Segundo Año
Segundo Año
TEMA: RAZONES Y PROPORCIONES Razón
-
Donde: ( - * son los
o
2) En
una
proporción
7os términos medios son i!uales -
D
medi media a
reci ecien en
consecuentes'
can cantida tidad des
(dem.s: ( - D son los
los otros 2 términos'
medi medio o
de
una una
son
los
términos
diferencia o por medio de un cociente:
términos e/tremos - - *
a) Por Por Dif Difer eren enci cia: a:
son los términos medios'
9 – 6 = 3 razón aritmética
*lases
•
2)
8 2
=
4 1
=4
a)
razón
!eométrica
B
Proporción
"érminos de la razón:
antecedente 16
dife difere rent ntes es''
8
Proporción:
•
Es la comparación de dos razones
•
4 2
media !eométrica
Propiedades
•
de
las
proporciones !eométricas: al producto de los medios' 2) En
una una
prop propor orci ción ón
!eom eométri étrica ca
términos medios son i!uales
términos e/tremos - - *
2 términos'
a esto estoss térm términ inos os medi medios os
son los términos medios' *lases
•
de
proporciones !eométricas: #) Prop Propor orci ció ón
!eomét ométrrica ica
E0m': 4 – 5 = 5 – 3
dis discre creta: ta:
edia aritmética o diferencial
términos términos son diferentes diferentes''
Prop Propie ieda dade dess
de
las las
#) 7a suma suma de los los e/tre e/tremo moss es i!ual a la suma de los medios'
E0m' E0m'
12 3
"odos dos
=
16 4
sus sus
cada uno
de los términos se llaman +cuarta proporcional,'
como * es a D,
Aritmética
=
i!ual a la raz cuadrada de los otros
us us
!eométrica' ( – = * – D se lee: +( es a
4
(dem.s: ( - D son los
cont contin inua ua::
proporciones aritméticas:
Proporción aritmética:
medi media a
continua continua la edia 8eométrica 8eométrica es
i!uales% &ue pueden ser aritmética o #)
de
los consecuentes'
Proporción
diferencial'
consecuente
nom nomrre
#) El product producto o de los e/tre e/tremos mos es es i!ual i!ual
antecedentes - - D son
media media aritmé aritmétic tica a o media media
=2
D
se lee: +( es a
térm términ inos os
i!uales se les conocen como
antecedente
C
Dond onde: ( - * son son los los
arit aritmé méti tica ca consecuente
=
aritmética discreta: todos sus
)
#3 – #$ = 3
8
E0m':
como * es a D,'
son son
el
!eométrica o media proporcional'
Proporción A
E0m': #6 – 9 = ## – 1' •
dife difere renc ncia iall
!eométrica:
de
proporciones aritméticas: ) Por Por coci cocien ente te::
cont contin inua ua::
aritmé aritmétic tica a contin continua% ua% la
Es el resu resulltado tado de compa ompara rarr 2 por por
!eom !eomét étri rica ca
términos antecedentes - -
es 3 i!ual a la semisuma de
relación:
2) Prop Propor orci ción ón
Aritmética
3) ea a
=
b ⇒
c
⇒
a±b
d
a+c a−c
=
c±b
b =
b + d b − d
⇒
a ±b
d ⇒
a+b a−b
=
a =
c + d c − d
c ± d c
Segundo Año
PROBLEMAS PARA LA CLASE #) Dos nme nmeros ros son son entero enteross entre entre s 1 como 4 es a #3% si al menor se le suma #1$% para &ue el ;alor de la razón no se altere% el ;alor del otro nmero dee multiplicarse por 5'
*u.l >*u.l es su producto?' 3) En una una prop propor orci ción ón !eom !eomét étri rica ca contin continua ua los términ términos os e/trem e/tremos os son entre s como 1 a 9' i la suma de los términos de la primera razón es 1$' *u.ntas mu0eres @a-?' 6) e tiene una proporción !eométrica continua de términos -
Aritmética
Segundo Año
razón enteros' 7a suma de los e/tremos menos la suma de los medios es 215' i esta proporción se puede repr repres ese entar ntar
as: as:
a b
=
b c
'
En &ue relación est.n sus permetros% si sus .reas son i!uales?' 9) "res "res nme nmero ross m% n - p son son entre s como 9% #2 - 65 respecti;amente' i la cuarta propor proporcio cional nal de estos estos tres tres nmeros es 52$' >*u.l es la primera proporcional?'
#$) #$) i a cada cada uno uno de los los 1 términos de una proporción se le &uita una misma cantidad se otiene5 2$% 2% 32 - 11 respecti; respecti;ament amente' e' *u. >*u.ll es la rela relaci ción ón entre las mu0eres &ue no ailan - los @omres &ue no ail ailan an?' ?' Dar Dar como como respuesta la suma de los términos' #3) i saemos saemos &ue la media !eométrica de ( - es #% - &ue la suma de los otros dos términos es 15' >*u.l es el nmero ma-or?'
Aritmética
#1) >*u.l es la media proporcion proporcional al entre 19 - 1?' #5) En una serie de 3 razones !eométrica !eométricass continuas continuas e i!uales% i!uales% la suma de los antecedentes antecedentes es #14 - la suma de las 3 razones es 9B5'
A B
=
C D
*alcular:
=
A B
E F
+
-
C D
+
A ⋅ C ⋅ E B ⋅ D ⋅ F
E F
= 64
'
#4) Dos nmeros nmeros son entre s como #$ es a 9' i la suma de la mitad del ma-or - la tercera parte del menor es 42' *u.nto se dee sumar simult.neamente a 2% 3% #5 - 25% para &ue &ue cons consti titu tu-a -an n una una pro! pro!re resi sión ón !eométrica' #9) #9) i la medi media a aritm ritmét étic ica a de una una pro!resión pro!resión aritmética aritmética continua continua es la mitad de la primera diferencial' >*u.l es la tercera diferencial?' 2$) i se sae &ue la media !eométric !eométrica a es 5 - &ue la suma de los otros 2 términos es 26' >*u.l es el menor?'
Segundo Año
Segundo Año
una mu0er' >*u.ntas pare0as PROBLEMAS PARA LA CASA
se retiraron?'
#)
nme nmero ross ( - ente entero ross
a) $
) 6$
d) 9$
e) C'('
c) 4$
saiendo
21'
2) Dada ada la pro proporc porciión
b
=
c d
5) i
a
3
condición: (2 2 – ( =
7
1'
= - a = $'
b
' e
cumple &ue:
son
#2) #2) i
a2 b
2
=
4 9
%
b3 c
3
=
27 125
% si a c = 1'
&ue cumplen la si!uiente si!uiente
a) 4 ) #1 c) 25B21 d) 21B25 e) C'(' a
&ue
proporcio proporcionales nales a 1 - 5 -
la suma de sus términos e/tremos es a su diferencia como 25 es a
9)
a) 21
) 56
d) 4$
e) C'('
c) 3$
6) Dos Dos nmer nmeros os son son entr entre e s
>*u.nt >*u.nto o ;aldr. ;aldr. +a, cuando cuando +, sea
a) 1
)
d) #2
e) 22
#$) i i:
#3) #3) i +a +a2, es a +2, como 61 es a #'
m 1/ 2
=
c) #$
n 1/ 3
24?' a) # ) 21 c) #5 d) 24 e) 61
=
P
#1) 7a suma de 3 nmeros nmeros es #125$' #125$' El
1/ 5
primeros es al se!undo como ## a 3 -
a = #5
como 1 es a 4' i el menor
@allar +m, si m n p =
su difere diferenci ncia a es $$' $$' >*u.l >*u.l es el
c d = 25
es 1' >*u.l es el ma-or?'
62'
tercero?'
d = #6
a) $
) 1
a) 2$
) #1
d)
e) 9$
d) 3$
e)
a) 3 ) 6 c) #$ d) #5 e) #$
3) i
a b
=
c d
4) 7a razó razón n de 2 nme nmero ross es #4B#3 - su diferencia es 11'
- a'c' = 693'
>*u.l es el ma-or de estos nmeros?'
c' a) 15
) 53
d) 5$
e) 51
1) (
c) 6
una
fiesta
c) 52
concurren
1$$
personas asistiendo 3 @omres por cada cada 2 mu0e mu0ere res' s' i lue! lue!o o de 3 @oras por cada dos @omres @a-
)
a) #13
) #15
d) #4
e) #4
i
x 4
=
y 5
=
z 7
c) #44
) #
d) 1
e) C'('
##) ##) 7a edad edad de un @i0o @i0o es a la
) 5$$$ 5$$$
d) #25 25$
e) #245 #245$ $
c) #255 #255$ $
#5) En un proporción proporción !eométrica !eométrica continua continua
de su padre como 3 es a
cu-a
5' Dentro de 2$ aAos% la
proporcional es 21'
razón
es
2B3%
la
media
relaci relación ón de sus edades edades
las terceras proporcionales'
ser. como 5 es a 4'
a) 5$ ) 6$ c) 62 d) 52 e) 4$
>*u.nt >*u.ntos os aAos aAos tiene tiene el @allar @allar +-,
a) #$ ) 2$ c) 3$ d) 1$ e) 5$
c)
4 Aritmética
a) #$$$ #$$$$ $
@i0o?'
siendo / - z = 32' a) #$
c) 4
Aritmética
Segundo Año
TEMA: PROPORCIONALES -
Segundo Año
MAGNITUDES
ntroducció n: 7as cantidades cantidades &ue inter;iene inter;ienen n en una una situ situac ació ión n mate matem. m.ti tica ca son son ;alores F(R(7E cuando pueden toma tomarr di;e di;ers rsos os ;alo ;alore ress - son son *GC"(C *GC"(C"E% "E% cuando cuando tienen tienen un ;alor fi0o - determinado' a!nitude
-
s proporcionales: Dos ma!nitudes son proporcionales cuando cuando multiplican multiplicando do o di;idiendo di;idiendo una de ellas por un nmero% la otra &ueda multiplicada Ho ;ice;ersa) por el mismo nmero' Tipos:
-
a)
a!nitudes directamente proporcionales HDP): Dos ma!nitudes son DP si% cuando multiplicamos una de ellas por un nmero% la otra &ueda multiplicada por el mismo mismo nmero nmero'' "amié amién n ocurre si cuando di;idimos una de ellas por un nmero% la otra &ueda di;ida por el mimo nmero' E0m': # semana = 4 das 2 semanas = # / 2 semana = 4 / 2 das = #1 das
Aritmética
) a!n a!nit itud udes es in;e in;ers rsam amen ente te proporcionales HP): Dos ma!nitud ma!nitudes es son P si% cuando multiplicamos una de ellas por un nmero% la otra &ueda di;idida por el mismo nmero' "amién "amién ocurre si% cuando cuando di;idimos una de ellas por un nmer mero o% la otra tra &ued &ueda a multip multiplic licado ado por el mismo mismo nmero' E0m': E0m': 7a densid densidad ad es una propiedad propiedad de la materia &ue rela relaci cion ona a la masa masa de un cuerpo con el ;olumen &ue ocup ocupa a el mism mismo o cuer cuerpo po'' atem.tica atem.ticamente mente se ;e as: M D = donde donde +D, es la V
densidad +,% la masa - +F,% el ;olumen' (@ora ;e.moslo con nmeros: i = 1 - F = 2 D=
M V
=
4 2
=2
i = 1 - F = 2 / 2 = 1
D =
M V
=
4 4
pero = 1 % pero
como 2 ÷ 2 = #% oser;amos &ue como multiplicamos a +F, por 2% +D, terminó siendo di;idido
entre 2' Entonces podemos afirmar &ue +F, +D, +D, son son in;e in;ers rsam amen ente te proporcionales' (@ora% si en lu!ar de @aer multiplicado +F, por 2% lo @uiéramos @uiéramos di;idido di;idido entre 2: i = 1 - F = 2 ÷ 2 = # D
=
M V
=
4 1
R azón de proporcionalidad: iempre &ue dos ma!nitudes sean directamente proporcionales% la relación entre dos de sus cantid cantidade adess respec respecti; ti;as as es *GC"(C"E' "E' ( esta relación se le conoce como R(IJC DE PRGPGR*GC(7D(D' E0m': i 5K! de arroz cuesta cuestan n B' #$% entonc entonces es #$K! de arroz cuestan B'2$ - 3$K!% B'6$% - la relación entr entre e cada cada par par de esta estass
Aritmética
S / .10
5 Kg
K!
corr corres espo pond ndie ient ntes es
es
= S / .2 por
S / .20 10 Kg
por K!
= S / .2
S / .60 30 Kg
=
S / .2 por K!
7a razón de proporcionalidad es B'2 por Lilo!ramo'
= 4 pero 2
/2 = 1% entonces oser;amos &ue D &uedó multiplicado por 2% lo &ue coincide coincide con el concepto concepto de ma!nitud in;ersamente proporcional' -
cant cantid idad ades es constante:
Propiedades:
-
#) a)
Cotaciones:
2)
(
i ( α = directamen directamente te DP ≅ ( / proporcional' ) ( P ≅ ( #Bα #Bα = in;ersamente in;ersamente proporcional' DP
A B
= K
K =
constante' i ( P ( = M M = constante' 1) i ( P ( DP #B 5) 7as ma!nitudes directa e in;ersamen in;ersamente te proporcion proporcionales ales tienen tienen una una apli aplica caci ció ón inme inmedi diat ata a en prolemas de en!rana0es - ruedas: a) En!rana0es un u nidos po p or cadena: 3)
Segundo Año
Segundo Año
Este es un caso particular% puesto &ue a pesar de no tener el mismo tamaAo las ruedas% !racias a &ue amos est.n unidas por un e0e concéntrico% el nmero de ;ueltas &uedan son i!uales' HN;ueltasR#) = HN;ueltasR2) = constante m'
En este caso el nmero de ;ueltas de los en!rana0es HE) son P al nmero de dientes de cada en!rana0e' HN;ueltasE#) ' HNdientesE#) = HN;ueltasE2) ' HNdientesE2) = constante
B'36$' >*u.nto costar. un tele;isor cu-o tamaAo es de 2# pul!adas si consume +B1, de ener!a? 3)
1) ) con otro:
En!rana0es unidos uno #$
En este caso tamién se cumple la relación P entre los dientes - el nmero de ;ueltas HN;ueltasE#) HNdientesE#) = constantes c)
Ruedas unidas por e0e concéntrico:
Aritmética
PROBLEMAS PARA LA CLASE #) 7a ma!nitud ( es P a 2' 7as ;ariaciones de ( - est.n dados en la si!uiente tala de ;alores: ( 3a #11 6
c 2
5)
9 a
El precio de un tele;isor a color ;ara en forma DP al cuadrado de su tamaAo e P a la raz cuadrada de la ener!a &ue consume' i cuando su tamaAo es de #1 pul!adas - consume +, de ener!a su precio es de
6)
i ( - son dos ma!nitudes in;ersamente proporcionales% entonces si ( aumenta en sus 1B9' >En cuanto disminu-e ?' e sae &ue ( es DP a B e P a *2' i ( = 3 cuando = #6 - * = % calcular cuando ( = 6 * = 1' Dos en!rana0es est.n unidos por una cadena' i saemos &ue el primer ## en!rana0e !ira dando #$ ;ueltas por minuto - el se!undo en!rana0e !ira a 5 ;ueltas por minuto' >*u.ntos dientes tiene el se!undo en!rana0e si el primero tiene #5 dientes?' e conoce &ue +(, es DP a +,% +, es DP a +D, pero P a +E,% si la constante de proporcionalidad es K' >(
Aritmética
&ue sera i!ual +, en función de las dem.s letras?' 4)
*on la relación otenida en el prolema anterior% @allar K si es #$$% D es 25% ( es 1 - E es 34'
)
7a cantidad de dinero como premio &ue un futolista recie es directamente proporcional al cuo de los !oles &ue anota en cada partido' i en el ltimo partido anotó 1 !oles' >*u.nto dinero reciir.?' 7a constante de proporcionalidad es 5'
9)
aemos & ue l as d istancia & ue recorre un ferrocarril es in;ersamente proporcional al tiempo &ue demora en recorrerla' *alcular cu.nto tiempo se demora en recorrer #$$Km si para recorrer #2'5 Kms' se demoró #5 minutos' #2
#$)
aemos &ue la proailidad de aproar el curso de aritmética es directamente proporcional a las @oras &ue uno estudia e in;ersamente proporcional a los ner;ios &ue el alumno ten!a al rendir las pr.cticas' i Ouan estudiando 1 @oras al da teniendo una cantidad de ner;ios como 2 tiene 5$ de proailidades de aproar el curso' >*u.l ser. la proailidad de &ue (na apruee% si ella estudia 6 @oras al da - sus ner;ios son como 3?'
Segundo Año
##)
#2)
#3)
7a cantidad de o/!eno &ue se encuentra en el aire es in;ersamente proporcional a la altura Hmetros sore el ni;el del mar: m's'n'm') en la cual uno se encuentra' i 7ima se encuentra a #$$ m's'n'm' - tiene un ni;el de o/!eno del 96' *u.nto ser. la temperatura de otro da en el cual el nmero de alumnos sea 63% si la relación de aire &ue circula del primer se!undo da es como #5 es a #1 respecti;amente' 7a le- de o-le es una relación usualmente usada en la &umica en la fsica' Esta le- enuncia &ue la presión &ue e0erce un !as encerrado en un recipiente es in;ersamente proporcional al ;olumen &ue ocupa esta
Aritmética
Segundo Año
determinada cantidad de !as% siempre - cuando la temperatura permanezca constante' >( &ué presión est. sometido un !as si al disminuir esta presión en 6 unidades% el ;olumen aumenta en 3 ;eces su ;alor inicial?' #1)
#5)
7a constante uni;ersal de los !ases ideales HR) es una constante de proporcionalidad% muconocida en el mundo de la &umica% &ue aparece al relacionar la presión HP)% el ;olumen HF)% la temperatura H") - el nmero de moles Hn)' e sae &ue P D "% F DP n P P F' i adem.s se sae &ue P est. en atmósferas% F en litros% " en QK H!rados Kel;in) - n en mol' >En &ué unidades est. R?' na empresa de transporte realizó un estudio para conocer como aumentar sus !anancias mensuales estaleció &ue sus in!resos son directamente proporcionales al nmero de autouses &ue tiene% al nmero de @oras &ue traa0a la ruta de transporte e
in;ersamente proporcional al nmero de multas por infracciones de tr.fico &ue tienen &ue pa!ar' i el mes pasado% traa0ando #$ @oras diarias% contando con una flota de 19 autouses - teniendo &ue pa!ar 4 multas !anaron B'#$$$$' >*u.ntas multas tendr.n &ue pa!ar como m./imo% si este mes desean !anar al menos B'2$$$$ - para esto se @a ad&uirido un autos m.s - se ;an a traa0ar #1 @oras diarias?' #6)
i / e - son ma!nitudes directamente proporcionales se otienen los si!uientes#3 datos: / 2 a 5 1 6 e *alcular: 2b + c + 3a − 2
#4)
i ( - 2 son ma!nitudes in;ersamente proporcionales se otienen los si!uientes datos: ( # 1 E D 2
Aritmética
2
*alcular EBD #)
i se sae &ue ( - son DP completar: ( 1 25 #6 96 32
#9)
i se cumple &ue
AB CD
= K
donde K es una constante' >*u.ntas afirmaciones son falsas?' a) ( es DP a ) ( es DP a #B c) D es DP a d) ( es DP a #BD e) (/ es DP a */D
2$) a) ) c) d) e)
i ( es P a #B entonces: *uando ( aumenta% aumenta' *uando ( aumenta% disminu-e' *uando ( disminu-e% disminu-e' .s de una C'('
Segundo Año
Segundo Año
e) C'(
PROBLEMAS PARA LA CASA #) El !asto mensual de una familia es#1 DP al dinero &ue separa para la recreación% la ;ariación de la inflación - es in;ersamente proporcional al a@orro asi!nado a ese mes' i en aril el recreo fue como 2$% la inflación como #$% el a@orro como 2% por lo &ue el !asto fue de S#5$$' >*u.l deer. ser el !asto de ma-o si la recreación es como 25% la inflación es como el a@orro es como 3?' a) S#$$$ ) S 3$$ c) S 1$$ d) S 5$$ Aritmética
2) 7a ;ida til de un artefacto electrodoméstico es directamente proporcional a la calidad del producto - al mantenimiento anual &ue se le da de forma in;ersamente proporcional al tiempo de uso &ue tiene' i el faricante considera a su marca con un calificati;o de 4 - afirma &ue si se realiza 3 mantenimientos al aAo% el artefacto% &ue a@ora tiene 4 meses de uso durar. 6 aAos m.s' >*on &ué nmero calificara el faricante a otro artefacto de la misma marca &ue recomiendan @acerle mantenimiento 1 ;eces al aAo - tiene meses de uso su ;ida til es de aAos m.s?' a) ) 6 c) 4 d) 9 e) #$ 3) i / e - son ma!nitudes directamente proporcionales - se otienen los si!uientes datos: / 9 a ##4 #1 # 3 - 4 # c 3 *alcular a c a) #49 ) #9 c) #99 d) #$ c) #9$ 1) i se tiene el si!uiente !r.fico:
6) El ;olumen de un cilindro es directamente proporcional a su altura - al cuadrado del radio de su ase' i la altura inicial es multiplicada por 1' >*u.nto ser. su radio final% si no &ueremos &ue el ;olumen ;are?' a) El dole ) 7a mitad c) 7a tercera parte d) El triple e) 7a cuarta parte
c)
5) 7a posiilidad de &ue un alumno in!rese a la uni;ersidad de su preferencia es directamente proporcional a la edad &ue tiene cuando postula a la misma a los ner;ios &ue tiene Hin;ersamente proporcional) - es d'p' al tiempo en meses &ue lle;a estudiando en una academia' i Pedro% &ue tiene # aAo en la academia% tiene # aAos sus ner;ios son como 1% tiene # de posiilidades de entrar' >*u.l ser. la#5 posiilidad de &ue entre Palo% si tiene #6 aAos% lle;a #5 meses en la academia - sus ner;ios son como 5?' a) 42 ) 62 c) 11 d) 9# e) #$$ Aritmética
4) El ;olumen de un cuo es directamente proporcional al cuo de la arista del mismo' i cuando la arista es 5% el ;olumen es #25' >*u.nto ser. el ;olumen cuando la arista sea 6?' a) #11 ) 225 c) 2#6 d) ##5 e) C'(' ) e sae &ue +(, es directamente proporcional a la raz cuadrada de +, e in;ersamente proporcional a +*,' i ( es #111% * es 1 - la constante de proporcionalidad es 1'
) 2 c) 3 e) C'('
9) Dos ruedas unidas por un e0e concéntrico !iran dando 1$ ;ueltas por minuto' 7a rueda m.s !rande% &ue tiene 5$ dientes% est. unida a otra rueda por medio de una fa0a de la si!uiente manera'
i esta rueda tiene 2$ dientes >( &ué ;elocidad !ira?'
Segundo Año
a) 2$$ ;ueltas por minuto 5$;Bm c) #$$;Bm d) #5$;Bm 25$;Bm
Segundo Año
) e)
#$) i +(, - +, son in;ersamente proporcionales tal &ue cumplen el si!uiente cuadro: ( 9 36 V 1 / # #2 *u.nto dinero reciir. si reco!e 36$$ personas traa0ando #$ @oras?' a) B'#$$$$ ) B'5$$$$ c) B'36$$$ d) B'#$$$ e) B'5$1$$ #2) i ( es directamente proporcional a 2 C pero in;ersamente proporcional a E - W' >*ómo se puede e/presar +*,?' K es la constante de proporcionalidad' AEF A2 E 2 F 2 a) ) 2 KB K 2 B 4 #6 K 2 B 4 c) (EWK2 d) 2 2 2 A E F e) C'(' #3) Dado / e - tal &ue /B- = constante% se puede afirmar: a) on DP ) on P Aritmética
c) cuando / aumenta% aumenta d) a - c e) - c #1) i el ;olumen de una esfera es
4
R3 % donde R = radio
π
3
de la esfera - π = 3'#1#6' e puede afirmar: a) Folumen DP R' ) Folumen DP R3 c) Folumen DP π d) a-c e) C'(' #5)
Concepto: Es la re!la en la cual a una cantidad se le reparte en otras% con las cuales es directa o in;ersamente proporcional% de tal manera &ue formen serie de razones i!uales' C!ses: Directo #) Reparto simple n;erso 2) Reparto compuesto #'#) Reparto simple directo: e da cuando las partes Hndices o factores de reparto) son directamente proporcionales a a&uellas partes en &ue se di;ide cierta cantidad' E0emplo: Repartir 6$$ en 3 • partes proporcionales a 1 4 9' olución: ean las partes ( * donde: ( * = 6$$' A 4
TEMA:
REPARTO
PROPORCIONAL Objetivo: Repartir una cierta cantidad en partes &ue sean proporcionales a determinadas cantidades Hndices del reparto)'
=
B 7
(
=
C 9
= K
= 1K = 4K * = 9K lue!o 2$K = 6$$ donde K = 3$' #4 Entonces las 3 partes son: ( = 1H3$) = #2$ = 4H3$) = 2#$ * = 9H3$) = 24$'
Aritmética
#'2) Reparto simple in;erso: e da cuando los ndices del reparto son in;ersamente proporcionales a las partes en &ue se di;ide la cantidad' E0emplo: Repartir 4$ en 3 partes in;ersamente proporcionales a 6 9 - #2' olución: Partes P DP A
780 B
C
6
1/ 6
9
1/ 9
12
1 / 12
lue!o:
6( = 9 = #2* = K 2( = 3 = 1* * H69#2) = 36 36 = 6K = 1K = 3KB#3 K = 4$B#3 = 6$ las partes son: ( = 6H6$) = 36$ = 1H6$) = 21$ * = 3H6$) = #$ Obse"v!ciones: En reparto in;erso% a&uella parte &ue tiene el ma-or ;alor tiene el menor ndice ;ice;ersa' #$ Rep!"to co%p&esto: Es la clase de reparto en donde las partes de un N son directa -Bo in;ersamente proporcionales a los ndices del reparto' E0emplo: Repartir 2225 en 3 partes &ue sean DP a los nmeros 3 5 - % e P a los # nmeros 1 6 9' Partes DP P DP
Segundo Año
Segundo Año
A 2225 B C
3
4
1/ 4
5
6
1/ 6
8
9
1/ 9
>*u.nto ;aldr. cuando ( = 2D - D = 1*?' 3) i el tiempo &ue demora un planeta en dar la ;uelta al sol es DP al cuo de la distancia entre el sol - el planeta e P al peso del planeta' >*u.nto tiempo demora un planeta de dole peso &ue el de la tierra en dar la ;uelta al sol% si la distancia &ue lo separa del sol es el dole &ue el de la tierra?'
i: ( DP DP * DP
3 1 / 4
5 1/ 6 8 1/ 9
(
DP Y
DP 5B6
*
DP B9
7ue!o: * H169) = 36 3
( DP
3
4
6
36 8
* DP
24K
6
5
DP
( DP 24 ( =
9
36
DP 3$
= 3$K
2225 = =9K
*
DP 32 * = 32K
K = 2225B9 K = 25 ∴ las partes son:
( = 24H25) = 645 = 3$H25) = 45$ * = 32H25) = $$
PROBLEMAS PARA LA CLASE: #) ( es DP con 2 e P a C cuando ( = 1 = - * = #6 @allar ( cuando = #2 - * = 36' 2) +(, ;ara proporcionalmente a +, al cuadrado de +*, e in;ersamente proporcional a +D,' i cuando ( = = 5 - * = 1 entonces D = 2' Aritmética
1) "res @ermanos se reparten una @erencia en la cual dos de ellos% de # - 32 aAos% discuten si el reparto dee ser dp o ip a sus edades para solucionar este percance piden su opinión al tercero% &uien contestó +me da i!ual,' Determinar la @erencia si al primero le corresponde B'942$% siendo +/, la edad del tercer @ermano' 5) Repartir 46 en forma DP a los nmeros 2 4 - 3' Dar como respuesta la suma de cifras de la cantidad ma-or' 6) Repartir 913 en forma directamente proporcional a los nmeros 4 - 3 e in;ersamente proporcional a los nmeros 2 - 5' Determinar al ma-or de estos nmeros'
4) (ndrés desea repartir una @erencia de 45$$ soles entre sus 3 sorinos% tal &ue el reparto sea directamente proporcional a sus edades &ue son 5 4 #3 aAos% respecti;amente' la ale!ra de la fiesta se duplicara ó ser. la mitad? #$) i ( - * son DP con >Mué pasa con ( cuando * aumenta en T de su Aritmética
#9#
;alor - disminu-en en U de su ;alor?' ##) 7a capacidad de un condensador es directamente proporcional a su lon!itud +7, e P a su sección +(, >Mué sucede con la capacidad si +7, se @ace la tercera parte - +(, se @ace la se/ta parte?' #2) 7a duración de un ;ia0e por ferrocarril es directamente proporcional a la distancia e in;ersamente proporcional a la ;elocidad' ( su ;ez% la ;elocidad es in;ersamente proporcional al nmero de ;a!ones del tren' i un tren de 2$ ;a!ones recorre 3$Km en media @ora' >*u.ntos Kms' puede recorrer un tren de #$ ;a!ones en #$ minutos?' #3) Descomponer #4# en 3 partes proporcionales a 122 23 - 562' Dar como respuesta la suma de las cifras de la parte ma-or' #1) Repartir #3$ en 3 partes% tal &ue la primera sea a la se!unda como 2 es a 3 - &ue ésta sea a la tercera como 5 es a 4' >*u.l es la cantidad menor?' Dar como respuesta la suma de sus cifras' #5) Ouan% *ésar - artn recien propinas semanales% en forma proporcional a sus edades: #1 #4 - 2# aAos% respecti;amente - se oser;a &ue los dos menores 0untos recien 1$3$ unidades monetarias' >( cu.nto asciende la propina de artn?' #6) e reparten #$$ caramelos en forma directamente proporcional a m2% 2m -
Segundo Año
# tal &ue +m, es un nmero natural' i la ma-or cantidad al @acer el reparto es 61' *u.l ser. la ma-or de las partes si el reparto se @uiera @ec@o en forma in;ersamente proporcional a los mismos nmeros?' #) e reparten B' 65$$ entre 3 personas% en forma directamente proporcional a los nmeros: a a2 a3' i el menor recie B'5$$' >*u.nto recie el ma-or?' #9) e desea repartir cierta cantidad de modo proporcional a 3 nmeros consecuti;os si el reparto se @iciera proporcionalmente a los s!ts' 3 nmeros consecuti;os' >*ómo ;ara la se!unda parte respecto de la primera?' 2$) 7as edades de 4 @ermanos son nmeros consecuti;os' i se les reparte una suma de dinero en forma proporcional a sus edades% el menor recie la mitad del ma-or - el tercero recie millones' >*u.l es la cantidad repartida?' PRG7E( P(R( 7( *((: 2$ #) Repartir 45$ en forma proporcional a 3 16 a 3 3 54 3 128 ' i la primera parte m.s la ltima suman 6$$% @allar el ;alor de +a,' a) 5 ) 1 c) 3 d) 2 e) # Aritmética
Segundo Año
2) (l repartir B'54$$ entre 3 persona (% - *% se @ace un reparto en partes directamente proporcional a 3 nmeros consecuti;os en orden creciente' 7ue!o del reparto se otiene &ue #B5 de lo &ue le tocó a m.s lo &ue le tocó a ( @acen lo &ue le tocó a * >*u.nto le tocó a esta ltima persona?' a) B'2$4$ ) B'2$6$ c) B'24$ d) B'2$9$ e) B'216$ 3) e @ace un reparto numérico en 3 partes de tal manera &ue sean proporcionales al nmero - sean entre s como 4 6 - 5 respecti;amente' 7ue!o se @ace el reparto del mismo nmero en partes proporcionales a los nmeros 6% 5 - 1% a;eri!uar el ;alor del nmero% si en el nue;o reparto una de las partes es ma-or en #2$$ a su ;alor sur!ido del primer reparto' a) #$$$$ ) ##$$$$ c) ##2$$$ d) ##1$$$ e) ##6$$$ 1) n nmero se reparte en 3 partes Dp a #5 #3 - #4 e P a 5 39 5% respecti;amente' (dem.s% la
primera parte m.s #$$ es a la parte &ue le toca a m.s la de * como 6 es a #'
de #5 @oras - 3$ minutos% @allar la distancia PQ ' a) #5$Km ) #$Km c) 2#$Km d) #6$Km e) 2$$Km' 4) na de las partes producto de un reparto de una suma +s, de modo in;ersamente proporcional a 3 5 - #2 es ### menos &ue su ;alor si el reparto fuese @ec@o en forma directamente proporcional' En cu.nto e/cede el ;alor del nmero P a #2 en el reparto?' a) B'#2$ ) B#5$ c) B'21$ d) B' 2#$ e) B'#9$ 9) i to empezó un ne!ocio% a los 9 meses admitió a un socio -% 3 meses después de éste% entró otro socio' *ada uno de ellos aportó la misma cantidad en el ne!ocio' i éste duró #6 meses - la utilidad total fue de # mil soles >*u.nto le tocó a cada uno?'
Segundo Año
a)
Segundo Año
1 mil 2# mil% #2 mil
)
1$ mil 29 mil #2 mil
c)
15 mil 21 mil #2 mil
d)
5$ mil #9 mil #2 mil
e)
5$ mil #5 mil #6
cuadrados correspondientes de los ndices de reparto% de tal manera &ue e/iste una diferencia de 1$ en lo correspondiente al primero' >*u.l es el nmero?' a) 25$$ ) 6#$ c) 5$$ d) 5# e) ##51
mil #$) Repartir 95$ soles entre claudio% Pa;el - 7inus% de tal manera &ue la parte de *laudio sea a la de Pa;el como 1 es a 3 - la de Pa;el% a la de 7inus como 6 es a 5' >*u.nto recie Pa;el?' a) 2$ ) 1$$ c) 3$$ d) 24$ e) 32$ ##) Dos niAos% &ue lle;an respecti;amente 5 - 3 panes% se encuentran con un mendi!o comparten con éste los panes en partes i!uales' i el mendi!o pa!ó monedas por los panes' >*u.l es el reparto de dic@as monedas entre los 2 niAos?' a) 5 - 3 ) 6 - 2 c) 4 - # d) 1 - 1
#3) "res personas se reparten una !ratificación en partes proporcionales a sus sueldos% &ue son $$ #$$$ #1$$ soles' Después ellos deciden @acer el reparto por partes i!uales% as el 3Q entre!a mil soles al se!undo - cierta cantidad al primero' >*u.l fue el ;alor de la !ratificación?' a) B' 4$$$ ) B' 51$$$ c) B'96$$$ d) B'1$$$ e) C'('
#1) Del prolema anterior' >*u.l es la cantidad &ue el tercero dee dar al primero?' a) B'3$$$ ) B'35$$ c) B'1$$$ d) B'15$$ e) B' 5$$$ #5) Repartir #29$$$$ en 3 partes: ( - * en forma DP e P% respecti;amente% se!n el si!uiente es&uema: Partes DP DP P ( #5 $ 1$ #2 9$ 3$ * #$ 4$ 35 >*u.l es la parte ma-or? a) 51'#$1 ) 61'#$1 c) 5'#$1 d) 42'#$1 e) 52'#$1
7a re!la de compaAa presenta 2 casos: Re!la de compaAa
e) C'('
#2) e reparte un nmero de 2 formas: una en forma DP a los nmeros 3 1 - 4 la otra% en forma DP a los Aritmética
TEMA: REGLA DE COMPA'(A 7a re!la de compaAa es23un caso 21 particular del reparto proporcional% por lo &ue no ser. difcil entenderlo' 7a re!la de compaAa consiste en repartir las !anancias Ho pérdidas) de una compaAa donde in;irtieron un cierto nmero de personas Hsocios) una cierta cantidad de dinero Hcapital)% en un determinado tiempo' El capital - el tiempo de in;ersión resultan siendo directamente proporcionales a la !anancia Ho pérdida)' *apital Hdólares% soles% etc') D'P 8anancia "iempo Hdas% meses% aAos)
imple compuesta Aritmética
8anancia D'P' "iempo Segundo Año
Segundo Año
por lo tanto se repartir. D'P' al capital &ue in;irtió cada uno' "iempos i!uales *apitales i!uales )$ Re*! +e co%p!,-! si%pe: Es a&uella en la &ue los capitales o los tiempos de in;ersión son i!uales Hconstantes)' e pueden considerar% por lo tanto% dos casos: A$
Tie%pos i*&!es: En este caso el tiempo en &ue los socios deen in;ertir su capital es el mismo para cada uno de ellos Htiempo constante)' Por este moti;o% el reparto de la !anancia Ho pérdida) de la sociedad se realiza de una forma directamente proporcional al capital in;ertido por DP cada uno de8anancia los socios' capital "iempos !uales
Eje%po: "res socios forman un ne!ocio Hsociedad) por 1 aAos' El primero in;ierte B'4$$ el se!undo B'5$$ - el tercero% B'6$$' "ranscurrido ese tiempo otu;ieron B'51$$ de !anancia' >*u.nto le corresponde a cada uno de ellos?' olución: *omo el tiempo es i!ual para cada socio% se trata de un caso de compaAa simple a tiempos i!uales% Aritmética
a=
× 700 = S / .2100 700 + 500 + 600
=
× 500 = S / .1500 700 + 500 + 600
c=
5400
5400
× 600 = 700 + 500 + 600 5400
S / .2100
Rpta': El primero !ana B'2#$$ el se!undo% B'#5$$ - el tercero !ana B'#$$' B$
C!pit!es i*&!es: En este caso el capital &ue dee in;ertir cada socio es el mismo para cada uno de ellos Hcapital constante)' Por lo tanto el reparto de la !anancia Ho pérdida) de la sociedad se realiza de una forma directamente proporcional al tiempo en 8anancia D'P' &ue cada socio in;ierte su "iempo capital' *apitales !uales
2) Re!la de compaAa compuesta: Es a&uella en la &ue los capitales o los tiempos de
in;ersión son DWEREC"E H;ariales)' En este caso se reparte la !anancia Ho pérdida) en partes directamente proporcionales a los productos de los capitales por los tiempos' Obse"v!ci.n: e dee tener cuidado con las unidades en &ue se e/presa el tiempo' i se encuentra en aAos% todas deen estar en aAos si est.n en meses% todas deen estar en meses% etc' E0emplo: "res ami!os de la uni;ersidad se asocian para crear un ne!ocio' El primero in;ierte B'5$$$ durante 3 aAos el se!undo% B'1$$$ durante 2 aAos - el tercero in;ierte B'3$$$ por meses' i @a- una !anancia de B'#$$$$' >*u.nto le corresponde a cada uno? olución: B'5$$$ / 36 meses = B'#$$$$ por un mes' B'1$$$ / 21 meses = B'96$$$ por un mes Aritmética
B' 3$$$ / meses = B' 21$$$ por un mes (@ora se reparte el eneficio H!anancia) de B'#$$$$ en partes directamente proporcionales a estos productos' a=
× 180000 = S / .6000 + 96000 + 24000
10000 180000
=
× 96000 = S / .3200 180000 + 96000 + 24000 10000
c=
× 24000 = S / .800 180000 + 96000 + 24000 10000
25 Por lo tanto% la !anancia se distriu-e as: el primero recie B'6$$$ el se!undo% B'32$$ - el tercero B'$$' [ *aso especial de la re!la de compaAa en &ue los capitales son ;ariales'Z En este caso el capital impuesto permanece constante solo por un tiempo% puesto &ue a dic@o capital se le e0ercen aumentos o descuentos &ue lo ;aran - &ue permanecen en una transacción comercial durante un tiempo' E0emplo: ( - * se asocian para un • ne!ocio &ue dura 2 aAos' ( impone 2$$$ soles -% meses después% aona #5$$ soles m.s' El se!undo aporta al ne!ocio 5$$$ soles% - al cao de un aAo saca la mitad de su aporte' El tercero coloca al inicio unos
Segundo Año
25$$ soles% pero pasados 5 meses e/trae #$$$ de su aporte -% 2 meses después% a!re!a 5$$ soles' i el ne!ocio re!istra una pérdida de 5$$ soles >*u.nto pierde cada uno?'
Segundo Año
capita 500
× 72000
211500
= S / .170
:
ganancia
dp'
10
var iabe ( o perdida )
47
capita aportado tiempo de × por cada !ocio aportacio
= 36 × 9000 = S / .212 47 + 90000 + 49500
500
olución: [ *aso de (: 2$$$ H meses) = #6$$$ soles por un mes' 35$$ H#6 meses) = 56$$$ soles por un mes' 2$$$ soles del inicio #5$$ mas de aporte' 7ue!o% el aporte de ( ser.: B'#6$$$ B'56$$$ al mes = 42$$$ soles' [ *aso de : B'5$$$ H#2 meses) = 6$$$$ soles por un mes' B'25$$ H#2 meses) = 3$$$$ por un mes' (porte de = 9$$$$ soles por un mes' [ *aso de *: B'25$$ H5 meses) = #25$$ soles por un mes' B'#5$$ H2 meses) = 3$$$ soles por un mes' B'2$$$ H#4 meses) = B'31$$$ por un mes' (porte de * = B'195$$ por un mes' a=
× 72000 = + 90000 + 49500
500 72000
Aritmética
72000
c
= 1 × 49500 = S / .117 47 + 90000 + 49500
pérdida total sur!ida del ne!ocio es de B'421$' >*u.nto pierde cada uno?' 2) *uatro socios imponen 25$$ 3$$$ 15$$ - 6$$$ soles% respecti;amente% en un ne!ocio% el cual duró 5 aAos' i el ne!ocio re!istra una pérdida de B'#2$$' >*u.nto le corresponde perder a cada uno?'
500 72000
Reparto de la pérdida HB'5$$) en partes DP a las sumas de cada uno' Por lo tanto: El primero pierde B'#4$#$B14 el se!undo% B'2#236B14 el tercero% B'##4#B14' Obse"v!ci.n: El capital impuesto por cada socio% dentro de una operación comercial% es ;ariale Hdiferente) por lo tanto% el reparto de la !anancia -Bo pérdida es DP al producto del capital aportado por cada socio en el tiempo &ue @a durado dic@a imposición H&ue tamién es distinto para cada socio de la transacción)
3) Dos socios imponen B'5$$ - B'35$% respecti;amente% a un ne!ocio &ue dura unos 1 aAos' >*u.nto corresponde a cada uno de una !anancia total de B'25$?'
26
PROBLEMAS PARA LA CLASE: #) "res personas aportan B'6$$$$ por partes i!uales en un ne!ocio de 2 aAos de duración' El primero aAade #5$$ soles al aAo si!uiente de iniciada la operación cuatro meses después retiró B'5$$$ el se!undo a los meses aAadió B'1$$$ - 5 meses después% otros B'2$$$ el tercero: ( los #1 meses retiró B'56$$' i la Aritmética
1) "res ami!os se asocian imponiendo: el #Q) B'25$$% el 2Q) la mitad 24 de lo &ue 2 puso el primero mas B'6$$ el tercero% 1$$ soles menos &ue los dos anteriores 0untos' (l cao de 3 aAos ellos se reparten un eneficio de #66$$ soles' >*u.ntos le toca a cada uno?' 5) *inco comerciantes del emporio comercial de 8amarra decidieron unir sus ne!ocios - for0aron una sociedad en donde el primero de ellos impone B'5$$ el 2Q) B'2$$ m.s &ue el primero el 3Q) B'2$$ m.s &ue el se!undo - as% sucesi;amente% los dem.s' i la pérdida total de la
Segundo Año
sociedad fue de B'6$$' >*u.nto pierde cada uno?' 6) 7os cuatro miemros de la empresa comercializadora +*arta!o, deciden e/plotar la industria maderera colocando una sucursal en Rio0a Hpro;incia del dpto' de an artn) durante 1 aAos% lo!rando reunir #$$$$ soles de los cuales el #Q pone B'35$$ el 2Q% 25$$ soles el 3Q% la mitad de lo &ue puso el primero - el 1Q lo restante' i al final de los 1 aAos% la !anancia otenida en la e/plotación maderera fue de B'5$$'$$$ >*u.nto le toca a cada uno?' 4) Karl Paulin! - Oo@n Da@l eran 2 ami!os suecos desde la infancia &ue no se @aan ;isto en #1 aAos' *uando se reencuentran% deseosos de poner en pr.ctica sus conocimientos ad&uiridos en la uni;ersidad un instituto comercial% respecti;amente% deciden poner un ne!ocio en el cual% entre el aAo 2$$$ - 2$$#% !anaron amos B'#2$$ cada aAo% siendo Karl el dueAo de las Y partes del ne!ocio% en el 2$$$% Oo@n% del resto% a pesar de &ue% en el aAo 2$$#% Karl era dueAo de los 2B6 del ne!ocio - Oo@n del resto% por&ue el primero ;endió al 2do Aritmética
Segundo Año
una parte del ne!ocio' i el ne!ocio tu;o uena administración por amos durante el tiempo donde este se dio% @allar la !anancia total de cada socio en los dos aAos' ) "res parientes entre s deciden poner un ne!ocio imponiendo% respecti;amente% B'9$$% 'B$$ - B'45$' i al cao de un aAo% el primero de los mencionados recie como !anancia B'#$' >*u.nto @an !anado los otros dos?' 9) Reuniendo un capital inicial de B'#$$$$ por partes i!uales% tres socios estraté!icos% empleados de acLus - la corporación 8raAa - ontero% deciden lue!o de lar!as ne!ociaciones poner un ne!ocio independiente durante 2 aAos' El primero de ellos se retira a los 3 meses% el se!undo% a los meses - 2$ das de iniciada la sociedad - el tercero permaneció todo el tiempo' i @a- una pérdida total de B'32#$% determinar la
pérdida correspondiente a cada socio' #$) (elardo% elisario% *arlos Dionisio deciden emprender una sociedad durante 1 aAos para ello estos 1 comerciantes e/portadores de ropa deieron reunir 21 mil soles por partes i!uales' El primero @a estado en el ne!ocio durante 3 aAos el se!undo% durante 2 aAos 4 meses% el tercero% durante #1 meses - el cuarto% aAo - medio' i la !anancia neta fue de 693$ soles' >*u.nto le toca a cada uno?' ##) e @a realizado un eneficio de B'56#$ soles en un ne!ocio en el &ue @an inter;enido dos indi;iduos% in!enieros empresariales por la Real% Pontificia a-or ni;ersidad de an Wrancisco Oa;ier de *@u&uisaca% en anta *ruz% oli;ia' El ne!ocia @a durado unos 3 aAos' El primero de ellos comienza con un capital de $$$ soles% a los 4 meses retira Aritmética
la mitad de su capital -% 2 meses mas tarde% a!re!a B'2$$$' El se!undo% &ue empezó con B'6$$$% al aAo doló su capital -% 5 meses mas tarde% retiró 1$$$ soles' >*u.l es la !anancia de amos?' #2) Dos indi;iduos emprenden un ne!ocio durante un aAo' El primero empieza con B'5$$ -% 4 meses después% aAade B'2$$ el se!undo empieza con B'6$$ -% 3 meses después aAade 3$$ soles' >*u.nto corresponde a cada uno% de un eneficio de B'33?' #3) *inco ami!os desde la infancia% &ue estudiaron 0untos - traa0aron durante 6 aAos en la misma empresa% deciden poner un ne!ocio' El primero impone B'2$$$ por 2 aAos 1 meses el se!undo B'25$$ por los 3B4 del tiempo anterior% el tercero% B'3$$$ por los 5B6 del tiempo del se!undo% el cuarto por Y de aAo'29*u.nto !anar. cada uno?' #1) De los tres parientes &ue constitu-en una sociedad% el primero permaneció en la misma durante un aAo el 2Q% durante 4 meses m.s &ue el primero el tercero% durante meses m.s &ue el se!undo' El primero puso B' $$ el se!undo% B2$$ m.s &ue el primero -% el tercero% B'1$$ menos &ue el
Segundo Año
se!undo' i @a- un pérdida de B'221 soles' >*u.nto pierde cada uno?' #5) *uatro comerciantes asociados una industria @an impuesto el #Q) B'3$$ mas &ue el tercero% el 2Q B'1$$ mas &ue el cuarto el 3Q) 5$$ soles m.s &ue le se!undo - el 1Q) 2$$$ soles' El primero permaneció en la industria durante aAo - medio% el 2Q por #Y aAos% el 3Q por 2T aAos - el 1Q por 2Y' i @a- &ue repartir una !anancia de B'135$' >*u.nto corresponde a cada uno?' #6) "res socios &ue laoran en sus puestos del presti!ioso *entro *omercial +El *u.l es el eneficio de cada uno?' #4) "res profesores del *ole!io +anuel corza, renen B'25$$$% de los cuales el primero @a impuesto B'$$$ el se!undo% B'3$$$ m.s &ue el primero - el tercero% lo restante' El primero estu;o en el ne!ocio por meses% Aritmética
Segundo Año
el se!undo por 3 meses - el tercero por 3 meses' i @a&ue afrontar una pérdida de ##13 soles% determinar la pérdida de cada profesor' #) Para e/plotar industria petro&umica% tres catedr.ticos de la Wacultad de n!eniera de Petróleo de la ni;ersidad Cacional de n!eniera HC) deciden formar una alianza estraté!ica entre ellos% imponiendo: el primero% B'3$$% el se!undo B'2$$ mas &ue el primero - el tercero B'#$$ menos &ue los dos anteriores 0untos' i el primero estu;o en el ne!ocio durante 3 aAos% el se!undo por 1 aAos - el tercero por 5 aAos' >*u.nto de eneficio le corresponde a cada uno?' El eneficio fue se B'11?'
soles durante 6 meses la 2Q% 1$$$ soles durante meses - la 3Q% 6$$$ soles durante #$ meses' (l finalizar la operación otu;ieron una !anancia de B'52$$' >*u.nto le corresponde a cada socio?'
2$) "res personas se alan aportando: la primera 2$$$
2)
"res ami!os efectan un ne!ocio imponiendo: El #Q)% B'5$$ el 2Q)% B'6$$ - el 3Q)% B'$$' n aAo después tienen un eneficio de B'35$ - ;enden el ne!ocio por B'25$$ soles >*u.nto !ana uno de los socios?' a) 5$$ ) 1$$ c) $$ d) 6$$ e) 4$$
3)
"res socios &ue @aan interesado 25$$$ soles el primero 21$$$ soles el se!undo - #6$$$ soles el tercero% tienen &ue repartirse una pérdida de #95$$ soles' >*u.nto &ueda a cada uno?' Dar como respuesta3# la suma de las cifras del se!undo' a) ## ) #1 c) #2 d) #5 e) #3
1)
*uatro ami!os @an !anado% en los 3 aAos &ue e/plotaron la industria cafetera lo si!uiente: el primero B'5$$$ el se!undo los 2B5 de lo &ue !anó el primero el tercero% los Y de lo &ue !anó el se!undo - el cuarto% los 5B de lo &ue !anó el tercero' i el capital social del ne!ocio era de
3$
PROBLEMAS PARA LA CASA: #)
#9) "res empresarios reunieron 9$$$ soles para la e/plotación de un ne!ocio !anaron el primero% B'#$$$ el se!undo% B'6$$ - el tercero% B'$$ >*u.nto impuso cada uno?'
utilidad fue de #$$soles' >*u.nto le tocó a cada uno?' a) 1 mil% 2# mil% #2 mil' ) 1$ mil% 29 mil% #2 mil' c) 15 mil% 21 mil% #2 mil' d) 5$ mil% #9 mil% #2 mil e) 5$ mil% #5 mil% #6 mil
n in!eniero industrial con estudios en Oapón empezó @ace poco un ne!ocio% a los 9 meses admitió un socio -% 3 meses después% entró un tercer socio' *ada uno de ellos aportó en el ne!ocio la misma cantidad' i el ne!ocio duró #6 meses al cao de los cuales la Aritmética
Segundo Año
B'11$$$ >*on cu.nto contriu-ó cada uno?' Dar como respuesta la contriución del cuarto' a) #$$$$ d) #$$$ ) 2$$$$ e) 6$$$ c) 1$$$ 5)
6)
En una industria pes&uera c@imotana &ue traa0ó durante 1 aAos - medio% cuatro socios impusieron: el primero B'5$$ mas &ue el se!undo% el se!undo B'6$$ menos &ue el tercero el tercero la mitad de lo &ue puso el cuarto este impuso 3$$$ soles' i @a&ue afrontar una pérdida de B'31$$ >*u.nto perder. cada uno? Dar como respuesta la del primero' a) B' 92$ ) B' 15$ c) B' 4$$ d) B' 45$ e) B' #5$$ (nselmo emprende un ne!ocio con B'2$$$' eis meses después entra como socio ernaé con B'2$$$ - ## meses m.s tarde entra como socio *armelo con B'2$$$' i a los 2 aAos de comenzar (nselmo su ne!ocio @aun eneficio de B'63$' >*u.nto recie de !anancia cada uno?' Dar como respuesta las partes enteras' a) B' 3#2 233 92 ) B' 3$9 22 9$ c) B' 3$9 92 #$$
Aritmética
Segundo Año
d) e) 4)
)
B' 3#$ 229 95 B' 3$ 23# 9$
9)
>*u.nto !anar. cada uno de los socios H3) &ue% e/plotando la industria minera% imponen a su ne!ocio: el primero B'3$$$ mas &ue el se!undo éste B'5$ - el tercero B'2$$ menos &ue el se!undo% saiendo &ue el primero estu;o en el ne!ocio por 5 meses% el se!undo% 2 meses mas &ue el primero - el tercero 3 meses mas &ue el primero% si el eneficio total es de B' 33?' a) ##5 #23 #$1 ) ##5 ##9 #$1 c) ##6 #2$ #$2 d) ##4 #2$ #$3 e) ##4 #2# #$1
En una sociedad formada por 3 indi;iduos se @an @ec@o las si!uientes imposiciones: el #Q B'5$$ por 2 aAos el se!undo B'1$$ por 1 aAos - el tercero B'3$$ por 5 aAos' >*u.nto corresponde a cada uno si @a- una !anancia de B'#23$? Dar como respuesta la suma de cifras del 2Q' a) ) #2 c) 4 d) 9 e) 3 En una industria% tres socios @an impuesto: el primero: 6$$$ soles m.s &ue el se!undo% el se!undo 3$$$ m.s &ue el tercero - éste $$$' El primero permaneció en la industria por un aAo% el se!undo por aAo - medio - el tercero por 2 aAos - medio' >*u.nto corresponde de un eneficio de B'55? Dar como respuesta las sumas de las cifras de cada uno' a) #5 #1 ) #6 #5 1 c) #3 9 1 d) #$ #1 e) #1 #4
32
#$)
(ndrei emprende un ne!ocio con B'3$$$ a los 3 meses admite de socio a elardo con 3 meses - 3 meses mas tarde *arlos entre al ne!ocio con B'3$$$' i @a- un eneficio de B'24$$ al cao de # aAo de emprender (ndrei el ne!ocio' >*u.nto recie cada uno?' Dar como respuesta la cifra de unidades del menor'
Aritmética
a) 1 d) #
) 3 e) $
c) 2
##)
En una factora en &ue se @an impuesto sumas i!uales% 3 personas @an permanecido en el ne!ocio: el primero% meses% el se!undo% los Y del tiempo &ue estu;o el anterior - el tercero% los 4B6 del tiempo del se!undo' >*u.nto pierde cada uno si @a- una pérdida total de B'19$' Dar como respuesta la pérdida del primero' a) #62B3 ) #1$ c) #63#B3 d) #65 e) #4
#2)
Dos tipos e/plotan un ne!ocio in;irtiendo B'5$$' El primero impone B'6$$$ por 2 aAos - el se!undo% el resto durante 3 aAos' >*u.nto le corresponde perder a cada uno si la pérdida total es de #365 soles?' a) B' 4$$ 665 ) B' 9$$ 165 c) B' 6$$ 465 33 d) B' 1$ 525 e) C'('
#3)
Dos ;ie0os ami!os deciden emprender un ne!ocio &ue @a durado 2 aAos% el primero impone el principio #5$$ soles -% al aAo - medio% retira B'5$$ el se!undo empezó con B'2$$$ - a los meses retiró B'5$$' De una pérdida de B'5## soles >*u.nto pierde el se!undo?'
Segundo Año
a) B' 2$ c) B' 2$$ e) B' 32$ #1)
#5)
Segundo Año
) B' 25# d) B' 3## -
Dos @ermanos emprenden una empresa durante un aAo' El primero empieza con B'5$$ - 4 meses después aAade B'2$$ el se!undo empieza con B'6$$ -% 3 meses después% aAade 3$$' >*u.nto corresponde al primero de una !anancia i!ual a B'33?' a) B' #1$ ) B' #6$ c) B' #4$ d) B' #5$ e) B' #$ e constitu-e una industria farmacéutica por 2 socios con un capital de B' 21$$$% de los cuales el primero coloca B'#1$$$ - el se!undo% el capital restante' El ne!ocio dura unos 2 aAos' El primero% a los meses retira B'$$$ - el 2Q% a los 4 meses retira B'5$$$' i @a- una !anancia neta de B'24$$' >*u.nto corresponde a cada uno?' a) 2#$$ 6$$ ) #$$ 9$$ c) #4 1B#4 9## #B#4 d) #95$ 45$ e) #6$$ ##$$
Aritmética
1 / 2 = 32 alumnos &ue practican al!n deporte' Cotación: El +a, por ciento de +, se representa como a de Mue es:
a 100
4$ = #$$ 4$
= H#$$ 4$) = #4$
×b
Donde el smolo +, se lee +por ciento, - representa H#B#$$)' E0emplo:
Por e0emplo te podran pedir: (umentar en su 4$:
30 100
Disminuir en su 1$: – 1$ = #$$ – 1$ = H#$$ – 1$) = 6$ -
/ 5$$
= #5$
-
TEMA: TANTO POR CIENTO /0$ De1inici.n: e llama PGR*EC"(OE o "(C"G PGR *EC"G a una determinada cantidad con relación a #$$ unidades' E0emplo: e @a determinado &ue el 2 de los alumnos del cole!io +anuel corza, practican al!n tipo de deporte' Esto &uiere decir &ue de cada #$$ alumnos del cole!io% 2 practican al!n tipo de deporte' 7o &ue si!nifica &ue si en el cole!io @a- 1$$ alumnos H1 cientos) se tendr.:
!eneral: P = a
31
8
Representación
-
Porcentaje o tantotanto por por ciento ciento deseado -
#)
2)
Cantidad total
P"opie+!+es: "oda cantidad representa el #$$ de s misma' a = #$$ a 7os porcenta0es se pueden sumar o restar% siempre &ue sean respecto a una misma cantidad' a C C – c C = Ha Z c) C' Aritmética
"anto por ciento del tanto por ciento: e llamó as al c.lculo del porcenta0e sore otro porcenta0e' Por e0emplo% calcular el del 2$ de #$$$$' 100
-
-
×
20 100
× 10000 = 160
Relaciones entre las fracciones - el tanto por ciento: Gser;amos lo si!uiente: i una cantidad la di;idimos en 1 partes i!uales% se tendr.: 35
*ada parte ser.: Es decir =
1
100% =
25%
4
= 25%
4
Por lo &ue se conclu-e &ue para in;ertir la fracción a porcenta0e se multiplica la fracción por #$$' "amién% para
36
Segundo Año
Segundo Año
con;ertir de porcenta0e a fracción se di;ide el nmero sin el smolo +, entre #$$' De fracción a tanto por ciento: 1
× 100% = 25%
4 1
2)
i se realiza dos descuentos sucesi;os de P - M% el descuento nico ser.: Descuento nico
= P + Q − × 100% = 20%
P × Q 100
5
2$ = -
-
25 100
20 100
=
1
=
1
4
5
Ope"!ciones s&cesiv!s: En porcenta0es Htanto por ciento) @aciertos e0ercicios en los &ue se realizan aumentos o descuentos sore una cantidad% tomando como referencia la nue;a cantidad otenida' *asos particulares: Hsólo para 2 descuentos o aumentos) #) i se realiza dos aumentos sucesi;os del P - M% el aumento nico ser.' (umento nico =
P + Q + P × Q 100
Aritmética
;endido el 6$ de cer;eza cristal >En &ué porcenta0e @a disminuido la cantidad inicial de cer;ezas?'
3) i el lado de una fi!ura cuadrada se reduce a la mitad' >En &ué porcenta0e disminu-e su .rea?'
) n ladrillo es introducido en el a!ua al sacarla - pesarla% se oser;ó &ue el peso aumentó en 6$' i se saca la tercera parte del ladrillo del a!ua' >En &ué porcenta0e disminuir. el peso del ladrillo?'
1) na mezcladora de concreto sufre una depreciación anual del #$% respecto al precio &ue tu;o al comenzar cada aAo' i al cao de 1 aAos su precio es de B'#3#22% entonces el costo real de la mezcladora fue de:
De tanto por ciento a fracción: 25 =
azules son las restantes'
PROBLEMAS PARA LA CLASE: #) i el lado ma-or de un rect.n!ulo aumenta en un 3$ - el lado menor disminu-e en un 3$' >Mué pasa con su .rea?' 2) na ca0a contiene olas ro0as% lancas - azules' El #2 de ellas son ro0as% el 36 son lancas - las #56
5) el;- !asta el 26 de su dinero% con ello% lo &ue le &ueda e/cede a lo !astado en B'21$' >*u.nto tena inicialmente?' HC #994)'
9) n e&uipo de ftol @a ;encido sus ltimos #4 encuentros >*u.ntos encuentros dee perder de manera consecuti;a para &ue su efecti;idad sea de 5' #$) i de cierta cantidad de dinero se pierde el 1$% del resto se !ana el 3$ si de esta operación se pierde soles respecto al nmero inicial% @allar ese nmero'
6) i +m, es el 1$ de la suma de +n, - +p, adem.s +n, representa el 25 de la suma de +m, - +p,' *alcular nBm HC #991)'
##) 8erardo &uiere ;ender un o0eto aumentando su precio en un 2$% pero lue!o de unos das rea0a este precio en un #$% - a la semana nue;amente aumenta el nue;o precio en un 25% decidiendo 34 al da si!uiente rea0ar un 2$ de este ltimo precio' El comerciante% >!ana o pierde? >- cu.nto?'
4) En una cer;ecera% el 4$ de las cer;ezas son de marca cristal% si se @a
#2) n tonel tiene l&uido en un 6$ de su capacidad' i se le e/trae una cantidad de l&uido i!ual al 1$ de la
Aritmética
Segundo Año
Segundo Año
parte ;aca >Mué parte de lo &ue &ueda se dee aumentar para tener el recipiente lleno en un 66 de su capacidad?'
#6) De una finca de 5$ @ect.reas se ;ende el #6 - se al&uila el #1' >*u.ntas @ect.reas &uedan?'
#3) ( un tonel &ue contiene cierta cantidad de ;ino se le adiciona 1$7 de a!ua% lue!o se e/trae el 2$ de la mezcla - se reemplaza totalmente con a!ua - resulta &ue la cantidad de ;ino de la nue;a mezcla constitu-e el #6 de la mezcla >*u.ntos litros de ;ino tena el recipiente?'
#4) En una sesión de materias se ;io &ue el 65 traa0a en cole!ios estatales% 22$ en cole!ios pri;ados - 2$ en amos >*u.ntos eran en total?'
#1) En un recipiente @a- a!ua alco@ol' i se e/trae el 2$ de alco@ol &uedaran partes i!uales de a!ua - alco@ol respecto de la capacidad del recipiente' i de lo &ue &uedase se e/trae el 3$ de a!ua >Mué porcenta0e es la cantidad final de mezcla respecto a la ori!inal?' #5) Para confeccionar #$$$ uzos se re&uieren 5$K! de materia prima se pierde un en la faricación' De un uzo se desperdicia un 2$ al utilizarla' i reunimos los desperdicios al utilizar los #$$$ uzos - se usan como materia prima' >*u.ntos uzos se podran @acer?'
Aritmética
2$ - aumentar en un 3$ al resto' i el monto total de las personas &ueda disminuido en un #$ con esta poltica' >Mué porcenta0e de la pensión total representa la pensión pa!ada por los estudiantes de a0os recursos económicos?'
#) n ar&uitecto @a pre;isto un recurimiento de losetas circulares para cierta pared' i todas las losetas a usarse son de las mismas dimensiones' >*u.l es el m./imo porcenta0e de .rea de la pared &ue puede ser cuierto por dic@as losetas?' #9) i se incrementa en un 6$ la profundidad de una piscina circular >*u.l ser. el porcenta0e en el &ue @a- &ue aumentar al radio de la piscina para &ue su ;olumen aumente en un #5$' 2$) En una ni;ersidad Particular el departamento de ser;icio social decide rea0ar las pensiones de enseAanza a los estudiantes de menores recursos económicos en un
postulantes poda ser admitido' i sólo se e/i!iera aproar 3 de los e/.menes% el nmero de postulantes a admitir aumentara en un 6$ del nmero anterior - totalizaran 9$$ inte!rantes' >*u.ntos son los postulantes?' a) 39$$ ) 345$ c) 1$$$ d) 15$$ e) 15$ 2) 7uca% Patricio - Oosé tienen 0untos un nmero de unidades monetarias entre 4$ - $' i el 2$ de lo &ue tiene Oosé es lo &ue tiene 7uca - el dinero de ella aumentado en su $ es el dinero de Oosé >*u.nto tiene 7uca?' a) 2 ) #$ c) 6# d) #2 e) #5 3) na felpa se enco!e por culpa del la;ado #$ en el anc@o - 2$ en el lar!o' >Mué lon!itud dee comprarse si se re&uieren 36m2 de felpa después de la;ada?' a) 32m ) 25m c) 22m d) #m e) 2$m
3 PROBLEMAS PARA LA CASA: #) En una pruea de selección donde es re&uisito aproar los 1 e/.menes pro!ramados% sólo el #5 de los Aritmética
1) 7a mano de ora39 las indemnizaciones suman el 1$ del ;alor total de la ora si las indemnizaciones representan el 6$ del importe de la mano de ora' >Mué tanto por ciento del ;alor de la ora importa solo la mano de ora?' a) 24 ) 22 c) 2 d) 2$ e) 25
Segundo Año
5) na compaAa ad&uiere una propiedad de #$$ caalleras de este modo: el 22 de la finca lo pa!a a B'2$$$ la caallera el 56 a B'$$ la caallera - el resto a B'5$$ la caallera' >*u.nto importa la compra? Dar como respuesta la cifra de las centenas' a) ) 4 c) 6 d) 5 e) 1 6) n @omre al morir dispone en su testamento &ue su fortuna% la cual asciende a B'2$$$$ se reparta de la si!uiente forma: el 35 a su @ermano ma-or% el 1$ del resto a su @ermano menor - lo restante al asilo +uena muerte,' >*u.nto le corresponde al asilo?' a) 46$$ ) 694$ c) 4$$ d) 92$$ e) $$$ 4) anuel reparte su fortuna de la si!uiente manera: a Rosa le dio el 21% a Falentn el 2$ - a *onsuelo los ##2 soles restantes' >Muién tu;o mas dinero?' a) Rosa ) Falentn c) *onsuelo d) anuel e) C'(' ) i @ermana ;a a la ode!a de la es&uina% al comprar cierto nmero Aritmética
Segundo Año
de naran0as le re!alan un 5 de las &ue compró% oteniéndose de esta manera 12$ naran0as >*u.ntas compró?' a) 2$$ ) 3$$ c) 1$$ d) 36$ e) C'('
porcenta0e le falta recorrer?' a) 34 ) 34%5 c) 1$ d) 25%5 e) C'(' #2) En una reunión el 1$ son niAos - el resto niAas' i se retira la mitad de los niAos' >*u.l ser. el nue;o porcenta0e de niAas?' a) $ ) 4$ c) 65 d) 45 e) 6$
9) >Mué tanto por ciento del #5 del de 6$$ es el 2$ del $%5 de #11$?' a) 5$ ) 1$ c) 3$ d) 2$ e) #$
#$) En la fi!ura mostrada: 1$
>Mué parte del .rea somreada es el .rea no somreada?' a) 5 ) #$ c) #5 d) 2$ e) 25 ##) anuel ;a a ;isitar a Rosa &ue ;i;e a 1$Km de su casa - a una ;elocidad de 5LmB@% lue!o de 5@rs' >Mué
a) 4B9 c) B#5 #5B#4
) #5B d) 9B#3
e)
#5) "en!o cierta cantidad de dinero !ano el 25 del resto% pierdo el 2' En total pierdo B'42$' >*u.nto tena desde un comienzo?' a) B' 31$$ ) 42$$ c) 24$$ d) 2$$ e) 56$$
#3) i el lado ma-or de un rect.n!ulo se le aumenta en 1$ - el lado menor se disminu-e en 1$' >Mué pasa con el .rea?' a) Dismin' a 1 ) Co ;ara c) Diminu-e en #5 d) (umenta a #6 e) (umenta a #26 #1) En #9$ la polación aumenta en 4 con respecto a #94' 7os @omres aumentaron en #5 - las mu0eres disminu-eron en '
-
TEMA: ASUNTOS COMERCIALES ntroducción: 1# Diariamente todas las personas realizan operaciones o asuntos comerciales' ncluso nosotros% a nuestra corta edad% las realizamos: pa!amos al ode!uero par &ue nos ;enda las !olosinas o el mandado &ue nos @ace nuestros padres
Segundo Año
- ;arios casos m.s' Pero >al!una ;ez te @as pre!untado a cu.nto nos deen ;ender lo &ue compramos para &ue el comerciante !ane dinero?' ueno% en este captulo aordaremos este tema' -
As&ntos co%e"ci!es2 El ode!uero &ue nos ;endió% por e0emplo% el Lilo!ramo de fideos &ue nos mandó a comprar nuestra madre% no nos lo puede ;ender al precio al cual él lo compró al ;endedor ma-orista por&ue no !anara dinero% - su o0eti;o es 0ustamente !anarlo' uc@o menos podr. ;enderlo a un precio menor al cual lo compró por&ue encima estara perdiendo dinero' Por esto% el ode!uero nos lo ;ende a un precio un poco ma-or al cual se lo ;ende' ( esta pe&ueAa diferencia se le conoce como mar!en de !anancia - es lo &ue realmente est. !anando el ode!uero por ;endernos los fideos' Es decir% si al ode!uero le costó B'#'$% él nos lo ;ender. a B'2'3$% para &ue de este modo él pueda !anar 2'3$ – #'$ = B'$'5$ por ;endernos los fideos' (@ora% podemos decir &ue los asuntos comerciales tratan de las !anancias Ho pérdidas) ori!inadas por ;ender Hcomerciar) al!n ien o ser;icio'
Aritmética
Segundo Año -
Conceptos b3sicos: Para entender me0or este tema es necesario conocer al!unas definiciones fundamentales'
)$ Bien: Fiene a ser cual&uier producto Ho0eto material)% el cual puede ofrecerse en ;enta' E0emplo: fideos% liros% casas% a;iones% etc' #$ Se"vicio: Fiene a ser cual&uier acción &ue se @ace en eneficio de al!una persona' Puede ser !ratuito o remunerado% pero en este tema trataremos de los ser;icios remunerados' E0m': la atención médica% la educación &ue te rinda el cole!io% etc'
4$ P"ecio +e vent!: Fiene a ser el precio al cual el ne!ociante Hpor e0emplo el ode!uero) est. dispuesto a reciir a camio se suHs) productoHs)' 5$ P"ecio +e co%p"!: Fiene a ser el precio &ue le costó al ne!ociante producir o comprar el ien o ser;icio
12
&ue oferta' "amién se llama precio de costo'
se le est. realizando una rea0a Hdescuento) especial'
6$ G!n!nci!: Fiene a ser el monto de dinero &ue el ne!ociante !ana por realizar una transacción comercial de ;enta' e otiene restando el precio de ;enta menos el precio de compra% siendo el resultado siempre un nmero positi;o'
$ Desc&ento: Fiene a ser una rea0a en el precio del ien o ser;icio &ue se le otor!a al cliente Hcomprador) con el o0eti;o de &ue lo ad&uiera'
7$ P8"+i+!: Fiene a ser el monto de dinero &ue el ne!ociante pierde por realizar una transacción comercial de ;enta' e otiene restando el precio de ;enta menos el precio de comprar% siendo el resultado siempre un nmero ne!ati;o' 9$ P"ecio +e ist!: "amién llamado precio de cat.lo!o o precio fi0ado% ;iene a ser el precio &ue inicialmente el ne!ociante ofrece su ien o ser;icio' Es usualmente usado para @acer creer a la !ente &ue
Aritmética
-
Relaciones financieras: P; = Pc 8 P; = Pc – P P; = P7 – D 8" = n / P Donde: P;: precio de ;enta Pc: precio de compra P7: precio de lista 8: !anancia P: pérdida D: descuento 8": !asto total n: nmero de unidades ;endidas' P: precio unitario de cada producto'
PROBLEMAS PARA LA CLASE: #) ara es una ;endedora ma-orista de 13 telas' Ella compara cada metro de tela de la f.rica a B'#$' >( &ue precio
Segundo Año
dee ;ender #45 metros de tela% si ella &uiere !anar el #5 de lo &ue le cuesta?' 2) n ;endedor de una tienda de artefactos electrodomésticos se da cuenta &ue cuando le &ueda media @ora para cerrar su estalecimiento% aun le &uedan 2 @ornos microondas de distintas marcas' *omo le &ueda poco tiempo para cerrar decide ;enderlos a B'294 cada uno' i en el primero !anó el #$ de lo &ue le costó - en el se!undo perdió la décima parte' 8anó o perdió el ;endedor?' >*u.nto !anó o perdió?' 3) 7uis - Ouan traa0an en una tienda de ropa para mu0eres' 7uis le ;endió un ;estido a una seAora Ouan% &ue saa &ue el ;estido les @aa costado B'35$$% le pre!untó a 7uis a cu.nto lo @aa ;endido' 7uis le respondió as: +lo @e ;endido a un precio con el cual @emos !anado el #1 del precio &ue nos costó m.s el 5 del precio al cual se lo @emos ;endido,' >( cu.nto ;endieron el ;estido?' 1) n tele;isor nue;o cuesta B'#5$$' i se ;ende !anando el 3$ de lo &ue costó' >*u.l es su preció de
Segundo Año
;enta?' i se ;endiera perdiendo el 2$ de lo &ue costó' >( cu.nto se ;endera?'
la mercadera se @uiese ;endido en ##K soles?' ) El ;endedor de una tienda de artefactos electrodomésticos tiene una estrate!ia para ;ender los tele;isores realiza 3 descuentos sucesi;os sore el precio de litas para &ue as los posiles compradores lle;en al menos un tele;isor' i dee ;ender cada tele;isor en al menos B'2316% >*u.l dee ser el precio de lista si ;a a realizar 3 descuentos sucesi;os de 2$% #5 - ?'
5) (ndrés es un mec.nico e/itoso' Diariamente recie muc@os automó;iles para reparar' n da se da cuenta &ue le falta un repuesto% por lo &ue ;a a pre!untar por el precio de este' Entra a una tienda% le dan el precio de ;enta - él pide una rea0a% por lo &ue le ofrecen un descuento de 2$' Fa a otra tienda - compra el mismo repuesto con un descuento del 25% [email protected] as 35 soles respecto a la oferta anterior' >*u.nto costaa el repuesto?'
9) n ode!uero ;ende un artculo con un recar!o del #5' nicialmente el ode!uero pensaa !anar el 2$ del precio de costo m.s el 25 del precio de ;enta' (l final el ode!uero !anó B'252'
6) El nmero de artculos de escritorio &ue se puede comprar con una suma de dinero determinada aumentara en 5 si se ;ariase en 2$ el precio de cada artculo' >*u.l es el nmero de artculos iniciales?' 4) e ;ende una mercadera en #$K soles !anando el / de su costo' >Mué tanto por ciento se @uiera !anado si
11
#$) na tienda ;ende con descuento sore el precio marcado del #5 m.s el #5 - otra tienda con el 3$ de descuento
respecti;amente' El precio marcado es el mismo amas tiendas' >Mué tienda ;ende m.s arato? >*u.l ser. el tanto por ciento de diferencia?' ##) En &ué porcenta0e se dee aumentar el costo de un producto% de tal manera &ue aun @aciendo un descuento del 2$ del precio fi0ado se !ane el 1$ del costo?' #2) e ;endió 1 productos en B'9'#$ cada uno% en el primero se !anó el 3$ del costo% en el se!undo se perdió el 3$ del precio de ;enta% en la tercera se !anó el 3$ del precio de ;enta - en el ltimo% se perdió el 3$ del costo' >e !anó o se perdió?' >*u.nto?' #3) na !ran empresa recie una notificación de la C(" en el &ue le comunican &ue deen de acercarse a pa!ar una multa !rande apro;ec@ando &ue @a- descuentos triutarios' El contador de la empresa se acerca a la C(" - pa!ó 2 facturas: por la primera pa!ó B'15$$$ lue!o &ue le @icieron un descuento del 35% como la se!unda factura -a @aa ;encido muc@o tiempo antes% le recar!aron un #2% por lo &ue tu;o &ue pa!ar B'#\1$$%$$$ por ésta' >*u.nto a@orró o pa!ó de recar!o en total?' 15
Aritmética
Aritmética
16
Segundo Año
#1) n ;endedor ma-orista de calzado deporti;o ;ende su lote de la si!uiente manera: los 2B5 de su mercanca la ;ende con 6 de pérdida% la mitad del resto con un 2 de !anancia' >*u.nto dee !anar en la ;enta del resto para !anar el 9 sore el total de las mercancas?' #5) na f.rica de productos l.cteos decide aumentar en un 2$ el precio de ;enta de sus artculos deido a &ue aumentó el precio de la lec@e' >En &ue porcenta0e disminu-en sus ;entas si sus in!resos se incrementaron en un ?' #6) Ouan es un confeccionista de zapatos al cual le cuesta B'$ producir un par de zapatos' >*u.l dee ser el precio a &ue dee fi0arlo para &ue% @aciendo un descuento del 2$ de este precio a sus clientes% aun !ane el 3$ de su costo?' #4) Oor!e decide incursionar en el ne!ocio de los cosméticos' Decide entonces aumentar el precio de su lote en un 2$% pero lue!o de 2 das rea0a este precio en un #$ - al da si!uiente nue;amente aumenta el precio recién estalecido en un 1$% decidiendo Aritmética
Segundo Año
a los 3 das rea0arlo finalmente en un 2$' >Est. !anando o est. perdiendo? >En &ue porcenta0e?' #) i cuando Pedro ;ende uno de sus *D\s !ana soles' >*u.l es el tanto por ciento de la !anancia si le costó S?' H# dólarHS) = B'3'5$)' #9) i cuando (na entra a una tienda de liros% con el o0eti;o de &ue ella compre uno% la ;endedora le ofrece dos descuentos consecuti;os del #5 - del #2% por lo &ue (na compra un liro a B'#$1'42' >*u.l ser. el precio de lista?' 2$) Por cada B'5 &ue se aumenta al precio de ;enta% (ndrés recie B'2'5$' i por ;ender un tele;isor cu-o precio de ;enta ori!inal es de B'5$$% (ndrés reciió B'#2'5$ de comisión' >*u.l era el precio de lista?' PROBLEMAS PARA LA CASA #) (le0andro es un médico ciru0ano pl.stico de presti!io' Oosé es ami!o de (le0andro le pide &ue le di!a cu.nto le costara @acerse al!unas
ciru!as' (le0andro le di0o &ue si se @aca dos le @ara un descuento del 25% pero si se @aca 3% le @ara un descuento del 1$' i todas las ciru!as cuestan i!ual - por 2 pa!ó S4$$ >*u.nto le @uiera costado 3?' a) B'96$ ) B'2$ c) B' 1$ d) B' 3$ e) B' $
a B'$' >Mué porcenta0e de lo &ue le costó sus frutas perdió?' a) 9'$$ ) '$9 c) 4'5 d) 9'# e) 9'$9 1) El nmero de estampillas para cartas &ue se puede comprar con una cantidad fi0a de dinero aumentara en #5 si se disminu-ese en un 6$ el precio de cada estampilla' >*u.l sera el nmero de estampillas si se @iciese la rea0a?' a) 35 ) 15 c) 25 d) # e) 55
2) n e&uipo de sonido cuesta B'#$$' i se ;ente !anando el 1$ de lo &ue costó' >*u.l es su precio de ;enta?' i se ;endiera perdiendo el #5' >*u.l sera su precio?' a) 252$ - #53$ ) #53$ - 252$ c) 522$ - ##3$ d) ##3$ - 522$ e) C'('
5) >En &ué porcenta0e se dee aumentar de una moc@ila% de tal manera &ue @aciendo un descuento del 25 del precio fi0ado an se !ane el 5$ del costo?' a) 4$ ) 45 c) $ d) 9$ e) #$$
3) *uando falta poco para &ue termine su da de traa0o% un frutero decide rematar su mercadera% por lo &ue pierde B'' i ;endió toda la mercadera
Aritmética
6) (ntonio me ofrece @acer una descuento del #$ mas otro del 2$ al precio de su tocadisco' Oosé me ofrece otro tocadisco al mismo precio ori!inal de (ntonio% sólo &ue con un 25 de descuento' >Muién me ofrece el tocadisco m.s arato?' a) (ntonio ) Oosé c) Da i!ual d) Waltan datos 4) e ;endieron 3 cafeteras de diferentes marcas en B'#$$ cada una' 7a primera se ;endió !anando el 14
Segundo Año
3$ la se!unda se ;endió perdiendo el #5 - la ltima se ;endió perdiendo el #$ del precio de costo' >e !anó o se perdió?' >*u.nto dinero se !anó o perdió?' a) e !anó B' #4'1 ) e perdió B' #4'1 c) e !anó B' 2$'19 d) e !anó B' 1'#4' e) C'(' ) *ada ;ez &ue (rturo ;ende al!uno de sus liros !ana #5 soles - cada uno de ellos le costó B'6$' i con ese mismo porcenta0e de !anancia ;endiera 4 icicletas &ue le costó B'2$$ cada una' >*u.nto dinero !anara?' a) B'25$ ) B'35$ c) B'1$$ d) B' 5$$ e) B' 245 9) Deido a la inflación% el precio de los comustiles suieron en #$% % 5 - #2% sucesi;amente' >( &ué aumento nico corresponde ésto? i el precio del comustile era B'#$'$ por !alón' >*u.nto cuesta a@ora un !alón?' a) 39'4 - B' #5'$ ) 12'# - B' #$'9 c) 61'# - B' 2$'#$ d) 64'# - B' #'$1 e) C'('
Aritmética
Segundo Año
#$) En una f.rica de zapatillas el costo de producir un par de zapatillas es de B'#$$' i @an decidido ;ender a los distriuidores cada par @aciéndoles inicialmente un descuento de 2$% saiendo &ue de todas maneras !anar.n el 35 del costo' >*u.l dee ser el precio de cat.lo!o?' a) B' #6'45 ) B' #11'$ c) B' #55'9$ d) B' #61'45 e) C'(' ##) Ouan *arlos dee al anco udamericano 2 letras de B'#$$$$ B'5$$$ respecti;amente' *uando se acerca a la ;entanilla a pa!arlas le dicen &ue a la primera le ;an a @acer un recar!o del #5 por&ue ésta -a @a ;encido' En camio% puesto &ue la se!unda la piensa pa!ar con un mes de anticipación le @ar.n un descuento del #' >*u.nto dinero tu;o &ue pa!ar?' a) B'2#$$ ) $$$$ c) #$$$$$ d) 956$$ e) #2$$
#2) El anco *ontinental le @ace lle!ar a Oor!e 7uis una notificación de &ue le recar!aron en # la deuda &ue tena con ellos por morosidad' n mes después le lle!a otra notificación de &ue afectaron su deuda con otro 2$ de recar!a' *uando Oor!e 7uis se acerca a pa!ar a una sucursal del anco le dicen &ue su deuda es de B'#1#6' >*u.nto dea inicialmente? a) B'#2$$$ ) B'#$$$$ c) B' #1$$$ d) B'9$$$ e) B' 945$ #3) i el descuento &ue se realiza a un producto es el #$ del precio de ;enta' >Mué porcenta0e del precio de ;enta es el precio de lista?' a) ### ) ##$ c) ##1 d) #$ e) C'('
Aritmética
1
#1) i consideramos &ue el precio de lista de cierto producto es de B'#$ - el precio de compra del mismo es B'6' >*u.nto dee sumar la !anancia m.s el descuento ofrecido?' a) B'##6 ) B'##1 c) B'#2$ d) B'##2 e) B'## #5) i el descuento de un producto es de B'42 - la perdida por ;ender lo mas arato de lo &ue costó es B'12' >*u.l es la diferencia del precio de lista - el precio de compra?' a) B' 1$ ) B' 2$ c) B' #$ d) B' 5$ e) B' 3$
Segundo Año
Segundo Año
# mes comercial ]^ 3$ das'
•
TEMA: INTERES SIMPLE 19 Int"o+&cci.n: na persona puede tomar de otra% a préstamo% una cantidad determinada de dinero - comprometerse% a camio% a pa!arle una indemnización o al&uiler del capital colocado' Esta indemnización se llama +interés,% el cual ;ara con la importancia del capital - el tiempo &ue éste est. colocado en toda transacción comercial' El interés se @a creado para mantener siempre a un ;alor constante un monto – en su ;alor real – a pesar de la ;ariación ine/orale del tiempo% por dic@a razón e/iste la con;ención de admitir &ue el interés ;ara de un modo directamente proporcional al capital colocado - al tiempo en &ue dic@o capital fue colocado en la transacción comercial' 7a persona &ue otor!a el préstamo se llama +prestamista, - el &ue lo recie% +prestatario, la suma del capital con su interés respecti;o es conocido como +monto,'
De1iniciones: Inte"8s o "8+ito es • la suma H!anancia% utilidad% renta o eneficio producido por un capital prestado durante cierto tiempo% se!n una tasa fi0ada porcentualmente' En el interés simple% cuando los intereses se retiran% se considera como constante al capital aonado en toda operación de comercio' •
T!s! /t!s! +e inte"8s$ es el interés o !anancia &ue se otiene de cada #$$ unidades de capital'
;."%&!s p!"!
*ircunstancia "iempo HaAos)
# t
DP
Efecto nterés R
#$$
– # – = *'"'r Wórmula !eneral:
∴ # =
C ." .r 100
Donde: = interés o rédito * = capital Hel ;alor &ue siempre se in;ierte en una transacción)' r = tasa o tasa de interés Hen )' " = tiempo en &ue permaneció el capital constante Hel nmero de periodos &ue permanece un capital en el ne!ocio% e/presado en aAos)' Gser;aciones: #) 7a fórmula de c.lculo del interés no es est.tica el denominador ;ara de acuerdo a cómo est. e/presado el tiempo' 2) e considera &ue: # aAos solar ]^ • 365 das 1 @oras' • # aAo comn ]^ 365 das' # aAo isiesto ]^ • 366 das' • # aAo comercial ]^ 36$ das H#2 meses con 3$ das cada uno)'
DP Aritmética
Aritmética
3) 7a tasa +R, porcentual &ue inter;iene en fórmula dee ser anual% si estu;iese e/presado en otro periodo de tiempo% se dee considerar su tasa 5$ anualmente de modo e&ui;alente' E0emplo: • i se presta una cantidad 25 anual% entonces la tasa es 25' • i se presta una cantidad al 2$ semestral% entonces la tasa es 2H2$) = 1$' • i se presta una cantidad al #5 trimestral% entonces la tasa es #5H1) = 6$ 1) El monto representa la suma del capital con el interés: = * = *H# Et) Donde: * = *apital t = tiempo = interés = monto E = tasa de interés
ctr 1200
= # =
4000
− 1160
6200
∴ = 22$$ - = 62$$
Segundo Año
Segundo Año
5) i el préstamo es en: Denominador: (Aos #$$ Hindicador del del interés) eses #2$$ ]^ H#2 meses) H#$$) Das 36$$$ ]^ H36$ das) H#$$) 6) i en la transacción no se e/presa unidad de tiempo al!una% se asume &ue la tasa de interés es anual' 5# +e C3c&o +e inte"8s en 1&nci.n %onto: i = * como: =
C + r 100
⇒ C =
100 #
tr
Reemplazando: =
100 #
tr
∴ =
Donde: = interés = monto r = tasa de interés t = tiempo
Mtr 100 + tr
producen B'15 m.s &ue el resto al 1 mensual durante el mismo periodo de tiempo'
PRG7E( P(R( 7( *7(E: #) e di;ide un millón de soles en 2 partes% tal &ue al ser impuestas una de ellas al 4 - la otra al 9 anual% producen el mismo interés' >*u.les son las partes?' 2) Pedro de las *asas participa en un ne!ocio con un capital &ue% impuesto al #2 trimestral% @a producido en 5 meses #44$ soles menos &ue si el capital fuera impuesto al # cuatrimestral durante #6 das' >*u.l fue ese capital?' 3) *armen impone los 1B4 de su capital al 1 - el resto al 5 - resulta ser un interés anual de B'3#$$' >*u.l es la suma impuesta al 1?'
5) i primo% in;ersionista en ienes races% posee B'#$$$$ de los cuales una parte la coloca al 5 la otra al 6% oteniendo en total en un aAo B'56$ de renta' >*u.l es la menor de las partes?' 6) >Mué capital es a&uél &ue% impuesto al 1 anual durante 5 meses produce B'##$$ menos &ue si se impusiera al 1 mensual durante ese mismo periodo de tiempo?' 4) En una uni;ersidad estatal% los alumnos de la facultad de administración in;irtieron% en un ne!ocio% un determinado capital% de tal manera &ue el monto producido por éste durante 6 meses% a interés simple% es de B'5$$$$ mas lue!o de meses ser. de 55 mil soles' >*u.l fue la tasa de interés?'
1) 7os B'9 de un capital al 5 mensual% en un mes
Aritmética
Aritmética
) e impone un capital a cierta tasa -% en meses% produce un interés &ue es el 1$ del monto' >Durante cuanto tiempo dee prestarse dic@o dinero para &ue la tasa de interés !enera una renta del $ del monto?' 9) 7os capitales impuestos por 2 @ermanos en un mismo ne!ocio suman 24 mil soles% si la primera impone su capital al 1 - la 2Q al 5 anual oteniendo el mismo interés en el mismo tiempo' >*u.l fue el capital menor?' #$) n capital est. impuesto al 3$ anual - el se!undo capital al 5$' 7a suma de dic@os capitales es de 2 mil soles' i el interés anual &ue produce el primero es al interés cuatrianual &ue produce el se!undo como 5 es a 1% 52 @allar el menor capital' ##) El director del cole!io +Cuestra eAora de 8uadalupe, di;ide su capital en 3 partes i!uales - las impone al # mensual% 5 trimestral - 1 semestral% respecti;amente% lo!rando una renta anual de #$$$$ soles' >*u.l es ese capital?' #2) Dos ami!os imponen sus capitales al interés simple% uno de ellos al 21 el otro% al 2$ de tal manera &ue el primer capital esté en relación de 5 a 4 con el se!undo' i el se!undo
Segundo Año
capital produce un interés anual de 362$ soles mas &ue el otro% calcular el capital menor' #3) na suma de #$ mil soles se @a impuesto a interés simple' i @uiera estado 3$ das mas% el interés total @ara aumentado en 5$ soles - si el tanto por ciento se @uiera disminuido en $% los intereses @aran disminuido en #5$ soles' Durante cu.nto tiempo dee prestarse dic@o dinero para &ue a la misma tasa de interés !enere una renta i!ual al $ del monto' #6) e impone un capital de B'9$$$$ a interés simple por cierto nmero de aAos% meses - das' Por los aAos se coró $ anual por los meses% 6$ - por los das 5$' Aritmética
Segundo Año
Determinar la !anancia producida por el capital saiendo &ue si se @uiera impuesto todo el tiempo al $ @uiese producido #24 mil 5$$ soles m.s de interés &ue con 5$ anual durante todo el tiempo' #4) n capital &ue se impone a interés simple se di;ide en 3 partes: • el 25 al 1$ anual el 3$ al 3$ • semestral' • El resto al 2$ trimestral' >( cao de cu.nto tiempo se @ar. triplicado el capital?' #) e prestó un capital por un aAo - el monto fue 55$$ soles' i se @uiese prestado dic@o capital durante 2 aAos% el monto sera 6$$$ soles' >*u.l fue la tasa?' #9) Después de lar!as con;ersaciones: (% - * deciden in;ertir en un ne!ocio cu-os capitales impuestos por ellos suman 1$$ soles' Dic@os capitales colocados a interés simple durante 2 aAos se con;ierten en 1$$$% 21$$ - #2$ soles%
respecti;amente' Determinar >En cu.nto se @ara con;ertido el ma-or capital en 3 aAos% si se @uiera colocado al 35 de interés simple? 2$) Entre 2 @ermanos disponen de 15 mil soles% el ma-or coloca su capital al #1 por ciento semestral - el menor al #4 anual% i!ualando sus dineros al cao de 2$ meses' >*on cuanto dinero inició el @ermano ma-or?'
PROBLEMAS PARA LA CASA #) "res capitales impuestos separadamente al #2%5 semestral 1 imestral - 5 trimestral% respecti;amente% !eneran la misma renta'
Aritmética
2)
*u.l fue el crédito en porcenta0e a &ue fue impuesto dic@o capital?' a) 5 ) c) #$ d) 4 e) #2
3)
e tienen 2 capitales tales &ue los Y del primero i!ualan a los 1B5 del se!undo' i colocan al 9 trimestral durante 1 meses los 2B3 del primero la mitad del se!undo% se otendra ##336 como renta total' <.llese el capital menor' a) 6 mil ) 462$$ c) $2$$ d) 4 mil e) #1$$
1)
n capital se impone a determinada tasa de interés - en 6 meses produce un interés &ue es el 2$ del monto producido' >Durante cu.nto tiempo dee prestarse dic@o capital para &ue a la misma tasa produzca un interés i!ual a 6$ del monto?' a) 5 aAos ) 1 c) 3 d) 4 e) 9
51
5)
Dos capitales diferentes se depositan en el anco de *rédito% !anando interés simple' El capital ma-or% al 1 - el menor% al 6% lue!o de 3 aAos% los montos de amos son i!uales'
Segundo Año
menor en B'3$$ &ue el otro capital' a) 1$$$ ) 14$$ c) 56$$ d) 11$$ e) 6$$$ 6)
4)
)
Segundo Año
9)
Dos capitales son entre s como 1 es a 5% se colocan a interés simple% uno al 5$ - el otro al 2$' >7ue!o de &ué tiempo la relación de los montos es la in;ersa de la relación ori!inal de sus capitales?' a) 2 aAos ) 3 aAos c) # aAo d) 1 aAos e) 5 aAos Daro impone un capital al 6' *uatro aAos - 3 meses después se retira el capital m.s los intereses todo se impone al ' >*u.l fue el capital inicial si la renta anual actual es de 2$$% $ soles?' 55 Dar como respuesta la suma de sus cifras' a) 2 ) 4 c) 9 d) 3 e) # El 3$ de un capital es impuesto al 3 anual% el 25 al 1 anual - el 35 del total% al 6 anual' >( &ué porcenta0e se deer. imponer el resto para otener en un aAo un monto i!ual a #$5 del capital?' a) #2 ) c) #1 d) #$ e) 9
Aritmética
Entre dos capitales% uno de B'25$$$$ - el otro de 336$$$ soles producen anualmente 3615$ soles' *alcular la renta de cada uno de ellos% - las tasas de interés% saiendo &ue éstas est.n en la relación de 3 a 5' a)
@uiese colocado al 3 todo el tiempo' a) 35$ soles ) 436$ c) 926$ d) 952$ e) #$5$$ #2)
B'##25$ - 252$$ 3 4
)
B'#$52$ - 225$$ 1%5 - 4%5' c) B'##25$ - 252$$ 1%5 - 4%5' d) B'##25$ - 225$$ 1 6%5'
e) #$)
##)
C'(' 7os 5B4 de un capital colocado al 3 dan anualmente B'12$ m.s &ue el resto colocado al 1' >*u.l es el ;alor del capital?' a) 1#$$$ c) 1$$$$ ) 15$$$ d) 12$$$ e) 13$$$ n capital de 1$$$$ soles estu;o impuesto durante cierto nmero de aAos% meses - das' Por los aAos se coró el 5 anual% por los meses el 1 - por los das% el 3' *alcular la utilidad producida por dic@o capital% saiendo &ue @a producido B'31$ m.s &ue si se
e impone un capital a cierta tasa - en meses produce un interés &ue es el 1$ del monto' >Durante cu.nto tiempo dee prestarse dic@o dinero para &ue a la misma tasa de interés !enere una renta i!ual al $ del monto?' a) 1 aAos ) 2 c) 3 d) 3%5 e) 3 aAos meses
#3)
>*u.nto tiempo dee ser prestado un capital al 2$ para &ue se tripli&ue?' a) #5 aAos ) 2$ c) #$ d) 3$ e) C'(
#1)
"res personas imponen sus capitales &ue suman #$##$$ u'm' a las tasas del 1 3 5 respecti;amente%
Aritmética
corando el primero una renta anual de 91 u'm' mas &ue el se!undo - el tercero% una renta anual de #2$ u'm' mas &ue el primero' *alcular la diferencia de capitales entre los 2 primeros' a) 64$$ ) $$ c) 99$$ d) 44$$ e) 4$$ #5)
56 I2
7os 1B9 de un capital se imponen al #2 la 1ta parte del resto al # - lo &ue &ueda al 2$ de interés simple% oteniéndose as una renta anual de 61$2$ soles' >*u.nto fue el capital?' a) 396 mil ) 36 mil c) 36 mil d) 349 mil e) 369 mil
TEMA: REGLA DE MEZCLA Y ALEACI=N Me>c!: "amién conocida como +(li!ación,' Es la unión de dos o m.s sustancias
Segundo Año
Segundo Año
H+in!redientes,) para dar ori!en a otra sustancia% la cual conser;a todas las propiedades de los inte!rantes' Obse"v!ci.n: *omo la mezcla lo conforman sustancias &ue no pierden al!una de sus propiedades% se cumple &ue: Peso total de la mezcla = uma de los pesos de cada uno de los in!redientes Tipos +e %e>c!: ezcla directa
-
ezcla ezcla in;ersa
PP: precio promedio Pi: precio de cada inte!rante i: cantidad de unidades de cada inte!rante' Eje%po: >*u.nto costar. un litro de una mezcla de #5 litros de ;ino de B'5'$ con 25 litros de B'9'6$ con #$ litros de B''4$?' olución (: sando la fórmula: # P + # 2 P 2 + # 3 P 3 = P P = 1 1 # 1 + # 2 + # 3
(15) × ( 5.80) + 25( 9.60) + 10( 8.70) = 15 + 25 + 10
PP =
)$
Me>c! +i"ect!: Es a&uella en &ue se usca la cantidad total de mezcla% conociéndose las cantidades de los in!redientes - sus ;alores Hes decir% el ;alor &ue tienen en la mezcla)' Cormalmente se traa0a con los precios de cada in!rediente% la cantidad &ue @a- en cada uno - el precio promedio otenido% deduciéndose la si!uiente fórmula: Vaor tota de a54 mezca P P = = cantidad tota de a mezca
=
# 1 P 1 + # 2 P 2 # 1 + # 2
Donde: Aritmética
+ ... + # $ P $ = + ... + # $
B''2 el litro de mezcla' olución : Razonando el prolema: #5 litros de ;ino de B'5'$ cuestan #5 / B'5'$ = B'4'$$ 25 litros de ;ino de B'9'6$ cuestan 25 / B'9'6$ = B'21$'$$ #$ litros de ;ino de B''4$ cuestan #$ / B''4$ = B'4'$$ 5$ litros Hcantidad total) B' 1#1'$$ Hprecio total' Por lo &ue el litro de mezcla sale: B'1#1'$$ ÷ 5$ = B''2 el litro' Gser;ación: Fendiendo el litro de mezcla a B''2 el litro no se !ana ni se pierde% simplemente sólo se
recupera el costo de los productos' #$
Me>c! inve"s!: Es a&uella en &ue se usca la cantidad &ue dee entrar en la mezcla de cada in!rediente% conociéndose el precio promedio - el precio de cada uno de los in!redientes' e asa en &ue +la diferencia entre los precios e/tremos Hel precio ma-or - el precio menor) - el precio medio son in;ersamente proporcionales a las cantidades &ue se mezclan,' De esta propiedad fundamental se deduce la si!uiente fórmula: P − P P y = donde: P x P − Q
P: precio ma-or M: precio menor PP: precio promedio' `: cantidad de precio P' X: cantidad de precio M' En la mezcla in;ersa se presentan 3 casos: () Dado el precio promedio - los Aritmética
precios de los in!redientes% determinar cada cantidad: E0m': si se desea otener ;ino de S$'$ el litro' >*u.ntos litros de SB$'9$ - SB'$'5$ deo mezclar?' olución: P − P P P P − Q
y x
=
=
y x
⇒
− 0.8 y = 0.8 − 0.5 x 0.9
1 3
/
= 3Por lo tanto para otener ;ino de SB'$'$ el litro por cada litro de ;ino de SB'$'5$ deemos ec@ar 3 litros de SB$'9$' )
Dado el precio promedio% los precios de los in!redientes - la cantidad total de la mezcla% @allar las cantidades de los in!redientes: E0m': *on los datos del e0emplo anterior% determinar cu.ntos litros de cada tipo de ;ino se necesitan para otener 1$ litros de mezcla de SB$'$ el litro: olución: *omo - / = 1$ litros adem.s / = 3 - 3- = 1$ - = #$ litros / = 3$ litros
*) Dado el precio 5 promedio% los precios de los in!redientes - la cantidad de uno de ellos% @allar la cantidad d e los otros'
Segundo Año
Segundo Año
E0m': >Mué cantidad de arroz de B'2'$$ el Lilo!ramo de B'#'5$ el K!' - de B'#'6$ el K!' ser. necesario aAadir a 6K! de arroz de B'#'9$ para &ue el K! de mezcla se pueda ;ender a B'#'$ sin !anar ni perder?' olución: Deemos relacionar cada cantidad mediante la fórmula: ea /: nmero de K! de arroz de B'2'$$' -: nmero de K! de arroz de B'#'5$' z: nmero de K! de arroz de B'#'6$' V: nmero de K! de arroz de B'#'9$' [
S / .200 − S / .1.80 S / .1.80 − S / .1.50
[
0.2 0.3
=
y x
y
⇒
x
=
0.2
=
z x
⇒
z x
S / .1.80 − S / .1.60 0.1 0.2
=
z %
⇒
1 2
=
=
z x
=1
S / .1.90 − S / .1.80
x
3
S / .1.80 − S / .1.60 0.2
y
2
S / .200 − S / .1.80
[
=
=
z %
z %
Pero V = 6K!% entonces: z = VB2 = 3K! 59 / = z = 3K! -=
2 3
Aritmética
/ = 2K!
-
Me>c!s !co<.ic!s: e presentan cuando uno de los in!redientes de la mezcla es alco@ol' 7a concentración Ho !rado) de alco@ol de una mezcla alco@ólica es la relación &ue e/iste entre los ;olmenes del alco@ol - el total de la mezcla' ó
HQ)
•
II2
!=
&o'men de aco(o /#$ &o'men de a mezca $
i mezclamos alco@oles con diferente !rado' !m HQ) =
&o'men tota aco(o &o'men tota mezca
=
+ g C + ... + g $ C $ C + C + ... + C $
g 1C 1
2
1
2
2
donde: !m: !rado o concentración media !L: concentración de cada tipo de alco@ol' *L: cantidad de cada tipo de alco@ol'
Obse"v!ci.n: • i !m = $Q Co @aalco@ol en la mezcla
i !m = #$$Q 7a mezcla es alco@ol puro' Ae!ci.n: Es un caso especial de mezcla en la cual se unen dos o m.s metales para dar ori!en a otro &ue conser;a las propiedades de los metales &ue lo ori!inaron' *uando uno de los metales &ue inter;ienen en la mezcla es el mercurio% a dic@a mezcla aleati;a se le conoce como ((78(('
2)
e llaman metales corrientes o inferiores al zinc% core% @ierro% etc' 3) 7a le- H7) de una aleación ;ara de cero a uno' i 7 = $% no @a- metal fino en • la aleación' • i 7 = #% la aleación es metal fino puro' 1) (l!unos e0emplos 6$de aleaciones son: ronce = core estaAo • • (lpaca = oro plata 5) e denomina K7("E a la unidad de pureza &ue presenta un metal precioso' Fara de cero al 21' 7=
-
Le? +e os %et!es /L$: Es la comparación H!eneralmente en milésimas) del peso del metal fino respecto al peso de la aleación' % MF 7= donde: % A VW = peso del metal fino V ( = peso de la aleación Gser;aciones: #) e llaman metales finos o superiores al oro% plata - platino'
Aritmética
6)
+m
) 24
+7e- de oro,
donde K = Lilate i se mezclan metales de distintas le-es: %tota ( meta *ino ) =
%tota ( aeacion)
+1%1 + +2 %2 +1 + +2
=
+ ... +n % $ + ... + + $
donde: 7L: le- de cada metal VL: peso de cada metal
Segundo Año
Segundo Año
(B presente en el compuesto?' 6) >Mué cantidad de ;ino de 1$ soles el litro se deen aAadir a #57 de ;ino por B'55 para &ue la mezcla resulte de 1 soles?' PROBLEMAS PARA LA CLASE #) e tiene una mezcla &ue contiene 7 de alco@ol - 27 de a!ua' >*u.l es la concentración de la mezcla?' 2) En un recipiente @a- 22$7 de alco@ol puro' i se &uiere en;asar en frascos &ue dicen tener concentración de $' >*u.ntos litros de a!ua se @a adicionado al recipiente?' 3) e mezcla +(, 7 de alco@ol de 4$Q con +3a 7 de alco@ol de 56Q #$7 de a!ua% resultando alco@ol de 55Q' *u.ntas toneladas se e/tra0o de cada zona?' 5) *-nt@ia tiene un pro-ecto &umico &ue cuesta #5 soles cada litro' i sus componentes son ( - &ue cuestan% respecti;amente% B'2$ B'5 por litro' >*u.l es la relación Aritmética
4) e ;ende #7 de lec@e adulterada con a!ua% &ue pesan #9%29K!' i la lec@e pura pesa #%$ K! cada litro' >*u.nta a!ua se empleó en la adulteración?' ) n comerciante mezcla 2 tipos de fre0ol de 5$ - 1$ soles el L!' poniendo #$K! m.s de un tipo &ue de otro ;ende todo a B'56 el K!' de esta forma !ana B'#$ por Lilo' >*u.l es la !anancia de ;ender todo el fre0ol?' 9) e @ace una mezcla de a!uardiente de 2 precios de B'2%25 - B'2%45 el litro en proporción de 3 es a 2' >*u.l dee ser el precio de ;ender por litro para otener una !anancia del 3$' #$) n comerciante compra 157 de un tipo de ;ino - 367 de otro - pa!a en total B'#296'
;ender el litro de la mezcla para !anar al final 1$5 soles' ##) e tiene una mezcla de #2$7 de .cido - a!ua donde @a- 1$7 de .cido puro' i se e/trae $7 de mezcla' >*u.ntos litros &uedan de .cido puro?' #2) n recipiente tiene #$$K! de una mezcla de arena sal al 1$% de él se e/traen 5$K! de la mezcla'
le- es $%4' >*u.l es la nue;a le- de aleación?' #5) e tiene oro de 9 décimos fino H$%9) oro de # Lilates H$%45$)' >*u.ntos !rs' @a- &ue tomar de cada clase para otener 6$!rs' de le- $$ milésimas fino?' #6) e funden 2 arras de plata% una de 4$$!rs' de peso - le- = $%92$ - el otro 62 de 3$$!rs' de peso - le- = $%' e e/traen +n, !rs' de esta aleación &ue se reemplazan con +n, !ramos de una aleación de $%33% camiando la lede aleación total a $%93' Mué tanto de plata% en pesos pura inter;iene de cada una si al fundirlas la le- otenida es 4$$ - el peso de la aleación es de 3K!' e sae% adem.s% &ue el peso de la se!unda arra es el dole de la tercera?' ndicar el peso de plata pura &ue e/iste en la primera arra' #) e mezcló lec@e de 1$ soles el litro con lec@e de 1 soles' e ;ertió !an.ndose el 2$% mezcl.ndose 2592 soles en 5$7 de mezcla' >*u.ntos litros menos de lec@e mas cara &ue de lec@e m.s arata se usó en la mezcla?'
Segundo Año
Segundo Año
;ender el mezcla?'
Lilo
de
la
a) B'11 ) B' 15 c) B' 13'5
d) B' 12'5$ PROBLEMAS PARA LA CASA:
#9) Producir un Lilo de !alletas cuesta B'3$$% emolsarlo B'5$ transportarlo% B'2$' En el emolsado se pierde el #$ - en el transporte% el 5' >*u.l es el precio de ;enta del Lilo de !alletas si la utilidad dee ser el 25 del costo Hredondea decimales)' 2$) >Mué porcenta0e se !anó al ;ender una mezcla de 3 tipos de café: 5$L! de café a B'12$ el Lilo% 6$ Lilos de café de B'13$ el Lilo - 2$ Lilos de café de B'1$ el Lilo si en total se otu;o B'63432?'
#) e mezcla alco@ol de 55Q6346Q con alco@ol puro% oteniéndose #2$7 de alco@ol de 43Q' ( cómo se dee
Aritmética
e) B' 15'5$
1) e mezcla alco@ol de 1$Q 61Q con a!ua% oteniéndos1e #6$7 de alco@ol de 32Q' i los ;olmenes de alco@ol de 61Q - a!ua son entre s como 3 es a 5% @allar >*u.ntos litros de alco@ol se utilizó?' a) 357 ) 1$7 c) 6$7 d) 457 e) $7 5) i se mezclan +/, Lilos de arroz de B'H/ – #) el K! con +/, Lilos de arroz de H/#) K! el Lilo% el precio de un Lilo resulta B'6$' i se mezclase el dole de la cantidad inicial del #Q arroz con el triple de la cantidad inicial del 2Q arroz' >*u.l sera el precio de un Lilo de dic@a mezcla?' a) B'59'$ ) B'6$'2$ c) B'62'5$ d) B'62 e) B'4$ 6) i un litro de mezcla formado por 1$ de alco@ol - 6$ de a!ua Aritmética
pesa $$ !rs' >*u.nto pesar. un litro de mezcla formado por #$ de alco@ol - 9$ de a!ua?' a) #3$$! ) 9$$!r c) #$$$! d) 95$! e) #35$! 4) e tiene una solución de $7 de .cido &ue contiene #57 de .cido puro' >*u.ntos litros de a!ua deemos a!re!ar a fin de &ue el .cido sea el #2'5 de la mezcla?' a) 3$7 ) 25'257 c) 32'257 d) 3#'257 e) C'(' ) n recipiente contiene #$7 de mezcla alco@ólica al 3$' i se le a!re!a 57 61la de alco@ol - 57 de < 2G' >*u.l ser. nue;a concentración de la mezcla?' a) 2$ ) 1$ c) 5$ d) 6$ e) $ 9) e tiene alco@ol de 3Q' i se le e/trae la mitad de la cantidad de a!ua &ue tiene' >De cuantos !rados es la nue;a mezcla?' a) 51Q ) 55'#Q c) 5'2Q d) 6$Q e) 53Q #$) e @a mezclado 6$K! de una sustancia +(, de B'5$ el K! con otra% +, cu-o peso representa el 25 del peso total - @a otenido como precio medio B'14%5 soles' >*u.l es el precio del L! de la sustancia +,?' a) #2'5 ) #5 c) '5 d) #$ e) 24'5
Segundo Año
Segundo Año
##) n comerciante tiene ;ino de B'# el litro le a!re!a una cierta cantidad de a!ua - otiene una mezcla de #2$7 &ue se ;ende en B'2$4$' i en esta ;enta !ana el 2$ del precio de ;enta' >*u.ntos litros de a!ua contiene la mezcla?' a) #67 ) 27 c) 1$7 d) 317 e) 17 #2) na aleación de plata - core% &ue pesa #1$!rs - tiene una le- de $%92$ se otu;o de fundir 2 lin!otes% de los cuales uno pesa 6$!rs' - es plata pura' De cu.ntos Lilates resulta la aleación de las 2 arras?' a) 21L ) 22L c) 59L d) #'1L e) #6%5L #1) >*u.l es la le- otenida al fundir: #) 2)
2$ !rs de oro de # Lilates' 2$ !rs de oro de $$ milésimos' 3) 3$ !rs de oro de 6 décimas finos 1) 3$ !rs de core?
a) ##'46K ) #2K Aritmética
d) 2$K
e) C'('
#5) e tiene una arra de estaAo de $'5 de le- >En &ué relación% en peso% dee &uitarse las cantidades de estaAo - core para &ue la le- se conser;e?' a) 3:#4 ) #6:5 c) 5:#6 d) #4:#6 e) #4:3 "E(: "EGRb( DE 7( DF7D(D 65 *oncepto: 7a di;isiilidad es una parte de la aritmética &ue estudia todas las condiciones &ue re&uiere un nmero para ser di;isile por otro' e dice &ue un nmero es di;isile por otro cuando el cociente de su di;isión resulta siempre un nmero entero' ena a% - c nmero enteros: i a ó $ * a b
=c
Entonces podemos afirmar &ue: +a, es mltiplo de +, +, es di;isor de +a, Gser;ación • +a, es mltiplo de +, se denota: a = a = L' Donde K es una constante de proporcionalidad'
•
constante% el producto si!ue siendo mltiplo de n:
+, es di;isor de +a, se denota: = da'
0
P"opie+!+es: #) El cero es mltiplo de todos los nmeros enteros% e/cepto de él mismo' 2) El uno es di;isor de todos los nmeros enteros% sin e/cepción' 3) "odo nmero es mltiplo - di;isor de s mismo% e/cepto el cero: $ $
0
0
0
0
0
c) #5K Aritmética
2 2
0
= 2 Hs cumple)
#5 $
1)
5 3 0
0
0
#5 = 5 5 = 5 3 = 3
15 5
66
0
≠ 5 Hno cumple)
#$)
i un nmero di;ide a ;arios% di;ide a la suma de éstos: E0m: 1% % #$ - #2 son di;isiles por 2 1 #$ #2 = 31 - 31 ÷ 2 = #4 31 es di;isile por 2'
##)
i un nmero di;ide a ;arios% di;ide a la diferencia de 2 de ellos: 4% #1% 2# - 2 son di;isiles por 4 2 – 2# = 4 es di;isile por 4'
#2)
"odo nmero &ue no sea di;isile e/actamente por otro nmero% puede ser representado como la suma de un
0
n n Z n Z n = n 4) (l multiplicar un mltiplo de +n, por una
0
n / n = n 9) El cociente de mltiplo de +n, no siempre dan mltiplo de +n,: E0m': 1 $ 2 = 2 1 = 2 2 = 2
= 1 entero
7os mltiplos de un nmero entero son tamién nmeros enteros pero son ilimitados' E0m': 5 = o ± 5 ± #$ ±#5 '''' 5) 7os di;isores de un nmero entero son tamién nmeros enteros - son limitados' E0m': d#2 = # 2 3 3 1 6 #2' 6) 7a suma o resta de mltiplos de un nmero +n, dan como resultado otro mltiplo de +n,:
0
n K = n ) El producto de mltiplos de +n, es un mltiplo de +n,
Segundo Año
Segundo Año
mltiplo del se!undo nmero mas el residuo de efectuar la di;isión: E0m': #5 1 3 3 #5 = 1 / 3 3 #5 =
0
6) 2) i:
abcd =
#5 = 1 / 1 – #
#5
=
4
– #
residuo por e/ceso% oser;.ndose &ue la suma del residuo por e/ceso con el residuo por defecto es i!ual al di;isor: re!id'o por exce!o º
+
re!id'o por de*ecto
4)
0
abcd = 8
64
$$$ cd
= di&i!or
0
8
#3 5
#3 – 2# – #$
º
( =
1)
º
cd=3 7a suma de todas las cifras deen ser mltiplo de 3' 5)
0
4d = 2 6 7a ltima cifrasólo puede tomar los ;alores: $%82% 1% 6 u ' 2
Aritmética
º
0
abcd = 3
a
C"ite"ios +e ! +ivisibii+!+: #) Di;isiilidad por 2H2H#)) º i: abcd = 2
Di;isiilidad por 9: i:
0
abcd = 9
a
#$)
Di;isiilidad por 4:
cd=9 7a suma de todas las cifras deen ser mltiplo de 9'
)
abcd =
Z3 Z# 32# Z2
##)
por
0
125
000 bcd 125 0
7as tres ltimas cifras deen ser ceros o mltiplos de #25' Aritmética
0
7
3d 2e f – 3a – 2 – c =
Di;isiilidad #25H53) i:
abcde* =
e cumple:
00 25 cd 50 75
Di;isiilidad por 3: i:
2# ##
= #$ 7a ltima cifra dee de ser cero'
7as dos ltimas cifras deen ser ceros o mltiplo de 25'
7as tres ltimas cifras deen ser o ceros o mltiplos de '
º
d
Di;isiilidad por 25H52) i: abcd =º 25
Di;isiilidad por H2H3)): i:
0
abcd = 10
i:
7as dos ltimas cifras deen ser o ceros o mltiplo de 1' 3)
Di;isiilidad por #$: i:
7a ltima cifra sólo puede ser cero o cinco'
4
0
9)
0 d = 5 5
4
0
Del e0emplo de la anterior propiedad se deduce &ue:
C=
0
cd
defecto' #3)
Di;isiilidad por 5 H5#) i: abcd = 5
$$
3 residuo por
4
Di;isiilidad por 1 H2 ): H2)
0
7
Di;isiilidad por ##: i: abcde =º ## ZZ
6
de derec@a a iz&uierda
e dee cumplir: a – c – d e = ## Obse"v!ci.n: i un nmero es mltiplo de P - a la ;ez es mltiplo de M% entonces ser. mltiplo de P - M' 0
# = 2 #
-
= 2 × 3 = 0
0
6
0
# = 3
Segundo Año
Segundo Año
3) En una reunión se oser;a &ue la séptima parte de las mu0eres son altas - los 5B#2 de los @omres son !ordos' i en total asistieron 43 personas' >*u.ntas eran mu0eres?' 1) i un nmero es a la ;ez mltiplo de 6 - ser. mltiplo de: 5) >*u.ntos nmeros de 2 cifras son mltiplos de 3?' 6) i un nmero es a la ;ez 0 0 69 5 5' >er.
12
PROBLEMAS PARA LA CLASE: #) En una fiesta donde @aan #2$ personas entre damas% caalleros - niAos% el nmero de caalleros &ue no ailaan en un momento era i!ual a la tercera parte del nmero de damas el nmero de niAos era la &uinta parte del nmero de damas - la cuarta parte del nmero de damas fue con ;estido lanco' >*u.ntas damas no ailaan en ese momento?' 2) >*u.ntos nmeros de la si!uiente lista son mltiplos de #3?: $% #2% #3% 25% 36% 39% 52% 56% 61% 4% 65'
Aritmética
18
mltiplo de cu.l nmero?' 4) (l di;idir 3 nmeros enteros entre 14 dieron de residuos: 5% 3# - 1#' *u.ntos desaproaron el e/amen% saiendo &ue dic@a cantidad es mnima?'
9) n !ran0ero cuenta los animales &ue tiene por decenas% docenas - de &uince en &uince - en cada caso le soran 4 animales' i el nmero de animales es el ma-or posile% pero menor &ue 6$$' >*u.ntos ser.n éstos?' #$) e dispone de B'#$$ para comprar 1$ estampillas de B'#% B'1 - B'#2' i deseamos comprar aun&ue sea una sola estampilla de cada ;alor' >*u.ntas estampillas de B'# se compraron?' ##)
Aritmética
parte de Lilo!ramos &ue el se!undo% entonces el saco &ue no se ;endió fue el de: #3) Determinar un nmero de 1 cifras di;isile por 99 tal &ue si se di;ide entre 1 - 25 los residuos son 3 - #% respecti;amente' Dar como respuesta la cifra de la centena de dic@o nmero' #1)
Ha
)
2 ab 22 ab 222 ab ... 52 ci*ra!
si
:
es un mltiplo
de 9 adem.s a ≠ ' #5) i a un nmero de 5 cifras se le resta el nmero &ue resulta de in;ertir el orden de sus cifras se oser;a &ue la diferencia es tamién un nmero de 5 cifras% si de este nmero se le tac@a una de esas cifras% se oser;a &ue la 4$#la suma de las restantes es 2$'
#4) i H136)3/5 = Determinar – a:
% di;idido por 9' a80b1ab6 a8 '
Segundo Año
Segundo Año
#) En un anco donde ;ia0aan #$$ personas ocurre un naufra!io' De los sore;i;ientes se oser;a &ue la oncea;a parte son niAos - &ue la &uinta parte de los muertos eran casados' >*u.ntos murieron?'
#9) (l con;ertir el nmero 39 ab1 al sistema undecimal Hase = ##)' 7a cifra del primer orden es: 2$)
como residuo 1 - 6 respecti;amente?' a) 2 ) 1 c) 6 d) 3 e) 5
PROBLEMAS PARA LA CASA: #)
a) # ) 2 c) 3 d) 1 e) $ 3) >*u.ntos nmeros de 2 cifras cumplen &ue al ser di;ididos entre 5 - 9% de0an Aritmética
1) n 0o;en% durante todos los das del mes de diciemre% desarrolla una dieta sin!ular% desa-una: pa;o% panetón o c@ocolate a un costo% en cada caso% de #5 ## - 6 monedas% respecti;amente' i su !asto monetario no e/cede las #6 monedas' >*u.ntas maAanas desa-unó c@ocolate si% durante todo el mes !astó 269 monedas?' a) #1 ) #6 c) #9 d) 2$ e) #$ 5) n estudiante perdió un décimo de lotera - no recordaa el nmero% pero si &ue era un nmero de 1 cifras di;isile por 5 9 - ## - &ue la primera - ltima cifra eran i!uales' >*u.l es el nmero?' Dar como respuesta la cifra ma-or de dic@o nmero' a) 5 ) 1 c) d) 4 e) 6
Aritmética
6) Determinar el ma-or nmero menor &ue 6$$% tal &ue al restarle su *'('% de cómo resultado un nmero mltiplo de #4' Dar como respuesta la suma de sus cifras' a) #5 ) 2# c) #4 d) # e) 2$ 4) n nmero capica de 5 cifras es di;isile por 55 si sus millares enteros son di;isiles entre #9' >*u.l es el ;alor de la cifra central?' a) 2 ) 1 c) 6 d) e) 9 ) e tiene un nmero formado por 9 cifras% las primeras 5# son - las restantes% 6' *u.ntos nmeros capicas de 1 cifras son di;isiles por 63?' 42 a) # ) 3 c) 2 d) 1 e) 5 #$) n nmero de 3 cifras es m3% si se le restan 2 unidades% se con;ierte en m##' Dar como respuesta la suma de sus cifras' a) 6 ) #5 c) #2 d) 9 e) 3 ##)
Segundo Año
a) 6
Segundo Año
) 4
c)
d) 5
e) 9
#2) >Mué lu!ar ocupa en la serie: 59% 6$% 6#'' el 1to nmero &ue es 4 2?' a) Fi!ésimo se!undo ) Fi!ésimo cuarto c) Fi!ésimo se/to d) "ri!ésimo e) Fi!ésimo
mu0eres &ue asistieron' >*u.ntas mu0eres asistieron?' a) 31 ) 56 c) 22 d) #2 e) 2
dH25) = # 5 25 ∴ # - 25 son PE
0
#3) i C = 5 # -: C=
ab
ab
ab
ab
entonces el mnimo
de ab ser.: a) #9 ) #4 c) ## d) #3 e) 2# #1) De un !rupo de 3 personas% la tercera parte de las mu0eres tiene o0os ne!ros - la oncea;a parte de los @omres tienen o0os azules' >*u.ntas mu0eres no tienen o0os ne!ros?' a) 1 ) 1 c)
7lamados tamién primos relati;os o coprimos' on a&uellos &ue poseen como nico di;isor comn a la unidad H#)' E0emplo: dH#) = # 2 3 6 9 #
TEMA: N@MERO PRIMO N@MERO COMPUESTO: 43 N%e"os p"i%os: "amién llamados PRG (G7"G' on a&uellos nmeros &ue carecen de le- de formación al!una% por tener sólo di;isores: la unidad - él mismo' Obse"v!ciones: #) El menor - nico nmero primo par es el 2' 2) 7os nicos nmeros primos consecuti;os son el 2 - el 3' 3) "odo nmero primo ma-or &ue 4 termina en # ó en 3 ó en 4 ó en 9' N%e"os p"i%os ent"e s/PESI$:
P"opie+!+es +e os n%e"o p"i%os: #) i un nmero es primo entre s de una potencia% tamién lo ser. de su ase' 2) El con0unto de los nmeros primos es ilimitado' 3) "odo nmero entero tiene por lo menos # factor primo ma-or &ue la unidad' 1) "odo nmero primo &ue di;ide a un producto de ;arios factores% di;ide por lo menos a uno de los factores Hteorema de (r&umedes)' Worma de reconocer a un nmero primo: #) (l nmero dato se le @alla su raz cuadrada por e/ceso'
Aritmética
2)
e uican a todas los nmeros primos menores &ue la raz del nmero dato' 3) e d i;ide e l nmero d ato con cada nmero primo menor &ue su raz% si no se presenta di;isión e/acta entonces ser. un nmero primo' E0emplo: 34 #) 37 = 6% sorando # 2) Primos menores &ue 6: 2% 3 - 5 3) 3# 2 34 3 34 5 # # # #2 2 4 ∴ 34 es nmero primo C"ib! +e E"!t.stenes: *omo no e/iste una fórmula &ue comprenda todos los nmeros primos% es mu- con;eniente formar una tala &ue conten!a todos los nmeros primos @asta un cierto lmite: se llama *R( DE ER("J"ECE' Pide a-uda a tu profesor para identificar los nmeros primos' 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91
2 12 22 32 42 52 62 72 82 92
3 13 23 33 43 53 63 73 83 93
4 14 24 34 44 54 64 74 84 94
5 15 25 35 45 55 65 75 85 95
6 16 26 36 46 56 66 76 86 96
7 17 27 37 47 57 67 77 87 97
8 18 28 38 48 58 68 78 88 98
9 19 29 39 49 59 69 79 89 99
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
N%e"o co%p&esto: "odo a&uel nmero &ue tiene m.s de 2 41 di;isores se llama nmero compuesto' E0m': d1 = # 2 1 ∴ 1 es un nmero compuesto Obse"v!ci.n: El nmero uno no es un • nmero primo ni un nmero compuesto% forma un con0unto unitario: el con0unto de los nmeros simples'
Segundo Año
Segundo Año
•
{1} ∪ { n-mero! primo!} ∪
= comp'e!to! n'mero!
I' Donde I es el con0unto de los nmeros enteros positi;os' Descomposición canónica de un nmero compuesto: *onsiste en di;idir un nmero dado en todos sus factores primos sucesi;amente @asta a!otarlos' E0emplo: Descomponer el nmero #41$ en sus factores primos' #41$ 2 4$ 2 135 3 #15 5 29 29 # #41$
= H2/2) / 3 / 5 / 29 2 # # # #41$ = 2 / 3 / 5 / 29 Worma !eneral: C = Ha)α H)γ Hc)β Donde: a% - c son nmeros primos' α% β - γ son nmeros enteros positi;os' Re!la para determinar los di;isores de un nmero: #) e descompone el nmero en factores primos' 2) e escrie # H&ue es di;isor de todo nmero - a continuación se
Aritmética
ponen las di;ersas potencias del primer factor primo' 3) e multiplican los di;isores @allados por las diferentes potencias del se!undo factor primo' 1) e multiplican todos los factores @allados anteriormente por las diferentes potencias del tercer factor primo - as sucesi;amente @asta &ue aparezca el nmero ori!inal' E0emplo: Determinar los di;isores de 6$: 6$ = 3 / 5 / 2 2 # 2 1 3 6 #2 5 #$ 2$ #5 3$ H6$)
= H2 #) H# #) H# #) = #2 di;isores' uma de di;isores: Dado: C = aα β cγ di;HC)
= α +1 b β +1 − 1 c γ +1 − 1 a − 1 a − 1 b − 1 c − 1
Producto de di;isores: Dado: C = aα β cγ Pdi; HC) = $ n'mero de di&i!ore! de $
1) >*u.ntos ceros @a- &ue a!re!ar a la derec@a de 999 para &ue ten!a 2$$ di;isores?' 5) e da C = abcd &ue tiene #1 di;isores' >*u.l es la suma de sus factores primos% si las cifras del nmero suman #?' 6) i aabb tiene 2# di;isores - se sae &ue uno de ellos es el nmero % calcular +a,' 4) El nmero de di;isores di;isiles entre 9 &ue tiene #9$$ es:
3 5
)
∴ #2 di;isores
C!nti+!+ +e +iviso"es: El nmero total de di;isores es i!ual al producto de 45 los e/ponentes de los factores primos aumentado en #' ea: C = aα β cγ Cmero de di;isores = Hα #) Hβ #) Hγ #) E0m': >*u.ntos di;isores tiene 6$? 6$ = 22 / 3# / 5# = aα β cγ Cmeros de di;isores de 6$
3) i +a, es el nmero de di;isores de 646 - adem.s +, es el nmero de di;isores de aaa '
PRG7E( P(R( 7( *7(E: #) >*u.ntos di;isores primos pueden tener un nmero si tiene 2$ di;isores?' 2)
9) >*u.ntos di;isores de terminan en # 3 4 ó 9?'
19#1$
#$) >*u.ntos di;isores primos tiene el nmero ababab si ab es46un nmero primo ma-or &ue 34?' ##)
Segundo Año
Segundo Año
#2) Determinar +K,% si 9 Z 9 tiene 9$ di;isores' L2
L
#3) >*u.ntos ceros pon!o a la derec@a de 19 para &ue el resultado ten!a 239 di;isores compuestos?' #1) >*u.l es el menor nmero de términos &ue dee tener la si!uiente serie para &ue su suma ten!a 6 di;isores?' = Z# 9# 9# ''' #5)
#9) 7a suma de 2 nmeros es #2$$% determinar el ma-or de ellos% saiendo &ue los cocientes otenidos al calcular sus * por el al!oritmo de Euclides son: 3 # 3 5' 2$) En la platea del teatro% por el concepto de entradas% se @a recaudado en 3 das: 5$6% 33 1$32 soles% respecti;amente' Determinar cu.ntas personas asistieron al teatro en los 3 das% saiendo &ue el precio de entrada es el mismo en los 3 das - est. comprendido entre #$ - 2$ soles'
#4) >En cu.ntos ceros termina 6$$ ?'
#) e trata de depositar el aceite de 3 arriles &ue tienen 2#$ 3$$ - 12$ litros de capacidad en en;ases i!uales entre s' >*u.l es la menor cantidad de en;ases &ue se empleara para &ue todos estén llenos - no se desperdicie aceite?'
Aritmética
PROBLEMAS PARA LA CASA #) >Entre cu.ntos nmeros 44 se puede di;idir a 24# - 3452 para otener como residuos a 9 - en todos los casos?' a) 3 ) 1 c) 5 d) 6 e) 4
soles para comprar 0u!uetes de un solo tipo sin &ue sore dinero' >Entre cu.ntos tipos de 0u!uetes podr. esco!er?' a) # ) 2 c) 3 d) 1 e) 5 3) *u.l es la suma de sus cifras?' a) 6 ) c) #$ d) # e) 21 5)
2) En una tienda @a- 0u!uetes de ## #3 #5 #4 #9 - 2# soles' e dispone de 6$ Aritmética
6) n padre da a su @i0o $$ soles% al se!undo de sus @i0os B'49$ - al tercero% B'6$$ para repartir entre los pores% de modo &ue todos den la misma cantidad a cada pore' >*u.l es la menor cantidad de pores &ue podran socorrer cumplimiento las órdenes del padre?' a) 1$ ) 1# c) 12 d) 13 e) 15 4)
2 # es esa?' a) 99 d) 49
0
7
6 -
0
10
– #' >Mué edad
) 96 e) ##9
c) 69
9) >*u.ntos nmeros de 3 cifras son di;isiles a la ;ez por 1 5 6 ?' a) 5 ) 6 c) 4 4 d) e) 9 #$) >*u.l es la ma-or parte de 4 &ue di;ide a 35$ ?' a) 45$ ) 45 c) 4319
