Control, semana 8

FUNCIONES Robinson Calfual MATEMÁTICAS Instituto IACC 28 de Junio 2015

1. SOLUCIÓN. Como se puede observar la función no es inyectiva, debido a que al graficar y trazar una recta horizontal, observamos que esta recta corta en más de un punto, es por eso que sabemos que no es inyectiva esto se observa en el grafico que se muestra a continuación.

x

Esto también lo podemos explicar al asignarles valores por ejemplo tenemos los puntos (2,4) y (2,4), donde podemos observar que se le asigna el mismo valor de imagen para ambos puntos, por lo tanto no es inyectiva, también podemos decir que la f ( 2 )=2 y la f (−2 )=2, por lo tanto entendemos que una función es inyectiva si a cada elemento del rango o imagen se le asocia con uno y solo un elemento del dominio, esto no se

asocia en la figura de la función que estamos respondiendo, donde al asignarle valores observamos que esto no se cumple y la imagen de ambos puntos tenemos el mismo dominio.

2. SOLUCIÓN a) ( f + g )( 0 )

( f + g )( 0 )=f ( 0 )+ g ( 0 ) ¿|0−5|+

2 0+3

¿|−5|+

2 0+3

¿|−5|+

2 3

¿ 5+

2 3

5 2 ¿ + 1 3 ¿

15+2 3

¿

17 3

( f + g )( 0 )=

b) ( fog ) ( 5 )

17 3

g (5 )=√ 5−1

¿ √ 5−1 ¿√4 ¿2 f ( 2 )=| x−5| ¿|x−5|

¿|2−5| ¿|−3|

¿3

( fog ) ( 5 )=3

3. SOLUCIÓN Sabemos que una función es biyectiva si esta, está a la vez es inyectiva y sobreyectiva, es decir si todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada y a cada elemento del conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjunto de salida. Ejemplo 1. La función f(x)= y = x-1 es al mismo tiempo, inyectiva y suprayectiva; por lo tanto es biyectiva. Ejemplo 2 f ( x )=2 x−3 Donde

x 1=2

y

x 2=−2

f ( 2 )=2 ( 2 )−3=1 f (−2 )=2 (−2 )−3=−7 f ( x 1 ) ≠ f ( x 2) Por lo tanto f ( x )=2 x−3 ⟾ es inyectiva Ahora para que se cumpla como una función biyectiva tiene que ser sobreyectiva, para esto tenemos que buscar el dominio y el rango. f ( x )=2 x−3 Domf =R

y=2 x−3 ⟾ x = Ran f =R

y +3 2

Como observamos tanto el dominio y el rango pueden ser números de los reales, o también podemos decir que el conjunto del dominio y el conjunto del rango pertenecen a los reales por lo tanto la función es sobreyectiva. f ( x )=2 x−3 ⟾ es sobreyectiva AL SER INYECTIVA Y SOBREYECTIVA PODEMOS DECIR QUE ES BIYECTIVA, como se muestra en el grafico. y

y= 2X-3

x