Composite

Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle

CHAPITRE 0 0-1- Généralités Il existe différentes familles de matériaux : les métaux , les plastiques, les composites, etc.. Les composites seront traité dans ce cours. Le principal intérêt de l'utilisation des composites provient de ses excellentes caractéristiques spécifiques (module divisé par la masse volumique). Leur faible taux d'utilisation vient de son coût encore. Parmi les composites, on distingue deux types : les composites grande diffusion (GD) et les composites haute performance (HP). -

Les GD représentent 95% des composites utilisés. Ce sont en général des plastiques armés ou des plastiques renforcés, le taux de renfort avoisinant 30%. Dans 90% des cas, l'anisotropie n'existe pas ou n'est pas maîtrisée car les renforts sont des fibres courtes. Les principaux constituants de bases sont les résines polyesters (95% des résines thermodurcissables) avec des fibres de verre (+ de 99% des renforts utilisés !). Renforts et matrices sont à des coûts voisins.

-

Les HP, principalement utilisés dans l'aéronautique sont d'un coût élevé. Les renforts sont plutôt des fibres longues. Le taux de renfort est supérieur à 50%, et ce sont les renforts qui influent sur le coût. Les propriétés mécaniques (résistance mécanique et rigidité) sont largement supérieur à celles des métaux, contrairement aux GD. Des méthodes de calculs de structures et d'homogénéisations ont été développés pour les HP. Ces calculs feront l'objet de divers chapitres de ce cours.

Il faudra toujours tenir compte du fait que l'élaboration de la structure est liée à celle du matériau, que pour les pièces travaillantes, on utilisera plutôt des composites à fibres longues et à matrice organique et pour les garnitures, capotages on utilisera des plastiques renforcés.

0-1-1- Définitions de base -

Homogène : même propriétés en tout point du matériau. Hétérogène : en 2 points différents, propriétés différentes. Isotrope : même propriétés dans toutes les directions. Isotrope transverse : il existe un axe de symétrie. Symétrie par rapport à une droite. Orthotrope : propriétés symétriques par rapport à deux plans orthogonaux. Anisotrope : les propriétés sont différentes selon les différentes directions.

0-1-2- Notions de bases Matériau composite : association d'au moins deux matériaux non miscibles. On obtient un matériau hétérogène.

-1Chapitre 0 : Généralités


0-2- Les composants Matériau composite plastique : association de deux constituants : -

Le renfort : armature, squelette, il assure la tenue mécanique (résistance à la traction et rigidité). Souvent de nature filamentaire (des fibres organiques ou inorganiques).

-

La matrice : lie les fibres renforts, répartie les efforts (résistance à la compression ou à la flexion), assure la protection chimique. Par définition, c'est un polymère ou une résine organique.

En plus de ces deux constituants de base, il faut rajouter : une interface qui assure la compatibilité renfort-matrice, qui transmet les contraintes de l'un à l 'autre sans déplacement relatif. Bonne adhérence en couche fine (m). Des produits chimiques entrent aussi dans la composition du composite, l'interphase etc. ... qui peuvent jouer sur le comportement mécanique, mais n'interviennent pratiquement jamais dans le calcul de structure composite. Remarque : on conçoit un composite en fonction du type d'application, de chargement ...ce qui est différent des matériaux classiques où on adapte la conception d'une structure en fonction du matériau constitutif. Pour les composites, on construit sa structure à la demande : -

la nature, la texture et la forme du renfort le taux de renforcement la nature de la résine et des charges ou additifs la qualité de l'interface renfort-matrice la géométrie de la pièce à réaliser le procédé de mise en œuvre utilisé

On cherchera toujours à orienter au mieux les renforts en fonction des efforts auxquels la structure est soumise.

Avantages des matériaux composites : -

Gain de masse Mise en forme de pièces complexes (principe du moulage) et réduction du nombre d’interfaces (boulonnage, rivetage et soudure sur structures métalliques) Grande résistance à la fatigue Faible vieillissement sous l'action de l'humidité, de la chaleur, de la corrosion (sauf en cas de contact entre de l’aluminium et des fibres de carbone) Insensibles aux produits chimiques "mécaniques " comme les graisses, huiles, liquides hydrauliques, peintures, solvants, pétrole



Inconvénients des matériaux composites : -

Vieillissement sous l’action de l’eau et de la température Attention aux décapants de peinture qui attaquent les résines époxydes Tenue à l’impact moyenne par rapport aux métalliques Meilleure tenue au feu (classement M) que les alliages légers mais émission de fumées (classement F) parfois toxiques pour certaines matrices. Coût parfois prohibitifs (temps et coût études et mise en œuvre), le gain en coût est surtout valable pour des grandes séries.

Les composites sont très anciens : bois (composite naturel), torchis, béton (agrégats et pâte de ciment), béton armé, bois contre-plaqué (sandwichs), lamifiés décoratifs par exemple.

1.Associations fibres-matrices : la liaison entre fibre-matrice est créée pendant la phase d'élaboration : influence fondamentale sur les propriétés mécaniques du composite. 2.Les différents types des constituants de base :

0-3- Les renforts Les fibres -

Constituées par plusieurs centaines/milliers de filaments de diamètres variant de 5 à 15 mm. -3-

Chapitre 0 : Généralités

Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle -

Traitement sur machines textiles (mèches).

Forme de renfort : •

filaments décomposés en fil de base et en mèche puis en demi-produits comme la verranne, les rovings ou stratifil (mèches de fils sans torsion, direct, assemblé, bouclé, ensimés), la silionne (fils de 102 à 408 filaments ensimés), les fils coupés (de base, textiles, texturés, coupés, broyés, de 3 à 5 mm de long, ensimés), qui sont tous des fibres de tissage. Mise en œuvre par compression et cuisson (polymérisation). Facilité d'utilisation, qualité du produit fini (homogène), robotisation possible. Les particules, billes pleines ou creuses, les fibrilles, les écailles, les whiskers. Les renforts sous forme de semi-produit : les mats (feutres de "silionnes " ou de fils continus coupés, 25 à 50 mm agglomérés par un liant), les feutres, les rubans, les tissus à armature taffetas, sergé, satin, unidirectionnelle, bidirectionnelle, les gaines, les tresses, les préformé (roving + liant projetés et durcis par étuvage sur une forme, pour les grandes séries).

•

Remarque : L'ensimage permet de -

coller les filaments ->file lubrifier les fils diminuer attaque de l'eau éliminer les charges électrostatiques améliorer l'adhérence sur les résines (mouillage+adhésion)

Fibres thermostables à bas modules : -

utilisables jusqu'à 250°C en continu, ininflammables, ne fondent pas, carbonisent vers 400°C. bas module (de 6000 à 16000MPa). isolants thermiques, électriques, cônes de rentrée des véhicules spatiaux, boucliers thermiques des missiles, vêtements militaires antithermiques.

Trichites (whiskers) -

monocristaux de 1 à 50 mm de diamètre et de 1 à 5 cm de longueur. AleO3, SiO2, ZrO2, MgO, TiO2, BeO, SiC, ... Prix élevé. Comportement élastique fragile. Résistance bien plus grande que beaucoup de polycristallins. P

Al2O3 SiC Graphite Fer

3.97 3.2 1.8 7.8


E (MPa) 1 200 000/2 200 000 480 000 1 000 000 300 000

R (MPa) 22 000/15 000 20 000 20 000 13 000


Problèmes aux niveaux : manipulation, compatibilité chimique, mouillage.

Autres fibres -

économie isolation thermique conductibilité thermique et électrique origine végétale : sisal, jute, lin, ... amiante : chrysotile , crocidolite, ... polyester : Tergal, dacron, Térylène, ... métalliques : cuivre, aluminium, inox, ...

Exemples de fabrication La fibre de verre Les filaments sont obtenus par filage de verre (silice + carbonates de sodium et de calcium) en fusion (T > 1000 °C), à travers des filières en alliage de platine. 1.Composition (mélange des oxydes) 2.Fusion (1500°C) 3.Fibrage (1200°C) : four filière de diamètre de 1 à 2 mm 4.Etirage : diamètre de 3 à 20 mm 5.Ensimage (protection , amélioration de l'adhésion fibre-matrice) 6.Bobinage 7.Tissage

Le Kevlar Fibre d’aramide, de couleur jaune paille, mise au point par la société Du Pont de Nemours (USA), mise au point secrète : polyamides aromatisés obtenus par synthèse à –10°C, puis filés et étirés pour obtenir un module d’élasticité élevé. Le Carbone Des filaments acryliques de Tergal ou de rayonne (obtenus à partir de distillation de houille ou de pétrole) sont oxydés à chaud (300 °C) puis chauffés à 1500 °C dans une atmosphère d’azote. Il ne subsiste alors que la chaîne hexagonale des atomes de carbone. On obtient des filaments noirs et brillants. Le module d’élasticité élevé est obtenu par filage à chaud. Le Bore


Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle Un filament de tungstène (∅ = 12 µm) sert de catalyseur à la réaction de chlorure de bore et d’hydrogène ) 1200 °C. Les fibres de bore obtenues ont un diamètre d’environ 100 µm (la vitesse de croissance est de 1 micron par seconde).

La Carbure de Silicium Le principe d’élaboration est analogue à celui de la fibre de bore : dépôt chimique en phase vapeur (1200 °C) du méthyle thrichlorosilane mélangé à l’hydrogène.

Principaux matériaux de renfort :

Principales caractéristiques mécaniques des fibres de base: Fibre

densité

Charge de Charge de Allongnt à rupture en rupture en la rupture traction compressio (en %) (en Mpa) (en Mpa)

Module d'élasticité longi

Diamètre Prix du filament (en F/K) élémentaire

(Mpa) (en mm)

Verre E Verre R Aramide bas module Aramide haut module Carbone haute ténacité Carbone haut module Bore Acier XC10

2.54 2.48 1.45

3400 4400 3100

1200 1300 500

4.8 5.4 2

73000 86000 70000

3 - 30 3 - 30 12

12 50 150

1.45

3100

500

1

130000

12

200

1.78

2800

1800

0.5

200000

8

300/1000

1.8

2200

1300

400000

8

300/1000

2.63 7.85

3500 1000

3500

400000 100 - 200 210000

3000


0.8

Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle Aluminium

2.63

358

69800

10

0-4- Les matrices Les différentes familles de matrice

Critères essentiels des matrices TD et TP

Etat de base Stockage matière de base Mouillabilité des renforts Moulage

TP : thermoplastiques TD : thermodurcissables Solide (prêt à l'emploi : Liquide visqueux à polymérisé) polymériser Illimité Temps réduit (précautions à prendre) Difficile aisée Chauffage chauffage continu (fusion/ramollissement + refroidissement de fixation) court plus long (polymérisation)

Cycle Caractéristiques spécifiques assez bonne limitée Tenue au choc réduite sauf nouveaux TP meilleure Tenue thermique thermostable recyclables perdus Chutes et déchets -7Chapitre 0 : Généralités

Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle Conditions œuvre

de

mise

en bonnes + propreté

émanations pour méthode humide (allergie possible)

Définitions : -

Résine thermodurcissable : polymère transformée en un produit essentiellement infusible et insoluble après traitement thermique (chaleur, radiation) ou physicochimique (catalyse, durcisseur).

-

Résine thermoplastique : polymère pouvant être alternativement ramollie par chauffage et durci par refroidissement dans un intervalle de température spécifique du polymère étudié. Les résines thermoplastiques présentent l'aptitude à l'état ramolli, de se mouler aisément par plasticité.

-

Résine thermostable : polymère présentant des caractéristiques mécaniques stables sous des pressions et des températures élevées (>200°C) appliquées de façon continue. Cette propriété est mesurée en déterminant la température que peut supporter la résine durant 2000h sans perdre la moitié de ses caractéristiques mécaniques.

-

Elastomère thermoplastique : polymère fortement élastique.

Principales caractéristiques mécaniques des résines (réf. CETIM Mallard, Rapport DPE 1991): Résines TD

TP

Métaux

nom Polyester Vinylester Epoxyde Silicone Polyimide Phénolique Polyamide Polycarbon ate Polyester saturé Aluminium Acier XC10 Cuivre Magnésium

ν

1300 1200 1220 1550 1217 1350 1130 1100

3800 3500 5200 1000 3450 3000 1900 2300

0.37 0.35 0.38 0.45 0.35 0.36 0.33 0.33

88 81 121 3 80 70 70 60

α µm/m°C 100 65 40 30 36 80 85 70

1310

2800

0.33

55

90

2630 7850 8940 1660

69000 210000 119000 42000

0.33 0.29 0.30 0.30

358 1000 350 280

23 1000 17 25

ρ (kg/m3) E (MPa)

Avec ρ (kg/m3) : Masse volumique -8Chapitre 0 : Généralités

R (MPa)

Prix (F/kg) 15 18 40 200 150 10 25 30

13 10 11 27

Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle E (MPa) : Module d'Young ν : Coefficient de Poisson R (MPa) : Limite élastique en traction α (µm/m°C) : Dilatation thermique

0-5- Les matériaux composites structuraux Monocouches Les monocouches représentent l'élément de base de la structure composite. Les différents types de monocouches sont caractérisés par la forme du renfort : à fibres longues (unidirectionnelles UD, réparties aléatoirement), à fibres tissées, à fibres courtes.

Stratifiés Un stratifié est constitué d'un empilement de monocouches ayant chacun une orientation propre par rapport à un référentiel commun aux couches et désigné comme le référentiel du stratifié.


Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle Le choix de l'empilement et plus particulièrement des orientations permettra d'avoir des propriétés mécaniques spécifiques. Notation " composite " : Un stratifié possédant l'empilement (0, +45, +90, -45)2s est un stratifié avec 4 couches dans les directions 0°, -45°, 90° et +45°, l'orientation 0° coïncidant avec la direction 1 du repère principal du composite. Ces plans seront réparties symétriquement par rapport au plan moyen du stratifié.

On pourra avoir des stratifiés de type : 1.Equilibré : stratifié comportant autant de couches orientée suivant la direction +θ que de couches orientée suivant la direction -θ. 2.Symétrique : stratifié comportant des couches disposées symétriquement par rapport à un plan moyen. 3.Orthogonal : stratifié comportant autant de couches à 0° que de couches à 90°.

Sandwichs (voir chapitre 5) Matériaux composés de deux semelles (ou peaux) de grande rigidité et de faible épaisseur enveloppant une âme (ou cœur) de forte épaisseur et faible résistance. L'ensemble forme une structure d'une grande légèreté. Le matériau sandwich possède une grande légèreté en flexion et c'est un excellent isolant thermique.

- 10 Chapitre 0 : Généralités




CHAPITRE 1 1-1- Mise en œuvre, procédés Trois opérations sont indispensables : 1.Imprégnation du renfort par le système résineux. 2.Mise en forme à la géométrie de la pièce. 3.Durcissement du système soit par polycondensation et réticulation pour les matrices thermodurcissables, soit par simple refroidissement pour les matières thermoplastiques. Il existe différentes techniques mais la plus utilisée est par moulage :

Limitation : taille des pièce = taille des moules





Classification des procédés en deux grandes familles : -

Procédés humides (par imprégnation directe) : ils sont généralement adaptés à des petites et moyennes séries. Exemples : • • • • • • • • • •

-

Moulage au contact Moulage par projection simultanée Moulage à froid ou chaud sous presse Moulage au sac sous pression et moulage sous vide Moulage par injection de résine (RTM = Resin Transfer Moulding avec moule et contre moule) Moulage par Injection et Réaction (R.R.I.M. = Reinforced-Reaction Injection Molding) et Mousses (mise en œuvre du polyuréthanne et des systèmes résines / catalyseurs très réactifs) Centrifugation Pultrusion Enroulement filamentaire Stratification en continu de plaques et profilés (dépassé)

Procédés secs (par imprégnation indirecte) : ils nécessitent l’utilisation de demiproduits de moulage – préimprégnés en nappes ou en composés pâteux –. Exemples : •

Fabrication de préimprégnés et de compounds de moulage (renfort fibreux – tissus, roving – servant de support à une résine thermodurcissable se présentant dans un état de durcissement incomplet et réversible stable à basse température. Certaines résines thermoplastiques sont également utilisées. Mise en ouvre des « prepeg » : Ligne d’imprégnation solvant, Hot melt direct ou Hot melt par transfert.

•

Les Compounds de moulage sont des préimprégnés plutôt destinés à la fabrication de composites grandes diffusions : tissus, rovings mais plus souvent des fils coupés : - SMC (Sheet Moulding Coumpound), lamifié en résine polyester chargée, armée de fibres placées entre 2 films plastiques protecteurs, on distingue : . SMC – R : fibres sans orientation . SMC – C fibres continues unidirectionnelles . SMC – C/R . SMC – D : fibres coupées unidirectionnelles - SMC hautes performances avec renforts hybrides – verren carbone, kevlar -. - HMC (High Moulding Compound) et XMC (enroulement filamentaire avec orientation spécifique pour améliorer les propriétés) - 14 -



-

-

Pâtes à mouler renforcées de fibres courtes plus visqueuses et plus adaptées à des procédés d’injection à chaud mais caractéristiques mécaniques faibles : DMC = Dough, BMC = Bulk, TMC = Thick, ZMC = pas d’endommagement des fibres lors de l’alimentation du compound)

Par les Procédés secs, les paramètres de moulage comme le taux de fibres sont mieux contrôlés et les cadences de fabrication plus rapide (applications technologiques). Ils permettent la fabrication de pièces en grande séries. Exemples : • • •

• •

Compression de préimprégné (SMC) Injection de préimprégné Drapage et autoclave pour pièces hautes performances (aéronautique), des nappes préimprégnées sont déposées dans un moule et polymérisées par un cycle de cuisson pression + température). Le procédé est long et lourd mais le contrôle de l’orientation des fibres est très précis. Estampage de plaques en thermoplastiques armés (TRE = Thermoplastiques Renforcé Estampable) Injection de thermoplastiques armés (TPR = Thermoplastiques Renforcé)

Les procédés les plus importants sont : 1. Moulage au contact : technologie de réalisation de pièces prototypes ou de simulation. Le principe consiste à imprégner manuellement les renforts disposés dans un moule. C'est peu onéreux et des pièces de formes quelconques peuvent être réalisées mais cadence très faible. 2. Moulage par projection simultanée : technologie similaire mais les fibres coupées sont projetées au pistolet. 3. Injection thermodurcissable BMC (Bulk Molding Compound ou préimprégné en vrac). Procédé discontinu haute pression (100 bars). Alimentation et dosage du Compound, Injection-pression, maintien et polymérisation, puis éjection. Les avantages sont : réalisation de grande série, faible coût matière, peu de finition, temps de cycle. Les limites sont : le taux et la longueur des renforts et les propriétés mécaniques du composite obtenu. 4. Compression thermodurcissable SMC (Sheet Molding Compound ou préimprégnés en feuilles. Le principe consiste à déposer des feuilles de préimprégnés dans un contre moule chauffé, de comprimer le matériau avec un moule chauffé, polymérisation puis éjection de la pièce. Avantages : coût matière, propriétés mécaniques et thermiques.


Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle Les limites sont l'aspect, le dimensionnement des presses et la finition.

5. Pultrusion : Utilisation pour les composites hautes performances industrielles. Le principe est : tirage, mise en forme et polymérisation de fibres continues imprégnées. Les avantages sont la production en continue, possibilité de réaliser des sections très complexes, et d'avoir un taux de renfort élevé. Les limites sont la lenteur du procédé, uniquement des profilés droits à section constante. 6. Enroulement filamentaire (ou bobinage): technologie pour les HP. Le principe consiste en un enroulement sous tension sur un mandrin tournant autour de son axe de fibres continues préalablement imprégnées d'un liant. Les avantages sont la disposition optimale des renforts, les très bonnes propriétés mécaniques, possibilité de réaliser des pièces de grandes dimensions avec des surfaces internes lisses. Les limites sont que formes uniquement convexes et investissements importants.



1-2- Contrôle des structures composites (notions) Méthodes simples -

Contrôle visuel

Ce premier moyen d’observation constitue le plus simple de tous les moyens d’analyse. Pourtant il permet de donner parfois des informations précises sur les zones endommagées. -

Tap test

Ce test est fréquemment utilisé dans l’aéronautique pour déterminer les zones endommagées ou celles de défauts (délaminage). Ce test consiste à taper légèrement la structure en plusieurs endroits pour détecter les zones de variation de ton et qui sonnent creux. Ce test simple peut être utilisé directement par les techniciens chargés de la maintenance et donne des résultats relativement fiables pour certains types de dommage (ex : décollement d’interface).

1-2-1- Radiographie X (méthode directe) -

Méthode frontale : non destructive, contrôle de répartition des fibres, parasites inclusions. On ne voit pas le délaminage. Méthode transversale : destructive, rhéologie des écoulements dans l'empreinte de l'outillage. Visualisation de l'endommagement : observation fine : substance absorbante diffusée dans le matériau.

Tetrabromoéthane

Iodure de Zinc en solution

eau/alcool isopropylique

Très fort coefficient d'étalement

microfissure mais pas délaminage.

Deux photos sous deux angles différents

vision en relief : distinguer chaque pli.

1-2-2- Thermographie infrarouge (indirecte)



-

Permet d'obtenir une cartographie thermique du composite. Les échauffements locaux sont reliés à la densité d'endommagement. Méthode plus qualitative que quantitative.

-

Exemple d'utilisation : suivi d'endommagement en essai de fatigue, de rupture progressive autour d'un trou, influence de la séquence d'empilement.

1-2-3- Emission acoustique (indirecte) Rupture (fibre, matrice, interfaces)

ondes de contraintes, bruit

Capteurs (50-500kHz).

- Méthode pour le suivi d'endommagement en cours d'essai Cette technique non destructive vise donner un aspect qualitatif à l’endommagement du matériau. En combinant les capteurs piézo électrique d’émission acoustique, il est de plus possible de localiser celui-ci. Dans nos applications, nos mesures sont faites généralement en cours de chargement ce qui permet de suivre l’évolution des dommages introduit. - Problèmes : interprétation ? La chaîne d’émission acoustique utilisée est équipée de différent module d’acquisition permettant le traitement en amplitude et le comptage cumulé des événements. Le comptage cumulé représente la somme des événements au cours de l’essai. Un événement correspond en fait à un processus de dégradation de nos matériaux. Pour éviter les bruits parasites, on ne tient compte en général que des émissions supérieures à 33dB. La mesure de l’amplitude des événements permet de tracé des courbes nombre d’événements/amplitude de la forme suivante :



De nombreux travaux qui ont été menés à l’UTC Compiègne (Barré et al 1994, Meraghni 1994, X.L. Gong 1994) ont permis d’aboutir à l’interprétation de ces relevés comme cela est indiqué sur la figure précédente. Les endommagements sont résumés de la manière suivante :

Modèle schématique d'E.A. pour identifier l'endommagement. Les mécanismes d’endommagement numérotés de 1 à 5 sont définis comme suit: 1, 33-45 dB : micro-fissuration de la matrice, 2, 46-58 dB : coalescence des microfissures , 3, 59-68 dB : rupture de l’interface, 4, 69-86 dB : frottement fibre / matrice, déchaussement des fibres, 5, 87-100 dB : rupture des fibres.



Amplitude en (dB) 0

10

20

30

40

1

50

70

60

2

3

80

4

90

100

5

Nous notons donc que cet outil est particulièrement utile dans nos essais. D’autre part, le simple fait de suivre le comptage cumulé du nombre d’événements permet de donner une valeur à partir de laquelle l’endommagement irréversible d’une structure démarre. Ce point est appelé seuil d’endommagement.

-

Comptage : nombre de signaux > seuil ? • • •

-

Couplage distance du signal-capteur Amplitude du signal/nature de la rupture Effet Kaiser - Rapport Felicity.

Applications : Méthode de contrôle pour béton (barrage), Contrôle dans les centrales nucléaires (localisation), contrôle dans les silos (formes tubulaires). - 20 -



1-2-4- Echographie ultrasonore (indirecte) Principe : interaction Matière - Onde sonore.

Par contact :

Par immersion :

-

Propriétés : détecte les délaminages, porosités, les défauts perpendiculaires au faisceau ultrasonore (exemple du C-Scan) : - 21 -



Tâche focale

o

Système MICROCONTROLE Déplacement x y z

Emission/Réception

Cuve à eau z x

IBM-PC

Transducteur focalisé

y

Eprouvette

écho 1

écho 2

signal émis écho de surface écho de fond épaisseur d - 22 Chapitre 0 : Généralités


-

Paramètres : vitesse de l'onde, atténuation, phase, spectre.

-

Application courante : aéronautique et spatial.

Développement en cours sur US (P. Marguerès, UTC / DPC) -

-

-

Une plaque monolithique est immergée dans l’eau et l’onde US est transmise à travers le matériau, l’analyse du signal est faite sur toute la plaque en faisant varier l’angle d’incidence (goniomètre) nous donne des informations sur les rigidités du matériau (tenseur de Christoffel) Mesure des lenteurs par transduction : on remonte à la rigidité 3D du matériau monolithique orthotrope (9 termes sur 21), jusqu’à l’anisotropie complète (21 termes) : développements numériques en cours (convergences numériques). La dégradation du tenseur de rigidité (modification de la nature du matériau) est relative à un dommage. Cette approche est pour l’instant limitée aux monolithiques peu épais (problème de puissance du signal) Système MICROCONTROLE Déplacement

IBM-PC

Emission/Réception



Mesure référence de la vitesse de l’eau

écho 2

écho 1

écho 1 écho 2 25 mm

d

1-2-5- Holographie - Moiré Principe : La présence d'un défaut ou d'un délaminage entraîne une large déformation de la surface du matériau. Ces deux méthodes sont des méthodes optiques avec lesquelles sont visualisées le déplacement, espacement de franges, d'interférences.

1-2-6- Fractographie -

Analyse des surfaces de rupture à posteriori (M.E.B.) Le microscope électronique à balayage permet l’obtention d’images d’un fort grossissement qui permettent d’analyser les phénomènes microscopiques de l’ordre de quelques microns (faciès de rupture par exemple). Les moyens nécessaires sont relativement lourds puisqu’il faut polir et parfois métalliser les échantillons dans le cas où ils ne seraient pas conducteurs (en particulier pour les fibres de verre). D’autres part la découpe des éléments que l’on veut analyser doit être fine puisque les dimensions de ceux-ci sont limitées à la taille du caisson. Dans ce caisson on réalise le vide puis on injecte un gaz d’argon pour faciliter le bombardement d’électrons.



-

Expertise (méthodes très courantes pour les métaux). Pour les composites : pas très net, du à la diversité des constituants, anisotropie, taux de fibre... Beaucoup plus difficile. Il existe beaucoup d'autres méthodes : courant de Foucault, potentiométrie, tomographie X...



CHAPITRE 2 2-1- Approche classique des composites : spécificité du calcul des composites Composites = matériaux composites = structure composite L'élaboration de la structure est non séparée de celle du matériau. Le comportement résulte de celui des composants par l'intermédiaire de différents types d'interaction, d'où l'importance de l'interface entre les composants. Le comportement des composants est différent d'où l'intérêt de les faire travailler ensemble. La question de base qui se pose est de savoir décrire le comportement du composite connaissant celui des constituants. La spécificité du calcul des matériaux composites vient donc de l'hétérogénéité par conception, et des discontinuités par des microvides. Il faut donc recourir à des techniques d'homogénéisation pour obtenir la relation de comportement tant au niveau d’une monocouche que du stratifié ou du sandwich. L'homogénéisation consiste en la représentation d'un milieu équivalent + la construction d'un modèle de calcul permettant d'appliquer la MMC au domaine correspondant à ce milieu équivalent. Le milieu équivalent est caractérisé en décomposant le matériau en parties irréductibles définissant le VER (Volume Elémentaire Représentatif réduit à la géométrie des éléments constitutifs de l'hétérogénéité, géométrie caractérisée par des conditions de symétrie et de périodicité de ces éléments) de l'état mécanique de ce milieu et susceptible de représenter le comportement réel du matériau. Avant tout calcul de structures composées de matériaux hétérogènes, il y a un calcul d'homogénéisation permettant de définir un comportement local approché de ces matériaux. Différents niveaux d'échelles d'étude : Principalement pour les composites stratifiés ou sandwichs : 2 niveaux d'observation -

Niveau micromécanique au niveau méso Les hétérogénéités de base sont les fibres et la matrice. On effectue ici une étape d'homogénéisation locale. Niveau méso au niveau macro Les hétérogénéités de base sont les différentes couches du stratifié. Ces couches sont considérées comme "homogènes" (étape précédente). Cette fois, il s'agit d'une homogénéisation dans l'épaisseur du stratifié.



-

Rappel : • hétérogène : relation de comportement dépend du point étudié • anisotrope : relation de comportement dépend de la direction

2-2- Etude des lois de comportement anisotrope 3D 2-2-1- Hypothèses de travail -

Milieu élastique entraînant la réversibilité des phénomènes. HPP : petites déformations : théorie du premier gradient. Petits déplacements par rapport aux dimensions de la pièce. Actions appliquées progressivement : chargement quasi-statique. Pas de couplage des phénomènes : hygrothermiques et mécaniques. Relations de comportements linéaires. Existence d'un potentiel élastique W(ε),

Forme quadratique définie positive des composantes du tenseur des déformations :

2-2-2- Loi de Hooke

σ = K ε avec K : opérateur de Hooke.

2-2-3- Propriétés de K • • • •

Symétrie : ∀ ε1, ∀ ε2, Tr [ε1.(K ε2)]=Tr [ε2.(K ε1)] Positif : Tr[ε1.(K ε2)] ≥ 0 Définie : Tr [ε1.(K ε1)] = 0 ⇒ e 1 = 0 Si U1 est un champ de déplacement de solide rigide alors : ε( U1 ) = 0 => U1 = U0 +W ∧ OM



2-2-4- Notations " chapeau "

Notation tensorielle => Notation matricielle Le 2 vient du calcul de la trace du produit de la contrainte et de la déformation.

Tr[σε] = σ.ε : produit de matrice. On pose γij = 2 εij : déviation angulaire



Relation de comportement : εij = Sijkl σkl

- La matrice 6*6 correspond à la matrice Sijkl (dit de « souplesse ») - Symétrie des contraintes => σkl = σlk => Sijkl = Sijlk - Symétrie des déformations => εij = εji => Sijkl = Sjikl - Seule la connaissance des connaissances des coefficients de la sous-matrice 6*6 est nécessaire. - Application du théorème des travaux virtuels pour un s particulier => Sijkl = Sklij - => Sijkl est symétrique => 21 coefficients à déterminer. La relation de comportement s'écrit :



-

=> Remarque : pour que la matrice Sijkl soit symétrique, on travaillera avec les distorsions angulaires.

-

Les coefficients du tenseur de souplesse s'expriment à l'aide de constantes mécaniques.

D'après CHENTSOV, on a : Ei : modules de tensions ηij,k : coefficients d'influence de 1ère espèce. Gij : modules de cisaillement ηi,kl : coefficients d'influence de 2nde espèce. νij : coefficients de contraction µij,kl : coefficients de CHENTSOV. Dans le paragraphe qui suit, nous allons introduire des symétries matérielles permettant de simplifier la matrice de souplesse Sijkl.



2-2-5- Matériau orthotrope (orthogonal+anisotrope) Définition : matériau élastique homogène présentant en tout point 2 symétries du comportement mécanique chacune par rapport à 1 plan, les 2 plans étant orthogonaux. Remarque : Les composantes Smnpq d'un tenseur exprimées dans un repère (1,2,3) s'écrivent Sijkl dans un repère (I,II,III) :

-

Avec cosmi : cosinus de l'angle formé par les deux vecteurs unitaires m et i.

-

Après simplification de Sijkl (élimination des termes nuls), il ne reste que 9 coefficients distincts qui sont :

Avec : E1, E2, E3 : modules d'élasticité longitudinaux. G23, G13, G12 : modules de cisaillement. ν23, ν13, ν12, ν21, ν23, ν31 : coefficients de Poisson. Symétrie de la loi de comportement :



2-2-6- Matériau isotrope transverse -

Définition : matériau possédant une direction privilégiée, c'est-à-dire qu'il existe un axe de symétrie.

-

Si on suppose que la direction 3 est axe de symétrie, la relation de comportement s'écrit alors :

Il ne reste donc que 5 coefficients distincts.



2-3- Comportement anisotrope 2D -

Hypothèse : structures composites stratifiés => étude du comportement de la couche UD (unidirectionnelle) => définition de la méso-échelle => dimensionner et modéliser des structures composites.

-

Hypothèse : matériau orthotrope => détermination des constantes élastiques d'un pli UD exprimées dans son repère d'orthotropie.

2-3-1- Repère du pli

2-3-2- Coefficients de souplesse Les hypothèses simplificatrices suivantes permettent d'éliminer certains coefficients de la matrice de souplesse : Epaisseur du pli << dimensions longi et transverse du pli => dim 3 << dim 1 et 2 => σ33 << aux autres composantes du tenseur des contraintes. => stratifié mince constitué d'une superposition de pli UD => description du comportement du matériau orthotrope dans le plan (l,t) :



Dans le repère local du pli, la relation de comportement s'écrit :

Le repère global du stratifié composite est (x,y,z). Avant de faire un calcul sur une structure plaque composée de plusieurs plis d'orientations diverses, il faut ramener tous les plis dans le repère globale de la structure. Pour cela, il faut effectuer un changement de repère de toutes les matrices de la relation de comportement du pli, c'est à dire passer du repère (l,t) au repère (x,y). La plaque étant de faible épaisseur, la direction 3 est abandonnée. Rappel : la contrainte s s'exerçant sur une facette de normale n s'écrit :

Coordonnées d'un même vecteur dans 2 repères distincts (x,y) et (l,t) / (x,y)=θ

Avec : - 34 Chapitre 0 : Généralités


Dans le repère (l,t), la contrainte s'exerçant sur la facette de normale x s'écrit :

Dans le repère (x,y) :

De la même façon, on obtient :

La matrice des contrainte s'écrit donc dans (x,y) :

On pose de la même façon, pour les déformations :

Relation de comportement :



Il y a apparition de couplage dans la matrice [K]-1. (x,y) : repère de la plaque = repère global.



(l,t) : repère du pli = repère local et (x,y) : repère global. On a donc écrit les coefficients de la matrice de souplesse K-1 du pli élémentaire dans le repère global de la structure.

2-3-3- Coefficients de raideur On commence par inverser la relation de comportement ε = f(σ) dans le repère (l,t).



Apparition des coefficients élastiques dits de " raideur ". Nouvelle notation :

Même procédure qu'avant :

Qui se réécrit sous la forme :


Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle Avec :



CHAPITRE 3 CALCULS D'HOMOGENEISATIONS COMPOSITES

3-1- Homogénéisation pour le calcul des modules La première étape d'un calcul composite consiste à déterminer les caractéristiques mécaniques du matériau en fonction de celles de ses composants. Dans la plupart des cas, ces calculs se réduisent uniquement au calcul du module d'Young. Il existe divers modèles d'homogénéisations pour l'obtenir. Les plus classiques seront présentées ici.

3-1-1- Homogénéisation simplifiée - Les modèles à " Bornes " Soit un matériau composite UD de repère d'orthotropie (l,t), constitué de fibres noyées dans une matrice polymère. Soit une cellule élémentaire de fraction volumique V = 1 constituée de fibres et de matrice avec : Vm : fraction volumique de matrice Vf : fraction volumique de fibre V = Vm + Vf =1 A l'échelle locale, on a les hypothèses suivantes :

-

Fibres: comportement élastique linéaire fragile isotrope de coefficients Ef et νf. Matrice: comportement élastique non-linéaire, isotrope de coefficients Em et νm.

But ? Déterminer les relations existant entre El , Et , Ef , Em , νm et νf . Hypothèses :

-

On travaille en élasticité linéaire. On suppose que la liaison fibres/matrices est parfaite. Localement, on a : σf = Ef εf et σm = Em εm



Modules longitudinale et transverse d'un UD par la loi des mélanges

On associe deux matériaux de caractéristiques distinctes dans le but d'estimer les caractéristiques élastiques du matériau équivalent, c'est à dire de l'UD. Pour cela, on effectue deux essais de compression. 1er essai : Il s'effectue dans la direction parallèle aux fibres (compression longitudinale)

El : module homogénéisé d'Young dans la direction longi à déterminer. σl = El εl

Simplification du problème : on considère le problème équivalent suivant :

Hypothèse : la déformation est constante dans une section droite, c'est à dire que :


Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle ε1=εf=εm

On a : σ1=F1/S1=Elεl=Elεf=Elεm<=> σ1=Elσf/Ef=Elσm/Em L'équilibre de l'éprouvette s'écrit : F1=Ff+Fmavec Ff : force appliquée à la fibre, et Fm : force appliquée à la matrice. On aura : Ff=EfεfSf=EfεlSf Fm=EmεmSm=EmεlSm Donc, Ff+Fm=εl(EfSf+EmSm)=F1 Or, la loi de comportement de l'UD s'écrit : σ1=F1/(Sf+Sm)=Elεl=> F1=Elεl*(Sf+Sm) => El=EfSf/(Sf+Sm) + EmSm/(Sf+Sm) => El=EfVf+EmVm : loi des mélanges Relation très bien vérifiée dans la direction des fibres.

2ème essai : Il s'effectue dans la direction perpendiculaire aux fibres (compression transversale)

Et= module homogénéisé dans la direction transverse, à déterminer. σ2=Etεε2



Simplification du problème : On considère le problème suivant :

Hypothèse : la contrainte est constante dans une section droite. Donc : σ2=σf=σm<=> Vε2=Vfεf+Vmεm<=> σ2/Et=(Vfsf/Ef)+(Vmsm/Em) <=> 1/Et=(Vf/Ef)+(Vm/Em) : loi des mélanges en souplesse Relation pas très bien vérifiée transversalement mais qui donne une indication sur la borne inférieure. Module de cisaillement et coefficient de Poisson d'un UD par la loi des mélanges

De façon analogue, on détermine ces deux coefficients et on trouve que : νlt=νfVf+νmVm

1/Glt=(Vf/Gf)+(Vm/Gm) Rappelons que les modèles à bornes donnent un encadrement du comportement mécanique du matériau composite par des comportements mécaniques limites (bornes). Les modèles que nous allons voir maintenant sont applicables à des mélanges de polymères (matériaux composés) et à des composites chargés par des particules diverses. Nous remplacerons donc les termes fibres et matrices par des phases. Les bornes correspondent aux associations série des deux phases (REUSS, équivalent au modèle du module transverse équivalent de la loi des mélanges) et parallèle (VOIGT, équivalent au modèle du module longitudinal équivalent de la loi des mélanges). Aucune hypothèse n'est faite sur la morphologie du matériau. Il est simplement admis que pour le modèle de REUSS, la contrainte est homogène dans les deux phases (continuité de la contrainte) et, pour le modèle de VOIGT, la déformation est constante (continuité de la déformation) dans tout le composite. L'intérêt est limité dès que l'écart des caractéristiques des deux phases est important.



3-1-2 - HASHIN et SHTRIKMAN (1963) Expression des bornes plus resserrée que Voigt et Reuss. Il rajoute une hypothèse supplémentaire sur la géométrie : il existe une phase continue et une discontinue. Ce modèle utilise le principe variationnel : les différents constituants sont noyés dans un matériau de comparaison. Si le matériau de comparaison est "plus souple" Lmin ou "plus raide" Lmax que toutes les phases du matériau composite, on obtiendra une borne inférieure LHS- et supérieure LHS+ pour les modules du matériau composite.

avec Les limites supérieure et inférieure sont équivalentes aux relations obtenues par KERNER, basées aussi sur le principe variationel de la méthode auto-cohérente mais Kerner n'a pas émit d'hypothèses sur la morphologie du mélange. Ses seules hypothèses sont :

-

propriétés du mélange : isotrope.



comportement des constituants dans le composite est le même que dans le produit en masse. adhésion parfaite entre les constituants.

Les approches phénoménologiques : Dans Voigt et Reuss, les phases sont en état de contrainte ou déformation constante. Mais dans la réalité, la répartition des contraintes et déformations entre les particules n'est pas aussi simple. La prise en compte de ceci va se faire par combinaison des modèles de bases de Voigt et Reuss. Différents modèles ont donc été développés, mais la description la plus utilisée est celle de TAKAYANAGI. Hypothèse : il existe un paramètre de forme ajustable.


Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle Ce modèle donne une bonne description phénoménologique du système mais pas sur sa morphologie (arrangement entre phase).

Les approches basées sur les équations d'HALPIN-TSAI.

Elles permettent de prédire le module longitudinal d'un composite renforcé par des fibres courtes alignées. Les auteurs ont généralisé l'équation de KERNER (1956) issue d'un schéma autocohérent et écrite pour le cas de renforts sphériques au cas des renforts allongés. Les modules longitudinale El et transverse Et s'écrivent alors :

ξ : mesure du facteur de forme de la fibre = 2L/d où L : longueur et d diamètre de la fibre. A partir des équations d'Halpin-Tsai, on peut estimer le module d'un composite renforcé par des fibres courtes orientées aléatoirement dans un plan ou dans un volume.

L'approche de TSAI-PAGANO

Elle est basée sur la théorie de l'élasticité orthotrope. Elle donne un module E d'un composite à fibres courtes, isotrope dans le plan. E=3/8 El+5/8 Et



L'approche d'HALPIN-KARDOS

Elle est similaire à la précédente mais le composite isotrope dans le plan est traité comme un composite stratifié composé de plis UD, chaque pli étant tourné d'un angle donné par rapport au précédent. Le calcul analytique d'HALPIN-KARDOS a été réalisé sur un assemblage de 4 plis orientés à (0°, -45°, +45°, 90°).

On a donc un composite quasi-isotrope. Les modules de chaque pli sont estimés à partir des équations d'HALPIN-TSAI.

L : longueur des fibres, l : largeur des fibres, e : épaisseur des fibres. ξ : facteurs de forme. Le module G du composite est :



Conclusion : Les approches basées sur les équations d'HALPIN-TSAI sont semiempiriques mais simples à utiliser.

3-2- Théorie simplifiée des stratifiés Rappel : On appelle stratifié ce qui résulte de plusieurs couches (ou pli) de nappes unidirectionnelles ou de tissus avec des orientations propres à chaque pli. Le calcul du comportement moyen d'une plaque composite stratifié va être présenté dans ce chapitre.

3-2-1- Comportement en membrane Soit un stratifié à symétrie miroir (les empilements des plis de part et d'autres du plan moyen sont identiques (±θ)s.



u0, v0 : composante du déplacement dans le plan moyen, et k indice de chaque pli.

On est en hypothèse des petites déformations. On a alors une relation entre l'angle de rotation de la section et le déplacement suivant l'axe z notée w : ω = ∂ w/∂ x, Pour un point ne se trouvant pas dans le plan moyen, on aura comme déformation : εx = ∂ u/∂ x = ∂ /∂ x (u0 - z ∂ w/∂ x ) = ∂ u0/∂ x - z ∂ 2w/∂ x2 εy = ∂ v/∂ y = ∂ /∂ y (v0 - z ∂ w/∂ x ) = ∂ v0/∂ y - z ∂ 2w/∂ x2 ∂ 2w/ x2 = courbure de la plaque

La déformation de cisaillement va s'écrire : γxy = ∂ u/∂ y + ∂ v/∂ x = ∂ u0/∂ x + ∂ v0/∂ y - 2z ∂ 2w/∂ x∂ y

que l'on peut mettre sous la forme :

avec k x = ∂ 2w/∂ x2 k y = ∂ 2w/∂ y2 k xy = -2 ∂ 2w/∂ x∂ y Ce qui permet d'écrire les contraintes dans un pli du composite stratifié sous la forme : [σ] = [Q] k [ε0] + z [Q] k[k]


Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle Hypothèse : stratifié uniquement soumis à des sollicitations dans son plan par unité de longueur : Nx , Ny , Txy = Tyx , Ce sont des efforts de membrane (ou éléments de réduction pour des contraintes ou encore flux d'efforts dans le stratifié).

Description des efforts : Nx : effort dans la direction x, par unité de longueur suivant la direction y : Ny : effort résultant dans la direction y, par unité de largeur suivant la direction x : Txy = Tyx : cisaillement de membrane par unité de largeur suivant la direction y :

Les relations précédentes peuvent se mettre sous la forme :

L'hypothèse utilisée pour intégrer sur l'épaisseur du stratifié et calculer un matériau homogène équivalent est l'homogénéité de la contrainte dans chaque pli. Ceci permet de discrétiser les intégrales et d'écrire des sommes finies, c'est-à-dire : - 50 Chapitre 0 : Généralités


On introduit les relations de comportements et on obtient:

Remarque 1 : si le stratifié est équilibré (autant de plis dans une direction que dans l'autre), on a découplage entre déplacements dus à la traction et distorsion angulaire due au cisaillement, c'est à dire :

Remarque 2 : Les Aij sont indépendants de l'ordre d'empilement des plis.

Conséquences : Détermination pratique d'un stratifié travaillant en membrane. Données :

Nx, Ny, Txy Postuler un ensemble de proportions de plis dans des directions déterminées (par exemple : plis identiques = même nature, même épaisseur) Problème posé :



-

Déterminer les modules élastiques apparents du stratifié, les coefficients de couplage associés pour prévoir les déformations sous chargement. Epaisseur minimum à donner au stratifié pour éviter la rupture de l'un quelconque des plis qui le constituent.

Principe de calcul :

1 - modules apparents : On écrit la relation de comportement :

Le rapport εk/h fait disparaître les proportions des plis identiques ayant même orientation. Si on inverse la matrice [A'ij], on obtient les modules apparents recherchés et les coefficients de couplage. 2 - épaisseur minimum Pour cela, on détermine la non-rupture du stratifié. Soient σl, σt, et τlt les contraintes dans les axes d'orthotropie d'un pli constituant le stratifié soumis au chargement Nx, Ny et Txy. h : épaisseur du stratifié inconnue (pour le moment), telle que l'on se trouve à la limite de la rupture du pli considéré au sens du ritère de Hill (voir les critères plus loin). Pour ce pli, on aura :

On multiplie cette expression par l'épaisseur recherchée au carré et on obtient : - 52 Chapitre 0 : Généralités

Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle (σl*h), (σt*h) et (τlt*h) obtenues en multipliant les contraintes globales (s0x, s0y, t0xy) s'exerçant sur le stratifié par l'épaisseur h. Or : σ0x = Nx, σ0y = Ny, τ0xy= Txy : flux d'efforts connus, donc pour un pli, on obtient h en fonction des efforts connus, donc chaque pli n°k conduit à un hk du stratifié. L'épaisseur finale à retenir sera la plus grande des valeurs trouvées.

3-2-2- Comportement en flexion Hypothèse sur les déplacements :

Aux sollicitations Nx, Ny, Txy s'ajoutent par unité d'envergure :



Mx : moment fléchissant d'axe y, dû aux contraintes sx par unité de largeur suivant la direction y.

My : moment fléchissant d'axe x, dû aux contraintes sy par unité de largeur suivant la direction x.

Mxy : moment de torsion d'axe x, dû aux contraintes txy

Comme pour le comportement en membrane, on discrétise par couche et on obtient :

On introduit la relation de comportement et on obtient :

En calculant les intégrales suivant z, [M] devient : [M] = [B][ε0]+ [D][k]



L'expression générale reliant les contraintes et déformations globales qui représente l'équation fondamentale pour les stratifiés s'écrit :

Inversons cette relation : [ε0] = [A-1] [N] - [A-1] [B][k] d'où : [M] = [B] [A-1] [N] +(- [B] [A-1] [B][k] + [D][k] ? alors [k] = [D-1*][M] - [D-1*][C*] [N] On obtient finalement : [ε0] = [B*] [D-1*][M] + [A*] - [B*] [D-1*] [C*] [N] Ce qui permet d'obtenir une autre équation fondamentale des stratifiés et qui s'écrit :

Avec [A'] = [A*]-[B*][D*-1][C] [B'] = [B*]*[D*-1] [C'] = [D*-1][C*] [D'] = [D*-1] et [A*] = [A-1] , [B*] = [A-1][B] , [C*] = [B][A-1] , [D*] = [D] - [B][A-1][B] De façon générale, un stratifié quelconque soumis à de la traction subira des déformations non seulement normales mais aussi de la flexion ! Ce qui n'était pas le cas avec des matériaux homogènes isotropes ! - 55 Chapitre 0 : Généralités


Remarques : Dans le cas général, on a un couplage entre les comportements en membrane et en flexion dans un stratifié quelconque, mais la symétrie miroir implique le découplage, c'est à dire que les Bij sont nulles et les termes (hk2-hk-12) s'annulent 2 par 2. Les termes [Q16] k et [Q26] k s'obtiennent en fonction de sinqk et sin3qk qui ne changent pas de signe pour 2 couches symétriques.

Si on évite ce couplage, le comportement en membrane est indépendant de l'ordre de la séquence d'empilement. Pour les stratifiés équilibrés, les termes A16 et A26 sont nuls. Pour les stratifiés symétriques et équilibrés, les Bij sont nuls.

Détermination pratique d'un stratifié travaillant à la flexion :

On suppose connus les éléments de réduction (Mx, My, Mxy) => prévision de séquences d'empilements Principe de calcul : -

Non-rupture du stratifié (id à membrane).

-

Déformation de flexion => utilisation indispensable d'un logiciel de calcul informatisé de type EF disposant de sa bibliothèque d'éléments de stratifiés travaillant en flexion.

Calcul sommaire à la flexion : Possibilité pour un pré-dimensionnement d'effectuer des calculs simplifiés considérant que le moment Mx est uniquement lié à la courbure ∂ 2w0/∂ x2 My est uniquement lié à la courbure ∂ 2w0/∂ y2 On peut déterminer expérimentalement : Les contraintes apparentes par l'essai :



=> analogie avec les poutres => σrupt=[Mrupt*(h/2)] / (h3/12) = Mrupt*6/h2

Les modules apparents de flexion :

comparaison des relations de comportement "composites " et " homogènes "par identification avec le seul 1er terme du moment Mx -Efx. (h3/12)=C11 => Efx.= -12/ h3 C11 avec Efx. : module de flexion du stratifié " homogénéisé " suivant x. De la même façon : -Efy. (h3/12)=C22 => Efy.= -12/ h3 C22 avec Efx. : module de flexion du stratifié " homogénéisé " suivant y. Du stratifié, on a :



De la poutre homogène, on a :

3-3- Prise en compte des effets hygrothermiques (notions) Dans les relations de comportements précédentes, on considère un état isotherme. Etat isotherme <=> température des " contraintes libres ".

MAIS : Température de fabrication et d'utilisation parfois différentes de cette température de référence. Hypothèses : 1.matériau orthotrope : De façon proportionnelle à la variation de température : quand T° augmente, le matériau s'allonge quand T° diminue, le matériau se rétracte. 2.couplages négligés Utilisation du principe de superposition.

3-3-1- Effets thermiques αij : coefficients de dilatation thermique dans les directions (xi.=0 si i¹ j). εij = αij (T-T0) T0 : température de référence.


Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle Modification des seuils limites élastique et des relations de comportement des matériaux

Dans le domaine élastique : εij = Sijkl σkl + αij (T-T0) Avec Sijkl= f(T°)

3-3-2- Effets hygrométriques Effets (T°+hygro) => accélération des modifications des caractéristiques mécaniques des matériaux composites à matrice polymère.

Diffusion de l'humidité dans la matrice polymère Hypothèse : matériau orthotrope => proportionnalité entre taux hygro et allongement. βij : coefficients hygrométriques dans les directions xi.(=0 si i ≠ j). εij = βij (H-H0)



3-3-3- Superposition des effets thermo et hygro On écrit alors une loi hygrothermoélastique εij = Sijkl skl + aij (T-T0)+bij (H-H0) Remarque : quand i ≠ j , δij = 0, T et H n'affectent pas les déformations et contraintes de cisaillement. Hypothèse : il existe un état de précontrainte σij° tel que : σij= σij°+ Cijkl[εkl - αkl (T-T0)+βkl (H-H0)]

Il existe un potentiel thermodynamique : W(ε)=(1/2!)*Cijkl εij εkl + σij° εij exprimé autour d'une position d'équilibre caractérisée par : εij° = 0, σij ≠ 0 (précontrainte), T=T0, H=H0



3-4- Règles de conception d'une pièce composite Le concepteur " crée " le matériau en fonction des besoins => choix de : 1 -le renfort la matrice le procédé de durcissement 2 -agencement des plis prédimensionnement + critères représentation sur plans Orientations normalisées :

De préférence : stratifié avec symétrie miroir => symétrie des contraintes


Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle => évite voilement et gauchissement pendant la phase de polymérisation. Minimums technologiques : minimums de plis de 5 à 10% suivant chaque direction à 0°, +45°, 90°, -45°. Epaisseur minimum d'un stratifié : 1 mm Agencement des plis : proportions et nombre de plis à placer dans chacune des directions. Il faut prendre en compte les sollicitations mécaniques qui s'exercent sur le stratifié dans la zone considérée.

3 critères pour le concepteur : 1.supporter les flux d'efforts sans détérioration du stratifié. 2.limiter les déformations de la pièce chargée. 3.minimiser la masse des matériaux.

Respect de l'agencement suivant : 1.plis à 90° placés en surface puis plis à +45° ou -45° quand flux d'effort prépondérant parallèle à 0°. 2.pas plus de 4 plis consécutifs dans une même direction. 3.problèmes de délaminage : sur les bords des stratifiés, il existe des σ33°. σ33°> 0, => délaminage, σ33°< 0, => non délaminant.

Or, le signe de σ33°dépend de l'ordre d'empilement. (± 45)2s est très délaminant mais il existe d'autres phénomènes de rupture (endommagement du pli apparaît en 1er). Quelques exemples de conception :



3-5- Résumé sur la Théorie du stratifié : comportement élastique (formulaire)



CHAPITRE 4 CRITERES DE RUPTURE CLASSIQUES POUR COMPOSITES

Etude de la rupture des stratifiés, 2 types de rupture : -

rupture du monocouche (ou plus généralement des UD) rupture des stratifiés multicouches.

Il existe différents modes de défaillance.

Composites multicouches essentiellement plaques et coques.

Etat de contraintes planes ou flexion privilégiés dans les critères de dimensionnement.

états prédominants dans les zones éloignées des conditions limites (bords, assemblages, ouvertures ...) pour un UD :

-

directions l et t ont des caractéristiques à rupture très différentes avec une grande indépendance par rapport aux constituants. directions de cisaillement (l,t) a un très grand rôle. Par exemple, en collage, on compte sur lui pour assurer le transfert des contraintes entre fibres et matrice.

Pour un bidirectionnelle, il existe 5 limites différentes soit en déformations soit en contraintes. 1.traction sens fibre (l) : εlt, σlt 2.traction sens transverse : εtt, σtt 3.compression sens fibre (-l) : εlc, σlc 4.compression sens transverse (-t) : εtc, σtc 5.cisaillement plan (l,t) : εlt, σlt Remarque : exemples pris avec les carbone/époxy car il existe beaucoup de résultats expérimentaux et de combinaisons connues "matrice-fibres". Observations expérimentales : Par défaut : utilisation de critères de rupture fragile car on recherche une représentation élastique, avec prise en compte de l'anisotropie, sachant qu'une telle approche a ses limites.



4-1- Définition des critères de résistance Connaissant un état de contrainte σ (resp. ε), on cherche à réaliser une condition du type f(σ σ) (resp. g(εε)) ≤ 1

f(σ) fonction scalaire du tenseur des contraintes Il existe de nombreuses expression de cette fonction, les plus connues étant celle de Hill, Tsaï-Wu, Hoffman, contrainte max, déformation max, .....

Historique des Critères de résistance ou rupture :

-

-

Léonard de Vinci (1500) : relation contrainte / rupture Galilée (1638) : travaux sur la rupture des matériaux Tresca (1864) : Cisaillement max. Von Misès (1913) : Energie de distorsion Von Misès (1928) : Critères quadratiques Hencky (1929) : Von Misès adapté aux matériaux anisotropes Hill (1948) : Von Misès pratique Gol’denblatt et Kopnov (G&K,1965) : écriture tensorielle générale des critères de rupture (tous les autres critères sont un cas simplifié et plus pratique de l’écriture de G&K) Tsaï et Hill (1965) : redéfinition du critère de Hill Hoffman (1967) : formulation pratique de G&K Tsaï et Wu (1971) : formulation pratique de G&K pour les stratifiés

Remarque : le critère de Hill est une généralisation de Von-Misès réservé aux matériaux homogène et isotrope.



4-1-1- Le critère de Tsaï-Hill Critère de type quadratique exprimé en contrainte plane, écrit dans le repère de l'UD :

 σ 1   σ 2   σ 6   σ 1σ 2   ≤1   +  +  −  Xr   Yr   S   XrYr  2

2

2

avec σ11r = σ11c = Xr si σ11 ≤ 0 σ11r = σ11t = Xr si σ11 ≥ 0 σ22r = σ22t = Yr si σ22 ≥ 0 σ22r = σ22c = Yr si σ22 ≤ 0 σ12r = S Les contraintes sont déterminées expérimentalement sur des essais uniaxiaux. Remarque : ce critère ne distingue pas les différents modes de rupture de la monocouche. Il ne fonctionne qu’en contrainte plane et est restrictif sur le signe des contraintes.

4-1-2- Le critère de Tsaï-Wu C'est la généralisation des critères quadratiques. Il fait intervenir 2 tenseurs de résistance : Fij du 2nd ordre et Fi du 1er ordre. Fij σi σj + Fi σj ≤ 1

En 3D et dans le repère d’orthotropie du pli (pour un matériau orthotrope), le critère s’écrit de la manière suivante : F1 σ1 + F11 σ12 + F2 σ2 + F22 σ22 + F3 σ3 + F33 σ32 + 2 F12 σ1 σ2 + 2 F13 σ1 σ3 + 2 F23 σ2 σ3 + F44 σ42 + F55 σ52 + F66 σ62 = 1

En effet, les termes de couplage sont nuls dans le repère d’orthotropie, soit entre les : (σ1, σ2, σ3) et les (σ4, σ5, σ6). Cette écriture n’est pas vraie dans un repère global, dans ce cas les termes de couplage tels que (F14, F15, F16, F24, F25, F26, F34, F35, F36, F45, F46, F56) apparaissent, ainsi que des termes liées au cisaillements (F4, F5, F6) ! ! ! - 66 Chapitre 0 : Généralités


Rappel sur les écritures des résistances:

X+ = σ1 ultime en traction X- = σ1 ultime en compression Idem pour Y (σ2) et pour Z (σ3) S = σ12 ultime = σ6 ultime (rupture en cisaillement dans le plan (1,2)) R = σ13 ultime = σ5 ultime (rupture en cisaillement dans le plan (1,3)) Q = σ23 ultime = σ4 ultime (rupture en cisaillement dans le plan (2,3))

Rappels sur les expressions des coefficients du critère :

a) Coefficients hors-interaction : ils s’expriment en fonction des résistances fondamentales X, Y et S, ils sont déterminés à travers des tests de chargement unidirectionnels. -

Coefficients normaux : F1, F11, F2, F22, F3, F33 correspondent aux contraintes normales. F1 = (1 / X+) - (1 / X-) F2 = (1 / Y+) - (1 / Y-) F3 = (1 / Z+) - (1 / Z-) F11 = (1 / X+ . X-) F22 = (1 / Y+ . Y-) F33 = (1 / Z+ . Z-)

-

Coefficients de cisaillement : F44, F55, F66 F66 = 1 / S2 F55 = 1 / R2 F44 = 1 / Q2

b) Coefficients d’interaction : ils ne s’expriment en fonction des résistances fondamentales X, Y et S, ils sont déterminés à travers des tests de chargement complexes combinés F12 (interaction de σ1 et σ2) F13 (interaction de σ1 et σ3) F23 (interaction de σ2 et σ3)



Problème : détermination empirique de l’expression telle qu'elle vérifie une certaine forme de l'enveloppe de rupture de l'UD dans l'espace des contraintes. Exemple : enveloppe ellipsoïdale pour équivalence avec des essais uniaxiaux en contraintes planes et pour un UD. F11 = 1 / σ11c σ11t F22 = 1 / σ22c σ22t F66 = 1 / σ12r2 = 1 / S2 F16 = F26 =0 Fij =Fji Ce critère intègre la différence entre comportement en traction et compression. Du point de vue physique, il y a une mauvaise description des couplages entre contraintes. Les différents modes de rupture du pli ne sont pas distingués.

4-1-3- Critère de la contrainte maximale Critère relativement rustique mais qui reste très utilisé pour la recherche des premières solutions technologiques dans la conception d'une pièce composite. Il est rarement utilisé en entier mais souvent couplé avec le critère de déformation maxi. En contrainte plane :

La connaissance des σ limites dans les différentes directions implique la détermination rapide de l'état de s limites. Ne distingue pas les différents modes de rupture de l'UD.



4-1-4- Critère de la déformation maximale Critère peu utilisé car en bureau d'études, les concepteurs raisonnent plutôt en contraintes (ou comment sont transmis les efforts). Il est utilisé couplé avec le critère de contrainte max. En déformation plane :

Les déformations sont calculées avec la loi de comportement élastique.

4-1-5- Le critère mixte Remarque : -=X si X<0 sinon, X=0. Il s'agit d'un couplage entre les deux critères précédents : déformation max appliquée dans la direction des fibres, et contraintes max appliquée dans la direction transverse et en cisaillement. Il ne distingue pas les différents modes de rupture de l'UD.

4-1-6- Le critère de Hashin Remarque : -=X si X<0 sinon, X=0. Il existe une distinction nette entre les 4 modes de rupture : -

rupture de fibre en traction rupture de fibre en compression - 69 -



rupture de la matrice en traction rupture de la matrice en compression.

Différents laboratoires de recherches sur les structures composites, en partenariat avec des industriels principalement rattachés au domaine de l'aérospatiale ont développé des critères beaucoup plus sophistiques qui tiennent compte des différents modes de rupture de l'UD. Ils ne seront pas présentés ici. Dans le chapitre qui suit, la mécanique de l'endommagement et la mécanique de la rupture sont brièvement présenté. En effet, dans l'industrie, les seuls calculs réellement utilisés sont ceux présenté dans le chapitre homogénéisation et les critères présentés ci-dessus.



4-2- Limites des critères classiques et Conseils d’interprétation 4-2-1- Limites des critères de rupture classiques et Autres approches Les critères classiques ne tiennent pas compte en général du chemin de la rupture dépendant de la nature des constituants du composite et du mode de sollicitation. Nous présentons par la suite les limites de ces critères illustrés par d’autres approches et des cas de sollicitations particulières. Le transfert de charge matrice/fibre

Les critères classiques ne tiennent pas compte de l’influence de la nature de la matrice et du renfort sur le transfert de charge et le chemin de l’endommagement et de la rupture. Ainsi les propriétés mécaniques du composite ne dépendent pas que du taux de fibres mais aussi de paramètres tels que : - la longueur de fibre - l’orientation des fibres - l’architecture des fibres (exemple : les tissus) - les propriétés mécaniques et physico-chimiques des matrices, interfaces et fibres Plusieurs approches sur le transfert de charge sont proposées : -

Le transfert élastique/élastique (modèle de Cox, « Shear lag theory », 1952) : cas idéalisé, la fibre et la matrice ont un comportement élastique et il y a continuité de la déformation à l’interface. Hypothèse non vérifiée en général ! Applicable que pour les petites déformations et dans le cas où il y a mode de transfert élastique.

-

Le transfert par glissement (Outwater, 1964) : le transfert est associé à une scission τi due au frottement constant à l’interface et l’adhésion fibre/matrice est nulle (approche ne tenant pas compte du transfert élastique). Cette théorie met en évidence l’importance de la longueur des fibres sur le comportement du matériau (longueur critique lc, au-dessus de lc, la rupture du matériau est provoquée par les fibres).

-

Le transfert élastoplastique : modèle plus proche de la réalité physique car mixte des 2 approches précédentes. En effet, la fibre a un comportement élastique mais la matrice est souvent élastoplastique.



Autres modèles de prévision pour le transfert de charge : Cox et Halpin-Tsaï pour les propriétés élastiques et Cox et Tsaï pour la rupture.

Statistique de la rupture

Exemple des matériaux composites à fibres courtes : la rupture est répartie aléatoirement et est caractérisés en utilisant la valeur moyenne de la contrainte à rupture. Or, bien souvent cette moyenne est assortie d’un écart-type important qui peut cacher une répartition statistique des propriétés à la rupture. Weibull a proposé une loi statistique de description de la rupture des matériaux obéissant à la théorie du maillon le plus faible. La probabilité de rupture de volume V sollicité par un champ de contrainte s est donné par : P(σ) = 1 – exp [-B(σ)] Avec B(σ) = V f(σ).dV et si σ>0 f(σ) = [σ/σ0]m si σ<0 f(σ) = 0 où σ : contrainte appliquée σ0 : constante de normalisation du matériau m : module de Weibull du matériau, caractérisation de la largeur de la distribution et de l’effet de taille Cette théorie statistique a l’avantage de mettre en évidence l’effet de taille, plus le volume sollicité est grand et plus la probabilité de trouver un maillon faible croit et donc plus la contrainte à rupture est faible. Limites : cette approche s’applique surtout aux matériaux céramiques et aux bétons, son application aux composites est récente. Il y aussi le problème de rendre compte de différents modes de rupture (exemple : différence entre la traction et le flexion).



Rupture en fatigue

Owen décrit les micromécanismes d’endommagement responsables de la rupture en fatigue sur des polyesters renforcés par des fibres continues et réparties aléatoirement. Il présente 3 stades d’endommagement : - la rupture d’interface (« debonding ») - la rupture de la matrice - la coalescence des fissures entraînant la rupture brutale Il note le rôle initiateur des fibres perpendiculaires à la direction de charge (phénomène souvent repris par plusieurs auteurs). Dally et Carillo ont travaillé sur des thermoplastiques renforcés à fibres courtes de verre de différentes longueur. Les « fibres plus courtes » ont un meilleur comportement en fatigue que celui des « fibres longues ». Ceci s’explique par les différents mécanismes d’endommagement conduisant à la ruine du matériau. Dans le cas des « fibres longues », les fissures sont concentrées dans les régions riches en fibres et se propageant en suivant les interfaces tout autour des paquets de fibres existant. Ces fissures s’arrêtent et ne parviennent pas à traverser les zones riches en matrice. Les premières fissures s’amorcent et se propagent dans les paquets de fibres perpendiculaires à la direction de charge. Pour les fibres courtes, les mécanismes sont différents. Les fibres sont réparties uniformément sans former de paquets ni de zones riches en matrice. De nombreuses microfissures se créent perpendiculairement à la charge ; celles-ci ne concernent qu’un petit nombre de fibres et sont aléatoirement réparties dans le volume. Dally et Carillo ont mis en évidence que la rupture d’interface était encore le mécanisme de base, mais que la fissure ne se propageait pas dans la matrice. La ruine totale provient de la coalescence des microfissures. D’autres études montrent l’importance des bouts de fibres dans la création des microfissures. Ces études suggèrent que dans les composites à fibres courtes, toutes les extrémités de fibre sont des sites néfastes à la tenue en fatigue même lors de très faibles sollicitations. Mc Garry, Mandell et Huang proposent de décrire la courbe d’endurance (S-N) par la loi suivante : σM = σuc – B log(Nr) avec : σuc : contrainte de rupture statique Nr : nombre de cycles à rupture σM : niveau de contrainte maximum - 73 Chapitre 0 : Généralités

Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle B : coefficient propre au matériau

Mécanismes d’endommagement et de rupture dans les composites

En résumé, la rupture finale d’un composite est le résultat de l’accumulation de divers mécanismes élémentaires : - la rupture des fibres - la rupture transverse de la matrice - la rupture longitudinale de la matrice - la rupture de l’interface fibre-matrice Généralement, un mécanisme n’est pas isolé, mais divers mécanismes coexistent. Ces mécanismes se développent suivant la nature des matériaux et les conditions de sollicitations mécaniques imposées. Dans un matériau composites unidirectionnel soumis à des sollicitations mécaniques, la rupture intervient lorsque la contrainte de traction (σf) dans une fibre atteint la contrainte ultime (σfu) de la fibre. La rupture de la fibre crée une concentration de contrainte au voisinage de la rupture. La redistribution des contraintes et par conséquent le processus de rupture résultant, dépend principalement : - de la contrainte à la rupture des fibres - de la capacité de la matrice à absorber l’énergie libérée - des propriétés de l’interface fibres/matrice

Les figures suivantes montrent les différents processus de rupture de la matrice associés à la rupture d’une fibre :



figure 12.1 : Rupture de fibre

La fissuration de la matrice peut se produire, soit par fissuration transverse (figure 12.3) lorsque la contrainte en traction σm dans la matrice atteint la contrainte à la rupture σmu de la matrice, soit par fissuration longitudinale (figure 12.4) lorsque la contrainte de cisaillement τm dans la matrice atteint la contrainte de cisaillement ultime τmu, généralement au voisinage d’une fibre. Ce dernier mode de rupture appelé « splitting », se produit lorsque la contrainte de décohésion est supérieure à la contrainte en cisaillement à la rupture de la matrice : τd > τmu. Dans le cas contraire où τd < τmu, il se produit une rupture une rupture par décohésion de l’interface fibre-matrice. (figure 12.5).





Exemple d’un composite unidirectionnel soumis à de la traction : comportement du matériau suivant le classement des propriétés entre fibre et matrice en contrainte et déformation









Rupture en général dans les straifiés : tous les modes sont possibles



4-2-2- Conseils d’interprétation des critères Les critères, par les approches présentées au-dessus, montrent qu’ils sont un représentation globale de la rupture à un niveau global et souvent approximatif. Il faut donc prendre la critère comme une estimation de la rupture et faire croiser plusieurs critères (exemple : Tsaï-Hill et Tsaï-Wu). Il peut être nécessaire de vérifier les contraintes et déformations maximales dans les plis si le ou les critères donnés par le calcul sont « limites » (proches de 1 = la rupture voire moins si on doit respecter un critère de sécurité).

Cependant, les remarques suivantes peuvent être faites :

-

-

-

-

-

-

Tous les critères existants à l’heure actuelle sont de nature phénoménologique. Les recherches dans le domaine tentent toujours d’approcher au mieux la rupture. Mais en l’état actuel des connaissances , il n’est pas possible d’expliquer l’origine et les phénomènes intervenant dans la rupture des M.C. (matériaux Composites). Les critères de résistance sans interaction des contraintes sont simples d’utilisation et par la séparation des modes de rupture, permettent de prédire la nature de la rupture. Ils restent insuffisants pour prédire la rupture des structures sous chargements complexes et ne sont donc réservés qu’aux calculs estimatifs ou aux problèmes de structures et de chargements simples. Les critères de rupture avec interaction des contraintes sont plus performants mais ne permettent pas d’avoir des informations sur la nature de la rupture. A quelques exceptions près, ils ont tous la même ossature mathématique. Certains ont été développés mathématiquement sous forme tridimensionnelle mais aucun n’a été appliqué sous cette forme. Le critère tensoriel polynomial de Gol’denblat-Kopnov est la théorie de rupture la plus générale pour les matériaux anisotropes. Tous les critères tensoriels polynomiaux proposés sont des cas particuliers de cette théorie. Ils ont tous été prévus pour des structures et des chargements triaxiaux. Cependant, ils n’ont été appliqués que sous une forme quadratique bidimensionnelle. Les difficultés techniques inhérentes à la troisième dimension de l’espace des contraintes en sont l’une des raisons. Par sa simplicité, la théorie de Tsaï-Wu est actuellement unanimement adoptée dans les milieux industriel et scientifique. La difficulté liée à la mesure du coefficient d’interaction F12 fait que ce critère est le plus souvent utilisé avec l’analogie au critère de Von-Misès (ce qui évite cette mesure du F12) L’application d’une forme cubique apparaît plus réaliste que la forme quadratique. Cependant pour le cas d’une expression 3D cubique, le nombre de coefficients de résistance à déterminer expérimentalement deviendrait très élevé.



Attention aux codes de calcul qui donnent des coefficients approchés dans les critères (valeurs par défaut)

Thèse de Kamel Khellil (« Evaluation expérimentale d’un critère de rupture tensoriel polynomial tridimensionnel pour matériaux composites ») et le DEA de Chotard sur l’estimation des coefficients de couplage dans le critère de Tsaï-Wu (Fi et Fij dans le critère tensoriel polynomial quadratique de Tsaï-Wu exprime en 3D et dans le repère propre du pli – orthotropie -) par une approche expérimentale complexe. F1 σ1 + F11 σ12 + F2 σ2 + F22 σ22 + F3 σ3 + F33 σ32 + 2 F12 σ1 σ2 + 2 F13 σ1 σ3 + 2 F23 σ2 σ3 + F44 σ42 + F55 σ52 + F66 σ62 = 1 Les valeurs suivantes ont été déterminées pour de l’UD verre/époxy et de l’UD carbone/époxy : Exemple du Carbone/Epoxy (T300/914) avec Vf = 58.9 ± 1.2 %

Valeurs en élasticité E1 = 131.9 GPa E2 = 9.51 GPa E3 = 9.43 GPa

G12 = 5.27 GPa G13 = 7.03 GPa G23 = 3.39 GPa

ν12 = 0.326 ν13 = 0.341 ν23 = 0.485

Y+ = 70.9 MPa Y- = 221 MPa R = 94.5 MPa

Ζ+ = 97.58 MPa Ζ− = 242 MPa Q = 52.89 MPa

Valeurs en Résistance X+ = 1328 MPa X- = 1064 MPa S = 71.2 MPa

Valeurs des coefficients dans le critère Tsaï-Wu F1 = -0.216 GPa-1 F11= 0.743 GPa-2 F44= 357.5 GPa-2 F12= -3.55 GPa-2

F2 = 9.82 GPa-1 F22 = 64.95 GPa-2 F3 = 6.15 GPa-1 F13 = 3.34 GPa-1


F66 = 199.5 GPa-2 F55 = 114 GPa-1 F33 = 43.35 GPa-1 F23 = - 13.81 GPa-1


CHAPITRE 5 PRISE EN COMPTE DE L’ENDOMMAGEMENT ET DU DELAMINAGE DANS LES COMPOSITES (notions) Voir photocopies issues :

-

du Cours de M.L. Benzeggagh en MQ13 / UTC

-

de l’étude bibliographique du DEA de S. Barré (« Etude de l’endommagement de matériaux composites à fibres courtes et à matrice thermoplastique sous chargement statique et cyclique »)

5-1- Mécanique de l'endommagement A partir de la théorie de l’endommagement et du concept de la contrainte effective (Kachanov, 1958 et Rabotnov, 1969), on applique aux matériaux orthotropes une matrice d’endommagement D ou plutôt (1 – D) nécessairement symétrique pour être thermodynamiquement admissible (matrice 3*3 dans le plan d’orthotropie) dont voici un exemple :  1 − d1  [1 – D] =  (1 − d1 )(1 − d 2 )  0 

(1 − d1 )(1 − d 2 ) 0   1− d2 0  0 1 − d12 

d’où en cours d’endommagement : σ = Q’. ε avec Q’ = (1-D) . Q Q est la matrice de rigidité initiale et Q’ celle modifiée par le dommage « orthotrope » Dans l’écriture en déformation : ε = S . σ, l’exemple suivant donne l’écriture de la matrice S après endommagement, soit S’: 1 / E1 (1 − d 1 )  − ν 12* / E1 0   * 1/2 1/2 [S’] =  − ν 12* / E 1 / E 2 (1 − d 2 ) 0  où ν 12 = ν12 / (1-d1) (1-d2)  0 0 1 / G12 (1 − d12 ) 

Attention : l’endommagement peut modifier la nature du matériau, un matériau au départ isotrope ou orthotrope peut devenir anisotrope au sens large !



5-2- Mécanique de la rupture Application de la MLER (Mécanique Linéaire Elastique de la Rupture) aux stratifiés en mode I, mode II et mode mixte I + II : -

détermination des facteurs d’intensité de contrainte critiques (KIc et KIIc) détermination des taux de restitution d’énergie critiques (GIc et GIIc) Remarques :

-

les Kc et Gc sont intrinsèques au matériau et donc indépendants de la longueur de fissure. La rupture est plus facile dans les composites quand plusieurs modes sont combinés. La rupture par délaminage est entre 2 plis adjacents, la MLER s’applique donc assez bien dans le cas du délaminage. La difficulté dans les composites est que la propagation de la fissure peut bifurquer et induire un changement de mode. Présentation des planches sur les essais types de délaminage.



CHAPITRE 6 COMPORTEMENT MECANIQUE DES MATERIAUX SANDWICHS ET DES STRUCTURES STRATIFIEES

Intérêt mécanique et économique des sandwiches Généralités 2 peaux relativement minces au propriétés mécaniques fortes collées sur une âme légère à faibles caractéristiques Avantages -

Grande légèreté Grande rigidité flexionnelle (rapport EI/ρ) Excellentes caractéristiques d’isolation

Inconvénients -

mauvais amortissement et isolation acoustique (problème lié à la densité relativement basse) Tenue au feu moyenne pour certaines catégories d’âme Risques de flambement plus élevé que sur les autres structures Problème de décollement peaux/âme

Matériaux constitutifs -

Peaux : métal, stratifiés, contre-plaqués, thermoplastiques, amiante / ciment Ames : matériaux expansés, balsa, Nid d’abeilles aluminium ou carton imprégné, pontages, plaques nervurées en métal ou stratifié, etc. Assemblage des peaux avec l’âme : collage, soudure ou en cours de polymérisation pour les sandwiches en composites dans un moule (exemple du RTM)



Suite du Cours inspiré de chapitres du livre de J.-M. Berthelot : « Matériaux Composites, comportement mécanique et analyse des structures »

Présentation du plan

COMPORTEMENT MECANIQUE DES MATERIAUX SANDWICHS ET DES STRUCTURES STRATIFIEES

- Rappels sur la théorie classique des stratifiés - Prise en compte du cisaillement transverse dans la théorie des stratifiés - Flexion cylindrique des structures en matériaux composites - Flexion en poutres en matériaux composites

Par la suite :

Résumés sur le Comportement des poutres stratifiées ou sandwiches

Modes de rupture et conseils de dimensionnement


Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle Résumé sur le Comportement des poutres stratifiées ou sandwiches

1- Flexion des poutres sandwiches ou stratifiée (L>>b) sans prise en compte du cisaillement transverse L'étude bibliographique est faîte sur des sandwiches et monolithiques (stratifiés) symétriques pour lesquels il y a absence de couplage flexion-menbrane et présence du couplage flexion-torsion .

z

y b

h/2

h

L

x

-Elément poutre-

A- expression générale

Dans le cadre de la flexion pure (L>>b), l'équation constitutive s'écrit :     Mx   D 11     M y  =  D12     M xy   D16

D12 D 22 D 26





D16   kx    D 26   ky    D 66   kxy 

Ecrite sous forme inverse :


(20.1)


 kx   D∗11    ∗  ky  =  D 12  kxy   D ∗16

D∗12 D ∗ 22 D ∗ 26

D ∗16   Mx    D ∗ 26   My  D ∗ 66   Mxy 

(20.3)

[ ]

où les D*ij sont les éléments de la matrice inverse de Dij . La théorie des poutres fait l'hypothèse que dans le cas d'une flexion suivant l'axe x, les moments My et Mxy sont nuls . On a la courbure :

∂ 2 w0 ∗ kx = − = D 11 M x ∂x 2

(20.6)

La théorie des poutres fait l'hypothèse supplémentaire que la flèche ne dépend que de x: wo=wo(x) Les courbures Ky et Kxy sont fonctions du moment Mx :

∂ 2 w0 ∗ = D 12 Mx ky = − 2 ∂y ∂ 2 w0 ∗ = D 16 Mx kx = −2 ∂ x∂y

(20.8)

Ces relations montrent à priori que la flèche dépend de la variable y. Cet effet est assez important dans le cas d'éprouvettes de flexion de laboratoire, de forme plus proche d'une lame que d'une poutre . Ainsi le couplage flexion-torsion induit par les termes D*12 et D*16 dans les équations (20.8) tendent à produire un décollement partiel de la poutre sur ses supports . Toutefois le phénomène est négligeable dès l'instant où le rapport L/b est assez grand; quant aux matériaux antisymétriques étudiés ce couplage est inexistant. Il y a cependant un couplage flexion-menbrane (B16 et B26) qui reste tout de même peu perceptible . L'équation (20.6) devient alors :

d 2 w0 dx 2

= −

M ExI

(20.10)

Le module de flexion de la poutre s'écrit alors :

Ex =

12 h 3 D ∗11

(20.11)


Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle Le moment quadratique I de la section droite de la poutre par rapport au plan (x,y) :

bh 3 I = Ixy = 12

(20.12)

Le moment M de flexion : M = b* Mx

(20.13)

(rappel : Mx écrit par unité de largeur) L'équation de flexion des poutres se réduit à :

d 2 Mx +q = 0 dx 2

(20.14)

Par suite, on a par simplifications de la théorie des plaques, où q et Q correspondent au efforts de cisaillement .

dMx = Qx dx

(20.18)

dM = Q dx

(20.19)

Q = bQx

(20.20)

On peut alors remonter aux contraintes dans chaque couche du stratifié :

 σ k   Q ' k 11  k xx   ' k  σ yy  =  Q 12  σ k xy   Q ' k 16

Q'

k 12

Q' k 22 Q' k 26

  kx    Q' k 26   ky  Q' k 66   kxy  Q'

k

16

(20.21)

En notant, les coefficients de rigidité Q'ij de la couche k, rapportés aux axes de la plaque . On remarque qu'il n'y a pas prise en compte de l'effet transverse σxz :

σkxx = z akxx M/I σkyy = z akyy M/I σkxy = z akxy M/I avec :

(20.23)

(20.26)


Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle akxx = (Qk11 D*11 + Qk12 D*12 + Qk16 D*16) h3/12 akxx = (Qk12 D*11 + Qk22 D*12 + Qk26 D*16) h3/12 akxx = (Qk16 D*11 + Qk26 D*12 + Qk66 D*16) h3/12 Les expressions précédentes des contraintes ne sont correctes qu'à une distance assez éloignée (>h) des bords de la poutre . En toute rigueur les résultats ne sont valables que pour un rapport b/h assez élevé . NB: Pour axx=1 et ayy=axy=0, on retrouve la théorie classique des poutres isotropes en matériau homogène . La contrainte de cisaillement transverse dans les poutres se déduit d'une équation d'équilibre :

σkxz = -(Q/2I) akxx (z2+ck)

(20.27)

Les constantes ck dans chaque couche sont déterminées en annulant

σxz sur les faces

supérieure et inférieure, et en assurant la continuité de σxz entre chaque couche . Dans le cas d'un matériau homogène (axx=1), σxz pour z=+/-h/2, on a :

σxz = (3Q/2bh)*(1-4(z/h)2)

(20.28)

La contrainte de cisaillement est maximale pour z=0 :

σxz (z=0)=τo = 3Q/(2bh)

(20.29)

Pour les stratifiés le cisaillement s'écrit :

σkxz = -akxx τo (4(z/h)2+dk)

(20.30)

Où dk sont des constantes à déterminer en assurant la continuité de σxz dans l'épaisseur de la poutre .

B- Application à la flexion 3 points


Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle diagrammes des efforts en flexion 3 points sur poutre

z

F/2

F/2

x a: portée

F

diagramme du moment de flexion M Fa/4 Fx/2

F(a-x)/2 a/2

x

diagramme de l'effort tranchant T F/2

x

-F/2

Ainsi dans le cas de la flexion 3 points, toute la poutre est en couplage flexioncisaillement . Plus L/h est élevé, moins le cisaillement est influent .


Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle Toujours dans le cadre d'un stratifié symétrique, on applique les équations de la théorie des poutres en flexion à la flexion 3 points . La symétrie du problème conduit à ne considérer qu'une moitié de la poutre : Le moment de flexion s'exprime par la relation : M=-Px/2

0< x < L/2

Où P est la charge totale exercée au milieu de la poutre . En substituant dans (20.10) :

d 2 w0 dx

2

=

Px 2 ExI

0
(20.33)

Dans les cas d'appuis simples, les conditions aux frontières sont pour x=0 : M = wo = 0

(20.34)

D'autre part, la symétrie impose pour x=L/2 :

dw 0 dx

= 0

(20.35)

L'intégration de (20.33) associée aux conditions (20.34) et (20.35) , conduit à : wo = -(PL2/(48 Ex I))*x*(3-(2x/L)2)

(2O.36)

La flèche wc au centre de la poutre (x=L/2) s'écrit : wc = PL3/(48 Ex I) = PL3 D*11/(48 b)

(20.37)

Cette relation peut-être utilisée pour déterminer soit le module de flexion de la poutre, soit le coefficient D*11, connaissant la flèche pour la charge P : Ex = PL3/(48wcI) = PL3/(4 b h3 wc)

(20.38)

D*11 = 48 b wc / (PL3)

(20.39)

Les contraintes dans la couche k s'écrivent :

σkxx = -6 akxx P*x*z/bh3 - 93 Chapitre 0 : Généralités


σkyy = -6 akyy P*x*z/bh3

(20.40)

σkxy = -6 akxy P*x*z/bh3 Ces contraintes sont maximales pour x= L/2, soit :

σkxx = -3 akxx PL*z/bh3 σkyy = -3 akyy PL*z/bh3

(20.41)

σkxy = -3 akxy PL*z/bh3 Dans le cadre d'une poutre en matériau homogène isotrope : axx=1, la contrainte normale s'écrit :

σxxmax = σο = 3 PL/2bh2

(20.43)

La contrainte dans la couche k d'un stratifié peut donc s'écrire sous la forme :

σkxx = -2 akxx σο ∗z/h

(2O.44)

Contrairement à un matériau homogène, la contrainte maximale n'est pas, pour un stratifié, nécessairement située au niveau de la couche externe et dépend de l'empilement des couches (angles du drapage) . La charge à rupture sera donc fortement influencée par l'empilement . Pour une poutre en flexion 3 points, l'effort tranchant Q=-P/2. La contrainte de cisaillement est donc donnée par la relation :

σkxz = - akxx το (4(z/h)2+dk) avec το = −3P/(4bh)

(20.46) (20.47)

L'empilement des couches influence également la distribution de la contrainte de cisaillement qui n'est pas nécessairement maximale au niveau du plan médian .

Whitney [7] évoque également la rigidité et la contrainte de cisaillement d'une poutre stratifiée dans le cas simple d'une flexion suivant x :



Ex =

12 ∗ h D11 3

σ xz = (h 2 − 4 z 2 )

Q 8I

où Q est l'effort tranchant .

C- Application à la flexion 4 points diagramme des efforts en flexion 4 points sur poutre



z

F/2

F/2

x F

a: portée

diagramme du moment de flexion M

Fa/8 F(a-x)/2

Fx/2 a/2 a/4

x

3a/4

diagramme de l'effort tranchant T F/2

x

-F/2

Ainsi dans le cadre de la flexion 4 points, la poutre présente deux zones "mécaniques", pour 0


La poutre est cette fois-ci chargée symétriquement par deux charges P/2 . Par symétrie du problème on considère seulement une moitié de la poutre : M = -P*x/2 M = -PL/8

0
(20.48) (20.49)

En reportant ces expressions dans (20.10), il vient :

d 2 w0 dx

2

d 2 w0 dx

2

= =

d 2 w1 dx

2

d 2 w2 dx

2

=

Px 2 ExI

0
(20.50)

=

PL 8 ExI

L/4
(20.51)

On sépare l'expression de la flêche dans les deux zones mécaniques : w1 = wo pour 0
(20.52)

La pente de la déformée s'annule au centre de la poutre, soit pour x=L/2 :

dw 2 = 0 dx

(20.53)

Il y a également continuité de la pente et de la flêche pour x=L/4: w1=w2 et

dw1/dx = dw2/dx

(20.54)

L'intégration des équations (20.50) et (20.51) conduit à :

 PL2 x2  x  9−16    w1 = − 192 ExI   L 

(20.55)

PL3  x x2   w2 = −  1−48   + 48    768 ExI   L  L 

(20.56)



Ces expressions permettent de déterminer les flèche au point x= L/4 et au centre (x=L/2) :

PL3 PL3 ∗ wq = = D 11 96 ExI 96b

(20.57) pour x=L/4

11PL3 ∗ 11PL3 = D 11 wc = 768ExI 768b

(20.58) pour x=L/2

Le module de flexion de la poutre et le coefficient D*11 sont : Ex = PL3/(96wqI)= PL3/(8bh3wq) Ex = 11PL3/(768wcI)= 11PL3/(64bh3wc) D*11 = 96bwq/(PL3) = 768bwc/(PL3)

(20.59) (20.60) (20.61)

NB : La rigidité connue "classiquement" D11 s'écrit alors : D(11) = Ex I = PL3/(96wq) = 11PL3/(768wc) et D*11 et l'inverse de cette rigidité . Les contraintes dans la couche k s'écrivent : pour 0
σkxx = -6 akxx P*x*z/bh3 σkyy = -6 akyy P*x*z/bh3 σkxy = -6 akxy P*x*z/bh3

(20.62)

pour L/4
σkxx = -3 akxx PL*z/2bh3 σkyy = -3 akyy PL*z/2bh3 σkxy = -3 akxy PL*z/2bh3

(20.63)

Il est intéressant de remarquer les contraintes maximales sont dans la partie L/4

σxx = -3PL*z/(2bh3)

L/4
(20.64)

La contrainte de traction maximale est atteinte sur la face externe inférieure (z=-h/2) pour un matériau homogène :

σxxmax = 3PL/(4bh2)

(20.65)

La contrainte dans la couche k d'une poutre en stratifié s'écrit donc :

σkxx = -2akxxσxxmax *z/h

(20.66)

On prend en compte l'effort tranchant : Q=-P/2 Q=0

0
(2O.67) (20.68)

La contrainte de cisaillement transverse est nulle pour 0
σkxz = - akxx το (4(z/h)2+dk) avec το = −3P/(4bh)

2- PRISE EN COMPTE DU CISAILLEMENT TRANSVERSE


Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle Dans les études précédentes le cisaillement transverse a seulement été pris en compte pour le calcul des contraintes σkxz , il a été omis pour le calcul, par exemple, de la flèche . Ce qui est justifiable quand le L/h de l'éprouvette est assez élevé . D'autre part dans le cadre de la théorie classique du stratifié, n'est pris en compte que les contraintes et déformations dans le plan (x,y) . Dans cette partie, l'influence du cisaillement sur la flexion des poutres est mis en évidence, toujours dans le cadre de la flexion pure, c'est à dire pour L/h grand . L'équation constitutive de la théorie du stratifié avec cisaillement transverse s'écrit :     Mx   D 11     M y  =  D12     M xy   D16

 Qy   H   =  44  Qx   H 45 avec :

kx =

D12 D 22 D 26





D16   kx    D 26   ky    D 66   kxy 

H 45    H55  

γ γ

  0 xz   0

yz

(20.69)

(20.70)

∂ϕ x ∂x

∂ϕ x ky = ∂y kxy =

∂ϕ y ∂ϕ x + ∂y ∂x

γ

0 yz

=

∂w 0 + ϕy ∂y

γ

0 xz

=

∂w 0 + ϕx ∂x

(20.71)

Les kij correspondent aux courbures engendrées par les moments de flexion . Et les

γ0 correspondent aux rotations engendrées par les cisaillements transverses . Les équations des moments et des résultantes en cisaillement sont découplés et peuvent être écrites sous formes inverses :



 kx   D∗11    ∗  ky  =  D 12  kxy   D ∗16

   

γ γ

D∗12 D ∗ 22 D ∗ 26

  ∗  =  H 44 0   H ∗ 45 xz  0

yz

D ∗16   Mx    D ∗ 26   My  D ∗ 66   Mxy 

H ∗ 45   Qy    H ∗ 55   Qx 

(20.73) et (20.74) Avec les hypothèses que les fonctions seulement de x .

ϕx et wo sont indépendantes de y et dépendent

ϕx

correspond à la rotation des sections droites induite par le gauchissement, conséquence du cisaillement transverse . Les déformations εxx et γoxz sont données par

ε γ

xx =

o xz

z

dϕ x dx

= ϕx +

(20.77) et (20.78)

dw o dx

On obtient :

kx =

dϕ x ∗ = D 11 M x dx

(20.82)

My = Mxy = 0 par suite Qy = 0 Par suite on introduit le module Ex (20.11) de la poutre et le module de cisaillement Gxz :

G xz =

1 hF55 ∗

(20.87)

Si la variation du moment de flexion Mx est connue, on a la relation :



dϕ x M ∗ = D 11 M x = ExI dx (20.91) et (20.93)

dw o dM = bhG xz (ϕ x + ) dx dx

Les expressions des contraintes ne sont pas modifiées par la prise en compte du cisaillement transverse .

A- Application à la flexion 3 points

Le cisaillement transverse pour la flexion 3 points implique :

ϕx = −

P 2 x +c 4 ExI

(20.94)

On introduit le coefficient de cisaillement S défini par :

Ex S = Gxz

 h    L

2

(20.101)

L'effet de la déformation en cisaillement transverse dépend donc du rapport d'élancement L/h de la poutre, et du rapport Ex/Gxz . La flèche au centre est déterminée en valeur absolue par :

PL3 (1 + S ) wc = 4 E x bh 3

(20.102)

w c ( S ) = (1 + S ) w c (0)

(20.104)

wc(S) est la flèche obtenue en tenant compte de l'effet de la déformation en cisaillement, alors que wc(0) est la flèche en l'absence de cisaillement transverse donnée par (20.37) . Négliger le cisaillement revient à sous-estimer la flèche .

B- Application pour la flexion 4 points


Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle Les angles de gauchissement ont pour expression dans les deux zones mécaniques (l'une en couplage flexion-cisaillement 0
ϕ x = ϕ1 = −

P 2 x + c1 4 Ex I

0
(20.118)

ϕ x = ϕ2 = −

PL x + c2 8E x I

L/4
(20.119)

La flèche au milieu de la poutre, s'écrit, en tenant compte du cisaillement transverse :

w c (S) = (1 +

8 S )w c (0) 11

(20.132)

Où wc(0) est la flèche "milieu" (20.58) sans prise en compte de l'effet transverse .

3- FLEXION DES POUTRES SANDWICHES



A- Expressions générales

La similitude de comportement entre les plaques sandwiches symétriques avec cisaillement transverse permet de transposer les résultats obtenus aux paragraphes précédents à la flexion des poutres sandwiches . Dans le cas de la flexion pure , l'équation constitutive des matériaux se réduit à :     Mx   D 11     M y  =  D12     M xy   D16

 Qy   H   =  44  Qx   H 45

D12 D 22 D 26





D16   kx    D 26   ky    D 66   kxy 

H 45    H55  

γ γ

  0 xz   0

yz

(20.134)

(20.135)

Il y a cependant des différences essentielles entre les résultats établis précédemment, adaptés aux poutres monolithiques, et les poutres sandwiches, au niveau de la distribution des contraintes. Berthelot considère alors pour illustrer cet aspect un sandwich symétrique constitués de deux peaux identiques dont les axes d'orthotropie sont parallèles aux axes x-y de la poutre et d'une âme dont les axes principaux 1-2 sont parallèles aux axes x-y. Les contraintes en membrane dans la couche k de la peau supérieure ou inférieure sont données par les relations suivantes :

σ

k

σ

k

σ

k

= ±Q

k

yy

= ±Q

k

xy

= 0

xx

11

12

h dϕ x 2 dx h dϕ x 2 dx

(20.137)

La contrainte de cisaillement transverse s'écrit :



σ

k xz

= ±Q

k

∗ 11 D 11

Ph (z + c k ) 4b

(20.141)

Les constantes ck sont déterminées en annulant σxz sur les faces supérieure et inférieure et en assurant sa continuité entre chaque couche . La contrainte de cisaillement dans l'âme σaxz est constante et est obtenue par continuité à l'interface peau/âme . Critiques : L'approche de Berthelot considère un cisaillement transverse dans les peaux, ce qui est souvent négligé dans la plupart des approches; cependant elle considère que la contrainte de cisaillement est constante dans l'âme, ce qui est simplificateur par rapport à la réalité expérimentale où l'on remarque bien un gradient de cisaillement dans l'âme .

B- Comparaisons entre la théorie des sandwiches et la théorie des plaques avec cisaillement transverse

Berthelot continue son analyse pour le cas de la flexion 3 points sur poutre sandwiche à peaux épaisses . Lorsque les peaux sont de faibles épaisseurs par rapport à l'âme, on considère qu'elles ne transmettent que des efforts membranaires; plus épaisses elles transmettent également l'effet transverse . quant à l'âme elle est également sollicitée dans son plan et transversalement . Il considère ici le cas d'une âme isotrope caractérisée seulement par son module d'Young Ea et son coefficient de poisson Va, le module de cisaillement de l'âme se déduit par la relation : Ga = Ea/(2*(1+Va))

Il compare les résultats obtenus à l'aide de la théorie du stratifié avec effet transverse et la théorie des sandwiches dans le cas de la flexion 3 points : Pour le calcul de la flèche, il y a une différence de 30 % entre les deux théories . En considérant le cas simple de la flexion engendrée seulement par Mx, sont calculées

les contraintes importantes σxx et σxz dans les peaux et l'âme à x=L/2.

1- Par la théorie du stratifié avec cisaillement transverse :



pour les contraintes longitudinales : dans les peaux :

σ

m

m

xx

= −2 a xx σ o

z ht

(20.165)

z ht

(20.169)

dans l'âme :

σ

m

a

xx

= −2 a xx σ o

avec ht=h+2h1 où h1 est l'épaisseur des peaux avec

σo=3PL/(2bh2) τo=-3P/(4bh)

Les contraintes de cisaillement sont données par : dans les peaux:

σ

k xz

[ ] τ [ ]

k

= − a xx

dans l'âme : m

m

σ xz = − a xx

τo

 z  4  h  t

 z  1− 4   o  ht 

σ xz = σ xz (h / 2 ) + a xx a

m

a

(20.173) et(20.174)

2- Par la théorie du sandwich :


τ

2

+dk

(20.172)

2

( )[ 2

h o h t

 z 1− 4    ht 

2

]


Pour les contraintes longitudinales : dans les peaux : m

σ xx

hht2 ∗S m = ±σo D Q 12 11 11

(20.175)

elles sont constantes dans les peaux dans l'âme : elles sont nulles

Les contraintes de cisaillement sont données par :

dans la peau inférieure, en tension : m

σ xz =

τ o 1− ν

1 2 LTm

ht 2 3(h +h1 )h1

τ

   1+2 z  ht  

(20.177)

dans l'âme, elle est constante : a

σ xz

ht 2 o = 3 1− ν 2LTm h+ h1

(20.178)

On présente par les schémas suivants la répartition des contraintes σxx et σxz dans l'épaisseur du sandwich (peaux et âme) suivant les théories . En pointillé est présentée la répartition de ces mêmes contraintes pour une poutre homogène :

4- RECAPITULATIF


Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle Pour une poutre sandwiche symétrique chargée transversalement , en considérant la flèche ne dépendant que de x (rapport L/b élevé), le comportement est très proche de la théorie classique des poutres isotropes :

d 2 wo M 2 = − JX dx

(26.5)

Où Jx est la rigidité en flexion de la poutre dans la direction x :

J x = Ex I =

b ∗ D11

(26.6)

Dans le cas de stratifiés orthotropes symétriques, même antisymétriques (les couplages Bij peuvent être négligés au vu de l'épaisseur du sandwich), le module de flexion et la rigidité en flexion s'expriment par :

Ex =

12 h3

(D11 −

J x = b( D11 −

2 D12

D22

2 D12

D22

) (26.7) et (26.8)

)

Dans le cas où le terme D212/D22 est négligeable devant D11 :

E x = 12

D11 h3

J x = bD11

b n 3 3 ' = ∑ (h k − hk −1 )(Q11 ) k 3 k=1

(26.9) et (26.10)

Où les (Q'ij)k correspondent à la matrice de rigidité hors-axes propres du pli .

APPROCHE SIMPLE DU COMPORTEMENT POUTRE SANDWICHE


Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle 1- CRITIQUES

-

Comment relier une rigidité théorique à une rigidité expérimentale ?

-

Expérimentalement, le L/h choisi, ne permet plus de négliger le cisaillement transverse, on ne plus parler d'un cas de flexion pure . Ainsi la rigidité mesurée expérimentalement incorpore à la fois l'effet de flexion et de cisaillement et peut donc difficilement être rapprochée à une théorie .

-

La rigidité déterminée théoriquement considère seulement la rigidité des peaux, comme si l'âme ne participait pas à l'effet de flexion.

-

On rappelle les hypothèses fondamentales du comportement sandwich dans le cadre d'élasticité en faibles déformations: 1- L'épaisseur de l'âme est bien supérieure à celle des peaux : h>>h1. 2- Les déplacements de l'âme suivant x et y ne dépendent que de z . 3- Les déplacements suivant x et y dans les peaux sont uniformes . 4- Le déplacement transverse w est indépendant de la variable z : la déformation est négligée . 5- L'âme ne transmet que les contraintes de cisaillement transverse

εxx

σxz, σyz,

les

contraintes σxx, σyy, σxy et σzz sont négligées . 6- Les contraintes de cisaillement transverse sont négligées dans les peaux . -

L'âme Nida des sandwichs testés n'est pas orthotropes car les alvéoles hexagonales ont un sens longitudinal perpendiculaire au sens global des fibres rajoutant des difficultés supplémentaires à une approche déjà complexe .

Un matériau sandwich est donc constitué d'un matériau de faible masse volumique (l'âme) sur lequel est collé deux plaques (les peaux) . Pour schématiser, l'âme transmet par cisaillement les actions mécaniques d'une peau à l'autre .

2- COMPORTEMENT "SANDWICH" SIMPLE :

Les approches simplificatrices proposent une rigidité du sandwich [8] :


Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle Df = Efb(h3-c3)/(12(1-vf))

Où b est la largeur du sandwich, h=c+2t son épaisseur totale, c l'épaisseur de l'âme et t celle de chacune des peaux . Ef est le module de traction des peaux et vf son coefficient de poisson . Df, Rigidité à ne pas confondre avec un module de flexion Ex (en MPa), une rigidité D est alors équivalente à ce module Ex multiplié par l'inertie de la poutre I = b h3/12 (b largeur, h épaisseur) . Considérant que les peaux ne travaillent qu'en flexion, elles ne sont soumises qu'à une contrainte en traction ou compression :

σf= +/- 2M/(bt(h+c)) où M est le moment de flexion, différent suivant les zones "mécaniques" dans le cas par exemple de la flexion 4 points . L'âme ne travaille qu'en cisaillement, elle est sollicitée par la contrainte de cisaillement :

τ = 2V/(b(h+c)) où V est l'effort tranchant . Ces résultats sont établis selon l'hypothèse que les que L/h est élevé et que les peaux sont assez fines . L'approche de Gay [9] est encore plus simpliste : dans les peaux : dans l'âme :

σf= +/- M/(t+c) τ = V/c

Allen [10] est plus fin dans son analyse, tout en considérant cependant les peaux et l'âme comme des matériaux homogènes, c'est à dire sans prendre en compte la nature stratifiée des peaux : La poutre est toujours considérée dans un cadre de flexion majoritaire par rapport au cisaillement transverse, soit pour L/h grand . L'équation constitutive en flexion est alors : M/(EI) = -1/R

Où M est le moment de flexion, 1/R la courbure prise . E*I est alors la rigidité du matériau; pour un "isotrope", E est le module d'élasticité classique et I l'inertie en flexion . Cependant pour un sandwich, il est plus judicieux de parler de "D" (équivalent au "EI"), rigidité en flexion du sandwich .


Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle D = Ef. bt3/6 + Ef. btd2/2 + Ec . bc3/12

Où Ef et Ec sont respectivement les module d'élasticité des peaux et de l'âme, d = (h+c)/2, (h l'épaisseur totale et c celle de l'âme) . Dans le cas de la flexion 4 points, cette rigidité intrinsèque peut même être calculée expérimentalement : 1/D = -1/(M * R) = - 2∆/(M*AF2)

Où dans le cas d'une déflexion faible AF2= BF2=R2-(R-∆2) .

A

∆

E

F

B R

R

∆ est alors la différence de flèche entre les pannes de chargement au niveau de E ou F et entre la flèche au milieu (A) . les contraintes longitudinales dues à la flexion sont calculées dans les peaux mais également dans l'âme : dans les peaux : σf= M*z*Ef/D c/2
La contrainte de cisaillement transverse est déterminée à travers toute la poutre, elle est cependant négligée dans les peaux et s'écrit dans l'âme par : τ = (Q/D) * (Ef td/2 + Ec *(c2/4 - z2)/2) Dans le cas où l'âme est faible, Ec est négligeable, le cisaillement s'écrit :



τ = (Q/D) * (Ef td/2) Et dans le cas où les peaux sont peu épaisses et souples, on peut même écrire pour l'âme

τ = Q/(bd) Allen évoque alors le concept d'âme "antiplan" ou âme idéale pour laquelle les modules d'élasticité dans le plan (Ex, Ey) sont nuls, mais le module de cisaillement transverse de valeur finie .

3- POUR LA FLEXION 3 et 4 POINTS SUR SANDWICHES :

Pour les sandwiches en flexion 4 points, des normes ont été consultées. Norme : NF T 54-606 "Structures sandwiche à base de plastiques , Essai de flexion" . Dans cette norme la rigidité de la poutre sandwiche et le module de cisaillement ne peuvent être déterminées qu'en combinant les résultats expérimentaux tirés des flexions 3 et 4 points . Cependant les contraintes à rupture sont déterminées, toujours suivant l'idée simple que l'âme travaille en cisaillement et les peaux en flexion :

τ = P/b(h+ea)

contrainte de cisaillement dans l'âme en MPa si la rupture a lieu dans l'âme ou à l'interface âme/peau . P est la charge à rupture en cisaillement . h l'épaisseur totale du sandwich, b sa largeur . ea l'épaisseur de l'âme .

σ = P2d/(4es(h+ea)b)

contrainte en flexion de la peau en MPa si la rupture a lieu dans les peaux . P2 est la charge à rupture en flexion dans les peaux . d distance entre appuis . es correspond à l'épaisseur des peaux . Pour faciliter les propriétés en cisaillement, le dimensionnement conseillé est d/h=10 et pour la flexion d/h= 20 .

Norme : ASTM C 393-62 : "Standard Test method for Flexural Properties of Flat Sandwich Constructions". Norme reprise et détaillée par le "Military Standard : Sandwich constructions and core materials; general test methods" (MIL-STD-401B, sept. 1967) et l'article de Feichtinger [14] :


Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle Dans cette norme la mesure des propriétés du sandwich passe par la connaissance ou l'estimation des résistances en traction pour la peau (F), en cisaillement pour l'âme (S). On se place dans des conditions de cisaillement majoritaire pour a/f<4F/S (a est la portée de la poutre et f l'épaisseur des peaux) . Les contraintes sont alors déterminées de manière suivante. Dans l'âme :

τ = [P/(h+c)b]k

où k=1-e-B B=a(c+f)/8f(finir formule) où c épaisseur de l'âme, f celle des peaux G le module de cisaillement de l'âme et E le module de traction des peaux . Dans les peaux :

σ = Pa/4f(h+c)b Comme dans la norme NF T 54-606, la rigidité en flexion et le module de cisaillement sont déterminés par combinaison des flexions 3 et 4 points; cependant en considérant que l'âme ne participe pas à la flexion , la rigidité s'exprime par : D= E(h3-c3)b/12 en N.mm4



CHAPITRE 7 DIMENSIONNEMENT ET CONCEPTION DE PIECES COMPOSITES

7-1- Essais sur matériaux et structures composites Avant de modéliser et concevoir des pièces en composites, il y a nécessité de connaître les lois de comportement des matériaux constitutifs de la structure voire de la structure ellemême (pour la structure il s’agit plutôt d’essais de qualification et de vérification post conception). Les approches analytiques pour connaître le comportement des stratifiées sont parfois limitées (exemple : loi des mélanges) et sont souvent utilisées pour un pré-dimensionnement. Une fois un produit présélectionné (exemple : tissu particulier), les essais sont un bon moyen de connaître précisément les comportements des plis constitutifs d’un stratifié. Les essais suivants permettent de remonter aux propriétés intrinsèques du ou des produit(s) constitutif(s) dits « composants » :

Essais sur composants Paramèt res recherchés E1, ν12, X+ E2, ν23, Y+

ν13 Z+ XY-

Sollicitations

Références

Traction longitudinale dans le plan 1-2 Traction transversale dans le plan 2-3 Traction longitudinale dans le plan 1-3 Traction dans l’épaisseur Compression longitudinale guidée Compression transversale guidée Compression sur cubes

E3, Z-

Compression sur cubes

G12

Traction orientée (off-axis) ou traction cisaillement plan [+-45°] Rail-shear avec 2 ou 3 rails Torsion d’un barreau rectangulaire Flexion sous appuis rapprochés Cisaillement type IOSIPESCU Double compression sur cubes

τ12 ultime = S G12 et G23 τ13 ultime = R τ23 ultime = Q F12, F13, F23


(1) (1) K. Khellil K. Khellil Norme NF T 57-103 Norme NF T 57-103 K. Khellil (2) et (3) K. Khellil (2) et (3) ASTM D3518-76 K. Khellil ASTM D790-71 ASTM D4250 K. Khellil


Références utilisées : (1) : R. J. Lee : « Compression strength of aligned carbon fibre reinforced thermoplastic laminates » AERE R 12165 United Kingdom Atomic Energy Authority HARWELL, Materials Development Division Harwell Laboratory, Oxfordshire, 1986 (2) : P.T. Curtis & J. Morton : « The effects of fibre surface treatment on the compressive strength of CFRP laminates » RAE TR 82047 (April 1982 (3) : Marvin Knight « Three-Dimensional Elastic Moduli of Graphite/Epoxy Composites » J. Composite Materials, Vol. 16 (March 1982) K. Khellil, Thèse de doctorat, UTC, « Evaluation expérimentale d’un critère de rupture tensoriel polynomial tridimensionnel pour matériaux composites », janvier 1993.

Essais sur structures

En règle générale, tous les essais répondant à un cahier des charges pour une application particulière. Pour les structures sandwiches, les essais suivants sont les plus représentatifs : -

flexion 3 points (test en flexion / cisaillement transverse suivant le rapport l/h) flexion 4 points (test en flexion / cisaillement transverse suivant le rapport l/h mais avec toujours la partie centrale en flexion pure) cisaillement dans le plan (test de la résistance au cisaillement τxz et de l’adhésion peau/âme en cisaillement) arrachement peau/âme (test de l’adhésion peau/âme) Test en écrasement de l’âme (résistance à la compression de l’âme) Test en flambement du sandwich (instabilité de la structure en flexion)

7-2- Dessin d’une pièce composite et choix de la stratification (spécifications) Il s’agit de parler le même langage entre concepteurs et fabricants afin d’obtenir la structure en concordance avec les résultats de dimensionnement effectué. Exemple du passage de la « TVF » vers le « Grammage » du tissu : formule approchée Gram = epli * Vf * d Gram : Grammage du pli sec en kg/m2 (à donner au fabricant en g/m2) epli : épaisseur du pli sec en m etotal : épaisseur totale du monolithique (fibres + résine) Vf : taux volumique de fibres, par approximation : Vf = epli / etotal d : densité de la fibre utilisée dans le tissu sec



7-3- Rupture des stratifiés Partie déjà vue en cours dans le chapitre 4, on a vu que le critère le mieux adapté pour les stratifiés était le critère de Tsaï-Wu. Il faut cependant faire attention aux hypothèses simplificatrices qui sont prises en compte pour accéder à certains coefficients du critère. L’approche la plus générale en dimensionnement est souvent le FPF (First Ply Failure), bien que parfois pour des applications particulières (exemple : le crash) on prendra la LPF (Last Ply Failure).

7-3- Prédimensionnement Voir les exemples traités dans le chapitre 26 du livre de Berthelot : « Matériaux composites, comportement mécanique et analyse des structures », Ed. Masson.

7-4- Liaisons et assemblages, collage La liaison d’une pièce composite avec d’autres pièces se fait soit par collage, soit par assemblage par l’intermédiaire d’un rivet, d’un boulon ou d’une pièce appelée « insert ». cet insert, dans le cas d’un sandwich, est en général noyé dans l’âme du sandwich et bloqué par le collage des peaux qui reviennent par dessus.

Les colles sont les mieux adaptées pour l’assemblage des matériaux composites à matrices organiques. Cependant, il est important de connaître les propriétés de ces colles et leur domaine d’utilisation (conditions de température et d’humidité importantes). Pour les colles, il vaut mieux les faire travailler en cisaillement ! ! ! En référence, voir les photocopies tirées d’un recueil du CETIM : « Assemblage des matériaux composites, structures sandwichs et matières plastiques ».

7-5- Modélisation en calcul EF Prenez garde à l’approche éléments finis qui peut mener à des solutions séduisantes mais irréalisables. Ainsi, concevez en connaissant au préalable les possibilités de mise en œuvre des composites (importances des discussions avec les fournisseurs).



CHAPITRE 8

BILAN DU COURS - R&D EN COMPOSITES

8-1- Bilan des connaissances

CONNAISSANC ES ET CHOIX

Composants : renforts / matrice

Lois de comportement des matériaux : stratifié sandwich etc. Par la théorie (prise en compte ou non du cisaillement transverse) • Par les essais

•

Lois de comportement des composants : - homogénéisation - essais

CRITÈRES

Conception de structures composites par Calcul EF

Cahier des charges

-

-

linéaire non linéaire (matériaux, géométrie, chargement) endommagement / délaminage

Validation de la conception et du process de fabrication : par les essais (statique, fatigue , dynamique par l’analytique (pour les structures simples) par les méthodes d’optimisation (affinement des paramètres de fabrication en fonction des sollicitations : angles de drapage, taux de fibres, épaisseurs, etc.)



8-2- Sensibilisation aux domaines de Recherches actuelles 1- L’homogénéisation et L’endommagement (vu aux chapitres 3, 4, 5)

2- Approches analytiques sur structures sandwiches (vu aux chapitres 6, 7 ) Dès que la structure sandwich se complexifie (anisotropie forte, géométrie et chargement complexes), les solutions analytiques sont rapidement limitées. L’approche par éléments finis devient plus adéquate.

3- Le comportement dynamique des matériaux et structures (impact, crash) Ce domaine est de plus en plus d’actualité (exemple des transports : dimensionnement des structures au crash pour la sécurité des personnes). L’accès aux lois de comportement dynamique est primordial mais aujourd’hui insatisfaisant : - Mal connu en général - Les métalliques sont mieux connus que les composites - Les propriétés en fonction du taux de déformation sont investies pour des niveaux bas (dε/dt < 100 s-1) ou haut (dε/dt > 1000 s-1 ), entre ces deux limites la plage est importante et mal connue, elle concerne particulièrement les transports terrestres (automobile et ferroviaire). Exemple de la recherche dans ce domaine effectuée à l’UTC (collaboration contrat Cifre UTC / Bombardier Transport, thèse J. Pasquiet) : canon pneumatique pour le crash permettant d’atteindre des énergies de 10 kJ et des vitesses de 100 m/s soit 400 km/h.

Figure 1 : Canon pneumatique de crash pour essais sur structures et composants



Figure 2 : Exemple de test sur structure sandwiche composite

Figure 3 : Projectile avec électronique embarqué pour test sur structure sandwiche composite

Figure 4 : Exemple de dommage engendré sur structure sandwiche composite



REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES J.-M. Berthelot, « Matériaux composites, comportement mécanique et analyse des structures », Ed. Masson M.L. Benzeggagh, Polycopié du cours MQ13 en 4 tomes sur les matériaux composites D. Gay, « Matériaux Composites », 3ème édition Ed. Hermès, 1991.

Nadia Bahlouli, Cours Composites strasbg.fr/nadia/courcomp/ »

sur

le

site

Internet

« http://www-ipst.u-

J. Lemaitre et J.-L. Chaboche, « Mécanique des matériaux solides », Ed. Dunod E. Dieulesaint et D. Royer, « Ondes élastiques dans les solides, application au traitement du signal », Masson et Cie Editeurs, Paris, 1974. Nadine Bourgeois, « Caractérisation et modélisation micromécanique du comportement et de l’endommagement d’un composite à matrice métallique : Al/SiCp », thèse de doctorat soutenue le 18 janvier 1993, Ecole Centrale de Paris Leif A. Carlsson et R. Byron Pipes, « Experimental characterization of advanced composite materials », Technomic Publishing Co. Inc. Kamel Khellil, « Evaluation expérimentale d’un critère de rupture tensoriel polynomial tridimensionnel pour matériaux composites », thèse de doctorat soutenue le 18 janvier 1993, Université de Technologie de Compiègne Zoheir Aboura, « Etude du processus de délaminage Mode I, Mode II et Mode mixte (I plus II) de matériaux composites à renforts tissés à différentes vitesses de sollicitation », thèse de doctorat soutenue le 25 novembre 1993, Université de Technologie de Compiègne S. Barré, «Etude de l’endommagement de matériaux composites à fibres courtes et à matrice thermoplastique sous chargement statique et cyclique » , rapport de D.E.A., septembre 1991, Université de technologie de Compiègne Howard. G. Allen, « Analysis and design of structural sandwich panels », Pergamon Press INERN, « Les matériaux composites à structure sandwich », recueil des 5èmes Journées d’automne, 16-17 octobre 1990, Lorient, France


Composite

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