Cours Hydraulique PDF

INSTITUT DES TECHNICIENS SPÉCIALISÉS EN GÉNIE RURAL ET TOPOGRAPHIE DE MEKNÈS

COURS DE HYDRAULIQUE GÉNÉRALE

Pour les élèves techniciens spécialisés en Gestion & Maîtrise de l 'Eau (1° Année) (Polycopié étudiant et professeur)

M. ABDELLAH BENTALEB ANNÉE SCOLAIRE 2009 / 2010 (Édition Provisoire)

INSTITUT DES TECHNICIENS SPÉCIALISÉS EN GÉNIE RURAL

ET TOPOGRAPHIE DE

MEKNÈS / M. ABDELLAH BENTALEB

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FICHE DE PRÉSENTATION DU COURS DE HYDRAULIQUE GÉNÉRALE

Enseignant : M. Abdellah

BENTALEB.

Niveau : BTS 1° année Volume horaire : 100 h 1.

Objectif général : Initier l’apprenti à la notion des liquides et en particulier l’eau, leur écoulement, que ça soit sous pression ou à surface libre. Ainsi qu’une introduction aux appareils hydrauliques tels que (piézomètre, venturi, …) et aux machines hydrauliques telles que (pompes et turbines).

2.

Situation d’apprentissage : Cours + photos (et vidéo) + TD + devoirs

3.

Documents et matériels didacticiels : polycopié + tableau (et feutres) + photos (et films) +

+ tests + TP.

situation réelle (TP). 4.

Démarche pédagogique : Le cours au début (et mise à niveau) + (selon la situation) projection de photos (films) à discuter et finir avec les TP.

5.

Évaluation : des exemples d’application pendant le cours et exercices de réflexion en fin de chapitre (+ devoir), test de contrôle par chapitre, contrôle final.

6.

Documents et références bibliographiques : Internet, livres.

7.

Recommandations et observations : le cours est à faire : 

De préférence au début (ou en parallèle) avec d’autres cours techniques (Irrigation sous pression, gravitaire).



Et surtout avant de partir en stage.


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INTRODUCTION

Jusqu'à présent, vous n'avez fait que l'étude des forces des systèmes matérialisés (Exemple : étude de billes, ...). C'est à dire: o Étude de la statique. o Étude de la dynamique du point matériel, et par la suite, des systèmes matériels. C'est d'une façon générale, l'étude de la mécanique. Dans ce cours, il sera étudié une mécanique un peu spéciale, C'est la mécanique des liquides en générale, et celle de l'eau en particulier. Ainsi, l'eau, et contrairement à un système matérialisé, n'a pas une forme fixe, mais remplit la forme qui lui est donnée. Par conséquent, l'étude de la mécanique des liquides (et de l'eau en particulier) se divise en deux grandes parties:  

Étude mathématique. Étude expérimentale.

1.1 ÉTUDE MATHÉMATIQUE En un premier lieu, il y a l'étude mathématique, qui fera la suite de ce que vous avez fait auparavant. Ainsi, cette étude se décompose-en :

1.1.1 HYDROSTATIQUE L'hydrostatique est l'étude des liquides en équilibre (repos). C'est le cas des études de la stabilité des barrages (et tout ouvrage hydraulique d'une façon générale), sous l'effet des masses d'eau exerçant d'énormes forces de pression.

1.1.2 HYDRODYNAMIQUE L'hydrodynamique est l'étude des écoulements des liquides en mouvement, elle se décompose-en: 1.1.2.1 HYDRODYNAMIQUE DES LIQUIDES PARFAITS Pour simplifier l'étude au début, il sera supposé que le liquide soit parfait. C'est à dire, que les forces résistantes (frottements, ...) soient nulles. Ainsi, cette première approche donnera une idée sur la théorie des écoulements. 1.1.2.2 HYDRODYNAMIQUE DES LIQUIDES RÉELS Une fois l'étude simplifiée sera faite, l'étude de l'hydrodynamique des liquides réels sera entamée, vu que rien n'est parfait. A ce niveau, les forces résistantes ne seront plus négligées, et très vite, l'étude deviendra trop complexe. C'est à dire, elle aboutira à un ensemble d'équations qui ne peuvent pas être résolues facilement. D'où, le recours plutôt à des études simplifiées, reposantes sur des expériences beaucoup plus que sur la théorie mathématique.


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1.2 ÉTUDE EXPÉRIMENTALE Vu la complexité de l'étude précédente (étude mathématique), les hydrauliciens sont obligés à la compléter par les études expérimentales. Cette science portera le nom de l’HYDRAULIQUE, et développera un ensemble de lois simples qui :  

Remplacent la résolution des équations complexes de l'étude précédente (mathématiques). Donnent un ensemble de formules empiriques (approchées et non mathématiques) aboutissant à des solutions simples, non exactes ; mais bien adaptées.

Sur ce, le présent plan d'étude sera suivi pour étudier cette matière D'HYDRAULIQUE GÉNÉRALE en un volume horaire d'une centaine d'heures pour le cours, TD et TP. N.B: Ce cours sera complété par d’autres cours pour étudier:  

Les écoulements souterrains (voir hydrogéologie) Les turbines et pompes (voir machines hydrauliques)

Pour mieux suivre ce cours, il faudra maitriser auparavant: 

En cours de mathématiques o o o o o



En cours de physique o o o o o



La dérivée et le calcul des erreurs. Les intégrales et le calcul des surfaces. Les formes géométriques et la trigonométrie. Le calcul d'une moyenne de données, son écart type. Le calcul de la régression linéaire (méthode des moindres carrés)

Les systèmes des unités (S.I., ...) La composition et décomposition des forces. La loi fondamentale de la dynamique. Les énergies (Potentielle, cinétique, ...) L'équilibre d'un système matériel (en rotation)

En cours d’Excel (informatique) o o o o o o

Faire une feuille de calcul avec des formules et/ou des fonctions. Résoudre une équation (ou inéquation): valeur cible. Résoudre des équations (ou inéquations) à plusieurs variables: Solveur. Tracer un graphe à partir d'une feuille de calcul. Habiller un graphe. Déterminer l'équation de la régression linéaire

NOTA : Au cours du déroulement de ce cours, vous aurez à :    

Faire des devoirs (surveillés et / ou non) Passer des tests de connaissances Rédiger le compte rendu des Travaux Pratiques Passer les contrôles qui seront affichés régulièrement

Et le tout sera compté pour la note finale.


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Sur ce, le plan d’étude sera le suivant :

CHAPITRE

VOLUME HORAIRE

1. INTRODUCTION

2

2.

GÉNÉRALITÉS

4

3.

HYDROSTATIQUE

8

4.

CINÉMATIQUE DES LIQUIDES

4

5.

HYDRODYNAMIQUE DES LIQUIDES PARFAITS.

8

6.

HYDRODYNAMIQUE DES LIQUIDES RÉELS

16

7.

ÉCOULEMENT EN CHARGE.

14

8.

ÉCOULEMENT A SURFACE LIBRE.

15

9.

RÉCAPITULATION.

2

10. TRAVAUX PRATIQUES.

20

CONTRÔLES

8

VOLUME HORAIRE TOTALE

≈ 100

4


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GÉNÉRALITÉS

2.1 DÉFINITION Un fluide peut être considéré comme étant formé d'un grand nombre de particules matérielles, très petites et libres de se déplacer les unes par rapport aux autres. Un fluide est donc un milieu matériel continu, déformable, sans rigidité et qui peut s'écouler. Il en résulte que les liquides n’ont pas de forme propre, et ils se moulent à la forme du récipient qui les contient. Ainsi, et comme tout corps, les liquides ont un ensemble de propriétés qui les caractérisent:

2.2 EN HYDROSTATIQUE En hydrostatique, la force dominante est la force d’inertie (masse), qui se caractérise par le volume, et par la suite, on a:    

La masse volumique. Le poids spécifique. La densité. La pression.

2.2.1 MASSE VOLUMIQUE La masse volumique est la masse de l’unité de volume d’un corps donné, et qui se note par :

RHO  Masse Volume

 M V

Pour le cas de l’eau, on a en général,  ≈ 1 tonne/m3 Équation aux dimensions : Masse * Long –3 ; Soit en S.I, on a : Kg/m3 dans le système international (S.I) Exemple : Calculer la masse volumique  +/- Δ d’un liquide de volume V = 5 l +/- 0.005 l et de masse M = 4 kg +/- 10 g 800 +/- 2.8 Kg/m3 ρ = Masse / Volume = 4 kg/5 L = 4 000 Kg/5 m3 = 800 Kg/m3 Pour les erreurs, le plus simple est de passer par le logarithme. Ln ρ = Ln (M / V) = Ln M – Ln V Et la différentielle sera dρ / ρ = dM / M - dV / V En incertitude, le signe n’est jamais connu, par suite, le signe plus l’emporte. Soit : Δρ / ρ = ΔM / M + ΔV / V = 10/4 000 + 0.005/5 = 0.35% Δρ = 0.35% * 800 = 2.8 Kg/m3


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2.2.2 POIDS SPÉCIFIQUE Le poids spécifique est le poids de l’unité de volume d’un corps donné, et qui se note par :

PSI 

Poids Volume

  P V

Le poids spécifique est relié à la masse volumique par : Ψ

= g

Avec :  : Masse volumique en kg/m3, équation aux dimensions [M * L-3] g : Accélération en m/s/s, équation aux dimensions [L * T-2] Ψ : Poids spécifique en N/m3, équation aux dimensions [M * L-2 * T-2]. Pour le cas de l’eau, on a en général, Ψ ≈ 10 000 N/m3 Exemple : Calculer le poids spécifique d’un liquide de volume V = 5 l et de masse M = 10 Kg. On prend g = 10 S.I 20 000 N/m3 Il suffit d’appliquer tout simplement la formule : Ψ = P / V = Mg / V = 10 * 10 / 5 N/L = 20 N/L = 20 000 N/m3

2.2.3 DENSITÉ D’UN CORPS La densité d’un corps est un nombre sans dimension, qui exprime le rapport du poids (ou la masse) de ce corps au poids (ou la masse) d’un volume égal d’une substance prise comme référence. Pour les liquides, la substance de référence est l’eau prise à 4 °C

Masse de ce liquide Densité d’un liquide = Masse d’un égal volume d’eau Après transformation, et en fonction de la masse volumique, elle sera donnée par la formule suivante:

d= ρl / ρe Exemple : Calculer la densité d +/- Δd d’un liquide de masse volumique 0.95 +/- 0.05 Kg/l si on admet que celle de l’eau est 1 000 Kg/m3. 0.95 d = ρc ρe = 0.95 Kg/L * 1 / 1000 kg/m3 = 0.95 (Sans unité) Δd d = Δ ρc / ρe = 0.05/0.95 = 0.053 (Sans unité) Nota : Il faut toujours faire attention au changement des unités (et les transformations …).


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2.2.4 PRESSION La pression est le rapport de la force rapportée à la section qui la supporte:

Pr ession 

Force Section

Et ceci représente la pression moyenne, alors que la pression en un point sera la dérivée de la fonction force par rapport à la section qui la supporte.

P  dF

dS

Avec : F : Force en NEWTON → [M * L * T-2] et en S.I, c’est le newton N S : Section en m2 → [L 2] P : Pression en PASCAL → [M * L-1 * T-2] et en S.I, c’est le pascal Pa Unités utilisées en hydraulique : Bien se rappeler que : 1 Pa = 1 N/1 m2 (en système international) 1 Kgf / cm2 : Poids d’une masse de 1 kg sur une section de 1 cm2 1 mCE : l’équivalent de la pression exercée par une colonne d’eau de 1 mètre de hauteur. Exemple : Donner l’équivalence d’un Pascal en kgf/m2 et réciproquement. 1 Pa = 1 N/1 m2 = 0.1 Kgf/10 000 cm2 = 10-5 Kgf/cm2 1 Kgf / cm2 = 10 N/(0.01)2 m2 = 10/10-4 N/m2 = 105 Pa Remarque : Il faudra faire attention aux unités ; et surtout, ne pas oublier de les noter.

2.2.5 MODULE D’ÉLASTICITÉ Le module d’élasticité exprime la compressibilité d’un liquide : C’est le rapport de la variation de la pression à la variation du volume par unité de volume.

E



dP dV

V

Avec : E : Module d’élasticité en kg/ms2→ [M * L-1 * T-2] dP : Variation de la pression en Pascal. →[ M * L-1 * T-2] dV et V : Variation du volume et le volume en m3. → [L3] Remarque : L’équation aux dimensions du module d’élasticité est équivalente à celle de la pression. C’est le [M*L-1 * T-2]


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En général, il est admis que la compressibilité de l’eau est négligeable. Mais, pour l’étude de quelques cas particuliers (Étude du coup de bélier par exemple), cette variation est prise en considération Bien remarquer que dP et dV sont de signe contraire, c’est à dire :  Quand (P ↑ → V ↓) ↔ (Δ P > 0 → ΔV < 0)  Quand (P ↓ → V ↑) ↔ (Δ P < 0 → ΔV > 0) Exemple : calculer le module d’élasticité d’un liquide, si on a un volume de 30 dm3 à la pression de 35 kgf/cm2 et un volume de 29.7 dm3 à la pression de 250 kgf/cm2. 2.15 * 109 Pa Δ P = 35 - 250 = - 215 kgf/m2 ΔV = 29.7 - 30 = 0.3 dm3 ΔP 215 E= = ΔV / V 0.3 / 30

= 21 500 kgf/cm2 = 2.15 * 109 Pa (Attention aux unités)

2.3 EN HYDRODYNAMIQUE Si en hydrostatique, la force de l’inertie est la force dominante, en hydrodynamique, la force dominante est la résultante des forces résistantes à l’écoulement. Ainsi, ces forces résistantes (de frottement) se décomposent- en: 

Frottements entre molécules du liquide entre elles quand elles se déplacent, C’est la force de viscosité.



Frottements entre molécules du liquide et la paroi qui supporte l’écoulement du liquide, C’est la force de rugosité.

2.3.1 FORCE DE VISCOSITÉ Les forces de viscosité représentent des forces résistantes aux efforts tangentiels qui tendent à faire déplacer les couches du liquide les unes par rapport aux autres.

2.3.2 FORCE DE RUGOSITÉ Les forces de rugosité représentent des forces résistantes dues à l’interaction entre les molécules du liquide et la paroi qui les supporte lors de l’écoulement. Exemple d’illustration : Dans un écoulement à travers un canal ou plutôt un oued, vous remarquez qu’en conséquence de ces deux notions de viscosité et rugosité, on a :  

La vitesse au bord de l’oued est presque nulle. Alors que la vitesse au centre est maximale.


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EXERCICES Objectifs : Se familiariser avec les unités et les changements d’unité Exe 1 : Calculer la masse d’un liquide M +/- ΔM de volume V = 5 l +/- 0.01 l et de masse volumique 0.84 kg/dm3 (= une constante) = 4.2 +/-0.008 kg

Exe 2: Calculer le volume d’un liquide de masse volumique 1.04 kg/dm3 et de masse M = 1.02 t = 0.98 m

3

Exe 3 : Calculer le poids d’un liquide de volume V = 5 m3 et de poids spécifique = 100 N/l.

Exe 4 : Calculer le volume d’un liquide V de poids 4.5 kgf et de poids spécifique 90 N/l.

= 500KN

=0.5 L

Exe 5 : Calculer le poids spécifique d’un liquide de masse volumique = 0.85 Kg/l si on admet que l’accélération terrestre g = 9.81 m/s/s. Vérifier l’équation aux dimensions ! ? = 8.34 N/L

Exe 6 : Calculer la masse volumique d’un liquide de densité 1.02 si on admet que la masse volumique de l’eau est 1 Kg/l. = 1.02 Kg/L

Exe 7: Calculer la pression qu’exerce une force F = 120 kgf sur une section de rayon R = 5 cm. =150 Pa

Exe 8: Calculer la force exercée si la pression est 1.5 Pa sur une section carré de coté C = 0.5 m = 0.375 N

Exe 9 : Calculer la section (en cm2) qui supporte une pression es 1.5 Kgf/cm2 si la force exercée 2 est de F = 125 N. = 8.3 cm


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EXERCICE DE RECHERCHE On vient de voir que 1 Pa = 10-5 Kgf/cm2. Calculer sur ce principe de raisonnement ce qui suit :

1. Calculer 1 Pa en mCE P = 1 Pa = ρg * h →h = P / ρg = 1 Pa/1 000 Kg/m3/10 m/m/s = 10-4 mCE 2. Calculer 1 mCE en Pa P = ρg * h 1000 Kg/m3 * 10 m/m/s * 1 mCE = 10-4 mCE 3. Calculer 1 Kgf/cm2 en mCE P = F / S = 1 Kgf/1 cm2 = 10 N (0.01 m) 2 = 10 N/(0.01 m) 2= 10 5 Pa Or 1 Pa = 10-4 mCE Soit : 1 Kgf/1 cm2 = 10 5 * 10-4 = 10 mCE 4. Calculer 1 mCE en Kgf/cm2

5. Faire le tableau résumé

1 Pa 1 Kgf/cm2 1 mCE

Pa -----105 104

Kgf/cm2 10-5 -----0.1

mCE 10-4 10 -----


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HYDROSTATIQUE

3.1 PRESSION EN POINT Soit un vase contenant un liquide, de poids P. Ce poids exerce une pression sur un élément de surface de la paroi. On définit la pression moyenne par le rapport de ce poids sur la section correspondante à ce poids.

Pression = Poids / Surface = ρg H Et d’une façon générale, on a

Pression = Force / Surface Et, mathématiquement, on en un point par la dérivée de la force par rapport à la section, soit :

Pression = d (Force) / d (Surface) Remarque : Pour simplifier les calculs, la force (ou poids) est prise perpendiculaire à la section sur laquelle elle s’exerce. Si le vase contient plusieurs liquides superposés de haut en bas, la pression aux niveaux 1, 2, 3, … sera : P1 = ρ1gH1 P2 = ρ1gH1 + ρ2gH2 P3 = ρ1gH1 + ρ2gH2 + ρ3gH3

Niveau 1 Niveau 2

GÉNÉRALISATION Niveau 3

P = ΣPi = = Σ ρigHi EXEMPLE : Soit un réservoir contenant des liquides non miscibles (voir tableau) : 1. Superposer les liquides correctement dans le réservoir. 2. Calculer la pression au fond de chaque liquide superposé dans le réservoir.

H Ρ

L1 0.255 m 1.05 kg/l

L2 26.4 cm 1.150 kg/l

L3 4.56 dm 0.800 t/m3

L4 125 mm 0.650 kg/dm3


Il suffit d’appliquer la formule niveau des liquides. P4 = ΣPi = Σ ρigHi =

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P = ΣPi = Σ ρigHi à différent L4

650 * 10 * 0.125

P3 = ΣPi = Σ ρigHi =812.5 + 800*10*0.456

= 812.5 Pa = 4 460.5 Pa

L3

= 7 138 Pa

L1

P1 = ΣPi = Σ ρigHi = P2 = ΣPi = Σ ρigHi = . . . .

L2

. N.B : Bien faire attention aux unités CAS PARTICULIER : Si le liquide supérieur est soumis à une pression donnée Pd, la formule de la pression devient selon le même principe :

P   Pi   g  i H i  Pd 3.2 PRESSION ATMOSPHERIQUE Si on remplace le conditionnement précédant, par la pression atmosphérique, aura-t-on le même résultat ? Pour répondre à la question précédente, faisons l’expérience suivante. La pression atmosphérique est la pression qui nous entoure, pour la mettre en évidence et la mesurer, renversant un tube à essai (éprouvette) rempli de mercure sur une cuve de mercure aussi. La hauteur du liquide diminue dans l’éprouvette et fait créer du vide en haut de celle ci (vu qu’il ne peut y entrer Par suite, la hauteur du mercure dans l’éprouvette se stabilise à une hauteur (par rapport à la surface du mercure dans la cuve) h ≈ 76 cm. Ainsi, on détermine la pression atmosphérique par cette hauteur.

Patmos = 76 cm Colonne de Mercure. Exemple : Calculer la pression atmosphérique en pascal, kgf/cm2 et en mCE, si on vous donne la densité du mercure d = 13.6. Patmos = 76 cm Colonne de Mercure = ρm * g * Hm → Ce qui définit une atmosphère. Par expérience, on a Patmos = 76 cmCHg (au niveau de la mer)


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Patmo = ρm * g * Hm = ρe * g * He. Soit : He = ρm / ρe * Hm = d * Hm = 10.34 mCE Et de la même façon, on a : Patmo = ρm * g * Hm = 1 000 * 9,81 * 10,34 = 103 360 Pa ≈ 105 Pa = 1 atmosphère 5

En conclusion : 1 Atmosphère = 10.34 mCE = 0.76 mCHg ≈ 10

Pa

Remarque : Noter le passage d’une unité à une autre

3.3 PRESSION RELATIVE, ABSOLUE Revenons à l’expérience précédente, la pression au fond du vase, est la pression absolue ; Soit, on a la formule de la façon suivante :

Pab = ρgH + Pat

Dans la pratique, et en hydraulique en particulier, il ne sera pris en compte que la pression relative correspondante à la hauteur en eau. C’est à dire que la pression atmosphérique n’est pas prise en considération ; et on a :

Pat = 0 Prel = ρgH 0

Patmos

Pab

0

Prel

Attention : Il y a un changement d’origine sur l’axe.

EXEMPLE 1 Calculer la pression relative et absolue au fond d’un vase de hauteur h = 1.3 m. (On vous donne si la densité du liquide d = 1), en mCE, Pascal et en Kgf/cm2. g = 10 S.I Rappel : Le liquide qui a une densité d = 1 est le liquide de référence : C’est l’EAU Prel =1.3 mCE = ρe * g * He = 1 000 * 10 * 1, 3 = 13 000 Pa Pab = Prel + Patmos = 1,3 + 10,34 = 11.64 mCE = 1 000 * 10 * 11,64 = 116 400 Pa EXEMPLE 2 : Calculer la hauteur d’un liquide qui provoque une pression relative 21.04 mCE si la densité de ce liquide est d = 1.3 La pression est toujours donnée par la formule : P = ρe * g * He = = ρl* g * Hl D’où, on déduit que :

et

d = ρl / ρe

Hl = (ρe / ρl) * He Soit

Hl = He / d = 21,04 / 1,3 = 16.18 mCL


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3.4 VASES COMMUNICANTS 3.4.1 PRINCIPE DE PASCAL Dans un liquide incompressible en équilibre, les variations de pression se transmettent intégralement et en tout sens.

3.4.2

LA PRESSE HYDRAULIQUE

Considérons deux vases communicants, et contenant un liquide incompressible, où sont placés deux pistons mobiles, sans frottement, de même section que le vase ( S et s ) et de poids F et f. Pour quelles pressions P et p aura-t-on h = 0 ? Sous le grand piston, on a une pression P = F / S Sous le petit piston, on a une pression p = f / s Vu le principe de Pascal, on a : P + ρgh = p Soit : P – p = ρgh Et pour P = p, h = 0 : C’est-à-dire que les deux pistons sont à la même verticale (le niveau du liquide dans le vase communicant est le même). EXEMPLE :

Calcul de la force de freinage d’un véhicule

Calculer la force de freinage F appliquée sur un véhicule, si le conducteur applique une force sur la pédale de freinage f = 10 N ≈ 1 Kgf. On vous donne s = 1 cm2, S = 1 dm2 On admet qu’avant le freinage du véhicule, le système hydraulique de freinage était en équilibre.

Le système hydraulique de freinage est un système fermé, si on applique une force f sur la section s. Au niveau des roues, il s’applique une force F sur une section S du vase communicant. Par suite, on a: F / S = f / s D’où, on déduit: F = f * S / s = 10 N * 1 dm3/1 cm3 = 1000 N ≈ 100 Kgf

3.5 NOTION DE L’ÉQUILIBRE 3.5.1 PRINCIPE PHYSIQUE Un objet est en équilibre, veut dire que :  

Il ne subit pas de translation. Il ne subit pas de rotation (non plus)


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3.5.2 ÉQUATIONS DE L’ÉQUILIBRE Ce principe de l’équilibre se traduit par :

ΣF = 0 pas de translation Σ MF / 0 = 0 pas de rotation

 

3.6 NOTION DU CENTRE DE GRAVITE 3.6.1 PRINCIPE DE L’ÉQUILIBRE Appliquons ces notions de l’équilibre pour trouver le centre de gravité d’un corps donné ; dans un repère cartésien. On définit le centre de gravité G, par le vecteur OG, de composantes XG, YG et ZG, en fonction du moment de force (le poids par YG exemple dans de cas) par :

 dm * x , Y   dm * y et  dm  dm XG dx Sur  ce, ce paragraphe expose de cas simples pour se préparer aux exemples pratiques qui

XG 

G

se rencontrent en hydraulique.

3.6.2 CENTRE DE GRAVITE D’UNE BARRE Si on considère que la barre est homogène, c’est à dire que la masse est bien répartie sur sa longueur ; On définit la masse linéaire par :

L

λ = M / L = dm / dx = Cste . Par suite, on a : L

XG 

  x * dx

 dm * x    * x * dx   dm   * dx

0 L

Xg L

= L/2

  dx

Dx

0

Xg = L / 2

3.6.3 CENTRE DE GRAVITE D’UN RECTANGLE Si on considère que le rectangle est homogène, c’est à dire que la masse est bien répartie sur sa surface ; On définit la masse surfacique par : L ste σ = M / S = dm / dS = C . Par suite, on a : XG 

  * H * x * dx   * H * dx

=



L

0

x * dx



L

0

= L/2 dx

XG = L / 2 Idem on démontre que YG = H / 2

Yg

H XG Xg

dx dx


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3.6.4 CENTRE DE GRAVITE D’UN TRIANGLE Si on considère que le triangle est homogène, c’est à dire que la masse est bien répartie sur sa surface ; On définit la masse surfacique par : σ = M / S = dm / dS = Cste . Par suite, on a comme pour le rectangle

XG 

  * h * x * dx   * h * dx

 =

L

0

ax * x * dx



L

0

H ax * dx

Yg

Avec : a = le coefficient de la pente tel que a = H / L.

dx

Une fois l’intégrale faite, on trouve : XG = 2 * L / 3

Xg L

Idem, on démontre que : YG = H / 3

3.6.5 AUTRES EXEMPLES Soit à calculer le centre de gravite des figures suivantes :

Xg = L / 3 ? Yg = H / 3

Xg = 2 * L / 3 ?

?

Yg = 2 * H / 3 ?

3.7 CALCUL DE FORCES DE PRESSION 3.7.1 SUR LE FOND D’UN VASE On définit la pression sur le fond, pour un élément de surface du vase par : P = d(Force) / d(Surface) = d(Poids) / d(surface) = ρgH H d(Force) = ρgH * d(surface) = ρgH * ldx Force = ρ*g*H* l* dx = ρ*g*H*l*L = ρ*g*H*S = ρ*g*V = g*m = poids La force qui s’exerce sur le fond d’un vase est le poids en eau que contient ce vase.

L

dx


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3.7.2 SUR LA PAROI D’UN VASE On définit la pression sur la paroi du vase par : P= ρgh avec h qui varie de zéro (à la surface de l’eau) jusqu’à h = H (fond du vase)

l

d (Force) = ρgh * d(surface) = ρgh * ldh

h H

Force = ρ*g * l* h* dh =1/2 * ρ*g* *l * H2 = ρ * g * SL * H/2 avec SL = H * l La force qui s’exerce sur la paroi d’un vase s’exprime par :

L

Force = ρ*g*SL*H/2 avec SL = H*l * Surface latérale EXEMPLE : Une vanne hydraulique ayant les dimensions H = 1.5 m, L = 2 m ; fait face à l’écoulement de l’eau à travers un canal. Quand le débit devient nul, la hauteur de l’eau dans le canal devient H = 1.2 m. Calculer : 1. La section de la vanne faisant face à l’écoulement. S = H * L = 1.2 * 2 = 2.4 m2 2. La force de pression de l’eau qui s’exerce sur la vanne Fp = ρ * g * SL* H / 2 = 1 000 Kg/m3 * 10 m/s/s * 2.4 m * 0.6 m = 14 400 N 3. Faire un schéma représentant la force de poussée.

3.8 CENTRE DE POUSSEE D’ARCHIMEDE 3.8.1 PRINCIPE  

Quand un corps solide se trouve dans un liquide, il est sous l’action de deux forces : Son poids Pm = mg, qui s’applique au centre de gravité G La poussée du liquide PL, égale au poids de ce liquide déplacé, qui s’applique au centre de carène C

Pour que le corps soit en équilibre dans l’eau, il faut et il suffit que le poids de ce corps soit égal à celui du liquide dont il tient la place, et que le centre de gravité du solide et le centre de carène soient sur la même verticale.


ET TOPOGRAPHIE DE


PL

Pour qu’en outre l’équilibre soit stable, il suffit que le centre de gravité G soit au-dessous du centre de carène C Si dans ce cas, le corps subit un petit déplacement, le couple formé par (Pm et PL) détermine une rotation qui ramène ainsi le corps à sa position d’équilibre. D’une manière générale, soit V le volume de ce corps solide immergé, ρm sa masse volumique, et ρL la masse volumique du liquide ; il vient : Pm = ρm g V

18

Pm

PL= ρLg V

Et par suite, on a :  Pour ρm > ρL, le corps est soumis à la force Pm - PL qui le fait descendre dans le liquide.  Pour ρm < ρL, le corps est soumis à la force PL - Pm qui le ramène à la surface du liquide, où il flotte. Exemple : 1. Un bateau (construit en fer) va-t-il flotter ou non ? 2. Et s’il est rempli en eau entièrement, va-t-il flotter ou non ? 3. Justifier vos réponses !

3.8.2

CALCUL DU CENTRE DE POUSSEE

 Soit un vase rempli en eau dont on veut déterminer le centre où s’applique la poussée de l’eau.  Est-ce que ce centre de poussée est confondu avec le centre de gravité ?  Si non, déterminer les coordonnées de ce centre.

3.8.2.1PROJECTION SUR LE FOND D’UN VASE Soit une colonne en eau, de hauteur H, de largeur l et de longueur dx. Son volume sera : dV = l * H * dx et exerce une pression au fond du vase telle que :

l

Pr = d(poids) / d(section) = ρg * dV / dS Pr = ρg * dV / dS = ρg * lH*dx / ldx = ρgH Et par suite, l’élément de force sera : dF = Pr * dS = ρgH * ldx Et son élément de moment sera par rapport au centre :

 dM

L

dF

/0   (  gH ldx) * x    gHlx *dx

H

dx O

L

= ρg HlL 2/ 2 = ρg * HlL* L / 2 = poids * L / 2

0

En conclusion; les coordonnées du centre de poussée, sur le plan x0y sont : L / 2 et l / 2


ET TOPOGRAPHIE DE


19

3.8.2.2 PROJECTION SUR LA PAROI D’UN VASE L

H dH L

3.9 NOTION D’APPAREIL DE MESURE 3.9.1 MESURE DE LA VARIATION DE PRESSION La mesure de la pression peut se faire par l’installation de tube vertical à travers lequel l’eau pourra monter librement. C’est ce qui s’appelle un tube piézométrique et qui sert à mesurer la pression en un point de la conduite. Grâce à un tube piézométrique, la ligne piézométrique pourra être matérialisée point par point. Remarque Dans la pratique, la pression risque d’être trop grandes (quelques dizaines de mètres colonne d’eau), ce qui rend l’utilisation des tubes piézométrique inadaptées. D’où le recours à des systèmes qui donnent directement la variation de pression dont l’utilisateur a besoin, (comme dans de pareil cas), et surtout qui se manifestent par des dimensions faibles.

3.9.2 MANOMÈTRE DIFFÉRENTIEL C’est un appareil (tube) en forme de ‘U’ dont les deux bouts sont reliés aux points de mesure des pressions. Le liquide qu’il contient est du mercure (d = 13.6) qui lui permet d’avoir des dimensions relativement faibles. Au niveau du tube de mercure, on a : P3 = P1 + ρeg ΔZ P4 = P2 + ρmg ΔH + ρeg (ΔZ - ΔH) Par suite, on a : P3 - P4 = P1 - P2 + (ρe - ρm) g ΔH Or, P3 = P4 : Ces deux points se trouvent au même niveau et dans le même liquide. Et en appliquant le théorème de Pascal, on a : P1 - P2 = (ρm - ρe) g ΔH Par la suite, la variation de pression dans le venturi entre les points P1 et P2, est :

P1  P 2   H (  m  1 ) , Soit en conclusion :  eg e

P

1



 e

P g

2



12

.6  H

N.B : La pression au point 1 (où la conduite est de grand diamètre) est plus grande qu’au point 2 (où la conduite est de petit diamètre)


ET TOPOGRAPHIE DE


20

Exemple : Soit une conduite qui forme de tube de Venturi. En y appliquant un manomètre différentiel, (voir fig) le mercure enregistre une variation de niveau de 15 cmCHg dans les branches en U. Calculer la variation de pression correspondante en mCE. En appliquant la formule, on a : Δ P / ρg = 12.6 * ΔH = 12.6 * 0.15 cmCHg = 1.89 mCE Attention : Bien faire la vérification de l’équation aux dimensions ! ? .


4

ET TOPOGRAPHIE DE


21

CINÉMATIQUE DES LIQUIDES

4.1 DÉFINITION C'est l'étude du mouvement d'un liquide sans tenir compte des forces qui le produisent, on a seulement la relation entre le vecteur espace (position de la particule) et le temps.

4.2 TRAJECTOIRE D'une façon générale, la trajectoire est l'ensemble des lieux géométriques des positions successives occupées par la particule (ligne de courant). Au cours du trajet de la particule, la vitesse, la pression,... de la dite particule varient avec l'espace et le temps ; on a ainsi :  La pression = f (x, y, z, t).  La vitesse = f (x, y, z, t).

4.3 RÉGIME PERMANENT Le régime permanent est défini à chaque fois qu’on a une indépendance entre l'écoulement et le temps ; c'est à dire :

 la masse volumique   f(t)  la vitesse u  f (t)  la pression p  f (t)

Mais, La masse volumique, la vitesse et la pression peuvent être fonction de l’espace. Càd :  = f (x, y, z), u = f (x, y, z) et p = f (x, y, z)

Ainsi, pour un régime permanent, la masse volumique , la vitesse u et la pression p NE dépendent QUE de la position considérée dans l'ensemble du liquide en mouvement.

4.4

RÉGIME UNIFORME

Le régime uniforme est défini à chaque fois qu’on a une indépendance entre l'écoulement et l'espace ; c'est à dire :

 la masse volumique   f (x, y, z)  la vitesse u  f (x, y, z)  la pression p  f (x, y, z)

Mais, La masse volumique, la vitesse et la pression peuvent être fonction du temps. Càd :  = f (t), u = f (t) et p = f (t)

Ainsi, pour un régime uniforme, la masse volumique , la vitesse u et la pression p NE dépendent QUE du temps et non de la position considérée dans l'ensemble du liquide en mouvement.


4.5

ET TOPOGRAPHIE DE


22

RÉGIME PERMANENT ET UNIFORME Pour le régime permanent et uniforme, l'écoulement NE dépend :  Ni du temps (notion du régime permanent)  Ni de l'espace (notion du régime uniforme).

C'est à dire :  La masse volumique   f (x, y, z, t) = constante  La vitesse u  f (x, y, z, t) = constante  La pression p  f (x, y, z, t) = constante

4.6 ÉQUATION DE LA CONTINUITÉ L'équation de la continuité exprime que l'écoulement du liquide est continu, c'est à dire ; Qu'il ne peut y avoir :  Ni apport extérieur d'un volume donné à ce liquide  Ni prélèvement d'un volume donné de ce liquide. En d'autres termes, la masse du liquide se conserve au cours du mouvement.

4.6.1 CAS D'UN LIQUIDE INCOMPRESSIBLE En se limitant à l'eau, comme un liquide incompressible, (en première approximation), l'équation de la continuité se traduit par: u / x + v / y + w / z = 0 avec u, v et w sont les composantes de la vitesse U dans le repère Oxyz

4.6.2 LUIDE INCOMPRESSIBLE EN ÉCOULEMENT UNIDIRECTIONNEL Dans la pratique, les écoulements de l'eau se font dans des conduites (tuyaux et / ou canaux), c'est à dire que les écoulements ont en général, une seule direction dans leur sens d'écoulement. Par suite, la vitesse U (u, v, w) devient tout simplement : U (u, 0, 0). En réalité, les composantes v et w ne sont nulles, mais négligeables devant la composante principale u. Autrement dit :  

L’eau ne peut s’écouler que le long de la conduite. Les composantes diamétrales v et w ne sont pas significatives


ET TOPOGRAPHIE DE


23

En résumé : L'équation de la continuité appliquée à un fluide incompressible (l'eau dans ce cas) en écoulement à travers une conduite (en écoulement unidirectionnel) devient : v = 0, w = 0 et par suite u / x = 0 ; Soit

4.7

U (u = Cte, v = 0 et w = 0)

NOTION DE DÉBIT

4.7.1 DÉBIT VOLUMIQUE On définit le débit comme étant le flux du vecteur vitesse 'u' à travers une section 's' tel que :

Q = U * S = U * S * Cos  Avec:



U S

U : vitesse de l'écoulement du liquide en m/s ; [L] * [T-1] S : section à travers laquelle se fait l'écoulement en m2 ; [L2] 3 3 -1 Q : débit volumique en m /s ; [L ] * [T ]  : Angle que fait la vectrice vitesse avec la normale à la section. Dans la pratique : On considère que la vectrice vitesse est parallèle à la vectrice section ; d’où, on admet que

  0° et par suite : Cos

1

Remarque : Souvent, on mesure aussi le débit en l/s, l/mn, l/h, m3/h, m3/j,...

4.7.2 DÉBIT MASSIQUE Comme le débit volumique, on définit aussi le débit massique par Qm tel que :

Qm =  * Q =  * U * S Exemple : Soit une conduite de diamètre D = 60 mm à travers laquelle s'écoule un liquide (eau) avec une vitesse V = 1.2 m/s *1 Calculer la section de la conduite

2.83 * 10-3 m2

S =  * D2 / 4 = π * 0.062 / 4 = 2.83 * 10-3 m2 *2 Calculer le débit volumique en m3/s et en l/h

3.39 * 10-3 m3/s

Q = S * U = 2.83 * 10-3 * 1.2 = 3.39 * 10-3 m3/s Q = 3.39 * 10-3 * 1000 / 3 600 = L/h


ET TOPOGRAPHIE DE


24

*3 Calculer le débit massique Qm =  * Q = 1000 * 3.39 * 10-3 = 3.39 kg/s

RELATION DÉBIT VOLUME

4.7.3

Par intégration de l'équation de la continuité Q = U * S, on a : Q * dt = U * S * dt = S * dL = dV (Variation de volume) Soit: Le débit peut s'exprimer aussi par la dérivée du volume écoulé rapporté au temps correspondant.

Q = dV / dt = V / t

Avec :

V : volume écoulé en m3 ; [L3] t : temps correspondant à l’écoulement en s ; Q : débit volumique en m3/s ; [L3] * [T-1]

[T]

Exemple : Pour avoir un ordre de grandeur du débit écoulé à travers un conduite, on place un cylindre de diamètre D = 20 cm +/- 1 cm, et de hauteur H = 50 cm +/- 1 cm qui se remplit au bout d'un temps chronométré T = 10 s +/- 1 s *1 Calculer le volume du cylindre

0.016 m3

V =  * D2 / 4 * H =  * 0.22 / 4 * 0.5 = 0.016 m3 *2 Calculer l'erreur de mesure du volume du cylindre

12 %

Ln V = Ln  / 4 + 2 * Ln D + Ln H dV / V = 2 * d D / D + d H / H et en passant à l'erreur, on a : V / V = 2 * 1 / 20 + 1 / 50 = 12 % *3 Calculer le débit écoulé à travers le robinet

1.6 L/s

Q = V / T = 0.016 / 10 = 1.6 L/s *4 Calculer l'erreur de mesure du débit écoulé à travers le robinet

22 %

Q / Q = V / V + T / T = 12% + 10% = 22 % *5 Comment peut-on augmenter la précision ? Pour augmenter la précision, on a intérêt à : o

Augmenter la précision des mesures du cylindre qui a donné une erreur de 12 % en premier lieu.

o

Et par la suite augmenter la précision du temps qui a donné une erreur de 10 %.

 Soit ; globalement, on a une erreur de 22 %


ET TOPOGRAPHIE DE


25

4.7.4 ÉQUATION DE LA CONTINUITÉ L'équation de la continuité simplifiée (ou transformée) dans une conduite ou un canal de diamètre constant s'exprime par la constance du débit

Q = U1 * S1 = U2 * S2 = U3 * S3 = … = Cste En résumé: Dans tout ce qui suit, il ne sera traité que les écoulements permanents. Les écoulements non permanents seront traités juste pour expliquer un phénomène existant et passager tel que la notion du coup de bélier (voir Station de pompage).

EXEMPLE: Soit une conduite, qui transite un écoulement d'eau avec une vitesse V = 0.8 m/s, ayant un diamètre D = 600 mm. *1 Calculer la section de la conduite.

0.28 m2

S =  * D2 / 4 =  * 0.62 / 4 = 0.28 m2 *2 Calculer le débit (en l/s, l/h, m3/s, m3/h) 0.224 m3/s

806 400 l/h

Q = U * S = 0.8 * 0.28 = 0.224 m3/s Q = 0.224 * 1 000 = 224 l/s Q = 224 * 24 * 3 600 = 806 400 l/h Q = 806 400 / 1 000 = 806.4 m3/h Remarque : Faites attention aux changements des unités *3 Calculer la vitesse si le diamètre de la conduite passe à D = 500 mm Q = U1 * S1 = U2 * S2 = U1 *  * D12 / 4 = U2 *  * D22 / 4 = U1 * D12 = U2 * D22 Soit : U1 = U2 * D22 / D12 = 0,8 * 6002 / 5002 = 1,15 m/s


ET TOPOGRAPHIE DE


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EXERCICES Exe 1 : Quelle est la vitesse de l’huile qui s’écoule dans une conduite de 15 cm de diamètre si le débit est de 3 800 kg / j. On admet que la masse volumique de l’huile est 0.8 kg / L 0.003 1 m / s

Appliquons l'équation de la continuité Q = U * S, d'où on tire : U = Q / S avec : La section est S =  * D2 / 4 =  * 0.152 / 4 = 0.0177 m2 Le débit volumique s'exprime en fonction du débit massique par : Qm =  * Qv. D’où: Qv = Qm /  = 3 800 kg/j / 800 Kg/m3 = 4.75 m3/j = 4.75 / 86400 = 0.055 *10-3 m3/s =0.055 L/s Soit enfin de compte U = Q / S = 0.055 * 10-3 / 0.0177 = 0.0031 m/s

Exe 2 : De quelle taille devra être un tuyau qui fera écouler un débit de 7200 m3/h si la vitesse sera de 3.0 m/s 0.921 m Appliquons l'équation de la continuité Q = U * S, d'où on tire : S = Q / U avec = π * D2 / 4. Soit D = 2 * (Q / π * / U) 1/2 App.Num

D = 2 * (7 200 / 3 600 m3 / s / π / 3) 1/2 = 0.921 m

Exe 3 : Soit un canal rectangulaire de lit L = 100 cm et de tirant d’eau H = 50 cm qui transite un débit Q = 4 160 m3/h. H

1. Calculer la vitesse de l’écoulement 2.3 m/s 2. Quel est le tirant d’eau si le débit passe à 4 000 m3/h sans que la vitesse change. 0.48 m L 1. La section étant rectangulaire, S = L * H = 1 * 0.5 = 0.5 m2 Par suite U = Q / S = (4160 / 3600) / 0.5 = 2.3 m / s 2. Le calcul inverse sera S = L * H = Q / U. D'où on tire H = (Q / U) / L = 4000 / 3600 / 2.3 / 1 = 0.48 m


ET TOPOGRAPHIE DE


Exe 4 : Soit une conduite qui débite 10 L/s. Déterminer la vitesse U1 et le diamètre D2 si on a D1 = 100 mm et U2 = 3.54 m/s. Calculer le volume écoulé en 1 h 30 mn

54 m3

Appliquons l'équation de la continuité Q = U * S, d'où on tire : S = Q / U avec S = π * D2 / 4. Soit D2 = 2 * (Q / π / U2) 1/2 = 2 * (0.01 / π / 3.54) 1/2

= 0.06 m = 60 mm

Soit : U1 = 4 * Q / π / D12 = 4 * (0.01 / π / 0.12) = 1.27 m/s V = Q * t = 0.010 * (3600 * 1.5) = 54 m3 Exe 5 : Soit une conduite le diamètre D1 = 100 mm, U1 = 2 m/s et D2 = l'équation 60 mm. Déterminer la vitesse Appliquons de la continuité Q = U2, U * le S, débit avecQS et = le π * D2 / 4 3 débit massique Qm si la masse volumique est 1.25 t / m 5.56 m/s Q =16 U1L/s * π *19.64 D12 / kg/s 4 = U2 * π * D22 / 4 d'où, on tire que U1 * D12 = U2 * D22 Soit: U2 = U1 * (D1 / D2)2 = 2 * (100 / 60)2 = 5.56 m/ Q = U1 * π * D12 / 4 = 2 *  * 0.12 / 4 = 0.016 m3/s = 16 L/s Qm = ρ * Qv = 1250 * 0.016 = 19.64 kg/s Exe 6: Un tuyau de diamètre D1 = 15 cm transportant un débit Q = 254 L/s, se ramifie en 2 branches de diamètres D2 = 5 cm et D3 = 12 cm. Calculer la vitesse V3 si V2 est égale à 0.12 m/s Appliquons l'équation de la continuité Q2 = U2 * S2, avec S2 = π * D22 / 4 Q2 = U2 * π * D22 / 4 = 0.12 * π * 0.052 / 4 = 0.236 m3/s = 236 l/s ET Q3 = Q1 - Q2 = 254 - 236 = 18 L/s Soit en fin de compte U3 = 4 * Q3 / π / D32

= 4 * (0.018 / π / 0.122) = 1.38

m/s

27


ET TOPOGRAPHIE DE


Exe 7: Soit un canal trapézoïdal de lit L = 40 cm, de tirant d’eau H = 50 cm et de pente de talus = 45° qui transite un débit Q = 3000 m3/h 1. Calculer la section offerte à l’écoulement 0.45 m2 2. Calculer la vitesse moyenne de l’écoulement 1.85 m/s 3. Quel est le tirant d’eau si le débit passe 2500 m3/h et on admet que la vitesse reste constante. 0.45 cm

1. S = Sr + 2 * St = L* H + 2 * H * H / 2 = H * (L + H) = 0.5*(0.4+0.5) = 0.45 m2 2. U = Q / S = 3000 / 3600 / 0.45 = 1.85 m/s 3. S = Q / U = 2500 / 3600 / 1.85 = 0.375 m2, D'où on tire : H2 + 0.4*H - 0.375 = 0 équation du second degré qui donne H = 0.45 cm

Exe 8: Soit un canal semi circulaire de rayon R = 20 cm, dont on veut savoir le débit qui s’écoulera à travers celui-ci. 1. Calculer la section offerte à l’écoulement 0.063 m2 2. On place un flotteur que l’eau emporte sur une longueur de 50 m en un temps t = 60 s. Calculer la vitesse approximative de l’eau 0.833 m/s 3. Quel est le débit écoulé ? 52 l/s

1. S = (ρ * D2 / 4) / 2 = 0.063 m2 2. Uap = L / T = 50 / 60 = 0.833 m/s 3. Q = U * S = 0.833 * 0.063 = 52 l/ s

Exe 9 Expliquer pourquoi un fillet liquide se rétrécit dans sa chute?

28


ET TOPOGRAPHIE DE


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Applications 1. Longueur de regard de chute Soit un canal demi-circulaire qui transite un débit q = 600 l/s et ayant un diamètre d = 1000 mm. 1. Calculer la section offerte à l’écoulement. 2. Calculer la vitesse de l’écoulement. 3. Pour ne pas éroder le regard de chute, quelle doit être la longueur minimale de ce regard si H = 1 m et h = 10 cm (voir schéma) 1. S = (π * D2 / 4) / 2 = (π * 12 / 4) / 2 = 0.78 m2 2. U = Q / S = 0.6 / 0.78 = 0.77 m/s 3. En appliquant la loi fondamentale de la dynamique, et en supposant que l’eau a une vitesse initiale horizontale de U = 1.53 m/s, on a : L’accélération

a = g (§ Orientation des axes)

La vitesse Uy = g * t et Ux = une Constante = 1.53 m/s (§ La composition de la vitesse selon l’orientation des axes) L’espace Y = ½ * g * t2 et X = Ux * t ; Soit : Y = ½ * g * (X / Ux) 2 D’où on déduit

X = Ux * (2 * Y / g) 1/2

Vérifier l’équation aux dimensions Soit

L = Ux * (2 * Y / g) 1/2 =

t = X / Ux


ET TOPOGRAPHIE DE

2. Étude d’un jet d’eau Pour éteindre le feu, une personne envoie un jet d’eau sous un angle α et avec une vitesse v0. 1. Quelle doit être la valeur de l’angle α pour avoir la portée optimale pour éteindre le feu en toute sécurité (supposer le travail dans le vide pour simplifier l’étude) ?


30


5

ET TOPOGRAPHIE DE


31

HYDRODYNAMIQUE DES LIQUIDES PARFAITS

5.1 INTRODUCTION L'hydrodynamique des liquides est l'étude des mouvements en tenant compte des forces agissantes (qui les produisent). Un liquide est dit PARFAIT quand la somme des forces résistantes (qui s'opposent au mouvement) est supposée nulle. Contrairement à la dynamique - où l’équation est simple - le problème en hydrodynamique est compliqué, étant donné que : La masse volumique du liquide peut varier d'un point à un autre. Le mouvement peut se faire pour une particule différemment d'une autre.

 

Ainsi, pour pouvoir résoudre le problème, on est amené à poser 3 équations et à les simplifier autant que possible.   

Équation caractéristique du liquide. Équation de la continuité du liquide. Équation de la dynamique à appliquer au liquide.

5.2 ÉQUATION CARACTÉRISTIQUE DES LIQUIDES Dans tout ce qui suit, on suppose que le liquide (en particulier l'eau) est incompressible, c'est à dire; que sa masse volumique est une constante ! Et c'est ce qui se traduit par :

ρ / dt = 0 ou ρ = F (t) = Constante Invariabilité dans l’espace. d ρ / dxi = 0 ou ρ = F (xi) = Constante

 Invariabilité dans le temps d 

5.3 ÉQUATION DE LA CONTINUITÉ En cinématique des liquides, il a été défini l'équation de la continuité pour un écoulement unidirectionnel, par la conservation du débit le long de la canalisation. Soit, le débit est une constante quel que soit la section de la dite canalisation.

Q = Ui * Si = Cte

5.4 ÉQUATION DE LA DYNAMIQUE 5.4.1 RAPPEL 

En hydrostatique, la force de pression agit seule. Et la dite pression est représentée par

P=ρgH 

En hydraulique, vu que le liquide est continu ; une masse d’eau ne peut être matérialisée. Par suite, le travail se fait toujours par l'unité de poids ; c'est-à-dire : son équation aux dimensions est une longueur.


ET TOPOGRAPHIE DE


32

5.4.2 EN HYDRODYNAMIQUE La loi fondamentale de la dynamique, appliquée à un liquide parfait et incompressible, devient : a = force poids + force de pression qu’il faut rapporter à l'unité de masse Dans le champ de la pesanteur, la force poids a pour composante (0, 0, - g) et le vecteur déplacement est dL (dx, dy, dz) § Démonstration en exercice . . . . Une fois tout calcul fait, on a :

H = Z + P / ρg + U2 / 2g = Cste

C'est le théorème de Bernoulli (ou théorème énergétique) qui s'applique : o o o

A un liquide incompressible. En écoulement permanent Et dans le champ de la pesanteur

Dans cette formule, on a : P / ρg : représente l'énergie de pression par unité de poids. z : représente l'énergie potentielle (de cote, de position) par unité de poids U2 / 2g : représente l'énergie cinétique par unité de poids. H : représente l'énergie totale par unité de poids. REMARQUE : 1. Ce théorème fait rappeler le théorème de l'énergie mécanique (ou totale) qui s'écrit :

E = M g z + M U2 / 2 = Cste 2. Si on suppose que la vitesse est nulle (pas d'écoulement), on retombe sur le théorème de Pascal.

Z + P / ρg = Cste

L'unité de H (énergie totale) est le mètre colonne d'eau (mCE) puisqu'elle exprime une énergie par unité de poids. EXEMPLE : Faire la trajectoire d'un projectile lancé dans le champ de la pesanteur avec une vitesse initiale sous un angle donné par rapport à l’horizontal. Pour démontrer que c'est une parabole, il suffit de revoir le chapitre précédant (étude de la longueur d'un regard de chute et/ou la lance jet d'eau pour éteindre un feu en exercice). Sur ce graphe, le Théorème de l’énergie mécanique est représenté par :  

En flèche épaisse (rouge), est représentée l’énergie cinétique En flèche pointillée (bleu), est représentée l’énergie potentielle


ET TOPOGRAPHIE DE


33

Ainsi, le théorème de l'énergie mécanique peut être représenté sur un graphe par des flèches schématisant les 2 énergies (cinétique et potentielle).

5.5 REPRÉSENTATION GRAPHIQUE Le théorème de Bernoulli peut être représenté schématiquement en admettant que : 

  

L'énergie totale est une constante quelle que soit la position de la particule. Sa ligne – qui est une ligne droite et horizontale – se trace connaissant les conditions aux limites. (voir plus loin) L'énergie de position (potentielle) est donnée par la cote de la particule par rapport à un référentiel à prendre (choisir). L'énergie cinétique est liée à la section offerte à l'écoulement par l'équation de la continuité. Elle diminue quand la section augmente et vice versa. L'énergie de pression complète le schéma de la représentation (et sans oublier qu'ici, le travail se réfère à la pression relative)

NOTA : Pour faire cette représentation, il suffit de suivre les étapes citées. 5.5.1 NOTION DE LIGNE PIÉZOMÉTRIQUE Si l'énergie totale est définie par :

H = P1/ ρg + z1 + U12/2g = P2/ ρg + z2 + U22/2g = ...= Cste Elle est aussi représentée par une droite (asymptote) horizontale sur le schéma (plan de situation de la conduite) On définit de la même façon la ligne piézométrique par la somme de l'énergie de pression et celui de la cote (potentielle) et toujours rapportée à l'unité de poids :

L. P = P * / ρg = P / ρg + z Mise en évidence : Elle se matérialise par l'ensemble des lieux des points auxquels l'eau pourra arriver, si on faisait une cheminée sur la conduite, et c'est ce qui s'appelle un piézomètre.

5.5.2 EXEMPLE THÉORIQUE


ET TOPOGRAPHIE DE


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5.5.3 THÉORÈME DE TORRICELLI Soit un réservoir qui alimente une conduite de diamètre constant (voir schéma) 1. Faire la représentation de Bernoulli. 2. En déduire la vitesse de l’eau à la sortie de la conduite si elle débite à l'air libre. DÉMARCHE À SUIVRE : Pour faire la représentation de Bernoulli, il suffit de suivre la méthode suivante à chaque fois : 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Tracer un niveau (plan) de référence, et de préférence en bas du schéma. Représenter l'énergie potentielle (de cote) Représenter l'énergie totale En prenant un point dans le réservoir. Représenter l'énergie cinétique en prenant un point juste à la sortie de la conduite. Généraliser l’énergie cinétique à toute la conduite. Compléter par l'énergie de pression

En appliquant Bernoulli entre le réservoir et la sortie de la conduite, on a :

Zr = Zs + Us2 / 2g,

soit:

Us = (2g * ΔZ) 1/2

Avec :

ΔZ : Différence de cotes entre le plan de l'eau dans le réservoir et la sortie de l'eau de la canalisation (de la conduite) exprimée en m. U : Vitesse de l'eau dans la canalisation qui est une constante vu que la dite canalisation ne change pas de diamètre. Elle s'exprime en m/s. g : Accélération terrestre g = 9.81 m/s/s Remarque : Vérifier l'équation aux dimensions de la formule. Exemple 1 : Soit un réservoir de cote eau Zr = 266.5 mNGM qui alimente un autre à travers une conduite de diamètre constant dont la cote à la sortie de l’eau est Zs = 253.25 mNGM. Le point bas de la conduite a une cote Zb = 245.56 mNGM. (Voir schéma plus haut) g = 10 S.I 1. Calculer la vitesse de l’eau à la sortie de la conduite.

16.3 m/s

En appliquant la formule de Torricelli, on a: Us = (2g * ΔZ) 1/2 = (2g * (Zr - Zs)) 1/2 = (2g * (266.5 – 253.25)) 1/2 = 16.28 m/s 2. Calculer le débit de la conduite (en L/s) si le diamètre est D = 100 mm. En appliquant l’équation de la continuité, on a: Q = U * S = U * π * D2 / 4 = 16.28 * π * 0.12 / 4 = 0,127 8 m3/s = 127,8 L/s

128 L/s


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3. Faire la représentation qualitative de Bernoulli

4. Calculer la pression au point bas de la conduite.

7.69 mCE

En appliquant toujours Bernoulli ; on a : Zr = P / ρg + U2/2g + Zb P / ρg = Zr – U2/2g – Zb = Zr – (Zr – Zs) - Zb = Zs - Zb = 253.25 – 245.56 = 7.69 mCE Exemple 2 : Soit une bille qui tombe verticalement dans le champ de la pesanteur sans vitesse initiale ? 1. Donner les équations du mouvement V (t) et Z (t). En appliquant l’équation fondamentale de la dynamique, avec un axe orienté vers le bas, on a l’accélération a = g Champs de la pesanteur Et par intégration, on a : V = g * t tant que la constante d’intégration est nulle (sans vitesse initiale) Et par intégration encore, on a : z = ½ g * t2 avec la constante d’intégration Z0 est nulle. 2. En déduire la vitesse en fonction de l’espace

V (z)

On vient de voir que l’espace parcouru est : z = ½ g*t2 qui donne t2 = 2 * z / g à remplacer dans l’expression de la vitesse V = g * t, soit : V = g * t = g * (2 * z / g)½ = (2 * g * z)½ 3 Formule à comparer avec la formule de Torricelli. Les deux formules sont identiques et désignent la même chose : Une chute libre !

5.5.4 NOTION DE CAVITATION Soit un réservoir qui alimente une conduite (voir schéma) de diamètre constant 1. Faire la représentation qualitative de Bernoulli. 2. Mettre en évidence la notion de pression négative.


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Commentaire :   

La conduite ne change pas de diamètre ; par suite, la vitesse est une constante ainsi que l'énergie cinétique. Sa valeur est donnée par le théorème de Torricelli. L'énergie de cote (potentielle ou de position) est représentée par la cote Z variable suivant le profil en long de la conduite. Pour compléter le schéma représentant le théorème de Bernoulli, on ajoute le vecteur schématisant l'énergie de pression. o Remarquer bien qu'au niveau de la vallée (au point 1), la pression est grande, et si la conduite est percée (trouée), l'eau jaillira (sortira avec un grand jet d'eau). o Par contre, Remarquer bien qu'au niveau de la colline (au point 3), la pression est négative, et si la conduite est percée; Au lieu que l'eau jaillira, c'est l'air qui va entrer dans la conduite. C'est la dépression créant la cavitation. o Nota : Alors qu'au point 2, la pression est nulle. Et si la conduite est percée; L’eau ne jaillira pas et l'air ne va pas entrer non plus dans la conduite.

Conséquence : La conduite peut être endommagé par :  

L’excès de surpressions quand les points sont très bas. Des dépressions quand les ponts sont très hauts

Exemple : Soit un réservoir de cote eau Zr = 145.5 mNGM qui alimente une conduite de diamètre constant dont la cote à la sortie de l’eau est Zs = 123.25 mNGM. Le point bas de la conduite a une cote Zb = 115.56 mNGM, alors que le point haut de la conduite a une cote Zh = 141.56 mNGM (voir schéma ci haut) g = 10 S.I 1. Calculer la vitesse de l’eau à la sortie de la conduite.

21 m/s

En appliquant la formule de Torricelli, on a: Us = (2g * ΔZ) 1/2 = (2g * (Zr – Zs)) 1/2 = (2g * (145.5 – 123.25)) 1/2 = 21.1 m/s 2. Calculer le débit de la conduite (en L / s) si le diamètre est D = 150 mm.

373 L/s

En appliquant l’équation de la continuité, on a : Q = U * S = U * π * D2 / 4 = 21.1 * π * 0.152 / 4 = 0,372 8 m3/s = 372,8 L/s 3. Faire la représentation de Bernoulli (à l’échelle des hauteurs si c’est possible)

4. Calculer la pression au point bas de la conduite.

7.69 mCE

En appliquant Bernoulli entre le réservoir et le point bas, on a: Pb / ρg = Zr – U2/2g - Zb = Zr – (Zr – Zs) - Zb = 123.25 -115.56 = 7.69 mCE 5. Calculer la pression au point haut de la conduite.

- 18.31 mCE

En appliquant Bernoulli entre le réservoir et le point haut, on a: Ph / ρg = Zr – U2/2g - Zh = Zr – (Zr – Zs) - Zh = Zs - Zh =123.25 – 141.56 = - 18.31 mCE 6. Comment expliquez-vous la valeur négative de la pression ? La pression est négative vue que le point est très haut, c'est-à-dire ; il possède une grande énergie potentielle, alors que l’énergie totale est limitée : C’est le phénomène de la cavitation …


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EN RÉSUMÉ   

Rappelons que sur l'axe des pressions, la pression atmosphérique est prise comme origine. Ainsi, Pathmos = 0. La cavitation est la présence de pression négative (inférieure à la pression atmosphérique) dans une conduite. On parle aussi de dépression dans la conduite. Dans toute installation, il faudra veiller à ne pas avoir de dépression. Si non, la conduite risque de s'endommager gravement. Bien se rappeler que le proverbe dit : La nature a horreur du vide.

5.6 NOTION DE MACHINE HYDRAULIQUE 

En hydraulique, il y a des machines qui reçoivent de l’énergie hydraulique et la transforment en une autre forme d’énergie telle que : o Énergie mécanique : C’est le cas du moulin à eau. o Énergie électrique : C’est le cas de la turbine o …



Et réciproquement, il y a des machines qui reçoivent une énergie donnée pour la transformer en énergie hydraulique : C’est le cas des pompes

5.6.1 DÉFINITIONS  

Une turbine est un appareil qui reçoit de l’énergie potentielle hydraulique et le transforme en énergie électrique. Par opposition à une pompe qui est un appareil qui reçoit de l’énergie mécanique et le transforme en énergie potentielle hydraulique.

5.6.2 SCHÉMA EN ÉCOULEMENT PARFAIT :

La ligne d’énergie augmente pour le cas d’une pompe, Vu que celle ci transforme de l’énergie mécanique qu’elle reçoit (du moteur qui la fait fonctionner) en énergie hydraulique qu’elle cède à l’écoulement

La ligne d’énergie diminue pour le cas d’une turbine, Vu que celle ci transforme de l’énergie hydraulique qu’elle reçoit de l’écoulement en énergie mécanique qu’elle cède (par exemple sous forme d’énergie électrique)

Remarque :  La hauteur H représente l’énergie transformée. o Pour le cas d’une pompe, cette énergie correspond à la différence d’altitude à travers laquelle l’eau est refoulée (relevée). o Pour le cas d’une turbine, cette énergie correspond à l’énergie transformée en électricité.  La puissance hydraulique transformée est Pour démontrer cette formule, on a : W = m g H = ρ V g H et par suite :


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P=W/t=ρ*g*V*H/t=ρ*g*Q*H

P=ρgQH

Dans cette formule, on a :

ρ : représente la masse volumique du liquide (≈ ( 1000 kg/m3) g : représente l’accélération terrestre (≈ ( 10 m/s/s) H : représente la hauteur de chute (ou d’élévation) en m Q : représente le débit écoulé en m3/s P : représente la puissance transformée en Watt. (à vérifier ! ?)

5.6.3 RENDEMENT D’UN APPAREIL AP N’importe quel appareil, qui reçoit une énergie donnée à transformer en une autre forme d’énergie, consomme une partie de cette énergie sous forme d’énergie calorifique ou autre. Le rendement d’un appareil est par définition le rapport de l’énergie cédée Wc sur l’énergie reçue Wr. Ce qui est équivalent à dire aussi : C’est le rapport de la puissance cédée Pc sur la puissance reçue Pr.

η = Wc / Wr = Pc / Pr Remarque:  L’énergie cédée Wc est inférieure à l’énergie reçue Wr; par suite le rapport Wc / Wr est inférieur à un. Donc : η < 1  L’énergie cédée Wc et l’énergie reçue Wr sont des données positives; par suite leur rapport est supérieur à zéro. Donc : η > 0  En résumé, on a :

0<η<1

Exe 1 : Soit une pompe qui refoule un débit Q = 324 L/s d’un réservoir ayant une cote eau Z1 = 123.45 mNGM à un autre réservoir ayant une cote eau Z2 = 224.45 mNGM. 1.

Faire la représentation qualitative Bernoulli au niveau de la pompe.

2. Calculer la hauteur d’élévation totale

de 101.0 m

H = Z2 – Z1 = 224.45 – 123.45 = 101.0 m 3. Calculer puissance hydraulique au niveau de la pompe.

327.24 KW

Ph = ρ g Q H =1 000 * 10 * 0.324 * 101 = 327 240 W = 327.24 kW 4. Calculer la puissance reçue par la pompe si son rendement est 0.8. Pr = Ph / ŋ = 327.24 / 0.8

= 409.05 KW

409.05 KW


ET TOPOGRAPHIE DE


39

5. Calculer l’énergie reçue par cette pompe au bout de 10 h de fonctionnement 4 090.5 KWh W = Pr * t = 409.05 KW * 10 h = 4 090.5 KWh Exe 2 : Soit une turbine qui reçoit un débit Q = 824.45 L/s à partir d’un réservoir ayant une cote eau Z1 = 624.28 mNGM pour le livrer à un autre réservoir ayant une cote eau Z2 = 218.42 mNGM. 1. Faire la représentation qualitative Bernoulli au niveau de la turbine 2. Calculer la hauteur de la chute de l’eau

de

406.0 m

H = Z1 – Z2 = 624.28 – 218.42 = 405.86 m 3. Calculer puissance hydraulique au niveau de la turbine.

3 347.27 kW

P = ρ g Q H = 1 000 * 10 * 0.824 45 * 405.86 = 3 347 267 W = 3346.11 kW 4. Calculer La puissance cédée par la turbine au bout de 15 h de fonctionnement, si l’énergie fournie est 37 640 KWh. 2 509.33 kW Pc = Wf / t =

37 640 KW / 15 h = 2 509.33 kW

5. Calculer le rendement de cette turbine. r = Pf / Pr =

75 %

2 509.33 / 3 347.27 = 74.99 %

5.7 NOTION D’APPAREIL DE MESURE HYDRAULIQUE 5.7.1 LE TUBE VENTURI 5.7.1.1 DÉFINITION Le tube Venturi est un étranglement dans la conduite afin de faire apparaître une variation de vitesses qui se manifeste par une variation mesurable de pressions par des piézomètres. Caractéristiques 

Pour simplifier l’étude, le montage se fait en plan horizontal.



Il sera utilisé des diamètres très lisses et bien unis ainsi que les cônes de changement de diamètres, afin que et l’ensemble ne devrait pas perturber l’écoulement.

En un mot, on suppose que l’écoulement se fait sans aucune force résistante : C'est-àdire que l’écoulement est parfait


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40

5.7.1.2 REPRÉSENTATION GRAPHIQUE En appliquant le théorème de la continuité et de Bernoulli, la représentation énergétique sera la suivante, si on suppose que la conduite est horizontale pour simplifier l’étude : Théorème de la continuité Q = U1* S1 = U2 * S2 = Cste. Théorème de Bernoulli.

Z1 + P1 / ρg + U12 / 2g = Z2 + P2 / ρg + U22 / 2g = Cste

C’est ce qui se traduit pour ce cas par : P1 / ρg - P2 / ρg = U22 / 2g - U12 / 2g c’est à dire :

ΔP1-2 / ρ g = ΔU2-12 / 2g 5.7.1.3 MESURE DE LA VARIATION DE PRESSION La mesure de la pression peut se faire par l’installation de tube vertical à travers lequel l’eau pourra monter librement. C’est ce qui s’appelle un tube piézométrique et qui sert à mesurer la pression en un point de la conduite. Concrétisation : Grâce à un tube piézométrique, la ligne piézométrique pourra être matérialisée point par point. Remarques o Si le débit est important ou si la section S2 est trop petite, la vitesse U2 risque d’être trop grande; et par suite la pression P2 trop faible. Voir même le cas extrême où cette pression sera négative : C’est la cavitation. à voir en TP o Dans la pratique, la pression risque d’être aussi trop grande (quelque dizaine de mètres colonne d’eau), ce qui rend l’utilisation des tubes piézométriques inadaptées. D’où le recours à des systèmes (appareils) qui donnent directement la variation de pression dont l’utilisateur a besoin, (comme dans de pareil cas), et surtout qui se réalisent avec des dimensions faibles : C’est le cas du manomètre différentiel 5.7.1.4 CALCUL DU DÉBIT D’après Bernoulli, on a :

U22 / 2g - U12 / 2g = P1 / ρg - P2 / ρg = ΔP / ρg

Et en appliquant le théorème de la continuité, Q = U1* S1 = U2* S2, on a : U1 = 4*Q / πD12 2 Soit : U2 /

et

U2 = 4*Q / πD22

2g - U12 / 2g = ΔP / ρg

CONCLUSION : Par la méthode de l’étranglement de la conduite (Venturi), le débit sera donné.


ET TOPOGRAPHIE DE


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EX : De l’eau circule dans un tuyau horizontal de diamètre D1 = 15 cm à la pression P1 = 4.2 2 Kgf / cm . Si la pression passe à P2 = 1.4 Kgf / cm2 en un endroit où le diamètre est D2 = 7.5 cm. 1° Calculer la variation de pression.

28 mCE

Rappel : 1 Kgf / cm2 = 10 mCE ΔP / ρg = P1 / ρg - P2 / ρg = 4.2 Kgf / cm2 – 1.4 Kgf / cm2 = 2.8 Kgf / cm2 = 28 Mce 2° Calculer ΔW c en fonction de ΔP. Appliquons Bernoulli aux points 1 et 2, on a : U12 / 2g + P1 / ρg = U22 / 2g + P2 / ρg U22 / 2g - U12 / 2g = ΔP1-2 / ρg = 28 mCE 3° Calculer les vitesses U1 et U2 en fonction du débit.

U1= 56.588 * Q et U2 = 226.354 * Q

Le débit Q s’exprime en fonction des diamètres par l’équation de la continuité : Q = U1 * S1 = U1 * Π * D12 / 4 = U2 * S2 = U2 * Π * D22 / 4 Soit : U1 = 4 * Q / Π / D12 et U2 = 4 * Q / Π / D22 U1 = 4 * Q / Π / 0.152 et U2 = 4 * Q / Π / 0.0752 U1 = 56.588 * Q et U2 = 226.354 * Q en S.I. 4° En déduire le débit.

108 L/s

Et en remplaçant dans l’équation précédente de Bernoulli, on a : U22 - U12 = 28 * 2g Soit : Q2 * (226.3542 - 56.5882) = 560 Q2 * 48033.746 = 560 D’où en fin de compte, on a :

5.7.2

Q = (560 / 48033.746)0.5 = 107.97 L/s

LE TUBE PITOT

5.7.2.1

DÉFINITION

Le tube Pitot ressemble à un double piézomètre relié à une conduite afin de faire apparaître la hauteur du liquide correspondante à l’énergie cinétique dans un piézomètre en plus de la pression statique mesurable par l’autre piézomètre (§ fig).

5.7.2.2

CARACTÉRISTIQUES

Le tube Pitot permet de mesurer la vitesse en en point quelconque d’un courant liquide. Appliquant le théorème de Bernoulli, on a:

P2  g



P1 V 2   g 2 g

D’où, on a:

Soit en fin de compte, on a :

V 

P2 P1   g  g

2 gZ

V 2    Z 2 g


ET TOPOGRAPHIE DE


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5.7.2.3 REPRÉSENTATION GRAPHIQUE

Remarque : Si la vitesse est faible (inférieure par exemple à 1 m/s), la dénivelée ‘ΔZ’ sera trop petite pour être mesurée sans erreur (ΔZ < 5 cm). EXE 1. De l’eau circule dans un tuyau horizontal de diamètre D = 15 cm à la pression hydrostatique Zs = 0.4 mCE et la pression totale Zt = 0.7 mCE. g = 10 S.I 1° Calculer la vitesse

2.45 m/s

V = (2g * ΔZ)1/2 = (2g * (0.7 – 0.4) )1/2 = 2.45 m/s 2° En déduire le débit.

43 L/s

Q = U * S = U * Π * D2 / 4 = 2.45 * Π * 0.152 / 4 = 0.043 29 m3/s = 43.29 L/s EXE 2. A travers un tuyau horizontal, de diamètre D = 25 cm est refoulé un débit Q = 39.27 L/s. 1° Calculer la vitesse

0.8 m/s

Par application de l’équation de la continuité, on a : Q = U * S = U * Π * D2 / 4 U = 4 * Q / Π / D2 = 4 * 0.03927 / Π / 0.252 = 0.8 m/s 2° Quelle est la variation de la cote que donnera un tube Pitot ?

3.2 cmCE

ΔZ = U2 / 2g = 0.82 / 2g = 3.2 cmCE Remarque : Bien remarquer que dans le domaine de la pratique, il est difficile de détecter (apprécier) aisément une variation de hauteur très petite; et surtout si le niveau de l’eau oscille.


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Exercices : Exercice 1 : Démontrer le théorème de Bernoulli (ou de l'énergie totale) à partir du théorème de l'énergie cinétique. RAPPEL DE L’ÉNERGIE CINÉTIQUE La loi fondamentale de la dynamique est : Σ F = m a Le travail effectué par ces forces sera :

dW = Σ F * dL = m * a * dL = m * dU / dt * dL = m * dU * dL / dt = m * U * dU 2

Et par intégration, on a : Σ W = m * U / 2 + Cste Soit, entre deux instants 1 et 2, la somme des travaux sera égale à la variation de l’énergie cinétique. 2 2 Σ Weff = m / 2 (U1 - U2 ) CAS D’UNE CONDUITE Soit une conduite qui transporte de l'eau (voir figure), les forces agissantes pendant un instant dt sont :    

Le poids dP = d(mg) = g * dm = ρg dV = ρ g Q dt La force de pression à l'amont de la conduite dFm = Pm * dS La force de pression à l'aval de la conduite dFv = Pv * dS La force de pression latérale dont leur somme est nulle

Et le travail de ces forces est :    

Pour le poids, on a : dP * dz = d(mg)* dz = ρg dV * dz = ρg Q dt * dz Pour la force de pression à l'amont de la conduite, on a dFm * dL= Pm * dS * dL= Pm * dV = Pm * Q * dt Pour la force de pression à l'aval de la conduite dFv * dL = Pv * dS * dL = Pv * dV = Pv * Q * dt Pour la force de pression latérale, on a un travail nul Par suite, en appliquant le théorème de l'énergie cinétique, on a : ρg Q dt * dz + Pm * Q * dt - Pv * Q * dt = m / 2 (U12 - U22) = ρ Q dt (U12 - U22) / 2 et en simplifiant, on arrive à : (Zm - Zv) + (Pm - Pv) / ρ g = (Uv2 - Um2) / 2g Soit enfin

Zm + Pm / ρ g + Um2 / 2g = Zv + Pv / ρ g + Uv2 / 2g

ou

Z + P / ρg + U2 / 2g = Cste

Qui représente le théorème de Bernoulli


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Exercice 2 : Soit une conduite de diamètre D1 = 300 mm, transitant un débit Q = 130 l / s, qui passe à un diamètre D2 = 100 mm (voir schéma) 1. Calculer les vitesses V1 et V2. 1.84 m/s et 16.55 m/s Q = U * S = U * Π * D2 / 4 donne U = 4 * Q / Π / D2 U1 = 4 * 0.130 / Π / 0.32 = 1.84 m/s U2 = 4 * 0.13 / Π / 0.12 = 16.55 m/s 2. Si la pression au point 1 est P1 / ρg = 10.3 mCE, calculer la pression au point 2. - 3.23 mCE P2 / ρg = P1 / ρg + U12 / 2g - U22 / 2g par application du théorème de Bernoulli P2 / ρg = 10.3 mCE + 1.842 / 2g - 16.552 / 2g = - 3.23 mCE Pression négative 3. Faire la représentation de Bernoulli.

Représentation Qualitative

Exercice 3 : Notion d'écoulement non permanent Un réservoir de forme cylindrique (D = 1 m, H = 2 m) a un trou de diamètre (d = 1 cm) sur sa base basse, d’où coule le liquide qu’il contient librement (voir figure) 1. Donner l'équation de la vitesse de l’eau à travers le trou. Si h est la hauteur en eau dans le cylindre à l’instant t ; la vitesse de l’eau à travers le petit trou, à la base du dit cylindre,

V = (2g * h) ½  

Pour h = H0 correspondant au temps initial t = 0, la vitesse est maximale Pour h ≈ 0 correspondant au temps final tf, la vitesse est minimale V ≈ 0

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ET TOPOGRAPHIE DE


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2. Donner l'équation du débit qui s’écoule de deux manières. Le débit qui s’écoule à travers le trou peut être donné par : 

Le produit de la vitesse et la section du dit trou en appliquant l’équation de la continuité. Q = U * s = (2g * h)1/2 * (Π * d2 / 4) à un instant donné



La variation du volume en eau dans le cylindre par rapport au temps. Q = ΔV / Δt = (Δh / Δt) * S = (Δh / Δt) * (Π * D2 / 4) à même instant donné

3. Déterminer le temps de vidange du réservoir Le temps de vidange du réservoir (cylindre) sera déterminé en regroupant les deux équations précédentes donnant le débit. Q = (2g * h)1/2 * (Π * d2 / 4) = (Δh / Δt) * (Π * D2 / 4) (2g * h)1/2 * d2 = (Δh / Δt) * D2 Bien remarquer que : Quand le temps augmente, le réservoir se vide, c'est-à-dire : o Δt est positif (le temps augmente) o Δh est négative (la hauteur diminue, le réservoir se vide,) Et en passant aux infiniment petit, on a : dh / dt = (2g * h)1/2 * d2 / D2 Équation dont il suffit de séparer les variables et intégrer. dt = (D2 / d2) * dh / (2g * h)1/2. Soit: t = (D2 / d2) * (2 * h / g)1/2 + Cste La constante d’intégration sera déterminée par la connaissance des conditions aux limites qui sont ici les conditions initiales, à savoir :  

h = H correspond au temps initial t = 0 h ≈ 0 correspond au temps final tf,= T

Soit : T = (D2 / d2) * (2 * h / g) 1/2 App. Num: T = (12 / 0.012) * (2 * 2 / g) 1/2 = 6324.5 s = 1 h 45 mn 24 s Remarque : Ceci est valable pour un écoulement parfait. Alors qu’en réalité, vu l’existence des forces résistantes non prises en considération, le temps sera plus grand. Exercice 4 : Notion de puissance hydraulique Une turbine hydraulique reçoit un débit Q = 424 l/s par une conduite horizontale de diamètre D = 300 mm. Juste à l'amont de la turbine, la pression est Pm = 0.703 kgf/cm2. A la sortie de la turbine, la conduite est aussi horizontale et de diamètre D = 450 mm et où règne une pression Pv = - 0.422 kgf/cm2 et à une cote plus basse de 1.5 m (voir schéma)


ET TOPOGRAPHIE DE


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1. Faire la représentation de Bernoulli

2. Calculer la vitesse à l’amont et à l’aval de la turbine.

6 m/s.

2.67 m/s

Appliquons l’équation de la continuité, on a : Q = U * S = U * π * D2 / 4 donne U = 4 * Q / π / D2, soit: Um = 4 * 0.424 / π / 0.32 = 6.00 m/s Uv = 4 * 0.424 / π / 0.452 = 2.67 m/s 3. Calculer l'énergie de l’eau à l’amont et à l’aval de la turbine.

10.33 mCE - 3.86 mCE

Appliquant le théorème de Bernoulli pour un plan de référence confondu avec l’axe de la conduite, à la sortie de la turbine Hm = Zm + Pm / ρg + Um2 / 2g = 1.5 + 7.03 + 62 / 2g = 10.33 mCE Hv = Zv + Pv / ρg + Uv2 / 2g = 0 - 4.22 + 2.672 / 2g = - 3.86 mCE 4. Calculer l'énergie absorbée par la turbine.

14.19 mCE

L’énergie absorbée par la turbine est H = Hm - Hv = 10.33 - (- 3.86) = 14.19 mCE 5. Calculer la puissance hydraulique absorbée par la turbine si le rendement est 0.8 48.13 KW Le rendement

η = Wc / Wr = Pc / Pr = 0.8

d’où, on a :

Wc = W r * η = 14.19 * 0.8 = 11.35 mCE Par suite, la puissance est : Ph = ρ g Q H = 1000 * 10 * 0.424 * 11.35 = 48.14 KW Exercice 5 De l'huile de densité d = 0.75 circule dans une conduite de 15 cm de diamètre à la pression de 10.5 N / cm2. Si l'énergie totale relativement à un plan de référence situé à 2.4 m au-dessous de la ligne médiane du tuyau est de 17.6 mCE. *1 Compléter le schéma par la représentation de Bernoulli *2 Calculer la vitesse de l'écoulement.

5 m/s

Appliquons le théorème de Bernoulli, on a : H = Z + P / ρg + U2 / 2g = 2.4 + 10.5 / 0.75 + U2 / 2g = 17.6 mCE U2 /2g = 17.6 - 2.4 - 10.5 / 0.75 = 1.2 mCE U = (1.2 * 2g)1/2 = 4.9 m/s


*3 En déduire le débit

ET TOPOGRAPHIE DE


47

86.6 L/s

Q = U * S = U * π * D2 / 4 = 4.9 * π * 0.152 / 4 = 86.6 L/s Exercice 6 : Un tuyau de 30 cm de diamètre transporte de l'huile de densité d = 0.812 avec un débit de 110 L/s et la pression en un point 1 est de 2 N/cm2. Si le point 1 est situé à 1.8 m au-dessus du plan de référence, Calculer : *1 la vitesse de l'écoulement

1.56 m/s

Q = U * S = U * π * D2 / 4 donne: U = 4 * Q / π / D2 = 4 * 0.11 / π / 0.32 = 1.56 m/s *2 l'énergie de pression Wpr

2.46 mCE

P = 2 N / cm2 donne Wpr = P/ρg = 2 / 0.812 = 2.46 mCE *3 L'énergie cinétique Wc

0.12 mCE

Wc = U2 / 2g = 1.562 / 20 = 0.12 mCE *4 L'énergie totale

4.4 mCE

H = Z + P / ρg + U2 / 2g = 1.8 + 2.46 + 0.12 = 4.38 mCE Exercice 7 : Calcul du débit par le venturi De l'eau circule dans un tuyau horizontal de diamètre D1 = 10 cm à la pression P1 = 20 mCE. Le diamètre passe à D2 = 6 cm et la pression P2 = 14 mCE. *1 Faire la représentation schématique de Bernoulli (au verso de page) *2 Exprimer V1 et V2 en fonction du débit et du diamètre.

127 * Q

355 * Q

Q = U * S = U * π * D2 / 4 donne: U1 = 4 * Q / π / D12 = 4 * Q / π / 0.12 = 127,32 * Q U2 = 4 * Q / π / D22 = 4 * Q / π / 0.062 = 354,68 * Q *3 En déduire l'expression du débit en appliquant Bernoulli entre 1 et 2. P2 / ρg + U22 / 2g = P1 / ρg + U12 / 2g donne: U22 / 2g - U12 / 2g = P1 / ρg - P2 / ρg = 20 – 14 = 6 mCE Soit: (354,68 * Q)2 - (127,32 * Q) 2 = 6 * 20 108 876,676 * Q2 = 160 D’où Q = (160 / 108 876,676)1/2 = 33,20 L/s

33 L/s


6

ET TOPOGRAPHIE DE


48

HYDRODYNAMIQUE DES LIQUIDES RÉELS

6.1 INTRODUCTION 6.1.1 RAPPEL : ÉCOULEMENT PARFAIT Cet écoulement a été défini comme étant un écoulement où IL N’EXISTE PAS de force résistante d’une façon générale ; et par suite, IL N’Y A PAS D’ÉNERGIE PERDUE par ces forces résistantes. D’où l’appellation de liquide PARFAIT. Exemple : Représentation théorique de Bernoulli pour le cas d’un liquide parfait en écoulement permanent, où il n y a pas de perte d’énergie.

6.1.2 ÉCOULEMENT RÉEL Dans la réalité, aucun mouvement (y compris les écoulements) ne peut se faire sans qu’il y ait des forces résistantes; Et par suite, IL Y A UNE ÉNERGIE PERDUE par ces forces résistantes. EXEMPLES :  Forces résistantes dues aux frottements des filets liquides les uns contre les autres, et c’est ce qui s’appelle FORCES DE VISCOSITÉ.  Forces résistantes dues aux frottements des filets liquides voisines à la paroi, contre la dite paroi de la conduite, et c’est ce qui s’appelle FORCES DE RUGOSITÉ.

6.1.3 NOTION D’ ÉNERGIE PERDUE En conséquence de l’existence de ces forces résistantes (de viscosité et de rugosité) dans l’écoulement, le théorème de Bernoulli (comme il a été énoncé) ne peut être appliqué aux écoulements réels. Il faudra lui ajouter un terme correctif qui tiendra compte de ces forces résistantes : C’est l’énergie perdue Exemple : Représentation théorique de Bernoulli pour le cas d’un liquide réel en écoulement permanent où il y a une énergie perdue, qui croit le long de la conduite dues aux forces résistantes.

Ep1 < Ep2 Et c’est ce qui se résume par l’équation : Énergie à l’amont - Énergie à l’aval = Énergie perdue (due aux frottements)


ET TOPOGRAPHIE DE


Cas particulier : Représentation théorique de Bernoulli pour le cas d’un liquide réel en écoulement permanent et uniforme. Remarque : L’énergie perdue,, due aux forces résistantes, augmente le long de la conduite, conduite dans le sens de l’écoulement ; c’est ce qui est représentée par les flèches croissantes.

6.1.4 EXPERIENCE DE REYNOLDS REYNOL En conclusion, l’objectif de ce chapitre est la détermination de cette énergie perdue par les frottements (de viscosité et de rugosité) ; qui dépendra du type d’écoulement,, défini par les expériences de Reynolds : A savoir :

6.1.5 NOTION DU NOMBRE DE REYNOLDS Le nombre de Reynolds noté Re, relie trois grandeurs différentes en même temps ; à savoir :   

L’écoulement du liquide représenté par la vitesse. vitesse U La conduite représentée par le diamètre. diamètre D La nature de liquide représentée par la masse volumique et la viscosité dynamique dynamique. ρ, μ Et c’est ce qui se note par : R e 

UD   UD /  

Avec : U : Vitesse moyenne en m/s → [L* T-1] D : Diamètre de la conduite en m → [L] ρ : Masse volumique du liquide en Kg/m3 → [M * L-3] μ : Viscosité dynamique du liquide en kg/m/s → [M * L-1 * T-1] ν : Viscosité cinématique liquide en m2s → [L2 * T-1] Re : Nombre de Reynolds sans ans dimension (à vérifier !)

49


ET TOPOGRAPHIE DE


50

Exemple : Un liquide (de masse volumique ρ = 0.998 kg/l et de viscosité viscosité dynamique μ = 0.0011 kg / ms) s’écoule à travers une conduite de diamètre D = 150 mm avec un débit Q = 3.42 l/s 1. Calculer la vitesse (moyenne) de l’écoulement du liquide

0.194 m/s

U = 4 * Q / Π / D2 = 4 * 3.42 l/s / Π / 0.152 = 0.194 m/s 2. Calculer le nombre de Reynolds

26 338

Re = U * D * ρ / μ = 0.194 * 0.15 * 998 / 0.0011 = 26 338 Rappel: Le e nombre de Reynolds est un nombre sans dimension (sans unité) à vérifier! Ainsi, la classification suivante, qui est basée sur le nombre de Reynolds, est adaptée : Nombre de Reynolds Inférieur à 2 000 De 2 000 à 4 000 Type d’écoulement Laminaire Transitoire

  

Supérieure à 4 000 Turbulent

Pour des valeurs du nombre de Reynolds inférieur à 2 000, les particules du liquide se déplacent en ligne droite. C’est ce qu’on définit par l’écoulement laminaire Pour des valeurs du nombre de Reynolds supérieur à 4 000, les particules du liquide se déplacent dans toutes les directions au hasard. hasard. Il est impossible de décrire le mouvement d’une particule donnée. C’est ’est ce qu’on définit par l’écoulement turbulent turbulent. Pour des valeurs du nombre de Reynolds comprise entre 2 000 et 4 000, l’écoulement n’est pas stable. Il passe du turbulent au laminaire et réciproquement. C’est ce qu’on définit par l’écoulement transitoire.

Ainsi, on a en général :  Des écoulements laminaires (pour les vitesses et / ou les diamètres trop faibles faibles).  Des écoulements turbulents (pour les vitesses relativement fortes).

6.2 ÉCOULEMENT LAMINAIRE. LAMINAIRE 6.2.1 DÉFINITION Un écoulement est dit laminair aminaire, si les particules du fluide (constituants les lignes de courant) se déplacent selon des lignes droites parallèles les unes aux autres et disposées en couch couches ou lamelles.. Dans ce cas, les forces de viscosité sont prépondérantes. C’est l’exemple de l’écoulement de l’eau dans un canal de faible diamètre, en ligne droite, très long et à faible vitesse. La vitesse tesse de ces filets est variable,, vu l’existence des forces de frottements dues principalement à la viscosité du liquide. liquide


ET TOPOGRAPHIE DE


51

6.2.2 FORCE DE VISCOSITÉ Les forces de viscosité représentent les forces résistantes aux efforts de contraintes tangentielles qui tendent à faire déplacer les couches du liquide les unes par rapport aux autres. EXPÉRIENCE Soit un liquide de viscosité donnée, dont les couches (formant les filets liquides) se déplacent d’une façon différente les unes par rapport aux autres, sous l’effet de la plaque mobile qui les tire, alors que l’autre plaque est immobile. La distance entre ces deux plaques est très petite.  La couche du liquide en contact avec la plaque mobile, a la vitesse maximale (U = Vmax) de la dite plaque.  La couche du liquide en contact avec la plaque fixe, a la vitesse nulle (U = 0) de la dite plaque.  Les couches intermédiaires ont des vitesses variables, (de zéro à Vmax).  On admet que pour une épaisseur y (relativement faible), le diagramme de cette vitesse est linéaire. (voir figure) Les expériences montrent que ces forces de viscosité sont :    

Proportionnelles à la surface de la plaque mobile S. Proportionnelles à la vitesse de la plaque V. Inversement proportionnelles à la distance des deux plaques y. Dépendantes de la nature du liquide expérimenté qu’on exprime par la viscosité dynamique ou absolue μ (mu)

Soit :

F

 S 

V

y

Avec : S : Section de la plaque (ou de contact entre couches du liquide) ▬► [L2] : c’est en S.I le m2 V : Vitesse de la plaque ▬► [L * T-1] : c’est en S.I le m/s y : Distance entre les 2 plaques ▬► [L] :c’est en S.I le mètre F : Force agissante ▬► [M * L * T-2] :c’est en S.I le Newton. μ : Viscosité du liquide ▬► [M * L-1 * T-1] : c’est en S.I le kg/ms. (à trouver ?) Exemple : Calculer la viscosité du liquide dans l’expérience précédente si on a : V = 3.4 m/s, y = 1 cm, S = 0.8 m2 et F = 0.36 N 13 * 10-4 kg/s D’après la relation F = S * μ * V / y on tire que : μ = y * F / S / V = 0.01 * 0.36 / 0.8 / 3.4 = 13.235 * 10-4 kg/ms

6.2.3 VISCOSITÉ D’UN LIQUIDE La viscosité d’un liquide est sa propriété qui exprime sa résistance à toute force tangentielle (due à un écoulement). La viscosité est due principalement à l’interaction entre les molécules du liquide. La formule précédente définit la viscosité dynamique, alors que la viscosité cinématique se définit comme suite :


ET TOPOGRAPHIE DE


52

VISCOSITÉ CINÉMATIQUE

6.2.4

On définit la viscosité cinématique (nu), par le rapport de la viscosité dynamique sur la masse volumique. Soit : 



 



 





g

g 

Avec : g : Accélération terrestre ω : poids spécifique μ : Viscosité dynamique ρ: masse volumique ν: Viscosité cinématique

▬► [L * T-2] et c’est en S.I le m/s/s. ▬► [M * L-2 * T-2] et c’est en S.I le N/m3. ▬► [M * L-1 * T-1] et c’est en S.I le Kg/m/s. ▬► [M * L-3] et c’est en S.I le Kg/m3. ▬► [L2 * T-1] et c’est en S.I le m2/s. (À trouver !?)

Le tableau suivant donne un ordre de grandeur pour quelques liquides. Liquide et sa Masse volumique Viscosité température en Kg/m3 cinématique en m2/s Eau à 5 °C 999.99 1.55 * 10-6 Eau à 20 °C 998.23 1.03 * 10-6 Eau à 50 °C 988.07 0.56 * 10-6 Huile de lin à 30 °C 925 35.9 * 10-6 Alcool éthylique à 20°C 789 1.54 * 10-6 Benzène à 20 °C 879 0.745 * 10-6 … …. ….

Viscosité dynamique en kg/ms 15.5 * 10-4 10.25* 10-4 5.6* 10-4 33.21* 10-3 1.22* 10-3 0.655* 10-3 …

Remarque : 

Ces caractéristiques (masse volumique, viscosité cinématique et dynamique)  décroissent en fonction de la température.  croissent en fonction de la pression

 

La viscosité cinématique est de l’ordre du millionième (≈ 10-6) Alors que la viscosité dynamique est du dix millièmes (≈ 10-4)

6.2.5 MESURE DE LA VISCOSITÉ D’UN LIQUIDE Expérience : Soit un cylindre de 12 cm de rayon qui tourne à l’intérieur d’un autre cylindre fixe de rayon 12.6 cm. Entre les deux cylindres et sur de hauteur H = 30 cm, existe un liquide à étudier. Il est nécessaire d’appliquer un couple de 9 Ncm pour vaincre les forces résistantes et maintenir une vitesse angulaire constante de 600 tr/mn. C’est le viscosimètre. Calculer : *1 la vitesse linéaire moyenne de l’écoulement.

8m/s

Pour un rayon moyen, c’est à dire: intermédiaire entre les deux plaques, on a : U = ω * R = 600 tr/mn * 12.3 cm = 600 * 2Π * / 60 rd/s * 0.123 m = 7.728 32 m/s


*2 la force provoquant la rotation


ET TOPOGRAPHIE DE

53

0.366 N

C = F * D Soit : F = C / D = 9 Ncm / (12.3 cm * 2) = 0.09 / 0.123 / 2 = 0.366 N *3 La surface moyenne du frottement 0.232 m2 S = 2Π * 12.3 cm * 30 cm =2Π * 0.123 * 0.3 = 0.232 m2 *4 la viscosité dynamique du liquide (en moyenne) sera.

12.25 * 10-4 kg/ms

μ = y * F / S / U = 0.6 cm * 0.366 N / 0.232 m2 / 7.73 m/s = 12.251 * 10-4 kg/ms

6.2.6 CONTRAINTE TANGENTIELLE On définit la contrainte tangentielle visqueuse moyenne (ζ : TAU), qui est équivalente à pression par : ζ = Force / Surface

≡ Pression. Soit :





F S

 

V

y

Pour simplifier, soit une conduite horizontale de même diamètre D, qui débite un liquide en écoulement permanent. Considérons un élément de longueur L de cette conduite, et étudions les forces agissantes. Inventaire des forces projetées sur l’axe des x.  

Forces de pressions amont et aval : (Pm - Pv) * π * R2 Force résistante (de viscosité) : ζ * π * 2 * R * L

Soit : (Pm - Pv) * π * R2 - ζ * π * 2 R * L = 0 (pour un écoulement permanent) Par suite, la contrainte tangentielle visqueuse est : Avec : Pm et Pv : Pression à l’amont et à l’aval de la conduite en Pascal [M * L-1 * T-2] D, R et L : Diamètre, rayon et longueur de la conduite en mètre [L] ζ: Contrainte tangentielle (équivalente à une pression) en Pascal [M * L-1 * T-2] Exemple : Soit une conduite horizontale de (R = 6 cm, L = 300 m) qui fait transiter un liquide de masse volumique 0.82 kg / l. Les piézomètres indiquent que la pression au point amont est Pm = 1.05 mCE et la pression au point aval est Pv = 0.55 mCE

  ( Pm  Pv ) R  ( Pm  Pv ) D 2L 4L


ET TOPOGRAPHIE DE


54

1. Faire la représentation qualitative de Bernoulli. 2. Calculer la variation de pression, et en déduire l’énergie perdue entre ces deux points. ΔP / ρg = Pm / ρg - Pv / ρg = 1.05 mCE – 0.55 mCE = 0.5 mCE ΔP = 0.5 * 0.82 * 1000 * 10 = 4 100 Pa Et graphiquement, on a : W perdue = ΔP / ρg = 0.5 mCE 3. Calculer la contrainte tangentielle provocante ces pertes d’énergie R 0 . 06   ( Pm  Pv )  4100 *  0 . 41 Pa 2L 2 * 300 Remarque : 

Ne pas oublier, qu’ici, le diamètre ne change pas, et par suite, la vitesse est une constante.



Rappelons les différences entre hydrostatique et écoulement (parfait et réel en schéma)

6.2.7 CALCUL DE LA VITESSE Vu l’existence de la viscosité du liquide, qui crée une résistance à l’écoulement, et au niveau d’une section donnée dans la conduite, la vitesse ne peut être la même au niveau de la dite section. Ainsi; la couche d’eau qui est en contact avec la paroi, a une vitesse nulle, alors qu’au milieu de la conduite, la vitesse devra être maximale. (Voir figure) Par définition de la contrainte tangentielle, on a (au niveau de la section) :

   V   y

dV dy

 

dV dR

En passant au infiniment petit

Dans cet exemple, le rayon remplace l’espace existant entre les deux plaques. Et la contrainte tangentielle a été évaluée à :   ( P m  P v) R 2 L Soit, en combinant les deux formules, on a :

  dV dr

 ( Pm

 Pv ) r 2L

Remarque : Le signe moins est introduit dans la formule vu que dV et dR sont de signe contraire. C'està-dire : Quand r augmente de zéro (le centre) à R (rayon du cylindre), la vitesse au contraire diminue de Vmax (au centre) à Zéro (en contact de la paroi) On a l’équation suivante à intégrer :

μ * dV / dr = - ΔP * r / 2L ; C’est ce qui donne :

dV = - ΔP / 2L / μ * r * dr


ET TOPOGRAPHIE DE


55

V = - ΔP / 2L / μ * r2 / 2 + Cste

Soit :

Après l’intégrale, et en adaptant les conditions aux limites suivantes :  Pour r = 0 ; on a : V = Vmax (non prise en considération)  Pour r = R ; on a : V = 0 ; Soit : 0 = ΔP / 2L / μ * R2 / 2 + Cste  Et pour un rayon quelconque r, on a une vitesse quelconque v,

R2  r2 V  ( Pm  Pv ) 4 L En conclusion : On a l’équation d’un paraboloïde qui se met sous la forme y = a – b x2 dans le plan. D’où la représentation du profil de la vitesse donnée ci contre en coupe. Avec : Pm et Pv Pressions amont et aval dans la conduite → [M*L-1*T-2] et c’est en S.I le Pascal. R, r et L Rayon et longueur de la conduite en m. μ Viscosité dynamique du liquide → [M * L-1 * T-1] et c’est en S.I le Kg/m/s. Exemple : Soit une conduite de diamètre D = 400 mm qui transporte de l’eau à 5 °C (de masse volumique ρ = 999.99 kg/m3 et viscosité dynamique μ = 15.5 * 10-4 kg/ms). La variation de pression au bout d’une longueur L = 1 km est 0.03 mCE g = 9.81 S.I 1. calculer la variation de la pression

294.3 Pa

Pm - Pv = 999.99 kg/m3 * 0.03 mCE * 9.81 m/s/s = 294.297 Pa 2. Donner l’équation de la vitesse en une section donnée S R2  r2 V  ( Pm  Pv ) 4L 3. Donner l’équation de la vitesse v (r) en une section donnée est V(r) = 294.297 * (0.04 – r2) / (4 * 15.5 * 10-4 * 1000) = 47.467 * (0.04 -– r2) = 1.899 - 47.467 * r2 4. En déduire la vitesse max. V max = 1.899 m / s au centre de la conduite 5. Donner le graphe de la vitesse V (r)


ET TOPOGRAPHIE DE


56

En résumé ; on a :   

6.2.8

Une vitesse nulle en contact avec la paroi de la conduite. Une vitesse maximale au milieu de la conduite. Et une vitesse variable entre les deux bornes qui suit une loi parabolique en une coupe diamétrale donnée.

NOTION DE VITESSE MOYENNE

Rappelons qu’au niveau d’une section donnée, la vitesse instantanée a la forme paraboloïdale v = f (r). Alors qu’en pratique, il faudra avoir une seule donnée représentative pour simplifier les calculs ; d’où, l’introduction de la notion de la vitesse moyenne. La notion de vitesse moyenne se définit à partir de l’équation de la continuité pour un écoulement permanent.

Q  S *U Soit : U

m



m





 u * ds

u * ds



Dans laquelle S =

ds

avec u  ( P m  Pv )

R

 ds

= Π * R2. Et

Q  S *U

m



 u * ds

 r2 à intégrer : 4L 2

Umoy = (ΔP * R2) / (8 * μ * L) N.B : Ne pas oublier de faire la vérification de l’équation aux dimensions. La vitesse moyenne est :    

Proportionnelle à la chute de pression ΔP. Proportionnelle au carré du rayon de la conduite R. Inversement proportionnelle à la viscosité dynamique du liquide μ Inversement proportionnelle à la longueur de la conduite L.

Exemple : Dans une conduite horizontale de diamètre D = 100 mm et de longueur L = 1.04 km, circule de l’eau à 20°C. Si, par des piézomètres, on lit Pm = 1.81 mCE et Pv = 1.25 mCE . ρg = 10 000 S.I 1. Faire la représentation de Bernoulli

2. Calculer la variation de pression. 5 600 Pa ΔP / ρg

= (Pm - Pv) / ρg

=1.81 – 1.25 = 0.56 mCE = . . . . . . = 5 600 Pa




ET TOPOGRAPHIE DE


57

3. Trouver la viscosité μ = (voir tableau) = 10.25 * 10-4 kg/ms 4. Calculer la vitesse moyenne

1.64 m/s

U moy = (ΔP * R2) / (8 * μ * L) = 5 600 * 0.052 / (8 * 10.25 * 10-4 * 1040) = 1.642 m/s 5. Calculer la vitesse max 3.29 m/s L’équation de la vitesse, au niveau d’une section donnée est : Et pour

2 r = 0, la vitesse maximale sera : V  ( P m  Pv ) R

4L

2

-4

V max = 5600 * 0.05 / (4 * 10.25 * 10 * 1040) = 3.283 m/s 6. Existe t-il deux débits ? un débit moyen et un autre max !? à calculer !

12.91 L/s

Vu l’équation de la continuité, il n’y a QU’UN SEUL DÉBIT. vitesse moyenne sera donnée par l’équation : Q  S * U

m

Q = U m* S = 1.642 * Π * 0.052 = 12.896 L/s 7. Calculer l’énergie cinétique, peut –elle être représentée ?



 u * ds 0.13 mCE

Wc = U2 / 2g = 1.6422 / 2g = 0.135 mCE (Bien négligeable devant les pressions . . .)

6.2.9 NOTION DE PERTE DE CHARGE (PRESSION) Rappel : En électricité, la loi d’Ohm définit la perte d’énergie et porte le nom de ddp (différence de potentiel) au niveau d’une résistance morte ; Cette perte d’énergie se dissipe sous forme d’énergie calorifique et s’exprime par :

ΔU = R I = ρ (L / S) I Définition : De même, on définit en hydraulique, la perte d’énergie aussi et porte le nom de PdC (perte de charge) qui a pour origine l’existence de forces résistantes donnant lieu à un travail résistant (ou énergie perdue) Vu l’existence de forces résistantes (et principalement des forces viscosité et éventuellement des forces rugosité en second lieu) qui s’opposent au mouvement, les forces de pression diminuent à fur et à mesure que le liquide s’écoule afin d’annuler ces forces résistantes.

Cette chute (diminution) de pression s’appelle P d C : PERTE de CHARGE.



ET TOPOGRAPHIE DE

58

En général, les pertes de charge (PdC) se définissent par la variation de la pression étoilée et s’expriment comme toute énergie en hydraulique en mCE, en admettant que la vitesse est une constante, selon la formule :

 P



PdC

Avec, rappelons le

*

 g



 P

 g

  z

U moy = (ΔP * R2) / (8 *μ * L)

Soit : PdC = 8 μ L * Umoy / ρ g R2 = 32 μ L * Umoy / ρ g D2 Pdc



64 UD 

2



*

L * u D 2 g



64 L U 2 * *  Re D 2 g

2

f *

L * u D 2 g

Avec : (Vérifier l’équation aux dimensions) U : Vitesse moyenne qui sera dorénavant prise en considération toujours en m/s. D, L: Diamètre et Longueur de la conduite en m. g : Accélération du lieu g = 8.91 m / s / s → [L * T-2]. ρ : Masse volumique du liquide en Kg / m3 → [M * L-3]. μ : Viscosité dynamique du liquide en kg / m / s → [M * L-1 * T-1] PdC : Perte de charge au cours de l’écoulement en mCE. f : Coefficient des pertes de charge sans unité !

Conclusion

Pdc



f

*

L D

*

u

2

2 g

SOIT : 

Les PdC sont fonction des dimensions de la conduite o Les PdC sont proportionnelles à la longueur de la conduite L o Les PdC sont Inversement proportionnelles au diamètre de la conduite D

 

Les PdC sont fonction de l’écoulement: Elles sont proportionnelles à l’énergie cinétique Les PdC sont fonction de la nature du liquide représentée ici par le premier terme f = 64 qui regroupe à la fois : UD   o L’écoulement du liquide représenté par la vitesse U. o La conduite représentée par le diamètre D o Le liquide représenté par sa masse volumique et sa viscosité cinématique

Remarque : Un liquide peur être représenté par :    

Sa viscosité dynamique μ en kg/ms Sa viscosité cinématique ν en m2/s Sa masse volumique ρ en Km/m3 La relation reliant ces trois grandeurs est μ = ν * ρ

Exemple : Soit une conduite de diamètre D = 20 mm et de longueur L = 100 m qui transporte un liquide caractérisé par (d = 0.998 ; ν = 1.007 * 10-6 m2/s) avec une vitesse V = 0.03 m/s. g = 10 S.I


ET TOPOGRAPHIE DE


59

4.5 * 10-5 mCE

1. Calculer l’énergie cinétique.

Wc = U2 / 2g = 0.0 32 / 2g = 4.5 * 10-5 mCE 2. Calculer le coefficient des PdC si on suppose que l’écoulement est laminaire 1.07 f 

64 UD 



= 64 * 1.007 * 10-6 / (0.03 * 0.02) = 1.074 13

3. Calculer les PdC si on suppose que l’écoulement est laminaire

0.024 mCE

2

= 1.074 * (100 / 0.02) * 4.5 * 10-5 = 0.024 mCE  f * L *u D 2 g 4. En déduire la variation de la pression. Pdc

La perte de pression est donnée par les pertes de charge, c’est ce qui se représente graphiquement par : Refaire d’autres exemples de conduites de profil ascendantes et descendantes 5. Faire la représentation de Bernoulli 6.2.10 LOI DES PERTES DE CHARGE Rappelons que l’expression des pertes de charge en fonction du nombre de Reynolds est : 2

2

Pdc  64 * L * u Ou Pdc  f 0 * L * u D 2g Re D 2 g

avec

f 0  64 Re

et

Re  U * D *  / 

Et c’est ce qui porte le nom de la FORMULE DE DARCY (expression de pertes de charge selon Darcy pour un écoulement laminaire) RÉSUMÉ : La formule des pertes de charge en écoulement laminaire se résume en trois points :

Pdc 



64 Re

*

L D

*

u

2

2 g

Les PdC sont fonction des dimensions de la conduite  Les PdC sont proportionnelles à la longueur de la conduite L  Les PdC sont Inversement proportionnelles au diamètre de la conduite D

 

Les PdC sont fonction de l’écoulement: Elles sont proportionnelles à l’énergie cinétique U2/2g Les PdC sont fonction de la nature du liquide représenté par le nombre de Reynolds. Elles sont inversement proportionnelles au nombre de Reynolds Re.


ET TOPOGRAPHIE DE


60

6.3 ÉCOULEMENT TURBULENT 6.3.1 RAPPEL Un écoulement est dit laminaire, quand les particules (constituants les filets liquides) se déplacent en lignes droites parallèles les unes aux autres.

6.3.2 DÉFINITION Un écoulement est dit TURBULENT, si (constituants les lignes de courant) les particules du liquide (constituants les lignes de courant) se déplacent dans toutes les directions au hasard. Il est impossible de décrire le mouvement d’une particule donnée. Dans ce cas, les forces de rugosité sont prépondérantes. EXE1 : Soit un tuyau de diamètre D = 30 mm, qui transporte un débit Q = 1.05 l/s d’un liquide de viscosité cinématique 35.9 * 10-6 m2/s et de masse volumique 928 kg/m3. 1* Calculer la vitesse de l’écoulement

1.485

m/s

U = 4 * Q / π / D2 = 4 * 1.05 L / s / π / 0.032 2* Calculer le nombre de Reynolds

1.485

m/s

1 241

Re = U * D * ρ / μ = 1.485 * 0.03 * / (35.9 * 10-6) 3* De quel écoulement s’agit-il ?

=

= 1 241

Écoulement laminaire

Remarque : Dans cet exemple, la donnée de la masse volumique ne sert à rien. Faites bien attention aux données qui sont en excès ou éventuellement manquantes !! EXE2 : Soit un tuyau de diamètre D = 450 mm, qui transporte un débit Q = 240.5 l/s d’un liquide (de viscosité dynamique 1.05 * 10-4 kg/ms et de masse volumique 0.990 kg/L) 1* Calculer la vitesse de l’écoulement

1.5 m/s

U = 4 * Q / π / D2 = 4 * 240.5 L / s / π / 0.452 = 1.512 m/s 2* Calculer le nombre de Reynolds

6 415 920

Re = U * D * ρ / μ = 1.5 * 0.45 * 990 / (1.05 * 10-4) = 6 415 915 3* De quel écoulement s’agit-il ? Écoulement turbulent : Il n’est pas possible d’appliquer la loi de Darcy vue précédemment.


ET TOPOGRAPHIE DE


61

Rappel: Le nombre de Reynolds est un nombre sans dimension (sans unité) A vérifier ! 6.3.3

CONTRAINTE TANGENTIELLE

Vu la perturbation de la vitesse en écoulement turbulent, la contrainte tangentielle est la somme des deux termes :  Contrainte tangentielle visqueuse qu’on a notée : 

v

 

dV dy

 Contrainte tangentielle due à la turbulence qu’on note par analogie :  Par suite, La contrainte tangentielle GLOBAL sera :

 t   dV dy

  (    ) dV dy

Remarque :  Le coefficient μ (de la viscosité) est bien défini, il dépend du liquide avec (sa température et sa pression).  Alors que le coefficient η (de la turbulence) est compliqué dans sa formulation.

6.3.4

PERTES DE CHARGE

Vu ces turbulences, les pertes de charge NE peuvent se calculer d’une façon rigoureuse, du fait de cette complexité dans la détermination du coefficient η (de la turbulence) Mais, voici une approche tant que l’écoulement reste dans son ensemble permanent.

6.3.4.1 FACTEURS ENTRANT EN JEU D’une façon générale, et comme pour l’écoulement laminaire, on admet que les pertes de charge dépendent des facteurs suivants :  La vitesse de l’écoulement.  Les caractéristiques de la conduite (D, L et sa rugosité relative ε / D)  La nature du liquide en écoulement (ρ, μ)

Soit :

PdC = F (U, L, D, ε / D, ρ, μ)

6.3.4.2 ANALYSE DIMENSIONNELLE L’analyse dimensionnelle est constituée par le calcul des dimensions des grandeurs. Elle repose sur le fait que toutes les formules doivent être homogènes de point de vu équation aux dimensions. Si les PdC sont exprimées par une perte de pression, on a :


ET TOPOGRAPHIE DE


62

PdC = Δ pression = Cste* Da * μb * ρc * Ld * Ue * (ε/D) i Où a, b, c, d, e et i sont des paramètres à déterminer Par expérience, on a : Δ pression / ρ g = Cste * L ; C'est-à-dire que le paramètre d = 1 ÉQUATION AUX DIMENSIONS La pression a pour équation aux dimensions : [M] *[L-1] * [T-2] Soit, on a : [M L-1T-2] = Cte * [La] * [M L-1 T-1] b * [M L-3] c * [L1] * [L T-1] e * [L / L] i D’où, on aboutit aux systèmes d’équations suivantes : [M] → 1 = b + c [L] → -1 = a - b – 3c + 1 + e [T] → - 2 = - b – e

Système de trois équations à trois inconnus si on considère ‘e’ comme un paramètre pour la résolution : A faire ! ?

 Après la résolution du système d’équations, on a : a = e – 3, b = 2 – e et c = e – 1 avec ‘’e’’ considéré comme un paramètre toujours Et en remplaçant a, b et c par leur valeur, on a : Pdc = Δ pression = Cte * De-3 * μ2--e * ρe-1 * L1 * Ue * (ε / D) i Et si on fait intervenir le nombre de Reynolds, Re =

UD  ; on aura : 

PdC = Cte / Re 2-e * (ε / D)i * L / D * U2 / 2g

Formule qu’on peut mettre sous la forme de la loi de Darcy (en écoulement turbulent). PdC = f * L/D * U2/2g Avec f = Cte / Re 2-e * (ε / D) i Rappel : La loi de Darcy en écoulement laminaire est PdC = f * L/D * U2 / 2g Avec f = 64 / Re 6.3.4.3 EXPRESSION DES PERTES DE CHARGE On admet, pour tout type d’écoulement, que l’expression des pertes de charge dite linéaires, suit la loi de Darcy. Mais le problème réside dans la détermination du coefficient ‘f’

PdC = f * L / D * U2 / 2g




ET TOPOGRAPHIE DE


Pour l’écoulement laminaire, le problème est simple, on a :

63

f = 64 / Re

 Pour l’écoulement turbulent, le problème ne l’est pas, on a : f

= Cte / Re 2-e * (ε/D) i

En fin de compte : le problème réside dans la détermination des paramètres (constantes) ‘e’ et ‘i’. Et seules les expériences résolvent le problème.. . . . Sur ce, plusieurs formules empiriques ont été proposées. La plus générale et la plus utilisée est celle de Colebrook qui formule ‘f’ par l’expression suivante.

1 f



 2 lg(

 3 .7 D



2 . 51 Re

f

)

Avec : Re : Nombre de Reynolds sans dimension (à vérifier !) D : Diamètre de la conduite en m → [L] f : Coefficient des pertes de charge sans dimension ; à vérifier ! ε : Rugosité de la conduite en m → [L] ; en voici quelques exemples. Nature du matériau

k (mm)

Nature

k (mm)

Acier neuf revêtement plastique et lisse non poreux

0,05 0,03 0,03

Béton neuf (centrifugé) moules lisses moules grossiers

0,04 0,4 2,0

Fonte neuve revêtement bitume revêtement ciment

0,5 0,12 0,07

Fibrociment neuf

0,06

Aluminium neuf

0,02

Grès vernissé

0,08

Cuivre et Plomb neuf

0, 01

Plastique

0,002

Laiton

0,003

Bois

0,3

Remarque : 

Pour les nombres de Reynolds trop grand, on pourra négliger le deuxième terme 2.51 / (Re * f01/2) devant le premier terme ε / (3.7 * D). D’où, une valeur approchée sera donnée par :

1 / (f0) 1/2 ≈ - 2 * lg (ε / (3.7 * D)) 

L’exemple suivant trace la méthodologie à suivre pour résoudre l‘équation en ‘f’ par la méthode des approximations successives

Exemple : Calculer le coefficient f des pertes de charge, selon la loi de Darcy, si on a : ε = 0.3 mm, D = 100 mm et Re = 4 550 *0 quelle type d’écoulement a-t-on ? Quelle formule va-t-on utilisée ? Écoulement turbulent, qui donne la formule de Colebrook *1 Calculer le terme approximatif f0

0.026 165

1 / (f0)½ ≈ - 2 lg (ε / 3.7 / D) = - 2 * lg (0.3 / 3.7 / 100) = 6.182 Ce qui donne en première approximation f0 ≈ 0.026 165


ET TOPOGRAPHIE DE


64

*2 Remplacer cette valeur dans l’expression (-2 log (ε/3.7/D + 2.51/Re/ f01/2) pour calculer f1 1/ (f1) ½ = -2 lg (ε / 3.7 / D + 2.51 / Re / f01/2) = -2 lg (0.3 /3.7 / 100 + 2.51 / 4 550 / 0.0261651/2) = 4.749 Ce qui donne approximativement f1 = 0.044 338 *3 Répéter l’étape *2 pour calculer f2 ce qui donne approximativement 1/ (f2) ½ = - 2 lg (ε / 3.7 / D + 2.51 / Re / f11/2) = - 2 lg (0.3 / 3.7 / 100 + 2.51/ 4 550 / 0.044 341/2) = 4.929 Ce qui donne approximativement f2 = 0.041 157 *4 Et ainsi de suite jusqu’à ce que la précision recherchée soit atteinte. Soit :

fi-1 ≈ fi ≈ fi+1 On admet que f ≈ 0.041 523 565

0,000 810 811

RÉSOLUTION DE L’ÉQUATION DONNANT LE COEFFICIENT ‘f’ DES PERTES DE CHARGE DE LA LOI DE DARCY ε (mm) = 0,3 D (mm) = 100 Re = 4 550 (1) (2) (3) (4) = (2) + (3) (5) (6) 0,5 f proposé ε/3,7/D 2,51 / Re / f Somme -2 lg10(Somme) F corrigé 0,000 810 811 6,182 160 939 0,026 164 919 0,026 164 919 0,003 410 379 0,004 221 190 4,749 130 260 0,044 337 565 0,044 337 565 0,002 619 850 0,003 430 661 4,929 244 467 0,041 156 581 ….. …….. …….. …… …… ……. ……… ……. ………… ………. 0,041 523 562 0,002 707 167 0,003 517 978 4,907 413 846 0,041 523 565 0,041 523 565 0,002 707 167 0,003 517 978 4,907 413 868 0,041 523 565 On admet que f ≈ 0.041 524 alors que F0 ≈ 0.026 165 Remarque : Ce calcul pourra être fait avec Excel d’une façon très rapide. (Voir TD) EXEMPLE : Soit une conduite placée dans un terrain supposé horizontal, de diamètre D = 300 mm et ayant une rugosité ε = 1.5 mm qui véhicule un débit Q = 100 l/s à la température ambiante (μ = 0.001 kg/m/s, ρ = 999 kg/m3) sur une longueur L = 1.5 km g = 10 S.I *1 Calculer la vitesse de l’écoulement et l’énergie cinétique 1.4 m/s U = 4 * Q / π / D2

= 4 * 0.1 / π / 0.32 = 1.415 m/s

Wc = U2 / 2g = 1.4152 / 2g = 0.1 mCE *2 Quelle est la nature de l’écoulement (turbulent, transitoire ou laminaire) ?

423 989

Re = U * D * ρ / μ = 1.415 * 0.3 * 999 / 0.001 = 423 989 : L’écoulement est turbulent


ET TOPOGRAPHIE DE

*3 Calculer le facteur f0 approximatif des PdC


65

0.030

1 / (f0)1/2 ≈ - 2 * log (ε / 3.7 / D) = - 2 * log (1.5 / 3.7 / 300) = 5.738 (f0)1/2 ≈ 1 / 5.738 = 0.174 Soit f0 = 0.1742 = 0.030 *4 En déduire les PdC linéaires approximatives

15.184 mCE

PdC ≈ f0 * L / D * U2 / 2g = 0.03 * (1 500 / 0.3) * 0.1 = 15.184 mCE *5 Calculer le facteur f exact des PdC f = 0.030 596

*6 En déduire les PdC linéaires exactes

15 mCE

PdC = f * L / D * U2 / 2g = = 0.030 596 * (1 500 / 0.3) * 0.1 = 15.298 mCE *7 Y a t – il une différence significative ? L’erreur = 2 %, Soit : aucune différence significative. L’utilisation de la valeur F0 approximative est suffisante. *8 Faire la représentation de Bernoulli (de préférence à l’échelle) en supposant que la pression aval restante est 1 mCE

CONCLUSION :  Dans la pratique du génie rural, on a en général des écoulements turbulents. L’écoulement laminaire n’a lieu par exemple qu’en irrigation Goutte à Goutte, où on a :  

Les vitesses faibles Les diamètres faibles

Re = U D ρ / μ

Qui donnent des nombres de Reynolds très faibles !  Par suite, le coefficient ‘f’ des pertes de charge, pour ces écoulements turbulents, devra être déterminé par la formule de Colebrook.  Cette formule de Colebrook est universelle. Mais son utilisation est compliquée. Par conséquent, et dans la pratique, la détermination des PdC se fait par d’autres formules d’un emploi beaucoup plus simplifié. (voir chapitre suivant)


ET TOPOGRAPHIE DE


66

6.4 NOTION DE PERTES DE CHARGE UNITAIRES Quel que soit le type de l’écoulement, la formule des pertes de charge linéaires suit la loi de Darcy.

PdCL = f * L / D * U2 / 2g Par suite, on définit les pertes de charge unitaires par :

PdCu = PdCL / L = f * 1 / D * U2 / 2g Avec : PdCL : Pertes de charge linéaires en mCE PdCu : Pertes de charge unitaires en mCE / mL (mètre linéaire de la conduite)

6.5 NOTION DE PERTE DE CHARGE SINGULIÈRE Dans la pratique, les conduites sont un ensemble de tronçons qui comportent :   

De joints qui permettent de rassembler les tronçons de la conduite. Et des divers accessoires tels que les coudes, cônes, Tés, vannes, … (voir hydraulique appliquée). …….

Par suite, tous ces divers accessoires donnent lieu à des forces de frottement (forces résistantes supplémentaires) additionnelles, qui se traduisent par une perte d’énergie en plus (à ajouter). C’est ce qui s’appelle par les pertes de charge singulières ou localisées. Le tableau suivant en donne une idée globale : Accessoires Perte à l’entrée : Du réservoir à une conduite

Connexion au ras de la paroi Tuyau entrant Connexion arrondie Perte à l’entrée : D’une conduite au réservoir Divergence brusque Divergence progressive K = f (D1 / D2, α)

Ainsi, on a globalement:

PdC 0.5 * U2 / 2g 1.0 * U2 / 2g 0.05 * U2 / 2g 1.0 * U2 / 2g (U1-U2)2 / 2g K * (U1-U2)2 / 2g

PdCT = PdCL + PdCs

Avec : PdCT : Pertes de charge totales dans la conduite. PdCL : Pertes de charge linéaires dans la conduite. PdCs : Pertes de charge singulières dans la conduite.


ET TOPOGRAPHIE DE


67

Remarque :  Comme toutes PdC, l’expression des pertes de charge singulières se fait en fonction de l’énergie cinétique (voir tableau).  Dans la pratique, l’estimation des pertes de charge singulières n’est pas si simple pour plusieurs raisons.  Ainsi, et pour simplifier, les pertes de charge singulières s’estiment à 10 à 20% des pertes de charges linéaires en première approximation.

PdCT ≈ 1.15 * PdCL En résumé :  Les pertes de charge singulières sont : PdCs  Les pertes de charge unitaires sont : PdCu  Les pertes de charge linéaires sont : PdCL  Les pertes de charge totales sont : PdCT

= K * U2 / 2g = f * 1 / D * U2 / 2g = PdCu * L = PdCL + PdCs ≈ 1.15 * PdCL

6.6 APPLICATIONS AUX MACHINES HYDRAULIQUES  En hydraulique, il y a des machines qui reçoivent de l’énergie hydraulique et la transforment en une autre forme d’énergie telle que : o Énergie mécanique : C’est le cas du moulin à eau o Énergie électrique : C’est le cas de la turbine o …  Et réciproquement, il y a des machines qui reçoivent une énergie donnée pour la transformer en énergie hydraulique : C’est le cas des pompes  À ne pas oublier que dans toute transformation d’énergie, il y a toujours une partie de cette énergie transformée qui est perdue. D’où, on a :

6.6.1 NOTION DE LIGNE PIÉZOMÉTRIQUE

Pour une turbine, l’énergie transformée est l’énergie potentielle hydraulique à laquelle il sera déduit les pertes d’énergie. En d’autres termes, la turbine ne donnera qu’une énergie correspondante à : Énergie transf = Énergie tot - Σ Pertes

Hm = Hg

-

ΣPdC

Pour une pompe, l’énergie cédée à l’eau est la somme de l’énergie potentielle hydraulique à laquelle il sera ajouté les pertes d’énergie. En d’autres termes, la pompe devra vaincre la Hg et les PdC. Soit : Énergie transf = Énergie tot + Σ Pertes

Hm = Hg + Σ P d C


6.6.2

ET TOPOGRAPHIE DE


68

NOTION DE HAUTEUR MANOMÉTRIQUE  Pour une pompe; on a : Hm  Pour une turbine; on

= Hg a : Hm = Hg

+ –

Σ PdC Σ PdC

(Aspiration et refoulement) (Amont et aval)

Remarques :    

Une ligne piézométrique est toujours décroissante. (représentation des PdC qui symbolisent les pertes d’énergie) qui croissent toujours vu l’existence des forces résistantes. Au niveau de la pompe, il y a un accroissement brusque d’énergie hydraulique qui provient de la transformation de l’énergie mécanique reçue par celle-ci Au niveau de la turbine, il y a une chute brusque d’énergie hydraulique qui provient de la transformation de cette énergie hydraulique en énergie mécanique donnée par celle-ci au milieu extérieur. Ceci vous rappelle la notion de générateur et de récepteur en courant continu o Pour un générateur, on a : DdP = U = E – r * I o Pour un récepteur, on a : DdP = U = E + r * I Pour plus de détail, voir le cours des machines hydrauliques, ….

Exe 1 : Soit une pompe qui refoule un débit d’eau 34.5 l/s d’un réservoir ayant une cote eau Z1 = 324.25 mNGM à un autre réservoir ayant une cote eau Z2 = 431.05 mNGM à travers une conduite de caractéristiques (L = 2.5 km, D = 200 mm, ε = 2.5 mm) 1. Calculer l’énergie cinétique Wc

0.06 mCE

U = 4 * Q / π / D2 = 4 * (34.5 / 1000) / π / 0.22 = 1.098 m/s Wc = U2 / 2g = 1.0982 / 20 = 0.06 mCE 2. Calculer le coefficient approximatif des pertes de charge

0.041

1 / (f0)1/2 = - 2 * log (ε / 3.7 / D) = - 2 * log (2.5 / 3.7 / 200) = 4.943 Soit : f0 = 1 / 4.9432 = 0.041 3. En déduire les pertes de charge à l’aspiration et au refoulement approximatives 31 PdC = f0 * L / D * U2 / 2g = 0.041 * 2 500 / 0.2 * 0.061 = 31.207 mCE 4. Calculer la hauteur manométrique

138

mCE

Hm = (Z2 – Z1) + PdC = (431.05 – 324.25) + 31.21 = 138.01 5. Faire la représentation quantitative de Bernoulli

mCE


ET TOPOGRAPHIE DE


69

6. Peut-on négliger l’énergie cinétique ? Wc = U2 / 2g = 1.0982 / 20 = 0.06 mCE. Alors que Hm = 138 mCE L’énergie cinétique est bien négligeable. 7. Calculer puissance hydraulique de la pompe.

48 kW

Ph = ρ * g * Q * Hm = 1 000 * 10 * (34.5 / 1 000) * 138.01 = 47.613 kW Exe 2 : Soit une turbine qui reçoit un débit Q = 1.45 m3/s à partir d’un réservoir ayant une cote eau Z1 = 62.28 mNGM pour le livrer à un autre réservoir ayant une cote eau Z2 = 18.42 mNGM. La conduite a les caractéristiques (L = 0.23 km, D = 1 500 mm, ε = 3 mm) 1. Calculer la vitesse et l’énergie cinétique Wc

0.8 m/s

0.034 mCE

U = 4 * Q / Π / D2 = 4 * 1.45 / Π / 1.52 = 0.821 m/s Wc = U2 / 2g = 0.822 / 2g = 0.034 mCE 2. Calculer le coefficient approximatif des pertes de charge

0.023

1 / (f0)1/2 = - 2 * log (ε / 3.7 / D) = - 2 * log (3 / 3.7 / 1 500) = 6.534 Soit : f0 = 1 / 6.5342 = 0.023 3. En déduire les pertes de charge approximatives à l’amont et à l’aval de la turbine PdC = f0 * L / D * U2 / 2g = 0.023 * (230 / 1.5) * 0.034 = 0.123 mCE 4. Faire la représentation de Bernoulli qualitative et quantitative

5. Peut-on négliger l’énergie cinétique Wc

6. En déduire la hauteur manométrique

44 mCE

Hm = (Z2 – Z1) - PdC = 62.28 – 18.42 + 0.123 = 43.98 mCE 7. Calculer puissance hydraulique de la turbine.

638 kW

Ph = ρ * g * Q * Hm = 1000 * 10 * 1.45 * 43.98 = 637.76 kW

0.123


ET TOPOGRAPHIE DE


70

6.7 NOTION DE DONNÉES ÉQUIVALENTES Jusqu’à présent, le calcul des PdC à travers une conduite se fait en supposant que le débit qui traverse la conduite est constant tout le long de la dite conduite. Mais, comment peut on calculer ces pertes de charge au cas où le débit varie le long de la conduite (lorsqu’il y a une distribution d’eau le long de la conduite par exemple) ? Pour en répondre, il faudra définir la notion de données équivalentes qui peuvent être soit le débit ou éventuellement la longueur.

6.7.1 NOTION DE LONGUEURS ÉQUIVALENTES Voir le cours de l’irrigation par d’aspersion ou de l’irrigation goutte à goutte (localisée)

6.7.2 NOTION DE DÉBITS ÉQUIVALENTS Voir le cours de l’AEP


ET TOPOGRAPHIE DE


71

EXERCICES MÉTHODE ITÉRATIVE POUR LE CALCUL DE f EXE 1: Calculer le coefficient ‘f’ des pertes de charge, selon la loi de Colebrook, si on a : ε = 2 mm, D = 150 mm, Re = 32 5000

1 f

  2 lg(

2 . 51 2  3 . 7 *150 325000 *

f

)

Remarque : Ce calcul pourra être fait avec Excel d’une façon très rapide. (Voir TD) NOTION DE PdC EN GÉNÉRAL EXE 2. Calculer la perte de charge dans un tuyau de 15 cm s’il est nécessaire de maintenir une pression de 23.5 N/cm2 en un point A en amont et situé 1.8 m en dessous de l’endroit B où le tuyau déverse de l’eau dans l’atmosphère avec un débit de 55 L/s **0 Faire le schéma de la représentation de Bernoulli

**1 Calculer la vitesse

3 m/s

V = Q / S = 4 * Q / π / D2 = 4 * 55 * 10-3 / π / 0.152 = 3.11 m/s

**2 Donner la valeur de l’expression du théorème de Bernoulli en A (à l’entrée du tuyau) 24 mCE Ha = Z + P / ρg + U2 / 2g = 0 + 23.5 mCE + 3.112 / 20 = 23.98 mCE ≈ 24 mCE

**3 Donner l’expression du théorème de Bernoulli en B (à la sortie du tuyau) Hb = Z + P / ρg + U2 / 2g = 1.8 + 0 + 3.112 / 20 = 2.28 mCE

**4 En déduire les pertes de charge entre A et B PdC = Ha – Hb = 24 - 2.28 = 21.72 mCE

21.72 mCE

2.28


ET TOPOGRAPHIE DE


72

EXE 3. Une pipe line de diamètre D = 30 cm transporte de l’huile de densité d = 0.811 à la vitesse V = 24 m/s. Au point A on a : Pa = 3.7 kgf/cm2, Za = 30 m, et au point B on a : Pb = 2.96 kgf/cm2, Zb = 33 m. **1 Calculer l’énergie totale en A et B.

104.4 mCE

98.3 mCE

Ha = Z + P/ρg + U2/ 2g = 30 + 37 / 0.811 + 242/ 20 = 104.4 mCE Hb = Z + P/ρg + U2/ 2g = 33 + 29.6 / 0.811 + 242/ 20 = 98.3 mCE **2 En déduire la perte de charge entre A et B

6.1 mCE

PdC = Ha - Hb = 104.4 - 98.3 = 6.1 mCE EXE 4. Une conduite transportant de l’huile de pétrole de densité d = 0.877 passe de 15 cm de diamètre à la section 1 à 45 cm à la section 2. La section 1 est située 3.6 m plus bas que la section 2 et les pressions sont respectivement de 9.3 N/cm2 et de 6.15 N/cm2. **1 Si le débit est Q = 146 L / s, Calculer V1 et V2.

8 m/s

0.9 m/s

V = Q / S = 4 * Q / π / D2 V1 = 4 * 0.146 / π / 0.152 = 8.26 m/s V2 = 4 * 0.146 / π / 0.452 = 0.918 m/s **2 Calculer l’énergie au point 1 et au point 2 si on prend pour référence le point 1. 14.01 10.65 H1 = Z + P / ρg + U2 / 2g = 0 + 9.3 / 0.817 + 8.262 / 20 = 14.01 mCE H2 = Z + P / ρg + U2 / 2g = 3.6 + 6.15 / 0.817 + 0.9182 / 20 = 10.65 mCE **3 Donner le sens de la circulation du liquide avec un petit schéma

**4 En déduire la PdC.

3.35 mCE

PdC = H1 – H2 = 14.01 - 10.65 = 3.35 mCE


ET TOPOGRAPHIE DE


73

ÉCOULEMENT LAMINAIRE EXE 5 Soit une conduite (D = 20 cm, L = 1 000 m) qui débite de l’eau à la température ambiante. (Viscosité cinématique ν = 1.3 * 10-6 m2/s) *1 Quelle est la vitesse à ne pas dépasser pour que l’écoulement reste laminaire ? 0.013 Re = U * D / ν < 2 000 U < Re * ν / D = 2 000 * 1.3 * 10-6 / 0.2 = 0.013 m/s *2 Quelle est la PdC correspondante ?

0.001 4 mCE

PdC = (64 / Re) * (L / D) * U2 / 2g = (64 / 2 000) * (1 000 / 0.2) * 0.0132 / 2g = 0.001 4 mCE EXE 6. De l’huile de caractéristiques (viscosité μ = 0.010 3 kg/m/s ; densité d = 0.85) circule dans un tuyau de fonte (longueur L = 3000 m, Diamètre D = 30 cm) au rythme de 4.4 L/s. *1 Calculer la vitesse de l’écoulement.

0.06 m/s

V = Q / S = 4 * Q / π / D2 = 4 * 4.4 / 1 000 / π / 0.302 = 0.062 m/s *2 Calculer le nombre de Reynolds.

1 535

Re = U * D * ρ / μ = 0.062 * 0.3 * 1 000 * 0.85 / 0.010 3 = 1 535 *3 Calculer les PdC.

0.081 mCE

PdC = (64 / Re) * (L / D) * U2 / 2g = (64 / 1 535) * (3 000 / 0.3) * 0.0622 / 2g = 0.081 mCE EXE 7. On pompe une huile à lubrifier de densité d = 0.86, par un tuyau horizontal (D = 5 cm ; L = 300 m) au rythme de 1.2 L/s. Si la chute de pression est 2.1 kgf/cm2. Calculer : *1 La vitesse de l’écoulement

0.6 m/s

V = Q / S = 4 * Q / π / D2 = 4 * 1.2 * 10-3 / π / 0.052 = 0.61 m/s *2 Les pertes de charge le long du tuyau

24.4 mCE

PdC = ΔP / ρg = 21 / 0.86 = 24.4 mCE


*3 Le nombre de Reynolds

ET TOPOGRAPHIE DE


74

293

PdC = (64 / Re) * (L / D) * U2 / 2g, d’où on tire : Re = (64 / PdC) * (L / D) * U2 / 2g = (64 / 24.4) * (300 / 0.05) * 0.612 / 2g = 293 *4 En déduire la viscosité dynamique

0.1 kg/m/s

Re = U * D * ρ / μ ; D’où on tire: μ = U * D * ρ / Re = 0.61 * 0.05 * 1 000 * 0.86 / 293 = 0.09 kg/m/s EXE 8. Soit une conduite horizontale (L = 100 m, D = 100 mm) débitant du fuel (d = 0.861, ν = 5.16 * 10-6 m2/s) à la vitesse V = 7.5 cm/s. *1 Calculer le nombre de Reynolds Re = U * D / ν

1 453

= 0.075 * 0.1 / 5.16 10-6 = 1 453

*2 Calculer les pertes de charge PdC

0.012 mCE

PdC = (64 / Re) * (L / D) * U2 / 2g = (64 / 1453) * (100 /0.1) * 0.0752 / 20 = 0.012 mCE EXE 9. Soit une conduite (D = 0.02 m ; L = 100 m) qui débite 0.012 L/s d’un liquide à la température ambiante avec une PdC = 0.012 mCE *1 Quelle est la vitesse de l’écoulement ?

0.04 m/s

V = Q / S = 4 * Q / π / D2 = 4 * 0.012 * 10-3 / π / 0.022 = 0.038 m/s *2 Quelle est le nombre de Reynolds correspondant ?

1 925

Re = (64 / PdC) * (L / D) * U2 / 2g = (64 / 0.012) * (100 / 0.02) * 0.0382 / 20 = 1 925

*3 En déduire la viscosité cinématique du liquide Re = U * D / ν

3.95 * 10-7 m2/s

d’où on tire :

ν = U * D / Re = 0.038 * 0.02 / 1 925 = 3.95 * 10-7 m2/s


ET TOPOGRAPHIE DE


75

EXE 10. Soit une conduite (D = 0.025 m ; L = 3 100 m) qui débite un liquide à la température ambiante (ν = 1.3 *10-6 m2/s) avec une PdC = 2.06 mCE *1 Quelle est la vitesse de l’écoulement ?

0.1 m/s

PdC = (64 / Re) * (L / D) * U2 / 2g avec Re = U * D / ν ; Soit: PdC = (64 * ν / U / D) * (L / D) * U2 / 2g = (64 * ν / D) * (L / D) * U / 2g = (64 * 1.3 * 10-6 / 0.025) * (3 100 / 0.025) * U / 20 = 20.634 U = 2.06 mCE D’où en fin de compte U = 0.1 m/s *2 Quelle est le nombre de Reynolds correspondant ? Re = U * D / ν

= 0.1 * 0.025 / 1.3 * 10-6

*3 En déduire le débit de l’écoulement ?

1 923

= 1 923

0.05 L/s

Q = U * S = U * π * D 2 / 4 = 0.1 * π * 0.025 2 / 4 = 0.049 L/s EXE 11. Soit un tuyau à installer pour transporter 22 l/s de fuel-oil lourd à 15 °C (ν = 201 * 10-6 m2/s) qui a la perte de charge de 22 m / 1 000 m. *1 Donner l’expression de la vitesse en fonction du débit et la section du tuyau. Q = U * S donne U = 4 * Q / π / D2 = 4 * 22* 10-3 / π / D2 = 0.028 / D2 *2 En admettant que l’écoulement est laminaire, Quelle est la taille du tuyau ? PdC = (64 / Re) * (L / D) * U 2 / 2g avec U = 0.028 / D 2 ; Soit : PdC = (64 * ν / (U * D)) * (L / D) * U 2 / 2g = (64 * ν * L / D 2) * U 2 / 2g = (64 * ν * L / D 2) * 0.028 / D 2 / 2g = (64 * 201 *10-6 * 1000 * 0.028 / 20) / D 4 = 0.018 / D 4 = 22 mCE D’où en fin de compte D = 0.17 m *3 Vérifier l’hypothèse de l’écoulement laminaire

Re = 820

U = 0.028 / D 2 = 0.028 / 0.169 2 = 0.98 m/s Re = U * D / ν

= 0.98 * 0.169 / 201 *10 -6

*3 Faire la représentation de Bernoulli

= 820

0.169 m


ET TOPOGRAPHIE DE


76

ÉCOULEMENT TURBULENT EXE 12. Soit une conduite (D = 150 mm ; ε = 2.5 mm ; L = 1 000 m) donnant un débit Q = 30 L/s d’eau à la température ambiante. (ν = 1.3 * 10-6 m2/s) *1 Quel type d’écoulement a t- on ? Re = 195 883 U = Q / S = 4 * Q / π / D2 = 4 * 0.030 / π / 0.152 = 1.698 m/s Re = U * D / ν

= 1.698 * 0.150 / 1.3 * 10-6

= 195 883:

L’écoulement est Turbulent *2 Calculer le coefficient approximatif de PdC f0

0.045

1 / f01/2 = - 2 * log (ε / 3.7 / D) = -2 * log (2.5 / 3.7 / 150) = 4.693 Soit f0 = 1 / 4.6932 = 0.045 *3 Quelle est la PdC correspondante ?

43.7 mCE

PdC = f0 * (L / D) * U2 / 2g = 0.045 * (1 000 / 0.15) * 1.6982 / 2g = 43.7 mCE EXE 13. Soit une conduite (D = 250 mm ; ε = 2.5 mm ; L = 3 100 m) qui débite un liquide à la température ambiante (ν = 1.3 *10-6 m2/s) avec une PdC = 22.06 mCE *1 Calculer le coefficient de PdC approximatif

f0

0.038

1 / f01/2 = - 2 * log (ε / 3.7 / D) = -2 * log (2.5 / 3.7 / 250) = 5.136 Soit f0 = 1 / 5.1362 = 0.038 *2 Quelle est la vitesse de l’écoulement ?

U = 0.97 m/s

PdC = f0 * (L / D) * U2 / 2g = = 0.038 * (3 100 / 0.25) * U2 / 2g = 23.56 * U2 = 22.06 mCE Soit : U = 0.97 m/s *3 Quelle est le nombre de Reynolds correspondant ? 186 000 Re = U * D / ν = 0.97 * 0.25 / 1.3 * 10-6 = 186 000 : Ce qui justifie la formule de F0 *4 En déduire le débit de l’écoulement ? Q = U * S = U * π * D2 / 4 = 0.97 * π * 0.252 / 4 = 47.5 L/s

47 L/s


ET TOPOGRAPHIE DE


77

Exe 14: Soit une pompe qui refoule de l’eau à la vitesse U = 0.9 m/s d’un réservoir ayant une cote Z1 = 123.45 mNGM à un autre réservoir ayant une cote Z2 = 224.45 mNGM à travers une conduite de caractéristiques (La = 0. 34 km, Lr = 2.34 km, Da = Dr = 350 mm, ε = 3 mm) 1 Calculer l’énergie cinétique Wc

0.041 mCE

Wc = U2 / 2g = 0.92 / 2g = 0.041 mCE 2 Calculer le coefficient approximatif des pertes de charge

0.036

1 / (f0)1/2 = - 2 * log (ε / 3.7 / D) = -2 * log (3 / 3.7 / 350) = - 2 * log (0.002) = 5.27 Soit : f0 = 1 / (5.27) 2 = 0.036 3. En déduire les pertes de charge à l’aspiration et au refoulement 1.416 mCE

9.748

PdCasp = f * L / D * U2 / 2g = 0.036 * 340 / 0.35 * 0.041 = 1.416 mCE PdCref = f * L / D * U2 / 2g = 0.036 * 2 340 / 0.35 * 0.041 = 9.748 mCE 4. Calculer la hauteur manométrique 112.164

mCE

Hm = (Z2 – Z1) + (PdCasp + PdCref) = (224.45 - 123.45) + (1.416 + 9.748) = 112.164

mCE

5. Faire la représentation de Bernoulli

6. Calculer le débit de la pompe.

0.09 m3/s

Q = U * S = 0.9 * 3.14159 * 0.352 / 4 = 0.087 m3/s 7. Calculer la puissance hydraulique à développer par la pompe.

97.12 kW

Ph = ρ * g * Q * Hm = 1 000 * 10 * 0.087 * 112.16 = 97.12 kW 8. Calculer l’énergie reçue par cette pompe au bout de 10 h de fonctionnement si son rendement est 0.8. 1 214 KWh W = Ph * T / η = 97.12 * 10 / 0.8 = 1 214 KWh


ET TOPOGRAPHIE DE


78

Exe 15 : Soit une turbine qui reçoit un débit Q = 824.45 L/s à partir d’un réservoir ayant une cote Zm = 624.28 mNGM pour le livrer à un autre réservoir ayant une cote Zv = 218.42 mNGM. La conduite est de caractéristiques (Lm = 2.23 km, Lv = 0.015 km, Dm = Dv = 1 000 mm, ε = 3 mm) 1.

Calculer l’énergie cinétique Wc

0.055 mCE

U = 4 * Q / Π / D2 = 4 * 0.824 45 / 3.141 59 / 1 = 1.05 m/s Wc = U2 / 2g = 1.052 / 2g = 0.055 mCE 2.

Calculer le coefficient approximatif des pertes de charge

= 0.026

1 / (f0) 1/2 = - 2 * log (ε / 3.7 / D) = -2 * log (3 / 3.7 / 1 000) = - 2 * log (0.000 4) = 6.182 Soit : f0 = 1 / (6.736) 2 = 0.026 3.

En déduire les pertes de charge à l’amont et à l’aval de la turbine 3.215 mCE 0.022

PdCam = f0 * L / D * U2 / 2g = 0.026 * 2 230 / 1 * 0.055 = 3.215 mCE PdCav = f0 * L / D * U2 / 2g = 0.026 * 15 / 1 * 0.055 = 0.022 mCE 4.

Faire la représentation de Bernoulli

5.

En déduire la hauteur manométrique

402.6 mCE

Hm = (Zm – Zv) - (PdCam + PdCav) = (624.28 - 218.42) - (3.215 + 0.022) = 402.6 mCE 6.

Calculer puissance hydraulique de la turbine.

3 319.425 kW

Ph = ρ * g * Q * Hm = 1 000 * 10 * 0.824 45 * 402.6 = 3 319.425 kW 7. Calculer le rendement de cette turbine si au bout de 15 h de fonctionnement, l’énergie fournie est 40 800 kWh. 81.9 % η = Wf / (Ph * T) = 40 800 / (3 319.4 * 15) = 81.9 %


7

ET TOPOGRAPHIE DE


79

ÉCOULEMENT EN CHARGE

7.1 INTRODUCTION Au cours des chapitres précédents, il a été traité les écoulements des liquides en général. Mais, dans tout ce qui suit, il NE sera traiter QUE les écoulements de L’EAU. Dans les conditions normales; la température de l’eau durant les écoulements est de l’ordre d’une vingtaine de °C, on peut admettre en première approximation que :  En plus que la masse volumique (RHÔ) est une constante;  ≈ 1000 kg/m3  La viscosité dynamique (MU) est aussi une constante; η ≈ 0,001 kg/m/s  Ainsi que la vitesse des écoulements dans la pratique est comprise entre deux limites : o Limite inférieure dite d’ AUTO CURAGE : c’est la vitesse minimale, à ne pas dépasser, pour éviter les dépôts des matières en suspension entraînées par l’eau. En général, on admet Umin ≈ 0,5 m/s. o Limite supérieure à ne pas dépasser pour éviter les conséquences des énergies cinétiques trop élevées, qui risquent d’amplifier les dégâts tels que le coup de bélier et érosion des conduites. On admet Umax ≈ 1,6 à 2 m/s  Dans tout ce qui suit, on admet que : o La vitesse est comprise entre ces deux limites. Soit : 0.5 < U < 1.8 m/s o La valeur moyenne approximative est : U ≈ 1 m/s  De même, en hydraulique pratique, (hydraulique urbaine et / ou agricole); les diamètres rencontrés sont en gros de D = 60 mm à 1400 mm. Admettons pour simplifier D ≈ l000 mm.  D’où, on peut avoir l’ordre de grandeur suivant pour le nombre de Reynolds. Re = UDρ / η ≈ 1 m / s * 1 m * 1000 Kg / m3 / 0.001 kg / ms ≈ 1 000 000 Nombre largement supérieur à 4 000. CONCLUSION : Les écoulements rencontrés en hydraulique appliquée (urbaine et / ou agricole) sont, en général, des écoulements turbulents. (Re varie de 18 000 à 5 500 000) CAS PARTICULIER : Les écoulements des eaux dans les réseaux d’irrigation localisée (goutte à goutte) sont des écoulements laminaires (vu que les vitesses sont trop faibles ainsi que les diamètres des tuyaux).


ET TOPOGRAPHIE DE


80

7.2 DÉTERMINATION DES PDC EN HYDRAULIQUE u

En écoulement turbulent; les PdC sont de la forme : Pdc  f * L * D

1

donné par la formule de Colebrook.

f

2

Avec le facteur ‘f’

2g

  2 . 51 ) 3 .7 D Re f

  2 lg(

Ainsi ; en écoulements turbulents, on a : Re ≈ l 000 000, D ≈ l m et ε ≈ l mm

1 f

  2 lg( 0

 )   2 lg( 2 / 3 .7 / 1000 )  6 .534343 Soit f0 = 0.023 420 496 3 .7 D

0,000541

Et le calcul de f donne : (1) (2) (3) f proposé ε/3,7/D 2,51/Re/f0,5 0,023 420 000 0,000 016 401 0,023 607 727 0,000 016 336 0,023 606 988 0,000 016 336 0,023 606 990 0,000 016 336

(4) = (2) + (3) Som 0,000 556 942 0,000 556 877 0,000 556 877 0,000 556 877

(5) -2lg10(Som) 6,508 380 191 6,508 482 101 6,508 481 702 6,508 481 703

(6) f corrigé 0,023 607 727 0,023 606 988 0,023 606 990 0,023 606 990

En conclusion ; on a : f0 = 0.023 4, f = 0.023 6 et l’erreur est (f-f0)/f = 0.8 % Par conséquent : On peut négliger le terme 2.51 / Re / f1/2 devant le terme ε / 3.7 / D; SOIT : f 

f 0  1 / 4 / lg

2

(

 ) 3 .7 D

Exemple : Soit un tuyau à installer, de fonte neuf (D = ?, L = 2400 m ; ε = 2 mm) qui transporte 800 L/s d’eau avec une chute de la ligne piézométrique de 2.8 mCE. *1 Trouver l’expression des PdC. 2.8 mCE En appliquant Bernoulli, PdC = chute de la ligne piézométrique = 2.8 mCE *2 Donner l’expression approximative du coefficient des PdC en fonction du diamètre. 1 / f01/2 = - 2 * log (ε / 3.7 / D) ; Soit, on a :

f0 = 0.25 / log 2 (0.000 541 / D)

*3 Donner l’expression de la vitesse en fonction du diamètre. U = 4 * Q / π / D2 = 1.018 592 / D2 *4 En Déduire la formule du diamètre. PdC = f0 * (L / D) * U2 / 2g = 0.25 / log 2 (0.000 541 / D) * (2400 / D) * 0.051 876 / D4 Soit : 2.8 = 31.125 868 / log 2 (0.000 541 / D) / D5 *5 trouver le diamètre.

≈ 1 000 mm

Équation en D à résoudre, par itération, On trouve D = 1.0078 m Soit D ≈ 1 000 mm D (m) 0,8 Expression 9,5

0,9 5,1

1 2,9

1,1 1,8

,,, 1,01 ,,, 2,77

,,, 1,007 ,,, 2,811

1,008 2,797

,,, 1,0077 ,,, 2,8011

1,0078 2,7997


ET TOPOGRAPHIE DE


81

CONCLUSION : Ainsi, en hydraulique appliquée ; on peut admettre que :  

Le coefficient des pertes de charge ne dépend en première approximation que du coefficient de la rugosité relative si on veut appliquer la formule de Colebrook. f ≈ f0 Et malgré cette simplification de calcul du coefficient ‘’f’’, Le calcul du diamètre de la conduite reste trop compliqué….

 Sur ce, plusieurs formules empiriques ont été proposées, dans l’objectif de faciliter les calculs hydrauliques. En voici quelques-unes à titre d’exemple :

7.3 FORMULE DE HAZEN WILLIAMS Pour cet auteur, le coefficient de résistance (à l’écoulement du liquide) dépend de la rugosité relative, Mais il tient compte aussi des autres facteurs; par suite il propose la formule empirique suivante :

U = 0.8494 * C * Rh0.63 * Ju0.54

en S.I.

Avec : U : Vitesse de l’écoulement du liquide en m/s Ju : Perte de charge unitaire en mCE / mL Rh : Rayon hydraulique en m, qui se définit par la formule suivante : Rh = Sm / Pm et à ne pas confondre avec le rayon de la conduite (cercle) Sm : section mouillée en m2 Pm : Périmètre mouillé en m C : coefficient qui est fonction de la rugosité relative. Le tableau suivant donne une idée Caractéristique de la conduite Tuyaux droits et très lisses Tuyaux de fonte lisses et neufs Tuyaux de fonte usée …. Tuyaux de fonte en mauvais état

C 140 130 110 … 80

Remarque :  Essayer de faire la vérification de l’équation aux dimensions de cette formule : Pas possible.  Ne chercher plus à vérifier l’équation aux dimensions pour une formule empirique.  A ne pas confondre le rayon d’un cercle avec le rayon hydraulique Exemple de calcul de rayon hydraulique : Pour la forme circulaire, on a : Sm = Л * D2 / 4 Pm = Л * D Rh = Sm / Pm Rh = Л * D2 / 4 / Л * D = D / 4 Rh = D / 4

R : rayon du cercle


ET TOPOGRAPHIE DE


82

REMARQUES  Dans tout ce qui suit, les lois (formules) proposées ne respecteront plus les équations aux dimensions. Ce n’est que de l’empirisme.  Mais, les unités de ces lois (formules) sont toujours des unités S.I.  Le calcul pourra se faire aussi bien par abaque que par formule. Mais, le calcul par la formule est plus précis EXEMPLE : Soit une conduite en fonte usée de longueur L = 1000 m qui transite de l’eau d’un réservoir de cote 100 mNGM ; vers un autre réservoir à travers une conduite de diamètre D = 400 mm; le débit transité est Q = 150 l/s. *1 Calculer la vitesse de l’écoulement 1 m/s U = 4 * Q / π / D2 = 4 * 0.15 / π / 0.42 = 1.19 m/s *2 Calculer le rayon hydraulique

0.1 m

Rh = Sm / Pm = D / 4 = 0.1 m *3 Calculer les PdC selon H.W

4.6 mCE

Pour la fonte usée C = 110 : on a U = 0.8494 * C * Rh0.63 * Ju0.54 , soit PdCu = (U / 0.8494 / C / Rh0.63)1/0.54 = (1.19 / 0.8494 / 110 / 0.10.63)1/0.54 = 4.57 m/km PdCl = PdCu * L = 4.57 * 1000 = 4.57 mCE *4 L’énergie cinétique a-t-elle une importance ?

7 cmCE

U2 / 2g = 1.192 / 20 = 7 cmCE. . ▬► Ce qui est trop faible devant les PdC. *5 Quelle est la cote du deuxième réservoir ?

95 mNGM

Par application de Bernoulli entre les 2 réservoirs, Cv = Cm – PdC - U2 / 2g = 100 – 4.57 – 0.07 = 95.36 mNGM *6 Faire la représentation de Bernoulli

CONCLUSION : Pour une vitesse de l’ordre de 1 m/s L’énergie cinétique est de l’ordre du cm (5 cmCE) : Elle sera négligée dorénavant et le théorème de Bernoulli sera :

H = Z + p / ρ g + PdC = Cste


ET TOPOGRAPHIE DE


83

7.4 AUTRES FORMULES La formule de Hazen nécessite la connaissance de l’état de la conduite (conduites neuves, conduites usées, …). Et ceci constitue en quelque sorte un handicap à l’utilisation de cette formule et/ou les formules de ce type. D’autres auteurs ont, par conséquent, chercher d’autres formules spécifiques qui peuvent s’appliquer d’une façon plus simple, et c’est le cas de la formule de Scimemi, Scobey, …

7.4.1 POUR LE PLASTIQUE Cette formule est adaptée aux conduites fabriquées en plastique.

Q = 58.9 * D2.69 * ju0.561 et V = 75 * D0.69 * ju0. 56 en S. I 7.4.2 FORMULE SCIMEMI Cette formule est adaptée aux conduites fabriquées en amiante ciment, et qui porte le nom commercial au Maroc de DIMATIT

Q = 48.3 * D2.68 * ju0.56 et V = 61.5 * D0.68 * ju0. 56 en S. I 7.4.3 FORMULE DE SCOBEY Cette formule est d’un emploi plus général; elle peut être utilisée pour les conduites en béton, métaux, plastique et d’autres à condition de déterminer le coefficient K correspondant à la dite conduite.

Ju = 2587 * 10-6 * K * U1.89 / D1.09 K : coefficient qui caractérise la conduite

en S.I

0,12 < k < 0,69.

En voici quelques exemples Nature du tuyau Tuyau en acier soudé et neuf Tuyau en aluminium Tuyau en acier galvanisé …..

Coefficient K 0.12 0.40 0.42 …

7.4.4 RÉCAPITULATION Quelle que soit la formule empirique utilisée, la vitesse est de la forme U = A * Db * Jc en S.I, avec A, b et c sont des coefficients à déterminer. Pour Harem Williams U = 0.85 *C * Rh0.63 * Ju0.54 Pour Scimemi U = 61.5 * D0.68 * ju0.56 Pour le plastique U = 75 * D0.69 * ju0.56 0.7

Et par suite, le débit sera : Q = U * S ≈ K * D

C’est ce qui se résume-en :

U ≈ K * D0.7 * Ju0.5 * J0.5 * π * D2 / 4


ET TOPOGRAPHIE DE

Après le calcul, la formule des PdC peut s’écrire Avec (Pour toutes ces lois) :


84

J≈ K * Q* L / D5

U : Vitesse moyenne de l’écoulement en m/s D : diamètre de la conduite en m J : Perte de charge en mCE Q : Débit écoulé en m3/s K : coefficient qui caractérise la rugosité de la conduite L : Longueur de la conduite en m. CONCLUSION : En première approximation, bien retenir que les pertes de charge linéaires sont : Proportionnelles à la longueur. PdC = α * L Proportionnelles au carré du débit. PdC ≈ α * Q2 Inversement proportionnelles au diamètre puissance 5. PdC ≈ α / D5 Fonction de la nature de la conduite.

   

7.5

CALCUL DES CONDUITES

Le calcul des conduites consiste à déterminer une donnée connaissant les autres (Q, PdC, Cote amont, cote aval, ….) aussi bien par la formule que par l’abaque qui manque de précision.

7.5.1 CALCUL DES PERTES DE CHARGE Soit une conduite transitant un débit Q = 12 l/s, à travers une conduite en plastique de diamètre D = 150 mm et une longueur L = 1.82 km. *0 Faire la représentation de Bernoulli qualitative Bien remarquer que l’énergie cinétique n’est plus représentée *1 Calculer la vitesse de l’écoulement 0.7 m/s U= 4*Q/π/D/D = 4 * (12/1 000) / π / 0.15 / 0.15 = 0.68 m/s *2 Calculer la Perte de charge unitaire (Plastique)

2 m/km

Pour le plastique, on a : U = 75 * D0.69 * Ju0.56, Soit : PdCu = (U / 75 / D0.68)1/0.56 = (0.68 / 75 / 0.150.68)1/0.56 = 2.25 m/km *3 En déduire les Pertes de charge linéaire

4. mCE

PdCl = PdCu * L = 2.25 * 1.82 = 4.09 mCE *4 Expliquer cet accroissement des PdC   

Les PdC augmentent toujours ; Càd : PdC2 > PdC1 En contre partie, La pression étoilée diminue ; Cad : P* / ρg 1 > P* / ρg 2 Avec : PdC2 - PdC1 = P* / ρg 1 - P* / ρg 2


ET TOPOGRAPHIE DE


7.5.2 CALCUL DU DÉBIT Soit une conduite transitant un débit à déterminer à travers une conduite en aluminium de diamètre D = 200 mm et une longueur L = 1.5 km. La cote amont de l’eau est 120.12 mNGM et aval est 99.05 mNGM. *1 Faire la représentation de Bernoulli *2 Y aura-t-il la cavitation quelque part ? Oui, et il faut l’éviter ; si non, ça sera grave …. *3 Calculer la perte de charge unitaire

14 m/km

PdCu = (Cm – Cv) / L = (120.12 – 99.05) / 1.5 = 14.05 m/km *4 Quelle formule appliquez-vous ? Calculer la vitesse de l’écoulement

1.6 m/s

En appliquant la formule de Scobey, pour K (aluminium) = 0.4, on a : PdCu = 2587 * 10-6 * K * U1.89 / D1.09 = 2 587 * 10-6 * 0.40 * U1.89 / 0.21.09 = 0.014 05 m/m Et pour une PdCu = 14.05 m / km on a : U = 1.57 m/s *5 En déduire le débit

49 L/s

Q = U * S = U * π * D * D / 4 = 1.57 * π * 0.2 * 0.2 / 4 = 49.36 L/s

7.5.3 CALCUL DE LA COTE AVAL Soit une conduite siphon qui devra transiter un débit Q = 81 l / s, à travers une conduite en acier galvanisé de diamètre D = 300 mm et une longueur L = 100 m *0 Quel est le rôle de l’appareil SP ? C’est un appareil qui fait le vide pour qu’il y ait un écoulement *1 Calculer la vitesse de l’écoulement

1 m/s.

U = 4 * Q / π / D2 = 4 * 0.081 / π / 0.32 = 1.15 m/s. D’où, l’énergie cinétique sera négligeable *2 Quelle formule appliquez-vous ? Calculer la perte de charge unitaire 5 m/Km La formule de Scobey (K = 0.42) PdCu = 2587 * 10-6 * K * U1.89 / D1.09 = 2587 * 10-6 * 0.42 * 1.151.89 / 0.31.09 = 0.005 26 m/m *3 En déduire les pertes de charge linéaires

0.5 mCE

PdCl = PdCu * L = 0.005 26 * 100 = 0.526 mCE

85


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*4 Calculer la cote de l’arrivée de l’eau si la cote amont est 978.25 mNGM

86

978 mNGM

En appliquant Bernoulli, on a : Cv = Cm – PdC = 978.25 – 0.526 = 977.72 mNGM

7.5.4 CALCUL DE LA COTE AMONT Soit une conduite siphon qui transite un débit Q = 132 l/s, à travers une conduite en acier galvanisé de diamètre D = 450 mm et une longueur L = 30 m *1 Calculer l’écoulement

la vitesse 0.8 m/s

de

U = 4 * Q / π / D / D = 4 * 0.132 / π / 0.45 / 0.45 = 0.83 m/s *2 Quelle formule appliquez-vous ? Calculer la perte de charge unitaire

0.002 m/m

La formule de Scobey avec K = 0.42 : acier galvanisé PdCu = 2587 * 10-6 * K * U1.89 / D1.09 = 2587 * 10-6 * 0.42 * 0.831.89 / 0.451.09 = 1.82 m/Km *3 En déduire les Pertes de charge linéaires

0.06 mCE

PdCl = PdCu * L = (1.82 / 1000) * 30 = 0.054 7 mCE : *4 Calculer la cote de départ de l’eau si la cote d’arrivée est 1 231.25 mNGM

1 231.2

Cm = Cv + PdC = 1 231.25 – 0.054 7 = 1231.2 mNGM Remarque : Les PdC minimales à considérer dans un siphon sont de 5 cmCE

7.5.5 RÉCAPITULATION  Dans ce paragraphe de calcul des conduites, plusieurs paramètres ont été calculé, exceptée une donnée qui n’a pas été calculée : le diamètre de la conduite.  Le calcul des diamètres des conduites a un nom particulier : C’est le dimensionnement, qui fera l’objet du paragraphe suivant.  Bien remarquer qu’il faudra tenir compte des PdC singulières pour le calcul de précision (par l’abaque ou par les formules)

7.6 DIMENSIONNEMENT DES CONDUITES 7.6.1 DEFINITION  Dimensionner : c’est donner les dimensions, d’une façon générale; c’est trouver les longueurs, largeurs et hauteurs des ouvrages en question.  Alors que, dimensionner une conduite (en hydraulique), c’est donner (trouver) les dimensions de la dite conduite qui sont la longueur et le diamètre. o La longueur est déterminée sur le terrain ou sur le plan. . . . o Le diamètre est calculé hydrauliquement de telle façon à permettre l’écoulement du débit demandé sous les conditions du problème.


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7.6.2 CAS DE DIMENSIONNEMENT Dans la pratique, et pour dimensionner une conduite, l’étude se résume en trois cas qui peuvent se rencontrer : 

Une perte de charge convenable qui donne une vitesse correcte, incluse entre les bornes : 0.5 < V < 2 m/s



Une perte de charge très grande donnant lieu à une vitesse excessive qu’il faudra réduire en soustrayant de l’énergie en excès par : o Simple vannage en créant une perte de charge singulière o Ou le mieux encore, c’est transformer cette énergie en excès en électricité par turbinage)



Une perte de charge très faible qui se manifeste par une vitesse non auto curante qu’il faudra augmenter en ajoutant de l’énergie par pompage afin que l’écoulement redevienne correct.

7.6.3 NOTION DE PDC REQUISES ET DISPONIBLES 7.6.3.1 Intérêts des PDC L’écoulement se fait grâce à son énergie qui fait face à l’énergie résistante provoquée par les forces résistantes dans le dit écoulement du liquide. Cette énergie résistante qu’il faudra vaincre porte le nom de perte en énergie (ou plutôt perte de charge)

7.6.3.2 PDC REQUISES ce sont les PdC nécessaire pour avoir un écoulement correct d’un débit donné Q à travers une conduite donnée de longueur L et de diamètre D. Et ça n’a rien à voir avec les cotes de départ et d’arrivée de l’eau

7.6.3.3 pdc disponibles Ce sont les PdC que le terrain naturel offre pour avoir un écoulement gravitaire dans la mesure du possible. Et ça n’a rien à voir avec l’écoulement et les PdC qu’il provoque.

7.6.3.4 Adaptation des pdc  Le terrain donne une offre de PdC : Ce sont les PdC disponibles.  L’écoulement du liquide avec un débit donné, à travers une conduite de diamètre donné nécessite une PdC pour une longueur donnée : Ce sont les PdC requises Alors qu’il faudra égaliser les deux, pour satisfaire la condition de l’offre et la demande autant que possible pour avoir un écoulement permanent et uniforme.


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7.6.4 PERTE DE CHARGE CONVENABLE C’est le cas (+/- idéal) où les pertes de charge (disponibles et requises) concordent parfaitement, c’est à dire donnant une vitesse correcte (0.6 < U < 1.6 m/s) à travers la conduite ou (les conduites en série à choisir).

7.6.4.1 EXEMPLE SIMPLE Soit à dimensionner une conduite de longueur L = 1.25 km en plastique qui débite 9.1 L/s à partir d’une source de cote 123.56 mNGM vers un réservoir de cote 110.75 mNGM *1 Faire la représentation schématique de Bernoulli ATTENTION : Les dégâts que peuvent causer les surpressions et les dépressions au niveau d’une conduite à installer risquent d’être trop grands ; bien étudier le PROFIL auparavant. . . . *2 Dimensionner la conduite (Excel pourra simplifier les calculs)

100 mm

PdC = (Cm – Cv) / L = (123.56 – 110.75) / 1.25 = 10.25 m/km Q = 58.9 * D2.68 * J0.561

Soit :

D = (Q / 58.9 / J0.561) 1/2.68 = ((9.1 / 1 000) / 58.9 / 0.010250.561)1/2.68 = 99.997 mm ≈ 100 mm *3 Calculer la vitesse V, est-elle correcte ?

1 m/s

On peut utiliser soit : U = 75 * D0.68 * J0.561 = 75 * 0.10.68 * 0.010250.561 = 1.16 m/s Ou l’équation de la continuité U = 4 * Q / 3.14 / D2 =

= 1.16 m/s

Bien remarquer que ce dimensionnement vient de donner une vitesse correcte (convenable)

7.6.4.2 CONDUITE NORMALISÉE Par calcul, on trouvera tous les nombres possibles pour le diamètre cherché. Mais, sur le marché, va t- on trouver toutes ces dimensions de diamètres ? Bien sûr que non, les diamètres sur le marché sont normalisés (standard). Par exemple ; pour l’amiante ciment (DIMATIT), les diamètres sont (en mm) : … , 60 , 80 , 100 , 150 , 200 , 250 , 300 , 350 , 400 , …


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En conclusion : Si par calcul, le diamètre trouvé est par exemple 270 mm (pour DIMATIT). La solution consiste à prendre soit 250 mm, soit 300 mm, soit le mieux encore une combinaison des deux.  Si on prend le petit diamètre (D = 250 mm), le débit sera plus faible que ce qui est demandé; autrement dit, Cette solution ne respecte pas la demande.  Si on prend le grand diamètre (D = 300 mm), les conditions techniques seront largement respectées; et par conséquent, le coût sera élevé ! !  Et le mieux est d’opter pour les deux (une partie de la conduite en petit diamètre (D = 250 mm) et l’autre partie en grand diamètre (D = 300 mm). Il restera à déterminer dans ce cas les longueurs des deux diamètres pour égaliser les PdC requises et disponibles.

7.6.4.3 EXEMPLE COURANT Soit à dimensionner une conduite de longueur L = 1.252 km en amiante ciment qui débite 66.32 L / s à partir d’une source de cote 426.04 mNGM vers un réservoir de cote 421.25. 1. Faire la représentation de Bernoulli théorique qualitative

2. Calculer la perte de charge unitaire

4 mCE/km

PdCu = (Cm – Cv) / L = (426.04 – 421.25) / 1.252 = 3.826 mCE/km 3. Quelle formule utilisez-vous pour dimensionner la conduite ? La conduite est en Amiante ciment ; on utilisera la formule de Scimemi. Q = 48.3 * D2.68 * Ju0.56 4. Quels sont le diamètre et la vitesse théoriques à utiliser ?

274 mm

1 m/s

Q = 48.3 * D2.68 * J0.56 donne D = (Q / 48.3 / J0.56)1/2.68 = ((66.32 / 1 000) / 48.3 / (3.826)0.56)1/2.68

= 273.5 mm

U = 4 * Q / π / D2 = 4 * (66.32 / 1 000) / π / 0.2742 = 1.125 m/s N.B : Bien remarquer qu’on ne peut trouver ce diamètre sur le marché. D’où la nécessité de chercher deux diamètres qui l’encadrent et qui existent sur le marché. 5. Quelle est la combinaison de diamètres commerciaux à utiliser ? En cherchant sur le catalogue commercial des diamètres fabriqués par DIMATIT (Amiante Ciment), on pourra utiliser le D250 mm et le D300 mm.


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6. Refaire la représentation de Bernoulli théorique (qualitative) N.B : Remarquer bien que le tracé de la ligne piézométrique est en fonction des diamètres 7. Quelles sont les PdCu correspondantes à ces diamètres (et pour le débit en question) ? La formule à appliquer est toujours la même, Soit : Q = 48.3 * D2.68 * Ju0.56 qui donne Pour Le D300mm : Ju = 2.46 m/km Pour Le D250mm : Ju = 5.89 m/km

à trouver !

8. Quelles sont les vitesses correspondantes à ces diamètres ? Sont-elles correctes ? U = 4 * Q / π / D2 Soit U300 = 4 * Q / π / D12 = 4 * (66.32 / 1000) / π / 0.32 = 0.94 m/s Et U250 = 4 * Q / π / D22 = 4 * (66.32 / 1000) / π / 0.252 = 1.35 m/s 9. Quelles sont les longueurs correspondantes à ces diamètres ? Posons les équations de contraintes pour résoudre le système. 

Équation des longueurs : L300 + L250 = 1.252 km = LT



Équation des PdC : PdCu300*L300 +Pdcu250*L250 = 4.79 m = PdCt = Cm – Cv Soit : 2.46 * L300+ 5.89 * L250 = 4.79 mCE

Système de deux équations à deux inconnus dont la solution est :

L300 = 0.753 km et L250 = 0.499 km

7.6.5 EXCÈS DE PERTE DE CHARGE C’est le cas où les pertes de charge disponibles sont en excès, c’est à dire donnant une vitesse relativement élevée, de l’ordre (ou dépassant) les 2 m/s à travers une conduite ou des conduites à choisir. Dans de pareil cas, il est conseillé de réduire ces pertes de charge linéaires par l’installation des pertes de charge singulières (et le plus simple par la fermeture partielle d’une vanne) Le mieux, et ci c’est possible, est d’utiliser cette énergie en excès pour faire fonctionner une turbine pour transformer cet excès d’énergie en électricité.


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EXEMPLE Soit à dimensionner une conduite de longueur L = 1.03 km en amiante ciment qui transite un débit Q = 22.74 L/s à partir d’un barrage de cote 325.48 mNGM vers un réservoir de cote 253.5 mNGM. *1 Calculer les PdC unitaires 70 m/km PdC disp = Cm – Cv = PdCdu =

= 72 mCE = 69.88 m/km

*2 Dimensionner la conduite (utiliser Excel) On a : Q = 48.3 * D2.68 * Ju0.56

100 mm

ce qui donne

D = (Q / 48.3 / Ju0.56) 1 / 2.68 =

99.999 ≈ 100 mm

*3 Calculer la vitesse. Quelle conséquence en tirez-vous ? U = 4 * Q / π / D2 =

2.9 m/s

= 2.895 m/s

Il y aura là un grand excès de vitesse risquant d’endommager la conduite. *4 Faire le choix approprié de dimensionnement : à justifier Mais pour une vitesse raisonnable de l’ordre de 1 m/s, on a :  

Pour D = 150 mm, on a: V = 1.287 m/s Pour D = 200 mm, on a : V = 0.724 m/s Faisons le choix de D = 150 mm (Solution technique et économique)

*5 Refaire la représentation schématique de Bernoulli *6 Calculer l’énergie en trop à vanner (ou transformer….) 61.66 mCE On a : Q = 48.3 * D2.68 * Ju0.56

,

Ce qui donne J = (Q / 48.3 / D2.68)1 / 056 =10.0378 m/km. Soit PdCl = 10.339 mCE Et il faut vanner (ou transformer) le reste, Soit une charge de 61.64 = 71,98 – 10.339 mCE *7 Quelle est la puissance transformée si le rendement est 0.8

11 kW

Ph = ρ * g * Q * HMT = 1 000 * 10 * (22,74 / 1 000) * 61.64 = 14.017 KW Pt = Ph * 0.8 = 14.017 * 0.8 = 11.214 kW NB : C’est l’équivalent d’un peu plus d’une centaine de lampes de 100 W en fonctionnement


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7.6.6 PERTE DE CHARGE EN DÉFAUT C’est le cas où les pertes de charge disponibles sont très faibles, c’est à dire donnant une vitesse non auto curante, (inférieure à 0.5 m/s à travers la conduite ou les conduites à choisir). EXEMPLE : Soit à dimensionner une conduite de longueur L = 2.15 km en A.C qui débite 10.05 L/s à partir d’une source de cote 1 250.5 mNGM vers un réservoir de cote 1 249.7 mNGM. *1 Faire la représentation de Bernoulli *2 Dimensionner la conduite (Excel)

220 mm.

PdC dispo = Cm – Cv =

= 0.8 mCE

PdCdispo unitaire = D’où :

Q = 48.3 * D2.68 * Ju0.56

= 0.372 m/km ,

Ce qui donne D = (Q / 48.3 * J0.56)1 / 2.68 =

= 220.18 mm.

*3 Calculer la vitesse. Quelle conséquence en tirez-vous ? Le diamètre théorique de la conduite est compris entre 200 et 250 mm. Soit : Par application de l’équation de la continuité U = 4 * Q / π / D2 o U = 0.3199 m / s pour D = 200 mm o U = 0.2047 m / s pour D = 250 mm D’où, on a une vitesse trop faible qui provoquera les problèmes d’auto curage. *4 Proposer un dimensionnement Optons plutôt pour une vitesse auto curante (V >= 0.5 m/s et raisonnable) : Soit un diamètre D = 150 mm auquel correspond une vitesse de 0.5687 m/s *5 Quelle PdC supplémentaire faudra t-il ? PdCu(10.02 L / s , 150 mm) = 2.34 m/km, Soit une PdC (requise) = 2.34 * 2.15 = 5.02 mCE PdCsup = PdCreq – PdCdisp = 5.02 – 0.8 = 4.22 mCE *6 Refaire la représentation des PdC Dans de pareille situation, vu que les PdC disponibles de 0.8 mCE sont inférieures aux PdC requises Il faut obligatoirement une pompe qui relève de l’eau sur une hauteur supplémentaire de 4.22 mCE pour avoir un écoulement correct.


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7.6.7 RÉCAPITULATION Dimensionner une conduite en hydraulique, c’est trouver le diamètre qui satisfait :  Les contraintes techniques : o Contraintes de vitesses : 0.5 < U < 1.8 m/s o Contraintes des pertes de charge : Jrequis <= Jdisponible  Les Contraintes économiques : L’installation (dont la conduite fait partie) devra coûter le moins cher possible.

7.7 DIMENSIONNEMENT DES CONDUITES EN PARALLÈLE Ce cas se rencontre (par exemple), à chaque fois qu’on veut renforcer une conduite déjà existante (et qui est devenue insuffisante) par une autre conduite, afin de satisfaire le nouveau débit demandé. EXEMPLE : On veut renforcer une conduite de 900 mm en amiante ciment sur une longueur de 1 km par une autre de même longueur pour pouvoir transiter un débit de 1 050 l/s, au lieu de 885 l/s. On admet que la nouvelle conduite à installer sera aussi en Amiante ciment. *0 Faire la représentation de Bernoulli schématique *1 Donner les caractéristiques de la conduite existante. La conduite existante de diamètre D = 900 mm et une longueur L = 1 km ; en amiante ciment transite un débit Q = 885 l/s *2 Calculer les pertes de charge nécessaires Les données sont : Q = 885 L/s,

1.3 mCE

D = 900 mm en AC, L = 1 km

La formule à appliquer est celle de Scimemi Q = 48.3 * D2.68 * Ju0.56. Soit, Ju = (Q / 48.3 / D2.68)1/ 0.56 =

= 1.309 8 m/km

D’où : Jt = 1.309 8 mCE = ΔC = Cm – Cv = Donnée invariable *3 Quel est le débit à faire transiter par la nouvelle conduite ? Q = Q voulu - Q transité = *4 Dimensionner la conduite de renforcement  

165 L/s

= 165 L/s 500 mm

Les deux conduites vont transiter de l’eau d’un même point amont, vers le même point aval, d’où, les PdC seront les mêmes. Pour la conduite existante, la vitesse est 1.39 m/s. Ce qui nécessite une PdC de 1.309 mCE. En admettant que les deux conduites ont la même longueur, on aura : Q = 48.3 * D2.68 * Ju0.56 , ce qui donne : D = (Q / 48.3 / (J / L)0.56)1/2.68 =

= 481 mm  500 mm


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7.8 DIMENSIONNEMENT D’UNE D’UNE CONDUITE DE REFOUL REFOULEMENT 7.8.1 RAPPEL On vient de voir comment dimensionner une conduite gravitaire, c’est à dire à travers laquelle l’eau coule gravitairement (sous l’effet de son propre poids au paragraphe précédent) : C’est la variation de l’énergie potentielle qui se transforme en énergie perdue pour vaincre l’effet des forces résistantes. C’est ce qui se schématise ainsi. Mais, au cas où ces pertes de charge seraient trop faibles, voir même inexistantes ; o Comment dimensionner la conduite dite de refoulement ? o Comment l’eau pourra t- elle couler d’un point bas vers un point haut ? Pour résoudre de pareil problème, il faudra avoir une pompe (appareil élévatoire de l’eau) qui donnera de l’énergie nécessaire pour : (Voir la représentation de Bernoulli)  

Élever de l’eau de la cote basse à la cote haute, et cette différence de cotes s’appelle la hauteur géométrique d’élévation (aspiration et refoulement) oulement) de l’eau. Vaincre les pertes de charge totales dues aux forces résistantes de l’eau (Forces de viscosité et rugosité) Et sans oublier que dimensionner une conduite, conduite c’est trouver le diamètre qui :  Véhicule le débit demandé.  Optimise le coût total (qui comprend dans ce cas) : o Le coût de l’installation de la conduite. o Le coût de l’installation de la station de pompage. o Le coût du fonctionnement de la station de pompage (énergie + réparation + …)

Soit : Quand le diamètre de la conduite diminue d ! On a :  Le prix de la conduite qui diminue. MAIS :  Les PdC augmentent, par suite la hauteur d’élévation totale augmente, par suite, la puissance de l’installation augmente et en fin de compte le prix de la station de pompage (avec ses frais) augmente. ET vice versa, Quand le diamètre augmente; on a :  Le prix de la conduite qui augmente. MAIS :  Les PdC diminuent, La hauteur d’élévation totale diminue, et par suite…, le prix de la station de pompage (avec ses frais) diminue.


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Ceci peut être représenté graphiquement par : Pour trouver ce diamètre économique (dit aussi optimal), il existe trois approches :

7.8.2 APPROCHE GROSSIERE La formule de Bresse est la formule empirique la plus simple qui donne un ordre de grandeur du diamètre.

D ≈ 1.5 * Q ½

Avec : D : Diamètre de la conduite à dimensionner approximativement en m Q : Débit de la conduite à dimensionner en m3/s Exemple Soit à refouler un débit de 110 l / s sur une hauteur géométrique de 40 m à travers une conduite en PVC, et qui a une longueur L = 1 500 m *0 Faire la représentation de Bernoulli. *1 Déterminer le diamètre économique. Deco = 1.5 * Q0.5 = *2 Calculer la PdC

= 498 mm ≈ 500 mm 0.56 mCE

On a : Q = 58.9 * D2.69 * Ju0.56 D’ où on tire : Ju = (Q / 58.9 / D2.68) 1/0.56.

=

*3 Calculer la puissance hydraulique

= 0.379 m/km. Et Jt =

= 0.56 0.568 mCE

45 KW

Ph = ρ * g * Q * Hm = ρ * g * Q * (Hg + PdCt) = *4 En déduire la puissance de la pompe; si son rendement rendem est de 0.7

= 44.6 44.625 KW 64 KW

Pp =Ph / η = 44.6 / 0.7 = 63.749 63.74 9 KW Remarque : Cette formule de Bresse a été corrigée plus tard (en 1977) pour les diamètres inférieurs à 100 mm par : Pour l’amiante ciment et la fonte. Pour le PVC.

D ≈ 5.6 * Q 0.47 D ≈ 8.6 * Q 0.45


ET TOPOGRAPHIE DE


96

7.8.3 AUTRES FORMULES Plusieurs formules ont été proposées pour estimer une valeur approchée et plus précise de ce diamètre. Mais, leur utilisation nécessite leur adaptation aux conditions locales. À titre d’exemple, voici la formule de Koch et Vibert pour le cas de la France.

D = 1.547 * (N* E / F) 0.154 * Q 0.45 Avec : D : diamètre de la conduite en m. N : Temps de fonctionnement journalier de la pompe en h divisé par 24. E : Prix du kilowattheure en Francs. F : Prix de la conduite en fonte posée par kilogramme, en Francs. Q : Débit véhiculé en m3/s.

7.8.4 APPROCHE RIGOUREUSE Pour un calcul relativement précis; il faudra tracer le graphe du COÛT = f (DIAMÈTRE) : voir les cours de l’AEP, l’aspersion et / ou le GOUTTE A GOUTTE

7.9 NOTION D’ABAQUE 7.9.1 DÉFINITION Un abaque est une représentation graphique qui facilite les calculs relatifs à une formule compliquée. C’est le cas de l’abaque de Hazem déjà vue…..

7.9.2 ABAQUE DE SCIMEMI La loi de Scimemi est : Q = 48.3 * D2.68 *J0.56 et V = 61.5 * D0.68 * j0.56 en SI. Elle peut être tracée sur un papier log-log en une famille de droites, si on considère que le diamètre est un paramètre. Log Q = log 48.3*D2.68 + 0.56 Log J. Pour D = Cste Log J = K1 + k2 * Log Q En posant Log j = y et Log Q = x, la loi prendra la forme de : Y=A*x+B Avec

A =. . . . .

B=.......

A trouver !

Exemples Q = 50 l/s; D = 150 mm. On a : Ju = 41 m/Km (voir abaque Scimemi) D = 150 mm ; Ju = 26 m/Km; On a Q = 39 l/s (voir abaque Scimemi) Ju = 45 m/Km; Q = 53 l/s. On a : D = 150 mm (voir abaque Scimemi) En résumé : Le calcul hydraulique avec les abaques est très simple, Mais ; malheureusement, il est difficile d’avoir de la précision. …..


ET TOPOGRAPHIE DE


97

7.10 NOTION DE TRAITEMENT INFORMATIQUE Avec le développement technique actuel, l’emploi des abaques est devenu chose dépassée vu qu’en particulier, ces abaques ne donnent pas la précision toujours voulue….. Avec le traitement informatique, le calcul hydraulique est devenu chose trop simple.  Pour des calculs relativement longs et compliqués, il suffit d’avoir le logiciel adapté.  Et pour ses propres petits fichiers de calcul hydraulique…, un tableur quelconque (tel que Excel), est largement suffisant. Ainsi ; on a :  Le calcul simple direct avec des formules  Le calcul par la valeur cible pour la résolution d’une équation  Le calcul par le Solveur pour la résolution d’un système d’équations ou inéquations Exemples : Ju = 2.0 m/Km; D = 60 mm. D = 60 mm, Q = 0.5 l/s; Q = 53 l/s, Ju = 45 m/Km;

On a: Q = 0.8 l/s On a: Ju = 0.9 m/Km On a: D ≈ 150 mm

En résumé : Le calcul hydraulique avec Excel devient à la fois trop simple et bien précis. …..

7.11 CALCUL DES PRESSIONS DANS UN RESEAU RAMIFIE Un réseau ramifié est un ensemble de conduite sous forme d’arbre (voir schéma)

7.11.1 PRINCIPE DE CALCUL Le principe de calcul consiste à appliquer le théorème de Bernoulli, entre deux points (amont et aval) du réseau, en commençant par l’amont qui constitue la ressource en eau à distribuer. Zm + Pm / ρg + Um2 / 2g = Zv + Pv / ρg + Uv2 / 2g + PdC Sans oublier qu’en hydraulique, la vitesse est de l’ordre de 1 m/s, d’où ; l’énergie cinétique est de l’ordre de 1 / 20 = 0.05 mCE qui est bien négligeable devant le reste. Soit, on a : Zm + Pm / ρg = Zv + Pv/ ρg + PdC

Pv / ρg = Zm + Pm / ρg - Zv - PdC Ainsi, le calcul des pressions avals se fait de proche en proche de l’amont vers l’aval du réseau. Les données de calcul d’un réseau ramifié sont :  Par tronçon : o Donnée de l’écoulement : Le débit transité à travers le tronçon. o Donnée de la conduite : Le diamètre, la longueur et la nature de la conduite (Plastique, amiante ciment, … )


ET TOPOGRAPHIE DE


 Par nœud : o Donnée de l’écoulement : La pression au point amont du tronçon. o Donnée de la conduite : La cote terrain naturel (CTN) du point amont du tronçon Le calcul consiste à trouver :  Par tronçon : Les PdC (et la vitesse par tronçon) qui constituent une étape intermédiaire.  Par nœud : La pression au point aval du tronçon.

7.11.2 TRACÉ DU RÉSEAU

98


ET TOPOGRAPHIE DE


99

7.11.3 PROCÉDURE DE CALCUL 

De l’amont vers l’aval, on a à : o Introduire la cote amont du tronçon. o Introduire la pression amont du tronçon. o Introduire le débit du tronçon. o Introduire la longueur du tronçon. o Choisir un diamètre pour ce tronçon o Calculer la vitesse de ce tronçon V = 4 * Q / π / D2 o Modifier le diamètre introduit si la vitesse n’est pas correcte o Calculer les pertes de charge du tronçon, les conduites sont en amiante ciment PdC = L * (Q / 48.3 / D^2.68)^(1/0.56) o Introduire la cote aval du tronçon o Calculer la pression aval du tronçon Pv = Pm + Cm – Cv - PdC

 

Répéter ce calcul ligne par ligne (tronçon par tronçon) de l’amont vers l’aval Recorriger les diamètres soupçonnés pour avoir la pression désirée.

7.11.4 TABLEAU DE CALCUL Pour simplifier la présentation, la compréhension et l’automatisation des calculs ; on dresse un tableau qui regroupe les données, calcul intermédiaire et final. La façon de dresser le tableau (en Excel) sera expliquer sur place. Tronçon D o n n é e s CotAm PresAm Débit mNGM mCE L/s

Calculs LonTr Diam VitTr PdCTr CotAv PresAv mL mm m/s mCE mNGM mCE

R 1 2 3 4 5

-1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6

100,00 98,50 97,00 96,50 96,80 96,10

20,00 21,17 22,36 22,47 21,93 22,14

30,0 26,0 14,0 11,0 6,0 2,0

80 95 92 88 76 98

200 200 150 150 100 60

0,95 0,83 0,79 0,62 0,76 0,71

0,332 0,306 0,388 0,241 0,492 1,028

98,50 97.00 96,50 96,80 96,10 95,50

21,168 22,362 22,473 21,932 22,140 21,712

1 - 11 2 - 21 21 - 211 21 - 212 2 - 22 3 - 31 4 - 41 5 - 51

98,50 98,50 98,20 98,20 98,50 96,50 96,10 95,50

21,17 21,17 20,85 20,85 21,17 21,93 21,93 22,14

1,0 4,0 0,6 0,9 0,8 0,8 0,8 1,6

40 68 35 52 50 50 55 45

60 80 60 60 60 60 60 60

0,35 0,80 0,21 0,32 0,28 0,28 0,28 0,57

0,122 0,621 0,043 0,131 0,102 0,102 0,112 0,317

90,30 98,20 97,60 97,40 98,10 98,20 96,20 96,30

29,246 20,847 21,404 21,516 21,465 20,130 21,720 21,023

7.12 ÉCOULEMENT PAR DES ORIFICES


ET TOPOGRAPHIE DE


EXERCICES EXE 1 : Calcul des PdC Soit une conduite transitant un débit Q = 22.23 l/s, à travers une conduite en plastique de diamètre D = 250 mm et une longueur L = 3.25 km *0 Faire la représentation schématique de Bernoulli *1 Calculer l’écoulement

la vitesse 0.45 m / s

de

Par application de l’équation de la continuité, an a : Q = U * S ↔ U = 4 * Q / π / D2 = 4 * (22.23 / 1000) / π / (250 / 1000)2 = 0.45 m/s *2 Calculer la perte de charge unitaire (Plastique)

0.001 m/m

La formule des pertes de charge pour le plastique est : Q = 58.9 * D2.89 * Ju0.561 ↔ Ju0.561 = Q / 58.9 / D2.89 = (22.23 / 1000) / 58.9 / (250 / 1000) 2.89 = 0.0207 SI ↔ Ju = 0.0207 (1 / 0.561) = 0.001 m/m *3 En déduire les Pertes de charge linéaires

3.25 mCE

Les pertes de charge linéaires sont Jl = Ju * L = 0.001 * 3250 = 3.25 mCE EXE 2 : Calcul du débit Soit une conduite transitant un débit à déterminer à travers une conduite en acier galvanisé de diamètre D = 350 mm et une longueur L = 2.15 km. La cote amont de l’eau est 425.12 mNGM et aval est 399.05 mNGM. *1 Faire la représentation Bernoulli schématique

de

*2 Calculer la Perte de charge unitaire

0.012 mCE/mL

Ju = ( Cm - Cv ) / L = ( 425.12 - 399.05 ) / 2150 = 0.012126 mCE/mL

100


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*3 Calculer la vitesse de l’écoulement et le débit


101

2 m/s

Pour l’acier galvanisé, le cœfficient de PdC k = 0.42 Ju = 2587 * K * 10-6 * U1.89 / D1.09 = 0.003 * U1.89 ↔ U = (Ju / 0.003) ^1 / 1.89 = (0.012126 / 0.003) ^1 / 1.89 = 1.956 m/s

EXE 3 : calcul de la cote aval Soit une conduite transitant un débit Q = 96.41 l / s, à travers une conduite en acier galvanisé de diamètre D = 300 mm et une longueur L = 1.325 km. *1 Faire la représentation de Bernoulli *2 Calculer la vitesse de l’écoulement

1 m/s

En appliquant l’équation de la continuité, on a : U = 4 * Q / π / D2 = 4 * 0.0964 / π / 0.32 = 1.363 9 m/s *3 Calculer la perte de charge unitaire

0.007 mCE/L

Pour l’acier galvanisé, le cœfficient de PdC k = 0.42 Ju = 2587 * K * 10-6 * U1.89 / D1.09 =

= 0.007 mCE/mL

*4 En déduire les Pertes de charge linéaires

9.615 mCE

JL = 0.007 mCE / mL * 1325 m = 9.615 mCE *5 Calculer la cote de l’arrivée de l’eau si la cote amont est 978.25 mNGM

968.635

Cv = Cm - JL = 978.25 – 9.615 = 968.635 mNGM EXE 4 : calcul de la cote amont Soit une conduite transitant un débit Q = 62.45 l/s, à travers une conduite en acier soudé et neuf, de diamètre D = 250 mm et une longueur L = 3.45 km *1 Calculer la vitesse

1 m/s

En appliquant l’équation de la continuité, on a : U = 4 * Q / π / D2 = 4 * 0.06245 / π / 0.252 = 1.272 m/s


*2 Calculer la perte de charge unitaire

ET TOPOGRAPHIE DE


102

0.002 mCE/mL

Pour l’acier galvanisé, le cœfficient de PdC k = 0.42 Ju = 2587 * K * 10-6 * U1.89 / D1.09 =

= 0.002 mCE/mL

*3 En déduire les Pertes de charge linéaire

7.65 mCE

JL = Ju * L = 0.002 mCE / mL * 3450 m = 7.65 mCE *4 Calculer la cote de départ de l’eau si la cote d’arrivée est 1231.25 mNGM

1238.9 mNGM

Cm = Cv + JL = 1231.25 + 7.65 = 1238.9 mNGM

EXE 5 : Dimensionnement simple d’une conduite Soit à dimensionner une conduite de longueur L = 1.252 km en amiante ciment qui débite Q = 106.32 L/s à partir d’une source de cote 430.59 mNGM vers un réservoir de cote 424.25 mNGM. 1. Faire la représentation de Bernoulli théorique (qualitative) 2. Quelle formule utilisez-vous pour dimensionner la conduite ? Pour l’amiante ciment, la formule à utiliser est celle de Scimemi Q = 48.3 * D2.68 * Ju0.56 3. Quel est le diamètre théorique à utiliser ? 308 mm Ju = (Cm - Cv) / L = (430.59 - 424.25) / 1252 = 0.005 mCE/mL D2.68 = Q / (48.3 * Ju0.56 ) = 0.10632 / (48.3 * 0.0050.56 ) = 0.042 Soit Dth = 308 mm 4. Quelle est la combinaison de diamètres commerciaux à utiliser ? Les diamètres commerciaux encadrant ce diamètre théorique sont 300 mm et 350 mm (voir tableau des diamètres commerciaux …) 5. Quelles sont les longueurs correspondantes à ces diamètres ? 978.17 m 273.83 m L300 +

L350 = 1252

Ju300 * L300 + Ju350 * L350 = Jt = 430.59 - 424.25 ↔ 0.003 * L300 + 0.006 * L350 = 6.34 Système d’équation qui donne L300 = 978.17 m et L350 = 273.83 m


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103

6. Quelles sont les vitesses correspondantes à ces diamètres ? 1.1 m/s 1.5 m/s La vitesse dans les deux conduites est donnée par l’équation de la continuité, Soit : U350 = 4 * Q / π / D3502 = 4 * 0.10632 / π / 0.352 = 1.1 m/s U300 = 4 * Q / π / D3002 = 4 * 0.10632 / π / 0.302 = 1.5 m/s 7. Corriger la représentation de Bernoulli (qualitative)

EXE 6 : Dimensionnement d’une conduite ayant une turbine Soit à dimensionner une conduite de longueur L = 1.252 km en plastique qui débite 95.2 L / s à partir d’une source de cote 123.25 mNGM vers un réservoir de cote 63.252 mNGM. 1. Faire la représentation de Bernoulli théorique (qualitative) 2. Quelle formule utilisez-vous pour dimensionner la conduite ? Pour le plastique, la formule à utiliser est : Q = 58.9 * D2.69 * Ju0.561 3. Quel est le diamètre théorique à utiliser ?

173 mm

Ju = (Cm - Cv) / L = (123.25 – 63.252) / 1252 = 0.048 mCE/mL D2.69 = Q / (58.9 * Ju0.561 ) = 0.0952 / (48.3 * 0.0480.56 ) = 0.009 Soit Dth = 173 mm 4. Quelle est la combinaison de diamètres commerciaux à utiliser ? Les diamètres commerciaux encadrant ce diamètre théorique sont 150 mm et 200 mm (voir tableau des diamètres commerciaux …) 5. Quelles sont les vitesses correspondantes à ces diamètres ? La vitesse dans les deux conduites est donnée par l’équation de la continuité, Soit : U150 = 4 * Q / π / D1502 = 4 * 0.0952 / π / 0.152 = 5.39 m/s U200 = 4 * Q / π / D2002 = 4 * 0.0952 / π / 0.202 = 3.03 m/s


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6 Corriger la représentation de Bernoulli (qualitative)

7 Y aura t-il un risque ? (Coup de Bélier ou bouchage) Oui, il y a un grand risque de l’érosion et du coup de bélier. 8 Est ce que cette solution est acceptable ? Non, cette solution est risquée. Il faudra augmenter le diamètre pour réduire la vitesse à une valeur raisonnable V ≈ 1 m/s 9 corriger la si nécessaire V ≈ 1 m/s

▬► D ≈ 350 mm

10. Recorriger la représentation de Bernoulli (qualitative) Bien notée que la perte de charge singulière se représente par un trait vertical au niveau de la turbine, vu qu’elle se localise en un point : l’emplacement de la turbine 11. Calculer les pertes de charge linéaires correspondantes Pour un diamètre D = 350 mm, les PdC seront Ju = (Q / (58.9 * D2.69)) 1 / 0.561 = (0.0952 / (58.9 * 0.352.69)) 1 / 0.561 = 0.02 m/m Soit : JL = Ju * L = 0.02 * 1252 = 2.032 mCE 12. En déduire la perte de charge singulière à utiliser

57.966 mCE

Jsing = Cm - Cv - JL = (430.59 - 424.25 - 2.032 = 57.966 mCE 13. Si on installe une turbine de rendement 0.8, Quel est le nombre de lampes de 75 W pouvant fonctionner correctement 577 Phy = ρgQH = 1000 * 9.81 * 0.0952 * 57.966 = 54.135 kW


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Pt = Phy * η = 54.135 * 0.8 = 43.308 kW Nombre de lampes = 43.308 / 75 ≈ 577 EXE 7 : Dimensionnement d’une conduite ayant une pompe Soit à dimensionner une conduite de longueur L = 4.252 km en plastique qui débite 31.2 L/s à partir d’une source de cote 61.25 mNGM vers un réservoir de cote 60.12 mNGM. 1. Faire la représentation de Bernoulli théorique (qualitative)  2. Quelle formule utilisez-vous pour dimensionner la conduite ? Pour le plastique, la formule à utiliser est : Q = 58.9 * D2.69 * Ju0.561 3. Quel est le diamètre théorique à utiliser ?

339 mm

Ju = (Cm - Cv) / L = (61.25 - 60.12) / 4252 = 2.66 * 10-4 mCE/mL D2.69 = Q / (58.9 * Ju0.56 ) = 0.0312 / (58.9 * (2.66*10-4)0.56) = 0.0548 Soit Dth = 339 mm

4. Quelle est la combinaison de diamètres commerciaux à utiliser ? Les diamètres commerciaux encadrant ce diamètre théorique sont 300 mm et 350 mm (voir tableau des diamètres commerciaux …) 5. Quelles sont les vitesses correspondantes à ces diamètres ? La vitesse dans les deux conduites est donnée par l’équation de la continuité, Soit : U350 = 4 * Q / π / D3502 = 4 * 0.0312 / π / 0.352 = 0.32 m/s U300 = 4 * Q / π / D3002 = 4 * 0.0312 / π / 0.302 = 0.44 m/s 6. Corriger la représentation de Bernoulli (qualitative)


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7. Y aura t-il un risque ? (Coup de Bélier ou bouchage) Oui, il y aura le risque du bouchage, vu que les vitesses sont trop faibles, non autocurantes. 8 Est ce que cette solution est acceptable ? Vu que ces vitesses sont non autocurantes, la solution n’est pas acceptable 9 corriger la si nécessaire Il serait préférable de diminuer le diamètre pour avoir une vitesse de l’ordre de 1 m/s ; Soit D = 200 m qui donne une vitesse v = 0.99 m/s 10. Recorriger la représentation de Bernoulli (qualitative) Bien notée que l’élévation de la ligne piézométrique se représente par un trait vertical au niveau de la pompe, vu qu’elle se localise en un point : l’emplacement de la pompe 11. Calculer les PdC correspondantes

13.8 mCE

Q = 58.9 * D2.69 * Ju0.561 donne Ju = (Q / 58.9 / D2.69)1 / 0.561 Ju = (Q / 58.9 / D2.69)1 / 0.561 = (0.0312 / 58.9 / 0.22.69)1 / 0.561 = 0.003 m/m JL = Ju * L = 0.003 * 4252 = 13.8 mCE 12. En déduire la pression à utiliser en plus

12.695 mCE

La pression supplémentaire que donnera la pompe (pour avoir un écoulement correct) sera : P = JL – PdC disponible = 13.8 - (61.25 - 60.12) = 12.695 mCE 13 Si on installe une pompe de rendement 0.8, Quelle est la puissance à installer pour fonctionner correctement 4.86 kW Phy = ρgQH = 1000 * 9.81 * 0.0312 * 12.695 = 3.885 kW Pt = Phy / η = 3.885 / 0.8 = 4.86 kW


8

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ÉCOULEMENT À SURFACE LIBRE

8.1 INTRODUCTION 8.1.1 DEFINITION Un écoulement est dit à surface libre, libre si à sa partie supérieure, le liquide est soumis à la pression atmosphérique. atmosphérique L’écoulement se fait grâce à la pente du canal tant que celui ci reste permanent et uniforme. Ce genre d’écoulement se rencontre dans les oueds, seguias et tous types de canaux aux à ciel ouvert, tel qu’en irrigation gravitaire, assainissement, drainage, …

Remarque : Quand il s’agit des écoulements dans dans des conduites, il peut y avoir le passage des écoulements en pression aux écoulements à surface libre et réciproquement, et ceci avec la variation des débits. C’est le cas des écoulements en assainissement des centres pendant les grandes pluies, …

8.1.2 CONSEQUENCE La ligne piézomètrique est confondue avec la ligne de la surface libre de l’eau. Alors que la ligne d’énergie la dépasse (est plus haute de celle ci) par la quantité U2 / 2g représentant l’énergie cinétique

8.2 APPELLATIONS Dans tout écoulement à surface libre, il est convenu de faire les appellations suivantes : H : Tirant d’eau. L : largeur au plafond (du lit) Θ : inclinaison des parois (berges) R: revanche

8.3 ÉQUATIONS FONDAMENTALES FONDAMENT 8.3.1 ÉQUATION DE LA CONTINUITÉ CONTI Puisque l’écoulement étant permanent et uniforme, on a l’équation de la continuité du liquide.

Q = Cste, U = Cste, S = Cste : d’ où H = Cste


ET TOPOGRAPHIE DE


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8.3.2 ÉQUATION DE LA DYNAMIQUE Par application de la loi fondamentale de la dynamique, à cet écoulement à surface libre, on a l’inventaire des forces suivantes : 

Force de pression amont et aval Fp1 et Fp2. Force de pression latérale (dont la résultante est nulle) Force de frottement dû à l’écoulement Ff. Poids P.

  

Par projection sur l’axe du canal (et dans le sens de l’écoulement), on a : Pr1 * S - Pr2 * S – Σ Ff + mg sin α = 0 (écoulement permanent) Avec :   

Pr1 = Pr2 = ρgh d’où on a : Pr1 * S – Pr2 * S = 0 (le tirant d’eau dans le canal ne change pas vu que l’écoulement est permanent et uniforme) Ff = ζ * Pm * L : Force de frottement qui est proportionnelle à la surface de contact avec la paroi. (§ Chp Hydrodynamique des liquides réels / contrainte visqueuse) P = mg = ρg S L

Soit : mg sin α = Ff ρg S L sin α = ζ * Pm * L ζ = ρg S sin α / Pm

→

ζ = ρ g Rh sin α

Avec : ρ : Masse volumique de l’eau en kg/m3 → [ M * L -3 ] g : Accélération terrestre en m/s/s → [ L * T-2 ] S : section du canal en m2 → [ L2 ] L : longueur du tronçon en m → [ L ] α : inclinaison longitudinale du canal ζ : contrainte visqueuse tangentielle (équivalente à une pression) en Pascal Pm : Périmètre mouillé en m Rh : Le rapport S / Pm est le rayon hydraulique (à ne pas confondre avec le rayon du cercle) Conclusion : La contrainte visqueuse tangentielle est :  Proportionnelle au rayon hydraulique  Proportionnelle au sinus de l’angle de la pente longitudinale


ET TOPOGRAPHIE DE


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Exemple : Calcul du rayon hydraulique de figures suivantes S = L * H et P = L + 2 * H Soit: Rh = S / P = L * H / (L + 2 * H)

S = L * H + H2 / tan θ P = L + 2 * H / sin θ Soit: Rh = S / P = (L * H + H2 / tan θ)) / (L + 2 * H / sin θ) L * H + H2 / tan θ Rh = L + 2 * H / sin θ S=L*H/2 P = 2 * H / sin θ Soit:: Rh = S / P = (L * H / 2) / (2 * H / sin θ) L*H/2 Rh =

L sin θ

= 2 * H / sin θ

4

S = π * r2 / 2 P=π*r Soit: Rh = S / P = r / 2

Remarque :   

On admet en général, que l’angle l longitudinal α est très petit. Par suite, on confond sin α avec tan α et α en radian. On définit ainsi la pente du canal par : I = tan α ≈ sin α La contrainte visqueuse tangentielle ζ a été définie par ζ = ∆ Pr * D / 4L (voir § 6.2.6)

ζ = ρg S sin α / Pm = ρg Rh I = ∆ Pr * D / 4L Soit:

∆ Pr / ρg g = 4 (L / D) * Rh * I

(1)

D’après la loi de Darcy,, définissant les pertes de charge, on a :

PdC = ∆ Pr / ρg g = f * (L / D) * U2 / 2g

(2)

En regroupant ces deux formules (1) et (2), on aboutit à : U  Équation qu’on note sous la forme :

U  C *

Rh * I

8 g * f

R h* I


ET TOPOGRAPHIE DE


110

8.4 DÉTERMINATION DE LA CONSTANTE C Comme en hydrodynamique des liquides réels (sous pression), la constante C dépend du type d’écoulement Rappel :

c 

8 g

f

Il y a deux formules pour le calcul de ‘f’ ;  Une pour l’écoulement laminaire  Et l’autre pour l’écoulement turbulent. turbule

8.4.1 CAS DE L’ÉCOULEMENT LAMINAIRE   

En écoulement laminaire, on admet que f = 64 / Re, (voir § 6.2.11) et par suite : C = (8g * Re / 64) ½ Ceci est valable tant que le nombre de Reynolds est inférieur à 2000. Dans la pratique de l’hydraulique, l’hydraulique le nombre de Reynolds est beaucoup plus grand, grand et en général, on n’a que les écoulements turbulents.

8.4.2 CAS DE L’ÉCOULEMENT TURBULENT  En écoulement turbulent turbulent, la détermination du coefficient ‘‘C’’ est beaucoup plus difficile à résoudre (voir écoulement turbulent dans le chapitre hydrodynamique des liquides réels)  On admet toujours que l’expression des pertes de charge, suit la loi de Darcy.  PdC = f * L / D * U2 / 2g,, avec le coefficient ‘f’ donné par Colebrook. (voir voir § 6.3.4.3)  En écoulement à surface libre, libre le coefficient C est donné par une expression analogue à celle de Colebrook donnant le coefficient ‘f’.

Soit :

C  23.2 lg(1.811C / Re   / Rh )

et

U  C * R h* I

Avec : U : vitesse moyenne de l’écoulement en m/s. C : coefficient correspondant au coefficient de Colebrook ‘f’. Rh : rayon hydraulique en m I : pente du canal, exprimée en générale en % (nombre sans dimension) Re : nombre de Reynolds, en général, largement supérieur à 4000 ε : facteur qui caractérise la rugosité du canal.


ET TOPOGRAPHIE DE


111

REMARQUE : 

Le calcul de cette façon avec le coefficient «C» est compliqué, vu que la résolution de l’équation ne peut se faire que par des approximations successives :

C   23 . 2 * lg( 1 . 811 C / R e   / R h ) de Colebrook 

1 f

  2 * lg(

  2 . 51 ) 3 .7 D Re f

Formule à comparer avec celle

en substituant le terme C par 1 f

Puisque l’écoulement est turbulent (Re est très grand), on peut adopter l’approximation

C 0   23 . 2 * lg(  / R h ) Exemple : Résolution de l’équation C   23 . 2 lg( 1 . 811 C / R e   / R h ) donnant "C" par approximations successives si on opte pour ε = 0.3 mm, Rh = 0.5 m et Re = 4550 1 * Calcul de C0

74.7

C0 = - 23.2 * lg (ε / Rh) = - 23.2 * lg (0.3 / 500) ≈ 74.7 2 * Calcul de C par approximations successives C proposé

E / Rh

1,811C / Re Somme

lg Somme

C corrigé

75.0000 35.1802 ……. 41.0823 41.0822 41.0823

0.0006 0.0006 …… 0.0006 0.0006 0.0006

0.0299 0.0140 …… 0.0164 0.0164 0.0164

-1.5164 -1.8356 ……. -1.7708 -1.7708 -1.7708

35.1802 42.5853 ……. 41.0822 41.0823 41.0823

0.0305 0.0146 …… 0.0170 0.0170 0.0170

On admet que «C» est égal à 41.08 Exemple : Calculer la vitesse de l’écoulement de l’eau à travers un canal si on a : I = 0.1 %, ε = 0.3 mm, Rh = 0.5 m et Re = 4 550 0.9 m/s On admet que la valeur de " C" = 41.08 (Voir calcul précédent) Par suite, U  C * R h * I = 41.08 * (0.5 * 0.001) 1/2 = 0.92 m/s En conclusion :

Cette façon de calcul n’est pas simple, le calcul de "C" est bien compliqué.

8.5 FORMULES EMPIRIQUES Vu la complexité de la résolution de l’équation donnant C, les hydrauliciens ont essayé de simplifier le problème par l’utilisation de formules empiriques, donnant le coefficient C en première approximation en fonction de la rugosité et du rayon hydraulique seulement. Bien se rappeler qu’on écoulement turbulent, les forces résistantes dominantes sont les forces de rugosité, contrairement aux écoulements laminaires où se sont les forces de viscosité.


ET TOPOGRAPHIE DE


112

8.5.1 APPROCHE DE BAZIN Bazin exprime la rugosité du canal par le facteur γ en donnant l’expression suivante de C en fonction de γ et Rh soit C γ= est f (γ,donné Rh) : par le tableau suivant. Le;facteur

C

87

 1



 R

h

γ 0.06 0.16 …. 1.30 1.75

Nature de la paroi Paroi très unie : exemple Ciment lisse, … Paroi unie : exemple : Pierre, brique, … ….. Paroi en terre Paroi en terre avec galets et herbes…

Par suite, l’équation de Bazin donnant la vitesse est :

U C *

R h* I

Avec : U : vitesse moyenne de l’écoulement en m/s. C : coefficient à calculer à partir du tableau donné par Bazin. Rh : rayon hydraulique en m I : pente du canal, exprimée en générale en % (nombre sans dimension) Exemple : Soit un écoulement d’eau dans un canal rectangulaire en ciment lisse (L = 1 m ; H = 0.5 m) de pente : I = 0.1 %. * 1 Calculer le rayon hydraulique

= 0.25 m

R = L * H / (L + 2 * H) = * 2 Calculer la constante C de Bazin.

= 0.25 m = 70.16

C = 87 / (1 + γ / Rh) = * 3 Calculer la vitesse de l’eau dans le canal. U = C * (Rh * I) 1/2 = * 4 En déduire le débit véhiculé à travers le canal. Q=S*U

* 5 Faire la représentation de Bernoulli en coupe longitudinale et en travers.

= 70.16 pour γ = 0.06 (Ciment lisse) = 1 m/s = 1.11 m/s = 555 L/s = 0.555 m3 / s = 555 L/s


ET TOPOGRAPHIE DE


113

8.5.2 APPROCHE DE MANNING STRICKLER Elle exprime (comme l’approche de Bazin) le coefficient C en fonction de la rugosité (et d’une façon plus précise) et du rayon hydraulique

C  Rh

1/ 6

n

Le facteur "n" dépend de l’état de la paroi et de sa nature. Le tableau suivant donne une idée. Nature des surfaces Ciment Lissé Canaux revêtus en béton …. Canaux en terre

État des parois Parfait Bon 0.010 0.011 0.012 0.014 …. …. 0.017 0020

Assez bon 0.012 0.016 …. ….

Par suite, l’équation de Manning donnant la vitesse est :

Mauvais 0.013 0.018 … 0.026

U  1 *R n

2 /3 h

*I

1/2

Avec : U : vitesse moyenne de l’écoulement en m/s. n : coefficient donné par Manning Strickler (voir tableau) Rh : rayon hydraulique en m I : pente du canal, exprimée en générale en % (nombre sans dimension) Exemple : Soit un écoulement d’eau dans un canal rectangulaire, qui est à surface libre et ayant les dimensions suivantes (L = 1 m ; H = 0.50 m) en ciment lisse et de pente I = 0.1%. * 1 Calculer le rayon hydraulique

= 0.25 m

R = L * H / (L + 2 * H) = * 2 Trouver la constante de Manning Strickler

= 0.25 m = 0.011 5

Pour un état bon à assez bon d’un ciment lisse, on prend N = 0.011 5 * 3 Calculer la vitesse de l’eau dans le canal.

= 1 m/s

U = 1/n * Rh 2/3 * I 1/2 = * 4 En déduire le débit véhiculé à travers le canal. Q=S*U=

= 1.09 m/s = 546 L / s = 0.546 m3/s = 546 L/s

REMARQUE:  

Quelle que soit la formule utilisée (Bazin ou Manning Strickler), le résultat est approximativement le même (comparer les deux calculs précédents). Dans la pratique, on utilisait la formule de Manning Strickler, vu sa commodité de calcul.




ET TOPOGRAPHIE DE


Quelque fois, on note la formule de Manning sous la forme U  k * lieu de

U  1 *R n

2 /3 h

*I

R

2 /3 h

*

I

114

1/2

au

1/2

8.6 REPRÉSENTATION GRAPHIQUE DES PDC L’équation des pertes de charge se déduit de celle de la vitesse, en admettant que la perte de charge unitaire PdCu est la pente du canal I. On a ainsi :

PdCL = I * L La représentation graphique correspondante (de Bernoulli) sera : CONSÉQUENCE : Dans un écoulement à surface libre, et contrairement aux écoulements en charge, la pression est ici, confondue avec la surface libre. Elle est toujours constante, et par suite :   

Il n’y a jamais de pression effective négative. Comme il n’y a jamais de cavitation en conséquence ! C’est l’énergie potentielle (de cote) qui se transforme en pertes de charge (À démontrer).

8.7 LIMITES DES PENTES ET / OU VITESSES 

Rappelons qu’en écoulement à surface libre, la vitesse est proportionnelle à la racine



carrée de la pente. U  C * Rh * I , Soit U  k * I Par conséquent, dans tout écoulement à surface libre, la pente devra être comprise entre deux limites (pente minimale et pente maximale) pour que la vitesse ne soit ni excessivement grande, ni excessivement faible. Ainsi : 



La pente minimale donnant la vitesse minimale autocurante qui évite les dépôts et / ou la prolifération d’herbes est :

Nature du lit limon fin gros limon …………….

Vitesse m/s 0.25 0.50 …

La pente maximale donnant la vitesse maximale à ne pas dépasser, pour éviter l’érosion du canal, est :

Nature du lit Argile Sable Gravier Pierres cassées ……. Rocher en couche Rocher dure

Vitesse m/s 0.11 0.76 0.96 1.23 ….. 2.27 3.69


ET TOPOGRAPHIE DE


115

En conclusion, Vu que les vitesses minimale et maximale dépendent de la paroi du canal, il n’existe pas de pente minimale et/ou maximale, elles dépendent à leur tour aussi de la paroi du canal. Mais, en règle générale, on a :  Pour un canal en terre, la vitesse et la pente par conséquent devront être très faibles.  Pour les canaux fabriqués, la vitesse devra être comprise entre 0.5 et 2 m / s, et par suite, la pente devra respecter cette vitesse.

8.8 CALCUL DES CANAUX Le calcul des canaux consiste à trouver un paramètre connaissant les autres et qui sont : Le débit, la vitesse, la pente du canal…. Le calcul des dimensions des canaux, qui porte le nom de dimensionnement des canaux sera fait au paragraphe suivant. Le calcul des canaux peut se faire soit :  Avec la formule de Bazin  Avec la formule de Manning Strickler ╚► Mais, dans tout ce qui suit, il sera préféré la formule de Manning vue sa simplicité et rapidité de calcul, bien en ayant en tête que les résultats sont approximativement les mêmes. Remarque : Le calcul des canaux peut se faire avec :  

L’utilisation des tables et abaques qui minimisent le calcul, mais la précision du résultat fait défaut (est faible) L’utilisation des appareils de calcul (calculateur, ordinateur) qui sont des moyens puissants et précis, et qui facilitent énormément les calculs.

8.8.1 CALCUL DU DÉBIT D’UN CANAL Si on connaît la forme géométrique et la pente du canal, le débit sera donné par une application directe des équations :  Équation de Manning donnant la vitesse.  Équation de la continuité donnant le débit.


ET TOPOGRAPHIE DE


116

Exemple 1 : Soit un canal en ciment lisse et état parfait (n = 0.01) de pente I = 0.012 %. Sa forme géométrique rectangulaire a les dimensions suivantes : L = 2.91 m, H = 1.9 m * 1 Représenter le canal en coupe transversale et longitudinale. Faire la représentation de Bernoulli.

* 2 Calculer le rayon hydraulique.

= 0.824 m

R = L * H / (L + 2 * H) =

= 0.824 m

* 3 Calculer la vitesse et le débit de l’eau dans le canal.

= 0.96 m/s

U = 1/n * Rh 2/3 * I 1/2 =

= 5.3 m3/s = 0.963 m/s

= 5.323 m3/s

Q=U*S= Exemple 2 : Soit un canal en ciment lisse et état parfait (n = 0.01) de pente I = 0.01 %. Sa forme géométrique trapézoïdale a les dimensions suivantes : L = 1 m, H = 0.90 m et l’angle du talus est θ = 45°. * 1 Représenter le canal en coupe transversale . * 2 Calculer le rayon hydraulique

= 0.48 m

S = L * H + H2 / tan θ =

= 1.71 m2

P = L + 2 * H / sin θ = Soit: R = S / P =

= 3.55 m = 0.48 m

* 3 Calculer la vitesse et le débit de l’eau dans le canal. U = 1/n * Rh 2/3 * I 1/2 = Q=U*S=

= 0.6 m/s

= 1 m3/s = 0.615 m/s

= 1.05 m3/s

8.8.2 CALCUL DE LA PENTE D’UN CANAL Comme pour le calcul du débit, celui de la pente se fait aussi par application directe de la formule, une fois les données sont connues. Exemple 1 : Soit un canal en ciment lisse et état parfait (n = 0.01) qui transite un débit Q = 1.05 m3/s. Sa forme géométrique rectangulaire a les données suivantes : L = 1.5 m, H = 0.79 m.


* 1 Calculer le rayon hydraulique du canal. S=L*H=

117

= 0.385 m

= 1.19 m2 ET

Soit: R = S / P =

P=L+2*H=

= 3.08 m

= 0.385 m

* 2 Calculer la vitesse de l’eau dans le canal. U=Q/S=


ET TOPOGRAPHIE DE

= 0.9 m/s

= 0.886 m/s

* 3 En déduire la pente I du canal

= 0.028 %

U = 1/n * Rh 2/3 * I 1/2, d’où on déduit

I 1/2 = U / (1/n * Rh 2/3)

I = [U / (1/n * Rh2/3)] 2 =

= 0.028 %

Exemple 2 : Soit un canal en ciment lisse et état parfait (n = 0.01), qui transite un débit Q = 5.75 m3/s. Sa forme géométrique trapézoïdale a les données suivantes : L = 2.5 m, H = 1.25 m, angle au talus θ = 60°. * 1 Calculer le rayon hydraulique du canal.

= 0.748 m

S = L * H + H2 / tan θ =

= 4.03 m2

P = L + 2 * H / sin θ =

= 5.39 m

Soit : R = S / P =

= 0.748 m

* 2 Calculer la vitesse de l’eau dans le canal.

= 1.4 m/s

U=Q/S= * 3 En déduire la pente I du canal. U = 1/n * Rh 2/3 * I 1/2, d’où on déduit

= 1.427 m/s = 0.03 % I 1/2 = U / (1/n * Rh 2/3)

I = [U / (1/n * Rh 2/3)] 2 = * 4 Faire la représentation de Bernoulli.

La représentation fait apparaître :  L’énergie potentielle (de cote)  L’énergie perdue (Perte de Charge)  L’énergie cinétique (qui est en général négligeable)

= 0.0003 = 0.03 %


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118

8.8.3 CALCUL DU TIRANT D’EAU D’UN CANAL Comme pour le calcul du débit, celui du tirant d’eau se fait aussi par application directe de la formule, une fois les données sont connues. Exemple 1 : Soit un canal en ciment lisse et état parfait (n = 0.012), qui transite un débit Q = 4.55 m3/s sous une pente I = 0.25 %. Sa forme géométrique rectangulaire a les données suivantes (largeur au plafond L = 1.58 m) * 1 Calculer le rayon hydraulique du canal en fonction de H S = L * H = 1.58 * H m2 P = L + 2 * H = 1.58 + 2 * H m Soit :

R = S / P = 1.58 * H / (1.58 + 2 * H) m

* 2 Calculer la vitesse de l’eau dans le canal en fonction de H U = Q / S = 4.55 / (1.58 * H) m/s * 3 En déduire l’équation (à résoudre) donnant le tirant d’eau H du canal. D’ après Manning, on a: U = 1/n * Rh 2/3 * I 1/2 = 1 / 0.012 * (1.58 * H / (1.58 + 2 * H)) 2/3 * (0.0025) 1/2 = 4.167 (1.58 * H / (1.58 + 2 * H)) 2/3 Soit en fin de compte : 4.167 (1.58 * H / (1.58 + 2 * H)) 2/3 = 4.55 / (1.58 * H) Et d’après l’équation de la continuité, on a : 4.55 / (1.58 * H) - 4.167 (1.58 * H / (1.58 + 2 * H)) 2/3 = 0 Équation à résoudre pour trouver le tirant d’eau H (par la méthode de tâtonnement par exemple sous Excel) ; Soit H = 1.147 m H 1 Équation 0.5

2 -1.4

… …

1.1 1.2 …. 0.14 -0.14 ….

1.14 1.15 … 0.02 -0.01 …

1.146 0.002

1.147 -0.0004

Exemple 2: Soit un canal en ciment lisse et état parfait (n = 0.011) qui transite un débit Q = 4.25 m3/s sous une pente I = 0.025 %. Sa forme géométrique trapézoïdale a les données suivantes (une largeur au plafond L = 2.5 m, angle du talus θ = 60°). * 1 Calculer le rayon hydraulique du canal en fonction de H S = L * H + H2 / tan θ = 2.5 * H + H2 / tan 60° m2 P = L + 2 * H / sin θ = 2.5 + 2 * H / sin 60 m 2 Soit: R = S / P = (2.5 * H + H / tan 60°) / (2.5 + 2 * H / sin 60)

m


ET TOPOGRAPHIE DE


119

* 2 Calculer la vitesse de l’eau dans le canal en fonction de H. U = Q / S = 4.25 / (2.5 * H + H2 / tan 60°) =

m/s

* 3 En déduire l’équation (à résoudre) donnant le tirant d’eau du canal. Selon Manning, on a: U = 1/n * Rh2/3 * I1/2 U = 1 / 0.011 * ((2.5 * H + H2 / tan 60°) / (2.5 + 2 * H / sin 60)) 2/3 * (0.00025) 1/2 =

m/s

Et selon l’équation de la continuité, on a : U = 1.437 ((2.5 * H + H2 / tan 60°) / (2.5 + 2 * H / sin 60)) 2/3 = 4.25 / (2.5 * H + H2 / tan 60°) Soit en fin de compte : Soit: 4.25 / (2.5 * H + H2 / tan 60°) = 1.437 ((2.5 * H + H2 / tan 60°) / (2.5 + 2 * H / sin 60)) 2/3 Équation à résoudre par tâtonnement, comme précédemment, (et à faire chez vous) pour trouver le tirant d’eau H. Soit : H = 1.167 m (Faire aussi la valeur cible en Excel)

8.9 DIMENSIONNEMENT DES CANAUX Le dimensionnement des canaux (des ouvrages en générale) est le problème le plus fréquemment rencontré. Dans la pratique, on a :  Le débit est défini par les besoins en eau ou l’offre éventuellement qui est dicté par la ressource en eau.  La pente du canal est définie par le tracé sur la carte ou sur le terrain naturel éventuellement.  La nature du terrain est aussi connue, d’où le choix de la forme du canal (circulaire, rectangulaire ou trapézoïdale) En définitif : Il reste à déterminer les dimensions du canal polygonal (tirant d’eau H et la largeur du lit L ou éventuellement le rayon R du canal s’il est circulaire).

8.9.1 NOTION DE SECTION OPTIMALE Pour véhiculer un débit donné Q = Cte, et dans l’objectif d’avoir la section économique (dite aussi optimale ou avantageuse), il faut que la vitesse soit maximale. a

Or, la vitesse est liée au rayon hydraulique par la relation U = k * Rh (pour une pente donnée) ; et pour que ce rayon hydraulique (Rh = Sm / Pm) soit maximal, il y a 2 cas :  Avoir le périmètre mouillé le plus petit possible pour une section mouillée constante.  Avoir la section mouillée la plus grande possible pour un périmètre mouillé constant.


ET TOPOGRAPHIE DE


120

8.9.2 ETUDE DE LA FORME RECTANGULAIRE Étudions ses cas pour la forme rectangulaire qui est la plus simple en un premier lieu.

8.9.2.1CAS 1 : SM = CTE ET PM = MIN Sm = L * H = Cste, d’où on tire: L = Sm / H Pm = L + 2 * H = Sm / H + 2 * H = Min Faisons la dérivée par rapport à la variable H, on a ; dPm / dH = d (Sm / H + 2 * H) /dH = 0 Soit : 2 - Sm / H2 = 0 d’où, on déduit : Sm = 2 * H2 = L * H Conclusion L = 2 * H

8.9.2.2CAS 2 : SM = MAX ET PM = CTE Pm = L + 2 * H = Cste, d’où on tire L = Pm - 2 * H Sm = L * H = (Pm - 2 * H) * H = Max Faisons la dérivée par rapport à la variable H, on a ; dSm / dH = Pm – 4 * H = 0 D’où, on déduit : Pm = 4 * H = L + 2 * H Soit : L = 2 * H

Conclusion : L = 2 * H 8.9.3 GÉNÉRALISATION La recherche de la section optimale peut se généraliser à n’importe quelle forme géométrique :   

Pour la forme rectangulaire, on vient de trouver : L = 2 * H Pour la forme trapézoïdale, on a : L = 2 * H * (1 - cos θ) / sin θ Remarquer bien que pour θ = π / 2, on revient à : L = 2 * H

(voir exercice)

8.9.4 EXEMPLES DE CALCUL Exemple 1 : Donner les dimensions optimales à un canal de forme rectangulaire, ayant une pente I = 0.3 % et transitant un débit Q = 3.6 m3/s. on prend n = 0.011. * 1 Calculer le rayon hydraulique du canal en fonction de H S = L * H = 2 * H2 P=2*H+2*H=4*H

m2

Pour L = 2 * H (Dimension optimale) m

Soit: R = S / P = 2 * H2 / 4 * H = H / 2 =

m


ET TOPOGRAPHIE DE


121

* 2 Calculer la vitesse de l’eau dans le canal en fonction de H. U = Q / S = 3.6 / 2 * H2 =

m/s

* 3 En déduire l’équation (à résoudre) donnant le tirant d’eau du canal. U = 1/n * Rh2/3 * I1/2 = 1/0.011 * (H / 2) 2/3 * (0.003) 1/2 et qui est aussi égale à = 3.6 / 2 * H2 Soit : 3.6 / (2 * H2) - 4.98 * (H / 2) 2/3 = 0 Équation à résoudre par tâtonnement ou par valeur cible en Excel par exemple. H Équation Soit : H = 0.923 m et L = 1.29 m Exemple 2 : Donner les dimensions optimales à un canal de forme trapézoïdale (angle au talus θ = 70°) ayant une pente I = 0.02 % et débitant un volume unitaire Q = 3.10 m3/s. on prend n = 0.0041. * 1 Calculer le rayon hydraulique du canal en fonction de H Pour L = 2 * H * (1 - cos θ) / sin θ); on a: S = L * H + H2 / tan θ = P = L + 2 * H / sin θ = Soit: R = S / P = * 2 Calculer la vitesse de l’eau dans le canal en fonction de H. U=Q/S= * 3 En déduire l’équation (à résoudre) donnant le tirant d’eau du canal. H = 0.9 m L = 1.3 m U = 1/n * Rh2/3 * I1/2 = 1/0.0041 * (H / 2) 2/3 * (0.0002) 1/2 = 3.449 * (H / 2) 2/3 et aussi égale à (§ avant) 2 = 3.1 * sin θ / H / (2 – cos θ) Soit en fin de compte : 3.1 * sin θ / H2 / (2 – cos θ) = 3.449 * (H / 2) 2/3 3.1 * sin 70 / H2 / (2 – cos 70) - 3.449 * (H / 2) 2/3 = 0 Équation à résoudre pour trouver le tirant d’eau H. H Eq

… 0,9 … 0,14

1 … 0,92 0,93 … 0,923 0,924 … 0,9234 0,9235 -0,42 … 0,02 -0,04 … 0,003 -0,003 … 0,00026 -0,0003

En utilisant Excel (tâtonnement ou valeur cible), on a : H = 0.9234 m et L = 1.29 m


ET TOPOGRAPHIE DE


122

8.10 ÉCOULEMENT FLUVIAL ET TORRENTIEL 8.10.1 NOTION DE FLEUVE ET TORRENT 

Un fleuve est un grand cours d’eau qui coule sur un terrain presque plat (la plaine). C’est à dire : qui a une pente faible. Par conséquent, il se caractérise par :  



Un tirant d’eau grand à trop grand. Une vitesse faible à trop faible

Un torrent est un cours d’eau qui coule sur un terrain très accidenté (la montagne). C’est à dire ; qui a une pente forte. Par conséquent, il se caractérise par :  

Un tirant d’eau faible à trop faible. Une vitesse grande à trop grande.

8.10.2 NOTION D’ÉNERGIE SPÉCIFIQUE Si on reprend le théorème de Bernoulli, on a : H = Z + Pr / ρg + U2 / 2g Z représente l’énergie potentielle (de position) par rapport à un plan de référence. Pour les écoulements à surface libre, et puisque les pentes des canaux sont très faibles, on peut considérer que le fond des dits canaux représente le repère choisi (Nouveau plan de référence) Sur ce, la notion d’énergie spécifique s’introduit par la relation suivante :

E = Pr / ρg + U2 / 2g

Pour les écoulements à surface libre, la pression est représentée par la cote en eau dans le canal ‘h’. D’où, on notera l’énergie spécifique par :

E = h + U 2 / 2g Avec : E : énergie spécifique en mCE. h : tirant d’eau dans le canal en m. U : vitesse moyenne dans le canal en m/s.


ET TOPOGRAPHIE DE


123

8.10.3 NOTION DE PROFONDEUR CRITIQUE La profondeur critique Yc est le tirant d’eau ‘h’ auquel correspond une énergie spécifique minimale. Pour un débit donné, à travers une section rectangulaire ; on a : E = h + U2 /2g avec Q = S * U = Lh * U on aura : E = h + (Q / Lh) 2 / 2g, et si on prend le débit unitaire pour simplifier q = Q / L (en m3/s/ml) E = h + q2 / 2gh2. L’énergie minimale se définit par dE / dh = 0 : (h est la seule variable) d (h + q2 / 2gh2) / dh = 1 - q2 / gh3 = 0. THÉORÈME : Pour tout écoulement à surface libre, à travers un canal rectangulaire ; on définit la profondeur critique Yc pour un débit unitaire q = Q / L par :

Yc3 = q2 / g ou Yc = (q2 / g) 1/3 Avec : Yc : Profondeur critique en m à laquelle correspond l’énergie spécifique minimale q : débit unitaire en m3/s/m de large, q = Q / L L : largeur du lit du canal en m. g : Accélération terrestre en m/s/s. A cette profondeur critique, correspond l’énergie spécifique critique, Ec qui sera : Ec = Yc + q2 / 2g Yc2 = Yc + (g Yc3) / 2g Yc2 = 3/2 * Yc

Ec = 3 / 2 * Yc avec Yc3 = q2 / g 8.10.4 NOTION DE VITESSE ET PENTE CRITIQUE La notion de profondeur critique et énergie critique peut se généraliser aux autres paramètres de l’écoulement : Vitesse, pente, … Ainsi, la notion de vitesse critique se déduit de : Ec = Yc + Uc2 / 2 g = 3 / 2 * Yc D’où on déduit :

Uc = (g * Yc) 1/2


ET TOPOGRAPHIE DE


124

Remarques:  

Il n’y a pas le facteur ‘’2 ‘’ comme pour la formule de Torricelli U = (2 * g * H) 1/2 La notion de pente critique se déduit de la formule de Manning Strickler donnant la vitesse

8.11 NOTION DE TYPE D’ÉCOULEMENT Avec cette notion d’énergie spécifique critique, il sera défini trois types d’écoulements (qui rappellent leur propre nom)

8.11.1 NOTION DU NOMBRE DE FROUDE C’est un nombre sans dimension (adimensionnel) qui représente le rapport des forces d’inertie sur les forces de pesanteur. Son expression est : F



V gh

Avec : F : Nombre de Froude sans dimension V : Vitesse de l’écoulement en m/s g : Accélération terrestre (ou pesanteur du lieu) g ≈ 9.8 m/s/s h : Hauteur de la lame d’eau de l’écoulement (tirant d’eau) Le nombre de Froude joue un rôle important en hydraulique, Il permet en particulier de distinguer les écoulements fluviaux (infra critique) des écoulements torrentiels (supercritique)

8.11.2 ÉCOULEMENT TORRENTIEL L’écoulement torrentiel se caractérise par sa hauteur (petit tirant d’eau) qui est inférieure à la hauteur critique, ainsi qu’une forte pente qui donne lieu à une forte vitesse. Le nombre de Froude correspondant est supérieur à UN (F > 1). Dans ces conditions, la célérité des ondes est plus faible que la vitesse de l’eau, et par suite, une perturbation de l’eau n’affecte que les conditions d’écoulement aval de son point de départ (voir TP).

8.11.3 ÉCOULEMENT FLUVIAL L’écoulement fluvial se caractérise par sa hauteur (un grand tirant d’eau) qui est supérieure à la hauteur critique, ainsi qu’une faible pente qui donne lieu à une faible vitesse. Le nombre de Froude correspondant est inférieur à UN (F < 1) Dans ces conditions, la célérité des ondes se propage plus vite que la vitesse de l’eau, et par suite, une perturbation de l’eau affecte les conditions d’écoulement à la fois à l’amont et à l’aval de son point de départ voir TP).


ET TOPOGRAPHIE DE


125

8.11.4 ÉCOULEMENT CRITIQUE C’est un écoulement intermédiaire entre les deux, dont les paramètres sont critiques (Vc, Yc et Ic) Le nombre de Froude correspondant est égal à UN (F = 1) Rappelons que cet écoulement se caractérise par sa charge spécifique minimale. Et par suite, le débit critique sera donné par :

Qc2 * L = g * S3 Avec : Qc : Débit critique de l’écoulement de l’eau dans le canal en m3/s L : Le lit du canal en m S : section offerte à l’écoulement en m2 g : Accélération terrestre (ou pesanteur du lieu) g ≈ 9.8 m/s/s

8.11.5 RESUME C’est ce qui peut se résumer dans le tableau suivant :

Écoulement Fluvial Critique Torrentiel

Vitesse eau V < Uc Uc V > Uc

Tirant d’eau H > Yc Yc H < Yc

Pente canal I < Ic Ic I > Ic

Nbre de Froude F < 1 F = 1 F > 1

Exemple : Soit un canal rectangulaire de largeur au plafond L = 2 m, qui transite un débit 3 Q = 9.35 m /s. Si on prend n = 0.011 : * 1 Donner les caractéristiques de l’écoulement critique (Yc, Uc et Ic) =1.298 m =3.60 m/s = 0.23% Yc3 = q2 / g =

= 2.286 m Càd Yc = 1.298 m

Uc = (g * Yc) 1/2 =

= 3.60 m/s

U = 1 / 0.011 * R2/3 * I1/2 = 3.60 avec R =

= 0.565 m

Ic = (U / K / R2/3)2 =

= 0.23 %

* 2 Quels seront la vitesse, le tirant d’eau et le nombre de Froude si la pente devenait : I = 10 * Ic Q = U * S = 1 / 0.011 * LH * (LH / (L + 2 * H)) 2/3 * I1/2 = 1 / 0.011 * 2H * (2H / (2 + 2 * H)) 2/3 * I1/2 = 9.35 Équation à résoudre, et qui donne : H = 0.52 m U = 1 / 0.011 * LH * (LH / (L + 2 * H)) 2/3 = 1 / 0.011 * 2H * (2H / (2 + 2 * H)) 2/3 * I1/2 = 7.7 m/s F = U / (Yc * 10)0.5 =

= 3.5

* 3 Quels seront la vitesse, le tirant d’eau et le nombre de Froude si la pente devenait : I = Ic / 10 Q = U * S = 1 / 0.011 * LH * (LH / (L + 2 * H)) 2/3 * I1/2 = 1 / 0.011 * 2H * (2H / (2 + 2 * H)) 2/3 * I1/2 = 9.35 Équation à résoudre, et qui donne : H = 3.07 m U = 1 / 0.011 * LH * (LH / (L + 2 * H)) 2/3= 1 / 0.011 * 2H * (2H / (2 + 2 * H)) 2/3 * I1/2 = 1.3 m/s F = U / (Yc * 10)0.5 =

= 0.24


ET TOPOGRAPHIE DE


126

* 4 Dresser le tableau résumé des écoulements (fluvial, critique et torrentiel) ÉCOULEMENT Fluvial Critique Torrentiel

VITESSE V = 1.3 m/s Uc= 3.6 m/s V = 7.7 m/s

TIRANT D’EAU H = 3.07 m Yc = 1.3 m H = 0.52 m

PENTE I = 0.0323 % Ic = 0.23 % I = 3.23 %

NOMBRE DE FROUDE F = 0.24 F=1 F = 3.5

8.12 ÉCOULEMENTS EN CANAUX CIRCULAIRES 8.12.1 INTRODUCTION Ce complément de cours est ajouté pour faciliter la compréhension des cours pratiques. Les canaux circulaires, demi-circulaires, … sont très utilisés en écoulement à surface libre (c’est le cas de l’assainissement, l’irrigation gravitaire et le drainage) puisque la section circulaire a :  

Le minimum de béton. Le meilleur rayon hydraulique.

La section circulaire se définit par le rayon du cercle et l’arc correspondant au périmètre mouillé. La section mouillée est définie par le secteur OACB + le triangle OAB: Sm = R2 * θ/2 + ½ R2 * sin (2π – θ) = R2 * (θ - sin θ) / 2 Et le périmètre mouillé est : Pm = R * θ D’où le rayon hydraulique sera :

Rh = R * (θ - sin θ) / 2θ

Avec : R : rayon du canal circulaire (cylindrique) en m. Θ : Angle de remplissage du canal en radian. Le calcul des canaux (circulaires ou demi-circulaires) consiste à trouver un paramètre connaissant les autres et qui sont : Le débit, la vitesse, la pente et le taux de remplissage du canal. Par contre, le dimensionnement consiste à trouver le rayon à donner au canal.

8.12.2 CALCUL DU DÉBIT D’UN CANAL Le débit sera donné par une application directe des équations :  

Équation de Manning donnant la vitesse. Équation de la continuité donnant le débit.

Exemple : Soit un canal circulaire (de rayon R = 1 m et un angle de θ = 308°) en ciment lisse et état parfait (n = 0.01) de pente I = 0.012 %.


ET TOPOGRAPHIE DE


127

* 1 Représenter le canal en coupe transversale.

* 2 Calculer le périmètre et la section du canal. θ=

= 5.3756 m

= 5.3756 rd

Sm = R2 * (θ - sin θ)) / 2 =

= 3.08 m2

Pm = R * θ = * 3 En déduire le rayon hydraulique.

= 3.08 m2

= 5.3756 m = 0.573 m

Rh = S / P =

= 0.573 m


= 0.756 m / s

U = 1 / 0.01 * (Rh) 2/3 * I1/2 =

= 2.33 m3/s = 0.756 m/s

= 2.33 m3/s

Q=U*S=

8.12.3 CALCUL DE LA PENTE D’UN D CANAL Comme pour le calcul du débit, celui de la pente se fait aussi par application directe de la formule, une fois les données sont connues. Exemple : Soit un canal circulaire (de rayon R = 1.2 m et un angle de θ = 308°) en ciment lisse et état parfait (n = 0.011), qui transite un débit Q = 5.05 m3s. * 1 Calculer uler le périmètre et la section du canal θ=

= 6.45 m

= 5.38

Sm = R2 * (θ - sin θ)) / 2 =

= 3.3 m2

Pm = R * θ =

= 6.45 m

* 2 En déduire le rayon hydraulique. R=S/P=

= 3.3 m2

= 0.51 m = 0.51 m

* 3 Calculer la vitesse de l’eau dans le canal.

= 1.5 m/s

Équation de la continuité Q = U * S donne : U = Q / S =

= 1.53 m/s


* 4 En déduire la pente I du canal.

ET TOPOGRAPHIE DE


128

= 0.07%

L’équation de Manning Strickler U = 1 / n * (R) 2/3 * I1/2 donne la pente du canal I I = (U * n / (R) 2/3) 2 =

= 0.07%

8.12.4 NOTION DU TAUX DE REMPLISSAGE La vitesse et le débit dans un canal, sont fonction du taux de remplissage. Si on appelle V0 et Q0 la vitesse et le débit en pleine section, calculons les rapports V / V0 et Q / Q0. ◙ Pour un écoulement à pleine section, on a : V 0  1 n ( R 2 ) 2 / 3 I 1 / 2 et Q 0 

1

n

( R 2 ) 2 / 3 I 1 / 2 R

2

◙ Pour un écoulement à section non pleine, on a : V 

1

Q

1

1/ 2

   sin(  )      

2 /3

et

n

(R 2 ) 2 /3 I

n

( R 2) 2 / 3 I 1/ 2 R 2 2 * (  sin  )((  sin  ) /  ) 2 / 3

└► Soit : Pour un écoulement à un taux de remplissage donné, on a :

V /V0 Conclusions

   sin(  )       

2/3

et

Q / Q0

   sin(  )       

2/3

  sin  2

En appliquant la loi de Manning Strickler :

→ La vitesse est maximale pour un angle de 260°, → Le débit est maximal pour un angle de 308°, Autrement dit; pour dimensionner, l’angle optimal (économique, avantageux) est 308°. → Mais, pour des raisons pratiques, (passage des corps flottants, marge de sécurité, …), l’angle admis est en général de 240° (inférieur à l’angle 260°de la vitesse est maximale).

8.12.5 DIMENSIONNEMENT DES CANAUX Le dimensionnement des canaux (en écoulement à surface libre) se fait comme pour les calculs précédents, sans oublier que c’est la question qui se pose à chaque fois qu’il y a un projet à réaliser. Ainsi, on a à calculer :  Le diamètre du canal à installer.  L’angle de remplissage (ou le tirant d’eau) qui donne le débit le plus grand. Pour plus de détail, voir le chapitre du dimensionnement du cours d’assainissement, du cours d’irrigation gravitaire et/ou du cours de drainage.

8.13 ÉCOULEMENTS EN DÉVERSOIR Parshall


ET TOPOGRAPHIE DE


129

Rapport de vitesse en fonction de l'angle de remplissage

1,2

1,1

1

0,9

Rapport V/V0

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

220

Angle de remplissage

260

280

300

Rapport de Débit en fonction de l'angle de remplissage

1,2 1,1 1

Q/Q0

0,9 0,8

240

0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

angle de remplissage

320

340

360


ET TOPOGRAPHIE DE


130

EXERCICES Il serait souhaitable de faire ces exercices en premier lieu à la main (et à refaire avec EXCEL) Exe 1 : Soit un écoulement d’eau dans un canal rectangulaire en ciment lisse (L = 1.5 m ; H = 0.75 m) de pente : I = 0.11 %. * 1 Calculer le rayon hydraulique

= 0.375

Rh = L * H / (L + 2 * H) = 1.5 * 0.75 / (1.5 + 2 * 0.75) = 0.375 * 2 Calculer la constante C de Bazin.

= 75

Pour un canal lisse, on prend γ = 0.06 C = 87 / (1 + γ / Rh) = 87 / (1 + 0.06/0.375) = 75 * 3 Calculer la vitesse de l’eau dans le canal selon la formule de Bazin.

= 1.5 m / s

U = C * (Rh * I) 1/2 = 75 * (0.375 * 0.11 %) ^ 0.5 = 1.5 m/s * 4 En déduire le débit véhiculé à travers le canal.

= 1 714 L/s

Q = S * U = 1.5 * 0.75 * 1.5 = 1 714 L/s Exe 2 : Soit un écoulement d’eau dans un canal rectangulaire, à surface libre qui a les dimensions suivantes (L = 1.21 m ; H = 0.650 m) en ciment lisse et de pente I = 0.21 %. * 1 Calculer le rayon hydraulique

= 0.313 m

R = L * H / (L + 2 * H) = 1.21 * 0.65 / (1.21 + 2 * 0.65) = 0.313 m * 2 Trouver la constante de Manning Strickler

N = 0.0115

Pour un ciment lisse d’un état bon à assez bon, on a : N = 0.0115 * 3 Calculer la vitesse de l’eau dans le canal.

= 1.8 m/s

U = 1/n * Rh 2/3 * I 1/2 = 1 / 0.0115 * 0.313 2/3 * 0.21 % 1/2 = 1.84 m/s * 4 En déduire le débit véhiculé à travers le canal. = 1.5 m3/s Q = S * U = 1.21 * 0.65 * 1.84

= 1.446 m3/s

Exe 3 : Soit un canal en ciment lisse et état parfait (n = 0.011) de pente I = 0.03 %. Sa forme géométrique rectangulaire a les dimensions suivantes : L = 2.5 m, H = 1.95 m. * 1 Représenter le canal en coupe transversale et longitudinale.


* 2 Calculer le rayon hydraulique.

ET TOPOGRAPHIE DE


131

= 0.76 m

Rh = L * H / (L + 2 * H) = 2.5 * 1.95 / (2.5 + 2 * 1.95) = 0.76 m * 3 Calculer la vitesse et le débit de l’eau dans le canal.

= 6402 l / s

U = 1/n * Rh 2/3 * I 1/2 = 1/0.011 * 0.758 2/3 * 0.03 % 1/2 = 1.31 m / s Q = U * S = 2.5 * 1.95 * 1.31 = 6402l/ s * 4 Faire la représentation de Bernoulli. Voir Question 1

Exe 4 : Soit un canal en ciment lisse et état parfait (n = 0.011) de pente I = 0.021 %. Sa forme géométrique trapézoïdale a les dimensions suivantes : L = 2.1 m, H = 1.2 m, et l’angle du talus est θ = 45°. * 1 Représenter le canal en coupe transversale. transver L = 2.1 m, H = 1.2 m * 2 Calculer le rayon hydraulique S = L * H + H2 / tan θ = P = L + 2 * H / sin θ =

=0.714 m 3.96 m2 5.49 m

Soit : R = S / P =

0.72 m


= 1 m/s

= 4.19 m3/s

U = 1/n * Rh 2/3 * I 1/2 = = 1.06 m/s 3 Q=U*S= = 4.19 m /s Exe 5: Soit un canal en ciment lisse et état parfait (n = 0.018), qui transite un débit Q = 1.7 m3/s sous une pente I = 0.2 %. Sa forme géométrique rectangulaire a les données suivantes (largeur au plafond L = 1.58 m) * 1 Calculer le rayon hydraulique ique du d canal en fonction de H S=L*H=

=

m2

P=L+2*H=

=

m

Soit:: R = S / P =

=

m

* 2 Calculer la vitesse de l’eau dans le canal en fonction de H U=Q/S=

=

m/s

* 4 En déduire l’équation (à résoudre) donnant le tirant d’eau H du canal. H = 0.8 m U = 1/n * Rh 2/3 * I 1/2


ET TOPOGRAPHIE DE


132

Exe 6 : Soit un canal en ciment lisse et état parfait (n = 0.01) qui transite un débit Q =1.125 m /s sous une pente I = 0.02 %. Sa forme géométrique trapézoïdale a les données suivantes (une largeur au plafond L = 1.2 m, angle du talus θ = 50°). 3

* 1 Calculer le rayon hydraulique du canal en fonction de H S = L * H + H2 * tan 50° m2 P = L + 2 * H / sin θ = Soit : R = S / P * 2 Calculer la vitesse de l’eau dans le canal. U=Q/S=

* 4 En déduire l’équation (à résoudre) donnant le tirant d’eau du canal. H = 0.75 m

Exe 7 : Donner les dimensions optimales à un canal de forme rectangulaire, ayant une pente I = 0.23 % et transitant un débit Q = 5.6 m3/s. on prend n = 0.019. * 1 Calculer le rayon hydraulique du canal en fonction de H Pour L = 2H (Section optimale) S = L * H = 2 * H2 P=2*H+2*H=4*H Soit: R = S / P = 2 * H2 / 4 * H = H / 2

m2

= =

=

m

m

* 2 Calculer la vitesse de l’eau dans le canal. U=Q/S=

5.6 / 2 * H2

=

m/s



ET TOPOGRAPHIE DE


133

Exe 8 : Donner les dimensions optimales à un canal de forme trapézoïdale (angle au talus θ = 75°) ayant une pente I = 0.1 % et débitant un volume unitaire Q = 3.310 m3/s. on prend n = 0.01. * 1 Calculer le rayon hydraulique du canal en fonction de H Prendre L = 2 * H (1 – cos θ) / sin θ pour satisfaire les conditions optimales S = L * H + H2 / tan θ = 2 * H2 + H2 / tan 75° P = L + 2 * H / sin θ = 2 * H + 2 * H / sin 75

m2 m

Soit : R = S / P * 2 Calculer la vitesse de l’eau dans le canal. U = Q / S = 3.31 / (2 * H2 + H2 * tan 75°)

m/s


Exe 9 : Un canal rectangulaire de largeur au plafond L = 2.5 m, transite un débit Q = 5.8 m3/s. On prend n = 0.011. * 1 Donner les caractéristiques de l’écoulement critique (Yc, Uc et Ic) Yc3 = q2 / g = (5.8/2.5) 2 / 9.8 = 0549

; Càd Yc = 0.819 m

Uc = (gYc) 1/2 = (9.8 * 0.819) 1/2 = 2.8 U = 1/0.011 * R2/3 * I1/2 =

m/s

avec R =

m

Ic = ( * 2 Quels seront la vitesse, le tirant d’eau et le nombre de Froude si la pente devenait : I = 10 * Ic Q = U * S = * LH * (LH / (L + 2 * H)) 2/3 * I1/2 Équation à résoudre : H =

m

U = 1 / 0.011 * LH * (LH / (L + 2 * H)) 2/3 =

m/s

F = U / (Yc * 10)0.5 * 3 Quels seront la vitesse, le tirant d’eau et le nombre de Froude si la pente devenait : I = Ic / 10 Q = U * S = 1 / 0.011 * LH * (LH / (L + 2 * H)) 2/3 * I1/2 Équation à résoudre : H = U = 1 / 0.011 * LH * (LH / (L + 2 * H)) 2/3 = F = U / (Yc * 10)0.5 =

m m/s


ET TOPOGRAPHIE DE


134

* 4 Dresser le tableau des valeurs des écoulements (fluvial, critique et torrentiel) Écoulement Fluvial Critique Torrentiel

Vitesse

Tirant d’eau Pente

Nb Froude

Exe 10 : Soit un canal circulaire (de rayon R = 1.5 m et un angle de θ = 328°) en ciment lisse et état parfait (n = 0.01) de pente I = 0.015 %. * 1 Représenter le canal en coupe transversale.

* 2 Calculer le périmètre et la section du canal. θ = 328 * 3.14159 / 180 rd = Sm = R2 * (θ - sin θ) / 2 = Pm = R * θ

m2

m


m

* 4 Calculer la vitesse et le débit de l’eau dans le canal. U = 1 / 0.01 * (R) 2/3 * I1/2= Q=U*S=

=

m/s

m3/s

Exe 11 : Soit un canal circulaire (de rayon R = 1.25 m et un angle de θ = 318°) en ciment lisse et état parfait (n = 0.011), qui transite un débit Q = 3.05 m3/s. * 1 Calculer le périmètre et la section du canal θ = 318 * 3.14159 / 180 = Sm = R2 * (θ - sin θ) / 2 = Pm = R * θ =

m2

m


m


ET TOPOGRAPHIE DE


* 3 Calculer la vitesse de l’eau dans le canal. Équation de la continuité Q = U * S donne : U = Q / S =

m/s

* 4 En déduire la pente du canal. L’équation de Manning Strickler U = 1 / n * (R) 2/3 * I1/2 donne la pente du canal I I = (U * n / (R) 2/3) 2 =

135


ET TOPOGRAPHIE DE


136

EXERCICES DE RECHERCHE : Exe 1 : Soit à dimensionner un canal rectangulaire, de pente I = 0.5%, n = 0.01. 1 * Donner la formule du tirant d'eau L = f(H) et celle du rayon hydraulique RH = f(H) pour la section avantageuse. 2 * En déduire la formule du débit selon Manning Strickler (pour ces conditions). 3 * Calculer Q (l/s) en fonction de H (cm) du tableau suivant. H (cm)

40

45

50

55

60

Q (l/s) 4 * Dimensionner le canal si le débit est de 1400 l/s. 5 * En exécution, il s'est avéré qu'il y a un tronçon qui a une pente de 0.45%. Y aura t il un problème ? Si oui, proposer une solution économique.

Exe 2 : Soit un canal, de forme trapézoïdale, dont les caractéristiques sont résumées dans le tableau suivant qu’il faudra compléter. Il sera conseillé de le faire par Excel.

N 0.011 0.010 0.010 0.012 0.011 0.013 0.010 ? 0.011 ? 0.013 ? 0.010

Large (m) 1.01 2.03 1.05 ? ? 1.05 ? 2.12 ? 1.56 1.05 2.12 1.56

Tirant d’eau m 0.9 0.88 ? 0.85 ? 0.52 ? 1.06 ? 0.78 0.52 1.06 0.78

Angle talus 45° 60° 55° 75° 45° 60° 90° 45° 60° 90°

Pente % 0.03 ? 0.1 0.015 0.02 0.0002 0.00012 0.00015 0.0002 0.00012 0.00015

Débit l/s ? 1655.91 1533.25 280.87 1562.58 5.025 5.444 1.85 5.025 5.444 1.85

Exe 3 : Démontrer l’expression L = 2H (1 – cos θ) / sin θ caractérisant la section avantageuse d’un canal de forme trapézoïdale.


9

ET TOPOGRAPHIE DE


137

récapitulation

Dans ce qui suit, on récapitule les lois d’hydraulique (écoulement turbulent en charge et à surface libre). Écoulement en charge

Écoulement à surface libre

Section

Toujours circulaire

Elle peut être : rectangulaire, trapézoïdale, circulaire, demicirculaire, ovoïde, ...

Charge

La pression >> à la pression La pression est atmosphérique atmosphérique en général

Conséquen  Il peut y avoir un  L’écoulement est toujours ces écoulement remontant descendant (gravitaire). ou descendant  La ligne piézométrique  La ligne est toujours décroissante et piézométrique est confondue avec la surface toujours décroissante et libre de l’eau au-dessus de la conduite (….Cavitation!) Énergie En hydraulique appliquée, Elle est toujours négligeable, vu cinétique que la vitesse est de l’ordre de 1 m/s. PdC = F L/D * U2 / 2g Avec U = C ( Rh I )1/2 F = -2*lg 2.57/ReF1/2)

(ε/3.7D

Avec

+ C = -23.2*lg (1.8C/Re + ε/Rh)

Le calcul par ces expressions est compliqué. D’où l’emploi d’autres formules empiriques, plus simples telles que: Hazen Williams, Scimemi, Bazin, Manning Strickler, …. Scobey, …. Expression PdCsing = K * U2/2g des PdC singulières

PdCsing = ∆H de la chute d’eau


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10 LES TRAVAUX PRATIQUES D’HYDRAULIQUE Dans ce qui suit, il sera réuni un ensemble de petites manipulations constituantes des travaux pratiques, à faire sous forme de démonstration et d’illustration pédagogique que de travaux pratiques au sens du terme. Ce module de travaux pratiques couvre en gros l’ensemble du cours d’hydraulique, et a pour objectifs :   

Vérifier les théorèmes et lois régissant les écoulements d’hydraulique (en charge et/ou à surface libre) vus en cours. Visualiser les divers types d’écoulement d’hydraulique et permettre de faire la jonction entre la théorie et l’expérimentation. ….. …

Ainsi, ces travaux pratiques seront sous forme de petites manipulations qui éclaircissent le cours ; et qui peuvent ce placer en fin du chapitre en question ou éventuellement en fin du cours.


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139

10.1 TP 1 : APPAREILLAGE ET RELEVÉE DE DONNÉES 10.1.1 OBJECTIFS Ce premier TP (réalisé avec le tube venturi), très simple a pour objectifs : o o o o o o

Montrer le pilote aux étudiants et expliquer ses composantes sur place. Faire une démonstration de fonctionnement avec différents débits. Montrer la notion de pression positive et pression négative (dépression) Montrer la notion d’énergie cinétique. Matérialiser la ligne piézométrique. Faire plusieurs séries de relevés de :   

L’énergie de pression statique avec les tubes piézométriques. L’énergie totale avec le tube Pitot Le volume écoulé et le temps correspondant ;

o Et ceci a pour finalité :  

Pouvoir éliminer les fautes éventuelles. Faire face aux erreurs afin d’augmenter la précision des données.

10.1.2 DESCRIPTION DU PILOTE o Montrer le pilote aux étudiants globalement et ses composantes sur place. o Décrire les composantes une à une du circuit hydraulique :        

Bouton de marche, arrêt, urgence. Cuve réservoir en eau servant au circuit qui doit être pleine en eau. Cuve (réservoir en eau) graduée servant au comptage du volume écoulé en eau. Pompe d’alimentation du circuit en eau. Vannes de réglage du débit, de réglage de la pression et des tubes piézomètriques. Tuyauterie avec le cône convergent divergent. Piézomètres et leur emplacement sur le cône. Le tube Pitot et sa mobilité de déplacement.

10.1.3 FONCTIONNEMENT DU PILOTE o Brancher le courant électrique une fois vous êtes sûr que la vanne d’alimentation en eau est fermée. o Mettre en marche la pompe sur vanne fermée. o Ouvrir la vanne d’alimentation en eau pour un débit donné. o Faire une démonstration de fonctionnement avec différents débits 

Qu’observez-vous au niveau des tubes piézométriques pour un débit faible ? Le niveau de l’eau dans les différents tubes piézométriques est +/- le même. La variation de lecture est négligeable.



Qu’observez-vous au niveau des tubes piézométriques pour un débit moyen ? Le niveau de l’eau dans les différents tubes piézométriques n’est pas le même. La variation de lecture, représentant la pression est nette.




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Qu’observez-vous au niveau des tubes piézométriques pour un fort faible ? Le niveau de l’eau dans les différents tubes piézométriques est très différent, voir même le niveau de l’eau dans le tube 3 a disparu. Il y a même des bulles l’air qui entre dans la conduite, signe de dépression (pression négative)



Montrer la notion d’énergie cinétique et sa variation le long du cône. Quand on fait déplacer le tube Pitot à l’intérieur de la conduite, on a :  de la position 1 vers la position 3, la hauteur de l’eau augmente dans le dit tube. Càd : l’énergie cinétique augmente.  Et vice versa, de la position 3 à la position 6, la hauteur de l’eau diminue dans le dit tube. Càd : l’énergie cinétique diminue.  Ceci s’explique par la variation du diamètre de la conduite : Il y a rétrécissement puis élargissement.



Régler la vanne débit métrique pour pouvoir faire des lectures piézométriques bien différentes et au tube de Pitot, et faire plusieurs séries de relevés de :  L’énergie de pression statique avec les tubes piézométriques Hs.  L’énergie totale avec le tube Pitot Ht  Le volume écoulé et le temps correspondant.

10.1.4 OBSERVATIONS  

Choisir un débit qui fait une nette différence de lectures à travers les divers tubes. Remplir les tableaux suivants avec leurs observations de lecture à travers les tubes piézométriques donnant la hauteur statique Hs, tube Pitot donnant la hauteur totale Ht et données volumétriques (volume écoulé et temps correspondant)

Nota : Faire plusieurs relevées d’observations dans le temps pour minimiser les erreurs de fluctuation du niveau dans le tube.

10.1.5 TRIAGE DES DONNÉES    

Fixer une marge d’erreurs (par exemple 5 %) et éliminer les données qui en sortent. Recalculer la nouvelle moyenne pour minimiser les erreurs. Vérifier la concordance des données avec la théorie. o (Ht1 > Ht2 > Ht3 > …) o (Hs1 > Hs2 > Hs3 < Hs4 < Hs5 < Hs6) Corriger ces données si c’est nécessaire (x → x +/- 1 à 3 %) pour qu’elles concordent éventuellement à la théorie sans dépasser la marge d’erreur (fixée à 5 %).

TABLEAU DE Hs Tubes d’observation Ob.1 (mm) Ob. 2 (mm) ….. Ob. 20 (mm) Moyenne (mm) Moy Cor (mm)

1 Hs

Er

2 Hs

Er

3 Hs

Er

4 Hs

Er

5 Hs

Er

6 Hs

Er


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TABLEAU DE Ht Tubes d’observation Ob.1 (mm) Ob. 2 (mm) ….. Ob. 20 (mm) Moyenne (mm) Moy cor (mm)

1 Ht

Er

2 Ht

Er

3 Ht

Er

4 Ht

Er

TABLEAU RÉSUMÉ (Vérification de la concordance) 1 Hs (mm) Ht (mm)

2

3

4

5

6

5 Ht

Er

6 Ht

Er

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142

10.2 TP 2 : LA VOLUMÉTRIE 10.2.1 NOTION DE MESURE DE DÉBIT Souvent, dans la pratique, le technicien est exposé à savoir le débit transité à travers une conduite (ou un canal éventuellement). Pour le mesurer, le dit technicien devra utiliser le procédé approprié. Les procédés de mesure du débit, appelé JAUGEAGE, sont nombreux et ne peuvent s’appliquer indifféremment. Il faudra distinguer : 

Mesure directe : il s’agit de mesurer le volume qui s’est écoulé pendant un temps déterminé, et en faire un simple rapport de ces deux grandeurs. C’est la volumétrie. Mesure indirecte : il s’agit de mesurer plutôt la vitesse et la multiplier par la section de l’écoulement. (Voir plus loin : Tube Pitot, Venturi, Parshall, …)



REMARQUES :  Actuellement, la mesure du débit se fait de plus en plus d’une façon électronique.  Alors que ce TP n’est qu’une simple illustration du cours.

10.2.2 OBJECTIF Ce premier TP, très simple, a double objectifs : Il s’agit d’introduire : o o

La notion d’erreurs dans les manipulations et la précision qui en découle. La façon la plus simple visant à augmenter la précision autant que possible.

10.2.3 LA VOLUMÉTRIE La volumétrie est la mesure des volumes d’une façon générale. Dans ce cas, c’est la mesure du volume du liquide écoulé, pendant un intervalle de temps donné.

Q V

T

Avec: ΔV : Variation de volume écoulé en m3, L, … ΔT : intervalle de temps en s, mn, h, … Q : Débit à mesurer en m3/s, l/s, l/mn, … Les appareils de mesure de cette expérience sont:  

Un chronomètre (ou montre électronique) pour mesurer le temps avec une très bonne précision. Un bac gradué pour mesurer le volume écoulé en L, m3.

10.2.4 EXPÉRIENCE Pour déterminer le débit d’un robinet donné, on place sur la paroi verticale d’un tonneau placé sous le robinet, une graduation métrique, tel que le zéro coïncide avec le font du tonneau.


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Durant l’expérience, et en admettant que :  

La hauteur du tonneau est graduée en cm ; par suite, l’erreur de mesure sera le cm. Le temps écoulé correspondant sera en secondes. C'est-à-dire : l’erreur de mesure sera la seconde.

Le tableau des données relevées sera le suivant : Volume correspondant en (L) Temps chronométré en (s) Débit moyen calculé Q (L / s) La précision du résultat dépend de l’appareillage et de la manipulation. Pour l’augmenter; il suffit de multiplier les mesures, voir même en avoir des mesures intermédiaires qui peuvent être traitées sous forme de graphe. Dans ce cas, il faudra relever différents volumes consécutifs écoulés et le temps correspondant pour tracer la droite expérimentale. V = f(t) = Q*t + Cte (= 0) : A ne pas oublier. En principe, les points reportés sur le graphe seront alignés. Mais, vu les incertitudes de mesure, de lecture, de report, …on aura plutôt un nuage de points +/- alignés. La droite devra être le mieux possible au milieu de ce nuage. S’il y a quelques points qui se distinguent, ils seront considérés comme des points faux. Droite probable max Droite probable moy V Droite probable min

t Le coefficient directeur de la droite y = ax sera le paramètre ‘Q’ cherché. Lorsqu’on voudra une meilleure précision, on élimine les points jugés faux (où l’écart est relativement grand) et le reste des observations sera traité par la régression linéaire (méthode des moindres carrés) et le plus simple en EXCEL.

10.2.5 TRAVAIL DEMANDÉ : DÉTERMINATION DU DÉBIT 10.2.6 METHODE GRAPHIQUE Sur un papier millimétré 1. Tracer le graphe de la droite la plus probable V (L) en fonction du temps t (s)  Le graphe passe par O (0, 0) puisque la fonction est de la forme V (t) = a * t + b ; Avec b = 0 (pour t = 0 en théorie)


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2. Placer les rectangles des erreurs sur ce graphe. 3. Tracer les droites maximale et minimale encadrant la droite la plus probable sur ce graphe. 4. Calculer le coefficient directeur de la droite.  Le Coefficient directeur de la droite s’obtient en choisissant deux points les plus éloignés possible sur le graphe pour minimiser les erreurs. Soit ici : o Le point théorique exact O (0 s, 0 L) o Le point (……..s, …….L). D’où : le coefficient directeur de la droite sera : a = . . . . L / . . . . S =

L/s.

5. En déduire le débit de l’expérience.  Le débit sera en fin de compte la pente de la droite : Q = …….L/s

10.2.7 METHODE STATISTIQUE 

CALCUL MANUEL

Refaire ce travail avec la méthode des moindres carrés afin d’augmenter la précision, une fois vous avez éliminé les points jugés faux  Il y a . . . points faux qui sont : (. . . s, . . . L), (. . . s, . . . L), (. . . s, . . . L), ….  Ces points seront éliminés du tableau pour l’étude suivante.  Étude de la régression linéaire par la méthode des moindres carrés (pour augmenter la précision)  En voici le tableau des couples restants jugés corrects. Couple 1 2 … N

X

Σxi = …

Y

X2

X*Y

Σyi = ….

Σ (Xi2) = ….

Σ (Xi*Yi) =…

o Et par conséquent ; le coefficient directeur de la droite sera a = …. o Et la constante b = …... (et qui devra être très proche de zéro) 

CALCUL AUTOMATIQUE Refaire ce travail avec la méthode des moindres carrés programmée (EXCEL).  En voici les résultats : a = …



et b = …

avec un coefficient R2 = ….

Conclusion : Le débit en question est Q = …

L/S

(Voir sur place)


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145

10.3 TP 3 : MATÉRIALISATION DU THÉORÈME DE BERNOULLI 10.3.1 OBJECTIF L’objectif de ce TP est de : Tracer la ligne de l’énergie totale. Tracer la ligne piézométrique.

o o 

Ce qui matérialise le théorème de Bernoulli en terme de :    

Énergie potentielle. Énergie de pression. Énergie cinétique Énergie perdue éventuellement.

10.3.2 THÉORIE Le théorème de Bernoulli peut être représenté sur la figure suivante par :  

Z1 + P1/ρg + U12 /2g = Z2+ P2/ρg + U22 /2g = Cste en écoulement Parfait. Z1 + P1/ρg + U12 /2g = Z2+ P2/ρg + U22 /2g + PdC1à2 en écoulement réel.

C’est ce qui peut se matérialiser d’une façon qualitative pour un écoulement à surface libre à travers un canal (en coupe longitudinale et en coupe transversale) par :

10.3.3 LE MATÉRIEL Réalisons les expériences demandées sur les écoulements à surface libre dans le canal transparent pour voir l’emplacement du bout du tube à placer. Le piézomètre à utiliser est un simple tube en plastique blanc (pour qu’on puisse voir à travers) muni à une extrémité par un tuyau d’acier très fin (pour ne pas perturber l’écoulement) et en forme de ‘L’, qui sera placé dans le canal à surface libre.

10.3.4 MANIPULATION    

Les observations seront faites à travers le canal à surface libre. Donner la pente de 1% au canal. Démarrez la pompe et réglez la vanne de contrôle pour avoir le débit Q = 10 m3/h Placer le tube en L dans l’eau et amorcer-le.

10.3.5 OBSERVATIONS 

Mettre le tube en ‘L’ sans que la pointe fait face aux lignes de courant et juste audessous de la surface libre de l’eau, Qu’observez-vous ?


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146

o Le niveau de l’eau dans le tube, une fois amorcé, vient se stabiliser à la même hauteur que le niveau de l’eau dans le canal. o En faisant tourner le tube autour de lui, dans différente position non parallèle aux lignes de courant, le niveau de l’eau dans le tube ne change pas. o Le tube jouera le rôle d’un simple indicateur d’énergie de pression qu’il reçoit P / ρg. o C’est un simple piézomètre en quelque sorte si on suppose le fond du canal est confondu avec un plan de référence. 

Mettre le tube en L avec la pointe face aux lignes de courant et juste au-dessous de la surface libre de l’eau. Qu’observez-vous ? o Le niveau de l’eau dans le tube, une fois amorcé, vient se stabiliser à une hauteur supérieure que le niveau de l’eau dans le canal. o Le tube jouera le rôle d’un simple indicateur d’énergie totale qu’il reçoit si on suppose que le fond du canal est confondu avec un plan de référence Wt = P / ρg + U2 / 2g



Remplir le tableau suivant de ces lectures le long du canal.

Point de mesure de l’amont L=0.0m L=0.5m L=1.0m L=1.5m L=2.0m L=2.5m L=3.0m vers l’aval Énergie de pression lue (1) Énergie totale lue (2) Variation de lecture (2) – (1) 

Que représente cette variation de lecture (hauteur) ? Vu les observations précédentes, cette variation d’énergie représente l’énergie cinétique. Wc = U2 / 2g



Faire la représentation de Bernoulli le long du canal sur le canal en travers sur un papier millimétré à joindre. Lecture de l’énergie totale Lecture piézométrique



En déduire la vitesse moyenne de l’eau ?



Que conclure ?


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147

10.4 TP 4 : VÉRIFICATION DU THÉORÈME DE BERNOULLI 10.4.1 OBJECTIF L’objectif de ce TP est la vérification du théorème de Bernoulli : o o o

En supposant que les pertes de charge sont négligeables. En supposant que les pertes de charge sont non négligeables. Et en faisant les différents tracés schématisant :    

Énergie potentielle. Énergie de pression. Énergie cinétique Énergie perdue éventuellement.

10.4.2 RÉSUMÉ THÉORIE Le théorème de Bernoulli peut être représenté sur la figure suivante par : 

Z1 + P1/ρg + U12 /2g = Z2 + P2/ρg + U22 /2g = Cste en écoulement Parfait.



Z1 + P1/ρg + U12 /2g = Z2 + P2/ρg + U22 /2g + PdC1à2 = Cte en écoulement réel.

C’est ce qui peut se matérialiser d’une façon qualitative pour un écoulement permanent et uniforme sous pression, à travers une conduite de diamètre variable (représentant un Venturi en coupe longitudinale) par :

10.4.3 LE MATÉRIEL Réalisons les expériences demandées sur les écoulements sous pression à travers une conduite munie de plusieurs piézomètres … C’est le montage pilote à décrire sur place.


Les observations seront faites à travers :  Les différents piézomètres du Venturi pour l’énergie de pression hydrostatique Hs.  Le tube Pitot (mobile) pour l’énergie totale Ht. Démarrez la pompe et réglez la vanne de contrôle pour avoir le débit Q qui fait une nette différence de lecture dans les différents piézomètres. Sans oublier de mesurer aussi le débit par la volumétrie. Remplir le tableau suivant avec des observations qui font une nette différence de lecture.


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148

10.4.5 OBSERVATION Avec un débit, qui fait une nette différence de lectures à travers les divers tubes, remplir le tableau suivant avec la moyenne des lectures faites Hs et Ht au niveau des tubes (Voir TP 1). Et c’est ce qui peut se résumer par : Piézomètre Hs mmCE Ht mmCE

1

2

3

4

5

6

Entre 1 et 2 Entre 2 et 3 Entre 3 et 4 PdC entre tubes Entre 4 et 5 mmCE Entre 5 et 6 PdC au convergent Entre 1 et 3 PdC au divergent Entre 3 et 6

10.4.6 CAVITATION Refaire l’expérience avec des débits plus forts pour visualiser la cavitation ….

10.4.7 GRAPHE Tracer la représentation de Bernoulli sur un papier millimétré selon le modèle suivant : Énergie perdue

Énergie de pression Énergie cinétique

10.4.8 CONCLUSION Peut on assimiler l’écoulement à : 

Un écoulement parfait ?



Un écoulement réel ? Et si c’est le cas, pouvez vous distinguer : 

Les PdC linéaires ?



Les PdC singulières ?


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149

10.5 TP 5 : VÉRIFICATION DE L’ÉQUATION DE LA CONTINUITÉ 10.5.1 OBJECTIF Il s’agit de vérifier l’équation de la continuité à travers une conduite qui converge en forme de cône et diverge par la suite.

10.5.2 THÉORIE  

En pré requis, le TP2 a fait la vérification du théorème de Bernoulli. En écoulement permanent, l’équation de la continuité s’exprime par :  Le débit est une constante.  Le débit est le produit de la vitesse par la section en une coupe de conduite donnée.  C’est ce qui se traduit par : Q = S1 * U1 = S2 * U2 = …. = Sn * Un = Cste

Remarques :  Ne pas oublier que la vitesse n’est pas une constante à une section donnée. (voir TP6)  Alors que la vitesse ici n’est autre qu’une vitesse moyenne pour toute la section.

10.5.3 LE MATÉRIEL La description du matériel (une deuxième fois) sera donnée sur place si nécessaire.

10.5.4 MANIPULATION Réalisons les expériences demandées à travers une conduite convergente et divergente en forme de cône transparent - qui permet de voir l’emplacement du bout du tube - (permettant les mesures) à placer     

Les lectures seront faites à travers les différents piézomètres du Venturi pour l’énergie hydrostatique Hs et le tube Pitot (mobile) pour l’énergie totale Ht. Démarrez la pompe et réglez la vanne de contrôle pour avoir le débit Q voulu. Mesurer le débit aussi par la volumétrie. Remplir le tableau des observations. Numéroter les piézomètres de l’amont vers l’aval.

10.5.5 OBSERVATION 

Qu’observez-vous pour un faible débit ? o Les niveaux de l’eau dans les différents piézomètres sont plus ou moins identiques. o Le niveau de l’eau dans le tube Pitot est aussi plus ou moins au même niveau.



Que se passe t il pour un grand débit ? o Les niveaux de l’eau dans les différents piézomètres se distinguent :  Au niveau de la section ayant un grand diamètre, le niveau de l’eau dans le tube piézométrique est très haut.  Au niveau de la section ayant un petit diamètre, le niveau de l’eau dans le tube piézomètrique est très bas.


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o Et réciproquement, Le niveau de l’eau dans le tube Pitot est :   

Très haut au niveau de la section ayant un petit diamètre. Très bas au niveau de la section ayant un grand diamètre.

Qu’observez-vous en particulier pour un grand débit, au niveau du piézomètre 3 ?

o Le niveau de l’eau dans le piézomètre 3 est le plus bas de tous les piézomètres. o Voir même, il se peut qu’il n’apparaisse. Et c’est l’air qui entre dans la conduite.  C’est la cavitation (dépression) qui aspire le l’air o Le niveau de l’eau dans le tube Pitot est au plus grand niveau. 

Expliquer ? Prenant deux points particuliers :  Le premier au niveau de la grande section  Le second au niveau de la petite section Et faisant la représentation de Bernoulli….. 

Au premier point, on a : o Une faible vitesse qui donne une très faible énergie cinétique. o Et par conséquent, une grande pression.



Au second point, on a : o Une grande vitesse qui donne une très grande énergie cinétique. o Et par conséquent, une faible pression. o Voir même une dépression (cavitation) si la section est trop petite.

Reprendre les données du TP1 1

2

3

4

5

6

Ht (mm) Hs (mm)

10.5.6 CALCUL  

Calculer l’énergie cinétique, la vitesse et le débit au niveau des différents tubes. Selon la graduation des tubes marquée sur le pilote, il faudra prendre

Ht = Hs + 80 (mm) + U2 / 2g Tubes Diamètre mm Section m2 Hs mmCE Ht mmCE U2/2g mmCE U (m/s) Q (L/s)

1 28.4

2 22.5

3 14.0

4 17.2

5 24.2

6 28.4

150


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

Ce débit est-il constant ? Si non ; Donner son erreur.



Expliquer...

Reprendre les données du TP1 Que conclure ?  Avec quelle erreur peut-on appliquer le théorème de la continuité ?

 Quelles sont les sources de cette erreur ?

151


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152

10.6 TP 6 : MESURE DES DEBITS PAR PITOT 10.6.1 OBJECTIF L’énergie cinétique peut être utilisé comme un moyen de mesure de débit d’une canalisation donné. Si on arrive à faire la lecture de l’énergie de pression étoilée et de l’énergie totale en une section donnée. 

C’est la détermination du débit d’une façon indirecte, dite méthode de Pitot.

L’objectif de ce TP est de comparer le débit donné par Pitot avec le débit trouvé par mesure volumétrique; et ceci par : o o

Le calcul de la vitesse de l’écoulement à travers un cône convergent et divergent. La déduction du débit de l’écoulement.

10.6.2 THÉORIE Le théorème de Bernoulli peut être représenté en une conduite convergente et divergente par (si les PdC sont supposées négligeables) :

10.6.3 CALCUL THÉORIQUE 

Si on utilise Pitot à différente section du Venturi, on aura deux lectures.  



La lecture de la Hauteur statique donnée par le piézomètre Hs. La lecture de la Hauteur totale donnée par le Pitot Ht.

Donner l’expression de l’énergie cinétique à une section quelconque:

Ec = U2 / 2g = Ht – Hs = Δ H (1) Et ceci abstraction faite des PdC 

En déduire l’expression du débit Q = S * U = S * (2g * Δ H)1/2

Soit : Q = S * (2g * Δ H)1/2


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153

Rappel : Ne pas oublier que la vitesse n’est pas une constante au niveau d »une section donnée (voir cours et TP)

10.6.4 MANIPULATION     

Les observations seront faites à travers les différents piézomètres du Venturi pour l’énergie hydrostatique Hs et le tube Pitot (mobile) pour l’énergie totale Ht. Démarrez la pompe et réglez la vanne de contrôle pour avoir le débit Q qui fait une nette différence de lecture dans les différents piézomètres. Mesurer le débit aussi par la volumétrie. Numéroter les piézomètres Reprendre les données du TP1

10.6.5 CALCUL DU DÉBIT C’est ce qui se résume-en : Piézomètre Diamètre mm Ht mmCE Hs mmCE Section m2 Δ H mmCE Débit l/s Moyenne Erreur

1 28.4

2 22.5

3 14.0

4 17.2

5 24.2

6 28.4



Les débits trouvés sont-ils semblables ? Si non ; Donner l’erreur commise.



Retrouver ce débit par la volumétrie (Voir TP 1).



Que conclure ?



Avec quelle erreur peut-on appliquer ce principe ?



Quelles sont les sources d’erreur ?




ET TOPOGRAPHIE DE


Est ce que cette méthode de Pitot peut être utilisée ? Justifier ! Quelles sont les sources d’erreur ?

Remarque : 

Ne pas oublier que la vitesse est une variable au niveau d’une section donnée.

Q   U * dS U moy * S Par suite : Umoy   

154

u*dS

dS

Mais, Est-ce que Pitot donne la vitesse moyenne ou locale


ET TOPOGRAPHIE DE


155

10.7 TP 7 : MESURE DES DÉBITS PAR VENTURI 10.7.1 OBJECTIF Le phénomène de la variation de la pression dans un dispositif convergent divergent est utilisé pour mesurer le débit d’une canalisation en charge  C’est la détermination du débit d’une façon indirecte par la méthode de Venturi. L’objectif de ce TP est de comparer le débit donné par l’équation de Venturi avec le débit trouvé par mesure volumétrique ; et ceci par : o Le calcul de la vitesse de l’écoulement à travers un cône convergent et divergent. o La déduction du débit de l’écoulement.

10.7.2 THÉORIE Le théorème de Bernoulli peut être représenté en une conduite convergente et divergente par :

10.7.3 CALCUL THÉORIQUE 

Appliquer Bernoulli entre les points 1 et 2 et simplifier (Z1 = Z2).

Z1 + P1 / ρg + U12 / 2g = Z2 + P2 / ρg + U2 2 / 2g P1 / ρg + U12 / 2g = P2 / ρg + U2 2 / 2g pour une conduite supposée horizontale 

Donner l’expression de la variation de la vitesse en fonction de la variation de la pression P1 / ρg - P2 / ρg = U2 2 / 2g - U12 / 2g = (U2 2 - U12) / 2g (1)



Donner l’expression des vitesses en fonction du débit U1 = Q / S1 et U2 = Q / S2



Remplacer ceci dans l’expression (1) et regrouper les termes. U22 - U12 = (P1 / ρg - P2 / ρg) * 2g (Q / S2)2 – (Q / S1)2 = (P1 / ρg - P2 / ρg) * 2g Q2 * (1 / S22 – 1 / S12) = (P1 / ρg - P2 / ρg) * 2g



En déduire l’expression du débit.

Q2 = (P1 / ρg - P2 / ρg) * 2g / (1 / S22 – 1 / S12) Avec A = 2g / (1 / S22 – 1 / S12); on a:


ET TOPOGRAPHIE DE


156

Q2 = A * (P1 / ρg - P2 / ρg) Soit : en fin de compte Q = (A * Δ H)

1/2

Remarque : La vitesse au niveau d’une section donnée n’est pas une constante 10.7.4 LE MATÉRIEL C’est le montage pilote déjà vu.


Les observations seront faites à travers les différents piézomètres du Venturi. Démarrez la pompe et réglez la vanne de contrôle pour avoir le débit Q qui fait une nette différence de lecture dans les différents piézomètres Mesurer le débit aussi par la volumétrie. Reprendre les données du TP1

10.7.6 CALCUL DU DÉBIT La moyenne des hauteurs statiques donnera : Piézomètres Hs 1

Hs 2

Hs 3

Hs 4

Hs 5

Hs 6

Moyenne Et c’est ce qui peut de résumer par : Piézomètre Diamètre mm Hs mmCE Section m2

1 28.4

2 22.5

3 14.0

4 17.2

5 24.2

6 28.4

Par suite, le calcul du débit donnera : ΔHs mmCE

A

Q (L / S)

Entre 1 et 2 Entre 1 et 3 Entre 3 et 4 Entre 3 et 5 Entre 3 et 6 Entre 1 et 2 Entre 1 et 3 Entre 3 et 4 

Les débits trouvés sont-ils semblables ? Si non ; Donner l’erreur commise.


ET TOPOGRAPHIE DE



Retrouver ce débit par la volumétrie.



Que conclure ?




Avec quelle erreur peut-on appliquer ce principe ?



Quelles sont les sources d’erreur ?

Complément : 

Pouvez-vous réaliser une dépression ?



Qu’observez-vous ?

157


ET TOPOGRAPHIE DE


158

10.8 TP 8 : ÉTUDE DU PROFIL DE LA VITESSE 10.8.1 OBJECTIF o Montrer que la vitesse n’est pas constante dans une section donnée. o Tracer les profils de vitesse au niveau d’une section donnée.

10.8.2 RAPPEL Vu l’existence des frottements contre la paroi, on a :   

La vitesse en contact de la paroi est nulle. La vitesse augmente vers le milieu haut du canal. Elle est maximale quelque part dans la section (point à chercher)

10.8.3 LE MATÉRIEL Réalisons les expériences demandées sur les écoulements à surface libre à travers le canal transparent pour commander l’emplacement du bout du tube à placer. Le dit tube est un simple tube en plastique blanc (pour qu’on puisse voir à travers) muni à une extrémité par un tuyau d’acier très fin (pour ne pas perturber l’écoulement) et en forme de ‘L’ qui sera placé dans le canal à surface libre.


Les observations seront faites à travers le canal à surface libre. Donner la pente de 2% au canal. Démarrez la pompe et réglez la vanne de contrôle pour avoir le débit Q = 10 m3/h. Placer le tube en L dans l’eau et amorcer-le.

10.8.5 OBSERVATION 

Essai 1 :

Mettre le tube en ‘L’ face aux lignes de courant et au milieu du lit du canal. Commencer par faire les mesures à différent niveau à partir de la surface libre z = 0. z cm Hs mmCE Ht mmCE 

0

3

6

9

12

15

Essai 2 :

Mettre le tube en ‘L’ face aux lignes de courant et au milieu du tirant d’eau. Commencer par faire les mesures à différent point du canal. L cm Δh mmCE Ht mmCE

0

1.5

3

4.5

6

7.5


ET TOPOGRAPHIE DE


10.8.6 CALCUL ET GRAPHE 



Pour l’essai 1, le calcul donne : Z cm 0 3 Hs mmCE Ht mmCE U2/2g mmCE U m/s

6

9

12

15

3

4.5

6

7.5

Pour l’essai 2, le calcul donne. L cm Hs mmCE Ht mmCE U2/2g mmCE U m/s

0

1.5



Faire les graphes V = f(L) et V = f(h) sur papier millimétré à joindre au document.



Que conclure ?



A comparer avec la vitesse moyenne ? Le débit Q = 10 m3/h = 0.002 8 m3/s La section S = L * H = 0.077 * ……. = ……….m2 D’où, la vitesse moyenne est U = Q / S = 0.0028 /…………..=…………m/s

159


ET TOPOGRAPHIE DE


160

10.9 TP 9 : ÉCOULEMENT LAMINAIRE 10.9.1 OBJECTIF :   

Mise en évidence des écoulements laminaires. Calcul du nombre de Reynolds Calcul des pertes de charge en écoulement laminaire.

10.9.2 RAPPEL :  L’écoulement est dit laminaire quand il se matérialise par une ligne droite, sans perturbation. Il se caractérise par si un nombre de REYNOLDS inférieur à 2000  Le nombre de REYNOLDS est donné par la formule :

Re 

U *D 

 Les pertes de charge en écoulement laminaire sont (voir cours)

64 L U 2 PdC  * * Re D 2g 10.9.3 LE MATÉRIEL C’est le montage pilote à décrire sur place. Faire un schéma ci nécessaire.

10.9.4 OBSERVATION A FAIBLE VITESSE     

Démarrer la pompe et régler la vanne de contrôle pour avoir un débit le plus faible possible. Trouver la valeur de ce débit par la méthode de la volumétrie. Ouvrer la vanne du réservoir du colorant et dessiner la forme que prend l’injection de la fluorescéine dans la conduite transparente Arrêter les mesures quand la forme que prend l’injection de fluorescéine dans la conduite transparente n’est plus linéaire, mais se disperse. Remplir Le tableau par vos relevés de l’expérience pour différents débits allant du plus petit au plus grand si on vous donne :  Le diamètre de la conduite transparente D = mm.  Le diamètre de la conduite où les PdC se mesurent d = mm. Volume Temps L S

Ob 1 Ob 2 …..

Débit L/S

Diamètre D U m/s Nb Re

Petit diamètre d H am H av

Hm-Hv

PdC


ET TOPOGRAPHIE DE


10.9.5 GRAPHE  Tracer le graphe en fonction de la vitesse sur un papier millimétré. o Du nombre de Reynolds o Des pertes de charge  Conclusion : Commenter les graphes ?

161


10.10

ET TOPOGRAPHIE DE


162

TP 10 : ÉCOULEMENT TURBULENT

10.10.1

OBJECTIF :   

10.10.2

Mise en évidence des écoulements turbulents. Calcul du nombre de Reynolds Calcul des pertes de charge en écoulement turbulent.

RAPPEL :



L’écoulement est dit turbulent quand il se matérialise par une ligne non droite, vu les perturbations apparentes. Il se caractérise par si le nombre de REYNOLDS supérieure à 4000



Le nombre de REYNOLDS est donné par la formule Re 



Les pertes de charge en écoulement turbulent sont PdC  f *

U *D 

L U 2 * D 2g Où le coefficient f est donné par la formule de col brook (voir cours)

1 f

10.10.3

  2 * lg(

 2 . 51   ) ≈  2 * lg Pour Re très grand 3 . 7 *D 3 .7 * D Re * f

LE MATÉRIEL

C’est le montage pilote à décrire sur place. Faire un schéma ci nécessaire. La description sera faite sur place si nécessaire.

10.10.4

OBSERVATION A GRANDE VITESSE

 Démarrer la pompe et régler la vanne de contrôle pour avoir le débit le plus grand possible.  Trouver la valeur de ce débit par la méthode de la volumétrie.  Ouvrer la vanne du réservoir du colorant et dessiner la forme que prend l’injection de fluorescéine dans la conduite transparente  Arrêter les mesures quand la forme que prend l’injection de fluorescéine dans la conduite transparente devient linéaire  Remplir Le tableau par vos relevés de l’expérience pour différents débits allant du plus petit au plus grand si on vous donne :  

Le diamètre de la conduite transparente d = mm. Le diamètre de la conduite où se les PdC mesurent d = mm.

Volume Temp S Débit L L/S Ob 1 Ob 2 …..

Grand diamètre D Petit diamètre d U m/s Nb Re H am H av

Hm-Hv

PdC


10.10.5

ET TOPOGRAPHIE DE

GRAPHE

 Tracer le graphe en fonction de la vitesse. o Du nombre de Reynolds sur un papier millimétré o Des pertes de charge sur un papier log log  Conclusion : Commenter les graphes ?


163


10.11

ET TOPOGRAPHIE DE


164

TP 11 : CALCUL DU COEFFICIENT DE STRICKLER

10.11.1

RAPPEL DU COURS

Rappelons qu’un écoulement à surface libre, est défini par l’équation

U = C * Rh1/2 * I1/2 Le coefficient « C » est défini, comme l’a été le coefficient ‘f’ pour un écoulement en charge (hydrodynamique des liquides réels), par l’équation

C = -23.2 * lg ((1.811 * C / Re) + (ε / Rh)) Et, pour un écoulement turbulent, le nombre de Reynolds est trop grand ; par suite, la formule pourra être approchée par :

C = - 23.2 * lg (ε / Rh) Mais, vu la complexité de calcul, cette formule a été simplifiée par des formules empiriques telles que :  

10.11.2

La formule de Bazin La formule de Manning

OBJECTIF

Les objectifs de ce TP sont :  

Le calcul du coefficient K selon la loi de Manning Strickler (voir cours) La vérification de la loi de Manning Strickler.

V = K * Rh2/3 * I1/2 10.11.3

DESCRIPTION

Le canal rectangulaire, en PVC transparent, a les dimensions suivantes :   

Largeur : 77 mm Longueur utile : 3000 mm Profondeur utile : 160 mm

Il est alimenté en eau par une tuyauterie munie d’une vanne de réglage de débit et d’un dispositif de tranquillisation avec un débit compris entre 1.6 et 16 m3/h Le canal est autonome en eau, il est alimenté en circuit fermé par une pompe avec mesure de débit et retour de l’eau dans la cuve d’alimentation d’une capacité de 250 l. L’inclinaison du canal (de – 2 % à + 4 %) est obtenue à l’aide des vis calant fixé sous le canal. Les niveaux d’eau dans le canal sont mesurés à l’aide de limnimétrie à pointe.


10.11.4

ET TOPOGRAPHIE DE


165

MANUPILATION

Le TP consiste à mesurer la lame d’eau (tirant d’eau) dans deux situations :  

La première situation se fait à pente fixe et débit variable. La seconde situation se fait à pente variable et débit fixe.

10.11.5

TP A PENTE FIXE ET DÉBIT VARIABLE

10.11.6

OBSERVATION

Dans une première série de mesure, le canal sera incliné avec une pente de 0.2 %. Le tirant d’eau sera relevé deux fois (en amont et en aval) dans la section où les écoulements sont à peu prés stables. Le débit sera variable de 2 à 12.5 m3/h

Tableau des observations Q (m3/h) H1 (mm) 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 12 12.5

H2 (mm( Moy (mm) Y=160 –moy (mm)

Erreur = (H1-H2) / Moy

10.11.7 10.11.8

CALCUL

Selon Manning Strickler, la vitesse de l’écoulement d’un liquide à surface libre est de la forme :

U  K * Rh

2/ 3

* I 1/ 2

dont il est question de déterminer ce coefficient K


ET TOPOGRAPHIE DE


166

Tableau des Calculs Q (m3/s) Y (m) 2 2.5 3 3.5. 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 Moyenne

Sm (m2)

Pm (m)

Rh (m)

U (m/s)

Rh2/3*I1/2

K

Écart Type



Peut-on admettre que le coefficient de Strickler est une constante en première approximation ?



Tracer le graphe de K = f (Log (Rh))

10.11.9

INTERPRÉTATION


ET TOPOGRAPHIE DE


167

10.11.10 TP A PENTE VARIABLE ET DÉBIT FIXE 10.11.11

OBSERVATIONS

Dans une seconde série de mesure, Le débit aura la valeur constante de Q = 3 m3/h. Le canal sera incliné avec des pentes croissantes de 0.1 à 4 %. Le tirant d’eau sera relevé deux fois (en amont et en aval) dans la section où les écoulements sont à peu prés stables.

Tableau des observations I% 0.01 0.05 0.1 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3 3.25 3.5 3.75 4

H1 (mm)

10.11.12

H2 (mm)

Moy (mm) Y=160-moy (mm)

(H1-H2)/Moy

CALCUL

Selon Manning Strickler, la vitesse de l’écoulement d’un liquide à surface libre est de la forme :

U  K * Rh

2/ 3

* I 1/ 2

dont on veut déterminer le coefficient K

Tableau des calculs I %) 0.01 0.05 0.10 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75

Y (m)

Sm (m2)

Pm (m)

Rh (m)

U (m/s)

Rh2/3*I1/2 K


2 2.25 2.5 3.75 3 3.25 3.5 3.75 4 Moyenne

ET TOPOGRAPHIE DE


168

Ecart type

Peut-on admettre que le coefficient de Strickler est une constante en première approximation ? Tracer le graphe de K = f (Log (Rh))

10.11.13

INTERPRÉTATION

10.11.14

RÉSUMÉ



A débit fixe et pente variable, on a : Kmoy =

avec un écart type =



A pente fixe et débit variable, on a : Kmoy =

avec un écart type =



En résumé, on admet que K = abstraction faite sur ces erreurs pour le reste des TP

Remarques : Vos valeurs expérimentales doivent être les plus précis possibles ; Car; elles vont vous servir pour le calcul d’autres TP


10.12 10.12.1

ET TOPOGRAPHIE DE


169

TP 12 : CALCUL DES COEFFICIENTS DE LA LOI DE M.S OBJECTIF

L’objectif de ce TP est le calcul des coefficients ‘’a’’, ‘’b’’ et ’’K’’ de la loi de Manning Strickler :

V = K * Rh a * I b

Où : V : Vitesse moyenne de l’écoulement selon la loi de Manning Strickler K : Coefficient déjà déterminé en première approximation (§ TP précédent) Rh : Rayon hydraulique I : pente du canal

10.12.2

DESCRIPTION

Voir TP précédent.

10.12.3

MANUPILATIONS

Le TP consiste à mesurer la lame d’eau (tirant d’eau) dans deux situations :  La première situation se fait à pente fixe et débit variable.  La seconde situation se fait à pente variable et débit fixe.

10.12.4

TP A PENTE FIXE ET DÉBIT VARIABLE

10.12.5

OBSERVATION

Dans une première série de mesure, le canal sera incliné avec une pente de 0.1 %. Le tirant d’eau sera relevé deux fois (en amont et en aval) dans la section où les écoulements sont à peu prés stables. Le débit sera variable de 2 à 16 m3/h

Tableau des observations Q (m3/h) Q (m3/s) 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 12

H1 (mm) H2 (mm)

Moy (mm) Y=160 –moy (mm)

ΔH/Moy


10.12.6

ET TOPOGRAPHIE DE


170

CALCUL

Selon Manning Strickler, la vitesse de l’écoulement d’un liquide à surface libre est de la

U  K * Rh * I b a

forme :

dont on veut déterminer le coefficient a supposé constant.

On admet aussi que le coefficient de Manning Strickler est aussi une constante, déjà déterminé (voir TP précédent). Par suite, si on introduit le logarithme sur la formule, on aura : Log U = log (K * I b) + a * Log Rh

Tableau des calculs Q (m3/s) 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 12 12.5

10.12.7

Sm (m2)

Pm (m)

Rh (m)

U (m/s) Log U

Log Rh

GRAPHE   

10.12.8

Y (m)

Sur un papier millimétré, faire le graphe de Log U en fonction Log Rh Calculer le coefficient directeur ‘a’ de la droite. En déduire la puissance de Rh et K (§ suivant)

INTERPRÉTATION


ET TOPOGRAPHIE DE


10.12.9

TP A PENTE VARIABLE ET DÉBIT FIXE

10.12.10

OBSERVATION

171

Dans une seconde série de mesure, Le débit aura la valeur constante de Q = 2 m3/h. Le canal sera incliné avec des pentes croissantes de 0.1 à 4 %. Le tirant d’eau sera relevé deux fois (en amont et en aval) dans la section où les écoulements sont à peu prés stables.

Tableau des observations I% 0.1 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3 3.25 3.5 3.75 4

H1 (mm)

10.12.11

H2 (mm)

Moy (mm)

Y=160-moy (mm)

ΔH/Moy

CALCUL

Selon Manning Strickler, la vitesse de l’écoulement d’un liquide à surface libre est de la

U  K * Rh * I b a

forme :

dont on veut déterminer le coefficient b supposé constant.

On admet aussi que le coefficient ‘’K’’ de Manning Strickler est aussi une constante. Par suite, si on introduit le logarithme sur la formule, on aura : Log U = log (K * Rh a) + b * Log I

Tableau des calculs I %) 0.1 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5

Y (m)

Sm (m2)

Pm (m)

Rh (m)

U (m/s)

Log U

Log I


ET TOPOGRAPHIE DE


1.75 2 2.25 2.5 2.75 3 3.25 3.5 3.75 4

10.12.12   

GRAPHE Sur un papier millimétré, faire le graphe de Log U en fonction de Log I Calculer le coefficient directeur ‘b’ de la droite. En déduire la puissance de I et K (§ suivant).

10.12.13

INTERPRÉTATION

10.12.14

DÉTERMINATION DE K

A partir des résultats des expériences précédentes, déterminer le coefficient K.

172


ET TOPOGRAPHIE DE


10.13

TP 13 : ÉTUDE DES ÉCOULEMENTS A SURFACE LIBRE

10.13.1

OBJECTIF

173

L’objectif de ce TP est de :   

10.13.2

Matérialiser l’énergie spécifique. Calculer le nombre de Froude. Mettre en évidence les types d’écoulements (Fluvial, Torrentiel et Critique)

DESCRIPTION

Le matériel est le canal vitré déjà vu.

10.13.3

MANIPULATIONS

Le TP consiste à mesurer la lame d’eau (tirant d’eau) en optant pour un débit constant et des pentes variables.

10.13.4

THÉORIE

La notion d’énergie spécifique s’introduit par la relation suivante

Es = Pr /ρg + U2 / 2g Le fond du canal est pris comme plan de référence. Et vu que dans les écoulements à surface libre, la pression est représentée par la cote en eau 2 dans le canal ‘h’, l’énergie spécifique sera : Es = H + U / 2g Et le nombre de Froude sera F = V / ( gH )

10.13.5

1/2

OBSERVATION

Les observations seront faites avec un débit constant de Q = 2 m3/h. Le canal sera incliné avec des pentes croissantes de 0.1 à 4 %. Le tirant d’eau sera relevé deux fois (en amont et en aval) dans la section où les écoulements sont à peu prés stables.

Tableau des observations Pente en % 0.1 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25

H1 (mm)

H2 (mm)

Moy (mm)

Y = 160 - moy


ET TOPOGRAPHIE DE


174

2.5 2.75 3 3.25 3.5 3.75 4

10.13.6

CALCUL

Pente en % 0.1 0.25 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3 3.25 3.5 3.75 4

10.13.7

y (mm)

Sm (m2)

U (m/s)

U2 / 2g

Es

Nbre Froude

GRAPHE ET INTERPRÉTATION



Sur un papier millimétré, faire les graphes de Es en fonction du tirant d’eau y (théorique et pratique).



En déduire approximativement la profondeur critique.



Calculer pour cette profondeur critique : o Le nombre de Froude o La vitesse critique o La pente critique



Spécifier sur le graphe là où il y a : o L’écoulement fluvial o L’écoulement torrentiel



Le nombre de Froude est : o Pour les écoulements fluviaux. . . . . . . . . o Pour les écoulements torrentiels. . . . . . . . .


ET TOPOGRAPHIE DE


175

TABLE DE MATIÈRES

1

INTRODUCTION…………….. .................................................................................................2 1.1 1.2

2

GÉNÉRALITÉS………………. .................................................................................................5 2.1 2.2 2.3

3

INTRODUCTION ......................................................................................................................................... 31 ÉQUATION CARACTÉRISTIQUE DES LIQUIDES..................................................................................... 31 ÉQUATION DE LA CONTINUITÉ................................................................................................................ 31 ÉQUATION DE LA DYNAMIQUE ............................................................................................................... 31 REPRÉSENTATION GRAPHIQUE ............................................................................................................. 33 NOTION DE MACHINE HYDRAULIQUE .................................................................................................... 37 NOTION D’APPAREIL DE MESURE HYDRAULIQUE ............................................................................... 39

HYDRODYNAMIQUE DES LIQUIDES RÉELS .....................................................................48 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7

7

DÉFINITION................................................................................................................................................. 21 TRAJECTOIRE ............................................................................................................................................ 21 RÉGIME PERMANENT ............................................................................................................................... 21 RÉGIME UNIFORME................................................................................................................................... 21 RÉGIME PERMANENT ET UNIFORME ..................................................................................................... 22 ÉQUATION DE LA CONTINUITÉ................................................................................................................ 22 NOTION DE DÉBIT ..................................................................................................................................... 23

HYDRODYNAMIQUE DES LIQUIDES PARFAITS ...............................................................31 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7

6

PRESSION EN POINT ................................................................................................................................ 11 PRESSION ATMOSPHÉRIQUE.................................................................................................................. 12 PRESSION RELATIVE, ABSOLUE ............................................................................................................. 13 VASES COMMUNICANTS .................................................................................Erreur ! Signet non défini. NOTION DE L’ÉQUILIBRE .......................................................................................................................... 14 NOTION DU CENTRE DE GRAVITÉ .......................................................................................................... 15 CALCUL DE FORCES DE PRESSION ....................................................................................................... 16 CENTRE DE POUSSÉE D’ARCHIMÈDE.................................................................................................... 17 NOTION D’APPAREIL DE MESURE .......................................................................................................... 19

CINÉMATIQUE DES LIQUIDES............................................................................................21 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7

5

DÉFINITION................................................................................................................................................... 5 EN HYDROSTATIQUE .................................................................................................................................. 5 EN HYDRODYNAMIQUE .............................................................................................................................. 8

HYDROSTATIQUE……………..............................................................................................11 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9

4

ÉTUDE MATHÉMATIQUE............................................................................................................................. 2 ÉTUDE EXPÉRIMENTALE............................................................................................................................ 3

INTRODUCTION ......................................................................................................................................... 48 ÉCOULEMENT LAMINAIRE........................................................................................................................ 50 ÉCOULEMENT TURBULENT ..................................................................................................................... 60 NOTION DE PERTES DE CHARGE UNITAIRES....................................................................................... 66 NOTION DE PERTE DE CHARGE SINGULIÈRE....................................................................................... 66 APPLICATIONS AUX MACHINES HYDRAULIQUES................................................................................. 67 NOTION DE DONNÉES ÉQUIVALENTES ................................................................................................. 70

ÉCOULEMENT EN CHARGE ……………………………………………………………………..79 7.1 7.2 7.3 7.4

INTRODUCTION ......................................................................................................................................... 79 DÉTERMINATION DES PDC EN HYDRAULIQUE ..................................................................................... 80 FORMULE DE HAZEN WILLIAMS .............................................................................................................. 81 AUTRES FORMULES ................................................................................................................................. 83

INSTITUT DES TECHNICIENS SPÉCIALISÉS EN GÉNIE RURAL 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 7.10 7.11 7.12

8


176

CALCUL DES CONDUITES ........................................................................................................................ 84 DIMENSIONNEMENT DES CONDUITES................................................................................................... 86 DIMENSIONNEMENT DES CONDUITES EN PARALLÈLE....................................................................... 93 DIMENSIONNEMENT D’UNE CONDUITE DE REFOULEMENT ............................................................... 94 NOTION D’ABAQUE.................................................................................................................................... 96 NOTION DE TRAITEMENT INFORMATIQUE ............................................................................................ 97 CALCUL DES PRESSIONS DANS UN RÉSEAU RAMIFIÉ ....................................................................... 97 ÉCOULEMENT PAR DES ORIFICES ......................................................................................................... 99

ÉCOULEMENT À SURFACE LIBRE...................................................................................107 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 8.10 8.11 8.12 8.13

9

ET TOPOGRAPHIE DE

INTRODUCTION ....................................................................................................................................... 107 APPELLATIONS ........................................................................................................................................ 107 ÉQUATIONS FONDAMENTALES............................................................................................................ 107 DÉTERMINATION DE LA CONSTANTE C.............................................................................................. 110 FORMULES EMPIRIQUES ....................................................................................................................... 111 REPRÉSENTATION GRAPHIQUE DES PDC .......................................................................................... 114 LIMITES DES PENTES ET / OU VITESSES ............................................................................................ 114 CALCUL DES CANAUX ............................................................................................................................ 115 DIMENSIONNEMENT DES CANAUX ....................................................................................................... 119 ÉCOULEMENT FLUVIAL ET TORRENTIEL............................................................................................. 122 NOTION DE TYPE D’ÉCOULEMENT ....................................................................................................... 124 ÉCOULEMENTS EN CANAUX CIRCULAIRES ........................................................................................ 126 ÉCOULEMENTS EN DÉVERSOIR ........................................................................................................... 128

LES TRAVAUX PRATIQUES D’HYDRAULIQUE ................................................................138 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 9.10 9.11 9.12 9.13

TP 1 : APPAREILLAGE ET RELEVÉE DE DONNÉES ............................................................................. 139 TP 2 : LA VOLUMÉTRIE............................................................................................................................ 142 TP 3 : MATÉRIALISATION DU THÉORÈME DE BERNOULLI................................................................. 145 TP 4 : VÉRIFICATION DU THÉORÈME DE BERNOULLI........................................................................ 147 TP 5 : VÉRIFICATION DE L’ÉQUATION DE LA CONTINUITÉ................................................................ 149 TP 6 : MESURE DES DÉBITS PAR PITOT .............................................................................................. 152 TP 7 : MESURE DES DÉBITS PAR VENTURI ......................................................................................... 155 TP 8 : ÉTUDE DU PROFIL DE LA VITESSE ............................................................................................ 158 TP 9 : ÉCOULEMENT LAMINAIRE ........................................................................................................... 160 TP 10 : ÉCOULEMENT TURBULENT....................................................................................................... 162 TP 11 : CALCUL DU COEFFICIENT DE STRICKLER ............................................................................. 164 TP 12 : CALCUL DES COEFFICIENTS DE LA LOI DE M.S .................................................................... 169 TP 13 : ÉTUDE DES ÉCOULEMENTS A SURFACE LIBRE .................................................................... 173

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