Contoh Soal Permutasi dan Kombinasi Serta Pembahasannya

Contoh Soal Permutasi dan Kombinasi Serta Pembahasannya
PERMUTASI
1). Lima putra dan tiga putri duduk berderet pada 8 kursi kosong sesuai
dengan 8 lembar karcis bioskop yang mereka miliki. Berapa banyak cara untuk
duduk yang diperoleh dengan urutan berbeda jika :
Putra dan putri dapat duduk di sembarang kursi?
Putra dan putri masing-masing mengelompok sehingga hanya sepasang putra dan
putri yang dapat duduk berdampingan?
Jawaban :
Terdapat 8 orang yang menempati 8 kursi dimana perbedaan urutan duduk
memberikan hasil yang berbeda. Ini adalah masalah permutasi 8 unsur dari 8
unsur atau P(8, 8) diberikan oleh : P(8, 8) = 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 3 x 2 x
1 = 40.320
5 orang putra duduk pada 5 kursi tertentu dan pertukaran duduk hanya boleh
pada ke 5 kursi tersebut, sehingga banyaknya cara duduk putra adalah P(5,
5). Demikian juga 3 putri duduk pada tiga kursi tertentu dan pertukaran
duduk diatara mereka hanya boleh pada ke 3 kursi ini, sehingga banyaknya
cara untuk duduk putri adalah P(3, 3). Dengan demikian, banyak cara duduk 5
putra dan 3 putri yang masing-masing mengelompok adalah P(5, 5) x P(3, 3) =
5! X 3! = 720

2). Jika huruf-huruf pada kata "BOROBUDUR" dipertukarkan, berapa banyak
susunan huruf berbeda yang dapat diperoleh?
Berapa cara yang berbeda untuk menuliskan hasil kali a4b2c2 tanpa
menggunakan eksponen?
Jawaban :
Pada kata BOROBUDUR terdapat 9 huruf dengan huruf B diulang 2 kali, huruf O
diulang 2 kali, huruf R diulang 2 kali, dan huruf U diulang 2 kali.
Banyaknya susunan huruf berbeda yang diperoleh diberikan oleh rumus
berikut:

3). Sebuah keluarga terdiri atas 5 orang. Mereka akan duduk mengelilingi
sebuah meja bundar untuk makan bersama. Berapa banyaknya cara agar mereka
dapat duduk mengelilingi meja makan tersebut dengan urutan yang berbeda?
Jawaban :
Banyaknya cara agar 5 orang dapat duduk mengelilingi meja makan sama dengan
banyak permutasi siklis 5 elemen, yaitu :
(5 -1)! = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

4). Berapa banyaknya permutasi dari cara duduk yang dapat terjadi jika 8
orang disediakan 4 kursi, sedangkan salah seorang dari padanya selalu duduk
dikursi tertentu.
Jawab:
Jika salah seorang selalu duduk dikursi tertentu maka tinggal 7 orang
dengan 3 kursi kosong.
Maka banyaknya cara duduk ada :
7P3 = 7!/(7-3)! = 7!/4! = 7.6.5 = 210 cara

5). Ada berapa cara 7 orang yang duduk mengelilingi meja dapat menempati
ketujuh tempat duduk denganurutan yang berlainan?
Jawab:
Banyaknya cara duduk ada (7 - 1) ! = 6 ! ® 6 . 5 . 4. 3 . 2 . 1 = 720 cara.

KOMBINASI

1). Seorang pemuda akan mempersembahkan serangkaian bunga dua warna dari
lima warna bunga yang terdapat di tamannya. Berapa macam rangkaian bunga
yang dapat dibuat pemuda tersebut?
Jawaban :

Apakah sama antara rangkaian bunga {Merah, Kuning} dengan rangkaian bunga
{Kuning, Merah} ? Kasus tersebut dinamakan kombinasi dua unsur dari lima
unsur yang tersedia dan dilambangkan dengan :
Permutasi 2 unsur dari 5 unsur ditulis yang merupakan dua kejadian berikut
:
Membuat rangkaian bunga yang memiliki 2 unsur dari 5 unsur yang tersedia
dengan tidak
memperhatikan urutan terdapat cara
Menyusun elemen-elemen himpunan bagian dalam urutan yang berbeda yaitu {MK,
KM}, {MB, BM}, {MH, HM}, {MP, PM}, {KB, BK}, {KH, HK}, {KP, PK}, {BH, HB},
{BP, PB}, dan {HP, PH} terdapat dua cara penyusunan atau 2! cara
Kejadian gabungan 1 diikuti oleh 2 adalah permutasi 2 unsur dari 5 unsur
atau P(5, 2) =

Sehingga banyaknya kombinasi r elemen dari n elemen dengan 0 < r < n,
diberi notasi adalah

2). Tentukan nilai dari:
a) 12C4
b) 10C3

Jawaban
a) 12C4

12! 12! 12 . 11 . 10 . 9 .
8! 12.11.10.9
12C4 = _________________ = ________ = ______________________ =
___________________ = 495
(12 4)! 4! 8! 4! 8 ! 4 . 3.2.1
4.3.2.1

b) 10C3

10! 10! 10 . 9 . 8 . 7!
10.9.8
10C3 = _______________ = __________ = _________________ =____________ = 120
(10 3)! 3! 7! 3! 7 ! 3!
3.2.1

3). 8 anak pada suatu acara saling berjabat tangan satu sama lain. Tentukan
banyaknya jabat tangan yang terjadi!

Jawaban :
Kombinasi dengan n = 8 dan r = 2
8! 8! 8 . 7 . 6 !
8 C 3 = _____________ = __________ = _______________ = 28 jabat tangan
(8 2)! 2! 6! 2! 6! 2.1

4). Untuk mengikuti suatu perlombaan sekolah akan memilih 3 orang siswa
dari 12 anak bersedia untuk ikut dalam perlombaan. Tentukan banyaknya
kombinasi anak yang diperoleh sekolah dari ke 12 anak tersebut!

Jawaban :
Kombinasi 3 dari 12

12! 12 ! 12.11.10. 9 !
12.11.10
12C3 = ____________ = ___________ = ________________ = _______________ =
220
(12 3)! 3! 9! 3! 9 ! 3!
3.2.1

5). 6 orang siswa terpilih untuk mengikuti perlombaan tenis meja ganda.
Tentukan banyaknya cara penyusunan pasangan pemain dari keenam siswa
tersebut!

Jawaban :
Kombinasi 2 dari 6 :

6! 6! 6.5.4 !
6C2 = ___________ = ________ = ___________ = 15 cara pemasangan
(6 -2)! 2! 4! 2! 4! 2.1

Permutasi dan Kombinasi Matematika - Pelajaran matematika mengenai
permutasi dan kombinasi diajarkan pada siswa-siswi yang duduk di kelas XI
SMA. Materi ini masih berkaitan dengan Peluang. Lalu apa bedanya peluang,
permutasi dan kombinasi? Tenang, jangan terburu-buru. Pada artikel ini
Rumus Matematika Dasar akan menjabarkan satu-persatu kepada kalian mengenai
permutasi dan kombinasi dalam matematika. Sedangkan untuk materi peluang
dapat kalian akses pada artikel yang membahas tentang Pengertian dan Rumus
Peluang Matematika.

Seperti biasa, di sini kalian tidak hanya memperoleh penjelasan materi
namun juga rumus serta contoh-sontoh soal dan penjelasan mengenai langkah-
langkah dalam menjawab soal tersebut. Oleh karenanya, kalian harus
memperhatikan dengan baik uraian materi serta penjelasan rumus yang
diberikan.

Pengertian Permutasi dan Kombinasi Matematika

Permutasi

Di dalam ilmu matematika permutasi diartikan sebagai sebuah konsep
penyusunan sekumpulan objek/angka menjadi beberapa urutan berbeda tanpa
mengalami pengulangan.

Di dalam permutasi, urutan sangat diperhatikan. setiap objek yang
dihasilkan harus berbeda antara satu dengan yang lain. kita ambil contoh,
urutan huruf ({ABC} berbeda dengan {CAB} begitu juga dengan {BAC) dan
{ACB}). Rumus untuk mencari banyaknya permutasi n unsur jika disusun pada
unsur k di mana k n adalah:

Rumus Permutasi

P(n,k) = n!
(n-k)!

Untuk memahami rumus tersebut, perhatikan pembahasan soal di bawah ini:

Contoh Soal 1
Di sebuah sekolah ada 4 orang guru yang dicalonkan untuk mengisi posisi
bendahara dan sekertaris. Coba kalian tentukan banyaknya cara yang dapat
digunakan untuk mengisi posisi tersebut!

Pembahasan:
Soal di atas dapat dituliskan sebagai permutasi P(4,2), n(banyaknya guru) =
4 k (jumlah posisi) = 2
masukkan ke dalam rumus:

P(4,2) = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 = 12
(4-2)! 2 x 1 2

Contoh Soal 2
Berapakah banyaknya bilangan yang dibentuk dari 2 angka berbeda yang dapat
kita susun dari urutan angka 4, 8, 2, 3, dan 5?

Pembahasan:
pertanyaan di atas dapat disimpulkan sebagai permutasi yang terdiri dari 2
unsur yang dipilih dari 5 unsur maka dapat dituliskan sebagai P(5,2).
tinggal kita masukkan ke dalam rumus.

P(5,2) = 5! = 5x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 = 20
(5-2)! 3 x 2 x 1 6

Maka ada 20 cara yang dapat dilakukan untuk menysyn bilangan tersebut
menjadi 2 angka yang berbeda-beda (48, 42, 43, 45, 84, 82, 83, 85, 24, 28,
23, 25, 34, 38, 32, 35, 54, 58, 53, 52).

Kombinasi

kombinasi merupakan sebuah kumpulan dari sebagian atau seluruh objek dengan
tidak memperhatikan urutannya. di dalam kombinasi, {AB} dianggap sama
dengan {BA} sehingga sebuah kombinasi dari dua objek yang sama tidak dapat
terulang.

Rumus kombinasi dari suatu himpunan yang mempunyai n elemen dapat
dituliskan sebagai berikut:

Rumus Kombinasi

C(n,r) = nCr = nCr = n!
r!(n-r)!

Mari kita amati penggunaan rumus tersebut untuk menyelesaikan soal-soal di
bawah ini:

Contoh Soal 3
Manuel Pelegrini membawa 16 pemain saat Manchester City melawan Liverpool
di Etihad Stadium. 11 orang diantaranya akan dipilih untuk bermain pada
babak pertama. jika kita tidak memperhatikan posisi pemain, berapakah
banyaknya cara yang dapat diambil oleh pelatih untuk memilih pemain?

Pembahasan:
Karena tidak mementingkan posisi pemain, maka kita gunakan rumus kombinasi:
16C11 = 16! = 16 x 15 x 14 x 13 x 12 x 11! = 524160
= 524160 = 4368
11!(16-11)! 11!5!
5 x 4 x 3 x 2 x 1 120

Contoh Soal 4

Sebuah ember berisi 1 buah alpukat, 1 buah pir, 1 buah jeruk dan 1 buah
salak. berapakah banyaknya kombinasi yang tersusun dari 2 macam buah?

Pembahasan:
diketahui n = 4 dan r = 2, maka:

4C3 = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 = 24 = 4
3!(4-3)! 3!1! 3 x 2 x 1 6

PERMUTASI
11) Ada berapa cara bila 4 orang remaja (w,x, y, z) menempati tempat
duduk yang akan disusun dalam suatu susunan yang teratur?
Jawaban:
4P4 = 4!
= 4 x 3 × 2 × 1
= 24 cara

22) Menjelang Pergantian kepengurusan BEM STMIK Tasikmalaya akan
dibentuk panitia inti sebanyak 2 orang (terdiri dari ketua dan wakil
ketua), calon panitia tersebut ada 6 orang yaitu: a, b, c, d, e, dan f. Ada
berapa pasang calon yang dapat duduk sebagai panitia inti tersebut?
Jawaban:
6P2 = 6!/(6-2)!
= (6.5.4.3.2.1)/(4.3.2.1)
= 720/24
= 30 cara

33) Sekelompok mahasiswa yang terdiri dari 10 orang akan mengadakan
rapat dan duduk mengelilingi sebuah meja, ada berapa carakah kelima
mahasiswa tersebut dapat diatur pada sekeliling meja tersebut?
Jawaban:
P5 = (10-1)!
= 9.8.7.6.5.4.3.2.1
= 362880 cara

4) Berapa banyak "kata" yang terbentuk dari kata "STMIK"?
Jawab :
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 buah kata

55) Peluang lulusan PNJ dapat bekerja pada suatu perusahaan adalah 0,75.
Jika seorang lulusan PNJ mendaftarkan pada 24 perusahaan, maka berapakah
dia dapat diterima oleh perusahaan?
Jawaban:
Frekuensi harapan kejadian A adalah Fh(A) = n × P(A)
Diketahui P(A) = 0,75 dan n = 24. Maka:
Fh(A) = 24 × 0,75 = 18 perusahaan.

6) Terdapat tiga orang (X, Y dan Z) yang akan duduk bersama di sebuah
bangku. Ada berapa urutan yang dapat terjadi ?
Jawaban:
nPx = n!
3P3 = 3!
= 1 x 2 x 3
= 6 cara (XYZ, XZY, YXZ, YZX, ZXY, ZYX).

77) Suatu kelompok belajar yang beranggotakan empat orang (A, B, C dan
D) akan memilih ketua dan wakil ketua kelompok. Ada berapa alternatif
susunan ketua dan wakil ketua dapat dipilih ?
Jawaban:
nPx = (n!)/(n-x)!
4P2 = (4!)/(4-2)!
= 12 cara (AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC) .

8) Berapa banyaknya permutasi dari cara duduk yang dapat terjadi jika 8
dikursi tertentu.
Jawaban:
7P3 = 7!/(7-3)!
= 7!/4!
= 7.6.5
= 210 cara

9) Ada berapa cara 5 gelas warna yang mengitari meja kecil, dapat
menempati kelima tempat dengan urutan yang berlainan?
Jawaban:
Banyaknya cara duduk ada (5 – 1) ! = 4 ! ® 4. 3 . 2 . 1 = 24 cara.

110) Tentukan banyaknya permutasi siklus dari 3 unsur yaitu A, B, C
jawab:
Jika A sebagai urutan I : ABC
Jika B sebagai urutan I : BCA
Jika C sebagai urutan III : CAB
Jika banyak unsur n=4 –> A, B, C, D
jadi banyaknya permutasi siklis dari 4 unsur ( A B C D) adalah 4!/4 =
4.3.2.1/4 = 6

KOMBINASI
11) Dalam mengadakan suatu pemilihan dengan menggunakan obyek 4 orang
pedagang kaki lima untuk diwawancarai, maka untuk memilih 3 orang untuk
satu kelompok. Ada berapa cara kita dapat menyusunnya?
Jawaban:
4C3 =4! / 3! (4-3)!
= (4.3.2.1) / 3.2.1.1
= 24 / 6
= 4 cara

12) Suatu warna tertentu dibentuk dari campuran 3 warna yang berbeda. Jika
terdapat 4 warna, yaitu Merah, Kuning, Biru dan Hijau, maka berapa
kombinasi tiga jenis warna yang dihasilkan.
Jawaban:
nCx = (n!)/(x!(n-x)!)
4C3 = (4!)/(3!(4-3)!)
= 24/6 = 4 macam kombinasi (MKB, MKH, KBH, MBH).

13) Dalam suatu pertemuan terdapat 10 orang yang belum saling kenal. Agar
mereka saling kenal maka mereka saling berjabat tangan. Berapa banyaknya
jabat tangan yang terjadi.
Jawaban:
10C2 = (10!)/(2!(10-2)!) = 45 jabat tangan

14) Suatu kelompok yang terdiri dari 3 orang pria dan 2 orang wanita akan
memilih 3 orang pengurus. Berapa cara yang dapat dibentuk dari pemilihan
jika pengurus terdiri dari 2 orang pria dan 1 orang wanita.
Jawaban:
3C2 . 2C1 = (3!)/(2!(3-2)!) . (2!)/(1!(2-1)!) = 6 cara, yaitu : L1 L2 W1 ;
L1 L3 W1 ; L2 L3 W1 ; L1 L2 W2 ; L1 L3 W2 ; L2 L3 W2

15) Dalam sebuah ujian, seorang mahasiswa diwajibkan mengerjakan 5 soal
dari 8 soal yg tersedia. Tentukan:
a. banyaknya jenis pilihan soal yg mungkin untuk dikerjakan
b. banyaknya jenis pilihan soal yg mungkin dikerjakan jika no.6 dan 7
wajib dikerjakan.
Jawaban:
c. 8 C5 = 8!/5!(8-5)! = (8×7×6×5!)/5!3! = 56 cara
d. 6C3 = 6!/3!(6-2)! = (6×5×4×3!)/3!3! = 20 cara

16) Banyak cara memilih 4 pengurus dari 6 calon, yang ada sama dengan ....
Jawaban:
6C4 = 6!/4!(6-4)! = (6×5×4!)/4!2! = 15 cara

17) Dalam sebuah kantoh terdapat 7 kelereng. Berapa banyak cara mengambil
4 kelereng dari kantong tersebut?
Jawaban:
7C4 = 7!/4!(7-4)! = (7×6×5×4!)/4!3! = 35 cara

18) Siswa di minta mengerjakan 9 dari 10 soal ulangan, tetapi soal 1-5
harus di kerjakan. Banyaknya pilihan yang dapat diambil murid adalah.
Jawaban:
5C4 = 5!/4!(5-4)! = (5×4!)/4!1! = 5 cara

19) Seorang peternak akan membeli 3 ekor ayam dan 2 ekor kambing dari
seorang pedagang yang memiliki 6 ekor ayam dan 4 ekor kambing. Dengan
berapa cara peternak tersebut dapat memilih ternak-ternak yang di
inginkannya?
Jawaban:
Banyak cara memilih ayam = 6C3 = 6!/3!(6-3)! = 6!/3!3! = 20 cara
Banyak cara memilih kambing = 4C2 = 4!/2!(4-2)! = (4×3×2!)/2!2! = 6 cara
Jadi, peternak tersebut memiliki pilihan sebanyak = 20×6 = 120 cara

20) Sebuah perusahaan membutuhkan karyawan yg terdiri dari 5 putra dan 3
putri. Jika terdapat 15 pelamar, 9 diantaranya putra. Tentukan banyaknya
cara menyeleksi karyawan!
Jawaban:
Pelamar putra = 9 dan pelamar putri 6 banyak cara menyeleksi:
9C5 x 6C3 = 9!/5!x(9-5)! x 6!/3!x(6-3)! = 2360

Pengertian Permutasi

Permutasi adalah penyusunan beberapa objek dengan memperhatikan urutannya.
Yang perlu diperhatikan dalam permutasi adalah objek-objek yang ada harus
dibedakan satu dengan yang lainnya. Permutasi dapat dirumuskan sebagai
berikut :

n = n! /( n – r )!

Permutasi Tanpa Pengulangan
Permutasi berkaitan dengan pengaturan suatu susunan yang dibentuk oleh
keseluruhan atau sebagian dari sekumpulan objek tanpa ada pengulangan.
Susunan pada permutasi memperhatikan urutannya.

Permutasi Dengan Pengulangan
Permutasi dengan pengulangan merupakan permutasi r objek dari n buah objek
yang tidak harus berbeda.

Permutasi Siklik
Permutasi siklik berkaitan dengan penyusunan sederetan objek yang
melingkar.

Pengertian Kombinasi

Kombinasi adalah campuran atau gabungan atau susunan dari semua atau
sebagian elemen dari suatu himpunan yang tidak mementingkan urutan elemen.
Kombinasi dapat dirumuskan sebagai berikut :

n = n! /r ! ( n – r )!

Contoh soal-soal Permutasi dan Kombinasi :
1. Berapa banyaknya permutasi dari cara duduk yang dapat terjadi jika 8
orang disediakan 4 kursi, sedangkan salah seorang dari padanya selalu
duduk dikursi tertentu.
Jawaban :
7P3 = 7!/(7-3)! = 7!/4! = 7.6.5 = 210 cara.
2. Suatu kelompok belajar yang beranggotakan empat orang (A, B, C dan D)
akan memilih ketua dan wakil ketua kelompok. Ada berapa alternatif
susunan ketua dan wakil ketua dapat dipilih?
Jawaban :
nPx = (n!)/(n-r)!
4P2 = (4!)/(4-2)!
= 12 cara (AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC).
3. Sekelompok mahasiswa yang terdiri dari 5 orang akan mengadakan rapat
dan duduk mengelilingi sebuah meja, ada berapa carakah kelima
mahasiswa tersebut dapat diatur pada sekeliling meja tersebut?
Jawaban :
P5 = (5-1)!
= 4.3.2.1
= 24 cara
4. Berapa banyak "kata" yang terbentuk dari kata "HAPUS"?
Jawaban :
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 buah kata.
5. Ada berapa cara 7 orang yang duduk mengelilingi meja dapat menempati
ketujuh tempat duduk dengan urutan yang berlainan?
Jawaban :
Banyaknya cara duduk ada (7 – 1) ! = 6 !
= 6 x 5 x 4
x 3 x 2 x 1 = 720 cara
6. Berapa banyak susunan huruf-huruf yang berbeda yang dapat disusun
dari huruf-huruf pada kata " SSST "?
Jawaban :
P = 4!3! = 4.3.2.1 3.2.1 = 4 macam susunan ( SSST,SSTS, STSS,TSSS
)
7. Dengan berapa cara 9 kue yg berbeda dapat diisusun melingkar diatas
sebuah meja ?
Jawab : P = (9-1)! = 8! = 8.7.6.5.4.3.2.1 = 40.320
8. Dalam beberapa cara 3 orang ppedagang kaki lima (A, B, C) yang
menempati suatu lokasi perdagangan akan disusun dalam suatu susunan
yang teratur?
Jawab :
3P3 = 3!
= 3 × 2 × 1
= 6
9. Menjelang HUT RI yang akan datang di salah satu desa akan dibentuk
panitia inti sebanyak 2 orang (terdiri dari ketua dan wakil ketua),
calon panitia tersebut ada 6 orang yaitu: a, b, c, d, e, dan f. Ada
berapa sang calon yang dapat duduk sebagai panitia inti tersebut?
Jawab :
6P2 = 6!/(6-2)!
= (6.5.4.3.2.1)/(4.3.2.1)
= 720/24
= 30 cara.
10. Dalam berapa carakah kata "JAKARTA" dapat dipermutasikan?
Jawaban:
P7 = 7! / 1!.3!.1!.1!.1!
= 840 cara.
11. Untuk pemilihan 4 mahasiswa menjadi pengurus himpunan mahasiswa
jurusan matematika FMIPA UNM terdapat 8 mahasiswa prodi pendidikan
matematika dan 6 mahasiswa prodi matematika yang memenuhi syarat untuk
dipilih. Berapa banyak cara memilih pengurus bila semua anggota
pengurus dari prodi yang sama?
Jawaban :
Dari prodi pendidikan matematika 8 orang, harus dipilih 4 orang.
Berarti kita hitung dengan menggunakan C (8,4) = 70 cara
Sedangkan dari prodi matematika, kita dapat memilih dengan C (6,4) =
6!/2!4! = 36x5x4!/2×4! = 15 cara.
Sehingga jika yang terpilih adalah mahasiswa dari prodi yang sama,
kemungkinan banyak cara memilih adalah C (8,4) + C (6,4) = 70 + 15 =
85 cara.
12. Seorang mahasiswa pascasarjana mempunyai teman belajar 11 orang.
Dengan berapa carakah jika 2 dari temannya adalah suami istri dan
harus hadir bersama-sama. Jika A dan B tidak hadir, maka 5 orang teman
lainnya dapat diundang dengan cara (9,5).
Jawaban :
Jadi banyak cara memilih di bagian ini adalah
C (9,3) + C (9,5) = 9!/3!6! + 9!/5!4! = 84 + 126 = 210 cara.
13. Sebuah panitia terdiri atas Ketua, Wakil Ketua, Sekretaris, dan
Bendahara. Berapa banyak susunan panitia yang dapat dibentuk dari 9
orang?
Dalam hal ini n = 9 dan k = 4, karena setiap posisi yaitu ketua, wakil
ketua, sekretaris, dan bendahara akan dijabat oleh 1 orang maka banyak
cara memilih 4 orang dari 9 orang adalah?
Jawaban :
C (9,4) = 9! / 4! (9-4)! = 9! / 4!5! = 126 cara.
14. Seorang peternak akan membeli 3 ekor ayam dan 2 ekor kambing dari
seorang pedagang yang memiliki 6 ekor ayam dan 4 ekor kambing. Dengan
berapa cara peternak tersebut dapat memilih ternak-ternak yang di
inginkannya?
Jawaban :
Banyak cara memilih ayam = 6C3 = 6!/3!(6-3)! = 6!/3!3! = 20 cara
Banyak cara memilih kambing = 4C2 = 4!/2!(4-2)! = (4×3×2!)/2!2! = 6
cara
Jadi, peternak tersebut memiliki pilihan sebanyak = 20×6 = 120 cara.
15. Sebuah perusahaan membutuhkan karyawan yg terdiri dari 5 putra dan 3
putri. Jika terdapat 15 pelamar, 9 diantaranya putra. Tentukan
banyaknya cara menyeleksi karyawan!
Jawaban :
Pelamar putra = 9 dan pelamar putri 6 banyak cara menyeleksi :
9C5 x 6C3 = 9!/5!x(9-5)! x 6!/3!x(6-3)! = 2360
16. 6) Suatu warna tertentu dibentuk dari campuran 3 warna yang
berbeda. Jika terdapat 4 warna, yaitu Merah, Kuning, Biru dan Hijau,
maka berapa kombinasi tiga jenis warna yang dihasilkan.
Jawaban :
nCx = (n!)/(x!(n-x)!)
4C3 = (4!)/(3!(4-3)!)
= 24/6
= 4 cara (MKB, MKH, KBH, MBH).
17. Banyak cara memilih 4 pengurus dari 6 calon, yang ada sama dengan ....
Jawaban :
6C4 = 6!/4!(6-4)! = (6×5×4!)/4!2! = 15 cara.
18. Dalam suatu pertemuan terdapat 10 orang yang belum saling kenal. Agar
mereka saling kenal maka mereka saling berjabat tangan. Berapa
banyaknya jabat tangan yang terjadi.
Jawaban :
10C2 = (10!)/(2!(10-2)!) = 45
19. Dalam sebuah ruangan terdapat 9 orang. Jika mereka saling bersalaman
maka berapa banyak salaman yang akan terjadi?
Jawaban:
9C2 = 9!/2!(9-2)! = (9×8×7!)/2!7! = 36
20. Siswa di minta mengerjakan 9 dari 10 soal ulangan , tetapi soal 1-5
harus di kerjakan. Banyaknya pilihan yang dapat diambil murid adalah.
Jawaban :
5C4 = 5!/4!(5-4)! = (5×4!)/4!1! = 5

PERMUTASI DAN KOMBINASI

1.PERMUTASI

Permutasi merupakan penyusunan obyek-obyek yang ada ke dalam suatu urutan
tertentu. Hal yang perlu diperhatikan dalam permutasi adalah bahwa obyek-
obyek yang ada harus dapat "dibedakan" antara yang satu dengan yang lain.
Permutasi dapat dirumuskan :
nPx = (n!)/(n-x)! ; dimana n = banyaknya seluruh obyek, dan x = banyaknya
obyek yang dipermutasikan.
Nilai n dan x masing-masing harus lebih besar dari nol. Jika nilai x < n
disebut dengan Permutasi Sebagian Obyek.
Jika nilai x = n, maka disebut Permutasi Seluruh Obyek,sehingga rumus
tersebut dapat disederhanakan menjadi : nPx = n
Contoh :
Terdapat tiga orang (X, Y dan Z) yang akan duduk bersama di sebuah bangku.
Ada berapa urutan yang dapat terjadi ?
Jawab :
nPx = n! ; 3P3 = 3! = 1 x 2 x 3 = 6
cara (XYZ, XZY, YXZ, YZX, ZXY, ZYX) .
Suatu kelompok belajar yang beranggotakan empat orang (A, B, C dan D) akan
memilih ketua dan wakil ketua kelompok. Ada berapa alternatif susunan ketua
dan wakil ketua dapat dipilih ?
Jawab :
nPx = (n!)/(n-x)! ; 4P2 = (4!)/(4-2)! = 12 cara (AB, AC, AD, BA, BC, BD,
CA, CB, CD, DA, DB, DC) .

2.KOMBINASI

Perbedaan antara Permutasi dan Kombinasi terletak pada masalah "urutan atau
kedudukan" penyusunan dari sekelompok obyek. Dalam permutasi masalah urutan
atau kedudukan menjadi sangat penting, sedangkan dalam kombinasi tidak
mementingkan urutan atau kedudukan dari sekelompok obyek tersebut.
Pada permutasi urutan obyek XYZ; XZY; ZYX adalah berbeda, tetapi untuk
kombinasi urutan tersebut dianggap sama. Dengan demikian kombinasi
merupakan cara pemilihan obyek yang bersangkutan dengan tidak memperhatikan
urutan dari obyek tersebut. Untuk menghitung banyaknya hasil kombinasi dari
obyek dapat diformulasikan : nCx = (n!)/(x!(n-x)!) ; dimana n : banyaknya
seluruh obyek yang ada, dan x : banyaknya obyek yang dikombinasikan.
Nilai x < n dan jika x = n formulasi tersebut menjadi nCn = 1.
Contoh :
Suatu warna tertentu dibentuk dari campuran 3 warna yang berbeda. Jika
Jawab :
nCx = (n!)/(x!(n-x)!) ; 4C3 = (4!)/(3!(4-3)!) = 24/6 = 4 macam kombinasi
(MKB, MKH, KBH, MBH).
Dalam suatu pertemuan terdapat 10 orang yang belum saling kenal. Agar
Jawab :
10C2 = (10!)/(2!(10-2)!) = 45 jabat tangan.

Contoh so'al permutasi dan kombinasi:

1.Peluang lulusan PNJ dapat bekerja pada suatu perusahaan adalah 0,75. Jika
seorang lulusan PNJ mendaftarkan pada 24 perusahaan, maka berapakah dia
dapat diterima oleh perusahaan?
Jawaban:

Frekuensi harapan kejadian A adalah Fh(A) = n × P(A)

Diketahui P(A) = 0,75 dan n = 24.
Maka:
Fh(A) = 24 × 0,75 = 18 perusahaan.

2.Terdapat tiga orang (X, Y dan Z) yang akan duduk bersama di sebuah
bangku. Ada berapa urutan yang dapat terjadi ?
Jawaban:
nPx = n!
3P3 = 3!
= 1 x 2 x 3
= 6 cara (XYZ, XZY, YXZ, YZX, ZXY, ZYX).

3.Suatu kelompok belajar yang beranggotakan empat orang (A, B, C dan D)
akan memilih ketua dan wakil ketua kelompok. Ada berapa alternatif susunan
ketua dan wakil ketua dapat dipilih ?
Jawaban:
nPx = (n!)/(n-x)!
4P2 = (4!)/(4-2)!
= 12 cara (AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC) .

4.Berapa banyaknya permutasi dari cara duduk yang dapat terjadi jika 8
dikursi tertentu.
Jawaban:
7P3 = 7!/(7-3)!
= 7!/4!
= 7.6.5
= 210 cara

5.Ada berapa cara 7 orang yang duduk mengelilingi meja dapat menempati
ketujuh tempat duduk dengan urutan yang berlainan?
Jawaban:
Banyaknya cara duduk ada (7 – 1) ! = 6 ! ® 6 . 5 . 4. 3 . 2 . 1 = 720 cara.

6.Dalam mengadakan suatu pemilihan dengan menggunakan obyek 4 orang
pedagang kaki lima untuk diwawancarai, maka untuk memilih 3 orang untuk
satu kelompok. Ada berapa cara kita dapat menyusunnya?
Jawaban:
4C3 =4! / 3! (4-3)!
= (4.3.2.1) / 3.2.1.1
= 24 / 6
= 4 cara

7.Suatu warna tertentu dibentuk dari campuran 3 warna yang berbeda. Jika
Jawaban:
nCx = (n!)/(x!(n-x)!)
4C3 = (4!)/(3!(4-3)!)
= 24/6 = 4 macam kombinasi (MKB, MKH, KBH, MBH).

8.Dalam suatu pertemuan terdapat 10 orang yang belum saling kenal. Agar
Jawaban:
10C2 = (10!)/(2!(10-2)!) = 45 jabat tangan

9.Suatu kelompok yang terdiri dari 3 orang pria dan 2 orang wanita akan
memilih 3 orang pengurus. Berapa cara yang dapat dibentuk dari pemilihan
jika pengurus terdiri dari 2 orang pria dan 1 orang wanita.
Jawaban:
3C2 . 2C1 = (3!)/(2!(3-2)!) . (2!)/(1!(2-1)!) = 6 cara, yaitu : L1 L2 W1 ;
L1 L3 W1 ; L2 L3 W1 ; L1
L2 W2 ; L1 L3 W2 ; L2 L3 W2

10.Dalam sebuah ujian, seorang mahasiswa diwajibkan mengerjakan 5 soal dari
8 soal yg tersedia.
Tentukan:
a. banyaknya jenis pilihan soal yg mungkin untuk dikerjakan
b. banyaknya jenis pilihan soal yg mungkin dikerjakan jika no.6 dan 7
wajib dikerjakan.
Jawaban:
a. 8 C5 = 8!/5!(8-5)! = (8×7×6×5!)/5!3! = 56 cara
b. 6C3 = 6!/3!(6-2)! = (6×5×4×3!)/3!3! = 20 cara

Dalam suatu ruangan terdapat 30 orang. Setiap orang saling bersalaman.
Banyaknyasalaman yang dilakukan seluruhnya adalah ....A.

435B.

455C.

870D.

875E.

885
Pembahasan:
Soal ini berkaitan dengan kombinasi.Banyaknya salaman yang dapat dilakukan
dari 20 orang adalah
302
C
!2)!230( !30
=
22930
×=

435
=

Jawaban: A
2.

Diketahui empat angka 4, 5, 6 dan 7. Banyak cara untuk menyusun bilangan-
bilanganyang terdiri dari empat angka dengan syarat bahwa bilangan-bilangan
itu tidak mempunyai angka yang sama adalah .... cara.A.

8B.

12C.

16D.

18E.

24
Pembahasan:
Banyaknya cara untuk menyusun bilangan-bilangan yang terdiri dari empata
angkadengan syarat tidak ada bilangan yang sama adalah 4 ! = 4 . 3 . 2 . 1
= 24.
Jawaban: E
3.

Suatu kotak berisi 5 kelereng merah dan 3 kelereng putih. Dua kelereng
diambil satupersatu di mana kelereng pertama yang diambil dikembalikan lagi
dalam kotak.Peluang terambilnya kelereng pertama pertama dan kedua berwarna
merah adalah ....A.

649 B.

6415

2C.

6425 D.

83 E.

85
Pembahasan:
Karena setelah pengambilan yang pertama dikembalikan lagi dalam kotak,
makaperistiwa tersebut saling bebas.64258585)()()(
= = =
BP AP B AP
.
Jawaban: C
4.

Sebuah kotak berisi 10 bola, 4 berwarna merah dan 6 berwarna putih. Peluang
bahwakedua bola yang terambil terdiri atas 1 bola merah dan 1 bola putih
adalah ....A.

158 B.

125 C.

156 D.

92 E.

241
Pembahasan:
Banyak cara mengambil 2 bola dari 10 bola = 45!2!8 !10
102
= =
C
cara.Banyak cara mengambil 2 bola merah dari 4 bola merah =
= =
!2!2 !4
42
C
6 cara.Banyak cara mengambil 2 bola putih dari 6 bola putih =
= =
!2!4 !6
62
C
16 cara.Sehingga banyaknya cara mengambil 2 bola merah atau 2 bola putih
adalah: 6 + 15 =21 cara. Banyak cara mengambil 2 bola berwarna 1 merah dan
1 putih adalah 45 – 21cara = 24 cara.Jadi peluang kedua bola yang terambil
terdiri atas 1 bola merah dan 1 bola putihadalah1584524
=
.
Jawaban: A
5.

Dua buah dadu bermata enam dilemparkan satu kali secara bersamaan.
Peluangmunculnya jumlah mata dadu 5 atau jumlah mata dadu 10 adalah ....

3A.

3611 B.

3610 C.

369 D.

368 E.

367
Pembahasan:
Peluang muncul jumlah mata dadu 5 adalah .364 Peluang muncul jumlah mata
dadu 10 adalah .363 Jadi, peluang jumlah mata dadu 5 atau 10
adalah:367363364)()(
=+=+
BP AP
.
Jawaban: E
6.

Dari sebuah kotak yang berisi 5 kelereng berwarna putih dan 3 kelereng
berwarnamerah diambil 2 buah kelereng secara acak. Peluang terambil kedua-
duanya berwarnaputih adalah ....A.

6425 B.

2810 C.

289 D.

82 E.

6410
Pembahasan:
Ruang sample atau n(S) = 28!2!6 !8
82
==
C
.Peluang terambilnya kelereng putih atau n(P) = 10!2!3 !5
52
==
C
.Peluang terambil kedua-duanya berwarna putih = .2810)()(
=
S nPn

Jawaban: B

Contoh Soal Permutasi dan Kombinasi Serta Pembahasannya

Recommend Documents