BAB II STATIKA PARTIKEL Resultante gaya Contoh Soal Dua buahgaya P dan Q beraksi pada suatu paku A. Tentukan resultannya ?
Pemecahan Grafis. Jajaran genjang dengan sisi sama dengan P dan Q digambar mengikuti skala. Besar dan arah gaya resultan diukur dan diperileh R = 98 N α = 350 R = 98 N
350
Hukum sehitiga dapat pula digunakan. Gaya P dan Q digambar dengan cara menghubungkan ujung dan ekor gaya. Kemudian bear dan arah gaya diukur R = 98 N α = 350 R = 98 N Pemecahan
Trigonometrik.
350 Hukum
segitiga
digunakan lagi, dua sisi dengat sudut diketahui. Dengan memakai rumus cosinus dapat dicari : R2 = P2 + Q 2 – 2PQ cos B
R2 = (40N)2 + (60N)2 – 2(40N)(60N)cos 1550 R = 97,73 N Sekarang,
dengan
memakai
rumus
sinus,
diperoleh: (1) Dari Persamaan (1) untuk A, dapat kita peroleh: Sin A = Dengan
kalkulator,
koefisienya
kemudian
pertama arkus
kita sinusnya
hitung kita
dapatkan A = 15,040
α = 200 + A = 35,040
Kita menggunakan 3 gambr utama menyatakan jawaban R = 97,7 N
350
Pemecahan Trigonometrik yang lain. Kita ganbar segitiga BCD dan menghitung CD = (60 N) sin 250 = 25,36 N
BD = (60 N) cos 250 = 54,38 N Kemudian, dengan menggunakan segitiga ACD, kita memperoleh
Tan
A=
Sekali lagi, α = 200 + A = 35,04 R = 97,7N
Contoh Soal Sebuah tongkang ditarik oleh dua kapal penyeret. Jika resultan gaya yang dilakukan oleh kapal penyeret se besar 5000-lb gaya diarahkan
sepanjang
sumbu
tongkang,
tentukanlah (a) tegangan pada setiap tali, dengan mengetahui a = 45°, (b) harga dari α agar tegangan pada tali 2 minimum.
a) Tegangan untuk a = 45°. Pemecahan secara Grafis.
Dengan
menggunakan
hukum
jajaran genjang dapat diperoleh diagonal (resultan) sebesar 5000 lb dengan arah ke kanan. Sisi-sisinya digambarkan sejajar dengan kedua tali. Bila gambar dilakukan mengikuti Skala, kita peroleh: T1 = 3700 lb
T2 = 2600 lb
Pemecahan Trigonometrik. Hukum segitiga dapat digunakan. Dapat kita lihat bahwa segitiga yang digambar merupakan setengah dari jajaran genjang. Dengan memakai rumus sinus, dapat dituliskan
Dengan kalkulator. kita hitung dahulu dan kemudian disimpan harga dari hasilbagi terakhir. Dengan mengalikan harga ini berturut-turut dengan sin 45' dan sin 300, kita memperoleh T1 = 3660 lb
T2 = 2590 lb
b) Mencari Harga a untuk T2 Minimum. Untuk menentukan harga a agar tegangan
pada tali 2 minimum, hukum segitiga kita gunakan. Dalam gambar yang ditunjukkan garis 1-1 adalah arah T, yang diketahui. Beberapa
kemungkinan
arah
T2
ditunjukkan oleh garis 2-2. Dapat kita lihat bahwa harga T2 minimum bila T, dan T2 Baling tegak lurus. Harga minimum T2 adalah T2 = (5000 lb) sin 30° = 2500 lb Bersesuaian harga T, dan α T1 = (50001b) cos 30° = 43301b α = 90° — 30° α = 600 Soal-Soal 2.1 Dan 2.2 Tentukan secara grafis besar dan arah gaya resultan dari dua gaya yang diturijukkan, dengan menggunakan (a) hukum jajaran genjang, (b) hukum segitiga.
3,5 kN
a
a
2.3 Dua bagian kerangka B dan C dipasang pada pelat A. Diketahui keduanya dalam keadaan tertekan dengan gaya 1200 lb pada B dan 1600 lb pada C, tentukan secara grafis besar dan h resultan gaya yang timbul pada pelat. 2.4 Dua bagian kerangka B dan C dipasang pada pelat A. Diketahui keduanya dalam keadaan tertekan dengan gaya 8 kN pada B dan 12 kN pada C tentukan secara grafis besar dan arah zultan gaya yang timbul pada pelat. 2.6 Gaya F yang besarnya 500 lb diuraikan menjadi dua komponen sepanjang garis a-a dan Tentukan dengan cars trigonometri sudut a, bila komponen F pada garis a-a adalah 400 lb. 2.7 Gaya F yang besarnya 400 N. Diuraikan atas dua kelompok sepanjang garis a-a dan b-b. ..igan trigonometri, tentukan sudut α, bila komponen F sepanjang garis b-b adalah 150 N.
2.7 Sebuah tiang pancang ditarik dari tanah dengan memakai dua tali seperti tampak pads gambar. (a) Diketahui a = 30°, tentukan dengan trigonometri besar gaya P sehingga gaya resultan yang timbul pads tiang vertikal. (b) Berapa besar resultan tersebut? 2.8 Sebuah mobil mogok ditarik dengan memakai dua tali seperti tampak pads gambar. Tegangan di AB sebesar 400 lb dan, sudut asebesar 20°. Diketahui resultan dari dua gaya tersebut bekerja di A diarahkan sepanjang sumbu mobil, tentukan dengan trigonometri (a) tegangan pads tali AC, (b) besar resultan kedua gaya yang beraksi di A. 2.9 Selesaikan Soal 2.8, misalkan tegangan di tali AB sebesar 2,4 kN dan a = 25° 2.10 Selesaikan Soal 2.7, misalkan a = 40° 2.11 Sebuah mobil mogok ditarik dengan memakai dua tali seperti terlihat. Diketahui tegangan pads tali AB sebesar 500 lb, tentukan secara trigonometri tegangan tali AC dan besar a sehingga gaya resultan yang timbul di A sebesar 800 lb gaya berada search sumbu mobil.
2.12 Sebuah tiang pancang ditarik dari tanah dengan memakai dua tali seperti terlihat pads gambar. Diketahui tegangan pads satu tali sebesar 120 N, tentukan dengan trigonometri besar dan arah gaya P sehingga resultannya merupakan gaya vertikal sebesar 160 N. 2.13 Selesaikan Soal 2.1 dengan trigonometri. 2.14 Tentukan dengan trigonometri besar dan arah resultan dua gaya seperti tampak pads gambar. 2.15 Jika resultan kedua gaya yang timbul pads tiang pancang dari Soal 2.7 vertikal carilah (a) harga untuk besar P minimum, (b) besar P tersebut. Soal-Soal 2.16 sampai 2.19 Tentukan kompnen x dan y setiap gaya yang terlihat pada gambar.
CONTOH SOAL 2.3 Empat gaya bekerja pada titik A, seperti pada gambar. Tentukan resultan gaya-gaya yang bekerja pada baut.
Jawaban. Komponen x dan y dari setiap gaya
ditentukan
secara
trigonometric,
seperti terlihat pada gam-bar, kemudian dimasukkan ke dalam tabel seperti di bawah ini. Menurut konversi yang diutarakan pada Pasal 2.7, besaran skalar menunjukkan komponen gaya tersebut mempunyai arah yang sama dengan sumbu koordinat yang bersangkutan. Jadi, komponen x dengan arah ke kanan dan komponen y dengan arah ke atas menyatakan angka positif.
Maka, komponen resultan adalah R2 = 199,1 N →↑
Ry =14,3 N T
Besar dan arah gaya resultan sekarang dapat ditentukan. Dari segitiga yang ditujukan pada gambar, kira perileh Tan α = R=
=199,6 N R = 199,6 N
4,10
Dengan kalkulator, perhitungan terakhir ini dapat diperoleh bila harga Ry disimpan ketika mula-mula dimasukkan ke dalam kalkulator; kemudian dapat dipanggil untuk dibagi dengan sin a. (Lihat juga catatan pada halaman 25).
2.20 Bagian CB dari catok terlihat menimbulkan suatu gaya P diarahkan sepanjang garis CB di balok B. Diketahui P harus mempunyai komponen horisontal sebesar 200 lb, tentukan (a) besar dari gaya P, (b) komponen vertikalnya. 2.21 Silinder hidraulik GE menimbulkan suatu gaya P diarahkan sepanjang garis GE pada bagian DF. Diketahui P harus mempunyai komponen tegak lures DF sebesar 600 N, tentukan (a) besar dari gaya P, (b) komponennya yang sejajar terhadap DE 2.22 Tegangan pada kabel penguat tiang telepon sebesar 370 lb. Tentukan komponen horisontal dan vertikal gaya yang ditimbulkan pada penambat di C 2.23 Tekanan bagian BC menimbulkan gaya 365 N diarahkan sepanjang garis BC di pen C Tentukan komponen horisontal dan vertikal dari gaya tersebut. 2.24 Dengan menggunakan komponen x dan y, selesaikan Soal 2.2. 2.25 Dengan menggunakan komponen x dan y, selesaikan Soal 2.1. 2.26 Tentukan resultan dari ketiga gaya dari Soal 2.17. 2.27 Tentukan resultan dari ketiga gaya dari Soal 2.16. 2.28 Tentukan resultan dari kedua gaya dari Soal 2.18. 2.29 Tentukan resultan dari kedua gaya dari Soal 2.19.
2.30 Dua kabel dengan tegangan yang diketahui dipasang pada puncak menara AB. Kabel ketiga AC digunakan sebagai penguat. Tentukan tegangan pada AC, agar resultan gaya yang beraksi pada A oleh ketiga kabel tersebut mempunyai arch vertikal. 2.31 Dua beban diterapkan pada ujung C dari lengan BC seperti terlihat. Tentukan tegangan kabel AC, diketahui resultan dari ketiga gaya yang diakibatkan di C hares diarahkan sepanjang BC.
2.32 Sebuah troli pengangkat menahan tiga gaya seperti terlihat. Tentukan pada gambar. Tentukan (a) harga sudut a untuk resultan dari ketiga gaya tersebut vertikal, (b) besar resultan tersebut. 2.33 Sebuah cincin dapat meluncur pada batang vertikal menahan tiga gaya seperti terlihat -ada gambar. Tentukan (a) harga sudut a untuk resultan ketiga gaya tersebut horisontal, (b) besar -esultan tersebut.
Soal-Soal 2.34 sampai 2.37. Dua kabel diikat bersama-sama di C dan diberi beban seperti terlihat. Tentukan tegangan di AC dan BC
CONTOH SOAL 2.4 Dalam suatu operasi bongkar muat kapal, sebuah mobil seberat 3500 lb diangkat oleh seutas kabel. Seutas tali diikatkan pada kabel tersebut di titik A dan ditarik agar mobil sampai di tempat yang dikehendaki. Sudut antara kabel dan arah vertikal adalah 2°, sedang sudut antara tali dan arah horisontal 30°. Berapa tegangan tali? Jawaban: Titik A dipilih sebagai benda bebas, diagram benda bebas kemudian digambarkan. TAB merupakan tegangan pada kabel AB, sedang TAC pada tali. Keadaan Seimbang. Karena hanya terdapat tiga gaya yang bekerja pada benda bebas, kita tuliskan segitiga gaya untuk menyatakan keadaan seimbang. Dengan rumus sinus kita tulis
Penyelesaian dengan kalkulator, mina-mina kita hitung dan kemudian disimpan harga koefisien yang terakhir. Mengalikan harga ini berturut-turut dengan sin 120° dan sin 2° kita peroleh
CONTOH SOAL 2.5 Tentukan besar dan arah gaya terkecil F, yang memungkinkan kotak berada dalam keadaan seimbang. Perlu dicatat bahwa gaya yang dikerjakan "rollers" pada kotak berarah tegak lurus pada bidang miring. Jawaban: Kita pilih kotak sebagai benda bebas, dengan menganggap bahwa kotak tersebut dapat diperlukan sebaga partikel. Kita gambarkan dengan benda bebas. Keadaan Seimbang. Karena hanya terdapat tiga gaya yang bekerja pada benda bebas, kita gambarkan suatu segi tiga gaya untuk menyatakan bahwa benda tersebut dalan keadaan seimbang. Garis 1-1 menunjukkan arah gaya P yank diketahui. Untuk memperoleh gaya F. yang minimum, kit; pilih arah F tegak lurus pada P. Dari geometri segitiga gaya yang digambarkan, kita peroleh F = (294 N) sin 150 = 76,1 N
α = 150
F = 76,1 N
150
CONTOH SOAL 2.6 Sebagai bagian dari rancangan perahu layar barn, rancangan diperlukan untuk menentukan gaya tarikan yang boleh diharapkan pada suatu kecepatan yang diberikan. Untuk itu, sebuah model dari lambung kapal yang dirancang ditempatkan dalam sebuah saluran percobaan dan tiga utas kabel digunakan untuk menjaga haluannya tetap di garis tengah saluran. Bacaan dinamometer menunjukan bahwa untuk kecepatan yang diberikan, tegangan pada kabel AB sebesar 40 lb dan pada kabel AE sebesar 60 lb. Tentukan gaya tarik yang ditimbulkan pada lambung kapal dan tegangan pada kabel AC. Jawaban: Pertama, sudut a dan 0 yang menetapkan arah kabel AB dan AC ditentukan. Kita tulis
α = 60,260
β = 20,560
Memilih lambung kapal sebagai benda bebas, kita gambar diagram benda bebas seperti terlihat. Diagram ini terdiri dari gayagaya yang ditimbulkan oleh ketiga kabel pada lambung kapal, juga oleh gaya tarik FD yang ditimbulkan oleh aliran. Karena lebih dari tiga gaya yang terlibat, kita harus menghitung kembali gaya-gaya ke dalam komponen x dan y. Komponen yang diarahkan ke kanan akan ke atas diberi tanda positif. Kita tulis
Keadaan seimbang. Karena lambung kapal dalam keadaan seimbang, resultan dari gaya-gaya harus sama dengan nol. Sebab itu ∑Fz = 0
∑Fy = 0
Masukkan harga-harga yang didapat untuk komponen-komponen, kita tulis
∑Fz = 0
-34,73 lb + 0,3512TAC + FD = 0
(1)
∑Fy = 0
19,84 lb + 0,9363TAC – 60 lb = 0
(2)
Dari persamaan (2) kita peroleh
TAC = + 42,9 lb
Dan dengan memasukan harga ini dalam persamaan (1)
FD = + 19,66 lb
Dalam melukiskan diagram benda bebas, kita ambil suatu arah tertentu untuk tiap gaya yang tak-diketahui.
Suatu
tanda
positif
pada
jawaban yang diperoleh menunjukkan bahwa arah yang diambil tersebut benar. Poligon gaya
yang
digambarkan
lengkap untuk
kemudian
menguji
hasil
dapat yang
diperoleh.
2.38 Dua kabel diikatkan bersama-sama di C dan diberi beban seperti terlihat pada gambar. Diketahui bahwa P = 400 N dan a = 75°, tentukan tegangan di AC dan BC.
2.39 Dua kabel diikatkan bersama-sama di C dan diberi beban seperti terlihat. Diketahui bahwa a = 25°, tentukan pegangan di AC dan BC. 2.40 Dua gaya P dan Q dengan besaran P = 600 lb dan Q = 800 lb ditetapkan seperti terlihat pada sambungan suatu pesawat. Diketahui bahwa sambungan tersebut dalam keadaan seimbang, tentukan tegangan pada batang A dan B. 2.41 Dua gaya P dan Q diterapkan seperti terlihat pada sambungan pesawat terbang. Tentukan besaran setiap gaya, diketahui bahwa sambungan dalam keadaan seimbang dan tegangan pada batang A dan B adalah TA = 240 lb dan TB = 500 lb. 2.42 Dua kabel diikat bersama-sama di A dan diberi beban seperti terlihat pada gambar. Diketahui bahwa P = 640 N; tentukan tegangan pada setiap kabel.
2.43 Dua kabel diikat bersama-sama di A dan diberi beban seperti terlihat pada gambar. Tentukan batas harga P untuk kedua kabel tersebut tetap terikat.
2.44 Untuk kabel pada Soal 2.39, carilah harga a.untuk tegangan sekecil mungkin (a) pada kabel BC, (b) pada kedua kabel secara serempak. Pada setiap kasus tentukan tegangan pada kedua kabel. 2.45 Untuk kabel pada Soal 2.38, diketahui bahwa pegangan maksimum yang diperbolehkan adalah 300 N pada kabel AC dan 400 N pada kabel BC. Tentukan (a) gaya maksimum P yang dapat diterapkan di C, (b) harga α yang sesuai.
2.46 Cincin A seberat 15 lb dapat meluncur pada batang vertikal tanpa gesekan dan dihubungkan dengan beban yang berlawanan C seberat 17 lb seperti terlihat pada gambar. Tentukan harga h sehingga rangkaian dalam keadaan seimbang. 2.47 Suatu kotak yang dapat digerakkan berikut isinya mempunyai 960 lb. Tentukan panjang rantai terpendek ACB yang dapat digunakan untuk mengangkat beban kotak tersebut bila tegangan pada rantai tidak melebihi 730 lb. 2.48 Suatu peti kayu dengan massa 300 kg, didukung oleh susunan tali dari kerek seperti tampak pada gambar. Tentukan untuk tiap susunan tersebut tegangan pada tali. (Tegangan tali mempunyai harga sama pada tiap sisi dari suatu kerek sederhana. Hal ini dapat dibuktikan dengan suatu cars yang akan ditinjau pada Bab 3).
2.49 Tentukan Soal 2.48 bagian b dan d, dengan menganggap bahwa ujung bebas dari tali diikatkan pada peti kayu.
2.50 Gaya P bereaksi pada suatu rods kecil yang meluncur di kabel ACB. Bila tegangan pada kedua bagian kabel tersebut, adalah 750 N, tentukan arah dan besar gaya P. 2.51 Sebuah peti seberat 600 lb didukung oleh tali dan susunan kerek seperti terlihat pada gambar. Tentukan besaran dan arah gaya F yang harus ditimbulkan pada ujung tali yang bebas. 2.52 Cincin A dapat meluncur dengan bebas pada suatu batang horisontal. Pegas yang dihubungkan dengan cincin tersebut mempunyai konstanta pegas yang harganya 10 lb/in dan pegas tersebut dalam keadaan tertekan bila cincin terletak di bawah penyangga B. Tentukan besar gaya P yang diperlukan agar tercapai keadaan seimbang bila (a) c = 9 in; (b) c = 16 in.
2.53 Suatu balok dengan massa 150 kg diikat pada suatu kerek yang dapat meluncur pada kabel ACD. Kerek dan beban diletakan pada posisi seperti pada gambar oleh suatu kabel DE yang sejajar dengan bagian CB dari kabel utama. Tentukan (a) tegangan pada kabel ACD. (b) tegangan pada kabel DE. Radius kerek diabaikan.
CONTOH SOAL 2.7 Seutas kawat penahan menara dipancangkan dengan sebuah bust pada A. Tegangan pada kawat adalah 2500 N. Tentukan (a) Komponen Fx, Fy, Fz dari gaya yang beraksi pada baut, (b) Sudut θx, θy θz yang mendefinisikan arah gaya itu. Jawaban: a. Komponen Gaya. Garis aksi gaya yang beraksi pada baut melalui A dan B, dan gayanya terarah dari A ke B. Komponen vektor AB yang memiliki arah yang sama dengan gaya tersebut adalah dx = - 40 m
dy = + 80 m
dz = + 30m
Jarak total A ke B adalah AB = d = Karena komponen gaya F berbanding lurus dengan komponen vector
, kita tulis
Dengan kalkulator mula-mula kita hitung dan simpan harga hasil bagi suku terakhir. Dengan mengalikan harga tersebut berturutan dengan -40, +80. dan +30, kita peroleh Fx = -1060 N
Fy = +2120 N
Fz = +795 N
b. Arah Gaya. Dengan menggunakan persamaan (2.15), kita tulis
Hitung berurut-turut masing-masing hasil bagi dan arkus kosinusnya, kita peroleh θx = 115,10
θy = 32,00
θz = 71,50
(cacatan: hasil yang sama akan diuperoleh dengan memahami komponen dan besaran dari vector
sebagai pengganti gaya F.)
CONTOH SOAL 2.8 Sebidang dinding beton cetakan ditahan oleh kabel seperti terlihat pada gambar. Diketahui tegangan sebesar 840 lb di kabel AB dan 1200 lb di kabel AC, tentukan besar dan arah resultan gaya yang ditimbulkan oleh kabel AB dan AC pada pancang A. Jawaban. Gaya yang ditirnbulkan oleh masing-masing kabel pada pancang A akan diuraikan menjadi komponen x, y, dan z. Mulamula kita tentukan komponen dan besar vektor AB dan Ac, dengan mengukurnya dari A ke arah dinding. : dx = —16 ft
dy = +8 ft
dz = + l i f t
d = 21 ft
: dx = —16 ft
dy = +8 ft
dz = —16 ft
d = 24 ft
Supaya komponen
dapat gayanya,
menentukan kita
perlu
menyatakan bahwa komponen gaya dan jarak berbanding lurus. Hal ini dapat dilakukan secara efisien dengan bentuk tabel. Informasi yang dimasukkan ke dalam tabel termasuk komponen dan besar jarak Berta gaya yang diketahui. Komponen gaya dapat dicari melalui
perbandingan dari Persamaan (2.18) dan ditambahkan
untuk
mendapatkan
komponen resultan Rx, Ry, dan Rz.
Besar dan arah resultan sekarang dapat ditentukan
R = 1650 Ib Dari Persamaan (2.22) kita hasilkan
Hasil perhitungan setiap persamaan dan arkus kosinusnya, kita peroleh θx = 150,80
θy = 64,10
θz = 102,60
SOAL-SOAL 2.54 Tentukan (a) komponen x, y, dan z dari gaya 500 N, (b) sudut ex, By, dan Oz yang dibentuk gaya dengan sumbu kordinat. 2.55 Tentukan (a) komponen x, y, z, dan gaya 800 N, (b) sudut ex, Oy, dan 0, yang dibentuknya dengan sumbu koordinat. 2.56 Sebuah senjata ditembakkan pada suatu titik A yang berlokasi 35° arah utara-timur. Diketahui laras senjata membentuk sudut 40° terhadap horisontal dan gaya rekoil maksimum sebesar 400 N, tentukan (a) komponen x, y, dan z dari gaya tersebut, (b) harga sudut Ox, OY, dan 6z yang menyatakan arah gaya rekoil. (Anggap sumbu-sumbu x, y, dan z tersebut, timur, atas dan selatan). 2.57 Kerjakan Soal 2.56, anggap titik A tersebut ditempatkan" 15' ke arah utara-barat dan laras senjata membentuk sudut 25° terhadap horisontal. 2.58 Kabel AB panjangnya 65 ft dan tegangan pada kabel tersebut sebesar 3900 lb. Tentukan (a) komponen gaya x, y, dan z yang ditimbulkan kabel terhadap penahan B, (b) sudut 0,,, 9y, dan 0, yang menunjukkan arah gaya yang ditimbulkan di B.
2.59 Kabel AC panjangnya 70 ft dan tegangan pada kabel tersebut sebesar 5250 lb. Tentukan (a) komponen gaya x, y, dan z yang ditimbulkan kabel terhadap penahan C, (b) sudut 0, Oy, dan Oz yang menunjukkan arah gaya yang ditimbulkan di B. 2.60 Komponen gaya diketahui sebagai Fx = +650 N, Fy = —320 N, dan Fz +760 N. Tentukan besar dan arah gayanya. 2.61 Komponen gaya diketahui sebagai Fx = +580 lb, Fy = +690 lb dan F, —300 lb. Tentukan besar dan arah gayanya. 2.62 Suatu gaya yang beraksi pada titik asal dalam arah yang ditentukan oleh sudut 0,, 75° dan Oz = 130°. Diketahui pula bahwa komponen y gaya itu adalah +300 lb, tentukan (a) komponen lainnya dan besar gaya, (b) harga Oy. 2.63 Suatu gaya yang beraksi pada titik asal dengan asas yang ditentukan oleh sudut OY = 55° dan 0z = 45°. Diketahui Pula
bahwa komponen x gaya itu adalah —500 N, tentukan (a) komponen lainnya clan besar gaya, (b) harga Ox. 2.64 Supaya dapat memindahkan truk ringsek, dua kabel diikatkan di A dan ditarik dengan wins di B dan C seperti terlihat. Diketahui bahwa pegangan di kabel AB sebesar 10 kN, tentukan komponen gaya yang ditimbulkan oleh AB pada truk. 2.65 Berkenaan dengan truk pada Soal 2.64 diketahui tegangan pada kabel AC sebesar 7,5 kN, tentukan komponen gaya yang ditimbulkan oleh AC pada truk. 2.66 Diketahui tegangan pada kabel AB sebesar 285 lb, tentukan komponen gaya yang ditimbulkan pada pelat di B.
2.67 Diketahui tegangan pada kabel AC sebesar 426 lb, tentukan komponen gaya yang ditimbulkan pada pelat di C. M 2.68 Diketahui tegangan sebesar 285 lb di kabel AB dan 426 lb di kabel AC, tentukan besar dan. arah resultan gaya yang ditimbulkan oleh kedua kabel tersebut di A.
2.69 Berkenaan dengan truk pada Soal 2.64 dan diketahui tegangan sebesar 10 kN pada kabel AB dan 7,5 kN pada kabel AC, tentukan besar dan arah resultan gaya yang ditimbulkan oleh kabel tersebut terhadap truk. 2.70 Tentukan resultan kedua gaya yang diperlihatkan pada gambar. 2.71 Berkenaan dengan menara pada Soal 2.58 dan 2.59, diingatkan kembali bahwa tegangan sebesar 3900 lb di kabel AB clan 5250 lb pada kabel AC. (a) Tentukan besar dan arah resultan gaya yang ditimbulkan oleh kabel AB dan AC di A. (b) Agar supaya resultan gaya yang ditimbulkan oleh ketiga kabel harus vertikal di A, carilah sudut a yang dibentuk garis OD terhadap sumbu x negatif.
2.72 Tiang OA memperoleh beban P dan ditahan oleh dua kabel seperti diperlihatkan. Diketahui pegangan pad,$fkabel AB sebesar 850 N dan resultan dari beban P beserta gays-gaga yang
ditimbulkan oleh kedua kabel di A harus diarahkan sepanjang OA, tentukan tegangan pada kabel AC. 2.73 Untuk tiang dan pembebanan pada Soal 2.72, tentukan besar beban P
SOAL-SOAL 2.74 Sebuah peti disangga oleh tiga utas kabel seperti tergambar. Tentukan berat W, jika diketahui tegangan kabel AD adalah 924 lb. 2.75 Sebuah peti disangga oleh tiga utas kabel seperti yang tergambar. Tentukan berat W, jika diketahui tegangan kabel AB adalah 1378 lb.
2.76 Sebuah kontener disangga oleh tiga utas kabel seperti yang diperlihatkan pada gambar. Tentukan berat W dari kontener, agar supaya tegangan pada kabel AB sebesar 4 kN.
CONTOH SOAL 2.9 Sebuah silinder 200 kg digantung dengan 2 kabel AB dan AC yang diikatkan pada puncak dinding vertikal. Gaya horisontal P yang tegak lurus pada dinding memegang silinder pada kedudukan seperti terlihat pada gambar. Tentukan besar P dan tegangan pada masing-masing kabel. Jawaban. Titik A dapat dipilih sebagai bendabebas; titik A mengalami empat gaya seperti tergambar. Besar ketiga gaya itu P, TAB, dan TAC, tidak diketahui-, besar gaya berat W adalah W = mg = (200 kg)(9,81 m/s2) = 1962 N Komponen x, y, dan z dari masingmasing gaya yang tak diketahui harus dinyatakan dalam besaran yang tak diketahui P, TAB, dan TAC. Dalam hal TAB dan TAC perlu kita tinjau dahulu komponen jarak yang bersesuaian.
Kabel AB (A ke B): dx = -1,2 m dy = 12 - 2 = 10m
dz = 8 m
d = 12,86 m
Kabel AC (A ke C): dx= -1,2m
dy = 12 - 2 = 10 m
dz = - 10m d = 14,19 M
Komponen gays diperoleh melalui perbandingan lurus dan hasilnya ditunjukkan dalam tabel di bawah ini.
Persamaan Persamaan
Keseimbangan
keseimbangan
dapat
(Equilibrium ditulis
Equations).
langsung
dengan
menjumlahkan berturut-turut kolom komponen gaya dalam tabel tersebut. ∑Fx = 0: - 0,0933TAC - 0,0846TAC + P = 0 ∑Fy = 0: +01778TAB + 0,705TAC 1962 N = 0 ∑Fz = 0: +0,622TAB - 0,705TAC = 0 Dengan memecahkan persamaan itu kita peroleh P = 235 N TAB = 1401 N
TAC = 1236 N
2.77 Kontener disangga oleh tiga utas kabel seperti yang diperlihatkan. Tentukan berat W dari kontener, agar supaya tegangan pada kabel AD sebesar 3,87 kN. 2.78 Kontener dengan berat W = 1165 N disangga oleh tiga Was kabel seperti yang diperlihatkan pada gambar. Tentukan tegangan pada setiap kabel. 2.79 Tiga utas kabel diikatkan di A di titik itu gaya P clan Q diterapkan seperti yang diperlihatkan. Tentukan tegangan pada masing-masing kabel jika P = 5,60 kN dan Q = 0. 2.80 Tiga Was kabel diikatkan di D, di titik itu gaya P dan Q diterapkan seperti yang terhhat. Tentukan tegangan dalam tiap kabel jika P = 0 dan Q = 7,28 kN. 2.81 Tiga Was kabel diikatkan di A, di tempat itu diterapkan gaya P dan Q seperti yang diperlihatkan pada gambar. Diketahui Q = 7,28
kN dan tegangan pada kabel AD adalah nol, tentukan (a) besar dan arch P, (b) tegangan pada kabel AB dan AC. 2.82 Pelat lingkaran 12 lb dengan jari-jari 7 in, disangga oleh tiga utas tali yang masingmasing panjangnya 25 in seperti yang diperlihatkan pada gambar. Tentukan tegangan masingmasing tali, agar supaya a = 30° 2.83 Kerjakan Soal 2.82, dengan menganggap a = 45'. 2.84 Dalam mencoba menyeberangi permukaan licin seperti es, seorang pria. 180 lb menggunakan dua tambang AB dan AC. Agar supaya gaya yang ditimbulkan permukaan pada pria tersebut tegak lurus terhadap permukaan, tentukan tegangan pada masing-masing tambang. 2.85 Kerjakan Soal 2.84, jika seorang teman menolong pria tersebut di A, secara menariknya dengan gaya P yang berkomponen P, = Py = 0 dan P, = - 60 lb.
2.86. Kontener dengan berat W = 400 N disangga oleh kabel AB dan AC yang diikatkan pada cincin A. Diketahui Q = 0, tentukan (a) besar dari gaya P yang harus diterapkan pada cincin sehingga membuat kontener pada posisi yang diperlihatkan, (b) harga tegangan yang sesuai pada kabelAB dan A C. 2.87 Kerjakan Soal 2.86, agar supaya Q = 80 N. 2.88 Kontener disangga oleh kabel tunggal yang melalui suatu cincin tanpa gesekan A dan dicantelkan pada titik tertentu B dan C. Dua gaya P dan Q diterapkan pada cincin sehingga membuat kontener pada posisi seperti yang diperlihatkan. Diketahui berat kontener W = 376 N, tentukan besar P dan Q. (Petunjuk. Tegangan harus sama pada bagian kabel AB dan AC). 2.89 Tentukan berat W dari kontener pada. Soal 2.88, agar supaya P = 164 N.
2.90 Kabel BAC melalui cincin tanpa gesekan A dan dicantelkan pada penyangga tertentu pada B dan C, jika kabel AD dan AE keduanya diikatkan pada cincin dan dicantelkan, secara berurutan, untuk menyangga di D dan E. Diketahui beban vertikal sebesar 150 lb diterapkan terhadap cincin A, tentukan tegangan pada masingmasing ketiga kabel tersebut. 2.91 Diketahui tegangan di kabel AE pada Soal 2.90 sebesar 50 lb, tentukan (a) besar be-ban P, (b) tegangan di kabel BAC dan AD. 2.92 Sebuah pelat lingkaran 10,kg berjari-jari 250 mm disangga oleh tiga utas tali dengan panjang L seperti yang diperlihatkan pada gambar. Diketahui a = 30°, tentukan harga L perkecil yang diizinkan jika tegangan tidak melebihi 50 N pada setiap tali.
2.93 Cincin A dan B dihubungkan dengan tali 250 mm dan dapat meluncur secara bebas pada batang tanpa gesekan. Jika suatu gaya Q sebesar 100 N diterapkan terhadap cincin B seperti yang diperlihatkan, tentukan (a) tegangan pada tali jika x = 90 mm, (b)
besar gaya P yang diperkirakan untuk mempertahankan suatu sistem seimbang. 2.94 Cincin A dan B dihubungkan dengan tali 250 mm dan dapat melumcur secara bebqas pada batang tanpa gesekan. Tentukan jarak x dan z dimana system seimbang dipertahankan jika P = 200 dan Q = 100 N.
SOAL-SOAL ULANGAN 2.95
(a)
Tunjukkan
berat
W
yang
dibutuhkan
untuk
mempertahankan keseimbangan dalam bentuk P, d, dan h, (b) untuk W = 500 N, P = 150 N dan d = 400 mm, tentukan harga h yang konsisten terhadap keseimbangan. 2.96 Sebuah rantai tertutup sepaRiang 1,25 m dililitkan mengelilingi selembar kayu berukuran 250 x 250 mm. Diketahui massy kayu sebesar 175 kg, tentukan tegangan pada rantai untuk masing-masing keadaan yang diperlihatkan pada gambar. 2.97 Diketahui besar gaya P adalah 100 lb, tentukan resultan ketiga gaya yang diterapkan di A. 2.98 Tentukan batas harga P untuk resultan ketiga gaya yang diterapkan di A tidak melebihi 225 lb.
2.99 Sebuah silinder dengan besar W = 650 N disangga oleh kabel AC dan BC, dicantelkan pada bagian atas tonggak vertikal. Gaya horisontal P, tegak lurus terhadap bidang yang menahan tonggak, menahan silinder pada posisi yang diperlihatkan. Tentukan (a) besar P, (b) pegangan pada masing-masing kabel. 2.100 Pada Soal 2.99, tentukan sudut 0,, OY, dan 0., untuk gaya yang ditimbulkan oleh kabel BC di B. 2.101 Diketahui P = 400 N, tentukan tegangan pada kabel AC dan BC. 2.102 Tentukan batas harga P untuk kedua kabel tetap tegang. 2.103 Arah gaya 75 lb dapat bervariasi, tetapi sudut antara gaya selalu 50°. Tentukan harga a untuk resultan gaya yang beraksi di A diarahkan secara horisontal ke kiri. 2.104 Tentukan resultan ketiga gaya yang beraksi di A jika (a) a = 0, (b) a = 25°
2.105 Sebuah gaya 8 kN beraksi pada titik asal dalam arch yang dinyatakan oleh sudut 0. 35° dan 0, = 65°. Diketahui pula bahwa komponen x gaya tersebut positif. Tentukan harga OX dan komponennya. 2.106 Tiga,utas kawat diikatkan di titik D yang berada 9 in di bawah pips penyangga berbentuk-T ABC. Tentukan tegangan pada setiap kawat jika silinder 60 lb digantung di titik D seperti yang diperlihatkan pada gambar.
Soal-soal berikut ini dibuat untuk dikerjakan dengan computer: 2.c1 Tulis sebuah program komputer yang dapat digunakan dalam menentukan besar dan arah resultan gaya-gaya n di titik A. Gunakan program ini untuk mengerjakan (a) contoh soal 2.3, (b) soal 2.27
2.C2 Sebuah kotak 600 lb disangga oleh tali dan seperangkat kerek yang diperlihatkan pada gambar. Tulislah program komputer yang dapat digunakan dalam menentukan, suatu harga 0 yang diberikan, besar dan arah gaya F yang akan ditimbulkan pada ujung tali yang bebas. Gunakan program ini untuk menghitung F dan a dengan harga 0 dari 0 — 30° dengan interval 5° 2.C3 Tulislah program komputer yang dapat digunakan untuk menghitung besar dan arah sudut resultan gaya sebanyak n yang diterapkan pada titik anal dan beraksi sepanjang garis OAnUntuk data yang diberikan di bawah ini, gunakan program untuk menentukan besar dan arah dari (a) F, + F2, (b) F, + F2 + F3, (c) F, + F2 + F3 + F4. Fn’ lb
xn’ in.
yn’ in.
zn’ in.
F1
100
20
10
8
F2
150
25
15
-12
F3
200
-9
-3,
16
F4
50
6
14
-18
2.C4 Sebuah silinder dengan berat W = 650 N disangga oleh dua utas kabel AC dan BC, masing-masing dengan panjang 4,6 m, yang
dicantalkan pada ujung utas tonggak vertikal. Sebuah gaya horisontal P, tegak lures terhadap bidang yang dibentuk kedua tonggak, menahan silinder pada posisi yang diperlihatkan. Tulin program komputer dan gunakan untuk menghitung ketinggian h, besar P dan tegangan pada setiap kabel untuk harga a dari 0 sampai 2,8 m dengan interval 0,4 m.
BAB III MOMEN GAYA 3,1 Pendahuluan Dalam bab ini, kita akan membahas efek dari kekuatan gaya terhadap titik lain, yang dapat menimbulkan momen. 3,2 Moment gaya . Momen gaya sama dengan hasil kali gaya dengan jarak tegak lurus dari titik awal yang ditentukan.. Secara matematis, M = Fxd Di mana F = Gaya yang bekerja . d = jarak tegak lurus dari titik dan garis gaya 3,3 Representasi geometris Moment Pertimbangkan sebuah gaya P diwakili, dalam besar dan arah, oleh garis AB. Biarkan O menjadi satu titik, tentang yang saat ini gaya yang dibutuhkan untuk dapat ditemukan keluar, seperti ditunjukkan pada Gambar. 3.1. Dari O, menarik OC tegak lurus dengan AB. Gabungan OA dan OB. Sekarang saat gaya P tentang titik O = PxOC = ABxOC
Tapi ABxOC adalah sama dengan dua kali luas segitiga ABO. Dengan demikian saat gaya, tentang titik apapun, yang secara geometris sama dengan dua kali luas segitiga, yang basis di garis mewakili gaya pada titik puncak, tentang momen yang diambil. 3,4 Satuan Momen
Momen gaya, adalah produk gaya dan jarak.. Jadi, jika gaya adalah dalam kg dan jarak dalam meter, sehingga satuan momen menjadi kilogram-meter (singkat ditulis sebagai kg-m). atau N m atau lb ft 3,5 Jenis Momen Secara umum, momen ada dua jenis: 1. Momen berputar searah jarum jam, dan 2. Momen berputar berlawanan arah jarum jam. 3,6 Moment searah jarum jam. Momen gaya yang akibatnya adalah membalikkan atau memutar tubuh, dalam arah yang sama di mana sebuah jam tangan bergerak. Momen ini bernilai positip disebut momen positip. 3,7 Moment berlawanan arah jarum jam. Momen gaya yang akibatnya adalah membalikkan atau memutar tubuh, dalam arah yang berlawanan di mana sebuah jam tangan bergerak. .Momen berlawanan arah jarum jam bernilai negatif,disebut momen negatif 3,8 Hukum Moment Ini menyatakan, "Sejumlah gaya, berada dalam satu bidang,terhadap titik dalam kesetimbangan, maka jumlah momen searah jarum jam harus sama dengan jumlah momen berlawanan arah jarum jam setiap titik." Atau dengan kata lain, jumlah aljabar momen yang diambil di setiap titik di bidang gaya adalah nol. 3,9 Prinsip varignon dari moment untuk gaya yang bersamaan. Ini menyatakan, "Momen sebuah gaya terhadap sebuah sumbu yang melalui titik tertentu sama dengan jumlah momen komponen gaya itu terhadap sumbu yang bersangkutan . Atau momen resultatante terhadap sebuah titik sama dengan jumlah momen gaya gaya terhadap titik tersebut.
*Bukti Mari kita pertimbangkan, untuk kesederhanaan, dua kekuatan konkuren P dan Q terwakili dalam besar dan arah oleh AB dan AC seperti ditunjukkan pada Gambar. 3.5. O menjadi titik pusat, momen yang diambil. melalui O, OC menarik garis sejajar dengan arah gaya P, untuk memenuhi garis kerja dari gaya Q pada C. Sekarang dengan AB dan AC sebagai dua sisi yang berdekatan , melengkapi jajaran genjang ABDC seperti ditunjukkan pada Gambar. 3.5. Bergabung dengan diagonal AD dari jajaran genjang dan OA danOB.
Dari jajaran genjang hukum gaya, kita tahu bahwa diagonal AD mewakili dalam besar dan arah, resultan dari dua gaya P dan Q. pada gambar 3.3 kita lihat bahwa saat gaya P, pada O = 2x Area dari segitiga AOB ....( i) Demikian pula dari gaya moment Q, pada O = 2x Luas segitiga AOC ....( ii) dan saat o gaya resultan R, pada O = 2x Luas segitiga AOD ....( iii) Tapi dari gambar geometri, kita menemukan bahwa Luas Δ AOD = Luas area Δ AOC + Luas area Δ ACD Tapi wilayah Δ ACD = Luas area Δ ADB = Luas area Δ AOB (Kedua Δs AOB dan ADB berada pada dasar yang sama AB dan antara garis-garis paralel yang sama) Luas Δ AOD =Luas area Δ AOC+ Luas area Δ AOB mengalikan kedua sisi dengan 2, 2 x Luas Δ AOD = 2 x Luas Δ AOC + 2 x Luas Δ AOB yaitu, Moment gaya R pada O = Momen gaya P pada O + momen gaya Q pada O.
CONTOH SOAL 3.1
Gaya vertikal 100 lb diterapkan pada ujung lengan yang terikat pada poros di O. Tentukan (a) momen gaya 100 lb tersebut terhadap 0; (b) besar gaya horisontal yang diterapkan di A yang menimbulkan momen yang sama terhadap 0; (c) gaya terkecil yang diterapkan di A yang menimbulkan momen yang sama terhadap 0; (d) berapa jauhnya dari poros sebuah gaya vertikal
240
lb
harus
beraksi
untuk
menimbulkan momen yang sama terhadap 0;
Jawaban a. Momen terhadap O. Jarak tegak lurus dari 0 ke garis aksi gaya 100-lb adalah d = (24 in.) cos 60° = 12 in.
Momen terhadap 0 gaya 100-1b• itu adalah
Mo = Fd = (100 lb)(1 2 in.) = 1200 lb -in. Karena gaya cenderung memutar lengan search jarum jam terhadap 0, kita peroleh Mo = 12001b in. b. Gaya Horisontal. Dalam hal ini, kita peroleh d = (24 in.) sin 60° = 20,8 in. Karena momen terhadap 0 harus 1200 lb in, kita tulis Mo
= Fd
1200 lb in.= F(20,8 in.) F
= 57,7 lb
F = 57,7 lb
c. Gaya Terkecil. Karena Mo = Fd, harga F terkecil terjadi ketika d maksimum. Kita pilih gaya tegak lurus OA dan dapatkan d = 24 in., sehingga Mo = Fd
1200 lb • in. = F(24 in.) F = 50 lb F = 50 lb sudut miring 30* Gaya Vertikal 240-1b. Dalam kasus ini, Mo = Fd menghasilkan 1200 lb -in. = (240 lb)d - d = 5 in. tetapi
OB cos 60° = d OB = 10 in. -4
CONTOH SOAL 3.2 Sebuah gaya 800 N beraksi pada braket seperti yang diperlihatkan. Tentukan momen gaya tersebut terhadap B. Jawaban. Uraikan gaya tersebut menjadi komponen x dan y, kita tulis F, = (800 N) cos 60° = 400 N Fy = (800 N) sin 60° =693 N 3 Dengan mengingat bahwa F x cenderung untuk memutar braket
searah jarum . jam terhadap B dan dengan memakai konvensi tanda momen kita dapatkan momen Fx terhadap B adalah (400 N)(0,160 m) = 64,0 N•m.= + 64,0 N•rn Dengan cara yang sama, kita dapatkan momen Fy terhadap B sebesar (693 N)(0,200 m) = 138,6 N•rn= 138,6 N•rn Dengan menggunakan teorema Varignon, kita tulis MB = +64,0 N•m. +138,6 N•rn = +202,6 N•rn MB = 203 N-rn CONTOH SOAL 3.3 Sebuah gaya yang besarnya 30-lb bekerja pada ujung tu as yang panjangnya 3-ft sebagaimana diperlihatkan pada gambar. Tentukanlah momen gaya tersebut terhadap O.
Jawaban. Gaya yang bekerja tersebut diuraikan menjadi dua komponen, yaitu gaya P pada arah OA dan gaya Q yang tegak lurus pada OA. Karena 0 berada pada garis kerja P, maka momen P terhadap 0 sama dengan nol, sehingga momen gaya 30-1h tersebut menjadi momen Q, yang arahnya searah dengan jarum jam dan, dengan demikian, bertanda positip. Q = (30 lb) sin 20° = 10,26 lb
Mo = Q(3 ft) =(10,261b)(3 ft) =30,81b-ft Momen gaya terhadap o =30,81b-ft
Soal-soal 3.1 Sebuah gaya 30-lb diterapkan pada batang pengontrol AB seperti terlihat pada gambar. Diketahui panjang batang 8 in dan a = 30°, tentukan momen gaya terhadap B dengan menguraikan gaya (a) menjadi komponen horisontal dan vertikal, (b) menjadi
komponen-komponen sepanjang AB dan yang berarah ttgak lurus terhadap AB. 3.2 Sebuah gaya 30-lb diterapkan pada batang pengontrol AB seperti terlihat pada gambar. Diketahui panjang batang 8 in dan momen gaya terhadap B sebesar 180 lb -in searah jarum jam, tentukan harga a. 3.3 Untuk pedal rem seperti terlihat pada gambar, tentukan besar dan arah gaya terkecil P jika momen searah jarum jam terhadap B sebesar 130-N • m. 3.4 Sebuah gaya P diterapkan terhadap pedal rem di A. Diketahui P = 450 N dan a = 30°, tentukan momen P terhadap B. 3.5 Sebuah gaya P sebesar 300 N diterapkan di titik A pada engkol lonceng seperti terlihat pada gambar. (a) Hitung momen gaya P terhadap 0 dengan menguraikannya menjadi komponen horisontal dan vertikal. (b) Dengan memakai hasil pertanyaan a, tentukan jarak tegak lurus dari 0 terhadap garis aksi P.
3.6 Gaya P sebesar 400 N diterapkan di titik A pada engkol
lonceng seperti terlihat pada gambar. (a) Hitung momen gaya P terhadap 0 dengan menguraikannya menjadi komponen sepanjang garis OA dan komponen dengan arah tegak lurus terhadap garis tersebut. (b) Tentukan besar dan arah gaya terkecil Q yang diterapkan di B yang sama•seperti momen P terhadap O. 3.7 dan 3.8 Hitung momen terhadap A oleh gaya seperti terlihat, (a) dengan memakai definisi momen sebuah gaya, (b) dengan menguraikan gaya menjadi komponen horisontal dan vertikal, (c) dengan menguraikan gaya menjadi komponen sepanjang AB dan arah yang tegak lurus terhadap AB.
3.9 dan 3. 10 Tentukan (a) momen terhadap C oleh gaya seperti terlihat pada gambar (b) jarak tegak lures dari C terhadap garis aksi gaya. 3.11 dan 3.12 Diketahui bahwa sambungan batang AB mendesak engkol BC dengan gaya 1,5-kN diarahkan ke bawah dan ke arah kiri sepanjang garis pusat AB. Tentukan momen dari gaya tersebut terhadap C.
3.13 Batang AB ditahan di tempat oleh kawat AC. Diketahui tegangan pada kawat sebesar 250 lb dan c = 24 in, tentukan momen terhadap B oleh gaya yang ditimbulkan kawat di titik A dengan menguraikan gaya tersebut menjadi komponen horisontal dan vertikal diterapkan (a) di titik A, (b) di titik C. 3.14 Batang AB ditahan di tempat oleh kawat AC. Diketahui bahwa c = 56 in dan momen terhadap B oleh gaya yang ditimbulkan oleh kawat di titik A sebesar 280 lb - ft, tentukan tegangan pada kawat.
3.15 Sebuah gaya F beraksi pada titik berkoordinat r dan 0 seperti terlihat pada gambar. Gaya membentuk sudut 0 1 dengan garis yang sejajar sumbu horisontal kerangka koordinat. Tunjukkan momen gaya terhadap titik asal koordinat 0 adalah Fr sin (0 1 — 0). 3.16 Gaya F dengan komponen F., dan Fy beraksi pada suatu titik berkoordinat x dan y. Cari persamaan untuk momen F terhadap 0 yang merupakan titik-asal sistem koordinat itu. 3.17 Dua buah gaya P dan Q mempunyai garis aksi yang sejajar dan beraksi di A dan B, berturutan. Jarak antara A dan B adalah a. Cari jarak x dari A ke C supaya terhadap titiknya kedua gaya tersebut
mempunyai momen yang sama. Periksalah rumus yang diperoleh dengan menganggap a = 240 mm dan (a) P = 60 N ke atas, Q = 30 N ke atas; (b) P = 30 N ke atas, Q = 60 N ke atas; (c) P = 60 N ke atas, Q = 30 N ke bawah; (d) P = 30 N ke atas, Q = 60 N ke bawah.
