Seminario Especial de Matemática
Repaso UNI
SEMINARIO ESPECIAL DE MATEMÁTICA
Ciclo Repaso UNI - 2009 I Aritmética 1.
Una obra puede ser realizada por 23 obreros durante 15 días a razón de 10 horas diarias. Si el primer día trabajan 2 obreros, el segundo día 3 obreros, el tercer día 4 obreros, y así sucesivamente hasta el n - ésimo día, harían 33,3% menos de la obra. Al momento de repartirse una bonificación de S/.4200 entre 3 obreros lo hacen en forma proporcional a sus edades que son n – 8; n/2 y n años. Calcule cuánto de más recibiría el menor si el reparto fuese inversamente proporcional. A) S/.500 D) S/.300
2.
Considere: Ln(1,4641)=0,38 Ln(1,1)=0,095
B) S/.800
A) S/.1000 D) S/.1100
3.
4.
Ortiz depositó S/.15 000 durante t meses. Por los 4 primeros meses se pagó el 60% a interés simple, luego con una capitalización bimestral por el tiempo restante a la misma tasa y al final se obtuvo una suma de S/.26 353,8; al cabo de ese tiempo adquiere un artefacto cuyo costo al contado es S/.3400; para ello da una cuota inicial equivalente a la tercera parte del interés simple obtenido y por el resto firmó letras de igual valor pagaderas bimestralmente durante t/2 meses. Calcule el valor nominal de las letras si la tasa de descuento es 5% mensual.
B) 20
C) 30 E) 15
En una librería se vendieron cuadernos de la siguiente manera: el primer día se vendió 3/4 del total más un cuaderno, el segundo día se vendió 3/4 de lo que quedaba más un cuaderno, y así sucesivamente. Al finalizar el día d se vendieron todos los cuadernos, además, la cantidad total de cuadernos vendidos está comprendida entre 1000 y 2000. Calcule cuántos números enteros tienen un raíz cuadrada aproximada a 1,d en menos de 1/d. A) 2 D) 5
–1–
C) S/.1200 E) S/.800
Se funden dos lingotes de oro de a y b kilates, en cantidades que son inversamente proporcionales a sus leyes. La aleación obtenida se funde con x gramos de oro puro. Para obtener 10 sortijas de 4 gramos cada una cuya liga es 0, 2 , calcule el valor de x. Considere que 70a=59b, con a y b menores de 20. A) 10 D) 25
C) S/.1000 E) S/.600
B) S/.1500
B) 1
C) 3 E) 4
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5.
A) 40, 6 y 70% 50, 8
Se quiere dividir un terreno rectangular, cuyas dimensiones son mnpm y abnb metros, en A parcelas (A mínimo)
B) 40,2 y 50,6% C) 40, 6 y 58, 8%
cuadradas iguales, además, el lado de
D) 40,2 y 50,8%
estas es una cantidad entera en metros y
E) 40% y 50,5%
al colocar una estaca en cada vértice de
7.
las parcelas se usaron B estacas.
Dado el número bacba cuya cantidad
El número mnpm tiene 30 divisores, sólo
de divisores es impar, al extraer su raíz
tiene dos factores primos y estos a la
cuadrada resulta un número que tiene
vez son números consecutivos. Calcule
como sus dos últimas cifras ba.
cuántas fracciones equivalentes a A/B
Calcule m+n+p+q+r si se cumple que
existen tales que el numerador es de 3
ab, ac8= pqr, mn...6.
cifras y el denominador de 4 cifras si el A) 10
número abnb es múltiplo de 72.
B) 13
C) 14
D) 12 A) 14
B) 1
D) 22
6.
C) 13
8.
E) 7
E) 11
Sea x una variable aleatoria que indica el número de hijos y el siguiente cuadro
El siguiente polígono de frecuencia muestra las edades de un grupo de personas distribuidas con igual ancho de clase.
muestra la distribución de su probabilidad. x
2
3
4
5
P(x)
2a
b
a
3b
Si el valor esperado de x es 3,4 calcule lo siguiente: I. Qué tanto por ciento de las madres de familia tiene entre 2 y 5 hijos. II. Si de un total de 100a madres de familia se sabe que el 25% son viudas, calcule la probabilidad de que al seleccionar a 3 madres de familia a lo Si se sabe que b < 20
más dos sean viudas.
calcule lo siguiente: I. El promedio de las edades.
A) 30%; 13/14
II. Al seleccionar una persona al azar,
B) 10%; 111/190
¿cuál es la probabilidad de que la
C) 20%; 11/19
edad de la persona seleccionada esté
D) 30%; 113/114
comprendida entre 30 y 54 años?
E) 10%; 7/16 –2–
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Álgebra 9.
13. Sea f una función cuya gráfica se muestra
Sean Z y Z0 números complejos tales que Z+a a −1 es imaginario puro y Z 0 = ; W= 2 2 Z−i con a ∈R. Calcule el menor valor del
a continuación.
módulo del complejo (Z+Z0). A) 0
B) 1/4
C) 1/2 E) 2 / 2
D) 1
10. Dado el sistema lineal
x + λy = −1 ( λ − 1) x − y = λ ; λ ∈ R
Esboce la gráfica de la función g(x)=f(1–|x|)
de conjunto solución S = {( x 0 ; y0 ) / x 0 y0 < 0} calcule el conjunto de valores de λ. A) λ ∈ 〈– ∞; –1〉 ∪ 〈1; +∞〉 B) λ ∈ 〈–1; 1〉 C) λ ∈ 〈– ∞; –1〉 ∪ 〈1/2; 1〉 D) λ ∈ 〈– ∞; –1/2〉 ∪ 〈–1; 1〉 E) λ ∈ 〈–1; 1/2〉 ∪ 〈1; +∞〉
11. Dado el conjunto
{
Ac = x ∈ R
x2 −1 −
}
x −1 ≥ 0
calcule la longitud del conjunto A. A) 3
B) 2
D) 1
C) 1/2 E) 0
12. Si (x0; y0) es una solución del sistema x 2 = 1 + log 4 y 2 2 x +1 x y = y . 2 + 2
calcule el mayor valor de y0. A) 1 D) 4
B) 2
C) 2 2 E) 4 2 –3–
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Geometría
1 0 es una matriz tal que −1 1
14. Si A =
A3=mA+nI, I es la matriz identidad,
17. En el gráfico, ABCD es un trapecio isósceles (BC // AD), AM=MB, CN=ND y
determine el valor de mn. A) 1
B) 1/4
D) –1
AR=RN. Calcule x. C) 1/9 E) – 4
15. Dada la sucesión {xn} de términos positivos definida por x n−1 =
∞
∑ ( xn )
K
, si
K =1
la sucesión existe, ¿a qué valor converge? A) 0 D) 1/e
B) 1
C) e E) 3/4
A) 53º/2 B) 37º/2 C) 30º
16. Sea f: R2 → R una función definida por
D) 37º
f(x; y)=2x+y. Determine el punto de
E) 45º
menor abscisa de la región convexa mostrada en la figura, donde f alcanza su
PQ. 18. Del gráfico mostrado, calcule m
máximo.
A) (7; 1)
A) 35º
B) (9; 7)
B) 50º
C) (11; 3)
C) 70º
D) (3; 4)
D) 55º
E) (6; 6)
E) 75º
–4–
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19. Según el gráfico mostrado, calcule el
21. En el gráfico, T y Q son puntos de tangen-
área de la región sombreada si se sabe que AP = 3.
= m MN y mTL +m cia, m PS AQ = 200º. Calcule x.
A) 160º B) 100º C) 80º D) 90º A) 1
B) 2
D) 4
C) 3
E) 120º
E) 5
20. La semicircunferencia y el rectángulo
22. Se tiene un prisma hexagonal regular
ABCD, de centro O, se ubican en planos perpendiculares, además, LM=MN, R=2 y (AM)2+(MC)2=18. Calcule la medida del diedro entre el plano LON y el plano
ABCDEF – GHIJKL tal que AG = 5 ( AF ); se traza FQ ⊥ GD, Q en GD. Si la distancia de Q a la región hexagonal GHIJKL es 2 5, calcule el volumen del prisma.
de la semicircunferencia.
A) 15º D) 30º
B) 53º
C) 37º E) 45º –5–
A)
75 3 2
B)
65 5 2
C)
81 15 2
D)
85 15 2
E)
69 3 2
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23. Del gráfico se sabe que ABCD es un cua-
A) 25
drado, T y P son puntos de tangencia,
B) 16
B(0; 4), TD=2 y C : x2+y2 – 12x – 2y+36=0.
C) 12
Halle la ecuación de L .
D) 36
E) 28
Trigonometría 25. En el gráfico se cumple que AB=DE y BC=EF. Los cuadrados inscritos en los triángulos rectángulos tiene por áreas S1 y S2.
A) 3x=7y B) 3y=7x C) 2x=2y D) 6x=5y E) 8x=3y
24. Se muestra un tronco de prisma regular ABCD – FGH. Si el volumen de la pirámide de base regular F – EAH es 8, calcule el volumen del sólido ABCD – EFGH.
Entonces, indique lo correcto.
A) S1=S2 B) S1=2S2 C) S2=2S1 D) S1 > S2 E) S1 < S2
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26. En el gráfico, ABCD es un cuadrado.
A) 0; 2 + 1
Determine la medida del ángulo MPC
B) 0; 2 − 1
expresado en radianes.
C) 0; 2 − 1 D) 0; 2 − 1 E) 0; 2 − 1
29. ¿Cuál es el equivalente de la siguiente
A)
expresión? tan 70º +3 tan 250º θ = arc sen 2 ( tan 10º − tan 100º )
3 π 1 − arc sen 3 2 4
3 π B) − arc sen 3 4
A)
2π 9
C)
3 − 1 π − arc sen 3 4
B)
π 9
D)
3 − 1 π 1 − arc sen 3 2 2
C)
7π 10
E)
3 − 1 π − arc sen 3 2
D)
7π 18
E)
π 10
27. Calcule la suma de soluciones de la ecuación sen 2 arccos ( cot ( 2 arctan x ) ) = 0
30. El ángulo de inclinación de cada una de dos rectas paralelas es α. Si una de ellas
si 0 < x <2. A) 1
pasa por el punto (a; b) y la otra por el B) 2
D) 2 + 1
punto (c; d), calcule la distancia entre las
C) 2 − 1
rectas.
E) 2 2
A) |(c – a)senα+(d – b)cosα|
28. Definimos la función f mediante f ( x) =
B) |(c – a)cosα+(d – b)senα|
2 ( sen 3 x + sen 4 x − cos 3 x − cos 4 x ) sen x − cos x
C) |(c+a)senα – (d+b)cosα|
π para π < x < 3 2 Determine el rango de f.
D) |(c – a)senα – (d – b)cosα| E) |(c – a)cosα – (d – b)senα|
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A) FFV B) VVF C) FVF D) FVV E) FFF
31. Sea la función f de periodo 2 cuyo gráfico se indica para –1 ≤ x <1.
32. En un cuadrilátero ABCD, las regiones triangulares ABC y ADC tienen el mismo perímetro. Determine el equivalente de ( AD )( CD ) . ( AB )( BC ) A) cos π Para la función h( x ) = cos ( f ( x ) ) ana 2 lice la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.
B) cosBsecD C) cos 2 D) sen
I. Ran(h)=[–1; 1〉 II. La función h es periódica, con periodo 2. III. Para x ∈ 〈0; 1〉 la función h es creciente.
D B sec 2 2
D B sec 2 2 2
D B csc 2 2
E) sen 2
D B csc 2 2 2 Lima, 17 de febrero de 2009
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