Contoh Soal Persamaan Differensial Linear Orde Satu
Fitriani Tupa R. Silalahi
August 25, 2013
Contoh 1
Contoh 1
Contoh 1
Akan diselesaikan persamaan u t t − 3u x x = 0 x 2
−
dengan kondisi batas u (x , 0) = e
(1)
Contoh 1
Akan diselesaikan persamaan u t t − 3u x x = 0
(1)
x 2
−
dengan kondisi batas u (x , 0) = e
x 2
−
Pandang −3u x x + u t t = 0 dan u (x , 0) = e
Kita telah tahu persamaan koefisien konstan bahwa jika au x x + bu y y = 0
(2)
u (x , y ) = f (bx − ay )
(3)
maka
Contoh 1
Akan diselesaikan persamaan u t t − 3u x x = 0
(1)
x 2
−
dengan kondisi batas u (x , 0) = e
x 2
−
Pandang −3u x x + u t t = 0 dan u (x , 0) = e
Kita telah tahu persamaan koefisien konstan bahwa jika au x x + bu y y = 0
(2)
u (x , y ) = f (bx − ay )
(3)
maka Sehingga u (x , t ) = f (x + 3t )
Contoh 1
Akan diselesaikan persamaan u t − 3u x = 0
(1)
x 2
−
dengan kondisi batas u (x , 0) = e
x 2
−
Pandang −3u x + u t = 0 dan u (x , 0) = e
Kita telah tahu persamaan koefisien konstan bahwa jika au x + bu y = 0
(2)
u (x , y ) = f (bx − ay )
(3)
maka Sehingga u (x , t ) = f (x + 3t ) x 2
−
Maka, u (x , 0) = f (x ) = e
Contoh 1
Akan diselesaikan persamaan u t − 3u x = 0
(1)
x 2
−
dengan kondisi batas u (x , 0) = e
x 2
−
Pandang −3u x + u t = 0 dan u (x , 0) = e
Kita telah tahu persamaan koefisien konstan bahwa jika au x + bu y = 0
(2)
u (x , y ) = f (bx − ay )
(3)
maka Sehingga u (x , t ) = f (x + 3t ) x 2
−
Maka, u (x , 0) = f (x ) = e (x +3t )2
−
Jadi u (x , t ) = e
Contoh 2
Contoh 2
Kita akan menyelesaikan persamaan 3u y + u xy = 0 dengan substitusi v = u y
(4)
Contoh 2
Kita akan menyelesaikan persamaan 3u y + u xy = 0
(4)
dengan substitusi v = u y Perhatikan persamaan 3u y + u xy = 0. Dengan mensubstitusi v = u y , kita peroleh persamaan 3v + v x = 0
(5)
Contoh 2
Kita akan menyelesaikan persamaan 3u y + u xy = 0
(4)
dengan substitusi v = u y Perhatikan persamaan 3u y + u xy = 0. Dengan mensubstitusi v = u y , kita peroleh persamaan 3v + v x = 0
(5)
Dengan mengalikan e 3x pada kedua ruas, kita peroleh ∂ 3x e (3v + v x ) = 0 = (e v ) ∂ x 3x
(6)
Contoh 2
Kita akan menyelesaikan persamaan 3u y + u xy = 0
(4)
dengan substitusi v = u y Perhatikan persamaan 3u y + u xy = 0. Dengan mensubstitusi v = u y , kita peroleh persamaan 3v + v x = 0
(5)
Dengan mengalikan e 3x pada kedua ruas, kita peroleh ∂ 3x e (3v + v x ) = 0 = (e v ) ∂ x
(6)
e 3x v (x , y ) = f (y )
(7)
3x
Sehingga
Contoh 2
Contoh 2
Maka v (x , y ) = f (y )e −3x
(8)
Contoh 2
Maka v (x , y ) = f (y )e −3x
(8)
Oleh karena v = u y , maka u y (x , y ) = f (y )e −3x
(9)
Contoh 2
Maka v (x , y ) = f (y )e −3x
(8)
Oleh karena v = u y , maka u y (x , y ) = f (y )e −3x
(9)
Jadi diperoleh solusi persamaan u (x , y ) = f (y )e −3x + g (x )
(10)
Contoh 3
Contoh 3
Kita akan menyelesaikan persamaan (1 + x 2 )u x + u y = 0
(11)
Contoh 3
Kita akan menyelesaikan persamaan
Perhatikan bahwa
(1 + x 2 )u x + u y = 0
(11)
dy 1 = dx 1 + x 2
(12)
Contoh 3
Kita akan menyelesaikan persamaan
Perhatikan bahwa
(1 + x 2 )u x + u y = 0
(11)
dy 1 = dx 1 + x 2
(12)
(1 + x 2 )dy = dx
(13)
Maka
Contoh 3
Kita akan menyelesaikan persamaan
Perhatikan bahwa
(1 + x 2 )u x + u y = 0
(11)
dy 1 = dx 1 + x 2
(12)
(1 + x 2 )dy = dx
(13)
y (x ) = tan−1 x + c
(14)
Maka Sehingga
Contoh 3
Contoh 3
Maka kita peroleh c = y − tan−1 (x )
(15)
Contoh 3
Maka kita peroleh c = y − tan−1 (x )
(15)
u (x , y ) = f (c ) = f (y − tan−1 (x ))
(16)
Jadi
Contoh 4
Contoh 4
Dengan menggunakan metode koordinat, kita akan menyelesaikan persamaan au x + bu y + cu = 0
(17)
Contoh 4
Dengan menggunakan metode koordinat, kita akan menyelesaikan persamaan au x + bu y + cu = 0
(17)
x = ax + by , y = bx − ay
(18)
Misalkan
Contoh 4
Dengan menggunakan metode koordinat, kita akan menyelesaikan persamaan au x + bu y + cu = 0
(17)
x = ax + by , y = bx − ay
(18)
Misalkan Sesuai dengan chain rule untuk turunan fungsi komposisi, kita punya ∂ u u x = = ∂ x ∂ u u y = = ∂ y
∂ u ∂ x ∂ u ∂ y + = au x + bu y ∂ x ∂ x ∂ y ∂ x ∂ u ∂ x ∂ u ∂ y + = bu x − au y ∂ x ∂ y ∂ y ∂ y
(19)
(20) (21)
Contoh 4
Contoh 4
Selanjutnya, persamaan au x + bu y = 0 dapat ditulis dalam bentuk a2 u x + abu y + b 2 u x − abu y = 0 (22)
Contoh 4
Selanjutnya, persamaan au x + bu y = 0 dapat ditulis dalam bentuk a2 u x + abu y + b 2 u x − abu y = 0 (22)
Yaitu (a2 + b 2 )u x = 0
(23)
Contoh 4
Selanjutnya, persamaan au x + bu y = 0 dapat ditulis dalam bentuk a2 u x + abu y + b 2 u x − abu y = 0 (22)
Yaitu (a2 + b 2 )u x = 0
(23)
Jadi kita telah memiliki persamaan au x + bu y = (a2 + b 2 )u x
Contoh 4
Contoh 4
Selanjutnya, tulis (a2 + b 2 )u x + cu = 0
(24)
Contoh 4
Selanjutnya, tulis (a2 + b 2 )u x + cu = 0
(24)
u x c =− 2 u a + b 2
(25)
Maka
Contoh 4
Selanjutnya, tulis (a2 + b 2 )u x + cu = 0
(24)
u x c =− 2 u a + b 2
(25)
c + ( ) ln(u ) = − 2 f y a + b 2 x
(26)
Maka Selanjutnya
Contoh 4
Selanjutnya, tulis (a2 + b 2 )u x + cu = 0
(24)
u x c =− 2 u a + b 2
(25)
c + ( ) ln(u ) = − 2 f y a + b 2 x
(26)
Maka Selanjutnya
Sehingga
−
u (x , y ) = f (y )e
c (ax +by ) a2 +b 2
(27)
Contoh 4
Selanjutnya, tulis (a2 + b 2 )u x + cu = 0
(24)
u x c =− 2 u a + b 2
(25)
c + ( ) ln(u ) = − 2 f y a + b 2 x
(26)
Maka Selanjutnya
Sehingga
−
u (x , y ) = f (y )e
Jadi
c (ax +by ) a2 +b 2
(27)
c (ax +by
−
u (x , y ) = f (bx − ay )e
a2 +b 2
(28)
Contoh 5
Contoh 5
Kita akan menyelesaikan persamaan u t + cu x = −λu dengan menggunakan transformasi variabel bebas ξ = x − ct dan τ = t
Contoh 5
Kita akan menyelesaikan persamaan u t + cu x = −λu dengan menggunakan transformasi variabel bebas ξ = x − ct dan τ = t Perhatikan persamaan u t + cu x = −λu
Contoh 5
Kita akan menyelesaikan persamaan u t + cu x = −λu dengan menggunakan transformasi variabel bebas ξ = x − ct dan τ = t Perhatikan persamaan u t + cu x = −λu Dengan menggunakan metode koordinat, tulis ∂ u ∂ u ∂ξ ∂ u ∂τ u t = = + = −cu ξ + u τ ∂ t ∂ξ ∂ t ∂τ ∂ t
(29)
∂ u ∂ u ∂ξ ∂ u ∂τ u x = = + = u ξ + u τ .0 = u ξ ∂ x ∂ξ ∂ x ∂τ ∂ x
(30)
Contoh 5
Contoh 5
Maka kita peroleh u t + cu x = u τ + 0 = −λu
Contoh 5
Maka kita peroleh u t + cu x = u τ + 0 = −λu Dengan menggunakan faktor integral, maka persamaan du + λu = 0 d τ
(31)
u (x , t ) = e −λt g (ξ ) = e −λt g (x − ct )
(32)
memiliki solusi
Contoh 6
Contoh 6
Kita akan menyelesaikan persamaan u t + 2u x = −3u dengan kondisi awal u (x , 0) = 1+1x 2 dengan menggunakan transformasi variabel bebas ξ = x − 2t dan τ = t
Contoh 6
Kita akan menyelesaikan persamaan u t + 2u x = −3u dengan kondisi awal u (x , 0) = 1+1x 2 dengan menggunakan transformasi variabel bebas ξ = x − 2t dan τ = t Perhatikan persamaan u t + 2u x = −3u
Contoh 6
Kita akan menyelesaikan persamaan u t + 2u x = −3u dengan kondisi awal u (x , 0) = 1+1x 2 dengan menggunakan transformasi variabel bebas ξ = x − 2t dan τ = t Perhatikan persamaan u t + 2u x = −3u Dengan menggunakan metode koordinat, tulis ∂ u ∂ u ∂ξ ∂ u ∂τ u t = = + = −cu ξ + u τ ∂ t ∂ξ ∂ t ∂τ ∂ t
(33)
∂ u ∂ u ∂ξ ∂ u ∂τ u x = = + = u ξ + u τ .0 = u ξ ∂ x ∂ξ ∂ x ∂τ ∂ x
(34)
Contoh 6
Contoh 6
Maka kita peroleh u t + 2u x = u τ + 0 = −3u
Contoh 6
Maka kita peroleh u t + 2u x = u τ + 0 = −3u Dengan menggunakan faktor integral, maka persamaan du + (−3)u = 0 d τ
(35)
u (x , t ) = e −3t g (ξ ) = e −3t g (x − 2t )
(36)
memiliki solusi
Contoh 6
Maka kita peroleh u t + 2u x = u τ + 0 = −3u Dengan menggunakan faktor integral, maka persamaan du + (−3)u = 0 d τ
(35)
u (x , t ) = e −3t g (ξ ) = e −3t g (x − 2t )
(36)
memiliki solusi
Perhatikan kondisi awal u (x , 0) =
1 . (1+x )2
Contoh 6
Maka kita peroleh u t + 2u x = u τ + 0 = −3u Dengan menggunakan faktor integral, maka persamaan du + (−3)u = 0 d τ
(35)
u (x , t ) = e −3t g (ξ ) = e −3t g (x − 2t )
(36)
memiliki solusi
Perhatikan kondisi awal u (x , 0) =
1 . (1+x )2
Dengan mensubstitusi kondisi awal ke persamaan u(x,t) diperoleh g (x ) = x 21+1
Contoh 6
