MEDIA ARITMÉTICO PARA DATOS NO AGRUPADOS Llamada también promedio, se denota
(cuando es poblacional) y por
x (cuando
es
muestral) La media es una medida muy útil para p ara comparar dos o más poblaciones.
Media poblacional ( ) si hay N obser observac vacion iones es en en el conj conjunt unto o de datos datos de de la población, la media se calcula así: Media poblacional X
=
X 1
X 2
N
...
X N
N
Donde es el signo de sumatoria que indica que se suman todas las observaciones desde i=1 hasta i=N
Media de una muestra l ( x ) x
=
xi
x1
n
...
x 2
x n
n
En donde: X1 = son los datos observados de la población x1= son los datos observados de la muestra N = tamaño de la población n = tamaño de la muestra = Letra griega “que “que indica suma”
Ejemplo1: Suponga que se tiene una muestra de los ingresos mensuales en miles de dólares para 5 meses: 56, 57, 52, 45, y 67, la media muestral muestral será:
[Escribir texto]
x =
= 57.4
Ejemplo 2 Hay 12 empresas de autos en estados Unidos. Se presentan el número de patentes otorgadas el año pasado por dicho pais a cada negociación:
Empresa
Número de patentes
Empresa
Número de patentes
General Motors
511
Mazda
210
Nissan
385
Chrysler
97
DaimlerChrysler
275
Porsche
50
Toyota
257
Mitsubishi
36
Honda
249
Volvo
23
Ford
234
BMW
13
a) ¿La información anterior es una muestra o una población? b) Halle la media aritmética e interprete. Solución: a)Es una población por que se consideran todas las compañías automovilísticas que obtuvieron patentes. b)
=
511 385 ... 13
2340
12
12
195
Interpretación: El número promedio de patentes recibido por una empresa es de 195. (Este valor es un parámetro poblacional).
Nota: La media aritmética es la única medida de tendencia central donde la suma de las desviaciones de cada valor, respecto a la media, es siempre igual a cero. Simbólicamente es
[Escribir texto]
( X
X )
0
Por ejemplo: La media de 3, 8, y 4 es 5. Entonces
( X
X )
(3 5) (8 5) (4 5)
0
Desventaja de la Media: -
Si en el conjunto de datos hay alguno o algunos demasiado grandes o muy pequeño con relación a los demás, la media se distorsiona, por lo tanto no seria conveniente usarla como medida de tendencia central.
La Media Ponderada En la discusión sobre la media, se asume que cada discusión era de igual importancia. Sin embargo, en ciertos casos, puede quererse dar mayor peso a alguna de las obse rvaciones.
Ejemplo Si el profesor de estadística, dice que el examen final valdrá el doble de los otros exámenes para determinar la nota final, entonces al puntaje que se obtenga en el examen final debe dársele el doble de peso. Es decir, que debe contarse doble al calcular la nota. Esto es exactamente lo que hace la media ponderada al utilizar la formula X w =
en donde
X w es
la media ponderada
X es la observación individual W es el peso o ponderación asignada a cada Observación. Se asume que se tuvo un puntaje de 89,92 y 79 en los exámenes parciales y 94 en el examen final. Estos puntajes y sus respectivas ponderaciones están reflejados en la tabla Calculo de la media ponderada X w =
=
Nota(x) 49 92 79 [Escribir texto]
= 89,6 Peso(w) 1 1 1
Xw 89 92 79
94
2 5
188 448
Este método es igual que sumar la nota del examen final 2 veces al calcular la media X w =
= 89,6
Media ponderada: la media ponderada toma en cuenta la importancia relativa de las observaciones
La mediana (Me) También llamada media posicional, porque queda exactamente en la mitad del conjunto de datos, después de que las observaciones se han colocado en serie ordenada de menor a mayor o lo contrario. La mitad de las observaciones estará por encima de la mediana y la otra mitad estará por debajo de ella. Tiene como ventaja sobre la media aritmética que los valores muy grandes o muy pequeños con relación al conjunto de datos no tiene ninguna influencia sobre ella.
Mediana para datos no agrupados. - Si el conjunto de datos tiene un número impar de observaciones la posición de la mediana es (después de organizar los datos de menor a mayor o lo contrario): Posición de la Me=
; o simplemente el valor del centro, en caso de numero de observaciones
sea pequeño -
Si el conjunto de datos es par, es necesario promediar los dos valores medios, también podemos utilizar la formula : Me=
-
Ejemplo 1
-
Suponga que se toma una muestra de los ingresos mensuales en una empresa en miles de dólares (5 meses) US$ 56, 57, 52, 45, y 67.
-
Hallar la mediana.
Ordenamos de menor a mayor: US $ 45, 52, 56, 57,67
[Escribir texto]
La posición del valor de la mediana será: posición de M e=
= 3 ósea será el dato de la tercera
posición, es decir: US $56 = M e Interpretación: La mitad de los ingresos estuvieron por debajo de US $56.000 -
Ejemplo 2
Si en el mismo ejemplo el número de ingresos de ventas es Par: US $35, 45, 52, 56, 57,67 (ya ordenados) el valor de la mediana será: Posición de la mediana Posición= Me =
= 3.5 =
= 54, Interpretación: La mitad de los ingresos estuvieron por debajo de US
$54.000
La Moda. (Para datos no agrupados) Es la observación que ocurre con mayor frecuencia
Ejemplo 3 . Utilizando el ejemplo anterior de: US$ 35, 45, 52, 56, 57, 67, 67 La moda es US $ 67(El ingreso con mayor frecuencia). Si por ejemplo se agregara otro ingreso (56) entonces el conjunto de datos sería bimodal, es decir con dos modas: US $ 56 y 67(Los ingresos con mayor frecuencia)
Ejemplo 4 Medidas de tendencia central La emisión de la revista fortune el 17 de febrero de 1991 reporto que en 1.997 reporto que en1996 las utilidades en millones de dólares de varias de las 500 mejores compañías que aparecen en la revista incluían: Epson Philips Morris Intel
US$7,510 6.246 5.157
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General electric
7,280
IBM
5,429
General motors
4,289
Calcules las tres medidas de tendencia central.
Solución: Media: tratando
los datos como una muestra se tiene que
X=
5,985
Mediana: primero
deben colocarse los datos en una serie ordenada. Si no están ordenados, la posición que se encuentra utilizando la formula 3.3 no tiene sentido. US$ 4,2895; 5,157; 5,429; 6,246; 7,280; 7,510 La posición de la mediana es 5,429+6,246 0
Me=
= 3.5. La mediana es el promedio de los valores 3 y 4: = 5,837, el 50% de las utilidades estuvo por debajo de US $
5,837
Moda: este conjunto de datos no tiene moda debido a que todas las observaciones ocurrieron con igual frecuencia
[Escribir texto]
