm elemanların eşit olduğuna dikkat ediniz. Böyle matrislere DAİRSEL MATRİS denir.
Dairesel Konvolüsyon Tablo Yöntemiyle Hesaplanması Yöntem, 4‐uzunluklu iki dizinin dairesel konvolüsyonu için bir örnekle gösterilecektir. İlk önce dizilerin örnekleri aşağıda gösterildiği gibi çarpılır.
İkinci, üçüncü ve dördüncü satırlardaki kısmi çarpımlar şekilde gösterildiği gibi sola dairesel ötelemeyle elde edilir.
Dairesel Konvolüsyon Tablo Yöntemiyle Hesaplanması Dairesel ötelemeden sonra değiştirilmiş tablo şu şekilde olur:
{yc[n]} dizisinin elemanları, örneğe karşılık gelen sütundaki 4 çarpım toplanarak bulunur:
Gerçel Dizilerin DFT’sinin Hesaplanması Pratik çoğu uygulamada, ilgilenilen işaretler gerçeldir. Böyle işaretler için DFT’nin simetri özelliklerinden yararlanılarak DFT’nin hesaplanması kolaylaştırılabilir. Örneğin, N‐ uzunluklu g[n] ve h[n] dizilerinin N‐nokta DFT’si aşağıda gösterildiği gibi tek bir N‐nokta DFT ile hesaplanabilir. İlk önce karmaşık x[n] = g[n] + j h[n] dizisini tanımlayalım. g[n] = Re{x[n]}, h[n] = Im{x[n]} DFT’nin karmaşık işaretler için simetri özelliklerinden gerekli DFT’ler G[k] ve H[k] şöyle hesaplanabilir:
0 ≤ k ≤ N‐1 için
olduğuna dikkat ediniz.
Gerçel Dizilerin DFT’sinin Hesaplanması Örnek: Aşağıdaki dizilerin 4‐nokta DFT’lerini hesaplayalım.
Gerçel Bir Dizinin 2N‐nokta DFT’sinin N‐nokta DFT ile Hesaplanması 2N‐uzunluklu v[n] dizisinin 2N‐nokta DFT’sini hesaplamak istiyoruz. N‐uunluklu aşağıda verilen iki dizi tanımlayalım: g[n] = v[2n], h[n] = v[2n+1] , 0 ≤ n ≤ N
O halde,
Gerçel Bir Dizinin 2N‐nokta DFT’sinin N‐nokta DFT ile Hesaplanması Örnek: Aşağıda verilen 8‐uzunluklu dizinin 8‐nokta DFT’sini iki adet 4‐uunluklu DFT cinsinden hesaplayalım.
İlk önce, 4‐uzunluklu iki dizi oluştururuz:
Daha sonra, gerekli DFT’yi hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanırız:
Gerçel Bir Dizinin 2N‐nokta DFT’sinin N‐nokta DFT ile Hesaplanması
Sayısal Filtre Tasarımı • Sayısal filtre tasarımında amaç, verilen bir frekans yanıtını yaklaşık olarak sağlayan gerçeklenebilir bir transfer fonksiyonu G(z) elde etmektir. • Çoğu uygulamada sayısal filtrenin tasarımı için genlik ve/veya faz yanıtı belirtilir. Bazı durumlarda, impuls veya basamak yanıtı belirtilebilir.
• Pratik çoğu uygulamada, verilen bir genlik yanıtını yaklaşık olarak sağlayan gerçeklenebilir bir transfer fonksiyonu elde etmek istenir. Bu nedenle, bu derste biz sadece genlik yaklaşıklığını ele alacağız.
Filtre Karakteristiklerinin Belirtilmesi • Dört tür ideal filtreye karşılık gelen impuls yanıtlarının nedensel olmadıklarından ve sonsuz uzunluklu olduklarından ideal filtreler gerçeklenemez. • Pratikte, sayısal bir filtrenin genlik yanıtı geçirme ve söndürme bandında kabul edilebilir toleranslarla belirtilir. Ayrıca, geçirme ve söndürme bandları arasında bir geçiş bandı vardır.
• Örneğin, sayısal alçak geçiren bir filtrenin genlik yanıtı |G(ej)| aşağıda gösterilmiştir.
Filtre Karakteristiklerinin Belirtilmesi
p : geçirme bandı kenar frekansı s : söndürme bandı kenar frekansı p : geçirme bandındaki maksimum dalgalanma s : söndürma bandındaki minimum dalgalanma
Filtre Karakteristiklerinin Belirtilmesi • Karakteristikler genelde dB olarak A() = -20log10 |G(ej)| ile tanımlanan kayıp fonksiyonu cinsinden verilir.
• Benzer şekilde, dB cinsinden geçirme bandı maksimum dalgalanması p ve söndürme bandı minimum zayıflatması s p = -20log10 (1-p) s = -20log10 (s) olarak hesaplanır.
Filtre Karakteristiklerinin Belirtilmesi Filtre karakteristikleri alternatif olarak aşağıdaki gösterildiği gibi belirtilebilir. Alternatif gösterilimde, genliğin geçirme bandındaki maksimum değerinin 1 olduğu varsayılr.
Filtre Karakteristiklerinin Belirtilmesi • Pratikte, geçirme bandı kenar frekansı Fp ve söndürme bandı kenar frekansı Fs Hz cinsinden belirtilir.
• Sayısal filtre tasarım formüllerinde geçirme ve södürme bandı kenar frekansları radyan cinsinden olduğu varsayıldığından Hz cinsinden verilen frekansların radyan cinsinden eşdeğerleri hesaplanmalıdır. Örnekleme frekansının FT olduğu varsayılırsa, kenar frekansları aşağıdaki eşitlikler kullanılarak hesaplanabilir:
Filtre Türünün Seçilmesi • Belirtilen frekans yanıtı özelliklerini sağlayan transfer fonksiyonu H(z) nedensel bir transfer fonksiyonu olmalıdır. • Sonsuz impuls yanıtlı (IIR) filtre durumunda transfer fonksiyonu
şeklinde gerçel bir rasyonel fonksiyondur. Bu durumda, H(z) kararlı olmanın yanında hesap yükünü en aza indirmek için küçük dereceye (N) sahip olmalıdır.
Filtre Türünün Seçilmesi • Sonlu impuls yanıtlı (FIR) filtre durumunda transfer fonksiyonu
şeklinde gerçel katsayılı bir polinomdur. • Hesap karmaşıklığının az olması için transfer fonksiyonunun derecesi (N) mümkün olduğu kadar küçük olmalıdır. H(z) kutup içermediğinden FIR filtrelerin kararlılık problemi yoktur. • Doğrusal faz isteniyorsa, filtre katsayılarının h[n] = ∓ h[N-n] ilişkisini sağlaması gereklidir.
Sayısal Filtre Tasarımı: Temel Yaklaşımlar • En sık kullanılan IIR filtre tasarım yöntemi aşağıdaki adımlardan oluşur: 1.Sayısal filtre karakteristikleri prototip bir analog alçak geçiren filtre karakteristiklerine dönüştürülür. 2.Analog alçak geçiren filtre taransfer fonksiyonu Ha(s) belirlenir. 3.Ha(s), gerekli sayısal transfer fonksiyonu G(z)’ye dönüştürülür.
• Bu yaklaşımın kullanılmasının nedenleri şöyle sıralanabilir: analog filtre tasarım yöntemleri oldukça gelişmiş olup genelde analitik çözümle sonuçlanırlar. Bu nedenle, analog filtre tasarımı için tablolar mevcuttur. İlave olarak, çoğu uygulama analog sistemlerin sayısal simülasyonunu gerektirmektedir.
Sayısal Filtre Tasarımı: Temel Yaklaşımlar • “a” analog uzayı belirtmek üzere, analog transfer fonksiyonu
olarak belirtilecektir. • Ha(s)’den türetilen sayısal transfer fonksiyonu da aşağıdaki gibi temsil edilecektir: • Ha(s), G(z)’ye dönüştürmek, analog frekans yanıtının temel karakteristikleri korunacak şekilde s-uzayından z-uzayına bir dönüşüm uygulamaktır. O halde, dönüşüm kararlı bir analog transfer fonksiyonunu kararlı bir sayısal transfer fonksiyonuna dönüştürmelidir.
Sayısal Filtre Tasarımı: Temel Yaklaşımlar • FIR filtre tasarımı, belirtilen genlik yanıtının doğrudan yaklaşıklığına dayalıdır. Ayrıca, genelde filtrenin doğrusal faza sahip olması istenir.
• N. dereceden bir FIR filtrenin tasarımı, ya (N+1)-uzunluklu impuls yanıtı katsayıları {h[n]}, ya da frekans yanıtı |G(ej)|’nın (N+1) örneği bulunarak yapılabilir. En sık kullanılan FIR filtre tasarım yöntemleri şöyledir: 1. Pencerelenmiş Fourier serisi yaklaşımı 2. Frekans örnekleme yaklaşımı 3. Bilgisayar tabanlı optimizasyon yöntemleri
IIR Sayısal Filtre Tasarımı: Çift Doğrusal Dönüşüm • Çift doğrusal dönüşüm (ÇDD) s-uzayındaki bir noktayı zuzayındaki bir noktaya dönüştürür ve aşağıdaki eşitlikle verilir:
• O halde, G(z) ile Ha(s) arasındaki ilişki şöyle olur:
• Sayısal filtre tasarımı üç adımdan oluşur: (i) G(z)’nin karakteristiklerine ters ÇDD uygulanıp Ha(s)’nin karakteristikleri elde edilir, (ii) Ha(s) belirlenir, (iii) Ha(s)’ye ÇDD uygulanıp G(z) belirlenir. Dönüşüm formülündeki T parametresinin etkisi olmadığından, genelde T = 2 seçilir.
IIR Sayısal Filtre Tasarımı: Çift Doğrusal Dönüşüm • T = 2 için ters ÇDD formülü kolaylıkla elde edilebilir:
• s = 0+j0 yazıp, s ile z arasında yukarıda verilen eşitlikten
elde edilir. 0’ın farklı değerleri için z’nin genlikleri aşağıda verilmiştir.
IIR Sayısal Filtre Tasarımı: Çift Doğrusal Dönüşüm • Aşağıda gösterildiği gibi, sol yarı s-düzlemi, karmaşık zdüzleminde birim çemberin içine, sağ yarı s-düzlemi birim çemberin dışına, j-ekseni de birim çembere dönüşmüştür.
• s-düzleminde kararlılık koşulu, kutupların sol yarı s-düzleminde, z-düzleminde kararlılık koşulu ise kutupların birim çember içinde olmasıdır. O halde, ÇDD kararlı bir analog transfer fonksiyonunu kararlı bir sayısal transfer fonksiyonuna dönüştürmektedir.
IIR Sayısal Filtre Tasarımı: Çift Doğrusal Dönüşüm Şimdi de analog frekans ile sayısal frekans arasındaki ilişkiyi belirleyelim. ÇDD ilişkisinde (T=2 için) s=j, z=ej yazılırsa
bulunur. Bu ifade düzenlenirse, = tan (/2) elde edilir ve aşağıda gösterildiği gibi aralarında doğrusal olmayan bir ilişki vardır
IIR Sayısal Filtre Tasarımı: Çift Doğrusal Dönüşüm Analog frekans ile sayısal frekans arasındaki doğrusal olmayan ilişki frekans ekseninde FREKANS BÜKMESİ denen bir bozunum oluşturur. Frekans bükmesinin etkisi aşağıda gösterilmiştir:
IIR Sayısal Filtre Tasarımı: Çift Doğrusal Dönüşüm • Sayısal filtre tasarımındaki adımlar şöyle özetlenebilir:
1. (p, s) frekanslarına ön bükme işlemi uygulanarak (ters ÇDD kullanarak) analog karşılıkları (p,s) bulunur. 2. Analog filtre tasarlanarak karşılık gelen transfer fonksiyonu Ha(s) elde edilir. 3. Ha(s)’ye ÇDD ugulanarak sayısal filtreye karşılık gelen transfer fonksiyonu G(z) belirlenir. • ÇDD, sadece parçalı sabit değerli genlik yanıtlı sayısal filtre tasarımında kullanılabilir.
• Dönüşüm, analog filtrenin faz yanıtını korumaz. Diğer bir deyişle, analog filtrenin faz yanıtı dönüşüm sonunda bozulabilir.
IIR Sayısal Filtre Tasarımı: Çift Doğrusal Dönüşüm • Örnek: Aşağıda verilen alçak geçiren Butterworth analog transfer fonksiyonunu ele alalım: • Ha(s)’ye ÇDD uygulanırsa alçak geçiren Butterworth sayısal transfer fonksiyonu elde edilir:
• İfade yeniden düzenlenirse aşağıdaki ifade elde edilir:
IIR Sayısal Filtre Tasarımı: Çift Doğrusal Dönüşüm • Örnek: |Ha(j0)|=0, |Ha (j0)|= |Ha (j∞)|=1 olmak üzere, aşağıda verilen 2. derece analog çentik transfer fonksiyonunu ele alalım:
• 0’a ÇENTİK FREKANSI denir. |Ha(j2)| = |Ha(j1)| =1/2 ise, B= 2- 1’ye 3-dB ÇENTİK BANDGENİŞLİĞİ denir. Ha(s)’ye ÇDD uygulanarak karşılık gelen sayısal çentik transfer fonksiyonu aşağıdaki şekilde elde edilir:
IIR Sayısal Filtre Tasarımı: Çift Doğrusal Dönüşüm • Örnek: Çentik frekansı 60 Hz, 3-dB çentik bandgenişliği Hz olan ve 400 Hz örnekleme frekansında çalışan 2. derece sayısal çentik filtre tasarlayalım. • 0=2π(60/400)=0.3π, Bw=2π(6/400)=0.03π elde edilir. ve β hesaplanırsa =0.90993, β=0.587785 bulunur. Karşılık gelen transfer fonksiyonu ile genlik ve faz yanıtları aşağıda verilmiştir.
IIR Sayısal Filtre Tasarımı: Çift Doğrusal Dönüşüm • Örnek: Aşağıda verilen karakteristiklere sahip alçak geçiren Butterworth sayısal filtre tasarlayalım: p=0.25π, s=0.55π, p=0.5 dB, s=15 dB. • Verilenlerden 2=0.1220185, A2=31.622777 bulunur. Ters ÇDD kullanılarak karşılık gelen analog frekanslar
olarak elde edilir. 1/k ve 1/k1
şeklinde elde edilir. Derece hesaplanırsa bulunur. N=3 seçilir.
IIR Sayısal Filtre Tasarımı: Çift Doğrusal Dönüşüm c’yi hesaplamak için
eşitliği kullanılırsa c=1.419915(p)=0.588148 bulunur. c = 1için 3. derece alçak geçiren Butterworth transfer fonksiyonu
şeklinde tablolarda mevcuttur. c= 0.588148 olacak şekilde normalleştirme yapılırsa gerekli analog transfer fonksiyonu
olarak bulunur.
IIR Sayısal Filtre Tasarımı: Çift Doğrusal Dönüşüm Ha(s)’ye ÇDD uygulanırsa gerekli sayısal transfer fonksiyonu elde edilir. G(z)’nin genlik ve kazanç yanıtları aşağıda çizilmişitir.
YG, BG ve BS IIR Sayısal Filtre Tasarımı Bu amaçla iki yaklaşım mevcuttur. İki yaklaşımın da detayları aşağıda verilmiştir: • Birinci yaklaşım 1.
2. 3. 4.
5.
(TERS ÇDD) Gerekli sayısal filtre GD(z)’nin frekans karakteristiklerine ön bükme uygulanarak aynı tür analog filtre HD(s)’nin frekans karakteristikleri belirlenir. HD(s)’nin karakteristikleri uygun bir frekans dönüşümüyle prototip alçak geçiren filtre HLP(s)’ye dönüştürülür. Analog alçak geçiren filtre HLP(s) tasarlanır. İkinci adımda kullanılan frekans dönüşümünün tersi kullanılarak HLP(s), HD(s)’ye dönüştürülür. HD(s)’ye ÇDD uygulanarak gerekli sayısal filtre GD(z) elde edilir.
YG, BG ve BS IIR Sayısal Filtre Tasarımı • İkinci yaklaşım
(TERS ÇDD)
1. Gerekli sayısal filtre GD(z)’nin frekans karakteristiklerine ön bükme uygulanarak aynı tür analog filtre HD(s)’nin frekans karakteristikleri belirlenir. 2. HD(s)’nin karakteristikleri uygun bir frekans dönüşümüyle prototip alçak geçiren filtre HLP(s)’ye dönüştürülür. 3. Analog alçak geçiren filtre HLP(s) tasarlanır. 4. HLP(s)’ye ÇDD dönüşüm uygulanarak sayısal alçak geçiren transfer fonksiyonu GLP(z) elde edilir. 5. Sayısal uzayda uygun bir frekans dönüşümü kullanılarak GLP(z), gerekli sayısal filtre GD(z)’ye dönüştürülür.
YG, BG ve BS IIR Sayısal Filtre Tasarımı • Örnek: 1. yaklaşımı kullanarak aşağıdaki karakteristiklere sahip 1. tür Chebyshev IIR sayısal yüksek geçiren filtre tasarlayalım: Fp=700 Hz, Fs=500 Hz, p=1dB, s=32 dB, FT =2 kHz. • İlk önce, radyan cinsinden band kenar frekansları hesaplanır:
• Sonra, ön bükmeyle karşılık gelen analog frekanslar bulunur: • Prototip alçak geçiren analog filtre için Ωp = 1 seçilip ilişkisinden Ωs = 1.962105 bulunur. • O halde, analog alçak geçiren filtre karakteristikleri şöyle elde edilmiş oldu: Ωp = 1, Ωs = 1.962105, p=1dB, s=32 dB.
YG, BG ve BS IIR Sayısal Filtre Tasarımı • Filtre tasarımında kullanılan MATLAB komutları ve komutlar çalıştırılarak elde edilen kazanç grafiği aşağıda verilmiştir.
YG, BG ve BS IIR Sayısal Filtre Tasarımı • Örnek: Aşağıdaki karakteristiklere sahip Butterworth IIR sayısal band geçiren filtre tasarlayalım: ωp1=0.45π, ωp2=0.65π, ωs1=0.3π ωs2=0.75π , p=1dB, s=40 dB. • Ön bükmeyle karşılık gelen analog frekanslar hesaplanır:
• Bandgenişliği
olduğundan
olup çarpımlar eşit olacak şekilde band kenarlarının değiştirilmesi gereklidir. Seçilirse çarpımlar eşit olur.
YG, BG ve BS IIR Sayısal Filtre Tasarımı • Prototip alçak geçiren analog filtre için Ωp = 1 seçilip
ilişkisinden
• O halde, analog alçak geçiren filtre karakteristikleri şöyle elde edilmiş oldu: Ωp = 1, Ωs = 2.3617627, p=1dB, s=40 dB. • Filtre tasarımında kullanılan MATLAB komutları ve komutlar çalıştırılarak elde edilen kazanç grafiği aşağıda verilmiştir.
YG, BG ve BS IIR Sayısal Filtre Tasarımı
YG, BG ve BS IIR Sayısal Filtre Tasarımı • Örnek: Aşağıdaki karakteristiklere sahip elliptik IIR sayısal band söndüren filtre tasarlayalım: ωp1=0.3π, ωp2=0.75π, ωs1=0.45π ωs2=0.65π , p=1dB, s=40 dB. • Ön bükmeyle karşılık gelen analog frekanslar hesaplanır:
• Bandgenişliği
olduğundan
olup çarpımlar eşit olacak şekilde band kenarlarının değiştirilmesi gereklidir. Seçilirse çarpımlar eşit olur.
YG, BG ve BS IIR Sayısal Filtre Tasarımı • Prototip alçak geçiren analog filtre için Ωs = 1 seçilip 0.577303 olacak
ilişkisinden
• O halde, analog alçak geçiren filtre karakteristikleri şöyle elde edilmiş oldu: Ωs = 1, Ωp = 0.4234126, p=1dB, s=40 dB. • Filtre tasarımında kullanılan MATLAB komutları ve komutlar çalıştırılarak elde edilen kazanç grafiği aşağıda verilmiştir.
YG, BG ve BS IIR Sayısal Filtre Tasarımı
IIR Sayısal Filtrelerin Spektral Dönüşümleri • Amaç: Verilen bir alçak geçiren sayısal transfer fonksiyonu GL(z)’yi alçak, yüksek, bandgeçiren veya bandsöndüren bir filtreye karşılık gelen diğer bir transfer fonksiyonu ye dönüştürmek. • Karışıklığı önlemek için prototip alçak geçiren filtrenin transfer fonksiyonunda bağımsız değişken için z, gerekli filtreninki için ise kullanılmıştır. • İki uzaydaki birim çemberler ve uzaylar arasındaki dönüşüm aşağıda gösterildiği şekilde olur:
IIR Sayısal Filtrelerin Spektral Dönüşümleri •
ilişkisinden,
elde edilir. O halde,
• Kararlı bir tüm geçiren transfer fonksiyonu A(z) şu koşulu sağlar:
• O halde, genel şekli aşağıda verilen kararlı bir tüm geçiren transfer fonksiyonu olmalıdır.
AG-AG Spektral Dönüşümü • c kesim frekanslı alçak geçiren bir filtre GL(z)’yi, kesim frekanslı diğer bir alçak geçiren filtre ye dönüştürmek için gerekli dönüşüm aşağıda verilmiştir:
• Formüldeki parametresi verilen frekanslardan şöyle hesaplanır:
• AG-AG spektral dönüşümü, YG-YG, BG-BG ve BS-BS spektral dönüşümleri için de kullanılabilir.
AG-AG Spektral Dönüşümü • Örnek: Kesim frekansı 0.25π olan aşağıda verilen sayısal alçak geçiren filtrenin transfer fonksiyonundan yararlanarak kesim frekansı 0.35π olan alçak geçiren filtrenin transfer fonksiyonunu elde ediniz.
• Dönüşüm için gerekli parametresi hesaplanır:
• O halde,
AG-YG Spektral Dönüşümü • c kesim frekanslı alçak geçiren bir filtre GL(z)’yi, kesim frekanslı bir yüksek geçiren filtreye dönüştürmek için gerekli dönüşüm aşağıda verilmiştir:
• AG-YG spektral dönüşümü, c kesim frekanslı yüksek geçiren bir filtreyi kesim frekanslı bir alçak geçiren filtreye dönüştürmek ve 0 merkez frekanslı bandgeçiren bir filtreyi merkez frekanslı bandsöndüren bir filtreye dönüştürmek amacıyla da kullanılabilir.
AG-YG Spektral Dönüşümü • Örnek: Kesim frekansı 0.25π olan aşağıda verilen sayısal alçak geçiren filtrenin transfer fonksiyonundan yararlanarak kesim frekansı 0.55π olan yüksek geçiren filtrenin transfer fonksiyonunu elde ediniz.
• Dönüşüm için gerekli parametresi hesaplanır: • O halde,
AG-BG Spektral Dönüşümü • c kesim frekanslı alçak geçiren bir filtreyi alt ve üst kesim frekanslı bandgeçiren filtreye dönüştürmek için gerekli dönüşüm aşağıda verilmiştir:
• Not: c =
-
durumunda dönüşüm basitleşir:
AG-BS Spektral Dönüşümü • c kesim frekanslı alçak geçiren bir filtreyi alt ve üst kesim frekanslı bir bandsöndüren filtreye dönüştürmek için gerekli dönüşüm aşağıda verilmiştir:
MATLAB ile Tüm Geçiren Fonksiyonun Üretilmesi [tumgecpay,tumgecpayda] = allpasslp2hp(wag,wyg) [tumgecpay,tumgecpayda] = allpasslp2bp(wag,wbg) [tumgecpay,tumgecpayda] = allpasslp2bs(wag,wbs)
% AG-YG % AG-BG % AG-BS
Örnek: AG-YG dönüşümünde wag= 0.25π ve wyg = 0.55π için [tumgecpay,tumgecpayda] = allpasslp2hp(0.25, 0.55) komutunun çalıştırılması sonucunda aşağıdaki dönüşümü elde edilir:
MATLAB ile Spektral Dönüşüm [pay,payda] = iirlp2hp(payag, paydaag, wag,wyg) [pay,payda] = iirlp2bp(payag, paydaag, wag,wbg) [pay,payda] = iirlp2bs(payag, paydaag, wag,wbs)
% AG-YG % AG-BG % AG-BS
Örnek: Kesim frekansı 0.25π olan aşağıda verilen sayısal alçak geçiren filtrenin transfer fonksiyonundan yararlanarak kesim frekansı 0.55π olan yüksek geçiren filtrenin transfer fonksiyonunu elde edelim
Gerekli MATLAB satırları şöyledir: payag=0.0662*[1 3 3 1]; paydaag=[1 -0.9353 -0.5669 -0.1015 ]; [pay,payda] = iirlp2hp(payag, paydaag, 0.25,0.55);
MATLAB ile Sayısal IIR Filtre Tasarımı Derece kestirim komutları:
Örnek: Aşağıdaki karakteristiklere sahip 2. tür Chebyshev sayısal yüksek geçiren filtrenin derceseni belirleyelim: Fp=1 kHz, Fs=0.6 kHz, p=1dB, s=40 dB, FT =4 kHz. İlk önce, verilen frekanslar [0,1] aralığına normalize edilmelidir. Verilen değerlerden ωp=2x1/4=0.5, ωs=2x0.6/4=0.3 bulunur. Daha sonra, [N,Wn]=cheb2ord(0.5, 0.3, 1, 40) komutunun çalıştırılması sonucunda N=5, Wn=0.3224 elde edilir.
MATLAB ile Sayısal IIR Filtre Tasarımı Filtre Tasarım Komutları:
Elde edilen transfer fonksiyonunun şekli b ve a vektörlerinin katsayılarına bakılarak aşağıdaki şekilde yazılabilir:
Transfer fonksiyonundan frekans yanıtını bulmak için freqz(b,a,w) komutu kullanılabilir. Komuttaki w, frekans yanıtının hesaplanmak istendiği açısal frekans değerleridir. Komutun çalıştırılması sonucunda her frekans değerinde sistemin frekans yanıtı elde edilir. Daha sonra, genlik ve faz yanıtı kolay bir şekilde belirlenebilir.
MATLAB ile Sayısal IIR Filtre Tasarımı Örnek: Aşağıdaki karakteristiklere sahip elliptik IIR sayısal alçak geçiren filtre tasarlayalım: Fp=0.8 kHz, Fs=1 kHz, p=0.5 dB, s=40 dB, FT =4 kHz. Verilen değerlerden ωp=2x0.8/4=0.4, ωs=2x1/4=0.5 bulunur. MATLAB komutları ve komutların çalıştırılması sonucunda elde edilen kazanç yanıtı aşağıda verilmiştir.
Bigisayar Destekli Sayısal IIR Filtre Tasarımı • Şimdiye kadar tartışılan IIR filtre tasarım algoritmaları AG, YG, BG veya BS genlik yanıtına sahip fitre gerektiren uygulamalarda kullanılmaktadır. • Diğer tür IIR filtrelerin tasarımı, bigisayarla üretilen filtre ile gerekli filtre arasındaki hatayı minimum yapan yinelemeli optimizasyon yöntemleri içermektedir.
• H(ej) bilgisayarla üretilen transfer fonksiyonu H(z)’nin frekans yanıtını, D(ej) gerekli frekans yanıtını belirtsin. Amaç, H(ej) ile D(ej) arasındaki hata minimum olacak şekilde H(z)’yi tasarlamaktır.
Bigisayar Destekli Sayısal IIR Filtre Tasarımı • H(ej) ile D(ej) arasındaki hata aşağıda gösterildiği gibi genelde ağaırlıklandırılmış bir hata fonksiyonu olarak belirtilir: • W(ej) önceden belirtilmiş pozitif bir ağırlıklandırma fonksiyonu olmak üzere, E(), 0 ≤ ≤ π aralığında her değeri için minimum yapılır. • Chebyshev veya minimaks ölçütü denen sıklıkla kullanılan bir yaklaşıklık ölçütü aşağıda gösterildiği gibi E()’nın mutlak tepe değerini minimum yapmaktır: • Eşitlikteki R, gerekli frekans yanıtının tanımlandığı 0 ≤ ≤ π aralığında kesişmeyen frekans bandları kümesidir.
Bigisayar Destekli Sayısal IIR Filtre Tasarımı • Filtreleme uygulamalarında, R tasarlanacak filtrenin gerekli geçirme ve söndürme bandlarından oluşur. Örneğin, alçak geçiren filtre tasarımında p ve s tasarlanacak filtrenin geçirme ve söndürme bandı kenar frekansları olmak üzere, R [0, p] ile [0, s] frekans aralıklarının birleşimidir. • En küçük-p ölçütü denen diğer bir yaklaşıklık ölçütü, E()’nın p. kuvvetinin integralini belirtilen frekans aralığı R üzerinde minimum yapmaktır:
Bigisayar Destekli Sayısal IIR Filtre Tasarımı • p = 2 için elde edilen en küçük kareler ölçütü genelde basitlik açısından tercih edilir. • p sonsuza gittiğinde en küçük-p çözümünün çözümüne yaklaştığı gösterilebilir.
minimaks
• Pratikte, integral hata ölçütü aşağıda gösterildiği gibi sonlu bir toplamayla yaklaşık olarak hesaplanır:
• Eşitlikteki i’ler 1 ≤ i ≤ K, yeterince sık miktarda alınmış sayısal açısal frekansları göstermektedir.
Sayısal IIR Filtrelerin Grup Gecikme Denkleştirmesi • Bir işaretin, verilen frekans aralığında sayısal bir filtreden bozunumsuz iletimi için filtrenin transfer fonksiyonu birim genlik yanıtına ve doğrusal faz yanıtına, yani ilgili frekans aralığında sabit grup gecikmesine sahip olmalıdır. • Şimdiye kadar tartışılan sayısal IIR filtre tasarım yöntemleri doğrusal olmayan faz yanıtlı transfer fonksiyonlarıyla sonuçlanır. • O halde, sabit grup gecikmeli sayısal IIR filtre etmek için pratik bir yaklaşım belirtilien genlik yanıtını sağlayan sayısal IIR filtre ile tüm geçiren bir filtreyi toplam grup gecikmesi sabit olacak şekilde seri bağlamaktır. • Tüm geçiren gecikme denkleştiricisi optimizasyon yöntemleri kullanılarak tasarlanır. Aşağıda bir yöntem verilmiştir.
Sayısal IIR Filtrelerin Grup Gecikme Denkleştirmesi • H(z), grup gecikmesi τH(ω) olan sayısal IIR filtrenin transfer fonksiyonu olsun. Amacımız, grup gecikmesi τA(ω) ve transfer fonksiyonu
olan tüm geçiren bir filtreyi, tüm geçiren filtre ile H(z) aşağıda gösterildiği gibi seri bağlandığında toplam grup gecikmesi τ(ω) = τH(ω) + τA(ω) sabit olacak şekilde tasarlamaktır.
• Kararlılığı garantilemek için aşağıdaki koşul da sağlanmalıdır:
Sayısal IIR Filtrelerin Grup Gecikme Denkleştirmesi • Tüm geçiren gecikme denkleştiricisi tasarım problemi şeklinde verilen hatanın maksimum mutlak değerinin minimum yapıldığı bir optimizasyon problemi olarak ifade edilebilir. • Hesaplanacak parametreler, gerekli gecikme τ0 ve tüm geçiren filtrenin katsayıları d1,l, d2,l’dir.
• MATLAB’de, bu optimizasyon problemi iirgrpdelay M-dosyası kullanılarak çözülebilir.
Sayısal IIR Filtrelerin Grup Gecikme Denkleştirmesi • Örnek: Geçirme bandı kenar frekansı 0.3π, geçirme bandı dalgalanması 1 dB ve söndürme bandı dalgalanması 30 dB olan 4. derece elliptik alçak geçiren filtrenin grup gecikmesini 8. derece tüm geçiren denkleştirici tasarlayarak denkleştirelim.
• Alçak geçiren filtrenin ve toplam sistemin grup gecikmeleri aşağıda gösterilmiştir:
