SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES ALGEBRA LINEAL
UNIDAD 3 INGENIERIA QUIMICA JOHANA KRISTHEL DE LA CRUZ ASCENCIO GUSTAVO JIMENEZ LARA JESUS GUADALUPE CHAN SANCHEZ JESSICA FRANCISCA HERNANDEZ MORALES JESUS PABLO HERNANDEZ TORRES
INDICE 1. DEFINICION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
2
2. CLASIFICACION DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALLES Y TIPOS DE SOLUCION
4
3. INTERPRETACIÓN GEOMETRICA DE LAS SOLUCIONES
6
4. METODOS DE SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES (GAUS-JORDAN)
16
5. APLICACIONES
21
1
1. DEFINICIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:
El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.
El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento
digital
de
señales,
análisis
estructural,
estimación,
predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico. En general, un sistema con m ecuaciones lineales y n incógnitas puede ser escrito en forma normal como:
2
Donde
son las incógnitas y los números
coeficientes del sistema sobre el cuerpo
son los . Es posible
reescribir el sistema separando con coeficientes con notación matricial:
Si representamos cada matriz con una única letra obtenemos:
Donde A es una matriz m por n, x es un vector columna de longitud n y b es otro vector columna de longitud m. El sistema de eliminación de Gauss-Jordan se aplica a este tipo de sistemas, sea cual sea el cuerpo del que provengan los coeficientes.
3
2. CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Y TIPOS DE SOLUCIÓN = Clasificación = Podemos clasificar los sistemas de ecuaciones lineales según su número de soluciones de la siguiente forma: Sistemas con una solución: Las ecuaciones del sistema son rectas secantes.
Se cortan en un punto (x, y) que es la solución del sistema. Sistemas sin solución: Las ecuaciones del sistema son rectas paralelas. No
tienen ningún punto en común, y por tanto no hay solución. Sistemas con infinitas soluciones: Las ecuaciones del sistema son rectas
coincidentes. Tienen todos los puntos en común, y por tanto todos ellos son soluciónCondiciones que deben cumplir las ecuaciones para que el sistema tenga una, ninguna o infinitas soluciones: Una solución: Los coeficientes de x e y de las dos ecuaciones no son proporcionales. Ejemplo:
Ninguna solución: Los coeficientes de x e y de una ecuación son proporcionales a los de la otra, mientras que los términos independientes no lo son. Ejemplo:
4
Infinitas soluciones: Los coeficientes de x e y, y el término independiente de una ecuación, son proporcionales a los de la otra. Ejemplo:
5
3. INTERPRETACION GEOMETRICA DE LAS SOLUCIONES
Sustitución
El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor.
En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este método reiteradamente. Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitución este sistema:
En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita y por ser la de menor coeficiente y que posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos, obteniendo la siguiente ecuación.
El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita y en la otra ecuación, para así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la
6
x.
Al resolver la ecuación obtenemos el resultado x=5, y si ahora sustituimos esta incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos y=7, con lo que el sistema queda ya resuelto.
Igualación
El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones. Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución, si despejamos la incógnita
en ambas
ecuaciones nos queda de la siguiente manera:
Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por lo que podemos afirmar que las partes derechas también son iguales entre sí.
7
Una vez obtenido el valor de la incógnita x, se substituye su valor en una de las ecuaciones originales, y se obtiene el valor de la y.
La forma más fácil de tener el método de sustitución es realizando un cambio para despejar x después de averiguar el valor de la y.
Reducción
Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo.
A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita, donde el método de resolución es simple. Por ejemplo, en el sistema:
8
no tenemos más que multiplicar la primera ecuación por -2 para poder cancelar la incógnita y. Al multiplicar, dicha ecuación nos queda así:
Si sumamos esta ecuación a la segunda del sistema original, obtenemos una nueva ecuación donde la incógnita y ha sido reducida y que, en este caso, nos da directamente el valor de la incógnita x:
El siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita x en cualquiera de las ecuaciones donde aparecían ambas incógnitas, y obtener así que el valor de y es igual a:
Método Gráfico
9
Consiste en construir la gráfica de cada una de las ecuaciones del sistema. El método (manualmente aplicado) solo resulta eficiente en el plano cartesiano, es decir para un espacio de dimensión 2.
El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resuelve en los siguientes pasos:
Se despeja la incógnita (y) en ambas ecuaciones.
Se construye para cada una de las dos ecuaciones de primer grado
obteniendo la tabla de valores correspondientes.
Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.
En este último paso hay tres posibilidades:
Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son
los
únicos
valores
de
las
incógnitas
(x,y).
"Sistema
compatible
determinado".
Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones
que son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas. «Sistema compatible indeterminado».
Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución.
Método de Gauss 10
La eliminación de Gauss-Jordan, más conocida como método de Gauss, es un método aplicable únicamente a los sistemas lineales de ecuaciones, y consistente en triangular la matriz aumentada del sistema mediante transformaciones elementales, hasta obtener ecuaciones de una sola incógnita, cuyo valor será igual al coeficiente situado en la misma fila de la matriz. Este procedimiento es similar al anterior de reducción, pero ejecutado de manera reiterada y siguiendo un cierto orden algorítmico.
El Método de Gauss consiste en convertir un sistema normal de 3 ecuaciones con 3 incógnitas en uno escalonado, en la que la primera ecuación tiene 3 incógnitas, la segunda ecuación tiene 2 incógnitas, y la tercera ecuación tiene 1 incógnita. De esta forma será fácil a partir de la última ecuación y subiendo, calcular el valor de las tres incógnitas.
En primer lugar, reducimos la incógnita x, sumando a la segunda fila, la primera multiplicada por 2/3, y a la tercera, la primera fila. La matriz queda así:
El siguiente paso consiste en eliminar la incógnita y en la primera y tercera fila, para lo cual les sumamos la segunda multiplicada por -2 y por -4, respectivamente. 11
Por último, eliminamos la z, tanto de la primera como de la segunda fila, sumándoles la tercera multiplicada por -2 y por 1/2, respectivamente:
Llegados a este punto podemos resolver directamente las ecuaciones que se nos plantean:
O, si lo preferimos, podemos multiplicar las tres filas de la matriz por: 1/2, 2 y -1 respectivamente, y obtener así automáticamente los valores de las incógnitas en la última columna.
12
Pongamos un ejemplo del cálculo de un sistema de ecuaciones por el método de Gauss: Se reúnen 30 personas entre hombres, mujeres y niños. Se sabe que entre los hombres y el triple de mujeres exceden en 20 el doble de los niños. También se sabe que entre hombres y mujeres se duplican al número de niños. Plantear y resolver el sistema de ecuaciones. x=número de hombres; y=número de mujeres; y z=número de niños. Se reúnen 30 personas entre hombres, mujeres y niños: x+y+z=30. Se sabe que entre los hombres y el triple de mujeres exceden en 20 el doble de los niños: x+3y=2z+20. También se sabe que entre hombres y mujeres se duplican al número de niños: x+y=2z.
Agrupando las tres ecuaciones tenemos el sistema, que ordenado resulta:
Aplicamos Gauss, restando la primera ecuación a las dos siguientes:
13
En este caso en la tercera ecuación se ha eliminado la y, por lo que no es necesario hacer más operaciones. Por lo tanto obtenemos que z = 10 de la tercera ecuación:
Sustituyendo z en la segunda ecuación obtenemos que y = 10:
Sustituyendo z é y en la primera ecuación obtenemos x = 10.
Con lo que hemos obtenido el resultado del sistema:
14
Método de Cramer
La regla de Cramer da una solución para sistemas compatibles determinados en términos de determinantes y adjuntos dada por:
Donde Aj es la matriz resultante de remplazar la j-ésima columna de A por el vector columna b. Para un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas:
La regla de Cramer da la siguiente solución:
4. METODOS DE SOLUCION DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 15
Matemáticamente se conoce a un sistema de ecuaciones, como un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas, las cuales conforman o representan un problema matemático, y cuyo fin consisten en encontrar las incógnitas que satisfacen dichas ecuaciones.
En un sistema de ecuaciones algebraicas las incógnitas son valores numéricos o más generalmente elementos de un cuerpo sobre el que se plantean las ecuaciones, una solución de dicho sistema es por tanto, un valor o una función que sustituida en las ecuaciones del sistema hace que éstas se cumplan automáticamente sin que se llegue a una contradicción. En otras palabras el valor que reemplazamos en las incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema.
Existen diferentes métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales dentro de los cuales se destacan: Método de reducción, método de sustitución, método de igualación y método de gaus-jordan.
GAUS-JORDAN
Este método debe su nombre a Carl Friedrich Gauss y a Wilhelm jordan. Se trata de una serie de algoritmos del algebra lineal para determinar los resultados de un sistema de ecuaciones lineales y así hallar matrices e inversas. El sistema de Gauss se utiliza para resolver un sistema de ecuaciones y obtener las soluciones por medio de la reducción del sistema dado a otro que sea equivalente en el cual cada una de las ecuaciones tendrá una incógnita menos que la anterior. La matriz que resulta de este proceso lleva el nombre que se conoce como forma escalonada. Este método, permite resolver hasta 20 ecuaciones simultáneas. Lo que lo diferencia del método Gaussiano es que cuando es eliminada una incógnita, se eliminará de todas las ecuaciones restantes, o sea, las que 16
anteceden a la ecuación principal así como de las que la siguen a continuación. De esta manera el paso de eliminación forma una matriz identidad en vez de una matriz triangular. No es necesario entonces utilizar la
sustitución
hacia
atrás
para
conseguir
la
solución.
Para resolver sistemas de ecuaciones lineales con el método Gauss Jordan, debemos en primer lugar anotar los coeficientes de las variables del sistema de ecuaciones lineales con la notación matricial, por ejemplo:
También se le llama matriz aumentada.
Luego de realizado lo anterior procederemos a transformar dicha matriz en una matriz identidad, o sea una matriz equivalente a la inicial, de la forma:
Logramos esto aplicando a las distintas columnas y filas de las matrices, restas, sumas, multiplicaciones y divisiones. Debemos tener en cuenta que las operaciones utilizadas se aplicarán en todos los elementos de la fila. 17
En dicha matriz identidad no vemos los términos independientes. Esto sucede ya que cuando la matriz original alcance la matriz identidad, los términos serán la solución del sistema y verificarán la igualdad para cada variable que se corresponderán de la forma siguiente: • d1 = x • d2 = y • d3 = z
Ahora teniendo clara esta base, analicemos detalladamente este método con un ejemplo concreto. Sea el siguiente sistema de ecuaciones:
Aplicaremos luego el primer paso, o sea que lo anotaremos en forma matricial:
Realizado lo anterior, podemos operar con las distintas columnas y filas de la matriz para así convertirla en la matriz identidad, sin olvidar la forma del sistema:
18
Ahora debemos transformar el 2 de la primera fila de la matriz original en el 1 de la primera fila de matriz identidad. Para realizar este paso multiplicamos toda la fila 1 por el inverso de 2, o sea ½. Veamos como nos
queda:
A continuación debemos obtener los dos ceros de la primera columna de la matriz identidad. Para lograrlo buscaremos el opuesto de los números que se encuentren por debajo del 1 de la primera columna. El opuesto de 3 será -3 y el de 5 -5. Hecho esto multiplicaremos los opuestos de estos números por cada uno de los elementos de la fila primera y estos se adicionarán a los números de sus respectivas columnas Por ejemplo en el
19
caso de la segunda fila, se multiplicará a -3 que es el opuesto de 3, por cada uno de los elementos de la primera fila y se añadirá el resultado con el número correspondiente de la columna de la segunda fila. Veamos el ejemplo: A medida que realicemos este procedimiento operando con las distintas filas y columnas de la matriz, observaremos como esta se transforma en el modelo de la matriz identidad. Finalizado el proceso, encontraremos finalmente en la cuarta columna los valores de las variables. Veamos entonces como nos quedaría:
x= 1 y= -1 z= 2
Resuelto el sistema de ecuaciones, podemos verificar como último paso:
5. APLICACIONES 20
Los sistemas de ecuaciones sirven para resolver problemas aplicados a la vida diaria recuerda que las matemáticas son fundamentales y todo lo que nos rodea son matemáticas imagínate este problema
En una examen de 20 preguntas la nota de Juan ha sido un 8. Si cada acierto vale un punto y cada error resta dos puntos, ¿cuántas preguntas ha acertado Juan?, ¿cuántas ha fallado?.
Pasemos de inmediato a la primera fase. Una vez leído detenidamente el enunciado del problema y entendido éste, hay que tener claro qué es lo que se pregunta y cómo vamos a llamar a las incógnitas que vamos a manejar en la resolución del problema.
Está claro que las preguntas que hay que contestar son las del final del enunciado, es decir, cuántas preguntas ha fallado y cuántas ha acertado Juan. Llamemos entonces x al número de respuestas acertadas e y al de falladas.
En la segunda fase, hay que efectuar el planteamiento del problema. Atendiendo a las condiciones que nos propone el enunciado y a cómo hemos nombrado las incógnitas, tendremos las siguientes ecuaciones:
El número total de preguntas es 20, luego: x + y = 20 La nota es un 8 y cada fallo resta dos puntos: x - 2y = 8
Ya tenemos el sistema planteado, por tanto, pasamos a la tercera fase, es 21
decir, la resolución del sistema. Para ello, podemos utilizar cualquiera de los métodos vistos en las secciones anteriores. Si aplicamos, por ejemplo, el método de sustitución tendremos:
De la segunda ecuación: x = 2y + 8 ; sustituyendo en la primera: 2y + 8 + y = 20
⇒
3y = 12 ⇒ y = 12/3 ⇒ y = 4 ;
sustituyendo en la ecuación del principio: x = 16 .
Una vez halladas las soluciones del sistema, las traducimos a las condiciones del problema, es decir, tal y como habíamos nombrado las incógnitas, Juan ha acertado 16 preguntas y ha fallado 4. Podemos pasar pues a la cuarta fase que consiste en comprobar si la solución es correcta.
Si ha acertado 16 preguntas, Juan tendría en principio 16 puntos, pero, al haber fallado 4, le restarán el doble de puntos, es decir 8. Por tanto, 16 - 8 = 8 que es la nota que, según el enunciado del problema, ha obtenido. Luego se cumplen las condiciones del problema y la solución hallada es correcta y válida.
22
